常用系统建模方法
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着地。
椅子能在不平的地面上放稳吗？
➢模型构成
用数学语言把椅子位置和四只
脚着地的关系表示出来。
1）椅子位置和调整的表述
B´ B
A´
利用正方形（椅脚连线）的
对称性
C
O
A
x
用（对角线与x轴的夹角） C´ 表示椅子位置
D´ D
以中心为对称点，正方形绕 正方形ABCD绕O点旋转
中心的旋转对应椅子位置的
椅子能在不平的地面上放稳吗？
1. 系统模型的概述
➢数学模型的特点
模型的逼真性和可行性 模型的渐进性 模型的强健性 模型的可转移性
✓ 模型的非预制性 ✓ 模型的条理性 ✓ 模型的技艺性 ✓ 模型的局限性
1. 系统模型的概述
➢数学模型的分类
应用领域 人口、交通、经济、生态 … …
数学方法 初等数学、微分方程、规划、统计 … …
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着 地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚 着地，放稳了。为什么？
椅子能在不平的地面上放稳吗？
➢问题分析
涉及的对象：地面，椅子 椅子的位置和调整 放稳：椅子的四只脚着地
➢模型假设
四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正 方形;
地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时
1. 系统模型的概述
➢数学建模的基本步骤
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
1. 系统模型的概述
➢数学建模的基本步骤
1）模型准备
模型准备
了解实际背景
模型检验
明确建模目的 搜集有关信息
模型应用
掌握对象特征
形成一个比较清晰的“问题”
模型假设 模型分析
模型构成 模型求解
1. 系统模型的概述
且 g(0)=0， f(0) > 0.
C
A
O
x
C´
D´
D
正方形ABCD绕O点旋转
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
➢模型构成
2）椅脚着地的数学表示
四只脚着地：椅脚与地面距
离为零，距离是 的函数
四个距离 (四只脚)
正方形 对称性
两个距离
B´ B
A´
C
A
O
x
C´
D´
D
正方形ABCD绕O点旋转
f()： A, C 两脚与地面距离之和 g() ：B, D 两脚与地面距离之和
椅子能在不平的地面上放稳吗？
➢模型构成
在此基础上，用数学语言把椅子位置和四只脚着地 的关系表示出来：
分析综合能力 抽象概括能力 想象洞察能力 运用数学工具的能力 通过实践验证数学模型的能力
➢通过实例研究，了解建模过程常用的思维方法， 包括抽象、归纳、演绎、类比等。
2. 建模的逻辑思维方法
➢1)抽象
揭示事物的共性和联系的规律 忽略每个具体事物的特殊性，着眼于整体和一般规
律 实例研究：椅子能在不平的地面上放稳吗？
➢一个简单的数学模型：“航行问题”
可以看出，上述过程的主要步骤如下： 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间 ）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
➢数学建模的基本步骤
2）模型假设
针对问题特点和建模目的，作出合理的、来自百度文库化的 假设
在合理与简化之间作出折中模型准备
模型假设
模型构成
3）模型构成 用数学的语言、符号描述问题模型检验
模型分析
模型求解
发挥想像力 使用类比法
模型应用
尽量采用简单的数学工具
1. 系统模型的概述
➢数学建模的基本步骤
模型准备
模型假设
模型构成
4）模型求解
模型检验
模型分析
模型求解
利用各种数学方法、软件和计算机技术
解析解、仿真
模型应用
5）模型分析
例如，对结果的误差分析、统计分析、模型对数 据的稳定性分析
6）模型检验
与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适 用性
2. 建模的逻辑思维方法
➢建模是一项复杂的思维活动，也可以看成是一门 艺术，因而既没有统一的模式，也没有固定的方 法，需要多方面的能力
常用系统建模方法
➢1.系统模型的概述 ➢2.建模的逻辑思维方法 ➢3.图解建模法 ➢4.层次分析法 ➢5.聚类分析
1. 系统模型的概述
➢从现实对象到数学模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象 、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需 要的那一部分特征。
系统建模
系统
仿真实验
表现特性 确定和随机，静态和动态，离散和连续，线性和非
线性
了解程度
白箱、灰箱、黑箱
1. 系统模型的概述
➢数学建模的基本方法
机理分析
根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规 律。
测试分析（实验统计建模） 将对象看作“黑箱”，通过对量测数据的统计分 析，找出与数据拟合最好的模型。
二者结合 用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型 参数
1. 系统模型的概述
➢一个简单的数学模型：“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30 小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是 多少?
