〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(文)高三教学质量检测试题及答案解析一

2018年普通高中教学质量检测文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第II 卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设全集{}10U x x N x *=∈<且 ，已知集合{}2,3,6,8A =，{}50B x x =-≥，则集合=U AB ⋂（）ð A.{}15,7,9， B.{}5,7,9 C.{}7,9 D.{}5,6,7，8,92．在复平面内，复数122iz i-=-对应的点位于 A.第一象限B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限3．某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下2×2的列联表：参照附表，以下结论正确是A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．只有不超过1%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”4．已知命题:,sin cos 2p x R x x ∃∈+=，2:,10q x R x x ∀∈++>，则下列命题中正确的是 A. p q ∧ B.p q ⌝∧C.p q ∨⌝（）D.p q ⌝∧⌝（）（）5. 设函数()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦A.1-B.1C.2-D.26．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点且垂直于实轴的直线交双曲线的渐近线于,A B 两点，已知AB 等于虚轴长的两倍，则该双曲线的离心率为A.52B.3C.5D.2 7. 执行如右图所示的程序框图，输出S 的结果是A.6B.24C.120D.8408.右图是一个四面体的三视图，这三个视图均为腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为 A.32 B.34 C.38D.2 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 11由公式K 2= n(ad ―bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，算得K 2=110×(40×30―20×20)260×50×60×50≈7.8.附表（临界值表）：P(K 2≥k ) 0.050 0.0100.001 k 3.841 6.635 10.828 开始S =1，i =1i =i +1S =S ·ii >4? 输出S结束是 否9.设,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值10．关于函数()2sin 223cos2f x x x =+，下面结论正确的是 A.在区间71212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减 B. 在区间71212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增 C. 在区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递减D. 在区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递增 11.已知抛物线x y C 16:2=的焦点为F ，直线1:-=x l ，点A l ∈，线段AF 与抛物线C 的交点为B ,若FB FA 5=,则=FA A.26 B.34 C.35D.4012．设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是A. 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭ B. ln 2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C. ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题:本大题共4小题，每小题5分13. 已知向量,a b满足()()2,8,8,16a b a b +=--=- ，则a 与b 夹角的余弦值为.14. 三棱锥P ABC -中，2,2,AB BC AC PC ===⊥平面ABC ，2PC =，则该三棱锥的外接球表面积为.15.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，在()0,+∞是增函数，且()20f =，则满足()10f x -<的x 的范围是.16. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若sin sin sin 23sin sin 3a Ab Bc C C a B +-=，23a =且[1,3]b ∈，则c 的最小值为_____.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+.A BFPEDCCPBAO(I)求证：数列{}1n a -是等比数列； (II)记()()2211log 1log 1n n n b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和为n T .18．（本小题满分12分）广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征．2016年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20,30），[30,40），[40,50），[50,60），[60,70），[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．（I ）计算这40名广场舞者中年龄分布在[40,70）的人数；（II ）估计这40名广场舞者年龄的众数和中位数； （III ）若从年龄在[20,40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者中恰有一人年龄在[30,40）的概率．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，60=∠DAB ，ABCD PD 平面⊥，2PD AD ==，点F E ,分别为PD AB 和的中点.（I ）求证：直线AF ∥平面PEC ； （II ）求点F 到平面PEC 的距离. 20．（本小题满分12分）设F 1，F 2分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(I)求E 的离心率；(II)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程．21．（本小题满分12分）设函数()ln af x x x x=+，()323g x x x =--． （I ）讨论函数()()f x h x x=的单调性；（II ）如果对任意的s ，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22, 23, 24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请在答题卡D 涂上题号。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点，OD BC ⊥，垂足为D ． （I ）求证：2AC CP AP BD ⋅=⋅； （II ）若,,AP AB BC 依次成公差为1的等差数列，且21PC =，求AC 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的 长度单位建立极坐标系.曲线1C 的参数方程为()cos sin x a y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，曲线2C 的极坐标方程为()=04πθρ≥且12C C 与交点的横坐标为255. （I ）求曲线1C 的普通方程；（II ）设,A B 为曲线1C 与y 轴的两个交点，M 为曲线1C 上不同于,A B 的任意一点，若直线AM MB 与分别与x 轴交于,P Q 两点，求证：OP OQ ⋅为定值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x x a =-．（I ）当2a =时，解不等式()71f x x ≥--； （II ）若()1f x ≤的解集为[]0,2，11(0,0)2a m n m n+=>>，求证：4223m n +≥+．