2.3.2双曲线的简单几何性质学案及答案
教学设计3：2.3.2 双曲线的简单几何性质
(三)渐近线双曲线的范围在以直线by xa=和by xa=-为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线22221x ya b-=与直线by xa=±具有怎样的关系呢？根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线by xa=的关系。
双曲线在第一象限的部分可写成：当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)离心率由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，指出：焦点在y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变． （五）例题讲解例1求双曲线22143x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程，并画出双曲线的草图。
分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是ay x b=±． 例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
例3求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．分析：已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程：方法一按焦点位置分别设方程求解；方法二可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠ 例4.如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程． 分析：若设点(),M x y ，则()225MF x y =-+，到直线l ：165x =的距离165d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．例5.双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m）．练习反馈1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．(1)16x2－9y2=144；(2)16x2－9y2=－144．限时训练2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；曲线的方程．点到两准线及右焦点的距离．课堂小结作业布置提高。
(部编版)2020学年高中数学第二章2.3.2双曲线的简单几何性质学案含解析新人教A版选修201
2．3.2 双曲线的简单几何性质[提出问题]已知双曲线C 1的方程：x 29－y 216＝1.问题1：双曲线C 1中的三个参数a ，b ，c 的值分别为多少？ 提示：3,4,5.问题2：试画出双曲线C 1的草图？ 提示：如图所示：问题3：观察双曲线C 1的图象，曲线与x 轴、y 轴哪一条轴有交点？有无对称性？ 提示：与x 轴有交点，有对称性． [导入新知]1．双曲线的几何性质2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [化解疑难]对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，得x 2a 2＝1＋y 2b2≥1，∴x 2≥a 2，∴|x |≥a ，即x ≤－a 或x ≥a .(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．(4)对称性：由双曲线的方程x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若P (x ，y )是双曲线上任意一点，则P 1(－x ，y )，P 2(x ，－y )均在双曲线上，因P 与P 1，P 2分别关于y 轴、x 轴对称，因此双曲线分别关于y 轴、x 轴对称．只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．[例1] 求双曲线9y 2－4x 2[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±23x .[类题通法]已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．[活学活用]求双曲线9x 2－16y 2＋144＝0的实半轴长、虚半轴上长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．解：把方程9x 2－16y 2＋144＝0化为标准方程为y 29－x 216＝1.由此可知，实半轴长a ＝3； 虚半轴长b ＝4；c ＝a 2＋b 2＝9＋16＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝53；渐近线方程为y ＝±a b x ＝±34x .双曲线的草图如图．[例2] (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .[解] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ＜0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.[类题通法](1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c 2＝a 2＋b 2及e ＝ca列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．[活学活用]分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)； (2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103. (3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2， 得b 2＝1.故双曲线C 的标准方程为x 23－y 2＝1.(2)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k ＞0)， 则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1，①或y 29k －x 2k＝1，② 把(3,92)代入①，得k ＝－161与k ＞0矛盾； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线的标准方程为y 281－x 29＝1.(3)设与双曲线x22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y 2＝k (k ≠0)，将点(2，－2)代入，得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[例3] 已知双曲线的渐近线方程为y ＝±4x ，求此双曲线的离心率．[解] 当焦点在x 轴上时， 其渐近线方程为y ＝±b ax ，依题意，得b a ＝34，b ＝34a ，c ＝a 2＋b 2＝54a ，∴e ＝c a ＝54；当焦点在y 轴上时，其渐近线方程为y ＝±a bx ，依题意，得a b ＝34，b ＝43a ，c ＝a 2＋b 2＝53a ，∴e ＝c a ＝53.∴此双曲线的离心率为54或53.[类题通法]求双曲线离心率的常用方法(1)依据条件求出a ，c ，计算e ＝c a.(2)依据条件建立a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b 2a2求解． [活学活用]已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q＝90°，求双曲线的离心率．解：设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b2＝1，则y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，∴b 2a＝2c ，∴b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.3.直线与双曲线的相交[典例] (12分)已知斜率为2的直线被双曲线x 23－y 22＝1所截得的弦长为4，求直线l 的方程．[解题流程][活学活用]已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围．(2)若直线l 与双曲线C 两支交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，消去y 整理，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2＞0，解得－2＜k ＜2且k ≠±1.所以实数k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k2. 又直线l 恒过点D (0，－1)，且x 1x 2＜0， 则S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD＝12|x 1|＋12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝ 2. 所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8. 解得k ＝0或k ＝±62， 由(1)知上述k 的值符合题意， 所以k ＝0或k ＝±62.[随堂即时演练]1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A 由题意知c ＝4，焦点在x 轴上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1＝e 2＝4，所以b a＝3，又由a 2＋b 2＝4a 2＝c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12.所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1.2．(全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2解析：选A 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得 2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b2a，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2， 所以离心率e ＝c a＝ 2.3．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4， 即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4， ∴双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝14．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2,0)，得8x 2－4x －13＝0，显然Δ＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 答案：35．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)． 解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为双曲线过点(3，－2)， 则9a 2－2b2＝1.①又e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1.(2)由2a ＝2b 得a ＝b ， ∴e ＝1＋b 2a2＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点P (4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.[课时达标检测]一、选择题1．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B 由e ＝62得e 2＝32， ∴c 2a 2＝32， 则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.因此可知B 正确．2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ) A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.3．(全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：选A 由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.4．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 解析：选B 由题意知k ＜0，∴a 2＝4，b 2＝－k .∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4. 又∵e ∈(1,2)，∴1＜1－k 4＜4， ∴－12＜k ＜0. 5．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 解析：选A 由焦距为25，得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12.又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 二、填空题 6．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________． 解析：由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ，得m ＝3，所以c ＝7.又因为焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(±7，0)．答案：(±7，0) 7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a， 即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：28．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )|y B | ＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：3215三、解答题9．已知椭圆方程是x 210＋y 25＝1，双曲线E 的渐近线方程是3x ＋4y ＝0，若双曲线E 以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程． 解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(±5，0)，顶点坐标为(±10，0)和(0，±5)． 因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点(±5，0)时，可设所求的双曲线方程为9x 2－16y 2＝k (k ≠0)，将点的坐标代入得k ＝45，故所求方程是x 25－16y 245＝1.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且a 2c ＝33. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2c ＝33，c a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1， 得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ＞0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m .因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5. 故m＝±1.。
人教A版数学选修2-1《2.3.2双曲线的简单几何性质(1)》练习及答案
双曲线(2)1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )．A ．－14B ．－4C ．4 D.142．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是( )．A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P (1，3)，离心率为2的双曲线的标准方程为( )． A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 28＝1 4．与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________． 5．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________． 6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上， 一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则它的离心率为( )．A. 5 B.52 C. 3 D ．2 7．若0<k <a 2，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )． A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ．相同的焦点8．若双曲线中心在原点，焦点在y 轴，离心率e ＝135，则其渐近线方程为________． 9．过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，点F 1是另一个焦点，若∠PF 1Q ＝90°，则双曲线的离心率等于________．10．(创新拓展)已知点N (1，2)，过点N 的直线交双曲线x 2－y 22＝1于A 、B 两点，且ON →＝12(OA →＋OB →)． 求直线AB 的方程；双曲线(2)答案1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( A )．A ．－14B ．－4C ．4 D.142．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是( C )．A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P (1，3)，离心率为2的双曲线的标准方程为 ( D )．A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.x 28－y 28＝1D.y 28－x 28＝1 4．与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．x 23－y 212＝1 5．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．(－12，0) 6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上， 一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则它的离心率为( A )．A. 5B.52 C. 3 D ．2 7．若0<k <a 2，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( D )． A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点8．若双曲线中心在原点，焦点在y 轴，离心率e ＝135，则其渐近线方程为________．y ＝±512x 9．过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，点F 1是另一个焦点，若∠PF 1Q ＝90°，则双曲线的离心率等于________．2＋110．(创新拓展)已知点N (1，2)，过点N 的直线交双曲线x 2－y 22＝1于A 、B 两点，且ON →＝ 12(OA →＋OB →)． 求直线AB 的方程；解:由题意知直线AB 的斜率存在．设直线AB ：y ＝k (x －1)＋2，代入x 2－y 22＝1 得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －(2－k )2－2＝0. (*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程(*)的两根， ∴2－k 2≠0.且x 1＋x 2＝2k （2－k ）2－k 2. ∵ON →＝12(OA →＋OB →)，∴N 是AB 的中点， ∴x 1＋x 22＝1，∴k (2－k )＝－k 2＋2，k ＝1， ∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.。