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y)30750
x =20
(x y)50750求解 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
1. 系统模型的概述
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
椅子在任意位置 至少三只脚着地
对任意, f()和g()
至少一个为0 B ´ B A ´
C
A
O
x
C´
D´
D
正方形ABCD绕O点旋转
椅子能在不平的地面上放稳吗？
➢模型构成
B´ B
A´
问题的形式化描述：
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ;
1. 系统模型的概述
➢数学模型与数学建模
数学模型（Mathematical Model） 对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其 内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数 学工具，得到的一个数学结构。
数学建模（ Mathematical Modeling ） 建立数学模型的全过程，包括表述、求解、解释 、检验等。
模型
仿真建模 计算机
建模仿真三要素及三个基本活动
1. 系统模型的概述
➢从现实对象到数学模型
系统模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具， 它是认识、分析、设计、预测、控制实际系统的基础 ，也是解决系统工程问题不可缺少的技术手段。
建立有效且可靠的系统模型是系统研究者的首要任 务。
数学模型是系统模型的最主要和最常用的表示方式 。
椅子能在不平的地面上放稳吗？
➢模型构成
用数学语言把椅子位置和四只
脚着地的关系表示出来。
1）椅子位置和调整的表述
B´ B
A´
利用正方形（椅脚连线）的
对称性
C
O
A
x
用（对角线与x轴的夹角） C´ 表示椅子位置
D´ D
以中心为对称点，正方形绕 正方形ABCD绕O点旋转
中心的旋转对应椅子位置的
椅子能在不平的地面上放稳吗？
1. 系统模型的概述
➢数学模型的特点
模型的逼真性和可行性 模型的渐进性 模型的强健性 模型的可转移性
✓ 模型的非预制性 ✓ 模型的条理性 ✓ 模型的技艺性 ✓ 模型的局限性
1. 系统模型的概述
➢数学模型的分类
应用领域 人口、交通、经济、生态 … …
数学方法 初等数学、微分方程、规划、统计 … …
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着 地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚 着地，放稳了。为什么？
椅子能在不平的地面上放稳吗？
➢问题分析
涉及的对象：地面，椅子 椅子的位置和调整 放稳：椅子的四只脚着地
➢模型假设
四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正 方形;
地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时
1. 系统模型的概述
➢数学建模的基本步骤
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
1. 系统模型的概述
➢数学建模的基本步骤
1）模型准备
模型准备
了解实际背景
模型检验
明确建模目的 搜集有关信息
模型应用
掌握对象特征
形成一个比较清晰的“问题”
模型假设 模型分析
模型构成 模型求解
1. 系统模型的概述
且 g(0)=0， f(0) > 0.
C
A
O
x
C´
D´
D
正方形ABCD绕O点旋转
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
➢模型构成
2）椅脚着地的数学表示
四只脚着地：椅脚与地面距
离为零，距离是 的函数
四个距离 (四只脚)
正方形 对称性
两个距离
B´ B
A´
C
A
O
x
C´
D´
D
正方形ABCD绕O点旋转
f()： A, C 两脚与地面距离之和 g() ：B, D 两脚与地面距离之和
椅子能在不平的地面上放稳吗？
➢模型构成
在此基础上，用数学语言把椅子位置和四只脚着地 的关系表示出来：
分析综合能力 抽象概括能力 想象洞察能力 运用数学工具的能力 通过实践验证数学模型的能力
➢通过实例研究，了解建模过程常用的思维方法， 包括抽象、归纳、演绎、类比等。
2. 建模的逻辑思维方法
➢1)抽象
揭示事物的共性和联系的规律 忽略每个具体事物的特殊性，着眼于整体和一般规
律 实例研究：椅子能在不平的地面上放稳吗？
➢一个简单的数学模型：“航行问题”
可以看出，上述过程的主要步骤如下： 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间 ）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
➢数学建模的基本步骤
2）模型假设
针对问题特点和建模目的，作出合理的、来自百度文库化的 假设
在合理与简化之间作出折中模型准备
模型假设
模型构成
3）模型构成 用数学的语言、符号描述问题模型检验
模型分析
模型求解
发挥想像力 使用类比法
模型应用
尽量采用简单的数学工具
1. 系统模型的概述
➢数学建模的基本步骤
模型准备
模型假设
模型构成
4）模型求解
模型检验
模型分析
模型求解
利用各种数学方法、软件和计算机技术
解析解、仿真
模型应用
5）模型分析
例如，对结果的误差分析、统计分析、模型对数 据的稳定性分析
6）模型检验
与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适 用性
2. 建模的逻辑思维方法
➢建模是一项复杂的思维活动，也可以看成是一门 艺术，因而既没有统一的模式，也没有固定的方 法，需要多方面的能力
常用系统建模方法
➢1.系统模型的概述 ➢2.建模的逻辑思维方法 ➢3.图解建模法 ➢4.层次分析法 ➢5.聚类分析
1. 系统模型的概述
➢从现实对象到数学模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象 、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需 要的那一部分特征。
系统建模
系统
仿真实验
表现特性 确定和随机，静态和动态，离散和连续，线性和非
线性
了解程度
白箱、灰箱、黑箱
1. 系统模型的概述
➢数学建模的基本方法
机理分析
根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规 律。
测试分析（实验统计建模） 将对象看作“黑箱”，通过对量测数据的统计分 析，找出与数据拟合最好的模型。
二者结合 用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型 参数
1. 系统模型的概述
➢一个简单的数学模型：“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30 小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是 多少?
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y)30750
x =20
(x y)50750求解 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
1. 系统模型的概述
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
椅子在任意位置 至少三只脚着地
对任意, f()和g()
至少一个为0 B ´ B A ´
C
A
O
x
C´
D´
D
正方形ABCD绕O点旋转
椅子能在不平的地面上放稳吗？
➢模型构成
B´ B
A´
问题的形式化描述：
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ;
1. 系统模型的概述
➢数学模型与数学建模
数学模型（Mathematical Model） 对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其 内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数 学工具，得到的一个数学结构。
数学建模（ Mathematical Modeling ） 建立数学模型的全过程，包括表述、求解、解释 、检验等。
模型
仿真建模 计算机
建模仿真三要素及三个基本活动
1. 系统模型的概述
➢从现实对象到数学模型
系统模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具， 它是认识、分析、设计、预测、控制实际系统的基础 ，也是解决系统工程问题不可缺少的技术手段。
建立有效且可靠的系统模型是系统研究者的首要任 务。
数学模型是系统模型的最主要和最常用的表示方式 。