陕西省西安市第八十九中学高二上学期期中考试数学试题(图片版,)
陕西高二高中数学期中考试带答案解析
陕西高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.计算的值为（）A．B．C．D．2.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．25种C．20种D．32种3.可导函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.如图，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于（）A．B．C．D．5.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A．B．C．和D．和6.曲线y＝x2－2x在点处的切线的倾斜角为()．A．－135°B．45°C．－45°D．135°7.若有4名学生通过了插班考试，现插入A、B、C三个班中，并且每个班至少插入1人的不同插法有（）A.24种B.28种C.36种D.32种8.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t称后的位移为，那么速度为零的时刻是（）A．0秒B．1秒末C．2秒末D．1秒末和2秒末9.已知函数f(x)在定义域R内是增函数，且f(x)＜0，则g（x）=x2 f(x)的单调情况一定是（）A．在（-∞，0）上递增B．在（-∞，0）上递减C．在R上递减D．在R上递增10.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()．A．－1＜a＜2B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2D．a＜－3或a＞6二、填空题1.复数与复数相等，则实数的值为________2.曲线上一点处的切线方程是3.从4台甲型笔记本电脑和5台乙型笔记本电脑中任意选择3台，其中至少要有甲型与乙型笔记本电脑各1台，则不同取法共有 ________种4.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点有_______个5.设函数y=f（x）的定义域为，若对给定的正数K，定义则当函数时，三、解答题1.已知向量，，函数（1）求函数的解析式及其单调递增区间；（2）在中，角为钝角，若，，．求的面积。
陕西省西安市第八十九中学2021-2022学年高二上学期第二次月考理科数学试题
分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论.
设两个球的半径分别为 ， ．
这两个球的半径比为： ，
表面积比为： ，
体积比为： ，
所以，两个球是相似体．故选：A．
10.函数 图象上一点 到直线 的最短距离为（）
A. B. C. D.
C
设与直线 平行且与曲线 相切 直线的切点坐标为 ，利用导数的几何意义，求得切点坐标为 ，结合点到直线的距离公式，即可求解.
[解法一]:因为 ， 且 ，所以 为圆 上的点，令 ，即 ，依题意可知圆 与直线 有公共点，所以圆心到直线的距离 ，即 ，解得 ，即 ；
[解法二]：由柯西不等式得 ，
当且仅当 时取等号.
则 故选：B.
4.某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题．甲和丁均说自己不会证明；乙说：丙会证明；丙说：丁会证明．已知四名同学中只有一人会证明此题，且只有一人说了真话．据此可以判定能证明此题的人是（）
12.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式 中“…”即代表无限次重复，但它却是个定值，它可以通过方程 求得 .类似上述过程，则 （）
A. B. 4C. 3D. 3或
C
利用类比推理，令 求解.
（1） ，则切线的斜率为 ，
所以曲线在点P处的切线方程为 ，
即 .
（2）设过点 的切线与曲线 相切于点 ，
∴曲线 在点R处切线斜率为 ，
故切线方程为 ，
又因为切线过点 ，∴ ，
解得 或 ，
故切点R分别 和 ，
所以过点P的切线方程为 或 ，
所以过点Q的切线方程为： 和 .
陕西省高二上学期数学期中考试试卷
陕西省高二上学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)1. （2 分） (2017 高一下·承德期末) 直线 ﹣ =1 在 x 轴上的截距是（ ） A . ﹣3 B.3 C . ﹣4 D.42. （2 分） (2017 高二上·安阳开学考) 椭圆 + =1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点的距离分别为 d1 ， d2 ， 焦距为 2c，若 d1 ， 2c，d2 成等差数列，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C. D. 3. （2 分） 设 P 是双曲线＝1(a＞0 ,b＞0)上的点，F1、F2 是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2＝90°， △F1PF2 面积是 9，则 a + b＝（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4. （2 分） 过点 M（﹣2，0）的直线 l 与椭圆 x2+2y2=2 交于 P1 ， P2 ， 线段 P1P2 的中点为 P．设直线 l第 1 页 共 25 页的斜率为 k1（k1≠0），直线 OP 的斜率为 k2 ， 则 k1k2 等于（ ） A . -2 B.2 C. D.-5. （2 分） 已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=± x，则此双曲线的离心率为（ ） A. B.C.D.6. （2 分） (2020 高一下·连云港期末) 圆的圆心为 C，直线 l 过点(0，3)且与圆 C交于 A，B 两点，若△ABC 的面积为 ，则满足条件的直线 l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.47. （2 分） 设 m、n 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ）A . 若 m⊥α，m∥n，n∥β，则 α⊥βB . 若 α⊥β，m⊄α，m⊥β，则 m∥αC . 若 m⊥β，m⊂ α，则 α⊥β第 2 页 共 25 页D . 若 α⊥β，m⊂ α，n⊂ β，则 m⊥n 8. （2 分） 给出下列四个命题，其中正确的是（ ） ①在空间若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于 同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线 中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d，那么 b∥c． A . ①②③ B . ②④ C . ③④ D . ②③二、 多选题 (共 4 题；共 12 分)9. （3 分） (2020 高二上·邢台期中) 已知双曲线 A . C 的焦距为B . C 的虚轴长是实轴长的 倍，则（ ）C . 双曲线 D . 直线与 C 的渐近线相同 上存在一点在 C 上10. （3 分） (2020 高二上·沈阳期中) 下列说法错误的是（ ）A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B . 直线的倾斜角 的取值范围是C.过，两点的所有直线的方程为第 3 页 共 25 页D . 经过点且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为11. （3 分） (2020 高二上·鱼台月考) 在正方体 点，则下列结论正确的是（ ）中，分别是和的中A.//平面B.平面C.D . 点 与点 到平面的距离相等12. （3 分） (2020 高二上·重庆月考) 若椭圆 程可能为（ ）与双曲线的离心率互为倒数，则 的方A.B.C.D.三、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020 高二上·珠海月考) 若直线 为________.过圆的圆心，则 的值14. （1 分） (2019 高二上·上海月考) 以椭圆 方程________.的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程标准15. （1 分） (2018 高二上·江苏月考) 已知椭圆 为椭圆上一动点，则 MA＋ MF 的最小值为________．内部的一点为 A，F 为右焦点，M16. （1 分） (2020·随县模拟) 直三棱锥中，底面为等腰直角三角形且斜边，是 的中点.若，则异面直线与所成的角为________.第 4 页 共 25 页四、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （5 分） (2016 高三上·厦门期中) 已知椭圆 C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2 ，其中 F2 也是抛物线 C2：y2=4x 的焦点，M 是 C1 与 C2 在第一象限的交点，且（I）求椭圆 C1 的方程；（Ⅱ）已知菱形 ABCD 的顶点 A、C 在椭圆 C1 上，顶点 B、D 在直线 7x﹣7y+1=0 上，求直线 AC 的方程．18. （10 分） 在四棱锥中 P﹣ABCD，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD⊥底面 ABCD，且 PA=PD= F 分别为 PC，BD 的中点．，PA⊥PD，E，（Ⅰ）求证：EF||平面 PAD；（Ⅱ）求三棱锥 P﹣CDF 的体积．19. （10 分） (2017 高二下·太和期中) 已知椭圆 C1： F1 ．+x2=1（a＞1）与抛物线 C ：x2=4y 有相同焦点（Ⅰ）求椭圆 C1 的标准方程；（Ⅱ）已知直线 l1 过椭圆 C1 的另一焦点 F2 ， 且与抛物线 C2 相切于第一象限的点 A，设平行 l1 的直线 l 交 椭圆 C1 于 B，C 两点，当△OBC 面积最大时，求直线 l 的方程．20. （10 分） (2019 高三上·郑州期中) 在直角坐标系中，直线 的参数方程为：（为参数），.以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 的极坐标方程为：. （1） 在直角坐标系中，求圆 的圆心的直角坐标；第 5 页 共 25 页（2） 设点，若直线 与圆 交于 ， 两点，求证：为定值，并求出该定值.21.（10 分）(2016 高二上·黄石期中) 在四棱锥 A﹣BCDE 中，底面 BCDE 为平行四边形，平面 ABE⊥平面 BCDE， AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°（1） 求异面直线 AB 与 DE 所成角的大小；（2） 求二面角 B﹣AE﹣C 的余弦值．22. （10 分） (2018 高二上·潍坊月考) 如图，设 F 是椭圆 C：椭圆的长轴，且已知点满足．的左焦点，线段 MN 为（1） 求椭圆 C 的标准方程； （2） 若过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点 A，B．求证：；求三角形 ABF 面积的最大值．第 6 页 共 25 页一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点： 解析：第 7 页 共 25 页答案：4-1、 考点： 解析：答案：5-1、 考点：第 8 页 共 25 页解析： 答案：6-1、 考点： 解析：答案：7-1、 考点：第 9 页 共 25 页解析： 答案：8-1、 考点： 解析：二、 多选题 (共 4 题；共 12 分)答案：9-1、 考点： 解析：答案：10-1、第 10 页 共 25 页考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共55分)考点：解析：答案：18-1、考点：解析：。
陕西西安市第八十九中学2018—2019学年第一学期高二年级数学学科(理)期中考试试题
西安市第八十九中学2018—2019学年第一学期高二年级数学学科（理）期中考试试题一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分)1.给出两个命题：p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点；q：若<1，则x>1，那么在下列四个命题中，真命题是()A．(﹁p)∨q B．p∧q C．(﹁p)∧(﹁q)D．(﹁p)∨(﹁q)2.已知命题p：存在x0∈(0，＋∞)，＜；命题q：△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∨()C．()∧q D．p∧()3.已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p∧q为真，则实数a的取值范围是()A．(－12，－4]∪[4，＋∞)B．[－12，－4]∪[4，＋∞)C．(－∞，－12)∪(－4,4)D．[－12，＋∞)4.若log a2<log b2<0，则下列结论正确的是()A．0<a<b<1B．0<b<a<1C．a>b>1D．b>a>15.已知函数f(x)＝log a(4－ax)在(－2,2)上是减函数，则a的取值范围是()A．(0,2)B．(1,2)C．(1,2]D．[2，＋∞)6.设a，b，c均为正数，且2a＝a，＝b，＝log2c，则()A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c7.已知<1，那么a的取值范围是()A．0<a<B．a>C．<a<1D．0<a<或a>18.已知A＝{x|log2x<2}，B＝{x|<3x<}，则A∩B等于()A．B．(0，)C．D．(－1，)9.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则D1到直线AC的距离为()．A．a B．C．D．10.已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是()A．B．C．D．11.已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为()．A．a＋b＋c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c12.二面角α－l－β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为()A．2a B．a C．a D．a二、填空题(共5小题,每小题4.0分,共20分)13.设p：x>2或x<；q：x>2或x<－1，则￢p是￢q的________条件．14.已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则________．15.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则|MN|＝________．16.已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________17.若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．三、解答题(共44分)18．（1）.若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．（2）.已知，且，求的最小值.19.已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若P ∨Q 是真命题，求实数a 的取值范围．20．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（1）求证：； （2）；（3）设为中点，在边上找一点，使//平面并求. 21.如下图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4，E 为BC 的中点，F 为CC 1的中点．(1)求EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值；(2)求二面角F -DE -C 的余弦值．BN 11C B N ⊥平面11sin C N CNB θθ设为直线与平面所成的角,求的值M AB BC P MP 1CNB BP PC的值48正视图侧视图 俯视图A1 N答案解析1.【答案】D【解析】对于p，函数对应的方程x2－x－1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0.可知函数有两个不同的零点，故p为真．当x<0时，不等式<1恒成立；当x>0时，不等式的解为x>1.故不等式<1的解为x<0或x>1.故命题q为假命题．所以只有(﹁p)∨(﹁q)为真．故选D.2.【答案】C【解析】当x∈(0，＋∞)时，＜，故命题p为假命题；在△ABC 中，sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故命题q为真命题．所以()∧q为真命题．3.【答案】B【解析】p∧q为真，∴p和q均为真．∴a的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)．4.【答案】B【解析】利用函数的图像，在直线x＝1右侧，当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴，5.【答案】C【解析】∵函数f(x)＝log a(4－ax)在(－2,2)上是减函数，∴y＝log at为增函数，且当x＝2时，t＝4－ax≥0，即解得a∈(1,2]，故选C.6.【答案】A【解析】因为a，b，c均为正数，所以由指数函数和对数函数的单调性得a ＝2a>1⇒0<a<，b＝∈(0,1)⇒<b<1，log2c＝>0⇒c>1，所以a<b<c，故选A.7.【答案】D【解析】当a>1时，由<log aa知a>，故a>1；当0<a<1时，由<log aa 知0<a<，故0<a<.综上知：a的取值范围是0<a<或a>1.8.【答案】A【解析】log2x<2，即log2x<log24，等价于∴A＝(0,4)．<3x<，即3－1<3x<，∴－1<x<，B＝，∴A∩B＝.9.【答案】D【解析】连结BD，AC交于点O，则D1O＝＝a为10.【答案】C【解析】b－a＝(1＋t,2t－1,0)∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＝5t2－2t＋2＝5(t－)2＋，∴当t＝时，|b－a|有最小值.11.【答案】C【解析】如图所示，连接ON，AN，则＝(＋)＝(b＋c)，＝(＋＝(－2＋)＝(－2a＋b＋c)＝－a＋b＋c，所以＝(＋)＝－a＋b＋c.12.【答案】A＝＝＝2a.13.【答案】充分不必要【解析】￢p：≤x≤2.￢q：－1≤x≤2.￢p⇒￢q，但￢q⇒/ ￢p.∴￢p是￢q的充分不必要条件．14.【解析】a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴，∴15.【解析】＝－＝－＝＋－＝＋－.∴||＝＝a.16.【答案】[3,8]【解析】作出不等式组表示的可行域，如下图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x－3y＝0，当直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1)时，目标函数有最小值，z min＝2×3－3×1＝3；当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，目标函数有最大值，z max＝2×1＋3×2＝8.所以z∈[3,8]．17.【答案】【解析】∵x>0，∴>0，易知a>0.∴≥，∴≤x＋＋3.∵x >0，x ＋＋3≥2＋3＝5(x ＝1时取等号)，∴≤5.∴a ≥. 18.（1）【答案】【解析】由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－，2，∴∴b ＝－a ，c ＝－a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为x 2－x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0.又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，解得－＜x ＜3.所以所求不等式的解集为. （2）.【答案】【解析】由，得，当且仅当时，即时等号成立，∴的最小值为. 19.【解析】命题P 函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；∴0<a <1.又∵命题Q 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立；∴a ＝2或,即－2<a ≤2.∵P ∨Q 是真命题，∴a 的取值范围是－2<a ≤2.20解：（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直。
陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1 (有解析)
陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A. “若一个数是负数，则它的平方不是正数”B. “若一个数的平方是正数，则它是负数”C. “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D. “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”2.数据x1，x2，…，x n平均数为6，标准差为2，则数据2x1−6，2x2−6，…，2x n−6的平均数与方差分别为()A. 6，16B. 12，8C. 6，8D. 12，163.命题“∀x∈(0,+∞)，x+1x>2”的否定为()A. ∀x∈(0,+∞)，x+1x ≤2 B. ∀x∈(0,+∞)，x+1x<2C. ∃x∈(0,+∞)，x+1x ≤2 D. ∃x∈(0,+∞)，x+1x<24.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0)，则椭圆的离心率为()A. 13B. √33C. √22D. 125.先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为m、n，则m+n是奇数的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 156.执行如图的程序框图，若输入的N值为10，则输出的N值为()A. −1B. 0C. 1D. 27.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为()A. 33B. 32C. 31D. 309.抛物线x2=3ay的准线方程是y=1，则实数a=()A. −34B. 34C. −43D. 4310.“a=b”是“直线y=x+2与圆(x−a)2+(y−b)2=2相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件11.如图，已知直线l：y=k(x+1)(k>0)与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是()A. 13B. √23C. 23√2 D. 2√212.已知点P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，且PF1⊥PF2，∠PF1F2=60°，则e=()A. 12B. √32C. √3−12D. √3−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设某总体是由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成的，利用下面的随机数表依次选取4个个体，选取方法是从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为__________．0618 0765 4544 1816 5809 7983 86197606 8350 0310 5923 4605 0526 623814.椭圆C：y24+x23=1的焦点坐标是___________．15.一组数据1，3，x的方差为23，则x=________．16.点M到点F(2,0)的距离比它到直线l：x+3=0的距离小1，则点M的轨迹方程是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设命题p：x>m是2x−5>0的必要而不充分条件；设命题q：实数m满足方程x2m−1+y22−m=1表示双曲线(Ⅰ)若“p∧q”为真命题，求实数m的取值范围(Ⅱ)若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．18.某高中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为35,28,21，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取7名同学．(1)应从高一年级选出参加会议的学生多少名？(2)设高二，高三年级抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示，现从中随机抽取2名同学承担文件翻译工作．(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件“抽取的两名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．19.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，求点P的坐标．20.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50),[50,60)，⋯，[90,100]后得到如图的频率分布直方图．(Ⅰ)求图中实数a的值；(Ⅱ)若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于60分的人数；(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生人数分别为多少？21.已知方程x2+2√a⋅x+b=0是关于x的一元二次方程．(Ⅰ)若a是从集合{0,1，2，3}四个数中任取的一个数，b是从集合{0,1，2}三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；(Ⅱ)若a∈[0,3]，b∈[0,2]，求上述方程有实数根的概率．22.已知椭圆Γ：x2a +y2b=1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为A，长轴长为2√6，B为直线l：x=−3上的动点，M(m,0)(m<0)，AM⊥BM.当AB⊥l时，M与F重合．(1)若椭圆Γ的方程；(2)若C为椭圆Γ上一点，满足AC//BM，∠AMC=60°，求m的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。
陕西省西安市长安区2023-2024学年高二上学期期中考试 数学含解析
长安2023-2024学年度第一学期期中考试高二数学试题（答案在最后）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.双曲线22136x y -=的渐近线方程是（）A.360x y ±= B.360x y ±= C.60x y ±= D.60x y ±=2.已知直线:70l x y --=交圆22:49O x y +=于A ，B 两点，则OAB （O 为坐标原点）的面积为（）A.494B.492C.49D.983.已知向量()1,1,2OA = ，()1,0,2OB =- ，()2,1,OC λ= ，若,,,O A B C 共面，则OC 在OB上的投影向量的模为（）A.B.25C.D.24.在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，14AC AA ==，2BC =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为（）A.B.105C.155D.5.已知点P 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，满足12PF PF ⊥，12PF F △的面积为12，椭圆C 的焦距为8，则椭圆C 的标准方程为（）A.2218824x y += B.2217612x y += C.2214024x y += D.2212812x y +=6.设直线1:3260l x y --=，直线2:40l x y --=，则1l 关于2l 对称的直线方程为（）A.32140x y +-=B.23140x y --=C.3260x y +-= D.2360x y --=7.抛物线232x y =的焦点到圆()22:64C x y -+=上点的距离的最大值为（）A .10B.12C.20D.248.已知圆O 的半径为2，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，那么PA PB的最小值为（）A.16-+B.12-+C.12-+D.16-+二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，则下列说法中正确的是（）A.124PF PF +=B.椭圆C 的离心率12e =C.12PF F △面积的最大值为D.以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切10.已知方程()221R 106x y k k k +=∈+-所表示的曲线为C ，则下列说法中正确的有（）A.曲线C 可以是圆B.当6k >时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆C.当106k -<<时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线D.当曲线C 是双曲线时，其焦距为811.已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC 和CD 的中点，则（）A.1A D 与11B D 是异面直线B.1A D 与EF 所成角的大小为45°C.1A F 与平面1B EB 所成角的余弦值为13D.二面角11C D B B --的余弦值为312.已知点()1,2M ，点P 是双曲线C ：221916x y -=左支上的动点，2F 为其右焦点，N 是圆D ：()2251x y ++=上的动点，直线OP 交双曲线右支于Q 点（O 为坐标原点），则（）A.过点M 作与双曲线C 有一个公共点的直线恰有4条B.PM PN -的最小值为6-C.若2DPF △的内切圆E 与圆D 外切，则圆E 的半径为2D.过点Q 作x 轴的垂线，垂足为H （H 与Q 不重合），连接PH 并交双曲线右支于点T ，则22649TQ PQ k k +≥（TQ k 为直线TQ 斜率，PQ k 为直线PQ 斜率）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应位置.）13.抛物线2x y =的准线方程为_______.14.直线1:10l ax y ++=与直线2:420l x ay ++=平行，则实数a 的值为______.15.已知向量()2,3,1a =- ，()4,,2b t =- ，若a 与b的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为______.16.椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为()0,1A ，离心率为2，直线()0y kx m k =+>将12AF F △分成面积相等的两部分，则m 的取值范围是_________.四、解答题（本大题共60分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()()1cos cos2R 2f x x x x x =-∈.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()f x 的值域.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22AB AD ==，PA ⊥平面ABCD E ，为PD 中点，且1PA =.（1）求证：//PB 平面ACE ；（2）求直线BE 与平面PAB 所成角的余弦值.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()2cos cos b c A a C -=.（1）求角A 的大小；（2）若a =BC 边上的中线AM的长为2，求ABC 的面积.20.已知圆C 过点()1,2A 和()1,10B ，且与直线210x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）设P 为圆C 上的任意一点，定点()20,10Q -，当点P 在圆C 上运动时，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，224AB BC CD ===，60BCD ∠= ，PB AD ⊥.（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若PB PD =，点F 是PC 中点，且四棱锥F ABCD -DBF 与平面PAD 的夹角的余弦值.22.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2:4x E ＋212y=，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点.（1）求AOB 面积的最大值；（2）是否存在与点P 不同的定点Q ，使QAPA QBPB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.长安2023-2024学年度第一学期期中考试高二数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.双曲线22136x y -=的渐近线方程是（）A.360x y ±=B.360x y ±= C.60x y ±= D.60x y ±=【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可.【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为16b y x x a =±=±，即60x y ±=.故选：D2.已知直线:70l x y --=交圆22:49O x y +=于A ，B 两点，则OAB （O 为坐标原点）的面积为（）A.494B.492C.49D.98【答案】B 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，再结合圆的的弦长公式，求得AB ，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】由题意，圆22:49O x y +=，可得圆心()0,0O ，则圆心O 到直线:70l x y --=的距离为2d ==，所以22AB ==⨯=，所以11492222S AB d =⋅=⨯=.故选：B.3.已知向量()1,1,2OA = ，()1,0,2OB =- ，()2,1,OC λ= ，若,,,O A B C 共面，则OC 在OB上的投影向量的模为（）A.5B.25C.D.2【答案】A 【解析】【分析】利用共面的条件求出λ，再利用投影向量的定义计算即得.【详解】因为,,,O A B C 共面，则存在实数,x y ，使得使OC xOA yOB =+，即(2,1,)(,,22)x y x x y λ=-+，即2,1,22x y x x y λ-===+，解得1,1,0x y λ==-=，则()2,1,0OC =，所以则OC 在OB 上的投影向量的模为5||||OB OC OB ⋅==.故选：A.4.在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，14AC AA ==，2BC =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为（）A.5B.5C.5D.5【答案】B 【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【详解】以C 为坐标原点，向量1,,CA CB CC 方向分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()114,0,0,0,0,4,0,0,0,0,2,4A C C B ，所以()()114,0,4,0,2,4AC B C =-=-- ，1116AC B C ⋅=- ，所以异面直线1AC 与1B C所成角的余弦值等于11111110cos ,5AC B C AC B C AC B C⋅<>==⋅.故选：B5.已知点P 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，满足12PF PF ⊥，12PF F △的面积为12，椭圆C 的焦距为8，则椭圆C 的标准方程为（）A.2218824x y += B.2217612x y += C.2214024x y += D.2212812x y +=【答案】D 【解析】【分析】由条件求得1224PF PF =，结合勾股定理得()212PF PF +，即可得22,a b ，可得答案.【详解】椭圆C 的焦距为8，则1228F F c ==，由12PF PF ⊥，12PF F △的面积为12，得121122PF PF =，即1224PF PF =，又222121264PF PF F F +==，所以()2221212122112PF PF PF PF PF PF +=++=，即24112a =，228a =，又4c =，则22212b a c =-=，则椭圆C 的标准方程为2212812x y +=．故选：D ．6.设直线1:3260l x y --=，直线2:40l x y --=，则1l 关于2l 对称的直线方程为（）A.32140x y +-=B.23140x y --=C.3260x y +-=D.2360x y --=【答案】B【解析】【分析】设所求直线上任一点(,)M x y ，M 关于直线2l 的对称点11(,)N x y ，利用轴对称的性质列出方程组解出114,4x y y x =+=-，由点11(,)N x y 在直线1l 上，代入1l 方程可得答案.【详解】设所求直线上任一点(,)M x y ，M 关于直线2:40l x y --=的对称点11(,)N x y ，则1111114022y y x x x x y y -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪--=⎪⎩，解得114,4x y y x =+=-，∵点11(,)N x y 在直线1:3260l x y --=上，即113260x y --=，∴()()342460y x +---=，化简得23140x y --=，即为所求直线方程.故选：B.7.抛物线232x y =的焦点到圆()22:64C x y -+=上点的距离的最大值为（）A.10 B.12 C.20D.24【答案】B 【解析】【分析】求出抛物线焦点，化为点到圆上点的距离最大值问题：点到圆心距离与半径之和.【详解】由232x y =方程知抛物线焦点()0,8F ，由圆方程()22:64C x y -+=知圆心()6,0C 半径为2,此时10FC =，所以焦点到圆上点距离最大值为212FC +=.故选：B8.已知圆O 的半径为2，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，那么PA PB的最小值为（）A.16-+B.12-+C.12-+D.16-+【答案】C 【解析】【分析】设PO d =，根据长度表示出cos APB ∠，然后根据向量的数量积计算公式求解PA PB ⋅，结合基本不等式求解出PA PB ⋅的最小值.【详解】如图，设PO d =，则24PA PB d ==-，因为2sin APO d∠=，所以2228cos 121APB d d ⎛⎫∠=-=- ⎪⎝⎭，所以()222283241123212212PA PB d d d d ⎛⎫⋅=--=+-≥=- ⎪⎝⎭，当且仅当2232d d=，即224d =>时，等号成立，故PA PB ⋅的最小值为212-，故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，则下列说法中正确的是（）A.124PF PF +=B.椭圆C 的离心率12e =C.12PF F △面积的最大值为23D.以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切【答案】AB 【解析】【分析】由椭圆方程得出,,a b c ，由椭圆的定义判断A ；由离心率公式判断B ；12PF F △面积121212PF F P P F F S y y =⋅=△，结合P y 的范围判断C ；根据圆心到直线的距离与半径的关系判断D ．【详解】因为椭圆C 的方程22143x y +=，故2,1a b c ===，由椭圆的定义可知12||||24PF PF a +==，故A 正确；离心率12c e a ==，故B 正确；12PF F △面积121212PF F P P F F S y y =⋅=△，而0P y ≤≤，∴12PF F △面积最大值为C 错误；∵1212(1,0),(1,0),||2F F F F -=，∴以线段12F F 为直径的圆的方程221x y +=，其圆心为()0,0，半径为1，又直线方程为20x y +-=，∴圆心到直线的距离为1d ==>，∴以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相离，故D 错误．故选：AB ．10.已知方程()221R 106x y k k k +=∈+-所表示的曲线为C ，则下列说法中正确的有（）A.曲线C 可以是圆B.当6k >时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆C.当106k -<<时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线D.当曲线C 是双曲线时，其焦距为8【答案】BCD【解析】【分析】A 只需判断106k k +=-能否成立即可；B 、C 根据椭圆、双曲线焦点位置特征列不等式求参数范围判断；D 根据已知方程，由双曲线参数关系求焦距.【详解】A ：显然106k k +>-恒成立，故曲线为C 不可能为圆，错；B ：曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，只需100660k k k +>⎧⇒>⎨->⎩，对；C ：曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，只需10010660k k k +>⎧⇒-<<⎨-<⎩，对；D ：曲线C 是双曲线，则106k -<<，即210(6)16c k k =+--=，4c =，所以焦距为28c =，对.故选：BCD11.已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC 和CD 的中点，则（）A.1A D 与11B D 是异面直线B.1A D 与EF 所成角的大小为45°C.1A F 与平面1B EB 所成角的余弦值为13D.二面角11C D B B --的余弦值为3【答案】AD【解析】【分析】根据异面直线的概念可判断A ，建立空间直角坐标系，用向量的方法可判断BCD ．【详解】根据异面直线的概念可得“平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线异面直线”可知A 正确；以D 为原点，1,,DA DC DD ，分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，()0,0,0D ，()12,0,2A ，()1,2,0E ，()0,1,0F ，所以()12,0,2A D =-- ，()1,1,0EF =-- ，设1A D 与EF 所成角的大小为θ，则11||1cos 2||||A D EF AD EF θ⋅=== ，所以π3θ=，故B 错误；由题意可知，平面1BEB 的法向量可取()0,2,0DC = ，()12,1,2A F =-- ，设1A F 与平面1B EB 所成角为α，则11||1sin 3||||A F DC A F DC α⋅=== ，所以1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值为13，cos 3α=,故C 错误；()112,2,0D B = ，1(0,0,2)BB =，设平面11D B B 的法向量为111(,,)m x y z = ，则11111122020m D B x y m BB z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令11x =，得(1,1,0)m =- ，设平面11D B C 的法向量为222(,,)n x y z =，则1122122220220n D B x y n B C x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令21x =，得(1,1,1)n =-- ，则cos ,||||3m n m n m n ⋅===，又因为二面角11C D B B --为锐角，所以二面角11C D B B --的余弦值为3，故D 正确.