学案3:2.2.2 双曲线的简单几何性质
2.2.2 双曲线的简单几何性质【学一学———基础知识结论】 1．双曲线的几何性质２．等轴双曲线（1）实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y=x ±，离心率 . （2）渐近线是双曲线特有的性质，两方程密切联系，把双曲线的标准方程2222=1(a>0,b>0)x y a b -，右边的常数1换成0，就是渐近线方程，反之由渐近线方程ax by=0±变为2222a x b y =λ-，再结合其他条件求得λ，就能求的双曲线方程.【学一学———方法规律技巧】1.双曲线离心率值（或范围）的求法双曲线的基本量a,b,c中，知道任意两个量的关系，结合222c b a=+，则三个量的关系都知道，而e=ca，故确定双曲线的离心率值（范围），关键在根据双曲线定义、平面几何知识、数形结合、方程思想等寻求关于a,b,c的等量关系或者不等关系.例1．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞b＞0)的两焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．2.根据双曲线标准方程研究几何性质由双曲线的方程,求双曲线的相关性质的步骤为:先将双曲线方程化为标准形式22221 x ya b-=(或22221y xa b-=),再根据它确定a,b的值(注意分母分别为a2,b2,而不是a,b),进而求出c;再对照双曲线的几何性质得到相应的答案.画近似图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两条邻边的矩形的对角线所在直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画出双曲线的近似图形.例2.求双曲线144x2-25y2=-3 600的实轴长和虚轴长,焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线方程.变式训练2双曲线y 2-2x 2=-8的焦点坐标是 ,顶点坐标是 ,离心率等于 ,渐近线方程是 . 试一试1．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x2．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0，2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A.32 B ．2 C.52 D ．3 3．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条4．若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的方程是______________． 课后作业1．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等2．设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是__________．4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________，渐近线方程为__________．5．双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0，5)，点P (3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，试求双曲线方程与椭圆的方程．6．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．答 案例1 【答案】解：设F 1(c ，0)，将x ＝c 代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|， ∴b 2a＝2c ，∴b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝⎛⎭⎫c a 2－2×ca－1＝0. 即有e 2－2e －1＝0，解得e ＝1＋2(舍去e ＝1－2)． ∴所求双曲线的离心率e ＝1＋ 2.【方法总结】离心率是圆锥曲线的重要几何性质，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率，另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论哪类问题，其难点都是如何建立关于a 、b 、c 的关系式(等式或不等式)并且最后把b 用a 、c 来表达，转化为e 的关系式．例2 【答案】解:把双曲线方程化成标准方程为y 2144−x 225=1, 则a 2=144,b 2=25,∴c 2=a 2+b 2=169.∴a=12,b=5,c=13.由此可知,该双曲线的实轴长2a=24,虚轴长2b=10,焦点坐标为(0,-13),(0,13),顶点坐标为(0,-12),(0,12),离心率e=1312,渐近线方程为y=±125x.变式训练2【答案】解:双曲线方程化为x 24−y 28=1,所以a=2,b=2√2,焦点在x 轴上,c=√4+8=2√3.故焦点坐标是(-2√3,0),(2√3,0),顶点坐标是(-2,0),(2,0),离心率 e=ca =√3,渐近线方程是y=±√2x.【答案】(-2√3,0),(2√3,0) (-2,0),(2,0) √3 y=±√2x试一试1．【解析】依题意，得e ＝c a ＝53.设a ＝3k ，c ＝5k ，则b 2＝c 2－a 2＝25k 2－9k 2＝16k 2，则b ＝4k .又双曲线焦点在y 轴上，∴其渐近线方程为y ＝±34x .【答案】D 2．【答案】B3．【解析】过P 与渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点，另外x ＝1与双曲线只有一个公共点，∴l 的条数是3. 【答案】B4．【解析】由渐近线方程知b a ＝3，又c ＝10，a 2＋b 2＝c 2⇒a 2＋9a 2＝10⇒a 2＝1，b 2＝9. 【答案】x 2－y 29＝1 课后作业1．【解析】∵0<k <5，∴5－k >0，16－k >0.对于双曲线：x 216－y 25－k ＝1，其焦距是25－k ＋16＝221－k ；对于双曲线：x 216－k －y 25＝1，其焦距是216－k ＋5＝221－k .故焦距相等．【答案】D2．【解析】由方程t 2cos θ＋t sin θ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－tan θ，不妨设点A (0，0)，B (－tanθ，tan 2θ)，则过这两点的直线方程为y ＝－x tan θ，该直线恰是双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A. 【答案】A3．【解析】由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ，得m ＝3，c ＝7，且焦点在x 轴上． 【答案】(±7，0)4．【解析】椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，故c ＝4，且满足c a ＝2，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .【答案】(4，0)，(－4，0) y ＝±3x5．【答案】解：由共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0，5)， 可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1(a 2>25)；双曲线方程为y 2b 2－x 225－b2＝1(0<b 2<25)， 点P (3，4)在椭圆上，所以16a 2＋9a 2－25＝1，得a 2＝40，双曲线过点P (3，4)的渐近线为y ＝b25－b 2x ， 即4＝b25－b2×3，b 2＝16， 所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1，双曲线方程为y 216－x 29＝1.6．【答案】解：(1)由点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1，由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2， 则e ＝c a ＝305.(2)联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.设OC →＝(x 3，y 3)，由OC →＝λOA →＋OB →得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线E 上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2， 化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2，又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线E 上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.又x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， 得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.。
2.3.2双曲线的简单几何性质(第1课时)学案
2.3.2双曲线的简单几何性质（第1课时）【学习目标】1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a 、b 、c 、e 的关系及其几何意义的理解。
2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。
【学习重点】双曲线的简单几何性质及其应用。
【学习难点】渐近线方程的导出。
一、课前预习要求及内容回顾：1、双曲线的定义：2、双曲线的标准方程：3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的？二、预习整理（一）试一试类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程)0,0(,12222>>=-b a b y a x ，研究它的几何性质。
①范围 ：由双曲线的标准方程可得：=22by 从而得x 的范围： ；即双曲线在不等式 和所表示的区域内。
22ax = 从而得y 的范围为 。
②对称性：以x -代x ，方程不变，这说明所以双曲线关于 对称。
同理，以y -代y ，方程不变得双曲线关于 对称，以x -代x ，且以y -代y ，方程也不变，得双曲线关于 对称。
③顶点：即双曲线与对称轴的交点。
在方程12222=-by a x 里，令y=0,得x= 得到双曲线的顶点坐标为1A （ ）2A （ ） ；我们把1B （ ）2B （ ）也画在y 轴上（如图）。
线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 。
④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为 。
（二）想一想1、根据上述四个性质，画出椭圆 191622=+y x 与双曲线191622=-y x 的图象。
2、渐近线：双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为,双曲线各支向外延伸时，与它的渐近线，。
叫做等轴双曲线，它的渐近线为，离心率为。
思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？三、合作探究四、小组展示例题1、求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标、离心率，渐近线方程。
人教A版高中数学 选修2-1 2-3-2双曲线的简单几何性质 学案 精品
2.3.1双曲线的简单几何性质（一）教学目标1.知识与技能：（1）通过对双曲线图形的研究，让学生熟悉双曲线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对双曲线形状的影响，进一步加强数形结合的思想。
（2）熟练掌握双曲线的几何性质，会用双曲线的几何性质解决相应的问题。
（3）理解等轴双曲线的特点与性质2.过程与方法：通过讲解双曲线的相关性质，理解并会用双曲线的相关性质解决问题。
3.情感、态度与价值观：（1）学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（2）培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
（二）教学重点与难点重点：双曲线的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质难点：数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质（三）教学过程活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？1、 双曲线的定义？2、 两种不同双曲线方程的对比？问题2：类比椭圆几何性质，观察双曲线22221x y a b-=（a>0,>b>0）的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？双曲线上哪些点比较特殊？活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）1、双曲线的简单几何性质①范围：x a ≤-，或x a ≥；y R ∈②对称性：关于以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：实顶点：为1(,0)A a -，2(,0)A a ；实轴为|21A A |=2a ；实半轴长为a虚顶点为1(0,)B b -，2(0,)B b ；虚轴为|21B B |=2b ；虚半轴长为b④渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线； 直线a y x b =±叫做双曲线22221y x a b-=的渐近线； 问题3：双曲线的范围在以直线b y x a =和b y x a=-为边界的平面区域内，那么从x,y 的变化趋势看，双曲线22221x y a b-=与直线b y x a =±具有怎样的关系呢？ ⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ac e =叫做双曲线的离心率（1e >）． 问题4：当a b =时，双曲线方程有什么变化？渐近线？离心率？2、等轴双曲线：当a b =时，双曲线为22221x y a a-=叫等轴双曲线，渐近线为y x =±，离心率e =问题5：书本P58页思考？例3： 求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．练习：书本P61页练习1扩展：求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()3A -点的双曲线的标准方及离心率．练习：书本P61页练习3活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例4：双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）．引申：如图所示，在P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA 或PB 送到呈矩形的足球场ABCD 中去铺垫，已知150AP m =，100BP m =，60BC m =，60APB ∠= ．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．练习：书本P61页练习2例5:如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程． 例6：如图，过双曲线 22136x y -=的右焦点2F ，倾斜角为030的直线交双曲线于A 、B 两点，求||AB 。
高二数学 教案 2.3.2双曲线的简单几何性质学案及答案人教版_选修2-1
3、求与双曲线 共渐近线，且经过 点的双曲线的标准方及离心率．
4、如图，设 与定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹方程．
5、双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m）．
（A） （B） （C） （D）
5、“双曲线的方程为 ”件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线 的焦点为 、 ，点 在双曲线上且 轴，则 到直线 的距离为（）（A） （B） （C） （D）
二、能力提高
1、已知双曲线的中心在原点，焦点为F1 ，F2（0， ），且离心率 ，求双曲线的标准方程及其渐近线．
参考答案一、C、B、A、D、A、C二1、 2、
3、 4、
批阅日期：
1、重点：双曲线的几何性质及初步运用。
2、难点：双曲线的渐近线。
一、基础夯实
1、求双曲线 的渐近线方程是（）
A、y= B C D y=
2、双曲线 的离心率为（ ）A、2 B、 C、 3 D、 4
3、已知双曲线的离心率为2，焦点是 ， ，则双曲线方程为（ ）
A B C. D.
4、已知双曲线 的一条准线为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
高中数学选修2-1优质学案6：2.3.2 双曲线的简单几何性质
