2018届高三数学一轮复习： 第2章 第1节 课时分层训练4
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第二章 函数、导数及其应用 2.11.2
——[通·一类]—— 1．设 f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1 的导数为 f′(x)，若函数 y＝f′(x)
的图象关于直线 x＝－12对称，且 f′(1)＝0. (1)求实数 a，b 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
第七页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
——[悟·技法]—— 求函数 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)； (3)将函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为 最大值，最小的一个为最小值．
第十二页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
第九页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
考向二 利用导数研究函数的最值 [例 2] (2017·湖北省七市(州)联考)设 n∈N*，a，b∈R，函 数 f(x)＝alxnn x＋b，已知曲线 y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程为 y＝ x－1. (1)求 a，b； (2)求 f(x)的最大值．
第十八页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
——[通·一类]—— 3．(2017·云南省第一次统一检测)已知常数 a≠0，f(x)＝aln x
＋2x. (1)当 a＝－4 时，求 f(x)的极值； (2)当 f(x)的最小值不小于－a 时，求实数 a 的取值范围．
第十九页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
考向三 函数极值与最值的综合问题 [互动讲练型] [例 3] (2016·全国甲，理 21)(1)讨论函数 f(x)＝xx－＋22ex 的单 调性，并证明：当 x>0 时，(x－2)ex＋x＋2>0； (2)证明：当 a∈[0,1)时，函数 g(x)＝ex－xa2x－a(x>0)有最小 值．设 g(x)的最小值为 h(a)，求函数 h(a)的值域．
2018届高三数学一轮复习： 第2章 第10节 课时分层训练13
课时分层训练(十三)变化率与导数、导数的计算A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()【导学号：01772077】A．2(x2－a2) B.2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D.3(x2＋a2)C[∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于()A．－e B.－1C.1D.eB[由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.]3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是()A．x－3y＋3＝0 B.x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D.3x－y＋1＝0C[y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0.]4．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0 B.1C.2D.3D[令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－1x＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.]5．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()【导学号：01772078】A．4 B.5C.254 D.132C[∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－5 4，∴所求面积S＝12×54×10＝254.]二、填空题6．(2017·郑州二次质量预测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是________．2x－y＋1＝0[由题意得f′(x)＝3x2－1，则f′(1)＝3×12－1＝2，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x －y＋1＝0.]7．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.【导学号：01772079】12[因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝1 2.]图2-10-18．如图2-10-1，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.0 [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.] 三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝ln (2x ＋1)x. [解] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x .(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (2x ＋1)x ′＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2 ＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x 2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.10．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．[解] (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，2分所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，4分 斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0.6分(2)由(1)得k ≥－1，9分所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.12分 B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB.y ＝ln x C ．y ＝e x D.y ＝x 3A [若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x >0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2；对于D：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.综上所述，选A.]2．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．y＝－2x－1[因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)＝1x－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.]3．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．【导学号：01772080】[解]根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax. 2分曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3. 6分曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.9分曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线. 12分。
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第二章 函数、导数及其应用 2.4
当 m＝1 时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4(舍去)．当 m＝2 时， m2－2m－3＝22－2×2－3＝－3，所以 m＝2.
答案：2
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
第二十六页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[悟·技法]—— 求二次函数解析式的方法
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——[通·一类]—— 3．已知二次函数 f(x)有两个零点 0 与－2，且它有最小值－
1.求 f(x)的解析式． 解析：由于 f(x)有两个零点 0 和－2， 所以可设 f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)， 这时 f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a. 由于 f(x)有最小值－1，
y＝xα(α∈R)才是幂函数，如
y＝3x
1 2
不是幂函数．
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
第十六页，编辑于星期六：二十二点 8 页]
考向一 幂函数的图象与性质[自主练透型]
[例 1]
(1)(2017·太原模拟)当
0<x<1
时，f(x)＝x2，g(x)＝x
a＝－4， 解得b＝4，
c＝7.
故所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
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方法二：利用二次函数的顶点式．设 f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为 x＝2＋2－1＝12. ∴m＝12，又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8， ∴y＝f(x)＝a(x－12)2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a(2－12)2＋8＝－1，解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4(x－12)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第二章 函数、导数及其应用 2.5
第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
[解析]
(1)
原
式
＝23
1 3
×1
＋
2
3 4
×2
1 4
＋
4×27＝110.
