高一数学培优拔高讲义第一讲
高一数学培优教材
1 = 0 的实根. 2
例 2.设集合 A = −4,3a, a 2 ，且 9 ∈ A ，求实数 a 的值．
{
}
例 3.集合的表示方法 （1）用列举法表示集合 A = x x 2 + 3 x = 4 ； （2）用列举法表示集合 B = y y = 4 − x , x、y ∈ N ；
2
{
}
{
}
（3）用列举法表示集合 C = ( x, y ) y = 4 − x , x、y ∈ N ；
1 不一定属于集合 G . x
3
【课堂练习】
1.下列各组对象不能形成集合的是（ A．高一全体女生 C．高中所有课程 2.下列表述中正确的是( A. {0} = ∅ ) C. {∅} = ∅ D. 0 ∉ N ） B．高三（1）班家长全体 D．高一（1）班中个子较高的学生
B. {1,3} = {3,1}
2
{
}
（4）用列举法表示集合 D = x
6 ∈ Z, x ∈ N ； 3− x
（5）用描述法表示 100 内被 3 除余 2 的正整数所组成的集合 P ； （6）平面直角坐标系内在 x 轴上方的点组成的集合.
1
例 4. 已知集合 A = x ax + 2 x + 1 = 0, a ∈ R, x ∈ R ．
Q = {1,2,6} ，则 P + Q 中元素的个数是
8.化简： x x =
．
m , m ∈ Z , m < 2, n ∈ N * , n ≤ 3 = n
a , b , Q = 0, a + b, b 2 ，且 P = Q ，则 a 2011 + b 2011 = b
高一年段数学培优教材第一讲二次函数
高一年段数学培优教材第一讲 二次函数一、基础知识：1． 二次函数的解析式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ （2）顶点式：2()()f x a x h k =-+，顶点为(,)h k （3）两根式：12()()()f x a x x x x =-- 2．二次函数的图像和性质（1）2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，对称轴方程为2bx a=-，开口与a 有关。
（2）单调性：当0a >时，()f x 在(,]2b a -∞-上为减函数，在[,)2ba-+∞上为增函数；0a <时相反。
（3）奇偶性：当0b =时，()f x 为偶函数。
延伸：若()()f a x f a x +=-对x R ∈恒成立，则x a =为()f x 的对称轴。
（4）最值：当x R ∈时，()f x 的最值为244ac b a -，当[,],[,]2b x m n m n a ∈-∈时，()f x 的最值可从(),(),()2b f m f n f a -中选取；当[,],[,]2bx m n m n a∈-∉时，()f x 的最值可从(),()f m f n 中选取。
常依对称轴与区间[,]m n 的位置分类讨论。
3．三个二次之间的关联及根的分布理论：二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。
二、综合应用：例1：已知二次函数()f x 的图像经过三点(1,6),(1,0),(2.5,0)A B C --，求()f x 的解析式。
例2：设2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件：（1）当x R ∈时，(4)(2)()f x f x f x x -=-≥且，（2）当21(0,2),()2x x f x +⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭时， （3）()f x 在R 上的最小值为0。
高一数学辅导课 第一课
(3)空集只有一个子集,即它自身;
(4)对于集合A,B,C,由A⊆B,B⊆C可得 A⊆C ;
(5)对于集合A,B,C,由A⫋B,B⫋C可得 A⫋C .
名师点析 1.∈与⊆、a与{a}、{0}与⌀的区别
(1)∈与⊆的区别:∈表示元素与集合之间的关系,因此,有
(3)左、右端点值a,b都能取到的叫闭区间;左、右端点值a,b有一端能取到,
另一端不能取到的叫半开半闭区间;左、右端点值a,b都不能取到的叫开区
间.
(4)几何表示时,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括
在区间内的端点.
微思考
(1)如图,如何把满足数轴上的数的集合表示出来?
提示 A={x|-3<x≤2}
有一个为空集,也可能这两个集合都是非空的,
如:A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10},此时A∩B=⌀.
名师点析 1.对交集概念的理解
(1)对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,包含以下两层意思:①A∩B中的任一元素都是A
与B的公共元素;②A与B的公共元素都属于A∩B,这就是文字定义中“所有”二字
C.4
)
D.3
答案 A
解析 (方法一)列举法:满足条件{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A有
{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共8个.