故选：AD ．12.已知点()1,2M ，点P 是双曲线C ：221916x y -=左支上的动点，2F 为其右焦点，N 是圆D ：()2251x y ++=上的动点，直线OP 交双曲线右支于Q 点（O 为坐标原点），则（）A.过点M 作与双曲线C 有一个公共点的直线恰有4条B.PM PN -的最小值为6-C.若2DPF △的内切圆E 与圆D 外切，则圆E 的半径为2D.过点Q 作x 轴的垂线，垂足为H （H 与Q 不重合），连接PH 并交双曲线右支于点T ，则22649TQ PQ k k +≥（TQ k 为直线TQ 斜率，PQ k 为直线PQ 斜率）【答案】AD【解析】【分析】根据点的位置可确定与双曲线C 有一个公共点的直线条数判断A ；根据22||||||,||||||PM PF MF PN PD DN ≥-≤+，结合双曲线定义判断B ；设(3,)E t -，由两圆外切可构造方程求得圆E 的半径判断C ；设直线:PQ y kx =，可求得161,92PT TQ PT k k k k ==，从而将22TQ PQ k k +化为222321()9k k ⋅+，利用基本不等式可判断D.【详解】A ：由双曲线渐近线为43y x =±，点M 在双曲线外，过M 作平行于渐近线的两条直线与双曲线有且仅有一个交点，过M 作双曲线的两条切线，与双曲线有且仅有一个交点，综上，过点M 作与双曲线C 有一个公共点的直线恰有4条，对；B ：由双曲线方程知，焦点为(5,0)±，故圆D 的圆心(5,0)-为双曲线的左焦点，所以2||||6PF PD -=，222||||||||PM PF MF PF ≥-=-，当且仅当2,,P M F 三点共线时取等号，||||||||1PN PD DN PD ≤+=+，当且仅当,,D N P 三点共线时取等号，所以2||||||||15PM PN PF PD -≥--=-，错；C ：若A 为焦点三角形内切圆与x 轴的切点，由双曲线定义、圆切线长定理有226||||||||PF PD AF AD =-=-，所以5(5)63A A A x x x ---=⇒=-，故2DPF △的内切圆E 的圆心必在3x =-上，设(3,)E t -，圆E 半径为||t ，又圆E 与圆D1||t =+，得3||2t =，所以2DPF △的内切圆半径为32，错；D ：设:PQ y kx =，(,),(,)T T P m n T x y ，则(,),(,0)Q m n H m ---，故k mn =，所以22222222161616(16)16999T T T T PT TQ T T T T x m y n y n y n k k x m x m x m x m ----+-=⋅===-+--，又122PT PH n k k k m ===，所以163299TQ PTk k k ==，所以2222232164()99TQ PQ k k k k =⋅+≥=+，对.故选：AD【点睛】关键点睛：对于D ，根据对称性设点坐标，应用斜率两点式求得PT TQ k k 为定值，进而得到22TQ PQ k k +关于所设参数的表达式为关键.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应位置.）13.抛物线2x y =的准线方程为_______.【答案】14y =-【解析】【分析】由抛物线方程求出11224p p =⇒=，判断焦点位置，从而可得答案.【详解】因为抛物线方程为2x y =，所以11224p p =⇒=，又因为抛物线焦点在y 轴上，所以抛物线2x y =的准线方程为14y =-，故答案为：14y =-.【点睛】本题主要考查由抛物线方程求准线方程，属于基础题.14.直线1:10l ax y ++=与直线2:420l x ay ++=平行，则实数a 的值为______.【答案】2-【解析】【分析】利用两直线平行时，利用法向量平行求解，求解出实数a 的值后需要代入直线验证是否平行，若直线重合则不符合题意应舍去.【详解】法一：直线1:10l ax y ++=的法向量为：()1,1l a = ；直线2:420l x ay ++=的法向量为：()24,l a = ；由于两直线平行，则法向量平行，所以121//4a l l a⇒= ，得到2a =±，当2a =时，两直线重合，不符合题意；当2a =-时，两直线平行，故2a =-；法二：直线1:10l ax y ++=的斜率为1k a =-；直线2:420l x ay ++=当0a =时，两直线不平行；当0a ≠时，斜率为24k a=-;因为两直线平行，则12k k =所以4a a-=-，则2a =±当2a =时，两直线重合，不符合题意；当2a =-时，两直线平行，故2a =-故答案为：2-15.已知向量()2,3,1a =- ，()4,,2b t =- ，若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为______.【答案】()10,66,3∞⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭【解析】【分析】两个向量的夹角为钝角等价于·0a b < 且a 与b 不共线.【详解】由·0a b < ⇒()()2,3,1·4,,20t --<⇒8320t -+-<⇒103t <；由a b ⇒42231t -==-⇒6t =-.综上：103t <且6t ≠-.故答案为：()10,66,3⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭.16.椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为()0,1A ，离心率为22，直线()0y kx m k =+>将12AF F △分成面积相等的两部分，则m 的取值范围是_________.【答案】21122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据已知条件求得,a b ，根据直线()0y kx m k =+>与x 轴的交点的位置进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.【详解】依题意，22212b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得1a c ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=，由于121OA OF OF ===，12122AF AF F F ===，所以12AF F △是等腰直角三角形，所以12112AF F S ==△，直线2AF 的方程为1x y +=，直线1AF 的方程为1y x =+，设直线()0y kx m k =+>与2AF 的交点为D ，与x 轴的交点为E ，①当E 与1F 重合时，11121,222D D y y ⨯⨯=⨯=，则12D x =，所以01122k m k m =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得13k m ==.②当E 在1O F ，之间时，113m <<，所以22111,122D D EF y EF y ⨯⨯=⨯⨯=，由1x y y kx m +=⎧⎨=+⎩解得1D k m y k +=+，1111D k m m x k k +-=-=++，由y kx m =+令0y =，得E m x k =-，所以21m EF k =+，所以111m k m k k +⎛⎫+⨯= ⎪+⎝⎭，整理得212m k m =-，由2012m k m=>-解得1132m <<.③当E 在1F 左侧，则10,013m k <<<<，2011k <-<，设直线()0y kx m k =+>与1AF 的交点为P ，由1y kx m y x =+⎧⎨=+⎩解得1,11P P m k m x y k k --==--，因为11122PAD S =⨯=△，所以()()11111,112211D P m m m x x m k k --⨯-⨯-=-⨯-=+-，()22211m k -=-)11m -=<，所以1,122m m -<>-，所以1123m -<<.综上所述，m 的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】求解椭圆的方程，关键点是根据已知条件求得,,a b c ，,,a b c 是3个未知数，需要3个条件，其中一个条件是222a b c =+，另外的两个条件由题目给出，如本题中的A 点坐标以及离心率，通过解方程组可求得,,a b c ，进而求得椭圆的方程.四、解答题（本大题共60分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()()1cos cos2R 2f x x x x x =-∈.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()f x 的值域.【答案】（1）πππ,π63k k 轾犏-+犏臌，Z k ∈（2）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换公式化简，再由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】131π()cos cos 22cos 2sin 22226f x x x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得ππππ63k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数的单调递增区间为πππ,π63k k 轾犏-+犏臌，Z k ∈【小问2详解】因为2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ7π2666x -<-<，所以1πsin 2126x ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，即()112f x -<≤，所以()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域为1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22AB AD ==，PA ⊥平面ABCD E ，为PD 中点，且1PA =.（1）求证：//PB 平面ACE ；（2）求直线BE 与平面PAB 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值，再利用三角函数的基本关系求线面角的余弦值即可.【小问1详解】连接BD ，交AC 于点O ，连接EO ，∵O 为BD 中点，E 为PD 中点，∴EO PB ∥.又∵EO ⊂平面ACE ，PB ⊂/平面ACE ，∴//PB 平面ACE .【小问2详解】如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.则()0,0,0A ，()2,1,0C ，()2,0,0B ，()0,0,1P ，()0,1,0D ，则110,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，112,,22BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()()0,0,1,2,0,0AP AB == ，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z = ，则==0=2=0n AP z n AB x ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，令1y =，得()0,1,0n = .设直线BE 与平面PAB 所成角为θ，则π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴6122sin cos ,92BE n BE n BE nθ⋅=== ，∴234cos 1sin 6θθ=-=，即直线BE 与平面PAB 所成角的余弦值为346.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()2cos cos b c A a C -=.（1）求角A 的大小；（2）若7a =BC 边上的中线AM 的长为192，求ABC 的面积.【答案】（1）π3；（2）2.【解析】【分析】（1）由正弦边角关系及三角恒等变换可得()2sin cos sin B A A C =+，结合三角形内角性质即可求A 的大小；（2）由余弦定理可得227b c bc +=+，根据()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，结合数量积的运算律有()2219144c b bc =++，联立所得方程求得6bc =，最后应用三角形面积公式求面积.【小问1详解】由已知及正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，则()()2sin cos sin cos sin cos sin sin πsin =+=+=-=B A A C C A A C B B ，在ABC 中sin 0B ≠，故1cos 2A =，又0πA <<，故π3A =.【小问2详解】由2271cos 22b c A bc +-==，得227b c bc +=+，由题意()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，则()22212cos 4=++ AM AB AC AB AC A ，即()()2219117444c b bc bc bc =++=++，解得6bc =，故ABC 的面积为11sin 62222S bc A ==⨯⨯=.20.已知圆C 过点()1,2A 和()1,10B ，且与直线210x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）设P 为圆C 上的任意一点，定点()20,10Q -，当点P 在圆C 上运动时，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．【答案】（1）22(3)(6)20x y -+-=或22(7)(6)80x y ++-=（2）2223((2)52x y -++=或2213((2)202x y -++=【解析】【分析】（1）根据弦的垂直平分线过圆心可知，圆心在线段AB 的垂直平分线上，先求AB 的垂直平分线，设圆心，半径，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，从而可求得圆心坐标，可得圆的标准方程；（2）设M 点坐标为(,)x y ，P 点坐标为00(,)x y ，由中点坐标公式可用,x y 分别表示00,x y ，将点00(,)x y 代入圆的方程从而可得关于点M 的轨迹方程．【小问1详解】圆心显然在线段AB 的垂直平分线6y =上，设圆心为(,6)a ，半径为r ，则圆C 的标准方程为222()(6)x a y r -+-=，由点B 在圆上得：222(1)(106)a r -+-=，又圆C 与直线210x y --=相切，有r =于是22(13)(1)165a a --+=，解得3,a r ==，或7,a r =-=所以圆C 的标准方程为22(3)(6)20x y -+-=或22(7)(6)80x y ++-=.【小问2详解】设点M 坐标为(,)x y ，点P 坐标为00(,)x y ，由M 为PQ 的中点，，则00202102x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，即00220210x x y y =-⎧⎨=+⎩又点00(,)P x y 在圆C 上，若圆的方程为22(3)(6)20x y -+-=，有2200(3)(6)20x y -+-=，则22(2203)(2106)20x y --++-=，整理得：2223()(2)52x y -++=，此时点M 的轨迹方程为2223()(2)52x y -++=．若圆的方程为22(7)(6)80x y ++-=，有2200(7)(6)80x y ++-=，则22(2207)(2106)80x y -+++-=，整理得：2213()(2)202x y -++=，此时点M 的轨迹方程为2213()(2)202x y -++=，综上，点M 的轨迹方程为2223()(2)52x y -++=或2213()(2)202x y -++=.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，224AB BC CD ===，60BCD ∠= ，PB AD ⊥.（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若PB PD =，点F 是PC 中点，且四棱锥F ABCD -DBF 与平面PAD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）35【解析】【分析】（1）根据平面与平面垂直的判定定理证明；（2）由题意，证明PO 是三棱锥P ABD -的高，由四棱锥F ABCD -的体积为PO ，建立空间直角坐标系，求出平面DBF 与平面PAD 的法向量，利用夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：由题意知BCD △为等边三角形，所以24AB BD ==，又//AB DC ，所以60ABD ∠=o ，在ABD △中，由余弦定理得2222212cos 42244122AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以AD =所以222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，又PB AD ⊥，PB BD B ⋂=，PB ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以AD ⊥平面PBD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD ；【小问2详解】取BD 的中点O ，连接PO ，CO ，则OC BD ⊥，又PB PD =，所以PO BD ⊥，又平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PO ⊂平面PBD ，则PO ⊥平面ABCD ，即PO 是三棱锥P ABD -的高.因为点F 是PC 中点，所以11111222223222F ABCD P ABCD V V PO --⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，解得2PO =.又OC ⊂平面ABCD ，所以PO OC ⊥.取AB 中点H ，以O 为坐标原点，OH ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()1,0A -，()0,1,0B，()C ，()0,1,0D -，()002P ,,，,0,12F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以,1,12DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0DB =，()DA = ，()0,1,2DP = ，设平面PAD 的一个法向量为()111,,n x y z =，所以00n DA n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，令12y =，解得10x =，11z =-，所以平面PAD 的一个法向量为()0,2,1n =- .设平面BDF 的一个法向量为()222,,m x y z = ，则00m DF m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，令22x =，解得20y =，2z =BDF的一个法向量为(m = .设平面DBF 与平面PAD 的夹角的大小为θ，所以cos cos ,35n m n m n m θ⋅==== ，即平面DBF 与平面PAD.22.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2:4x E ＋212y =，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点.（1）求AOB 面积的最大值；（2）是否存在与点P 不同的定点Q ，使QA PA QB PB =恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1（2）存在，()0,2Q 【解析】【分析】（1）设直线l 为1y kx =+与椭圆方程联立，将121=2AOB S x x ⋅- 表达为k 的函数，由基本不等式求最大值即可.（2）先讨论直线水平与竖直情况，求出()02Q ，，设点B 关于y 轴的对称点B '，证得,,Q A B '三点共线得到=QA PAQB PB 成立.【小问1详解】依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的斜率显然存在，故设直线l 为1y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2212420k x kx ++-=，因为直线l 恒过椭圆内定点()0,1P ，故Δ0>恒成立，12122242,1212k x x x x k k+=-=-++，故12211122212AOB S x x k =⋅-===+，令1t t =≥，所以22211AOB t S t t t==≤++ 1t =，即0k =时取得等号，综上可知，AOB.【小问2详解】当l 平行于x 轴时，设直线与椭圆相交于,C D 两点，如果存在点Q 满足条件，则有1QC PC QD PD ==，即QC QD =，所以Q 点在y 轴上，可设Q 的坐标为()00,y ；当l 垂直于x 轴时，设直线与椭圆相交于,M N 两点，如果存在点Q 满足条件，则有QM PMQN PN =，即=01y =或02y =，所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则点Q 的坐标为()0,2；当l 不平行于x 轴且不垂直于x 轴时，设直线l 方程为1y kx =+，由（1）知12122242,1212k x x x x k k --+==++，又因为点B 关于y 轴的对称点B '的坐标为()22,x y -，又11111211QA y kx k k x x x --===-，22222211QB y kx k k x x x '--===-+--，则121220QA QB x x k k k x x '+-=-=，所以QA QB k k '=，则,,Q A B '三点共线，所以12QAQA x PA QBQB x PB ==='；综上，存在与点P 不同的定点Q ，使QA PAQB PB =恒成立，且()0,2Q .。