2.3.2 双曲线的简单几何性质问题导学一、双曲线几何性质的应用 活动与探究1(1)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．3＋12D ．5＋12(2)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x迁移与应用求双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．【名师点津】(1)已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化为标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c 的值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的渐近线方程为y ＝±abx ，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即可得渐近线方程，这样就不至于记错了．二、由双曲线的几何性质求标准方程 活动与探究2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103．(2)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(3)与双曲线x 2－2y 2＝2有共同的渐近线，且经过点(2，－2)． (4)过点P (2，－1)，渐近线方程是y ＝±3x ． 迁移与应用1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A ．x 225－y 29＝1 B ．x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C ．x 2100－y 236＝1 D ．x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 2．已知双曲线的一个焦点坐标为(13，0)，渐近线方程为2x ±3y ＝0，则双曲线的标准方程为( )A ．x 24－y 29＝1B ．x 29－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1 【名师点津】(1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程的常用方法：一是设法确定基本量a ，b ，c ，从而求出双曲线的标准方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止遗漏．为了避免讨论，也可设方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)，从而直接求解．(2)若是根据双曲线的渐近线求标准方程，设法为：①若双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ，则双曲线方程可表示为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)；②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b＞0．λ≠0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可表示为y 2a 2－x 2b2＝λ(a＞0，b ＞0，λ≠0)．三、与双曲线离心率有关的问题 活动与探究3(1)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ．3(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．迁移与应用1．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A ．31414B ．324C ．32D ．432．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．【名师点津】(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝c a；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，如果含有b ，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba 后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，常与直线、三角形、向量等平面几何知识综合考查，求双曲线离心率(或离心率的取值范围)的关键是由条件寻找a ，c 所满足的等式(或不等式)．四、直线与双曲线的位置关系 活动与探究4(1)已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)过点P (8,1)的直线与双曲线x 2－4y 2＝4相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．迁移与应用已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试讨论实数k 的取值范围． (1)直线l 与双曲线有两个公共点；(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l 与双曲线没有公共点．【名师点津】双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况．另外，设而不求、根与系数的关系、消参也是常用的方法．在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度．答 案【问题导学】 活动与探究1(1)【思路分析】根据已知条件，利用坐标表示垂直，求出a ，b ，c 的关系，消去b ，进而求得c a的值．[答案]D[解析]不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，取虚轴的一个端点为B (0，b )，一个焦点为F (c,0)，则直线FB 与渐近线y ＝bax 垂直，∴－b c ·b a ＝1．∴b 2－ac ＝0．又∵c 2＝a 2＋b 2，∴c 2－ac －a 2＝0．∴e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．(2)【思路分析】由已知求出b ，c ，然后利用平方关系求出a ，最后根据方程写出渐近线．[答案]C[解析]由已知2b ＝2,2c ＝23，∴b ＝1，c ＝3．∴a 2＝c 2－b 2＝2． 由双曲线的焦点在x 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ．迁移与应用 [答案]解：将4x 2－y 2＝4变形为x 2－y 24＝1，即x 212－y 222＝1，∴a ＝1，b ＝2，c ＝5，∴顶点A 1(－1,0)，A 2(1,0)，焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，实半轴长是a ＝1，虚半轴长是b ＝2，离心率e ＝c a ＝5．渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ．活动与探究2 【思路分析】(1)(2)可用待定系数法求出a ，b ，c 后求方程；(3)(4)可以利用渐近线的方程进行假设．[答案]解：(1)e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k ＞0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k ．于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1①或y 29k －x 2k＝1②．把(3,92)代入①，得k ＝－161与k ＞0矛盾，无解； 把(3,92)代入②，得k ＝9，故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1．(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1．故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1．(3)设所求双曲线方程为x 2－2y 2＝k ．③由于双曲线过点(2，－2)，将(2，－2)代入③，得k ＝22－2·(－2)2＝－4．故所求双曲线方程为x 2－2y 2＝－4，即y 22－x 24＝1．(4)方法一：首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P (2，－1)在渐近线y ＝－3x 的上方还是下方．如图所示，x ＝2与y ＝－3x 交点为Q (2，－6)，P (2，－1)在Q (2，－6)的上方，所以焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ba＝3，4a 2－1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝359，b 2＝35.∴所求双曲线方程为x 2359－y 235＝1． 方法二：由渐近线方程3x ±y ＝0，可设所求双曲线方程为x 219－y 2＝λ(λ≠0)．(*)将点P (2，－1)的坐标代入(*)，得λ＝35， ∴所求的双曲线方程为x 2359－y 235＝1．迁移与应用1．[答案]B [解析]由已知a ＝5，b ＝3．当焦点在x 轴上时，方程为x 225－y 29＝1；当焦点在y 轴上时，方程为y 225－x 29＝1．2．[答案]B [解析]设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)． ∵双曲线的焦点坐标为(13，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ>0，λ4＋λ9＝13.∴λ＝36．∴双曲线的标准方程为x 29－y 24＝1．活动与探究3(1)【思路分析】设出双曲线的标准方程，将|AB |用参数a ，b 表示，然后根据“|AB |为C 的实轴长的2倍”，列关于a ，b 的等式，由此求离心率．[答案]B [解析]设双曲线的两焦点分别为F 1，F 2， 由题意可知|F 1F 2|＝2c ，|AB |＝2|AF 1|＝4a ， 在Rt△AF 1F 2中，∵|AF 1|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，|AF 2|＝4a 2＋c 2，∴|AF 2|－|AF 1|＝4a 2＋c 2－2a ＝2a ，即3a 2＝c 2，∴e ＝c a＝3．(2)【思路分析】写出直线l 的方程→写出点(1,0)到直线l 的距离→写出点(－1,0)到直线l 的距离→依题意列出不等式→求出e 的范围．[答案]解：直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －1a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b a ＋1a 2＋b 2， s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b2＝2abc ，由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2，于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0，得54≤e 2≤5．由于e ＞1＞0，所以e 的取值范围是52≤e ≤5．迁移与应用1．[答案]C [解析]由双曲线的右焦点为(3,0)知c ＝3，即c 2＝9，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴9＝a 2＋5，即a 2＝4，a ＝2．故所求离心率e ＝c a ＝32．2．[答案]解：设F 1 (c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b2＝1，则y ＝±b 2a．由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|， ∴b 2a＝2c ，∴b 2＝2ac ． ∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a －1＝0．即e 2－2e －1＝0．∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋2．活动与探究4(1)【思路分析】注意点P (1,0)恰好是双曲线的右顶点，从而利用数形结合就可确定直线条数．[答案]B [解析]由已知点P (1,0)是双曲线的右顶点，故过点P (1,0)且与x 轴垂直的直线与双曲线相切，它们只有一个公共点．另外过点P (1,0)且与其中一条渐近线平行的直线与双曲线相交，它们只有一个公共点．所以满足条件的直线l 有三条．(2)【思路分析】若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2，可把A ，B 两点代入双曲线方程，通过作差法求得k 即可．[答案]解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵(8,1)是弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2．把A ，B 两点坐标代入x 2－4y 2＝4，得x 21－4y 21＝4，①x 22－4y 22＝4，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0． ∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24y 1＋y 2＝164×2＝2， 即直线AB 的斜率为2．∴所求的直线方程为y －1＝2(x －8)， 即2x －y －15＝0．经验证该直线符合题意．迁移与应用 [答案]解：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，y ＝k x －1，消去y ，得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0．(*)当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线渐近线平行，方程(*)化为2x ＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)·(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．①⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2>0，1－k 2≠0，即－233＜k ＜233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点． ②⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＝0，1－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有一个公共点．③⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2<0，1－k 2≠0，即k ＜－233或k ＞233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．综上所述，(1)当－233＜k ＜－1，或－1＜k ＜1，或1＜k ＜233时，直线与双曲线有两个公共点；(2)当k ＝±1，或k ＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；(3)当k ＜－233，或k ＞233时，直线与双曲线没有公共点．。
第二章 2.3 2.3.2 双曲线的简单几何性质 答案
[课时作业][A 组 基础巩固]1．解析：由题意得b ＝1，c ＝ 3.∴a ＝ 2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝± b ax ，即y ＝±22x .答案：C2．解析：将双曲线2x 2－y 2＝8化成标准方程x 24－y 28＝1，则a 2＝4， 所以实轴长2a ＝4.答案：C3．解析：∵方程mx 2＋y 2＝1表示双曲线，∴m <0.将方程化为标准方程为y 2－x 2－1m ＝1.则a 2＝1，b 2＝－1m .∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴可知b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.答案：A4．解析：令y ＝0，则x ＝－4，即c ＝4，又c 2＝a 2＋b 2，a ＝b ，∴c 2＝2a 2，a 2＝8.答案：A5．解析：不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a＝b ，∴c＝2a，e＝ca＝ 2.故选D.答案：D6．解析：双曲线x2a2－y2＝1的渐近线为y＝±xa，已知一条渐近线为3x＋y＝0，即y＝－3x，因为a＞0，所以1a＝3，所以a＝33.答案：3 37．解析：由题意知，a＋c＝b2a，即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案：28．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c－a＝1，又e＝ca＝2，两式联立得a＝1，c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，∴方程为x2－y23＝1.答案：x2－y23＝19．解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，所以椭圆的右焦点坐标为(3m2－5n2，0)，双曲线的右焦点坐标为(2m2＋3n2，0)，所以3m2－5n2＝2m2＋3n2，所以m2＝8n2，即|m|＝22|n|，所以双曲线的渐近线方程为y＝±6|n|2|m|x，y＝±34x.离心率e＝2m2＋3n22|m|＝194，e＝194.10．解析：(1)由题意知a＝23，∴一条渐近线为y＝b23x，即bx－23y＝0，∴|bc|b2＋12＝3，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3， ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[B 组 能力提升]1．解析：根据双曲线的焦距，建立关于n 的不等式组求解．若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧ m 2＋n >0，3m 2－n >0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧ 1＋n >0，3－n >0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧ n －3m 2>0，－m 2－n >0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A.答案：A2．解析：由△ABF 2为锐角三角形得， b 2a 2c <tan π4＝1，即b 2<2ac ，∴c 2－a 2<2ac ， ∴e 2－2e －1<0，解得1－2<e <1＋2，又e >1，∴1<e <1＋ 2.答案：A3．解析：由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)． 由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F＝12×6×66－12×6×26＝12 6.答案：12 64．解析：由双曲线的渐近线y ＝±b ax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切 可知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3. 故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝1 5．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2c ＝33，ca ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝ 3. 所以b 2＝c 2－a 2＝2.所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m .因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5.故m ＝±1.6．解析：(1)由已知得c ＝2，e ＝2，∴a ＝1，b ＝ 3.∴所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ， ①x 2－y 23＝1， ② 将①式代入②式，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*)设MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝m 2，y 0＝x 0＋m ＝3m 2，所以线段MN 垂直平分线的方程为y －3m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2 即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)，可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2此时(*)的判别式Δ>0，故直线l的方程为y＝x±2.。
