2018年上海市高考数学模拟试卷(三)(J)

合集下载

2018年上海市5月高考数学模练习(三)(word版)

2018年上海市5月高考数学模练习（三）一、填空题.1.向量(3,4)a =在向量(1,1)b =-方向上的投影为 .2.已知正数a b 、满足2a b +=，则行列式11 111 1ab++的最小值为 .3.阅读下边的程序框图，如果输出的函数值y 在区间1[,1]4，内，则输入的实数x 的取值范围是.4.设αβ、是一元二次方程220x x m -+=的两个虚根，若||4αβ=，则实数m = . 5.集合1{|0}1x A x x -<+，{|||}B x x b a =-<，若“1a =”是“A B ≠∅”的充分条件，则实数b 取值范围是 .6.已知椭圆的焦点在x 轴上，一个质点为(0,1)A -，其右焦点到直线220x y -+=的距离为3，则椭圆的方程为_ .7.在ABC ∆中， A B C 、、所对边分别为a b c 、、，若tan 210tan A cB b++=，则A = . 8.已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ，若121n n S S +=+，则n a = .9.某地球仪上北纬30纬线长度为12cm π，该地球仪的表面上北纬30东经30对应点A 与北纬30东经90对应点B 之间的球面距离为 cm (精确到0.01)10.已知直线(2)y k x =+与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点， F 为抛物线C 的焦点，若||2||FA FB =，则实数k = .11.将()22xxaf x =-的图像向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数()y g x =的图像向下平移2个单位后得曲线2C ， 1C 与2C 关于x 轴对称，若()()()f x F x g x a=+的最小值为m ，且27m >+，则实数a 的取值范围为 .12.已知“a b c d e f 、、、、、”为“123456、、、、、”的一个全排列，设x 是实数，若“()()0x a x b --<”可推出“()()0x c x d --<或()()0x e x f --<”则满足条件的排列“a b c d e f 、、、、、”共有个二、选择题.13.函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是( ) A ．22(13)y x x =-≤≤ B ．22(3)y x x =->C ．22(13)y x x =--≤≤D ．22(3)y x x =-->14.直线l 的法向量是(,)n a b =，若0ab <，则直线l 的倾斜角为( ) A ．arctan()b a - B ．arctan()a b - C ．arctana b π+ D ．arctan b aπ+ 15.已知A B C 、、是单位圆上三个互不相同的点，若||||AB AC =，则AB AC ⋅的最小值是( ) A ．0B ．14-C ．12-D ．34-16.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，则对正整数m ，下列四个结论中: (1) 232m m m m m S S S S S --、、成等差数列，也可能成等比数列； (2) 232m m m m m S S S S S --、、成等差数列，但不可能成等比数列； (3) 23m m m S S S 、、可能成等比数列，但不可能成等差数列； (4) 23m m m S S S 、、不可能成等比数列，也不叫能成等差数列. 正确的是( ) A.(1)(3)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)三、解答题.17.在直三棱柱111ABC A B C -中， 90ABC ∠=，1AB BC ==，12BB =.求:(1)异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； (2)直线11B C 到平面1A BC 的距离.18.已知2()1(42)f x g x b x =++，其中b 是常数. (1)若()y f x =是奇函数，求b 的值；(2)求证：()y f x =的图像上不存在两点A B 、，使得直线AB 平行于x 轴.19.如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设11AA H α∠=.(1)试用α表示11AA H ∆的面；(2)求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小.20.已知点12F F 、为双曲线2222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=，圆O 的方程是222x y b +=. (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为12P P 、，求12PP PP ⋅的值； (3)过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A B 、两点， AB 中点为M ，求证: ||2||AB OM =.21.等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中， 112a b ==，222a b b ==+，n S 是{}n b 前n 项和.(1)若 lim 3n n S b →∞=-，求实数b 的值；(2)是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中?若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；(3)是否存在正实数b ，使得数列{}n b 中至少有三项在数列{}n a 中，但{}n b 中的项不都在数列{}n a 中?若存在，求出一个可能的b 的值，若不存在，请说明理由.上海市2018届高考数学模拟练习试卷03答案一、填空题1. 22-2.33. [2,0]-4.45. (2,2)-6. 2213x y += 7. 23π8. 22 132 2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩9.6.2110. 223±11. 1(,2)212.224二、选择题13. D 14. B 15. C 16. D三、解答题17.解:(1)因为11B C BC ∥，所以1ACB ∠ (或其补角)是异直线11B C 与1AC 所成角. 因为BC AB ⊥，1BC BB ⊥，所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥.1Rt A BC 中，11tan 5A BACB BC∠==，所以1arctan 5ACB ∠= 所以异面直线11B C 与1AC 所成角的大小为arctan 5.(2)因为11B C ∥平面1A BC 所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离设1B 到平面1A BC 的距离为d ，因为111B A BCA BBC V V --=, 11133A BC S d ∆∴⨯=111B BC S A B ∆⨯，可得255d =,直线11B C 与平面1A BC 的距离为255. 18解:(1)解法一:设()y f x =定义域为D ，因为()y f x =是奇函数，所以对任意x D ∈, 有()()0f x f x +-=，1b =.此时，2()1(41)f x g x x =++，D R =，为奇函数. (2)设定义域内任意12x x <，设2()42h x x b x =++2121()()42h x h x x b x -=++222422x b x -+-=2212221222[44x x x b x b-+++12]x x +-122()x x =-1222122()(1)44x x x b x b+++++.当0b ≤时，总有120x x ≤≤，1222122()0144x x x b x b+∴<<+++,得12()()h x h x <；当0b >时，120x x -<，21142x b x +≥，22242x b x +≥， 1222122()1144x x x b x b+∴-<<+++，得12()()h x h x <，故总有()f x 在定义域上单调递增.()y f x ∴=的图像上不存在两点,使得所连的直线与x 轴平行.19、解:(1)设1AH 为x ,4sin tan x x x αα∴++=， 4sin sin cos 1x ααα=++，11212tan AA H x S α∆=⋅=28sin cos (sin cos 1)αααα++，(0,)2πα∈， (2)令sin cos (1,2]t αα=+∈,只需考虑11AA H S ∆取到最大值的情况,即为2224(1)84+1(1)t S t t -==-+，当2t =,即45α=时, 11AA H S ∆达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为64322-.20、解:(1)设2,F M 的坐标分别为2(1,0)b +,20(1,)b y +因为点M 在双曲线C 上,所以22021+1y b b-=,即20y b =±,所以22||MF b =在21Rt MF F ∆中, 1230MF F ∠=,22||MF b =,所以21||2MF b =由双曲线的定义可知: 212||||2MF MF b -==故双曲线C 的方程为: 2212y x -= (2)由条件可知:两条渐近线分别为1:20l x y -=；2:20l x y += 设双曲线C 上的点00(,)Q x y ,设两渐近线的夹角为θ, 则点Q 到两条渐近线的距离分别为001|2|||3x y PP -=，002|2|||3x y PP +=因为00(,)Q x y 在双曲线22:12y C x -=上,所以220022x y -=又1cos 3θ=所以0012|2|3x y PP PP -⋅=00|2|3x y +⋅2200|2|12cos 339x y θ-=⋅= (3)由题意,即证: OA OB ⊥,设1122(,),(,)A x y B x y ,切线l 的方程为: 002x x y y +=①当00y ≠时,切线l 的方程代入双曲线C 中,化简得:(222000(2)4y x x x x -+20(24)0y -+=所以01222004(2)x x x y x +=--，20122200(24)(2)y x x y x +=-- 又01021200(2)(2)x x x x y y y y --=⋅012201[42()x x x y =-+220012220082]2x x x x y x -+=- 所以1212OA OB x x y y ⋅=+220022220000(24)82(2)2y x y x y x +-=-+--2200220042()02x y y x -+==- ②当00y =时,易知上述结论也成立.所以12120OA OB x x y y ⋅=+= 综上, OA OB ⊥,所以||2||AB OM = 21.(1)等比数列{}n b ,公比2122b bq +==+.0||1q <<，40b ∴-<< 解方程231(1)2b b=--+，得4b =或1-.因为40b -<<,所以1b =-.(2)当b 取偶数*(2,)b k k N =∈时, {}n b 中所有项都是{}n a 中的项. 证:由题意: 12,b b 均在数列{}n a 中,当3n ≥时,122()22n n b b -+==1011(1)2(n n n k C k ---+=121n n C k --+++21111)n n n n C k C ----+0211122[(n n n k C k C ---=++3211)1]n n n kC ---+++-说明{}n b 的第n 项是{}n a 中的第021311n n n n C k C k ----++211n n C --++项.当b 取奇数*(21,)b k k N =+∈时,因为n b 不是整数,所以数列{}n b 的所有项都不在数列{}n a 中,综上,所有的符合题意的*2()b k k N =∈(3)由题意,因为12,b b 在{}n a 中,所以{}n b 中至少存在一项(3)m b m ≥在{}n a 中, 另一项()t b t m ≠不在{}n a 中,由m k b a =得12(1)2(1)2m bk b -+=+-,取4m =得32(1)2(1)2b k b +=+-,即2(2)4(2)b k +=-.取4k =,得222b =- (舍负值),此时43b a =,当222b =-时, 38b =,2(1)(222)n a n =+--,对任意3,n n a b ≠.b=-.(此问答案不唯一,请参照给分). 综上,取222。

【真题】2018年上海市高考数学试题含答案解析

【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
3.（2018•上海）在（1+x）7 的二项展开式中，x²项的系数为
。（结果用数值表示）
【答案】21
【解析】【解答】（1+x）7
中有
Tr+1=
C7r
xr
，故当
r=2
时，
C72
=
7
2
6
=21
【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。考点公式 a b n 第 r+1 项为 Tr+1= Cnranrbr 。
3
当|q|<1
时，
lim
n
1
qn 1
qn
q

(舍)
【分析】 Sn

a1 a1qn 1 q
（等比数列前
n
项和公式）
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
11.（2018•上海）已知常数
a
>0，函数
f
(x)
【试题地区】上海
【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
8.（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点 A（-1，0），B（2，0），E，F 是 y 轴上的两个动点，且

| EF |=2，则 AE · BF 的最小值为______
【答案】-3
【解析】【解答】设 E(0，y1)，F(0，y2)，又 A（-1，0），B（2，0），
y1

2018年上海市浦东新区建平中学高考数学三模试卷及解析〔精品解析版〕

A．
C． 16．（3 分）定义
命题：
B． D．，已知函数 f（x）、g（x）定义域都是 R，给出下列
第 2 页（共 15 页）
（1）若 f（x）、g（x）都是奇函数，则函数 F（f（x），g（x））为奇函数；
（2）若 f（x）、g（x）都是减函数，则函数 F（f（x），g（x））为减函数；
（3）若 fmin（x）＝m，gmin（x）＝n，则 Fmin（f（x），g（x））＝F（m，n）；（4）若 f（x）、g（x）都是周期函数，则函数 F（f（x），g（x））是周期函数．
（1）当
时，求 EF 的长；
（2）当步道围成的△AEF 面积 S 最小时，这样的设计既美观同时成本最少，求 S 的最小值？
20．已知椭圆
的左右焦点为 F1、F2，过 M（m，0）（M 不过椭圆的顶点和中心）
第 3 页（共 15 页）
且斜率为 k 直线 l 交椭圆于 P、Q 两点，与 y 轴交于点 N，且
18．已知函数 f（x）＝ax+k•bx，其中 k∈R，a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1．（1）若 ab＝1，试判断 f（x）的奇偶性；（2）若 a＝2，b＝，k＝16，证明 f（x）的图象是轴对称图形，并求出对称轴．
19．某城市为了丰富市民的休闲生活，现决定修建一块正方形区域的休闲广场 ABCD（如图），其中正方形区域边长为 1 千米，AE、EF、AF 为休闲区域内的直步道，且∠EAF＝45°，其余区域栽种花草树木，设∠EAB＝θ．
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
14．（3 分）将函数
的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把图象上
各点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（）

上海市达标名校2018年高考三月适应性考试数学试题含解析

上海市达标名校2018年高考三月适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆2222:1x yCa b+=的短轴长为2，焦距为1223F F，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P为C上的任意一点，则1211PF PF+的取值范围为（）A．[]1,2B．2,3⎡⎤⎣⎦C．2,4⎡⎤⎣⎦D．[]1,42．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（）A．()lg1y x=+B．12y x=C．2xy=D．lny x=3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．23B．43C．2D．44．设{}n a是等差数列，且公差不为零，其前n项和为n S．则“*n N∀∈，1n nS S+>”是“{}n a为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知()3,0A-，)3,0B，P为圆221x y+=上的动点，AP PQ=，过点P作与AP垂直的直线l交直线QB于点M，若点M的横坐标为x，则x的取值范围是（）A．1x≥B．1x>C．2x≥D．2x≥6．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A．（–1，1）B．（1，2）C．（–1，+∞）D．（1，+∞）7．函数52sin()([,0)(0,])33x xx xf x x-+=∈-ππ-的大致图象为A ．B ．C ．D ．8．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（） ①与点D 3P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π； ②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是62⎣； ③若3DP =DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为62A ．0B ．1C ．2D ．39．已知函数2,0()4,0xx f x x x -⎧⎪=+>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞10．设12,x x 为()()3sin cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（） A ．πB ．2πC ．3π D ．4π 11．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（） A ．45B ．45-C ．45±D ．3512．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x= D ．14y x =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年上海市名校高考三模数学试题含详细答案

