2015高等数学上复习方亚豪
2015方浩概率强化讲义1
P BA
B ___
24
【例 1.28，Z】设相互独立的事件 A,B 都不发生
1 的概率是 ， 且 A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 9
不发生的概率相等，求 A 发生的概率
25
1 1 1 【 例 】 P ( A) , P B A , P A B , 则 4 3 2 P A B ___
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3.伯努利概型 [定义]：随机试验只有两个可能结果： A和 A； 每次试验 A发生概率相等 P ( A) p n重伯努利试验， [结论]： 事件 A发生 k 次的概率： k k n k Bk ( n, p) C n p (1 p) ( k 0,1,2, , n) .
11
（五）条件概率，乘法公式，独立性 1.条件概率：P ( A) 0，A发生条件下 B 发生的概 P ( AB ) 率 P ( B A) P ( A)
3
5.[必然事件]：随机试验中必然发生的事件，记 作 . 6.[不可能事件]：每次试验中一定不发生，记为 .
4
(二) 事件的关系和运算 1.[事件间的关系] (1) 包含： A B (2) 相等： A B A B (3) 和： A B (4) 积： (5) 差:
A B =AB
(6)互斥(互不相容)： AB . (7)对立： A B ， A B .记为 B A.
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
(4) P ( A) 1 P ( A).
8
3.[基本公式] [加法公式] P ( A
3
B ) P ( A) P ( B ) P ( AB )
2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案15
第二章 函数与导数第6课时 二 次 函 数(对应学生用书(文)、(理)18～19页),1. (必修1P 54测试7)函数f(x)＝x 2＋2x －3，x ∈[0，2]的值域为________．答案：[－3，5]解析：由f(x)＝(x ＋1)2－4，知f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(x)的值域是[－3，5]．2. 二次函数y ＝－x 2＋2mx －m 2＋3的图象的对称轴为x ＋2＝0，则m ＝________，顶点坐标为________，递增区间为________，递减区间为________．答案：－2 (－2，3) (－∞，－2] [－2，＋∞)3. (必修1P 45习题8改编)函数f(x)＝(x ＋1)(x －a)是偶函数，则f(2)＝________．答案：3解析：由f(－x)＝f(x)，得a ＝1，∴ f(2)＝3.4. (必修1P 44习题3)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞），－x 2＋2x －1，x ∈（－∞，0）的单调增区间是________．答案：R解析：画出函数f(x)的图象可知．5. 设abc>0，二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)答案：④解析：若a>0，则b 、c 同号，③④两图中c<0，则b<0，所以－b 2a >0，④正确；若a<0，则b 、c 异号，①中c<0，则b>0，－b2a >0，不符合，②中c>0，则b<0，－b2a <0，不符合．1. 二次函数的解析式的三种形式 (1) 一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．(2) 顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k)，则其解析式f(x)＝a(x －h)2＋k(a ≠0)．(3) 零点式(两根式)：若二次函数的图象与x 轴的交点为(x 1，0)，(x 2，0)，则其解析式f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2. 二次函数的图象及性质二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝－b2a ，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ． (1) 当a>0，函数图象开口向上，函数在区间(－∞，－b2a ]上是单调减函数，在[－b 2a ，＋∞)上是单调增函数，当x ＝－b2a 时，y 有最小值，y min ＝4ac －b 24a ．(2) 当a<0，函数图象开口向下，函数在区间[－b2a ，＋∞)上是单调减函数，在(－∞，－b 2a ]上是单调增函数，当x ＝－b2a 时，y 有最大值，y max ＝4ac －b 24a ．3. 二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac>0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1，0)，M 2(x 2，0)，则M 1M 2|a|题型1 求二次函数解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式．解：(解法1：利用一般式)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴ 所求二次函数为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.(解法2：利用顶点式)设f(x)＝a(x －m)2＋n ，∵ f(2)＝f(－1)，∴ 抛物线对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，即m ＝12；又根据题意，函数最大值y max ＝8，∴ n ＝8，∴ f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵ f(2)＝－1，∴ a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4.∴ f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.(解法3：利用两根式)由题意知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1)，即f(x)＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即 4a （－2a －1）－a 24a ＝8，解得a ＝－4或a ＝0(舍)，∴ 所求函数的解析式为f(x)＝－4x 2－(－4)x －2×(－4)－1＝－4x 2＋4x ＋7.备选变式（教师专享）已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点为(－1，10)，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根的平方和为12，求二次函数f(x)的表达式．解：由题意可设f(x)＝a(x ＋1)2＋10，即f(x)＝ax 2＋2ax ＋a ＋10；∴ b ＝2a ，c ＝a ＋10，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2，则x 21 ＋x 22 ＝12，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－2×ca ＝12. 又b ＝2a ，c ＝a ＋10，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a a 2－2×a ＋10a ＝12，解得a ＝－2， ∴f(x)＝－2x 2－4x ＋8.题型2 含参变量二次函数的最值例2 函数f(x)＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上最小值记为g(a)． (1) 求g(a)的函数表达式； (2) 求g(a)的最大值．解：(1) ①当a<－2时，函数f(x)的对称轴x ＝a2<－1，则g(a)＝f(－1)＝2a ＋5；②当－2≤a ≤2时，函数f(x)的对称轴x ＝a2∈[－1，1]，则g(a)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝3－a 22；③当a>2时，函数f(x)的对称轴x ＝a 2>1，则g(a)＝f(1) ＝5－2a.综上所述，g(a)＝⎩⎨⎧2a ＋5（a<－2），3－a22（－2≤a ≤2），5－2a （a>2）.(2) ①当a<－2时，g(a)<1；②当－2≤a ≤2时，g(a)∈[1，3]；③当a>2时，g(a)<1.由①②③可得g(a)max ＝3. 备选变式（教师专享）求二次函数f(x) ＝ x 2－4x － 1在区间[t ，t ＋2]上的最小值g(t)，其中t ∈R .解：函数f(x) ＝ (x －2)2－5的图象的对称轴方程为x ＝2，开口向上．当2∈[t ，t ＋2]，即t ≤2≤t ＋2，也就是0≤t ≤2时，g(t)＝f(2)＝－5；当2 [t ，t ＋2]时，①当t ＞2时，f(x)在[t ，t ＋2]上为增函数，故g(t)＝f(t)＝t 2－4t －1.②当t ＋2＜2，即t ＜0时，f(x)在[t ，t ＋2]上为减函数，故g(t)＝f(t ＋2)＝(t ＋2)2－4(t ＋2)－1＝t 2－5.故g(t)的解析式为g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－4t －1，t ＞2，－5，0≤t ≤2，t 2－5，t ＜0.题型3 二次函数的综合应用例3 已知函数g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b(a ≠0，b<1)，在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)＝g （x ）x .(1) 求a 、b 的值及函数f(x)的解析式；(2) 若不等式f(2x )－k·2x ≥0在x ∈[－1，1]时有解，求实数k 的取值范围．解：(1) g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b ，由题意得 ① ⎩⎪⎨⎪⎧a>0，g （2）＝1＋b ＝1，g （3）＝3a ＋b ＋1＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，② ⎩⎪⎨⎪⎧a<0，g （2）＝1＋b ＝4，g （3）＝3a ＋b ＋1＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3>1(舍)．∴ a ＝1，b ＝0，g(x)＝x 2－2x ＋1，f(x)＝x ＋1x －2. (2) 不等式f(2x)－k·2x≥0，即2x＋12x －2≥k·2x ，∴ k ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1. 设t ＝12x ，则k ≤t 2－2t ＋1，∵ x ∈[－1，1]，故t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 记h(t)＝t 2－2t ＋1，∵ t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴ h(t)max ＝1，故所求k 的取值范围是(－∞，1]． 变式训练已知函数f(x)＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称．(1) 求f(x)与g(x)的解析式；(2) 若F(x)＝g(x)－λf (x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．解：(1) 因为函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，所以图象关于x ＝－1对称，即－m2＝－1，即m ＝2. 又f(1)＝1＋m ＋n ＝3，所以n ＝0，所以f(x)＝x 2＋2x. 又y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称， 所以－g(x)＝(－x)2＋2(－x)， 所以g(x)＝－x 2＋2x.(2) 由(1)知，F(x)＝(－x 2＋2x)－λ(x 2＋2x)＝－(λ＋1)x 2＋(2－2λ)x.当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x ＝2－2λ2（λ＋1）＝1－λλ＋1，因为F(x)在(－1，1]上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ<0，1－λλ＋1≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ>0，1－λλ＋1≥1，所以λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x 显然成立． 综上所述，实数λ的取值范围是(－∞，0]．1. 若函数f(x)＝ax 2－3x ＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案：0≤a ≤14解析：当a ＝0时，f(x)＝－3x ＋4，符合；当a ≠0时，则⎩⎨⎧a>0，32a ≥6，解得0<a ≤14.综上，实数a 的取值范围是0≤a ≤14.2. 已知函数f(x)＝x 2－3x ＋m ，g(x)＝2x 2－4x ，若f(x)≥g(x)恰在x ∈[－1，2]上成立，则实数m 的值为________．答案：2解析：由题意，x 2－3x ＋m ≥2x 2－4x ，即x 2－x －m ≤0的解集是[－1，2]，所以m ＝2.3. (2013·南通三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2x －1，x ≥0，x 2＋bx ＋c ，x ＜0是偶函数，直线y ＝t 与函数y ＝f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D.若AB ＝BC ，则实数t 的值为________．答案：－74解析：根据偶函数的定义得a ＝1，b ＝2，c ＝－1，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝3x C ，x C ＋x D ＝2，所以x C ＝12，则t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×12－1＝－74.4. (2013·新课标)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为________．答案：16解析：因为点(1，0)，(－1，0)在f(x)的图象上，且图象关于直线x＝－2对称，所以点(－5，0)，(－3，0)必在f(x)的图象上，所以f(－5)＝(1－25)(25－5a＋b)＝0，f(－3)＝(1－9)(9－3a＋b)＝0，联立，解得a＝8，b＝15，所以f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)，即f(x)＝－(x＋1)(x －1)(x＋3)(x＋5)＝－(x2＋4x＋3)(x2＋4x－5)．令t＝x2＋4x＝(x＋2)2－4≥－4，则f(x)＝－(t＋3)(t－5)＝－(t－1)2＋16，当t＝1时，f(x)max ＝16.1. 已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为________．答案：(2－2，2＋2)解析：易知，f(a)＝e a－1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b2＋4b －3>－1，解得2－2<b<2＋ 2.2. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．答案：9解析：根据函数f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，得到a2－4b＝0.又关于x的不等式f(x)<c，可化为x2＋ax＋b－c<0，它的解集为(m，m＋6)，设函数f(x)＝x2＋ax＋b－c的图象与x轴的交点的横坐标分别为x 1、x 2，则|x 2－x 1|＝m ＋6－m ＝6，从而(x 2－x 1)2＝36，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36.又x 1x 2＝b －c ，x 1＋x 2＝－a ，代入得到 c ＝9.3. 设函数f(x)＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f(x)≤f(x －1)＋4f(m)恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：由题意知x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立， 1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32.4. 已知函数f(x)＝mx ＋3，g(x)＝x 2＋2x ＋m.(1) 求证：函数f(x)－g(x)必有零点；(2) 设函数G(x)＝f(x)－g(x)－1，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，求实数m 的取值范围．(1) 证明：f(x)－g(x)＝(mx ＋3)－(x 2＋2x ＋m)＝－x 2＋(m －2)x ＋(3－m)．由Δ1＝(m －2)2＋4(3－m)＝m 2－8m ＋16＝(m －4)2≥0，知函数f(x)－g(x)必有零点．(2) 解：|G(x)|＝|－x 2＋(m －2)x ＋(2－m)|＝|x 2－(m －2)x ＋(m －2)|，Δ2＝(m －2)2－4(m －2)＝(m －2)(m －6)，① 当Δ2≤0，即2≤m ≤6时，|G(x)|＝x 2－(m －2)x ＋(m －2)，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则m －22≥0，即m ≥2，所以2≤m ≤6时，符合条件．② 当Δ2＞0，即m ＜2或m ＞6时，若m ＜2，则m －22＜0，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则m －22≤－1且G(0)≤0，所以m ≤0；若m ＞6，则m －22＞2，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则G(0)≥0，所以m ＞6.综上，m ≤0或m ≥2.1. 二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称轴、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．2. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，需要按照“三点一轴”来分类讨论(三点即区间的端点和中点，一轴即对称轴)，此类问题是考查的重点．3. 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．请使用课时训练（A）第6课时（见活页）.[备课札记]。
【高考复习方案】(全国卷地区专用)2015届高考数学第一轮总复习 第11讲 函数与方程
课时作业(十一)[第11讲 函数与方程](时间：30分钟 分值：80分)1．[2013·青岛模拟] 函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是( )A ．(14，12)B ． (12，1) C ．(1，2) D ．(2，3) 2．x 0是函数f (x )＝2sin x －πln x (x ∈(0，π))的零点，x 1，x 2∈(0，π)，x 1<x 2，则下列结论正确的是( )①x 0∈(1，e)； ②x 0∈(e ，π)；③f (x 1)－f (x 2)<0； ④f (x 1)－f (x 2)>0.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④3．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0，2)内零点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．04．[2013·北京西城区二模] 已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，－1)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．[2013·广州一模] 已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ．f (a )<f (1)<f (b )B ．f (a )<f (b )<f (1)C ．f (1)<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (1)<f (a )7．[2013·泰安一检] 设函数f (x )＝x 3－4x ＋a (0<a <2)有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3则下列结论正确的是( )A ．x 1>－1B ．x 2<0C ．x 3>2D ．0<x 2<18．[2013·淮北一检] 方程|sin x |＝kx (k >0)有且仅有两个不同的非零实数解θ，φ(θ>φ)，则以下有关两根关系的结论正确的是( )A ．sin φ＝φcos θB ．sin φ＝－φcos θC ．cos φ＝θsin θD ．sin θ＝－θsin φ9．[2013·南京模拟] 在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现已将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．10．[2013·北京朝阳区一模] 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2，3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．11．[2013·济南模拟] f (x )＝|2x －1|，f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f [f 1(x )]，…，f n (x )＝f [f n －1(x )]，则函数y ＝f 4(x )的零点个数为________．12．(13分)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .若函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求实数a 的取值范围．13．(1)(6分)[2013·牡丹江地区六县市联考] 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…－x 20122012＋x 20132013，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…＋x 20122012－x 20132013.若函数f (x )有唯一零点x 1，函数g (x )有唯一零点x 2，则有( )A ．x 1∈(0，1)，x 2∈(0，1)B ．x 1∈(－1，0)，x 2∈(0，1)C ．x 1∈(0，1)，x 2∈(1，2)D ．x 1∈(－1，0)，x 2∈(1，2)(2)(6分)[2013·合肥一中测试] 函数f (x )的定义域为D ，若存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使得函数f (x )满足：f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数；f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[2a ，2b ]，则称区间[a ，b ]为y ＝f (x )的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的有________(只需填符合题意的函数序号)．①f (x )＝x 2(x ≥0)；②f (x )＝e x (x ∈R )；③f (x )＝4x x 2＋1(x ≥0)；④f (x )＝log a (a x －18)(a >0，a ≠1)．课时作业(十一)1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B9．(1.5，2) 10．(25，23) 11．8 12．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >1或a ≤－3－72) 13．(1)D (2)①③④。
2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案21
第二章函数与导数第12课时导数在研究函数中的应用(对应学生用书(文)、(理)30～32页),1. (选修22P28例1改编)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为______________．答案：(－1，11)解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，由(x－11)(x＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间．2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x －ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________．答案：e解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x －a ，所以a ＝e.3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________．答案：[0，2π]解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]．4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．答案：(－∞，4]解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2在[2，＋∞)上恒成立．5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大．答案：10解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，0<x<12，V′＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)，当0<x<10时，V′>0；当10<x<12时，V′<0.所以V在(0，10]上是增函数，在[10，12)上是减函数，故当x＝10时，V最大．1. 函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)为该区间上的增函数；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)为该区间上的减函数．2. 函数的极值与导数(1) 函数极值的定义若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都要小，f(a)叫函数的极小值．若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都要大，f(b)叫函数的极大值，极小值和极大值统称为极值．(2) 求函数极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么f(x0)是极大值．②如果在x0附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么f(x0)是极小值．3. 函数的最值(1) 最大值与最小值的概念如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．(2) 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．②将函数y＝f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值．4. 生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是：优化问题®®用导数解决数学问题®优化问题答案题型1导数与函数的单调性例1已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1) 若a＝3时，求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(3) 是否存在实数a，使f(x)在(－1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1) 当a＝3时，f(x)＝x3－3x－1，∴f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0即3x2－3>0，解得x>1或x<－1，∴ f(x)的单调增区间为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，同理可求f(x)的单调减区间为(－1，1)．(2) f′(x)＝3x 2－a.∵ f(x)在实数集R 上单调递增，∴ f ′(x)≥0恒成立，即3x 2－a ≥0恒成立，∴ a ≤(3x 2)min . ∵ 3x 2的最小值为0，∴ a ≤0.(3) 假设存在实数a 使f(x)在(－1，1)上单调递减，∴ f ′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即a ≥3x 2.又3x 2∈[0，3)，∴ a ≥3.∴ 存在实数a 使f(x)在(－1，1)上单调递减，且a ≥3.备选变式（教师专享）(1) 已知函数 f(x)＝12x 2－mlnx ＋(m －1)x ，当 m ≤0 时，试讨论函数 f(x) 的单调性；(2) 若函数f(x)＝－12()x －22＋blnx 在(1，＋∞)上是减函数，求实数b 的取值范围．解：(1)函数的定义域为()0，＋∞，f ′(x)＝x －m x ＋(m －1)＝x 2＋（m －1）x －m x ＝（x －1）（x ＋m ）x. ①当－1<m ≤0时，令f′(x)>0，得0<x<－m 或x>1，令f′(x)<0，得－m<x<1，∴ 函数 f(x)的单调递增区间是()0，－m 和()1，＋∞，单调递减区间是()－m ，1；②当m ≤－1时，同理可得，函数 f(x)的单调递增区间是()0，1和()－m ，＋∞，单调递减区间是()1，－m .