江苏省盐城市2016-2017学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系空间角的计算2学案2 精品
高一数学必修二知识点：直线和平面的位置关系
高一数学必修二知识点：直线和平面的位置关系【】数学的学习不像文科要死记硬背，学好高中数学最主要的是要掌握好课本上的根本公式，纯熟运用，才能解考试过程中的各种题型。
直线和平面的位置关系：
直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内有无数个公共点
②直线和平面相交有且只有一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)
规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理：假设平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
esp.直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义：假设一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a
叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的断定定理：假设一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：假设两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行没有公共点
直线和平面平行的定义：假设一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的断定定理：假设平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：假设一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
2016-2017学年高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2-3 2-3-
【提示】 需要 PA⊥α，A 为垂足，OA 为斜线 PO 的 射影，这样∠POA 就是斜线 PO 与平面 α 所成的角．
图 2-3-4
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第二十三页，编辑于星期五：十六点 十四分。
探究 2 根据线面角的定义，我们可以如何求线面角的大小？ 【提示】 作(或找)出斜线在平面内的射影，将空间角转化为平面角，放在 三角形内求解． 探究 3 求线面角的关键是什么？ 【提示】 确定斜线在平面内的射影．
(1)求证：CD⊥平面 PAB； (2)求直线 PC 与平面 PAB 所成的角．
图 2-3-5
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第二十五页，编辑于星期五：十六点 十四分。
【精彩点拨】 (1)利用线面垂直的判定定理在平面 PAB 内找两条相交的直 线与 CD 垂直．
(2)确定出 PC 与平面 PAB 所成的角，放到三角形中，求得即可．
它们唯一的公共点 P 叫做垂足
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符号语言 l⊥α
第三页，编辑于星期五：十六点 十四分。
直线 l⊥平面 α，直线 m⊂α，则 l 与 m 不可能( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直
【解析】 由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l 与 m 可能相交或异面， 但不可能平行．
【答案】 A
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第二十六页，编辑于星期五：十六点 十四分。
【自主解答】 法一 (1)证明：连接 CO.由 3AD＝DB 知，点 D 为 AO 的中 点．
又∵AB 为圆 O 的直径，
新人教A版必修2高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系单元总结
学习本章应着眼于以下几个方面：(1)从图形入手，学会识 图、画图，并注意图形语言、符号语言及文字语言之间的转 化；(2)整体把握空间点、线、面之间的位置关系，在具体的学 习中，对定理的学习要做到细致入微，从条件到结论，必须做 到准确的表达，论证要严谨，有理有据，计算要有依据，尽量 的追求简便；
(3)把握处理立体几何问题的思想方法，即把空间问题转化 为平面问题去解决，化繁为简，这是解决立体几何问题的基本 方法，也是最重要的思想方法；(4)培养处理立体几何问题必备 的三个方面能力：一是空间想象能力，二是逻辑思维能力，三 是推理论证能力．
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。21.4 .421.4 .4Sun day, April 04, 2021 10、低头要有勇气，抬头要有低气。 08:48 :1308 :48:1 308:4 84/4/ 2021 8:48:13 AM 11、人总是珍惜为得到。21.4.408: 48:13 08:48 Apr-2 14-Apr-21 12、人乱于心，不宽余请。08:48:1 308:4 8:130 8:48Sunday , April 04, 2021 13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。21 .4.42 1.4.40 8:48: 1308: 48:13 April 4, 2021 14、抱最大的希望，作最大的努力。 2021 年4月4 日星期 日上午 8时48 分13秒 08:48 :1321. 4.4 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。20 21年4 月上午 8时48 分21.4 .408: 48Apri l 4, 2021 16、业余生活要有意义，不要越轨。 2021 年4月4 日星期 日8时4 8分13 秒08:4 8:134 April 2021 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午8时4 8分13 秒上午 8时48 分08: 48:13 21.4.4
2016-2017学年高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2-2 2-2-
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
() (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．
(3)平行于同一平面的若 α∥β，且直线 a∥α，则直线 a∥β.( )
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第十六页，编辑于星期五：十六点 十四分。
【自主解答】 (1)连接 B1D1， ∵E、F 分别是边 B1C1、C1D1 的中点， ∴EF∥B1D1. 而 BD∥B1D1，∴BD∥EF. ∴E、F、B、D 四点共面．
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第十七页，编辑于星期五：十六点 十四分。
(2)易知 MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD. 又 MN⊄平面 EFDB，BD⊂平面 EFDB. ∴MN∥平面 EFDB. 连接 MF.∵M、F 分别是 A1B1、C1D1 的中点， ∴MF∥A1D1，MF＝A1D1. ∴MF∥AD，MF＝AD. ∴四边形 ADFM 是平行四边形，∴AM∥DF. 又 AM⊄平面 BDFE，DF⊂平面 BDFE， ∴AM∥平面 BDFE. 又∵AM∩MN＝M， ∴平面 MAN∥平面 EFDB.
第十九页，编辑于星期五：十六点 十四分。
[再练一题] 2．如图 2-2-4 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形．点 M，N，Q 分别在 PA，BD，PD 上，且 PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平 面 MNQ∥平面 PBC.
【导学号：09960060】
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图 2-2-4
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第十八页，编辑于星期五：十六点 十四分。
江苏省盐城市射阳县第二中学高中数学必修2学案：1.2直
主备人： 袁彩伟 编号： 82016-2017版 高中数学必修二 直线与平面的位置关系（1） 第8课时预 习 案课 题: 直线与平面的位置关系（1） 教学目标:1.直线与平面的位置关系及其符号表示. 2.直线与平面平行的判定定理教学重点: 直线与平面位置关系, 判定定理及其应用. 教学难点：定理的应用和证明的规范书写预习任务：看书P32-P33、弄懂下列概念，完成第6、7题。
1、空间两条直线的位置关系为 ；2、通过你的观察你认为直线和平面的位置关系为 ；3、直线和平面位置关系4、 统称为直线在平面外，记作： ；5、直线和平面平行的判定定理： ； ●图形表示： ●符号表示：6、判断下列说法是否正确，并说明理由（1）.如果一条直线不某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行； ； （2）.过直线外一点有无数个平面与这条直线平行； ； （3）过平面外一点有无数条直线与这个平面平行。
； 7、如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面和底面所在的平面中 (1)与直线AB 平行的平面是__________________________________ (2)与直线AA 1平行的平面是_________________________________CC 1 BC D AB DCA探 究 案探究一：●.判断下列说法是否正确：（1）若直线a ∥平面 α,直线b ⊂平面α,则a ∥b 。
； (2) 若直线a ∥平面α,直线b ∥平面α，则a ∥b 。
； （3）若a ⊄平面α,则a ∥平面α或a 与平面α相交。
； （4）a a αα⋂⊄若平面＝A ，则平面。
； （5）,,,a b a b αα⊂⊄若则无公共点。
；探究二：●.如图, 已知E 、F 分别是三棱锥A-BCD 的侧棱AB 、AD 中点, 求证: EF//平面BCD.探究三：●如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 和CC 1的中点，求证：MN //平面ABCD.AEFB CDBCDA 1B 1MND 1C 1A主备人： 袁彩伟 编号： 82016-2017版 高中数学必修二 直线与平面的位置关系（1）作业 第8课时 1、空间中,直线与平面的位置关系有_____________________________________ 2、若直线与平面没有公共点,则它们的位置关系是_________________________3、直线与平面平行的判定: 如果____________的一条直线和这个平面内的一条直线______,那么这条直线和这个平面平行.用符号语言来表示____ ___4、给出下列四个命题①若一条直线与一个平面内的一条直线平行, 则这条直线与这个平面平行; ②若一条直线与一个平面内的两条直线平行, 则这条直线与这个平面平行;③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行; ④若两条平行直线中的一条与一个平面平行, 则另一条也与这个平面平行. 其中正确命题的个数是_______________________5、梯形ABCD 中, AB//CD, AB ⊂α, CD ⊄α, 则CD 与平面α内的直线的位置关系只能是_____6、如图, E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点, 求证: (1)四点E 、F 、G 、H 共面; (2)BD//平面EFGH , AC//平面EFGH .7、如图, 在四棱锥P-ABCD 中, M 、N 、E 分别是AB 、PC 、PD 的中点, 若ABCD 是平行四边形, 求证: MN//平面PAD .ACF BEHDG PNCBAMD E8、正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F、G分别在A1A、C1C和B1B上, 且AE=C1F=BG ，.求证: D1EBF为平行四边形.。
高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》整合课件人教A版
本章整合
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
知识建构
综合应用
真题放送
应用
如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,点G,H分别 在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2. 求证:(1)E,F,G,H四点共面; (2)EG与HF的交点在直线AC上.
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专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
知识建构
综合应用
真题放送
证明: 连接CD1,AD1, 因为P,Q分别是CC1,C1D1的中点, 所以PQ∥CD1,且CD1⊄平面BPQ,PQ⊂平面BPQ, 所以CD1∥平面BPQ. 又D1Q=AB=1,D1Q∥AB, 所以四边形ABQD1是平行四边形. 所以AD1∥BQ,且AD1⊄平面BPQ,BQ⊂平面BPQ, 所以AD1∥平面BPQ. 又AD1∩CD1=D1,所以平面ACD1∥平面BPQ. 因为AC⊂平面ACD1,所以AC∥平面BPQ.
知识建构
综合应用
真题放送
证明:(1)因为BG∶GC=DH∶HC,所以GH∥BD. 因为E,F分别为AB,AD的中点, 所以EF∥BD,所以EF∥GH. 故E,F,G,H四点共面. (2)因为G,H不是BC,CD的中点, 所以EF≠GH,且EF∥GH,故EFHG为梯形. 所以EG与FH必相交,设交点为M. 因为EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD, 所以M∈平面ABC,且M∈平面ACD. 因为平面ABC∩平面ACD=AC, 所以M∈AC,即EG与HF的交点在直线AC上.
