排队论大学课件11-马尔科夫排队网络
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马尔可夫过程与排队论
马尔可夫过程与排队论马尔可夫过程与排队论是数学中重要的两个概念，它们在统计学、概率论、运筹学等领域中有着广泛的应用。
本文将分别介绍马尔可夫过程和排队论的基本概念和应用。
马尔可夫过程是一个随机过程，其特点是未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
这种性质被称为马尔可夫性。
马尔可夫过程是由状态空间和转移概率矩阵组成的。
状态空间是一组离散或连续的状态，转移概率矩阵描述了不同状态之间的转移概率。
马尔可夫过程的一个重要应用是在排队系统中的模拟和分析。
排队论是研究排队系统的数学方法和技术的学科。
排队系统是指由顾客和服务员组成的系统，顾客需要接受服务，而服务员有一定的处理能力。
排队论主要关注以下几个方面的问题：平均等待时间、系统繁忙率、系统的稳定性等。
排队论通过数学建模，提供了一种分析和优化排队系统的方法。
在排队系统中，马尔可夫过程可以用来描述系统的状态变化。
例如，一个银行的柜台服务系统可以看作是一个排队系统。
顾客到达银行后，根据柜台服务员的繁忙情况，决定是否需要排队等待。
排队等待时，顾客处于等待状态；当柜台服务员空闲时，顾客进入服务状态。
这个过程可以用马尔可夫过程来描述，其中状态空间包括顾客的等待状态和服务状态，转移概率矩阵描述了顾客在不同状态之间的转移概率。
马尔可夫的应用广泛，不仅在排队系统中有着重要作用，还在许多其他领域中有着广泛应用。
例如，马尔可夫链被用于自然语言处理中的语言模型，通过学习上下文的转移概率来预测下一个词的概率。
马尔可夫过程还被用于金融领域的风险管理，通过建立市场模型来预测金融资产的价格变动。
排队论也有许多重要的应用。
在制造业中，排队论可以用于优化生产线的运作效率，减少等待时间，提高资源利用率。
在交通领域，排队论可以用于交通信号控制系统的优化，减少拥堵现象。
在电信业中，排队论可以用于优化无线网络的资源分配，提高用户的通信质量。
总结来说，马尔可夫过程与排队论是数学中重要的两个概念。
马尔可夫过程描述了一个随机过程的状态变化，而排队论则应用了马尔可夫过程来分析和优化排队系统。
《运筹学排队论》课件
资源分配
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
排队论大学课件11-马尔科夫排队网络
pn
D n (t ) D (t )
t
lim
D n (t ) D (t ) D n (t ) D (t )
An (t ) D (t )
t
An (t ) A(t ) 1
lim 0
t
lim
An (t ) A (t ) A (t ) D (t )
t
pn pn
axbx指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品但是不包括以治疗为目的的物品在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料马尔可夫排队网络马尔可夫排队网络一个二节点的级联网络一个二节点的级联网络两顾客离开的间隔时间是后面顾客到达的间隔时间后面顾客服务的时间后一个顾客前一个顾客前一个顾客后一个顾客指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品但是不包括以治疗为目的的物品在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料马尔可夫排队网络马尔可夫排队网络一个二节点的级联网络一个二节点的级联网络情况一出现的概率顾客离开时发现系统中有顾客的概率顾客到达时发现系统中有顾客的概率统计平衡时系统队长不为0的概率可见mm1排队系统的顾客输出流是泊松流并且强度与其输入流强度相同指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品但是不包括以治疗为目的的物品在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料burkeburke在平稳状态下mmn排队系统的顾客离开的过程为泊松过程离开率等于到达率
t 0
t 0
因为输入流是泊松流，所以A(t, t+∆t)发生的概率是 ∆t+o(∆t)，与 N(t)=n这个事件无关。所以