2018年曹杨二中高三三模数学试卷 (2)2018年复旦附中高三三模数学试卷 (17)2018年建平中学高三三模数学试卷 (37)2018南洋模范中学高三数学模拟试卷 (54)2018年七宝中学高考三模数学试卷 (75)2018年延安中学高三三模数学试卷 (89)2018年格致中学高三三模数学试卷 (103)2018年曹杨二中高三三模数学试卷一、填空题：1.已知集合{}1,3,21A m =--，集合{}23,B m =，若B A ⊆，则实数m =_____________.【答案】1 【分析】根据题意，若B A ⊆，必有221m m =-，解之可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【详解】解：由B A ⊆，21m ≠-， ∴221m m =-．解得1m =，验证可得符合集合元素的互异性，故答案为：1．【点睛】本题考查元素的互异性以及集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．2.计算：131lim 32n n nn -→∞+=+_______.【答案】13【分析】将原式上下同除3n ，构造23n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，易知当n →∞时，203n⎛⎫→ ⎪⎝⎭，可求解极限值. 【详解】原式1133lim 213nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当n 趋近于∞时，203n⎛⎫→ ⎪⎝⎭，103⎛⎫→ ⎪⎝⎭，即原式1=3故答案为：13【点睛】本题考查分式∞∞型极限的求法，可通过观察上下同除3n ，构造小于1的分数的n 次幂，当n 趋近于∞时，该分式趋近于0.3.若复数2(1)z i i =+-（i 表示虚数单位），则z =_______. 【答案】2i -【分析】根据21i =-，即复数运算法则，可求解. 【详解】21112z i i i i =+-=++=+，则2z i =- 故答案为：2i -【点睛】本题考查复数的运算，以及求共轭复数，属简单题. 4.不等式22lg lg 0x x -<的解集是_______.【答案】()1100，【分析】运用对数恒等式，将2lg x 转化成2lg x ，对lg x 进行因式分解，可求lg x 的范围，即可求出解集.【详解】22lg lg 0x x -<Q ，即()2lg 2lg 0x x -<()lg lg 20x x ∴-<0lg 2x ∴<<1100x ∴<<故答案为：()1100，【点睛】本题考查了对数恒等式log log na a M n M =，是常考题型.5.函数()1f x =的反函数()1f x -=_______.【答案】()31x - 【分析】令1y =，将y 当作已知解方程解出x ，再交换变量x ，y ，即可求解反函数，标明定义域.【详解】令1y =，定义域x ∈R ，可求值域为R ，1y =-，即()31x y =-交换变量得反函数()31()1f x x -=-，定义域R故答案为：()31x -【点睛】函数转换为反函数步骤：1、确定原函数的值域；2、解方程解出x ；3、交换x ，y ，标明定义域. 6.已知两个球的表面积之比为1：2，则这两个球的体积之比为_______.【答案】1: 【分析】根据球体表面积与体积公式，确定比例关系，【详解】由公式2=4S R π球,12:1:2S S =Q ，12:R R ∴=由公式34=3V R π球，21:1:V V ∴=故答案为：1:【点睛】本题考查球体的表面积公式2=4S R π球和体积公式34=3V R π球，属基础题型.7.已知棱形ABCD ，若1AB =，3A π=，则向量AC u u u r 在AB u u u r上的投影为_______.【答案】32【分析】根据菱形中向量关系，求向量AC u u u r模长，再根据投影公式求投影.【详解】菱形ABCD 中，AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r，2222()23AC AB AD AB AB AD AD ∴=+=+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAC ∴=u u u r向量AC u u u r 在AB u u u r 上的投影3cos 62AC π==u u u r故答案为：32【点睛】本题考查利用平面向量解决平面几何问题，以及投影公式cos a θr.8.二项式40展开式中，其中的常数项是第_______项.【答案】21 【分析】利用二项式定理的展开式，化简1r T +式子，使未知量x 的指数幂为零，可求常数项.【详解】由题意，二项式40展开式中第1r +项，()()404020221404040=1=1rr rr r r r r r r r T C C x x C x ----+⎛⋅⋅=-⋅⋅-⋅ ⎝当20r =时，202140=T C 为常数项，是第21项故答案为：21【点睛】本题考查二项式定理展开式，通过化简求常数项，属常规题型.9.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1,2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是_______________. 【答案】114【分析】先计算出从9面旗帜中任取3面的基本事件总数，再求出它们的颜色与号码均不相同的基本事件个数，代入古典概型概率公式，即可得到答案．【详解】从9面旗帜中任取3面的基本事件共有：399878432C ⨯⨯==⨯.任取出3面，其中它们的颜色与号码均不相同的事件有：321=6⨯⨯ 故任取3面它们的颜色与号码均不相同的概率618414P == 故答案为：114【点睛】本题考查的知识点古典概型及其概率计算公式，其中计算基本事件总数及满足条件的基本事件个数是解答本题的关键．10.在直角坐标平面，已知定点()0A 1，、()11B ，和动点()M x y ，满足0102OM OA OM OB ⎧≤⋅≤⎨≤⋅≤⎩u u u u v u u u v u u u u v u u u v ，则点()P x y x y +-,构成的区域面积为_______.【答案】8 【分析】根据向量数量积运算法则，列出关于x ，y 的不等式，再求解x y +与x y -的范围，从而求解区域面积.【详解】由题意，OM OA x ⋅=u u u u r u u u r，OM OB x y ⋅=+u u u u r u u u r ，即0102x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩，又2()x y x x y -=-+，22x y ∴-≤-≤则点()P x y x y +-,构成的区域面积为=24=8S ⨯ 故答案：8【点睛】本题考查向量的数量积运算及利用不等式性质求解范围，属综合性问题.11.设两曲线1:0C x y a -+=与222:210C x y y +=≥（）的交点为A 、B ，O 是坐标原点，若AOB ∆是锐角三角形，则实数a 的取值范围是_______.【答案】623,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】由题意画出图形，求出OA OB ⊥与OA AB ⊥时，实数a 的值为所求范围的端点值. 【详解】由题意，2221(0)x y y +=≥是焦点在y 轴上的上半个椭圆，作出两曲线1:0C x y a -+=与222:210C x y y +=≥（）图象，如图所示联立2221x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，得223210x ax a ++-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，2121221,33a a x x x x -∴+=-=当OA OB ⊥时，12121y y x x ⎛⎫-⋅-=- ⎪⎝⎭，即1212y y x x =- 1212()()x a x a x x ∴++=-，则21212()20a x x x x a +++=，222222033a a a -∴-++=，解得3a =；当OA AB ⊥时，OA 所在直线方程为y x =-，联立2221y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得(A把A 的坐标代入0x y a -+=，得3a =所以使ABC V 是锐角三角形的实数a 的取值范围是⎝⎭故答案为：33⎛ ⎝⎭，.【点睛】本题考查数形结合，运用直线垂直斜率相乘得-1，确定OA OB ⊥与OA AB ⊥时的实数a 的取值，再运用数形结合判断参数取值范围.二、选择题12.已知直角坐标平面上两条直线方程分别为1111:0L a x b y c ++=，22220L a x b y c ++=：，那么“11220a b a b =”是“两直线1L 、2L 平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【分析】根据两条直线平行的条件，以及行列式运算，可判断必要不充分条件. 【详解】由题意，两条直线平行，则12210a b a b -=且12210b c b c -≠而11220a b a b =12210a b a b ⇔-=，故“两直线1L 、2L 平行”能推出“11220a b a b =”，而反向不可推出，那么“11220a b a b =”是“两直线1L 、2L 平行”的必要不充分条件故选：B【点睛】判断充分必要条件：条件推结论，则是充分条件；结论推条件，则是必要条件. 13. 若一个正三棱柱的正视图如图所示,则其侧视图的面积等于A.3B. 2C. 23D. 6【答案】A本题考查空间几何体的三视图，空间想象能力及平面几何知识.正三棱柱的正视图可知：该正三棱柱底面边长为2的正三角形，棱柱的高为1，则侧视图是矩形，矩形的高等于正视图的高1，宽等于底面正三角形的高323;2⨯=则其侧视图的面积等于13 3.=故选A 14.动点P 在抛物线221y x =+上移动，若P 与点()0,1Q -连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为 A. 22y x = B. 24y x = C. 26y x = D. 28y x =【答案】B【详解】设()()00,,,M x y P x y ，因为P 与点()0,1Q -连线的中点为M ，所以002,21x x y y ==+，又因为点P 在抛物线221y x =+上移动，所以2212(2)1y x +=+，即24y x =；故选B.【方法点晴】本题主要考查求轨迹方程的求法，属于中档题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入()00,0f x y =.本题就是利用方法④求M 的轨迹方程的.15.设函数()y f x =，()y g x =的定义域、值域均为R ，以下四个命题：①若()y f x =，()y g x =都是奇函数，则(())y f g x =是偶函数；②若()y f x =，()y g x =都是R 上递减函数，则(())y f g x =是R 上递减函数；③若(())y f g x =是周期函数，则()y f x =，()y g x =都是周期函数；④若(())y f g x =存在反函数，则()y f x =，()y g x =都存在反函数其中真命题的个数是（） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【分析】根据奇偶性定义，单调性定义，周期性定义及反函数定义，判断复合函数的奇偶性、单调性、周期性及反函数问题，即可求解.【详解】对于①，()y f x =，()y g x =都是奇函数，则()(),()()f x f x g x g x -=--=-，(())(())(())f g x f g x f g x -=-=-，(())y f g x ∴=是奇函数，①错对于②，()y f x =，()y g x =都是R 上递减函数，若12x x <，则12()()f x f x >和12()()g x g x >，12(())(())f g x f g x ∴<，故判断(())y f g x =单调递增，②错对于③，若(())y f g x =是周期函数，则只需()y g x =是周期函数即可，③错对于④，若(())y f g x =存在反函数，则()y f x =是一一对应，且()y g x =也是一一对应，即()y f x =和()y g x =都存在反函数，④正确. 故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性定义、单调性定义、周期性和反函数，对于函数性质的考查比较全面.三、解答题16.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，2AB AD AP ===，1BC =.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若点Q 为线段BP 的中点，求直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小（用反三角函数值表示）.【答案】（1）2 （2）arcsin 【分析】（1）由线面垂直，可求解四棱锥的高，运用锥体体积公式即可求解体积. （2）通过建立空间坐标系，运用空间向量可求线面角. 【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，1112(12)22332P ABCD ABCD V PA S -=⋅=⋅⋅+⋅=梯形（2）由题意，PA ⊥平面ABCD 90BAD ∠=︒，，可知PA,AB,AD 两两垂直，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间立体坐标系(0,0,0),(0,2,0),(1,0,1),(2,1,0)A D Q C ∴设(,,)n x y z =r为平面ADQ 的法向量.020,(1,0,1)00n AD y n x z n AQ ⎧⋅==⎧⎪∴∴=-⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩r u u u rr r u u u r=(1,1,1)CQ --u u u r令θ为直线CQ 与平面ADQ 所成角，sin cos ,3CQ n CQ n CQ nθ⋅∴=<>==⋅u u u r ru u u r r u u u r r=arcsinθ∴【点睛】本题考查：（1）锥体体积公式1=3V h S ⋅锥底（2）利用空间向量方法，求解线面角.17.已知定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的函数()f x 是奇函数，且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin ()sin cos x f x x x =+.（1）求()f x 在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的解析式；（2）当实数m 为何值时，关于x 的方程()f x m =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭有解.【答案】（1）sin ,sin cos ()0,sin ,cos sin x x x f x x x x⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪-⎩02002x x x ππ<<=-<<（2）(1,1)m ∈- 【分析】（1）根据函数奇偶性，可求解对称区间的解析式.（2）使方程()f x m =有解，可求解()f x 的值域，即为m 的取值范围.【详解】（1）设,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则0,2x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭sin()sin ()()sin()cos()cos sin x xf x f x x x x x-∴=--=-=-+--又奇函数，(0)0f ∴=故sin ,sin cos ()0,sin ,cos sin x x x f x x x x⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪-⎩02002x x x ππ<<=-<<（2）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan ()sin cos tan 1x xf x x x x ==++令tan t x =，则0,t >1()111t f x t t ==-++， 110,11,01,01111t t t t >+><<<-<++Q ，0,2x π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()(0,1)f x ∈ 由奇函数，图像关于原点对称，()f x 在02π⎛⎫-⎪⎝⎭，上，()()1,0f x ∈- ()()1,1f x ∴∈- 故m 取值范围是()11-，.【点睛】本题考查：（1）由函数奇偶性求解析式，奇函数中()()f x f x =--.（2）使方程()f x m =有解，即使()f x 与m 有相同的取值范围.18.如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 、7105km ，测得tan 3MON ∠=-，6OA km =，以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，一艘游轮以182mn 小时的平均速度在水上旅游线AB 航行（将航线AB 看作直线，码头Q 在第一象限，航线BB 经过点Q ）.