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专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
知识建构
综合应用
真题放送
应用1已知a∥平面α,b∥平面β,α∩β=c,则直线a与直线b的位置关 系是 . 答案:平行、相交、异面
2016-2017学年高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2-2 2-2-
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第五页，编辑于星期五：十六点 十四分。
教材整理 2 平面与平面平行的性质定理
阅读教材 P60“思考”以下至 P61“练习”以上的内容，完成下列问题. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的
自然语言 交线 平行
符号语言
α∥β ，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
【解】 (1)如图所示， 取 D1 为线段 A1C1 的中点，此时DA11DC11＝1.连接 A1B，交 AB1 于点 O，连接 OD1.由棱柱的性质知，四边形 A1ABB1 为平行四 边形，所以点 O 为 A1B 的中点．在△A1BC1 中，点 O，D1 分 别为 A1B，A1C1 的中点，所以 OD1∥BC1.又因为 OD1⊂平面 AB1D1，BC1⊄平面 AB1D1，所以 BC1∥平面 AB1D1.所以当DA11DC11＝ 1 时，BC1∥平面 AB1D1.
图 2-2-19
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第二十四页，编辑于星期五：十六点 十四分。
【精彩点拨】 用判定定理证明较困难，可通过证明过 MN 的平面与平面 AA1B1B 平行，得到 MN∥平面 AA1B1B.
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第二十五页，编辑于星期五：十六点 十四分。
【自主解答】 如图，作 MP∥BB1 交 BC 于点 P，连接 NP， ∵MP∥BB1， ∴MCMB1＝CPBP. ∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN， ∴MCMB1＝DNBN， ∴CPBP＝DNNB， ∴NP∥CD∥AB.
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第十六页，编辑于星期五：十六点 十四分。
1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使 这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一 个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．
2016-2017学年高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2-1 2-1-
[再练一题] 2．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.
【导学号：09960043】 【解】 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线 a，b，c，l 共面．
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第二十二页，编辑于星期五：十六点 十四分。
证明：法一 ∵a∥b，∴a，b 确定一个平面 α， ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故 l⊂α. 又∵a∥c，∴a，c 确定一个平面 β. 同理可证 l⊂β，∴α∩β＝a 且 α∩β＝l. ∵过两条相交直线 a、l 有且只有一个平面， 故 α 与 β 重合，即直线 a，b，c，l 共面． 法二 由法一得 a、b、l 共面 α，也就是说 b 在 a、l 确定的平面 α 内． 同理可证 c 在 a、l 确定的平面 α 内． ∵过 a 和 l 只能确定一个平面，∴a，b，c，l 共面．
表示．
【答案】 B
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第三十四页，编辑于星期五：十六点 十四分。
2．下列说法中正确的个数为( )
①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边
形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定
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第三十二页，编辑于星期五：十六点 十四分。
[构建·体系]
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第三十三页，编辑于星期五：十六点 十四分。
1．用符号表示“点 A 在直线 l 上，l 在平面 α 外”，正确的是( )
A．A∈l，l∉α
B．A∈l，l⊄α
C．A⊂l，l⊄α
D．A⊂l，l∉α
【解析】 点与直线，直线与平面间的关系分别用“∈或∉”和“⊂或⊄”
空间点线面的位置关系及四个公理(4)
高考专题：空间点、直线、平面的位置关系及四个公理一．空间点、直线、平面的位置关系 1．空间点、直线、平面之间的位置关系2．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．即，异面直线的平行线的夹角就是两异面直线所成的角。
(2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．异面直线判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，与这个平面内不经过该点的直线是异面直线．即，若l B l B A ∉⊂∈∉,,,ααα 则AB 与l 异面。
4.异面直线所成的角的求解方法：方法一，定义法： 异面直线所成的角，根据定义，以“运动”观点，用“平移转化”的方法，使之成为两相交直线所成的角，当异面直线垂直时，应用线面垂直定义或三垂线定理及逆定理判定所成的角为。
90，也是不可忽视的方法。
其求解步骤为：做平移找出或做出有关的角-----证明它符合定义即认定----通过解三角形求角。
简言之，“一做，二证，三算”注意：第二步认定的表述为：Λ∠或其补角就是异面直线----与----所成的角。
方法二，三弦公式法：如图，已知PA 与PB 分别是平面α的垂线和斜线，在平面α内过斜足B 任意引一直线BC ，设θθθ=∠=∠=∠PBC ABC PBA ,,21，有21cos cos cos θθθ⋅=。
【真题再现】1.（2014全国二）:正方体1111D C B A -ABCD 中，若E 、F 分别为11B A 和1BB 的中点，则AE 与CF 所成角的余弦值是 .2.(2017理科全国三)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是 ________ .(填写所有正确结论的编号)推论：最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角（即，线面角）是这条斜线和平面内所有直线所成的一切角中的最小角。
【人教A版】高中数学必修二第二章：点、直线、平面之间的位置关系 复习
a 1e1 2e2
四、数量积的主要应用
2
1、计算向量的模：a a a , a a a
坐标表示： a x2 y2
2、两点间距离公式：
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
3、计算两个向量的夹角：
cos a b
x1x2 y1y2
ab
x12 y12 x22 y22
DAC为等腰三角形 DO AC
平面DAC 平面ABC, A
o
C
600
平面DAC 平面ABC AC,
DO 平面ABC
B
例题2.（2015年全国Ⅰ卷） 如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面ABCD， DF⊥平面 ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
直线和平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直的概念
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都 垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，
2．直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直．
简记为:线线垂直，则线面垂直。
3．直线与平面垂直的另一种判定方法
两条平行直线中的一条垂直一个平面,则另 一条直线也垂直这个平面.
直线和平面平行的判定与性质
1.判定定理：平面外的一条直线和平面内的一 条直线平行，则该直线和这个平面平行。 简记为:线线平行，则线面平行。
2.性质定理:如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线就和交线平行。
简记为:线面平行，则线线平行。
平面和平面平行的判定与性质
3、使三线共点，确定坐标原点（以 垂足或者面内线线垂直的交点为原 点）
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线的位置关系教学设计 新
江苏省苏州市高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线的位置关系教学设计新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省苏州市高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线的位置关系教学设计新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省苏州市高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线的位置关系教学设计新人教A版必修2的全部内容。
“空间中直线与直线的位置关系”教学目标［知识与技能］通过学习能知道空间直线的三种位置关系;初步理解异面直线的概念，会判断两直线的异面关系,初步理解异面直线的衬托画法，初步理解异面直线所成角的概念，运用平移的方法求异面直线所成的角；初步理解与运用公理4解决问题,初步了解等角定理．［过程与方法］通过学习经历异面直线的概念的形成过程，借助平面的衬托,体会异面直线的直观画法，通过对等角定理的温故知新的探究，解决了异面直线的定义，并能求简单的异面直线所成的角;借助长方体的模型，发现与感知平行线的传递性质．[情感、态度与价值观］经历师生的教与学的互动活动，让学生初步体会化归思想与空间想象能力的养成意义,通过学习让学生获得对空间直线的位置关系有一个清晰的认识，把问题交给学生解决，让学生自主发现问题与解决问题,养成独立思考的习惯．重点、难点与关键点重点：异面直线的概念、异面直线所成的角与简单角的求法；公理4的运用．难点：异面直线概念的理解与求法．关键点：异面直线的衬托画法，找异面直线的角．教学准备：空间四边形模型、长方体模型，直线、平面教具，教学课件．教学过程设计：思考问题:空间直线与直线的位置关系有几种？设计意图：由教科书第44页“思考"中的问题，引起学生注意，诱发学生探知的欲望,养成思考问题的习惯．师生活动：（虚拟）教师放课件图片，引导学生观察：日光灯所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系，让学生发现，直线与直线有既不平行又不相交的位置关系．我们今天上课的内容是:板书：空间中直线与直线的位置关系观察：如图2．1—13，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,线段A 1B 1所在直线与线段BC 所在直线的位置关系如何? （虚拟）学生：既不相交，又不平行．教师：这种关系我们定义为异面直线．板书:1．异面直线的定义:把不同在任何．．．．．一个平面内的两直线叫做异面直线．（关键点:不同在任何一个平面内）． 概念辨析：下列说法是否正确？请同学思考后回答：如图，AD 1⊂平面1111A B C D ,BC ⊂平面ABCD ，问AD 1,BC 是否是异面关系。
