高二数学期中模拟卷
2023-2024学年黑龙江省高二下学期期中考试数学模拟试题
2023-2024学年黑龙江省高二下学期期中考试数学模拟试题一、单选题1．设集合{}2log 2A x x =<，{}29B x x =<，则A B = （）A ．()0,3B ．()3,3-C ．()0,4D ．()3,4-【正确答案】A【分析】解出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}{}2log 204A x x x x =<=<<，{}{}2933B x x x x =<=-<<，因此，()0,3A B = .故选：A.2．命题“x ∀∈R ，210x x +->”的否定是（）A ．x ∃∈R ，210x x +-<B ．x ∃∈R ，210x x +-≤C ．x ∀∈R ，210x x +-≤D ．x ∃∈R ，210x x +-≥【正确答案】B【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.【详解】命题“x ∀∈R ，210x x +->”为全称量词命题，该命题的否定为“x ∃∈R ，210x x +-≤”.故选：B.3．甲、乙、丙3人站到共有5级的台阶上（每级台阶足够长，可站多人），同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（）A ．35B ．105C ．125D ．4854【正确答案】C【分析】分析可知甲、乙、丙3人每人都有5种选法，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】由题意可知，甲、乙、丙3人每人都有5种选法，由分步乘法计数原理可知，不同的站法种数是35125=种.故选：C.4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的件数，则(2)P X <=（）A ．715B ．815C ．1415D ．1516【正确答案】C【分析】根据超几何分布的定义计算即可.【详解】由题意知X 的可能取值为0,1,2,X 服从超几何分布，所以()()211773221010C C C 770,1C 15C 15P X P X ======，所以()()7714(2)01151515P X P X P X <==+==+=.故选：C 项.5．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y 与年份代码x 的关系可以用模型21e c xy c =（其中e为自然对数的底数）拟合，设ln z y =，得到数据统计表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x12345云计算市场规模/y 千万元7.4112036.655ln z y=22.43.03.64.0由上表可得经验回归方程0.52z x a =+，则2025年该科技公司云计算市场规模y 的估计值为（）A ． 5.08e B ． 5.6e C ． 6.12e D ． 6.5e 【正确答案】B【分析】求出x 、z 的值，代入回归方程求出a 的值，可得出z 关于x 的回归方程，然后在回归方程中令8x =可得出z 的值，即可求得y 的值，即可得解.【详解】由题意可得1234535x ++++==，2 2.43 3.6435z ++++==，将33x z =⎧⎨=⎩代入回归方程0.52z x a =+可得330.52 1.44a =-⨯=，所以，z 关于x 的回归方程为0.52 1.44z x =+，当8x =时，0.528 1.44 5.6ln z y =⨯+==，此时， 5.6e y =.故选：B.6．某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往,,,A B C D 四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B 小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（）A ．72B ．78C ．126D ．240【正确答案】B【分析】分组讨论结合组合排列关系计算即可.【详解】要求每所小学至少去一位教师，则需要将5人分成4组，则①甲，乙，丙中有2位教师去同一所学校有：222332C A A 36=种情况，②甲，乙，丙中有1位教师与丁去同一所学校有：113323C A A 36=种情况，③丁，戊两人选择同一所学校有：33A 6=种情况，所以满足题意的情况为：3636678++=，故选：B.7．三国时期数学家赵家为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色可供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种颜色的概率是（）A ．320B ．17C ．47D ．57【正确答案】C【分析】先求出所有的涂色方案种数，然后求出只用到四种颜色的涂色种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】先考虑所有的涂色方案种数：区域⑤有5种涂色方法，区域①有4种涂色方法，区域②有3种涂色方法.若区域③和区域①同色，则区域④有3种涂色方法；若区域③和区域①异色，则区域③有2种涂色方法，区域④有2种涂色方法.综上所述，所有的涂色方法种数为()5431322420⨯⨯⨯⨯+⨯=种.接下来考虑只用到四种颜色的涂色方案种数：先从5种颜色选择4种颜色，共45C 种，区域⑤有4种涂色方法，则区域①③同色或区域②④同色，若区域①③同色，则区域②④异色；若区域②④同色，则区域①③异色.此时，不同的涂色方案种数为41125232C 4C C A 240⨯⨯⨯⨯=种.因此，该方案恰好只用到四种颜色的概率是24044207P ==.故选：C.8．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p ，随机变量X 表示最终的比赛局数，若103p <<，则（）A ．()52E X =B ．()218E X >C ．()14D X >D ．()2081D X <【正确答案】D【分析】结合二项分布可计算随机变量X 的分布列，再利用公式可求()E X 、()D X ，最后利用二次函数的性质可求其范围.【详解】随机变量X 可能的取值为2,3.()()202222221221P X C p C p p p ==+-=-+.()()()()11222311122P X C p p p C p p p p p ==-+--=-，故X 的分布列为：X23P2221p p -+222p p -故()()()2222152221322222222E X p p p p p p p ⎛⎫=⨯-++⨯-=-++=--+⎪⎝⎭因为103p <<，故()2229E X <<，而2252221,9298<<，故A 、B 错误.而()()()()22224221922222D X p p p p p p =⨯-++⨯---++，令221122222t p p p ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，因为11032p <<<，故409t <<，此时()()()222041920,81D X t t t t t ⎛⎫=⨯-+-+=-+∈ ⎪⎝⎭，()14D X <必成立，故C 错误，D 正确.故选：D.本题考查离散型随机变量的分布列、期望、方差的计算以及函数的值域的求法，计算分布列时可借助常见的分布列（如二项分布等）来计算，估计方差的范围时，注意利用换元法把高次函数的值域问题转化为二次函数的值域问题.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若22ac bc <，则a b <C ．若a b >，c d >，则a c b d +>+D ．若a b >，c d >，则ac bd>【正确答案】BC【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【详解】A.取特殊值，1a =-，2b =-，显然不满足结论；B.由22ac bc <可知，20c >，由不等式性质可得a b <，结论正确；C.由同向不等式的性质知，a b >，c d >可推出a c b d +>+，结论正确；D.取3,0,1,2a b c d ===-=-，满足条件，显然ac bd >不成立，结论错误.故选：BC.10．随机变量X 服从两点分布，若()104P X ==，则下列结论正确的有（）A ．()314P X ==B ．()316D X =C ．()3212E X +=D ．()3214D X +=【正确答案】ABD【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出．【详解】因为随机变量X 服从两点分布，()104P X ==，所以()314P X ==，故()()3313,44416E X D X ==⨯=，因此，()()3521212142E X E X +=+=⨯+=，()()332144164D X D X +==⨯=，所以正确的是ABD ．故选：ABD ．11．廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量M （单位：g ）服从正态分布()2165,N σ，且()1620.15P M <=，()1651670.3P M <<=．下列说法正确的是（）A ．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167g 的概率为0.7B ．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167g ～168g 的概率为0.05C ．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g 的个数的数学期望为480D ．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g ～168g 的个数的方差为136.5【正确答案】BCD【分析】A.由()2165,M N σ~求解判断；B.由()()1651681621650.50.150.35P M P M <<=<<=-=求解判断；C.由质量大于163g 的个数()600,0.8X B ~求解判断；D.由质量在163g ～168g 的个数()600,0.65Y B ~求解判断.【详解】解：因为()2165,M N σ~，所以()1670.50.30.8P M <=+=，所以A 错误．因为()()1651681621650.50.150.35P M P M <<=<<=-=，所以()1671680.350.30.05P M <<=-=，所以B 正确．()()1631670.8P M P M >=<=，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g 的个数()600,0.8X B ~．所以()6000.8480E X =⨯=，所以C 正确．因为()1651670.3P M <<=，所以()1631650.3P M <<=，又因为()1620.15P M <=，所以()162163P M <<()()()165163165162P M P M P M =<-<<-<0.50.30.150.05=--=，则()1671680.05P M <<=，所以()163168P M <<()()()163165165167167168P M P M P M =<<+<<+<<0.30.30.050.65=++=0.65=，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g ～168g 的个数()600,0.65Y B ~，所以()()6000.6510.65136.5D Y =⨯⨯-=，所以D 正确．故选：BCD12．一个不透明的袋子里，装有大小相同的3个红球和4个蓝球，每次从中不放回地取出一球，则下列说法正确的是（）A ．取出1个球，取到红球的概率为37B ．取出2个球，在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为12C ．取出2个球，第二次取到红球的概率为13D ．取出3个球，取到红球个数的均值为97【正确答案】ABD【分析】根据古典概型概率公式可求得A 正确；根据条件概率公式可求得B 正确；将第二次取到红球分为两种情况，将概率加和可求得C 错误；记取到的红球数为X ，计算可得X 每个取值对应的概率，根据均值求法可求得D 正确.【详解】对于A ，取出1个球，取到红球的概率1317C 3C 7p ==，A 正确；对于B ，记第一次取到蓝球为事件A ，第二次取到红球为事件B ，则()432767P AB =⨯=，()47P A =，()()()217427P AB P B A P A ∴===，B 正确；对于C ，若第一次取到红球，第二次也取到红球，则概率为321767⨯=；若第一次取到蓝球，第二次取到红球，则概率为432767⨯=；∴第二次取到红球的概率123777p =+=，C 错误；对于D ，记取到的红球数为X ，则X 所有可能的取值为0,1,2,3，()432244076521035P X ∴==⨯==，()34343343310818176576576521035P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==，()3243424327212276576576521035P X ==⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==，()32161376521035P X ==⨯⨯==；∴取到红球个数的均值为418121459012335353535357⨯+⨯+⨯+⨯==，D 正确.故选：ABD.三、填空题13．空间中有7个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作__________个平面.（用数字作答）【正确答案】35【分析】利用组合计数原理可得结果.【详解】空间中有7个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，能作的平面的个数为37C 35=个.故答案为.3514．101(2)(1)x x x--展开式中的常数项为__________.【正确答案】10【分析】根据给定条件，确定展开式常数项的构成形式，再借助二项式定理求解作答.【详解】101(2)(1)x x x --展开式中的常数项是10(1)x -展开式的含x 的项与1x-相乘的积，10(1)x -展开式的通项公式11010C ()(1)C ,N,10rrrrrr T x x r r +=-=-∈≤，当1r =时，1210C ()10T x x =-=-，所以101(2)(1)x x x--展开式中的常数项为110(10x x -⋅-=.故1015．有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产2000件、3000件、5000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为__________.【正确答案】0.052【分析】记事件1A 、2A 、3A 分别表示所抽取的产品由甲、乙、丙工厂生产，记事件B 为“所抽的产品为次品”，利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件1A 、2A 、3A 分别表示所抽取的产品由甲、乙、丙工厂生产，记事件B 为“所抽的产品为次品”，则()10.2P A =，()20.3P A =，()30.5P A =，()10.06P B A =，()()230.05P B A P B A ==，由全概率公式可得()()()310.20.060.30.050.50.050.052k k k P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑.故答案为.0.05216．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式展开式的系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于__________.（用一个组合数作答）【正确答案】2040C 【分析】把40(1)x +写成2020(1)(1)x x +⋅+，再利用二项式定理求出20x 项的系数作答.【详解】依题意，在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于02122220220202020(C )(C )(C )(C )++++ ，可视为20(1)x +按x 升幂展开与20(1)x +按x 降幂展开的两个多项式乘积展开式的含20x 项的系数，即202001222020020119218202020202020202020(1)(1)(C C C C )(C C C C )x x x x x x x x +⋅+=++++++++ 展开式含20x 项的系数，而202040(1)(1)(1)x x x +⋅+=+，40(1)x +展开式中含20x 项的系数为2040C ，所以()()()22201200201192002020202020202020202040C C C C C C C C C =C +++=+++ .故答案为.2040C 四、解答题17．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，某中学高二年级共300人，其中男生150名，女生150名，学校团委对是否喜欢观看该世界杯进行了问卷调查，男生喜欢观看的人数为90，女生喜欢观看的人数为60.(1)根据题意补全2×2列联表：喜欢观看不喜欢观看合计男生150女生150合计300(2)依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关？参考临界值表：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.【正确答案】(1)2×2列联表见解析；(2)能认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关.【分析】（1）根据题设数据确定男女生喜欢、不喜欢观看球赛的人数，即可完成列联表；（2）应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想即可得结论.【详解】（1）依题设，喜欢观看的男生有90人，不喜欢观看的男生有1509060-=人；喜欢观看的女生有60人，不喜欢观看的女生有1506090-=人，列联表如下图示：喜欢观看不喜欢观看合计男生9060150女生6090150合计150150300（2）由22300(90906060)1210.828150150150150χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以依据小概率值0.001α=的独立性检验，能认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关.18．已知函数()()ln ,0,1f x x ax a =-∈.(1)若12a =时，求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]1,2上的最小值.【正确答案】(1)递增区间为(0,2)，递减区间为(2,)+∞；(2)答案见解析.【分析】（1）把12a =代入，利用导数求出()f x 的单调区间作答.（2）利用导数分段讨论函数()f x 在[]1,2上的单调性，再求出最小值作答.【详解】（1）当12a =时，()1ln 2f x x x =-的定义域为(0,)+∞，求导得11()2f x x '=-，当02x <<时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，所以函数()f x 的递增区间为(0,2)，递减区间为(2,)+∞.（2）01a <<，函数()ln f x x ax =-，求导得1()f x a x'=-，由[1,2]x ∈，得11[,1]2x ∈，当102a <≤时，()0f x '≥，当12,2x a ==时取等号，因此函数()f x 在[]1,2上单调递增，min ()(1)f x f a ==-，当112a <<时，由()0f x '>，得11x a ≤<，由()0f x '<，得12x a<≤，于是函数()f x 在1[1,)a 上单调递增，在1(,2]a上单调递减，(1),(2)ln 22f a f a =-=-，由(1)(2)ln 20f f a -=-=，得ln 2a =，当1ln 22a <<时，min ()(1)f x f a ==-，当ln 2a =时，min ()(1)(2)ln 2f x f f ===-，当ln 21a <<时，min ()(2)ln 22f x f a ==-，所以当0ln 2a <≤时，函数()f x 的最小值为a -，当ln 21a <<时，函数()f x 的最小值为ln 22a -.19．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足2a 是14,a a 的等比中项，5611a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)从下面两个条件选择一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n S .①2n an n b a =⋅；②()()222121nn n n a b a a =-+.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【正确答案】(1)n a n =；(2)答案见解析【分析】（1）先利用题给条件求得等差数列{}n a 的首项与公差，进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）选①利用错位相减法即可求得数列{}n b 的前n 项和n S ；选②利用裂项相消法即可求得数列{}n b 的前n 项和nS 【详解】（1）等差数列{}n a 满足2a 是14,a a 的等比中项，2214a a a ∴=，即()()21113.a d a a d +=+由5611a a +=，可得()()114511.a d a d +++=由()()()()211111345110a d a a d a d a d d ⎧+=+⎪+++=⎨⎪≠⎩，可得111a d =⎧⎨=⎩1(1)n a a n d n ∴=+-=.（2）若选①：2nn b n =⋅，则1212222n n S n =⨯+⨯++⋅ .231212222n n S n +=⨯+⨯++⋅ ()12322222n n n S n +∴=⋅--+++ ()()11121222212(1)2212n n n n n n n n +++-=⋅-=⋅+-=-+-；若选②.()()242121n n b n n =-+111111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪-+-+⎝⎭1111111112335572121n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.2112212212121n n nn n n n n +⎛⎫=+-=+= ⎪+++⎝⎭.20．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A 充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据，并计算得()()6130i i i x x y y =--=∑.A 充电桩投资金额x /万元3467910所伏利润y /百万元1.5234.567(1)已知可用一元线性回归模型拟合y 与x 的关系，求其经验回归方程；(2)若规定所获利润y 与投资金额x 的比值不低于23，则称对应的投入额为“优秀投资额”.记2分，所获利润y 与投资金额x 的比值低于23且大于12，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润y 与投资金额x 的比值不超过12，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X 表示记分之和，求X 的分布列及数学期望.附.()()()1122211ˆˆˆ,n niii ii i nni ii i x x y y x y nxyba y bxx x xnx ====---===---∑∑∑∑【正确答案】(1)ˆ0.8 1.2y x =-；(2)分布列见解析，53.【分析】（1）利用给定的数表求出,x y ，再利用最小二乘法公式求解作答.（2）求出X 的可能值，及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.【详解】（1）由数表知，3467910 1.523 4.5676.5,466x y ++++++++++====622222221()(3 6.5)(4 6.5)(6 6.5)(7 6.5)(9 6.5)(10 6.5)37.5ii x x =-=-+-+-+-+-+-=∑，因此11662)()ˆ0.83)(307.5(iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑，ˆˆ40.8 6.5 1.2a y bx=-=-⨯=-，所以所求经验回归方程为ˆ0.8 1.2yx =-.（2）由数表知，1.52313462===，1 4.5627279310<<=<，因此“优秀投资额”有2个，“良好投资额”有1个，“不合格投资额”有3个，X 的可能值为0,1,2,3,4，21113332222666C C 1C 3131322(0),(1),(2)C 155C 155C 155C P X P X P X ⨯⨯============，12222266C 1C 21(3),(4)C 15C 15P X P X ⨯======，所以X 的分布列为：X01234P151525215115数学期望112215()0123455515153E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.21．设()ln 1f x ax x =++.(1)当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；(2)若对任意的0x >，()2e xf x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)2y x =(2)(],2-∞【分析】（1）当1a =时，求出()1f 、()1f '的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）分离参数得到2ln 1e x x a x +≤-，构造函数()2ln 1e (0)xx m x x x+=->，求导确定函数的最小值即可得到a 的取值范围.【详解】（1）解：当1a =时，()ln 1f x x x =++，则()11f x x'=+，所以，()()112f f '==，所以，当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程为()221y x -=-，即2y x =.（2）解：因为()ln 1f x ax x =++，所以对任意的0x >，()2e xf x x ≤恒成立，等价于2ln 1e xx a x+≤-在()0,∞+上恒成立.令()()2ln 1e 0xx m x x x +=->，则()2222e ln x x xm x x '+=.再令()222e ln x n x x x =+，则()()2214e 0xn x x x x=++>'，所以()222e ln xn x x x =+在()0,∞+上单调递增.因为12ln2048n ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()10n >，所以()222e ln xn x x x =+有唯一零点0x ，且0114x <<.所以当00x x <<时，()0m x '<，当0x x >时，()0m x '>.所以函数()m x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.因为022002e ln 0x x x +=，即02020ln e2x x x =-，即02000112e ln x x x x =，因为0114x <<，则0114x <<，令()ln h x x x =，其中1x >，则()ln 10h x x '=+>，所以，函数()h x 在()1,+∞上为增函数，由02000112e ln x x x x =可得0220011e ln e ln x x x x =，即()0201e x h h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为02e1x >，011x >，所以，0201e x x =，可得00012ln ln x x x ==-，所以()()02000000ln 121e21x x x m x m x x x x +-≥=-+=-=，则2a ≤.所以a 的取值范围为(],2-∞.关键点点睛：本题关键点在于对()()2ln 1e 0xx m x x x+=->求导后，把导数构造成新的函数再次求导，借助隐零点求出()()2ln 1e 0xx m x x x+=->的最小值，进而借助恒成立的内容进行解答.22．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由()21k k *-∈N 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为()01p p <<，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为k p （例如：2p 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；3p 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.(1)若23p =，当2k =时，求控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列和数学期望，并求3p ；(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为14，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y （单位：元）.（i ）请用k p 表示()E Y ；（ii ）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.【正确答案】(1)分布列见解析，()2E X =，36481p =(2)（i ）()5k E Y ap =，（ii ）答案见解析【分析】（1）由题意可知23,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解3p ；（2）（i ）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列congestion 求出设备升级后单位时间内的利润，即为()E Y ；（ii ）分类讨论求出1k p +与k p 的关系，做差比较大小即可得出结论.【详解】（1）因为2k =，所以控制系统中正常工作的元件个数X 的可能取值为0，1，2，3；因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为23p =，所以23,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()03032110C 3327P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12132121C 339P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()21232142C 339P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()30332183C 3327P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列为X0123P1272949827控制系统中正常工作的元件个数X 的数学期望为()2323E X =⨯=，324153453555212121C C C 333333P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8080321926424324324324381=++==；（2）（i ）升级改造后单位时间内产量的分布列为产量4a 0设备运行概率kp 1kp -所以升级改造后单位时间内产量的期望为4k ap ；所以产品类型高端产品一般产品产量（单位：件）kap 3kap 利润（单位：元）21设备升级后单位时间内的利润为235k k k ap ap ap +=，即()5k E Y ap =；（ii ）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有1k +个元件正常工作，其概率为()()1211C 1k k k k k p p p p --=--；第二类：原系统中恰好有k 个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为()()()()()121122212C 111C 12k k k kk k k k p p p p p p p --+--⎡⎤=-⋅--=--⎣⎦；第三类：原系统中有1k -个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为()()()1121121213C 1C 1kkk k k k k k p pp p p p ---+--=-⋅=-；所以()()()()111111212121C 1C 12C 1k k kk k k k k k k k k k k p p p p p p p p p --+-++---=--+--+-()()21C 121kk kk k p p p p -=+--，则()()121C 121kk k k k k p p p p p +--=--，所以当12p >时，10k k p p +->，k p 单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大，当12p ≤时，10k k p p +-≤，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，又因为()5k E Y ap =，所以当12p >时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；当12p ≤时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，求出()()()()111111212121C 1C 12C 1k k kk kk k k k k k k k k p p p p pp p p p --+-++---=--+--+-是解题的难点与关键.。
2023-2024学年黑龙江省牡丹江市高二下学期期中数学模拟试题
2023-2024学年黑龙江省牡丹江市高二下学期期中数学模拟试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若721S =，25a =，则公差为（）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【正确答案】B【分析】由前n 项和及等差中项的性质可得747S a =求得43a =，进而求公差即可.【详解】由71274...721S a a a a =+++==，则43a =，∴公差4212a a d -==-.故选：B.2．在等差数列{}n a 中，若125a a +=，3415a a +=，则56a a +=（）A ．10B ．20C ．25D ．30【正确答案】C根据等差数列通项公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组即可得首项与公差，进而由等差数列通项公式求得56a a +.【详解】在等差数列{}n a 中，125a a +=，3415a a +=，根据等差数列通项公式，设公差为d ，可知111152315a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩，解得15452a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故56a a +1145a d d a +=++19225a d +==，故选：C.本题考查了等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题.3．已知f (x )＝x ln x ，若0()2f x '=，则x 0＝（）A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln2【正确答案】B【分析】对函数进行求导，然后代入求值即可.【详解】因为f (x )＝x ln x ，所以()ln 1f x x '=+，由00()ln 12f x x '=+=，解得0x e =.故选：B.4．设等比数列{}n a 的前n 项和为271,8,4n S a a =-=，则6S =（）A ．212-B ．152C ．212D ．632【正确答案】C【分析】设等比数列{}n a 公比为q ，由572a a q =结合已知条件求q 、1a ，再利用等比数列前n 项和公式求6S .【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则572a a q =，又2718,4a a =-=，∴12q =-，故116a =，又1(1)1-=-nn a q S q ，即666311616[1()]216421321()22S ⨯⨯--===--.故选：C5．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a=A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】D【详解】D 试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）=a ﹣1=2，∴a=3．故答案选D ．利用导数研究曲线上某点切线方程．6．设数列{}n a 满足11,1n n n a a a ++=-且112a =，则2022a =（）A ．2-B ．13-C ．12D ．3【正确答案】D【分析】由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果.【详解】由题意可得：121111231112a a a ++===--，2321132113a a a ++===---，()()34312111123a a a +-+===----，14541111311213a a a a -+====-+，据此可得数列{}n a 是周期为4的周期数列，则20225054223a a a ⨯+===.故选：D 7．直线12y x b =-与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为（）A ．2B ．-2C ．-1D ．1【正确答案】D【分析】求出112y x '=-+，设切点()00,x y ，由()012'=y x 求出()00,x y ，代入12y x b =-可得答案.【详解】112y x'=-+，设切点()00,x y ，由()0011122y x x '=-+=，所以0011,2x y ==-，代入12y x b =-，得1b =．故选：D.8．已知数列{}n a 是等比数列，22a =，514a =，令12231n n n T a a a a a a +=⋅+⋅++⋅ ，则n T =（）A ．11614n ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭B ．11612n ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭C ．321134n ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭D ．221132n ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据题意求得128a a =，且当2n ≥时，211n n n na a q a a +-⋅=⋅得到数列{}1n n a a +⋅是以2q 为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，因为22a =，514a =，可得35218a q a ==，解得12q =，则21122a a ==，解得14a =，所以128a a =又由当2n ≥时，211n n n na a q a a +-⋅=⋅，所以数列{}1n n a a +⋅表示首项为8，以214q =为公比的等比数列，所以122311814321113414n n n n n T a a a a a a+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅+⋅++⋅==⋅- ⎪⎝⎭-.故选：C ．二、多选题9．若{}n a 为等差数列，2511,5a a ==，则下列说法正确的是（）A ．152n a n=-B ．20-是数列{}n a 中的项C ．数列{}n a 单调递减D ．数列{}n a 前7项和最大【正确答案】ACD【分析】由{}n a 为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，且2511,5a a ==，则111145a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得113,2a d ==-，13(1)(2)215n a n n =+-⨯-=-+，故A 选项正确，由20215n -=-+，得*35N 2n =∉，故B 错误，因为0d <，所以数列{}n a 单调递减，故C 正确，由数列通项公式152n a n =-可知，前7项均为正数，81a =-，所以前7项和最大,故D 正确.故选：ACD10．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，1n n S a =-，则下列结论正确的是（）A ．数列{}n a 是等比数列B ．数列{}n a 是等差数列C ．12n na =D ．112n nS =-【正确答案】ACD【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解出当2n ≥时，112n n a a -=，故数列{}n a 是等比数列，求出通项公式和前n 项和公式，判断出答案.【详解】当1n =时，1111a S a ==-，所以112a =，当2n ≥时，()()1111n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，所以112n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，所以1111222n n n a -=⨯=，1112n n nS a =-=-.