高中数学苏教版选修1-1学案：第二章 2.3.2 双曲线的几何性质 Word版含答案
2.3.2 双曲线的几何性质[学习目标]1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等. 2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.知识点一双曲线的几何性质x ≥a 或x ≤－ay ≥a 或y ≤－a知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x . [思考](1)椭圆与双曲线的离心率都是e ，其范围一样吗？ (2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？答案(1)不一样.椭圆的离心率0<e <1，而双曲线的离心率e >1.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y ＝±b a x 的双曲线可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0，λ∈R )，当λ>0时，焦点在x 轴上，当λ<0时，焦点在y 轴上.题型一已知双曲线的标准方程求其几何性质例1求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.解将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .反思与感悟讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.跟踪训练1求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.解将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝4 3.焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2.题型二根据双曲线的几何性质求标准方程 例2求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3).解(1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12， 故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)方法一∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②联立①②，无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.反思与感悟由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求出来.当双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x 时，可以将方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).跟踪训练2根据条件，求双曲线的标准方程.(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2).解(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，由题意可知(－3)29－(23)216＝λ，解得λ＝14.∴所求双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1.(2)设所求双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(16－k >0，4＋k >0)，∵双曲线过点(32，2)，∴(32)216－k －44＋k ＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍去).∴所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.题型三直线与双曲线的位置关系例3直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 的方程.解设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*) 设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2).又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ， ∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)，∴AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2 ＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝5[3625m 2－4×310(m 2＋2)].∵AB ＝4，∴365m 2－6(m 2＋2)＝16.∴3m 2＝70，m ＝±2103. 由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±2103代入， 得Δ>0，∴m 的值为±2103. ∴所求直线l 的方程为y ＝2x ±2103. 反思与感悟直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x 或y 的一元二次方程.要注意根与系数的关系，根的判别式的应用.若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解.跟踪训练3设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若P A →＝512PB →，求a 的值.解(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a 2－y 2＝1(a >0)，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，所以0<a <2且a ≠1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 依题意得P (0,1)，因为P A →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1).由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0， 所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2.消去x 2得－2a 21－a2＝28960.由a >0，解得a ＝1713.分类讨论思想的应用例4已知双曲线方程为2x 2－y 2＝2.(1)过定点P (2,1)作直线l 交双曲线于P 1，P 2两点，当点P (2,1)是弦P 1P 2的中点时，求此直线方程；(2)过定点Q (1,1)能否作直线l ，使l 与此双曲线交于Q 1，Q 2两点，且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.分析(1)点P 是弦P 1P 2的中点，其端点是直线与双曲线的交点，所以设出直线方程后，将其与双曲线方程组成方程组，结合根与系数的关系和中点坐标公式可求解.(2)先假设直线存在，将交点的坐标代入原曲线方程得方程组，再将中点坐标公式代入求出k 的值，得直线方程，最后与曲线方程联立，验证根的情况.解(1)若直线的斜率不存在，即P 1P 2⊥x 轴，则由双曲线的对称性，知弦P 1P 2的中点在x 轴上，不可能是点P (2,1)，所以直线l 的斜率存在. 故可设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 即y ＝kx －2k ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，y ＝kx －2k ＋1消去y 并化简， 得(2－k 2)x 2＋2k (2k －1)x －4k 2＋4k －3＝0. 设直线l 与双曲线的交点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2). ①当2－k 2≠0，即k 2≠2时，x 1＋x 2＝－2k (2k －1)2－k 2.因为点P (2,1)是弦P 1P 2的中点， 所以－k (2k －1)2－k 2＝2，解得k ＝4.当k ＝4时，Δ＝4k 2(2k －1)2－4(2－k 2)(－4k 2＋4k －3)＝280＞0.②当k 2＝2，即k ＝±2时，直线与双曲线渐近线的斜率相等，即斜率为k ＝±2的直线l 与双曲线不可能有两个交点.综上所述，所求直线方程为y ＝4x －7.(2)假设这样的直线l 存在，设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)， 则x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1.所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2.两式相减，得(2x 21－2x 22)－(y 21－y 22)＝0，所以2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0.若直线l ⊥x 轴，则直线l 与双曲线只有一个交点，不符合题意. 所以直线l 的斜率存在，故k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.所以直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2，得2x 2－(2x －1)2＝2， 即2x 2－4x ＋3＝0，得Δ＝16－24＜0.这就是说，直线l 与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在.解后反思在本题的解答过程中，共有3次用到了分类讨论思想：在(1)中，先对直线的斜率是否存在进行了讨论，再对一元二次方程的二次项系数是否为零进行了讨论；在(2)中，也对直线是否与x 轴垂直进行了讨论.1.双曲线x 24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为________.答案2 3解析∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4,0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F (4,0)到3x －y ＝0的距离为432＝2 3.2.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为________. 答案 －14解析由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14.3.双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为____________.答案3x ±4y ＝0解析由x 216－y 29＝1得a 2＝16，b 2＝9，∴渐近线方程为y ＝±34x ，即3x ±4y ＝0.4.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为____________. 答案x 220－y 25＝1解析双曲线C 的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20.5.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________. 答案62解析设双曲线的焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 虚轴两个端点为B 1(0，－b )，B 2(0，b )， ∵c >b ，∴只有∠B 1F 1B 2＝60°， ∴tan30°＝b c，∴c ＝3b ，又a 2＝c 2－b 2＝2b 2，∴e ＝c a ＝3b 2b ＝62.1.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.。
数学苏教版选修2-1教案：2.3.2 双曲线的几何性质 Word版含解析
2．3.2双曲线的几何性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质．(2)掌握双曲线标准方程中a，b，c的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明．(3)能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题．2．过程与方法(1)通过与椭圆的性质的类比，获得双曲线的性质，培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法．(2)通过对双曲线的性质的求解和应用，加深双曲线方程的求解及性质的理解，体会数形结合思想的应用．3．情感、态度与价值观培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物．●重点难点重点：从知识上来讲，要掌握如何利用双曲线标准方程的结构特征研究双曲线的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究双曲线性质的过程中思维的过程展现，如类比思维、数形结合等．难点：双曲线渐近线方程和离心率的求解及应用．通过动画展示，让学生形象地体会双曲线渐近线的真正内涵，渐近线方程与双曲线方程的内在联系、渐近线斜率与离心率的关系．(教师用书独具)●教学建议这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论，在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学生建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力．渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难．因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设(释)疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念(或图形)特征，培养思维的深刻性．●教学流程通过复习和预习，如何通过对双曲线的标准方程的讨论来研究它的几何性质．提问：椭圆有哪些几何性质，获取的途径有哪些？⇒由范围、对称性、顶点及离心率等研究双曲线的几何性质．既要数形结合直观感知，又要根据标准方程严格推证．⇒采用类比教学的方法，由焦点在x轴上的情形得出焦点在y轴上的情形．总结由双曲线标准方程推得渐近线方程的方法，共渐近线双曲线方程的设法．比较椭圆与双曲线几何性质的异同．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握由双曲线方程求其几何性质的方法，首先将方程化为标准方程，由方程得出基本量a，b，c，再写出相应的几何性质．注意椭圆、双曲线的区别．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握由双曲线的几何性质求其方程的方法，由几何性质得出基本量a，b.c，从而求出其标准方程．注意焦点所在坐标轴的不同对方程的影响．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握双曲线离心率或其范围的求解方法，求双曲线的离心率，即找基本量a，b，c的等式关系；求离心率的取值范围，即找基本量a，b，c的不等式关系．注意椭圆与双曲线离心率公式及范围的异同．⇒通过例4及变式训练，使学生掌握直线与双曲线位置关系的研究方法，会讨论公共点个数，会求弦长、弦中点等问题．体会方程思想的应用．⇒通过易错易误辨析，体会双曲线与直线交点个数的讨论方法，要注意直线平行于渐近线的情形，否则将会导致错误．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.已知双曲线方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．1．双曲线的对称轴和对称中心各是什么？【提示】坐标轴、坐标原点．2．双曲线与坐标轴有交点吗？【提示】与x轴有两个交点(－a,0)，(a,0)，与y轴没有交点．3．双曲线方程中x，y的取值范围是什么？【提示】|x|≥a，y∈R.1．双曲线的几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的离心率e＝ 2.求双曲线4x2－y2＝4的实轴长、虚轴长、焦点、顶点坐标、离心率和渐近线方程．【思路探究】化为标准方程→求基本量a，b，c→求几何性质【自主解答】 原方程可化为x 2－y 24＝1，所以，a ＝1，b ＝2，c ＝5，因此，双曲线的实轴长和虚轴长分别为2a ＝2,2b ＝4，两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，双曲线的两个顶点是A 1(－1,0)，A 2(1,0)，离心率e ＝ca＝5，渐近线方程为y ＝±2x .1．由双曲线方程求其几何性质时，首先应将方程化为标准形式，并注意焦点所在坐标轴．2．求解双曲线几何性质时，应注意与椭圆区分开，尤其是基本量a ，b ，c 的关系，对椭圆，a 2＝b 2＋c 2；对双曲线，c 2＝a 2＋b 2.求以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，两个焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．【解】 ∵椭圆x 216＋y 29＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4b 1＝3，∴c 1＝7.∴对双曲线⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝c 1＝7c 2＝a 1＝4，∴b 2＝3，∴双曲线方程：x 27－y 29＝1.