(方法二)计数法:因为集合A满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},所以,集合A一定含有
不属于A
名师点析
概念
概念上的区别
符号上的区别
人教版高中数学高一培优讲义第1讲集合
第1讲集合理清双基1、集合的有关概念（1）、集合的含义与表示：研究对象的全体称为集合。
对象为集合的元素。
通常用大写字母A 、B 、C 、D 表示。
元素与集合的关系∈与∉（2）、集合元素的特征（三要素）：①确定性：②互异性：③无序性：【例】1.设R b a ∈,，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则=-a b ________.（3）、集合的分类：①有限集②无限集③空集：∅（4）、集合的表示方法:①自然语言②列举法③描述法④venne 法【例】2.分析下列集合间的关系}1{2+==x y y A }1{2+==x y x B }1),{(2+==x y y x C }1{2+==x t t D 3.集合}{抛物线=A }{直线=B ，则B A 的元素个数下列说法正确的是（）一个（B ）二个（C ）一个、二个或没有（D ）以上都不正确变式：集合})0(),{(2≠++==a c bx ax y y x A })0(|),{(≠+==k b kx y y x B ，则B A 的元素个数为（）说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
2.集合间的关系（1）子集：（2）相等关系：（3）真子集：说明：任何一个集合是它本身的子集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
【例】4.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则M 与N 的关系正确的是（）A.NM = B.NM ≠⊂ C.NM ≠⊃ D.以上都不对5.已知集合}.121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A 。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围是()A ．43≤≤-m B ．43<<-m C ．42≤<m D ．4≤m 3.集合的基本运算（1）交集（2）并集（3）补集全集【例】6.已知集合}1{2+==x y y M ，}9{2x y x N -==，则=N M ________4、集合运算中常用结论（1）等价关系B A A B A ⊆⇔= AB A B A ⊆⇔=【例】7.已知集合}{},1{a x x B x x A ≥=≤=，且R B A = ，则实数a 的取值范围为____（2）反演律（德摩根定律）)()()(B C A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U =【例】8.设全集}5,4,3,2,1{=U ，集合S 与T 都是U 的子集，满足}2{=T S ，}4{)(=T S C U ，}5,1{)()(=T C S C U U 则有()A ．TS ∈∈3,3B ．TC S U ∈∈3,3C ．TS C U ∈∈3,3D ．TC S C U U ∈∈3,39.由)(+∈N n n 个元素组成的集合A 的子集个数：A 的子集有n2个，非空子集有)12(-n 个，真子集有)12(-n 个，非空真子集有)22(-n 个【考点分析】考点一集合的基本概念【例1】1.已知集合},,|),{(},5,4,3,2,1{A y x A y A x y x B A ∈+∈∈==则B 中所含元素的个数为()A ．3B ．6C ．8D ．102.集合A 是由形如()Z n Z m n m ∈∈+,3的数构成的，判断321-是不是集合A 中的元素.3.数集A 满足条件：若A a ∈，则)1(11≠∈-+a A a a ．若A ∈31，求集合中的其他元素.4.已知},,2|{R k N x k x x P ∈∈<<=，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________.5.已知集合}023|{2=+-=x ax x A .（1）若A 是单元素集合，求集合A ；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．►归纳提升解答集合的概念问题应关注两点(1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性。
高中数学培优讲义 第一讲 集合
提示：未知数很多，乍看之下有些无从下手。首先应当注意所有的未知元素都是自然数，这一点十分重要。其次我们可以看到有许多条件都是围绕a1和a4的。因此我们可以先考虑求出a1和a4.仔细观察分析，可知B集合中的元素都是完全平方数。从这一点出发即可得出a1和a4.接下来从A∪B的元素和为224能列出怎样的等式呢？还有3个未知数，怎样讨论为好？都是需要大家去分析和考虑的问题。
例七称{1,2,3,….,9}的某非空子集为奇子集；如果其中所有数之和为奇数，则共有几个奇子集？
提示：此题是13年北大保送生考试题。如果想简便的解决它，需要一点“对应”的思想。在很多和计数有关的问题中，这是一种很重要的想法。具体到这道题，大家不妨去考虑一下，所谓的奇子集和非奇子集之间，是否存在某些联系。
提示：题目要求比较的“琐碎”，直接去做似乎较为麻烦，容易顾此失彼。这时候运用韦恩图比较合适。在图中画出各个集合，然后根据题中要求把每个元素填进相应的区域中即可。
例四(1)已知A = { x | x=2n+1,n∈Z },B = { y | y=4m±1，m∈Z } 求证：A=B
（2）已知A={ x | x=14m+36n，m，n∈Z}，B={ x | x=2k，k∈Z}，求证：A=B
第一讲 集合
集合是一个很重要的概念。在我们高中数学课内的知识中，有关集合的内容是比较简单的。但实际上，朴素的概念里也能蕴涵深刻的问题。围绕集合是有许许多多富有挑战性的问题的。这类问题的常常有这样的特点：需要的知识很少，但是却不容易找到思路解决。这种集合题在高考中极为少见，但却是自主招生和竞赛的常客，属于组合方面的内容。