故选：ACD.11．如图是函数()y f x =的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（）A ．()f x 在[]2,1--上是增函数B ．当=1x -时，()f x 取得极小值C ．()f x 在()1,2-上是增函数，在()2,4上是减函数D ．当3x =时，()f x 取得极小值【正确答案】BC【分析】根据图象可得出()f x '在各个区间上的符号，从而得到单调区间，进而得到极值点.【详解】由图象知，当[]2,1x ∈--上，()0f x '≤恒成立，即()f x 在[]2,1--上单调递减，A 项错误；又当()1,2x ∈-时，()0f x ¢>恒成立，即()f x 在()1,2x ∈-上单调递增，所以当=1x -时，()f x 取得极小值，B 项正确；当()2,4x ∈时，()0f x '<恒成立，即()f x 在()2,4上单调递减，C 项正确；当()2,4x ∈时，()0f x '<恒成立，即()f x 在()2,4上单调递减，所以D 项错误.故选：BC.12．已知函数()31f x x ax =-+的图象在点()()1,f x 处的切线的斜率为2，则（）A ．1a =B ．()f x 有两个极值点C ．()f x 有2个零点D ．()f x 有1个零点【正确答案】ABD【分析】首先求导得2()3f x x a '=-，利用切线斜率与导数关系得到(1)2f '=，解出a 值即可判断A 选项，将a 代回原函数与导函数，利用导数与极值的关系，求出()0f x '=时的两根，即可判断B 选项，利用零点存在定理和数形结合的思想即可判断其零点个数.【详解】2()3f x x a '=-，由题得(1)2f '=，32a ∴-=，1a ∴=，故A 正确，3()1f x x x =-+，2()31f x x '∴=-，令()0f x '=，3x =-或3，令()0f x '<，即2310x -<，x <<()0f x '>，则x <x >()f x \在,,⎛-∞ ⎝⎭⎫∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎛ ⎝⎭上单调递减，()f x \在x =x =()f x 有两极值点，故B 正确，又(1)11110f -=-++=>，(2)82150f -=-++=-<，则()()120f f -⋅-<且()f x 在[]2,1--上单调递增，且图像连续不断，故()f x 在[]2,1--上有一零点，而1039f ⎫=->⎪⎪⎝⎭，则其无其他零点，大致图像如图所示：故C 错误，D 正确.故选：ABD.三、填空题13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，220a =，945S =，则n S 取得最大值时n 的值为_____.【正确答案】5或6【分析】先求得n a ，然后利用0n a ≥求得正确答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，112093645a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得125,5a d ==-，所以530n a n =-+，由5300n a n =-+≥，解得6n ≤，又60a =，所以n S 取得最大值时n 的值为5或6.故5或614．已知函数2()ln f x a x x =+的图象在(1,(1))f 处的切线经过坐标原点，则实数a 的值等于___________．【正确答案】1-【分析】由导数的几何意义求出切线方程，结合切线经过坐标原点，即可求得a 的值.【详解】因为()2ln f x x a x =+，所以()2a f x x x'=+，所以()12f a '=+，又()11f =，所以()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()()121y a x -=+-，又切线方程过原点，把()0,0代入得()112a -=-⨯+，解得：1a =-．故答案为.1-15．已知公差不为0的等差数列{an }的前n 项和为S ，若a 3，a 5，a 10成等比数列，则77S a =_________.【正确答案】4916【分析】根据等比中项的性质求得等差数列的项和公差的关系，最后求出77S a 的值.【详解】设{}n a 的公差为d （0d ≠）,由题意知25310a a a =⋅,即2333(2)(7)a d a a d +=+，即2223333447a a d d a a d ++=+，∵0d ≠，∴334d a =，∴73737()49416S a d a a d +==+,故答案为.4916等差、等比数列基本量的求解是数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差、等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．16．若函数()()3213f x x a x ax =+-+的导函数()f x '为偶函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为____________．【正确答案】62y x =-（或620x y --=）【分析】求出导函数()f x '，由其为偶函数得a 值，然后计算出斜率(1)f '，再计算出(1)f ，由点斜式得直线方程并整理．【详解】因为()()23213f x x a x a =-'++为偶函数，所以()210a -=，解得1a =，则()16f '=．又()14f =，故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()461y x -=-，即62y x =-．故62y x =-．四、解答题17．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.【正确答案】（1）212n n a -=；（2）2n S n =.【分析】(1)本题首先可以根据数列{}n a 是等比数列将3a 转化为21a q ，2a 转化为1a q ，再然后将其带入32216a a =+中，并根据数列{}n a 是各项均为正数以及12a =即可通过运算得出结果；(2)本题可以通过数列{}n a 的通项公式以及对数的相关性质计算出数列{}n b 的通项公式，再通过数列{}n b 的通项公式得知数列{}n b 是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．【详解】(1)因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，32216a a =+，12a =，所以令数列{}n a 的公比为q ，2231=2a a q q =，212a a q q ==，所以22416q q =+，解得2q =-(舍去)或4，所以数列{}n a 是首项为2、公比为4的等比数列，121242n n n a --=⨯=．(2)因为2log n n b a =，所以21n b n =-，+121n b n =+，12n n b b +-=，所以数列{}n b 是首项为1、公差为2的等差数列，21212n n S n n +-=´=．本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．18．已知函数()2395f x x x =-+.(1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)求函数()f x 的极值.【正确答案】(1)3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(2)()f x 的极小值为74-，无极大值.【分析】（1）求导，由导函数小于0求出单调递减区间；（2）求出函数的递增区间，结合第一问求出极小值，无极大值.【详解】（1）()69f x x '=-，令()690f x x -'=<，解得：32x <，故函数()f x 的单调递减区间是3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）令()0f x ¢>得：32x >故()f x 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在32x =处取得极小值，39373952424f ⎛⎫=⨯-⨯+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的极小值为74-，无极大值.19．已知等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列．(1)求等差数列{}n a 的通项公式；(2)若等差数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：14n S <．【正确答案】(1)2n a n =(2)证明见解析【分析】（1）根据条件求出1a 即可；（2）利用裂项相消法求出n S 即可证明.【详解】（1）因为2a ，4a ，8a 成等比数列，所以2428a a a =⋅又因为{}n a 为等差数列，公差为2所以2111(6)(2)(14)a a a +=++，解得12a =，则1(1)n a a n d =+-()2122n n =+-⨯=；（2）由（1）得11122(1)n n a a n n +=⋅+14(1)n n =+11411n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭则11111111(1(()4242341n S n n =-+-+-+111111(142231n n =-+-+-+ 11(1)41n =-+14<．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a S n +=（1）设1n n c a =-，求证：{}n c 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．【正确答案】(1)见证明；(2)1－12n⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）通过n n a S n +=与111n n a S n +++=+作差、整理可知111(1)2n n a a +-=-，进而可知数列{}n c 是以12-为首项、12为公比的等比数列；（2）通过（1）可知112n n n c a =-=-，进而可知112nna =-．【详解】（1）证明：n n a S n += ，111n n a S n ++∴+=+，两式相减得：111n n n a a a ++-+=，整理得：111(1)2n n a a +-=-，又1n n c a =- ，112n n c c +∴=，又111a a += ，即112a =，11111122c a ∴=-=-=-，∴数列{}n c 是以12-为首项、12为公比的等比数列；（2）解：由（1）可知，11111·222n n n n c a -=-=-=-，112n na ∴=-．本题考查由n S 与n a 关系求数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)21n a n =-(2)()12326n n T n +⋅=-+【分析】（1）利用n a 与n S 的关系式，分类讨论并检验可求得21n a n =-；（2）利用错位相减法即可求得n T .【详解】（1）因为2n S n =，所以当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n S n n n -=-=-+，故121n n n a S S n -=-=-，经检验，11a =满足21n a n =-，所以21n a n =-.（2）由（1）得()212n n n a b n -⋅=，所以()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ，则()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ，两式相减，得()23112222222212n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅ ()()21121212221212n n n -+-=⨯+⨯--⋅-()13226n n +=-⋅-，所以()12326n n T n +⋅=-+.22．已知函数()()2e 21x f x x ax =+-，其中R a ∈，若()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为210x by ++=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间[]3,1-上的最值．【正确答案】(1)()()2e 21x f x x x =--(2)最大值为29e ，最小值为12e -.【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义结合给定切线求解作答.（2）利用（1）的函数解析式，利用函数()f x 在区间[]3,1-上的单调性，即可求解作答.【详解】（1）依题意，(0)1f =-，切点(0,1)-在切线210x by ++=上，则1b =，()f x '=()()()22e 21e 4e 241x x x x ax x a x a x a ⎡⎤+-++=+++-⎣⎦，而()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线斜率为2-，(0)f '=12a -=-，解得得1a =-，所以函数()f x 的解析式为()()2e 21x f x x x =--.（2）由（1）知，()f x '=()()()2e 232e 221x x x x x x +-=+-，由()0f x '=得2x =-或12x =，当[3,1]x ∈-时，32-<<-x 或112x <<，有()0f x ¢>，122x -<<，有()0f x '<，因此函数()f x 在1[3,2],[,1]2--上单调递增，在[]12,2-上单调递减，又()3203e f -=，()292e f -=，121e 2f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1)0f =，所以()f x 在[]3,1-上的最大值为29e ，最小值为12e -.。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.72。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。
2023-2024学年山东省济南市高二上学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年山东省济南市高二上册期中考试数学模拟试题一、单选题1．下列关于空间向量的说法中正确的是（）A ．方向相反的两个向量是相反向量B ．空间中任意两个单位向量必相等C ．若向量,AB CD 满足AB CD > ，则AB CD>D ．相等向量其方向必相同【正确答案】D【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A 错误；单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B 错误；向量不能比较大小，故C 错误；相等向量其方向必相同，故D 正确；故选：D.2．两条直线1l ：210x y --=与2l ：3110x y +-=的交点坐标为（）．A ．(32)--，B ．(23)--，C ．(2)3，D ．(32)，【正确答案】C【分析】联立两直线的方程，解方程组即可求解.【详解】因为直线1l ：210x y --=，直线2l ：3110x y +-=，由2103110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩，所以1l 与2l 两条直线的交点坐标为(2)3，，故选：C.3．已知(2,1)M 、(1,5)N -，则MN =（）．AB ．4C ．5D【正确答案】C【分析】利用两点间距离公式即可求解.【详解】因为(2,1)M 、(1,5)N -，所以5MN ==，故选：C.4．原点到直线250x y +-=的距离为（）A ．1BC ．2D【正确答案】D【分析】利用点到直线的距离公式，求得所求的距离.【详解】由点到直线距离可知所求距离d ==故选：D本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.5．已知直线51230x y +-=与直线512100x y ++=平行，则它们之间的距离是（）A ．1B ．2C ．12D ．4【正确答案】A【分析】直接利用两平行直线之间的距离公式计算即可.1=.故选：A.6．圆224240x y x y +-++=的半径和圆心坐标分别为A ．1;(2,1)r =-B ．2;(2,1)r =-C ．2;(2,1)r =-D ．1;(2,1)r =-【正确答案】D【详解】22(2)(1)1x y -++=∴ 半径和圆心坐标分别为()1;2,1r =-,选D7．椭圆22125169x y +=的焦点坐标为（）A ．(5,0),(5,0)-B ．(05),(05)-,,C ．(0,12),(0,12)-D ．(12,0),(12,0)-【正确答案】C【分析】由方程可得22,a b ，结合椭圆中,,a b c 的关系及焦点位置可得焦点坐标.【详解】因为椭圆的方程为22125169x y +=，所以焦点在y 上，且22169,25a b ==，由22216925144c a b =-=-=可得12c =，所以焦点为(0,12),(0,12)-.故选：C.本题主要考查椭圆的焦点坐标，利用方程求解焦点时，一看焦点位置，二算焦距大小，侧重考查数学运算的核心素养.8．已知两个异面直线的方向向量分别为a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a •12b=-，则两直线的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】B【分析】先求出向量,a b的夹角，再利用异面直线角的定义直接求解即可【详解】设两直线的夹角为θ，则由题意可得1×1×cos a ＜，12b =- ＞，∴cos a ＜，12b =-＞，∴a ＜，23b π=＞，∴θ3π=，故选：B ．本题主要考查两个向量的数量积的定义，注意两直线的夹角与a ＜，b＞的关系，属于基础题．9．椭圆22125x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】D【分析】由椭圆的定义可得点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，再由点P 到一个焦点的距离为2，可得点P 到另一个焦点的距离．【详解】由椭圆22125x y +=，可得a ＝5、b ＝1，设它的两个焦点分别为F 、F ′，再由椭圆的定义可得|PF |+|PF '|＝2a ＝10，由于点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为8，故选：D ．本题主要考查椭圆的定义和标准方程的应用，属于中档题．10．若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）A ．11B ．9C ．5D ．3【正确答案】B【分析】由双曲线的定义运算即可得解.【详解】由双曲线的定义得12||||26PF PF a -==，即23||6PF -=，因为2||0PF >，所以2||9PF =.故选：B.11．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线的斜率为2-，则m 的值为（）A ．8-B ．0C ．2D ．10【正确答案】A【分析】利用直线的斜率公式求解即可.【详解】解： 过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线的斜率为2-，422m m-∴=---，解得8m =-，故选：A.12．已知向量,m n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，若cos ,m n 〈〉=l 与α所成的角为（）A ．30︒B ．60︒C ．150︒D ．120︒【正确答案】B【分析】根据直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角与线面角之间的关系，可得线面角的正弦值，即可求得答案.【详解】设直线l 与α所成的角为,090θθ≤≤ ，因为向量,m n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，且cos ,m n 〈〉=，故cos sin ,|2|m n θ〈〉==，即得60θ= ，故选：B13．如果直线1l 的斜率为2，12l l ⊥，则直线2l 的斜率为（）A ．12-B ．2C ．12D ．-2【正确答案】A【分析】直接由两直线垂直则斜率乘积等于1-,计算可得2l 的斜率.【详解】由于直线1l 的斜率为2且12l l ⊥，所以直线2l 的斜率为12-.故选：A14．圆O 1：2220x y x +-=和圆O 2：2240x y y +-=的位置关系是A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切【正确答案】B【详解】试题分析：由题意可知圆1O 的圆心()11,0O ，半径11r =，圆2O 的圆心()20,2O ，半径12r =，又211212r r O O r r -<=<+，所以圆1O 和圆2O 的位置关系是相交，故选B ．圆与圆的位置关系．15．已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A ．14B ．4C ．32D ．43【正确答案】C【详解】由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝ca ＝32．16．直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【正确答案】B【详解】试题分析：求出圆心到直线的距离d ，与圆的半径r 比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B直线与圆的位置关系．二、多选题17．设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为4，则抛物线的方程是（）A ．28y x =-B ．28y x=C ．24y x=-D ．24y x=【正确答案】AB【分析】根据焦点到准线的距离为p 求解.【详解】解：因为焦点到准线的距离为4，所以4p =，根据四个选项可得28y x =-，28y x =满足4p =，故选：AB 三、单选题18．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±【正确答案】C【详解】2c e a ==，故2214b a =，即12b a =，故渐近线方程为12b y x x a =±=±.本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.19．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ,00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【正确答案】A 【分析】解方程001544x x +=即得解.【详解】解：由题得抛物线的准线方程为14x =-，则有014AF x =+，即有001544x x +=，解得01x =．故选：A20．若抛物线()20y ax a =>的焦点与椭圆2212x y +=的上顶点重合，则=a （）A ．12B ．14C ．2D ．4【正确答案】B分别求得椭圆的上顶点和抛物线的焦点坐标，再利用重合求解.【详解】椭圆2212x y +=的上顶点是()0,1抛物线()20y ax a =>的焦点10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为两点重合所以114a=所以14a =故选：B本题主要考查了椭圆和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.四、多选题21．若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是12,αα，斜率分别为12,k k ，则下列命题正确的是（）A ．若斜率12k k =，则12l l ∥B ．若121k k =-，则12l l ⊥C ．若倾斜角12αα=，则12l l ∥D ．若12παα+=，则12l l ⊥【正确答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC ，举反例可判断D.【详解】对于A,若两直线斜率12k k =，则它们的倾斜角12αα=，则12l l ∥，正确；对于B ，由两直线垂直的条件可知，若121k k =-，则12l l ⊥，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角12αα=，则12l l ∥，正确；对于D,若12παα+=，不妨取12π2π33,αα==，则1122tan tan k k αα====121k k =-，12,l l 不垂直，D 错误，故选：ABC22．下列命题中，正确的命题为（）A ．若1n ，2n分别是平面α，β的法向量，则12////n n αβ⇔B ．若1n ，2n分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⊥⇔⋅= C ．若n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若l 与平面α平行，则//n aD ．0PM PN MN -+= 【正确答案】BD【分析】由面面位置关系以及法向量的概念判断A 、B ；由法向量的概念和直线方向向量的定义判断C ，根据空间向量线性运算法则判断D.【详解】解：对于A ，若1n ，2n分别是两个不重合平面α，β的法向量，则12////n n αβ⇔ ，故A中平面α，β可能平行或重合，故A 错误；对于B ，若1n ，2n分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⊥⇔⋅= ，故B 正确；对于C ，若n是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，l 与平面α平行，则n a ⊥ ，所以0n a ⋅= ，故C 错误；对于D ，0PM PN MN NM MN -+=+=，故D 正确．故选：BD ．23．已知双曲线方程为22832x y -=，则（）A ．焦距为6B ．虚轴长为4C ．实轴长为D ．离心率为4【正确答案】BCD【分析】求出双曲线的标准方程，得到a =2b =，6c =，对照选项即可求解.【详解】双曲线方程22832x y -=化为标准方程为：221324x y -=，可得：a =2b =，6c =，所以双曲线的焦距为212c =，虚轴长为24b =，实轴长为2a =，离心率4c e a ==，故选.BCD24．(多选)经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为（）A ．y 2＝xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－8xD ．x 2＝－8y【正确答案】AD【详解】当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .故选：AD25．已知(2,4)A --，(1,5)B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值可能为（）A ．3-B ．3C ．2-D ．1【正确答案】AB【分析】由点到直线的距离公式可得关于a 的方程，解方程即可．【详解】解：因为(2,4)A --，(1,5)B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，=即236a a +=+，化简得29a =，解得3a =±，所以实数a 的值可能为3±．故选：AB ．五、填空题26．若直线的倾斜角为135︒，则直线的斜率为________．【正确答案】1-【分析】根据斜率和倾斜角的关系求得直线的斜率.【详解】依题意，直线的斜率为135tan 1k =︒=-.故1-27．已知平面α的法向量u ＝(1,0，－1)，平面β的法向量v ＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为________．【正确答案】【详解】∵cos 〈u ，v 〉＝＝－，∴〈u ，v 〉＝π，∴平面α与β的夹角是.28．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为10，焦距为6，则此椭圆的标准方程为____________.【正确答案】2212516y x +=【分析】依题意可得22221026a c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得a 、b ，即可得解.【详解】依题意，设椭圆方程为()222210,0y x a b a b +=>>，则22221026a c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得534a c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2212516y x +=.故答案为.2212516y x +=29．以两点()2,0A -和()0,2B 为直径端点的圆的标准方程是___________.【正确答案】()()22112x y ++-=【分析】通过圆过定点A 和B ，以及线段AB 是直径，求出圆心和半径，即可求出圆的标准方程.【详解】解：由题意，在圆中，圆过()2,0A -和()0,2B ，且以AB 为直径，设圆心为C ，半径为r ，∴2012-+=-，0212+=，AB ==∴()1,1C -，12r AB =，∴以两点()2,0A -和()0,2B 为直径端点的圆的标准方程是：()()22112x y ++-=，故答案为.()()22112x y ++-=30．若经过点(),4m 和()22,m 的直线l 与斜率为1-的直线互相垂直，则m 的值是_______.【正确答案】3-【分析】分析可知，直线l 的斜率为1，利用斜率公式可得出关于实数m 的等式，解之即可.【详解】由题意可知，直线l 的斜率为2412m k m -==-且2m ≠，所以，21m --=，解得3m =-.故答案为.3-六、解答题31．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，12AA =，点D 是BC 的中点.(1)求直线AC 与平面1C AD 所成角的正弦值；(2)求平面1C AD 与平面ABC 的夹角的余弦值.【正确答案】33(2)33【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）解：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，12AA =，点D 是BC 的中点．∴以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，()10,2,2C ，()1,1,0D ，所以()0,2,0AC = ，()10,2,2AC = ，()1,1,0AD = ，设平面1C AD 的法向量(,,)n x y z = ，则10220n AD x y n AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，则1y =-，1z =，得()1,1,1n =- ，设直线AC 与平面1C AD 所成角为θ，则3sin 323n AC n AC θ⋅===⨯⋅ 所以直线AC 与平面1C AD 33.（2）解：显然平面ABC 的一个法向量可以为()0,0,1m = ，设平面1C AD 与平面ABC 的夹角为α，则cos 3n m n mα⋅===⋅ ，所以平面1C AD 与平面ABC的夹角的余弦值为3.32．已知圆经过点()2,0P 和坐标原点，且圆心C 在直线0x y -=上(1)求圆的标准方程；(2)直线y x b =+与圆C 相交，求b 的范围.【正确答案】(1)()()22112x y -+-=(2)()2,2b ∈-【分析】（1）设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，根据题意列出方程组，求出,,a b r ，即可得解；（2）根据直线与圆相交可得圆心到直线的距离d r <，结合点到直线的距离公式即可得解.【详解】（1）设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，由题意得()22222220a b r a b r a b ⎧-+=⎪+=⎨⎪-=⎩，解得2112a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆的标准方程为()()22112x y -+-=；（2）圆C 的圆心为()1,1，半径r =圆心()1,1到直线y x b =+的距离d ==因为直线y x b =+与圆C 相交，所以d r <，<，解得22b -<<，所以()2,2b ∈-.33．已知双曲线标准方程.2213y x -=(1)求此双曲线的渐近线方程；(2)求以原点为顶点，以此双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程，过抛物线的焦点且倾斜角为4π的直线与此抛物线交于两点,A B ，求弦AB 的长度.【正确答案】(1)y =(2)8【分析】（1）根据双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线方程公式，可得答案；（2）根据双曲线的标准方程，求得其右顶点的坐标，利用抛物线的标准方程，由焦点可得方程，写出直线方程，联立写出韦达定理，结合弦长公式，可得答案.【详解】（1）由双曲线标准方程：2213y x -=，则1,a b =y =.（2）由双曲线标准方程：2213y x -=，则其右顶点坐标为()1,0，由题意可得抛物线的标准方程为24y x =，其该抛物线焦点且倾斜角为4π的直线方程为1y x =-，联立可得241y x y x ⎧=⎨=-⎩，整理可得2610x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则126x x +=，121=x x ，则128AB x =-===.34．已知F 1，F 2分别为椭圆2221100x y b +=(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点.(1)若∠F 1PF 2＝60°，且 F 1PF 2，求b 的值；(2)求|PF 1|⋅|PF 2|的最大值.【正确答案】(1)8；(2)100.【分析】（1）利用 F 1PF 2的面积得到122563PF PF ⋅=，再利用余弦定理求解；（2）结合椭圆的定义，利用基本不等式求解.【详解】（1）解：由椭圆方程知2221100x y b+=，a =10，2210036c b =-=则1220PF PF +=，由 F 1PF 2的面积为121sin 602S PF PF =⋅⋅ 解得122563PF PF ⋅=，由余弦定理得2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-⋅⋅ ，()212123400256144PF PF PF PF =+-⋅=-=，即210036b -=，所以264b =，即8b =；（2）由基本不等式得()212121004PF PF PF PF +⋅≤=，当且仅当1210PF PF ==时，等号成立，所以12PF PF ⋅的最大值为100.。
2024-2025学年广西高二数学上学期期中调研测试卷附答案解析
2024-2025学年广西高二数学上学期期中调研测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线40x +=的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．椭圆22154x y +=的焦距为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知12(1,(,2,n x n x ==-分别是平面,αβ的法向量，若αβ⊥，则x =（）A ．1B ．7C ．2-D ．24．已知直线1:20l x my ++=和直线2:(23)20l mx m y ++-=平行，则m 的值为（）A ．3B ．3或1-C ．1-D ．3-5．如图，在四面体ABCD 中，E 为DC 的中点，F 为BE 的中点，设,,AB a AC b AD c === ，则AF =（）A ．111422a b c-++ B ．111244a b c ++C ．111242a b c+- D ．111442a b c++ 6．已知,A B 是抛物线22y x =上的两点，且线段AB 的中点为(1,1)，则直线AB 的方程为（）A ．210x y --=B ．10x y +-=C ．0x y -=D ．210x y -+=7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB =1MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该抛物线上一点，点Q 是圆22(3)(2)1x y -+-=上一点，则||||PF PQ +的最小值为（）A ．4B ．3C ．5D ．58．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别12,.F F A 是C 上的一点（在第一象限），直线2AF 与y 轴交于点B ，若11AF BF ⊥，且2232AF F B =，则C 的离心率为（）A ．305B ．32C ．6D ．355二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆22:(6)16C x y ++=，设点(,)P x y 为圆上的动点，则下列选项正确的是（）A ．点P 到原点O 的距离的最小值为2B ．过点(3,0)A -的直线与圆C 截得的最短弦长为6C ．yx的最大值为1D ．过点(1,0)B -作圆的切线有2条10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列四个结论正确的有（）A ．1BC 与AC 所成角为60oB ．三棱锥1A D PC -的体积不变C ．//DP 平面11ABD D ．1DP BC ^11．已知12,F F 分别为椭圆22:143x yC +=的左、右焦点，若点12,A A 分别为椭圆C 的左、右顶点，P是椭圆C 上一动点，下列结论中正确的有（）A ．12PF PF ⋅的范围为[2,3]B ．若12F F P 为直角三角形，则12F F P 的面积为3C ．若点(1,1)B，则2PB PF +的最大值为4D ．直线12,PA PA 的斜率之积为34-三、填空题（本大题共3小题）12．若直线220mx y +-=经过两直线53170x y --=和50x y --=的交点，则m =.13．已知直线:0l x y --=，点P 为椭圆22:14y C x +=上的一个动点，则点P 到直线l 的距离的最小值为.14．一动圆与圆221:10240C x y y +++=和222:10240C x y y +--=都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与双曲线222:1(0)4x y E a a -=>的右焦点重合，双曲线E 的渐近线方程为20x =.(1)求抛物线C 的标准方程和双曲线E 的标准方程;(2)若斜率为2且纵截距为1的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，F 为抛物线C 的焦点，求FMN 的面积.16．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组[20,25)、第2组[25,30)、第3组[30,35)、第4组[35,40)、第5组[40，45].(1)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数；(2)估计抽出的100名志愿者年龄的第61百分位数；(3)若在抽出的第1组、第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自不同一组的概率.17．在ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且ABC V 的外接圆半径R 满足sin cos (cos cos )R A A c B b C =+.(1)求角A ；(2)若a =ABC V 面积的最大值.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PA 与平面PCD 所成角的余弦值；(3)在棱PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ？若存在，求出BMBP的值；若不存在，请说明理由.19．在平面直角坐标系xOy 中，若在曲线1E 的方程0(),F x y =中，以(,)x y λλ（λ为非零的正实数）代替(,)x y 得到曲线2E 的方程(,)0F x y λλ=，则称曲线12E E 、关于原点“伸缩”，变换(,)(,)x y x y λλ→称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.如果曲线221:243E x y +=经“伸缩变换”后得到曲线2E ，射线1(0)2y x x =>与12E E 、分别交于两点A ，B 且||2AB =.(1)求2E 的方程;(2)若M ，N 在2E 上，,,BM BN BD MN D ⊥⊥为垂足，求证：存在定点Q ，使得|DQ |为定值.2024-2025学年广西高二数学上学期期中调研测试卷1．【答案】A【详解】40x +=的斜率为3，故倾斜角为30︒，故选：A 2．【答案】B【详解】由题意得1c ==，则其焦距为2.故选：B.3．【答案】D【详解】由于αβ⊥，所以12n n ⊥ ，故12260n n x x ⋅=+-=，解得2x =，故选：D 4．【答案】A 【详解】由题意可得12232m m m =≠+-，则223m m +=，2230m m --=，即()()310m m -+=，解得3m =或1-，当3m =时，132392=≠-，显然成立，符合题意；当1m =-时，112112-==--，不符合题意.故选：A.5．