2019-2020学年陕西省西安中学高二(上)期中数学试卷(理科)
2019-2020学年陕西省西安中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（）A.2次都不中靶B.2次都中靶C.至多有1次中靶D.只有1次中靶【答案】A【考点】互斥事件与对立事件【解析】利用互斥事件定义直接求解．【解答】某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是2次都不中靶．2. 某学校为了解1000名新牛的近视情况，将这些学生编号为000，001，002，…，999，从这些新生中用系统抽样的方法抽取100名学生进行检查，若036号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A.008号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生【答案】C【考点】系统抽样方法【解析】=10，所以若第一组被抽到的编号为b，则根据系统抽样的抽样方法，抽样间隔为1000100第n组被抽到的编号为10(n−1)+b，根据36被抽到，故b＝6，处理即可．【解答】=10，因为036号学生被抽到，所以被抽中的初始编号为006由题意得抽样间隔为1000100号，之后被抽到的编号均是10的整数倍与6的和，3. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40, 50)，[50, 60)，[60, 70)，[70, 80)，[80, 90)，[90, 100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A.588B.480C.450D.120【答案】B【考点】频率分布直方图【解析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数＝频率×总数可求出所求．【解答】根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1−10×(0.005+0.015)＝0.8，可估计该该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600×0.8＝480（人）．4. (x4−√2x2)3的展开式中的常数项为（）A.−3√2B.3√2C.6D.−6【答案】C【考点】二项式定理及相关概念【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r的值，将r的值代入通项，求出常数项．【解答】展开式的通项为T r+1＝(−√2)r C3r x12−6r，令12−6r＝0得r＝2，(x4−√2x2)3的展开式中的常数项即T2+1=C32(−√2)2＝6．5. 《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（）A.2 3B.12C.13D.14【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】任取两种共有C42=6个基本事件，而取到红楼梦包含C31=3个基本事件，代入公式即可．【解答】依题意，任取2种名著进行阅读，包含的基本事件个数为C42=6个，而取到红楼梦包含C31=3个基本事件，所以取到《红楼梦》的概率为P=36=12，6. 随机变量X服从正态分布(3, σ2)，且P(X≤4)＝0.84，则P(2<X<4)＝（）A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84【答案】C【考点】正态分布的密度曲线【解析】根据对称性先求出P(X≤2)，再得出P(2<X<4)．【解答】P(X≤2)＝P(X≥4)＝1−0.84＝0.16，∴P(2<X<4)＝P(X≤4)−P(X≤2)＝0.84−0.16＝0.68．7. 若(2−3x)6＝a0+a1x+a2x2+...+a6x6，则a1+a2+a3+...+a6等于（）A.−4B.4C.−64D.−63【答案】D【考点】二项式定理及相关概念【解析】分别令x＝0，x＝1，可得要求式子的值．【解答】∵(2−3x)6＝a0+a1x+a2x2+...+a6x6，令x＝0，可得a0＝64，再令x＝1，可得64+a1+a2+a3+...+a6＝1，∴a1+a2+a3+...+a6＝−63，8. 将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有（）A.480种B.240种C.960种D.720种【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】先排A，B，C然后利用插空法进行求解即可．【解答】若A，B在C的左侧，有A22=2种，然后将，D，E，F分别进行插空有4×5×6＝120种，此时有2×120＝240种，同理若A，B在C的右侧，也有240种，则共有240+240＝480种，9. 从3名男生和2名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有（）A.9种B.12种C.54种D.72种【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】利用排除法减去全是男生的种类即可．【解答】从5人中选3人，分别从事三项不同的工作，则有C53A33=60，若3人都是男生，则有C33A33=6，则这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有60−6＝54种，10. 某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A.45 B.12C.56D.37【答案】 B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案． 【解答】设小明到达时间为x ，当x 在7:50至8:00，或8:20至8:30时， 小明等车时间不超过10分钟， 故P =2040=12，11. 以图中的8个点为顶点的三角形的个数是（ ）A.56B.48C.45D.42 【答案】 D【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】若三角形的一个顶点是公共点，则共有三角形的个数为3×4个．若三角形的三个顶点都不用公共点，则有 4C 32+3C 42 个，再把这些三角形的个数相加即得所求． 【解答】若三角形的一个顶点是公共点，则共有三角形的个数为3×4＝12个．若三角形的三个顶点都不用公共点，则有4C 32+3C 42=12+18＝30 个， 故总个数是12+30＝4212. 已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0<p <1)，发球次数为X ，若X 的数学期望E(X)>1.75，则p 的取值范围为（ ） A.(0,12)B.(0,712)C.(12,1)D.(712,1)【答案】 A【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】由已知条件可得P(X ＝1)＝p ，P(X ＝2)＝(1−p)p ，P(X ＝3)＝(1−p)2p +(1−p)3＝(1−p)2，由此求数学期望，列出不等式，从而能求出结果． 【解答】由已知条件可得P(X ＝1)＝p ，P(X ＝2)＝(1−p)p ，P(X ＝3)＝(1−p)2p +(1−p)3＝(1−p)2， 则E(X)＝P(X ＝1)+2P(X ＝2)+3P(X ＝3)＝p +2(1−p)p +3(1−p)2＝p 2−3p +3>1.75， 解得p >52或p <12，又由p ∈(0, 1)，可得p ∈(0, 12)．二、填空题（本大题共4小题，共20分） 若(2x 2√x)n的展开式的所有奇数项二项式系数之和为32，则n ＝________． 【答案】 6【考点】二项式定理及相关概念 【解析】根据二项式系数之和为32，即2n ＝32，求解即可． 【解答】由(2x 2√x )n 的展开式的所有奇数项二项式系数之和为32，二项式系数之和为64，即2n ＝64，可得n ＝6，有五本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人一本，另两人各两本，不同的分配方法有________种． 【答案】 90【考点】计数原理的应用 【解析】根据题意，分析有将5本不同的书分成满足题意只有2，2，1，计算即可 【解答】将5本不同的书分成满足题意的3组只有2，2，1则不同的分配方法有C 52⋅C 32A 22⋅A 33=90种，甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为________． 【答案】25【考点】 相互独立事件相互独立事件的概率乘法公式 【解析】求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论． 【解答】由题意，甲获得冠军的概率为23⋅23+23⋅13⋅23+13⋅23⋅23=2027，其中，比赛进行了3局的概率为23⋅13⋅23+13⋅23⋅23=827，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为8272027=25，如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．【答案】45【考点】众数、中位数、平均数茎叶图【解析】由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．【解答】由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：15(88+89+90+91+92)＝90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩：15(83+83+87+99+90+x)＝88.4+x5，当x＝9，甲的平均数<乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为110，当x＝8，甲的平均数＝乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为110，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1−110−110=45三、解答题（本大题共6小题，共70分）（1）解方程：C9x=C92x−3(x∈N)；（2）解不等式：A9x>6A9x−1(x∈N)．【答案】因为C9x=C92x−3，所以x＝2x−3或x+2x−3＝9，解得x＝3或x＝4；∵A9x>6A9x−1，解原不等式即9!(9−x)!>6×9!(9−x+1)!，其中2≤x ≤9，x ∈N ∗，即10−x >6，x <4， 故x ＝2或3．∴ 原不等式的解集为{2, 3}． 【考点】组合及组合数公式 排列及排列数公式 【解析】（1）利用组合数的性质求解即可．（2）利用排列数的公式化简求解不等式即可． 【解答】因为C 9x =C 92x−3， 所以x ＝2x −3或x +2x −3＝9， 解得x ＝3或x ＝4；∵ A 9x >6A 9x−1， 解原不等式即9!(9−x)!>6×9!(9−x+1)!，其中2≤x ≤9，x ∈N ∗，即10−x >6，x <4， 故x ＝2或3．∴ 原不等式的解集为{2, 3}．已知(x +2x )n 的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项． 【答案】根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得C n1⋅12=C n 2⋅(12)2，即12n =14⋅n(n−1)2，解得n ＝5；二项式展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(12)r ⋅x 5−32r ，(r ＝0, 1, 2,…,5)；当r ＝0，2，4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为T 1=C 50⋅(12)0⋅x 5=x 5，T 3=C 52⋅(12)2⋅x 5−3=52x 2，T 5=C 54⋅(12)4x 5−6=516x．【考点】二项式定理及相关概念 【解析】（1）通过第二项和第三项的系数相等，求出n ；（2）利用通项公式通过x 的幂指数的取值，求解展开式中所有的有理项． 【解答】根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得C n1⋅12=C n 2⋅(12)2，即12n =14⋅n(n−1)2，解得n ＝5；二项式展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(12)r ⋅x 5−32r ，(r ＝0, 1, 2,…,5)；当r ＝0，2，4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为T 1=C 50⋅(12)0⋅x 5=x 5，T 3=C 52⋅(12)2⋅x 5−3=52x 2，T 5=C 54⋅(12)4x 5−6=516x ．如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x 和所支出的维修费y （万元）的几组对照数据：参考公式：b ^=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2，a ^=y −b ^x ．（1）若知道y 对x 呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^；（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低？ 【答案】根据所给表格数据计算得x =2+3+4+5+65=4，y =1+2.5+3+4+4.55=3，∑=i=15 xiyi 2+7.5+12+20+27=68.5，∑ 5i=1x i 2=4+9+16+25+36=90，∴ b ^=∑−i=15 xiyi 5x⋅y∑ 5i=1x i 2−5x2=68.5−6090−80=0.85，a ^=y −b ^x =−0.4，∴ y 关于x 的线性回归方程为y ^=0.85x −0.4； 由（1）得，当x ＝10时，y ^=0.85×10−0.4=8.1， 即技术改造后的10年的维修费用为8.1万元，相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了0.9万元． 【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）由已知表格中的数据求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x ＝10求得y 值，结合技术改造前该型号设备使用10年的维修费用得结论． 【解答】根据所给表格数据计算得x =2+3+4+5+65=4，y =1+2.5+3+4+4.55=3，∑=i=15 xiyi 2+7.5+12+20+27=68.5，∑ 5i=1x i 2=4+9+16+25+36=90，∴ b ^=∑−i=15 xiyi 5x⋅y∑ 5i=1x i 2−5x2=68.5−6090−80=0.85，a ^=y −b ^x =−0.4，∴ y 关于x 的线性回归方程为y ^=0.85x −0.4；由（1）得，当x ＝10时，y ^=0.85×10−0.4=8.1，即技术改造后的10年的维修费用为8.1万元，相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了0.9万元．已知某摸球游戏的规则如下：从装有5个大小、形状完全相同的小球的盒中摸球（其中3个红球、2个黄球），每次摸一个球记录颜色并放回，若摸出红球记1分，摸出黄球记2分．（1）求“摸球三次得分为5分”的概率；（2）设ξ为摸球三次所得的分数，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 【答案】由题意得，记A 表示“摸球三次得分为5分”， 则摸出的三个球应该为一次红球两次黄球，则P(A)=C 3135×(25)2=36125； 记η为摸出三次球中红球的次数，则ξ＝1×η+2×(3−η)＝6−η，易得η服从二项分布B(3, 35)．η可以取0，1，2，3，所以ξ可以取6，5，4，3，P(ξ=6)=P(η=0)=C 30(35)0(25)3=8125，P(ξ=5)=P(η=1)=C 31(35)1(25)2=36125，P(ξ=4)=P(η=2)=C 32(35)2(25)1=54125， P(ξ=3)=P(η=3)=C 33(35)3(25)0=27125，所以，ξ的分布列为Eξ=6−Eη=6−3×35=4.2．【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）利用独立重复实验的概率求解即可．（2）记η为摸出三次球中红球的次数，则ξ＝1×η+2×(3−η)＝6−η，易得η服从二项分布B(3, 35)．η可以取0，1，2，3，ξ可以取6，5，4，3，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． 【解答】由题意得，记A 表示“摸球三次得分为5分”， 则摸出的三个球应该为一次红球两次黄球，则P(A)=C 3135×(25)2=36125； 记η为摸出三次球中红球的次数，则ξ＝1×η+2×(3−η)＝6−η，易得η服从二项分布B(3, 35)．η可以取0，1，2，3，所以ξ可以取6，5，4，3，P(ξ=6)=P(η=0)=C 30(35)0(25)3=8125，P(ξ=5)=P(η=1)=C 31(35)1(25)2=36125， P(ξ=4)=P(η=2)=C 32(35)2(25)1=54125， P(ξ=3)=P(η=3)=C 33(35)3(25)0=27125，所以，ξ的分布列为Eξ=6−Eη=6−3×35=4.2．进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：(1)根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关；(2)为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率． 参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】解：(1)根据列联表，计算K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=220×(90×40−20×70)2=556≈9.167>6.635，所以有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”；(2)从不赞同限行的人员中按分层抽样法抽取6人，没有私家车的应抽取2人，记为A,B，有私家车的抽取4人，记为c，d，e，f；从这6人中随机抽取2人，基本事件为：AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15种；则抽到的2人中至少有1人“没有私家车”的基本事件为：AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf共9种；故所求的概率为P=915=35．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率独立性检验分层抽样方法【解析】(Ⅰ)根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论；(Ⅱ)利用分层抽样法和列举法，求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：(1)根据列联表，计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=220×(90×40−20×70)2 110×110×160×60=556≈9.167>6.635，所以有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”；(2)从不赞同限行的人员中按分层抽样法抽取6人，没有私家车的应抽取2人，记为A,B，有私家车的抽取4人，记为c，d，e，f；从这6人中随机抽取2人，基本事件为：AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15种；则抽到的2人中至少有1人“没有私家车”的基本事件为：AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf共9种；故所求的概率为P=915=35．有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线；③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于垂点线）．该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如表：若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2，若进入国家集训队，则提前录取，箬未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取．（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）(Ⅰ)求该学生参加自主招生考试的概率；(Ⅱ)求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望；(Ⅲ)求该学生被该校录取的概率．【答案】（1）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A，B，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，P1＝P(A)+P(AB)＝1−0.5+0.5×(1−0.2)＝0.9，即该学生参加自主招生考试的概率为0.9；（2）该学生参加考试的次数X的可能取值为2，3，4，P(X＝2)＝P(A)P(B)＝0.5×0.2＝0.1，P(X＝3)＝P(A)＝1−0.5＝0.5，P(X＝4)＝P(A)P(B)＝0.5×0.8＝0.4，所以X的分布列为E(X)＝2×0.1+3×0.5+4×0.4＝3.3；(Ⅲ)该生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到概型的录取分数线录取的事件分别为C，D．P(AB)＝0.1，P(C)＝0.9×0.6×0.9＝0.486，P(D)＝0.9×0.4×0.7＝0.252，所以该学生被该校录取的概率为P2＝P(AB)+P(C)+P(D)＝0.838．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)设该生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队时间分别为A、B则P1＝P(A)+P(AB)，然后利用互斥事件的概率公式进行求解；(Ⅱ)X＝2，3，4，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求解即可；(Ⅲ)设自主招生通过并且高考达重点线录取、自主招生未通过且高考达该校线录取的事件分别为C、D，该学生被该校录取的事件分为三种事件，AB、C、D，分别求出对应的概率，最后相加即可．【解答】（1）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A，B，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，P1＝P(A)+P(AB)＝1−0.5+0.5×(1−0.2)＝0.9，即该学生参加自主招生考试的概率为0.9；（2）该学生参加考试的次数X的可能取值为2，3，4，P(X＝2)＝P(A)P(B)＝0.5×0.2＝0.1，P(X＝3)＝P(A)＝1−0.5＝0.5，P(X＝4)＝P(A)P(B)＝0.5×0.8＝0.4，所以X的分布列为E(X)＝2×0.1+3×0.5+4×0.4＝3.3；(Ⅲ)该生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到概型的录取分数线录取的事件分别为C，D．P(AB)＝0.1，P(C)＝0.9×0.6×0.9＝0.486，P(D)＝0.9×0.4×0.7＝0.252，所以该学生被该校录取的概率为P2＝P(AB)+P(C)+P(D)＝0.838．。