P [ A ( t , t t ) | N ( t ) n ]＝ P [ A ( t , t t ) 】 p n ( t ) lim p n ( t ) p n ( t )
排队论(脱产)PPT课件
等待制与损失制
等待制
顾客等待时间有限，超过一定时 间仍无法接受服务则离开；或者 顾客可以无限等待，直到获得服 务。
损失制
顾客到达时若无法立即接受服务 ，则离开系统。
稳态与瞬态
稳态
排队系统在长时间后达到平衡状态，顾客到达和服务的时间间隔均服从某一概 率分布。
瞬态
排队系统未达到平衡状态，顾客到达和服务的时间间隔不服从概率分布。
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排队论(脱产)ppt课件
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目 录
• 引言 • 排队论的基本概念 • 常见的排队模型 • 排队论中的性能指标 • 排队论的应用实例 • 总结与展望
PART 04
排队论中的性能指标
队长与等待队长
队长
指在任意时刻队列中的顾客数。它通常用来衡量系统的负载状况。队长是描述系 统状态的重要参数，其分布情况决定了系统的性质。
等待队长
指在队列中等候的顾客数。等待队长是衡量系统性能的重要指标，特别是在处理 能力有限的情况下。等待队长的大小直接影响到顾客的等待时间和系统的效率。
交通系统
地铁调度
地铁调度中心需要确保列车按时到达车 站并保持适当的间隔。排队论可用于分 析列车的到达时间和等待时间，优化列 车的调度和运行计划，提高地铁系统的 运输效率和安全性。
VS
机场安检
机场安检是保证乘客安全的重要环节，但 安检队伍过长或等待时间过长会影响乘客 的满意度和机场的运行效率。排队论可用 于分析安检队伍的长度和等待时间，优化 安检流程和资源配置，提高机场的运行效 率和乘客满意度。
运筹学第五章排队论PPT课件
第五章 排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率 规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙 期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，
• 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS]
1
2
... n
单队多服务台（串列）
.
1
1
2
3
2
混合形式
5
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： • 顾客相继到达的间隔时间分布 • 服务时间的分布 • 服务台数
最优运营（动态优化）。
.
8
§2.2 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过
研究排队系统运行的效率指标，估计服务质
量，确定系统的合理结构和系统参数的合理
值，以便实现对计等。
排队问题的一般步骤：
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率 规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙 期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，
• 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS]
1
2
... n
单队多服务台（串列）
.
1
1
2
3
2
混合形式
5
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： • 顾客相继到达的间隔时间分布 • 服务时间的分布 • 服务台数
最优运营（动态优化）。
.
8
§2.2 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过
研究排队系统运行的效率指标，估计服务质
量，确定系统的合理结构和系统参数的合理
值，以便实现对计等。
排队问题的一般步骤：
管理运筹学课件第11章 排队论
2013-8-9 管理运筹学课件 8
11.1.2 排队系统的三个特征