【答案】B【详解】由F 是BE 的中点，则12BF BE = ，由E 为CD 的中点，则12DE DC = ，在ABD △中，BD AD AB =-，在ACD 中，DC AC AD =- ，()11112222AF AB BF AB BE AB BD DE AB AD AB DC ⎛⎫=+=+=++=+-+ ⎪⎝⎭()111111111224244244AB AD AC AD AB AD AC a b c =++-=++=++.故选：B.6．【答案】C【详解】设1,1,2,2,则2211222,2y x y x ==，故221212121212222y y y x x x x y y y --=-⇒=-+，由于AB 的中点为(1,1)，故122y y +=，因此12121221AB y y k x x y y -===-+,故直线方程为11y x =-+，即0x y -=，经检验，直线0x y -=与抛物线相交，满足条件.故选：C 7．【答案】A【详解】由题意设抛物线的方程为22(0)y px p =>，因为AB =，1MO =，所以点(1,B -在抛物线上，将B 的坐标代入到抛物线的方程中，可得82p =，故4p =，所以抛物线的方程为28y x =，所以抛物线的焦点F 的坐标为(2,0)，准线方程为2x =-，圆22(3)(2)1x y -+-=的圆心位()3,2H ,半径位1R =，可知圆在抛物线内部，如图：如图，过点P 作PP '与准线垂直，P '为垂足，点H 作HN 与准线垂直，N 为垂足，则||||PF PP '=，所以3214PF PQ PP PQ P Q NH R +=+≥≥-='+-='，当且仅当P ，H ，P '三点共线时，所以||||PF PQ +的最小值为4．故选：A8．【答案】D【详解】设1BF m =，如下图所示：由题意可得2BF m =，2122,233AF m AF m a ==+；又22AF F AB B =+，由11AF BF ⊥可得22211AF BF AB +=，即22222233m a m m m ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3m a =；所以2112,4,3AF a AF a BF a ===；因为111190,90AF O BF O BF O F BO ∠+∠=∠+∠=，所以11AF O F BO ∠=∠；即11cos cos AFO F BO ∠=∠，可得222112211212AF F F AF OB AF F F BF +-=，即22216442423a c a a c a+-=⨯⨯，解得c a =故选：D9．【答案】AD【详解】由题意可知：圆22:(6)16C x y ++=的圆心为()6,0-，半径4r =，对于选项A ：点P 到原点O 的距离的最小值为2PO r -=，故A 正确；对于选项B ：因为3CA r =<，可知点(3,0)A -在圆C 内，所以最短弦长为=B 错误；对于选项C ：因为yx表示直线OP 的斜率，当OP 与圆C 相切时，此时OP =，yx取到最大值255r OP ==，故C 错误；对于选项D ：因为5CB r =>，可知点B 在圆C 外，所以过点(1,0)B -作圆的切线有2条，故D 正确；故选：AD.10．【答案】ABC【详解】对于A 选项，连接AC 、11AC 、1A B ，则1111A B A C BC ==，所以，11A BC V 是等边三角形，所以1160A C B ∠=，因为11//AA CC ，11AA CC =，所以，四边形11AAC C 为平形四边形，所以，11//AC AC ，所以，异面直线1BC 与AC 所成的角等于1160A C B ∠=，A 对；对于B 选项，因为11//AB C D ，11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以，1//BC 平面1ACD ，因为1P BC ∈，所以，点P 到平面1ACD 的距离等于点B 到平面1ACD 的距离，为定值，又因为1ACD △的面积为定值，故三棱锥1P ACD -的体积为定值，B 对；对于C 选项，由B 选项可知，11//BC AD ，因为1BC ⊄平面11AB D ，1AD ⊂平面11AB D ，所以，1//BC 平面11AB D ，同理可证//BD 平面11AB D ，因为1BC BD B = ，1BC 、BD ⊂平面1BC D ，所以，平面1//BC D 平面11AB D ，因为DP ⊂平面1BC D ，所以，//DP 平面11AB D ，C 对；对于D 选项，若1DP B C ⊥，且四边形11BB C C 为正方形，则11B C BC ⊥，因为1DP BC P = ，DP 、1BC ⊂平面1BC D ，则1B C ⊥平面1BC D ，又因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，则1B C AB ⊥，因为11B C BC ⊥，1AB BC B =I ，AB 、1BC ⊂平面11ABC D ，所以，1B C ⊥平面11ABC D ，又因为过点P 有且只有一个平面与直线1B C 垂直，矛盾，假设不成立，D 错.故选：ABC.11．【答案】ACD【详解】对于A ，()()121,0,1,0F F -，设()00,P x y ，2200143x y +=，则22003(4)4y x =-，故()()2222212000000000311,1,1(4)1244PF PF x y x y y x x x x ⋅=---⋅--=+-=-+-=+ ，由于2004x ≤≤，故[]2120122,34PF PF x ⋅=+∈ ，A 正确，对于B ，当212PF F F ⊥时，此时31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，故12F F P 的面积为12113322222P F F y =⨯⨯=，故B 错误，对于C ，由于1(1,0)F -，又(1,1)B ，所以1||BF =所以21114444PB PF PB PF PB PF BF +=+-=+-≤+=+当且仅当1,,P B F 三点共线时，且1F 在,P B 之间时取等号，故C 正确．对于D ，由椭圆22:143x y C +=，得()12(2,0),2,0A A -，设()00,P x y ，则1220002000224PA PA y y y k k x x x =⨯=+--，又2200143x y +=，则22003(4)4y x =-，所以12220022003(4)34444PA PAx y k k x x -===---，故D 正确；故选：ACD12．【答案】10【详解】联立5317050x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得14x y =⎧⎨=-⎩，将点()1,4-代入到直线220mx y +-=，得820m --=，故10m =.故答案为：10.13．【答案】【详解】由点P 在椭圆22:14y C x +=上，设(cos ,2sin ),R P θθθ∈，则点P 到直线l的距离d =，其中锐角ϕ由1tan 2ϕ=确定，而1sin()1θϕ--≤≤，则当sin()1θϕ-=-时，min d =所以点P 到直线l的距离的最小值为故答案为：14．【答案】221(0)916y x y -=<【详解】圆221:(5)1C x y ++=的圆心1(0,5)C -，半径11r =，圆222:(5)49C x y +-=的圆心2(0,5)C ，半径27r =，设动圆的圆心(,)P x y ，半径为r ，依题意，1217PC rPC r ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，则2112||||610||PC PC C C -=<=，因此动圆的圆心P 的轨迹是以12,C C 为焦点，实轴长为6的双曲线下支，实半轴长3a =，半焦距5c =，虚半轴长4b ==，方程为221(0)916y x y -=<.故答案为：221(0)916y x y -=<15．【答案】(1)212y x =，22154x y -=；.【详解】（1）双曲线222:1(0)4x y E a a -=>的渐近线方程为20x ay ±=，而双曲线E的渐近线方程为20x =，则a =，双曲线E 的方程为22154x y -=，双曲线E 的右焦点坐标为(3,0)，而抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p，于是32p=，解得6p =，所以抛物线C 的标准方程为212y x =.（2）直线l 的方程为21y x =+，由22112y x y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2660y y -+=，2646120∆=-⨯=>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,6y y y y +==，12||y y -==令直线l 与x 轴的交点为A ，1(,0)2A -，由（1）知(3,0)F ，所以FMN的面积12117||||2222FMN S AF y y =-=⨯⨯=.16．【答案】(1)0.07x =，175(2)33(3)1115【详解】（1）()0.020.060.040.0151x ++++⨯=，解得0.07x =，5000.075175⨯⨯=，估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数为175.（2）设第61百分位数为y ，由()0.020.060.0750.750.61++⨯=>，()0.020.0650.40.61+⨯=<，则[)30,35y ∈，可得()()0.020.0650.07300.61y +⨯+⨯-=，解得33y =.（3）第1组、第2组和第4组的人数之比为0.02:0.06:0.041:3:2=，抽取的6人中第1组、第2组和第4组的人数分别为1,3,2，从这6名中抽取的2名志愿者中恰好来自不同一组的概率111111133212222666C C C C C C 11++C C C 15P ==.17．【答案】(1)π3A =；(2)334.【详解】（1）在ABC V 中，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===及sin cos (cos cos )R A A c B b C =+，得()()1sin cos cos cos 2cos sin cos sin cos 2a R A A c Bb C R C C B B C ==+=+()2cos sin 2cos sin cos R A B C R A A a A =+==，解得1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =.（2）由（1）知，π3A =，a =由余弦定理得2222232cos a b c bc A b c bc bc ==+-=+-≥，当且仅当b c ==因此1333sin 244ABC S bc A ==≤ ，所以ABC V 面积的最大值为334.18．【答案】(1)证明见解析(2)13(3)存在，且13BM BP =【详解】（1）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，所以，AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以，AB PD ⊥，因为PD PA ⊥，PA AB A = ，PA 、AB ⊂平面PAB ，所以，PD ⊥平面PAB .（2）解：取AD 中点为O ，连接OC 、OP ，又因为PA PD =，则PO AD ⊥，则1AO PO ==，因为AC CD ==，则OC AD ⊥，则2CO =，在平面ABCD 内，因为OC AD ⊥，AB AD ⊥，则//OC AB ，因为AB ⊥平面PAD ，则OC ⊥平面PAD ，以点O 为坐标原点，OC 、OA 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则0,0,1、()1,1,0B 、()0,1,0D -、()0,1,0A 、()2,0,0C ，则()0,1,1PA =- ，()0,1,1DP = ，()2,1,0DC = ，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，则020n DP y z n DC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,2,2n =- ，设PA 与平面PCD 的夹角为θ，则sin cos ,3n PA n PA n PA θ⋅====⋅ ，则1cos 3θ==，所以，直线PA 与平面PCD 所成角的余弦值为13.（3）解：设()()1,1,1,,BM BP λλλλλ==-=- ，其中01λ≤≤，则()()()1,0,0,,1,,AM AB BM λλλλλλ=+=+-=+- ，因为//AM 平面PCD ，则122130AM n λλλλ⋅=+--=-= ，解得13λ=，因此，在棱PB 上存在点M ，使得//AM 平面PCD ，且13BM BP =.19．【答案】(1)22163x y +=(2)详见解析.【详解】（1）解：设伸缩比为λ，则曲线2E 的方程为2222243x y +=λλ.由221,(0)2243y x x x y ⎧=>⎪⎨⎪+=⎩解得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即1(1,)2A ,由22221,(0)2243y x x x y λλ⎧=>⎪⎨⎪+=⎩解得112x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11(,)2B λλ,因为||AB =224111(1)()225-+-=λλ，解之得12λ=，所以曲线2E 的方程为22163x y +=（2）证明：当直线MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN 方程为y kx m =+（k 为斜率），联立方程得22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，222(12)4260k x kmx m +++-=，直线MN 与椭圆交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，所以0∆>，即228(63)0k m -+>，由韦达定理可得，122412km x x k -+=+，21222612m x x k -=+，因为(2,1)B 且BM BN ⊥，所以0BM BN ⋅= ，则1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，即121212122()()50x x x x y y y y -++-++=，其中22121212()y y k x x km x x m =+++，1212()2y y k x x m +=++，所以221212(1)(2)()250k x x km k x x m m ++--++-+=，于是可得22222264(1)()(2)()2501212m km k km k m m k k --++--+-+=++化简整理可得22483210k km m m ++--=，即(231)(21)0k m k m +++-=.所以2310k m ++=或210k m +-=，经检验两式均能使0∆>.当2310k m ++=时，直线MN 方程为3312y kx k =--，则直线BD 方程为1(2)1y x k =--+，设点D 的坐标为(,)x y ，则由33121(2)1y kx ky x k =--⎧⎪⎨=--+⎪⎩消去参数k ，可得22338230x y x y +--+=，即22418()()339x y -+-=，此时存在定点41(,)33Q 使得|DQ |为定值3；当210k m +-=时，直线MN 方程为12y kx k =+-，则直线BD 方程为1(2)1y x k =--+，设点D 的坐标为(,)x y ，则由121(2)1y kx ky x k =+-⎧⎪⎨=--+⎪⎩消去参数k ，可得224250x y x y +--+=，即22(2)(1)0x y -+-=，所以点(2,1)D 与点(2,1)B 重合，不符合题意，故舍去.当0k =时，可由2310k m ++=求得，13m =-，所以1(2,)3D -，可验证点1(2,)3D -在圆22418()()339x y -+-=上，此时存在定点41(,)33Q 使|DQ |为定值当直线MN 的斜率不存在时，不妨设直线MN 方程为x n =，由22260x nx y =⎧⎨+-=⎩可解得点(M n，(,N n ，由0BM BN ⋅= 可得：(2)(2)1)(1)0n n --+=，解之得23n =（2n =舍去），所以点2(,1)3D ，可验证点2(,1)3D 在圆22418()()339x y -+-=上，此时存在定点41(,)33Q 使|DQ |为定值3.综上所述，存在定点41(,)33Q 使|DQ |为定值.。
2023-2024学年山西省高二年级第二学期期中考试数学质量检测模拟试题 (含解析)
2023-2024学年山西省高二年级第二学期期中考试数学模拟试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（）A.14B.64C.72D.802.已知随机变量X 服从两点分布，()0.6E X =，则其成功概率为（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.63.64()(21)x a x -++的展开式中，3x 的系数为12，则实数a 的值为（）A.-1B.0C.1D.24.一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为324150146146146520C C C C C C C ++的事件是（）A.没有白球B.至多有2个黑球C.至少有2个白球D.至少有2个黑球5.对任意实数x ，有()4234012342(2)(2)(2)x a a x a x a x a x =++++++++，则01a a +的值为（）A.20- B.16- C.22D.306.小王､小李等9名同学相约去游玩，在某景点排成一排拍照留念，则小王不在两端，且小李不在正中间位置的概率是（）A.2536 B.914 C.58D.17287.已知随机变量()21,,6,,,3X Y X B Y N μσ⎛⎫~~ ⎪⎝⎭，且()()E X E Y =，又()()23P Y m P Y m ≤-=≥，则实数m 的值为（）A.1-或4B.1- C.4或1D.58.已知数列{}n a 满足121232n n n n n a a a a a ++++⋅=-，且1211,3a a ==，数列()(){}121nn n a λ+-的前n 项和为n S ，若n S 的最大值仅为8S ，则实数λ的取值范围是（）A 11,1011⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.11,89⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.11,1011⎛⎤--⎥⎝⎦ D.11,89⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知随机变量X 满足()()5,2E X D X ==，则下列选项正确的是（）A.()2111E X +=B.()2110E X +=C ()219D X += D.()218D X +=10.高二年级安排甲､乙､丙三位同学到,,,,,A B C DEF 六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）A.如果社区B 必须有同学选择，则不同的安排方法有88种B.如果同学乙必须选择社区C ，则不同的安排方法有36种C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种D.如果甲､丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种11.已知233331124561011A C C C C C A n n n n --=+++++⋅ ，则n 的值可能为（）A.2B.4C.7D.912.某商场举办一项抽奖活动，规则如下：每人将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，记第i 次正面朝上的点数为()1,2,3i a i =，若“123a a a <<”，则算作中奖，现甲､乙､丙､丁四人参加抽奖活动，记中奖人数为X ，下列说法正确的是（）A.若甲第1次投掷正面朝上的点数为3，则甲中奖的可能情况有4种B.若甲第3次投掷正面朝上的点数为5，则甲中奖的可能情况有6种C.甲中奖的概率为554P =D.()1027E X =三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.8312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为__________．14设随机变量13,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1P X ≥=__________．15.由0,1,2,3,4,5,6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个．16.已知,A B 两个不透明的盒中各有形状､大小都相同的红球､白球若干个，A 盒中有(08)m m <<个红球与8m -个白球，B 盒中有8m -个红球与m 个白球，若从,A B 两盒中各取1个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则()D ξ的最大值为__________．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．17.已知有9本不同的书．（1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）18.已知二项式nx⎛ ⎝的展开式中，所有项的二项式系数之和为a ，各项的系数之和为b ，32a b +=（1）求n 的值；（2）求其展开式中所有的有理项．19.为迎接2023年美国数学竞赛()AMC ，选手们正在刻苦磨练，积极备战，假设模拟考试成绩从低到高分为1、2、3三个等级，某选手一次模拟考试所得成绩等级X 的分布列如下：X123P0.30.50.2现进行两次模拟考试，且两次互不影响，该选手两次模拟考试中成绩的最高等级记为ξ．（1）求此选手两次成绩的等级不相同的概率；（2）求ξ的分布列和数学期望．20.设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）．（1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率；（2）先从乙袋中取2个球放人甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，上顶点为B ，过,A B 两点的直线平分圆222)(4(x y ++-=的面积，且3BF BO ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线():20l y x m m =-≠与椭圆E 相交于,H M 两点，且点()0,N m ，当HMN △的面积最大时，求直线l 的方程．22.已知函数()ln 1af x x x=+-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，且12x x >．证明：12121x x a+>．答案解析一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【正确答案】B【2题答案】【正确答案】D【3题答案】【正确答案】C【4题答案】【正确答案】B【5题答案】【正确答案】B【6题答案】【正确答案】A【7题答案】【正确答案】A【8题答案】【正确答案】B二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【正确答案】AD【10题答案】【正确答案】BD【11题答案】【正确答案】BC【12题答案】【正确答案】BCD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【正确答案】7【14题答案】【正确答案】1927【15题答案】【正确答案】90【16题答案】【正确答案】12##0.5四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．【17题答案】【正确答案】（1）280（2）1260【18题答案】【正确答案】（1）4（2）42135,54,81T x T x T x-===【19题答案】【正确答案】（1）0.62（2）分布列见解析，() 2.27E ξ=【20题答案】【正确答案】（1）835（2）727【21题答案】【正确答案】（1）22143x y +=；（2）142y x =+或142y x =-．【22题答案】【正确答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）证明见解析.。
高二数学期中考试模拟卷(含答案)
高二数学期中复习2班级： 姓名： 学号：一、单选题1．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为A 3RB ．324RC ．38R D ．38R 2．设两条直线的方程分别为已知是方程的两个实根，且 ，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ） A ． B ． C ． D ．3．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5C A B C =+=，且4S =，则c =（ ）B.4C.3D.54．在正方体1111ABCD A B C D -中， E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1D AE ， 记1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ， 下列说法正确的是个数是（ ）①点F 的轨迹是一条线段 ②1A F 与1D E 不可能平行③1A F 与BE 是异面直线 ④tan θ≤⑤当F 与1C 不重合时，平面11A FC 不可能与平面1AED 平行A.2B.3C.4D.5 5．A ．B ．C ．D ． 6．（3分）已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若αβ⊥，//m α，则m β⊥； ②若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥； ③若m β⊥，//m α，则αβ⊥； ④若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ．其中正确命题的序号是（ ）7.A ．B ．C ．D ．8．已知三点坐标分别为：(1,1),(1,3),(2,)A B C x --，且满足三点共线，则x =（ ）A ．5B ．-5C ．4D ．-49．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知0a >，0b >是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．2二、填空题11.12．13.14．在正方体ABCD--A 1B 1C 1D 1中，则A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的大小为________.15．已知直线l 与直线1y =，70x y --=分别相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点坐标为11)-（，，那么直线l 的斜率为______. 16．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，在这个四棱锥的所有表面及面PAC 、面PBD 中，一定互相垂直的平面有_________对．三、解答题17．如图，ABC ∆中A 为钝角，过点A 作AD AC ⊥交BC 于D ，已知2AB AD ==.（1）若30B =︒，求BAD ∠的大小；（2）若3BC BD =，求BD 的长.18．如图，在ABC ∆中，(5,2)A -，(7,4)B ，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上.（1）求点C 的坐标；（2）求ABC ∆的面积.．19．已知数列的首项，前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设31log n n b a +=，求数列的前项和20．直线过点P 4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．21．如图1，在平行四边形ABCD 中，2AB AD =，60DAB ∠=︒，点E 是AB 的中点，点F 是CD的中点．分别沿DE BF ，将ADE 和CBF V 折起，使得面ADE ∥面CBF (点A C ，在平面BFDE 的同侧)，连接AC CE ，，如图2所示．(1) 求证：CE BF ⊥；(2) 当2AD =，且面CBF ⊥面BFDE 时，求二面角B AC D --的余弦值．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//90AB DC ABC ∠=，，且6,2,PA PB PC AB CD BC E PA ======为中点．（1）求证：BD PA ⊥；（2）求直线PC 与平面BDE 所成角的正弦值．参考答案1．B【解析】【分析】根据圆锥侧面展开图求高，再根据体积公式得结果.【详解】设圆锥底面半径为r ,则2r πR,r ,2R π==因为圆锥母线长为R ，因此体积为231π()32R R =,选B. 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图以及圆锥体积，考查基本分析求解能力，属基础题.2．D【解析】试题分析：由题意，两条直线之间的距离为，故． 考点：1、平行线的距离公式；2、根与系数的关系；3、函数的最值．3．A 【解析】分析：由正弦定理可得2c a b =+，由余弦定理可得2223cos 25a b c C ab +-==，由三角形的面积公式10ab =，解方程组即可得结果.详解：在ABC ∆中，2sin sin sin B A C =+，由正弦定理可得2c a b =+，2223cos 25a b c C ab +-==，且4ABC S ∆=， 则1sin 42ab C =，由于4sin 5C =，10ab ∴=， ()2223205a b ab c +--∴=，解得224203205c c --=，则c= A.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.4．C【解析】由上图可得F MN∈，故①正确；当F与M重合时1A F与1D E平行，故②错误；1A F与BE既不平行也不相交，直线1A F与BE是异面直线，故③正确；F为MN中点时1B F最小，此时11max1tanA BB Fθ===,故④正确；显然平面11A FC不可能与平面1AED平行，故⑤正确，综上正确命题有4个，故选C.5．B【解析】由题意，因为，则，解得；又，则，解得，所以，故选B。
2023-2024学年河北省唐山市十县高二上学期期中考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河北省唐山市十县高二上册期中考试数学模拟试题一、单选题1．直线l ：230x y -+=的斜率和在x 轴上的截距分别为（）A ．12，3B ．12，3-C ．12-，3D ．12-，3-【正确答案】B【分析】由230x y -+=可得322x y =+，据此可得答案.【详解】323022x x y y -+=⇔=+，则直线斜率为12，又令0y =，则30322x x +=⇒=-，故直线在x 轴上的截距分别为3-.故选：B2．已知点B 、C 分别为点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 和Oyz 内的射影，则BC =（）A B ．5CD ．【正确答案】A【分析】求出点B 、C 的坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得BC 的值.【详解】因为点B 、C 分别为点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 和Oyz 内的射影，则()3,4,0B 、()0,4,5C ，因此，BC =.故选：A.3．直线1l ：16x y -+=，直线2l ：30x y --=，则1l 与2l 之间的距离为（）A B ．2C ．D ．4【正确答案】C【分析】根据平行线的距离公式d .【详解】d =故选:C.4．已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，则以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为（）A ．8B ．4C ．D ．【正确答案】D【分析】先求出OA ，OB 的长度和夹角，再用面积公式求出OAB 的面积进而求得四边形的面积.【详解】因为O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，所以OA ==，2OB =，1,2),OA OB ==-11221cos ,2OA OB -+⨯== ，所以sin ,2OA OB = ，以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为1222ABC S =⨯⨯= 故选：D.5．已知圆M 的半径为r 且圆心在x 轴上，圆M 与圆22:220N x y x y +--=相交于AB 两点，若直线AB 的方程为y x =，则（）A ．AB =r B ．AB 4=，rC ．AB =2r =D ．AB 4=，2r =【正确答案】C【分析】分析可知圆心N 在直线AB 上，可求得AB ，求出圆心M 的坐标，可求得圆心M 到直线AB 的距离，利用勾股定理可求得r 的值.【详解】圆N 的标准方程为()()22112x y -+-=，圆心为()1,1N易知点N 在直线AB 上，所以，AB =因为圆心N 在直线AB 上，则圆心N 为线段AB 的中点，易知过圆心N 且与直线AB 垂直的直线的方程为20x y +-=，该直线交x 轴于点()2,0M ，点M 到直线AB 的距离为d ==2r ∴==.故选：C.6．已知直线1l 与直线2:20l x y a -+=关于x 轴对称，且直线1l 过点()2,1，则=a （）A ．5-B ．5C ．4-D ．4【正确答案】A【分析】分析可知，直线2l 经过点()2,1关于x 轴的对称点，由此可求得实数a 的值.【详解】点()2,1关于x 轴的对称点的坐标为()2,1-，由题意可知，直线2l 过点()2,1-，则2210a ⨯++=，解得5a =-.故选：A.7．在棱长为3的正四面体ABCD 中，2AM MB = ，2CN ND =，则MN = （）A ．2B CD ．【正确答案】B【分析】将MN 用AB、AC 、AD 表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得MN .【详解】因为2AM MB =，所以，23AM AB = ，又因为2CN ND =，则()2AN AC AD AN -=- ，所以，1233AN AC AD =+ ，所以，122333MN AN AM AC AD AB =-=+- ，由空间向量的数量积可得293cos602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅==，因此，1223MN AC AD AB =+-==故选：B.8．已知P 是圆()22:54C x y -+=上一动点，()1,0A -，M 为线段AP 的中点，O 为坐标原点，则（）A ．22MA MO +为定值B ．22MA MC +为定值C ．22MO MC +为定值D ．222MA MO MC ++为定值【正确答案】B【分析】设点()00,P x y ，可得220001021x y x +=-，求出点M 的坐标，利用平面两点间的距离公式化简可得出合适的选项.【详解】设点()00,P x y ，则()220054x y -+=，可得220001021x y x +=-，则点001,22x y M -⎛⎫ ⎪⎝⎭.圆C 的圆心为()5,0C ，半径为2.对于A 选项，()22222200000022022********M x y x x y y A M x O +++-⎛⎫=+++=⎝+ ⎪⎭()0002102121224144x x x -++-==不是定值，A 错；对于B 选项，222222000002021110611524242M x y x y x y x A MC --+-+⎛⎫⎛⎫=++-+=⎪ ⎪⎝⎝+⎭⎭0010211061202x x --+==，B 对；对于C 选项，()()2222220000020020022212121021221214441524x y x x x x y MO M x y C +-+--+++=+==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭7924x -=不是定值，C 错；对于D 选项，()222222222220000000003201221115244244x y x x y x y x y MA MO MC +-+-+-⎛⎫⎛⎫++=++++-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0003102120122105944x x x --++==不是定值，D 错.故选：B.二、多选题9．已知平行六面体111ABCD A B C D -，则下列各式运算结果是1AC uuu r的为（）A ．1AB AD AA ++B ．11111AA A B A D ++C ．1AB BC CC ++ D ．1AB AC CC ++ 【正确答案】ABC【分析】利用空间向量的加法化简可得出合适的选项.【详解】如下图所示：对于A 选项，111AB AD AA AB BC CC AC ++=++=，A 对；对于B 选项，1111111A C A B B A B C C A A D =+++=+，B 对；对于C 选项，11AB BC CC AC =++，C 对；对于D 选项，111AB AC CC AB BC C AC C +=+++≠，D 错.故选：ABC.10．直线:310l x ++=，则（）A ．点(3-在l 上B ．l 的倾斜角为5π6C ．l 的图象不过第一象限D ．l 的方向向量为)3,1【正确答案】BC【分析】利用点与直线的位置关系可判断A 选项；求出直线l 的斜率，可得出直线l 的倾斜角，可判断B 选项；作出直线l 的图象可判断C 选项；求出直线l 的方向向量，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，22310-++≠ ，所以，点(3-不在l 上，A 错；对于B 选项，直线l 的斜率为33k =-，故l 的倾斜角为5π6，B 对；对于C 选项，直线l 交x 轴于点()1,0-，交y 轴于点30,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，如下图所示：由图可知，直线l 不过第一象限，C 对；对于D 选项，直线l 的一个方向向量为)1-，而向量)1-与这里(不共线，D 错.故选：BC.11．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P ，Q 分别为棱A 1D 1，B 1B ，AB ，D 1D 的中点，则（）A ．MN PQ=B ．直线MN 与直线BQ 相交C ．点Q 到直线MND ．点D 到平面MNP 的距离为11【正确答案】AC【分析】A 选项：用勾股定理可求出长度；B 选项：作BQ 的平行线与MN 相交，则可判断是否为异面直线；C 选项：求出三边长度，即可求出结果；D 选项：过点M 做//MH DP ，利用线面平行将点M 到平面DPN 的距离转化为点H 到平面DPN 的距离，等体积转化得到D MPN V -=D HPN V -，求体积和面积计算距离.【详解】A 选项：MN PQ =，故A 正确；B 选项：连接1D N ，则1D N 与MN 相交，1//BQ D N ，则MN 与BQ 为异面直线，故B 错误；C 选项：连接,MQ QN，则MQ =，QN =MN =MQ MN ⊥，所以Q 到直线MN 的距离即为MQ ，故C 正确；D 选项：过点M 做//MH DP ，DP ⊂平面DPN ，MH ⊄平面DPN ，则//MH 平面DPN ，所以点M到平面DPN 的距离等于点H 到平面DPN 的距离，点H 到直线PN 3424+=，1524HPN S == ，又点D 到平面HPN 的距离为2，所以1552346M DPN H DPN D HPN V V V ---===⨯⨯=，又D MPN V -=M DPN V -，MP =PN =MN =1222PMN S ==，设点M 到平面DPN 的距离为h ，则有15326h ⨯⨯=，所以11h =，故D 错误.故选：AC12．已知()1,0A 、()4,0B ，P 为圆22:4C x y +=上一动点，则（）A ．PAB S 的最大值为3B ．PA PB +的最大值为9C ．A 到直线PB 距离的最大值为43D ．2PB PA=【正确答案】ABD【分析】求出点P 到直线AB 的最大距离，结合三角形的面积公式可判断A 选项；求出PBA ∠的最大值，可得出A 到直线PB 距离的最大值，可判断C 选项；利用平面两点间的距离公式结合圆的方程可判断D 选项；利用圆的几何性质可判断B 选项.【详解】对于A 选项，圆C 上的一点P 到直线AB 的最大距离为圆C 的半径2，故PAB S 的最大值为1232AB ⨯⨯=，A 对；对于C 选项，如下图所示：点A 到直线PB 的距离为sin AB PBA ∠，圆C 的圆心为原点O ，当直线PB 与圆C 相切时，此时PBA ∠最大，则点A 到直线PB 的距离取最大值，连接OP ，则OP PB ⊥，则122OP OB ==，故30PBA ∠=o ，因此，点A 到直线PB 的距离为33sin 302=，C 错；对于D 选项，设点()00,P x y ，则22004x y +=，所以，2PB =2PA ===，D 对；对于B 选项，()33369222PA PB PB PO OB +=≤+=⨯=，当且仅当点P 为直线BO 与圆C 的交点，且点O 在线段BP 上时，等号成立，所以，PA PB +的最大值为9，B 对.故选：ABD.三、填空题13．已知向量()1,2,1a =- ，()2,,1b k =，()()a b a b +⊥- ，则k =__________．【正确答案】1±【分析】分析可得()()220a b a b a b +⋅-=-= ，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数k 的值.【详解】因为()()a b a b +⊥- ，则()()()222650a b a b a b k +⋅-=-=-+= ，解得1k =±.故答案为.1±14．设直线1l ：210ax y -+=，直线2l ：()30x a y a +-+=，若1l ∥2l ，则实数a ＝____________．