(2)由f(x)＝－12()x －22＋blnx ，得f′(x)＝－(x －2)＋b x ，由题意，知f′(x)≤0即－()x －2＋b x ≤0在()1，＋∞上恒成立，∴ b ≤[]x ()x －2min ，当x ∈()1，＋∞时，[]x ()x －2∈()1，＋∞，∴ b ≤1.题型2 导数与函数的极值、最值例2 设函数f(x)＝(x 2＋ax ＋b)e x (x ∈R )．(1) 若a ＝2，b ＝－2，求函数f(x)的极大值；(2) 若x ＝1是函数f(x)的一个极值点．① 试用a 表示b ；② 设a ＞0，函数g(x)＝(a 2＋14)e x ＋4.若ξ1、ξ2∈[0，4]，使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立，求a 的取值范围．解：(1) ∵ f ′(x)＝(2x ＋a)e x ＋(x 2＋ax ＋b)e x ＝[x 2＋(2＋a)x ＋(a ＋b)]e x ，当a ＝2，b ＝－2时，f(x)＝(x 2＋2x －2)e x ，则f′(x)＝(x 2＋4x)e x ，令f′(x)＝0得(x 2＋4x)e x ＝0，∵ e x ≠0, ∴ x 2＋4x ＝0，解得x ＝－4或x ＝0，列表如下：Z]Z∴当x＝－4时，函数f(x)取极大值，f(x)极大值＝6 e4.(2) ①由(1)知f′(x)＝[x2＋(2＋a)x＋(a＋b)]e x.∵x＝1是函数f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝0，即e[1＋(2＋a)＋(a＋b)]＝0，解得b＝－3－2a.②由①知f′(x)＝e x[x2＋(2＋a)x＋(－3－a)]＝e x(x－1)[x＋(3＋a)]，当a＞0时，f(x)在区间(0，1)上的单调递减，在区间(1，4)上单调递增，∴函数f(x)在区间[0，4]上的最小值为f(1)＝－(a＋2)e.∵f(0)＝b＝－3－2a＜0，f(4)＝(2a＋13)e4＞0，∴函数f(x)在区间[0，4]上的值域是[f(1)，f(4)]，即[－(a＋2)e，(2a＋13)e4]．又g(x)＝(a2＋14)e x＋4在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[(a2＋14)e4，(a2＋14)e8]，∴(a2＋14)e4－(2a＋13)e4＝(a2－2a＋1)e4＝(a－1)2e4≥0，∴存在ξ1、ξ2∈[0，4]使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立只须(a2＋14)e4－(2a＋13)e4＜1Þ(a－1)2e4＜1Þ(a－1)2＜1e4Þ1－1e2＜a＜1＋1e 2.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x(a 、b ∈R )在点x ＝－1处取得极大值为2.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1、x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤c ，求实数c 的最小值．解：(1) f′(x)＝3ax 2＋2bx －3.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝2，f ′（－1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋3＝2，3a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0， 所以f(x)＝x 3－3x.(2) 令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0，得x ＝±1.因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，所以当x ∈[－2，2]时，f(x)max ＝2，f(x)min ＝－2.则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1、x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4，所以c ≥4.所以c 的最小值为4.题型3 导数在实际问题中的应用例3请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1) 某广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2) 某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：(1) S＝602－4x2－(60－2x)2＝240x－8x2(0<x<30)，所以x＝15 cm时侧面积最大．(2) V＝(2x)222(60－2x)＝22x2(30－x)(0<x<30)，所以V′＝62x(20－x)，令V′＝0，得x＝20，当0<x<20时，V递增；当20<x<30时，V递减．所以，当x＝20时，V最大，此时，包装盒的高与底面边长的比值为22（60－2x）2x＝12.变式训练某地方政府在某地建一座桥，两端的桥墩相距m米，此工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩(包括两端的桥墩)．经预测，一个桥墩的费用为256万元，相邻两个桥墩之间的距离均为x ，且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为(1＋x)x 万元，假设所有桥墩都视为点且不考虑其他因素，记工程总费用为y 万元．(1) 试写出y 关于x 的函数关系式；(2) 当m ＝1 280米时，需要新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解：根据题意，需要建⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋1个桥墩和m x 段桥面工程．(1) y ＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋1＋m x (1＋x)x＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋256x ＋m ＋256⎝ ⎛⎭⎪⎫x>0，m x ∈N .(2) 当m ＝1 280时，y ＝1 280⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋256x ＋1 536，y ′＝1 280⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －256x 2，令y′＝0，得x ＝64，当0<x<64时，y ′<0；当x>64时，y ′>0.所以当x ＝64时，y 有最小值16 896，此时要建21个桥墩． 答：需要建21个桥墩才能使y 最小．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)已知函数f(x)＝lnx －ax(a ∈R )．(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．审题引导： ① 知函数解析式求单调区间，实质是求f′(x)>0，f ′(x)<0的解区间，并注意定义域；② 先研究f(x)在[1，2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值；③ 由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论．规范解答： 解：(1) f′(x)＝1x －a(x>0)．(1分)① 当a ≤0时，f ′(x)＝1x －a ≥0，即函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)．(3分)② 当a>0时，令f′(x)＝1x －a ＝0，得x ＝1a ，当0<x<1a 时，f ′(x)＝1－ax x >0，当x>1a 时，f ′(x)＝1－ax x <0，所以函数f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞.(6分) (2) ① 当1a ≤1，即a ≥1时，函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.(8分)② 当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f(x)在区间[1，2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.(10分)③ 当1<1a <2，即12<a<1时，函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数， 又f(2)－f(1)＝ln2－a ，所以当12<a<ln2时，最小值是f(1)＝－a ；当ln2≤a<1时，最小值是f(2)＝ln2－2a.(12分)综上可知，当0<a<ln2时，最小值是－a ；当a ≥ln2时，最小值是ln2－2a.(14分)1. (2013·新课标Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a)<1成立，则a 的取值范围是________．答案：(－1，＋∞)解析：因为2x (x －a)<1，所以a>x －12x ，令f(x)＝x －12x ，所以f′(x)＝1＋2－x ln2>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)＝0－1＝－1，所以a 的取值范围是(－1，＋∞)．2. (2013·大纲)若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________．答案：a ≥3解析：f′(x)＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立．令g(x)＝1x 2－2x ，求导可得g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上的最大值为3，所以a ≥3.3. (2013·扬州期末)已知函数f(x)＝lnx －m x (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________．答案：－3e解析：f′(x)＝1x ＋m x 2＝x ＋m x 2，令f′(x)＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x>－m 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．若－m ≤1，即m ≥－1时，f(x)min ＝f(1)＝－m ≤1，不可能等于4；若1<－m ≤e ，即－e ≤m<－1时，f(x)min ＝f(－m)＝ln(－m)＋1，令ln(－m)＋1＝4，得m ＝－e 3(－e ，－1)；若－m>e ，即m<－e 时，f(x)min＝f(e)＝1－m e ，令1－m e ＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m＝－3e.4. (2013·南京二模)设函数f(x)＝x 2－(a －2)x －alnx.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；(3) 若方程f(x)＝c 有两个不相等的实数根x 1、x 2，求证：f′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.(1) 解：f′(x)＝2x －(a －2)－a x ＝2x 2－（a －2）x －a x＝（2x －a ）（x ＋1）x(x>0)． 当a ≤0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，得x>a 2；由f′(x)<0，得0<x<a 2.所以函数f(x)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞，单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2. (2) 解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点，则a>0，且f(x)的最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<0，即－a 2＋4a －4aln a 2<0. 因为a>0，所以a ＋4ln a 2－4>0.令h(a)＝a ＋4ln a 2－4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数，且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln 32－1＝ln 8116－1>0，所以存在a 0∈(2，3)，h(a 0)＝0.当a>a 0时，h(a)>0；当0<a<a 0时，h(a)<0.所以满足条件的最小正整数a ＝3.又当a ＝3时，f(3)＝3(2－ln3)>0，f(1)＝0，所以a ＝3时，f(x)有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.(3) 证明：因为x 1、x 2是方程f(x)＝c 的两个不等实根，由(1)知a>0.不妨设0<x 1<x 2，则x 21－(a －2)x 1－alnx 1＝c ，x 22－(a －2)x 2－alnx 2＝c.两式相减得x 21－(a －2)x 1－alnx 1－x 22＋(a －2)·x 2＋alnx 2＝0， 即x 21＋2x 1－x 22－2x 2＝ax 1＋alnx 1－ax 2－alnx 2＝a(x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2)．所以a ＝x 21＋2x 1－x 22－2x 2x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2. 因为f′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2时，f ′(x)<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞时，f′(x)>0，故只要证x 1＋x 22>a 2即可，即证明x 1＋x 2>x 21＋2x 1－x 22－2x 2x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2， 即证明x 21－x 22＋(x 1＋x 2)(lnx 1－lnx 2)<x 21＋2x 1－x 22－2x 2，即证明ln x 1x 2<2x 1－2x 2x 1＋x 2. 设t ＝x 1x 2(0<t<1)． 令g(t)＝lnt －2t －2t ＋1，则g ′(t)＝1t －4（t ＋1）2＝（t －1）2t （t ＋1）2. 因为t>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t ＝1时，g ′(t)＝0，所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．又g(1)＝0，所以当t ∈(0，1)，g(t)<0总成立．所以原题得证．1. 如果关于x 的方程ax ＋1x 2＝3在区间(0，＋∞)上有且仅有一个解，那么实数a 的取值范围为________．答案：a ≤0或a ＝2解析：由ax ＋1x 2＝3，得a ＝3x －1x 3.令t ＝1x ，则f(t)＝3t －t 3，t ∈(0，＋∞)．用导数研究f(t)的图象，得f max (t)＝2，当x ∈(0，1)时，f(t)递增，当x ∈(1，＋∞)时，f(t)递减，所以a ≤0或a ＝2.2. 已知函数f(x)＝lnx －a （x －1）x ＋1，若函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．答案：a ≤2解析：f′(x)＝x 2＋（2－2a ）x ＋1x （x ＋1）2≥0在(0，＋∞)上恒成立，易得a ≤2.3. 设直线y ＝a 分别与曲线y 2＝x 和y ＝e x 交于点M 、N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为________． 答案：22解析：由题意，M(a 2，a)，N(lna ，a)，故MN 的长l ＝|a 2－lna|＝a 2－lna(a>0)，由l′＝2a －1a ＝2a 2－1a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22a ， 令l′>0，得l ＝a 2－lna 在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增； 令l′<0，得l ＝a 2－lna 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，所以当a ＝22时，线段MN 的长取得极小值，也是最小值．4. 已知函数f(x)＝(ax 2＋x)e x ，其中e 是自然数的底数，a ∈R .(1) 当a<0时，解不等式f(x)>0；(2) 若f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围；(3) 当a ＝0时，求整数k 的所有值，使方程f(x)＝x ＋2在[k ，k ＋1]上有解．解：(1) 因为e x >0，所以不等式f(x)>0即为ax 2＋x>0.又a<0，所以不等式可化为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a <0，所以不等式f(x)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a . (2) f′(x)＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x)e x＝[ax 2＋(2a ＋1)x ＋1]e x ，① 当a ＝0时，f ′(x)＝(x ＋1)e x ，f ′(x)≥0在[－1，1]上恒成立，当且仅当x ＝－1时取等号，故a ＝0符合要求；② 当a ≠0时，令g(x)＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋1，因为Δ＝(2a ＋1)2－4a ＝4a 2＋1>0，所以g(x)＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2，不妨设x 1>x 2，因此f(x)有极大值又有极小值．若a>0，因为g(－1)·g(0)＝－a<0，所以f(x)在(－1，1)内有极值点，故f(x)在[－1，1]上不单调．若a<0，可知x 1>0>x 2，因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[－1，1]上单调，因为g(0)＝1>0，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧g （1）≥0，g （－1）≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2≥0，－a ≥0.所以－23≤a ≤0.综上可知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0. (3) 当a ＝0时， 方程即为xe x ＝x ＋2，由于e x >0，所以x ＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x －2x －1＝0.令h(x)＝e x－2x －1，因为h′(x)＝e x ＋2x 2>0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调增函数，又h(1)＝e －3<0，h(2)＝e 2－2>0，h(－3)＝e －3－13<0，h(－2)＝e －2>0，所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数k的所有值为{－3，1}．1. 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)不恒为0，则参数范围确定．2. 理解可导函数极值与最值的区别，极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值．3. 用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．请使用课时训练(A)第12课时(见活页)．[备课札记]。
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第8讲函数与方程
第8讲函数与方程一、选择题1．设f(x)＝e x＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()．A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)解析∵f(x)＝e x＋x－4，∴f′(x)＝e x＋1>0，∴函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(－1)f(0)>0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故选C.答案 C2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )．A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析f(x)＝2x＋3x在R上为增函数，且f(－1)＝2－1－3＝－52，f(0)＝1，则f(x)＝2x＋3x在(－1,0)上有唯一的一个零点．答案 B3．函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()．A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)解析由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0<a<3.答案 C4．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．A ．6B ．7C ．8D ．9解析 当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝0，得x ＝0或x ＝1.根据周期函数的性质，由f (x )的最小正周期为2，可知y ＝f (x )在[0,6)上有6个零点，又f (6)＝f (3×2)＝f (0)＝0，∴f (x )在[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案 B5．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( )．A ．5B ．6C ．7D ．8解析 由题意知函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝|cos πx |.同理可以得到在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0，⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图像，如图所示，有5个根．所以总共有6个．答案 B6．方程x 2＋2x －1＝0的解可视为函数y ＝x ＋2的图象与函数y ＝1x的图象交点的横坐标，若x 4＋ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎪⎫x i ，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是( )．A ．RB ．∅C ．(－6,6)D ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) 解析 (转化法)方程的根显然x ≠0，原方程等价于x 3＋a ＝4x，原方程的实根是曲线y ＝x 3＋a 与曲线y ＝4x的交点的横坐标；而曲线y ＝x 3＋a 是由曲线y＝x 3向上或向下平移|a |个单位而得到的．若交点⎝ ⎛⎭⎪⎫x i，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧， 因直线y ＝x 与y ＝4x交点为：(－2，－2)，(2,2)；所以结合图象可得：⎩⎨⎧a ＞0，x 3＋a ＞－2，x ≥－2，或⎩⎨⎧a ＜0，x 3＋a ＜2，x ≤2，⇒a ∈(－∞，－6)∪(6，＋∞)；选D. 答案 D 二、填空题7．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________． 解析 ∵f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号． 答案 (0,0.5) f (0.25)8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1， x－x 2－2x x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 画出图象，令g (x )＝f (x )－m ＝0，即f (x )与y ＝m 的 图象的交点有3个，∴0<m <1. 答案 (0,1)9.函数f(x)= 21x 2x ,x 02lgx 1,x 0⎧-+≤⎪⎨⎪->⎩的零点个数为_______.解析 作出函数f(x)的图象，从图象中可知函数f(x)的零点有4个.答案 410．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P 、Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P 、Q )与点对(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋4x ＋1，x <0，2ex ，x ≥0，则f (x )的“友好点对”的个数是________．解析 设P (x ，y )、Q (－x ，－y )(x >0)为函数f (x )的“友好点对”，则y ＝2e x ，－y ＝2(－x )2＋4(－x )＋1＝2x 2－4x ＋1，∴2e x ＋2x 2－4x ＋1＝0，在同一坐标系中作函数y 1＝2e x 、y 2＝－2x 2＋4x －1的图象，y 1、y 2的图象有两个交点，所以f (x )有2个“友好点对”，故填2. 答案 2 三、解答题11．若方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在x ∈(0,3)内有唯一零点，求实数m 的取值范围．解析 原方程可化为－(x －2)2＋1＝m (0<x <3)，设y 1＝－(x －2)2＋1(0<x <3)，y 2＝m ， 在同一坐标系中画出它们的图像(如图所示)．由原方程在(0,3)内有唯一解，知y 1与y 2的图像只有一个公 共点， 可见m 的取值范围是－3<m≤0或m ＝1.12．对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点，已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0) (1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－x －3， 由题意可知x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3 故当a ＝1，b ＝－2时，f (x )的不动点是－1,3.(2)∵f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)恒有两个不动点，∴x ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1，即ax 2＋bx ＋b －1＝0恒有两相异实根， ∴Δ＝b 2－4ab ＋4a ＞0(b ∈R)恒成立． 于是Δ′＝(4a )2－16a ＜0解得0＜a ＜1，故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1. 13．已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t (视区间[a ，b ]的长度为b －a )．解 (1)∵函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，∴f (x )在区间[－1,1]上是减函数．∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有⎩⎨⎧f (1)≤0，f (－1)≥0，即⎩⎨⎧1－16＋q ＋3≤0，1＋16＋q ＋3≥0，∴－20≤q ≤12. (2)∵0≤t <10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8.①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小， ∴f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0，解得t ＝15±172，∴t ＝15－172；②当6<t ≤8时，在区间[t,10]上，f (10)最大，f (8)最小， ∴f (10)－f (8)＝12－t ，解得t ＝8；③当8<t <10时，在区间[t,10]上，f (10)最大，f (t )最小， ∴f (10)－f (t )＝12－t ，即t 2－17t ＋72＝0，解得t ＝8,9， ∴t ＝9.综上可知，存在常数t ＝15－172，8,9满足条件. 14．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)法一：∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，则g (x )＝m 就有零点．法二：作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有零点， 则只需m ≥2e. 法三：由g (x )＝m 得x 2－mx ＋e 2＝0. 此方程有大于零的根，故⎩⎨⎧m 2Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎨⎧m m ≥2e或m ≤－2e，故m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x(x>0)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2. 故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)。
2015高考数学大二轮总复习课件：第1部分专题4第2讲
因此 MD 綉 OE.