（1）问游轮自码头A 沿AB u u u r方向开往码头B 共需多少分钟？（2）海中有一处景点P （设点P 在xOy 平面内，PQ OM ⊥，且6PQ km =），游轮无法靠近，求游轮在水上旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.【答案】（1）30min （2）()15，【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON 方程，再求解Q 点坐标，由直线AQ 的方程求解B 点坐标，进而求解AB 长.（2）由（1）知C 为垂足，可联立直线AB 与PC 方程，即可求解C 点坐标. 【详解】（1）由已知得，(6,0)A ，直线ON 方程：3y x =- 设00(,2)(0)Q x x >03271010x +=04x =，()42Q ∴，∴直线AQ 的方程为(6)y x =--即60x y +-=由360y xx y =-⎧⎨+-=⎩，解得39x y =-⎧⎨=⎩，即(3,9)B -92AB ∴=AB 的长为92km 9212182t ∴==，即30min .（2）点P 到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C 由（1）直线AB 方程60x y +-=(4,8)P Q ，则直线PC 方程为40x y -+=联立6040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得15x y =⎧⎨=⎩(1,5)C ∴【点睛】本题考查：（1）由直线方程及距离公式，可求解点的坐标，再由两点式求解直线方程. （2）两直线垂直，斜率相乘得-1，可应用于求解直线方程.19.已知直线2y x =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，点(1,0)A 在双曲线C 上，设坐标原点为O .（1）求双曲线C 的方程；（2）若过点(2,2)D 的直线l 与双曲线C 交于R 、S 两点，若0RD SD +=u u u r u u u r r，求直线l 的方程；（3）设()(),1,0M m n m n ≠≠在双曲线上，且直线AM 与y 轴相交于点P ，点M 关于y 轴对称的点为N ，直线AN 与y 轴相交于点Q ，问：在x 轴上是否存在定点T ，使得222TP TQ PQ +=u u r u u u r u u u r ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)2214y x -= （2）460x y --= （3）存在，(T 【分析】（1）根据渐近线求解a ,b 关系，再根据双曲线上一点A 求解双曲线标准方程；（2）由0RD SD +=u u u r u u u r r知D 为RS 中点，利用点差法求解直线l 斜率，进而求解直线方程；（3）根据直线斜率及点斜式方程，分别列出直线AM 和直线AN 方程，求P ,Q 坐标，满足222TQ TP PQ +=u u u r u u r u u u r ,即可求解点T 坐标.【详解】（1）由直线2y x =是双曲线渐近线，则2b a =，则双曲线方程222214x y a a-=，代入(1,0)A ，解得1a =，故双曲线C 的方程为2214y x -=（2）由题意，可知D 为RS 中点，设RS 两点坐标为1122(,),(,)R x y S x y ，代入原式221122224444x y x y -=-=，两式作差得121212124()()()()0x x x x y y y y +--+-=整理得，12124()()0l x x y y k +-+⋅=再由中点坐标公式121224,24D D x x x y y y +==+== 解得4l k =故直线l 的方程为460x y --= （3）存在，根据题意，由(,),(1,0)M m n A ，则斜率1AM n k m =-，直线:(1)1AM nl y x m =--，当0x =时，1n y m =--，即(0,)1n P m -- 同理，由(,)(1,0)N m n A -，则斜率1AN n k m =-+，直线:(1)1AM nl y x m =--+，当0x =时，=1n y m +，即(0)1n Q m +，设：(,0)T x ，则222()1n TQ x m =++u u u r ，222()1n TP x m =+-u u r ，22()11n n PQ m m =+-+u u u r又222TQ TP PQ +=u u u r u u r u u u r ，得到22222()()()1111n n n n x m m m m ++=++-+- 解得2221n x m =-，又双曲线C 中，1m >或1m <-x =±故T坐标为(【点睛】（1）双曲线中由渐近线方程可确定a 与b 的倍数关系，不能直接得具体值，需要再有一点坐标才能确定a ,b 值.（2）点差法步骤：设点→代入→作差→变形→求解.（3）顺应题意列出方程，注意自变量的取值范围，本题着重考查运算能立，属较难题. 20.已知数列{}n a 的通项公式为()()12n a n k n k =--，其中12k k <且12,k k Z ∈. （1）若{}n a 是正项数列，求2k 的取值范围；（2）若11k =，数列{}n b 满足n n a b n=，且对任意()*3m N m ∈≠，均有3m b b <，写出所有满足条件的2k的值；（3）若*1k N ∈，数列{}n c 满足n n n c a a =+，其前n 项和为n S ，且使()*0,, i j c c i j N i j =≠∈<的i和j 至少4组，1S 、2S 、……、n S 中至少有5个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求1k ，2k 满足的充要条件并加以证明.【答案】（1）2(,1)k ∈-∞ （2）27,8,9,10,11k = （3）125,8k k ==证明见解析. 【分析】（1）通过函数12()()()f x x k x k =--是与x 轴交于12k k 、两点且开口向上的抛物线可知，只需知12k k 、均在1的左边即可；（2）通过11k =化简可知22(1)n k b n k n=+-+，排除212k =、可知23k ≥，此时可知对于2()kf n n n =+而言，当n ()f n单调递减，当n 时()f n 单调递增，进而解不等式组2334b b b b >⎧⎨<⎩即得结论；（3）通过112,k N k k *∈<及12()()n a n k n k =--可知20n n a c ⎧=⎨⎩ 1212n k n k k n k <>≤≤或，结合0(,,)i j c i j j c N i *=≠∈<可知120i k k j <<<<，从而可知1k 的最小值为5，通过12n S S S 、、...、中至少5个连续的值相等可知，且其他值不相等125=123 4...=8k m m m m k ≤+<+<+<+<，进而可得2k 的值为8.【详解】（1）由题意，12k k N *<∈，12()()n a n k n k =--，使数列{}n a 为正项数列，则21k <，故2k 的取值范围是()1-∞，（2）12121,,()()n k k Z a n k n k =∈=--Q222(1)()(1)n n a n n k kb n k n n n--∴===+-+ 当212k =、时，2()k f n n n =+均单调递增，不合题意当23k ≥时，对于2()kf n n n=+可知，当n ()f n单调递减，当n ()f n 单调递增，由题意可知12334,...b b b b b >><<联立不等式2334b b b b >⎧⎨<⎩，解得2612k <<27,8,9,10,11k ∴=（3）1120,k N k k *∈∴<<Q ，12()()n a n k n k =-- 20n n n n a c a a ⎧∴=+=⎨⎩ 1212n k n k k n k <>≤≤或0(,,)i j c c i j N i j *=≠∈<Q ()12,,k i j k ∴∉又212122()n c n k k n k k ⎡⎤=-++⎣⎦Q ，1n k <或2n k >1222k k i j++∴=120i k k j ∴<<<< 此时的i 的四个值为1，2，3，4，故15k =又12n S S S 、、...、中至少5个连续的值相等不妨设1234...m m m m m S S S S S ++++=====，则1234...0m m m m c c c c ++++===== 因为当12k n k ≤≤时，0n c =125=1234...k m m m m k ∴≤+<+<+<+<<，而使其他值不相等，则28k =故125,8k k ==【点睛】本题综合性较强，属于难题，主要考查：（1）二次函数性质，零点、单调性（2）对勾函数2()k f n n n=+型函数的单调性（3）数列中由前n 项和公式确定通项公式，并分析判断项数之间的关系.2018年复旦附中高三三模数学试卷2018.05一. 填空题1.已知集合{}|lg M x y x ==，{|N x y ==，则M N =I _____________.【答案】(]0,1 【分析】求出集合M 、N ，然后利用交集的定义求出集合M N ⋂.【详解】{}|lg (0,)M x y x ===+∞，{|[1,1]N x y ===-，(0,)[1,1](0,1].M N ⋂=+∞⋂-=故答案为：(]0,1.【点睛】本题考查集合的交集运算，同时与考查了具体函数的定义域，考查计算能力，属于基础题. 2.若复数z 满足()3443i z i -=+，则z 的虚部为________. 【答案】45【分析】求出复数43i +的模，然后在等式()3443i z i -=+两边同时除以34i -，利用复数的除法可求出复数z ，即可得出复数z 的虚部.【详解】435i +==Q ，由()34435i z i -=+=，()()()()5345345343434342555i i z i i i i ++∴====+--+，因此，z 的虚部为45. 故答案为：45. 【点睛】本题考查复数虚部的求解，同时也考查了复数模的计算以及复数的除法运算，解题的关键就是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若6a =，4c =，sin 23B =，则b =_____. 【答案】6 【分析】利用二倍角公式求出cos B ，然后利用余弦定理求出b 的值.【详解】由二倍角的余弦公式可得2231cos 12sin 1223B B ⎛⎫=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 由余弦定理得2222212cos 64264363b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，因此，6b =. 故答案为：6.【点睛】本题考查二倍角余弦公式的应用，同时也考查了利用余弦定理求三角形的边长，考查运算求解能力，属于中等题.4.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________.【答案】9 【分析】根据频率分布直方图计算出日销售量不少于150个的频率，然后乘以30即可.【详解】根据频率分布直方图可知，一个月内日销售量不少于150个的频率为()0.0040.002500.3+⨯=，因此，这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为300.39⨯=. 故答案为：9.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，解题时要明确频数、频率和样本容量三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5.现有5个女生和3个男生随机站成一排，则排头和排尾均为女生的概率是________（结果用分数表示）. 【答案】514【分析】计算出基本事件总数为8个学生的全排数，然后考虑排头和排尾均为女生的排法种数，利用古典概型的概率公式即可得出所求事件的概率.【详解】将5个女生和3个男生随机站成一排，排法种数为88A ，现在考虑排头和排尾都是女生的情况，先从5个女生中选2人进行排列，剩余6个人全排，事件“排头和排尾均为女生”所包含的基本事件数为2656A A ，因此，排头和排尾均为女生的概率是265688514A A A =. 故答案为：514. 【点睛】本题考查利用古典概型概率公式的计算事件的概率，同时也考查了有限制的元素的排列问题，考查计算能力，属于中等题.6.在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心到极轴的距离为________. 【答案】1 【分析】将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的坐标，可求出圆心到极轴的距离.【详解】在圆的极坐标方程两边同时乘以ρ，得22sin ρρθ=，化为普通方程得222x y y +=，标准方程为()2211x y +-=，圆心坐标为()0,1，因此，圆2sin ρθ=的圆心到极轴的距离为1. 故答案为：1.【点睛】本题考查圆心到极轴的距离，解题的关键就是将圆的极坐标方程化为普通方程，考查计算能力，属于基础题.7.无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，且20152016201723S S S +=，则无穷等比数列{}n a 的各项和为________. 【答案】32【分析】先求出等比数列{}n a 的公比，然后利用无穷等比数列的和可计算出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由20152016201723S S S +=，得()201720152017201620S S S S -+-=，即2017201630a a +=，310q ∴+=，解得13q =-，因此，无穷等比数列{}n a 的各项和为12311213a q ==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：32. 【点睛】本题考查无穷等比数列各项和的计算，解题的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于中等题.8.如图，正三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，16AA =，若E 、F 分别是棱1BB 、1CC 上的点，则三棱锥1A A EF -的体积是________.【答案】3 【分析】用三棱柱111ABC A B C -的体积减去四棱锥111A EFC B -的体积和四棱锥A BCFE -的体积即可得出三棱锥1A A EF -的体积.【详解】取BC 的中点D ，连接AD ，则AD BC ⊥.Q 平面ABC ⊥平面11BCC B ，平面ABC I 平面11BCC B BC =，AD ⊂平面ABC ，AD ∴⊥平面11BCC B .ABC ∆Q 是等边三角形，4AB =，23AD =，1//AA Q 平面11BCC B ，且E 、F 分别为1BB 、1CC 的中点.1111143238333A BCFE A EFC B BCFE V V S AD --∴==⋅=⨯⨯⨯=.111123246283834A A EF ABC ABC A BCFE V V V ---∴=-=⨯⨯-⨯=. 故答案为：83.【点睛】本题考查三棱锥的体积的计算，常用的方法有等体积法、间接法、割补法，解题时可充分选择合适的方法来进行计算，考查计算能力，属于中等题.9.设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是____．【答案】【详解】由22230x y x +--=得22(1)4x y -+=，所以圆的圆心为(1,0)，根据圆的相关性质，可知所求的直线过圆心，由直线垂直可得所求直线的斜率为32，根据直线的点斜式方程化简可得结果为．10.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的两条渐近线分别与抛物线交于A 、B 两点（A 、B 异于坐标原点O ），若直线AB 恰好过点F ，则双曲线的渐近线方程是________. 【答案】2y x =±【分析】求出抛物线的焦点坐标与双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程可得出点A 、B 的坐标，再由A 、B 、F 三点共线，可得出2222pa pb =，可得出2b a =，由此可得出双曲线的渐近线方程.【详解】抛物线的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，代入抛物线的方程，可得2222,pa pa A b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2222,pa pa B b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由A 、B 、F 三点共线可得2222pa p b =，2214a b ∴=，则2b a =. 因此，双曲线的渐近线方程为2y x =±. 故答案为：2y x =±.【点睛】本题考查抛物线焦点坐标以及双曲线渐近线方程的求解，解题的关键就是利用三点共线得出关系式，考查运算求解能力，属于中等题.11.在边长为6的等边△ABC 中，点M 满足2BM MA =u u u u r u u u r ，则CM CB ⋅u u u u r u u u r等于．【答案】 24试题分析：11·()?()?··2433CM CB CA AM CB CA AB CB CACB AB CB =+=+=+=u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r考点：本小题考查向量的线性运算及其向量的数量积。