【正确答案】2【分析】由两直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=平行，可得12210A B A B -=，由此列式求出a 的值，然后再检验即可．【详解】若1l ∥2l ，则(3)(2)10a a ---⨯=，解得2a =或1a =，当2a =时，直线1l ：2210x y -+=，直线2l ：20x y -+=，符合题意；当1a =时，直线1l ：210x y -+=，直线2l ：210x y -+=，两直线重合，不符合题意.故2．15．已知圆锥PO (P 为圆锥顶点，O 为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形，A ，B ，C 为底面圆周上三点，空间一动点Q ，满足()1PQ xPA yPB x y PC =++--，则PQ 的最小值为____________．【分析】化简向量关系式证明,,,Q A B C 四点共面，结合轴截面特征可求PQ的最小值.【详解】因为()1PQ xPA yPB x y PC =++--，所以x PQ PC xPA y P PB P C C y --+-= ，CQ xCA yCB =+ ，所以,,CQ CA CB共面，又A ，B ，C 为底面圆周上三点，所以点Q 为平面ABC 上一点，由已知PO ⊥平面ABC ，所以PQ PO ≥ ，又圆锥PO 的轴截面是边长为2的等边三角形，所以PO =，所以PQ16．设直线l ：()()110R a x ay a +--=∈与圆C ：224x y +=交于,A B 两点，则AB 的取值范围是___________．【正确答案】4]【分析】由直线系方程求得直线所过定点，求出圆心到定点的距离，再确定弦长最短和最长时的位置，求得弦长，即可得到AB 的取值范围．【详解】直线l ：()()110R a x ay a +--=∈即为()10a x y x -+-=，由010x y x -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩,可得直线l 过定点(1,1)P ，圆C ：224x y +=的圆心坐标为(0,0)C ，半径2r =，由于22114+<,故(1,1)P 在圆C ：224x y +=内，||CP ==，则当直线l CP ⊥时，AB 最小，min ||AB =AB 的最大值即为圆的直径，∴AB 的取值范围是⎡⎤⎣⎦故⎡⎤⎣⎦．四、解答题17．已知ABC 三个顶点的坐标分别为()2,4A 、()1,1B -、()9,3C -，求：(1)BC 边上的中线所在直线的方程；(2)BC 边上的高所在直线的方程；(3)BAC ∠的平分线所在直线的方程．【正确答案】(1)52180x y +-=(2)5220x y --=(3)2x =【分析】（1）求出线段BC 的中点坐标，利用两点式可得出BC 边上的中线所在直线的方程；（2）求出直线BC 的斜率，可得出BC 边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；（3）分析可得0AB AC k k +=，数形结合可得出BAC ∠的平分线所在直线的方程.【详解】（1）解：BC 的中点为()41-,，所以BC 边上的中线所在直线的方程为421442y x --=---，整理可得52180x y +-=.（2）解：132195BC k +==--- ，则BC 边上的高所在直线的斜率为52，所以BC 边上的高所在直线的方程为()5422y x -=-，整理可得5220x y --=.（3）解：41121AB k -==+ ，43129AC k +==--，所以0AB AC k k +=，所以，BAC ∠的平分线所在直线的方程为2x =.18．已知长方体111ABCD A B C D -中，2AB =，4BC =，13AA =，点M ，N 分别在棱CD ，11A D 上，且11A N =，DM a =．(1)若1MN B N ⊥，求a ；(2)若MN 平面1A BD ，求a ．【正确答案】(1)32a =(2)12a =【分析】以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，（1）得出MN 与1B N 的坐标，由已知得出10MN B N ⋅= ，即可列式解出答案；（2）得出MN 与1A B uuu r 的坐标，求出平面1A BD 的法向量，即可根据已知MN 平面1A BD ，列式求解得出答案.【详解】（1）以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,4,0D ，()12,0,3B ，(),4,0M a ，()0,1,3N ，所以(),3,3MN a =-- ，()12,1,0B N =- ，1MN B N ⊥ ，10MN B N ∴⋅= ，即230a -=，解得32a =；（2）由（1）得(),3,3MN a =-- ，()10,0,3A ，()2,0,0B ，()12,0,3A B =- ，设平面1A BD 的法向量为n，则100BD n A B n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，取()6,3,4n = 由MN 平面1A BD ，得0n MN ⋅= ，解得12a =.19．在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =2，AA 1=M 为BB 1的中点．(1)求AB 与平面MAC 所成角的正弦值；(2)证明：平面MA 1C 1⊥平面MAC ．【正确答案】4(2)证明见解析【分析】建立空间直角坐标系,利用线面角公式即可算出答案；利用两个平面的法向量的数量积为零，即可证明.【详解】（1）解：取AC 的中点O ，则OB AC ⊥，以O 为原点．以OA ，OB 为x ，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．即O (0，0，0)，A (1，0，0)，C (-1，0，0)，B (030)，M (033所以()1,3,0AB =- ，()2,0,0AC =- ，(1,3,3AM =- 设平面MAC 的法向量为n，则00AC n AM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取()0,1,1n =- 所以()36cos 4,22AB n ==⨯ 故AB 与平面MAC 64（2）解：由（1）得A 1(1，0，23，C 1(-1，0，23，则()(1112,0,01,3,3A C A M =-=-- 设平面11MA C 的法向量为m ，则11100A C m A M m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取()0,1,1m = 所以0m n ⋅= ，即m n ⊥ ，故平面MA 1C 1⊥平面MAC ．20．已知圆O ：221x y +=与圆C ：22680x y x y m +--+=相外切．(1)求m 的值；(2)若直线l 与圆O 和圆C 都相切，求满足条件的所有l 的方程．【正确答案】(1)9m =(2)10x +=或724250x y --=或3450x y +-=【分析】(1)把两圆相外切转化为圆心间距离等于半径和,计算求解即可.(2)先设直线再满足直线和圆相切即圆心到直线距离等于半径,计算得解.【详解】（1）圆O 的圆心为O (0，0)，半径1r =由圆C ：22680x y x y m +--+=得()()223425x y m -+-=-，25m <．所以圆C 的圆心C (3，4)，半径R 因为两圆相外切，所以1OC R =+，5OC ==,4=，解得9m =（2）由（1）得圆C ：()()223416x y -+-=①当直线l 的斜率不存在时，设l 的方程为x t=依题意134t t ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得1t =-，即l 的方程为=1x -②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，依题意14⎧=⎪⎪=，所以344k b b +-=当344k b b +-=时，334b k =-，代入上式可得()223491)(k k -=+，解得724k =，即2524b =-所以此时l 的方程为7252424y x =-当344k b b +-=-时543b k =-，代入上式可得()()2243251k k -=+，解得34k =-即54b =所以此时l 的方程为3544y x =-+故满足题设的l 的方程为10x +=或724250x y --=或3450x y +-=．21．如图，四边形ABCD 为正方形，以BD 为折痕把BCD △折起，使点C 到达点P 的位置，且二面角A BD P --为直二面角，E 为棱BP 上一点．(1)求直线AD 与BP 所成角；(2)当PE EB 为何值时，平面ADE 与平面PAB 23【正确答案】(1)60 (2)12PE EB =【分析】（1）连接AC 、BD ，设AC BD O = ，推导出PO ⊥底面ABD ，然后以O 为原点，以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴的正方向建立如图空间直角坐标系，设1OA =，利用空间向量法可求得直线AD 与BP 所成角；（2）设PE PB λ= ，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，解之即可得出结论.【详解】（1）解：连接AC 、BD ，设AC BD O = ，则O 为BD 的中点，由已知AB AD =，PB PD =，则OP BD ⊥，AO BD ⊥，所以AOP ∠为二面角A BD P --的平面角，所以90AOP ∠= ，因此AO OP ⊥，因为AO BD O = ，AO 、BD ⊂平面ABD ，故PO ⊥底面ABD ．以O 为原点，以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设1OA =．则()1,0,0A 、()0,1,0B 、()0,1,0D -、()0,0,1P ，()1,1,0AD =-- ，()0,1,1BP =- ，所以1cos ,222AD BP AD BP AD BP ⋅<>===⨯⋅ ，故直线AD 与BP 所成角为60 ．（2）解：设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z = ，()1,1,0AB =-uu u r ，()1,0,1AP =- ，则111100m AB x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11x =，可得()1,1,1m = ，设()()0,1,10,,PE PB λλλλ==-=- ，其中01λ≤≤，()()()1,0,10,,1,,1AE AP PE λλλλ=+=-+-=-- ，()1,1,0AD =-- ，设平面ADE 的法向量为()222,,x n y z = ，则()22222010n AD x y n AE x y z λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，取1x λ=-，可得()1,1,1n λλλ=--+ ，由题意可得cos ,3m n m n m n ⋅<>==⋅ ，因为01λ≤≤，解得13λ=，则13PE PB = ，故12PE EB =，因此，当12PE EB =时，平面ADE 与平面PAB 夹角的余弦值为23.22．已知圆C ：()222(0)x a y r r -+=>，四点P 1(1，1)，P 2(0，2)，P 3(1，P 4(1，中恰有三点在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)设以k 为斜率的直线l 经过点Q (4，-2)，但不经过点P 2，若l 与圆C 相交于不同两点A ，B ．①求k 的取值范围；②证明：直线P 2A 与直线P 2B 的斜率之和为定值．【正确答案】(1)224x y +=(2)①413k -<<-或10k -≤<；②证明见解析【分析】（1）先判断出2P ，3P ，4P 在圆C 上，然后通过列方程组的方法求得,a r ，从而求得圆C 的方程.（2）①将直线l 的方程代入圆C 的方程，化简后利用0∆>求得k 的取值范围.②利用根与系数关系证得22P A P B k k +为定值.【详解】（1）显然圆C 关于x 轴对称，3P (1，4P (1，关于x 轴对称，所以3P 、4P 在圆C 上，因此1P 不在圆C 上，即2P ，3P ，4P 在圆C 上，代入圆的方程可得:()2222413a r a r ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得02a r =⎧⎨=⎩．所以圆C 的方程为224x y +=．（2）直线l ：2(4)y k x +=-，1k ≠-．①将直线l ：2(4)y k x +=-代入圆C 的方程得()()222218416160k x k k x k k +-+++=．()()()2222844116160k k k k k ∆=+-++>，解得403k -<<，又1k ≠-，所以413k -<<-或10k -≤<，②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2122841k k x x k ++=+，212216161k k x x k +⋅=+，2112P A y k x -=，2222P B y k x -=，112(4)y k x +=-，222(4)y k x +=-，所以()()22121221244244144P A P B x x k k k k k k k x x k +++=-+⋅=-+⋅=-+，圆直线P 2A 与直线P 2B 的斜率之和为定值.。
2023-2024学年福建省泉州市高二上学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
．．．．．已知直线(():110l y a ++=∈R 与圆221x y +=，则下列结论正确的是（．直线l 必过定点l 与C 可能相离25A．底面边长为6米B．侧棱与底面所成角的正弦值为77 C．侧面积为243平方米（1）求点O 到平面PBC 的距离；（2）若//OH 平面PAB ，求直线22．P 为圆()22:236A x y ++=上一动点，点点Q ．(1)求点Q 的轨迹方程C ；24y x --可表示点(),P x y 与点(Q 当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为圆心到直线距离2421k k d k-+=+12．ACD【分析】当点P 在上下顶点时，12F PF ∠最大，结合余弦定理即可判断根据题意，计算直线PA 与直线PB 斜率乘积即可判断根据椭圆上任意一点到一个焦点的最小距离利用正弦定理和三角恒等变换，把,αβ用α所以222225,9,4a b c a b ===-=，(5,0A -对于A ：当点P 在上下顶点时，12F PF ∠最大，因为钝角，因此存在P 使得12π2F PF ∠=，故A 正确；对于B ：设(),(5)P x y x ≠±，在221259x y +=上，于是有所以229(125x y y y -故答案为:1.【详解】，交1PF 于点Q ，∵PA 是1F PF ∠2AF ，2||PQ PF =，12F 的中点，1QF AO ∴∥，且QF 112||2PF PQ PF PF a +=+=，222．(1)22195x y +=(2)证明见解析，256【分析】（1）依题意可得BQ PQ =轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，从求出（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，直线由T 、S 、1A 三点共线得003y x +则000000233x x x y y y+-=+1213x x y -=+121233my n my n y y +-+-=+2m =+22(3)mn m n =--6m=.。
2023-2024学年河南省郑州市中牟县高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省郑州市中牟县高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.请将每小题四个选项中唯一正确的答案填在答题卷的相应位置上.）1．已知直线l 经过两点（0，0），（0，1），直线l 的倾斜角是直线m 的倾斜角的两倍，则直线m 的斜率是（ ） A ．0B ．1C ．﹣2D ．不存在2．如图，E ，F 分别是长方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '的棱AB ，CD 的中点，下列结论正确的是（ ）A ．AA ′→−CB →=AD′→B ．AA ′→+AB →+BC →=C′A →C ．AB →−AD →+B′D′→=EC →D ．AB →+CF →=AF →3．若点P （x ，y ）满足方程√(x −1)2+(y −2)2=|3x+4y+12|5，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线4．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1过点(√2，√3)，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．x 23−y 2=1B ．x 2−y 23=1 C ．x 22−y 23=1 D ．x 23−y 22=15．当方程x 2+y 2﹣2kx ﹣4y +2k 2﹣4k ﹣10＝0所表示的圆取最大面积时，圆心到直线l ：x +y ﹣2＝0的距离为（ ） A ．2√3B ．√22C ．√2D ．2√26．已知点A （0，0，2），B （﹣1，1，2），C （1，1，0），则点A 到直线BC 的距离是（ ） A ．√63B ．√62C ．√55D ．3√627．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1，且与椭圆交于A ，B 两点，若△ABF 2的周长为40，∠F 1AF 2＝60°，△F 1AF 2的面积为64√33，则椭圆的焦距为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．148．将地球看作半径为rkm 的球体，如图所示，将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于xOy 平面上，z 轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线（弧ASB ̂，是0度经线）位于xoz 平面上，且交x 轴于点S （r ，0，0）．已知赤道上一点E(12r ，√32r ，0)位于东经60度，则地球上位于西经60度，北纬30度的空间点P 的横坐标约为（ ）（结果保留整数，参考数值：r ≈6.371，√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45．）A ．﹣2755B ．2755C ．﹣2246D ．2246二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选或不选的得0分.）9．已知平面α过点A （1，﹣1，2），其法向量n →=（2，﹣1，2），则下列点不在α内的是（ ） A ．（2，3，3）B ．（3，﹣3，4）C ．（﹣1，2，0）D ．（﹣2，0，1）10．若直线l ：kx ﹣y +k ＝0与曲线C ：√1−(x −1)2=y −1有两个不同的交点，则实数k 的值可以是（ ） A ．32B ．1C ．76D ．4311．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2m+y 21−m=1的离心率为√22，F 1，F 2分别为C 的左右焦点，P 为C 上一动点，则（ ） A ．焦距为2√33B ．左顶点为(−√2，0)C ．△F 1PF 2的面积的最大值为13D ．满足△F 1PF 2的面积为√36的点P 恰有2个 12．已知圆C ：x 2+y 2﹣6x +5＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．若点（x ，y ）为圆C 上一点，则yx 的最大值为3√55B ．点(2，√2)在圆C 内C ．圆C 与圆E ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +4＝0的公共弦长为√142D ．直线√5x −2y −√5=0与圆C 相切三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填在答题卷的相应位置上.）13．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，p →=a →−2b →+3c →，若p →=x(a →+b →)+y(a →−b →)+zc →，则x +y +z ＝ ．14．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线过双曲线x 23−y 2=1的一个焦点，则p ＝ ．15．已知点M （m ，n ）在过N （﹣2，0）且与直线2x ﹣y ＝0垂直的直线上，则圆C ：(x −3√5)2+(y +1)2=4上的点到点M （m ，n ）的轨迹的距离的最小值为 ． 16．设直线y ＝2x +t （t ≠0）与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P （4t ，0）满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的渐近线方程是 ．四、解答题（本题共6个小题，共70分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知直线l 过点A （1，﹣4），且倾斜角的余弦值是2√55，直线l 1与l 平行，l 1与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线l 与l 1的方程． 18．（12分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，√3)．（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4√7x 的准线上，求双曲线的方程．19．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，CD ＝4，AD =√3，AB ＝1，PD ＝4，M 为侧棱PD 上靠近点P 的四等分点． （1）证明：AM ∥平面PBC ；（2）求二面角P ﹣BC ﹣D 的平面角的余弦值．20．（12分）已知圆C 的圆心在直线y =12x 上，且过圆C 上一点M （1，3）的切线方程为y ＝3x ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 的直线l 与圆交于另一点N ，以MN 为直径的圆过原点，求直线l 的方程．21．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，OA ＝4，OB ＝3，OP＝4，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足PM →=12MC →．（1）求直线P A 与平面BDM 所成角的正弦值； （2）求点P 到平面BDM 的距离．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为M ，直线FM 的斜率为−√22，且原点到直线FM 的距离为√63． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不经过点F 的直线l ：y ＝kx +m （k ＜0，m ＞0）与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆x 2+y 2＝1相切．试探究△ABF 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．2023-2024学年河南省郑州市中牟县高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.请将每小题四个选项中唯一正确的答案填在答题卷的相应位置上.）1．已知直线l 经过两点（0，0），（0，1），直线l 的倾斜角是直线m 的倾斜角的两倍，则直线m 的斜率是（ ） A ．0B ．1C ．﹣2D ．不存在解：∵直线l 经过两点（0，0），（0，1）， ∴直线l 的倾斜角为90°，又直线l 的倾斜角是直线m 的倾斜角的两倍， ∴直线m 的倾斜角为45°，k m ＝tan45°＝1． 故选：B ．2．如图，E ，F 分别是长方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '的棱AB ，CD 的中点，下列结论正确的是（ ）A ．AA ′→−CB →=AD′→B ．AA ′→+AB →+BC →=C′A →C ．AB →−AD →+B′D′→=EC →D ．AB →+CF →=AF →解：AA ′→−CB →=AA′→+BC →=BB′→+B′C′→=BC ′→=AD′→，故A 正确；AA ′→+AB →+BC →=AA′→+AC →=CC ′→+AC →=AC′→，故B 错误； AB →−AD →+B′D′→=DB →+BD →=0→，故C 错误； AB →+CF →=AB →+BE →=AE →，故D 错误． 故选：A ．3．若点P （x ，y ）满足方程√(x −1)2+(y −2)2=|3x+4y+12|5，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：√(x −1)2+(y −2)2表示点P （x ，y ）与点（1，2）之间的距离，|3x+4y+12|5表示点P （x ，y ）到直线3x +4y +12＝0的距离，即点P 到定点（1，2）的距离等于到定直线3x +4y +12＝0的距离， 且定点（1，2）不在直线3x +4y +12＝0上， 由抛物线的定义可知，点P 的轨迹是抛物线． 故选：D ． 4．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1过点(√2，√3)，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．x 23−y 2=1 B ．x 2−y 23=1C ．x 22−y 23=1D ．x 23−y 22=1解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1离心率为2，∴e =ca =2，则c ＝2a ，得c 2＝a 2+b 2＝4a 2，可得b 2＝3a 2，又过点(√2，√3)，结合选项只有B 选项符合题意， 故选：B ．5．当方程x 2+y 2﹣2kx ﹣4y +2k 2﹣4k ﹣10＝0所表示的圆取最大面积时，圆心到直线l ：x +y ﹣2＝0的距离为（ ） A ．2√3B ．√22C ．√2D ．2√2解：由圆的方程：x 2+y 2﹣2kx ﹣4y +2k 2﹣4k ﹣10＝0可得圆的标准方程为（x ﹣k ）2+（y ﹣2）2＝﹣k 2+4k +14，可得圆心C （k ，2），半径为r ，则r 2＝﹣k 2+4k +14，开口向下，对称轴为k ＝2的抛物线， 所以当k ＝2时，r 2最大，此时圆的面积最大，且圆心C （2，2）， 所以圆心到直线l ：x +y ﹣2＝0的距离为d =|2+2−2|√2=√2． 故选：C ．6．已知点A （0，0，2），B （﹣1，1，2），C （1，1，0），则点A 到直线BC 的距离是（ ） A ．√63B ．√62C ．√55D ．3√62解：因为A （0，0，2），B （﹣1，1，2），C （1，1，0），AB →=(−1，1，0)，BC →=(2，0，−2)， ∴点A 到直线BC 的距离为d =|AB →|√1−cos 2＜AB →，BC →＞=√2×√1−(−2√2×2√2)2=√62．故选：B ．7．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1，且与椭圆交于A ，B 两点，若△ABF 2的周长为40，∠F 1AF 2＝60°，△F 1AF 2的面积为64√33，则椭圆的焦距为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14解：∵AB 过左焦点F 1，∴△ABF 2的周长为|AB |+|AF 2|+|BF 2|＝|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|＝4a ＝40， ∴a ＝10，又|F 1F 2|＝2c ，设|AF 1|＝t 1，|AF 2|＝t 2， 则根据椭圆的定义可得：t 1+t 2＝20，在△F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝60°，所以根据余弦定理可得|AF 1|2+|AF 2|2−2|AF 1|⋅|AF 2|cos60°=|F 1F 2|2，即t 12+t 22−2t 1t 2⋅cos60°=4c 2，即(t 1+t 2)2−3t 1t 2=4c 2，所以，t 1t 2=(t 1+t 2)2−4c 23=4a 2−4c 23=400−4c 23，所以由三角形面积公式可得：S △F 1AF 2=12t 1t 2•sin60°=12×13×（400﹣4c 2）×√32①， 又∵S △F 1AF 2=12(|AF 1|+|AF 2|+|F 1F 2|)×4√33=12(2a +2c)×4√33=(10+c)×4√33②， 由①②可知12×13×(400−4c 2)×√32=(10+c)×4√33， 整理可得100﹣c 2＝4（10+c ），即（10﹣c ）（10+c ）＝4（10+c ）， 因为c ＞0，则10﹣c ＝4，解得c ＝6，故该椭圆的焦距为2c ＝12． 故选：C ．8．将地球看作半径为rkm 的球体，如图所示，将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于xOy 平面上，z 轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线（弧ASB ̂，是0度经线）位于xoz 平面上，且交x 轴于点S （r ，0，0）．已知赤道上一点E(12r ，√32r ，0)位于东经60度，则地球上位于西经60度，北纬30度的空间点P 的横坐标约为（ ）（结果保留整数，参考数值：r ≈6.371，√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45．）A ．﹣2755B ．2755C ．﹣2246D ．2246解：设点P 投影到xOy 平面上的点为P ′，则|OP |＝r ，|OP ′|＝r cos60°=12r ， 因为OP ′与x 轴正向的夹角为30°，由OP ′在x 轴的投影为12r cos30°=√34r =1.734×6.371×1000≈2755，所以P 点横坐标为2755． 故选：B ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选或不选的得0分.）9．已知平面α过点A （1，﹣1，2），其法向量n →=（2，﹣1，2），则下列点不在α内的是（ ） A ．（2，3，3）B ．（3，﹣3，4）C ．（﹣1，2，0）D ．（﹣2，0，1）解：面α过点A （1，﹣1，2），其法向量n →=（2，﹣1，2）， 对于A ，（1，﹣1，2）﹣（2，3，3）＝（﹣1，﹣4，﹣1）， ∵（﹣1，﹣4，﹣1）•（2，﹣1，2）＝﹣2+4﹣2＝0， ∴（2，3，3）在平面α内，故A 错误；对于B ，（3，﹣3，4）﹣（2，﹣1，2）＝（1，﹣2，2）， （1，﹣2，2）•（2，﹣1，2）＝2+2+4＝8， ∴（3，﹣3，4）不在平面α内，故B 正确；对于C ，（﹣1，2，0）﹣（1，﹣1，2）＝（﹣2，3，﹣2），（﹣2，3，﹣2）•（2，﹣1，2）＝﹣4﹣3﹣4＝﹣11， ∴（﹣1，2，0）不在平面α内，故C 正确；对于D ，（﹣2，0，1）﹣（1，﹣1，2）＝（﹣3，1，﹣1）， （﹣3，1，﹣1）•（2，﹣1，2）＝﹣6﹣1﹣2＝﹣9， ∴（﹣2，0，1）不在平面α内，故D 正确． 故选：BCD ．10．若直线l ：kx ﹣y +k ＝0与曲线C ：√1−(x −1)2=y −1有两个不同的交点，则实数k 的值可以是（ ） A ．32B ．1C ．76D ．43解：直线kx ﹣y +k ＝0化成y ＝kx +k ，可得它必定经过点A （﹣1，0），而曲线C ：√1−(x −1)2=y −1可变形整理为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1（y ≥1），B （2，1），C （0，1）， ∴该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线y ＝1上部的部分， 设直线与圆相切时的斜率为k 2，直线过点（0，1）与圆有两个交点时的斜率为k 1． 可得当直线kx ﹣y +k ＝0与曲线有两个不同的交点时，斜率k 满足k 1≤k ＜k 2． 由圆心（1，1）到直线kx ﹣y +k ＝0的距离d =|2k−1|√1+k =1，解得k 2=43，而k 1=1−00+1=1，由此可得1≤k ＜43． 故选：BC ．11．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2m+y 21−m=1的离心率为√22，F 1，F 2分别为C 的左右焦点，P 为C 上一动点，则（ ） A ．焦距为2√33B ．左顶点为(−√2，0)C ．△F 1PF 2的面积的最大值为13D ．满足△F 1PF 2的面积为√36的点P 恰有2个 解：由椭圆的焦点在x 轴上，所以m ＞1﹣m ＞0，可得m ∈（12，1），由椭圆的方程可得a 2＝m ，b 2＝1﹣m ，所以c =√a 2−b 2=√2m −1，离心率e =c a =√22， 即√2m−1√m=√22，解得m =23，b =√1−23=√33， A 中，焦距2c ＝2√2m −1=2√2×23−1=2√33，所以A 正确； B 中，因为a =√m =√63，所以左顶点（−√63，0），所以B 不正确；C 中，S △PF 1F 2=12•2c •b =√33•√33=13，所以C 正确；D 中，S △PF 1F 2=12•2c •|y P |=√33•|y P |=√36，可得|y P |=12＜b ，所以这样的三角形有4个，所以D 不正确．故选：AC ．12．已知圆C ：x 2+y 2﹣6x +5＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．若点（x ，y ）为圆C 上一点，则yx 的最大值为3√55B ．点(2，√2)在圆C 内C ．圆C 与圆E ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +4＝0的公共弦长为√142D ．直线√5x −2y −√5=0与圆C 相切解：由圆C ：x 2+y 2﹣6x +5＝0，得（x ﹣3）2+y 2＝4， 所以圆心为C （3，0），半径为2，对于A ：设yx =k ，则y ＝kx ，由圆与直线y ＝kx 有公共点，所以√k 2≤2，解得−2√55≤k ≤2√55，y x 的最大值为2√55，故A 错误；对于B ：由（2﹣3）2+（√2）2＝3＜4，点(2，√2)在圆C 内，故B 正确； 对于C ：由圆E ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +4＝0，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程为2x ﹣2y ﹣1＝0， 圆C 的圆心C 到直线的距离为d =|6−0−1|√2+2=5√24，所以圆C 截圆C 的弦长为2√4−(524)2=√142，所以圆C 与圆E ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +4＝0的公共弦长为√142，故C 正确；圆心C 到直线√5x −2y −√5=0的距离d =|√5×3−0−√5|√5+4=2√53≠2，所以直线直线√5x −2y −√5=0与圆C 相交，故D 错误．故选：BC ．三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填在答题卷的相应位置上.） 13．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，p →=a →−2b →+3c →，若p →=x(a →+b →)+y(a →−b →)+zc →，则x +y +z ＝ 4 ．解：由题意，{a ，b ，c }是空间的一组单位正交基底，又a →−2b →+3c →=x(a →+b →)+y(a →−b →)+zc →=(x +y)a →+(x −y)b →+zc →， 由空间向量基本定理，可得{x +y =1x −y =−2z =3，解得{ x =−12y =32z =3，所以x +y +z ＝4．故答案为：4．14．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线过双曲线x 23−y 2=1的一个焦点，则p ＝ 4 ．解：已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线过双曲线x 23−y 2=1的一个焦点，由抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线方程为x =−p2，双曲线x 23−y 2=1的焦点坐标为（﹣2，0），（2，0），则−p2=−2，则p ＝4． 故答案为：4．15．已知点M （m ，n ）在过N （﹣2，0）且与直线2x ﹣y ＝0垂直的直线上，则圆C ：(x −3√5)2+(y +1)2=4上的点到点M （m ，n ）的轨迹的距离的最小值为 1 ．解：过点（﹣2，0）且与直线2x ﹣y ＝0垂直的直线方程为：y =−12（x +2），化为x +2y +2＝0． ∴m +2n +2＝0．由圆C ：(x −3√5)2+(y +1)2=4，可得圆心C （3√5，﹣1），半径r ＝2． ∴圆心C 到直线m +2n +2＝0的距离d =|35−2+2|5=3．∴要求的最小值＝3﹣2＝1． 故答案为：1．16．设直线y ＝2x +t （t ≠0）与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P （4t ，0）满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的渐近线方程是 y ＝±3x ． 解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线方程为y ＝±bax ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点坐标为H （x 0，y 0）；所以x 12a 2−y 12b 2=0，x 22a 2−y 22b 2=0， 两式相减得：x 12−x 22a 2=y 12−y 22b 2，化简得：b 2x 0a 2=(y 1−y 2)y 0x 1−x 2=2y 0，①，由于点H （x 0，y 0）在直线y ＝2x +t 上，则y 0＝2x 0+t ；由于|P A |＝|PB |，所以k PH =yx 0−4t =−12，②，联立①②得：t =52x 0，y 0=92x 0，代入b 2x 0a 2=(y 1−y 2)y 0x 1−x 2=2y 0，得到b a=3，所以渐近线的方程为y ＝±3x ． 故答案为：y ＝±3x ．四、解答题（本题共6个小题，共70分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知直线l 过点A （1，﹣4），且倾斜角的余弦值是2√55，直线l 1与l 平行，l 1与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线l 与l 1的方程． 解：设直线l 的倾斜角为α（0≤α＜π）， 因为cosα=2√55，所以tanα=12， 因为直线l 过点A （1，﹣4），所以直线l 的方程为y +4=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣9＝0， 因为直线l 1与l 平行，所以可设直线l 1的方程为y =12x +m ， 令y ＝0得x ＝﹣2m ，令x ＝0，得y ＝m ， 故三角形的面积S =12|﹣2m |•|m |＝1， 所以m 2＝1，解得m ＝±1，即直线l 1的方程是x ﹣2y +2＝0或x ﹣2y ﹣2＝0． 18．（12分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，√3)．（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4√7x 的准线上，求双曲线的方程． 解：（1）易知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为y =±ba x ，若双曲线的一条渐近线过点(2，√3)， 可得b 2a 2=34，则该双曲线的离心率e =√1+b2a2=√72；（2）易知抛物线y 2=4√7x 的准线为x =−√7，因为双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4√7x 的准线上，所以c =√7， 由（1）知c 2a 2=74，可得a 2＝4，b 2＝3，则双曲线的方程为x 24−y 23=1．19．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，CD ＝4，AD =√3，AB ＝1，PD ＝4，M 为侧棱PD 上靠近点P 的四等分点． （1）证明：AM ∥平面PBC ；（2）求二面角P ﹣BC ﹣D 的平面角的余弦值．（1）证明：取PC 上取一点Q ，使PQ =14PC ，连接MQ 、BQ ， 由题知PM =14PD ，所以MQ ∥CD ，MQ =14CD ． 又因为AB ∥CD ，AB =14CD ，所以AB ∥MQ ，AB ＝MQ ， 所以四边形ABQM 为平行四边形，所以AM ∥BQ ．因为AM ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以直线AM ∥平面PBC ． （2）解：因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以D （0，0，0）、A(√3，0，0)、B(√3，1，0)、C （0，4，0）、P （0，0，4）， 设平面PBC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，CB →=(√3，−3，0)，CP →=(0，−4，4)，则{n →⋅CB →=√3x −3y =0n →⋅CP →=−4y +4z =0，取y ＝1，则n →=(√3，1，1)， 易知平面BCD 的一个法向量为m →=(0，0，1)，所以，cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=1√5=√55，由图可知，二面角P ﹣BC ﹣D 的平面角为锐角，故二面角P ﹣BC ﹣D 的余弦值为√55． 20．（12分）已知圆C 的圆心在直线y =12x 上，且过圆C 上一点M （1，3）的切线方程为y ＝3x ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 的直线l 与圆交于另一点N ，以MN 为直径的圆过原点，求直线l 的方程． 解：（Ⅰ）由题意，过M 点的直径所在直线方程为y ﹣3=−13（x ﹣1）； 由{y −3=−13(x −1)y =12x解得{x =4y =2，∴圆心坐标为（4，2）；半径r 2＝（4﹣1）2+（2﹣3）2＝10； ∴圆C 的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝10；（Ⅱ）解法一：以MN 为直径的圆过原点，∴OM ⊥ON ； 又k OM ＝3，∴k ON =−13； ∴直线ON 方程为y =−13x ； 由{y =−13x(x −4)2+(y −2)2=10，可得N 点坐标为（3，﹣1）；∴直线MN 方程为y+13+1=x−31−3，即直线l 的方程为y ＝﹣2x +5；解法二：当l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ﹣3＝k （x ﹣1）， 且M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）； 由{y −3=k(x −1)(x −4)2+(y −2)2=10， 解得（1+k 2）x 2﹣2（k 2﹣k +4）x +（k ﹣1）2+6＝0，∴x 1+x 2=2k 2−2k+81+k2，x 1x 2=(k−1)2+61+k2；∵x 1＝1，y 1＝3，∴x 2=(k−1)2+61+k2，y 2=k 2+6k+31+k2，由题意OM ⊥ON ，∴x 1x 2+y 1y 2＝0； ∴k 2−2k+71+k 2+3k 2+18k+91+k 2=0，解得k ＝﹣2；当l 与x 轴垂直时，解得N （1，1），与题意不符 ∴直线l 的方程为y ＝﹣2x +5．21．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，OA ＝4，OB ＝3，OP＝4，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足PM →=12MC →．（1）求直线P A 与平面BDM 所成角的正弦值； （2）求点P 到平面BDM 的距离．解：（1）∵平面ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系O ﹣ABP 如图所示：则A （4，0，0），B （0，3，0），C （﹣4，0，0），D （0，﹣3，0），P （0，0，4）， ∴PA →=（4，0，﹣4），DB →=（0，6，0），PC →=（﹣4，0，﹣4），BP →=（0，﹣3，4）． ∵PM →=12MC →，∴PM →=13PC →=（−43，0，−43），BM →=BP →+PM →=（−43，﹣3，83）．设平面BDM 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{6y =0−43x −3y +83z =0， 令x ＝2，则z ＝1，∴平面BDM 的一个法向量n →=（2，0，1）， ∴cos ＜PA →，n →＞=PA →⋅n→|PA →||n →|=44√2×√5=√1010， ∴直线P A 与平面BDM 所成角的正弦值为√1010． （ 2）OP →=（0，0，4）， ∴cos ＜OP →，n →＞=OP →⋅n→|OP →||n →|=4×5=√55， ∴OP 与平面BDM 所成角的正弦值为√55， ∴P 到平面BDM 的距离d ＝|OP |×√55=4√55． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为M ，直线FM 的斜率为−√22，且原点到直线FM 的距离为√63． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不经过点F 的直线l ：y ＝kx +m （k ＜0，m ＞0）与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆x 2+y 2＝1相切．试探究△ABF 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． 解：（1）可设F （c ，0），M （0，b ），可得−bc =−√22， 直线FM 的方程为bx +cy ＝bc ，即有√b 2+c2=√63，解得b ＝1，c =√2，a =√3，则椭圆方程为x 23+y 2＝1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． （x 1＞0，x 2＞0），连接OA ，OQ ，在△OAQ 中，|AQ |2＝x 12+y 12﹣1＝x 12+1−x 123−1=23x 12，即|AQ |=√63x 1，同理可得|BQ |=√63x 2，∴|AB|＝|AQ|+|BQ|=√63（x1+x2），∴|AB|+|AF|+|BF|=√63（x1+x2）+√3−√63x1+√3−√63x2＝2√3，∴△ABF的周长是定值2√3．。