3．服务机构 从机构形式和工作情况来看有以下几种： （1）服务机构可以没有服务员，也可以有一个或多个服务员 （服务台、窗口）。如超市的货架可以没有服务员，但交款时可 能有多个服务员。 （2）多个服务台的情况中，可以是平行排列的（并联），也可 以是前后排列的（串联），也可以是混合的。 （3）服务方式可以对单个顾客进行，也可成批进行。我们只讨 S1 S1 论单个服务情况。 S S2 S2 （4）服务时间可分为确定型的和随机型的。如旅客列车对乘客 S3 S3 的服务是按列车时刻表进行位移服务的，是确定型的；因患者病 (a)单台单队 (b)多队多台并联 (c)单队多台并联 情不同，医生诊断的时间不是确定的，是随机型的。 S1 S4 （5）服务时间的分布总假定是平稳的，即分布的期望值、方差 S1 S2 S2 等参数不受时间的影响。
第11章 排队论
教学目标与要求
【教学目标】 1．理解下列基本概念：排队系统构成、特征、分类、主要性能指标及相互关系 2．掌握以下三种排队系统主要性能指标的计算：M/M/C/∞/∞；M/M/C/N/∞； M/M/C/∞/m。 3．了解M/G/1、M/D/1的主要指标计算公式 【知识结构】
基本概念 系统、特征、分类、指标、输入输出
2013-8-9
Ls Ws , 或Ws Ls
Lq Wq ,
Ws Wq 1
Ls Lq
Ls nPn
n 0
管理运筹学课件 n s 1
Lq
(n s ) P
n
12
11.1.5 排队系统的输入和输出
2013-8-9
模型的优化（目的） 管理运筹学课件
11.1.2 排队系统的三个特征
3．服务机构 从机构形式和工作情况来看有以下几种： （1）服务机构可以没有服务员，也可以有一个或多个服务员 （服务台、窗口）。如超市的货架可以没有服务员，但交款时可 能有多个服务员。 （2）多个服务台的情况中，可以是平行排列的（并联），也可 以是前后排列的（串联），也可以是混合的。 （3）服务方式可以对单个顾客进行，也可成批进行。我们只讨 S1 S1 论单个服务情况。 S S2 S2 （4）服务时间可分为确定型的和随机型的。如旅客列车对乘客 S3 S3 的服务是按列车时刻表进行位移服务的，是确定型的；因患者病 (a)单台单队 (b)多队多台并联 (c)单队多台并联 情不同，医生诊断的时间不是确定的，是随机型的。 S1 S4 （5）服务时间的分布总假定是平稳的，即分布的期望值、方差 S1 S2 S2 等参数不受时间的影响。
第11章 排队论
教学目标与要求
【教学目标】 1．理解下列基本概念：排队系统构成、特征、分类、主要性能指标及相互关系 2．掌握以下三种排队系统主要性能指标的计算：M/M/C/∞/∞；M/M/C/N/∞； M/M/C/∞/m。 3．了解M/G/1、M/D/1的主要指标计算公式 【知识结构】
基本概念 系统、特征、分类、指标、输入输出
2013-8-9
Ls Ws , 或Ws Ls
Lq Wq ,
Ws Wq 1
Ls Lq
Ls nPn
n 0
管理运筹学课件 n s 1
Lq
(n s ) P
n
12
11.1.5 排队系统的输入和输出
2013-8-9
模型的优化（目的） 管理运筹学课件
排队论及应用举例PPT精选文档
0.78
2.0
0.14
0.86
5
5. 第二种情况:泊松分布。主要针 对某一时段T内有n人到达的概 率，到达过程是随机的，则服 从泊宋分布。如图5-5所示。计 算公式为：
时间T内
有n人到
.224
达的概率
.20 .149
期望值 3
.224
方差
.168
平滑曲线
PT(n)(T)nn!eT
（6-2）
.10
.102
2. 无限总体。对于服务系统来说顾客数量足够大，由于人数增减而引起的总体规模的变化不会对 系统的概率分布产生显著的影响。
3. 顾客到达的分布。这是一个到达率或单位时间到达数的问题。固定到达的分布呈周期性的，即 相继到达的两个顾客之间的时间间隔几乎相同。在生产系统中，通常运用一些技术控制顾客在固 定的时间间隔内到达。多数情况下，顾客的到达呈随机分布。
1
一、排队问题的经济含义
在日常经济生活中，经常遇到排队现象，如：在超市等待结帐、工厂中等待加工 的工件或待修理的机器、开车上班等，排队论是运作管理中重要的方法，它是计 划、工作设计、存货控制以及其他问题的基础。
每一个排队事例的核心问题就是对不同因素作权衡决策，管理者必须衡量为提供 更快捷服务而增加的成本和等待费用之间的关系。
表的第二栏是下一个到达的顾客时间间隔超
过 t分钟的概率；第三栏为下一个顾客到
达时间小于 t 分钟的概率。
（1）
t分钟
0 0.5 1.0
（2）
（3）
下一个顾客将在 大于t分钟内 到达的概率