(2)
a3 3 ·
53
b 4 3 3
32
5
＝a ·b ＝a ＝a a. 2 12
15 10
4
5 b2
4 a3
－
2 3
1 3
＝
2
＋
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——[悟·技法]—— 指数幂的运算规律
(2)两个重要公式
⑥ a
(ⅰ)n
an＝|a|＝⑦⑧
a －a
a≥0 a<0
n为奇数 n为偶数 ；
(ⅱ)(n a)n＝⑨____a____(注意 a 必须使n a有意义)．
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2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是：
a
m n
＝
⑩
__n__a_m___(a>0，m，
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[悟·技法]—— 指数函数图象可解决的两类热点问题
(1)求解指数型函数的图象与性质问题 对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、 零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称 变换得到其图象，然后数形结合使问题得解． (2)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型 函数图象数形结合求解．
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——[通·一类]——
1．求值与化简：
(全国通用版)高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时分层作业四 2.1 函数及其表示 理
课时分层作业四函数及其表示一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.2.(2018·滨州模拟)函数y=的定义域为( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪[3,+∞)【解析】选C.由ln(x-1)≠0,得x-1>0且x-1≠1.由此解得x>1且x≠2,即函数y=的定义域是(1,2)∪(2,+∞).3.给出下列命题:①函数是其定义域到值域的映射;②f(x)=+是一个函数;③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;④f(x)=lgx2与g(x)=2lgx是同一函数.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.由函数的定义知①正确.因为满足f(x)=+的x不存在,所以②不正确.又因为y=2x(x∈N)的图象是位于直线y=2x上的一群孤立的点,所以③不正确.又因为f(x)与g(x)的定义域不同,所以④也不正确.4.(2018·某某模拟)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,可见不存在实数a满足条件,当a<0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件.【一题多解】本题还可以采用如下解法:方法一:选A.由指数函数的性质可知:2x>0,又因为f(1)=2,所以a<0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得:a=-3. 方法二:选A.验证法,把a=-3代入f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.【变式备选】已知函数f(x)=且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))= ( )A.-2B.2C.3D.-3【解析】选B.f(0)=a0+b=1+b=2,解得b=1;f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得a=.故f(-3)=+1=9,f(f(-3))=f(9)=log39=2.【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.5.已知函数f(x)满足f(x)+2f(3-x)=x2,则f(x)的解析式为 ( )A.f(x)=x2-12x+18B.f(x)=x2-4x+6C.f(x)=6x+9D.f(x)=2x+3【解析】选B.由f(x)+2f(3-x)=x2可得f(3-x)+2f(x)=(3-x)2,由以上两式解得f(x)=x2-4x+6.6.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )【解析】选C.从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.7.已知[x]表示不超过实数x的最大整数(x∈R),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0,[3.4]=3.定义{x}=x-[x],则++…+= ( )A.2017B.C.1008D.2016【解析】选B.=,=,…,=,=0,所以原式=++…+=.【题目溯源】本考题源于教材人教A版必修1P25习题B组T3,“函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2.当x∈(-2.5,3]时,写出函数f(x)的解析式,并作出函数的图象”的变式.【变式备选】设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有( )A.[-x]=-[x]B.=[x]C.[2x]=2[x]D.[x]+=[2x]【解析】选D.选项A,取x=1.5,则[-x]=[-1.5]=-2,-[x]=-[1.5]=-1,显然[-x]≠-[x].选项B,取x=1.5,则=[2]=2≠[1.5]=1.选项C,取x=1.5,则[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2,显然[2x]≠2[x].二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·某某模拟)函数y=ln+的定义域为______________.【解析】由⇒⇒0<x≤1.所以该函数的定义域为(0,1].答案:(0,1]9.已知函数f(x)=则f(f(-3))=________,f(x)的最小值是________.【解析】f(f(-3))=f(1)=0,当x≥1时,f(x)≥2-3,当且仅当x=时,等号成立;当x<1时,f(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立,所以f(x)的最小值为2-3.答案:0 2-310.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则f(log2x)的定义域为______________.【解析】因为函数f(x)的定义域是[-1,1],所以-1≤log2x≤1,所以≤x≤2.故f(log2x)的定义域为.答案:1.(5分)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【解析】选C.对于选项A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于选项B,f(x)=x-|x|=当x≥0时,f(2x)=0=2f(x),当x<0时,f(2x)=4x=2·2x=2f(x),恒有f(2x)=2f(x);对于选项D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1.2.(5分)(2018·某某模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由x2+1=1得x=0,由x2+1=3得x=±,所以函数的定义域可以是{0,},{0,-},{0,,-},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.3.(5分)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值X围是__________. 导学号12560407【解析】当x≤2,故-x+6≥4,要使得函数f(x)的值域为[4,+∞),只需f1(x)=3+log a x(x>2)的值域包含于[4,+∞),故a>1,所以f1(x)>3+log a2,所以3+log a2≥4,解得1<a≤2,所以实数a的取值X围是(1,2].答案:(1,2]4.(12分)已知f(x)=x2-1,g(x)=(1)求f(g(2))与g(f(2)).(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式.【解析】(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0;f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2.(2)当x>0时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x;当x<0时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3.所以f(g(x))=同理可得g(f(x))=5.(13分)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨为3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x、3x(吨).(1)求y关于x的函数.(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4且5x>4时,y=4×1.8+3(5x-4)+3x×1.8=20.4x-4.8;当乙的用水量超过4吨时,即3x>4,y=24x-9.6,所以y=.(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增,当x∈时,y≤f<26.4;当x∈时,y≤f<26.4;当x∈时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=7.5吨,付费S1=4×1.80+3.5×3.00=17.70(元); 乙户用水量为3x=4.5吨,付费S2=4×1.80+0.5×3.00=8.70(元).。