2023-2024学年河南省信阳市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省信阳市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x +y ﹣2023＝0的倾斜角为（ ） A ．−π4B ．π4C ．π2D ．3π42．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E ＝“点数为奇数”，F ＝“点数为偶数”，G ＝“点数大于2”，H ＝“点数不大于2”，R ＝“点数为1”．则下列结论不正确的是（ ） A ．E ，F 为对立事件B ．G ，H 为互斥不对立事件C ．E ，G 不是互斥事件D ．G ，R 是互斥事件3．已知直线l 1：mx +y +6＝0，l 2：3x +（m ﹣2）y +2m ＝0，若l 1∥l 2，则m 等于（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．3D ．﹣1 或34．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．利用计算机产生一组随机数：907 966 191 924 274 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 986若用1，3，5，7，9表示下雨，用0，2，4，6，8表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（ ） A ．920B ．12C ．1120D ．385．已知PA →，PB →，PC →不共面，PM →=(3−x −y)PA →+xPB →+(y −2)PC →，则（ ） A ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，M 四点共面 B ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，M 四点不共面C ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，P 四点共面D ．∃x ，y ∈R ，A ，B ，C ，P 四点共面6．已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C 是底面圆周上的点，∠BAC ＝30°，AB =2√3，P A ＝2，则P A 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）A ．12B ．√32C ．2√1313D ．3√13137．已知直线l ：3x +ay ﹣25＝0与圆C ：x 2+y 2＝25，点A （3，a ），则下列说法不正确的是（ ）A ．若直线l 与圆C 相切，则a ＝4B ．若0＜α＜4，则直线l 与圆C 相离 C ．若a ＞4，则直线l 与圆C 相交D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切8．已知x +y +1＝0，则√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −3)2+y 2的最小值是（ ） A ．√10B ．√13C ．√29D ．6二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若方程x 2+y 2﹣2mx +m 2﹣2m ﹣1＝0表示圆，则m 的取值可以为（ ） A ．2B ．0C ．−12D ．﹣210．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A 和B ，其中n （Ω）＝36，n （A ）＝18，n （B ）＝12，n （A ∪B ）＝24，则（ ）A ．P(A ∪B)=23B ．P(AB)=13C ．事件A 与B 互斥D ．事件A 与B 相互独立11．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是底面ABCD 的中心，Q 是棱A 1D 1上的一点，且D 1Q →=λD 1A 1→，λ∈[0，1]，N 为线段AQ 的中点，则（ ）A ．C ，M ，N ，Q 四点共面B ．三棱锥A ﹣DMN 的体积为定值C ．当λ=12时，过A ，M ，Q 三点的平面截正方体所得截面的面积为4 D ．不存在λ使得直线MB 1与平面CNQ 垂直12．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中证明了命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0且k ≠1）的点的轨迹是圆，人们称之为阿氏圆．现有△ABC ，BC ＝8，sin B ＝3sin C ．以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系xOy ，则（ ） A ．点A 的轨迹方程为x 2+y 2+10x +16＝0（y ≠0）B ．点A 的轨迹是以（5，0）为圆心，3为半径的圆C ．△ABC 面积的最大值为12D ．当AB ⊥BC 时，△ABC 的内切圆半径为4−2√2 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．圆x 2+y 2+mx ﹣2y ﹣m ＝0恒过的定点是 ．14．第三届“一带一路”国际高峰论坛于2023年10月在北京召开．某记者与参会的3名代表一起合影留念（四人站成一排）．则记者站在两端的概率为 ；若记者与代表甲必须相邻，则此两人站在中间的概率为 ．15．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4，直线l ：x +2y +3＝0，M 为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的两条切线MA ，MB ，则四边形MACB 面积的最小值为 ．16．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点P （x 0，y 0，z 0），且以向量n →=（a ，b ，c ）（abc ≠0）为方向向量，则这条直线可以用方程x−x 0a=y−y 0b=z−z 0c来表示．已知直线l 的方程为x −1=12y +1＝2z ﹣6，则M （3，1，1）到直线l 的距离为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（10分）从三名男生（记为A 1，A 2，A 3）、两名女生（记为B 1，B 2）中任意选取两人． （1）在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率； （2）在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率． 18．（12分）已知A （1，1），B （2，3），C （4，0）．求： （1）过点A 且与BC 平行的直线方程； （2）AB 边垂直平分线方程；（3）过点A 且倾斜角为直线AB 倾斜角2倍的直线方程．19．（12分）在三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OB ＝OC ＝2，OA ⊥OB ，∠AOC ＝∠BOC ＝60°，M ，N 分别为AB ，OC 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →． （1）用a →，b →，c →表示MN →，并求|MN →|； （2）求OM 与NB 所成角的余弦值．20．（12分）在第19届杭州亚运会上中国射击队获得32枚金牌中的16枚，并刷新3项世界纪录．甲、乙两名亚运选手进行赛前训练，甲每次射中十环的概率为0.9，乙每次射中十环的概率为p ，在每次射击中，甲和乙互不影响．已知两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为0.98． （1）求p ；（2）甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环3次的概率．21．（12分）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝2，M 是BB 1的中点，M 到平面ABC 1的距离为34．（1）求A 1A ；（2）在C 1A 上是否存在点P ，使平面ABC 1与平面PBM 夹角的余弦值为√217？ 若存在，求出C 1P PA的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知圆C 经过点A （0，2），B （2，0），且直线x +y +2＝0被圆C 所截得的弦长为2√2．点P 为圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N ． （1）求圆C 的方程；（2）探求|AN |•|BM |是否为定值，若为定值，求出此定值，若不是定值，说明理由；（3）过点D （﹣4，0）的动直线l 与圆C 交于不同的两点E ，F ．记线段EF 的中点为R ，则当直线l 绕点D 转动时，求动点R 的轨迹长度．2023-2024学年河南省信阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x+y﹣2023＝0的倾斜角为（）A．−π4B．π4C．π2D．3π4解：直线x+y﹣2023＝0，即y＝﹣x+2023，斜率为﹣1，设倾斜角为α，则tanα＝﹣1，且α∈[0，π），可得α=3π4．故选：D．2．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”，G＝“点数大于2”，H＝“点数不大于2”，R＝“点数为1”．则下列结论不正确的是（）A．E，F为对立事件B．G，H为互斥不对立事件C．E，G不是互斥事件D．G，R是互斥事件解：抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，即E，F为对立事件，A正确；点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，即G，H为对立事件，B错误；点数为奇数与点数大于2可能同时发生，即E，G不是互斥事件，C正确；点数大于2与点数为1不可能同时发生，即G，R是互斥事件，D正确．故选：B．3．已知直线l1：mx+y+6＝0，l2：3x+（m﹣2）y+2m＝0，若l1∥l2，则m等于（）A．﹣3B．﹣1C．3D．﹣1 或3解：因为l1∥l2，所以m（m﹣2）＝1×3，且m•2m≠6×3，解得m＝﹣1．故选：B．4．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．利用计算机产生一组随机数：907 966 191 924 274 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 986若用1，3，5，7，9表示下雨，用0，2，4，6，8表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（）A ．920B ．12C ．1120D ．38解：由数表可知，20个随机数中，至少有两天下雨为907，191，932，569，431，257，393，556，730，113，537，共11个数，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为1120．故选：C ．5．已知PA →，PB →，PC →不共面，PM →=(3−x −y)PA →+xPB →+(y −2)PC →，则（ ） A ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，M 四点共面 B ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，M 四点不共面C ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，P 四点共面D ．∃x ，y ∈R ，A ，B ，C ，P 四点共面解：∵（3﹣x ﹣y ）+x +（y ﹣2）＝1，∴∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，M 四点共面． 故选：A ．6．已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C 是底面圆周上的点，∠BAC ＝30°，AB =2√3，P A ＝2，则P A 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）A ．12B ．√32C ．2√1313D ．3√1313解：依题意：圆锥的高PO =√22−(√3)2=1，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系O ﹣xyz ：则A(0，−√3，0)，B(0，√3，0)，C(32，√32，0)，P(0，0，1)，PB →=(0，√3，−1)，BC →=(32，−√32，0)，PA →=(0，−√3，−1)．设平面PBC 的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅PB →=0n →⋅B →C =0⇒⇒{√3y −z =032x −√32y =0取x ＝1，得n →=(1，√3，3)， 设P A 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=|cos〈PA →，n →〉|=62×√13=3√1313，即P A 与平面PBC 所成角的正弦值为3√1313． 故选：D ．7．已知直线l ：3x +ay ﹣25＝0与圆C ：x 2+y 2＝25，点A （3，a ），则下列说法不正确的是（ ） A ．若直线l 与圆C 相切，则a ＝4 B ．若0＜α＜4，则直线l 与圆C 相离 C ．若a ＞4，则直线l 与圆C 相交D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切解：圆心C （0，0）到直线l 的距离d =25√9+a 2．若直线l 与圆C 相切，则d =25√9+a 2=5，解得a ＝±4，故A 错误；若0＜a ＜4，则9+a 2＜25，所以d =25√9+a 25，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若a ＞4，则9+a 2＞25，所以d =25√9+a 25，则直线l 与圆C 相交，故C 正确；若点A （3，a ）在直线l 上，则9+a 2﹣25＝0，即a ＝±4，d =25√9+a 2=5，直线l 与圆C 相切，故D 正确． 故选：A ．8．已知x +y +1＝0，则√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −3)2+y 2的最小值是（ ） A ．√10B ．√13C ．√29D ．6解：设点P ′（x ，y ）为直线l ：x +y +1＝0的动点，则√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −3)2+y 2=√(x −1)2+(y −1)2+√(x −3)2+y 2， 可看作P ′（x ，y ）与点A （1，1），B （3，0）的距离之和， 设A （1，1）关于直线l 的对称点为A ′（a ，b ），则{b−1a−1=1a+12+b+12+1=0，解得{a =−2b =−2，所以A ′（﹣2，﹣2），则|P ′A |+|P ′B |＝|P ′A ′|+|P ′B |≥|A ′B |=√(−2−3)2+(−2−0)2=√29， 当且仅当P ′与A ′，B 共线时（即图中位置P ）取等号，即√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −3)2+y 2的最小值是√29． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若方程x 2+y 2﹣2mx +m 2﹣2m ﹣1＝0表示圆，则m 的取值可以为（ ） A ．2B ．0C ．−12D ．﹣2解：由（﹣2m ）2﹣4×（m 2﹣2m ﹣1）＞0知m ＞−12．结合选项，符合条件的只有2和0． 故选：AB ．10．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A 和B ，其中n （Ω）＝36，n （A ）＝18，n （B ）＝12，n （A ∪B ）＝24，则（ ）A ．P(A ∪B)=23B ．P(AB)=13C ．事件A 与B 互斥D ．事件A 与B 相互独立解：因为n （Ω）＝36，n （A ）＝18，n （B ）＝12，n （A ∪B ）＝24，则n （A ∩B ）＝6， 则P （A ）=1836=12，P （B ）=1236=13，P （AB ）=636=16， 则P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）=23，P （AB ）＝P （A ）•P （B ）， 又A 与B 能同时发生，故不互斥． 故选：AD ．11．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是底面ABCD 的中心，Q 是棱A 1D 1上的一点，且D 1Q →=λD 1A 1→，λ∈[0，1]，N 为线段AQ 的中点，则（ ）A ．C ，M ，N ，Q 四点共面B ．三棱锥A ﹣DMN 的体积为定值C ．当λ=12时，过A ，M ，Q 三点的平面截正方体所得截面的面积为4 D ．不存在λ使得直线MB 1与平面CNQ 垂直解：连接AC 、CQ ，则M 、N 分别为AC 、AQ 的中点，因为MN 为△AQC 的中位线，所以MN ∥CQ ，可得C 、M 、N 、Q 四点共面，故A 正确．根据题意，可得V A ﹣DMN ＝V N ﹣ADM =12V Q ﹣ADM =12×13S △ADM ×2=13为定值，故B 正确． 当λ=12时，过A 、M 、Q 三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形ACFQ ， 如图所示，过Q 作AC 的垂线，垂足为G ，则AG =2√2−√22=√22，QG =√5−12=3√22．因此可得S =12(√2+2√2)×3√22=92，故C 错误． 以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得D （0，0，0，），A （2，0，0），A 1（2，0，2），B 1（2，2，2），C （0，2，0），D 1（0，0，2）， M （1，1，0），Q （2λ，0，2），CQ →=(2λ，−2，2)，AC →=(−2，2，0)，MB 1→=(1，1，2)，若存在λ使得直线MB 1与平面CNQ （即平面ACQ ）垂直， 则{MB 1→⋅CQ →=0MB 1→⋅AC →=0，即{2λ−2+4=0−2+2+0=0，解得λ＝﹣1，不符合题意，故不存在λ使得直线MB 1与平面CNQ 垂直，所以D 正确． 故选：ABD ．12．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中证明了命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0且k ≠1）的点的轨迹是圆，人们称之为阿氏圆．现有△ABC ，BC ＝8，sin B ＝3sin C ．以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系xOy ，则（ ） A ．点A 的轨迹方程为x 2+y 2+10x +16＝0（y ≠0）B ．点A 的轨迹是以（5，0）为圆心，3为半径的圆C ．△ABC 面积的最大值为12D ．当AB ⊥BC 时，△ABC 的内切圆半径为4−2√2解：如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B （﹣4，0），C （4，0），由正弦定理和条件sin B ＝3sin C ，可得|AC |＝3|AB |， 设A （x ，y ），可得√(x −4)2+y 2=3√(x +4)2+y 2， 两边平方，化简可得x 2+y 2+10x +16＝0，则A 点的轨迹方程为x 2+y 2+10x +16＝0（y ≠0），圆心为（﹣5，0），半径为3， 故A 正确，B 错误；由A 的轨迹可得A 到直线BC 的距离的最大值为半径3， 则△ABC 面积的最大值为12×8×3＝12，故C 正确；当AB ⊥BC 时，|AB |2+|BC |2＝|AC |2，即，|AB |2+64＝|AC |2， 又|AC |＝3|AB |，解得|AB |＝2√2，|AC |＝6√2，设△ABC 的内切圆半径为r ，可得12×2√2×8=12r （2√2+8+6√2），解得r ＝4﹣2√2，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．圆x 2+y 2+mx ﹣2y ﹣m ＝0恒过的定点是 （1，1） ． 解：因为圆x 2+y 2+mx ﹣2y ﹣m ＝0， 则x 2+y 2﹣2y +m （x ﹣1）＝0，联立{x 2+y 2−2y =0x −1=0，解得{x =1y =1． 故答案为：（1，1）．14．第三届“一带一路”国际高峰论坛于2023年10月在北京召开．某记者与参会的3名代表一起合影留念（四人站成一排）．则记者站在两端的概率为 12；若记者与代表甲必须相邻，则此两人站在中间的概率为13．解：四个位置，记者站在两端，有2种站法，所求概率为A 21A 33A 44=12；记者与代表甲必须相邻，则此两人站在中间的概率为A 22A 22A 22A 33=13．故答案为：12；13．15．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4，直线l ：x +2y +3＝0，M 为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的两条切线MA ，MB ，则四边形MACB 面积的最小值为 8 ．解：圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4，则圆心C （1，3），半径r ＝2． 因为四边形MACB 的面积S ＝2S △CAM ＝|CA |•|AM |＝2|AM |＝2√|CM|2−4， 要使四边形MACB 面积最小，则需|CM |最小，此时CM 与直线l 垂直， 直线l ：x +2y +3＝0，|CM |=|1+6+3|1+4=2√5，∴四边形MACB 面积的最小值为2√20−4=8． 故答案为：8．16．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点P （x 0，y 0，z 0），且以向量n →=（a ，b ，c ）（abc ≠0）为方向向量，则这条直线可以用方程x−x 0a=y−y 0b=z−z 0c来表示．已知直线l 的方程为x −1=12y +1＝2z ﹣6，则M （3，1，1）到直线l 的距离为 √693 ． 解：直线l 的方程标准化为：x−11=y+22=z−312，所以直线l 过P （1，﹣2，3），方向向量为n →=（1，2，12），|n →|=√12+22+(12)2=√212，设n →的方向向量为u →，则u →=n →|n →|=2√21•（1，2，12）=1√21•（2，4，1）， a →=PM →=（2，3，﹣2），可得|a →|=√22+32+(−2)2=√17，所以a →•u →=14√21， 所以M 到直线l 的距离为d =√a →2−(a →⋅u →)2=√17−(1421)2=√693． 故答案为：√693． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（10分）从三名男生（记为A 1，A 2，A 3）、两名女生（记为B 1，B 2）中任意选取两人．（1）在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率； （2）在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率．解：（1）样本空间Ω＝{（A 1，A 1），（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，A 1），（A 2，A 2），（A 2，A 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，A 1），（A 3，A 2），（A 3，A 3），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，A 1），（B 1，A 2），（B 1，A 3），（B 1，B 1），（B 1，B 2），（B 2，A 1），（B 2，A 2），（B 2，A 3），（B 2，B 1），（B 2，B 2）}， 设事件A 表示“选到两人都是男生”， 则事件A 包含的样本点有9个， 所以P （A ）=925； （2）样本空间Ω＝{（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，A 1），（A 2，A 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，A 1），（A 3，A 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，A 1），（B 1，A 2），（B 1，A 3），（B 1，B 2），（B 2，A 1），（B 2，A 2），（B 2，A 3），（B 2，B 1）}， 设事件B 表示“选到至少有一名女生”， 则事件B 包含的样本点有14个， 所以P （B ）=1420=710． 18．（12分）已知A （1，1），B （2，3），C （4，0）．求： （1）过点A 且与BC 平行的直线方程； （2）AB 边垂直平分线方程；（3）过点A 且倾斜角为直线AB 倾斜角2倍的直线方程． 解：（1）由于所求的直线l 与BC 平行，故k l =−32，由于直线l 经过点A （1，1），所求的直线的方程为y −1=−32(x −1)，整理得3x +2y ﹣5＝0； （2）由于A （1，1），B （2，3），所以中点D （32，2），直线AB 的斜率k AB ＝2，所以直线AB 的垂直平分线的斜率k =−12，所求的垂直平分线的方程为y −2=−12(x −32)，整理得2x +4y ﹣11＝0．（3）由于A （1，1），B （2，3），所以直线AB 的斜率k AB ＝2，设直线的倾斜角为θ，故tan θ＝2， 所求直线的倾斜角为直线AB 的倾斜角的2倍，所以直线的斜率k ＝tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=−43， 故所求的直线的方程为y −1=−43(x −1)，整理得4x +3y ﹣7＝0．19．（12分）在三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OB ＝OC ＝2，OA ⊥OB ，∠AOC ＝∠BOC ＝60°，M ，N 分别为AB ，OC 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →．（1）用a →，b →，c →表示MN →，并求|MN →|； （2）求OM 与NB 所成角的余弦值．解：（1）MN →=ON →−OM →=12c →−12(a →+b →)=12(c →−a →−b →)，∵OA ＝OB ＝OC ＝2，OA ⊥OB ，∠AOC =∠BOC =60°， ∴a →2=b →2=c →2＝4，a →⋅b →=0，a →⋅c →=b →⋅c →=2×2cos60°＝2，∴|MN →|=12√(c →−a →−b →)2=12√c →2+a →2+b →2−2a →⋅c →−2b →⋅c →+2a →⋅b →=1；（2）OM →=12(a →+b →)，NB →=OB →−ON →=b →−12c →，OM →⋅NB →=12(a →+b →)⋅(b →−12c →)=12(a →⋅b →−12a →⋅c →+b →2−12b →⋅c →)=1，|OM →|=12√(a →+b →)2=√2，|NB →|=√(b →−12c →)2=√3， cos ＜OM →，BN →＞=OM →⋅NB →|OM →|⋅|NB →|=2×3=√66．所以，OM 与NB 所成角的余弦值为√66． 20．（12分）在第19届杭州亚运会上中国射击队获得32枚金牌中的16枚，并刷新3项世界纪录．甲、乙两名亚运选手进行赛前训练，甲每次射中十环的概率为0.9，乙每次射中十环的概率为p ，在每次射击中，甲和乙互不影响．已知两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为0.98． （1）求p ；（2）甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环3次的概率． 解：（1）由题意，两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为0.98， 则都没有击中十环的概率为0.1×（1﹣p ）＝1﹣0.98，求得p ＝0.8．（2）甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环3次，即甲乙二人中，只有一人只击中1次，故它的概率为C 22×0.92•C 21×0.8×0.2+C 21×0.9×0.1×C 22×0.82＝0.3744．21．（12分）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝2，M 是BB 1的中点，M 到平面ABC 1的距离为34．（1）求A 1A ；（2）在C 1A 上是否存在点P ，使平面ABC 1与平面PBM 夹角的余弦值为√217 若存在，求出C 1P PA的值；若不存在，请说明理由．解：（1）取AC 的中点O ，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系O ﹣xyz ，设A 1A ＝a ，则A （1，0，0），B(0，√3，0)，C 1（﹣1，0，a ），M(0，√3，a2)， 所以AC 1→=(−2，0，a)，AB →=(−1，√3，0)，BM →=(0，0，a2)， 设平面ABC 1的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AB →=−x +√3y =0n →⋅AC 1→=−2x +az =0，取x ＝3，得y =√3，z =6a，所以平面ABC 1的一个法向量为n →=(3，√3，6a )，则M 到平面ABC 1的距离d =|BM →⋅n →||n →|=3√32+3+(6a)2=34，解得a ＝3，即A 1A ＝3；（2）因为C 1A →=(2，0，−3)，BC 1→=(−1，−√3，3)， 设C 1P →=λC 1A →=(2λ，0，−3λ)（0≤λ≤1），所以BP →=BC 1→+C 1P →=(2λ−1，−√3，3−3λ)，BM →=(0，0，32)， 设平面PBM 的法向量m →=(b ，c ，t)，则{m →⋅BP →=(2λ−1)b −√3c +(3−3λ)t =0m →⋅BM →=32t =0， 取b =√3，得c ＝2λ﹣1，t ＝0，所以平面PBM 的一个法向量m →=(√3，2λ−1，0)，由|cos ＜m →，n →＞|=√217，得√3+(2λ−1)√3|2=√217，解得λ=13，或λ＝3（舍去），故在C 1A 上存在点P ，当C 1PPA =12时，可使平面ABC 1与平面PBM 夹角的余弦值为√217．22．（12分）已知圆C 经过点A （0，2），B （2，0），且直线x +y +2＝0被圆C 所截得的弦长为2√2．点P 为圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N ． （1）求圆C 的方程；（2）探求|AN |•|BM |是否为定值，若为定值，求出此定值，若不是定值，说明理由；（3）过点D （﹣4，0）的动直线l 与圆C 交于不同的两点E ，F ．记线段EF 的中点为R ，则当直线l 绕点D 转动时，求动点R 的轨迹长度．解：（1）易知点C 在线段AB 的中垂线y ＝x 上，故可设C （a ，a ），圆C 的半径为r ， ∵直线x +y +2＝0被圆C 所截得的弦长为2√2，且r =√a 2+(a −2)2， ∴C （a ，a ）到直线x +y +2＝0的距离d =|2a+2|√2， 由d 2+(√2)2=r 2，得(|2a+2|√2)2+2=a 2+(a −2)2，∴a ＝0， ∴圆C 的方程为x 2+y 2＝4；（2）当直线P A 的斜率不存在时，|AN |•|BM |＝8．当直线P A 的斜率存在时，如图，设P （x 0，y 0），直线P A 的方程为y =y 0−2x 0x +2， 令y ＝0，得M(2x 02−y 0，0)．直线PB 的方程为y =y 0x 0−2(x −2)，令x ＝0，得N （0，2y 02−x 0）．∴|AN |•|BM |＝（2−2y 02−x 0）（2−2x 02−y 0）=4+4[y 0x 0−2+x 0y 0−2+x 0y0(x 0−2)(y 0−2)]＝4+4×y 02−2y 0+x 02−2x 0+x 0y 0(x 0−2)(y 0−2)=4+4×4−2y 0−2x 0+x 0y 0(x 0−2)(y 0−2)＝4+4×4−2y 0−2x 0+x 0y04−2y 0−2x 0+x 0y 0=8．故|AN |•|BM |为定值8．（3）设CD 的中点为Q ，则Q （﹣2，0），因为线段EF 的中点为R ，所以CR ⊥EF ，即CR ⊥DR ， 所以RQ =12CD =2，设R （x ，y ），则（x +2）2+y 2＝4，如图， 设圆x 2+y 2＝4与（x +2）2+y 2＝4的交点为G ，H ，显然△QCG 是边长为2的正三角形，所以所求弧长GCH ̂的长度即为以Q （﹣2，0）为圆心，以2为半径的圆的13为4π3．。
高二数学上学期期中模拟卷(空间向量与立体几何+直线与圆的方程+椭圆)(解析版