下一个顾客将在小于t 分钟内到达的概率 (3)=(1)-(2)
1.00
0
0.61
0.39
马尔可夫排队模型
– 随机过程角度pi(t)：t时刻系统处于第i个状态的 可能性
• 0≤pi(t) ≤1, ∑pi(t)=1,
– 随机变量角度（极限平稳解）：pi= limt→∞pi(t)
• 如果0≤pi(t) ≤1, ∑pi(t)=1存在，等价于系统稳定，此 时，pi的含义是经过充分长的时间的运行后，系统 处于第i个状态的可能性（概率）
• 状态转移图：用来描述系统状态和变迁情况的有 向图 • 实例：一个机械系统由A、B两部分构成，各自有 修理工。若运行时间和修理时间均为服从独立的 指数分布的随机变量，求状态转移图。
例题的求解
• 定义状态：
– S0＝AB，S1＝AB，S2＝AB，S3＝AB
• 变迁和强度：
– S0→S1：A系统发生故障强度λ1＝1/t1 – S1→S0：A的平均修复强度μ1＝1/t1’
M|M|1|0的极限平稳解
• 从普通解获得:
– p0= limt→∞p0(t)= μ/(μ+λ) – p1= limt→∞p1(t)=λ /(μ+λ)＝1－ p0
• 从状态转移图获得 • 有关的效率指标
– 相对通过能力Q＝ p0＝μ/(μ+λ) – 绝对通过能力A＝ λQ＝ λμ/(μ+λ) – 系统损失率Pl＝p1＝1－Q＝ λ/(μ+λ)
M|M|1|0的应用举例
• 一条电话热线，平均每分钟有一次呼叫， 平均每次呼叫的通话时间为0.4分钟，求稳 定状态下一次呼叫的占线概率 • 解：
– 采用M|M|1|0模型， – 此时，λ＝1， μ＝1/0.4＝2.5 – 则所求概率为Pl= p1= λ/(μ+λ)=0.28
M|M|1|0的应用举例
• 试证
M|M|1|0的普通解
• 0≤pi(t) ≤1, ∑pi(t)=1,
– 随机变量角度（极限平稳解）：pi= limt→∞pi(t)
• 如果0≤pi(t) ≤1, ∑pi(t)=1存在，等价于系统稳定，此 时，pi的含义是经过充分长的时间的运行后，系统 处于第i个状态的可能性（概率）
• 状态转移图：用来描述系统状态和变迁情况的有 向图 • 实例：一个机械系统由A、B两部分构成，各自有 修理工。若运行时间和修理时间均为服从独立的 指数分布的随机变量，求状态转移图。
例题的求解
• 定义状态：
– S0＝AB，S1＝AB，S2＝AB，S3＝AB
• 变迁和强度：
– S0→S1：A系统发生故障强度λ1＝1/t1 – S1→S0：A的平均修复强度μ1＝1/t1’
M|M|1|0的极限平稳解
• 从普通解获得:
– p0= limt→∞p0(t)= μ/(μ+λ) – p1= limt→∞p1(t)=λ /(μ+λ)＝1－ p0
• 从状态转移图获得 • 有关的效率指标
– 相对通过能力Q＝ p0＝μ/(μ+λ) – 绝对通过能力A＝ λQ＝ λμ/(μ+λ) – 系统损失率Pl＝p1＝1－Q＝ λ/(μ+λ)
M|M|1|0的应用举例
• 一条电话热线，平均每分钟有一次呼叫， 平均每次呼叫的通话时间为0.4分钟，求稳 定状态下一次呼叫的占线概率 • 解：
– 采用M|M|1|0模型， – 此时，λ＝1， μ＝1/0.4＝2.5 – 则所求概率为Pl= p1= λ/(μ+λ)=0.28
M|M|1|0的应用举例
• 试证
M|M|1|0的普通解
排队论模型PPT课件
0 0 0
顾客离去
10%
(
调试 0 检验
)
90
%
第8页/共40页
(5)匹配排队模型
煤矿 火车 煤仓
汽车(或火车)
港口
轮船
另外还有
(6)优先权的排队系统 (7)成批排队模型 (8)有限源排队模型
我们讨论(1)(2)两种
第9页/共40页
（三）、建立排队模型步骤 1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间的相互
时解，一般这种瞬时解是难以求得的
第14页/共40页
3.统计平衡下的极限解
实际应用中，关心的是t 时，方程的解称
为
生
灭
lim t
过程微
pn(t) pn
分由p差n' (t)分 0方
程
组
的
极
限
解
。
令
及(9.1)(9.2)式得当S
为有n1限pn状1 态(n集 时n )，pn (9.n11)p式n1 变 0为
2.几种重要的排队模型 (1)单服务台系统
顾客到达
排队
00…00
服务台
(2)多服务台的平衡系统
顾客离去
顾客到达 排队 服务台
00…00
顾客离去
顾客离去 服务台
服务机构
第7页/共40页
(3)串联排队系统