高考数学一轮复习全套课时作业2-4二次函数
2.4二次函数一、单项选择题1．若函数y ＝(x ＋4)2在某区间上是减函数，则这区间可以是( )A ．[－4，0]B ．(－∞，0]C ．(－∞，－5]D ．(－∞，4]2．若二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( )A ．f(x)＝－x 2－x －1B ．f(x)＝－x 2＋x －1C ．f(x)＝x 2－x －1D ．f(x)＝x 2－x ＋13．已知m>2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 1<y 34．(2020·杭州学军中学月考)已知函数f(x)＝x 2－2x ＋m ，若f(x 1)＝f(x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1B ．2C ．m －1D ．m5．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，2]C ．[－1，2]D ．[2，5)6．设abc ＞0，则二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )7．(2021·郑州质检)若二次函数y ＝x 2＋ax ＋1对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒有y ≥0成立，则a 的最小值是( ) A ．0B ．2C ．－52D ．－3二、填空题与解答题8．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________．9．(1)已知函数f(x)＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．10．已知y ＝(cosx －a)2－1，当cosx ＝－1时，y 取最大值，当cosx ＝a 时，y 取最小值，则a 的取值范围是________．11．函数f(x)＝x 2＋2x ，若f(x)>a 在区间[1，3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________； ②恒成立，则a 的取值范围为________．12．如果函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a ＝________．13．(2020·邯郸一中月考)已知函数f(x)＝x 2－6x ＋5，x ∈[1，a]，并且函数f(x)的最大值为f(a)，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是________．15．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求实数k 的取值范围．16．(2021·山东济宁模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c （x ≤0），2（x>0），若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( )A ．4B ．2C ．1D ．317．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a>0)，设f(x)＝x 的两个实根为x 1，x 2.(1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1.2.4二次函数 参考答案1．答案 C2．答案 D解析 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c －（ax 2＋bx ＋c ）＝2x. 故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f(x)＝x 2－x ＋1.故选D.3．答案 A解析 ∵m ＞2，∴m －1＞1.∴三点均在对称轴的右边．∵函数在[1，＋∞)上是增函数，∴y 1＜y 2＜y 3.4．答案 C解析 由题意知，函数图象的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f(1)＝m －1.故选C.5．答案 C解析 二次函数f(x)＝－x 2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图象可知m 的取值范围是[－1，2]．6．答案 D解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b 2a＞0，函数f(x)的图象与y 轴的交点(0，c)在x 轴下方．故选D.7．答案 C解析 设g(x)＝ax ＋x 2＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，则g(x)≥0在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立．又h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上为单调递增函数，故h(x)max ＝h ⎝⎛⎭⎫12，所以a ≥－⎝⎛⎭⎫12＋2即a ≥－52. 8．答案 9或25解析 y ＝8⎝⎛⎭⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝⎛⎭⎫m －1162，∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8·⎝⎛⎭⎫m －1162＝0， ∴m ＝9或25.9．(1)答案 (－∞，－16]∪[8，＋∞)解析 函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，则－k 8≤－1或－k 8≥2，解得k ≥8或k ≤－16. (2)答案 (－4，＋∞)解析 函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5的图象是开口向上，以x ＝－b 2为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b 2<2，解得b>－4.所以实数b 的取值范围为(－4，＋∞)．10．答案 [0，1]解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1. 11．答案 ①(－∞，15) ②(－∞，3)解析 ①f(x)>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于a<f(x)max ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，故当x ＝3时，f(x)max ＝15，故a 的取值范围为a<15.②f(x)>a 在区间[1，3]上恒成立，等价于a<f(x)min ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，故当x ＝1时，f(x)min ＝3，故a 的取值范围为a<3.12．答案 1解析 因为函数f(x)＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f(0)＝－a ，f(2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 13．答案 [5，＋∞)解析 ∵f(x)的对称轴为x ＝3，要使f(x)在[1，a]上的最大值为f(a)，由图象对称性知a ≥5.14．答案 [0，4]解析 因为函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f(x)＝1，其定义域是实数集R ；当m>0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是[0，4]．15．答案 (1)f(x)＝x 2＋2x ＋1，单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1](2)(－∞，1)解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f(x)＝x 2＋2x ＋1. 由f(x)＝(x ＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k<x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立．令g(x)＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g(x)＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34，知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数． 