高一数学培优拔高讲义第一讲
精心整理【知识方法导航】1.元素与集合：集合的含义；元素的特征；集合的表示方法；常见数集的表示；元素与集合的关系；集合的分类。
2.集合的基本关系和基本运算：子集；集合相等；真子集；交集与并集；全集与补集。
3.集合的性质：子集性质；交集性质；并集性质；补集性质；有限子集的相关性质。
4.简单的不等式：一元一次不等式；简单的绝对值不等式；简单的一元二次不等式；5.1.变式：2.集合变式：3.集合.A 6.B 7变式：{0,1,2,3,4}{0,2,4,8}2.若5,,x N =∈ .C ６3.若4.已知全集{|8}U x N x +=∈≤，{2,8},{1,2,3,4,5,6,7,8}A B A B ==，则A =。
变式：已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，集合{|33}B x x =-<≤,求①、A ，②、A B ，③、A B ，④、A B ，⑤、A B 。
5.若2{1,2}{1,3,}a a +⊆-，则a =。
变式：1.已知集合}045|{2≤+-=x x x P ,}02)2(|{2≤++-=b x b x x Q 且有Q P ⊇，求实数b 的取值范围。
2.已知集合},8,2{a A =,}43,2{2+-=a a B ,又B A ⊇，求实数a 的值。
3.已知集合}132|{2+-==x x y x A ,}32|{2--==x x y y B ,则B A =。
4.已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若A B =∅，则实数a 的取值范围是。
6.已知集合}43|{≤≤-=x x A ，}112|{+≤≤-=m x m x B ,当A B A = 时，求出m 之取值范围。
合。
1.全集A B =（）2.A B =（）3.，若A B ⊆，则实数,a b4.6.1k x k <<+B ≠∅，则是（）7.{0,1,2,4,16}A B =的值为（）8.20112011a -=9.{3}B =，则实数10.}x n ≤≤，且b a -的长度，那么集合M N 的长度的最小值是。
高一数学第一章第一节讲义
1.1.1 集 合【本课重点】元素的特性和集合的表示方法【预习导引】1、 下列各组对象能组成集合的是 （ ）A. 著名影星B. 我国的小河流C.淮阴中学2007级高一学生D. 高中数学的难题 2、 下列叙述错误的是 （ ）A. }02|{2=-x x 表示方程022=-x 的解集B. {1∉小于10 的质数}C. 所有正偶数组成的集合表示为},2|{N n n x x ∈=D. 集合},,{c b a 与集合},,{b c a 表示相同的集合3、 已知A=}2,{x x -是含两个元素的集合，则x 的取值集合用描述法表示为4、 下列各集合：①},01|{2R x x x ∈=+；②},15|{Z x x x ∈<-；③⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈Q x N x x,2;④},,0|),{(22R y R x y x y x ∈∈=+中，空集为 ；有限集为 ；无限集为 .【三基探讨】 【典例练讲】1、 已知},3,1{2x x ∈，试用适当的方法表示x 的集合.2、 用符号“∈”或“∉”填空（1）3.14 Q ；；0 N（2）32 }11|{<x x ； 5 },1|{2N n n x x ∈+=（3）)1,1(- }|),{(2x y y x =； )1,1(- }|{2x y y =（4）0 {0}；0 φ；φ }{φ3、用描述法表示下列集合（1）偶数的集合 （2）不等式2x-3>5的解的集合 （3）以点A 为圆心，半径为3的圆4、（备选题）（1）用列举法表示集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈-N x N x x ,36（2）已知},12|{},,2|{Z n n x x B Z n n x x A ∈+==∈==，},14|{Z n n x x C ∈+==，若B b A a ∈∈,，试分别指出b a +与集合A 、B 、C 的关系。
【随堂反馈】1、 用描述法表示下列集合（1）奇数集； （2）2、 用列举法表示集合},,2|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ 2 4 6 8 10【课后检测】1、 下列各组对象中不能组成集合的是（）A. 直角三角形的全体B. 所有的无理数C. 方程2x-1=0的整数解D. 我班个子较高的同学 2、 下列叙述正确的是（ ）A. 集合},3|{N x x x ∈<中只有两个元素B. }1{}012|{2==+-x x xC. 整数集可表示为}{ZD. 有理数集表示为{x x |为有理数集}3、 方程组⎩⎨⎧-=-=+11y x y x 的解集是（ ）A. {0,1}B. (0,1)C. {(x,y)|x=0,或y=1}D. {(0,1)}4、 不等式052<-x 的正整数解的集合用描述法表示为，用列举法表示为 . 5、 抛物线12-=x y 上的所有点组成的集合A 可表示为；0 A ；(0,1-) A （填“∈”或“∉”）. 6、 已知-3是集合}4,12,3{2---a a a 的一个元素，求实数a 的值。
高一数学培优班讲义
