与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第六章 数列 课时跟踪训练30
与名师对话 高三文科第一轮复习 第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示方法
微 课
回 顾
A．第22项
B．第23项
导 学
C．第24项
D．第28项
核
[解析] 由3 5＝ 45＝ 2×23－1，可知3 5是该数列 课
心
后
考 点
的第23项．故选B.
跟 踪
突
训
破
练
第15页
第6章 第1节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，则an＝
核
课
心 考
∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，
后 跟
点 突
∴an＝(－2)n－1.
破
踪 训 练
第29页
第6章 第1节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基 础 知
[拓展探究] (1)若把本例(1)中“Sn＝3n2－2n”改为“Sn
名 师 微
识 回 顾
＝3n2－2n＋1”，其他条件不变，数列{an}的通项公式是 __a_n_＝__26_， n_－_n_＝ 5_，_1_， n_≥__2______．
后 跟
点
踪
突
训
破
练
第9页
第6章 第1节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基 础
2．两个特殊问题
名 师
知 识
(1)对于数列与周期性有关的题目，关键是找出数列的
微 课
回
导
顾 周期．
学
(2)求数列最大项的方法：
核
①利用数列{an}的单调性；
课
心
后
考 点 突 破
②解不等式组ak≥ak－1， ak≥ak＋1.
与名师对话 高三文科第一轮复习 第六章 数列 第四节 数列求和
跟 踪 训 练
第5页
第6章 第4节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
②等比数列的前n项和公式：
基
名
础
师
知 识
na1，q＝1，
回 顾
Sn＝a11－－aqnq＝ a111－－qqn，q≠1.
微 课 导 学
(2)分组求和法
核 心
课
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或 后
考
跟
点 突
师 微
识 回
A．1＋2n
B．2＋2n
课 导
顾
学
C．n＋2n－1
D．n＋2＋2n
核
[解析] Sn＝n＋11－－22n＝n＋2n－1.故选C.
课
心
后
考
跟
点
踪
突
训
破
练
第14页
第6章 第4节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
名
础
师
知
微
识 回 顾
4．(必修5P47B组T4改编)数列{an}中，an＝
课 后 跟
点 突 破
[1＋2n－1]·n2＋911－－99n2＝n42＋98(3n－1)．
踪 训 练
第27页
第6章 第4节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
名
础
师
知
微
识 回 顾
所以数列{bn}的前n项和
课 导 学
核 心 考
Sn＝nn422＋＋9824n3＋n－1＋1，983nn为－1－偶1数，. n为奇数，
第12页
第6章 第4节
2019年高考数学总复习 第6章 第4节 数列求和课时跟踪检测 理(含解析)新人教版
2019年高考数学总复习 第6章 第4节 数列求和课时跟踪检测 理（含解析）新人教版1．(xx·长春外国语学校调研)设S n ＝1－2＋4－8＋…＋(－2)n －1，n ∈N *，则S 8等于( ) A ．－85 B ．21 C ．43D ．171解析：选A 因为S n 是首项为1，公比是－2的等比数列的前n 项和，所以S 8＝1－－281－－2＝－85，故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若ON →＝a 1 OM →＋a 2 014OP →，且M 、N 、P 三点共线(该直线不过原点O )，则S 2 014＝( ) A ．1 007 B ．1 006 C ．2 013D ．2 014解析：选A 因为M 、N 、P 三点共线，所以a 1＋a 2 014＝1， S 2 014＝a 1＋a 2 014×2 0142＝1 007，故选A.3．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n解析：选A 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n .故选A.4．(xx·福州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n n 为正奇数a n ＋1n 为正偶数，则其前6项之和是( )A ．16B ．20C ．33D ．120解析：C a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.5．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( )A．20B．17C ．19D ．21解析：选C 设数列{a n }的公差为d ， 由题意知a 1>0，d <0. a 9＋3a 11＝(a 10－d )＋3(a 10＋d ) ＝4a 10＋2d ＝2a 10＋2(a 10＋d ) ＝2(a 10＋a 11)<0， ∴a 10＋a 11<0.又a 10·a 11<0.∴a 10>0，a 11<0， ∴S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10>0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0.∴当n ＝19时，S n 取得最小正值．6．(xx·哈尔滨联考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －13|，那么满足a k ＋a k ＋1＋…＋a k＋19＝102的整数k ( ) A ．有3个 B ．有2个 C ．有1个D ．不存在解析：选B 由a n ＝|n －13|可得，当k ≥13时，a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋19＝(k －13)＋(k －12)＋…＋(k ＋6)＝20k －70＝102，解得k ＝435∉N ，不符合题意，舍去；当k <13时，则a k ＋a k＋1＋…＋a k ＋19＝13－k ＋12－k ＋…＋0＋1＋2＋…＋k ＋ 6＝13－k14－k2＋k ＋7k ＋62＝102，即k 2－7k ＋10＝0，解得k ＝2或5均符合条件，故满足条件的k 值共有2个．7．(xx·河南三市调研)已知数列{a n }满足a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3 ＝24，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a xx ＝ ________.解析：5 031 本题主要考查数列的周期性与数列求和，考查考生的计算能力．由a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝24可知，a n ＋1a n ＋2a n ＋3·a n ＋4＝24，得a n ＋4＝a n ，所以数列{a n }是周期为4的数列，再令n ＝1，求得a 4＝4，每四个一组可得(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋…＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012)＋a 2 013＝10×503＋1＝5 031.8．已知数列{a n }的项为：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n ＝________. 解析：4nn ＋1 由条件知a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2.∴b n ＝1a n a n ＋1＝4nn ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.∴S n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝4nn ＋1.9．(xx·贵阳一中月考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且 a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.解析：2 600 由已知，得a 1＝1，a 2＝2，a 3－a 1＝0，a 4－a 2＝2，…，a 99－a 97＝0，a 100－a 98＝2，累加得a 100＋a 99＝98＋3，同理得a 98＋a 97＝96＋3，…，a 2＋a 1＝0＋3，则a 100＋a 99＋a 98＋a 97＋…＋a 2＋a 1＝50×98＋02＋50×3＝2 600.10．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝________. 解析：2n 2＋6n 令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合上式，所以a n ＝4(n ＋1)2(n ∈N *)．于是a n n ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝4[2＋3＋…＋(n ＋1)]＝4×n n ＋32＝2n 2＋6n . 11．(xx·江西高考)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n } 的通项公式a n ； (2)令b n ＝1n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0， 得(a n －2n )(a n ＋1)＝0.由于数列{a n }是正项数列，所以a n ＝2n . (2)由a n ＝2n ，b n ＝1n ＋1a n，得b n ＝12nn ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n2n ＋1. 12．(xx·大理模拟)已知数列{a n }为正项等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4＋1a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 2，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q . 由a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2，得a 1a 2＝2.∴a 21q ＝2.①由a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4＋1a 5，得a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64⎝⎛⎭⎫1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4. ∴a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝64q 2＋q ＋1a 1q 4.∴a 21q 6＝64.②由⎩⎪⎨⎪⎧ a 21q ＝2a 21q 6＝64解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n2＝⎝⎛⎭⎫2n －1＋12n －12 ＝4n －1＋14n －1＋2，∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋1＋14＋142＋…＋14n －1＋2n＝1－4n1－4＋1－14n1－14＋2n ＝13⎝⎛⎭⎫4n －14n －1＋2n ＋1.13．已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n (n 为正整数)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则d >0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d a 1＋5d ＝55，a 1＋d ＋a 1＋6d ＝16 .整理得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝16，a 21＋7a 1d ＋10d 2＝55解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2a 1＝30(舍去)，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)∵a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n －1＋b n 2n ，∴a n －1＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n －1(n ≥2)，∴a n －a n －1＝b n2n ，又a n －a n －1＝2n －1－[2(n －1)－1]＝2， ∴b n2n ＝2. ∴b n ＝2n ＋1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝b 12，∴b 1＝2不满足上式．∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，2n ＋1， n ≥2.故当n ≥2时，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2＋b 21－2n －11－2＝2n ＋2－6，当n ＝1时，S 1＝b 1＝2，满足上式， ∴S n ＝2n ＋2－6.n ∈N *.1．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝( ) A.n n ＋12B ．－n n ＋12C ．(－1)n＋1nn ＋12D ．以上答案均不对 解析：选C 当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－(2n －1)＝－n 23＋2n －12＝－n n ＋12；当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2 ＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n 2＝－n －12[3＋2n －1－1]2＋n 2＝n n ＋12，综上可得，原式＝(－1)n＋1nn ＋12.故选C. 2．(xx·海南中学统考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋a n ＋1＝1(n ∈N *)，设S n 为数列{a n }的前n项和，则S2 007－2S2 006＋S2 005的值为________．解析：3 当n 为偶数时，a 1＋a 2＝a 3＋a 4＝…＝a n －1＋a n ＝1，故S n ＝n2；当n 为奇数时，a 1＝2，a 2＋a 3＝a 4＋a 5＝…＝a n －1＋a n ＝1，故S n ＝2＋n －12＝n ＋32.故S 2 007－2S 2 006＋S 2 005＝1 005－2×1 003＋1 004＝3.3．设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫22 014＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014，则S ＝________. 解析：2 0132 ∵f (x )＝4x4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x＋2＝22＋4x， ∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝1.S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫22 014＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014，①S ＝f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014＋f ⎝⎛⎭⎫2 0122 014＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 014，②①＋②得，2S ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014 ＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫22 014＋f ⎝⎛⎭⎫2 0122 014＋…＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014＋f ⎝⎛⎭⎫12 014 ＝2 013， ∴S ＝2 0132.4．(xx·扬州质检)已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋－1n2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；又知数列{b n }中，b 1＝2，且对任意正整数m ，n ，b m n ＝b nm .(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 013项和T 2 013.解：(1)∵d n ＝3＋－1n2，∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n＝3×2n2＝3n . 令m ＝1，则b 2＝b 21＝22，b 3＝b 31＝23，…，b n ＝b n 1＝2n . 若b n ＝2n ，则b m n ＝2n m ，b n m ＝2m n ，所以b m n ＝b nm 恒成立，可编辑修改精选文档 若b n ≠2n ，当m ＝1时，b m n ＝b n m 不成立．所以b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项，第6项，第9项，……删去后，构成的新数列{c n }中的奇数项列与偶数项列仍成等比数列，首项分别是b 1＝2，b 2＝4，公比均为8，T 2 013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 012) ＝2×1－8 1 0071－8＋4×1－81 0061－8＝20×81 006－67..。
2019届高考数学一轮复习 第六章 数列 课时跟踪训练33 数列求和 文
课时跟踪训练(三十三) 数列求和[基础巩固]一、选择题1．(2018·湖南师大附中月考)已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3[解析] 设等差数列的公差为d ，首项为a 1，所以a 3＝a 1＋2d ，a 4＝a 1＋3d . 因为a 1、a 3、a 4成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得：a 1＝－4d . 所以S 3－S 2S 5－S 3＝a 1＋2d2a 1＋7d＝2，故选A. [答案] A2．(2017·河南百校联盟质量监测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝－20，则－6a 4＋3a 5＝( )A ．－20B ．4C ．12D ．20 [解析] 设{a n }的公差为d ，∵S 5＝5a 1＋a 52＝－20，∴a 1＋a 5＝－8，∴a 3＝－4.又－6a 4＋3a 5＝－6(a 3＋d )＋3(a 3＋2d )＝－3a 3＝12.选C.[答案] C3．已知等比数列{a n }的首项为1，若4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.3116 B ．2 C.3316 D.1633[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则有4＋q 2＝2×2q ，解得q ＝2，所以a n ＝2n －1.1a n ＝12n －1，所以S 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.故选A. [答案] A4．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2018＝( )A ．2018B ．－2018C ．3027D ．－3027[解析] 由题意得a 1＝1，a 5＝13，∵{a n }是等差数列，∴公差d ＝3，∴a n ＝3n －2，∴S 2018＝－1＋4－7＋10－13＋17＋…－6049＋6052＝3×20182＝3027，选C. [答案] C5．(2017·安徽安庆模拟)已知数列{a n }满足a n ＋2＝－a n (n ∈N ＋)，且a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的前2017项的和为( )A ．2B ．－3C ．3D ．1[解析] ∵a n ＋2＝－a n ＝－(－a n －2)＝a n －2，n >2，∴数列{a n }是以4为周期的周期数列．S 2017＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2017＝504(a 1＋a 2－a 1－a 2)＋a 504×4＋1＝a 1＝1.故选D.[答案] D 6.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1的值为( )A.n ＋12n ＋2B.34－n ＋12n ＋2C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1－1n ＋2 [解析] 因为1n ＋12－1＝1n 2＋2n ＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 所以原式＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2，故选C.[答案] C 二、填空题7．若数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋2，前n 项和为S n ，则S 16＝________.[解析] 由a n ＝1n ＋n ＋2＝12()n ＋2－n ，得S 16＝12(3－1＋4－2＋5－3＋…＋17－15＋18－16)＝12(18＋17－2－1)＝17＋22－12.[答案]17＋22－128．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.[解析] 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝12，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×12＋1＝6.[答案] 69．(2017·陕西西安期中)如果数列{a n }的前n 项之和为S n ＝3＋2n ，那么a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝________.[解析] ∵S n ＝3＋2n ，∴S n －1＝3＋2n －1(n ≥2)，∴a n ＝2n －2n －1＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1，n ＝1时a 1＝S 1＝5，∴当n ≥2时，a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝25＋41－4n －11－4＝4n＋713；当n ＝1时a 21＝25也适合上式，故a 21＋…＋a 2n ＝4n＋713.[答案] 4n＋713三、解答题10．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和． [解] (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)．两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2也适合，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n . 由(1)知a n 2n ＋1＝22n ＋12n －1＝12n －1－12n ＋1.则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n2n ＋1.[能力提升]11．若a n >0，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，且2S n ＝a n ＋1a n(n ∈N *)，则S 2017＝( )A ．2017＋20172017B ．2017－20162016C ．2016D.2017[解析] 令n ＝1，则2S 1＝a 1＋1a 1，所以a 1＝1，S 1＝1；令n ＝2，则2(a 1＋a 2)＝a 2＋1a 2，所以a 2＝2－1，S 2＝2；令n ＝3，则2(2＋a 3)＝a 3＋1a 3，解得a 3＝3－2，S 3＝3；依此类推，a 2017＝2017－2016，S 2017＝2017.故选D.[答案] D12．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110[解析] 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n n ＋12.由题意可知，N >100，令n n ＋12>100，所以n ≥14，n ∈N *，即N 出现在第13组之后．易得第n 组的所有项的和为1－2n1－2＝2n－1，前n 组的所有项的和为21－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2.