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！一、空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面的基本性质的应用① 公理1：公理1② 公理2：公理2③ 公理3：2、平行公理主要用来证明空间中的线线平行 .3、公理 2 三推论：① 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面；② 两条平行直线唯一确定一个平面；③ 两条相交直线唯一确定一个平面 .4、点共线、线共点、点线共面问题① 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 .② 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上 .③ 证明点线共面问题的常用方法：方法一：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；方法二：先证明有关的点、线确定平面α ，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β 重合 .【例题1】如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90°，BC ∥且= ½ AD，BE ∥且= ½ FA，G , H 分别为 FA , FD 的中点 .(1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2) C , D , F , E 四点是否共面？请说明理由 .例题1图【解析】(1) 证明：∵ G , H 分别为 FA , FD 的中点，∴ GH 是△FAD 的中位线，∴ GH ∥且= ½ AD ，又∵ BC ∥且= ½ AD，∴ GH ∥且 = BC，∴ 四边形 BCHG 是平行四边形 .(2) 证明：方法一：证明点 D 在 EF 和 CH 确定的平面内 .∵ BE ∥且= ½ FA，点 G 为 FA 的中点，∴ BE ∥且= FG，则四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥BG .由 (1) 可知BG∥CH，∴ EF∥CH，即 EF 与 CH 共面，又∵ D∈FH，∴ C , D , F , E 四点共面 .方法二：分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，在证点 M 和 M’重合，从而 FE 和 DC 相交 .如上图所示，分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，∵ BE ∥且= ½ FA，∴ 点 B 为 MA 的中点，∵ BC ∥且= ½ AD，∴ 点 B 为 M''A 的中点，∴ M 与 M'' 重合，即 FE 与 DC 相交于点 M (M'') ,∴ C , D , F , E 四点共面 .二、异面直线的判定（方法）1、定义法（不易操作）；2、反证法先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交；再由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面 .假设法在异面直线的判定中会经常用到 .3、常用结论过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点(A) 的直线是异面直线 .【例题2】如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点 .(1) AM 和 CN 是否是异面直线？请说明理由；(2) D1B 和 CC1 是否是异面直线？请说明理由 .例题2图【解析】（注：先给结论，再给理由，注意答题规范！）(1) AM 和 CN 不是异面直线 .理由：如图上图所示，分别连接 MN , A1C1 和 AC，∵ 点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点，∴ MN∥A1C1 ,又∵ AA1∥且=CC1 ,∴ 四边形 AA1C1C 是平行四边形，∴ A1C1∥AC，∴ MN∥AC，∴ 点 A , M , N , C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线 .(2) D1B 和 CC1 是异面直线 .证明：∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方体，∴ B , C , C1 , D1 四点不共面 .假设 D1B 和 CC1 不是异面直线，则存在平面α，使 D1Bㄷ平面α，CC1ㄷ平面α，∴ D1 , B , C , C1 ∈平面α，∴ 与ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾，∴ 假设不成立，∴ D1B 和 CC1 是异面直线 .三、异面直线所成的角1、求异面直线所成角的方法关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与令一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交 .2、求异面直线所成角的步骤① 通过作出平行线，得到相交直线；② 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③ 通过解三角形求出该角的大小 .【例题3】如图所示，在空间四边形 ABCD 中，已知 AB = CD 且 AB 与 CD 所成的角为30°，点 E , F 分别是 BC 和 AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小 .例题3图【解析】要求 EF 与 AB 所成的角，可以经过某一点作两条直线的平行线，因为 E，F 都是中点，所以可以过点 E 或点 F 作 AB 的平行线找到异面直线所成的角 .取 AC 的中点，平移 AB 和 CD，使已知角和所求的角在同一个三角形中求解 .【解答过程】取 AC 的中点 G，分别连接 EG 和 FG ，则有EG∥AB，FG∥CD，∵ AB = CD ,∴ EG = FG ,∴ ∠GEF （或它的补角）为 EF 与 AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为 AB 与 CD 所成的角，又∵ AB 与 CD 所成的角为30°，∴ ∠EGF = 150° 或30°，由 EG = FG , 可知△GEF为等腰三角形，当∠EGF = 30° 时，∠GEF = 75°，当∠EGF = 150° 时，∠GEF = 15°，∴ EF 与 AB 所成的角为15° 或75° .。
新课标高中数学必修第二章点直线平面之间的位置关系精讲
第９讲 §２.1．１ 平面¤学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”;理解平面的无限延展性;正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化;理解可以作为推理依据的三条公理.¤知识要点：1. 点A 在直线上,记作A a ∈；点A 在平面α内,记作A α∈;直线a 在平面α内,记作a α⊂.2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下:公理1 公理2 公理３ 图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭ ,,,,A B C A B C α⇒不共线确定平面 ,l P P P l αβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩ 推论１ 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论２ 经过两条相交直线,有且只有一个平面； 推论３ 经过两条平行直线,有且只有一个平面. ¤例题精讲：【例１】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面?(P 56 A 组5题）解：根据公理2的推论3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理1可知,与两条平行直线相交的第三条直线在这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时,这三条直线是共面的关系.【例2】空间四边形ＡB ＣD 中，E 、F 、G 、Ｈ分别是ＡB 、ＢC 、CD 、DA 上的点，已知EF 和GH 交于P 点，求证：EF 、GH 、A Ｃ三线共点. （同P ５8 Ｂ组3题）解：∵Ｐ∈EF ，E Ｆ⊂面ABC ，∴Ｐ∈面A ＢC . 同理P ∈面ADC . ∵ P 在面ABC 与面ＡD Ｃ的交线上,又 ∵面AB Ｃ∩面AD Ｃ＝A Ｃ, ∴Ｐ∈A Ｃ,即ＥF 、HG 、ＡC 三线共点． 【例3】求证:两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知:直线,,AB BC CA 两两相交,交点分别为,,A B C ， 求证：直线,,AB BC CA 共面.证明：因为A,Ｂ,C 三点不在一条直线上,所以过A ，B ，C 三点可以确定平面α. 因为A ∈α，Ｂ∈α,所以A Ｂ α． 同理ＢＣ α,AC α. 所以A Ｂ，ＢC ，C Ａ三直线共面.点评：先依据公理2， 由不共线的三点确定一个平面，再依据公理１, 证三条直线在平面内. 注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形,然后给出符号语言表述的已知与求证. 常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.【例4】在正方体1111ABCD A B C D -中，(1)1AA 与1CC 是否在同一平面内?（2）点1,,B C D 是否在同一平面内? (3)画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线. 解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，∵11//AA CC , ∴由公理2的推论可知,1AA 与1CC 可确定平面1AC ， ∴1AA 与1CC 在同一平面内.（2)∵点1,,B C D 不共线,由公理３可知，点1,,B C D 可确定平面1BC D , ∴ 点1,,B C D 在同一平面内． (3）∵ACBD O =，11D C DC E =, ∴点O ∈平面1AC ，O ∈平面1BCD ，又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BC D ， ∴ 平面1AC 平面1BC D 1OC =， 同理平面1ACD 平面1BDC OE =.αCBA点评：确定平面的依据有公理2(不在同一条直线上的三点)和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）. 对几条公理的作用,我们必须十分熟练.第９练 §2.1.1 平面※基础达标１.两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ Ｃ ）.A ．相交 B.重合 Ｃ.相交或重合 Ｄ．以上都不对 2.下列推断中，错误的是( C ).Ａ.,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=C.,l A l A αα⊄∈⇒∉Ｄ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且A 、B 、C 不共线,αβ⇒重合3.Ｅ、Ｆ、G 、H 是三棱锥A-BCD 棱AB 、ＡD 、C Ｄ、ＣB 上的点，延长ＥF 、ＨG 交于Ｐ,则点P (B )． A. 一定在直线AC 上 B. 一定在直线BD 上 C. 只在平面BCD 内 Ｄ. 只在平面ABD 内4.用一个平面截一个正方体,其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是（ C )． A ． 三 B. 四 C. 六 D. 八 ５.下列说法中正确的是（ D ).A. 空间不同的三点确定一个平面B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面C ． 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内6．给出下列说法：① 梯形的四个顶点共面;② 三条平行直线共面;③ 有三个公共点的两个平面重合；④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面． 其中说法正确的序号依次是 . ①④7.