则g(x)min ＝g(－1)＝1.所以k<1.即k 的取值范围是(－∞，1)．16．答案 D解析 由解析式可得f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，解得b ＝4.由f(－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2（x ≤0），2（x>0）.又f(x)＝x ， 则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2.当x>0时，x ＝2，综上可知有三解．17．答案 (1)a ＝－1＋22(2)证明见解析 解析 (1)当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x ＋1(a>0)．方程f(x)＝x 为ax 2＋x ＋1＝0，则Δ＝1－4a>0，则0<a<14.由韦达定理，可知x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a. |x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.则⎝⎛⎭⎫－1a 2－4a＝4，即4a 2＋4a －1＝0. 解得a ＝－1＋22或a ＝－1－22(舍去)． (2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a>0)的两根满足x 1<2<x 2<4，∴Δ＝(b －1)2－4a>0.设g(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋1(a>0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2（b －1）＋1<0，16a ＋4（b －1）＋1>0⇒⎩⎨⎧2a>14，b<14. ∴2a －b>0.此时，Δ＝(b －1)2－4a.又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，∴x 0＝－b 2a>－1.。
最新-2018高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用
)
3．下列各组函数中表示同一函数的是( A．f(x)＝x与g(x)＝( x)2 B．f(x)＝|x|与g(x)＝ x3
x2 C．f(x)＝x|x|与g(x)＝ 2 －x
)
3
x＞0 x＜0
x 2－ 1 D．f(x)＝ 与g(t)＝t＋1(t≠1) x－1
• 解析： A中定义域不同，B中解析式不同，C中定义域不同． • 答案： D
• 【思考探究】 1.映射与函数有什么区别？ • 提示： 函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是 非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集．
• 2．函数的定义域、值域 集合A • 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量， 叫做函数的定 函数值的集合{f(x)|x∈A}0 义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 叫做函数的值域． 定义域 • 3．函数的构成要素为： 、 对应关系 和 值域 ． 由 于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域 相 同，并且 对应关系 完全一致，我们就称这两个函数 相等 ．
奇偶性
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
知识点
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1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运 指数与指 算． 数函 3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 数 过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转 化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的运用． 对数与对 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图 象通过的特殊点． 数函 数 3.知道对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，且a≠1) ．
2018年高考数学人教A版一轮复习课时分层提升练 二 1-2命题及其关系、充分条件与必要条件 含解析 精品
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课时分层提升练二命题及其关系、充分条件与必要条件(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2017·聊城模拟)命题“若a>b,则a-5>b-5”的逆否命题是( )A.若a<b,则a-5<b-5B.若a-5>b-5,则a>bC.若a≤b,则a-5≤b-5D.若a-5≤b-5,则a≤b【解析】选D.否定结论得a-5≤b-5,否定条件得a≤b,所以逆否命题为“若a-5≤b-5,则a≤b”.2.(2017·韶关模拟)命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是( )A.若a≠b≠0,a,b∈R,则a2+b2=0B.若a=b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0C.若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0【解析】选D.“a2+b2=0”的否定为“a2+b2≠0”,“a=b=0”的否定为“a≠0或b≠0”,故选D.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因是对a=b=0的否定出错,a=b=0是a=0且b=0的意思,其否定应为a≠0或b≠0.3.若p:错误！未找到引用源。
=x,q:x2≥0,则q是p的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】先化简p,q再进行判断.【解析】选B.因为p:x≥0,q:x∈R,所以p⇒q,反之q p,所以q是p成立的必要不充分条件.【加固训练】(2017·长沙模拟)“1<x<2”是“x<2”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若1<x<2,则x<2显然成立,反之不成立.4.(2017·南昌模拟)设0<x<π,则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为0<x<π,所以0<sinx≤1,所以xsinx<1⇒xsin2x<1,而当x=错误！未找到引用源。
2018届高三数学一轮复习： 第2章 第8节 课时分层训练11
课时分层训练(十一) 函数与方程A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )【导学号：01772061】A ．0,2 B.0，12 C ．0，－12D.2，－12C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a . 令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．(2017·郑州模拟)已知实数a ＞1,0＜b ＜1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1) B.(－1,0) C ．(0,1)D.(1,2)B [∵a ＞1,0＜b ＜1，f (x )＝a x ＋x －b ， ∴f (－1)＝1a －1－b ＜0，f (0)＝1－b ＞0，由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1,0)上存在零点．] 3．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B.5 C.6D.7C [由f (x )＝x cos x 2＝0，得x ＝0或cos x 2＝0. 又x ∈[0,4]，所以x 2∈[0,16]． 由于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π＝0(k ∈Z )，而在π2＋k π(k ∈Z )的所有取值中，只有π2，3π2，5π2，7π2，9π2 满足在[0,16]内，故零点个数为1＋5＝6.]4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m的取值范围是( )A ．[0,1)B.(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D.(－∞，0]∪(1，＋∞)D [函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x ＞0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．]5．(2016·湖北七校2月联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14 B.18 C.