设满足条件的N 在第k ＋1(k ∈N *，k ≥13)组，且第N 项为第k ＋1组的第t (t ∈N *)个数，第k ＋1组的前t 项的和2t－1应与－2－k 互为相反数，即2t－1＝k ＋2，所以2t＝k ＋3，所以t ＝log 2(k ＋3)，所以当t ＝4，k ＝13时，N ＝13×13＋12＋4＝95<100，不满足题意，当t ＝5，k ＝29时，N ＝29×29＋12＋5＝440，当t >5时，N >440，故选A.[答案] A13．(2017·安徽马鞍山期中)设数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n(2n －1)·cos n π2＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S 120＝( )A ．－60B ．－120C ．180D ．240 [解析] 由a n ＝(－1)n(2n －1)cosn π2＋1，得a 1＝－cos π2＋1＝1，a 2＝3cosπ＋1＝－2， a 3＝－5cos 3π2＋1＝1，a 4＝7cos2π＋1＝8， a 5＝－9cos5π2＋1＝1，a 6＝11cos3π＋1＝－10， a 7＝－13cos7π2＋1＝1，a 8＝15cos4π＋1＝16， …由上可知，数列{a n }的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，∴S 120＝(a 1＋a 3＋…＋a 119)＋(a 2＋a 4＋…＋a 58＋a 120)＝60＋30×6＝240.故选D.[答案] D14．(2017·河北邯郸质量检测)在公差大于1的等差数列{a n }中，已知a 21＝64，a 2＋a 5＋a 8＝36，则数列{|a n |}的前20项和为________．[解析] ∵a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝36，∴a 5＝12，∵a 21＝64，∴a 1＝±8. 当a 1＝8，d ＝1，不合题意． 当a 1＝－8，d ＝5>1，∴a n ＝5n －13. 故数列{|a n |}的前20项和为8＋3＋2＋7＋87×172＝812.[答案] 81215．(2017·广东珠海模拟)已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N *，且不等式ax 2－3x ＋2<0的解集为(1，d )．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝3a n ＋a n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)易知a ≠0，由题设可知 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝3a ，1·d ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝32n －1＋2n －1－1，则T n ＝(3＋1)＋(33＋3)＋…＋(32n －1＋2n －1)－n＝(31＋33＋…＋32n －1)＋(1＋3＋…＋2n －1)－n＝311－9n1－9＋1＋2n －1n2－n＝38(9n －1)＋n 2－n . 16．(2017·山东枣庄期末质量检测)已知S n 为各项均为正数的数列{a n }的前n 项和，a 1∈(0,2)，a 2n ＋3a n ＋2＝6S n .(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若对∀n ∈N *，t ≤4T n 恒成立，求实数t 的最大值．[解] (1)当n ＝1时，由a 2n ＋3a n ＋2＝6S n ，得a 21＋3a 1＋2＝6a 1，即a 21－3a 1＋2＝0. 又a 1∈(0,2)，解得a 1＝1.由a 2n ＋3a n ＋2＝6S n ，可知a 2n ＋1＋3a n ＋1＋2＝6S n ＋1. 两式相减，得a 2n ＋1－a 2n ＋3(a n ＋1－a n )＝6a n ＋1，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0.由于a n >0，可得a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，所以{a n }是首项为1，公差为3的等差数列．所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. (2)由a n ＝3n －2，可得b n ＝1a n a n ＋1＝13n －23n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝n3n ＋1. 因为T n ＋1－T n ＝n ＋13n ＋1＋1－n 3n ＋1＝13n ＋13n ＋4>0，所以T n ＋1>T n ，所以数列{T n }是递增数列．所以t ≤4T n ⇔t 4≤T n ⇔t 4≤T 1＝14⇔t ≤1，所以实数t 的最大值是1.[延伸拓展]下面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是2，从外到内，第n 个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为S n (n ∈N *)．(1)证明：S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)； (2)证明：S 1＋S 2＋…＋S n <8－2π.[证明] (1)设第n (n ∈N *)个正方形的边长为a n ，则其内切圆半径为a n2，第n ＋1个正方形的边长为22a n ，其内切圆半径为24a n ，所以S n ＝a 2n －π⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 22＝a 2n ⎝⎛⎭⎪⎫1－π4(n ∈N *)，S n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a n 2－π⎝ ⎛⎭⎪⎫24a n 2＝a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－π8＝12S n (n ∈N *)．所以S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S 1＝22×⎝⎛⎭⎪⎫1－π4＝4－π，S 2＝2－π2，…，S n ＝(4－π)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(4－π)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＝(4－π)×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝(8－2π)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n <8－2π.。
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第六章 数列 6-2
[拓展探究] 若本例(2)改为：“等差数列{an}和{bn}的前 n 项式和分别为 Sn 和 Tn，且TSnn＝2nn＋＋11”，则ab77＝________.
[解析] 由 S13＝13a7，T13＝13b7，得ab77＝TS1133＝2×131＋3＋1 1＝2174.
[答案]
27 14
角度 2：等差数列和的性质及应用
＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1
B．2
C．4
D．8
[解析] 本题考查等差数列基本量的计算与性质和综合应 用．等差数列{an}中，S6＝a1＋2a6×6＝48，则 a1＋a6＝16＝a2＋ a5，
又 a4＋a5＝24，所以 a4－a2＝2d＝24－16＝8，得 d＝4，故 选 C.
(2)由(1)可得，S2n＝1＋n－1＝n. ∵{an}是各项都为正数的数列，∴Sn＝ n， ∴an＝Sn－Sn－1＝ n－ n－1(n≥2)， 又 a1＝S1＝1，∴an＝ n－ n－1.
等差数列的判定与证明方法
[跟踪演练] (2018·宁夏石嘴山三中适应性考试)设数列{an}满足当 n>1 时，an＝1＋an4－a1n－1，且 a1＝15. (1)求证：数列a1n为等差数列； (2)a1a2 是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如 果不是，说明理由．
第
六
数列
章
第二节
等差数列及其前 n 项和
高考概览 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项 和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用 有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函 数的关系.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
与名师对话 高三文科第一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列
基
础
知 识
回 顾
最新考纲：1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的 课
后
通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数 跟 踪
列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等
训 练
核 心
差数列与一次函数、二次函数的关系．
考
点
突
破
第3页
第6章 第2节
与名师对话·系列丛书
基
础
知
识
回 顾
基础
核 心 考 点 突 破
第4页
高考总复习·课标版·数学(文)
知识回顾
课 后
跟
踪
训
练
第6章 第2节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
础
知 识
1．等差数列的有关概念
回
顾
(1)等差数列的定义
课
后
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一
跟 踪
项的差等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，
训 练
核 心 考
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝
点 突 破
__n_a_1_＋__n_n_2_－__1_d___或Sn＝ na12＋an(n∈N*) ．
第7页
第6章 第2节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
础
知
3．等差数列的常用性质
识
回 顾
(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*)． 课
后 跟
踪
A．11
B．10
训 练
核 心
C．6
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第六章 数列 课时跟踪训练30 Word版含解析
课时跟踪训练(三十)[基础巩固]一、选择题1、数列0,1,0,－1,0,1,0,－1,…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(－1)n ＋12 B 、cos n π2 C.n ＋12πD 、cos n ＋22π[解析] 令n ＝1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D 正确、 [答案] D2、(2017·福建福州八中质检)已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *),则a 2017＝( )A 、1B 、0C 、2017D 、－2017[解析] ∵a 1＝1,∴a 2＝(a 1－1)2＝0,a 3＝(a 2－1)2＝1,a 4＝(a 3－1)2＝0,…,可知数列{a n }是以2为周期的数列,∴a 2017＝a 1＝1.[答案] A3、设数列{a n }的前n 项和为S n, 且S n ＝2(a n －1),则a n ＝( ) A 、2n B 、2n －1 C 、2nD 、2n －1[解析] 当n ＝1时,a 1＝S 1＝2(a 1－1),可得a 1＝2,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1,∴a n ＝2a n －1,∴数列{a n }为等比数列,公比为2,首项为2,所以a n ＝2n .[答案] C4、设曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,则x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2017＝( )A.20162017 B.12017 C.20172018D.12018[解析] 由f (x )＝x n ＋1得f ′(x )＝(n ＋1)x n ,切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1),令y ＝0得x n ＝n n ＋1,故x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2017＝12×23×…×20172018＝12018.