已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是 . 4 ※能力提高 8．正方体1111ABCD A B C D -中,Ｅ、F 、G 、H 、K 、L 分别是111DC DD A D 、、、 111A B BB BC 、、的中点. 求证:这六点共面．证明：连结BD 和KF ，因为 E L 、是CD CB 、的中点，所以 //EL BD ．又 矩形11BDD B 中//KF BD ，所以 //KF EL ， 所以 KF EL 、可确定平面α，所以 E F K L 、、、共面α， 同理 //EH KL ，故 E H K L 、、、共面β. 又 平面α与平面β都经过不共线的三点E K L 、、，故 平面α与平面β重合,所以E 、F 、G 、H 、Ｋ、L 共面于平面α. 同理可证G α∈，所以,E 、F 、Ｇ、Ｈ、Ｋ、L 六点共面．（证明共面问题常有如下两个方法:直接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；间接法:先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合.)9.(1)ABC ∆在平面α外,AB P α=，BC Q α=，AC R α=,求证:P ，Q ，R 三点共线.（２）已知四边形AB ＣＤ中，AB ∥CD ,四条边AB ，ＢC ，DC ,AD (或其延长线）分别与平面α相交于E ,F ,Ｇ,Ｈ四点，求证：四点E ，F ,Ｇ，H 共线．证明:(１)根据公理2易知ABC ∆确定平面β，且与α有交线l ，根据公理3易知，P ，Ｑ，Ｒ三点都在直线l 上，即三点共线.(2)ＡB ∥CD ，∴AB ,CD 确定一个平面β,易知AB ，BC ,D Ｃ,ＡＤ都在β内，由平面的性质可知四点Ｅ，F ，G ，H 都在β上，因而,E ,G ,G ，H 必都在平面α与β的交线上，所以四点E ，Ｆ,G ，H 共线.※探究创新1０．在一封闭的正方体容器内装满水,M ，N 分别是AA 1与C 1D 1的中点,由于某种原因,在Ｄ，Ｍ,N 三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多,问应将此容器如何放置?此时水的上表面的形状怎样?解：使过三点Ｍ，N ，Ｄ的平面成为水平面时，容器内存水最多,至于水表面的形状，实质上就是过Ｍ,N ,D 三点所作正方体的截面的形状. 连结DM 并延长DM 交D １A 1的延长线于P ，则点P 既在截面内又在底面A １B 1C 1Ｄ1内，连结P Ｎ交A １B 1于E ，连ME ，ND ，则过M ,N ,Ｄ的截面就是四边形D ＭEN ，易证ＭＥ∥ＤＮ且M Ｅ≠D Ｎ，因而它是一个梯形．C A A B B CD D EFG HKL1111第10讲 §２.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系¤学习目标:了解空间两条直线的三种位置关系,理解异面直线的定义,掌握平行公理，掌握等角定理,掌握两条异面直线所成角的定义及垂直．¤知识要点:1. 空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 2. 已知两条异面直线,a b ,经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，把,a b ''所成的锐角（或直角)叫异面直线,a b 所成的角(或夹角）. ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关,为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]︒,如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥． 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.¤例题精讲:【例1】已知异面直线a 和b 所成的角为50°,P 为空间一定点,则过点P 且与a 、b 所成角都是３０°的直线有且仅有( )．Ａ． 1条 B. ２条 C. 3条 D. 4条 解：过P 作a '∥a ，b '∥ｂ,若P ∈a ，则取a 为a ',若P ∈b ，则取b 为b '．这时a ',b '相交于P 点,它们的两组对顶角分别为５０°和１30°.记a '，b '所确定的平面为β,那么在平面β内，不存在与a ',b '都成30°的直线. 过点P 与a ',b '都成３0°角的直线必在平面β外,这直线在平面β的射影是a '，b '所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l 和l '，射影是13０°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B.【例2】如图正方体1111ABCD A B C D -中，Ｅ、Ｆ分别为Ｄ1Ｃ1和Ｂ1C 1的中点,P 、Q 分别为AC 与BD 、A 1Ｃ1与ＥF 的交点. (1)求证：D 、B 、F 、E 四点共面;（2）若A 1C 与面D ＢFE 交于点R ，求证：Ｐ、Q 、R 三点共线．证明:(1)∵ 正方体1111ABCD A B C D -中，1BB //1DD ，∴BD //11B D ．又 ∵ 111B D C 中，E 、F 为中点,∴ EF //1112B D . ∴ //EF BD , 即D 、B 、F 、E 四点共面. (2)∵ 1Q AC ∈平面，Q BE ∈平面,1P AC ∈平面,P BE ∈平面，∴ 1AC BE PQ =平面平面.又 1AC BE R =平面, ∴ 1R AC ∈平面，R BE ∈平面, ∴ R PQ ∈. 即P 、Q 、R 三点共线【例3】已知直线ａ／／b ／/ｃ,直线d 与ａ、b 、c 分别相交于A 、B 、Ｃ，求证:a 、b 、c 、ｄ四线共面． 证明:因为a //ｂ，由公理２的推论，存在平面α，使得,a b αα⊂⊂. 又因为直线d 与a 、ｂ、c 分别相交于A 、B 、C ,由公理１，d α⊂. 假设c α⊄,则c C α=, 在平面α内过点C 作//c b '， 因为b ／/c,则//c c ',此与c c C '=矛盾. 故直线c α⊂.综上述，a 、ｂ、c 、d 四线共面.点评:证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理２及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面,然后从假设出发,推出矛盾,矛盾的原因是假设不成立,这就是证明问题的一种反证法的思路.【例4】如图中，正方体ABC Ｄ—Ａ１Ｂ1Ｃ1D 1,E 、F 分别是ＡD 、AA 1的中点.(1）求直线AB １和C Ｃ1所成的角的大小; (2)求直线AB 1和E Ｆ所成的角的大小.解:（１)如图，连结DC １ ， ∵ＤＣ1∥ＡB 1,∴ D Ｃ1 和ＣC 1所成的锐角∠CC 1D 就是AB １和C Ｃ1所成的角. ∵ ∠ＣC 1Ｄ=４5°, ∴ ＡB 1 和ＣC 1所成的角是４５°. (２)如图,连结ＤA １、Ａ1C 1，∵ EF ∥A 1D ,AB 1∥DC 1，∴ ∠A 1DC 1是直线ＡＢ1和E Ｆ所成的角.∵ΔA 1ＤC 1是等边三角形, ∴ ∠A 1ＤC 1=60º,即直线AB 1和EF 所成的角是60º.点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想,发挥空间想象力，把两异面直线成角问题c'b a d c αCB APQ F E D 11B 1A 1DC B A转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题,运用化归思想将难化易. 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路．第10练 §2.１.2 空间中直线与直线之间的位置关系※基础达标１.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ D ).A. 异面ﻩB. 平行C. 相交ﻩ D ． 以上都有可能2.教室内有一把尺子，无论怎样放置,地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ Ｂ ). ﻩﻩA.平行 ﻩＢ.垂直 ﻩC.相交但不垂直 D ．异面3.两条直线a ，b 分别和异面直线ｃ， d 都相交，则直线a ,b 的位置关系是( D )． ﻩﻩA. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线ﻩﻩC. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线,也可能是相交直线４.把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中,异面直线的对数为（ Ｂ ）. ﻩﻩA. 12 B ． 24 C. ３6 D. 485.正方体''''ABCD A B C D -中，ＡＢ的中点为M ,'DD 的中点为N ，异面直线'B M 与CN 所成的角是（ B ).Ａ．30° Ｂ．90° C.4５° D.6０°6.如图，正方体1111ABCD A B C D -中,直线1AB 与1BC 所成角为___＿__度. . 60°7.右图是正方体平面展开图，在这个正方体中：① BM 与ED 平行; ② CN 与BE 是异面直线； ③ ＣN 与BM 成60º角; ④ D Ｍ与ＢN 垂直．以上四个说法中，正确说法的序号依次是 . ③④※能力提高８.已知空间四边形ABC Ｄ各边长与对角线都相等,求AB 和CD 所成的角的大小.解:分别取AC 、AD 、ＢC 的中点P 、Ｍ 、N . 连接P Ｍ、P Ｎ,由三角形的中位线性质知PN ∥ＡＢ，PM ∥CD ,于是∠ＭＰN 就是异面直线ＡB 和CD 成的角，如右图所示.连结MN 、ＤN ，设ＡB =２，∴ P Ｍ=ＰN =1． 而ＡN ＝ＤＮ＝3,则MN ⊥ＡD ，ＡM =1，得MN =2,∴ ＭN ２=ＭＰ2＋ＮP ２，∴∠M ＰN =９0°，即异面直线ＡＢ、C Ｄ成90°角．9.空间四边形ＡB ＣD 中，E 、F 、Ｇ、H 分别是ＡB 、BC 、CD 、ＤA 上的点，已知E Ｆ和G Ｈ交于P 点,求证:ＥF 、ＧH 、A Ｃ三线共点.证明：∵Ｐ∈EF ,ＥF ⊂面ＡB Ｃ，∴Ｐ∈面ABC ，同理P ∈面ＡDC ,∴P 在面ＡBC 与面ＡDC 的交线上，又面ABC ∩面ADC ＝AC ，∴P ∈A Ｃ，即ＥF 、HG 、A Ｃ三线共点.※探究创新10.设异面直线a 与b 所成角为50°，Ｏ为空间一定点,试讨论,过点Ｏ与a 、b 所成的角都是θ(090)θ︒≤≤︒的直线l 有且仅有几条?解：过点O 作a １∥ａ,b 1∥b ,则相交直线ａ1、b 1确定一平面α. a 1与b 1夹角为５0°或1３0°，设直线ＯA 与a １、b １均为θ角,故当θ<25°时，直线l 不存在;当θ=２5°时，直线l 有且仅有1条; 当25°＜θ＜６５°时，直线l 有且仅有2条; 当θ=６5°时,直线ｌ有且仅有3条；当6５°<θ<９０°时,直线ｌ有且仅有4条； 当θ=90°时，直线l 有且仅有1条.E AF B C M ND PGH F E CB A第11讲 §2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系¤学习目标:了解直线与平面的三种位置关系,理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系.¤知识要点：1. 直线与平面的位置关系:(1）直线在平面内（有无数个公共点)；（2)直线与平面相交（有且只有一个公共点)；(3）直线与平面平行(没有公共点）． 分别记作：l α⊂；l P α=；//l α.2． 两平面的位置关系:平行(没有公共点）；相交(有一条公共直线）.分别记作//αβ;l αβ=.¤例题精讲:【例１】已知空间边边形ABCD 各边长与对角线都相等,求异面直线ＡB 和C Ｄ所成的角的大小.解：分别取AC 、ＡD 、BC 的中点Ｐ、M 、N 连接P Ｍ、PN ,由三角形的中位线性质知PN ∥ＡB ,PM ∥CD ,于是∠MPN 就是异面直线AB 和ＣD 成的角(如图所示）.连结MN 、DN ,设ＡB =2， ∴ＰＭ=PN =1.而AN =DN =3,由MN ⊥AD ,AM =1,得MN =2, ∴ＭN 2=MP 2+ＮＰ2，∴∠ＭＰＮ=9０°. ∴异面直线AB 、ＣＤ成90°角.【例2】在空间四边形AB ＣＤ中,E 、H 分别是A Ｂ、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 的中点,若AC + ＢD = a ，A Ｃ⋅BD =b ,求22EG FH +.解:四边形EF ＧH 是平行四边形，22EG FH +=222()EF FG +=22211()(2)22AC BD a b +=-.