－78D.－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]二、填空题6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．【导学号：01772062】(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]7．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.－2 1 [∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.]8．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．(0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示， 则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x .2分 ∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.7分又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续，∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.12分10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根.3分因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根.5分(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，7分即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.10分故实数a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1) B.(－∞，－1] C ．[－1,0)D.(0,1]D [因为当x ＞0时，f (x )＝2x －1， 由f (x )＝0得x ＝12.所以要使f (x )在R 上有两个零点，则必须2x －a ＝0在(－∞，0]上有唯一实数解．又当x ∈(－∞，0]时，2x ∈(0,1]，且y ＝2x 在(－∞，0]上单调递增， 故所求a 的取值范围是(0,1]．]2．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为________．【导学号：01772063】⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2 [由题意知f [f (x )]＝－1，由f (x )＝－1得x ＝－2或x ＝12，则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点就是使f (x )＝－2或f (x )＝12的x 的值． 解f (x )＝－2得x ＝－3或x ＝14， 解f (x )＝12得x ＝－12或x ＝2， 从而函数y ＝f [f (x )]＋1的零点构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.] 3．若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． [解] 法一(换元法)：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.3分 ①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，则⎩⎨⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，解得－1＜a ≤2－22；6分②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1＜0，解得a ＜－1；9分③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a2＞0，解得a ＝－1. 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22].12分 法二(分离变量法)：由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，3分设t ＝2x (t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1＞1，9分由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2. 12分。
2018届高考数学一轮复习4.4
第四章
知识清单 基础自测
第四节
平面向量应用举例
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
-8-
4.[2016· 西安交大附中第六次诊断]一个物体受到三个力的作用,三个力的大 小分别为1,2,3(单位:N),三个力两两之间的夹角均为60°,则物体所受的合 力大小为 N. 5 【解析】设三个力分别为F1,F2,F3,则|F1|=1,|F2|=2,|F3|=3,且
(������, ������) · (������, ������ − 2) = ������2 + ������2 − 2������ =
4 2 ������ 3
− 2������ − 1 =
4 3
− ,
7 4
由于函数在区间[ 3, +∞)上单调递增, 所以当������ = 3时, ������������ · ������������取最小值3 − 2 3 .
第四章
知识清单 基础自测
第四节
平面向量应用举例
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
-5-
1.[2016· 武汉二月调研]△ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中
b=3,c=2.O为△ABC的外心,则������������ · ������������ = (
13 A. 2 5 B. 2 5 C.2
第四章
知识清单 基础自测
第四节
平面向量应用举例
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
-7-
1 2 ������ 2 2 3.[2016· 河南信阳高级中学四模]已知抛物线y= x 与双曲线 2 -x =1(a>0)有共同的 8 ������
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第二章 函数、导数及其应用 2.1
3．函数 y＝lgxx－＋11的定义域是(
)
A．(－1，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
解析：由题意得xx－＋11≠>00，， 所以xx≠>－1，1， 选 C. 答案：C
第五页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
4．(2017·黑龙江哈尔滨一模)若函数 f(x)＝22xx－＋42，，xx>≤0，0，
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
解析：(1)依题意，f(－2)＝f(0)＝0，f(－1)＝－1，f(1)＝3， 因此 f(x)的值域是{－1,0,3}．
(2)设 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴f(x)∈[ 2，＋∞)． (3)f(x)＝22xx－＋11＝2x2＋x＋1－1 2＝1－2x＋2 1.
第七页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
6．函数 y＝ 16－4x的值域是________． 解析：∵0<4x，∴0≤16－4x<16，∴0≤y<4. 答案：[0,4)
第八页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
一、必记 3●个知识点
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合 A， B
A，B 是两个非空数集
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
[解析] (1)若函数有意义，则 3－2x－x2≥0， 即 x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1. (2)∵f(2x)的定义域是[－1,1]， ∴－1≤x≤1.∴12≤2x≤2， 即 y＝f(x)的定义域是12，2. 由12≤log2x≤2⇒ 2≤x≤4. ∴f(log2x)的定义域是[ 2，4]． [答案] (1)[－3,1] (2)[ 2，4]
2018年高考数学(理)一轮复习第二章第1讲分层演练直击高考
12．设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足 条件 AB＋BC＋CD＝a(常数)，∠ABC＝120°，写出横截面的 面积 y 关于腰长 x 的函数，并求它的定义域和值域．
[解] 如图，因为 AB＋BC＋CD＝a，
所以 BC＝EF＝a－2x>0， 即 0<x<a2，因为∠ABC＝120°， 所以∠A＝60°， 所以 AE＝DF＝x2，BE＝ 23x，
－b≥1，即
b≤32，则
5
22－b＝4，解得
b＝12.