连接 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形， 则 DE∥MO. 因为直线 DE⊄平面 A1MC，MO⊂平面 A1MC， 所以直线 DE∥平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点)， 使直线 DE∥平面 A1MC.
热点聚焦 ·题型突 第五页，编辑归于星纳期总五：结十五·点思五分。
(2)证明 在等边△ABC 中，F 是 BC 的中点，∴AF⊥CF.
∵在三棱锥 A－BCF 中，BC＝ 22，BF＝CF＝12， ∴BC2＝BF2＋CF2，∴CF⊥BF.
又 BF∩AF＝F，
∴CF⊥平面 ABF.
(3) 解
VF
－
DEG
【训练 2】 如图所示，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC⊥BC. (1)求证：平面 AB1C1⊥平面 AC1； (2)若 D 是棱 CC1 的中点，问在棱 AB 上是否存在一点 E，使 DE∥平面 AB1C1？若存在，试确定点 E 的位置；若不存在， 请说明理由．
热点聚焦 ·题型突 第二十页，编归辑于纳星总期五结：十·五思点 五分。
＝
VE
－
DFG
＝
1 3
×
1 2
×DG×FG×GE
＝
1 3
×
1 2
×
1 3
×13× 23×13＝3234.
热点聚焦 ·题型突 第六页，编辑归于星纳期总五：结十五·点思五分。
探究提高 (1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关 系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分 利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．(2)把平面图形翻 折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转 化到我们熟悉的几何体中解决．
2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案55
第八章 立体几何初步第6课时 空间向量在立体几何中的应用(对应学生用书(理)113～115页)考情分析考点新知理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．体会向量方法在研究几何问题中的作用．能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系；能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.1. (选修21P 97习题14改编)若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________．答案：－2或255解析：由已知得89＝a·b|a||b|＝2－λ＋45＋λ2·9， ∴ 85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255.2. (选修21P 89练习3)已知空间四边形OABC ，点M 、N 分别是OA 、BC 的中点，且 OA→＝a, OB →＝b, OC →＝c ，用a ，b ，c 表示向量 MN→＝________．答案：12(b ＋c －a )解析：如图， MN →＝12( MB →＋ MC →)＝12·[( OB→－ OM →)＋(OC →－ OM →)]＝12( OB →＋ OC →－2 OM →)＝12( OB →＋ OC →－ OA →)＝12(b ＋c －a )． 3. (选修21P 101练习2改编)已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝________.答案：－8解析：(2，m ，1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2＝0，得m ＝－8. 4. (选修21P 86练习3改编)已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ等于________．答案：657解析：由于a 、b 、c 三个向量共面，所以存在实数m 、n 使得c ＝m a ＋n b ，即有(7，5，λ)＝ m(2，－1，3)＋n(－1，4，－2)，即(7，5，λ)＝(2m －n ，－m ＋4n ，3m －2n)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n ，5＝－m ＋4n ，λ＝3m －2n ，解得m ＝337，n ＝177，λ＝657.5. (选修21P 110例4改编)在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．答案：23解析：以A 为原点建立平面直角坐标系，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，D(0，1，0)，∴ A 1D →＝(0，1，－1)，A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，－12，设平面A 1ED 的法向量为n 1＝(1，y ，z)， 则⎩⎨⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2. ∴ n 1＝(1，2，2)．∵ 平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即所成的锐二面角的余弦值为23.1. 直线的方向向量与平面的法向量(1) 直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量． (2) 如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时把向量n 叫做平面α的法向量．2. 线面关系的判定直线l 1的方向向量为e 1＝(a 1，b 1，c 1)，直线l 2的方向向量为e 2＝(a 2，b 2，c 2)，平面α的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面β的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．(1) 如果l 1∥l 2，那么e 1∥e 2Ûe 2＝λe 1a 2＝λa 1，b 2＝λb 1，c 2＝λc 1．(2) 如果l 1⊥l 2，那么e 1⊥e 2Ûe 1·e 2＝0Ûa 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0． (3) 若l 1∥α，则e 1⊥n 1Ûe 1·n 1＝0Ûa 1x 1＋b 1y 1＋c 1z 1＝0． (4) 若l 1⊥α，则e 1∥n 1Ûe 1＝k n 1Ûa 1＝kx 1，b 1＝ky 1，c 1＝kz 1． (5) 若α∥β，则n 1∥n 2Ûn 1＝k n 2Ûx 1＝kx 2，y 1＝ky 2，z 1＝kz 2． (6) 若α⊥β，则n 1⊥n 2Ûn 1·n 2＝0Ûx 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0． 3. 利用空间向量求空间角 (1) 两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.②向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|.(2) 直线与平面所成的角①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.②向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|或cos θ＝sinφ.(3) 二面角①二面角的取值范围是[0，π]．②二面角的向量求法：(ⅰ) 若AB、CD分别是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图①)．(ⅱ) 设n1、n2分别是二面角αlβ的两个面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．[备课札记]题型1 空间向量的基本运算例1 如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则BM →＝________. 答案：－12a ＋12b ＋c解析：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝12⎝⎛⎭⎫AD →－AB →＋AA 1→＝－12a ＋12b ＋c .备选变式（教师专享）已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a ＝AB→，b ＝AC →. (1) 求a 和b 的夹角θ；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解：∵A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a ＝AB→，b ＝AC →， ∴a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)．(1)∵cosθ＝a·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 和b 的夹角为arccos ⎝⎛⎭⎪⎫－1010. (2)∵k a ＋b ＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8 ＝2k 2＋k －10＝0，解得k ＝－52或2.题型2 空间中的平行与垂直例2 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1) AM ∥平面BDE ； (2) AM ⊥平面BDF.证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连结NE.则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E(0，0，1)，A(2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.∴ NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴ NE→＝AM →且NE 与AM 不共线．∴ NE ∥AM. ∵ NE Ì平面BDE ，AM Ë平面BDE ， ∴ AM ∥平面BDE.(2) 由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵ D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴ DF→＝(0，2，1)， ∴ AM→·DF →＝0，∴ AM ⊥DF.同理AM ⊥BF. 又DF ∩BF ＝F ，∴ AM ⊥平面BDF. 变式训练如右图，在棱长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心，(1) 试证：A 1、G 、C 三点共线； (2) 试证：A 1C ⊥平面BC 1D ；证明：(1) CA1→＝CB →＋BA →＋AA 1→＝CB →＋CD →＋CC 1→， 可以证明：CG →＝13(CB →＋CD →＋CC 1→)＝13CA 1→， ∴ CG →∥CA 1→，即A 1、G 、C 三点共线．(2) 设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝a ，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∵ CA1→＝a ＋b ＋c ，BC 1→＝c －a ， ∴ CA 1→·BC 1→＝(a ＋b ＋c )·(c －a )＝c 2－a 2＝0， ∴ CA1→⊥BC 1→，即CA 1⊥BC 1， 同理可证：CA 1⊥BD ，因此A 1C ⊥平面BC 1D. 题型3 空间的角的计算例3 (2013·苏锡常镇二模)如图，圆锥的高PO ＝4，底面半径OB ＝2，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF ⊥DE.(1) 求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； (2) 求二面角OOFE 的正弦值． 解：(1) 以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的线为y 轴，OP 所在的线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．设F(x 0，y 0，0)(x 0>0，y 0>0)，且x 20＋y 20＝4， 则EF→＝(x 0，y 0－1，－2)，DE →＝(0，1，0)， ∵ EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1. ∴ F(3，1，0)，EF→＝(3，0，－2)，BD →＝(0，－2，2)． 设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝147.(2) 设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1⊥OD→，n 1⊥OF→，即⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，3x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)．设平面DEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，32.设二面角ODFE 的平面角为β，则|cos β|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77. ∴ sin β＝427.备选变式（教师专享）(2013·江苏卷)如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1) 求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2) 求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1) 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)． 因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2) 设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，因为AD→＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.1. 设A 1、A 2、A 3、A 4、A 5是空间中给定的5个不同的点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＋MA 5→＝0成立的点M 的个数为________． 答案：1 个解析：设A 1、A 2、A 3、A 4、A 5坐标分别为(x 1，y 1，z 1)，(x 2，y 2，z 2)，(x 3，y 3，z 3)，(x 4，y 4，z 4)(x 5，y 5，z 5)，设M 坐标为(x ，y ，z)．由MA1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＋MA 5→＝0得方程 (x 1－x)＋(x 2－x)＋(x 3－x)＋(x 4－x)＋(x 5－x)＝0， (y 1－y)＋(y 2－y)＋(y 3－y)＋(y 4－y)＋(y 5－y)＝0， (z 1－z)＋(z 2－z)＋(z 3－z)＋(z 4－z)＋(z 5－z)＝0，解得x ＝（x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5）5， y ＝（y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5）5， z ＝（z 1＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5）5. 故有唯一的M 满足等式． 2. (2013·连云港模拟)若平面α的一个法向量为n ＝(4，1，1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3，3)，则l 与α所成角的正弦值为________．答案：41133解析：cos 〈n ，a 〉＝n·a|n||a|＝－832×22＝－41133.又l 与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝41133.3. (2013·新课标全国卷Ⅱ)如图所示，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB.(1) 证明：BC 1∥平面A 1CD ； (2) 求二面角DA 1CE 的正弦值．(1) 证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF. 因为DF Ì平面A 1CD ，BC 1Ë平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD.(2) 由AC ＝CB ＝22AB 得AC ⊥BC. 以C 为坐标原点，CA→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA ＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A 1(2，0，2)，CD→＝(1，1，0)，CE →＝(0，2，1)，CA 1→＝(2，0，2)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD的法向量，则⎩⎨⎧n ·CD→＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 为平面A 1CE 的法向量，则⎩⎨⎧m ·CE→＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2，1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n·m|n||m|＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D-A 1C-E 的正弦值为63.4. (2013·重庆)如图所示，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB.(1) 求PA 的长；(2) 求二面角B-AF-D 的正弦值．解：(1) 如图，连结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD.以O 为坐标原点，OB→、OC →、AP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，则OC ＝CDcos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CDsin π3＝3，故A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)．因为PA ⊥底面ABCD ，可设P(0，－3，z)，由F 为PC 边中点，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2，又AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z)，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA →|＝2 3. (2) 由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF →＝(0，2，3)．设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·AD→＝0，n 1·AF →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)． 由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)． 从而向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18.故二面角B-AF-D 的正弦值为378.5. (2013·连云港调研)在三棱锥SABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱SB 上一点，当SDDB 为何值时，CD ⊥AB ； (2) 求二面角S-BC-A 的余弦值大小．解：以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝3.O(0，0，0)，C(0，3，0)，A(0，－3，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)．(1) 设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，则OD →＝(1＋λ)OB →＋λOS →＝(3(1＋λ)，0，3λ)，所以CD→＝(3(1－λ)，－3，3λ)． 因为AB→＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23.故SD DB ＝12时， CD ⊥AB.(2) 平面ACB 的法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·SB→＝0，n 2·SC →＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝3z ，取n 2＝(1，3，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋（3）2·1＝55. 又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55.1. 在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面是边长为1的正方形，E 、F 分别是棱B 1B 、DA 的中点．(1) 求二面角D 1-AE-C 的大小； (2) 求证：直线BF ∥平面AD 1E.(1) 解：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．则相应点的坐标分别为D 1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴ED1→＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)， AE→＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)， AC→＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)． 设平面AED 1、平面AEC 的法向量分别为m ＝(a ，b ，1)，n ＝(c ，d ，1)．由⎩⎨⎧ED 1→·m ＝0，AE →·m ＝0Þ⎩⎪⎨⎪⎧－a －b ＋1＝0，b ＋1＝0Þ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， 由⎩⎨⎧AC →·n ＝0，AE→·n ＝0Þ⎩⎪⎨⎪⎧－c ＋d ＝0，d ＋1＝0Þ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，d ＝－1， ∴m ＝(2，－1，1)，n ＝(－1，－1，1)，∴cos m ，n ＝m·n |m |·|n |＝－2＋1＋16×3＝0，∴二面角D 1AEC 的大小为90°.(2) 证明：取DD 1的中点G ，连结GB 、GF.∵E 、F 分别是棱BB 1、AD 的中点， ∴GF ∥AD 1，BE ∥D 1G 且BE ＝D 1G ，∴四边形BED 1G 为平行四边形，∴D 1E ∥BG .又D 1E 、D 1A Ì平面AD 1E ，BG 、GF 平面AD 1E ， ∴BG ∥平面AD 1E ，GF ∥平面AD 1E.∵GF 、GB Ì平面BGF ，∴平面BGF ∥平面AD 1E. ∵BF 平面AD 1E ，∴直线BF ∥平面AD 1E.(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF ∥平面AD 1E ，亦可)2. (2013·苏州调研)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝3.D 是BC 的中点．(1) 求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1-A 1D-C 1的正弦值．解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→＝(0，4，0).设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)．∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝3.n ＝(3，0，1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，∵ DB1→＝(1，－2，3)， ∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→·n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535.(2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0，∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，得b ＝3.m ＝(0，3，2)．设二面角B 1A 1DC 1的大小为α，∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n||m|·|m|＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565.∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为345565.3. (2013·南通二模)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝A 1B ＝2.