【例3】已知空间四边形ＡBC Ｄ中，E 、Ｈ分别是A Ｂ、A Ｄ的中点，Ｆ、G分别是ＢC 、ＣＤ上的点，且23CF CG CB CD ==.求证：（1）E 、F 、G 、H 四点共面；（2）三条直线E Ｆ、ＧＨ、AC 交于一点.证明：（1) 在△A ＢD 和△ＣBD 中，∵ E 、H 分别是A Ｂ和CD 的中点， ∴ ＥH //12BD . 又 ∵23CF CG CB CD ==， ∴ FG //23ＢD . ∴ EH ∥FG .所以,E 、Ｆ、G 、H 四点共面.（2)由(１）可知,E Ｈ∥FG ,且EH ≠ＦG ，即直线EF ,GH 是梯形的两腰， 所以它们的延长线必相交于一点Ｐ．∵ AC 是ＥF 和GH 分别所在平面A ＢC 和平面ADC 的交线，而点P 是上述两平面的公共点， ∴ 由公理3知P ∈AC .所以，三条直线E Ｆ、G Ｈ、AC 交于一点．点评：一般地,证明三线共点，可证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线又往往是两平面的交线.【例4】如下图,设△ＡBC 和△A １B 1Ｃ１的三对对应顶点的连线AA 1、BB １、ＣＣ1相交于一点Ｏ，且1AO OA =1BO OB =1CO OC = 23.试求111ABC A B C S S ∆∆的值．解：依题意，因为AA 1、BB 1、C Ｃ１相交于一点O ,且1AO OA =1BO OB =1COOC ， 所以A Ｂ∥A 1B 1，AC ∥Ａ1C 1，BC ∥B 1C 1.由平移角定理得∠BAC =∠B １A 1C 1，∠AB Ｃ=∠A １B 1Ｃ１,△ABC ∽△A 1B 1Ｃ1,BCDEHFG A BCD EFGH所以111ABC A B C S S ∆∆=(23)2=49.点评：利用平移角定理,可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等;利用平行公理,可证明空间两条直线平行,从而解决相关问题．第１1练 §２.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系※基础达标1.直线与平面α不平行,则（ Ｃ ）．Ａ． 与α相交ﻩ B. ⊂α C ． 与α相交或⊂α D ． 以上结论都不对 2.正方体各面所在平面将空间分成（ D )个部分．A. ７ﻩﻩB. 15ﻩﻩC. ２1 ﻩ Ｄ. 273.若两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数（ Ｄ ). Ａ. 有限个ﻩ B. 无限个 C. 没有 ﻩ D ． 没有或无限个4.E 、F 、Ｇ、H 是棱锥A －BCD 棱ＡB 、AD 、CD 、C Ｂ上的点,延长E Ｆ、HG 交于Ｐ点，则点P （ B ）. A ． 一定在直线AC 上 B. 一定在直线ＢD 上 C. 只在平面ＢCD 内 D. 只在平面AB Ｄ内５．一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面（ Ｄ ). A. 平行 ﻩＢ. 相交 ﻩC. 平行或垂合 ﻩD. 平行或相交6.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一平面的位置关系是 ． 平行、在平面内7．一个平面把空间分成 部分，两个平面可以把空间分成 部分,三个平面可以把空间分成 部分．2;3、４； 4、6、7、8．※能力提高８.A 是△ＢC Ｄ平面外的一点,E 、F 分别是BC 、AD 的中点, （1）求证:直线EF 与BD 是异面直线;(2）若ＡＣ⊥ＢＤ，AC ＝B Ｄ，求EF 与ＢD 所成的角. 解：(１)证明：用反证法.设E Ｆ与B Ｄ不是异面直线,则EF 与B Ｄ共面,从而D Ｆ与BE 共面，即AD 与B Ｃ共面，所以Ａ、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△B ＣＤ平面外的一点相矛盾． 故直线ＥF 与ＢD 是异面直线．(2)取C Ｄ的中点G ,连结EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线E Ｆ与EG 所成的锐角或直角即为异面直线E Ｆ与B Ｄ所成的角.在R ｔ△EGF 中,求得∠ＦE Ｇ=45°，即异面直线EF 与B Ｄ所成的角为45°.9.已知空间四边形ＡBCD ,E 、Ｈ分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、DC 的三等分点(如右图），求证：(1)对角线AC 、B Ｄ是异面直线;(２)直线EF 和HG 必交于一点，且交点在AC 上.证明:(1)假设对角线AC 、BD 在同一平面α内，则A 、B 、C 、D 都在平面α内，这与A ＢCD 是空间四边形矛盾,∴A Ｃ、ＢD 是异面直线．（２）∵E 、H 分别是A Ｂ、AD 的中点, ∴E Ｈ//12BD ．又F 、G 分别是BC 、D Ｃ的三等分点,∴F Ｇ//23B Ｄ.∴EH ∥FG ,且EH ＜FG . ∴ＦＥ与G Ｈ相交．设交点为O ,又O 在GH 上,GH 在平面ADC 内,∴Ｏ在平面ADC 内.同理，O 在平面ＡBC 内. 从而O 在平面ADC 与平面A ＢC 的交线A Ｃ上.※探究创新1０．空间四边形ABC Ｄ中，P 、Q 、R 、H 分别是ＡB 、BC 、C Ｄ、DA 的中点.(１)求证：四边形ＰQ ＲH 是平行四边形； (2）若ＡC =BD ,则四边形P ＱRH 是什么四边形? （3)若ＡＣ⊥BD ,则四边形PQRH 是什么四边形?(４)空间四边形ABCD 满足什么条件时,ＰＱRH 是正方形？解：(1)在△ABD 中,Ｐ、H 分别为ＡB 、AD 的中点，即PH 为中位线．ABC DE FGM O 1//2//1//2PH BD PH QR QR BD ⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭. ∴ 四边形PQRH 为平行四边形 (2)在△A ＢＣ中，P 、Q 为ＡＢ、B Ｃ中点,P Ｑ//12AC , 又PH //12BD ,ＡC =ＢD . ∴ ＰＨ=ＰQ ． ∴平行四边形P ＱR Ｈ为菱形．(3） ∵A Ｃ⊥B Ｄ, ∴异面直线AC 与B Ｄ所成角为直角.∵ ＰH ∥ＢD ,ＰQ ∥ＡC ， ∴∠HPQ 为ＡC 与ＢD 所成的角． ∴∠HPQ =90°, 即四边形PQRH 为矩形(４）由(2)、(3)的证明可知，当A Ｃ=BD 且AC ⊥BD 时，四边形ＰQRH 为正方形.第1２讲 §2.２．1 直线与平面平行的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定,掌握直线与平面平行判定定理,掌握转化思想“线线平行⇒线面平行”.¤知识要点：1. 定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行. ２. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表示为:,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒. 图形如右图所示. ¤例题精讲:【例１】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别为AB 、P Ｄ的中点,求证：AF ∥平面P ＥC证明:设PC 的中点为G ，连接EG 、FG .∵ F 为ＰD 中点， ∴ GF ∥CD 且ＧF ＝12ＣＤ. ∵ ＡB ∥CD , A Ｂ=C Ｄ, E 为ＡB 中点，∴ G Ｆ∥ＡE , GF =ＡE ， 四边形AEGF 为平行四边形． ∴ ＥG ∥ＡF ，又∵ ＡＦ⊄平面PEC ， EG ⊂平面P ＥC , ∴ A Ｆ∥平面PE Ｃ．【例2】在正方体ＡBC Ｄ-A １Ｂ1C 1D 1中，Ｅ、F 分别为棱ＢC 、C 1Ｄ1的中点. 求证:EF ∥平面ＢB 1Ｄ1D.证明：连接AC 交B Ｄ于Ｏ,连接OE ,则OE ∥DC ， ＯE =12D Ｃ． ∵ DC ∥D 1Ｃ1， DC =D 1Ｃ1 ， Ｆ为Ｄ1Ｃ1的中点,∴ OE ∥D １F , ＯE =D 1F ， 四边形D 1FEO 为平行四边形. ∴ E Ｆ∥D 1Ｏ.又∵ ＥF ⊄平面ＢB 1D 1D ， Ｄ1O ⊂平面BB 1D 1D ， ∴ EF ∥平面BB 1D 1D .【例３】如图,已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC的中点,求证：AM ∥平面EFG ． 证明：如右图,连结DM ,交GF 于O 点,连结OE ，在BCD ∆中,G 、F 分别是BD 、CD 中点， ∴//GF BC , ∵G 为BD 中点, ∴O 为MD 中点,在AMD ∆中，∵E 、O 为AD 、MD 中点, ∴//EO AM ， 又∵AM ⊂平面EFG ，EO ⊂平面EFG , ∴AM ∥平面EFG .点评:要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了． 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.【例４】如图,已知Ｐ是平行四边形ＡB ＣD 所在平面外一点，Ｍ、N 分别是AB 、PC 的中点 （１)求证：MN ／/平面P ＡD ;(2）若4MN BC ==,43PA =，求异面直线P Ａ与ＭN 所成的角的大小. 解：（1)取PD 的中点H ,连接AH ,由N 是ＰＣ的中点,∴ 同理∴ N Ｈ//=12DC . 由M 是ＡB 的中点， ∴ NH //=AM ， 即AMN Ｈ为平行四边形． ∴ //MN AH ．由,MN PAD AH PAD ⊄⊂平面平面, ∴ //MN PAD 平面. （2） 连接A C 并取其中点为O ,连接O Ｍ、ＯN ，∴ O Ｍ//=12BC ,ON //=12P A ， 所以ONM ∠就是异面直线P A 与M Ｎ所成的角，且MO ⊥ＮO . 由4MN BC ==，43PA =, 得ＯM =2,ON ＝23 所以030ONM ∠=，即异面直线P Ａ与MN 成３0°的角 点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行,通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角,方法的关键也是平移其中一条或者两条直线,得到相交的线线角，通过解三角形而得.第12练 §2．2．1 直线与平面平行的判定※基础达标1．已知直线1l 、2l , 平面α, 1l ∥2l , 1l ∥α， 那么2l 与平面α的关系是（ C ). Ａ． 1l ∥α B ． 2l ⊂α C. 2l ∥α或2l ⊂α D. 2l 与α相交2．以下说法(其中a ,b 表示直线,α表示平面)①若a ∥b ，b ⊂α,则ａ∥α ②若a ∥α,ｂ∥α，则ａ∥b ③若ａ∥b ,b ∥α，则ａ∥α ④若a ∥α，b ⊂α,则a ∥b 其中正确说法的个数是（ A ）. A. 0个ﻩ B. 1个 C. 2个ﻩ Ｄ. 3个３.已知ａ，ｂ是两条相交直线，ａ∥α，则ｂ与α的位置关系是( D ). A. ｂ∥α B. b 与α相交 C. b ⊂α Ｄ. ｂ∥α或b 与α相交 4．如果平面α外有两点A 、Ｂ,它们到平面α的距离都是a ,则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ C ). A. 平行ﻩ B ． 相交 C. 平行或相交 D. AB ⊂α5．如果点M 是两条异面直线外的一点,则过点M 且与a ，b 都平行的平面（ A ）. ﻩ A. 只有一个 B ． 恰有两个ﻩC ． 或没有,或只有一个 D. 有无数个6．已知P 是正方体ＡＢCD -A 1Ｂ１C 1Ｄ1棱DD 1上任意一点,则在正方体的12条棱中,与平面ABP 平行的是 ． ＤＣ、D 1C 1、Ａ１B 17.过三棱锥A-ＢCD 的棱AB 、BC 、C Ｄ的中点M 、N 、P 作平面MNP ，三棱锥的六条棱中与平面MNP 平行的是 ;若AC 与BD 成9０°角，AC =６,BD =８，则截面四边形的面积是 . ＢD 、ＡＣ； １２.※能力提高8.平面α与△ＡBC 的两边A Ｂ、AC 分别交于D 、E ,且ＡD ∶DB ＝ＡE ∶E Ｃ,求证:BC ∥平面α． 证明:在⊿AB Ｃ中,∵ AD ∶DB =ＡE ∶ＥC ， ∴ //BC DE .又 ∵ ,BC DE αα⊄⊂， ∴ //BC α.９．Ｐ是平行四边形A ＢCD 所在平面外一点,E 为P Ｂ的中点,O 为ＡC ,BD 的交点. (1）求证：EO ‖平面PCD ; (2）图中EO 还与哪个平面平行？解：(1)证明：∵ 在平行四边形A ＢCD 中,Ｏ为AC ,B Ｄ的交点, ∴ Ｏ为BD 的中点. 又 ∵ 在△P ＢD 中，E 为PB 的中点,∴ EO ／／ＰD ． ∵ ,EO PCD PD PCD ⊄⊂平面平面,∴ EO ‖平面P ＣD . (２)图中EO 还与平面P ＡＤ平行.※探究创新10．