高一数学《必修一》《必修二》培优班讲义专题一、三个二次（一元二次方程、二次函数、一元二次不等式） 一元二次不等式及其解法设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 判别式ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 两根之外 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<两个之间∅ ∅ 1、解下列关于x 的不等式（1）062>--x x ； （2）01442>+-x x ； （3）0322>++-x x（4）0942>+-x x （5）10732≤-x x （6）0322>-+-x x2、求函数)23(log 2)(23x x x x f -++-=的定义域.3、若0＜a ＜1，则不等式()1)0(x a x a --＜的解是______.4、已知不等式220ax bx ++>的解集为11 23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +的值为______.5、方程2(21)0mx m x m +++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______.6、不等式20x mx n ++≤的解集是{}|23x x -≤≤，则m = __，n = __.7、函数的定义域为22--=x x x f )(______________8、对于任意实数x ，一元二次不等式()()2()21140m x m x m -+++-＞恒成立，则实数m 的取值范围是____ __9、函数()f x =R ，则a 的取值范围是_________10、若不等式组222304(1)0x x x x a ⎧--≤⎪⎨+-+≤⎪⎩的解集不是空集，则实数a 的取值范围是11、已知一元二次不等式()0f x ≤的解集为132x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或，则()0x f e >的解集为12、关于x 的一元二次不等式25005x x a ->-的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a 等于13、解关于x 的不等式223()0x a a x a -++>14、已知关于x 的不等式20x bx a c ++<的解集是122x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，求关于x 的不等式20x bx a c +>-的解集.15、若不等式2234133kx kx x x -+>-+的解集为R ，求k 的取值范围.16、已知不等式20ax bx c ++>的解集为{},x x αβ<<其中0βα>>，求不等式20cx bx a ++<的解集.17、要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值，至少满足不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，求实数a 的取值范围.18、已知不等式212x px x p ++>+.（1）如果不等式当2p ≤时恒成立，求x 的取值范围；（2）如果不等式当24x ≤≤时恒成立，求p 的取值范围。
高一数学 初升高衔接班 第一讲 思法前言-高中数学学习方法讲义
初升高数学衔接讲义高中是人生旅途中一段非常艰辛的历程，高中是人生发展的定向期，三年后的一次高考将把苦读十多年书而且刚刚成人的学生分成若干批次（清华与北大；一本；二本；三本…），亲爱的同学：你准备好了吗？刚进入高中的时候，同学们都很激动，憧憬着美好的高中生活。
可现实却往往不尽人意，很多同学（包括初中数学一些佼佼者）在高一的期中考试中，数学分数惨不忍睹。
究其原因：第一.初中和高中的数学教学体系和知识脱节较为严重；第二.知识内容跳跃较大，课程难度陡然上升；第三.课堂模式差异较大、学生的心理难以跟进.使得初中毕业生刚进入高中时不能适应新的教学内容和教学要求，学生上课听不懂，成绩下降，进而影响到他们对学习的兴趣，也损害了他们的自信心，使成绩加速下滑.因此，在暑假期间参加初升高的衔接学习是很有必要的！编写本讲义的目的在于：1.使初中毕业学生了解高中数学的特点，掌握高中数学的学习方法，提前适应高中数学的教学内容和教学要求；2.帮助学生超前学习高中数学必修1的集合与函数，为学好高中数学作必要的准备。
本讲义按照如下线索展开内容：学习目标——知识梳理——典例精析——过关精练.本讲义可供高一新生在课程起始阶段使用，也可供学生在高一上期的学习过程中使用，更可作为暑假期间初中毕业生的辅导用书以及高一教师的衔接辅导教材。
第一讲思法前言——高中数学学习方法学数学，磨脑壳！要学好，靠拼搏！有思法，苦也乐！一【学习目标】1.了解数学的重要性；2.了解数学成绩下滑的原因；3.掌握高中数学的学习方法。
二【知识梳理】（一）影响高中数学学习质量的因素1.时间紧，任务重，压力大：高中数学课程分为必修和选修。
必修课程由5个模块（5本书）构成；选修课程有4个系列，其中系列1（文科必选，2本书）由2个模块组成；系列2（理科必选，3本书）由3个模块构成；系列3（由6个专题组成，一般不作为高考内容）；系列4（有选择的作为理科高考内容）由10个专题组成。
高中数学必修一培优精品讲义
学科教师辅导讲义学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲---集合授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解集合的含义、元素与集合的属于关系；②理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；③理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；④理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；⑤能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识概念（一）元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．（二）集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集体系搭建（三）集合间的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B } A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }（四）集合的运算性质并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ．交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ．补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A ．考点一：集合的含义与表示例1、设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6例2、设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba ，b ，则b －a ＝________.例3、现有三个实数的集合，既可以表示为{,,1}b a a，也可以表示为2{,,0}a a b +，则20142014a b +=________例4、设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈.给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则202m -≤≤.其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3典例分析考点二：集合间的基本关系例1、已知集合A ＝{x|y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A∩B＝∅ C ．A ⊆B D ．B ⊆A例2、若{1},{1}P x x Q x x =<>-，则（ ）A. P Q ⊆B. Q P ⊆C. Q P C R ⊆D. P C Q R ⊆考点三：集合的运算例1、角度1 50名同学参加跳远和铅球测验，测验成绩及格的分别为40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是 （ ）A ．35B ．25C ．28D ．15例2、若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ）A. MN B. MN C. )()(N C M C U U ⋃ D. )()(N C M C U U ⋂例3、已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁UB)等于( ) A ．{2,5} B ．{3,6} C ．{2,5,6} D ．{2,3,5,6,8}考点四：补集思想的应用例1、已知集合2{|20},{|49},A x x x a B x a x a =++≤=≤≤-若,A B 中至少有一个不是空集，则a 的取值范围是__________考点五：集合创新问题的探究例1、设数集31{|},{|},43M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤且,M N 都是集合{|01}Q x x =≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{|}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的“长度”的最小值是（ ）A ．13B ．23 C ．112 D ．512考点六：忽视空集例1、设{|26},{|23},A x x B x a x a =≤≤=≤≤+若B A ⊆，则实数a 的取值范围是_________ 易失分提示：由B A ⊆可知，有B =∅和B ≠∅两种情况，容易忽略空集的情况.考点七：忽视集合中元素的三特性 例1、设数集2{1,3,},{,1},A x B x ==且{1,3,}AB x =，则x 的不同取值的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x ﹣2，x ∈A}，则A∩B=（ ） A ．{1} B ．{4} C ．{1，3} D ．{1，4}实战演练2、已知集合P={n|n=2k ﹣1，k ∈N +，k ≤50}，Q={2，3，5}，则集合T={xy|x ∈P ，y ∈Q}中元素的个数为（ ） A ．147 B ．140 C ．130 D ．1173、已知全集U=R ，A=，B={x|lnx ＜0}，则A∪B=（ ）A ．{x|﹣1≤x ≤2}B ．{x|﹣1≤x ＜2}C ．{x|x ＜﹣1或x ≥2}D ．{x|0＜x ＜2} 4、若集合，B={1，m}，若A ⊆B ，则m 的值为（ ）A ．2B ．﹣1C ．﹣1或2D ．2或5、已知集合A={1，2}，B={x|ax ﹣1=0}，若A∩B=B，则实数a 的取值个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36、已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁UA ＝________.7、已知有限集A={a 1，a 2，a 3…，a n }（n ≥2）．如果A 中元素a i （i=1，2，3，…，n ）满足a 1a 2…a n =a 1+a 2+…+a n ，就称A 为“复活集”，给出下列结论： ①集合{，}是“复活集”；②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2＞4； ③若a 1，a 2∈N *则{a 1，a 2}不可能是“复活集”； ④若a i ∈N *，则“复合集”A 有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是 ．（填上你认为所有正确的结论序号）➢ 课后反击1、已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52、已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x ﹣1，x ∈A}，则A∩B=（ ） A ．{1，3} B ．{1，2}C ．{2，3}D ．{1，2，3}3、设集合P={x|0≤x ≤}，m=，则下列关系中正确的是（ ）A ．m ⊆PB ．m ⊈PC ．