(1) 求棱AA 1与BC 所成的角的大小；(2) 在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值为255.解：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A 1(0，2，2)，B 1(0，4，2)，AA 1→＝(0，2，2)，BC →＝B 1C 1→＝(2，－2，0)．cos 〈AA 1→，BC →〉＝AA 1→·BC →|AA 1→|·|BC →|＝－48·8＝－12，故AA 1与棱BC 所成的角是π3.(2) P 为棱B 1C 1中点，设B 1P →＝λB 1C 1→＝(2λ，－2λ，0)，则P(2λ，4－2λ，2)．设平面PAB 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，AP→＝(2λ，4－2λ，2)， 则⎩⎨⎧n 1·AP →＝0，n 1·AB→＝0.⎩⎪⎨⎪⎧λx ＋2y －λy ＋z ＝0，2y ＝0.⎩⎪⎨⎪⎧z ＝－λx ，y ＝0. 故n 1＝(1，0，－λ)，而平面ABA 1的法向量是n 2＝(1，0，0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝11＋λ2＝255，解得λ＝12，即P 为棱B 1C 1中点，其坐标为P(1，3，2)．4. (2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝45°，∠C ＝90°，∠ADC ＝105°，AB ＝BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC(如图乙)，设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．(1) 求证： DC ⊥平面ABC ；(2) 求BF 与平面ABC 所成角的正弦值；(3) 求二面角B －EF －A 的余弦值．解：(1) ∵ 平面ABD ⊥平面BDC ，又∵ AB ⊥BD ，∴ AB ⊥平面BDC ，故AB ⊥DC ，又∵ ∠C ＝90°，∴ DC ⊥BC ，BC ÍABC 平面ABC ，DC Ë平面ABC ，故DC ⊥平面ABC.(2) 如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示， 设CD ＝a ，则BD ＝AB ＝2a ，BC ＝3a ，AD ＝22a ，可得B(0，0，0)，D(2a ，0，0)，A(0，0，2a)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，F(a ，0，a)，∴ CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－32a ，0，BF →＝(a ，0，a)．设BF 与平面ABC 所成的角为θ， 由(1)知DC ⊥平面ABC ，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝CD →·BF →|CD →|·|BF →|＝12a 2a ·2a ＝24，∴ sin θ＝24.(3) 由(2)知 FE ⊥平面ABC, 又∵ BE Ì平面ABC ，AE Ì平面ABC ，∴ FE ⊥BE ，FE ⊥AE ，∴ ∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角 .在△AEB 中，AE ＝BE ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝72a ，∴ cos ∠AEB ＝AE 2＋BE 2－AB 22AE ·BE＝－17，即所求二面角B －EF －A的余弦为－17.1. 类比平面向量，掌握空间向量的线性运算、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算．2. 用空间向量解答立体几何问题的一般步骤：(1) 几何问题向量化：线线、线面、面面的平行、垂直、夹角等位置关系问题，利用立体几何中直线与平面有关判定定理和性质定理，将问题转化为直线的方向向量或平面的法向量之间的平行、垂直、夹角关系；(2) 进行向量运算：通常需通过建立空间直角坐标系将问题转化为空间向量的坐标运算．(3) 回归几何问题．如利用法向量求二面角时，要注意两平面的法向量的方向，确定求得的角是二面角还是其补角．请使用课时训练(A)第6课时(见活页)．[备课札记]。
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课堂过关第一章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1～2页)1. (必修1P 10第5题改编)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m}，若3∈A ，则m ＝________．答案：－32解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3满足题意．所以m ＝－32.2. (必修1P 7第4题改编)已知集合{a|0≤a<4，a ∈N }，用列举法可以表示为________．0，1，2，3答案：{}解析：因为a∈N，且0≤a<4，由此可知实数a的取值为0，1，2，3.3. (必修1P17第6题改编)已知集合A＝[1，4)，B＝(－∞，a)，AÍB，则a∈________．答案：[4，＋∞)解析：在数轴上画出A、B集合，根据图象可知．4. (原创)设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b ＋2，b∈R}，则A、B的关系是________．答案：A＝B解析：化简得A＝{x|x≥1}，B＝{y|y≥1}，所以A＝B.5. (必修1P17第8题改编)满足条件{1}ÍMÍ{1，2，3}的集合M 的个数是________．答案：4个解析：满足条件{1}ÍMÍ{1，2，3}的集合M有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个．1. 集合的含义及其表示(1) 集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N 或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R；复数集记作C．2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．(2) 集合与集合之间的关系①包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为AÍB或BÊ A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．②真包含关系：如果AÍB，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”．③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素，则称这两个集合相等．(3) 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个，真子集共有2n －1个，非空子集共有2n －1个，非空真子集有2n －2个.题型1 正确理解和运用集合概念例1 已知集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }．(1) 若A 是空集，求a 的取值范围；(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并将这个元素写出来；(3) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解： (1) 若A 是空集，则Δ＝9－8a ＜0，解得a ＞98.(2) 若A 中只有一个元素，则Δ＝9－8a ＝0或a ＝0，解得a ＝98或a ＝0；当a ＝98时这个元素是43；当a ＝0时，这个元素是23.(3) 由(1)(2)知，当A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是a ≥98或a ＝0.备选变式（教师专享）已知a ≤1时，集合[a ，2－a]中有且只有3个整数，则a 的取值范围是________．答案：－1<a ≤0解析：因为a ≤1，所以2－a ≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a ＝0，集合中有0，1，2三个整数，所以a ＝0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2<2－2a<4，解得－1<a<0，此时，集合中有0，1，2三个整数，－1<a<0适合题意．综上，a 的取值范围是－1<a ≤0.变式训练设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝{x|x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则M________N.答案：真包含于题型2 集合元素的互异性例2 已知a 、b ∈R ，集合A ＝{a ，a ＋b ，1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ，b a ，0，且A ÍB ，B ÍA ，求a －b 的值．解：∵ A ÍB ，B ÍA ，∴ A ＝B.∵ a ≠0，∴ a ＋b ＝0，即a ＝－b ，∴ b a ＝－1，∴ b ＝1，a ＝－1，∴ a －b ＝－2.备选变式（教师专享）已知集合A ＝{a ，a ＋b, a ＋2b}，B ＝{a ，ac, ac 2}．若A ＝B ，则c ＝________．答案：－12解析：分两种情况进行讨论．① 若a ＋b ＝ac 且a ＋2b ＝ac 2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0.当a ＝0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a ≠0.∴ c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1.但c ＝1时，B 中的三元素又相同，此时无解．② 若a ＋b ＝ac 2且a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0.∵ a ≠0，∴ 2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又c ≠1，故c ＝－12.变式训练集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，集合B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，求a 2 013＋b 2 014的值．解：由于a ≠0，由b a ＝0，得b ＝0，则A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2，a ，0}．由A ＝B ，可得a 2＝1.又a 2≠a ，则a ≠1，则a ＝－1.所以a 2 013＋b 2 014＝－1.题型3 根据集合的含义求参数范围例3 集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，集合B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}．(1) 若B ÍA ，求实数m 的取值范围；(2) 当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝Æ满足B ÍA ；当m ＋1≤2m －1即m ≥2时，要使B ÍA 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.综上所述，当m ≤3时有B Í A.(2) 因为x ∈R ，且A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，则① 若B ＝Æ，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件；② 若B ≠Æ，则要满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5，解得m ＞4. 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2，无解． 综上所述，实数m 的取值范围为m ＜2或m ＞4.备选变式（教师专享）已知集合A ＝{y|y ＝－2x ，x ∈[2，3]}，B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a>0}．若A ÍB ，求实数a 的取值范围．解：由题意有A ＝[－8，－4]，B ＝{x|(x －a)(x ＋a ＋3)>0}．① 当a ＝－32时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠－32，所以A ÍB 恒成立； ② 当a<－32时，B ＝{x|x<a 或x>－a －3}．因为A ÍB ，所以a>－4或－a －3<－8，解得a>－4或a>5(舍去)，所以－4<a<－32；③ 当a>－32时，B ＝{x|x<－a －3或x>a}．因为A B ，所以－a －3>－4或a<－8(舍去)，解得－32<a<1.综上，当A ÍB 时，实数a 的取值范围是(－4，1)．1. 设集合A ＝{x|x ＜2}，B ＝{x|x ＜a}，且满足A 真包含于B ，则实数a 的取值范围是____________．答案：(2，＋∞)解析：利用数轴可得实数a 的取值范围是(2，＋∞)．2. 已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A}，则B 中元素的个数为________．答案：10解析：B 中所含元素有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)．3. 若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2. 4. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|－2≤x －1≤2}和N ＝{x|x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．答案：2解析：由题图示可以看出阴影部分表示集合M 和N 的交集，所以由M ＝{x|－1≤x ≤3}，得M ∩N ＝{1，3}，有2个．5. 设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b|a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数为________．答案：8解析：(1) ∵ P ＋Q ＝{a ＋b|a ∈P ，b ∈Q}，P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，∴ 当a ＝0时，a ＋b 的值为1，2，6；当a ＝2时，a ＋b 的值为3，4，8；当a ＝5时，a ＋b 的值为6，7，11，∴ P ＋Q ＝{1，2，3，4，6，7，8，11}，∴ P ＋Q 中有8个元素．1. 已知A ＝{x|x 2－2x －3≤0}，若实数a ∈A ，则a 的取值范围是________．答案：[－1，3]解析：由条件，a 2－2a －3≤0，从而a ∈[－1，3]．2. 现有含三个元素的集合，既可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，也可表示为{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 013＋b 2 013＝________．答案：－1解析：由已知得b a ＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＝－1.3. 已知集合A ＝{x|(x －2)[x －(3a ＋1)]＜0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －a x －（a 2＋1）＜0. (1) 当a ＝2时，求A ∩B ；(2) 求使B 真包含于A 的实数a 的取值范围．解：(1) A ∩B ＝{x|2＜x ＜5}．(2) B ＝{x|a ＜x ＜a 2＋1}．①若a ＝13时，A ＝Æ，不存在a 使B ÍA ；②若a ＞13时，2≤a ≤3；③若a ＜13时，－1≤a ≤－12.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12∪[2，3]． 4. 已知A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}且1∈A ，求实数a 的值． 解：由题意知：a ＋2＝1或(a ＋1)2＝1或a 2＋3a ＋3＝1，∴ a ＝－1或－2或0，根据元素的互异性排除－1，－2，∴ a ＝0即为所求．1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y ＝f(x)}、{(x ，y)|y ＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A B ，则需考虑A ＝ 和A ≠ 两种可能的情况．3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。
2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案44
第六章不等式第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划(对应学生用书(文)、(理)87～88页)1. (必修5P74练习题1改编)若点P(a，3)在2x＋y<3表示的区域内，则实数a的取值范围是________．答案：a<0解析：点P(a，3)在2x＋y<3表示的区域内，则2a＋3<3，解得a<0.2. (必修5P 77练习题2改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域的面积是________．答案：25解析：直线x －y ＋4＝0与直线x ＋y ＝0的交点为A(－2，2)，直线x －y ＋4＝0与直线x ＝3的交点为B(3，7)，直线x ＋y ＝0与直线x ＝3的交点为C(3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A(－2，2)、B(3，7)、C(3，－3)为顶点的三角形，所以其面积为S △ABC ＝12×5×10＝25. 3. (必修5P 84习题4改编) 已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．答案：1解析：如图所示作出可行域，可知当z ＝2x ＋y 过点A(－1，3)时z 最小，此时z ＝1.4. (必修5P 80练习题2改编)设变量x 、y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为________． 答案：－8解析：画出可行域与目标函数线，如图可知，目标函数在点(－2，2)处取最小值－8.5. 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k ＝________．答案：73解析：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域(1) 二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域，y>kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的平面区域，y<kx＋b表示直线y＝kx＋b下方的平面区域．(2) 选点法确定二元一次不等式表示的平面区域①任选一个不在直线上的点；②检验它的坐标是否满足所给的不等式；③若适合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的平面区域，否则，直线的另一侧区域为不等式所表示的平面区域．(3) 二元一次不等式组表示的平面区域不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域．2. 线性规划中的基本概念[备课札记]题型1 二元一次不等式表示的平面区域例1画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域．解：不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如下图所示．备选变式（教师专享）在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y>0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 为常数)，表示的平面区域的面积为9，那么实数a 的值为________．答案：1解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y>0，x －y ＋4≥0，x ≤a 表示的平面区域如图阴影部分．S ＝12|BC|×(a ＋2)＝12(2a ＋4)×(a ＋2)＝9. 又a>－2，∴ a ＝1.题型2 线性规划问题例2 设z ＝2x ＋y ，式中变量满足下列条件： ⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值． 解：变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．(如图)作一组与l 0：2x ＋y ＝0平行的直线l ：2x ＋y ＝t.t ∈R 可知：当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点(x ，y)满足2x ＋y ＞0，即t ＞0，而且直线l 往右平移时，t 随之增大，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A(5，2)的直线l 2所对应的t 最大，以经过点B(1，1)的直线l 1所对应的t 最小．所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3.变式训练已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为__________．答案：[－1，1]解析：作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴ －1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.题型3 线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1 kg 、B 原料2 kg ；生产乙产品1桶需耗A 原料2 kg ，B 原料1 kg.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12 kg.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解：设公司每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，公司共可获得利润为z 元/天，则由已知，得z ＝300x ＋400y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，画可行域如图所示，目标函数z ＝300x ＋400y 可变形为y ＝－34x ＋z400， 这是随z 变化的一簇平行直线，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，x ＋2y ＝12，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A(4，4)，∴ z max ＝1 200＋1 600＝2 800(元)．故公司每天生产甲产品4桶、生产乙产品4桶时，可获得最大利润为2 800元．备选变式（教师专享）某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3000x ＋2000y.二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 作直线l ：3000x ＋2000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.记点M 的坐标为(100，200)．平移直线l ，易知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值． ∴z max ＝3000x ＋2000y ＝700000(元)．答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．1. (2013·南通模拟)已知0＜a ＜1，log a (2x －y ＋1)＞log a (3y －x ＋2)，且λ＜x ＋y ，则λ的最大值为________．答案：－2解析：2x －y ＋1<3y －x ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －1<0，2x －y ＋1>0，作出可行域，则z ＝x ＋y 经过点(－1，－1)时最小，故x ＋y>－2，所以λ的最大值为－2.2. 若直线y ＝2x 上存在点(x ，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案：1解析：可行域如下：所以，若直线y ＝2x 上存在点(x ，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则3－m ≥2m ，即m ≤1.3. 设变量x 、y满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值是________．答案：55解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，y ＝15得A(5，15)，且A 为最大解，∴ z max ＝2×5＋3×15＝55.4. 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：为使一年的种植的总利润最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为________．