高中数学第二章参数方程23参数方程化成普通方程素材北师大版4-4!

2.3 参数方程化成普通方程
以C(x 0，y 0)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝x 0＋rcos θ
y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数)，
特别地当圆心在原点时，圆的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝rcos θ
y ＝rsin θ
(θ为参数),
其中参数θ的几何意义是过圆上任意一点P 和圆心C 的直线与Ox 所成的角，取值范围是0≤θ＜2π． 一，求曲线中最值问题
例1平面上有两点A(－2，0)、B(2，0)，试在圆(x －6)2
＋(y －8)2
＝25上求一点P ，使|AP|2
＋|BP|2
取最小值．
解析：圆(x －6)2＋(y －8)2
＝25的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝6＋5cos θy ＝8＋5sin θ
(θ为参数)，
设P 点坐标为(6＋5cos θ，8＋5sin θ)，
则|AP|2
＋|BP|2
＝(8＋5cos θ)2
＋(8＋5sin θ)2
＋(4＋5cos θ)2
＋(8＋5sin θ)
2
＝258＋120cos θ＋160sin θ＝258＋200(35cos θ＋4
5sin θ)＝ 258＋200sin(θ＋Φ)，
(Φ＝arcsin 3
5
)
∴当sin(θ＋Φ)＝－1时，258－200＝58．|AP|2
＋|BP|2
有最小值，此时P(3，4). 点评：圆的参数方程主要是以三角函数的形式来表达的，因此必须要熟练掌握三角函数的知识，如在本题中就利用了正余弦函数的平方关系与asinx ＋bcosx ＝2sin(x ＋Φ).
例2如果实数x,y 满足x 2
＋y 2
－2x ＋4y －20＝0，试求x 2
＋y 2
的最小值. 分析：从几何意义来考虑，如图，P(x,y)是圆C ：(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝25上的
一点，可利用圆的参数方程，
解：设P(5cos θ＋1,5sin θ－2)，则目标函数
|OP|2＝x 2＋y 2＝(5cos θ＋1)2＋(5sin θ－2)2
＝30－105sin(θ－arctan 12)，
∴当θ＝π2＋arctan 12
时，(x 2＋y 2
)min ＝30－10 5.
评注：利用圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2
的参数方程⎩⎨⎧ x ＝a ＋rcos θy ＝b ＋rsin θ
(θ为参数)，来设P 点的
坐标，就把目标函数由二元转化为一元，促使问题顺利解决.从几何意义来考虑，要求|OP|的最小值，还可以用圆C 的半径减去|OC|，更简捷地求得.
二﹑求点轨迹
例3已知圆x 2
＋y 2
＝1，定点A(1,0),B 、C 是圆上两个动点，保持A 、B 、C 在圆上逆时针排列，且∠BOC＝π
3
(O 为坐标原点)，求△ABC 重心G 的轨迹方程.
分析：由于点B 、C 的坐标为未知，如果分别设为B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，再利用已知条件寻求两者间的关系，则显得未知量较多，其运算过程也较繁.因此可考虑用圆的参数方程，根据参数θ的几何意义，可将B ，C 两点的坐标统一起来.
解：令B(cos θ,sin θ),则C(cos(θ＋π3),sin(θ＋π
3)),设重心坐标为(x,y),
则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13[1＋cos θ＋cos(θ＋π
3
)]y ＝13[0＋sin θ＋sin(θ＋π3)],即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13[1＋3cos(θ＋π6)]y ＝33sin(θ＋π6),
化为普通方程得：(x ﹣13)2＋y 2＝1
3
.
点评：利用圆的参数方程求点的轨迹方程的解题目标是借助圆的参数表示动点的纵、横坐标，然后消去参数，即可得到动点的轨迹方程.解答此类题的关键建立圆的点与动点的关系，本题是利用重心坐标公式来建立的.
例4如图，已知点P 是圆x 2
＋y 2
＝16上的一个动点，定点A(12，0)，当点P 在圆上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹.
分析：由于点M 为点P 和点A 的中点，点A 的坐标已知，点P 在已知圆上，故而点P 的坐标可以用参数θ来表示，所以，点M 的坐标便可以表示了，由此便可以求出线段PA 的中点M 的轨迹方程，进而知道其轨迹.
解：设点M(x ，y)，∵圆x 2＋y 2
＝16的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4cos θy ＝4sin θ
，
∴设点P(4cos θ，4sin θ)，由线段中点坐标公式得 ⎩⎨⎧ x ＝
4cos θ＋122y ＝
4sin θ2，即点M 轨迹的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos θ＋6
y ＝2sin θ，
∴点M 的轨迹是以点(6，0)为圆心，2为半径的圆．
点评：本题是利用中点坐标公式来建立圆上的动点与所求的动点之间的关系的.同时要注意所求问题的提法，求点的轨迹与求点的轨迹方程是不相同的，求点的轨迹，不仅要求出点的轨迹方程，而且还必须对动点的轨迹进行详尽的描述.
三、求函数的值域(或最值)
例5求函数f(θ)＝sin θ－1
cos θ－2
的最大值和最小值.
分析：f(θ)＝sin θ－1cos θ－2的形式相似于斜率k ＝y 1－y 2
x 1－x 2
的形式，因此可以把f(θ)＝
sin θ－1
cos θ－2
看作是动点 (cos θ，sin θ)与定点(2，1)连线的斜率.所求问题转化为求斜率f(θ)
的最大值和最小值.由于动点(cos θ，sin θ)在圆x 2
＋y 2
＝1上，因此可以把
这个问题转化到图形上来处理.(利用几何画板作出圆x 2
＋y 2
＝1以及相关的点，这样，学生就很清楚地知道，当过定点(2，1)与动点(cos θ，sin θ)的直线与圆相切时，取得最值).
解：根据题意，作出如图所示的图. 所要求的函数f(θ)＝sin θ－1
cos θ－2
的最
大值与最小值，就转化为求动点P 与定点(2，1)连线的斜率的最大值与最小值.从图可以得知，当直线PM 和圆相切时，分别得到其最大值与最小值.设直线PM 的斜率为k ，所以，其方程为：y －1＝k(x －2)，即kx －y ＋1＝0.
当直线PM 与圆相切时，|OP|＝1，即|1－2k|
1＋(－k)
2
＝1，解得k ＝0或k ＝4
3. 所以，f(θ)min ＝0，f(θ) max ＝4
3
，
点评：从本题可以看出，转化的思想方法与数形结合的思想方法对于学生的学习以及解题是相当有帮助的.。