上海市六校联考2018年高考数学模拟试卷理科3月份含解析

2018年上海市六校联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、填空题（本大题满分42分）1．复数z=3﹣2i的模为______．2．函数y=cos（3x﹣）的最小正周期为______．3．抛物线y2=2x的准线方程是______．4．在（x2﹣）7的二项展开式中，x5项的系数为______．5．已知地球的半径为6371千米，上海位于约东经121°，北纬31°，台北的位置约为东经121°，北纬25°，则两个城市之间的球面距离约为______千米（结果精确到1千米）6．直线l的方程为=0，则直线l的倾斜角为______．7．已知α﹣β=，cosα+cosβ=，则cos=______．8．已知递增的等差数列{a n}的公差为d，又a2，a3，a4，a5，a6这5个数列的方差为3，则d=______．9．已知直线经过点P（2，0），且被圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2，则这条直线的方程为______．10．设函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB，则方程[f（x）]2=x的最大实数根的值为______．11．等比数列{a n}的公比为q，前n项积为T n，且满足a1＞1，a2018•a2018＞1，（a2018﹣1）（a2018﹣1）＜0，给出以下四个命题：①q＞1；②a2018•a2018＜1；③T2018为T n的最大值；④使T n＞1成立的最大的正整数4181，则其中正确的命题序号为______．12．已知，，为空间三个向量，又，是两个相互垂直的单位向量，向量满足||=3，=2，•=1，则对于任意实数x，y，|﹣x﹣y|的最小值为______．13．在极坐标下，定义两个点（ρ1，θ1）和（ρ2，θ2）（ρ1，ρ2＞0，0≤θ1，θ2≤2π）的“极坐标中点“为（，），设点A、B的极坐标为（4，）与（8，），设M为线段AB的中点，N为点A、B的“极坐标中点”，则线段MN的长度的平方为______．14．先阅读参考材料，再解决此问题：参考材料：求抛物线弧y=x2（0≤x≤2）与x轴及直线x=2围成的封闭图形的面积解：把区间[0，2]进行n等分，得n﹣1个分点A（，0）（i=1，2，3，…，n﹣1），过分点A i，作x轴的垂线，交抛物线于B i，并如图构造n﹣1个矩形，先求出n﹣1个矩形的面积和S n ﹣1，再求S n ﹣1，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为，第i 个矩形的高为（）2，所以第i 个矩形的面积为•（）2；S n ﹣1= [+++…+]=[12+22+32+…+（n ﹣1）2]=•所以封闭图形的面积为•=阅读以上材料，并解决此问题：已知对任意大于4的正整数n ，不等式+++…+＜an 恒成立，则实数a 的取值范围为______．二、选择题15．函数y=f （x ）是实数集R 上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是单调递增函数，若f （a ）≤f （2），则实数a 的取值范围是（） A ．a ≥﹣2 B ．a ≥2或a ≤﹣2 C ．﹣2≤a ≤2 D ．a ≤2 16．复数z 满足z •+z +=17，则|z +2﹣i |的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．517．给定正三棱锥P ﹣ABC ，M 点为底面正三角形ABC 内（含边界）一点，且M 到三个侧面PAB 、PBC 、PAC 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为（） A ．椭圆的一部分 B ．一条线段C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分18．某年数学竞赛请来一位来自X 星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9，8，7，4，3，2，1，5，6，10的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n 种，则n 的值为（） A ．512 B ．511 C ．1184 D ．1183三、解答题：本大题共5小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sinCcosB +sinBcosC=3sinAcosB ．（1）求cosB的值；（2）若，且，求a和c的值．20．（理）在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=2，AD=1，AA'=1．求：（1）顶点D'到平面B'AC的距离；（2）二面角B﹣AC﹣B'的大小．（结果用反三角函数值表示）21．已知f1（x）=|3x﹣1|，f2（x）=|a•3x﹣9|，x∈R，且f（x）=（1）当a=1时，请写出f（x）的单调递减区间；（2）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）求l关于a的表达式，并求出l的取值范围．22．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点T（﹣2，）在椭圆Γ上，且|TF1|+|TF2|=8．（1）求椭圆的方程；（2）点P，Q在椭圆Γ上，O为坐标原点，且直线OP，OQ的斜率之积为，求证：|OP|2+|OQ|2为定值；（3）直线l过点（﹣1，0）且与椭圆Γ交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由．23．已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为b n的线段，其中常数b＞0且b≠1，数列{x n}由f（x n）=n（n=0，1，2…）定义．（1）若b=3，求x1，x2；（2）求x n的表达式及f（x）的解析式（不必求f（x）的定义域）；（3）当b＞1时，求f（x）的定义域，并证明y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的公共点．2018年上海市六校联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分42分）1．复数z=3﹣2i的模为．【考点】复数求模．【分析】直接利用复数模的求法，求解即可．【解答】解：复数z=3﹣2i的模为：|3﹣2i|==．故答案为：．2．函数y=cos（3x﹣）的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，得出结论．【解答】解：函数y=cos（3x﹣）的最小正周期为，故答案为：．3．抛物线y2=2x的准线方程是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案．【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=﹣故答案为：﹣4．在（x2﹣）7的二项展开式中，x5项的系数为﹣280．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于5，求出r的值，即可求得x5项的系数．【解答】解：在（x2﹣）7的二项展开式T r+1=•（﹣2）r•x14﹣3r中，令14﹣3r=5，求得r=3，可得x5项的系数为﹣8•=﹣280，故答案为：﹣280．5．已知地球的半径为6371千米，上海位于约东经121°，北纬31°，台北的位置约为东经121°，北纬25°，则两个城市之间的球面距离约为667千米（结果精确到1千米）【考点】球面距离及相关计算．【分析】由于上海A、台北B两点都在东经121°，计算它们的纬度差，然后求两地的大圆劣弧的长即为上海A、台北B两点的球面距离．【解答】解：上海A、台北B两点都在东经121°，纬度差是6°，所以A、B两地的球面距离是过A、B 的大圆的劣弧的长，故劣弧的长为≈667．故答案为：667．6．直线l的方程为=0，则直线l的倾斜角为π﹣arctan．【考点】直线的倾斜角．【分析】求出直线方程，得到直线的斜率，从而求出直线的倾斜角．【解答】解：∵直线l的方程为=0，∴直线方程是：2x+4y﹣1=0，直线的斜率是：﹣，则直线l的倾斜角为：π﹣arctan，故答案为：π﹣arctan．7．已知α﹣β=，cosα+cosβ=，则cos=．【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．【分析】由条件利用和差化积公式求得cos的值．【解答】解：∵α﹣β=，cosα+cosβ=2cos cos=2cos•cos=，∴cos=，故答案为：．8．已知递增的等差数列{a n}的公差为d，又a2，a3，a4，a5，a6这5个数列的方差为3，则d=．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据等差数列的定义与性质，利用平均数与方差的公式，即可求出d的值．【解答】解：等差数列{a n}中，公差d＞0，又a2，a3，a4，a5，a6的平均数为：=（a2+a3+a4+a5+a6）=a4，方差为s2= [++++]=2d2=3，解得d=±，应取d=．故答案为：．9．已知直线经过点P（2，0），且被圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2，则这条直线的方程为x=2和3x﹣4y﹣6=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可．【解答】解：圆心（3，2），半径r=2，弦长m=2，设弦心距是d，则由勾股定理r2=d2+（）2得d=1．若l斜率不存在，是x=2．圆心和x=2距离是1，满足题意．y=k（x﹣4），kx﹣y﹣4k=0，则d==1，k2+4k+4=k2+1，k=，所以x=2和3x﹣4y﹣6=0，故答案为：x=2和3x﹣4y﹣6=0．10．设函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB，则方程[f（x）]2=x的最大实数根的值为．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据条件求出函数f（x）的解析式，利用函数与方程的关系进行转化求解即可．【解答】解：由图象知，直线方程设y=kx+b，则，即，则AB的方程为y=x+1，0≤x≤1，∵函数f（x）是偶函数，∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，则f（x）=f（﹣x）=﹣x+1，﹣1≤x≤0，当x≥0时，由[f（x）]2=x得f（x）=，∵函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，∴作出函数f（x）和g（x）=的图象如图，由图象知f（5）=f（3）=f（1）=2，g（3）=＜2，g（5）=＞2，则当3≤x≤4时，方程f（x）=取得最大根，当3≤x≤4时，﹣1≤x﹣4≤0，则f（x）=f（x﹣4）=﹣（x﹣4）+1=﹣x+5，由f（x）=得﹣x+5=，平方得x2﹣10x+25=x，即x2﹣11x+25=0，得x==（舍）或x==故答案为：11．等比数列{a n}的公比为q，前n项积为T n，且满足a1＞1，a2018•a2018＞1，（a2018﹣1）（a2018﹣1）＜0，给出以下四个命题：①q＞1；②a2018•a2018＜1；③T2018为T n的最大值；④使T n＞1成立的最大的正整数4181，则其中正确的命题序号为②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用等比数列的性质可知a2018＞1，a2018＜1，得出q＜1，进而判断②③④即可．【解答】解：①等比数列{a n}的公比为q，且满足a1＞1，a2018•a2018＞1，（a2018﹣1）（a2018﹣1）＜0，∴a2018＞1，a2018＜1，∴q＜1，故错误；②a2018•a2018=a2018×a2018＜1，故正确；③a2018＞1，a2018＜1，a1＞1，q＜1，∴前n项积为T n的最大值为T2018故正确；④T4180=a1•a2…a4180=（a1•a4180）（a2•a4189）…（a2018•a2018）=（a2018•a2018）2018＞1，T4181=a1•a2…a4181=（a1•a4181）（a2•a4180）…（a2018•a2018）a2018＜1，故成立的最大的正整数4180，故错误．故答案为：②③．12．已知，，为空间三个向量，又，是两个相互垂直的单位向量，向量满足||=3，=2，•=1，则对于任意实数x，y，|﹣x﹣y|的最小值为2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知可得，，展开，利用配方法求其最小值，则|﹣x﹣y|的最小值可求．【解答】解：由题意可知：，，又||=3，=2，•=1，∴==9+x2+y2﹣4x﹣2y=（x﹣2）2+（y﹣1）2+4，当且仅当x=2，y=1时，，∴|﹣x﹣y|的最小值为2．故答案为：2．13．在极坐标下，定义两个点（ρ1，θ1）和（ρ2，θ2）（ρ1，ρ2＞0，0≤θ1，θ2≤2π）的“极坐标中点“为（，），设点A、B的极坐标为（4，）与（8，），设M为线段AB的中点，N为点A、B的“极坐标中点”，则线段MN的长度的平方为56﹣36．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】取出M，N的直角坐标，代入两点间的距离公式计算．【解答】解：A的直角坐标为A（4cos，4sin），B的直角坐标为B（8cos，8sin），即B（﹣8sin，8cos）．∴AB的中点坐标为M（2cos﹣4sin，2sin+4cos），AB的极坐标中点为N（6，）．N的直角坐标为N（6cos，6sin）．∴|MN |2=（2cos ﹣4sin ﹣6cos ）2+（2sin+4cos ﹣6sin ）2=4+16+36﹣16cos sin ﹣24coscos +48sincos+16cossin﹣24sin sin﹣48cossin=56﹣24cos+48sin （﹣）=56﹣36．故答案为56﹣36．14．先阅读参考材料，再解决此问题：参考材料：求抛物线弧y=x 2（0≤x ≤2）与x 轴及直线x=2围成的封闭图形的面积解：把区间[0，2]进行n 等分，得n ﹣1个分点A （，0）（i=1，2，3，…，n ﹣1），过分点A i ，作x 轴的垂线，交抛物线于B i ，并如图构造n ﹣1个矩形，先求出n ﹣1个矩形的面积和S n ﹣1，再求S n ﹣1，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为，第i 个矩形的高为（）2，所以第i 个矩形的面积为•（）2；S n ﹣1= [+++…+]=[12+22+32+…+（n ﹣1）2]=•所以封闭图形的面积为•=阅读以上材料，并解决此问题：已知对任意大于4的正整数n ，不等式+++…+＜an 恒成立，则实数a 的取值范围为 [，）．