∴实轴长2a ＝27，虚轴长2b ＝6，离心率e ＝477，渐近线y ＝±377x .标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (2)焦距是10，实轴长是虚轴长的2倍；(3)过点(2，－2)且与x 22－y 2＝1有公共渐近线．【思路探究】 题(1)已知焦点所在的坐标轴，则只需求出几何量a ，b 的值，便可得到双曲线的标准方程；题(2)中双曲线的焦点位置不确定，则应分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论；题(3)中，可按焦点在x 轴、y 轴上分类讨论，更简单的做法是按公共渐近线的双曲线的统一设法求解方程．【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2.把点(－5,3)代入双曲线方程，得a 2＝16. ∴所求双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1.(2)由题意得2c ＝10,2a ＝4b ，即c ＝5，a ＝2b . 利用c 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝20，b 2＝5.由于双曲线的焦点所在的轴不确定，故双曲线的标准方程为x 220－y 25＝1或y 220－x 25＝1.(3)法一 当焦点在x 轴上时，由于b a ＝22，故可设方程为x 22b 2－y 2b 2＝1，代入点(2，－2)，得b 2＝－2(舍去)．当焦点在y 轴上时，可知a b ＝22，故可设方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，代入点(2，－2)，得a 2＝2.∴所求双曲线方程为y 22－x 24＝1.法二 因为所求双曲线与已知双曲线x 22－y 2＝1有公共的渐近线，故可设双曲线方程为x 22－y 21＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)，得λ＝－2. ∴所求双曲线的方程为x 22－y 2＝－2，即y 22－x 24＝1.1．根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a 、b 、c 的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．2．以y ＝±n m x 为渐近线的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，以此求双曲线方程可避免分类讨论．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)实轴长为16，离心率为54；(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .【解】 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知2a ＝16，c a ＝54，c 2＝a 2＋b 2，解得c ＝10，a ＝8，b ＝6，所以双曲线标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，∵b a ＝32，a ＝3，∴b ＝92，∴双曲线标准方程为x 29－y 2814＝1；当焦点在y 轴上时，a b ＝32，a ＝3，∴b ＝2，∴双曲线标准方程为y 29－x 24＝1.(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________；(2)如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．【思路探究】 (1)双曲线的焦点位置确定，则由渐近线方程得到a ，b 之间的关系式，结合c 2＝a 2＋b 2可求；(2)数形结合，根据该点的横坐标x >a 得出关于a ，c 的不等式，从而求e 的范围．【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y＝±b a x ，因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12，根据c 2＝a 2＋b 2，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2＝54，e ＝52(负值舍去)．(2)如图，∵AO ＝AF ，F (C,0)， ∴x A ＝c2，∵A 在右支上且不在顶点处，∴c 2>a ，∴e ＝c a >2. 【答案】 (1)52(2)(2，＋∞)1．求双曲线的离心率，就要根据题意得出基本量a ，b ，c 的等量关系，从而转化为关于e 的方程求解，并且要注意e >1.2．求离心率的取值范围，就要根据题意，得出关于基本量a ，b ，c 的不等关系，从而得出关于e 的不等式求解，并且注意e >1.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 【解】 由l 过两点(a,0)，(0，b )， 设l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得aba 2＋b 2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16(a 2c 2)2－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c 2＝x ， 则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14.∵e ＝ca，有e ＝1x .故e ＝233或e ＝2. ∵0<a <b ，故e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2>2， ∴离心率e 为2.已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y＝kx －1，(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．【思路探究】(1)联立消元→二次项系数不为0→Δ>0 (2)S △AOB计算办法S △AOB ＝12AB ·h 韦达定理S △AOB 被y 轴分割【自主解答】 (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，则满足条件⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2，且k ≠±1.∴若l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为 (－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2， ∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝(1＋k 2)(8－4k 2)(1－k 2)2.又∵点O (0,0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝11＋k 2，∴S △AOB ＝12·AB ·d ＝128－4k 2(1－k 2)2＝2，即2k 4－3k 2＝0.解得k ＝0或k ＝±62.∴实数k 的值为±62或0.法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.又直线l 过点D (0，－1)， ∴S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1|＋12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝2， ∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝8， 解得k ＝0或k ＝±62.由(1)知上述k 的值符合题意， ∴实数k 的值为0或±62.1．直线与双曲线公共点个数的讨论，一般转化为方程根的个数讨论，但应注意消元后所得方程不一定是一元二次方程，只有二次项系数不为0的时候，才能利用Δ判别式．2．有关直线被双曲线截得的弦的问题，要注意弦长公式及韦达定理的综合应用，对于弦的端点坐标，一般采用“设而不求”的思想．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．【解】∵a＝1，b＝3，c＝2，∵直线l过点F2且倾斜角为45°，∴直线l的方程为y＝x－2，代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵x1·x2＝－72<0，∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上．，∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－72∴AB＝1＋12|x1－x2|＝2·(x1＋x2)2－4x1x2＝2·(－2)2－4(－72)＝6.忽略分类讨论而致错求经过点P (1,3)且与双曲线4x 2－y 2＝1仅交于一点的直线的条数．【错解】 直线的斜率显然存在．设过点P (1,3)的直线方程为y －3＝k (x －1)，联立直线方程与双曲线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k (x －1)，4x 2－y 2＝1，整理得(4－k 2)x 2＋(2k 2－6k )x －k 2＋6k －10＝0， 当4－k 2≠0时，由Δ＝0，得3k 2－24k ＋40＝0， 即k ＝12±263.此时，过P 点的直线与双曲线仅交于一点，这样的直线有两条．【错因分析】 本题的错解中忽略了4－k 2＝0，即直线平行于渐近线的情形． 【防范措施】 若直线与双曲线只有一个交点，则不仅要考虑相切的情形，还要考虑直线平行于渐近线的情形．不能误以为直线与双曲线只有相切时，才有一个交点．【正解】 直线的斜率显然存在．设过点P (1,3)的直线方程为y －3＝k (x －1)，代入双曲线方程，得(4－k )2x 2＋(2k 2－6k )x －k 2＋6k －10＝0.当4－k 2≠0时，由Δ＝0，得3k 2－24k ＋40＝0， 即k ＝12±263.当4－k2＝0时，即k＝±2时，过P点的直线与双曲线的渐近线平行，此时该直线与双曲线也仅交于一点．综上所述，共有4条．1．由双曲线的标准方程求双曲线的几何性质，首先应将方程化为标准形式，确定焦点所在坐标轴，再求其几何性质，求解时应注意与椭圆的几何性质区分开，不可混淆．2．渐近线是双曲线特有的几何性质，由双曲线方程要熟练写出其渐近线方程；反过来，由渐近线方程也应熟练设出相应双曲线方程．3．直线与双曲线的综合问题类似于直线与椭圆，主要利用方程思想求解，但也有不同，直线与椭圆，消元后所得方程二次项系数不为0，为真正的一元二次方程；直线与双曲线，消元后所得方程二次项系数可能为0，必要时需分类讨论.1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是________． 【解析】 双曲线2x 2－y 2＝8的标准方程为x 24－y 28＝1，实轴长为2a ＝4.【答案】 42．顶点是(±2,0)，焦点是(±3,0)的双曲线方程是________． 【解析】 ∵a ＝2，c ＝3， ∴b 2＝c 2－a 2＝5， ∴双曲线方程为x 24－y 25＝1.【答案】 x 24－y 25＝13．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率e ＝________. 【解析】由题意，b 2＝ac ，∴b 2a 2＝c a， ∴e 2－1＝e 即e 2－e －1＝0，∴e ＝1＋52.【答案】1＋524．(2013·课标全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________．【解析】 由e ＝52，得c a ＝52，∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a .而x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x .【答案】 y ＝±12x一、填空题1．(2013·江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．【解析】 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3， 所以两条渐近线方程为y ＝±34x .【答案】 y ＝±34x2．(2013·扬州高二检测)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为2，则m 的值为________． 【解析】 显然m >0，∴e ＝1＋m ＝2，∴m ＝3.【答案】 33．(2013·福建高考改编)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【解析】 双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，顶点为(±2,0)，∴所求距离为d＝|±2±0|5＝255.【答案】2554．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．【解析】 双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为x 2a 2－y 29＝0， 整理得3x ±ay ＝0，故a ＝2. 【答案】 25．(2013·常州高二检测)双曲线tx 2－y 2－1＝0的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率为________．【解析】 渐近线方程为y ＝±tx ，∵2x ＋y ＋1＝0的斜率为k ＝－2，∴t ＝12，∴t ＝14，∴双曲线方程为x 24－y 2＝1，∴e ＝1＋14＝52. 【答案】526．(2013·哈师大附中高二检测)y ＝kx ＋2与双曲线x 29－4y 29＝1右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 29－49y 2＝1消去y 得：(1－4k 2)x 2－16kx －25＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4k 2≠0Δ＝25－36k 2>016k1－4k2>0－251－4k2>0，∴－56<k <－12.【答案】 (－56，－12)7．已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．图2－3－1【解析】△ABE是等腰三角形，AE＝BE，∴只需∠AEB为锐角，∴∠AEF<45°，∴b2a＝AF<FE＝a＋c，∴e2－e－2<0，∴－1<e<2.又∵e>1，∴1<e<2，∴e∈(1,2)．【答案】(1,2)8．(2012·浙江高考改编)中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________．图2－3－2【解析】 设椭圆的长轴为2a ，双曲线的长轴为2a ′，由M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则2a ＝2×2a ′，即a ＝2a ′，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c ，则双曲线的离心率为e ′＝c a ′，椭圆离心率e ＝ca ，故e ′e ＝a a ′＝2.【答案】 2 二、解答题9．(1)求焦点在x 轴上，过点(3，－2)，离心率为e ＝52的双曲线的标准方程； (2)求中心在原点，对称轴为坐标轴，一个焦点是(－4,0)，一条渐近线是3x －2y ＝0的双曲线方程及离心率．【解】 (1)焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则9a 2－2b 2＝1，① 又e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝52， 得a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，得双曲线标准方程为x 2－y 214＝1. (2)∵双曲线的一条渐近线是3x －2y ＝0， ∴可设双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)．∵其中一个焦点是(－4,0)， ∴4λ＋9λ＝16. ∴λ＝1613.∴双曲线方程为13x 264－13y 2144＝1，离心率e ＝c a ＝132.10．已知斜率为1的直线l 与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝42，求直线l 的方程．【解】 设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2y ＝x ＋b得x 2－2bx －b 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－b 2－2， ∴由AB ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 28b 2＋8＝42，解得b ＝±1，∴直线l 的方程为x －y ±1＝0.图2－3－311．如图2－3－3，已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线C 的方程；(2)P 是双曲线C 上一点，A 、B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、第二象限．若AP →＝λPB →，λ∈[13，2]，求△AOB 面积的取值范围．【解】 (1)由题意，知双曲线C 的顶点(0，a )到渐近线ax －by ＝0的距离为255，∴ab a 2＋b 2＝255，即ab c ＝255. 由⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝255，c a ＝52，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝5，∴双曲线C 的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线C 的两条渐近线方程为y ＝±2x . 设A (m,2m )，B (－n,2n )，m >0，n >0. 由AP →＝λPB →，得P 点的坐标为(m －λn 1＋λ，2(m ＋λn )1＋λ)．将P 点坐标代入y 24－x 2＝1，化简，得mn ＝(1＋λ)24λ.设∠AOB ＝2θ，∵tan(π2－θ)＝2，∴tan θ＝12，sin θ＝55，sin 2θ＝45.又OA ＝5m ，OB ＝5n ， ∴S △AOB ＝12OA ·OB sin 2θ＝2mn ＝12(λ＋1λ)＋1.记S (λ)＝12(λ＋1λ)＋1，λ∈[13，2]．由基本不等式，得S (λ)＝12(λ＋1λ)＋1≥12×2＋1＝2.当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．又S(13)＝83，S(2)＝94，∴当λ＝1时，△AOB的面积取得最小值2；当λ＝13时，△AOB的面积取得最大值83.∴△AOB面积的取值范围是[2，83].(教师用书独具)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．【思路探究】 (1)利用Δ>0可得a 的范围，再写出离心率关于a 的表达式，可求出离心率的范围；(2)由根与系数的关系及向量坐标关系，可得到关于a 的方程，解出a 即可． 【自主解答】 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a＝ 1a 2＋1， ∴e >62且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、P (0,1)． ∵P A →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2，由于x 1、x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2.消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960，由a >0得a ＝1713.1．本例中求双曲线离心率e 的取值范围，主要是利用了方程思想．2．圆锥曲线与向量知识的综合问题，若条件为向量式时，一般要进行坐标化．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1、l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1、l 2于A 、B 两点．已知|OA →|、|AB →|、|OB →|成等差数列，且BF →与F A →同向．(1)求双曲线的离心率；(2)设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 【解】 (1)因为2|AB →|＝|OA →|＋|OB →|，又|OA →|2＋|AB →|2＝|OB →|2， 因此有|OB →|2＝|OA →|2＋(|OA →|＋|OB →|2)2，化简有(5|OA →|－3|OB →|)(|OA →|＋|OB →|)＝0.于是得tan ∠AOB ＝43.又BF →与F A →同向，故∠AOF ＝12∠AOB ，所以2tan ∠AOF 1－tan 2∠AOF ＝43，解得tan ∠AOF ＝12或tan ∠AOF ＝－2(舍去)．因此b a ＝tan ∠AOF ＝12，a ＝2b ，c ＝a 2＋b 2＝5b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝52.(2)由a ＝2b 知，双曲线的方程可化为x 2－4y 2＝4b 2.①由l 1的斜率为12，c ＝5b 知，直线AB 的方程为y ＝－2(x －5b )．②将②代入①并化简，得15x 2－325bx ＋84b 2＝0.设AB 与双曲线的两交点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝325b 15，x 1·x 2＝84b 215＝28b 25.于是AB 被双曲线截得的线段长l ＝1＋(－2)2·|x 1－x 2|＝5·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5·[(325b 15)2－4×28b 25]＝43b .而已知l ＝4，所以43b ＝4，得b ＝3，a ＝6.故双曲线的方程为x 236－y 29＝1.。