4．函数 f(x)＝ln(1＋1x)＋ 1－x2的定义域为(
)
A．(－1，1]
B．(0，1]
C．[0，1]
D．[1，＋∞)
B
[解析] 由条件知x11≠ － ＋0x1x， 2＞≥00，. 即xx－＜ ≠1－ 0≤，1x或 ≤x1＞ . 0，
则 x∈(0，1]．
所以原函数的定义域为(0，1]．
5．若二次函数 g(x)满足 g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
则 g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x
B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x
D．g(x)＝－3x2－2x
B [解析] 用待定系数法，设 g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为
11．设函数 f(x)＝a2xx，＋xb≥，0x，<0，且 f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1)求 f(x)的解析式；
(2)画出 f(x)的图象． [解] (1)由 f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得－－2aa＋＋bb＝＝2，3，解得 a＝－ 1，b＝1，所以 f(x)＝－2x，x＋x≥1，0.x<0， (2)f(x)的图象如图：
2018届高三数学一轮复习： 第2章 第9节 课时分层训练12
课时分层训练(十二)函数模型及其应用A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：【导学号：01772071】则对x，yA．y＝2x B.y＝x2－1C．y＝2x－2 D.y＝log2xD[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．]2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A．118元 B.105元C．106元 D.108元D[设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%a，解得a＝108，故选D.]3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图2-9-2甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.【导学号：01772072】图2-9-2给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B.①② C ．①③ D.①②③A [由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )A ．85元B.90元 C ．95元 D.100元C [设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]，∴当x ＝95时，y 最大．]5．(2016·四川德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a 4 L ，则m 的值为( )A ．5B.8C.9D.10A [∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 因此，当k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A.]二、填空题6．在如图2-9-3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.图2-9-3【导学号：01772073】20 [设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400.]7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)8 [设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120， 所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.]8．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．24 [由已知条件，得192＝e b ，∴b ＝ln 192.又∵48＝e 22k ＋b ＝e 22k ＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，∴e 11k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫48192＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.] 三、解答题9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．[解] (1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，2分因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).5分 (2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2(6x ＋10)·8003x ＋5－10＝70(万元)，7分 当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5， 即x ＝5时等号成立，10分所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元.12分10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解] (1)设旅行团人数为x ，由题得0<x ≤75(x ∈N *)，2分飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎨⎧ 900，0＜x ≤30，900－10(x －30)，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎨⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.5分 (2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎨⎧ 900x －15 000，0＜x ≤30，x (1 200－10x )－15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎨⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30＜x ≤75.8分 因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为单调增函数，故当x ＝30时，S 取最大值12 000元，又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上，当x ＝60时，取得最大值21 000.故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润.12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．19B.20C.21D.22 C [操作次数为n 时的浓度为⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1＜10%，得n ＋1＞－1lg 910＝－12lg 3－1≈21.8，∴n ≥21.] 2．(2016·北京房山期末)某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x 小时后，病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个.【导学号：01772074】y ＝4x 1 024 [设原有1个病毒，经过1个30分钟有2＝21个病毒；经过2个30分钟有2×2＝4＝22个病毒；经过3个30分钟有4×2＝8＝23个病毒；……经过60x 30个30分钟有22x ＝4x 个病毒，∴病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为y ＝4x ，∴经过5小时，1个病毒能分裂成45＝1 024个．]3．(2016·浙江高考)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎨⎧ p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围．(2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a )．[解] (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0；当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a ).3分所以使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2,2a ].5分(2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧ 0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.8分 ②当0≤x ≤2时，F (x )＝f (x )，此时M (a )＝max{f (0)，f (2)}＝2.当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )，此时M (a )＝max{g (2)，g (6)}＝max{2,34－8a }，当a ≥4时，34－8a ≤2；当3≤a <4时，34－8a >2，∴M (a )＝⎩⎨⎧ 34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.12分。
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程课时分层训练 文 新
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课时分层训练(十一）函数与方程A组基础达标(建议用时:30分钟)一、选择题1．若函数f（x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是（) 【导学号：31222061】A．0，2 B．0，错误!C．0,－错误!D．2,－错误!C ［由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g（x）＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝错误!＝－错误!。
]2．函数f（x)＝e x＋x－2的零点所在的区间为（）A．（－2,－1）B．（－1,0）C．(0，1) D．（1,2）C ［因为f(0）＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0,故f(0)·f（1）＜0，故选C.]3．函数f（x)＝2x＋x3－2在区间（0，2)内的零点个数是（）A．0 B．1C．2 D．3B ［由指数函数、幂函数的性质可知,f（x）＝2x＋x3－2在区间（0,2）内单调递增,且f （0）＝－1＜0,f(2)＝10＞0，所以f(0）·f（2)＜0，即函数f（x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内有唯一一个零点，故选B。
]4．已知函数f(x)＝错误!则使函数g（x)＝f（x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是（) A．[0,1）B．（－∞，1）C．(－∞，1]∪(2,＋∞）D．(－∞，0]∪（1，＋∞)D [函数g（x)＝f(x）＋x－m的零点就是方程f（x)＋x＝m的根，画出h（x)＝f（x)＋x ＝错误!的大致图象（图略）．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞1时，有交点，即函数g(x）＝f（x)＋x －m有零点．]5．（2016·湖北七校2月联考）已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y＝f(2x2＋1)＋f（λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )A。
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第二章 函数、导数及其应用 2.6
4．若函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象如图所示，则下列 函数图象正确的是( )
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
解析：由图象可知 loga3＝1，所以 a＝3.A 选项，y＝3－x＝13 x 为指数函数，在 R 上单调递减，故 A 不正确．B 选项，y＝x3 为幂函数，图象正确．C 选项，y＝(－x)3＝－x3，其图象和 B 选 项中 y＝x3 的图象关于 x 轴对称，故 C 不正确．D 选项，y＝log3(－ x)，其图象与 y＝log3x 的图象关于 y 轴对称，故 D 选项不正确．综 上，可知选 B.