陕西省西安市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023-2024~1高二年级期中数学试卷（答案在最后）时间：120分钟满分：150分一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知1sin 3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值为（）A.4-B.4C.-D.【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出cos α，tan α；【详解】解：因为1sin 3α=，22sin cos 1αα+=，所以22cos 3α=±，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 3α=-，所以1sin 3tan cos 43ααα===-故选：A2.已知0,0a b >>且22ab a b =+，则8a b +的最小值为（）A. B.10C.9D.272【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】由22ab a b =+可得，1112a b+=，所以()1185592882a b ab b a b a b a +=⎛⎫+=++≥⎪⎭++= ⎝，当且仅当82b a a b =，即33,4a b ==时取得等号，所以8a b +的最小值为9，故选:C.3.函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案.【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ，故选:D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（）A.AC BE⊥ B.//EF 平面ABCDC.直线AB 与平面BEF 所成的角为定值D.异面直线AE ，BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】【分析】根据线线垂直、线面平行、线面角、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A ，连接BD ，根据正方体的性质可知1,AC BC AC BB ⊥⊥，而11,,BC BB B BC BB =⊂ 平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ，又BE ⊂平面11BB D D ，所以AC BE ⊥，故A 正确.对于B ，因为11//B D BD ，11B D ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以11//B D 平面ABCD ，又E ､F 在直线11D B 上运动，//EF ∴平面ABCD ，故B 正确.对于C ，直线AB 与平面BEF 所成的角即为直线AB 与平面11BB D D 所成的角，故为定值，故C 正确.对于D ，设11111,AC BD O A C B D O == ，当点E 在1D 处，F 为11D B 的中点时，由于1111//,O D OB O D OB =，所以四边形11OBO D 是平行四边形，所以11//BO OD ，所以异面直线,AE BF 所成的角是1OD A ∠，由于AC ⊥平面11BB D D ，1OD ⊂平面11BB D D ，所以1AC OD ⊥，所以1122a 236t n OA OD A OD ∠===.当E 在上底面的中心，F 在1B 的位置时，同理可得1OO A ∠是异面直线,AE BF 所成的角，且1222tan 12OO A ∠==.故D 不正确.故选：D5.宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n 个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n 层的圆球总数为n a ，容易发现：11a =，23a =，36a =，则105a a -=（）A.45B.40C.35D.30【答案】B 【解析】【分析】根据题意，归纳推理，第n 层的圆球总数个数表达式，再将10n =，5，代入求解即可．【详解】当1n =时，第1层的圆球总数为11a =，当2n =时，第2层的圆球总数为2123a =+=，当3n =时，第3层的圆球总数为31236a =++=，..．所以第n 层的圆球总数为()112 (2)n n n n a +=+++=，当5n =时，()5155152a +⨯==，当10n =时，()1051100512a⨯==+，故10540a a -=．故选：B ．6.已知焦点为12,F F 的双曲线C点P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为（）A.2B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】由双曲线定义可得24PF a =，16PF a =，应用余弦定理及已知有122cos 3PF F ∠=，最后由三角形面积公式列方程求a ，即得实轴长.【详解】设220PF m =>，则13PF m =，故212m a PF PF =-=（a 为双曲线参数），所以24PF a =，16PF a =，故22222121212212||||||524cos 2||||48PF PF F F a c PF F PF PF a +--∠==，而c a =c =，则2212252202cos 483a a PF F a -∠==，12(0,π)PF F ∠∈，所以12sin 3PF F ∠=，故1212121sin 2PF F PF PF S PF F =∠= ，则22234a a ⨯=⇒=，故长轴长2a =故选：B7.已知ABC 的三个顶点都在抛物线26x y =上，且F 为抛物线的焦点，若1()3AF AB AC =+，则||||||++= AF BF CF （）A.12 B.10C.9D.6【答案】C 【解析】【分析】设A ，B ，C 的纵坐标分别是123,,y y y ，由1()3AF AB AC =+，得三点纵坐标之和，再结合抛物线的定义即可求出||||||AF BF CF ++的值.【详解】由26x y =，得3p =.设A ，B ，C 的纵坐标分别是123,,y y y ，由1()3AF AB AC =+，有1213131()23y y y y y -=-+-，即12392y y y ++=.由抛物线的定义可得:1233||||||392pAF BF CF y y y p ++=+++== .故选：C8.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点12,F F ，过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点．其中M在第一象限．1121,3NF MN F F MF =≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（） A.612B.2]-C.1]D.1]2-【答案】D 【解析】【分析】由题可知四边形12MF NF 为矩形，根据勾股定理及椭圆的定义可得2222||2||20MF a MF b -+=，结合已知条件有)()2221Δ420a MF aa b ⎧>≥⎪⎨=->⎪⎩，进而即得.【详解】因为过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且12MN F F =，所以四边形12MF NF 为矩形，由椭圆的对称性知：12NF MF =，而21||||2MF MF a +=，所以22221||||4MF MF c +=，则222222||4||44MF a MF a c -+=且M 在第一象限，整理得2222||2||20MF a MF b -+=，所以()22Δ420a b=->，所以222||2MF a a b =-又22121132NF MF MF MF MF a MF ==≥-2||(31)a MF a >≥，所以)()2222231Δ420a a a b aa b ⎧>-≥-⎪⎨=->⎪⎩，整理得2221432c e a<=≤-，所以2312e <≤-.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.（多选题）若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（）A.若1＜t ＜5，则C 为椭圆B.若t ＜1．则C 为双曲线C.若C 为双曲线，则焦距为4D.若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5【答案】BD 【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，对于A 中，当3t =时，此时方程222x y +=表示圆，所以不正确；当方程22151x yt t +=--表示焦点在y 轴上椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得35t <<，所以D 项正确；对于B 中，当1t <时，50,10t t ->-<，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以是正确的；对于C 中，当0=t 时，方程22151x y -=，此时双曲线的焦距为，所以不正确.故选BD.若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答椭圆和双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，关于数列{}n a ，下列命题中正确的是（）A.若1n n a a +=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B.若()2*=+∈n S An Bn n N（A ，B 为常数），则{}na 是等差数列C.若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D.若{}n a 是等比数列，则()*232,,--∈n n n n n S S S S S n N 也成等比数列【答案】BC 【解析】【分析】对于A ：根据等差、等比数列的定义分析判断；对于BC ：根据n a 与n S 之间的关系，结合等差、等比数列的定义分析判断；对于D ：根据等比数列的和项性质分析判断.【详解】对于选项A:因为1*()+∈=n n n a a N ，即10n n a a +-=，可知数列{}n a 是等差数列，当0n a =时，数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；对于选项B ：因为2n S An Bn =+，当1n =时，11a S A B ==+；当2n ≥时，()()()221112-⎡⎤==+---+-=+-⎣⎦n n n a S An Bn A n B n An B S A ；可知1n =时，符合上式，综上所述：2=+-n a An B A ，可得()122--=≥n n a a A n ，所以数列{}n a 是等差数列，故B 正确；对于选项C:因为()11nn S =--，当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，112(1)n n n n a S S --=-=⨯-；可知1n =时，符合上式，综上所述：12(1)n n a -=⨯-，可得112(1)12(1)+-⨯-⨯==--nn n n a a ，所以数列{}n a 是等比数列，故C 正确；对于选项D:当数列{}n a 是等比数列时，取()1nn a =-，则2110S =-+=，此时显然2S ，42S S -，64S S -不是等比数列，故D 错误；故选：BC.11.（多选）已知抛物线22y px =()0p >的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若(),2M m 是线段AB 的中点，则（）A.4p = B.抛物线的方程为216y x =C.直线l 的方程为24y x =- D.=10AB 【答案】ACD 【解析】【分析】由焦点到准线的距离可求得4p =，则可判断A 正确，B 错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线l 的斜率，从而求得l 的方程，可判断C 正确；()1212284y y x x +=+-=，所以126x x +=从而12410AB AF BF x x =+=++=判断D 正确.【详解】因为焦点F 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知4p =，故A 正确故抛物线的方程为28y x =，焦点()2,0F ，故B 错误则2118y x =，2228y x =．又(),2M m 是AB 的中点，则124y y +=，所以22121288y y x x -=-，即12121282y y x x y y -==-+，所以直线l 的方程为24y x =-．故C 正确由()1212284y y x x +=+-=126x x ⇒+=，得12410AB AF BF x x =+=++=．故D 正确故选：ACD ．12.已知点(1,2)M ，点P 是双曲线C ：221916x y-=左支上的动点，2F 为其右焦点，N 是圆D ：22(5)1x y ++=的动点，直线OP 交双曲线右支于Q （O 为坐标原点），则（）A.28PF ≥B.过点M 作与双曲线C 仅有一个公共点的直线恰有2条C.||||PM PN -的最小值为5- D.若2DPF △的内切圆E 与圆D 外切，则圆E 的半径为32【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线焦半径的结论可知A 正确，由点和双曲线的位置关系可以确定与双曲线有一个公共点的直线条数不止2条，根据双曲线定义和,PM PN 的位置关系可判断C ，最后根据焦点三角形2DPF △的内切圆圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为3-可求其半径.【详解】如下图所示：由双曲线方程和圆D 方程可知，3,4,5a b c ===，所以左焦点为0()5,D -，右焦点2(5,0)F ；对于A ，由于P 在双曲线左支上，根据焦半径公式可知28PF a c ≥+=，故A 正确；对于B ，由过点M 的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，设直线斜率为k ，则直线l 的方程为2(1)y k x -=-，联立直线l 和双曲线C 的方程得：222(169)18(2)9(420)0k x k k x k k -----+=；①当21690k -=时，即43k =±，该方程为一元一次方程，仅有一个实数根，所以直线l 和双曲线C 仅有一个公共点，此时直线l 与双曲线的渐近线43y x =±平行，即此时有两条直线42(1)3y x -=±-与双曲线相交，且仅有一个交点，符合题意；②当21690k -≠时，该方程为一元二次方程，由直线与双曲线有一个公共点可知，该方程仅有一个实数根，所以[]22218(2)36(169)(420)0k k k k k ∆=-+--+=，整理得2250k k --=，即1414k ±=，此时直线为双曲线的切线，分别为1412(1)4y x ±-=-，所以过点M 可作两条切线；综上可知，过点M 可作与双曲线有一个公共点的直线共有4条，所以B 错误；对于C ，由双曲线定义可知，26PF PD -=，2225PM PF MF PF ≥-=-2,,P M F 三点共线时等号成立；1PN PD DN PD ≤+=+，当且仅当,,P D N 三点共线时等号成立；所以，215PM PN PF PD -≥--=-C 正确；对于D ，如图所示，分别设2DPF △的内切圆与三边切点为,,A G H ，又因为22,,PG PH DG DA F A F H ===，所以22226PF PD F H GD F A DA a -=-=-==，又因为A 在x 轴上，0()5,D -，2(5,0)F ，不妨设(,0)A t ,由26F A DA -=，得5(5)6t t --+=，即3t =-；所以(3,0)A -即为双曲线的左端点，又因为2EA DF ⊥，所以圆心E 在左端点A 的正上方，即圆心横坐标为3-，设(3,)E r -，则圆E 的半径为r ，由于圆D 与圆E 外切，1r =+，解得32r =；所以D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a ，b 满足(2,1)a = ，(1,2)b y y =-+ ，且a b ⊥ ，则||a b -= ________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示求得参数y ，然后由模的坐标表示求解．【详解】∵a b ⊥ ，∴2(1)20a b y y ⋅=-++= ，解得4y =，即(3,6)b =- ，∴||(5,5)a b -=-==故答案为：14.已知实数x ，y 满足直线l 的方程230x y ++=的最小值为______．【答案】【解析】【分析】将问题转化求点(0,1)到直线l ：230x y ++=上点的距离最小值，即可得结果.(0,1)到直线l：230x y++=上点的距离，所以其最小值为d15.已知F为椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的右焦点，O为坐标原点，M为线段OF垂直平分线与椭圆C 的一个交点，若3cos7MOF∠=，则椭圆C的离心率为______．【答案】23【解析】【分析】设(),0F c，,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭，将0,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆C的方程，得222214cb ya⎛⎫-=⎪⎝⎭，在MOE△中，不妨设32cOE==，利用勾股定理和椭圆中222a bc=+，求出9a=，则可得出离心率.【详解】解：设(),0F c，,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭，将0,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆C的方程，得222241cya b+=，即222214cb ya⎛⎫-=⎪⎝⎭.设E为线段OF的垂直平分线与x轴的交点，则MOE△为直角三角形，由于3cos7MOF∠=，所以在MOE△中，不妨设32cOE==，则7OM=，6c=.由勾股定理可得||ME y===即2221404cba⎛⎫-=⎪⎝⎭，得229140ba⎛⎫-=⎪⎝⎭，又222223636a b c b a -==⇒=-，所以42853240a a -+=，解得281a =或22436a c =<=（舍去），故9a =，椭圆C 的离心率6293c e a ===.故答案为：23.16.斐波那契数列，又称黄金分割数列，被誉为最美的数列，若数列{}n a 满足121,1a a ==，()*123,N n n n a a a n n --=+≥∈，则称数列{}n a 为斐波那契数列，则222122023202320242a a a a a +++= _____．【答案】12##0.5【解析】【分析】由题设递推关系得到21211----=-+n n n n n a a a a a ，利用裂项相消法运算求解.