m ∈PD ．m ∉P4、设集合A ＝{x|21－x >1，x ∈R}，B ＝{x|y ＝1－x2}，则(∁RA)∩B 等于( )A ．{x|－1≤x≤1}B ．{x|－1<x<1}C ．{－1,1}D ．{1}5、用C （A ）表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B=，若A={x|x 2﹣ax﹣2=0，a ∈R}，B={x||x 2+bx+2|=2，b ∈R}，且A*B=2，则b 的取值范围（ ） A ．b ≥2或b ≤﹣2B ．b ＞2或b ＜﹣2C ．b ≥4或b ≤﹣4D ．b ＞4或b ＜﹣46、已知集合A ＝{x|1≤x<5}，C ＝{x|－a<x≤a＋3}．若C∩A＝C ，则a 的取值范围是________．7、设M 是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件： （Ⅰ）对M 中任意元素a ，b ，c 都有（a#b ）#c=a#（b#c ）； （Ⅱ）对M 中任意两个元素a ，b ，满足a#b ∈M ． 则称M 对运算#封闭．下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为 ． ①{﹣2，﹣1，1，2} ②{1，﹣1，0} ③Z ④Q．集合新定义题解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．1、【2016高考新课标1理数】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则AB = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭战术指导直击高考2、【2016年高考四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则AZ 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63、【2016高考新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，，4、【2016高考浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R （ ）A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞5、【2015高考浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]S (Summary-Embedded)——归纳总结考点一：集合的含义与表示 考点二：集合间的基本关系 考点三：集合的运算 考点四：补集思想的应用 考点五：集合创新问题的探究 考点六：忽视空集考点七：忽视集合中元素的三特性重点回顾名师点拨集合题目的方法总结：一： (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．二：(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．三：一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．学霸经验➢本节课我学到了➢我需要努力的地方是学科教师辅导讲义学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲---函数的基本概念授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标了解构成函数的要素，会求函数的定义域和值域。
新培优高中数学必修一课件第一章全集与补集
补集定义及表示方法
补集定义
对于某一集合A，由全集中所有不属于A的元素组成的集合称为A的补集，记作 $complement_UA$（或$overline{A}$）。
表示方法
补集通常用特定的符号来表示，如上述的$complement_UA$或$overline{A}$ ，其中U表示全集，A表示原集合。
集合的元素。
表示方法
集合通常用大写字母表示，如A、 B、C等。元素通常用小写字母表 示，如a、b、c等。集合的元素可 以列举出来，放在一对大括号{}内 。
举例
如A = {1, 2, 3}，表示集合A由元素 1、2、3组成。
元素与集合关系判断
01
02
03
属于关系
如果元素a是集合A的元素 ，就说a属于A，记作a ∈ A。
表示方法
全集通常用符号$U$来表示。
全集性质探讨
唯一性
在一个特定的讨论范围内，全集是唯 一的。
包含性
边界性
全集没有明确的“边界”或“外部” ，因为它包含了所有可能的元素。
全集包含该范围内所有研究的集合。
示例分析与解题技巧
示例分析
通过具体例子展示如何确定一个 讨论范围内的全集，并解释全集 与子集之间的关系。
练习题与答案解析
练习题
提供一些针对补集概念和运算规则的练习题，以帮助学生巩固所学知识。
答案解析
对练习题进行详细的答案解析，包括解题思路、步骤和最终答案等，以便学生自我检查和纠正错误。
04
交集、并集和差集运算
交集、并集定义及表示方法
交集定义
两个集合A和B的交集是由所有既属于A又属 于B的元素所组成的集合，记作A∩B。
高中数学专项培优1课件新人教A版必修第一册
(2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在
限定集合M中，能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．否则，这一存在量
词命题为假．
(3)已知含量词的命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义
的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，合理选取主元，确定解题思
(－5，1)
________．
解析：由题意及x∈B是x∈A成立的一个充分而不必要条件，得B ⊊ A，
−2 < 3 + m
即ቊ
解得，－5<m<1.