【考点】数列与函数的综合．【分析】作出f （x ）=（0≤x ≤1）的图象，可得为以O 为原点，1为半径的圆．把区间[0，1]进行n 等分，得n ﹣1个分点A i （，0）（i=1，2，3，…，n ﹣1），过分点A i ，作x 轴的垂线，交图象于B i ，并如图构造n ﹣1个矩形，先求出n ﹣1个矩形的面积和S n ﹣1，再求S n ﹣1，即是封闭图形的面积，运用圆的面积公式结合恒成立问题的解法，即可得到a 的范围．【解答】解：作出f （x ）=（0≤x ≤1）的图象，可得为以O 为原点，1为半径的圆．把区间[0，1]进行n 等分，得n ﹣1个分点A i （，0）（i=1，2，3，…，n ﹣1），过分点A i ，作x 轴的垂线，交图象于B i ，并如图构造n ﹣1个矩形，先求出n ﹣1个矩形的面积和S n ﹣1，再求S n ﹣1，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为，第i 个矩形的高为，所以第i 个矩形的面积为•；S n ﹣1= [+++…+]，则封闭图形的面积为=S n ﹣1=•12=．由a ＞ [+++…+]恒成立，可得a 的范围是a ≥．故答案为：[，+∞）．二、选择题15．函数y=f （x ）是实数集R 上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是单调递增函数，若f （a ）≤f （2），则实数a 的取值范围是（） A ．a ≥﹣2 B ．a ≥2或a ≤﹣2 C ．﹣2≤a ≤2 D ．a ≤2 【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件可知f （x ）在[0，+∞）上单调递减，而根据f （x ）为偶函数可得到f （|a |）≤f （2），从而便有|a |≥2，解该不等式即可得出实数a 的取值范围．【解答】解：由题意得，f （x ）在[0，+∞）上单调递减；f（x）为R上的偶函数；∴由f（a）≤f（2）得，f（|a|）≤f（2）；∴|a|≥2；∴a≥2，或a≤﹣2．故选：B．16．复数z满足z•+z+=17，则|z+2﹣i|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【考点】复数求模．【分析】利用复数模的几何意义，求得满足z•+z+=17，的复数z在复平面上的对应点z 的轨迹，|z+2﹣i|表示z与（﹣2，1）的距离，显然点到直线的距离最小，即可得出结论．【解答】解：设复数z在复平面上的对应点为Z（x，y），则z•+z+=17，可得x2+y2+2x=17，即：（x+1）2+y2=18，∴点Z的轨迹是以（﹣1，0）为圆心，3为半径的圆．|z+2﹣i|的最小值为半径减去圆心与（﹣2，1）的距离，最小值为：=2．故选：A．17．给定正三棱锥P﹣ABC，M点为底面正三角形ABC内（含边界）一点，且M到三个侧面PAB、PBC、PAC的距离依次成等差数列，则点M的轨迹为（）A．椭圆的一部分 B．一条线段C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【考点】轨迹方程．【分析】先设点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离为d﹣a，d，d+a，正三棱锥P﹣ABC 中各个侧面的面积为S，体积为V，用等体积法可得d为常数，作平面α∥面PBC且它们的面面距离为d，则α与面ABC的交线即为点M的轨迹．【解答】解：设点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离为d﹣a，d，d+a正三棱锥P﹣ABC中各侧面的面积为S，体积为V，则S（d﹣a）+d+（d+a ）=V，即Sd=V，所以d为常数．作平面α使α∥面PBC且它们的距离为d，则α与面ABC的交线即为点M的轨迹．易知M的轨迹为一条线段．故选：B．18．某年数学竞赛请来一位来自X星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9，8，7，4，3，2，1，5，6，10的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n种，则n的值为（）A．512 B．511 C．1184 D．1183【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由于每道题的都有两种情况，答或者不答，故根据分步计数原理可得．【解答】解：每道题的都有两种情况，答或者不答，从10﹣9，有两种选择，从9﹣8也有两种选择，以此类推8﹣7，7﹣6，6﹣5，5﹣4，4﹣3，3﹣2，2﹣1，而从1题到第10道题只有一种选择，故有1×29=512种，故选：A．三、解答题：本大题共5小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB．（1）求cosB的值；（2）若，且，求a和c的值．【考点】余弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】（1）由条件得sin（B+C）=3sinAcosB，再由sin（B+C）=sinA≠0，可得．（2）由两个向量的数量积的定义得到ac=6，再由余弦定理可得a2+c2=12，解方程组可求得a和c的值．【解答】解：（1）由sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，得sin（B+C）=3sinAcosB，因为A、B、C是△ABC的三内角，所以sin（B+C）=sinA≠0，因此．（2），即ac=6，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，所以a2+c2=12，解方程组，得．20．（理）在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=2，AD=1，AA'=1．求：（1）顶点D'到平面B'AC的距离；（2）二面角B﹣AC﹣B'的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）利用空间向量来求点到平面的距离，必须先建立空间直角坐标系，找到已知点坐标，求出平面的法向量，再借助点到平面的距离公式来计算，其中为平面的法向量，为点D′与平面上任意一点的向量．（2）欲求二面角的大小，只需求出两个平面的法向量的夹角，再借助图形判断，法向量的夹角是二面角的夹角，还是其补角．【解答】解：（1）如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A（1，0，0）、D（0，0，0）、C（0，2，0）、A'（1，0，1）、B'（1，2，1）、D'（0，0，1）．设平面B'AC的法向量为，则，．因为，，，，所以解得u=2v，w=﹣2v，取v=1，得平面B'AC一个法向量，且．在平面B'AC取一点A，可得，于是顶点D'到平面B'AC的距离，所以顶点D'到平面B'AC的距离为，（2）因为平面ABC的一个法向量为，设与的夹角为α，则，结合图形可判断得二面角B﹣AC﹣B'是一个锐角，它的大小为．21．已知f1（x）=|3x﹣1|，f2（x）=|a•3x﹣9|，x∈R，且f（x）=（1）当a=1时，请写出f（x）的单调递减区间；（2）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）求l关于a的表达式，并求出l的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）运用指数不等式的解法和绝对值的含义，可得f（x）的解析式，再由指数函数的单调性，即可得到所求单调区间；（2）由题意可得f2（x）≤f1（x），即为|a•3x﹣9|≤|3x﹣1|，结合条件，化简整理可得log3≤x≤log3，可得l=log3﹣log3，运用对数的运算性质，化简整理，再由对数函数的单调性，可得l为关于a的减函数，进而得到l的范围．【解答】解：（1）当a=1时，f2（x）=|a•3x﹣9|=|3x﹣9|，当|3x﹣9|≥|3x﹣1|，可得（2•3x﹣10）（﹣8）≥0，即为3x≤5，即x≤log35，可得f（x）=|3x﹣1|，x≤log35，当0≤x≤log35时，f（x）=3x﹣1；当x＜0时，f（x）=1﹣3x；当x＞log35，f（x）=|3x﹣9|，当x≥2时，f（x）=3x﹣9，当log35＜x＜2时，f（x）=9﹣3x．则x＜0时，f（x）=1﹣3x递减；log35＜x＜2时，f（x）=9﹣3x递减．综上可得，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），（log35，2）；（2）由题意可得f2（x）≤f1（x），即为|a•3x﹣9|≤|3x﹣1|，平方可得（a•3x﹣9）2≤（3x﹣1）2，即有[（a﹣1）•3x﹣8][（a+1）•3x﹣10]≤0，由2≤a＜9，可得（3x﹣）（3x﹣）≤0，又﹣=＞0，则≤3x≤，即有log3≤x≤log3，可得l=log3﹣log3=log3=log3+log3=log3+log3（1+），由2≤a＜9，可得l是关于a的递减函数，即有0＜l≤log3．则l的取值范围的范围是（0，log3]．22．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点T（﹣2，）在椭圆Γ上，且|TF1|+|TF2|=8．（1）求椭圆的方程；（2）点P，Q在椭圆Γ上，O为坐标原点，且直线OP，OQ的斜率之积为，求证：|OP|2+|OQ|2为定值；（3）直线l过点（﹣1，0）且与椭圆Γ交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由点T（﹣2，）在椭圆Γ上，且|TF1|+|TF2|=8，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆的方程．（2）设直线OP：y=kx，联立，求出|OP|2，同理求出|OQ|2，由此能证明|OP|2+|OQ|2为定值．（3）当直线l与x轴不垂直时，设l：y=k（x+1），由，得（1+4k2）x2+8k2x+（4k2﹣16）=0，推导出•=，当l与x轴垂直时，l：x=﹣1，A（﹣1，），B（﹣1，﹣），从而•=，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点T（﹣2，）在椭圆Γ上，且|TF1|+|TF2|=8，∴，解得a=4，b=2，∴椭圆的方程为=1．证明：（2）设直线OP：y=kx，联立方程组，得x=，∴|OP|2=，又直线OQ：，同理，得|OQ|2==，∴|OP |2+|OQ |2===20，为定值．解：（3）当直线l 与x 轴不垂直时，设l ：y=k （x +1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （t ，0），由，得（1+4k 2）x 2+8k 2x +（4k 2﹣16）=0，又=（x 1﹣t ，y 1），=（x 2﹣t ，y 2），∴=（x 1﹣t ）（x 2﹣t ）+y 1y 2=（x 1﹣t ）（x 2﹣t ）+k （x 1+1）•k （x 2+1）=（1+k 2）x 1x 2+（k 2﹣t ）（x 1+x 2）+（k 2+t 2）=，令，得t=﹣，此时•=，当l 与x 轴垂直时，l ：x=﹣1，A （﹣1，），B （﹣1，﹣），又M （﹣，0），∴•=，综上，M （﹣，0），•=．23．已知函数y=f （x ）的图象是自原点出发的一条折线，当n ≤y ≤n +1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为b n 的线段，其中常数b ＞0且b ≠1，数列{x n }由f （x n ）=n （n=0，1，2…）定义．（1）若b=3，求x 1，x 2；（2）求x n 的表达式及f （x ）的解析式（不必求f （x ）的定义域）；（3）当b ＞1时，求f （x ）的定义域，并证明y=f （x ）的图象与y=x 的图象没有横坐标大于1的公共点．【考点】数列与函数的综合．【分析】（1）由f （0）=0，运用直线的斜率公式，f （x n ）=n ，可得x 1，x 2；（2）由x 1=1，x 2=1+，…，x n =x 1+（x 2﹣x 1）+（x 3﹣x 2）+…+（x n ﹣x n ﹣1），运用等比数列的求和公式，即可得到所求；再由直线的斜率公式可得f （x ）的解析式；（3）当b ＞1时，x n =，f （x ）的定义域为[0，），证明b ＞1，1＜x ＜时，恒有f （x ）＞x 成立．运用f （x ）的解析式，结合不等式的性质即可得到结论．【解答】解：（1）依题意f （0）=0，又由f （x 1）=1，当0≤y ≤1时，函数y=f （x ）的图象是斜率为b 0=1的线段，故由=1，得x 1=1．又由f（x2）=2，当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，故由=b，即x2﹣x1==，解得x2=；（2）由（1）可得x1=1，x2=1+，由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为b n﹣1，故得=b n﹣1，又f（x n）=n，f（x n）=n﹣1，﹣1=（）n﹣1，∴x n﹣x n﹣1}为等比数列，其首项为1，公比为，由此知数列{x n﹣x n﹣1）因b≠1，得x n=x1+（x2﹣x1）+（x3﹣x2）+…+（x n﹣x n﹣1=1++（）2+…+=（）n﹣1==，对n=1也成立，故x n=；当n≤y≤n+1时，=b n，f（x）=f（x n）+（x﹣x n）b n=n+（x﹣x n）b n（n=0，1，2，…）：（3）当b＞1时，x n=，f（x）的定义域为[0，），下面证明b＞1，1＜x＜时，恒有f（x）＞x成立．事实上，对1＜x＜时，存在x n，使x n≤x≤x n+1，于是由b＞1时，f（x）=f（x n）=b n（x﹣x n）＞x﹣x n，进而f（x）﹣x＞f（x n）﹣x n=n﹣x n，当b＞1时，x n=1+++…+＜n，即n﹣x n＞0，可得f（x）＞x．综上知，y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的公共点2018年9月20日。

高考试卷-2018年上海市高考数学试题有答案

2018年高考数学真题试卷（上海卷）一、填空题1.（2018•上海）行列式4125的值为。

【答案】18 【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。

【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷） 2.（2018•上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为。