第三十二页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[悟·技法]—— 1.求对数形函数定义域的策略 列出对应的不等式(组)求解，注意对数函数的底数和真数的
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[悟·技法]—— 利用对数函数的图象可求解的两类热点问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数， 在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形 结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象 问题，利用数形结合法求解．
第一页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
[小题热身]
1．函数 y＝ xln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1)
B．[0,1)
C．(0,1]
D．[0,1]
解析：由题意，得1x≥－0x>，0， 解得 0≤x<1，故函数 y＝ xln(1 －x)的定义域为[0,1)．
[授课提示：对应学生用书第 023 页]
2018高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第1节 函数及其表示课时分层训练 文 北师大版
课时分层训练(四) 函数及其表示A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．f (x)＝x，g(x)＝(x)2B．f (x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f (x)＝x2，g(x)＝|x|D．f (x)＝0，g(x)＝x－1＋1－xC[在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同．]2．(2017·福建南安期末)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f (x)的定义域为M，值域为N，则f (x)的图像可以是( )【导学号：66482024】A B C DB[A项，定义域为[－2,0]，D项，值域不是[0,2]，C项，当x＝0时有两个y值与之对应．故选B.]3．(2017·安徽黄山质检)已知f (x)是一次函数，且f [f (x)]＝x＋2，则f (x)＝( ) A．x＋1 B．2x－1C．－x＋1 D．x＋1或－x－1A[设f (x)＝kx＋b，则由f [f (x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb ＋b＝x＋2，∴k2＝1，kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1，则f (x)＝x＋1.故选A.] 4．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC．y＝2x D．y＝1 xD[函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14A [由于f (a )＝－3， ①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x>0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.]二、填空题6．(2017·合肥二次质检)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －，x ≥2，|x 2－2|，x ＜2，则f (5)＝________.1 [由题意得f (5)＝f (3)＝f (1)＝|12－2|＝1.]7．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．[－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________.【导学号：66482025】(－∞，2] [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f a ＜0，f2a ＋f a或⎩⎪⎨⎪⎧f a ，－f 2a，解得f (a )≥－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.] 三、解答题9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式.【导学号：66482026】[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，2分即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，8分解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. 12分10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．[解] (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. 4分 (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；8分 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①B [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.－x x ＋2[设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)．又因为f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝f x ＋2＝－x x ＋2.]3．根据如图211所示的函数y ＝f (x )的图像，写出函数的解析式．图211[解] 当－3≤x ＜－1时，函数y ＝f (x )的图像是一条线段(右端点除外)， 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72；3分当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)， 将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12；6分当1≤x ＜2时，f (x )＝1. 10分所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.12分。
高2021届高2018级高三数学一轮复习第2章第12讲第1课时
题组二 走进教材
2.(选修2－2P26T1改编)函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为( A )
A.(0,4)
B.(0.2)
C.(4,＋∞)
D.(－∞,0)
[解析] f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4),由f′(x)<0,得0<x<4,所以单调递减区间为(0,4).
第二章 函数、导数及其应用
第十二讲 导数在研究函数中的应用
第一课时 导数与函数的单调性
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
知识点 函数的单调性 (1) 设 函 数 y ＝ f(x) 在 某 个 区 间 内可_导_______, 若 f′(x)__>____0, 则 f(x) 为 增 函 数 , 若 f′(x)_____<_0,则f(x)为减函数. (2)求可导函数f(x)单调区间的步骤: ①确定f(x)的__定__义__域____; ②求导数f′(x); ③令f′(x)____>__0(或f′(x)______<0),解出相应的x的范围; ④当_____f_′(_x_)>_0______时,f(x)在相应区间上是增函数,当______f_′(_x_)<_0_____时,f(x) 在相应区间上是减函数.