[答案] D5、数列{a n }中,a n ＝－2n 2＋29n ＋3,则此数列最大项的值是( ) A 、103 B.8658 C.8258D 、108[解析] 根据题意并结合二次函数的性质可得 a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋3＋8418, ∴n ＝7时,a n 取得最大值,最大项a 7的值为108.故选D. [答案] D6、已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *),则a 10＝( ) A 、64 B 、32 C 、16D 、8[解析] 由a n ＋1·a n ＝2n ,所以a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1,故a n ＋2a n＝2,又a 1＝1,可得a 2＝2,故a 10＝25＝32.[答案] B 二、填空题7、在数列－1,0,19,18,…,n －2n 2,…中,0.08是它的第________项、 [解析] 令n －2n 2＝0.08,得2n 2－25n ＋50＝0,即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)、[答案] 108、已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＝a 2n －1－1(n >1),则a 2017＝________,|a n ＋a n ＋1|＝________(n >1)、[解析] 由a 1＝1,a n ＝a 2n －1－1(n >1),得a 2＝a 21－1＝12－1＝0,a 3＝a 22－1＝02－1＝－1,a 4＝a 23－1＝(－1)2－1＝0,a 5＝a 24－1＝02－1＝－1,由此可猜想当n >1,n 为奇数时a n ＝－1,n 为偶数时a n ＝0,∴a 2017＝－1,|a n ＋a n ＋1|＝1.[答案] －1 19、在一个数列中,如果∀n ∈N *,都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数),那么这个数列叫做等积数列,k 叫做这个数列的公积、已知数列{a n }是等积数列,且a 1＝1,a 2＝2,公积为8,则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.[解析] 依题意得数列{a n }是周期为3的数列,且a 1＝1,a 2＝2,a 3＝4,因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.[答案] 28[能力提升]10、(2017·华东师范大学等四校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝17,对于任意的n ∈N *,a n ＋1＝72a n (1－a n ),则a 1413－a 1314＝( )A 、－27 B.27C 、－37D.37[解析] 根据递推公式计算得a 1＝17,a 2＝72×17×67＝37,a 3＝72×37×47＝67,a 4＝72×67×17＝37,…,可以归纳通项公式为：当n 为大于1的奇数时,a n ＝67；当n 为正偶数时,a n ＝37.故a 1413－a 1314＝37.故选D.[答案] D11、(2018·舟山一模)观察下列各图,并阅读图形下面的文字,像这样10条直线相交,交点的个数最多是()A 、40B 、45C 、50D 、55[解析] 设n 条直线的交点个数为a n (n ≥2),则⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，…a 10－a 9＝9.累加得a 10－a 2＝2＋3＋…＋9, ∴a 10＝1＋2＋3＋…＋9＝45. [答案] B12、(2017·湖北襄阳优质高中联考)若a 1＝1,对任意的n ∈N *,都有a n >0,且na 2n ＋1－(2n －1)a n ＋1a n －2a 2n ＝0.设M (x )表示整数x 的个位数字,则M (a 2017)＝________.[解析]由已知得(na n＋1＋a n)(a n＋1－2a n)＝0,∵a n>0,∴a n＋1－2a n＝0,则a n＋1a n＝2,∵a1＝1,∴数列{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴a n＝1×2n－1＝2n－1.∴a2＝2,a3＝4,a4＝8,a5＝16,a6＝32,a7＝64,a8＝128,…,∴n≥2时,M(a n)依次构成以4为周期的数列、∴M(a2017)＝M(a5)＝6,故答案为6.[答案] 613、(2017·浙江温州四校联考改编)某音乐酒吧的霓虹灯是用,,三个不同音符组成的一个含n＋1(n∈N*)个音符的音符串,要求由音符开始,相邻两个音符不能相同、例如n＝1时,排出的音符串是,；n＝2时,排出的音符串是,,,；…,记这种含n＋1个音符的所有音符串中,排在最后一个的音符仍是的音符串的个数为a n.易知a1＝0,a2＝2.则a4＝________,a n＋a n ＋1＝________.[解析]由题意知,a1＝0,a2＝2＝21－a1,a3＝2＝22－a2,a4＝6＝23－a3,a5＝10＝24－a4,所以a n＝2n－1－a n－1,所以a n＋a n－1＝2n－1.[答案](1)6(2)2n－114、(2017·河南洛阳第二次统一考试)已知数列{a n}中,a1＝1,其前n项和为S n,且满足2S n＝(n＋1)a n(n∈N*)、(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n＝3n－λa2n,若数列{b n}为递增数列,求λ的取值范围、[解](1)∵2S n＝(n＋1)a n,∴2S n＋1＝(n＋2)a n＋1,∴2a n＋1＝(n＋2)a n＋1－(n＋1)a n,即na n ＋1＝(n ＋1)a n ,∴a n ＋1n ＋1＝a n n ,∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1,∴a n ＝n (n ∈N *)、 (2)b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n －λ(2n ＋1)、 ∵数列{b n }为递增数列,∴2·3n－λ(2n ＋1)>0,即λ<2·3n2n ＋1.令c n ＝2·3n2n ＋1,即c n ＋1c n＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1. ∴{c n }为递增数列,∴λ<c 1＝2,即λ的取值范围为(－∞,2)、。
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第六章 数列 课时跟踪训练31
课时跟踪训练(三十一)[基础巩固]一、选择题1．(2018·湖南衡阳二十六中期中)在等差数列{a n }中，a 3＝1，公差d ＝2，则a 8的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12[解析] a 8＝a 3＋5d ＝1＋5×2＝11，故选C. [答案] C2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3[解析] 设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 5＝－2＋4×3＝10.故选B. [答案] B3．(2018·湖北武汉调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝3(a 2＋a 8)，则a 5a 3的值为( )A.16B.13C.35D.56[解析] 因为S 5＝3(a 2＋a 8)，所以5a 1＋10d ＝3(2a 1＋8d )，即a 1＝－14d ，所以a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝－14d ＋4d －14d ＋2d ＝56.[答案] D4．(2017·安徽合肥二模)已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( )A ．－45B ．－54 C.413D.134[解析] 由题意，得1a 1＝1，1a 4＝14，所以等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d＝1a 4－1a 13＝－14，由此可得1a n ＝1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－n 4＋54，因此1a 10＝－54，所以a 10＝－45.故选A.[答案] A5．(2017·山西太原一模)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6＝( )A ．8B ．6C ．4D ．3[解析] 由等差数列的性质可知2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝2×3a 3＋3×2a 9＝6×2a 6＝36，得a 6＝3，故选D.[答案] D6．(2018·辽宁鞍山一中期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B ．20C ．10D ．9[解析] 因为a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，所以a m －1＋a m ＋1＝a 2m .根据等差数列的性质得2a m ＝a 2m ，显然a m ≠0，所以a m ＝2.又因为S 2m －1＝38，所以S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m .将a m ＝2代入可得(2m －1)×2＝38，解得m ＝10.故选C.[答案] C 二、填空题7．(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 22＝a 1＋(a 1＋d )2＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝10.解得a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.[答案] 208．(2018·广东深圳中学月考)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝7，a 1＋a 7＝10，S n 为其前n 项和，则使S n 取到最大值的n 等于________．[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝7，2a 4＝10，故d＝a 4－a 3＝－2，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7－2(n －3)＝13－2n .令a n >0，得n <6.5，所以在等差数列{a n }中，其前6项均为正，其他各项均为负，于是使S n 取到最大值的n 的值为6.[答案] 69．(2017·辽宁师大附中期末)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________.[解析] 在等差数列中，S 19＝19a 10，T 19＝19b 10，因此a 10b 10＝S 19T 19＝3×19－12×19＋3＝5641.[答案] 5641 三、解答题10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12，证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．[证明] ∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 又a n ＝－2S n ·S n －1， ∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. ∴1S n－1S n －1＝2(n ≥2)．由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以2为公差的等差数列．[能力提升]11．(2017·河南百校联盟质监)等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 2016＝2016，且S 20162016－S 1616＝2000，则a 1等于( )A ．－2016B ．－2015C ．－2014D ．－2013[解析] 解法一：因为S n ＝n (a 1＋a n )2，所以S n n ＝a 1＋a n 2.因为S 20162016－S 1616＝2000，所以a 2016－a 162＝2000d 2＝2000，所以d ＝2.又因为a 2016＝2016，所以a 1＋(2016－1)×2＝2016，解得a 1＝－2014，故选C.解法二：因为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S n n ＝d 2n ＋a 1－d2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以a 1为首项，以d 2为公差的等差数列．