【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=，a=2，b=1。

故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。

注意易错点焦点在x 轴上，渐近线直线方程为22221x y b a -=时，by x a=±。

【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）3.（2018•上海）在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为。

（结果用数值表示）【答案】21【解析】【解答】（1+x ）7中有T r+1=7r r C x ，故当r=2时，27C =762⨯=21 【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。

考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C a b-。

【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）4.（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。

【答案】7【解析】【解答】f x （）的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =，()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7. 【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=x 对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上点为()00,y x【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）5.（2018•上海）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。

2018年上海市复旦附中高考数学三模试卷(J)

2018年上海市复旦附中高考数学三模试卷(J)副标题一、选择题（本大题共4小题，共4.0分）1.在等差数列的前n项和为，若的值为常数，则下列为常数的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设等差数列的公差为d，为常数，为常数．故选：C．利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.矩阵的一种运算，该运算的几何意义为平面上的点在矩阵作用下变换成点，若曲线，在矩阵的作用下变换成曲线，则的值为A. B. 2 C. D.【答案】B【解析】解：设是曲线的点，在矩阵的作用下的点为，即，又，，．故，解得：，，．故选：B．设是曲线的点，在矩阵的作用下的点为，得出关于a，b的方程组，从而解决问题．本题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用待定系数法求解a，b；属于基础题．3.函数是R上的增函数，则是f的条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 不充分不必要【答案】C【解析】解：，，又在R上为增函数，，，则f反之，若f在R上为增函数，．即故是f的充要条件．故选：C．题考查的知识点是充要条件的定义及函数的单调性，由可知，，，又在R上为增函数，故，，反过来，由增函数的概念也可推出，；根据充要条件的定义，我们易得到结论．判断充要条件的方法是：若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q 的关系．4.有一容积为的正方体容器，在棱AB、和面对角线的中点各有一小孔E、F、G，若此容器可以任意放置，则其可装水的最大容积是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如图，以E，，G三点组成的平面去截正方体，截去一个三棱锥，其底面为，面积，高为，截去一个三棱锥体积为，当E，，G三点在同一水平面时，F点在水平面之上，E，F，G三点都不漏水．其可装水最大容积．故选：C．根据正方体的几何特征，选取过E，，G三点的平面去截正方体，根据棱锥的体积公式，易求出切下的小三棱锥的体积，进而求出剩下的即容器可装水的容积，则答案可求．本题考查的知识点是棱锥的体积，其中根据正方体的几何特征确定出选取过E，，G 三点的平面去截正方体时，该容器可装水的容积最大是解答本题的关键，是中档题．二、填空题（本大题共14小题，共14.0分）5.已知集合，，则______．【答案】【解析】解：由M中，得到，即，由N中，得到，解得：，即，则，故答案为：求出M与N中x的范围分别确定出两集合，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6.若复数z满足，则z的虚部为______．【答案】【解析】解：．由，得，即．的虚部为．故答案为：．首先求出，代入后直接利用复数的除法运算求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则______【答案】6【解析】解：，，，，由余弦定理，可得：．故答案为：6．由已知利用二倍角公式可求的值，进而根据余弦定理即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．8.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为______．【答案】9【解析】解：根据频率分布直方图，得：日销售量不少于150个的频率为，则估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为：．故答案为：9．根据频率分布直方图，求出对应的频率与频数即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率频数的应用问题，是基础题样本容量目．9.现有5个女生和3个男生随机站成一排，则排头和排尾均为女生的概率是______结果用分数表示【答案】【解析】解：现有5个女生和3个男生随机站成一排，基本事件总数，排头和排尾均为女生包含的基本事件个数，排头和排尾均为女生的概率．故答案为：．基本事件总数，排头和排尾均为女生包含的基本事件个数，由此能求出排头和排尾均为女生的概率．本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.在极坐标系中，圆的圆心到极轴距离为______．【答案】1【解析】解：圆的极坐标方程为．则它表示过极坐标原点，点的，以2为直径的圆故圆心落在点．在极坐标系中，圆的圆心到极轴距离为：1．故答案为：1．由已知中圆的极坐标方程为，我们分别取，，并由此可以确定出圆的一条直径两端点的坐标，进而代入中点坐标公式，即可得到答案．本题考查的知识点是简单曲线的极坐标方程，其中根据已知圆的极坐标方程确定圆直径及直径两端点的坐标是解答本题的关键．11.无穷等比数列的前n项和为，若，且，则无穷等比数列的各项和为______【答案】【解析】解：设公比为q，，且，当时，，，，，即解得，或舍去无穷等比数列的各项和，当时，，故无穷等比数列的各项和为，故答案为：先分类讨论，当时不成立，则，根据，解得，再根据等比数列的求和公式和极限的思想即可求出．本题考查了等比数列的求和公式和，极限思想，属于中档题．12.如图，正三棱柱中，，若E，F分别是棱，上的点，则三棱锥的体积是______．【答案】【解析】解：取BC中点D，连结AD，则，平面平面，平面平面，平面ABC，平面．是等边三角形，，．平面，E，F是，的中点，四边形，．故答案为：用三棱柱的体积减去三棱锥和三棱锥的体积．本题考查了棱柱的结构特征，棱锥的体积计算，属于基础题．13.设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是______．【答案】【解析】解：联立得：解得：，同理解得因为点A和点B的中点M的坐标为，利用根与系数的关系可得：；又因为直线AB：的斜率为，根据两直线垂直斜率乘积等于可知垂直平分线的斜率为；所以弦AB的垂直平分线方程为，化简得故答案为．联立直线与圆的解析式得到交点A和B的坐标，然后利用中点坐标公式求出中点坐标，根据两直线垂直斜率乘积等于，由直线AB的斜率得到中垂线的斜率，即可得到中垂线的解析式．考查学生掌握两直线垂直时的斜率乘积为，会求线段中点的坐标，根据条件能写出直线的一般方程，以及掌握直线与圆的方程的综合应用．14.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于A、B两点B异于坐标原点若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是______．【答案】【解析】解：抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，代入抛物线的方程，可得，，由A，B，F三点共线，可得：，即有，则双曲线的渐近线方程为．故答案为：．求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程可得A，B，再由A，B，F共线，可得，即有，进而得到双曲线的渐近线方程．本题考查抛物线的焦点坐标，双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用和求法，考查运算能力，属于中档题．15.在边长为6的等边中，点M满足，则等于______．【答案】24【解析】解：，则故答案为：24由，可得，代入到，可求本试题考查了向量的数量积的基本运算考查了基本知识的综合运用能力．16.已知函数，且，其中为奇函数，为偶函数若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：为定义在R上的偶函数，为定义在R上的奇函数，又由，，，不等式在上恒成立，化简为，令整理得：，则由可知在单调递增当时，因此，实数a的取值范围是故答案为先根据函数奇偶性定义，解出奇函数和偶函数的表达式，将这个表达式不等式，通过变形可得，通过换元，讨论出右边在的最大值，可以得出实数a的取值范围．本题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．17.已知圆O：，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值是______．【答案】【解析】解：如图，设正方形边长为a，，则，在中，，，，，时，的最大值为线段OC长度的最大值是故答案为：设正方形边长为a，，从而在中，计算OC的长，利用三角函数，可求OC的最大值．本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数的化简，解题的关键是构建OC关于的三角函数，属于中档题．18.如图，在正三棱锥中，D为线段BC的中点，E在线段PD上，，为定长，则该棱锥的体积的最大值为______【答案】【解析】解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，则该三棱锥的高为，该棱锥的体积．该棱锥的体积的最大值为．故答案为：．设正三棱锥的底面边长为a，则该三棱锥的高为，求出底面积，代入三棱锥体积公式，然后利用基本不等式求最值．本题考查棱锥体积最值的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，属难题．三、解答题（本大题共5小题，共5.0分）19.已知三角形的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，，且．求角B的大小；求C的取值范围．【答案】解：向量，，且．，，，．，，，，，，．【解析】利用两向量平行的性质以及两向量的左边可求得a，b和c的关系式，代入余弦定理中求得的值，进而求得B．根据中B，可知，进而可把转化成，展开后，利用两角和公式化简，利用A的范围来确定的范围．本题主要考查了余弦定理的应用，两角和公式的化简求值考查了学生分析问题的能力和基本运算的能力．20.如图，空间直角坐标系中，四棱锥的底面是边长为的正方形，且底面在xOy平面内，点B在y轴正半轴上，平面OABC，侧棱OP与底面所成角为；若y，是顶点在原点，且过A、C两点的抛物线上的动点，试给出x与y 满足的关系式；若M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为，写出M、N两点之间的距离，并求的最小值；是否存在一个实数，使得当取得最小值时，异面直线MN与OB互相垂直？请说明理由；【答案】解：由四棱锥的底面是边长为的正方形，则1，，与y满足的关系式：；设a，，，则，当，，当，；当，异面直线MN与OB成角，不符；，当取得最小值时，，，当异面直线MN与OB垂直时，，即，解得：．【解析】根据题意，求得A点坐标，代入抛物线方程，即可求得x与y的关系式；设M和N点坐标，根据两点之间的距离公式，利用二次函数的性质，即可求得最小值；由可知：当，当取得最小值时，求得，由异面直线MN与OB垂直时，，代入即可求得a的值．本题考查抛物线的方程，异面直线所成的角，点两点之间的距离公式及二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．21.已知，且，且，函数；设，，若是奇函数，求k的值；设，，判断函数在R上的单调性并加以证明；设，，，函数的图象是否关于某垂直于x轴的直线对称？如果是，求出该对称轴，如果不是，请说明理由；【答案】解：由已知，，于是，则，若是奇函数，则，即，所以对任意实数x恒成立，所以．因为，，所以函数是增函数，减函数，由知，是增函数，所以函数在R是增函数．证明如下：设、且，则，因为，，，，所以，，所以，所以函数在R是增函数．，若函数的图象是轴对称图形，且对称轴是直线，则函数是偶函数，即对任意实数x，，，化简得，因为上式对任意成立，所以，，所以，函数的图象是轴对称图形，其对称轴是直线【解析】根据已知条件，将代入函数表达式，得，再利用奇函数定义，用比较系数的方法，求出k的值，因为，，根据指数函数单调性的定理，可得函数是增函数，减函数，再根据函数单调性的运算法则，得出函数上的是增函数，最后用函数单调性的定义加以证明；根据函数的图象是轴对称图形且对称轴是直线，则函数是偶函数，即得到即对任意实数x，，代入表达式，采用比较系数法，可得，最终求出．本题是一道函数综合题，着重考查了函数的单调性与奇偶性和函数图象的对称性，解题时要注意有关定义和结论的正确理解与准确应用属于难题．22.已知A、B为椭圆和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为、、、．求证：点P，Q，O三点共线；求的值；设、分别为双曲线和椭圆的右焦点，若，求的值．【答案】证明：、B为椭圆和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且．，点P，Q，O三点共线．解：设，，则，同理，得：，，，，，．，，，，又，，又，，，，，同理，，且，，同理，．【解析】由得到，由此能证明点P，Q，O三点共线．设，，求出，，由，能出的值．由，推导出，再由，得到，，由此能求出的值．本题考查圆锥曲线的综合，着重考查整体代换与方程思想，培养学生综合分析问题，解决问题的能力，属于难题．23.已知是数列的前n项和，对任意，都有；若，求证：数列是等差数列，并求此时数列的通项公式；若，求证：数列是等比数列，并求此时数列的通项公式；设，若，求实数m的取值范围；【答案】解：证明：，时，，可得；时，，且，相减可得，即有，可得，数列是首项为4，公差为3的等差数列；则，即；，时，，可得，时，，且，相减可得，即，可得当时，，数列是首项为，公比为m的等比数列，即有，可得；，若，显然时，，不满足条件；则，可得，可得，显然，递增，不满足条件；则，时，显然成立；当时，时，的最大值为，，即为恒成立；当时，的最大值为，，满足条件；当时，，的最大值为，不满足条件．综上可得m的取值范围是【解析】运用数列的递推式，求得首项，，可得，结合等差数列的定义和通项公式可得所求；运用数列的递推式，可得首项，，可得当时，，运用等比数列的定义和通项公式可得所求；结合结论，讨论，，，，，运用条件，结合指数函数的单调性，即可得到所求范围．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2018届上海市高考模拟数学试卷及答案

上海市2018学年度高考数学模拟试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.函数)2(log 1)(2-=x x f 的定义域为2.复数z 满足iiz 1=i +1，则i z 31-+= 3.底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 m 2 4.某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产5.若非零向量,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______6.已知圆O ：522=+y x ，直线l ：)20(1sin cos πθθθ<<=+y x ，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = 7.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为8.已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*()n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为9.设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值范围为_____________10.已知F 是抛物线42y x =的焦点，B A ,是抛物线上两点，线段AB 的中点为)2,2(M ，则ABF ∆的面积为 11.如图,已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树米时，第11题图看A 、B 的视角最大12.将函数()2sin()3f x x πω=-（0ω>）的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为13.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外两个顶点n n D C 在函数)0(1)(>+=x xx x f 的图象上.若点n B 的坐标),2)(0,(+∈≥N n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长为n a ，数列{}n a 的前m ()+∈N m 项和为m S ，则2limnmn a S +∞→= 14.已知定义域为R 的偶函数)(x f ，对于任意R x ∈，满足)2()2(x f x f -=+。