顾客到达 排队 00…00
0
0
顾客离去
M1
M2
…
Mn
0
(4)排队网络模型
顾客到达 排队 00…00
第2页/共40页
输入过程一样，服务时间都是随机的，且我们假设，设
n表示服务员为n个顾客提供服务所需的时间，则服务
第五章 马尔可夫型排队网络的性能分析
p? (1? p)
顾客以非常高的概率ｐ返回 （同一顾客连续被服务的时间相互独立）
排队节点的顾客到达呈现突发性（一个外部到达会触发一个反馈顾客）
? 尽管如此，Ｊａｃｋｓｏｎ定理告诉我们：在求解Ｊａｃｋｓｏｎ网络各节点 间联合概率分布时可以等效地认为各节点之间是相互独立的并
遵循 Ｍ／Ｍ／ｓ 规律
2001-3-28
? 开环网络(Open Network; Jackson Network) ? 闭环网络(Closed Network; Gorden-Norwell Network) ? 混合网络(Mixed Network)
pij
2001-3-28
? ? ? @? 华? ?
Ｅｘｔｅｒｎａｌri
Ｄｅｐａｒｔｕｒｅｓ
《通信网理论基础》
第5 章 马尔可夫型排队网络的性能分析
2001-3-28
? ? ? @? 华? ?
1
一个典型的通信网络
2.3.1 通信网络的排队网络模型
2001-3-28
? ? ? @? 华? ?
2
通信网络的排队模型化
Route 1
Route 2
Route 3
2001-3-28
? ? ? @? 华? ?
ｑｕｅｕｅ ｅｍｐｔｙ
ｑｕｅｕｅ ｂｕ1ｓ2ｙ
ｔ
Burke定理及其物理意义
2001-3-28
? ? ? @? 华? ?
13
马尔可夫排队系统的可逆性
[Theorem]: A Markov chain is reversible if and only if there exists probability distribution {pj} over the state space such that pi aij = pj aji for all pairs i not equal to j
排队论(讲稿)PPT课件
概况2
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概况3
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
19
清华大学出版社
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
6
清华大学出版社
1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
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概况3
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
19
清华大学出版社
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
6
清华大学出版社
1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
第10章 排队论 《运筹学》PPT课件全
WL
Wq
Lq
W
1
M/M/s 混 合 制 排 队 模 型
一、 单服务台混合制模型
M/M/1/K： 顾客的相继到达时间服从参数 为λ的负指数分布(即顾客的到达过程为 Poisson流)，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为μ的负指数分布，系统的空间 为K。
单
平稳状态下队长N的分布pn=P{N=n},n=0,1,2,…。
服
由于所考虑的排队系统中最多只能容纳K个顾 客(等待位置只有K-1个)，因而有
务 台
n
0
n
n=0,1,2,...,K-1 n≥K n=1,2,...K
混 合
有
Cn
(
)n
n
n=0,1,2,...,K
0
n>K
制
故 pn n p0 n=1,2,…,K
模 型
1
其中，p0
1
1
K
n
1
K
1
1
n1
统
其分布函数为B(t)，密度函数为b(t)，则
的
常见的分布有： (1) 定长分布(D)
描
(2) 负指数分布(M)
述
(3) k阶爱尔朗分布(Ek)：
排
排队系统的符号表示
队
“Kendall记号”，其一般形式为：X/Y/Z/A/B/C，其中 XX：顾客到达时间间隔的分布
系
YY：服务时间的分布