高中数学 2.3.2《双曲线的简单几何性质》学案4 新人教A版选修2-1
§2.3.2双曲线的简单几何性质 学习目标 学习过程一、课前准备：5658，文P 49~ P 51找出疑惑之处） 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①3,4a b ==，焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =．复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？二、新课导学：※ 学习探究问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y a b -=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．离心率：1c e a=>．渐近线： 双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：0x y a b±=．问题2：双曲线22221y x a b-=的几何性质? 图形：范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a=>． 渐近线： 双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为： ． 新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．※ 典型例题例1求双曲线2214925x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率e(5,3)M-；⑶渐近线方程为23y x=±，经过点9(,1)2M-．※动手试试练1．求以椭圆22185x y+=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F-，求它的标准方程和渐近线方程．三、总结提升：※学习小结双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．※知识拓展与双曲线22221x y-=有相同的渐近线的双曲线系方程式为2222x ya bλ-=(0)λ≠※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．双曲线221168x y-=实轴和虚轴长分别是（）．A．8、．8、C．4、．4、2．双曲线224x y-=-的顶点坐标是（）．A．(0,1)± B．(0,2)± C．(1,0)± D．（2,0±）3．双曲线22148x y-=的离心率为（）．A．1 B C．24．双曲线2241x y-=的渐近线方程是．5．经过点(3,1)A-，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是．1．求焦点在y轴上，焦距是16，43e=的双曲线的标准方程．2．求与椭圆2214924x y+=有公共焦点，且离心率54e=的双曲线的方程．。
课时作业7：2.3.2 双曲线的简单几何性质
2.3.2 双曲线的简单几何性质1．双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝1 解析 依题意a ＋b ＝2c ，a ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，解得b ＝2，又焦点在y 轴上，∴双曲线方程为y 24－x 24＝1. 答案 B2．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.32解析 依题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，∴a ＝b ，∴c 2＝2a 2，∴c 2a 2＝2，∴e ＝ 2. 答案 C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析 记e 1＝a 2＋b 2a ，e 2＝m 2－b 2m ，又e 1·e 2＝1，∴a 2＋b 2·m 2－b 2am＝1， 化简得b 2(m 2－a 2－b 2)＝0，∵b 2>0，∴m 2－a 2－b 2＝0，即m 2＝a 2＋b 2，∴以a 、b 、m 为边长的三角形一定是直角三角形． 答案 B4．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( ) A ．x 2－y 2＝96 B ．y 2－x 2＝100 C ．x 2－y 2＝80 D ．y 2－x 2＝24解析 由题意知，c ＝64－16＝43，a ＝b ，∴2a 2＝c 2＝48，∴a 2＝24，故所求双曲线方程为y 2－x 2＝24.答案 D5．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值是( ) A.12 B.32 C.72D ．5 解析 由双曲线的定义及性质知，动点P 的轨迹是双曲线的一支，且A 、B 为焦点，c ＝2，a ＝32，∴|P A |的最小值为a ＋c ＝72.答案 C6．已知双曲线x 2n －y 212－n ＝1的离心率为3，则n ＝________. 解析 依题意知a 2＝n ，b 2＝12－n ，又e ＝3，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝n ＋12－n n＝3，∴n ＝4. 答案 47．过双曲线x 24－y 23＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝________.解析 由双曲线的定义知|MF 2|－|MF 1|＝4，|NF 2|－|NF 1|＝4，∴|MF 2|＋|NF 2|－|MF 1|－|NF 1|＝|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝8.答案 88．若双曲线x 2k ＋4＋y 29＝1的离心率为2，则k 的值为__________． 解析 依题意知k ＋4<0，∴k <－4，又e ＝c a＝2， ∴e 2＝c 2a 2＝－k ＋4＋99＝4，∴k ＝－31. 答案 －319．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析 依题可设渐近线的方程为y ＝－b ax ，代入点(4，－2)，得a ＝2b . ∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54，又∵e >1，∴e ＝52. 答案 D10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点为________；渐近线方程为________．解析 由x 225＋y 29＝1知，c 2＝25－9＝16，∴c ＝4.∴焦点坐标为(±4,0)． 又e ＝c a＝2，∴a ＝2.∴b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12.∴b ＝2 3. ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0.答案 (±4,0) 3x ±y ＝011．求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过点A (23，－3)的双曲线方程． 解 设与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)．∵A (23，－3)在双曲线上，∴λ＝23216－－329＝－14. ∴所求双曲线方程为x 216－y 29＝－14即4y 29－x 24＝1. 12．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解 (1)∵e ＝ 2.∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－10)，∴λ＝16－10＝6.∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝2 3.∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )．∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2.∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴－3＋m 2＝0.∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.。
学案7：2.3.2 双曲线的几何性质
2.3.2 双曲线的几何性质学习目标1．理解并掌握双曲线的几何性质． 2．能根据这些几何性质解决一些简单问题． 基础知识双曲线的标准方程和几何性质________________________________对称轴：________对称中心：______对称轴：________ 对称中心：______顶点坐标 ，A 2____与椭圆的标准方程相比较，在双曲线的标准方程中，a ，b 只限制a ＞0，b ＞0，二者没有大小要求．若a ＞b ＞0，a ＝b ＞0,0＜a ＜b ，双曲线的离心率受到影响．因为e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，故当a ＞b ＞0时，1＜e ＜2，当a ＝b ＞0时，e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0＜a ＜b 时，e ＞ 2.做一做1－1 已知双曲线的方程为2x 2－3y 2＝6，则此双曲线的离心率为( )A ．32B ．52C ．153D ．253做一做1－2 已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则其标准方程为________________． 重点难点1．对有共同渐近线的双曲线系方程的理解剖析：若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1与双曲线x 2a ′2－y 2b ′2＝±1有相同的渐近线，即两对直线x a ±y b ＝0与x a ′±y b ′＝0分别重合，则必有a a ′＝b b ′＝1k(k ＞0)．故a ′＝ka ，b ′＝kb .反之，易求得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1与x 2(ka )2－y 2(kb )2＝±1有相同的渐近线y ＝±b a x ，故与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1有相同的渐近线的双曲线系方程为x 2(ka )2－y 2(kb )2＝±1.上述方程可简化为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．那么在已知渐近线方程的情况下，利用双曲线系x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)求双曲线方程较为方便．2．已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率的方法剖析：设双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，其中y ＝ba x 的倾斜角为θ.若双曲线的焦点在x 轴上，则e ＝1cos θ；若双曲线的焦点在y 轴上，则e ＝1sin θ.显然a ，b ，c 可以看成一个直角三角形的三条边． 典型例题题型一 已知双曲线方程求其几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．分析：将双曲线方程变为标准方程，确定a ，b ，c 后求解．反思：求双曲线几何性质必须先把方程化为标准形式，作几何图形时，应先画出两条渐近线和两个顶点．题型二 已知双曲线的几何性质求双曲线方程例2 已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，且过点M (1，15)，求双曲线的方程．分析：应先根据渐近线方程设出双曲线方程，再代入点M 的坐标求解．反思：要注意在已知渐近线的情况下双曲线方程的设法，即已知渐近线方程为x a ±yb ＝0或y＝±ba x 时，设双曲线方程为⎝⎛⎭⎫y ＋b a x ⎝⎛⎭⎫y －b a x ＝m (m ≠0)． 题型三 与双曲线的渐近线有关的问题例3 双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程为______．反思：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程，一般有两种方法，即①代入y ＝±ba x 得渐近线方程．②令x 2a 2－y 2b 2＝0得x a ±yb ＝0，即y ＝±ba x .此法简明有效．题型四 求双曲线的离心率例4 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作等边三角形MF 1F 2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为( )A ．3＋1B ．4＋23C ．23－2D ．23＋2 反思：双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a2，因此要求离心率，只要找到a ，b ，c 三者之间任意两者的关系式即可． 随堂练习1．双曲线的方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫22，0B ．⎝⎛⎭⎫52，0C ．⎝⎛⎭⎫62，0D ．()3，02．双曲线x 225－y 29＝1的顶点坐标是( )A ．(±5,0)B ．(±5,0)或(0，±3)C ．(±4,0)D ．(±4,0)或(0，±3)3．双曲线x 225－y 216＝1的离心率是( )A ．35B ．53C ．415D ．5414．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为x3＋y ＝0，则此双曲线的离心率为______．5．已知以原点O 为中心，F (5，0)为右焦点的双曲线C 的离心率e ＝52.求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程．参考答案基础知识1．x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 (－a,0) (a,0)(0，－a )(0，a ) y ＝±b a x y ＝±a b x ca (1，＋∞)a 2＋b 2A 1A 2 2aB 1B 2 2b a b 2b 2a做一做1－1 【答案】C【解析】双曲线的方程可化为x 23－y 22＝1，∴a ＝3，c ＝5， ∴e ＝153. 做一做1－2 【答案】x 24－y 212＝1【解析】∵ca ＝2，c ＝4，∴a ＝2，b ＝23，∴双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.典型例题 例1 解：将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .作出草图如下：例2 解：渐近线方程为y ＝±3x 的双曲线方程可设为(y ＋3x )(y －3x )＝m ，即y 2－3x 2＝m .将M (1，15)代入上式，得m ＝12， 所以双曲线的方程为y 2－3x 2＝12，即y 212－x 24＝1. 例3 y ＝±2x 利用渐近线的定义求解．方法一：方程x 24－y 28＝1，即为x 222－y 2222＝1，∴a ＝2，b ＝2 2.∴双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程为y ＝±2x .方法二：令x 24－y 28＝0，即x 2＋y 22＝0，或x 2－y22＝0，即y ＝－2x ，或y ＝2x .∴双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程为y ＝±2x .例4 【答案】A【解析】|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c ， 又∵|NF 1|－|NF 2|＝2a ， 即3c －c ＝2a .∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.随堂练习 1．【答案】C【解析】由双曲线的方程，可知a 2＝1，b 2＝12，c 2＝32，从而c ＝62， 所以双曲线的右焦点为⎝⎛⎭⎫62，0.2．【答案】A 3．【答案】C【解析】利用双曲线的标准方程求得a ，b ，c ，即可得到离心率的值． 4．【答案】103【解析】渐近线方程为x 3＋y ＝0，∴b a ＝13.又a 2＋b 2＝c 2，从而c a ＝103，即e ＝103.5．分析：由题意可知焦点在x 轴上，所以可设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，再由离心率知c a ＝52，又因为c ＝5，从而可求得a ，b ，即可求得双曲线C 的标准方程及其渐近线方程．解：设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则由题意c ＝5，e ＝c a ＝52，得a＝2，b ＝c 2－a 2＝1，所以双曲线C 的标准方程为x 24－y 2＝1.所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x .。