A.[0,＋∞)
B.(－∞,0]
C.[1,＋∞)
D.(－∞,1]
(3)(多选题)(2020·济南调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsinx＋cosx， 则 f(x)的单调递增区间是(AC )
2018届高考数学一轮复习4.1
第一节
平面向量的概念与线性运算
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
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2.[2017· 包头学业水平测试与评估二]设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的 中点,则������������ + ������������ = ( A.������������ B.������������
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第四章
知识清单 基础自测
第一节
平面向量的概念与线性运算
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
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第四章
知识清单 基础自测
第一节
平面向量的概念与线性运算
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
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3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使 b=λa. 4.常用的数学方法与思想 数形结合思想、转化化归思想.
+ ������������) = ������������.
3.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,������������ + ������������=λ������������,则 λ= . 2 【解析】因为������������ + ������������ = ������������ = 2������������,所以λ=2.
������������ + (������������ − ������������) = ������������ + ������������, 即得������������ = ������������ + ������������ .
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课时分层训练(四)函数及其表示
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列各组函数中，表示同一函数的是()
A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2
B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
C．f(x)＝x2，g(x)＝|x|
D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x
C[在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同．] 2．(2017·福建南安期末)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是()
【导学号：01772021】
A B C D
B[A项，定义域为[－2,0]，D项，值域不是[0,2]，C项，当x＝0时有两个y值与之对应．故选B.]
3．(2017·安徽黄山质检)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝() A．x＋1 B.2x－1
C．－x＋1 D.x＋1或－x－1
A[设f(x)＝kx＋b，则由f[f(x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2，∴k2＝1，kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1，则f(x)＝x＋1.故选A.] 4．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是()
A．y＝x B.y＝lg x
C．y＝2x D.y＝1 x
D [函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1
x
的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]
5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x －1
－2，x ≤1，
－log 2(x ＋1)，x ＞1，
且f (a )＝－3，则
f (6－a )＝( )
A ．－74 B.－54 C ．－34
D.－14
A [由于f (a )＝－3，
①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1. 由于2x >0，所以2a －1＝－1无解； ②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7，
所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－7
4. 综上所述，f (6－a )＝－7
4.故选A.] 二、填空题
6．(2017·合肥二次质检)若函数f (x )＝⎩⎨⎧
f (x －2)，x ≥2，
|x 2－2|，x ＜2，则f (5)＝________.
【导学号：01772022】
1 [由题意得f (5)＝f (3)＝f (1)＝|12－2|＝1.]
7．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．
[－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]，
∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]
8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
＋x ，x <0，
－x 2，x ≥0.
若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是
________．
(－∞，2] [由题意得⎩⎨⎧ f (a )＜0，f 2(a )＋f (a )≤2或⎩⎨⎧
f (a )≥0，－f 2(a )≤2，解得f (a )≥－2. 由⎩⎨⎧ a ＜0，a 2＋a ≥－2或⎩⎨⎧
a ≥0，
－a 2≥－2， 解得a ≤ 2.] 三、解答题
9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式.
【导学号：01772023】
[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，2分
即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎨⎧
a ＝2，
b ＋5a ＝17，8分 解得⎩⎨⎧
a ＝2，
b ＝7，
∴f (x )＝2x ＋7.12分
10．已知f (x )＝x 2
－1，g (x )＝⎩⎨⎧
x －1，x ＞0，
2－x ，x ＜0.
(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．
[解] (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.4分 (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；8分 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，
故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.
∴f (g (x ))＝⎩⎨⎧
x 2
－2x ，x ＞0，
x 2－4x ＋3，x ＜0.
12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下
列函数：
【导学号：01772024】
①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1
x ；③f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变
换的函数是( )
A ．①② B.①③ C ．②③
D.①
B [对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1
x ＋x ＝
f (x )，不满足；对于③，
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ，0＜1x ＜1，
0，1
x ＝1，－x ，1x ＞1，
即f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ，x ＞1，
0，x ＝1，
－x ，0＜x ＜1，
故f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＝－f (x )，满足．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]
2．(2015·山东高考改编)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
3x －1，x <1，
2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的
a 的取值范围是________．
⎣⎢⎡⎭⎪⎫
23，＋∞ [由f (f (a ))＝2f (a )，得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，
∴2
3≤a <1.
当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥2
3.]
3．根据如图2-1-1所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．
图2-1-1
[解] 当－3≤x ＜－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －7
2；3分
当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)， 将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －1
2；6分 当1≤x ＜2时，f (x )＝1.10分
所以f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－32x －7
2，－3≤x ＜－1，
32x －1
2，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.
12分。