【详解】因为()*123,Nn n n a a a n n --=+≥∈，则12--=-+n n n a a a ，可得21211----=-+n n n n n a a a a a ，则()()()22221220231122323342022202320232024a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+-++-++⋅⋅⋅+-+ 202320242023202411=-+=a a a a ，所以2221220232023202420232024202320241222a a a a a a a a a +++== .故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在锐角ABC 中，,,a b c 是角,,A B C的对边，cos cos()C B A C -=-.（1）求角A 的度数；（2）若a =，且ABC的面积是b c +.【答案】(1)3π；（2）【解析】【详解】试题分析:（1）根据三角形内角关系及诱导公式将B 转化()cos cos B A C =-+，再根据两角和与差余弦公式展开化简,合并，约分得sin 2A =，最后根据三角形内角范围及特殊角对应函数值得角A 的度数；（2）先选用面积公式：1sin 2ABC S bc A ∆=，得12bc =，再根据余弦定理得2224b c +=，最后根据()2222b c b c bc +=++求b c +的值.试题解析:（1）在ABC 中，A B C π++=，那么由()cos cos C B A C -=-，可得()()()cos cos cos cos 2sin sin sin C A C B A C A C A C C =-+=--+=，≠0得3sin 2A =，则在锐角ABC 中，π.3A =（2）由（1）知3A π=，且1sin 2ABC S bc A == ，得12bc =，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，那么()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，则()22348b c a bc +=+=，可得b c +=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.已知公比为q 的正项等比数列{}n a ，且12a =，416a =，n n b na =．（1）求3b 的值；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）324b =；（2）1(1)22n n T n +=-+.【解析】【分析】（1）先利用已知条件求公比和n a ，再计算3a ，3b 即可；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）正项等比数列{}n a 中，12a =，416a =，故3418a q a ==，即2q =，故2n n a =，3328a ==，33324b a ==；（2）由2n n a =知，2n n b n =⋅123122232...2n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅①又23412122232 (2)n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅②由①-②得，1231112(21)222...222(1)2221n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=⋅=---1(1)22n n T n +∴=-+所以数列{}n b 的前n 项和1(1)22n n T n +=-+.【点睛】本题考查了数列通项公式和错位相减法求和，属于中档题.19.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是3．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）1h =．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据AB ⊥平面ADE ，结合AD AF ⊥，利用线面垂直以及面面垂直判定定理，可得结果.（Ⅱ）利用（Ⅰ）建系后求法向量，要注意两个法向量夹角和二面角平面角关系，不要弄错符号.试题解析：（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE BCF -中，AB ⊥平面ADE ，所以AB AD ⊥，又AD AF ⊥，AB AF A = ，所以AD ⊥平面ABFE ，AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABFE ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图设正四棱锥P ABCD -的高为h ，2AE AD ==，则()0,0,0A ，()2,2,0F ，()2,0,2C ，()1,,1P h -，()2,2,0AF = ，()2,0,2AC = ，()1,,1AP h =- ．设平面ACF 的一个法向量()111,,m x y z =r，则1111220,{220,m AF x y m AC x z ⋅=+=⋅=+=取11x =，则111y z ==-，所以()1,1,1m =-- ．设平面AFP 的一个法向量()222,,n x y z =r ，则22222220,{0,n AF x y n AP x hy z ⋅=+=⋅=-+= 取21x =，则21y =-，21z h =--，所以()1,1,1n h =--- ．二面角C AF P --的余弦值是3，所以22cos ,3m n m n m n ⋅===⋅ ，解得1h =．点睛：本题主要考查了直线与平面，平面与平面垂直的证明，注意条件的合理转化，和用向量解立体几何时法向量的求解和应用.20.已知抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，点()02,A y 为抛物线上一点，且4AF =.（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线l ：y x m =+与抛物线交于不同两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求m 的值.【答案】（1）28y x=（2）8-【解析】【分析】（1）根据抛物线过点0(2,)A y ，且4AF =，利用抛物线的定义求解；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立28y x m y x =+⎧⎨=⎩，根据OP OQ ⊥，由0OP OQ ⋅= ，结合韦达定理求解.【小问1详解】由抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且4AF =，得2442p p +=∴=所以抛物线方程为28y x =；【小问2详解】由不过原点的直线l ：y x m =+与抛物线交于不同两点P ，Q设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，所以()22Δ28464320m m m =--=->，所以2m <，所以2121282,x x m x x m+=-=因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅= ，则2121212121212()()2()0x x y y x x x m x m x x m x x m +=+++=+++=，222(82)0m m m m ∴+-+=，即280m m +=，解得0m =或8m =-，又当0m =时，直线与抛物线的交点中有一点与原点O 重合，不符合题意，故舍去；所以实数m 的值为8-.21.已知数列{}n a 满足()*11122n n a a n N a +==-∈，．（1）设11n n b a =-，求证数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和n T ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<对任意的*N n ∈都成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，试说明理由．【答案】（1）证明见解析，1+=n n a n ；（2）存在，m 的最小值为3【解析】【分析】（1）结合递推关系可证得b n +1－b n =1，且b 1＝1，可证数列{b n }为等差数列，据此可得数列{}n a 的通项公式；（2）结合通项公式裂项有21122n n c c n n ，+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭求和有111213212n T n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭，再结合条件可得()134m m +≥，即求．【小问1详解】证明：∵1111111111112111n n n n n n n n n a b b a a a a a a ++-=-=-==-------，又由a 1＝2，得b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以b n ＝1+(n －1)×1＝n ，由11n n b a =-，得1+=n n a n．【小问2详解】∵221n n a c n n==+，()2411222n n c c n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以11111111212133242212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=+--< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，依题意，要使11n m m T c c +<对于n ∈N *恒成立，只需()134m m +≥，即212(3)(4)0m m m m +-=-+≥解得m ≥3或m ≤-4．又m ＞0，所以m ≥3，所以正整数m 的最小值为3．22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为8，以椭圆的左焦点为圆心，短半轴长为半径的圆与直线2:(4)2h y x =-直线相切．（1）求椭圆的方程C ；（2）已知直线:8l x =，过右焦点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 交于,A B 两点，过点A 作AD l ⊥，垂足为D ．①求证：直线BD 过定点E ，并求出定点E 的坐标；②点O 为坐标原点，求OBD 面积的最大值．【答案】（1）2211612x y +=；（2）①证明见解析，()50，；②15.【解析】【分析】（1）根据题意可得28a =b =，2216bc =+，解得，即a ，b ，c ，进而可得椭圆的方程．（2）①由题意得(2,0)F ，设直线:2()AB x my m =+∈R ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1(8,)D y ，联立直线AB 与椭圆的方程，由韦达定理可得12y y +，12y y ，且12123()my y y y =+，写出直线BD 方程，再令0y =，即可得出答案．②由①可得判别式△0>，211||||2OBD OED OEB S S S OE y y =+=⋅-，令1t =，化简结合函数单调性即可得出答案．【详解】（1）椭圆的长轴长为8，4a ∴=左焦点(,0)c -到直线hb=2216=b c + 又2b c ∴==∴椭圆的方程:C 2211612x y +=（2）由对称性，若直线BD 过定点E ，则该定点E 必在x 轴上，①由题得()20F ，，设直线2()AB x my m =+∈R ：，设11221()()(8)A x y B x y D y ，，，，，联立方程22211612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)12360m y my++-=，（*）所以有1221234my y m -+=+，1223634y y m -=+，且12123()my y y y =+，因为2128BD yy k x -=-，所以直线BD 的方程为()211288yy y y x x --=--0y =，得()()1212121212121866888y x ymy myy y x y y y y y y ---=-=-=----（**）将12123()my y y y =+，代入（**），则121213()68835yyy x y y +-=-=-=-故直线BD 过定点()50，，即定点E 为()50，．②在（*）中，222144436(34)1444(1)m m m ∆=+⨯+=⨯+，所以122||34y y m -=+又直线BD 过定点()50E ，故，212215||||223434OBD OED OEB S S S OE y y m m =+=⋅⋅-=⋅=++△△△令1t =≥，则260601313OBD t S t t t==++ 在[1)t ∈+∞，上单调递减，故当1t =，0m =时，max ()15OBD S = ．。
陕西省西安市第八十九中学高二上学期期中考试数学试题(图片版,)
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。
西安市高二上学期期中数学试卷(I)卷
西安市高二上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共14分)1. （1分）命题“∃x＞0，x2+x﹣2＞0”的否定是________．2. （1分） (2015高二下·上饶期中) 过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）两点，若x1+x2=4，则|AB|=________．3. （1分） (2016高二上·黄陵开学考) 命题“若，则x=1”的否命题为________．4. （1分） (2017高二下·辽宁期末) 是 >1成立的________条件．5. （1分） (2016高二上·郴州期中) 设x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值是________．6. （1分） (2018高二下·赣榆期末) 若指数函数的图象过点，则不等式的解集是________.7. （1分）若△ABC的三个内角A，B，C所对的边a，b，c满足a+c=2b，则称该三角形为“中庸”三角形．已知△ABC为“中庸”三角形，给出下列结论：① ∈（，2）；② + ≥ ；③B≥ ；④若 = • + • + • ，则sinB= ．其中正确结论的序号是________．（写出所有正确结论的序号）8. （1分） (2016高二下·浦东期末) 已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是________米．9. （1分） (2018高一上·张掖期末) 如图所示，正方形的边长为，已知，将沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：① 与所成角的正切值为；② ；③ ；④平面平面，其中正确的命题序号为________．10. （1分） (2018高二下·黑龙江月考) 已知双曲线的左顶点为，点.若线段的垂直平分线过右焦点，则双曲线的离心率为________.11. （1分） (2016高一下·南沙期中) 已知函数f（x）=|cosx|•sinx，给出下列四个说法：①f（x）为奇函数；②f（x）的一条对称轴为x= ；③f（x）的最小正周期为π；④f（x）在区间[﹣， ]上单调递增；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是________．12. （1分） (2017高二上·嘉兴月考) 二次函数的值域为，且，则的最大值是________．13. （1分）函数f（x）=a2x+1+1（a＞0，且a≠1）图象恒过的定点坐标为________14. （1分）已知c是椭圆（a＞b＞0）的半焦距，则的取值范围是________二、解答题 (共6题；共55分)15. （10分） (2016高二上·湖州期中) 已知条件p：x2+12x+20≤0，条件q：1﹣m＜x＜1+m（m＞0）．（1）求条件p中x的取值范围；（2）若￢p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．16. （10分）(2016·金华模拟) 已知F1、F2是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点，P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1，）时，△PF1F2的面积为，分别过点A、B、P作椭圆C的切线l1 ，l2 ， l，直线l与l1 ， l2分别交于点R，T．（1）求椭圆C的方程；（2）（i）求证：以RT为直径的圆过定点，并求出定点M的坐标；（ii）求△RTM的面积最小值．17. （10分）解下列关于x的不等式：（1）≤2；（2） x2﹣（a+1）x+a＜0．18. （10分） (2016高一下·新疆期中) 已知正数x、y满足xy=x+y+3．（1）求xy的范围；（2）求x+y的范围．19. （5分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，（Ⅰ）若f（x）在是减函数，在是增函数，求实数a的值；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，并指出相应的单调性．20. （10分）(2018高三上·大连期末) 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点到直线的距离为，与的公共弦长为 . （1）求椭圆的方程及点的坐标；（2）过点的直线与交于两点，与交于两点，求的取值范围.参考答案一、填空题： (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共55分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、。
陕西省西安市高二上学期期中数学试卷(理科)
陕西省西安市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·泸县期末) 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（）A .B .C . 4D .2. （2分） (2016高一上·景德镇期中) 函数y=x2﹣2x+3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A . [1，∞）B . [0，2]C . （﹣∞，2]D . [1，2]3. （2分）(2018·浙江学考) 在三棱锥中，若为的中点，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二下·曲靖期末) 如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（﹣1）=（）A . ﹣2B . 2C . -D .5. （2分） (2016高二上·集宁期中) 过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，F1是另一焦点，若∠PF1Q= ，则双曲线的离心率e等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·红桥期中) 设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A . 当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥αB . 当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥βC . 当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD . 当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c7. （2分）(2017·日照模拟) 抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则 =（）A .B .C .D .8. （2分）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A,B两点，，则（）A . 2B . 10C . 12D . 149. （2分） (2019高一上·延边月考) 正方体中，直线与平面所成角正弦值为（）A .B .C .D .10. （2分）正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二上·绥化期中) 过点M（﹣2，0）的直线l与双曲线x2﹣2y2=2交于P1 ， P2线段P1P2的中点为P．设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2 ，则k1k2等于（）A . ﹣2B . 2C .D .12. （2分） (2016高二上·友谊期中) 设F1 ， F2分别为椭圆C1： =1（a＞b＞0）与双曲线C2：=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e= ，则双曲线C2的离心率e1为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018·全国Ⅲ卷文) 已知向量，，，若，则________。
陕西省西安中学高二(上)期中数学试卷
