事件的独立性

§ 1.5 事件的独立性

一、两个事件的独立性

在条件概率中，一般情况下，P(B|A)P(B)P(A|B)P(A)≠≠，

但在特殊的条件下，就不同了，请看下例：

例1.5.1 袋中有5球，3新2旧，从中任取一球，有返回的取两次， 令A=第一次取新球，B=第二次取新球。

因为是有返回抽取，所以 3P(B|A)P(B)5

=

= 显然也有 3P(A|B)P(A)5== 两个事件独立的直观定义：

设A 、B 两个事件，一个事件发生与否对另一个事件的发生及其发生的概率不产生影响，则称A 、B 这两个事件是相互独立的。

这是中文描述性定义。下面推出数学定义：

事件A ，B 互不影响P(B|A)P(B)⇔=，P(A |B)P(A)=

P(A)P(B |A)P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A |B)⎧⇔==⎨⎩或

11A B P(AB)P(A)P(B)

A B =定义.5.：设有事件、，若则称事件、相互独立。

由定义可证明，必然事件、不可能事件与任何事件都是独立的。

在现实世界中，随机现象独立的情况是大量存在的，如返回抽样、重复试验、彼此无关的工作…..。

若要证明两个事件独立，必须依据定义证明。

而在实际问题中，判断两个事件独立，大多根据实际情况和经验，看是否相互影响，要注意的是我们不能只停留在感觉上。

定理1.5.1 A B A B A B A B 若，相互独立，则与；与；与都相互独立。 证明：A B 以与为例，

P (A B )P (A B

)=-P (A A B )=-P (A )P (A B =- P (A )

P (A )P (=- P (A )[1P (B )]P (A

)P (B )=-= 由定义可知 A B 与相互独立。

二、多个事件的独立性

152 A B C P(AB)P(A)P(B)

P(AC)P(A)P(C)

P(BC)P(C)P(B)

P(ABC)P(A)P(B)P(C)

A B C ====定义..设有事件，，，若满足

则称，，相互独立。

这个定义看起来繁琐，事实上是不可减少条件的，

前三式和第四式是不等价的。请看下面的例子：

例1.5.4构造一个样本空间 {}S 000011101110=，，，，

从中任取一数， 设 A=“所取数个位数为1”，B=“所取数十位数为1”， C=“所取数百位数为1”， 1P (A )P (B )P (C )2=

==显然， 1P (A B )P (A C )P (B C ) P (A B C )04==== 可验证：前三式是满足的，第四式是不成立的。

n 由此不难推断，个事件的独立性有如下定义：

12n i j 1j i j k 1j k 12n 12n 12n A A .......A P(A A )P(A )P(A )1i j n

P(A A A )P(A )P(A )P(A )

1i j

P(A A .......A )P(A )P(A )........P(A )

A A .......A =≤<≤=≤<≤=定义1.5.3 若事件组，满足下列各式：

则称事件组，相互独立。

2

3n n n n n C C .......C 2n 1+++=--共需验证个式子。

A B 4由定理1， ，独立，可得到对相互独立的事件；

不难推断：38 个事件独立可以得到个独立事件组；

n

n 2 个事件独立，我们也得到个独立事件组。

三、独立试验概型

定义1.5.4：若实验E 只有两种结果，则称E 为贝努里实验。 将实验E 重复进行n 次，则称为n 重贝努里实验。

注：所谓两种结果：

1、有客观的：实验E 就只有两个样本点。

和2、主观的，任何实验都可以分为A A