三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心,且到顶点的距离等于E D C B A α到对边中点距离的2倍. 这一结论叫做三角形的重心定理.在四面体ABC Ｄ中，M 、N 分别是面△ACD 、△B ＣＤ的重心，在四面体的四个面中，与MN 平行的是哪几个面?试证明你的结论.解:连结ＡM 并延长,交CD 于E ,连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点,且该点为ＣD 的中点Ｅ,由EM MA =EN NB =12得M Ｎ∥AB ，因此,MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .第１3讲 §2.2.２ 平面与平面平行的判定¤学习目标:以立体几何的定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中面面平行的判定,掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想.¤知识要点：面面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行．用符号表示为:,,////,//a b a b P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭.¤例题精讲： 【例1】如右图,在正方体ＡBCD —A 1B 1Ｃ１D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1Ｃ1、C 1D 1的中点,求证：平面MNP ∥平面A 1BD .证明:连结B 1D 1，∵P 、N 分别是D １C 1、B 1Ｃ1的中点，∴ PN ∥B 1D １. 又B １D １∥BD ，∴PN ∥B Ｄ.又P Ｎ不在平面Ａ1B Ｄ上,∴ＰＮ∥平面Ａ1BD ．同理,MN ∥平面A 1BD . 又P Ｎ∩MN =Ｎ， ∴平面PMN ∥平面A 1BD . 【例２】正方体ABCD —A １B １C １D 1中.（1)求证:平面Ａ1BD ∥平面B 1D 1C ；（２）若E 、Ｆ分别是AA １，CC 1的中点，求证:平面E Ｂ1D １∥平面F ＢD . 证明：(1)由B 1Ｂ//=DD １，得四边形BB 1D １Ｄ是平行四边形，∴Ｂ1D 1∥ＢD ,又B Ｄ ⊄平面B 1Ｄ1C ,B 1Ｄ1⊂平面B 1D １C ,∴ＢD ∥平面B 1Ｄ1C .同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD =D ,∴平面A １ＢＤ∥平面B 1CD .（2）由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB １D 1.取BB 1中点G ,∴ＡE ∥B 1G .从而得Ｂ1E ∥AG ，同理ＧF ∥A Ｄ．∴AG ∥DF .∴Ｂ1Ｅ∥ＤF ． ∴ＤF ∥平面EB 1D 1.∴平面ＥB 1D １∥平面ＦBD .【例3】已知四棱锥P －ABCD 中, 底面A ＢＣD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在ＰA 、ＢD 、PD 上， 且PM ：M Ａ＝ＢＮ:ND =ＰQ :ＱD .求证：平面MNQ ∥平面ＰＢＣ. 证明: PM ：ＭＡ=ＢN ：N D=PQ ：QD ．∴ ＭQ /／AD ,NQ /／ＢP ， 而BP ⊂平面ＰＢC ，NQ ⊄平面P ＢC ， ∴ N Ｑ//平面ＰＢＣ． 又AB ＣＤ为平行四边形,BC //AD ， ∴ M Ｑ//BC ，而BC ⊂平面PBC ,M Ｑ ⊄平面PBC , ∴ MQ //平面PBC . 由MQ NQ =Q ,根据平面与平面平行的判定定理， ∴ 平面ＭＮQ ∥平面PBC ． 点评:由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行,证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行． 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行．【例4】直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面A ＢCD 为正方形,边长为2，侧棱13A A =，M 、N 分别为Ａ1B 1、Ａ1D 1的中点，Ｅ、F 分别是Ｂ1C 1、Ｃ1D １的中点.（1)求证:平面AM Ｎ∥平面EF ＤＢ；（２)求平面AMN 与平面ＥＦDB 的距离． 证：（１)连接11A C ,分别交MN 、ＥF 于Ｐ、Q . 连接ＡC 交ＢD 于O ，连接AP 、ＯＱ.A 1AB 1C 1CD 1 D GEF N M P DCQB A由已知可得//MN EF , ∴ //MN EFDB 平面. 由已知可得,//PQ AO 且PQ AO =．∴ //AP OQ , ∴ //AP EFDB 平面. ∴平面AMN ∥平面E ＦDB . 解：(２）过1A 作平面AMN 与平面E ＦＤB 的垂线,垂足为H 、Ｈ’,易得111'2A H A P HH PQ ==． 由22221122383()4AP A A A P =+=+=， 根据11A AMN A A MN V V --=, 则 13821111233232A H ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得1319A H =． 所以，平面ＡＭN 与平面EFDB 的距离为619. 点评:第（１)问证面面平行，转化途径为“线线平行→线面平行→面面平行”. 第(２)问求面面距离，巧妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，然后利用等体积法求距离. 等价转化的思想在本题中十分突出，我们可以用同样的转化思维,将此例中的两个平面的距离,转化为求点B 到平面ＡＢ’C 的距离.第13练 §2.2.2 平面与平面平行的判定※基础达标1.下列说法正确的是（ D ).A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行B. 平行于同一平面的两条直线平行Ｃ． 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行 D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行 2．在下列条件中,可判断平面α与β平行的是( D ). Ａ. α、β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l 、m 是α内两条直线,且l ∥β,m ∥βＤ． ｌ、ｍ是两条异面直线,且l ∥α，m ∥α,l ∥β,ｍ∥β 3.下列说法正确的是（ D ）.A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 Ｂ. 平行于同一个平面的两条直线平行 C ． 平行于同一条直线的两个平面平行 D. 平行于同一个平面的两个平面平行 4．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ Ｃ ）． A. 0个 Ｂ. 1个 C. 0个或1个 Ｄ. 1个或2个 ５.不在同一直线上的三点A ，B ，Ｃ到平面α的距离相等,且A ∉α,则( B ）. A. α∥平面ABC Ｂ. △ＡB Ｃ中至少有一边平行于α C. △ABC 中至多有两边平行于α D. △ABC 中只可能有一条边与α平行６．已知直线ａ、b ，平面α、β, 且a // ｂ，a ／／α,α//β，则直线b 与平面β的位置关系为 直线b //平面β或直线b 在平面β内；.7．已知a 、ｂ、c 是三条不重合直线，α、β、γ是三个不重合的平面，下列说法中： ⑴ ａ∥c ,ｂ∥c ⇒a ∥b ； ⑵ a ∥γ，b ∥γ⇒ａ∥b ； ⑶ c ∥α,ｃ∥β⇒α∥β； ⑷ γ∥α，β∥α⇒α∥β; ⑸ a ∥c ，α∥c ⇒ａ∥α； ⑹ ａ∥γ，α∥γ⇒a ∥α. 其中正确的说法依次是 . （1)、（４）. ※能力提高8．在棱长为a 的正方体ＡBC Ｄ-A 1Ｂ１C 1D 1中，E ，F ，G ，Ｍ,N ，Q 分别是棱A 1A ，A 1B 1,A 1Ｄ1,C Ｂ，CC 1，CD 的中点，求证:平面EF Ｇ∥平面MN Ｑ.证明:由已知EF ∥AB １，ＡＢ1∥DC １，ＤC 1∥ＱN ，⇒EF ∥ＱＮ,同理FG ∥MQ , 所以，平面ＥF Ｇ∥平面MNQ .9.两个全等的正方形ABCD 和ＡBE Ｆ所在平面相交于AB ，M ∈A Ｃ，N ∈F Ｂ，且AM =FN ,过Ｍ作M Ｈ⊥A Ｂ于H ，求证：（1)平面MNH ／／平面BCE ;(２）M Ｎ∥平面BCE .证明:（1)∵正方形ＡBCD 中， MH ⊥AB , ∴则MH ∥BC , ∴.连结NH ，由BF =AC ,FN =A Ｍ，得FN AHBF AB=， ∴ ＮH ／/ＡF //B Ｅ．由 MH /／B Ｃ,NH /／B Ｅ, ∴平面MNH //平面BCE .(2） ∵MN ⊂平面MNH ,平面MNH ／/平面BCE ， ∴ MN ∥平面BCE .※探究创新10.P 是ABC ∆所在平面外一点,'''A B C 、、分别是PBC PCA PAB ∆∆∆、、的重心, （1）求证:平面'''A B C ABC //平面; (2)求''':ABC A B C S S ∆∆.证明：分别连P A ’，PB ’，ＰC ’并延长分别交B Ｃ,A Ｃ，ＡB 于D ，E ,F .则D ,E ，Ｆ分别是ＢＣ，CA ,AB 的中点. ∴ '2'3PA PC PD PF==， ∴ A ’C ’／/ＦD . 同理''//A B DE , ∴ 平面'''A B C ABC //平面．(２) ∵ ''//A B DE ， ∴ '''23A B PA DE PD ==， 又ＤE =12ＡB .∴ ''13A B AB =, 易证'''A B C ∆∽ABC ∆. ∴ ''':ABC A B C S S ∆∆=1:9.第1４讲 §２.２.3 直线与平面平行的性质¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.¤知识要点：线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即:////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭.¤例题精讲：【例１】经过正方体AB ＣＤ-A 1Ｂ1Ｃ1D 1的棱BB 1作一平面交平面ＡA １Ｄ1D 于E 1E ，求证:E 1E ∥Ｂ１B 证明：∵ 11111111//,,AA BB AA BEE B BB BEE B ⊄⊂平面平面,∴ 111//AA BEE B 平面． 又 11111111AA ADD A ADD A BEE B EE ⊂=平面，平面平面， ∴ 11//AA EE .则111111//////AA BB BB EE AA EE ⎫⇒⎬⎭. 【例2】如图，//AB α，//AC BD ,C α∈,D α∈,求证：AC BD =. 证明:连结CD , ∵//AC BD ，∴直线AC 和BD 可以确定一个平面,记为β, ∵,C D α∈，,C D β∈,∴CD αβ=,∵//AB α，AB β⊂,CD αβ=∴//AB CD , 又∵//AC BD ,∴ 四边形ACDB 为平行四边形， ∴AC BD =．【例3】如右图,平行四边形EF ＧH 的分别在空间四边形A ＢC Ｄ各边上，求证：BD /／平面ＥFGH . 证明：∵ //EH FG ，EH ⊄平面BCD ,FG ⊂平面BCD , ∴ //EH BCD 平面．又 ∵ EH ABD ⊂平面，BCD ABD BD =平面平面,∴ //EH BD .又 ∵ EH EFGH ⊂平面，BD EFGH ⊄平面, ∴ //BD EFGH 平面.D 11B 1BDA 1E 1E Aα B CDβ β a αb。
点、线、面之间的位置关系——垂直关系 - 简单 - 讲义