统
Z Z：服务台个数
的
A ：系统容量 B B：顾客源数量
符
C C：服务规则
号
例 （M / M / 1 /
FCFS）表示：
表
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分 布，1个服务台，顾客源无限，系统容量也无限，
《随机过程与排队论》课件
应用场景案例
4
概念。
通过实际案例展示随机过程的应用。
排队论
1 排队模型需求
讨论排队模型的基本要素和需求。
2 排队论基本概念
介绍排队论的核心概念和基本原理。
3 随机变量介绍
4 排队模型的分类
探究排队论中使用的随机变量的定义和特性。
讨论排队模型的不同分类和特点。
5 M/M/1 进行排队论模型分析
通过M/M/1模型分析，解释排队论的应用。
6 应用场景案例
通过实际案例探索排队论的实际应用情况。
随机过程与排队论
两种理论的关系
讨论随机过程与排队论之间的 相互影响和作用。
排队论应用于随机过程理 论
介绍将排队论应用于随机过程 理论中的方法和技巧。
随机过程理论应用于排队 论
探究随机过程理论对排队论的 贡献和应用。
总结
随机过程与排队论的应 用意义
《随机过程与排队论》PPT课 件
概述
随机过程
介绍随机过程的概念和应用 领域。
排队论
讨论排队论的基本概念和模 型需求。
两者关系
探究随机过程和排队论之间 的联系。
随机过程
1
概念介绍
介绍随机过程的定义和特点。
马尔可夫过程
2
探讨马尔可夫过程的基本原理和应用场
景。
3Leabharlann 次/超/子马尔科夫过程深入研究次/超/子马尔可夫过程及其相关
总结随机过程与排队论的重 要应用价值。
总结以上内容
对前面内容进行简要回顾和 总结。
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Queue Theory
排队论课件
21
M/M/1/N/ 举例
M/M/s with Finite Queue
Arrival rate 5 Service rate 6 Number of servers 1 Maximum queue length 4 Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system Probability that a customer waits Probability that a customer balks
0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 NUMBER IN SYSTEM 28 30 32 34 36 38 40
♂
Probability
排队论课件
24
其他模型
M/M/c/K/K
1
(c )c P0 P c !(1 ) P P Lq , L c 1 1 L 1 W , Wq W
排队论课件23M/M/c 举例
M/M/s queuing computations
Arrival rate Service rate Number of servers 10 6 2 83.33% 0.0909 3.7879 5.4545 0.3788 0.5455 Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system
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P [ A (, tt t ) |N () t n ] ＝ P [ A (, tt t ) 】
pt () l i m() pt pt () n n n t 0
结论
G/G排队系统pn- =pn+ 即到达的顾客与离开的顾客所看到的队长 分布是相等的 M/G排队系统中pn- =pn+ =pn 即顾客为泊松流到达的排队系统中，到达 的顾客与离开的顾客看到的队长分布与系 统的队长分布都相等
Burke定理：
多个M/M/n排队系统连接在一起所形成的网络， 每个节点能够依旧保持原本M/M/n的特性。
第七章 马尔可夫排队网络
三种队长分布的关系 Burke定理 开马尔可夫排队网络 闭马尔可夫排队网络
到达与离开时的队长分布的关系
下面我们研究三种时刻队长分布的关系 pn-=P(顾客到达时系统中已有n个顾客) Pn=P(N=n)=平稳分布队长为n的概率 pn+=P(顾客离开系统时系统还有n个顾客的 概率)
到达与离开时的队长分布的关系
G/G/1系统pn- =pn+
N(t)
n+1 n