2018年上海市浦东新区高考数学三模试卷(J)

2018年上海市浦东新区高考数学三模试卷(J)副标题一、选择题（本大题共4小题，共4.0分）1.已知非空集合A、B满足，给出以下四个命题：若任取，则是必然事件若，则是不可能事件若任取，则是随机事件若，则是必然事件其中正确的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：非空集合A、B满足，可得A中的任何一个元素都是B中的元素，B中至少有一个元素不在A中，若任取，则是必然事件，故正确；若，则是可能事件，故不正确；若任取，则是随机事件，故正确；若，则是必然事件，故正确．其中正确的个数为3，故选：C．由集合的包含关系可得A中的任何一个元素都是B中的元素，B中至少有一个元素不在A中，结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念，即可判断正确的个数．本题考查集合的包含关系，以及必然事件、不可能事件和随机事件的概念和判断，考查判断能力，属于基础题．2.正方体中，E为棱的中点如图，用过点B、E、的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由题意可知：过点B、E、的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为：D．故选：D．利用平面的基本性质，画出直观图，然后判断左视图即可．本题考查简单几何体的三视图，是基本知识的考查．3.设函数的图象为C，下面结论中正确的是A. 函数的最小正周期是B. 图象C关于点对称C. 图象C可由函数的图象向右平移个单位得到D. 函数在区间上是增函数【答案】B【解析】解：对于A，函数的最小正周期为，A错误；对于B，时，，其图象关于点对称，B正确；对于C，，其图象可由函数的图象向右平移个单位得到，C错误；对于D，时，，函数先递增后递减，D错误；故选：B．根据正弦型函数的图象与性质，对选项中的命题真假性判断即可．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．4.在平面直角坐标系xOy中，设定点，P是函数图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为A. B. 1 C. 或 D. 不存在【答案】C【解析】解：设，由，则，分两种情况：当时，，则；当时，，则．满足条件的实数a的所有值为：或．故选：C．设，由，则，分、两种情况求出，能求出满足条件的实数a的所有值．本题考查满足条件的实数a的所有值的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．二、填空题（本大题共12小题，共12.0分）5.直线的倾斜角的大小为______．【答案】【解析】解：由，得，直线的斜率为，设其倾斜角为，则，．故答案为：．化直线的一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角．本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．6.已知集合，，则______．【答案】【解析】解：集合，或，．故答案为：．利用分式不等式和一元二次不等式分别求出集合A和B，由此能求出．本题考查集合的交集的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用．7.函数的单调递减区间是______．【答案】【解析】解：由，即，故函数的单调减区间为，故答案为：．根据余弦函数的单调性的性质即可得到结论．本题主要考查余弦函数的单调性的求法，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．8.方程的解为______．【答案】【解析】解：方程，化为方程，可得，解得．故答案为：直接利用指数方程，转化求解即可．本题考查函数与方程的应用，方程的解法，指数的运算法则，考查计算能力．9.设复数z满足，则______．【答案】【解析】解：复数z满足，，化为，化为，．故答案为：．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．10.某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取______名学生．【答案】40【解析】解：根据题意，高三学生，在该学校的高三应抽取名．故答案为：40．根据题意计算高三学生人数，再计算高三应抽取的学生数．本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．11.函数的最小正周期______．【答案】【解析】解：函数，它的最小正周期是：．故答案为：先利用二阶矩阵化简函数式，再把函数化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．12.已知甲、乙两位射手，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，如果甲乙两位射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的概率为______．【答案】【解析】解：甲、乙两位射手，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，甲乙两位射手的射击相互独立，甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的概率为：．故答案为：．利用对立事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.已知的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角分别为A，B，C，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：由的三边a，b，c成等比数列，可得：，得，由，故可得，由，可得，则．故答案为：运用等比数列的中项定义和余弦定理，结合基本不等式可得的范围，进而得到B的范围，再由两角和的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，可得所求范围．本题考查等比中项的定义和余弦定理、基本不等式和正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．14.若不等式在时恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：不等式可得，不等式在时恒成立，，解得．实数a的取值范围是：．故答案为：．直接求出绝对值不等式的解集，利用恒成立直接求出a的值即可．本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题的应用，考查计算能力．15.的值域是______．【答案】，【解析】解：令，则，或，所以值域为，．故答案为：，．利用换元法，通过化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的最值，得到函数的值域即可．本题考查函数的值域，函数的最值的求法，换元法以及基本不等式的应用，考查中航三鑫以及计算能力．16.已知数列满足，其首项，若数列是单调递增数列，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：，其首项，数列是递增数列，，则，即，当时，解得．当时，不等式无解．故答案为：．利用数列是递增数列，对a讨论，通过第二项大于第一项，求出a的范围即可．本题考查数列的单调性，注意推出数列的第二项大于第一项，是解题的关键，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共5.0分）17.若的图象的最高点都在直线上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为．求和m的值；在中，a，b，c分别是，，的对边，若点是函数图象的一个对称中心，且，求外接圆的面积．【答案】解：，由题意知，函数的周期为，且最大值为m，，；是函数图象的一个对称中心，，又为的内角，，在中，设外接圆半径为R，由正弦定理得，得．的外接圆的面积．【解析】利用二倍角的正弦函数公式化简，再由正弦函数的性质求得和m的值；由是函数图象的一个对称中心求得A值，再由正弦定理求得外接圆半径，则外接圆的面积可求．本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题．18.在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，平面ABCD，．求四棱锥的体积；求异面直线PB与DC所成角的大小．【答案】解：在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，平面ABCD，．四棱锥的体积分，就是异面直线PB与DC所成的角，分平面ABCD，，又，，分在中，，，，，分异面直线PB与DC所成角的大小为分【解析】由底面ABCD是边长为4的正方形，平面ABCD，能求出四棱锥的体积．由，得就是异面直线PB与DC所成的角，由此能求出异面直线PB与DC所成角的大小．本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.已知各项都不为零的无穷数列满足：；证明为等差数列，并求时数列中的最大项；若为数列中的最小项，求的取值范围．【答案】证明：由分是等差数列，且公差；分当时，分数列递减数列，最大项为分解：由知；分当时，数列是正项递增数列，此数列没有最大项，从而数列中就没有最小项，故；分由数列是递增数列，且是的最小项，是数列中的最大负项，分从而有分又的取值范围是：分【解析】推导出是等差数列，且公差，由此能证明数列递减数列，最大项为．由，当时，数列是正项递增数列，此数列没有最大项，从而数列中就没有最小项，故；再由数列是递增数列，且是的最小项，能求出的取值范围．本题考查等数列的证明，考查数列的首项的取值范围的求法，考查等差数列、数列的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.设抛物线的准线与x轴的交点为M，过M作直线l交抛物线于A、B两点．求线段AB中点的轨迹；若线段AB的垂直平分线交对称轴于，求的取值范围；若直线l的斜率依次取p，，，，，时，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点依次为，，，，，，当时，求：的值．【答案】解：设直线AB：，联立，得：，分由且得到：分设AB的中点为，则，分消去k得，分实际轨迹为该抛物线位于直线右方的两段抛物线弧分设AB的中点为，分则线段AB的垂直平分线的方程为：分令，得，分由p '/>，得分，由知AB中点的横坐标，分则当时，点的横坐标，分同理的横坐标，，分分数列为一无穷递缩等比数列，所有项的和为分【解析】设直线AB：，联立，利用韦达定理求解AB的中点为，求解轨迹方程，得到轨迹为该抛物线位于直线右方的两段抛物线弧．设AB的中点为，求出线段AB的垂直平分线的方程，然后求解．求出AB中点的横坐标，求出点的横坐标，通过数列为一无穷递缩等比数列，求解所有项的和．本题考查数列的应用，数列求和，数列与函数以及解析几何相结合的应用，考查发现问题解决问题的能力．21.已知函数，分别求，的值；讨论的解的个数；若对任意给定的，都存在唯一的，满足，求实数a的取值范围．【答案】解：，．，．，画图的图象如图，由图可知，当时，方程有0解；当时，方程有2解；当时，方程有4解；当时，方程有3解．要使对任意给定的，都存在唯一的，满足，则的取值必须大于1；即当时，的值域包含于；当时，，舍去；当时，；当时，，舍去；综上所述，．【解析】直接由分段函数求得，的值；求出函数的解析式并作出图象，数形结合可得的解的个数；由题意可得的取值必须大于1，然后根据a的范围分析关于t的二次函数的值域，从而可得实数a的取值范围．本题主要考查了分段函数的应用，关键是可以把当作是一个数，然后在确定数的大小后再把它作为一个关于t的函数求解，是难题．。

2018年上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷(J)