点、线、面之间的位置关系——垂直关系 知识讲解一、线面垂直1.定义：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．1）这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．2）垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．4）画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如下图．直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥．2.线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．符号语言表述：,,,,l a l b a b a b A l αα⊥⊥⊂=⇒⊥ 图像语言表述：3.线面垂直的性质定理：符号语言表述：,//a b a b αα⊥⊥⇒ αl图像语言表述：4.线面垂直的性质（1）一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线.（2）推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；（3）推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；（4）垂直于同一直线的两个平面平行.5.证明线面垂直的方法（1）线面垂直的定义（2）线面垂直的判定定理（,,,,a b a c b c b c M a ααα⊥⊥⊂⊂=⇒⊥）（3）平行线垂直平面的传递性（,a b b a αα⊥⇒⊥）（4）面面垂直的性质（,,,l a a l a αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥）（5）面面平行的性质（,a a ααββ⊥⇒⊥）（6）面面垂直的性质（,,l l αβαγβγγ=⊥⊥⇒⊥）二、面面垂直1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，则称这两个平面互相垂直.2.平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.符号语言表述：,m m αβαβ⊥⊂⇒⊥图像语言表述：αβm a b α3.面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.符号语言表述：,,,l m m l m αβαββα⊥=∈⊥⇒⊥ 图像语言表述：4.面面垂直的性质（1）两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线垂直于第三个平面.（2）两平面互相垂直，过公共交线上一点做一个平面的垂线，则这条直线在第二个平面内.5.证明面面垂直的方法（1）面面垂直的定义（2）面面垂直的判定定理（,a αβααβ⊥⊂⇒⊥）三、垂直模型总结1.勾股定理222a b c AC CB +=⇒⊥2.等腰三角形三线合一cba C B AD CB Aαβm l,AB AC D =为BC 重点AD BC ⇒⊥3.直径所对的圆周角为直角BD CD AD BA AC ==⇒⊥4.菱形对角线垂直平分在菱形ABCD 中BD AC ⇒⊥5.正方形、矩形临边垂直,AB BC BC CD ⊥⊥6.正方形中点连线垂直在正方形ABCD 中，,E F 为,CD BC 的中点⇒AE DF ⊥DCB A O DCB A DCBA F EDCB A7.直棱柱、正棱柱中侧棱垂直底面在直三棱柱中AD ⇒⊥面ABC ,,,AD AB AD BC AD AC ⊥⊥⊥EFD CBA典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•云南模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是（）A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵点P是线段BC1上任意一点，∴AP⊥B1C．故选：B．2．（2018春•武邑县校级月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是（）A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD【解答】解：在A中，取PB中点O，连结AO、CO，∵四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO=O，∴PB⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故A成立；在B中，∵△PAB与△PBC是正三角形，∴PA=PC，AB=AC，设AC∩BD=M，连结PM，则PM⊥AC，∴PD与AC不垂直，∴PD与平面ABCD不垂直，故B不成立；在C中，∵PB⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，∴AC⊥PB，∵AC⊥BD，PB∩BD=B，∴AC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故C成立；在D中，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立．故选：B．3．（2016秋•湖北期末）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A、B的一点，则下面结论中错误的是（）A．AE⊥CE B．BE⊥DE C．DE⊥CE D．面ADE⊥面BCE【解答】解：由AB是底面圆的直径，则∠AEB=，即AE⊥EB．∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB．可得：BE⊥DE，因此BE⊥平面ADE．同理可得：AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE．可得A，B，D正确．而DE⊥CE不正确．故选：C．4．（2016秋•杭州期末）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC 【解答】解：由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD．在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC．故选：D．5．（2017春•昆都仑区校级期中）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA ⊥平面ABC，此图中直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，∴AB⊥BC，PA⊥BC，∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∴图中直角三角形有△ABC（∠ABC是直角），△PAC（∠PAC是直角），△PAB（∠PAB是直角），△PBC（∠PBC是直角），∴图中直角三角形有4个．故选：D．6．（2017•青州市模拟）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，∠BCD=120°，CD=40，则AB=（）A．10 B．20 C．30 D．40【解答】解：设BC=x，∵在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，∴∠BAC=∠ACB=45°，∠BAD=60°，∠ABC=∠ABD=90°，∴AB=x，AD=2x，BD=，∵∠BCD=120°，CD=40，∴cos120°=，解得x=40或x=﹣20（舍）．∴AB=40．故选：D．7．（2017秋•赣州期中）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α【解答】解：A若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β或α与β相交，故不正确；B若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β，所以m⊥α．故正确；C若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β不正确，也可能平行；D若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α，不正确，可能有m⊂α；故选：B．8．（2015秋•临海市校级月考）在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（）A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD【解答】证明：由AD⊥BC，BD⊥AD⇒AD⊥平面BCD，AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD．故选：C．9．（2014秋•兴庆区校级期末）两个平面平行的条件是（）A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面【解答】解：①如图l∥β，l⊂α，但α，β却相交．①错②如图l∥β，l⊂α，m∥β，m⊂α但α，β却相交．②错③类似于②在α内有无数与l平行的直线，它们均与β平行，但α，β却相交，③错④可知，两个平面无公共点，它们平行．④对故选：D．10．（2015秋•东昌区校级期中）过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心【解答】解：连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC⊂面PBC，∴BC⊥PA，∵PO⊥平面ABC于O，BC⊂面ABC，∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，∵AE⊂面APE，∴BC⊥AE；同理可以证明才CH⊥AB，又BH⊥AC．∴H是△ABC的垂心．故选：A．二．填空题（共4小题）11．过平面外两点，可作0或1个平面与已知平面平行．【解答】解：两点与平面的位置不同，得到的结论是不同的，当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行，∴这样的平面可能有，可能没有，故答案为：0或1．12．（2015春•上海校级期末）点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA、PB、PC两两垂直，则点O是△ABC的垂心．【解答】证明：连结AO并延长，交BC与D连结BO并延长，交AC与E；因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，故AO⊥BC即AD⊥BC；同理：BE⊥AC；故O是△ABC的垂心．故答案为：垂．13．（2015春•上海校级期中）如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则∠BAC=60°．【解答】解：设AB=AC=1，则BD=CD=，∵BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，∴BD⊥CD，∵△BDC是等腰直角三角形，∴BC=CD=1，∴△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°．故答案为：60°．14．直角△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=，则点P到斜边AB的距离是3．【解答】解：∵△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，∴AB==5，过C作CM⊥AB，交AB于M，连结PM，由三垂线定理得PM⊥AB，∴点P到斜边AB的距离为线段PM的长，由，得CM==，PM===3．∴点P到斜边AB的距离为3．故答案为：3．三．解答题（共2小题）15．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=1，AA1=2，∠B1A1C1=90°，D为BB1中点，求证：AD⊥平面A1DC1．【解答】证明：∵AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1又A1C1⊥A1B1，∴A1C1⊥平面A1B1BA∴AD⊥A1C1∵AD=，A1D=，AA1=2，由AD2+A1D2=，得A1D⊥AD∵A1C1∩A1D=A1∴AD⊥平面A1DC116．（2017秋•东湖区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（Ⅰ）A1C∥平面BDE；（Ⅱ）平面A1AC⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接EO，∵E为AA1的中点，O为AC的中点∴EO为△A1AC的中位线∴EO∥A1C又∵EO⊂平面BDE，A1C⊄平面BDE∴A1C∥平面BDE；…（6分）（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴AA1⊥BD又∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD，∵AA1∩AC=A，AA1、AC⊂平面A1AC∴BD⊥平面A1AC又∵BD⊂平面BDE∴平面A1AC⊥平面BDE．…（12分）。
点与直线、两条直线的位置关系
即 3x+y=0.