答案：30亩、20亩解析：设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 、y ，则总利润z ＝(4×0.55－1.2)x ＋(6×0.3－0.9)y ＝x ＋0.9y ，此时x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，画出可行域知，最优解为(30，20)．5. 直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个．答案：1解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)．因为直线2x ＋y －10＝0过点A(5，0)，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43，故只有一个公共点(5，0)．1. 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0 表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x 的图象存在区域D 上的点，则a 的取值范围是________．答案：1<a ≤3解析：先画出如图所示的可行域，当函数a x 的图象过点A(2，9)时，有a 2＝9，∴a ＝3.又a ＞1，∴1＜a ≤3.2. 设z ＝2y －2x ＋4，其中x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，求z 的最大值和最小值．解：作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域，如图所示作直线l ：2y －2x ＝t.当l 过点A(0，2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8， 当l 过点B(1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.3. 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，试求解下列问题．(1) z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2) z ＝yx ＋2的最大值和最小值；(3) z ＝|3x ＋4y ＋3|的最大值和最小值．解：(1) z ＝x 2＋y 2表示的几何意义是区域中的点(x ，y)到原点(0，0)的距离，则z max ＝5，z min ＝12.(2) z ＝yx ＋2表示区域中的点(x ，y)与点(－2，0)连线的斜率，则z max ＝1，z min ＝14.(3) z ＝|3x ＋4y ＋3|＝5·|3x ＋4y ＋3|5，而|3x ＋4y ＋3|5表示区域中的点(x ，y)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，则z max ＝14，z min ＝5.4. 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解： 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得z ＝2.5x ＋4y ，且x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出线性约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分的整数点．让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．1. 确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax＋By ＋C＝0的哪一侧区域，常用两种方法：一是在直线的某一侧取一特殊点；二是将不等式化为y>kx＋b(<，≥，≤)．2. 在线性约束条件下，当b>0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最值的求解步骤①作出可行域；②作出直线l0：ax＋by＝0；③平移直线l0：ax＋by＝0，依可行域判断取得最值的最优解的点；④解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最值．3. 常见的非线性目标函数的几何意义：①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；②（x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；③yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率值；④y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率值．请使用课时训练（B）第2课时（见活页）.。
2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案41
第五章 数列第5课时 数列的简单应用(对应学生用书(文)、(理)79～81页)1. (必修5P 14例4改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有________个座位．答案：8202. 从2007年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2013年1月1日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数为________万元．答案：1p [(1＋p)7－(1＋p)]3. 某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6小时后，细胞的存活数是________．答案：654. 办公大楼共有14层，现每一层派一人集中到第k层开会，当这14位参加会议的人员上下楼梯所走路程的总和最小时，k＝________．答案：7或8数列应用题常见模型(1) 银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋rx)．(2) 银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋r)x(x∈N且x>1)．(3) 产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝N(1＋p)x(x∈N且x>1)．(4)分期付款模型设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率为r，则x＝ar（1＋r）n(n∈N且n>1)．（1＋r）－1[备课札记]题型1 以等差数列为模型的实际问题例1 某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．(1) 求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y(万元)； (2) 为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？解：(1) y ＝100＋0.5x ＋（2＋4＋6＋…＋2x ）x ， 即y ＝x ＋100x ＋1.5(x ＞0)． (2) 由均值不等式得 y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取到等号， 故该企业10年后需要重新更换新设备． 变式训练(2013·江西文)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n ∈N *)为________．答案：6解析：S n ＝2×（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2≥100，n ≥6.题型2 以等比数列为模型的实际问题例2 水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，全国9 100万亩坡度为25°以上的坡耕地需退耕还林，其中西部占70%，2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%.(1) 试问，从2002年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题？(2) 为支持退耕还林工作，国家财政补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元计算，并且每亩退耕地每年补助20元，试问到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？解：(1) 设2002年起经x 年西部地区基本上解决退耕还林问题．依题意，得515＋515×(1＋12%)＋515×(1＋12%)2＋…＋515×(1＋12%)x －1＝9 100×70%，即515×[1＋1.12＋1.122＋…＋1.12x －1]＝6 370，1－1.12x －1×1.121－1.12＝6 370515＝1 274103 1.12x －10.12＝1 274103， 整理得1.12x ≈2.484 3x ≈log 1.122.484 3＝lg2.484 3lg1.12≈0.359 20.049 2≈8.03.又x ∈N ，故从2002年起到2009年年底西部地区基本解决退耕还林问题．(2) 设到西部地区基本解决退耕还林问题时国家共需支付y 亿元．首批退耕地国家应支付：515×104×(300×0.7＋20)×8， 第二批退耕地国家应支付：515×104×(1＋20%)×(300×0.7＋20)×7，第三批退耕地国家应支付：515×104×(1＋20%)×(300×0.7＋20)×6，…最后一批退耕地国家应支付：515×104×(1＋20%)7×(300×0.7＋20)×1.y＝515×104×（300×0.7＋20）×（8＋7×1.12＋6×1.122＋…＋1×1.127）108，令S ＝8＋7×1.12＋6×1.122＋…＋1×1.127，①1．12S ＝8×1.12＋7×1.122＋6×1.123＋…＋1×1.128，② ②－①，得0.12S ＝－8×(1.12＋1.122＋1.123＋…＋1.127)＋1×1.128，即0.12S ＝－8＋1.12－1.128×1.121－1.12＝－8＋1.129－1.120.12≈－8＋2.773－1.120.12，解得S ≈48.1，故y ≈(515×104×230×48.1)÷108≈569.7亿元． 故到西部地区基本解决退耕还林问题国家共需支付约570亿元． 备选变式（教师专享）设C 1、C 2、…、C n 、…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线y ＝33x 相切，对每一个正整数n ，圆C n 都与圆C n ＋1相互外切，以r n 表示C n 的半径，已知{r n }为递增数列．(1) 证明：{r n }为等比数列；(2) 设r 1＝1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n r n 的前n 项和.(1) 证明：将直线y ＝33x 的倾斜角记为θ，则有tanθ＝33，sin θ＝12.设C n 的圆心为(λn ，0)，则由题意得r n λn＝12，得λn ＝2r n ；同理λn＋1＝2r n ＋1，从而λn ＋1＝λn ＋r n ＋r n ＋1＝2r n ＋1，将λn ＝2r n 代入， 解得r n ＋1＝3r n ，故{r n }为公比q ＝3的等比数列． (2) 解：由于r n ＝1，q ＝3，故r n ＝3n －1，从而nr n＝n ×31－n ，记S n ＝1r 1＋2r 2＋…＋nr n，则有S n ＝1＋2×3－1＋3×3－2＋…＋n ×31－n ，①S n 3＝1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n ＋n ×3－n ，② ①－②，得2S n 3＝1＋3－1＋3－2＋…＋31－n －n ×3－n ＝1－3－n 23－n ×3－n＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋32×3－n ，∴S n ＝94－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋32×31－n ＝9－（2n ＋3）×31－n4. 题型3 数列中的综合问题例3 已知各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，且0＜q ＜12. (1) 在数列{a n }中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由； (2) 若a 1＝1，且对任意正整数k ，a k －(a k ＋1＋a k ＋2)仍是该数列中的某一项．(ⅰ) 求公比q ；(ⅱ) 若b n ＝－loga n ＋1(2＋1)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，T r ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，试用S 2 011表示T 2 011.解：(1) 由条件知a n ＝a 1qn －1，0＜q ＜12，a 1＞0，所以数列{a n }是递减数列．若有a k ，a m ，a n (k ＜m ＜n)成等差数列，则中项不可能是a k (最大)，也不可能是a n (最小)，若2a m ＝a k ＋a n2q m －k ＝1＋q n －k ，(*)由2q m －k ≤2q ＜1，1＋q h －k ＞1，知(*)式不成立， 故a k ，a m ，a n 不可能成等差数列．(2) (ⅰ) (解法1)a k －a k ＋1－a k ＋2＝a 1q k －1(1－q －q 2)＝a 1q k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫q ＋122＋54，由－⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋122＋54∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，知a k －a k ＋1－a k ＋2＜a k ＜a k －1＜…，且a k －a k ＋1－a k ＋2＞a k ＋2＞a k ＋3＞…，所以a k －a k ＋1－a k ＋2＝a k ＋1，即q 2＋2q －1＝0， 所以q ＝2－1.(解法2)设a k －a k ＋1－a k ＋2＝a m ，则1－q －q 2＝q m －k ，由1－q －q 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1知m －k ＝1，即m ＝k ＋1，以下同解法1. (ⅱ) b n ＝1n ，(解法1)S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋(1＋12＋13＋…＋1n ) ＝n ＋n －12＋n －23＋…＋n －（n －1）n ＝n(1＋12＋13＋…＋1n )－(12＋23＋34＋…＋n －1n ) ＝nS n －[(1－12)＋(1－13)＋(1－14)＋…＋(1－1n )] ＝nS n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n ＝nS n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋ (1)＝nS n －n ＋S n ＝(n ＋1)S n －n ，所以T 2 011＝2 012S 2 011－2 011.(解法2)S n ＋1＝1＋12＋13＋…＋1n ＋1n ＋1＝S n ＋1n ＋1，所以(n ＋1)S n＋1－(n ＋1)S n ＝1，所以(n ＋1)S n ＋1－nS n ＝S n ＋1， 2S 2－S 1＝S 1＋1， 3S 3－2S 2＝S 2＋1， … …(n ＋1)S n ＋1－nS n ＝S n ＋1， 累加得(n ＋1)S n ＋1－S 1＝T n ＋n ， 所以T n ＝(n ＋1)S n ＋1－1－n ＝(n ＋1)S n －n ＝(n ＋1)(S n ＋b n )－1－n＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋1n ＋1－1－n ＝(n ＋1)S n －n ，所以T 2 011＝2 012S 2 011－2 011. 备选变式（教师专享）已知等差数列{a n }满足：a n ＋1>a n (n ∈N *)，a 1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n }的前三项．(1) 分别求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2) 设T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n(n ∈N *)，若T n ＋2n ＋32n －1n <c(c ∈Z )恒成立，求c 的最小值．解：(1) 设d 、q 分别为等差数列{a n }、等比数列{b n }的公差与公比，且d>0.由a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d ，分别加上1，1，3有b 1＝2，b 2＝2＋d ，b 3＝4＋2d.(2＋d)2＝2(4＋2d)，d 2＝4. ∵ d>0，∴ d ＝2，q ＝b 2b 1＝42＝2，∴ a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，b n ＝2×2n －1＝2n . (2) T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，①12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1.②①－②，得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12n －1－2n －12n ＋1，∴ T n ＝1＋1－12n －11－12－2n －12n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n .∴ T n ＋2n ＋32n －1n ＝3－1n <3. ∵ 3－1n 在N *上是单调递增的， ∴ 3－1n ∈[2，3)．∴ 满足条件T n ＋2n ＋32n －1n <c(c ∈Z )恒成立的最小整数值为c ＝3.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)已知数列{a n }是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为q(q ＞1)的等比数列．(1) 若a 5＝b 5，q ＝3，求数列{a n ·b n }的前n 项和；(2) 若存在正整数k(k ≥2)，使得a k ＝b k .试比较a n 与b n 的大小，并说明理由．审题引导： ① 等差数列与等比数列对应项的积错位相减求和；② 作差比较．规范解答： 解： (1) 依题意，a 5＝b 5＝b 1q 5－1＝1×34＝81， 故d ＝a 5－a 15－1＝81－14＝20，所以a n ＝1＋20(n －1)＝20n －19.(3分)令S n ＝1×1＋21×3＋41×32＋…＋(20n －19)·3n －1，①则3S n ＝1×3＋21×32＋…＋(20n －39)·3n －1＋(20n －19)·3n ， ② ①－②，得－2S n ＝1＋20×(3＋32＋…＋3n －1)－(20n －19)·3n ＝1＋20×3（1－3n －1）1－3－(20n －19)·3n＝(29－20n)·3n －29，所以S n ＝（20n －29）·3n ＋292.(7分) (2) 因为a k ＝b k ，所以1＋(k －1)d ＝q k －1，即d ＝q k －1－1k －1，故a n ＝1＋(n －1)q k －1－1k －1.又b n ＝q n －1，(9分)所以b n －a n ＝q n －1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋（n －1）q k －1－1k －1 ＝1k －1[(k －1)(q n －1－1)－(n －1)(q k －1－1)] ＝q －1k －1[(k －1)(q n －2＋q n －3＋…＋q ＋1)－(n －1)(q k －2＋q k －3＋…＋q ＋1)]．(11分)(ⅰ) 当1＜n ＜k 时，由q ＞1知b n －a n ＝q －1k －1[(k －n)(q n －2＋q n －3＋…＋q ＋1)－(n －1)(q k －2＋q k －3＋…＋q n －1)]＜q －1k －1[(k －n)(n －1)q n －2－(n －1)(k －n)q n －1] ＝－（q －1）2q n －2（k －n ）（n －1）k －1＜0；(13分)(ⅱ)当n ＞k 时，由q ＞1知b n －a n ＝q －1k －1[(k －1)(q n －2＋q n －3＋…＋q k －1)－(n －k)(q k －2＋q k －3＋…＋q ＋1)]＞q －1k －1[(k －1)(n －k)q k －1－(n －k)(k －1)q k －2] ＝(q －1)2q k －2(n －k) ＞0，(15分)综上所述，当1＜n ＜k 时，a n ＜b n ；当n ＞k 时，a n ＞b n ；当n ＝1，k 时，a n ＝b n .(16分)(注：仅给出“1＜n ＜k 时，a n ＜b n ；n ＞k 时，a n ＞b n ”得2分) 错因分析： 错位相减时项数容易搞错，作差比较后学生不能灵活倒用等比数列求和公式1－q n ＝(1－q)(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)．1. 已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 9成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 11－S 9S 7－S 6＝________．答案：3解析：设公差为d ，则(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋8d)，∴ a 1d ＝d 2，又d ≠0，∴ a 1＝d ，则S 11－S 9S 7－S 6＝66a 1－45a 128a 1－21a 1＝3. 2. (2013·福建)已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1) 若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2) 若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．解：(1) 因为数列{}a n 的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列， 所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2. (2) 因为数列{}a n 的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9，所以5a 1＋10>a 21＋8a 1；即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.3. 设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列．(1) 求数列{a n }的公比；(2) 证明：对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． (1) 解：设公比为q ，则2a 3＝a 5＋a 4，得2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3.又q ≠0，a 1≠0，q ≠1，∴ q ＝－2.(2) 证明：S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k )＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2)＝0，∴ S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．4. 已知数列{a n }前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数都成立．(1) 求a 1，a 2的值；(2) 设a 1＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 前n 项和为T n ，当n 为何值时，T n 最大？并求出最大值．解：(1) 取n ＝1时，a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2时，a 22＝2a 1＋2a 2. ② 由②－①得，a 2(a 2－a 1)＝a 2. ③ 若a 2＝0，由①知a 1＝0； 若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1. ④由①④解得a 1＝2＋1，a 2＝2＋2或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. 综上所述，a 1＝0，a 2＝0或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2.(2) 当a 1＞0时，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2. n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ， (2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1，∴ (1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，∴ a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)(2)n －1. 令b n ＝lg 10a 1a n＝1－n －12lg2，故{b n }是递减的等差数列，从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝lg 108＞lg1＝0， n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128＜12lg1＝0， 故n ＝7时，T n 取得最大值，T 7＝7－212lg2.1. 