2.3.2双曲线的几何性质 学案(含答案)
2.3.2双曲线的几何性质学案（含答案）2.3.2双曲线的几何性质学习目标1.了解双曲线的几何性质，如范围.对称性.顶点.渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质知识点一双曲线的几何性质思考类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线1a0，b0的哪些几何性质答案范围.对称性.顶点.离心率.渐近线梳理标准方程1a0，b01a0，b0图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴坐标轴对称中心原点对称轴坐标轴对称中心原点顶点坐标A1a,0，A2a,0A10，a，A20，a渐近线yxyx离心率e，e1，知识点二双曲线的离心率思考在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢答案双曲线1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e，则.当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大梳理定义双曲线的焦距与实轴长的比e，叫做双曲线的离心率性质离心率e 的取值范围是1，e越大，双曲线的张口越大知识点三双曲线的相关概念实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程是yx，离心率为.1等轴双曲线的离心率是1.2椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同3双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点4方程1a0，b0的渐近线方程为yx.类型一已知双曲线的标准方程研究几何性质例1求双曲线x23y2120的实轴长.虚轴长.焦点坐标.顶点坐标.渐近线方程.离心率解将方程x23y2120化为标准方程为1，a24，b212，a2，b2，c4，双曲线的实轴长为2a4，虚轴长为2b4；焦点坐标为F10，4，F20,4；顶点坐标为A10，2，A20,2；渐近线方程为yx；离心率e2.反思与感悟已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2a2b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质跟踪训练1求双曲线9y24x236的顶点坐标.焦点坐标.实轴长.虚轴长.离心率和渐近线方程解将9y24x236变形为1，即1，a3，b2，c，因此顶点坐标为3,0，3,0；焦点坐标为，0，，0；实轴长是2a6，虚轴长是2b4；离心率e；渐近线方程为yxx.类型二由双曲线的几何性质确定标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程1虚轴长为12，离心率为；2顶点间距离为6，渐近线方程为yx；3求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M2，2的双曲线方程解1设双曲线的标准方程为1或1a0，b0由题意知2b12，，且c2a2b2，b6，c10，a8，双曲线的标准方程为1或1.2设以yx为渐近线的双曲线方程为0当0时，a24，2a26；当0时，a29，2a261.双曲线的标准方程为1或1.3设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y20将点2，2代入双曲线方程，得222，双曲线的标准方程为1.反思与感悟1求双曲线的标准方程的步骤确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；设双曲线的标准方程；根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；求出a，b，写出方程2与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为10，b2a2；与双曲线1具有相同渐近线的双曲线方程可设为0；渐近线方程为axby0的双曲线方程可设为a2x2b2y20跟踪训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程1一个焦点为0,13，且离心率为；2双曲线过点3,9，离心率e；3渐近线方程为yx，且经过点A2，3解1依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c13，又，a5，b12，故所求双曲线的标准方程为1.2由e2，得，设a29kk0，则c210k，b2c2a2k.设所求双曲线方程为1，或1.将3,9代入，得k161，与k0矛盾，无解；将3,9代入，得k9.故所求双曲线的标准方程为1.3方法一双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1a0，b0，则.A2，3在双曲线上，1.联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1a0，b0，则.A2，3在双曲线上，1.联立，解得a28，b232.故所求双曲线的标准方程为1.方法二由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y20A2，3在双曲线上，32，即8.故所求双曲线的标准方程为1.类型三求双曲线的离心率例3分别求适合下列条件的双曲线的离心率1双曲线的渐近线方程为yx；2双曲线10ab的半焦距为c，直线l过a,0，0，b两点，且原点到直线l的距离为c.解1若焦点在x轴上，则，e；若焦点在y轴上，则，即，e.综上可知，双曲线的离心率为或.2依题意得直线lbxayab0.由原点到l 的距离为c，得c，即abc2，16a2b23a2b22，即3b410a2b23a40，321030.解得或3.又0ab，3，e2.反思与感悟求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2a2b2，直接求a，c的值而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值同时也要注意问题中条件对离心率的限制，以保证问题结果的准确性跟踪训练31若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为________答案或解析若焦点在x轴上，则，e；若焦点在y轴上，则，即，e.综上可知，双曲线的离心率为或.2已知双曲线1的右焦点坐标为3,0，则该双曲线的离心率e________.答案解析因为双曲线的右焦点坐标为3,0，所以c3，b25，则a2c2b2954，所以a2，所以e.1双曲线的一个顶点坐标为1,0，一条渐近线方程为y2x，则双曲线方程为_______答案x21解析由题意知a1，又2，b2，双曲线方程为x21.2设双曲线1的渐近线方程为3x2y0，则a________.答案4解析方程表示双曲线，a0，标准方程为1，渐近线方程为yx，，解得a4.3如果双曲线1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为________答案解析双曲线1的渐近线方程为yx，由题意得1，即1，所以e.4若双曲线1的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是________答案，0解析由渐近线方程为yx，得m3，所以c，且焦点在x轴上所以双曲线的焦点坐标为，05设双曲线1a0，b0的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________答案yx解析2b2,2c2，b1，c，则a，.故双曲线的渐近线方程为yx.1渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程1a0，b0右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2，再结合其他条件求得就可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形。
2022版新教材数学人教A版选择性必修第一册学案-3.2.2-双曲线的简单几何性质-含答案
3.2.2 双曲线的简单几何性质课标解读课标要求素养要求1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线方程的简单应用.1.直观想象——能够借助图形掌握双曲线的几何性质.2.数学运算——会求双曲线的离心率和渐近线方程.自主学习·必备知识教材研习教材原句1.双曲线的简单几何性质：标准方程x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤−a①y≤−a或y≥a 对称性对称轴：②坐标轴，对称中心（中心）：③原点顶点④A1(−a,0),A2(a,0)⑤A1(−a,0),A2(a,0)轴长实轴长=⑥2a，虚轴长=⑦2b离心率e=⑧ca>1渐近线y=±bax y=±abx2.等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为⑨y=±x，离心率e=√2. 自主思考1.双曲线x29−y216=1的焦点在哪个坐标轴上？提示在x轴上.2.已知x2a2−y2b2=1的离心率e=√2，则双曲线的渐近线方程是什么？提示渐近线方程为y=±x.名师点睛双曲线中一些常用的结论1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2.两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称.3.与双曲线x2a2−y2b2=1具有相同渐近线的方程可设为x2a2−y2b2=λ(λ≠0).4.渐近线为y=kx的双曲线的方程可设为k2x2−y2=λ(λ≠0).5.渐近线为ax±by=0的双曲线的方程可设为a2x2−b2y2=λ(λ≠0).互动探究·关键能力探究点一双曲线的简单几何性质精讲精练例求双曲线16x2−25y2=400的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标.答案：把已知方程化成标准方程x 252−y242=1，所以a=5，b=4，c=√52+42=√41，所以双曲线的实轴长2a=10，虚轴长2b=8，两个焦点的坐标分别为(−√41,0)，(√41,0)，两个顶点的坐标分别为(-5,0)，(5,0).解题感悟根据双曲线的方程研究其性质的基本思路：（1）将双曲线的方程转化为标准形式；（2）确定双曲线的焦点位置，先弄清方程中的a，b所对应的值，再利用c2=a2+b2得到c的值；（3）根据确定的a，b，c的值求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标等.迁移应用求双曲线9y2−4x2=−36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长.答案：将9y2−4x2=−36化为标准方程x29−y24=1，即x232−y222=1，所以a=3，b=2，c=√13，因此顶点坐标分别为(-3,0)，(3,0)，焦点坐标分别为(−√13,0)，(√13,0)，实轴长2a=6，虚轴长2b=4.探究点二双曲线的离心率精讲精练例（1）过双曲线x 2a2−y2b2=1(a＞0,b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线，交双曲线于点P,F2为右焦点，若∠F1PF2=60∘，则双曲线的离心率为( )A.√22B.√33C.12D.√3（2）如果双曲线x 2a2−y2b2=1的右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异的点，那么双曲线离心率的取值范围是 .答案：（1）D（2）(2,+∞)解析：（1）依题意可得，△F1PF2是直角三角形，∠F1PF2=60∘，所以|F1P|=√33|F1F2|=2√33c，|F2P|=|F1F2|sin 60∘=2√33×|F1F2|=4√33c，根据双曲线的定义可得，2a=|F2P|−|F1P|=(4√33−2√33)c=2√33c，所以a=√33c，则e=ca=√3=√3，故选D.（2）如图，因为|AO|=|AF|，F(c,0)，所以x A=c2，因为点A在双曲线的右支上且不在双曲线的顶点处，所以c2＞a，所以e=ca＞2.故离心率的取值范围是(2,+∞).解题感悟（1）求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e；二是依据条件建立a，b，c的关系式，消去b转化成离心率e的方程求解或消去c转化成含ba的方程，求出ba 后利用e=√1+b2a2求离心率.（2）若求离心率e的取值范围，则应由题意寻求a,b,c的不等关系，由此得出关于e的不等式，再进行求解.迁移应用已知F1、F2分别是双曲线E:x2a2−y2b2=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点，P为E上的一点.若△F1PF2是以P为直角顶点且有一个内角为30∘的三角形，则E的离心率为( )A.√3−1B.√3+1C.√3D.2答案：B解析：不妨设∠PF1F2=30∘，在直角△F1PF2中|F1F2|=2c，|PF2|=c，|PF1|=√3c，由双曲线的定义得√3c−c=2a，∴e=ca =√3−1=√3+1.探究点三双曲线的渐近线精讲精练例（1）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0,b＞0)的离心率为3√24，则其渐近线方程为( )A.y=±√22x B.y=±√24xC.y=±14x D.y=±12x（2）焦点为(0,6)，且与双曲线x2−2y2=2有相同渐近线的双曲线的方程为.答案：（1）B（2）y 212−x224=1解析：（1）由题意可得ca =3√24，即c2a2=1+(ba)2=98，解得ba=√24，即双曲线的渐近线方程为y=±√24x，故选B.（2）由题意可设双曲线的方程为y 2a2−x2b2=1(a＞0,b＞0)，焦距为2c，则c=6，渐近线方程为y=±abx，∵x2−2y2=2的渐近线方程为y=±√22x，∴ab =√22,即b2=2a2，又∵c2=a2+b2，∴a2+2a2=36，解得a2=12，b2=24，∴双曲线的标准方程为y212−x224=1.解题感悟求渐近线方程的两种方法：（1）当已知标准方程的焦点所在的坐标轴时，用公式法y=±bax（焦点在x轴上）或y=±abx（焦点在y轴上）求解；（2）把双曲线的标准方程右端的“1”换为“0”，即可得渐近线方程.迁移应用1.已知双曲线的方程为2x2−y2=2，则下列叙述正确的是( )A.焦点为(±1,0)B.渐近线方程为y=±√2xC.离心率为√2D.实轴长为2√2答案：B解析：由已知得x2−y22=1，所以a=1，b=√2，c=√a2+b2=√3，所以该双曲线的焦点为(±√3,0)，故A错误；渐近线方程为y=±√2，故B正确；离心率e=ca=√3，故C错误；实轴长2a=2，故D错误.2.一个焦点为(5,0)，渐近线方程为y=±43x的双曲线的标准方程是.答案：x 29−y216=1解析：由题意知双曲线的焦点在x轴上，∴可设双曲线的标准方程为x 2a2−y2b2=1(a＞0,b＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y=±ba x=±43，∴ba =43，又焦点为(5,0)，∴√a2+b2=√a2+169a2=5，解得a2=9，∴b2=16∴双曲线的标准方程为x29−y216=1.评价检测·素养提升1.（2021辽宁大连高二期末）已知A、B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线答案：C解析：设炮弹的爆炸点为点P，由题意可得|PA|−|PB|=340×2=680＜800=|AB|，所以炮弹爆炸点的轨迹是双曲线的一支.2.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为x−2y=0，则它的离心率为( )A.√5B.√52C.√3D.2答案：A解析：由题意知，这条渐近线的斜率为12，即ab=12，故e=ca=√1+(ba)2=√1+22=√5.3.与双曲线x2−y24=1有相同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是.答案：x 23−y212=1解析：依题意，设双曲线的方程为x2−y24=λ(λ≠0)，将点(2,2)代入得λ=3，所以所求双曲线的标准方程为x 23−y212=1.4.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a＞0,b＞0)的离心率为2√33，且过点(√6,1).（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l:y=kx+√2与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围.答案：（1）由e=2√33可得c2a2=43，又c2=a2+b2，所以a2=3b2，故双曲线C的方程可化为x 23b2−y2b2=1，将点P(√6,1)代入双曲线C的方程，解得b2=1，所以双曲线C的方程为x 23−y2=1.（2）联立直线l 与双曲线C 的方程得 {y =kx +√2,x 2−3y 2−3=0⇒(1−3k 2)x 2−6√2kx −9=0 ， 由题意得，{Δ=72k 2−4(1−3k 2)×(−9)＞0,1−3k 2≠0,解得−1<k <1 且k ≠±√33，所以k 的取值范围为(−1,−√33)∪(−√33,√33)∪(√33,1) .。
2.3.2双曲线的简单几何性质
灵石一中课前自主学习型学案1高二年级（数学）理科学科（任彩萍）主编课题 2.3.2 双曲线的简单几何性质日期班级小组姓名学习目标了解双曲线的简单几何性质；能利用双曲线的标准方程研究它的简单几何性质。
重点难点双曲线的简单几何性质及初步运用。
双曲线的渐近线与离心率的应用。
基础层次1．你认为双曲线的定义中有几处需注意的？分别是2.类比椭圆几何性质的研究，你认为应研究双曲线22221x ya b-=（a>0,b>0）的哪些性质？请逐项研究其性质3.双曲线的顶点有几个？椭圆呢？双曲线的焦点是在实轴上，还是虚轴上？椭圆中又是什么呢？4.双曲线22221x ya b-=（a>0,b>0）的渐近线有几条？分别是什么？怎样从几何上理解、直观感知“渐近”？画双曲线时应先画什么？椭圆有渐近线吗？5.离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率可以刻画双曲线的什么几何特征？双曲线的离心率与渐近线的斜率有什么关系？对双曲线的形状有什么影响？6.等轴双曲线具备的条件是等轴双曲线的渐近线为等轴双曲线的离心率e= 请写出推导过程。
7.求双曲线22916144y x-=的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
8.求符合下列条件的双曲线的标准方程。
（1）顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，e=54；（2）焦点在y轴上，焦距是16，43 e=9.求以椭圆22185x y+=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。
10.对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F-,求它的标准方程和渐近线方程。
探究层次求适合下列条件的双曲线的标准方程。