2023-2024学年高二数学上学期期中考试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】lg 0m >等价于1m >.若2m =，则方程()2211m x y m -+=-表示单位圆.若方程()2211m x y m -+=-表示椭圆，则椭圆方程可化为2211y x m +=-，则1m >且2m ≠.故“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.2．直线()()()2212:110,:120l a x ay l a x a a y -+-=-+++=，若12//l l ，则实数a 的值不可能是（）A ．1-B ．0C ．1D ．2-【答案】A【分析】根据平行列式，求得a 的值，进而确定正确答案.【详解】由于12//l l ，所以()()()2211a a a a a -⨯+=⨯-，()()()21110a a a a a +---=，()()()()()()22211112120a a a a a a a a a a ⎡⎤-+-=-+=-+=⎣⎦，解得0a =或1a =或2a =-.当0a =时，12:10,:20l x l x --=-+=，即12:1,:2l x l x =-=，两直线平行，符合题意.当1a =时，12:10,:220l y l y -=+=，即12:1,:1l y l y ==-，两直线平行，符合题意.当2a =-时，12:3210,:3220l x y l x y --=-++=，即12:3210,:3220l x y l x y --=--=，两直线平行，符合题意.所以a 的值不可能是1-.故选：A3．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===．点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN等于（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．111222a b c+- D ．221332a b c+-【答案】B【分析】连接ON ，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接()12211,23322ON MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选：B.4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，若1AM AB AA λμ=+，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为（）A ．4B ．8C ．855D ．82【答案】C【分析】由题意知点M 在平面11ABB A 内，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设(,0,)M a b ，根据空间向量的数量积的坐标表示可得24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，结合线面垂直的性质即可求解.【详解】由1,[0,1]AM AB AA λμλμ=+∈、，知点M 在平面11ABB A 内，以1,,AB AD AA 所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,2),(4,4,0),(0,4,4)P C D ，设(,0,)M a b ，则1(,4,4),(4,4,2)D M a b CP =--=-- ，由1D M CP ⊥，得1416280D M CP a b ⋅=-++-=，即24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，则4245525BQ ⨯==，又BC ⊥平面11ABB A ，故BC BQ ⊥，所以BCM S △的最小值为145854255QBC S =⨯⨯= .故选：C.5．在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，将军从点()2,0A 出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（）A ．101-B ．251-C ．25D ．10【答案】B【分析】根据题意作出图形，然后求出()2,0A 关于直线4x y +=的对称点A '，进而根据圆的性质求出A '到圆上的点的最短距离即可.【详解】若军营所在区域为22:1x y Ω+≤，圆：221x y +=的圆心为原点，半径为1，作图如下：设将军饮马点为P ，到达营区点为B ，设(),A x y '为A 关于直线4x y +=的对称点，因为()2,0A ，所以线段AA '的中点为2,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，则2422x y ++=即60x y +-=，又12AA yk x '==-，联立解得：42x y =⎧⎨=⎩，即()4,2A '，所以总路程||||||||PB PA PB PA '+=+，要使得总路程最短，只需要||||PB PA '+最短，即点A '到圆22=1x y +上的点的最短距离，即为11OA OB OA ''-=-=.故选：B.6．在等腰直角三角形ABC 中，4AB AC ==，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC 的重心，则QR 的长度等于（）AB．9C．9D．9【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，得出ABC 各顶点以及重心的坐标，设(),0P a ，04a <<.求出直线BC 的方程，根据光的反射原理得出点P 关于BC 以及y 轴的对称点的坐标，表示出RQ 的方程，代入重心坐标，求出a 的值，得出RQ 的方程.进而求出,R Q 的坐标，即可根据两点间的距离公式得出答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()4,0B ，()0,4C ，ABC 的重心坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭，BC 方程为40x y +-=，设(),0P a ，04a <<.根据光的反射原理以及已知可知，点P 关于BC 的对称点1P 在QR 的反向延长线上，点P 关于y 轴的对称点2P 在QR 的延长线上，即12,,,P P Q R 四点共线.由已知可得点()111,P x y 满足()11110422011a x y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得1144x y a =⎧⎨=-⎩，所以()14,4P a -.易知()2,0P a -.因为12,,,P P Q R 四点共线，所以有直线QR 的斜率为()40444a ak a a ---==--+，所以，直线QR 的方程为()44ay x a a-=++.由于直线QR 过重心44,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以有444343a a a -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，整理可得2340a a -=，解得43a =或0a =（舍去），所以直线QR 的方程为44434343y x -⎛⎫=+⎪⎝⎭+，整理可得3640x y -+=.所以，R 点坐标为20,3⎛⎫⎪⎝⎭.联立QR 与BC 的方程364040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得209169x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2016,99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，QR ==.故选：B.7．正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为（）A ．2B ．94C ．3D ．52【答案】C【分析】设四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，根据题意求出内切球的半径，当MN 为内切球的直径时，MN 最长，再化简()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+可求得其最大值.【详解】设正四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，则AO BO =.因为正四面体的棱长为3，所以22333BG BE ==所以AG ===r ，则()222AG r r BG -=+，)22rr =+，解得4r =，当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时0+= OM ON，238OM ON ⋅=-=-⎝⎭ ，()()PM PN PO OM PO ON⋅=+⋅+()2238PO PO OM ON OM ON PO =+⋅++⋅=- ，因为P 为正四面体表面上的动点，所以当P 为正四体的顶点时，PO 最长，POPM PN ⋅的最大值为23348⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C8．已知M 为椭圆：()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为左右焦点，设12MF F α∠=，21MF F β∠=，若sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+，则离心率e =（）A ．12B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，结合三角恒等变换以及正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+化为22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，继而推出,,a b c 的关系，求得答案.【详解】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，则2m n a +=，由sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+得3sin 3sin cos sin cos sin ααββαβ-=+，即3sin 2sin cos sin sin cos cos sin sin sin()ααββαβαββαβ-=++=++，在12MF F △中，由正弦定理得1222sin sin sin sin()n m c cF MF αβαβ===∠+，故32cos 2n m m c β-=+，又2224cos 4c n mcmβ+-=，故22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，即282(3)()()0c c m n m n n m +-++-=，即[4()][2()]0c m n c n m -+--=，即4c m n =+或2c n m =-，结合椭圆定义可知2m n c +>且||2m c -<，故4c m n =+，即142,2c c a e a =∴==，故选：C【点睛】关键点睛：本题是椭圆的离心率的求解问题，即求,,a b c 之间的关系，解答的关键是对于已知等式的化简，即利用三角恒等变换结合正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+转化为三角形边之间的关系式，进而化简可得,,a b c 的关系，即可求解答案.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积可能是（）A ．1B ．3C ．4D ．7【答案】BC【分析】根据给定条件，求出线段AB 长，点P 到直线AB 的距离范围，再利用三角形面积公式求解即得.【详解】依题意，点(2,0),(0,2)A B --，则||AB =圆()2222x y -+=的圆心(2,0)C ，半径2r =，则点C 到直线AB 的距离4222r =>，因此点P 到直线AB 的距离[2,32]d ∈，ABP 的面积1||2[2,6]2S AB d d =⋅=∈，显然BC 满足，AD 不满足.故选：BC10．已知圆2221:2100C x y mx y m ++-+=，圆222:450C x y y ++-=，则下列说法正确的是（）A ．若点()1,1在圆1C 的内部，则24m -<<B ．若2m =，则圆12,C C 的公共弦所在的直线方程是41490x y -+=C ．若圆12,C C 外切，则15m =±D ．过点()3,2作圆2C 的切线l ，则l 的方程是3x =或724270x y -+=【答案】BCD【分析】根据点在圆的内部解不等式2112100m m ++-<+即可判断A 错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B 正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C 正确；对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D 正确.【详解】对于A ，由点(1,1)在圆1C 的内部，得2112100m m ++-<+，解得42m -<<，故A 错误；对于B ，若2m =，则圆221:41040C x y x y ++-+=，将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是41490x y -+=，故B 正确；对于C ，圆1C 的标准方程为22()(5)25x m y ++-=，圆心为()1,5C m -，半径15r =，圆2C 的标准方程为22(2)9x y ++=，圆心为()20,2C -，半径23r =，若圆12,C C 外切，则1212C C r r =+，即24953m +=+，解得15m =±，故C 正确；对于D ，当l 的斜率不存在时，l 的方程是3x =，圆心2C 到l 的距离23d r ==，满足要求，当l 的斜率存在时，设l 的方程为()32y k x =-+，圆心2C 到l 的距离224331k d r k -===+，解得724k =，所以l 的方程是724270x y -+=，故D 正确.故选：BCD.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为11A B 的中点，P 为棱BC 上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）A ．存在点P ，使11D P AC ⊥B ．存在点P ，使1PE D E =C ．四面体11EPCD 的体积为定值83D ．二面角11P DE C --的余弦值的取值范围是23⎡⎢⎣⎦【答案】AB【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设()02CP a a =≤≤，则(),2,0P a ，()2,1,2E ，()()12,0,0,0,2,2A C ，()10,0,2D ，则()12,2,2AC =- ，()1,2,2D P a =-，112442D AC a a P ⋅=-+-=-，当0a =时，即P 点与C 点重合时，11D P AC ⊥，故A 正确.由1PE D E =2a =，此时P 点与B 点重合，故B 正确.111111111422223323E PC D P C D E C D E V V S --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯= 为定值，故C 错误.又()12,1,0D E = ，()1,2,2D P a =-，设平面1D EP 的法向量()1,,n x y z = ，由11112002200D E n x y D P n ax y z ⎧⋅=+==⎪⎨⋅=+-==⎪⎩，令1x =则=2y -，22a z =-，11,2,22a n ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ ，又平面11D EC 的法向量()20,0,2n =，12cos ,22n an ∴=-又02a ≤≤，122cos ,3n n ⎤∴∈⎣⎦，故D 错误.故选：AB12．已知椭圆222:12x y C m+=的焦点分别为()10,2F ，()20,2F -，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）A ．26m =B．椭圆C C ．直线l 的方程为320x y +-=D ．2F MN的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出2m 即可判断A ；再根据离心率公式即可判断B ；由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C ；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y 轴上，所以224m -=，则26m =，故选项A 正确；椭圆C的离心率为2636c e a ===，故选项B 不正确；不妨设()()1122,,,M x y N x y ，则2211126x y +=，2222126x y +=，两式相减得()()()()1212121226x x x x y y y y +-+-=-，变形得121212123y y x x x x y y -+=-⨯-+，又注意到点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，所以121212121221122P P x x x x x y y y y y ++====++，所以直线l 的斜率为121212123313l y y x k xx x y y ⨯=-+⨯--=-+=-=，所以直线l 的方程为11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即320x y +-=，故选项C 正确；因为直线l 过1F ，所以2F MN 的周长为()()22212122446F M F N MN F M F M F N F N a a a ++=+++=+==，故选项D 不正确.故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在三棱锥-P ABC 中，PC ⊥底面,90,4,45ABC BAC AB AC PBC ∠∠==== ，则点C 到平面PAB 的距离是.【答案】463/463【分析】建立空间直角坐标系，设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，由点C 到平面PAB 的距离为PC m d m⋅=求解.【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,4,42A B C P ，所以()()()0,4,42,4,0,0,0,0,42AP AB PC ===-.设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，则0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4420,40,y z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令y 1z =-，所以()1m =-，所以点C 到平面PAB的距离为PC m d m⋅==14．若非零实数对(),a b满足关系式1771a b a b ++=-+=，则a b=．【答案】34-或43【分析】化简转化为点到直线的距离，利用直线的位置关系即可求解.【详解】由1771a b a b ++=-+=5==，()1,1A 到直线10ax by ++=的距离1d，()7,7B -到直线10ax by ++=的距离2d ，5==，所以125d d ==.因为10AB =，1210d d +=，所以当点A ，B 在直线10ax by ++=同侧时，直线AB 与直线10ax by ++=平行，当点A ，B 在直线10ax by ++=异侧时，A ，B 关于直线10ax by ++=对称，因为直线AB 的斜率174173k +==--，直线10ax by ++=的斜率为ab-，所以43a b -=-或413a b ⎛⎫⎛⎫-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43a b =或34ab=-.故答案为：34-或43.15．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为(2,1)P 且斜率为1-的直线与C 相交于,A B 两点，若P 恰好是AB 的中点，则椭圆C 上一点M 到F 的距离的最大值为.【答案】3/3+【分析】利用点差法可求基本量的关系，再结合通径的长可求基本量，故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程，从而可用基本量表示中点，从而得到基本量的一个关系式，同样结合通径长可取基本量，故可求焦半径的最大值.【详解】法一：将x c =代入椭圆C 的方程得2b y a =±，所以22ba=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，又124x x +=，1212122,1y y y y x x -+==--，所以22210a b-=②，解①②得3a b ==，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.法二：将x c =代入椭圆C 的方程得2by a=±，所以22b a =，直线AB 的方程是1(2)y x -=--，即3y x =-，代入椭圆的方程并消去y 整理得()2222222690a b x a x a a b +-+-=，则()()()()22222222222490694a a b a a b a b a b ∆=--++-->=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122264a x x a b+==+，即222a b =②，解①②得3a b ==，满足0∆>，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.故答案为：3.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A --，圆22:1O x y +=，在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数），则Q 的坐标为．【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设00(,)Q x y ，(,)P x yλ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，从而得到202202(22)()320x x y x λλλ+++--=对任意[x y +∈恒成立，从而得到202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，即可求出λ与0x ，从而得解.【详解】设00(,)Q x y ，(,)P x y ，则PA =PQ =若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数)，λ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，即22222200(1)(1)()()x y x x y y λλ+++=-+-，整理得222222022000(1)()(22)(22)2()0x y x x y y x y λλλλ-++++++-+=，因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =，由于P 在圆O 上，所以221x y +=，故202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，其中点(),P x y 在圆22:1O x y +=上，令x y m +=，则0x y m +-=，所以直线0x y m +-=与圆有交点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即1d ≤，解得m ≤≤[x y +∈，所以202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，显然0λ≠，所以021x λ=-，故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=.当1λ=时，(1,1)Q --，此时,Q A 重合，舍去.当λ=11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，综上，存在满足条件的定点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时λ=故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用题设条件，结合221x y +=与00x y =化简得202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，从而得到关于0,x λ的方程组，由此得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC =，E ，F 分别是AB ，PB 的中点.(1)求证：EF CD ⊥.(2)已知点G 在平面PAD 内，且GF ⊥平面PCB ，试确定点G 的位置.【答案】(1)证明见解析(2)点G 为AD 的中点【分析】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设AD a =，再根据0EF DC ⋅= 即可证明.（2）设(,0,)G x z ，根据GF ⊥平面PCB 得到0FG CB ⋅= ，0FG CP ⋅= ，即可得到答案.【详解】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），设AD a =，则(0,0,0)D ，(,,0)B a a ，(0,,0)C a ，,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,0,)P a ，,,222a a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,0,22a a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(0),,0DC a = ，所以,0,(0,,0)022a a EF DC a ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪⎝⎭ ，所以EF CD ⊥.（2）因为∈G 平面PAD ，设(,0,)G x z ，所以,,222a a a FG x z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ .由（1），知(,0,0)CB a = ，(0,),CP a a =- .因为GF ⊥平面PCB ，所以,,(,0,0)()02222a a a a FG CB x z a a x ⎛⎫⋅=---⋅=-= ⎪⎝⎭ ，2,,(0,,)022222a a a a a FG CP x z a a a z ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2a x =，0z =，所以点G 的坐标为,0,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即点G 为AD 的中点.18．（12分）已知直线:1l y kx k =+-．(1)求证：直线l 过定点；(2)若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，求k 的取值范围；(3)若直线l 与x 轴、y 轴形成的三角形面积为1，求直线l 的方程．【答案】(1)证明见解析(2)11[,]35-(3)(21y x =+++(21y x =+【分析】（1）由直线方程观察得定点坐标即证；（2）由4x =±时对应点的纵坐标不小于0可得；（3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算三角形面积从而得直线的斜率，即得直线方程．【详解】（1）由1y kx k =+-，得1(1)y k x +=+．由直线方程的点斜式可知，直线l 过定点(1,1)--；（2）若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，则410,410,k k k k -+-≤⎧⎨+-≤⎩解得1135k -≤≤，所以k 的取值范围是11[,35-；（3）设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ．当0x =时，得||||1|OB k =-，当0y =时，得|1|||||k OA k -=，所以11|1||||||1|22||AOB k S OA OB k k -==-⨯△，即211|1|12||k k -⨯=，解得2k =2，所以直线l 的方程为(21y x =+(21y x =+19．（12分）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 10米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一只电子狗，在距离A 点2米的E v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M 叫成功点．(1)求在这个矩形场地内成功点M 的轨迹方程；(2)若P 为矩形场地AD 边上的一点，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，问：P 点应在何处？【答案】(1)2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)P 的横坐标范围为⎤⎥⎝⎦即可逃脱.【分析】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，由题意2MF ME v v =，利用两点间的距离公式可得答案.（2）利用三角函数得到极端情况时P 点的横坐标即可得到答案.【详解】（1）分别以AD ，AB 为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,2E ，()0,4F ，设成功点(),M x y ，可得2MF ME v v ==化简得2241639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为点M 需在矩形场地内，所以403x ≤≤，故所求轨迹方程为2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）当线段FP 与（1）中圆相切时，则413sin 4243AFP ∠==-，所以30AFP ∠=︒，所以4tan 30AP =︒=，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是⎤⎥⎝⎦．20．（12分）．如图，//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥且,//EG AD CD FG =且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；(2)求平面BCE 和平面BCF 夹角的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线与平面ADGE 所成的角为45︒，求点P 到平面CDE 的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)10；(3)2.【分析】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ ，通过证明平面//MQN 平面CDE ，可得//MN 平面CDE ；（2）如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系，分别求出平面BCE 和平面BCF 夹角的法向量，即可得答案；（3）由（2），设()0,0,P t ，直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒可得点P 坐标，可得点P 到平面CDE 的距离.【详解】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ .因M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，Q 为GD 中点，由三角形及梯形中位线定理，可得,NQ ED MQ DC .又注意到，,ED DC ⊂平面EDC ，,NQ MQ ⊄平面EDC ，,NQ MQ ⊂平面MNQ ，∩NQ MQ Q =，则平面//MQN 平面CDE .又MN ⊂平面MQN ，则//MN 平面CDE .（2）因DG ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，则,DG DC DG DA ⊥⊥，又AD DC ⊥，则如图建立以D 为原点的空间坐标系.则()()()()()()()000200020002120202012,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D A C G B E F .()()()100122112,,,,,,,,BC BE BF =-=-=--.设平面BCE 和平面BCF 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z == .则1111110220BC n x BE n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()10,1,1n = ；222222020BC n x BF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，取()20,2,1n = .设平面BCE 和平面BCF 夹角为θ，则1210cos cos ,θn n === .则平面BCE 和平面BCF夹角的正弦值为sin θ=（3）由（2），设()0,0,P t ，其中[]0,2t ∈，则()12,,BP t =-- 又由题可得，平面ADGE 的一个法向量可取()30,1,0n = .结合直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，则32cos ,n BP t ==⇒=则(DP = ，()()020202,,,,,DC DE == .设平面CDE 法向量为()4444,,n x y z = ，则4444420220DC n y DE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ .取()4101,,n =- ，则点P 到平面CDE的距离442n DP d n ⋅=== .21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 是圆O ：228x y +=上的两个动点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒；(1)求点P 的轨迹方程；(2)点P 轨迹记为曲线τ，若C ，D 是曲线τ与x 轴的交点，E 为直线l ：4x =上的动点，直线CE ，DE 与曲线τ的另一个交点分别为M ，N ，判断直线MN 是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)224x y +=(2)过定点()1,0Q ．【分析】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，根据几何关系得到2OP =，得到轨迹方程.（2）设()4,E t ()0t ≠，分别计算CE ，DE 的直线方程，联立圆方程得到交点坐标，考虑直线MN 斜率存在和不存在两种情况，计算直线方程得到答案.【详解】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒，圆O ：228x y +=的半径r =122OP AB ===，故点P 的轨迹方程为：224x y +=．（2）不妨取()2,0C -，()2,0D ，设()4,E t ()0t ≠，则直线CE 的方程为()26t y x =+，直线DE 的方程为()22t y x =-，联立()22264t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得2222364440363636t t t x x +++-=，则224236M t x t -=-+，即2272236M t x t -=+，()2242636M M t t y x t =+=+，所以22272224,3636t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．联立()22224t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得22224404t x t x t +-+-=，则22424N t x t +=+，即22284N t x t -=+，()28224N N t t y x t -=-=+，所以222288,44t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．①当t ≠±MN 的斜率222222224883647222812364MNt t t t t k t t t t t --++==----++，则直线MN 的方程为222288284124t t t y x t t t ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭，即()28112t y x t =--，直线过定点()1,0，所以()1,0Q ；②当t =±MN 垂直于x 轴，方程为1x =，也过定点()1,0Q ．综上所述：直线MN 恒过定点()1,0Q ．【点睛】关键点睛：本题考查了圆的轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中设出E 的坐标，分别计算,M N 坐标再计算直线方程是解题的关键.22．（12分）如图所示，已知椭圆2219x y +=中()3,0A ，()0,1B ；P 在椭圆上且为第一象限内的点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N(1)求证：①||||AN BM ⋅为定值；②PMN 与PAB 面积之差为定值；(2)求MON △面积的最小值.【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)92+【分析】（1）①设00(,)P x y ，利用直线方程求出点,M N 坐标，从而可得||||AN BM ⋅的表达式，结合点在椭圆上化简，即可证明结论；②利用PMN 与PAB 面积之差为MAN BAN S S - ，利用三角形面积公式，结合①的定值即可证明结论；（2）利用三角形面积公式表示出MON △面积的表达式，利用（1）的定值结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）证明：①设00(,)P x y ，()001,030x y <<<<，则220019x y +=，即220099x y +=，直线()0033:y PA y x x =--，令0x =，则0033M y y x =--，故003|||1|3y BM x =+-；直线0011:y PB y x x =+-，令0y =，则001N x x y -=-，故00|||3|1x AN y =+-；所以00000000003|||||3||1||33|||133331x y x y x y AN BM y x y x ⋅=+⋅+⋅-+----+()()()2220000000000000033996618||||3133x y x y x y x y x y x y x y +-+++--==----+000000001666183|38x y x y x y x y --++-==-，即||||AN BM ⋅为定值6；②PMN 与PAB 面积之差为11||||||||22MAN BAN S S AN OM AN OB -=⋅-⨯⋅ 1||||32AN BM =⨯⋅=,即PMN 与PAB 面积之差为定值3；（2）MON △面积()()11||||3||1||22OMN S ON OM AN BM =⋅=++ ()1||||||3||32AN BM AN BM =⋅+++()1966322+≥+=，当且仅当||3||AN BM =，结合||||6AN BM ⋅=，即|||AN BM ==时取等号，即MON △面积的最小值为92+.【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于证明||||AN BM ⋅为定值，解答时要利用直线方程表示出||,||AN BM ，从而求得||||AN BM ⋅表达式，结合点在椭圆上化简即可证明结论.。
高二数学上学期期中模拟试卷(空间向量与立体几何、直线与圆、椭圆)(解析版)