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出________万元资金进行奖励．答案：2 046解析：设第10名到第1名得到的奖金数分别是a 1，a 2，…，a 10，则a n ＝12S n ＋1，则a 1＝2，a n －a n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12S n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12S n －1＋1＝12(S n －S n －1)＝12a n ，即a n ＝2a n －1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S 10＝2（1－210）1－2＝2 046.2. 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c ＝________．答案：1解析：由已知a ＝12，第1行的各个数依次是：1，32，2，52，3；第2行的各个数依次是：12，34，1，54，32.∴b ＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝516，c ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝316，∴a ＋b ＋c ＝12＋516＋316＝1.3. 我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储备金制度．公民在就业的第一年交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储备金数目a 1，a 2，…，a n 是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定利率为r(r>0)，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a 1(1＋r)n －1，第二年所交纳的储备金就变为a 2(1＋r)n －2，…，以T n 表示到第n 年所累计的储备金总额．(1) 写出T n 与T n －1(n ≥2)的递推关系式；(2) 求证：T n ＝A n ＋B n ，其中{A n }是一个等比数列，{B n }是一个等差数列．(1) 解：由题意可得：T n ＝T n －1(1＋r)＋a n (n ≥2)． (2) 证明：T 1－a 1，对n ≥2反复使用上述关系式，得T n ＝T n －1(1＋r)＋a n ＝T n －2(1＋r)2＋a n －1(1＋r)＋a n ＝…＝a 1(1＋r)n －1＋a 2(1＋r)n －2＋…＋a n －1(1＋r)＋a n ，①在①式两端同乘1＋r ，得(1＋r)T n ＝a 1(1＋r)n ＋a 2(1＋r)n －1＋…＋a n －1(1＋r)2＋a n (1＋r)，② ②－①，得rT n ＝a 1(1＋r)n ＋d[(1＋r)n －1＋(1＋r)n －2＋…＋(1＋r)]－a n ＝dr [(1＋r)n －1－r]＋a 1(1＋r)n －a n .即T n ＝a 1r ＋d r 2(1＋r)n －d r n －a 1r ＋dr 2.如果记A n ＝a 1r ＋d r 2(1＋r)n，B n ＝－a 1r ＋d r 2－d r n ，则T n ＝A n ＋B n .其中{A n }是以a 1r ＋dr 2(1＋r)为首项，以1＋r(r>0)为公比的等比数列；{B n }是以－a 1r ＋d r 2－d r 为首项，以－dr 为公差的等差数列．4. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a 2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a 万元．(1) 设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n 、b n, 求a n 、b n 的表达式；(2) 若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？解：(1) 假设甲超市前n 年总销售额为S n ，则S n ＝a2(n 2－n ＋2)(n ≥2)，因为n ＝1时，a 1＝a ，则n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a 2(n 2－n＋2)－a 2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝a(n －1)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，（n －1）a ，n ≥2.又b 1＝a ，n ≥2时，b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a ，故b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝a ＋23a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232a ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n1－23a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a ， 显然n ＝1也适合，故b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a(n ∈N *)． (2) 当n ＝2时，a 2＝a ，b 2＝35a ，有a 2>12b 2；n ＝3时，a 3＝2a ，b 3＝199a ，有a 3>12b 3；当n ≥4时，a n ≥3a ，而b n <3a ，故乙超市有可能被甲超市收购．当n ≥4时，令12a n >b n ，则12(n －1)a>⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1an －1>6－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.即n>7－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. 又当n ≥7时，0<4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1<1， 故当n ∈N *且n ≥7时，必有n>7－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．1. 深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉他们的推导过程是解题的关键，两类数列性质既有类似的的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同时用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错．2. 等比数列的前n 项和公式要分q ＝1，q ≠1两种情况讨论，容易忽视．3. 在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)，在解方程组时，仔细体会两种情形下解方程组的方法的不同之处．请使用课时训练(A)第5课时(见活页)．[备课札记]。
2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案46
第六章 不 等 式第4课时 不等式的综合应用(对应学生用书(文)、(理)91～92页)1. (必修5P 102习题7改编)函数y ＝x ＋4x (x ≠0)的值域是________． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞) 解析：当x>0时，y ＝x ＋4x ≥2x·4x ＝4，当x<0时，y ＝x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2（－x ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4. 2. (必修5P 102习题9改编)某种产品按下列三种方案两次提价．方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价p ＋q 2%，第二次提价p ＋q2%.其中p>q>0，上述三种方案中提价最多的是________．答案：方案丙解析：设原来价格为A ，方案甲：经两次提价后价格为A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋p 100⎝⎛⎭⎪⎫1＋q 100＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 100＋pq 10000；方案乙：经两次提价后价格为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 100；方案丙：经两次提价后价格为A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2002＝A[1＋p ＋q 100＋⎝ ⎛⎦⎥⎤p ＋q 2）2·110 000.因为p ＋q 2>pq ，所以方案丙提价最多． 3. (2013·海门联考)设x ∈R ，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|，若不等式f(x)＋f(2x)≤k对于任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案：k ≥2解析：不等式化为k ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|2x|，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|∈(0，1]，所以k ≥2.4. (2013·苏州期中)设变量x ，y 满足|x|＋|y|≤1，则x ＋2y 的最大值为________．答案：2解析：作出可行域为正方形，4个顶点分别为(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，则z ＝x ＋2y 过点(0，1)时最大值为2.[备课札记]题型1 含参数的不等式问题例1 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k ＜0的解集中所含整数解只有－2，求k 的取值范围．解：由x 2－x －2>0有x ＜－1或x ＞2， 由2x 2＋(5＋2k)x ＋5k ＜0有(2x ＋5)(x ＋k)＜0. 因为－2是原不等式组的解，所以k ＜2. 由(2x ＋5)·(x ＋k)＜0有－52＜x ＜－k. 因为原不等式组的整数解只有－2， 所以－2＜－k ≤3，即－3≤k ＜2， 故k 的取值范围是[－3，2)． 变式训练不等式(－1)n a<2＋（－1）n ＋1n对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围．解：当n 为奇数时，－a ＜2＋1n ，即a ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n .而－⎝⎛⎭⎪⎫2＋1n ≤－3，则a>－3； 当n 为偶数时，a ＜2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32， 所以a ＜32.综上可得：－3<a<32.题型2 不等式在函数中的应用例2 已知函数f(x)＝2x －ax 2＋2在区间[－1，1]上是增函数．(1) 求实数a 的值组成的集合A ；(2) 设x 1、x 2是关于x 的方程f(x)＝1x 的两个相异实根，若对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]，不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) f′(x)＝4－2x 2＋2ax（x 2＋2）2，因为f(x)在[－1，1]上是增函数，所以当x ∈[－1，1]时， f ′(x)≥0恒成立，令φ(x)＝x 2－ax －2，即x 2－ax －2≤0恒成立．⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）＝－a －1≤0，φ（－1）＝a －1≤0，解得－1≤a ≤1. 所以A ＝{a|－1≤a ≤1}． (2) 由f(x)＝1x 得x 2－ax －2＝0.设x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2.从而|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝a 2＋8，因为a ∈[－1，1]，所以a 2＋8≤3，即|x 1－x 2|max ＝3，不等式对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]不等式恒成立， 即m 2＋tm －2≥0恒成立．设g(t)＝m 2＋tm －2＝mt ＋m 2－2，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝m 2＋m －2≥0，g （－1）＝m 2－m －2≥0. 解得m ≥2或m ≤－2.故m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．备选变式（教师专享）设a ，b ＞0，且ab ＝1，不等式a a 2＋1＋bb 2＋1≤λ恒成立，则λ的取值范围是________．答案：[1，＋∞)解析：因为ab ＝1，所以a a 2＋1＋b b 2＋1＝a a 2＋ab ＋b b 2＋ab ＝2a ＋b ≤1ab＝1，所以λ≥1. 题型3 不等式在实际问题中的应用例3 某森林出现火灾，火势正以100 m 2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50 m 2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m 2，应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？解：设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y ，则t ＝5×10050x －100＝10x －2，y ＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费 ＝125xt ＋100x ＋60(500＋100t) ＝125x ×10x －2＋100x ＋30 000＋60 000x －2＝100(x －2)＋62 500x －2＋31 450≥2100（x －2）·62 500x －2＋31 450＝36 450，当且仅当100(x －2)＝62 500x －2，即x ＝27时，y 有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 450元．备选变式（教师专享）某学校拟建一块周长为400 m 的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解：设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ， 中间的矩形区域面积为S m 2，则半圆的周长为πy2 m.∵ 操场周长为400 m ，所以2x ＋2×πy2＝400，即2x ＋πy ＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜200，0＜y ＜400π. ∴ S ＝xy ＝12π·(2x)·(πy)≤12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋πy 22＝20 000π. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝πy ，2x ＋πy ＝400，解得⎩⎨⎧x ＝100，y ＝200π. ∴ 当且仅当⎩⎨⎧x ＝100，y ＝200π时等号成立．即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200π m 时，矩形区域面积最大．1. (2013·连云港模拟)关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＜0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤253，9 解析：设方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根为x 1、x 2，则1<|x 1－x 2|＝a 2－8a ≤3，解得4＋17<a ≤9或－1≤a<4－17.当4＋17<a ≤9时，考虑抛物线的对称轴，因为4<4＋172<a 2≤92，集合A 中恰有两个整数即4和5，所以5－a 2<a 2－8a 2≤a 2－3，解得253<a ≤9；当－1≤a<4－17时，考虑抛物线的对称轴，因为－12≤a 2<4－172<0，集合A 中恰有两个整数即－1和0，所以a 2－(－1)<a 2－8a 2≤1－a2，解得－1≤a<－13.2. (2013·天津)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x 的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12A ，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0解析：由题意得0∈A ，所以f(0＋a)<f(0)，即a(1＋a|a|)<0，显然a<0，解得－1<a<0，函数f(x)＝x(1＋a|x|)是奇函数且图象中两条抛物线的对称轴x ＝12a ，x ＝－12a 之间的距离大于1，而－1<a<0，所以f(x ＋a)<f(x)的解集为⎝⎛⎭⎪⎫12a －a 2，－12a －a 2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12(12a －a 2，－12a －a2)，解得1－52<a<1＋52.又－1<a<0，所以1－52<a<0.3. (2013·宿迁模拟)若a>0，b>0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b的最小值为________．答案：23＋12解析：2a ＋4b ＋3＝(2a ＋4b ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋1b ＋1＝[(2a ＋b)＋3(b ＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋1b ＋1＝1＋2a ＋b b ＋1＋3（b ＋1）2a ＋b ＋3≥4＋23，所以a ＋2b ≥23＋12.4. (2013·天津)设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋||a b 取得最小值．答案：－2解析：12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥－14＋2b 4|a|·|a|b ＝34，当且仅当b 4|a|＝||a b 且a<0取等号，即a ＝－2，b ＝4.1. (2013·徐州模拟)若对满足条件x ＋y ＋3＝xy (x ＞0，y ＞0)的任意x 、y ，(x ＋y)2－a(x ＋y)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，376解析：x ＋y ＋3＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以x ＋y ≥6，则a ≤x ＋y ＋1x ＋y ，因为上述不等式右边的的最小值为6＋16＝376，故a ≤376.2. (2013苏州模拟)已知实数x 、y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3则2x 3＋y 3x 2y 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，559 解析：作出可行域，求得y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，令t ＝y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，则2x 3＋y 3x 2y＝2t ＋t 2，求导可得2t ＋t 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上递减，在(1，2)上递增，故2x 3＋y 3x 2y＝2t ＋t 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，559.3. (2013·南通模拟)设P(x ，y)为函数y ＝x 2－1(x ＞3)图象上一动点，记m ＝3x ＋y －5x －1＋x ＋3y －7y －2，则当m 最小时，点P 的坐标为________．答案：(2，3)解析：m ＝3x ＋x 2－6x －1＋x ＋3x 2－10x 2－3＝6＋x 2－3x －1＋x －1x 2－3.当且仅当x 2－3x －1＝x －1x 2－3，即x ＝2时m 取得最小，此时点P 的坐标为(2，3)．4. (2013·镇江模拟)已知x 、y 为正数，则x 2x ＋y ＋yx ＋2y 的最大值为________．答案：23解析：设t ＝y x ∈(0，＋∞)，则令f(t)＝x 2x ＋y ＋y x ＋2y ＝1t ＋2＋t2t ＋1，求导得f(t)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，故所求的最大值为f(1)＝23.1. 不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题．不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合．解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题．2. 建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等．3. 解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验．请使用课时训练（B）第4课时（见活页）.[备课札记]。
2015届高考数学第一轮复习指导
2015届高考数学第一轮复习指导一、重视计算能力在高三总复习的第一阶段，我们的主要任务是：吃透教材，全面，系统的掌握高中的数学基本知识深刻理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式，并形成记忆、形成技能;把相关的知识相连结，融会贯通、着眼联系、互相渗透、灵活应用。
这是我们一轮复习在知识上的要求和目标，但我们发现，最后到高考前，好多同学知识上都达到了这个要求，但分数仍然不是很高，为什么呢，就是因为这些同学老师把会的东西算错，细节的关注不够，比如说答题的基本步骤不是很清楚，书写不够规范等等，就是拿不到全分。
所以新东方一对一刘亮老师建议同学们在高三复习的整个过程中注重计算能力，只有具有良好的计算能力才保证高考中把我们百分之百的实力都发挥出来，都会但是得不到分是个很痛苦的过程，不要以为，我因为计算错了许多还比其他同学分数高，你就比他学的好，比他聪明，这个是很愚蠢的想法，由不会到会的过程还是很轻松的，尤其在我们高考难度要求越来越低的情况下，一个人的习惯是最不好改变的，而且没有老师在很短时间内帮你解决习惯问题。
所以重视计算吧，这是考取高分的保障。
二、回归课本，注重基础，重视预习数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是高考数学第一轮复习的重中之重。
回归课本，自己先对知识点进行梳理，把教材上的每一个例题、习题再做一遍，确保基本概念、公式等牢固掌握，要扎扎实实，不要盲目攀高，欲速则不达。
复习课的容量大、内容多、时间紧。
要提高复习效率，必须使自己的思维与老师的思维同步。
而预习则是达到这一目的的重要途径。
没有预习，听老师讲课，会感到老师讲的都重要，抓不住老师讲的重点;而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复习效率。
预习还可以培养自己的自学能力。
三、区别对待不同的知识点之难易程度知识有难有易，根据自身情况找准发力点，比如我们在复习函数时，知识点比较难，而且比较乱，考题也小题居多，灵活性大，有些同学只能掌握的六七成，我认为这个水平还是可以的，我们只需要保持住所会的部分就可以了，对于函数我认为就复习成功了，但三角就不一样了，本身难度就不大，而且大题的考法还很固定，所以我们复习这块知识时就需要跟他死磕，高考题，模拟题应该9成一场都会做，基本上就是来一个会一个，达不到要求就去练，要有练不死就要往死里练的架势，因为像三角这类知识点是保证我们基础得分的，如果一轮结束你这些东西还不会，你就跟已经掌握的同学拉开一个档次了，因为别人去学别的稍难一些的知识了，相当于去提高了你还在挣扎基础，怎么去跟人家竞争啊。
2015届高考数学教材知识点复习导学案63
班级 姓名 日期 主备人：白彦宏 学习目标
1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质
2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系
3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法
的取值范围是 。
椭圆越 ；椭圆越 。
例题解析
例1.在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：
（1）2212516x y += （2）22
1925
x y +=
例2.求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标：
(1)221625400x y += (2)22
981x y +=
练习
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
⑴经过点(8,0)-、(0,6)； ⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)；
⑶焦距是8，离心率等于
45.
2.短轴长为8，离心率为5
3的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 .
