九年级数学圆的有关概念及性质

考点三
圆心角、弧、弦之间的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧 相等，所对的 弦 相等．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那
么它们所对的 圆心角 相等，所对的 弦 相等；在同
圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 圆心
角 相等，所对的 弧 相等．
考点四
圆心角与圆周角
1．定义：顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆
2．借助在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角或圆心角相等进行角的等量代换；也可在同圆或等 圆中，由相等的圆周角所对的弧(或弦)相等，进行弧(或 弦)的等量代换．
考点一 垂径定理及其推论 例 1 (2016·黄石)如图所示，⊙O 的半径为 13， 弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，则 ON＝( )
考点五 圆内接四边形性质定理 1．性质定理 1：圆内接四边形的对角 互补 ． 2．性质定理 2：圆内接四边形的外角等于它的 内 对角 ．
如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，则∠A＋∠BCD＝ ∠ B＋ ∠ D＝ 180°，∠ DCE＝∠ A．
考点六 圆的性质的应用 1．垂径定理的应用 用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心 到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中点， 再解由半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角 形来达到目的．
考点三
圆周角定理及其推论
例 3 (2016·乐山)如图，C，D 是以线段 AB 为直
径的⊙O 上两点，若 CA＝
CD ， 且 ∠ACD ＝ 40°， 则
∠CAB＝( )
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
【点拨】因为 CA＝CD，∠ACD＝40°，所以∠ADC＝ ︵
∠DAC＝70°.又因为∠ADC 和∠ABC 都是AC所对 的圆周角，所以∠ADC＝∠ABC＝70°.因为 AB 是⊙O 的 直径，所以∠ACB＝90°，所以∠CAB＝ 180°－90°－ ∠ABC＝180°－90°－70°＝20°.故选 B．
【答案】 25
方法总结： 有关在半圆、优弧、劣弧中求相关数量的题目常 通过连接半径、作出弦心距，从而利用垂径定理构造 直角三角形解答．
1．如图，在⊙O 中，半径
OD⊥弦 AB 于点 C，则下列结
论：①AC＝BC；②AD＝DB；
③∠DAB＝1∠AOD；④∠OAB＝ 2
∠DAB．其中正确的结论是( A )
∠A＝50°，∠BOC＝( )
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
【点拨】在⊙O 中，OA＝OB，∴∠B＝∠A＝50°，
︵ ∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝80°.∵点 C 是AB的中
︵︵ 点 ，∴AC ＝ CB ，∴∠
COB＝
∠ AOCБайду номын сангаас1
∠ AOB＝
40°.
2
故选 A．
【答案】 A
方法总结： 在圆中证明两条弧、两条弦、两个圆心角中的一 组相等时，可以考虑通过说明其他两组量中的一组相 等来证明．
考点二 垂径定理及其推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径 平分 弦，并且 平分 弦所对的 两条弧．
如图，CD 是⊙O 的直径，AB 为弦，CD⊥AB， ︵ ︵︵︵
垂足为 E，则 AE＝EB，AD＝DB，AC＝BC.
2．推论：平分弦(不是直径)的直径 垂直于 弦， 并且平分弦所对的两条弧．
温馨提示： 不重合的两条直径一定互相平分，但不一定互相 垂直，只有被平分的弦不是直径时才互相垂直．
上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2．圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的 一半 ．
︵ 如图，圆周角∠C 和圆心角∠AOB 都对着AB，则 ∠ C＝1∠ AOB．
2
3．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ， 90°的圆周角所对的弦是 直径 ．
温馨提示： 1．圆周角定理的意义在于把圆周角和圆心角这两 类不同的角联系在一起． 2．同一条弧所对的圆周角相等；同一条弦所对的 圆周角相等或互补． 3．当已知条件中有直径时，常常作直径所对的圆 周角，这是圆中常添加的辅助线．
【答案】 B
考点四
垂径定理的应用
例 4 (2016·绍兴)如图 1，小敏利用课余时间制作
了一个脸盆架，图 2 是它的截面图，垂直放置的脸盆
与架子的交点为 A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点 C
到 AB 的距离为 10 cm，则该脸盆的半径为 cm.
【点拨】如图，设脸盆的圆心 为点 O，连接 OA，OC 交 AB 于点 D，则 OC⊥AB，所以 AD＝BD＝ 1AB＝20 cm，CD＝10cm，设圆 O的 2 半径为 r cm，则 OD＝(r－10) cm. 在 Rt△AOD 中，由勾股定理可得，OA2＝AD2＋OD2， 即 r2＝202＋(r－10)2，解得 r＝25.
2．圆上任意两点间的部分叫做弧；小于半圆的弧 叫 劣弧 ；大于半圆的弧叫 优弧 ．
3．连接圆上任意两点的线段叫做 弦 ；经过圆心 的弦叫做 直径 ；直径是圆内最长的弦；直径等于半 径的 2 倍．
4．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴； (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重 合，这就是圆的旋转不变性．
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．仅有①②
2．(2016·海南)如图，AB 是⊙O 的直径，直线 PA 与⊙O 相切于点 A，PO 交⊙O 于点 C，连接 BC，若 ∠P＝40°，则∠ABC 的度数为( B )
A．5 B．7 C．9 D．11
【点拨】因为 ON⊥AB，所以 AN＝BN＝1AB＝ 2
12.又在 Rt△ OAN 中， OA＝ 13，由勾股定理可得
ON＝ 132－122 ＝5.故选 A． 【答案】 A
考点二 圆心角、弧、弦的关系
例 2 (2016·兰州)如图，
︵ 在⊙O中，点 C 是AB的中点，
第八章 圆 第29讲 圆的有关概念及性质
考点一 圆的有关概念及性质 1．圆的两种定义 (1)定义 1：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的 一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫 做圆．固定的端点 O 叫做 圆心 ，线段 OA 叫做 半径 ． (2)定义 2：圆是到定点的距离等于定长的点的 集 合．