所以S 20162016－S 1616＝2000×d2＝2000，所以d ＝2.所以a 2016＝a 1＋(2016－1)×2＝2016，所以a 1＝－2014.故选C.解法三：由题意得⎩⎨⎧a 1＋(2016－1)d ＝2016，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋2016－12d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋16－12d ＝2000，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2014，d ＝2，故选C.[答案] C12．(2018·黑龙江齐齐哈尔月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .∵a 6＋a 7＝a 3＋a 10>0，即2a 1＋11d >0，且a 6a 7<0，a 1>0，∴a 6>0，a 7<0.∴d ＝a 7－a 6<0.又∵a 7＝a 1＋6d <0，∴2a 1＋12d <0.当S n ＝(a 1＋a n )·n2＝[2a 1＋(n －1)d ]·n2>0时，2a 1＋(n －1)d >0.由2a 1＋11d >0,2a 1＋12d <0知n －1最大为11，即n 最大为12.故选C.[答案] C13．(2016·长安一中月考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．[解析] ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<0.∴数列的前8项和最大，即n ＝8.[答案] 814．(2017·安徽合肥一中第三次段考)已知数列{a n }是各项为正且首项为1的等差数列，S n 为其前n 项和，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋8a n ＋1的最小值是________． [解析] 设数列{a n }的公差为d (d >0)， 即有a n ＝1＋(n －1)d ，S n ＝n ＋12n (n －1)d ， S n ＝12dn 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12d n ，由于数列{S n }也为等差数列，可得1－12d ＝0，即d ＝2， 即有a n ＝2n －1，S n ＝n 2，则S n ＋8a n ＋1＝n 2＋82n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋8n ≥12·2·n ·8n ＝22，当且仅当n ＝22取得等号，由于n 为正整数，即有n ＝2或3取得最小值．当n ＝2时，取得3；n ＝3时，取得176.故最小值为176.[答案] 17615．(2017·河南南阳期终质量评估)设f (x )＝axx ＋a(a >0)，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，又b n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)证明：a n ＋1＝f (a n )＝a ·a n a n ＋a ，所以1a n ＋1＝a n ＋a a ·a n ＝1a n ＋1a ，即1a n ＋1－1a n ＝1a ，又a 1＝1，所以1a 1＝1.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1a 的等差数列． 所以1a n ＝1＋(n －1)1a ＝n ＋a －1a .所以a n ＝an ＋a －1.(2)b n ＝a n ·a n ＋1＝a n ＋a －1·an ＋a＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋a －1－1n ＋a ，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －11＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋a －12＋a ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1＋a －1n ＋a ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1n ＋a ＝a 2·n ＋a －a a (n ＋a )＝na n ＋a ，即数列{b n }的前n 项和为nan ＋a.16．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．[解] ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4. ∴a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，解得292≤n ≤312， ∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，公差为2，∴T 15＝15(－29＋2×15－31)2＝－225， ∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.[延伸拓展]已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)解法一：假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列， 则有2b 2＝b 1＋b 3.∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23. ∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1. 事实上，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为首项是2，公差是1的等差数列．解法二：假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列， 则有2b n ＋1＝b n ＋b n ＋2(n ∈N *)． ∴2×a n ＋1＋λ2n ＋1＝a n ＋λ2n ＋a n ＋2＋λ2n ＋2.∴λ＝4a n ＋1－4a n －a n ＋2 ＝2(a n ＋1－2a n )－(a n ＋2－2a n ＋1) ＝2(2n ＋1－1)－(2n ＋2－1)＝－1.综上可知，当λ＝－1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为首项是2、公差是1的等差数列．。
2019届高考数学一轮复习 第六章 数列 课时跟踪训练30 数列的概念与简单表示方法 文
课时跟踪训练(三十) 数列的概念与简单表示方法[基础巩固]一、选择题1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n等于( )A.－1n＋12B．cosnπ2C.n＋12π D．cosn＋22π[解析]令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．[答案] D2．(2017·福建福州八中质检)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋1(n∈N*)，则a2017＝( )A．1 B．0C．2017 D．－2017[解析]∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{a n}是以2为周期的数列，∴a2017＝a1＝1.[答案] A3．设数列{a n}的前n项和为S n, 且S n＝2(a n－1)，则a n＝( )A．2n B．2n－1C．2n D．2n－1[解析]当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1，∴a n＝2a n－1，∴数列{a n}为等比数列，公比为2，首项为2，所以a n＝2n.[答案] C4．设曲线f(x)＝x n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1·x2·x3·x4·…·x2017＝( )A.20162017B.12017C.20172018D.12018[解析]由f(x)＝x n＋1得f′(x)＝(n＋1)x n，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得x n＝nn＋1，故x1·x2·x3·x4·…·x2017＝12×23×…×20172018＝12018.[答案] D5．数列{a n}中，a n＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )A ．103 B.8658C.8258D ．108[解析] 根据题意并结合二次函数的性质可得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋3＋8418， ∴n ＝7时，a n 取得最大值，最大项a 7的值为108.故选D. [答案] D6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n(n ∈N *)，则a 10＝( ) A ．64 B ．32 C ．16D ．8[解析] 由a n ＋1·a n ＝2n，所以a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，故a n ＋2a n＝2，又a 1＝1，可得a 2＝2，故a 10＝25＝32.[答案] B 二、填空题7．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．[解析] 令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)． [答案] 108．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，则a 2017＝________，|a n ＋a n ＋1|＝________(n >1)．[解析] 由a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，得a 2＝a 21－1＝12－1＝0，a 3＝a 22－1＝02－1＝－1，a 4＝a 23－1＝(－1)2－1＝0，a 5＝a 24－1＝02－1＝－1，由此可猜想当n >1，n 为奇数时a n ＝－1，n 为偶数时a n ＝0，∴a 2017＝－1，|a n ＋a n ＋1|＝1.[答案] －1 19．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.[解析] 依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.[答案] 28[能力提升]10．(2017·华东师范大学等四校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1413－a 1314＝( )A ．－27B.27 C ．－37D.37[解析] 根据递推公式计算得a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝37，…，可以归纳通项公式为：当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n ＝37.故a 1413－a 1314＝37.故选D.[答案] D11．(2018·舟山一模)观察下列各图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是( )A ．40B ．45C ．50D ．55[解析] 设n 条直线的交点个数为a n (n ≥2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，…a 10－a 9＝9.累加得a 10－a 2＝2＋3＋…＋9， ∴a 10＝1＋2＋3＋…＋9＝45. [答案] B12．(2017·湖北襄阳优质高中联考)若a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n >0，且na 2n ＋1－(2n －1)a n ＋1a n －2a 2n ＝0.设M (x )表示整数x 的个位数字，则M (a 2017)＝________.[解析]由已知得(na n＋1＋a n)(a n＋1－2a n)＝0，∵a n>0，∴a n＋1－2a n＝0，则a n＋1a n＝2，∵a1＝1，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n＝1×2n－1＝2n－1.∴a2＝2，a3＝4，a4＝8，a5＝16，a6＝32，a7＝64，a8＝128，…，∴n≥2时，M(a n)依次构成以4为周期的数列．∴M(a2017)＝M(a5)＝6，故答案为6.[答案] 613．(2017·浙江温州四校联考改编)某音乐酒吧的霓虹灯是用，，三个不同音符组成的一个含n＋1(n∈N*)个音符的音符串，要求由音符开始，相邻两个音符不能相同．例如n＝1时，排出的音符串是，；n＝2时，排出的音符串是，，，；…，记这种含n＋1个音符的所有音符串中，排在最后一个的音符仍是的音符串的个数为a n.易知a1＝0，a2＝2.则a4＝________，a n＋a n＋1＝________.[解析]由题意知，a1＝0，a2＝2＝21－a1，a3＝2＝22－a2，a4＝6＝23－a3，a5＝10＝24－a4，所以a n＝2n－1－a n－1，所以a n＋a n－1＝2n－1.[答案](1)6 (2)2n－114．(2017·河南洛阳第二次统一考试)已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为S n，且满足2S n＝(n＋1)a n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n＝3n－λa2n，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．[解](1)∵2S n＝(n＋1)a n，∴2S n＋1＝(n＋2)a n＋1，∴2a n＋1＝(n＋2)a n＋1－(n＋1)a n，即na n＋1＝(n＋1)a n，∴a n＋1n＋1＝a nn，∴a nn＝a n－1n－1＝…＝a11＝1，∴a n＝n(n∈N*)．(2)b n＝3n－λn2.b n＋1－b n＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)．∵数列{b n}为递增数列，∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<2·3n2n＋1.令c n＝2·3n2n＋1，即c n＋1c n＝2·3n＋12n＋3·2n＋12·3n＝6n＋32n＋3>1.∴{c n}为递增数列，∴λ<c1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．。