3.已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率
4.已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =m 的值。
2015届高考数学第一轮复习精讲(课前准备+课堂活动小结+课后练习)幂函数导学案(新人教A版)文
学案9 幂函数导学目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．自主梳理1．幂函数的概念形如______的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数． 2．幂函数的性质↗↗(3)α>0时，幂函数的图象通过点________________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象________原点．自我检测1．(2011·石家庄月考)如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为 ( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－122．已知函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x －1；④y ＝21x .则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是 ( )A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②3．(2011·沧州模拟)设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 ( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,34．与函数y ＝xx ＋1的图象形状一样的是 ( )A ．y ＝2xB ．y ＝log 2xC ．y ＝1xD ．y ＝x ＋15．已知点(33，33)在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式是 ( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝x －3C ．f (x )＝21xD ．f (x )＝21-x探究点一 幂函数的定义与图象例1 已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，幂函数g (x )的图象过点(2，14)．(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)求当x 为何值时：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．变式迁移1 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试求函数h (x )的最大值以及单调区间．探究点二 幂函数的单调性例2 比较下列各题中值的大小． (1)8.03，7.03；(2)321.0，323.0；(3)212，318.1；(4)521.4，328.3-和53)9.1(-.变式迁移2 (1)比较下列各组值的大小：①318--________31)91(-；②0.20.5________0.40.3.(2)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则m 的取值范围是__________________________． 探究点三 幂函数的综合应用例3 (2011·葫芦岛模拟)已知函数f (x )＝322--m m x (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足3)1(m a -+<3)23(m a --的a 的范围．变式迁移3 已知幂函数f (x )＝12)(-+m m x (m ∈N *)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．右图是函数y ＝nmx (m ，n ∈N *，m 、n 互质)的图象，则 ( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn>12．(2010·陕西)下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是 ( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数 3．下列函数图象中，正确的是 ( )4．(2010·安徽)设a ＝52)53(，b ＝53)52(，c ＝52)52(，则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a 5．下列命题中正确的是 ( )①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n ＝0时，函数y ＝x n 的图象是一条直线； ④幂函数y ＝x n 当n >0时是增函数；⑤幂函数y ＝x n 当n <0时在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． A ．①和④ B ．④和⑤ C ．②和③ D ．②和⑤题号1 2 3 4 5 答案6．(2011·邯郸模拟)若幂函数y ＝22)332(--+-m m x m m 的图象不经过原点，则实数m 的值为________．7．已知a ＝x α，b ＝2a x ，c ＝ax 1，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小顺序是________．8．已知函数f (x )＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x >1，则f (x )>1；②若0<x <1，则0<f (x )<1；③当x >0时，若f (x 1)>f (x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f (x 1)x 1<f (x 2)x 2.其中正确的命题序号是________． 三、解答题(共38分)9．(12分)设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点(12，18)．求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．10．(12分)已知f (x )＝3221++-n n x x (n ＝2k ，k ∈Z )的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．11．(14分)(2011·荆州模拟)已知函数f (x )＝22++-k k x (k ∈Z )满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．答案 自主梳理1．y ＝x α x α 2.(2)(0，＋∞) 四 (3)(0,0)，(1,1) 增函数 不过 自我检测1．B [方法一 由幂函数的图象与性质，n <0时不过原点，故C 3，C 4对应的n 值均为负，C 1，C 2对应的n 值均为正；由增(减)快慢知n (C 1)>n (C 2)>n (C 3)>n (C 4)． 故C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为 2，12，－12，－2. 方法二 作直线x ＝2分别交C 1，C 2，C 3，C 4于点A 1，A 2，A 3，A 4，则其对应点的纵坐标显然为22,212，212-，2－2，故n 值分别为2，12，－12，－2.]2．D [第一个图象过点(0,0)，与④对应；第二个图象为反比例函数图象，表达式为y ＝kx，③y ＝x －1恰好符合，∴第二个图象对应③；第三个图象为指数函数图象，表达式为y ＝a x ，且a >1，①y ＝2x 恰好符合，∴第三个图象对应①；第四个图象为对数函数图象，表达式为y ＝log a x ，且a >1，②y ＝log 2x 恰好符合，∴第四个图象对应②.∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②.] 3．A 4.C 5.B 课堂活动区例1 解 (1)设f (x )＝x α，∵图象过点(2，2)，故2＝(2)α， 解得α＝2，∴f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，∵图象过点(2，14)，∴14＝2β，解得β＝－2. ∴g (x )＝x －2.(2)在同一坐标系下作出f (x )＝x 2与g (x )＝x －2的图象，如图所示．由图象可知，f (x )，g (x )的图象均过点(－1，1)和(1,1)． ∴①当x >1，或x <－1时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1，或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； ③当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．变式迁移1 解 求f (x )，g (x )解析式及作出f (x )，g (x )的图象同例1， 如例1图所示，则有：h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x <－1或x >1，x 2， －1≤x ≤1.根据图象可知函数h (x )的最大值为1，单调增区间为(－∞，－1)和(0,1)；单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．例2 解题导引 比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同，还是指数相同，若底数相同，利用指数函数的性质；若指数相同，利用幂函数的性质；若底数、指数皆不相同，考虑用中间值法，常用0和1“搭桥”进行分组．解 (1)函数y ＝3x 是增函数，∴30.8>30.7. (2)函数y ＝x 3是增函数，∴0.213<0.233.(3)∵3121218.18.12>>， ∴31218.12>.(4)525211.4>＝1；0<323218.3--<＝1；53)9.1(-<0，∴5232531.48.3)9.1(<<--.变式迁移2 (1)①< ②< (2)m >0解析 根据幂函数y ＝x 1.3的图象， 当0<x <1时，0<y <1，∴0<0.71.3<1. 又根据幂函数y ＝x 0.7的图象， 当x >1时，y >1，∴1.30.7>1. 于是有0.71.3<1.30.7.对于幂函数y ＝x m ，由(0.71.3)m <(1.30.7)m 知，当x >0时，随着x 的增大，函数值也增大，∴m >0.例3 解 ∵函数f (x )在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.而y ＝31-x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴31)1(-+a <31)23(--a 等价于a ＋1>3－2a >0， 或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.故a 的范围为{a |a <－1或23<a <32}．变式迁移3 解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数．∴函数f (x )＝1)(2-+m m x (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝12)(2-+m m ，即1)2(2122-+=m m . ∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥02－a >a －1.解得1≤a <32.∴a 的取值范围为[1，32)．课后练习区1．C [由图象知，函数为偶函数， ∴m 为偶数，n 为奇数．又函数图象在第一限内上凸，∴mn<1.]2．C [∵(x ＋y )α≠x α·y α，∴幂函数f (x )＝x α不具有此性质． ∵log a (x ＋y )≠log a x ·log a y ，∴对数函数f (x )＝log a x 不具有此性质．∵a x ＋y ＝a x ·a y ，∴指数函数f (x )＝a x 具有此性质． ∵cos(x ＋y )≠cos x ·cos y ，∴余弦函数y ＝cos x 不具有此性质．]3．C [对A 、B ，由y ＝x ＋a 知a >1，可知A 、B 图象不正确； D 中由y ＝x ＋a 知0<a <1，∴y ＝log a x 应为减函数，D 错．] 4．A [∵y ＝52x 在x ∈(0，＋∞)递增，∴5252)52()53(>，即a >c ，∵y ＝(25)x 在x ∈(－∞，＋∞)递减，∴5352)52()52(>，即c >b ，∴a >c >b .] 5．D 6．1或2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合．7．c <a <b解析 ∵α∈(0,1)，∴1α>α>α2.又∵x ∈(0,1)，∴ax 1<x α<2a x ，即c <a <b .8．①②③解析 作出y ＝x α(0<α<1)在第一象限内的图象，如图所示， 可判定①②③正确， 又f (x )x表示图象上的点与原点连线的斜率， 当0<x 1<x 2时应有f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，故④错．9．解 设在[－1,1)中，f (x )＝x n ，由点(12，18)在函数图象上，求得n ＝3.……………………………………………………(4分)令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)，∴f (x －2k )＝(x －2k )3.……………………………………………………………………(8分) 又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )．………………………………………………………………(12分)10．解 由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n <3.…………………………………………………………(4分) 又n ＝2k ，k ∈Z ，∴n ＝0,2.当n ＝0,2时，f (x )＝x 13，∴f (x )在R 上单调递增．…………………………………………………………………(8分) ∴f (x 2－x )>f (x ＋3)转化为x 2－x >x ＋3. 解得x <－1或x >3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．………………………………………(12分) 11．解 (1)∵f (2)<f (3)， ∴f (x )在第一象限是增函数． 故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2. 又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.…………………………………………………………………………………(6分) (2)假设存在q >0满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(2q －12q ，4q 2＋14q)处取得．……………………………………………………………………………………………(8分) 而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，…………………………………………………………………(12分)g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q＝2.∴存在q＝2满足题意．……………………………………………………(14分)。
2015届高三文科数学二轮复习考前增分方略第四讲 拉分大题巧得分(共36张 P P T)
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第二部分 专题一第十页，第编辑四于星讲期五：第九点2课四十时七分。
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【解】 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝ex－a. 若a≤0，则f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增． 若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0， 所以，f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)单调递 增．
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2．(2014·沈阳质量监测)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝
1 2
ax
＋b.
(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，试求g(x)的表达式；
(2)若φ(x)＝mxx＋－11－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实
数m的取值范围；
(3)证明不等式：ln12＋ln13＋ln14＋…＋lnn1＋1<n2＋1＋12
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＝n2＋1＋12＋13＋…＋1n， 即ln12＋ln13＋ln14＋…＋lnn1＋1 <n2＋1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*，n≥2)．
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第二部分 专题一第二十八第页，四编辑讲于星期第五：2九课点时四十七分。
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利用导数研究不等式恒成立问题
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第二部分 专题一第十五页第，编四辑于讲星期五第：九2点课四时十七分。
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解：(1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x>0， 所以f′(x)＝ax2－2x＋a＝－x－ax2x＋a. 由于a>0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋ ∞)． (2)由题意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e. 由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增， 要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立． 只要ff1e＝ ＝aa2－－1e≥2＋e－ae1≤，e2，① ②
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章-3.3
§3.3 导数的综合应用1． 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2． 不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)连续函数在闭区间上必有最值．( √ ) (2)函数f (x )＝x 2－3x ＋2的极小值也是最小值．( √ ) (3)函数f (x )＝x ＋x －1和g (x )＝x －x －1都是在x ＝0时取得最小值－1. ( × ) (4)函数f (x )＝x 2ln x 没有最值． ( × ) (5)已知x ∈(0，π2)，则sin x >x .( × ) (6)若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上没有实数根．( × )2． (2013·福建)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 答案 D解析 A 错，因为极大值未必是最大值．B 错，因为函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图像关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点．C 错，函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图像关于x 轴对称，x 0应为－f (x )的极小值点．D 对，函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称，－x 0应为y ＝－f (－x )的极小值点．3． 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22答案 D解析 |MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值， h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点， 也是最小值点，故t ＝22. 4． 若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－2,2)解析 由于函数f (x )是连续的，故只需要两个极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，得x ＝±1，只需f (－1)·f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)． 5． 若f (x )＝ln xx，0<a <b <e ，则f (a )、f (b )的大小关系为________．答案 f (a )<f (b ) 解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，当x ∈(0，e)时，1－ln xx 2>0，即f ′(x )>0，∴f (x )在(0，e)上为增函数， 又∵0<a <b <e ，∴f (a )<f (b )．题型一 利用导数证明不等式例1 已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同． (1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x )(x >0)．思维启迪 (1)设公共点为(x 0，y 0)，则f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)可得a ，b 的关系；(2)构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，求F (x )的最值． (1)解 设两曲线的公共点为(x 0，y 0)， f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x，由题意知f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即⎩⎨⎧12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝3a2x.由x 0＋2a ＝3a 2x 0，得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (t )＝52t 2－3t 2ln t (t >0)，则h ′(t )＝2t (1－3ln t )．于是当t (1－3ln t )>0，即0<t <e 31时，h ′(t )>0； 当t (1－3ln t )<0，即t >e 31时，h ′(t )<0.故h (t )在(0，e 31)上为增函数，在(e 31，＋∞)上为减函数， 于是h (t )在(0，＋∞)上的最大值为h (e 31)＝32e 32，即b 的最大值为32e 32.(2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x ＝(x －a )(x ＋3a )x(x >0)．故F (x )在(0，a )上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数． 于是F (x )在(0，＋∞)上的最小值是F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0. 故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0， 即当x >0时，f (x )≥g (x )．思维升华 利用导数证明不等式的步骤 (1)构造新函数，并求其单调区间； (2)判断区间端点函数值与0的关系；(3)判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式．当0<x <π2时，求证：tan x >x ＋x 33.证明 设f (x )＝tan x －⎝⎛⎭⎫x ＋x 33， 则f ′(x )＝1cos 2x －1－x 2＝tan 2x －x 2＝(tan x －x )(tan x ＋x )．因为0<x <π2，所以x <tan x (简单进行证明亦可)，所以f ′(x )>0，即x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f (x )为增函数． 所以x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f (x )>f (0)． 而f (0)＝0，所以f (x )>0，即tan x －⎝⎛⎭⎫x ＋x33>0. 故tan x >x ＋x 33.题型二 利用导数求参数的取值范围例2 已知函数f (x )＝ln x ＋a x (a ∈R )，g (x )＝1x.(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)若函数f (x )的图像与函数g (x )的图像在区间(0，e 2]上有公共点，求实数a 的取值范围． 思维启迪 (1)解f ′(x )＝0，根据函数值的变化得到单调区间、极值；(2)构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，通过F (x )的单调性和函数值的变化研究f (x )、g (x )的交点情况． 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1－(ln x ＋a )x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e 1－a ，当x ∈(0，e 1－a )时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x ∈(e 1－a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，e 1－a ]， 单调递减区间为[e 1－a ，＋∞)，极大值为f (x )极大值＝f (e 1－a )＝e a －1，无极小值． (2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝ln x ＋a －1x ，则F ′(x )＝－ln x ＋2－ax 2.令F ′(x )＝0，得x ＝e 2－a ；令F ′(x )>0，得x <e 2－a ； 令F ′(x )<0，得x >e 2－a ，故函数F (x )在区间(0，e 2－a ]上是增函数，在区间[e 2－a ，＋∞)上是减函数． ①当e 2－a <e 2，即a >0时，函数F (x )在区间(0，e 2－a ]上是增函数，在区间[e 2－a ，e 2]上是减函数，F (x )max ＝F (e 2－a )＝e a －2. 又F (e 1－a )＝0，F (e 2)＝a ＋1e 2>0，由图像，易知当0<x <e 1－a时，F (x )<0；当e 1－a <x ≤e 2，F (x )>0，此时函数f (x )的图像与函数g (x )的图像在区间(0，e 2]上有1个公共点． ②当e 2－a ≥e 2，即a ≤0时，F (x )在区间(0，e 2]上是增函数， F (x )max ＝F (e 2)＝a ＋1e 2. 若F (x )max ＝F (e 2)＝a ＋1e2≥0，即－1≤a ≤0时，函数f (x )的图像与函数g (x )的图像在区间(0，e 2]上只有1个公共点； 若F (x )max ＝F (e 2)＝a ＋1e2<0，即a <－1时，函数f (x )的图像与函数g (x )的图像在区间(0，e 2]上没有公共点． 综上，满足条件的实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．思维升华 函数零点或函数图像交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图像，根据零点或图像的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )， 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)． 当a >0时，由f ′(x )>0， 解得x <－a 或x >a .由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，a )． (2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，结合如图所示f (x )的图像可知： 实数m 的取值范围是(－3,1)． 题型三 生活中的优化问题例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 思维启迪 (1)由x ＝5时y ＝11求a ；(2)建立商场每日销售该商品所获利润和售价x 的函数关系，利用导数求最值． 