t 跟踪N(t)实际走过的一条路线
到达与离开时的队长分布的关系
假定从状态n上跳到状态n+1的次数为An(t) 从状态n+1下跳到状态n的次数为Dn(t) 由于到达与离去是一个一个发生的，并且n->n+1与n+1>n是交错发生的。所以到t时刻为止，An(t)与Dn(t)至多相 差1
设A(t)、D(t)为从任何状态开始上跳一步的总次数和下跳 一步的总次数，在统计平衡条件下，有：
A (t ) D (t ) D (t ) lim 1 t A (t )
到达与离开时的队长分布的关系
A n (t ) p n A (t ) lim
t
D n (t ) p n D (t )
M/G系统到达时刻看到的的队长分布 与队长分布的关系
M/G系统有pn-(t)= pn(t)，即任意时刻，到达的顾客看到的队长分布 等于系统队长的分布 证明 令A(t, t+∆t)表示在[t, t+∆t)]时间内到达了一个顾客，则
p t) PNt [ ( ) n| At ( ,t t)] n(
马尔可夫排队网络
我们前面学习的情况，都是顾客只请求一种服务，服务完 离去，这种系统叫做单节点系统或叫单节点网络。 如果一个排队系统只是一个节点，那么多个节点就可以组 成一个排队网络。每个节点都含有一个服务机构和排队机 构，是一个简单的排队系统，当顾客离开某个排队系统节 点就进入下一个节点。例如数据包在通信网中传输
PNt [ ( ) n ,At ( ,t t)] lim t 0 P [At ( ,t t)] PNt [ ( ) n ] P [At ( ,t t)| Nt ( ) n ] lim t 0 P [At ( ,t t)]
因为输入流是泊松流，所以A(t, t+∆t)发生的概率是 ∆t+o(∆t)，与 N(t)=n这个事件无关。所以
D * ( x ) D1 * ( x ) (1 )D2 * ( x ) (
x
) (1 )(
x x
)(
)
x d (t ) e t
可见，M/M/1排队系统的顾客输出流是泊松流，并且强度 与其输入流强度相同
马尔可夫排队网络－Burke定理
马尔可夫排队网络 一个二节点的级联网络
举例，假定1号节点是一个M/M/1排队系统
1 λ 2
？
2号节点的顾客输入流就是1号节点的顾客输出流 考虑1号节点顾客离开的间隔时间，假定其服从分布d(t)， d(t)的拉普拉斯变换为D*(x)。1号节点的服务时间分布的 拉普拉斯变换为B*(x)，顾客到达间隔时间分布的的拉普 拉斯变换为A*(x)。有：
Ax * () Bx * () x 网络 一个二节点的级联网络
情况一：前面顾客离开后，后面接着有顾客来接受服务
两顾客离开的间隔时间就是后面顾客的服务时间
D * ( x ) B * ( x ) 1
前一个顾客
后一个顾客
情况二：前面顾客离开后，系统顾客为0
离开 离开
到达
1
2
到达
到达
3
离开
排队网络(注意不要与状态流图混淆)
马尔可夫排队网络
定义：
马尔可夫排队网络指的是各节点外部到达顾客流 是泊松流，各节点的服务时间是负指数分布的网 络系统。
关注的问题：
网络结构－描述了节点之间的允许的转移 使用随机过程对顾客流的描述－例如离开节点i 的顾客都立即进入节点i＋1，则前者的顾客离去 间隔时间就是后者的顾客到达间隔时间
Burke定理
在平稳状态下，M/M/n排队系统的顾客离开的过 程为泊松过程，离开率等于到达率。并且M/M/n 是唯一具有此种性质的FCFS排队系统。
马尔可夫排队网络 一个二节点的级联网络
因此，此时再看2号节点
1 λ λ 2
泊松流
2号节点的输入流是强度为的泊松流，所以2号节点也是 一个普通的M/M/1排队系统，并且可以与1号节点独立分 开讨论。
两顾客离开的间隔时间是后面顾客到达的间隔时间＋后面顾客 服务的时间
Dx * () A * () x B * () x 2
前一个顾客
后一个顾客
马尔可夫排队网络 一个二节点的级联网络
情况一出现的概率＝顾客离开时发现系统中有顾客的概率 ＝顾客到达时发现系统中有顾客的概率＝统计平衡时系统 队长不为0的概率＝ 同理，情况二出现的概率＝1- 所以
D n (t ) A n (t ) D (t ) A (t ) D n (t ) A n (t ) A n (t ) A n (t ) D (t ) D (t ) D (t ) A (t )
lim
t
D n (t ) A n (t ) A n (t ) A (t ) lim lim 1 t D (t ) t D (t ) A (t ) D (t ) 0 p n p n