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第六章 数列 课时跟踪训练32
课时跟踪训练(三十二)[基础巩固]一、选择题1．(2017·河南百校联考)在等差数列{a n}中，a1＝2，公差为d，则“d＝4”是“a1，a2，a3成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由a1，a2，a3成等比数列得a22＝a1a3，即(2＋d)2＝2(2＋2d)，解得d＝0，所以“d＝4”是“a1，a2，a3成等比数列”的既不充分也不必要条件，故选D.[答案] D2．(2017·四川成都南充高中模拟)已知等比数列的前3项为x,3x ＋3,6x＋6，则其第4项的值为()A．－24 B．－24或0C．12或0 D．24[解析]由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，得(3x＋3)2＝x(6x＋6)．解得x1＝－3或x2＝－1(此时a2＝a3＝0，不合题意，舍去)．故这个等比数列的首项为－3，公比为2，所以a n＝－3·2n－1，所以数列的第4项为a4＝－24.故选A.[答案] A3．已知等比数列{a n}中，a3＝2，a4a6＝16，则a10－a12a6－a8的值为()A．2 B．4C ．8D ．16[解析] 因为a 3＝2，a 4a 6＝16，所以a 4a 6＝a 23q 4＝16，即q 4＝4，则a 10－a 12a 6－a 8＝q 4(a 6－a 8)a 6－a 8＝q 4＝4，故选B. [答案] B4．已知单调递增的等比数列{a n }中，a 2·a 6＝16，a 3＋a 5＝10，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．2n －2－14B ．2n －1－12 C ．2n －1D ．2n ＋1－2[解析] ∵a 2·a 6＝16，∴a 3·a 5＝16，又a 3＋a 5＝10，等比数列{a n }单调递增，∴a 3＝2，a 5＝8，∴公比q ＝2，a 1＝12，∴S n ＝12(1－2n)1－2＝2n －1－12，故选B. [答案] B5．已知{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 1a 7＋2a 3a 7＋a 3a 9＝( )A ．10B ．20C ．60D ．100[解析] a 1a 7＋2a 3a 7＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝100.[答案] D6．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏[解析] 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3，选择B.[答案] B 二、填空题7．(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2，所以a 2b 2＝1.[答案] 18．(2016·郑州质量预测)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＝34，a 4＋a 5＝6，则S 6＝________.[解析] 记等比数列{a n }的公比为q ，则有q 3＝a 4＋a 5a 1＋a 2＝8，q ＝2，则S 6＝(a 1＋a 2)＋q 2(a 1＋a 2)＋q 4(a 1＋a 2)＝21(a 1＋a 2)＝634.[答案] 6349．(2016·湖南师范大学附属中学月考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n.若b 10b 11＝2，则a 21＝________.[解析] 由已知，得b 1b 2…b 20＝a 2a 1·a 3a 2·…·a 21a 20＝a 21a 1＝a 212.因为{b n }为等比数列，所以b 1b 2…b 20＝(b 10b 11)10＝210，所以a 21＝2b 1b 2…b 20＝211＝2048.[答案] 2048 三、解答题10．(2017·北京卷)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10. 解得d ＝2.所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9. 解得q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12.[能力提升]11．数列{a n }的通项公式为a n ＝aq n ，则{a n }为递增数列的一个充分不必要条件是( )A ．a <0，q <1B ．a <0，q <0C ．a >0，q >0D ．a <0,0<q <12[解析] a n ＋1－a n ＝aq n ＋1－aq n ＝aq n (q －1)，当a <0，0<q <12时，q n >0，q －1<0，∴a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ，该数列是递增数列；当数列是递增数列，有可能a >0，q >1，故数列为递增数列的一个充分不必要条件是a <0,0<q <12，故选D.[答案] D12．已知数列{a n }满足log 2a n －1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，若a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝2n ，则log 2(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )的值是( )A ．2n ＋1B ．2n －1C ．n ＋1D ．n －1[解析] 由log 2a n －1＝log 2a n ＋1得a n ＋1a n＝12，所以数列{a n }是等比数列，公比为12，所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝12(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＝2n －1，所以log 2(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )＝n －1.故选D.[答案] D13．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．[解析] 由题意知，a 2＋a 4＝(a 1＋a 3)q ，即5＝10q ，解得q ＝12， 将q ＝12代入a 1＋a 3＝10，解得a 1＝8.∴a 1a 2…a n ＝a n 1·q n (n －1)2 ＝8n×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n －1)2 ＝2－n 22＋7n2 .∵－n 22＋7n 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋498≤6，且n ∈N *.当n ＝3或4时有最大值．∴a 1a 2…a n ＝2－n 22＋7n 2 ≤26＝64，即最大值为64.[答案] 6414．(2017·广西南宁三中联考)已知{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，若数列{b n }有连续4项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.[解析] 因为数列{b n }有连续4项在集合{－53，－23,19,37,82}中，而b n ＝a n ＋1，所以数列{a n }有连续4项在集合{－54，－24,18,36,81}中．因为{a n }是公比为q 的等比数列，所以当q ＝－32时，－24,36，－54,81是{a n }的连续4项；当q ＝－23时，81，－54,36，－24是{a n }的连续4项．所以6q ＝－9或－4.[答案] －9或－415．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)∵a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，∴令n ＝1，有a 21－(2a 2－1)a 1－2a 2＝0，即1－(2a 2－1)－2a 2＝0，得a 2＝12.同理可得a 22－(2a 3－1)a 2－2a 3＝0，解得a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2.∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧ S n ＋1＝4a n ＋2，S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)，①②①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以12为首项，34为公差的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，得a n ＝(3n －1)·2n －2. [延伸拓展](2017·江西南昌摸底考试)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项之积为T n ，并且满足条件：a 1>1，a 2016·a 2017>1，a 2016－1a 2017－1<0.给出下列结论：(1)0<q <1；(2)a 2017a 2018－1>0；(3)T 2016是数列{T n }中的最大项；(4)使T n >1成立的最大自然数n 等于4031，其中正确的结论为( )A ．(2)(3)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)[解析] 因为a 2016－1a 2017－1<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2016<1，a 2017>1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2016>1，a 2017<1，若⎩⎨⎧a 2016<1，a 2017>1成立，又a 2016a 2017>1，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a 2016<1，a 2017>1，所以q ＝a 2017a 2016>1，所以a 2016＝a 1q2015，而a 1>1，所以a 2016>1，矛盾．从而⎩⎪⎨⎪⎧a 2016>1，0<a 2017<1，所以0<q <1，又因为a 1>1，所以易知数列{a n }的前2016项都大于1，而从第2017项起都小于1，所以T 2016是数列{T n }的最大项．从而(1)(3)正确，(2)错误，∵a 2016·a 2017>1，a 2017<1，∴使T n >1成立的最大自然数n 等于4032，(4)错误，故选B.[答案] B。
6-2与名师对话高三一轮数学(理)
高考总复习•数学（文）
考点二 等差数列的判定与证明
基
础
知 识
【例 2】 (2021·成都七中月考)已知等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和为 Sn.