解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润 f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．思维升华 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1 000万元的投资收益．现准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y (万元)随投资收益x (万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数f (x )模型制订奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f (x )模型的基本要求； (2)现有两个奖励函数模型： ①y ＝x150＋2；②y ＝4lg x －3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ 解 (1)设奖励函数模型为y ＝f (x )， 则公司对函数模型的基本要求是当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数，f (x )≤9恒成立， f (x )≤x5恒成立．(2)①对于函数模型f (x )＝x150＋2，当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数， 则f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝263<9. 所以f (x )≤9恒成立．因为函数f (x )x ＝1150＋2x 在[10,1 000]上是减函数，所以[f (x )x ]max ＝1150＋15>15.从而f (x )x ＝1150＋2x ≤15不恒成立，即f (x )≤x5不恒成立．故该函数模型不符合公司要求． ②对于函数模型f (x )＝4lg x －3， 当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数， 则f (x )max ＝f (1 000)＝4lg 1 000－3＝9. 所以f (x )≤9恒成立．设g (x )＝4lg x －3－x 5，则g ′(x )＝4x ln 10－15.当x ≥10时，g ′(x )＝4x ln 10－15≤2－ln 105ln 10<0，所以g (x )在[10,1 000]上是减函数， 从而g (x )≤g (10)＝－1<0.所以4lg x －3－x 5<0，即4lg x －3<x 5，所以f (x )≤x5恒成立．故该函数模型符合公司要求．二审结论会转换典例：(12分)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图像在函数g (x )＝23x 3的图像的下方．求f (x )的极值↓(从结论出发向条件转化，注意隐含条件——定义域) 求f ′(x )＝0的解，即f (x )的极值点 ↓(转化为求函数值)将极值点代入f (x )求对应的极大、极小值 ↓(转化为研究单调性) 求f (x )在[1，e]上的单调性 ↓(转化为求函数值)比较端点值、极值，确定最大、最小值 ↓(构造函数进行转化) F (x )＝f (x )－g (x )↓(将图像的上、下关系转化为数量关系) 求证F (x )<0在[1，＋∞)上恒成立． ↓研究函数F (x )在[1，＋∞)上的单调性．规范解答(1)解 由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ，[1分] 令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)， [2分] 当x ∈(0,1)时，函数f (x )单调递减，[3分] 当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )单调递增， [4分] 所以f (x )在x ＝1处取得极小值为12.[5分] (2)解 当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上为增函数， [6分] ∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.[7分](3)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x ，[9分]当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，又F (1)＝－16<0，∴在区间[1，＋∞)上，F (x )<0恒成立． 即f (x )<g (x )恒成立．[11分]因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图像在函数g (x )图像的下方．[12分]温馨提醒 (1)导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小；参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用． (2)对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究问题．方法与技巧1． 利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．2． 在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 失误与防范1． 函数f (x )在某个区间内单调递增，则f ′(x )≥0而不是f ′(x )>0 (f ′(x )＝0在有限个点处取到)． 2． 利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 在R 上可导的函数f (x )的图像如图所示，则关于x 的不等式x ·f ′(x )<0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A解析 由f (x )的图像知，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴x ·f ′(x )<0的解集是(－∞，－1)∪(0,1)．2． 已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是( )A ．m >－2 2B ．m ≥－2 2C ．m <2 2D ．m ≤2 2答案 B解析 依题意知，x >0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x ，令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)，当－m4≤0时，g (0)＝1>0恒成立，∴m ≥0成立，当－m4>0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m <0，综上，m 的取值范围是m ≥－2 2.3． 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.4． 若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为( )A.33B. 3C.3＋1D.3－1答案 D解析 f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ＝a 时，令f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1，故选D. 5． 某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的年关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)，80 000 (x >400)，则总利润最大时，每年生产的产量是( ) A ．100B ．150C ．200D ．300答案 D解析 由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100x ， 总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)，60 000－100x (x >400)，又P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0<x <400)，－100 (x >400)，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，总利润P (x )最大． 二、填空题6． 设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________．答案 4解析 若x ＝0，则不论k 取何值，f (x )≥0都成立； 当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间(0，12]上单调递增，在区间[12，1]上单调递减，因此g (x )max ＝g (12)＝4，从而k ≥4；当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≤3x 2－1x 3，g (x )＝3x 2－1x 3在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而k ≤4，综上k ＝4.7． 已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________.答案 －2或2解析 设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得， f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减． 若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2； 若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.8． 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________． 答案 －13解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图像开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 三、解答题9． 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.(1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )． (2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0， 所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)， 都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.10．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 (1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040小时，共耗油10040×(1128 000×403－380×40＋8)＝17.5(升)．因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时， 从甲地到乙地要耗油17.5升． (2)当速度为x 千米/小时时， 汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝(1128 000x 3－380x ＋8)·100x＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)，h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数， ∴当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25. 易知h (80)是h (x )在(0,120]上的最小值．故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a等于( )A.14B.13C.12D ．1答案 D解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1. 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a<2.当x <1a 时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1a )上单调递增；当x >1a 时，f ′(x )<0，f (x )在(1a ，2)上单调递减，∴f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a＝－1，解得a ＝1.2． 已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数f ′(x )的图像如图所示，则对于任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，下列结论正确的是( )①f (x )<0恒成立；②(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0； ③(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0； ④f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2；⑤f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2.A ．①③B ．①③④C ．②④D ．②⑤答案 D解析 由函数f (x )的导函数的图像可得，函数f (x )是减函数，且随 着自变量的增大，导函数越来越大，即函数f (x )图像上的点向右运 动时，该点的切线的斜率为负，且值越来越大，由此可作出函数 f (x )的草图如图所示，由图示可得f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0且f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2，由此可得结论中仅②⑤正确，故应选D. 3． 已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－1e，＋∞)解析 f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )当x >－1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x <－1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 所以函数f (x )的最小值为f (－1)＝－1e .而函数g (x )的最大值为a ，则由题意， 可得－1e ≤a 即a ≥－1e.4． 已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx，其中e 是自然常数，a ∈R .(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12；(3)是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． (1)解 ∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x ≤e 时，f ′(x )>0时，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明 ∵f (x )的极小值为1，即f (x )在(0，e]上的最小值为1，∴[f (x )]min ＝1. 又g ′(x )＝1－ln xx 2，∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴[g (x )]max ＝g (e)＝1e <12，∴[f (x )]min －[g (x )]max >12，∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.(3)解 假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3， 则f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当0<1a <e 时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a，e]上单调递增， [f (x )]min ＝f (1a )＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件；②当1a ≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，[f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)，所以，此时f (x )无最小值．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时f (x )有最小值3. 5． 已知函数f (x )＝2ln x －ax ＋a (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≤0恒成立，证明：当0<x 1<x 2时，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<2(1x 1－1)．(1)解 f ′(x )＝2－axx，x >0.若a ≤0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 若a >0，当x ∈(0，2a )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(2a，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)证明 由(1)知，若a ≤0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又f (1)＝0，故f (x )≤0不恒成立．若a >2，当x ∈(2a ，1)时，f (x )单调递减，f (x )>f (1)＝0，不合题意，若0<a <2，当x ∈(1，2a)时，f (x )单调递增，f (x )>f (1)＝0，不合题意，若a ＝2，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0符合题意． 故a ＝2，且ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时取“＝”)． 当0<x 1<x 2时，f (x 2)－f (x 1)＝2ln x 2x 1－2(x 2－x 1)<2(x 2x 1－1)－2(x 2－x 1)＝2(1x 1－1)(x 2－x 1)，f(x2)－f(x1) x2－x1<2(1x1－1)．所以。
201503变换与复数(叶中豪)
变换与复数（上海叶中豪）知识要点从动态观点看待几何几何变换（1）平移，（2）中心对称，（3）反射，（4）旋转，（5）位似，（6）旋转相似。
变换的复合复数与几何（1）复数乘法的几何意义，（2）三角形相似的充要条件例题和习题1．（拿破仑定理）以任意三角形三边向形外作正三角形，求证：这三个正三角形的中心也构成正三角形。
如改为向形内作正三角形，结论如何？2．（von Aubel定理）以任意四边形的各边向形外作正方形，则相对两正方形的中心连线互相垂直。
3．以△ABC的AB、AC两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD和ACE，使∠ABD＝∠ACE＝90°。
求证线段DE的中点的位置与顶点A的位置无关。
E4．（第1届IMO）在平面上已知一线段AB，P为AB上的动点，在AB的同侧分别以AP、BP为边作正方形APCD与MPEF。
（1）求证：直线AF、BC的交点Q同时在这两个正方形的外接圆上；（2）求证：不论P点如何运动，PQ联线始终经过一个定点；（3）求：当P在线段AB上运动时，上述两个正方形中心S、T联线的中点O的轨迹。
DA5．（Kiepert问题）在某一△ABC周围作正三角形DBC、ECA、FAB，如何由D、E、F三点逆向构造A、B、C？F6．能否由五边形各边中点倒过去确定原来的五个顶点？7．如图，△ABF、△ACE都是等腰直角三角形，当A在平面上运动时，请研究E到F的变换规律。
8．如图，△ABF、△ACE都是等腰直角三角形，当A在平面上运动时，请研究E到F的变换规律。
9．如图，△ABF、△ACE都是等腰直角三角形，当A在平面上运动时，请研究E到F的变换规律。
10．如图，△ABF是等腰直角三角形，△ACE是正三角形，当A在平面上运动时，请研究E到F的变换规律。
11．如图，△ABF 、△ACE 都是120°为顶角的等腰三角形，当A 在平面上运动时，请研究E 到F 的变换规律。
B12．已知：六边形AC 1BA 1CB 1满足：AC 1＝AB 1，BC 1＝BA 1，CA 1＝CB 1，且∠A ＋∠B ＋∠C ＝360°。
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1 a 1 0 x n 1
n
I 0
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
sin x 0 ; 1. lim _____ x x 1 1 ; 2. lim x sin ____ x x 1 0 ; 3. lim x sin ____ x x 0 1 n e 1 4. lim (1 ) ____ n n
1
lim[ 1 f ( x )] g ( x )
e lim g ( x ) f ( x )
tan x sin x 1 sin x (1 cos x ) 1 lim lim x 0 1 sin x x3 x 0 (1 sin x ) cos x x 3 1 sin x 1 cos x 1 lim 2 (1 sin x) cos x 2 x 0 x x
e2
练习1: 设 f ( x )连续,
f ( 0 ) 0 , f ( 0 ) 0 求 lim x 0
解: 原式 = lim x 0
x 0
x 0
1 x
1 x
lim e
x 0
x cot x ln ( 1 12 ) x
x ln ( 1 2 x ) ～ 12 x 1 x
e 说明: 若 lim u ( x ) 0 , lim v ( x ) , 则有
x x0
x x0
e
x 2x ) lim ( cos x 0 sin x 1 x
x
)
1
(6) I lim
n n
n a sin x
x
dx
解 利用积分中值定理
I lim
(7)
sin
a 0
n na
I
1 n lim x n 0
a xd x
0 xn a x xn a 1
解 利用估值定理
a 1
1 n x d 0
g ( x) x
n0
泰勒中值定理
柯西中值定理
微分中值定理的主要应用
(1) 研究函数或导数的性态
(2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
解题方法:
利用逆向思维 , 设辅助函数 ,一般
(1) 证明含一个中值的等式或根的存在 ,
多用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数 .
(2) 证明不等式多用拉格朗日中值定理
(1 1 . 例4. 求 lim x 0 cos x 1
1 x2 )3
解:
e x e sin x 例5. 求 I lim x 0 x sin x
解: I lim e
x 0
sin x
e 1 x sin x
x sin x
1
例6 求
解: 原式 =
e
2 n 1 lim n n
对于实际问题求解最值，即“用料最省”、“效
利用导数研究函数的性态：
1.函数f ( x)的单调性— f ( x )的正负性 函数f ( x)单调区间的分界点— 驻点及f ( x)不存在的点
讨论函数的单调区间可以按以下步骤进行：
1）确定函数 f ( x ) 的定义域；
2）求 f ( x ) ，找出 f ( x ) 0 和 f ( x) 不存在的点，
原式 e .
1 2
例2. 求下列极限
(1) lim (sin
x
x 1 sin x )
2
(2) lim 1 x x1 sin x
提示: (1) sin
cot x 1 x (3) lim x 0 1 x
x
x 1 sin
x 1 x x 1 x 2 sin cos 2 2 1 x 1 x 2 sin cos 2 2( x 1 x )
(5)近一步可得到曲线的凹 凸区间 .
3.求函数的极值、最值 ：
极值——函数在定义域内部局部的最值
极值点——定义域内增、减区间的分界点
求函数极值点的方法：（极值第一、第二判别法）
(极值第二判别法)
二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ;
则
判断驻点是否 是极值点
在点
取极小值 .
f ( x0 )不存在或f ( x ) 0 此方法失效
2
x
3e csc x ln 2 x 解：原式 = lim e
x 0
x
x 0 1 e 1 1 x e ( ) lim lim 0 x 0 2 x x x 0 x (2 x) e e
x
1 1 x e lim ln ( 1 x 0 sin x 2 x e
求 极 限 的 基 本 方 法 其 它 方 法
二、计算导数的方法及常见的题型
1、利用导数的定义求做 适用于分段函数 2、利用导数公式和求导法则求做 要求：基本的公式表 导数与微分的四则运算 复合函数求导法则 隐函数的求导法则 参数方程求导 3、利用对数求导法求做 4、高阶导数的求法
定理: 函数
在点 x0 可微的充要条件是 即
积分中值定理 微分中值定理
5、常用的公式 (1) 熟记三角公式及万能代换 (2)
0, (3) 若 f ( x ) 以 l 为周期, 则
a
a
f ( x ) dx
2 f ( x ) dx ,
0
a
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)
2 l 2 l
a l a
0 0
2
2
奇偶讨论
六、定积分的应用
1. 定积分的应用 几何方面 : 面积、 体积、 弧长 作功、 侧压力、 引力、 物理方面 : 质量、 2. 基本方法 : 微元分析法
微元形状:
条、段、 带、 片、扇、环、壳等 .
1 tan x x 3 ) . 例1. 求极限 lim ( x 0 1 sin x 1 1 tan x 3 x 解: 原式 = lim [1 ( 1)] 1 sin x x 0 1 tan x sin x x3 lim [1 ] 1 sin x x 0
以这些点为分界点，把定义域分成若干区间；
3）在各个区间上判别 f ( x ) 的符号，以此确定 各区间上的单调性。
2.曲线y f ( x)的凹凸性— f ( x)的正负性
曲线y f ( x )凹凸区间的分界点— 拐点— f ( x ) 0的根及f ( x )不存在的点
求曲线y f ( x )的拐点的一般步骤：
f ( x ) dx f ( x ) dx
0) x f (sin x ) dx f (sin x ) dx f (sin x ) dx 0 0 2 0
(5) I n sin n x d x cos n x d x
总复习
一、研究函数连续 （间断） 与极限的方法 函数 研究对象 极限 研究工具 连续 研究桥梁
二、一元函数微分学及其应用
导数、 导数应用、 中值定理
三、一元函数积分法及其应用
定积分与不定积分
一个基本概念、两个应用、三个基本运算
一、求极限的方法及举例 (1) 利用定义式验证极限 (2) 利用极限存在准则求极限 (3) 利用极限或无穷小的运算法则 (4) 利用函数的连续性求极限 (5) 利用等价无穷小与重要的极限 (6) 求未定型的极限 (洛必达法则) (7) 利用导数的定义求极限 (8) 利用中值定理求极限 (9) 利用泰勒公式求极限
最大值与最小值问题
则其最值只能
在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
M max
最小值
f ( a ) , f (b)
特别:
•当
在
内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大(小) 值 . •当 在 最值必在端点处达到 . 上单调时 ,
5) 求极限 x sin 2 x (1) lim x x sin n ! (2) lim n 2 n 6) 求极限 lim 解:
n x
利用极限的 运算法则
n ( n n 1 ) 利用函数极限求做
x 1 x
1 2 1 x x
lim
e
x
1 ln x x
x ( x 1 ) lim
1
0 型 0
lim
x
x
1 2
lim
1 x
ln x
1 2
x
x
ln x 0 lim x x
x 3 ax 2 b 例3 已知 I lim 8 试确定 a , b . x2 x2
解：当x 2 时 此题分母的极限为0， 可见分子的极限一定为0，则有
无穷小 有界
( 2)
lim 1 x
x 1
2
sin x
令 t x 1
t ( t 2 ) lim t 0 sin ( t 1)
t (t 2) lim t 0 sin t
t (t 2) lim t 0 t
2
(3) lim 1 x cot x lim ( 1 2 x ) cot x
(1)求f ( x), f ( x)
(2)解出f ( x) 0的根及f ( x)不存在的点x1 ,, xk
(3)把x1 ,, xk 按大小顺序排列，将定 义区间分段；
(4)由f ( x )在各区间段上的符号，判断( x i , f ( x i )) 是否为 曲线的拐点— f ( x )在x i 左、右临近两侧是否异号.