高二数学上学期期中模拟试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·福建福州·高二期中）直线20x y --=的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】B【解析】直线20x y --=的斜率为1，倾斜角为45°，故选：B．2．（2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期中）已知圆22:68100C x y x y +---=，则（）A．圆C 的圆心坐标为()3,4--B．圆C 的圆心坐标为()4,3C．圆C D．圆C 的半径为35【答案】C【解析】圆C 的方程可化为()()223435x y -+-=，则圆心坐标为()3,4C.3．（2022·安徽滁州·高二期中）已知椭圆221259x y +=的焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，若1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（）A．3B．9C．D．【答案】C【解析】根据椭圆的定义有1210,4PF PF c +==，①根据余弦定理得221212642cos 60PF PF PF PF =+-︒，②结合①②解得1212PF PF =，所以12F PF △的面积12113sin 6012222S PF PF =︒=⨯⨯=4．（2022·福建·柘荣县第一中学高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M为11AC 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（）A．1122a b c-++B．1122++a b cC．1122--+a b c D．1122-+a b c【答案】A【解析】11BM BB B M =+，()1111112=+-AA A D A B ()112=+-AA AD AB ，1122a b c =-++，故选；A5．10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是（）A．1B．54C．3D．4【答案】B10y +-=与直线30my ++=平行，可得0=，解之得2m =10y +-=与直线230y ++=54=，故选：B 6．（2022·江苏常州·高二期中）直三棱柱111ABC A B C -中，11111π,,,2BCA AC BC CC A M MB A N NC ∠=====，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（）A．10B．22C．110D．25【答案】A【解析】如图所示，以C 为原点，以1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设12AC BC CC ===，可得()2,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,2M ，()1,0,2N .()1,0,2AN ∴=-，()1,1,2BM =-cos ,10AN BM AN BM AN BM⋅∴==故BM 与AN7．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）若直线y x b =+与曲线x =有一个公共点，则b 的取值范围是（）A．⎡⎣B．⎡-⎣C．(-D．(]{1,1-⋃【答案】D【解析】由曲线x =2210x y x +=≥（），表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =+是倾斜角为4π的直线与曲线x =一个公共点有两种情况：①直线与半圆相切，根据d r =，所以1d ==，结合图象可得b =②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知11b -<≤.综上可知：11b -<≤或b =.故选：D.8．（2022·福建泉州·高二期中）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与圆22224:5b C x y +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭B．⎛ ⎝⎭C．⎫⎪⎪⎣⎭D．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】D【解析】由题意，如图，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直则只需90APB ∠≤︒，即45APO α=∠≤︒，sin sin 45α=≤︒，即2285b a ≤，因为222a b c =+，解得：2238a c ≤．238e ∴≥，即e ≥，而01e <<，1e <，即e ⎫∈⎪⎪⎣⎭．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2022·江苏·连云港高中高二期中）给出下列命题，其中是真命题的是（）A．若直线l 的方向向量()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭r b ，则l 与m 垂直B．若直线l 的方向向量()0,1,1a =-，平面α的法向量()1,1,1n =--r，则l α⊥C．若平面α，β的法向量分别为()10,1,3=u r n ，()21,0,2=u u rn ，则αβ⊥D．若存在实数,,x y 使,=+MP xMA yMB 则点,,,P M A B 共面【答案】AD【解析】对于A：因为直线l 的方向向量()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭r b ，且()12,1,21101,1,22a b ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭⋅=-⋅，所以a b ⊥，所以l 与m 垂直.故A 正确；对于B：因为直线l 的方向向量()0,1,1a =-，平面α的法向量()1,1,1n =--r，且a n λ≠，所以l α⊥不成立.故B 不正确；对于C：因为平面α，β的法向量分别为()10,1,3=u r n ，()21,0,2=u u rn ，且2100660n n =++≠⋅=，所以12,n n 不垂直，所以αβ⊥不成立.故C 不正确；对于D：若,MA MB 不共线，则可以取,MA MB 为一组基底，由平面向量基本定理可得存在实数,,x y 使,=+MP xMA yMB 则点,,,P M A B 共面；若,MA MB 共线，则存在实数,,x y 使,=+MP xMA yMB 所以,,,P M A B 共线，则点,,,P M A B 共面也成立.综上所述：点,,,P M A B 共面.故D 正确.故选：AD10．（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知直线:0l x y +=与圆22:(1)(1)4C x y -++=，则（）A．直线l 与圆C 相离B．直线l 与圆C 相交C．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有2个D．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】由圆22:(1)(1)4C x y -++=，可知其圆心坐标为(1,1)-，半径为2，圆心(1,1)-到直线:0l x y +=的距离1d =，所以可知选项B，D 正确，选项A，C 错误.故选：BD11．（2022·湖北恩施·高二期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为BC 的中点，则下列结论正确的有（）A．AM 与D B ''所成角的余弦值为10B．C 到平面DA C ''C．过点A ，M ，D ¢的平面截正方体ABCD A B C D ''''-所得截面的面积为92D．四面体A C BD ''内切球的表面积为π3【答案】ABD【解析】对于A，构建如图①所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)A ，1(,1,1)2M ，(0,1,0)B '，(1,0,0)D '，1(,1,0)2AM ∴=，(1,1,0)D B ''=-，112cos ,10AM D B AM D B AM D B -+''⋅''∴==''，故A 正确；对于B，方法1：如图②，连接AC ，由正方体几何特征得：//AC A C ''，又AC ⊄面A C D ''，A C ''⊂面A C D ''，//AC ∴面A C D ''，设C 到平面DA C ''的距离为d ，即点A 到平面A DC ''的距离，C A DC A DA C V V ''''--=，即11131113234⨯⨯⨯⨯=，求得33d =.方法2：根据图①，()1,0,1D ,()1,1,0C '，()1,0,1A D '∴=，()1,1,0A C ''=，设平面DA C ''的法向量(,,)m x y z =，则00A D m A C m '''⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1z =-得：11x y =⎧⎨=-⎩，∴平面DA C ''的一个法向量为(1,1,1)m =--，(1,0,0)AD =，设C 到平面''DA C 的距离为d，则||AD m d m ⋅=B 正确；对于C，取CC '的中点N ，连接MN ，D N '，AD '，则MN //AD '，如图②所示，则梯形AMND '为过点A ，M ，D ¢的平面截正方体ABCD A B C D ''''-所得的截面，易知2MN =，AD '=2AM D N '==，可得梯形AMND '则梯形AMND '的面积1928S ==，故C 错误；对于D，易知四面体A C BD ''的体积111141323V =-⨯⨯⨯=，因为四面体A C BD ''1π4sin 23S =⨯=设四面体A C BD ''内切球的半径为r，则1133⨯=，解得r =所以四面体AMND '内切球的表面积为2π4π3r =，故D 正确.故选：ABD.12．（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知椭圆22:14x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A．若12PF PF =，则1230PF F ∠=B．12F PF △C．12PF PF -的最大值为D．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个【答案】ABC【解析】在椭圆M 中，2a =，1b =，c =12F F =对于A 选项，当12PF PF =时，则122PF PF a ===，由余弦定理可得222112212112cos 2PF F F PF PF F PF F F +-∠==⋅因为120180PF F <∠<，所以，1230PF F ∠=，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，所以，12F PF △面积的最大值为122c b bc ⨯⨯==对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+，即222PF ≤+所以，()12222222PF PF a PF a a c c -=-≤--==，C 对；对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-，()100F P x y =+，()200F P x y =-，222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-=，所以，0y =，03x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·全国·高二期中）已知直线1:20l ax y +=，直线()2:10l a x y --=，若12l l ⊥，则实数a 的值为______．【答案】2a =或1a =-【解析】因为12l l ⊥，所以(1)2(1)0a a -+⨯-=，解得2a =或1a =-，故答案为：2a =或1a =-14．（2022·江苏常州·高二期中）已知P 是ABC 所在平面外一点，2=PM MC ，且BM x AB y AC z AP =++，则实数x y z ++的值为____________.【答案】0【解析】因为2=PM MC ，则()2BM BP BC BM -=-，所以，()()121221333333BM BP BC AP AB AC AB AB AC AP =+=-+-=-++，所以，1x =-，23y =，13z =，因此，0x y z ++=.故答案为：0.15．（2022·上海金山·高二期中）求过点()13M -，的圆224x y +=的切线方程__________.【答案】y =+y =+【解析】过点()13M -，的斜率不存在的直线为：1x =-，圆心到直线的距离为1，与圆相交，不是切线；当斜率存在，设其为k ，则切线可设为()31y k x -=+.2=，解得：33k +=或33k -=.所以切线方程为：y =+y =+故答案为：y =+y =+.16．（2022·湖北恩施·高二期中）已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且在第一象限，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O为坐标原点，若||OA =，则该椭圆的离心率为______.【答案】63【解析】如图所示：延长2F A ，交1PF 于点Q ，∵PA 是12F PF ∠的外角平分线，2||AQ AF ∴=，2||PQ PF =，又O 是12F F 的中点，1QF AO ∴∥，且12||QF OA ==.又1112||2QF PF PQ PF PF a =+=+=，2a ∴=，222233()a b a c ∴==-，∴离心率为c a四、解答题：本小题共6小题，共70分。
2024年高二下学期期中模拟考试数学(全解全析)
2023-2024学年高二数学期中模拟卷全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知函数()()2131ln 2f x f x x x =′−++（()f x ′是()f x 的导函数），则()1f =（ ）A ．1B ．2C ．12D ．12−【答案】A【分析】通过对()f x 求导，结合赋值法求得()112f ′=，从而求得()f x ，再求结果即可. 【详解】由函数()()2131ln 2f x f x x x =′−++，可得()()1312f x f x x−′′=+， 令1x =，可得()()1311f f ′′=−，解得()112f ′=， 则()231ln 22f x x x x =−++，所以()31110122f =−++=.故选：A.2．若5250125(12)x a a x a x a x −=++++ ，则24a a +=（ ） A ．100B ．110C ．120D ．130【答案】C【分析】利用二项式定理分别求出24,a a 即可计算得解.【详解】在550125(12)x a a x a x a x −=+++ 中，2225C 240a =×=，4445C 280a =×=，所以24120a a +=. 故选：C3．现有随机事件件A ，B ，其中()()()111,,536P A P B P AB ===，则下列说法不正确的是（ ） A ．事件A ，B 不相互独立 B ．()12P A B =C ．()P B A 可能等于()P BD ．()1130P A B +=【答案】C【分析】利用独立事件的乘法公式、条件概率公式、和事件的概率公式计算即可.【详解】易知()()()1153P A P B P AB ⋅=×≠，所以事件A ，B 不相互独立，即A 正确；由条件概率公式可知()()()116123P AB P A B P B ===，()()()156165P AB P B A P A ===， 故B 正确，C 错误；由和事件的概率公式可知()()()()1111153630P A B P A P B P AB +=+−=+−=， 故D 正确； 故选：C4．已知函数()()2ln f x x a x =++的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在点,A B 处的切线都与直线20x y +=垂直，则实数a 的取值范围是（ ） A．(,1−∞ B．()1C．(,1∞−D．(0,1【答案】A【分析】根据题意()f x ′2=，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围. 【详解】由题意知()f x ′122x a x=++，曲线()y f x =在点,A B 处的切线斜率都是2， 所以关于x 的方程1222x a x++=有两个不相等的正实数根； 可得关于x 的方程()21102x a x −−+=有两个不相等的正实数根， 则()2101Δ1402a a −>=−−×>,解得1a <故选：A.5．中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾20次获得世乒赛女子团体冠军．2021年休斯敦世界乒乓球锦标赛，中国选手王曼昱以4∶2击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件A 表示“乙获得比赛胜利”，事件B 表示“比赛进行了七局”，则P =（ ）A ．716 B ．516 C ．316D ．116【答案】B【分析】根据条件概率计算公式求解.【详解】乙获得比赛胜利，可能进行了4局或5局或6局或7局比赛，乙获胜的概率()45124511C C 22P A =+×+6736111C 222×+×=， 乙获胜并且比赛进行了七局的概率()73615C 232P AB=×= ，∴()P B A =()()55321162P AB P A ==． 故选：B ．6．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +【答案】D【解析】对于选项A ，每人有4种安排法，故有54种；对于选项B ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项C ，先分组再安排；对于选项D ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可. 【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A 错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A ，即选项B 错误，③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C C C C A A +）33A ，即选项C 错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C ,从余下四人中安排三个岗位1112342322C C C A A ， 故有231231111324334322=C C C A C C A A C ；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C , 从余下三人中安排三个岗位33A ，故有2333C A ；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +，即选项D 正确， 故选：D ．【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法:1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.间接法:正难则反、等价转化的方法.7．已知0.50.3sin0.5,3,log 0.5a b c ==，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【分析】构造函数sin y x x =−，利用导数法求最值得sin x x <，从而有0.5a <，再利用函数0.3log y x =单调递减得0.51c <<，利用函数3x y =单调递增得1b >，即可比较大小.【详解】对π0,2x∈ ，因为sin y x x =−，则cos 10y x ′=−<，即函数sin y x x =−在π0,2 单调递减， 且0x =时，0y =，则sin 0x x −<，即sin x x <，所以sin0.50.5a <，因为0.30.30.32log 0.5log 0.25log 0.31>且0.30.3log 0.5log 0.31<=，所以0.30.5log 0.51c <=<， 又0.50331b =>=，所以a c b <<.故选：B8．已知方程222e e 9e 0x x ax x −+=有4个不同的实数根，分别记为1234,,,x x x x ，则31241234e e e e e e e e x x x x x x x x −−⋅−− 的取值范围为（ ） A ．()40,16eB ．()40,12eC ．()40,4eD ．()40,8e【答案】A【分析】将问题转化为22e e 9e 0x x a x x −+=，进而构造函数()e x f x x =，求导确定函数的单调性，结合二次方程根的分布可得6e 10e a <<，进而可求解.【详解】易知0x =不是方程222e e 9e 0x x ax x −+=的根，故当0x ≠时，222e e 9e 0x x ax x −+=可化为22e e 9e 0x x a x x −+=， 令e xt x=，得229e 0t at −+=．设()e xf x x =，则()()2e 1x xf x x −′=， 令()0f x ′<，可得0x <或01x <<，令()0f x '>，可得1x >，故()f x 在(),0∞−和()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()1e f =， 作出()f x 的大致图象，如图，数形结合可得方程229e 0t at −+=有两个不相等的实数根，设为1t ，2t ， 则21212,9e t t a t t +==，且12e,e t t >>， 则2222Δ36e 0e 2e e 9e 0a aa =−> − > − −+> ，解得6e 10e a <<，不妨设3142121423e e e e ,x x x x t t x x x x ====，则()()312422121234e e e e e e e e e e x x x x t t x x x x −−−−=−− ()()22221212e e e 10e e t t t t a −−+−，由6e 10e a <<，可得()224010e e 16e a <−<.故选：A ．【点睛】方法点睛：处理多变量函数值域问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的15%，25%，60%．随机取一个零件，记A =“零件为次品”，i B = “零件为第i 台车床加工” (1i =，2，3)，下列结论正确的有（ ） A ．()0.03P A = B ．31()1i i P B ==∑C ．12()()P B A P B A =D ．123()()(|)P B A P B A P B A +=【答案】BC【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可．【详解】对于A ：因为()0.050.150.030.250.030.600.033P A =×+×+×=，故A 错误； 对于B ：因为13Σ()0.150.250.601i i P B ==++=，故B 正确；对于C ：因为111()(|)0.050.155(|)()0.03322P B P A B P B A P A ⋅×===， 222()(|)0.030.255()()0.03322|P B P A B P B A P A ⋅×===， 所以12()()P B A P B A =，故C 正确；对于D ：由上可得125()()11P B A P B A +=，又因为333()(|)0.030.606(|)()0.03311P B P A B P B A P A ⋅×===，故D 错误， 故选：BC ． 10．若()()()()202422024012202423111x a a x a x a x −=+−+−++− ，则下列选项正确的有（ ）A ．01a =B ．20241232023202421a a a a a +++++=−C ．2024012202320242a a a a a +++++=D ．202312320232024232023202460722a a a a a +++++=× 【答案】ABD【分析】分别令1,0x x ==可判断AB ，利用二项展开式的通项公式可确定展开式系数的正负，去掉绝对值号，再赋值即可判断C ，取导数后赋值即可判断D. 【详解】对于A ，令1x =，可得()20240231a −==，故A 正确；对于B ，令0x =，可得()1232023202420240230a a a a a a +++++−×+ ，又01a =，所以20241232023202421a a a a a +++++=− ，故B 正确；对于C ，因为()[][]202420242024233(1)113(1)x x x −−−=−−=，展开式的通项公式为()12024C (3)1kkk k T x +=−−，所以2024C (3)(0,1,22024)k k k a k =−= ， 所以0122023202401232014a a a a a a a a a a +++++=−+−++ ， 令2x =，则()20240123201420242324a a a a a −×−+=−++= ，故2024012202320244a a a a a +++++=，故C 错误； 对于D ，因为()202420232332024(23)x x −=−×−′2202312320242(1)3(1)2024(1)a a x a x a x =−−−−−−−−2202312320242(1)3(1)2024(1)a a x a x a x =−+−+−++− ，所以202322023123202432024(23)2(1)3(1)2024(1)x a a x a x a x ×−=+−+−++− ，令0x =，可得202312320232024232023202460722a a a a a +++++=× ，故D 正确. 故选：ABD11．已知()()()2ln 20220x x x f x ax x x −−> = −−+≤，其图像上能找到A 、B 两个不同点关于原点对称，则称A 、B 为函数()y f x =的一对“友好点”，下列说法正确的是（ ）A ．()y f x =可能有三对“友好点”B ．若01a <<，则()y f x =有两对“友好点”C ．若()y f x =仅有一对“友好点”，则a<0D ．当a<0时，对任意的1>0x ，总是存在20x <使得()()120f x f x +=【答案】BD【分析】不妨设0x >，()f x 存在友好点等价于方程2ln x xa x +=有实数根，从而构造函数，利用导数得其单调性，画出图形，讨论()y g x =的图象以及直线y a =的图象的交点个数情况即可逐一判断求解. 【详解】若(),x y 和(),x y −−互为友好点，不妨设0x >，则()2ln 2220x x ax x −−+−++=，即2ln x xa x +=， 令()2ln ,0x x g x x x +=>，则()()243112ln 12ln x x x x x x x g x x x +−+ −−=′=， 令()12ln h x x x =−−，则()210h x x=−−<′， 所以()h x 单调递减，注意到()h x 和()g x ′同号，且()10h =， 所以当01x <<时，()0h x >即(0g x ′>，()g x 单调递增， 当1x >时，()0h x <即()0g x ′<，()g x 单调递减，从而即可在同一平面直角坐标系中作出()y g x =的图象以及直线y a =的图象，如图所示，当1a >时，()y f x =不存在友好点，当1a =或0a ≤时，()y f x =仅存在一对友好点， 当01a <<时，()y f x =存在两对友好点， 从而()y f x =不可能有三对“友好点”，若()y f x =仅有一对“友好点”，则1a =或0a ≤，故AC 错，B 对，当a<0时，()y f x =仅存在一对友好点，即对任意的1>0x ，总是存在20x <使得()()120f x f x +=，D 对. 故选：BD.【点睛】关键点点睛：关键是将设0x >，()f x 存在友好点等价于方程2ln x xa x +=有实数根，由此即可通过数形结合顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有 种．（用数字作答） 【答案】89【分析】借助加法计数原理，得到()12,3n n n a a a n −−=+≥，依次计算即可. 【详解】设小明上n 个台阶有n a 种方法，考虑最后一步：若最后一步小明上1个台阶，则前n 1−个台阶有1n a −种方法且2n ≥； 若最后一步小明上2个台阶，则前2n −个台阶有2n a −种方法且3n ≥. 由加法原理得()12,3n n n a a a n −−=+≥，易知121,2a a ==， 可得33a =，456789105,8,13,21,34,55,89.a a a a a a a ======= 所以小明不同的上楼方法共有89种.故答案为：89.13．已知函数()[],0,πf x x x x ∈，则()f x 的最大值为 ． 【答案】π【分析】求导得出函数()f x 在[]0,π上的单调性，即可求得()f x 的最大值为π.【详解】由()[],0,πf x x x x ∈可得()1f x x =′，令()0f x ′=可得cos x = 又[]0,πx ∈，所以π4x =，当π0,4x ∈时，()0f x ′<，此时()f x 在π0,4上单调递减，当π,π4x∈时，()0f x ′>，此时()f x 在π,π4 上单调递增；易知()()00,ππf f ==； 因此()f x 的最大值为π. 故答案为：π14．已知函数()ln ,0,1,0,x x x f x x x x>= −< 若函数()()()()1g x f f x af x =−+有唯一零点，则实数a 的取值范围是 .【答案】54a =−或11a −≤<【分析】()t f x =换元后转化为()1f t at =−，该方程存在唯一解0t ，且01,e t ∞∈−−，数形结合求解. 【详解】当0x <时，()f x 单调递减，图象为以y x =−和y 轴为渐近线的双曲线的一支；当0x >时，有()ln 1f x x ′=+，可得()f x 在10,e单调递减，在1,e ∞+ 单调递增 且()min 11e e f x f ==−，0lim ()0x f x →=，画出图象如下:由题意，(())()10f f x af x −+=有唯一解，设()t f x =， 则1et <−，（否则至少对应2个x ，不满足题意）， 原方程化为()10f t at −+=，即()1f t at =−， 该方程存在唯一解0t，且0,t ∞∈−.转化为()y f t =与1yat =−有唯一公共点，且该点横坐标在1,e ∞−−，画图如下：情形一：1yat =−与1y t t=−相切，联立得()2110a t t +−−=， 由Δ0=解得54a =−，此时01e t <−满足题意：情形二：1yat =−与1y t t=−有唯一交点，其中一个边界为1a =−(与渐近线平行)， 此时交点坐标为()1,0−，满足题意；另一个边界为1yat =−与ln y t t =相切，即过点()0,1−的切线方程，设切点为()000,ln x x x ，则0000ln 11ln 0x x a x x +=+=−，解得01x =，所以求得1a =，此时左侧的交点D 横坐标为12−满足条件，右侧存在切点E ，故该边界无法取到；所以a 的范围为[)1,1−.综上，a 的取值范围为54a =−或11a −≤<.故答案为：54a =−或11a −≤<【点睛】关键点点睛，解决本题的关键在于第一要换元，令()t f x =，转化为方程()1f t at =−存在唯一解0t ，且01,e t ∞∈−−，作出()y f t =与1yat =−的图象数形结合求解，第二关键点在于分类讨论后利用导数或联立方程组求切线的斜率，属于难题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知m ，n 是正整数，()()()11m nf x x x =+++的展开式中x 的系数为7． (1)求m ，n 为何值时，()f x 的展开式中2x 的系数最小，并求出此时3x 的系数； (2)利用（1）中结果，求()0.003f 的近似值．（精确到0.01） 【答案】(1)3m =，4n =或4m =，3n =，3x 的系数为5 (2)2.02【分析】（1）由x 的系数为7得11C C 7m n +=，2x 的系数为22C C m n +，消元讨论最小值即可求；（2）()()()430.00310.00310.003f =+++，考虑到精度，故各取多项式展开式的前两项即可【详解】（1）根据题意得11C C 7m n +=，即7m n +=．① ()f x 的展开式中2x 的系数为()()222211C C 222mnm m n n m n m n−−+−−+=+=．.......................................................2分 将①变形为7n m =−代入上式，得2x 的系数为2273572124m m m−+=−+，故当3m =，4n =或4m =，3n =时，2x 的系数取得最小值且为9；此时3x 的系数均为3334C C 5+=；........................................................6分 （2）当3m =，4n =或4m =，3n =时，()()()43010144330.00310.00310.003C C 0.003C C 0.003 2.02f =+++≈+×++×≈...........................................13分 16．（15分）已知函数()()()11ln f x ax a x a x=−−+∈R ．(1)求证：当0a =时，曲线()y f x =与直线1y =−只有一个交点； (2)若()f x 既存在极大值，又存在极小值，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)(0,1)(1,)∪+∞.【分析】（1）当0a =时，对()f x 求导，分析函数单调性，确定()f x 图象，可证明曲线()y f x =与直线1y =−只有一个交点.（2）将()f x 既存在极大值，又存在极小值，转换为()f x ′有两个变号零点问题，讨论零点位置可得实数a 的取值范围.【详解】（1）当0a =时，函数1()ln f x x x=−−，求导得：21()xf x x −′=， 令()0f x '>，得01x <<；令()0f x ′<，得1x >； 则函数()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 故max ()(1)1f x f ==−，所以曲线()y f x =与直线1y =−只有一个交点.....................................................7分 （2）函数()()11ln f x ax a x x=−−+的定义域为(0,)+∞，求导得211()a f x a x x +′=+− 设()()2()(1)111g x ax a x ax x =−++=−−，令()0g x =，解得11x a=，21x =. 因为()f x 既存在极大值，又存在极小值，即()g x 在(0,)+∞有两个变号零点，则1011aa> ≠ ，解得0a >且1a ≠， 综上所述：a 的取值范围为(0,1)(1,)∪+∞.......................................................15分 17．（15分）某校为庆祝元宵节，举办了游园活动，活动中有一个填四字成语的游戏，该游戏共两关．(1)第一关中一个四字成语给出其中三个字，参与游戏者需填对所缺的字．小李知道该成语的概率是12，且小李在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率是12．记事件A 为“小李通过第一关”，事件B 为“小李知道该成语”．①求小李通过第一关的概率()P A ；②在小李通过第一关的情况下，求他知道该成语的概率()P BA ∣． (2)小李已通过第一关来到第二关．第二关为挑战关卡，该关卡共五局，每一局互不影响，但难度逐级上升，小李知道第n 局()15n ≤≤成语的概率仍为12，但是在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率为12n，已知每一局答对的得分表如下（答错得分为0）： 局数 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 得分 1分2分4分7分11分若获得15分及以上则挑战成功且游戏结束，求在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率（保留两位小数）． 【答案】(1)①34②23(2)0.19【分析】利用全概率公式和条件概率公式计算即可；利用全概率公式计算每一局过关的概率，在通过分析在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功,即获得15分及以上，则有三类情况，在求得所求概率 【详解】（1）①依题可知()()()()111,|,22P A B P A B P B P B ====， 由全概率公式可得1113()()()()()12224P A P B P A B P B P A B =+=×+×= ②所求概率()()()122|334P BA P B A P A ===......................................................7分 （2）在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功,即获得15分及以上，则有三类情况：第一类第三四五局全答对；第二类第三局答错，第四五局答对；第三类第三局答对，第四局答错，第五局答对,记事件n C (n 1,2,3,4,5)=为“小李通过第n 局”，事件B 为“小李知道该成语”． 题可知11()1,()(),()()22n n n P C B P C B P B P B ====， 由全概率公式可得1111113()()()()()12224P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 22221115()()()()()1()2228P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 33331119()()()()()1()22216P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 444411117()()()()()1()22232P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 555511133()()()()()1()22264P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 则在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率为123451234512345()()()()()()()()()()()()()()()P P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C =++359173335917333591733(1)(1)481632644816326448163264=××××+××−××+×××−× 2014560.191048576≈.....................................................15分18．（17分）已知函数()1e 1−=−−x f xa x . (1)讨论()f x 的单调性；(2)当()ln 0f x x x +−≥恒成立时，求a 的取值范围； (3)证明：11e ln(1)nii n n =>++∑.【答案】(1)答案见解析 (2)1a ≥(3)证明见解析【分析】（1）借助导数，对0a ≤及0a >进行分类讨论即可得；（2）令()()ln g x f x x x =+−，由()01e ln1110g a a =−−=−≥，即可得其必要条件1a ≥，再借助导数对1a =及1a >的情况分类讨论即可得解； （3）借助（2）中所得，可得1eln 1x x −≥+，令1n x n+=，可得()1e ln 1ln 1n n n >+−+，累加即可得证. 【详解】（1）()1e 1,xf x a x −−′=∈R ，当0a ≤时，易知()0f x ′<，所以函数()f x 在R 上单调递减，当0a >时，令()1e 10x f x a −′=−=，解得1ln x a =−， 令()0f x ′>，解得1ln x a >−，即()f x 在()1ln ,a ∞−+上单调递增， 令()0f x ′<，得1ln x a <−，即()f x 在(),1ln a ∞−−上单调递减， 综上，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递减，当0a >时，()f x 在(),1ln a ∞−−上单调递减，在()1ln ,a ∞−+上单调递增；..............................................5分（2）令()()()1ln e ln 1,0,x g xf x x x a x x ∞−=+−=−−∈+， ()01e ln111g a a =−−=−，故10a −≥恒成立，即1a ≥，()11e x g x a x−=′−，令()()h x g x =′，则()121e x h x a x −′=+，所以()g x ′在()0,∞+上单调递增， 当1a =时，()11ex g x x−=′−，又()10g ′=， 有()()0,1,0x g x ∈′<，即()g x 单调递减，()()1,,0x g x ∞′∈+>，即()g x 单调递增，所以()()01e ln110g x g ≥−−，所以当1a =时，()ln 0f x x x +−≥成立；当1a >时，可得110a−<，11e 1a −∴<，所以11111e e 10a a g a a a a −− =−=−<′又()110,g a =−>′所以存在01,1x a ∈，使得()00g x ′=，即0101e x a x −=，()()()()000,,0,,,0x x g x x x g x ∞′′∈∈+，所以函数()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()()0100e ln 1x g x g x a x −∴≥=−−，由011e x x −=可得00ln 1ln a x x +−=−， ()0012ln 0g x x a x ≥+−+>， 综上，a 的取值范围为1a ≥；.......................................................11分 （3）由（2）知，当1a =时，有()ln 0f x x x +−≥，即1e ln 1x x −≥+， 令*1,n xn n +∈N ，得()11e ln 1ln 1ln 1n n n n n +>+=+−+， ()112e e e ln2ln1ln3ln2ln4ln3ln 1ln nn n n ∴+++>−+−+−+++−+ ， ()112e e e ln 1nn n ∴+++>++ ，即11e ln(1)nii n n =>++∑.......................................................17分【关键点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于从（2）中所得1e ln 1x x −≥+，再令*1,n xn n+∈N ，可得()1e ln 1ln 1nn n >+−+，再累加即可得证.. 19．（17分）设集合{}1,2,3,,M n =⋅⋅⋅，其中3n ≥，n N ∈，在M 的所有元素个数为K （K N ∈，2≤K ≤n ）的子集中，我们把每个K 元子集的所有元素相加的和记为K T （K N ∈，2≤K ≤n ），每个K 元子集的最大元素之和记为K a （K N ∈，2≤K ≤n ），每个K 元子集的最小元素之和记为K b （K N ∈，2≤K ≤n ）． (1)当n ＝4时，求3a 、3b 的值； (2)当n ＝10时，求4T 的值；(3)对任意的n ≥3，n N ∈，给定的K N ∈，2≤K ≤n ，KKb a 是否为与n 无关的定值？若是，请给出证明并求出这个定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1)315a =，35b =；(2)4620 (3)K K b a 与n 无关，为定值1K，证明过程见解析. 【分析】（1）将3元子集用列举法全部列举出来，从而求出3a 、3b 的值；（2）用组合知识得到每个元素出现的次数，进而用等差数列求和公式进行求解；（3）用组合及组合数公式先求出K a ，再求出K a 与k b 的和，进而求出k b 及比值.【详解】（1）当4n =时，{}1,4M =，则3元子集分别为{}{}{}{}1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4，则3344415a =+++=，311125b =+++=........................................................3分（2）当n ＝10时，4元子集一共有410210C =个，其中从1到10，每个元素出现的次数均有3984C =次，故()410118412108446202T ×=×+++=×= ....................................................9分 （3）K K b a 与n 无关，为定值1K，证明过程如下： 对任意的n ≥3，n N ∈，给定的K N ∈，2≤K ≤n ， 集合{}1,2,3,,M n =⋅⋅⋅的所有含K 个元素的子集个数为K n C ，这K n C 个子集中，最大元素为n 的有11K n C −−个，最大元素为()1n −的有12K n C −−个，……，最大元素为()n m −的有11K n m C −−−个，……，最大元素为1n K −+的有11K K C −−个，则()()()()1111112311121K K K K K K n n n n m K a nC n C n C n m C n K C −−−−−−−−−−−=+−+−++−++−+ ①，其中()11K K n m n m n m C KC −−−−−=，所以()12K K K K KKn n n n m K a K C C C C C −−−=++++++ ()111211K K K K K K n n n n m K n K C C C C C KC ++−−−++++++++= ，这K n C 个子集中，最小元素为1的有11K n C −−个，最小元素为2的有12K n C −−个，最小元素为3的有13K n C −−个，……，最小元素为（m +1）的有11K n m C −−−个，……，最小元素为K 的有11K K C −−个，则()1111112311231K K K K K K n n n n m K b C C C m C KC −−−−−−−−−−−=+++++++ ②，则①+②得：()()()()111111123111111K K K K K K K K K n n n n m K n n a b n C C C C C n C K C −−−−−+−−−−−−++=+++++++=+=+ ，所以()1111111K K K K n n n b K C KC C ++++++=+−=，故1K K b a K=，证毕........................................................17分 【点睛】集合与组合知识相结合，要能充分利用组合及组合数的公式进行运算，当然在思考过程中，可以用简单的例子进行辅助思考.。