（1）离心率2e=，经过点M(-5,3)（2）与双曲线221169x y-=共渐近线，且经过A(23,3)-点（3）与椭圆22464x y+=有相同的焦点，且以直线30x y+=为一条渐近线灵石一中课前自主学习型学案2 高二年级（数学）理科学科（任彩萍）主编课题 2.3.1双曲线及其标准方程日期班级小组姓名自主检测1．已知F1（-8,3）F2（2,3），动点P满足|P F1|—|P F2|=10，则P点的轨迹方程是（）A.双曲线B.双曲线的一支C.直线D.一条射线2.已知两点F1（-2,0）F2（2,0），与它们的距离的差的绝对值是3的点M的轨迹是3.平面内有两个定点F1、F2及动点P，设命题甲是“|P F1|—|P F2|是非零常数”，命题乙是“动点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线”，那么，甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C．充要条件 D.既不充分又不必要条件能力检测1. 过点22(32,2)1164x y-=且与双曲线有相同焦点的双曲线的标准方程是（）22.1128x yA-=22.1155x yB-=22.1128y xC-=22.1155y xD-=2.已知双曲线221259x y-=上有一点P到左焦点的距离为12，那么点P到右焦点的距离为（）A.2B.22C.7或17D.2或223.双曲线2288kx ky-=的焦点是（0,3），那么实数k的值是（）A.1 B.-1C. 653D .653-4.椭圆22214x ya+=与双曲线2212x ya-=有相同的焦点，则a的值是5.求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）两焦点F1（-5,0）F2（5,0），且过3(5,2)2P.(2)过点15(3,)4P ，16(,5)3Q -且焦点在坐标轴上。
学案7：2.3.2 双曲线的简单几何性质
2.3.2 双曲线的简单几何性质◆ 知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．◆ 过程与方法目标（1）复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过56P 的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．3．2双曲线的简单几何性质．（2）新课讲授过程（i ）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质． 提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii ）双曲线的简单几何性质①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴； ④渐近线：直线b y x a=±叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线； ⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ac e =叫做双曲线的离心率（1e >）． （iii ）例题讲解与引申、扩展例3 求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是a y x b=±． 扩展：求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示，在P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA 或PB 送到呈矩形的足球场ABCD 中去铺垫，已知150AP m =，100BP m =，60BC m =，60APB ∠=．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则PA AM PB BM +=+，即50BM AM AP BP -=-=（定值），∴“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为()2213525,0606253750x y x y -=-≤≤-≤≤．理由略．例5 如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程． 分析：若设点(),M x y ，则()225MF x y =-+，到直线l ：165x =的距离165d x =-，则容易得点M 的轨迹方程． 引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c =的距离比是常数c e a=()0c a >>，则点M 的轨迹方程是双曲线．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c=相应于F 的准线；另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c=-当堂检测1．双曲线4y 2－9x 2＝36的渐近线方程为( )A ．3=2y x ±B ．2=3y x ±C ．9=4y x ±D ．4=9y x ± 2．已知双曲线C ：2222=1x y a b-的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( ) A ．22=1205x y - B ．22=1520x y - C ．22=18020x y - D ．22=12080x y - 3．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．14-B ．－4C ．4D ．144．已知双曲线22=1916x y -的左顶点为A ，过右焦点F 作垂直于x 轴的直线，交双曲线于M ，N两点，则△AMN的面积为__________．5．已知双曲线2222=1x ya b(a＞0，b＞0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为______．当堂检测答案1．【答案】A【解析】方程可化为22=194y x-，焦点在y轴上，∴渐近线方程为3±2y x =．2．【答案】A【解析】2c＝10，c＝5．∵点P(2,1)在直线by xa=上，∴21=ba．又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5．故C的方程为22=1 205x y-．3．【答案】A【解析】由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m＜0，则双曲线方程可化为22=11xym--，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴1m-＝b2＝4，∴14m=-，故选A．4．【答案】128 3【解析】由已知得A点坐标为(－3,0)，右焦点F坐标为(5,0)，把x＝5代入22=1 916x y-，得16 =3y±．∴S△AMN＝1321288233⨯⨯=．5．【答案】【解析】把直线y＝2x代入双曲线方程，消去y得(b2－4a2)x2＝a2b2．∵直线与双曲线有交点，∴b2－4a2＞0．∴c2＞5a2．∴离心率e>。
学案4：2.3.2双曲线的几何性质
2.3.2双曲线的几何性质学习目标1．了解双曲线的简单几何性质．2．用双曲线的性质求解有关问题．学习重点：探求双曲线的简单几何性质．学习难点：用双曲线的性质求解有关问题．学习过程自学导引双曲线的简单几何性质双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的几何性质 (1)范围：x ≤－a 或x ≥a ，y ∈R ，也就是说双曲线上的点分布在直线 的两侧．(2)对称性：在双曲线标准方程中，以－x 代x ，或以－y 代y ，或以－x ，－y 分别代x ，y ，方程都不变，所以双曲线关于 对称，因此 是双曲线的对称轴， 是双曲线的对称中心，又称为双曲线的中心．(3)顶点①双曲线只有两个顶点：A 1(－a,0)，A 2(a,0)．②线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，实轴长为2a ，a 叫双曲线的实半轴长．③线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，虚轴长为2b ，b 叫双曲线的虚半轴长．(4)渐近线：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±b ax ，离心率与渐近线的斜率k 之间的关系是 ，并且e 越大，渐近线就越陡，双曲线的开口就越 ． 名师点睛1．双曲线的渐近线方程(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线为y ＝±a bx ，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．(2)双曲线确定时，渐近线唯一确定(求法见(1))，渐近线确定时，双曲线并不唯一确定．(3)若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．拓展：与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． 2．双曲线的离心率e ＝c a，e >1，它决定双曲线的开口大小，e 越大，开口越大． (1)离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小．∵b a ＝c 2－a 2a2＝e 2－1， ∴e 越大，k ＝b a越大，∴双曲线开口越大． (2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e ＝ 2.(3)双曲线的离心率e ＝c a >1，其中c ＝a 2＋b 2，得e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2， ∴b a＝e 2－1. 典例精析例1 已知双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，如果焦距为8，实轴长为6，求此双曲线的标准方程及其离心率.例2求双曲线16x 2-9y 2=144的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标及渐近线方程．例3 一双曲线型冷却塔的外型，是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所成的曲面，它的最小直径为24m ，上口直径为26m ，下口直径为50m ，高为55m.在如图所给的平面直角坐标系中，求此双曲线的近似方程（虚半轴长精确到0.1m ）课堂检测1、求双曲线16y 2－9x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．2、求以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长和虚轴长、离心率及渐近线方程．3、求满足下列条件的双曲线标准方程：(1)两渐近线方程为y ＝±23x ，且经过点(92，－1)； (2)以椭圆x 213＋y 23＝1的焦点为焦点，以直线y ＝±12x 为渐近线．4、求与双曲线x 2－2y 2＝2有共同渐近线，且过点M (2，－1)的双曲线方程．5、已知F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝12 3，离心率为2，求该双曲线的标准方程．6、已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为2且过点(4，－10)．(1)求双曲线的标准方程；(2)直线x ＝3与双曲线交于M 、N 两点，求证：F 1M ⊥F 2M .课堂小结1．由双曲线的标准方程求双曲线的几何性质，首先应将方程化为标准形式，确定焦点所在坐标轴，再求其几何性质，求解时应注意与椭圆的几何性质区分开，不可混淆．2．渐近线是双曲线特有的几何性质，由双曲线方程要熟练写出其渐近线方程；反过来，由渐近线方程也应熟练设出相应双曲线方程．3．直线与双曲线的综合问题类似于直线与椭圆，主要利用方程思想求解，但也有不同，直线与椭圆，消元后所得方程二次项系数不为0，为真正的一元二次方程；直线与双曲线，消元后所得方程二次项系数可能为0，必要时需分类讨论.参考答案学习过程自学导引双曲线的简单几何性质(1) x ＝±a(2) x 轴，y 轴和原点对称 坐标轴 原点(3)顶点(4) e 2－k 2＝1 大典例精析例1 解：由已知，得2c =8,2a =6，因此c =4，a =3，b 2=c 2-a 2=42-32=7.又因为此双曲线的焦点在x 轴上，因此所求的双曲线的标准方程为22197x y -= 离心率是43.c e a == 例2解：把双曲线的方程化为标准方程221916x y -= 由此可知，实半轴长a =3，虚半轴长b =4.半焦距c = 5 .因此双曲线的实轴长2a =6，虚轴长2b =8 ；顶点坐标是(3,0)(-3,0);焦点坐标是(-5,0),(5,0); 渐近线方程为43.y x =± 例3 解：在给定的直角坐标系中，设双曲线的标准方程为2222100-(,),x y a b a b =>> 由已知冷却塔的最小直径A `A =24m ，上口直径C `C =26m ，下口直径B `B =50m ， 设BC 的在工作表分别为y 1，y 2，其中y 1<0，y 2>0.因为B (25，y 1),C (13，y 2)在双曲线上， 所以222222222511213112--y b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得112.y ==-2512.y b == 可知a =12，点BC 的横坐标分别为25，13.因为塔高为55m ，所以y 2-y 1=55，即551212,b b += 解得b ≈24.5. 因此双曲线的近似方程为2222112245-..x y = 课堂检测1、解 把方程化为标准方程y 29－x 216＝1，由此可知实半轴长a ＝3，虚半轴长b ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝32＋42＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，离心率e ＝c a ＝53，渐近线方程为y ＝±34x . 规律方法 由双曲线方程写出它的几何性质关键要把方程化为标准形式，并注意过点的位置．2、解 椭圆的焦点F 1(－7，0)，F 2(7，0)即为双曲线的顶点，因为双曲线的顶点和焦点在同一直线上，所以双曲线的焦点应为椭圆长轴端点A 1(－4,0)，A 2(4,0)，即c ＝4，a ＝7，∴b ＝c 2－a 2＝3，∴所求双曲线方程为x 27－y 29＝1. 其实轴长为2a ＝27，虚轴长为2b ＝6，离心率e ＝c a ＝477，渐近线方程为y ＝±377x . 3、解 (1)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ， ∴可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)， 将(92，－1)代入方程，得λ＝2，故所求方程为x 218－y 28＝1. (2)设所求的双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ>0)，又双曲线的焦点为(±10，0)，∴c 2＝4λ＋λ＝10，解得λ＝2.故所求的双曲线方程为x 28－y 22＝1. 4、解 设所求双曲线方程为x 2－2y 2＝λ(λ≠0)．∵过点M (2，－2)，∴22－2×(－2)2＝λ，即λ＝－4.∴所求双曲线方程为x 2－2y 2＝－4，即为y 22－x 24＝1. 5、解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，2分 因F 1F 2＝2c ，而e ＝c a＝2，由双曲线的定义，得|PF 1－PF 2|＝2a ＝c .4分 由余弦定理，得(2c )2＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos ∠F 1PF 2＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2·(1－cos 60°)．化简，得4c 2＝c 2＋PF 1·PF 2.6分又S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝12 3，8分 ∴PF 1·PF 2＝48.即3c 2＝48，c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12.12分故所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.14分 6、解 (1)双曲线的离心率为2，即c a ＝2，则a 2＋b 2a 2＝2，∴a ＝b ， 即双曲线为等轴双曲线．可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． 由于双曲线过点(4，－10)，则42－(－10)2＝λ.∴λ＝6.∴双曲线方程为x 26－y 26＝1. (2)证明 由(1)可得F 1、F 2的坐标分别为(－23，0)、(23，0)，M 的坐标为(3，3)，∴kF 1M ＝33＋23，kF 2M ＝33－23故kF 1M ·kF 2M ＝33＋23·33－23＝－1. ∴F 1M ⊥F 2M .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F2 M 的距离为（
3 6 5
（B）
5 6 6
（C）
6 5
（D）
5 6
二、能力提高
1、已知双曲线的中心在原点，焦点为 F1 (0， 2 2 ) ，F2（0， 2 2 ） ，且离心率
e 2 ，求双曲线的标准方程及其渐近线．
2、 已知双曲线的中心在原点，焦点在 y 轴上，焦距为 16，离心率为 程。
2 2 2 2 二 1、 y x 1, y 2 2、 y x 1 36 28 4 4
2 2 4、 x y 1 16 9
批阅日期：
C、 3
D、 4
3、已知双曲线的离心率为 2，焦点是 (4, 0) ， (4, 0) ，则双曲线方程为
（ ）
A
x2 y 2 1 4 12
B
x2 y 2 1 12 4
C.
x2 y 2 1 10 6
D.
x2 y 2 1 6 10
4、已知双曲线
3 x2 y 2 1 (a 0) 的一条准线为 x ，则该双曲线的离心率为（ ） 2 2 a
4 ，求双曲线的标准方 3
3、求与双曲线
x2 y 2 1 共渐近线，且经过 A 2 3 , 3 点的双曲线的标准方及离心率． 16 9
4、如图，设 M x , y 与定点 F 5 , 0 的距离和它到直线 l ： x 点 M 的轨迹方程．
16 5 的距离的比是常数 ，求 4 5
5、双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1） ，它的最 小半径为 12m，上口半径为 13m，下口半径为 25m，高为 55m．试选择适当的 坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到 1m） ．
参考答案一、C、B、A、D、A、C
2 2 3、 4 y x 1, e 5 9 4 3
（B）
（A）
3 2
3 2
（C）
6 2
（D）
2 3 3
（ ）
5、 “双曲线的方程为
9 x2 y 2 1 ”是“双曲线的准线方程为 x ”的 5 9 16
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 6．已知双曲线
x2 y 2 1 的焦点为 F1 、 F2 ，点 M 在双曲线上且 MF1 x 轴，则 F1 到直线 6 3
1、重点：双曲线的几何性质及初步运用。 2、难点：双曲线的渐近线。 一、基础夯实 1、求双曲线
x2 y 2 1 的渐近线方程是 4 3
（
）
Байду номын сангаасA、y=
4 x 3
3 B y x 4
C
y
3 x 2
D
y=
3 x 2
2 2 2、双曲线 x y 1 的离心率为（
2
14
）A、2
B、 2 2