诊 断
(1)若 S3，S9，S6 成等差数列，求证：a2，a8，a5 成等差数列；
课 后
(2)若 am＋2 是 am＋1 和 am 的等差中项，则 Sm，Sm＋2，Sm＋1 成等差数列吗？
②S 偶－S 奇＝nd，SS奇 偶＝aan＋n 1.
断
(2)若等差数列{an}的项数为奇数 2n＋1，
课 后
跟
核
则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②SS奇 偶＝n＋n 1.
踪 训 练
心
考 点 突 破
(3)在等差数列{an}中，若 a1>0，d<0，则满足aamm≥ ＋1≤0，0 的项数 m 使得 Sn 取得
跟 踪
训
核
(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为 a－d，a＋d，其余各项再依据等 练
心 考
差数列的定义进行对称设元．
点
突
破
第8页
与名师对话·系列丛书
高考总复习•数学（文）
2．三个必备结论
(1)若等差数列{an}的项数为偶数 2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
基
础 知 识 诊
突 破
60，故选 A.
第12页
与名师对话·系列丛书
高考总复习•数学（文）
基 础
4．(2021·山东淄博一中月考)在等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝
知 识
21，则数列{an}的前 8 项和为( D )
近年高考数学一轮复习第六章数列课时训练(三十)数列求和文(2021年整理)
（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第六章数列课时跟踪检测（三十）数列求和文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第六章数列课时跟踪检测（三十）数列求和文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第六章数列课时跟踪检测（三十）数列求和文的全部内容。
课时跟踪检测（三十）数列求和一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知等差数列{a n｝的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝25，则S7＝________.解析:设S n＝An2＋Bn，由题知,错误!解得A＝1,B＝0，所以S7＝49.答案：492．数列{1＋2n－1}的前n项和为________．解析：由题意得a n＝1＋2n－1,所以S n＝n＋错误!＝n＋2n－1。
答案：n＋2n－13．数列｛a n｝的通项公式是a n＝(－1）n（2n－1)，则该数列的前100项之和为________．解析：根据题意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100.答案：1004．已知正项数列{a n}满足a错误!－6a错误!＝a n＋1a n.若a1＝2，则数列{a n｝的前n项和S n＝________.解析：因为a错误!－6a错误!＝a n＋1a n，所以（a n＋1－3a n)(a n＋1＋2a n)＝0,因为a n〉0，所以a n＋1＝3a n，又a1＝2,所以｛a n｝是首项为2，公比为3的等比数列，所以S n＝错误!＝3n－1。
答案：3n－15．（2018·广西高三适应性测试)已知数列｛错误!｝的前n项和S n＝n2，则数列错误!的前n 项和T n＝________.解析：因为a n＝错误!＝错误!所以错误!＝2n－1。
江苏专版2019版高考数学一轮复习第六章数列课时跟踪检测二十七数列的概念及其简单表示法文528419
课时跟踪检测（二十七） 数列的概念及其简单表示法一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝________.解析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n －1.答案：n2n －12．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 4＝________. 解析：a 4＝S 4－S 3＝(16＋4)－(9＋3)＝20－12＝8. 答案：83．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 019＝________.解析：因为a 1＝1，所以a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，所以a 2 019＝a 1＝1.答案：14．(2018·南通第一中学测试)已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *，满足a p ＋q ＝a p ＋a q 且a 2＝6，则a 10＝________.解析：a 4＝a 2＋a 2＝12，a 6＝a 4＋a 2＝18，a 10＝a 6＋a 4＝30. 答案：305．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．解析：因为S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，令n ＝2， 得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0， 令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2，则a 3＝S 3－S 2＝－1，所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1. 答案：－16．(2018·无锡期末)对于数列{a n }，定义数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)，a 3＝1，a 4＝－1，则a 1＝________.解析：因为b 3＝a 4－a 3＝－1－1＝－2，所以b 2＝a 3－a 2＝b 3－1＝－3，所以b 1＝a 2－a 1＝b 2－1＝－4，三式相加可得a 4－a 1＝－9，所以a 1＝a 4＋9＝8.答案：8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·汇龙中学测试)已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．解析：因为a n ≤a n ＋1，所以n 2＋λn ≤(n ＋1)2＋λ(n ＋1)，所以λ≥－(2n ＋1)，n ∈N *，所以λ≥－3.答案：－32．(2018·启东中学调研)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则连乘积a 1a 2a 3…a 2 017a 2 018＝________.解析：因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，所以a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，所以数列{a n }的周期为4，且a 1a 2a 3a 4＝1，所以a 1a 2a 3…a 2 017a 2 018＝a 2 017·a 2 018＝a 1·a 2＝－6.答案：－63．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，则通项公式a n ＝________.解析：因为a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，所以a 1＝－32，a 3＝－32，a 4＝2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.答案：⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数4．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n ＝________.解析：因为a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， 所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，所以193≤k ≤223，因为k ∈N *，所以k ＝7.所以满足条件的n 的值为7. 答案：75.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n·2n ＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1a 2 a 3 a 4 a 5 a 6……解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，而a 48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97. 答案：976．(2018·常州第一中学检测)已知{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n ，且a 1＝33，则a n n的最小值为________．解析：由已知条件可知，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝33＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n 2－n ＋33，又n ＝1时，a 1＝33满足此式．所以a n ＝n 2－n ＋33，n∈N *，所以a n n＝n ＋33n－1.令f (n )＝n ＋33n－1，则f (n )在[1,5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数，又f (5)＝535，f (6)＝212，则f (5)>f (6)，故f (n )＝a n n 的最小值为212.答案：2127．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n 2n 2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.解析：由题意知a n a n －1＝n 2n 2－1＝n 2n －1n ＋1，所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×2222－1×3232－1×…×n2n 2－1＝22×32×42×…×n22－1×2＋1×3－1×3＋1×4－1×4＋1×…×n －1×n ＋1＝22×32×42×…×n 21×3×2×4×3×5×…×n －1×n ＋1＝2nn ＋1. 答案：2nn ＋18．数列{a n}定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a 2n ，n 为偶数，1a n －1，n 为奇数，若a n ＝14，则n ＝________.解析：因为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14，所以n ＝9.答案：99．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .10．已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，在数列{b n }中，b n ＝1＋a na n.(1)求公差d 的值；(2)若a 1＝－52，求数列{b n }中的最大项和最小项的值；(3)若对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8成立，求a 1的取值范围．解：(1)因为S 4＝2S 2＋4，所以4a 1＋3×42d ＝2(2a 1＋d )＋4，解得d ＝1.(2)因为a 1＝－52，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－52＋(n －1)×1＝n －72，所以b n ＝1＋a n a n ＝1＋1a n ＝1＋1n －72.