高二（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( )A. 2次都不中靶B. 2次都中靶C. 至多有1次中靶D. 只有1次中靶2.某学校为了解1000名新生的近视情况，将这些学生编号为000，001，002， (999)从这些新生中用系统抽样的方法抽取100名学生进行检查，若036号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )A. 008号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生3.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50),[50,60)，[60,70),[70,80)，[80,90),[90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A. 588B. 480C. 450D. 1204.(x4−2x2)3的展开式中的常数项为( )A. −32B. 32C. 6D. −65.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为( )A. 23B. 12C. 13D. 146.随机变量X服从正态分布(3,σ2)，且P(X≤4)=0.84，则P(2<X<4)=( )A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.847.若(2−3x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a2+a3+…+a6等于( )A. −4B. 4C. −64D. −638.将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有( )A. 480种B. 240 种C. 960种D. 720 种9.从3名男生和2名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有( )A. 9种B. 12种C. 54种D. 72种10.某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. 45B. 12C. 56D. 3711.以图中的8个点为顶点的三角形的个数是( )A. 56B. 48C. 45D. 4212.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围为( )A. (0,12)B. (0,712)C. (12,1)D. (712,1)二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若(2x2−1x)n的展开式的所有奇数项二项式系数之和为32，则n=______．14.有五本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人一本，另两人各两本，不同的分配方法有______ 种．15.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为______．16.如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为_______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)解方程：C9x=C92x−3(x∈N)；(2)解不等式：A9x>6A9x−1(x∈N)．18.已知(x+12x)n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．(1)求n的值；(2)求展开式中所有的有理项．19.如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费y(万元)的几组对照数据：x(年)23456y(万元)1 2.534 4.5参考公式：b=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a=y−−bx−．(1)若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；(2)已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据(1)求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低？20.已知某摸球游戏的规则如下：从装有5个大小、形状完全相同的小球的盒中摸球(其中3个红球、2个黄球)，每次摸一个球记录颜色并放回，若摸出红球记1分，摸出黄球记2分．(1)求“摸球三次得分为5分”的概率；(2)设ξ为摸球三次所得的分数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．21.进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：(Ⅰ)根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关；(Ⅱ)为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)22.有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队(集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔)：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线；③2020年6月高考达到该校录取分数线(该校录取分数线高于垂点线).该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如表：若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2，若进入国家集训队，则提前录取，箬未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取．(注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取)(Ⅰ)求该学生参加自主招生考试的概率；(Ⅱ)求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望；(Ⅲ)求该学生被该校录取的概率．答案和解析1.【答案】A【解析】解：某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是2次都不中靶．故选：A．利用互斥事件定义直接求解．本题考查互斥事件的求法，考查互斥事件、对立事件等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】根据系统抽样的抽样方法，抽样间隔为1000100=10，所以若第一组被抽到的编号为b，则第n组被抽到的编号为10(n−1)+b，根据36被抽到，故b=6，处理即可．本题考查了系统抽样，考查了数列的通项公式得的应用，属于基础题．【解答】解：由题意得抽样间隔为1000100=10，因为036号学生被抽到，所以被抽中的初始编号为006号，之后被抽到的编号均是10的整数倍与6的和，故选：C．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了频率、频数、统计和概率等知识，属于基础题．根据频率分布直方图，求出成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可得出所求．【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60(分)的频率为1−10×(0.005+0.015)=0.8，可估计该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600×0.8=480(人)．故选：B．4.【答案】C【解析】解：展开式的通项为Tr+1=(−2)rC3rx12−6r，令12−6r=0得r=2，(x4−2x2)3的展开式中的常数项即T2+1=C32(−2)2=6．故选：C．利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r的值，将r的值代入通项，求出常数项．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，是基本知识的考查．5.【答案】B【解析】解：依题意，任取2种名著进行阅读，包含的基本事件个数为C42=6个，而取到红楼梦包含C31=3个基本事件，所以取到《红楼梦》的概率为P=36=12，故选：B．任取两种共有C42=6个基本事件，而取到红楼梦包含C31=3个基本事件，代入公式即可．本题考查了计数原理，组合数的计算，古典概型的概率计算，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正态分布的特点，属于基础题．根据对称性先求出P(X≤2)，再得出P(2<X<4)．【解答】解：P(X≤2)=P(X≥4)=1−0.84=0.16，∴P(2<X<4)=P(X≤4)−P(X≤2)=0.84−0.16=0.68．故选：C．7.【答案】D【解析】解：∵(2−3x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，令x=0，可得a0=64，再令x=1，可得64+a1+a2+a3+…+a6=1，∴a1+a2+a3+…+a6=−63，故选：D．分别令x=0，x=1，可得要求式子的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：若A，B在C的左侧，有A22=2种，然后将，D，E，F分别进行插空有4×5×6=120种，此时有2×120=240种，同理若A，B在C的右侧，也有240种，则共有240+240=480种，故选：A．先排A，B，C然后利用插空法进行求解即可．本题主要考查排列的应用，利用插空法是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：从5人中选3人，分别从事三项不同的工作，则有C53A33=60，若3人都是男生，则有C33A33=6，则这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有60−6=54种，故选：C．利用排除法减去全是男生的种类即可．本题主要考查排列组合的简单计数问题，利用间接法是解决本题的关键．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是几何概型，是基础题．求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为x，当x在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，则所求的概率为：P=2040=12，故选：B．11.【答案】D【解析】解：若三角形的一个顶点是公共点，则共有三角形的个数为3×4=12个．若三角形的三个顶点都不用公共点，则有4C32+3C42=12+18=30个，故总个数是12+30=42故选D．若三角形的一个顶点是公共点，则共有三角形的个数为3×4个．若三角形的三个顶点都不用公共点，则有4C32+3C42个，再把这些三角形的个数相加即得所求．本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意把特殊元素与位置综合分析，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由已知条件可得P(X=1)=p，P(X=2)=(1−p)p，P(X=3)=(1−p)2p+(1−p)3=(1−p)2，则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1−p)p+3(1−p)2=p2−3p+3>1.75，解得p>52或p<12，又由p∈(0,1)，可得p∈(0,12).故选：A．由已知条件可得P(X=1)=p，P(X=2)=(1−p)p，P(X=3)=(1−p)2p+(1−p)3=(1−p)2，由此求数学期望，列出不等式，从而能求出结果．本题考查概率的取值范围的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．13.【答案】6【解析】解：由(2x2−1x)n的展开式的所有奇数项二项式系数之和为32，二项式系数之和为64，即2n=64，可得n=6，故答案为：6．根据二项式系数之和为32，即2n=32，求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属基础题．14.【答案】90【解析】解：将5本不同的书分成满足题意的3组只有2，2，1则不同的分配方法有C52⋅C32A22⋅A33=90种，故答案为：90．根据题意，分析有将5本不同的书分成满足题意只有2，2，1，计算即可本题考查分组分配的问题，先分组再分配时关键，属于中档题．15.【答案】25【解析】解：由题意，甲获得冠军的概率为23×23+23×13×23+13×23×23=2027，其中，比赛进行了3局的概率为23×13×23+13×23×23=827，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为8272027=25，故答案为：25．求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．16.【答案】45【解析】【分析】本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，要求会读图，难度适中．由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率，得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图可得，甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：15(88+89+90+91+92)=90，设污损数字为x，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x，则乙的平均成绩：15(83+83+87+99+90+x)=88.4+x5，令90>88.4+x5，解得x<8.所以x的可能取值是0，1，2，3，4，5，6，7．所以甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810=45．故答案为45．17.【答案】解：(1)因为C9x=C92x−3，所以x=2x−3或x+2x−3=9，解得x=3或x=4；(2)∵A9x>6A9x−1，解原不等式即9!(9−x)!>6×9!(9−x+1)!，其中2≤x≤9，x∈N*，即10−x>6，解得2≤x<4，x∈N*，故x=2或3.∴原不等式的解集为{2,3}．【解析】本题考查排列数以及组合数公式的应用，是基本知识的考查．(1)利用组合数的性质求解即可．(2)利用排列数的公式化简求解不等式即可．18.【答案】解：二项式(x+12x)n展开式的通项公式为Tr+1=Cnr⋅xn−r⋅(12x)r=Cnr⋅(12)r⋅xn−32r，(r=0,1，2，…，n)；(1)根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得Cn1⋅12=Cn2⋅(12)2，即12n=14⋅n(n−1)2，解得n=5；(2)二项式展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅(12)r⋅x5−32r，(r=0,1，2，…，5)；当r=0，2，4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为T1=C50⋅(12)0⋅x5=x5，T3=C52⋅(12)2⋅x5−3=52x2，T5=C54⋅(12)4x5−6=516x．【解析】(1)通过第二项和第三项的系数相等，求出n；(2)利用通项公式通过x的幂指数的取值，求解展开式中所有的有理项．本题考查二项定理的应用，展开式特定项的求法，是基本知识的考查．19.【答案】解：(1)根据所给表格数据计算得x−=2+3+4+5+65=4，y−=1+2.5+3+4+4.55=3，i=15xiyi=2+7.5+12+20+27=68.5，i=15xi2=4+9+16+25+36=90，∴b=i=15xiyi−5x−⋅y−i=15xi2−5x−2=68.5−6090−80=0.85，a=y−−bx−=−0.4，∴y关于x的线性回归方程为y=0.85x−0.4；(2)由(1)得，当x=10时，y=0.85×10−0.4=8.1，即技术改造后的10年的维修费用为8.1万元，相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了0.9万元．【解析】(1)由已知表格中的数据求得b与a的值，则线性回归方程可求；(2)在(1)中求得的线性回归方程中，取x=10求得y值，结合技术改造前该型号设备使用10年的维修费用得结论．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．20.【答案】解：(1)由题意得，记A表示“摸球三次得分为5分”，则摸出的三个球应该为一次红球两次黄球，则P(A)=C3135×(25)2=36125；(2)记η为摸出三次球中红球的次数，则ξ=1×η+2×(3−η)=6−η，易得η服从二项分布B(3,35).η可以取0，1，2，3，所以ξ可以取6，5，4，3，P(ξ=6)=P(η=0)=C30(35)0(25)3=8125，P(ξ=5)=P(η=1)=C31(35)1(25)2=36125，P(ξ=4)=P(η=2)=C32(35)2(25)1=54125，P(ξ=3)=P(η=3)=C33(35)3(25)0=27125，所以，ξ的分布列为Eξ=6−Eη=6−3×35=4.2．【解析】(1)利用独立重复实验的概率求解即可．(2)记η为摸出三次球中红球的次数，则ξ=1×η+2×(3−η)=6−η，易得η服从二项分布B(3,35).η可以取0，1，2，3，ξ可以取6，5，4，3，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．本题考查独立重复实验的概率的求法，二项分布的概率的求法，离散型随机变量的期望的求法，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)根据列联表，计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(b+d)(a+c)(b+d)=220×(90×40−20×70)2110×110×160×60= 556≈9.167>6.635，所以有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”；(Ⅱ)从不赞同限行的人员中按分层抽样法抽取6人，没有私家车的应抽取2人，记为A、有私家车的抽取4人，记为c、d、e、f；从这6人中随机抽取2人，基本事件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种；则抽到的2人中至少有1人“没有私家车”的基本事件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共9种；故所求的概率为P=915=35．【解析】(Ⅰ)根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论；(Ⅱ)利用分层抽样法和列举法，求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．22.【答案】解：(Ⅰ)设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A，B，则P(A)=0.5，P(B)=0.2，P1=P(A−)+P(AB−)=1−0.5+0.5×(1−0.2)=0.9，即该学生参加自主招生考试的概率为0.9；(Ⅱ)该学生参加考试的次数X的可能取值为2，3，4，P(X=2)=P(A)P(B)=0.5×0.2=0.1，P(X=3)=P(A−)=1−0.5=0.5，P(X=4)=P(A)P(B−)=0.5×0.8=0.4，所以X的分布列为E(X)=2×0.1+3×0.5+4×0.4=3.3；(Ⅲ)该生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到概型的录取分数线录取的事件分别为C，D．P(AB)=0.1，P(C)=0.9×0.6×0.9=0.486，P(D)=0.9×0.4×0.7=0.252，所以该学生被该校录取的概率为P2=P(AB)+P(C)+P(D)=0.838．【解析】(Ⅰ)设该生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队时间分别为A、B则P1=P(A−)+P(AB−)，然后利用互斥事件的概率公式进行求解；(Ⅱ)X=2，3，4，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求解(Ⅲ)设自主招生通过并且高考达重点线录取、自主招生未通过且高考达该校线录取的事件分别为C、D，该学生被该校录取的事件分为三种事件，AB、C、D，分别求出对应的概率，最后相加即可．本题关键是理解题意，题干比较长，给我们解题制造了困难，但本题的题意和同学们又很接近，这是同学们比较感兴趣的问题，考查运用概率知识解决实际问题的能力，属于中档题．。
陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷2 (有解析)
陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶2. 从编号1∼100的100位同学中用系统抽样的方法随机抽取5位同学了解他们的学习状况，若编号为53的同学被抽到，则下面4位同学的编号被抽到的是( )A. 3B. 23C. 83D. 933. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]后得到的频率分布直方图如图所示，则分数在[70,80)内的人数是( )A. 10B. 20C. 30D. 404. (√x 3−2x )8二项展开式中的常数项为( )A. 56B. −56C. 112D. −112 5. 设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A. 15B. 25C. 12D. 456. 已知随机变量X 服从正态分布X ～N(μ,σ2)，且P(μ−2σ<X ⩽μ+2σ)=0.9544，若随机变量X ～N(2019,4)，则P(X >2023)=( )A. 0.0228B. 0.4772C. 0.9544D. 0.456 7. 已知(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2++a 9x 9+a 10x 10，求a 2+a 3+⋯+a 9+a 10的值为( )A. −20B. 0C. 1D. 20 8. 3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( )A. 2B. 9C. 72D. 369. 从6名志愿者中选出4人，分别从事搜救、医疗、心理辅导、后勤四种不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事心理辅导工作，则不同的选派方案共有( )A. 96种B. 180种C. 240种D. 280种10. 某路公交车早上7:00～7:30之间每5分钟发出一辆公交车，小明在7:18至7:30之间到达首发车站乘坐公交车，且到达首发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过3分钟的概率是( )A. 35 B. 25 C. 23 D. 813 11. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是( )A. 70B. 64C. 60D. 5812. 设随机变量ξ的概率分布为P (ξ=k )=p k (1−p )1−k (k =0,1) ，则Eξ,Dξ的值分别是( )A. 0和1B. p 和p 2C. p 和1−pD. p 和(1−p )p二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 在(√1x 3+√1x25)n的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是________．14. (1)某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A 不分配到甲班的分配方案种数是________．(2) 6本不同的杂志分成3组，其中一组1本，一组2本，一组3本，则不同分法共有______种． (3)安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有__________种.(用数字作答)(4)将5本不同的书，全部分给四个学生，恰有一个学生没有分到，不同的分法种数是________．15. 设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为______ ．16. 如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x +y =_______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 解方程：(1)A 2x 4=60A x 3;(2)C n+3n+1=C n+1n−1+C n+1n +C n n−2．18. 设m,n ∈N,f(x)=(1+x)m +(1+x)n ．(1)当m =n =5时，若f(x)=a 5(1−x)5+a 4(1−x)4+⋯+a 1(1−x)+a 0，求a 0+a 2+a 4的值；(2)f(x)展开式中x 的系数是9，当m ，n 变化时，求x 2系数的最小值．19. 为了解某地区某种农产品的年产量x(单位：吨)对价格y(单位：千元/吨)的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：具有线性相关关系．(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^； (2)若年产量为4.5吨，试预测该农产品的价格．(参考公式：b ̂=i ni=1i −nx⋅y ∑x 2n −nx2=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2，a ̂=y −b ̂x.)20.一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球1个、黄色球2个、蓝色球n(n∈N∗)个．现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得1分、摸到黄球得2分、摸到蓝球得3分．若从这个口袋中随机地摸出2个球，恰有一个是黄色球的概率是．⑴求n的值；⑴从口袋中随机摸出2个球，设ξ表示所摸2球的得分之和，求ξ的分布列和数学期望Eξ．21.某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：微信控非微信控合计男性262450女性302050合计5644100(1)根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；(3)从(2)中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.参考数据：参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)22.某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6道问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为2，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．3(Ⅰ)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．(Ⅱ)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查了互斥事件和对立事件，互斥事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，注意其与对立事件的关系．根据互斥事件和对立事件逐一判断即可．【解答】解：“至多有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故A错误；“两次都中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故B错误；“只有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故C错误；“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确．故选D.2.答案：D解析：【分析】本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．根据系统抽样的特征，从100名学生从中抽取一个容量为5的样本，抽样的分段间隔为20，结合编号为53的同学，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．【解答】解：∵由系统抽样知，第一组同学的编号为1∼20，第二组同学的编号为21∼40，…，最后一组编号为81∼100，编号为53的同学位于第三组，设第一组被抽到的同学编号为x，则x+40=53，所以x=13，所以93号同学被抽到，故选D3.答案：C解析：本题主要考察了频率分布直方图，属于简单题由频率分布直方图得分数在[70,80)内的频率等于1减去得分在[40,70]与[80,100]内的频率，再根据频数=频率×样本容量得出结果． 【解答】解：由题意，分数在[70,80)内的频率为：1−(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1−0.7=0.3，则分数在[70,80)内的人数是0.3×100=30人. 答案为C4.答案：C解析： 【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 【解答】解：(√x 3−2x )8二项展开式的通项公式为T r+1=C 8r⋅x8−r3⋅(−2)r ⋅x −r =(−2)r ⋅C 8r⋅x8−4r3，令8−4r 3=0，求得r =2，可得展开式的常数项为4C 82=112，故选C ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查了古典概型概率问题，属于基础题． 根据古典概率公式即可求出． 【解答】解：O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，共有C 53=10，其中共线为A ，O ，C 和B ，O ，D 两种， 故取到的3点共线的概率为P =210=15， 故选A ．解析：【分析】该题考查了正态分布曲线及其性质，考查了学生的分析与计算能力，属基础题．【解答】解：由题设P(2019−2×2<X≤2019+2×2)=0.9544，即P(2015<X≤2023)=0.9544．所以由正态分布的对称性可得P(X>2023)=12[1−P(2015<X⩽2023)]=12×(1−0.9544)=0.0288，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x= 0，可求出a0的值，再求出，代入即求答案．本题主要考查二项式定理的应用，一般在求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是−1进行求解.本题属于基础题型．【解答】解：令x=1得，，再令x=0得，a0=1，所以，又因为，代入得．故选D．8.答案：C解析：【分析】本题考查排列和排列数公式，考查分步乘法计数原理，属于中档题．采用捆绑法将男生和女生分别捆绑再进行排列即可．【解答】解：可分两步：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A22种排法；第二步，对男生、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有A33种，男生“内部”的排法有A33种．故符合题意的排法种数为A22×A33×A33=72．故选C．9.答案：C解析：【分析】本题考查排列、组合的应用，解答本题用间接法可以避免分类讨论，简化计算．根据题意，使用间接法分析，首先计算从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作的情况数目，再分析计算其包含的甲、乙两人从事翻译工作的情况数目，进而由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：根据题意，由排列公式可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有A64=360种选派方案，其中包含甲从事心理辅导工作有A53=60种方案，乙从事心理辅导工作有A53=60种方案，则甲、乙两名志愿者都不能从事心理辅导工作的选派方案有360−60−60=240种．故选C．10.答案：C解析：【分析】本题考查了几何概型的应用，属于基础题．求出小明等车时间不超过3分钟的时间段，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：公交车的发车时间为7:00，7:05，7:10，7:15，7:20，7:25，7:30，小明在7:18至7:30之间到达首发车站乘坐公交车，则小明等车不超过3分钟的时间段为7:18～7:20，7:22～7:25，7:27～7:30，所求概率为2+3+330−18=23．故选C．11.答案：D解析：【分析】本题是一个排列问题同立体几何问题结合的题目，是一个综合题，这种问题实际上是以排列为载体考查正方体的结构特征．从8个顶点中选4个，共有C 84种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，用所有的结果减去不合题意的结果，得到结论． 【解答】解：首先从8个顶点中选4个，共有C 84种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，∴满足条件的结果有C 84−6−6=C 84−12=58．故选：D ．12.答案：D解析：设随机变量ξ的概率分布为P (ξ=k )=p k (1−p )1−k (k =0,1) ，则P (ξ=0)=1−p ，P (ξ=1)=p ，Eξ=0×(1−p )+1×p =p,Dξ=(0−p)2×(1−p)+(1−p)2p =p(1−p)．13.答案：462解析： 【分析】本题主要考查二项式的特定项与特定项的系数，属于中挡题．分析可得(√1x 3+√1x 25)n展开式中，所有奇数项的二项式系数之和为2n−1，由此求解即可．【解答】解：(√1x3+√1x25)n展开式的二项式系数等于展开式的项的系数，∴所有奇数项的二项式系数之和为2n−1， ∴2n−1=1024．∴n =11.∴展开式共有12项，中间项为第六、第七项，∴中间项二项式系数是C 115=C 116=462.故答案为462．14.答案：(1) 100(2)60 (3) 210(4)600解析：(1)【分析】本题考查排列组合，两个计数原理的应用，属于基础题．学生A分配到乙班或丙班，有2种方法，剩余4人按1，1，2个数，按1，3个数，按2，2个数分开，根据排列组合知识求解即可．【解答】解：学生A不分配到甲班，则学生A分配到乙班或丙班，有C21=2种方法，剩余4人按1，1，2个数分开，分到三个班，共有C42A33=36种方法，按1，3个数分开，分到除A外的2个班，共有C41A22=8种方法，按2，2个数分开，分到除A外的2个班，共有C42=6种方法，综上，不同的分配方案种数是2×(36+8+6)=100种方法．故答案为100．(2)【分析】本题考查组合的应用，属于基础题．根据题意可得共有C61C52C33=60种分法．【解答】解：6本不同的杂志分成3组，其中一组1本，一组2本，一组3本，则不同分法共有C61C52C33=60种．故答案为60．(3)【分析】本题考查排列组合，两个计数原理的应用，属于基础题．3名支教老师按1，1，1的个数分到3个学校，按1，2的个数分到2个学校，分别求解并求和即可．【解答】解：安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则3名支教老师按1，1，1的个数分到3个学校，共A63种分法，按1，2的个数分到2个学校，共C32A62种分法，则不同的分配方案共有A63+C32A62=210种故答案为210．(4)【分析】本题考查排列组合，两个计数原理的应用，属于基础题．四个学生中选一个没分到的学生，共4种方法，书按3，1，1的个数分给3个学生，或按2，2，1的个数分给3个学生，利用两个计数原理求解．【解答】解：将5本不同的书，全部分给四个学生，恰有一个学生没有分到，四个学生中选一个没分到的学生，共4种方法，将5本不同的书，分给3个学生，书按3，1，1的个数分给3个学生，共A 53=60种分法， 书按2，2，1的个数分给3个学生，共A 33C 52C 32A 22=90种分法，综上不同的分法种数是4×(60+90)=600．故答案为600．15.答案：35解析：解：根据题意，得∵P(A|B)=P(AB)P(B)，P(AB)=310，P(A|B)=12 ∴12=310P(B)，解得P(B)=31012=35 故答案为：35根据题意，结合条件概率公式加以计算即可得到事件A 发生的概率．本题给出事件A 、B 同时发生的概率和A 发生的条件下B 发生的概率，求事件A 的概率，着重考查了条件概率及其应用的知识，属于基础题．16.答案：10解析：【分析】本题考查了茎叶图、众数、平均数的知识，本题难度不大，属于基础题．【解答】解：根据题目中提供的茎叶图，可知：甲同学的期末考试中六科成绩分别为：75，82，84，80+x ，90，93．乙同学的期末考试中六科成绩分别为：74，75，80+y ，84，95，98．∵甲同学的平均成绩为85，∴16×(75+82+84+80+x +90+93)=85，解得x =6， ∵乙同学的六科成绩的众数为84，∴y =4，故x 、y 的值分别为：6，4．∴x +y =10，故答案为10．17.答案：解：(1)由已知，可得x ∈N ∗，2x ≥4，x ≥3，∴x ≥3且x ∈N ∗，∴2x(2x −1)(2x −2)(2x −3)=60x(x −1)(x −2)，化简得4x 2−23x +33=0，解得x =3或x =114． ∵x ≥3且x ∈N ∗，∴x =3，∴原方程的解集为{3}．(2)由已知，可得n ≥2，且n ∈N ∗，∵C n+3n+1=C n+1n−1+C n+1n +C n n−2，∴C n+3n+1=C n+2n +C n n−2，∴C n+32=C n+22+C n 2，∴C n+22+C n+21=C n+22+C n 2，∴C n+21=C n 2，即n +2=n(n−1)2，解得n =−1或n =4，∵n ≥2，且n ∈N ∗，∴n =4．∴原方程的解集为{4}．解析：本题考查了组合数与排列数公式的应用问题，是基础题目．(1)根据排列数的公式，列出方程，求出x 的值即可注意x 的范围．(2)根据组合数公式，列出方程，求出n 的值即可．18.答案：解：(1)当m =n =5时，f(x)=2(1+x)5，令x =0时，f(0)=a 5+a 4+⋯+a 1+a 0=2，令x =2时，f(0)=−a 5+a 4+⋯−a 1+a 0=2×35，相加可得：a 0+a 2+a 4=2+2×352=244．(2)由题意可得：∁m 1+∁n 1=m +n =9．x 2系数为∁m 2+∁n 2=m(m−1)2+n(n−1)2=m 2+n 2−(m+n)2=m 2+n 2−92 又m 2+n 2−92=m 2+(9−m)2−92=2m 2−18m+722=(m −92)2+634．又m ，n ∈N ，∴m =4或5，其最小值为16．即{m =4n =5或{m =5n =4时，x 2系数的最小值为16．解析：本题考查了二项式定理的展开式及其性质、利用二次函数的性质求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)当m =n =5时，f(x)=2(1+x)5，通过赋值法令x =0，x =2代入二项展开式可得到系数和的两个关系式，两式结合可求a 0+a 2+a 4的值；(2)由二项展开式的通项公式可由x 的系数是9得到m +n =9，将x 2系数转化为用m ，n 表示，借助于函数性质可求得其最小值．19.答案：解：(1)x −=1+2+3+4+55=3， y −=8+6+5+4+25=5，b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y −∑x i 2n i=1−nx −2=61−5×3×555−5×32=−1.4， â=y −b ̂x =5−(−1.4×3)=9.2， 故y 关于x 的线性回归方程是ŷ=−1.4x +9.2； (3)当x =4.5时，ŷ=−1.4×4.5+9.2=2.9 (千元/吨)． ∴该农产品的价格为2.9千元/吨．解析：本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．(1)由表格中的数据求得b ^与a^的值，则线性回归方程可求； (2)在(1)中的回归方程中，取x =4.5求得y ^值得答案．20.答案：解：(1)由题设知C 21⋅C n+11C n+32=815， 解得n =3．(2)ξ取值为3，4，5，6．则P(ξ=3)=C 11C 21C 62=215， P(ξ=4)=C 11C 31C 62+C 22C 62=415， P(ξ=5)=C 21C 31C 62=25，P(ξ=6)=C 32C 62=15， ∴ξ的分布列为：故Eξ=3×215+4×415+5×25+6×15=143．解析：(1)由题设知C 21⋅C n+11C n+32=815，由此能求出n ． (2)由题意知ξ取值为3，4，5，6.分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．21.答案：解：(1)由列联表可得K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(26×20−30×24)250×50×56×44=5077≈0.649<3.841， 所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关；(2)根据题意知，所抽取的5位女性中， “微信控”有3人，“非微信控”有2人；(3)抽取的5位女性中，“微信控”3人分别记为A ，B ，C ；“非微信控”2人分别记为D ，E ；则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，共有10种； 抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为：ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，BCD ，BCE ，共有6种，所求的概率为P =610=35．解析：(1)由列联表求得观测值，对照临界值得出结论；(2)根据分层抽样原理求出所抽取的对应人数；(3)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题． 22.答案：解：(Ⅰ)由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：P =C 41C 22C 63×C 31×23×(13)2+C 42C 21C 63×C 30×(23)0×(13)3 =115；(Ⅱ)设学生甲答对的题数为X ，则X 的所有可能取值为1，2，3，P(X =1)=C 41C 22C 63=15， P(X =2)=C 42C 21C 63=35， P(X =3)=C 43C 20C 63=15，E(X)=1×15+2×35+3×15=2，D(X)=(1−2)2×15+(2−2)2×35+(3−2)2×15=25，设学生乙答对题数为Y，则Y所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知Y～B(3,23)，E(Y)=3×23=2，D(Y)=3×23×13=23，E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)，∴甲被录取的可能性更大．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查互斥事件概率加法公式、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)利用互斥事件概率加法公式、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．(Ⅱ)设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出E(X)，D(X)，设学生乙答对题数为Y，则Y所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知Y～B(3,23)，从而求出E(Y)，D(X)，由E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)，得到甲被录取的可能性更大．。
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我பைடு நூலகம்古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。