福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题本试卷共4页。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若经过两点的直线的倾斜角为，则等于（）A.-3B.-1C.0D.22.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（）A. B. C. D.4.已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于A，B两点，若，则的斜率为（）5.如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形若该椭圆恰好平分的另两边，则椭圆的离心率为（）(3,1)(2,1)A y B+-、3π4y22221(0,0)x ya ba b-=>>542y x=±12y x=±43y x=±34y x=±22:(1)(2)1M x y+++=22(3)(4)1N x y-++=：l l 250x y++=250x y--=250x y++=250x y--=2:4C y x=F F l C16||3AB=l22221(0)x ya ba b+=>>12,F F12F F12AF F 12AF FV12,AF AF6.已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为E ，O 为坐标原点，若的面积为1，则的焦距的最小值为（ ）A.1B.2C.4D.7.如图，已知直线与抛物线交于A ，B 两点，且交AB 于点，点的坐标为，则方程为（ ）A. B. C. D.8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（ ）A.的虚轴长为6B.的离心率为C.的渐近线方程为D.点到的一条渐近线的距离为410.已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列描述正确的有（ ）1-F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F C OEF V C l 22y x =,OA OB OD AB ⊥⊥D D (1,1)l 20x y +-=20x y ++=20x y -+=20x y --=12,F F P 12PF PF >1PF 2F 1e 2e 2114e e +(5,)+∞(6,)+∞(7,)+∞(6,7)F 22:1169x y Γ-=ΓΓ54Γ430x y ±=F ΓP :60l x y +-=Q 22:(1)(1)4C x y -+-=P CA.直线与圆相交B.|PQ |的最小值为C.四边形PACB 面积的最小值为4D.存在点，使得11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值，则（ ）A.曲线关于直线对称B.曲线经过点，其方程为C.曲线围成的图形面积小于D.存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的焦距是2，则的值是_____________.13.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为____________.14.双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，已知函数.则其在一象限内的焦点横坐标是__________.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知圆与轴交于A ，B 两点，动点与点A 的距离是它与点距离倍.（1）求点的轨迹方程;l C 2-P 120APB ︒∠=C C (0)a a >C y x =C (1,1)--()322||x yxy +=C 2π8a (2,6)a ∈C 221(4)4x y m m +=>m 24y x =A x B C ABC V 1y x=y x =y x =-(1,1),(1,1)--(y x =+e 22O :4x y +=x P B P（2）过点作倾斜角为直线交点的轨迹于M ，N 两点，求弦长|MN |.16.（本小题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点.（1）求双曲线的方程;（2）直线与双曲线相交于两点，若线段AB 的中点坐标为，求直线的方程.17.（本小题15分）已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点.（1）求椭圆的方程;（2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点，记AP 的斜率为的斜率为.求证:为定值.18.（本小题17分）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.（1）求抛物线的方程;（2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段AB 的中点.（i ）求证:点N 在定直线上;（ii ）若的面积为6，求点A 的坐标.19.（本小题17分）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点，（1）已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，B 45︒l P 2222:100x y C a b a b-=>>（，）0x -=P C l C ,A B (3,2)l 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,F A B C C (1,0)D l l C M 1,k BQ 2k 12k k 2:2(0)C y px p =>F (,2)M t C ||2MF =C ()()1122,,,A x y B x y 12x x <C M AMB ∠x N MAB ∆(,)AB x y =AB A θ(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+B A θP (A B -B A π3P P 221x y xy +-=22221(0)x y a b a b+=>>O π4C（i ）求斜椭圆的离心率;（ii ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点M 、N ，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点G 、H是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.C Q 1l C O 2l 1l 2l C 21||OH +福建省厦门2026届高二上期中考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
高二数学期中模拟卷
期中模拟卷 班级 姓名1．在直角坐标系中，直线0x -=的倾斜角是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒2.已知等差数列{}n a 中，132,4a a ==，则公差d =（ ） A. 2- B. 1- C. 1 D. 23.ABC ∆中，已知222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，满足4ab =，则ABC ∆的面积为（ ）A. 1B. 2C.D. 4.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，公比2q =，则4S 的值为（ ）A. 15B. 16C. 30D. 315.若非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式成立的是（ ） A. 1a b < B. 2b a a b +≥ C. 2211ab a b < D. 22a a b b +<+6．若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为（ ）A ．1B ．-2C ．1或-2D ．23- 7．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>8.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，890, 0S <S =.若n k S S ≥对*n ∈N 恒成立，则正整数k 构成的集合是（ ） A. {4,5} B. {4} C. {3,4}D. {5,6} 9．已知数列{}n a 的通项为1122133n n n a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下列表述正确的是（ ） A ．最大项为0，最小项为2081-B ．最大项为0，最小项不存在C ．最大项不存在，最小项为14-D ．最大项为0，最小项为14- 10.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知,23A a b π===，则B =___，ABC ∆的面积S =____.11．已知实数,x y 满足10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是____，满足条件的实数,x y 构成的平面区域的面积等于____．12．ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．若sin sin b A a C =，1c =，π6B =，则b =___，a =____．︒＝________.14.已知正实数,x y 满足3x+y+=xy ，则x y +的最小值为__________．15.已知函数2()sin cos f x x x x =+. (Ⅰ)求π()6f 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调增区间；（Ⅲ）若(0,π)α∈,1()24f α=7πsin()12α+的值.16．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin b A a B =.（1）求A ；（2）若2=a ，求ABC ∆的周长.17．已知等比数列{}n a 的各项为正数，n S 为其前n 项的和，3=8a ，3=14S ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n b a -是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项的和n T ．。
2023-2024学年上海市嘉定区高二上册期中数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年上海市嘉定区高二上册期中数学模拟试题一、填空题1．一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为________．【正确答案】16【分析】根据棱柱的体积公式直接计算即可.【详解】由题可得该正四棱柱的体积为22416⨯⨯=.故16.2．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是______．【正确答案】3π【分析】求得圆锥的底面半径和母线长，由此求得圆锥的表面积.【详解】解：设圆锥的底面半径为x ，则高为3x ，母线长为2x .依题意12332x x ⨯⨯=，解得1x =或=1x -（舍去），所以圆锥的底面半径为1，高为3，母线长为2.所以圆锥的表面积为2π1π123π⨯+⨯⨯=.故3π3．已知四面体ABCD 中，E 、F 、G 分别为BC 、AD 、BD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3，则FGE ∠=_________.【正确答案】π3或2π3【分析】根据//AB FG ，//CD GE ，结合异面直线夹角的定义求解即可.【详解】如图，因为E 、F 、G 分别为BC 、AD 、BD 的中点，故//AB FG ，//CD GE ，故AB 与CD 所成的角即FG 与GE 所成的角为π3，且与FGE ∠相等或者互补，故FGE ∠=π3或2π3.故π3或2π34．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长2AB =，若直线1B C 与底面ABCD 所成的角的大小为arctan 2，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积为________【正确答案】32【分析】根据线面垂直关系、线面角的定义可知1arctan 2B CB ∠=，从而得到12BB BC =，根据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积.【详解】四棱柱1111ABCD A B C D -为正四棱柱∴四边形ABCD 为正方形，1BB ⊥平面ABCD∴直线1B C 与底面ABCD 所成角为1arctan 2B CB ∠=1224BB BC AB ∴===∴正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积：1442432S AB BB =⋅=⨯⨯=故答案为32本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面角的具体位置，从而得到长度关系，属于基础题.5．已知异面直线a ，b 所成角为70°，过空间定点P 与a ，b 成55°角的直线共有____________条．【正确答案】3根据条件先将直线,a b 平移至过点P ，然后根据直线,a b 所成角的角平分线以及直线,a b 所在平面的垂线分析与直线,a b 所成角均为55︒的直线的条数.【详解】将直线,a b 平移，使两直线经过点P ，如下图所示：设直线,a b 所成角的角平分线为c ，过点P 垂直于直线,a b 所在平面的直线为d ，因为,a b 所成角为70︒，当直线l 经过点P 且直线l 在直线,a b 所在平面内且垂直于直线c ，此时l 与直线,a b 所成角均为18070552︒-︒=︒；当直线l 在直线,c d 所在平面内时，若l 绕着P 点旋转，此时l 与直线,a b 所成角相等，且所成角从70=352︒︒变化到90︒，再从90︒变化到35︒，所以此时满足条件的l 有2条，综上所述：过空间定点P 与,a b 成55︒角的直线共有3条，故答案为.3结论点睛：已知异面直线,a b 所成角为0,2πθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过空间任意一点O 作直线l ，使得l 与,a b 成等角ϕ：（1）当0,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，此时l 不存在；（2）当2θϕ=时，此时l 有一条；（3）当22θπθϕ-<<，此时l 有两条；（4）当2πθϕ-=时，此时l 有三条；（5）当22πθπϕ-<<时，此时l 有四条.6．圆锥P O -轴截面的顶角为34π，母线长为2，则过任意两条不重合的母线的截面面积的取值范围为_________.【正确答案】(]0,2【分析】设,PA PB 为圆锥的任意两条母线，APB θ∠=，则有30,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，然后利用三角形的面积公式表示出PAB S ，从而可求出其范围.【详解】设,PA PB 为圆锥的任意两条母线，APB θ∠=，则由题意得30,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，2PA PB ==，1sin 2sin 2PAB S PA PB APB θ=⋅∠=，因为30,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以2sin (0,2]θ∈，所以过任意两条母线的截面面积的取值范围为(]0,2，故(]0,27．在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于α，则sin α=______．33【分析】画出几何图形,可知面11A BC 与12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于α,在1Rt EBB 可求得sin α.【详解】画出几何图形,可知面11A BC 与12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于α正方体1111ABCD A B C D -∴1B D ⊥面11A BC ,∴1BB 与面11A BC 所成的角为1B BE∠不妨设正方体棱长为1,故12EB =在1Rt EBB 中由勾股定理可得:2EB =∴11si n 2EB B BE EB ∠==∴sin α=故答案为本题考查了线面角求法,根据体积画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的关键.属于基础题.8．下列命题中正确的命题为__________.①若ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P Q R 、、，则P Q R 、、三点共线；②若三条直线a b c 、、互相平行且分别交直线l 于、、A B C 三点，则这四条直线共面；③若直线a b 、异面，b c 、异面，则a c 、异面；④若,a c b c ⊥⊥，则//a b .【正确答案】①②【分析】根据三点共线和共面的性质、异面直线的性质、垂直的性质逐一判断即可.【详解】对于①，设平面α平面=ABC l ，因为P α∈，所以P ∈平面ABC ，所以P l ∈，同理Q l ∈，R l ∈，故P Q R 、、三点共线，①正确；对于②，因为//a b ，所以,a b 可以确定一个平面α，因为,,,A a B b a b αα∈∈⊂⊂，所以AB α⊂，所以l ⊂α，又C l ∈，所以C α∈，因为//c a ，所以//c α或c α⊂，又c C α=，所以//c α不成立，所以c α⊂，即这四条直线共面，所以②正确；对于③，直线a b 、异面，b c 、异面，但是a c 、平行，所以③错误，如下右图；对于④，,a c b c ⊥⊥，但a b ⊥r r ，所以④错误，如下左图.故正确的命题为①②.故①②9．,,A B C 是半径为2的球O 表面上三个点，ABC 的外接圆面积为π，则球心O 到平面ABC 的距离为____________.【分析】由ABC 的外接圆面积为π可求得其外接圆半径1r =，又因为球的半径2R =，则可求得球心O 到平面ABC 的距离d ==【详解】ABC 的外接圆面积为π，∴ABC 外接圆半径1r =，又球O 的半径2R =，∴球心O 到平面ABC 的距离为d ==.故答案为10．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P 到面ACD ､BCD 的距离分别为1d ､2d ，则12d d +=___________.【分析】求得四面体的高，利用P BCD P ACD A BCD V V V ---+=，代入棱锥的体积公式可得12d d +的值．【详解】解：如图AO ⊥平面BCD ，23OB a a =⨯，AO ∴=，因为P BCD P ACD A BCD V V V ---+=，在正四面体中，BCD ACD S S =V V ，∴12111333BCD BCD ACD S AO S d S d ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，12d d ∴+=．故3a ；11．在长方体1111ABCD A B C D -中，棱6AB =，1BC BB ==，点P 是线段1BC 上的一动点，则1AP PB +的最小值是___________【正确答案】【分析】将△11BB C 沿1BC 为轴旋转至于平面1ABC 共面，可得△21BB C ，利用122AP PB AP PB AB +=+求解即可．【详解】解：将△11BB C 沿1BC 为轴旋转至于平面1ABC 共面，可得△21BB C 则2135ABB ∠=︒，故122AP PB AP PB AB +=+=，当且仅当P 为2AB 与1BC 的交点时取等号，所以1AP PB +的最小值是故12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,3,,,AD D AB E F GD ===分别为11,,AB BC C D 的中点.点P 在平面ABCD 内，若直线1//D P 平面EFG ，则线段1D P 长度的最小值是______・7【分析】利用线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，确定P 在直线AC ，再根据1D P AC ⊥时线段1D P 最短即可求解.【详解】解：如图，连结11,,AC D A D C ，∵,,E F G 分别为11,,AB BC C D 的中点，∴//,AC EF EF ⊄平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，∴//EF 平面1,ACD ∵1//,EG AD EG ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，∴//EG 平面1ACD ，∵EF EG E =，∴平面//EFG 平面1ACD ，∵1//D P 平面EFG ，∴点P 在直线AC 上，在1ACD △中，112,2,2===AD AC CD，122 12722(),222A C D S =⨯⨯-=△∴当1D P AC ⊥时，线段1D P 的长度最小，最小值为172=11222C AD S AC ⨯⨯△＝72.故答案为.72二、单选题13．如图，绕虚线旋转一周形成的几何体是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据旋转体的定义，即可求解.【详解】由题意，题设中图形是直角梯形，根据旋转体的定义，可得绕其长底边旋转一周后得到的几何体是圆锥与圆柱的组合体，只有选项D 适合．故选：D.14．已知直二面角l αβ--，直线a 在平面α上，直线b 在平面β上，且直线a 与直线l 不垂直，直线b 与直线l 不垂直，则以下判断正确的是（）A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直，也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行【正确答案】C【分析】利用空间中两直线的位置关系求解．【详解】解：l αβ--是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂直，∴当//a l ，且//b l 时，由平行公理得//a b ，即a ，b 可能平行，故A 与D 错误；当a ，b 垂直时，则a 与b 在α内的射影垂直，由于二面角是直二面角，b 在α内的射影即为l ，则可证得a l ⊥，与已知矛盾，a ∴与b 不可能垂直，有可能平行．故选：C ．15．三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为1S ，2S ，3S ，则三棱锥的体积是（）A B C D 【正确答案】C 【分析】根据三棱锥的侧棱两两垂直，推出三个侧面都是直角三角形，根据直角三角形的面积公式和三棱锥的体积公式可求出结果.【详解】因为三棱锥的侧棱两两垂直，所以三个侧面都是直角三角形，设三条侧棱长分别为,,a b c ，则123111222S S S ab bc ac =⋅⋅，所以abc =所以三棱锥的体积111326V a bc =⋅==故选：C16．已知两个平面,αβ和三条直线,,m a b ,若m αβ=,a α⊂且,a m b β⊥⊂,设α和β所成的一个二面角的大小为1θ,直线a 和平面β所成的角的大小为2θ,直线,a b 所成的角的大小为3θ,则（）A ．123θθθ=≥B ．312θθθ≥=C ．1323,θθθθ≥≥D ．1232,θθθθ≥≥【正确答案】D【分析】在一个平行六面体中,对三个角进行比较,即可选出正确答案.【详解】如图,在平行六面体中,1190,90A AD A AB ∠=∠> 不妨设面11AA D D 为α,面ABCD 为β,BC b =.则AD m =,1AA a=此时,由图可知,12390,90,90θθθ><= .只有C 选项符合.故选:D.本题考查了线面角,考查了面面角的概念.一般情况下,涉及到线面角和面面角问题时可借助空间向量进行求解.但在本题中,没有具体的几何体,因此,我们可以采取举实例的方法,在一个具体地几何体中探究角的大小关系.三、解答题17．如图，已知平面α，β，且l αβ=.若梯形ABCD 中，//AD BC ，且AB ⊂α，CD ⊂β.求证：,AB CD ，l 共点（相交于一点）.【正确答案】证明见解析.【分析】利用平面公理2可以证明三线共点：设直线AB ⋂直线CD M =，先证明M 为αβ、的公共点，再证明M l ∈，从而可以证明,AB CD ，l 共点.【详解】因为梯形ABCD 中，//AD BC ，所以,AB CD 是梯形ABCD 的两腰.所以直线,AB CD 必相交于一点.设直线AB ⋂直线CD M =.又因为,AB CD αβ⊂⊂，所以,M M αβ∈∈.所以M αβ∈⋂.又因为l αβ=，所以M l ∈，即,AB CD ，l 共点（相交于一点）.18．（1）请用文字语言叙述平面与平面平行的判定定理；（2）把（1）中的定理写成“已知：⋯⋯，求证：⋯⋯”的形式，并用反证法证明．【正确答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【分析】（1）直接写出平面与平面平行的判定定理；（2）利用线面平行的性质定理进行反证.【详解】（1）平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与一个平面平行，则这两个平面平行．（2）已知,,,//,//b a b P a b αββαα⊂⊂=，求证：//αβ．下面利用反证法证明：如图，假设α与β相交，设交线为c ，因为//,,a c ααβαβ⊂=，所以//a c ，因为//,,b c ααβαβ⊂=，所以//b c ，由平行公理得//a b ，与a b P =矛盾，所以假设错误，故//αβ．19．如图，AB 是圆柱的底面直径且2AB =，PA 是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点．（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）当三棱锥-P ABC 体积最大时，求二面角C PB A --的大小．（结果用反三角函数值表示）【正确答案】（1）证明见解析；（2）arcsin 3．【分析】（1）证明PA ⊥面ABC ，可得PA BC ⊥，结合BC AC ⊥，由线面垂直的判定定理即可求证；（2）由题意可得AC BC =，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，即可求解.【详解】（1）因为AB 是圆柱的底面圆的直径，所以2ACB π∠=，即BC AC ⊥，因为PA 是圆柱的母线，则PA ⊥面ABC ，因为BC ⊂面ABC ，所以PA BC ⊥，因为PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ；（2）三棱锥-P ABC 体积为1233ABC ABC V S PA S =⨯⨯=，要使得三棱锥-P ABC 体积最大，只需ABC 的面积最大，即点C 到AB 的距离最大，此时AC BC =，设底面圆的圆心为O ，连接OC ，则OC AB ⊥，由PA ⊥面ABC ，OC ⊂面ABC ，可得OC PA ⊥，因为PA AB A =，所以OC ⊥面PAB ，所以OC PB ⊥，因为2AB =，2PA =，取PB 的中点D ，连接AD ，则AD PB ⊥，作OG PB ⊥，连接CG ，则G 为BD 的中点，由OG PB ⊥，OC PB ⊥，OC OG O ⋂=，则PB ⊥面OCG ，所以PB CG ⊥，可得CGO ∠即为二面角C PB A --的平面角，因为22222222PB PA AB =+=+=所以122AD PB ==，1222OG AD ==，1OC =，在Rt COG 中，22222612CG OG OC ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭所以16sin 362OC CGO CG ∠==6arcsin 3CGO ∠=，故二面角C PB A --的平面角为63.方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.20．如图所示，四边形ABCD 为菱形，PA PD =，二面角P AD C --为直二面角，点E 是棱AB 的中点．（Ⅰ）求证：PE AC ⊥；（Ⅱ）若PA AB =，当二面角P AC B --的余弦值为PE 与平面ABCD 所成的角．【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）45︒．【分析】（Ⅰ）设点F 是棱AD 的中点，连接,,PF EF BD ，根据面面垂直的性质定理，得到PF ⊥平面ABCD ，进而得到PF AC ⊥，再由BD AC ⊥，结合线面垂直的判定定理，即可求解；（Ⅱ）解法一：设点G 是AC 与EF 的交点，证得PGE ∠为二面角P AC B --的平面角，结合解三角形的知识，即可求解；解法二：设点O 是AC 与BD 的交点，以OA 所在直线为x 轴OB 所在直线为y 轴，过点O 垂直平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，可得平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n = ，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）如图所示，设点F 是棱AD 的中点，连接,,PF EF BD ，由PA PD =及点F 是棱AD 的中点，可得PF AD ⊥，又二面角P AD C --为直二面角，故PF ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，所以PF AC ⊥，又因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，而EF 是ABD △的中位线，所以//EF BD ，可得EF AC ⊥，又由PF EF F =，且PF ⊂平面PEF ，EF ⊂平面PEF ，所以AC ⊥平面PEF ，又因为PE ⊂平面PEF ，所以PE AC ⊥．（Ⅱ）解法一：设点G 是AC 与EF 的交点，连接PG由（Ⅰ）可知AC ⊥平面PEF ，又,PG EG 均在平面PEF 内，从而有,PG AC EG AC ⊥⊥，故PGE ∠为二面角P AC B --的平面角，因为PA AB =，所以PAD 为等边三角形．不妨设菱形ABCD 的边长为2,a GE b =．则在Rt PFG 中，,PF FG b ==，于是PG =在Rt PFE 中，PE =故cos cos PGE PGF ∠=-∠==整理得2234a b =，2b a =．因为PF ⊥平面ABCD ，所以PEF ∠为直线PE 与平面ABCD 所成的角．则tan 12PF PEF EF b∠===，所以直线PE 与平面ABCD 所成的角为45︒.解法二：设点O 是AC 与BD 的交点，以OA 所在直线为x 轴OB 所在直线为y 轴，过点O 垂直平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．如图所示：设2,2OA OB b ==，则(2,0,0),(2,0,0)A C -，2(1,33)P b b -+，则2(4,0,0),(1,,33)CA AP b ==--+ ，设平面PAC 的法向量为(,,)m x y z = ，则00m AP m CA ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即233040x by b z x ⎧⎪--++=⎨=⎪⎩，取1z =，得233b m b ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，又因为平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n = ，则2215|cos ,|5||||331m n m n m n b b ⋅〈〉==++ 3b =则(1,3,23),3,0)P E -，3,23)PE =- ，则232|cos ,|2||||26PE n PE n PE n ⋅-〈〉=== ，则直线PE 与平面ABCD 所成的角为45︒．本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是11A D 和1CC 的中点.(1)求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值；(2)在棱1BB 上是否存在一点P ，使得二面角P AC B --的大小为30 ?若存在，求出BP 的长，若不存在，请说明理由；(3)求异面直线EF 与AB 之间的距离.【正确答案】63(2)存在，63(3)322【分析】(1)做出异面直线所成的角，解三角形求解即可；(2)假设存在，利用二面角P AC B --的大小为30 求解即可；(3)利用线面垂直，找到公垂线，然后借助相似来计算即可.【详解】（1）取1DD 的中点M ，因为F 是1CC 的中点，所以//MF CD ，又//AB CD ，所以//AB MF ，所以异面直线EF 与AB 所成角也就是EF 与MF 所成角，由正方体得MF ⊥平面11ADD A ，EM ⊂平面11ADD A ，所以MF EM ⊥，2,2MF EM ==，所以6EF =cos 636MF EFM EF ∠=，所以异面直线EF 与AB 所成角的余弦值为63.（2）假设存在点P 符合题意，连接BD 与AC 交于点O ，所以AC BD ⊥，因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以PA PC =，又O 是AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以POB ∠就是二面角P AC B --的平面角，故假设成立，存在这样的P 点.又因为30POB ∠= ，1122OB BD ==tan 30BP OB == 3BP ==.（3）连接1AD ，因为E M 、是111A D DD 、的中点，所以1AD EM ⊥，如图第一个，又因为MF ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以1AD MF ⊥，即1AD AB ⊥，又EM MF M ⋂=，所以1AD ⊥平面EMF ，又EF ⊂平面EMF ，所以1AD EF ⊥，接着取1BB 的中点G ，连接GF ，延长1A G 交AB 延长线于点H ，连接1D H ，交GF 于点K ，交EF 于点O ，过O 作1AD 的平行线交AB 于点1O ，连接1OO ，如下图，由1AD EF ⊥，1AD AB ⊥得1OO 为EF 与AB 的公垂线，易得1HOO 与1HD A 相似，又因为G 是1A H 中点，则K 是GF 的中点，所以12KD KH OK ==，所以11134OO OH D H AD ==，又122AD =，所以1322OO =.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏省启东中学高二数学期中模拟卷二
一、填空题
1．停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有 2．如果将函数y ＝sin2x ＋3cos2x 的图象按向量a 平移后所得的图象关于y 轴对称，那么向量a 可以是 3
．在28
(2x +
的展开式中，含x 的正奇数指数幂的项数共有
4．若动点(x ,y )在曲线
14
2
22
=+
b
y x
(b >0)上变化，则x 2
+2y 的最大值为
5．某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人从01至10中 选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号， 将这7个号组成一注，若这个人把这种特殊要求的所有注买全，至少要花费 6．已知2
3
19
20
1,
1M x x
x x
x y x =-+-+-+=+
，将M 表示为关于y 的多项式，即
23
19
20
01231920M a a y a y a y a y
a y
=++++++ ，则2a 等于
7．复平面上有圆C ：|z|=2，已知
1
z 1z 11+-（z 1≠-1）是纯虚数，则复数z 1的对应点P
8．已知a 和x 均为实数，设复数z 1=3x 2+(x-a+1)2i ，z 2=27+(x 2+a-ax-1)i ，且z 1>z 2，则a ∈
9．直线()为参数t t
y t
x ⎩⎨
⎧+=--=2322上与点()32，P -距离等于
2的点的坐标是
10．某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他试着随意拨号,假设他拨过的号不再重复, 则其拨号不超过3次拨通的概率为
11将参数方程为参数）θθ
θ(sin ,
cos 1⎩⎨
⎧=+=y x ，转化为直角坐标方程是 ， 该曲线上的点与定点A （－1，－1）的距离的最小值 。
12．过抛物线y 2=4x 的焦点作倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则
的取值范围是
13．三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i
j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有
两个数位于同行或同列的概率是
14．下列命题中：
（1） 虚数的平方根仍是虚数；z 1-z 2>0是z 1>z 2的必要条件；
（2） 满足|z-i|+|z+i|=2的复数z 所对应的点的轨迹是椭圆；方程z 2
=z 有四个根． 正确命题的序号为 ．
三、解答题
15．已知甲、乙两个篮球运动员，罚球命中率分别为0.5和0.6，现规定每人罚球两次 （Ⅰ）求甲、乙都恰好命中一球的概率；
(Ⅱ)若命中一球得1分，未命中得0分，得分多者获胜，求甲获胜的概率。
16．满足z+
z
5是实数，且z+3的实部与虚部互为相反数的虚数z 是否存在，若存在，求出虚数z ；若不存
在，请说明理由． 17．过椭圆
2
22
2
1y x a
b
+
=的焦点(2,0)F 引一条斜率为1的直线交椭圆于A 、
B 两点。
M 是AB 中点OM （O 为原点）交椭圆于
C 、
D 两点。
若3D M
M C
=，求椭圆的方程。
18．设直线（L ）的参数方程是⎩
⎨⎧+==;,
mt b y t x （t 是参数）
椭圆（E ）的参数方程是⎩
⎨⎧θ=≠θ+=sin )
0(,cos 1y a a x （θ是参数）
问a 、b 应满足什么条件，使得对于任意m 值来说，直线（L ）与椭圆（E ）
总有公共点
江苏省启东中学高二数学期中模拟卷二参考答案
1 A 88·C 1
9种 2 (－π12
，0) 3 2项 4 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)
4(2)40(44
2b b
b b
5 8640元
6 1330
7 必在圆C 内部
8 （-∞，-2）∪（4，+∞）
9．(3,4)或(1,2)-- 10．
10
3 11．1)1(22=+-y x ，15-
12．3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
13．13
14 14．1，2，4 15
11
22()0.5(10.5)0.6(10.6)0.24
P A C C =⨯⨯-⨯⨯⨯-=1
2
1
1
2
2
1
2
2
222222()(0.5)(0.60.4)(0.5)(0.4)(0.5)(0.4)0.24P B C C C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
16．解：假设存在虚数z ，则设z=a+bi(a ，b ∈R ，且b ≠0)，则
⎪⎩⎪⎨
⎧=++∈+++,0b 3a ,R bi a 5bi a ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
-=+=+-.
3b a ,0b a b 5b 2
2∵b ≠0，∴⎩⎨⎧-=+=+,3b a ,
5b a 2
2
解出⎩⎨⎧-=-=2
b ,1a 或⎩⎨
⎧-=-=.1b ,
2a ∴存在虚数z 1=-1-2i 或z 2=-2-i 满足上述条件．
17解：过点F （2，0），斜率为1
的直线方程：22
22
x t y x y t ⎧=+⎪⎪=-⇒⎨⎪=⎪⎩
联立椭圆方程得：
(
)2
2
2
24
20t a
b
t
b +++=，点M 对应的212
2
2
2
t t t b
a
b
+=
=-
+
点M 的坐标：2
2
2
2
2
222x y a a b
b a b ⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪+⎩
，OM 的斜率22K b a
=-
直线OM
的参数方程：2
2
2
2
2
2
2
2
22x y a
a b
b
a
b
⎧=-
⎪+⎪⎪
⎨
-⎪=+
⎪+⎪⎩
代入
2
22
2
1y x
a
b
+
=得
2
22
2
4
4
2
2
20t a b b
t
a
b
a
b
+--
=++ ，
()()
2
4
4
2
121
2
222
b
a
b t t t t a b
a b
-++=
=
++
2
1
2
1211213,3,32
DM M C
t t
t t t t t t +=∴
=-=-=-
即
()(
)
2
2
4
4
2
2322b
a
b
a b a b -+=-⎛ ++⎝⎭
2
6b
⇒
=又2c =
18解：消去参数，得 （L ）：;b mx y +=（E ）：
.1)1(2
2
2
=+-y
a
x
消去y ，整理得01)1(2)1(2222222=+-+-++a b a x mb a x m a （L ）、（E ）有交点的条件是上式的判别式≥0，即
0)1)(1()1(2
222222≥+-+--a b a m a mb a
化简并约去a 2得
.0)1(2)1(2
2
2
≥-+--b bm m a
对任意m 的值，要使这个式子永远成立，条件是
⎩⎨
⎧==⎪⎩
⎪
⎨
⎧
-≤
≤-->⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧==-≤--->-0
,1||)2(|
|1|
|1,1||)1(.0,01)2(;
0)1)(1(,01)1(2
2
22
222
b a a a b a a a b a b a b a 或解得或
或（1）、（2）合写成：
⎪⎩
⎪⎨⎧-≤
≤--≥.|
|1|
|1,1||2
2
a a
b a a a 即所求的条件。