考点1
第九章
9.2 点与直线、两条直线的位置关系
知识梳理
核心考点
学科素养
考点2
考点3
考点4
-22-
考点 3 距离公式的应用
例3(2016全国丙卷,理16)已知直线l:mx+y+3m- 3 =0与圆 x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若
|AB|=2 3 ,则|CD|=
得
������ ������
= =
02,,即
P(0,2).
∵l⊥l3,∴kl=-43,
∴直线 l 的方程为 y-2=-43x,
即 4x+3y-6=0.
考点1
第九章
9.2 点与直线、两条直线的位置关系
知识梳理
核心考点
学科素养
考点2
考点3
考点4
-18-
法二:∵直线l过直线l1和l2的交点, ∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-
2.常见的三大直线系方程: (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R, 且m≠C). (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R). (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系 方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
点、线、面之间的位置关系——平行关系 - 中档 - 讲义
点、线、面之间的位置关系——平行关系知识讲解一、空间间位置关系的集合语言集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α⊂； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}lm A =，简记为lm A =；平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=．二、平面的三个公理及推论1.公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 用途：证明“点在面内”、“线在面内”.2.公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使,,A B C ααα∈∈∈． 用途：证明“两平面重合”、“多点共面”、“点线共面”.3.公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．用途：证明“多点共线”、“多线共点”.如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．4.推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．三、空间中线线位置关系1.共面直线：平行直线与相交直线.2.公理四：平行于同一条直线的两条直线平行．3.异面直线：不同在任一平面内的两条直线．4.异面直线所成的角定义：例如下图所示，,a b 是两条异面直线，在空间中选取一点O ，过O 分别作,a b 的平行线','a b ，我们把','a b 所成的锐角（或直角），称异面直线,a b 所成的角(或夹角).注：异面直线所成的角为90，则称两条直线异面垂直；异面直线所成角的范围(0,90].5.判断两条直线为异面直线的方法1）判定定理：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线. 如图符号语言：已知,,,,a A B B a ααα⊂∉∉∈则直线AB 与直线a 是异面直线. 2）反证法：要证明两条直线是异面直线，只需证明它们不相交，也不平行即可.6.空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如下图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．四、空间中线面位置关系1.直线与平面的位置关系1）直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴； 2）直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； 3）直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．2.直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如下图：DCBAl3()2()1()lAαααl3.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行． 符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒．图象语言表述：如下图：五、空间中面面位置关系1.平面与平面的位置关系平行：没有公共点，记为//αβ； 相交：有一条公共直线，记为l αβ=注：画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=，如下图：2.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒． 图像语言表述：推论：则这两个平面平行．3.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．mlαβαl m符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒．图象语言表述：如下图：六、平行证明的模型总结1.中位线（等分线）模型//DE BC2.平行四边形模型γbaβαEDCBAODCBA典型例题一．选择题（共10小题）1．（2015•梅州二模）已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n，其中不正确的命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（2017•新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．3．（2017•青羊区校级模拟）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC，其中恒成立的为（）A．①③B．③④C．①②D．②③④4．（2015•江门一模）如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，下列结论中不正确的是（）A．EF⊥BB1 B．EF∥平面ACC1A1C．EF⊥BD D．EF⊥平面BCC1B15．（2016•宁波模拟）如图，在各棱长均为2的正三棱锥A﹣BCD中，平面α与棱AB、AD、CD、BC分别相交于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2016•浙江模拟）如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是（）A．B．C．1 D．27．（2014秋•安徽期末）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m=α∩β，则l⊥αB．若l∥m，m=α∩β，则l∥αC．若α∥β，l与α所成的角相等，则l∥mD．若l∥m，l⊥α，α∥β，则m⊥β8．（2015秋•上林县校级期末）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若α∩β=n，m∥n，则m∥β D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β9．（2008•湖南）已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则（）A．n⊥βB．n∥β，或n⊂βC．n⊥αD．n∥α，或n⊂α10．（2017•合肥二模）若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条二．填空题（共4小题）11．（2011•福建）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．12．（2013秋•东湖区校级期末）已知a、b是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α∥β，a⊂α，则a∥β；②若a、b与α所成角相等，则a∥b；③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ；④若a⊥α，a⊥β，则α∥β．其中正确的命题的序号是．13．（2015秋•肇庆期末）下列各图中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是14．（2015春•武进区期末）设a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若a⊥b，a⊥α，则b∥α；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若a⊥β，α⊥β，则a∥α．其中所有正确命题的序号是．三．解答题（共3小题）15．（2008•江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．16．（2017•武进区模拟）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠C=90°，BC=，BB1=2，O是AB1的中点，D是AC的中点，M是CC1的中点，（1）证明：OD∥平面BB1C1C；（2）试证：BM⊥AB1．17．（2016春•重庆校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，A1B1⊥BC，BC=1，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点．（Ⅰ）求证：C1F∥平面EAB；（Ⅱ）求三棱锥A﹣BCE的体积．。
江苏省盐城市2016-2017学年高中数学第二章点、直线、
垂直
与
与
与
2．你能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理吗？
（1）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一 条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
（2）直线与平面垂直的判定定理 ：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂 直，那么这条直线垂直于这个平面.
【我的疑问】
备注
空间线面关系的判定（一）
【学习目标】
1．能用向量语言 表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；
2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理；
3．能用向量方法判定空间线面的垂直关系.
【问题情境】
1．如何用直线的方向向量和平面法向量来刻画空间线面位置关系？
设空间两条直线 与 的方向向量分别为 ， ，两个平面 ， 的法向量分别为 ， ，则有下表：
【自主探究】
1． 如图,在直三棱柱 中别是 ， 的中点，求证： 平面 .
思考：在棱 上是否存在点 ，使 面 ？
备注
【课堂检测】
1．1．若 ， 分别是平面 ， 的法向量，则平面 ， 的位置关系是__________．
2．如图所示，在正方体 中， 为 与 的交点， 为 的中点，求证： 平面 ．
（2）在棱 上是否存在点 ，使 平面 ？证明你的结论．
3．在正三棱锥 中，三条侧棱两两互相垂直， 是 的重心， ， 分别为 ， 上的 点，且 ，求证：
（1）平面 平面 ；
（2） 是 与 的公垂线段.
备注
3．在四面体 中， 平面 ， ， ， ， 、 分别是 、 的中点.求证：平面 平面 ．
【回标反馈】
备注
【巩固练习】
1．设 ， 分别是平面 ， 的法向量，若 ，则 __________；若 ，则 __________．
高中数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面
公理1的作用 1.可以用来判定一条直线是否在平面内.即 要判定直线在平面内，只需确定直线上两个点 在平面内即可。
2.可以用来判定点在平面内，即如果直线在平 面内、点在直线上，那么点在平面内。
l , Al A
思 考
生活中，我们常看到用三脚架固定相机 等物品。这样做有什么原因吗？
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只 有一个平面。
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
p
l
P,且P l,且Pl
公理3的作用 1.是判定两个平面相交，即如果两个平面有一 个公共点，那么这两个平面相交；
2.是判定点在直线上，即点假设是某两个平面 的公共点，那么这点就在这两个平面的交线上。
判断对错:
(1)经过三点确定一个平面( × ) (2)梯形可以确定一个平面( √ )
(3)四边形确定一个平面( ×)
(4)两两相交且不共点的三条直线确定一
个平面( √ )
(5)两个平面相交,它们只有有限个公共
点( × )
(6)如果两个平面有三个不共线的公共点,
那么这两个平面重合( √ )
典型例题
例1 如图，用符号表示以下图形中点、直线、平面 之间的位置关系．
RQ
3.公理3“两平面相交,交点必在交线上〞 是证明共线问题的有力途径。
小结：
1.平面的概念；
2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画 法； 3.点、直线、平面间根本关系的文字语言,图 形语言和符号语言之间关系的转换
4.三条公理
公理1.
A B
AB
公理2.A, B,C不共线 A, B,C确定一平面
平面α与平面β相交于C
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【自主探究】
1． 在正方体 中，求二面角 的余弦值.
2．已知 ， 分别是正ຫໍສະໝຸດ 体 的棱 和 的中点，求：（1） 与 所成角的大小；（2） 与平面 所成角的正弦值；
（3）二面角 的余弦值.
备注
【课堂检测】
1．1．在正方体 中， 是棱 的中点，则二面角 的正弦值为__________．
2．过正方形 的顶点 作线段 平面 ，若 ，则平面 与平面 所成的角为____________．
3．如图，在正方体 中， 是底面 的中心， 是 的中点．
（1）求证： 是平面 的法向量；
（2）求二面角 的正弦值.
【回标反馈】
备注
【巩固练习】
1．在 正方体 中，二面角 的正切值为_____．
2．若正四棱锥的底面边长是高的两倍，则棱锥相邻两侧面所成的二面角为___．
3．如图所示，直二面角 中，四边形 是边长为2的正方形， ， 为 上的点，且 平面 .
（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的正弦值．
4．如图，已知 和 所在的平面互相垂直， ， ，求：（1） 与 所成的角；
（2） 和平面 所成的角；（3）二面角 的余弦值．
备注