3+m<4
考点五 全称量词命题与存在量词命题
1．解题策略：
(1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对
限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证
角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等
腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；一元二次方程有实根则Δ≥0，反之亦然，
故C正确；当集合A＝B时，应为充要条件，故D不正确．
(3)已知集合A＝{x|－2<x<4}，非空集合B＝{x|－2<x<3＋m}，若
x∈B是x∈A成立 的一个充分不必要条件 ，则实数m的取值范围是
专项培优 1
章末复习课
知识网络 · 形成体系
考点聚焦 · 分类突破
考点一 集合的基本概念
1．与集合中的元素有关问题的求解策略：
(1)确定集合中元素具有的属性，即是数集还是点集．
(2)看元素是否具有相应的限制条件．
(3)根据限制条件确定参数的值或元素的个数时，注意对元素互异性
高一数学培优拔高讲义第一讲
高一数学同步辅导 培优拔高讲义 第一讲 集合【知识方法导航】1.元素与集合：集合的含义；元素的特征；集合的表示方法；常见数集的表示；元素与集合的关系；集合的分类。
2.集合的基本关系和基本运算：子集、真子集、集合相等；空集的概念与性质；交集与并集、全集与补集。
3.集合的性质：子集性质；交集性质、并集性质、补集性质；有限子集的相关性质。
4.简单的不等式：一元一次不等式；简单的绝对值不等式；简单的一元二次不等式；简单的分式不等式5.一元二次方程：根与系数关系；配方法；简单的二次方程根的分布。
【题型策略导航】1.若集合2{|210}A x ax x =++=是单元素集合，则a = 。
变式：已知集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈中至多一个元素，则a 的取值集合是 。
2.集合6{|}6A x N N x =∈∈=- ; 变式：8{|}6A x Z Z x=∈∈=- 3.集合2{|6,}A y N y x x N =∈=-+∈的非空真子集的个数是________________变式：1.若集合{(,)|25,,}A x y x y x N y N =+=∈∈,则A 的非空真子集的个数为__________2.若{2,4,10}{2,4,6,8,10,12}M ⊆⊆，则集合M 的个数为 。
4.已知全集{|8}U x N x +=∈≤，(){2,8},()(){1,2,3,4,5,6,7,8}U U U A C B C A C B ==，则A = 。
变式：已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，集合{|33}B x x =-<≤,求()U C A B =_________5. 已知集合},8,2{a A =,}43,2{2+-=a a B ,又B A ⊇，求实数a 的值。
变式：1.已知集合}045|{2≤+-=x x x P ,}02)2(|{2≤++-=b x b x x Q 且有Q P ⊇，求实数b 取值范围。
高中数学培优专题讲座之一
高中数学培优专题讲座之一：数列通项公式的求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。
点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
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高一数学同步辅导 培优拔高讲义 第一讲 集合【知识方法导航】1.元素与集合：集合的含义；元素的特征；集合的表示方法；常见数集的表示；元素与集合的关系；集合的分类。
2.集合的基本关系和基本运算：子集、真子集、集合相等；空集的概念与性质；交集与并集、全集与补集。
3.集合的性质：子集性质；交集性质、并集性质、补集性质；有限子集的相关性质。
4.简单的不等式：一元一次不等式；简单的绝对值不等式；简单的一元二次不等式；简单的分式不等式5.一元二次方程：根与系数关系；配方法；简单的二次方程根的分布。
【题型策略导航】1.若集合2{|210}A x ax x =++=是单元素集合，则a = 。
变式：已知集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈中至多一个元素，则a 的取值集合是 。
2.集合6{|}6A x N N x =∈∈=- ; 变式：8{|}6A x Z Z x=∈∈=- 3.集合2{|6,}A y N y x x N =∈=-+∈的非空真子集的个数是________________变式：1.若集合{(,)|25,,}A x y x y x N y N =+=∈∈,则A 的非空真子集的个数为__________ 2.若{2,4,10}{2,4,6,8,10,12}M ⊆⊆，则集合M 的个数为 。
4.已知全集{|8}U x N x +=∈≤，(){2,8},()(){1,2,3,4,5,6,7,8} U U U A C B C A C B ==，则A = 。
变式：已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，集合{|33}B x x =-<≤,求() U C A B =_________5. 已知集合},8,2{a A =,}43,2{2+-=a a B ,又B A ⊇，求实数a 的值。
变式：1.已知集合}045|{2≤+-=x x x P ,}02)2(|{2≤++-=b x b x x Q 且有Q P ⊇，求实数b 取值范围。
2.已知集合}132|{2+-==x x y x A ,}32|{2--==x x y y B ,则B A = 。
3.已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是 。
6.已知集合}43|{≤≤-=x x A ，}112|{+≤≤-=m x m x B ,当A B A = 时，求出m 之取值范围。
变式：1.已知集合}082|{2=--=x x x A ,2{|40}B x x ax =++=，且A B B ≠ ，求实数a 的取值集合。
2.已知A={023|2≥++x x x }, B={014|2>-+-m x mx x }, 若A ∩B=φ, 且A ∪B=A, 求m 取值范围. 3.已知集合2{|4260}A x x ax a =-++=，{|0}B x x =<，且 A B ≠∅，求实数a 的取值范围。