因为函数f (x )＝1＋1x －72在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上分别是单调减函数， 所以b 3<b 2<b 1<1，当n ≥4时，1<b n ≤b 4，所以数列{b n }中的最大项是b 4＝3，最小项是b 3＝－1. (3)由b n ＝1＋1a n ，得b n ＝1＋1n ＋a 1－1.又函数f (x )＝1＋1x ＋a 1－1在(－∞，1－a 1)和(1－a 1，＋∞)上分别是单调减函数，且x <1－a 1时，y <1；当x >1－a 1时，y >1.因为对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8， 所以7<1－a 1<8，所以－7<a 1<－6， 所以a 1的取值范围是(－7，－6)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在数列{a n }中，a n >0，且前n 项和S n 满足4S n ＝(a n ＋1)2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ＝1时，4S 1＝(a 1＋1)2，解得a 1＝1； 当n ≥2时，由4S n ＝(a n ＋1)2＝a 2n ＋2a n ＋1， 得4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1＋1，两式相减得4S n －4S n －1＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1＝4a n ， 整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，因为a n >0，所以a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2， 又a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. 答案：a n ＝2n －12．数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋bn，若对任意的n ∈N *都有a n ≥a 5，则实数b 的取值范围为________．解析：由题意可得b ＞0，因为对所有n ∈N *，不等式a n ≥a 5恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4≥a 5，a 6≥a 5，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 4≥5＋b 5，6＋b 6≥5＋b 5，解得20≤b ≤30，经验证，数列在(1,4)上递减，在(5，＋∞)上递增，或在(1,5)上递减，在(6，＋∞)上递增，符合题意．所以b ∈[20,30]．答案：[20,30]3．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a >0，x ∈R)，有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1<0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．解：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，所以a ＝0或a ＝4. 又由a >0得a ＝4， 所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2.由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n >0.又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37，即c 1·c 2<0，c 2·c 3<0，c 4·c 5<0， 所以数列{c n }的变号数为3.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时跟踪训练(三十)
[基础巩固]
一、选择题
1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(－1)n ＋12 B ．cos n π2 C.n ＋12π
D ．cos n ＋2
2π
[解析] 令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． [答案] D
2．(2017·福建福州八中质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2017＝( )
A ．1
B ．0
C ．2017
D ．－2017
[解析] ∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3
－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2017＝a 1＝1.
[答案] A
3．设数列{a n }的前n 项和为S n, 且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2n
D ．2n －1
[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，所以a n ＝2n .
[答案] C
4．设曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横
坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2017＝( )
A.2016
2017 B.12017 C.20172018
D.12018
[解析] 由f (x )＝x n ＋1得f ′(x )＝(n ＋1)x n ，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得x n ＝n n ＋1
，故x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2017＝12×23×…×20172018＝12018.
[答案] D
5．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．103 B.8658 C.8258
D ．108
[解析] 根据题意并结合二次函数的性质可得 a n ＝－2n 2
＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －2942＋3＋841
8，
∴n ＝7时，a n 取得最大值，最大项a 7的值为108.故选D. [答案] D
6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10＝( ) A ．64 B ．32 C ．16
D ．8
[解析] 由a n ＋1·a n ＝2n
，所以a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1
，故a n ＋2
a n
＝2，又a 1
＝1，可得a 2＝2，故a 10＝25＝32.
[答案] B 二、填空题
7．在数列－1,0，19，1
8，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．
[解析] 令n －2
n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝5
2(舍去)．
[答案] 10
8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，则a 2017＝________，|a n ＋a n ＋1|＝________(n >1)．
[解析] 由a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，得a 2＝a 21－1＝12－1＝0，a 3＝a 22－1＝02－1＝－1，a 4＝a 23－1＝(－1)2－1＝0，a 5＝a 24
－1＝02
－1＝－1，由此可猜想当n >1，n 为奇数时a n ＝－1，n 为偶数时a n ＝0，∴a 2017＝－1，|a n ＋a n ＋1|＝1.
[答案] －1 1
9．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.
[解析] 依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
[答案] 28
[能力提升]
10．(2017·华东师范大学等四校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1
7，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝7
2a n (1－a n )，则a 1413－a 1314＝( )
A ．－27 B.27 C ．－37
D.37
[解析] 根据递推公式计算得a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×3
7×47＝67，a 4＝72×67×17＝3
7，…，可以归纳通项公式为：当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n ＝37.故a 1413－a 1314＝3
7.故选D.
[答案] D
11．(2018·舟山一模)观察下列各图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是(
)
A ．40
B ．45
C ．50
D ．55
[解析] 设n 条直线的交点个数为a n (n ≥2)，则
⎩⎪⎨⎪⎧
a 3－a 2＝2，
a 4
－a 3＝3，…a 10
－a 9
＝9.
累加得a 10－a 2＝2＋3＋…＋9， ∴a 10＝1＋2＋3＋…＋9＝45. [答案] B
12．(2017·湖北襄阳优质高中联考)若a 1＝1，对任意的n ∈N *，
都有a n >0，且na 2n ＋1－(2n －1)a n ＋1a n －2a 2
n ＝0.设M (x )表示整数x 的个
位数字，则M (a 2017)＝________.
[解析] 由已知得(na n ＋1＋a n )(a n ＋1－2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1－2a n
＝0，则a n ＋1
a n ＝2，∵a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等
比数列，∴a n ＝1×2n －1＝2n －1.∴a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，a 5＝16，a 6＝32，a 7＝64，a 8＝128，…，∴n ≥2时，M (a n )依次构成以4为周期的数列．∴M (a 2017)＝M (a 5)＝6，故答案为6.
[答案] 6
13．(2017·浙江温州四校联考改编)某音乐酒吧的霓虹灯是用，
，
三个不同音符组成的一个含n ＋1(n ∈N *)个音符的音符串，要
求由音符开始，相邻两个音符不能相同．例如n ＝1时，排出的音
符串是
，
；n ＝2时，排出的音符串是
，
，
，
；…，记这种含n ＋1个音符的所有音符串中，排在
最后一个的音符仍是
的音符串的个数为a n .易知a 1＝0，a 2＝2.则a 4
＝________，a n ＋a n ＋1＝________.
[解析] 由题意知，a 1＝0，a 2＝2＝21－a 1，a 3＝2＝22－a 2，a 4＝6＝23－a 3，a 5＝10＝24－a 4，所以a n ＝2n －1－a n －1，所以a n ＋a n －1＝2n
－1
.
[答案] (1)6 (2)2n －1
14．(2017·河南洛阳第二次统一考试)已知数列{a n }中，a 1＝1，其
前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；。