数学（文科）答案一．选择题（每题5分共计60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDCBADCABACD二．填空题（每题5分，共计20分） 13.6365-14.8π 15.()(),11,3-∞-⋃ 16.3 三、解答题（本题包括六道小题共计70分）17. 解：（1） 当1n =时，11121a S a ==+，解得11a =- 1分 当1n >时，由题意，()1121n n S a n --=+-所以，()111(2)21221n n n n n n S S a n a n a a ----=+---=-+⎡⎤⎣⎦，即121n n a a -=- 3分所以 ()1121n n a a --=- 即1121n n a a --=-所以，数列{}1n a -是首项为2-，公比为2等比数列 6分 （2）由上，11222n n n a --=-⋅=- 所以12n n a =- 8分()()()111221221111log 1log 1log 2log 21n n n n n n n b a a n n ⋅+++====---⋅+ 10分 所以，11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++ 12分 18．解： （1）由表中数据知，这40名广场舞者中年龄分布在[40,70）的人数为()0.02+0.03+0.0251040=30⨯⨯ 4分(2)由直方图可知这组数据的众数为55 6分因为0.005+0.01+0.02+0.01510=0.5⨯（） 故中位数为55 8分 （3）由直方图可知，年龄在[20,30）有2人，分别记为12,a a ，在[30,40）有4人，分别记为1234,,,b b b b ，现从这6人中任选两人，共有如下15种选法：()()()()()1211121314,,,,,,,,,a a ab a b a b a b ()21,,a b ()()()()()()()()()222324121314232434,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a b a b b b b b b b b b b b b b其中恰有1人在[30,40）有8种，故其概率为81512分19．解：（1）设PC 的中点为Q ，连接,EQ FQ , 由题意，FQ ∥DC 且12FQ CD =,AE ∥CD 且12AE CD = 故AE ∥FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形所以，AF ∥EQ ,且EQ PEC AF AEC ⊂⊄平面，平面所以，AF ∥平面PEC 6分（2）由上，点F 到平面PEC 的距离等于点A 到平面PEC 的距离，设为d . 由条件易求7,7,22,5EC PC PC EQ ====，故1225102PEC S ∆=⨯⨯= 131322AEC S ∆=⨯⨯=，所以由A PEC P AEC V V --=得113102332d ⋅=⋅⋅解得3010d =12分20．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，因为2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|AB |＝43a . l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2 c 2－b 2a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[ x 1＋x 2 2－4x 1x 2].故43a ＝4ab 2a 2＋b 2，得a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.．．．．．．．．．．6分 (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23cy 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x218＋y29＝1.．．．．．．．．．．12分21．解：（1）()()2233212ln ,a a x ah x x h x x x x x-'=+∴=-+= 当0a ≤时，()0h x '>，函数()h x 在()0,+∞上单调递增；QA BFPE DC当0a >时，令()02h x x a '>>得，此时，函数()h x 在()0,2a 单调递减，在()2,a +∞单调递增. ．．．．．．．．．．5分（2）由()323g x x x =--得()232g x x x '=-，由()0g x '>得203x x <>或 因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()12,223g x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2在，单调递减，在单调递增3又因为()125,2128g g ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以()max 1g x = 由题意，()2ln 1ln af x x x a x x x x=+≥≥-即恒成立 设()2ln h x x x x =-， 因为()12ln h x x x x '=--()10h '= 令()12ln m x x x x =--，则()32ln m x x '=--显然1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0m x '<， 所以在()12ln m x x x x =--在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减所以，当[]()1,1()0,1,202x h x x h x ⎡⎤''∈>∈<⎢⎥⎣⎦时时所以，函数()21ln ,12h x x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦在区间单调递增，在区间[]1,2上单调递减所以()()max 11h x h == 故[)11,a a ≥∈+∞即. ．．．．．．．．．．12分22. 解：（Ⅰ）证明：∵PC 为圆O 的切线，∴PCA CBP ∠=∠， 又CPA CPB ∠=∠，故CAP BCP ∆∆ ，∴AC APBC PC=，即AP BC AC CP =． 又2BC BD =，∴2AC CP AP BD = ．．．．．．．．．5分（2）解：设(0)AP x x =>，则1,2AB x BC x =+=+，由切割定理可得2PA PB PC = ，∴(21)21x x +=，∵0x >，∴3x =，∴5BC =，由（1）知，AP BC AC CP =，∴3521AC ⨯=，∴5217AC =．．．．．．10分23.解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为2221x y a+=，曲线2C 的直角坐标方程为(0)y x x =≥可知它们的交点为2525(,)55，代入曲线1C 的普通方程可求得24a = 所以曲线的普通方程为 2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知曲线1C 为椭圆，不妨设A 为椭圆1C 的上顶点，则A 的坐标为(0,1) 设(2cos ,sin ),(,0),(,0)P Q M P x Q x ϕϕ因为直线AM 与MB 分别与x 轴交于,P Q 两点，所以,AM AP BM BQ k k k k ==， 由斜率计算公式得到2cos 2cos ,1sin 1sin P Q x x ϕϕϕϕ==-+所以4P Q OP OQ x x ⋅=⋅=，可得OP OQ ⋅为定值4 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24.解：（1）当2a =时，不等式为217x x -+-≥，∴1217x x x <⎧⎨-+-≥⎩或12217x x x ≤≤⎧⎨-+-≥⎩或2217x x x >⎧⎨-+-≥⎩，∴2x ≤-或5x ≥．∴不等式的解集为(][),25,-∞-+∞ ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）证明：()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]0,2，∴1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a =，所以111(0,0)2m n m n +=>> ∴1144(4)()322322n mm n m n m n m n+=++=++≥+． （当且仅当22221,4m n +=+=时取等号）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。