高一数学同步辅导培优拔高讲义 第一讲 集合 【综合测评导航】一、选择题 1.全集U R =，{||1|2}A x x =->，2{|680}B x x x =-+<，则() U C A B =（ ）.[1,4]A - .]B （2,3 .[2,3]C .(1,4)D - 2.集合{|||1}A x x =<，2{|,}B y y x x R ==∈，则A B = （ ）.{|11}A x x -≤≤ .{|0}B x x ≥ .{|01}C x x ≤≤ .D ∅ 3.设集合{|||1}A x x a =-<，{|||2}B x x b =-≤，若()U A C B ⊆，则实数,a b 必满足（ ） .||3A a b +≤ .||3B a b +≥ .||3C a b -≤ .||3D a b -≥ 4. 满足{1，2，3} ⊆M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数（ ）.5A 个 .6B 个 .7C 个 .8D 个6.全集U R =，集合{|13}A x x x =≤≥或，{|1}B x k x k =<<+，且() U C A B ≠∅，则k 的取值范围是（ ）.03A k k <>或 .23B k << .03C k << .13D k -<<7. 如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） （A ）（M S P ⋂⋂) （B ）（M S P ⋃⋂)（C ）（M ⋂P ）⋂（C U S ） （D ）（M ⋂P ）⋃（C U S ） 3.若{2,4,10}{2,4,6,8,10,12}M ⊆⊆，则集合M 的个数为 。
4.已知全集{|8}U x N x +=∈≤，(){2,8},()(){1,2,3,4,5,6,7,8} U U U A C B C A C B ==，则A = 。
变式：已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，集合{|33}B x x =-<≤,求() U C A B =_________5.若2{1,2}{1,3,}a a +⊆-，则a = 。
变式：1.已知集合}045|{2≤+-=x x x P ,}02)2(|{2≤++-=b x b x x Q 且有Q P ⊇，求实数b 的取值范围。
2.已知集合},8,2{a A =,}43,2{2+-=a a B ,又B A ⊇，求实数a 的值。
3.已知集合}132|{2+-==x x y x A ,}32|{2--==x x y y B ,则B A = 。
4.已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是 。
6.已知集合}43|{≤≤-=x x A ，}112|{+≤≤-=m x m x B ,当A B A = 时，求出m 之取值范围。
变式：已知集合}082|{2=--=x x x A ,2{|40}B x x a x =++=，且A B B ≠ ，求实数a 的取值集合。
二、填空题8. 设集合U ={(x ，y )|y =3x －1}，A ={(x ，y )|12--x y =3}，则C U A = . 9.判断111{|,},{|,},{|,}62623k k A x x k k Z B x x k Z C x x k Z ==+∈==+∈==-∈间关系为 。
10.集合3{|}4M x m x m =≤≤+，1{|}3N x n x n =-≤≤，且,M N 都是{|01}x x ≤≤子集，如果把b a -叫做集合{|}x a x b ≤≤的长度，那么集合M N 的长度的最小值是 。
11.设{|3}A x x a =-≤≤，{|310,}B y y x x A ==+∈，{|5,}C z z x x A ==-∈，且B C C = ，则实数a 的取值范围是 。
三、解答题12.已知集合{|||2}A x x a =-<，21{|1}2x B x x -=<+，若A B B = ，求实数a 的取值范围。
13. .已知集合2{|(2)10}A x x p x =+++=，{|0}B x x =>，且A B =∅ ，求实数p 的取值范围。
14.已知24430x ax a +-+=，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=三个方程中至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围。
15.全集U R =，集合2{|290}A x x x a =-+<，22{|430,680}B x x x x x =-+<-+<且，且()()U U C A C B ⊆， 求实数a 的取值范围。
高一数学同步辅导 培优拔高讲义 第一讲 集合【反思感悟导航】1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。
（2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，若(,)()23U P A C B ∈ ，则,m n 的取值范围分别是________； （3）非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个2.遇到A B =∅ 时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B ⊆时，你是否忘记∅=A 的 情形？ 要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B = ，则实数a ＝______.又如集合}43|{≤≤-=x x A ，}112|{+≤≤-=m x m x B ,当A B A = 时，求出m 之取值范围。
3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n.22-n如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。
4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =⇔⊆ ； ⑵A B B B A =⇔⊆ ；⑶A B ⊆⇔U U C A C B ⊇； ⑷U U A C B C A B =∅⇔⊆ ； ⑸()U C A B U A B =⇔⊆ ； ⑹()()()U U U C A B C A C B = ；⑺()()()U U U C A B C A C B =如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，(){}4U C A B = ，()(){,}15U U C A C B = ，则A ＝___ ，B ＝__ .5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。
如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N = ___6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，特别注意空集是不能用韦恩图或数轴画出来的！！！ 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。