【全程复习方略】2015高考数学(文理通用)一轮专项强化训练2]

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专项强化训练(二)
(45分钟100分)
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.已知向量a=(1,),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,则t a nθ=( )
A. B. C.- D.-
【解析】选B.因为a∥b,
所以sinθ-cosθ=0,
即sinθ=cosθ.
故t a nθ=.
2.(2014·金华模拟)a=(1,cosθ),b=(-1,2cosθ),若a⊥b,则cos2θ等于( )
A.-1
B.0
C.
D.
【解析】选B.因为a⊥b,
所以a·b=-1+2cos2θ=0,
即cos2θ=,
故cos2θ=2cos2θ-1=0.
3.(2014·衡水模拟)P是△ABC内的一点,=(+),则△ABC的面积与△ABP的面积之比为( )
A.3
B.6
C.2
D.
【解析】选A.设D是BC的中点,则+=2,
由题意,得=,
所以D在AP上,且P是△ABC的重心.
故==3.
4.已知定义在区间(0,3)上的函数f(x)的图象如图所示,若a=(f(x),0),b=(cosx,1),则不等式a·b<0的解集是( )
A.(0,1)
B.(0,1]
C.(0,1)∪
D.(0,1]∪
【解析】选C.由题意,得a·b=f(x)cosx<0,
所以或
由x∈时cosx>0,x∈时cosx<0及函数f(x)的图象易得原不等式的解集是(0,1)∪.
5.已知a=,b=(cosθ,sinθ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围
是( )
A.(0,1)
B.(0,1]
C.(0,)
D.(0,]
【解析】选C.因为a-b
=,
所以|a-b|=
=
=
=,
因为θ∈(0,π),
所以∈,cos∈(0,1).
故|a-b|∈(0,).
二、填空题(每小题6分,共18分)
6.在平面直角坐标系中,设i,j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单
位向量,O为坐标原点,且=-2i+j,=4i+3j,则△OAB的面积等于.
【解析】由题可知||=,||=5,·=-5,
所以cos<,>==-,sin<,>=,所求面积为S=×
×5×=5.
答案:5
7.已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2),若|a|=
|b|,θ∈(0,π),则θ的值是.
【解析】因为|a|=|b|,
所以=,
即sin2θ=1+sinθcosθ,sin2θ+cos2θ=-1,
sin=-,
因为θ∈(0,π),
所以<2θ+<,
所以2θ+=或π.
即θ=或π.
答案:或π
8.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且α-β≠kπ,k∈Z,则a与b一定满足:①a与b的夹角等于α-β;②a⊥b;③a∥b;④(a+b)⊥(a-b).其中正确结论的序号为.
【解析】对于①,设a与b的夹角为θ,
则cosθ==cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β),
因为θ∈[0,π],α-β≠kπ,k∈Z,
所以θ不一定等于α-β.故①错误;
对于②,因为a·b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β),
又cos(α-β)的值并不恒为0,
所以a⊥b不一定成立,故②错误;
对于③,因为cosαsinβ-sinαcosβ
=sin(β-α)=-sin(α-β),
由α-β≠kπ,k∈Z,知-sin(α-β)≠0,
所以a∥b不成立,故③错误;
对于④,因为(a+b)·(a-b)=a2-b2
=|a|2-|b|2=0,
所以(a+b)⊥(a-b),故④正确.
答案:④
三、解答题(每小题13分,共52分)
9.如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终
边分别与单位圆相交于点P,Q,已知点P的坐标为.
(1)求的值.
(2)若·=0,求sin(α+β).
【解析】(1)由三角函数定义得cosα=-,sinα=,
所以原式=
==2cos2α=2×=.
(2)因为·=0,所以α-β=,所以β=α-,
所以sinβ=sin=-cosα=,
cosβ=cos=sinα=,
所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=×+×=.
10.(2014·湖州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足(2b-c)cosA=acosC.
(1)求角A的大小.
(2)若b=2,c=,求|+|.
【解析】(1)由正弦定理可得:
2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA,
所以2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,
因为sinB≠0,所以cosA=,所以A=.
(2)|+|2=||2+||2+2||||cosA
=7+2,
所以|+|=.
11.(2014·广州模拟)已知向量a=(sinx,1),b=(1,cosx),函数f(x)=a·b,
(1)求函数f(x)的值域.
(2)若α∈,β∈,且f=,f=,求sinα的值.
【解析】(1)f(x)=a·b
=×(sinx+cosx)
=sin,
故f(x)的值域为[-1,1].
(2)由f=,得
sin=cos(α+β)=,
又α∈,β∈,
则α+β∈(0,π),
sin(α+β)==,
由f=,得sinβ=,
又β∈,所以cosβ==.
sinα=sin[(α+β)-β]
=sin(α+β)·cosβ-cos(α+β)·sinβ
=×-×
=.
12.(2014·温州模拟)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,m=(cosA,cosC),n=(c-2b,a),且m⊥n.
(1)求角A的大小.
(2)若角B=,BC边上的中线AM的长为,求△ABC的面积.
【解析】(1)因为(2b-c)cosA=a cosC,
所以(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC,
2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA
=sin(A+C),
则2sinBcosA=sinB,
所以cosA=,于是A=.
(2)由(1)知A=B=,所以AC=BC,C=.
设AC=x,则MC=x,AM=,
在△AMC中,由余弦定理得
AC2+MC2-2AC·MC·cosC=AM2,
即x2+-2x··cosπ=()2,
解得x=2,
故S△ABC=x2sin=.
【加固训练】
已知向量a=(cosx,sinx),b=(-cosx,cosx),函数f(x)=2a·b+1.
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)当x∈[0,2π]时,求f(x)的单调减区间.
【解析】(1)因为f(x)=2a·b+1
=2(cosx,sinx)·(-cosx,cosx)+1
=2(-cos2x+sinxcosx)+1
=1-2cos2x+2sinxcosx
=sin2x-cos2x
=sin,
所以f(x)的最小正周期是T==π.
(2)令2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z).
解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).
又x∈[0,2π],所以≤x≤,≤x≤.
即当x∈[0,2π]时,f(x)的单调减区间是,.
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