2018年上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷(J)副标题一、选择题（本大题共4小题，共4.0分）1.若椭圆C的方程为，则是曲线C的焦点在x轴上的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】C【解析】解：椭圆C的方程为，若曲线C的焦点在x轴上，，故椭圆C的方程为，则是曲线C的焦点在x轴上的充要条件，故选：C．根据椭圆的性质即可得到曲线C的焦点在x轴上则再根据充要条件的定义即可判断．本题考查充要条件的判断与应用，椭圆的简单性质，基本知识的考查．2.方程的解的个数有A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解：由于，所以，由此得到方程无解．故选：A．利用反三角函数，判断等式两侧表达式的范围，即可推出结果．本题考查反三角函数的应用，基本知识的考查．3.已知实数x，y满足，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设为圆上的任意一点，则P到直线的距离，P到原点的距离，．设圆与直线相切，则，解得，的最小值为，最大值为，，．故选：B．构造直线，过圆上一点P作直线的垂线PM，则，求出的范围即可得出答案．本题考查了直线与圆的位置关系，距离公式的应用，属于中档题．4.实数a，b满足，，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：实数a，b满足，，可得，，令，，可得，它的可行域如图：A在与的交点，，，是双曲线关于对称，显然在A处取得最大值：，在B处取得最小值：．则的取值范围是：．故选：B．求出a，b的范围，利用换元法画出可行域，利用目标函数的几何意义求解范围即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，利用换元法同时考查转化思想，数形结合思想的应用．二、填空题（本大题共12小题，共12.0分）5.若，则______．【答案】2【解析】解：，．故答案为：2．利用对数的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查对数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.已知直线l垂直于直角坐标系中的y轴，则l的倾斜角为______．【答案】0【解析】解：由直线倾斜角的定义可得，垂直于直角坐标系中的y轴的直线l的倾斜角为0．故答案为：0．直接由直线的倾斜角的定义得答案．本题考查直线倾斜角的定义，是基础题．7.在复平面内，点对应的复数z，则______．【答案】【解析】解：在复平面内，点对应的复数z，则．故答案为：．求出复数，然后求解复数的模．本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．8.若角的终边经过点，则的值为______【答案】【解析】解：角的终边经过点，可得．则．故答案为：．利用角的终边经过点，求出，然后求解即可．本题考查三角函数的定义，反三角函数的化简求值，是基本知识的考查．9.若不等式的解集为，则实数t等于______【答案】1【解析】解：因为不等式的解集为，即是方程的根，所以，不等式化为，解得．所以．故答案为：1．由题目给出的绝对值不等式的解解为，可知为不等式所对应方程的两个根，求出a，然后求解实数t即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查了数学转化思想方法，若该题采用去绝对值的办法，去绝对值后需要分类讨论，解法变得复杂，该题属基本知识的考查．10.由参数方程为参数，，所表示的曲线的右焦点的坐标为______【答案】【解析】解：根据题意，参数方程变形为普通方程为，为双曲线，其中，，且其焦点在x轴上，则所表示的曲线的右焦点的坐标为；故答案为：．根据题意，将参数方程变形为普通方程，分析其表示的曲线为双曲线，由双曲线的几何性质分析可得答案．本题考查参数方程与普通方程的互化，关键是将参数方程变形为普通方程．11.直角坐标系xOy内有点，，，，将四边形ABCD绕直线旋转一周，所得到的几何体的体积为______．【答案】【解析】解：直角坐标系xOy中，点，，，，如图所示，由图形知四边形ABCD是矩形，将矩形ABCD绕直线旋转一周，所得几何体为底面半径为1，高为2的圆柱，该圆柱的体积为．故答案为：．由题意知四边形ABCD是矩形，矩形ABCD绕直线旋转一周得圆柱，求出圆柱的体积即可．本题考查了矩形旋转后是圆柱体的应用问题，是基础题．12.A，B二校各推荐两篇课题放在一起评比，则四篇课文在排序中没有A校命题相邻的概率为______．【答案】【解析】解：A，B二校各推荐两篇课题放在一起评比，基本事件总数，四篇课文在排序中没有A校命题相邻包含的基本事件个数，四篇课文在排序中没有A校命题相邻的概率为．故答案为：．基本事件总数，四篇课文在排序中没有A校命题相邻包含的基本事件个数，由此能求出四篇课文在排序中没有A校命题相邻的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.已知平面直角坐标系中的两点，，O原点，有，设：，，是平面曲线上任意三点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：由，得．该曲线表示以为圆心，以为半径的圆．如图，圆内接三角形面积最大时三角形为正三角形，且最大面积为．．故答案为：．化圆的方程为标准方程，求出圆的半径，结合已知及圆内接正三角形面积最大求解．本题考查曲线与方程，明确圆内接正三角形面积最大是关键，是中档题．14.设点O在的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且，则______．【答案】2【解析】解：点D，E分别为边AC，BC的中点，，，，故答案为：2．根据向量的几何意义即可求出．本题考查了平面向量加法的几何意义，是基础题．15.设函数，数列的首项，且，若数列不是单调递增数列，则的取值范围______．【答案】【解析】解：；假设，则．若，则，由此可证得是单调递增数列，这矛盾．所以．故答案为：．通过数列与函数的关系式，结合不等式，转化求解的取值范围．本题考查数列与函数的综合应用，反证法的应用，考查转化思想以及计算能力．16.给定曲线，为参数，则这些曲线在直线上所截得得弦长的最大值是______．【答案】【解析】解：将代入曲线方程得，．令，则，，弦长．故弦长的最大值是，故答案为：．联立直线与曲线方程可求交点的横坐标，，要使曲线族在直线上所截得的弦长的最大，则只要最大即可，即t最大即可，根据函数的性质即可求出．本题主要考查了直线与曲线相交求解交点、弦长，解题的关键是灵活利用三角函数的性质及弦长公式，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共5.0分）17.已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆P，OA与母线所成角为，试用r表示圆柱的表面积S；若圆柱体积为，求点C到平面OEF的距离．【答案】解：连接AP，由题意可知：OA与母线所成角为，，所以：，---2分，---4分，---6分，，---10分---14分【解析】利用已知条件，通过求解三角形推出圆柱的高，然后求解圆柱的表面积S．利用圆柱的体积，求出底面半径，通过，求解点C到平面OEF的距离．本题考查空间点线面的距离的求法，几何体的体积的求法，考查了直角三角形的解法，是基础题．18.已知向量和向量，且．求函数的最小正周期和最大值；已知的三个内角分别为A，B，C，若有，，，求AC的长度．【答案】解：，，化为．函数的周期为，最大值为2．得，即，由正弦定理得，又，，则．【解析】利用向量共线定理、两角和差的正弦公式、三角函数的性质即可得出；利用正弦定理即可得出．本题考查了向量共线定理、两角和差的正弦公式、三角函数的性质、正弦定理，属于中档题．19.业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为为常数元，之后每年会投入一笔研发资金，n年后总投入资金记为，经计算发现当时，近似地满足，其中为常数，已知3年后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍问研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；研发启动后第几年的投入资金的最多．【答案】解：由题意知，．所以解得所以．令，得，解得，即，所以．所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍．由知第n年的投入资金，当且仅当，即等号，此时．所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多．【解析】由题意知，，代入求出p，q的值，即可得到函数的解析式，再代值计算即可求出n的值，利用作差法，求出第n年的投入资金，利用基本不等式即可求出答案．本题考查了函数模型在实际生活中的应用，以及基本不等式的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．20.平面直角坐标系xOy中，抛物线：的焦点为F，过F的直线l交曲线于B，C两点．若l垂直于x轴，且线段BC的长为1，求曲线方程；若l的斜率为k，求；设抛物线上异于B，C的点A满足若的重心在x轴上，求得重心的坐标．【答案】解：联立方程，所以BC长，从而的方程为分设，，l：．由、，得到分，所以分若l垂直于x轴，则由，此时重心坐标为．以下设l：，，．设线段BC中点，则，，所以直线AD的斜率，分此时，从而直线AD：与x轴的交点即为的重心．综合有，的重心为或者分【解析】若l垂直于x轴，联立直线与抛物线方程，通过线段BC的长为1，求曲线方程即可；若l的斜率为k，设，，写出l：通过联立直线与抛物线方程，结合韦达定理转化求解；若l垂直于x轴，则由，此时重心坐标为设l：，，设线段BC中点，求出D的坐标，AD的斜率，求出直线系方程，得到定点坐标即为的重心．本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21.设函数在上有定义，实数a，b满足若在区间上不存在最小值，则称在区间上具有性质p．当，且在区间上具有性质p时，求常数C的取值范围；已知，且当时，，判别在区间上是否具有性质p；若对于满足的任意实数a，b；在区间上具有性质p，且对于任意，当时，有：，证明：当时，．【答案】解：当时，在上存在最小值；当时，在上存在最小值；当时，在上单调递增，所以不存在最小值．所以．因为时，，所以在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到另一方面，在区间上不存在最小值，所以在区间上具有性质P．首先证明对于任意，．当时，由可知介于和之间若，则在区间上存在最小值，矛盾．利用归纳法和上面结论可得：对于任意k，，当时，．其次证明当且时，；当且时，．任取，设正整数k满足，则．若存在使得，则，即由于当时，，所以在区间有最小值，矛盾．类似可证，当且时，．最后证明：当时，．当时，成立当时，由可知，存在使得，所以．当时，有：若，则，所以在上存在最小值，故不具有性质p，故不成立．若，则假设，则在上存在最小值，故不具有性质p，故假设不成立．所以当时，对于任意都成立．又，故当、，所以，即．所以当时，则存在正整数m使得，则所以当时，，同理可证得当时，．所以当时，必然存在正整数n，使得，所以；当时，显然成立；所以综上所述：当时，．【解析】分别讨论图象的对称轴与1和2的关系，即可得出是否存在最小值，从而求出C的取值范围；由题目条件可得出在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到，又在区间上不存在最小值，所以在区间上具有性质P；首先证明对于任意，；其次证明当且时，；当且时，；最后证明：当时，．本题考查了函数与方程的综合运用，需要对题目的条件充分理解和利用，证明用到了数学归纳法，属于难题．。

2018年上海中学高考数学模拟试卷和答案(5月份)

2018年上海中学高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题1．（3分）抛物线x2＝2y的准线方程是．2．（3分）设集合A＝{x|log2018x＜1}，B＝{x|x＜3}，则A∩B＝．3．（3分）不等式＜1的解集为．4．（3分）命题A：x＜1，命题A的一个必要条件为下面的命题（填“p”或“q”）命题p：x＜0；命题q：x＜25．（3分）复数8+6i（i为虚数单位）的平方根为．6．（3分）已知点A（1，2）、B（﹣1，0）、C（3，﹣1），则△ABC的面积为．7．（3分）（2+x）n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（2+x）n的展开式中倒数第4项的系数为．8．（3分）cos（2α﹣β）＝﹣，sin（α﹣2β）＝，且α，β∈（0，），则cos（α+β）＝．9．（3分）f（x+1）＝x2，x＜﹣1，则f﹣1（x+1）＝（f﹣1（x）为f（x）的反函数）．10．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，在B的取值范围是（角用弧度表示）11．（3分）四面体P﹣ABC中，P A＝AB＝5，PB＝AC＝6，PC＝BC＝7，则P A与BC所成的角为．12．（3分）古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：＝+，＝+，＝+，…，按此规律，则（1）＝．（2）＝．（n＝5，7，9，11，…）二、选择题13．（3分）若α是第二象限的角，则的终边所在位置不可能是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．笫象限14．（3分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（3分）现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）A．24种B．30种C．36种D．48种16．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2D．三、解答题17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1，（1）求证：直线BC1∥平面D1AC；（2）求直线BC1到平面D1AC的距离．18．已知两个向量＝（1+log2x，log2x），＝（log2x，1）（1）若⊥，求实数x的值；（2）求函数f（x）＝•，x∈[，2]的值域．19．已知数列{a n}满足a1＝1，|a n+1﹣a n|＝p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p＝，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．20．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cos A＝，cos C＝（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？21．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）若b＝1，且f（x）在[﹣2，2]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）若对任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣2，3]使f（x）＞0，求实数b的取值范围；（3）若存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b的最大值．2018年上海中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、填空题1．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2＝2y，焦点在y轴上；所以：2p＝2，即p＝1，所以：＝，所以准线方程y＝﹣．故答案为：y＝﹣．2．【解答】解：A＝{x|0＜x＜2018}；∴A∩B＝（0，3）．故答案为：（0，3）．3．【解答】解：原不等式等价于，即x（x﹣1）＞0，所以不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）；故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，0）4．【解答】解：命题A：x＜1，命题A的一个必要条件为：{x|x＜1}是所求的集合的子集．故答案为：q．5．【解答】解：设复数8+6i（i为虚数单位）的平方根为a+bi，则（a+bi）2＝8+6i，即a2+2abi﹣b2＝8+6i，则，即，得或，即平方根为3+i或﹣3﹣i，故答案为：±（3+i）6．【解答】解：A（1，2）、B（﹣1，0）、C（3，﹣1），∴＝（﹣2，﹣2），＝（2，﹣3），∴•＝﹣4+6＝2，||＝2，||＝，cos A＝＝＝，sin A＝＝，∴△ABC的面积为S＝×2××＝5．故答案为：5．7．【解答】解：由，得n＝7．∴（2+x）n＝（2+x）7，（2+x）7的展开式中倒数第4项为．∴展开式中倒数第4项的系数为280．故答案为：280．8．【解答】解：∵α，β∈（0，），∴2α﹣β∈（﹣，π），α﹣2β∈（﹣π，），又cos（2α﹣β）＝﹣，∴2α﹣β∈（，π），∴sin（2α﹣β）＝．sin（α﹣2β）＝，∴α﹣2β∈（0，），∴cos（α﹣2β）＝．∴cos（α+β）＝cos[（2α﹣β）﹣（α﹣2β）]＝cos（2α﹣β）cos（α﹣2β）+sin（2α﹣β）sin（α﹣2β）＝．故答案为：．9．【解答】解：令x+1＝t＜0，则x＝t﹣1∴f（t）＝（t﹣1）2（t＜0），∴f（x）＝（x﹣1）2（x＜0）∴x﹣1＝﹣，x＝1﹣，（f（x）＞0）∴f﹣1（x）＝1﹣，（x＞0）∴f﹣1（x+1）＝1﹣，（x＞﹣1）10．【解答】解：由a，b，c成等差数列，得到2b＝a+c，即b＝，则cos B＝＝＝≥，∵B∈（0，π），且余弦在（0，π）上为减函数，∴角B的范围是：0＜B≤．故答案为：（0，]．11．【解答】解：如图，分别取PB，AB，AC的中点E，F，G，连接AE，CE，EF，FG，EG，则EF∥P A，FG∥BC，∠EFG（或其补角）为P A与BC所成的角．∵P A＝AB＝5，PB＝6，可得AE＝4，∵PC＝BC＝7，PB＝6，可得CE＝．在△CAE中，得cos∠CAE＝＝，则．在△EFG中，GF＝，EF＝，GE2＝19，∴cos∠EFG＝．∴P A与BC所成的角为arccos．故答案为：arccos．12．【解答】解：（1）假定有两个面包，要平均分给11个人，每人不够，每人分则余，再将这分成11份，每人得，这样每人分得+．故＝+；（2）假定有两个面包，要平均分给n（n＝5，7，9，11，…）个人，每人不够，每人分则余，再将这分成n份，每人得，这样每人分得+．故＝+；故答案为：+，+二、选择题13．【解答】解：∵α是第二象限角，∴90°+k•360°＜α＜180°+k•360°，k∈Z．则30°+k•120°＜＜60°+k•120°，k∈Z．当k＝0时，30°＜＜60°，α为第一象限角；当k＝1时，150°＜＜180°，α为第二象限角；当k＝2时，270°＜＜300°，α为第四象限角．由上可知，的终边所在位置不可能是第三象限角．故选：C．14．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m ⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选：B．15．【解答】解：根据题意，设需要涂色的四个部分依次分①、②、③、④，对于区域①，有4种颜色可选，有4种涂色方法，对于区域②，与区域①相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，对于区域③，与区域①②相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，对于区域④，与区域②③相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，则不同的涂色方法有4×3×2×2＝48种；故选：D．16．【解答】解：由主视图和侧视图可知棱锥的高h＝2，结合侧视图和俯视图可知三棱锥的底面ABC为直角三角形，BC＝1，AB＝2，AB⊥BC，∴三棱锥的体积V＝＝，故选：A．三、解答题17．【解答】解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，故AB∥C1D1，AB＝C1D1，故ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上，故直线BC1平行于平面DA1C；（2）直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离（设为h）以△ABC为底面的三棱锥D1﹣ABC的体积V，可得V＝而△AD 1C中，AC＝D1C＝，故＝所以以△AD1C为底面的三棱锥B﹣﹣AD1C的体积V＝，即直线BC1到平面D1AC的距离为．18．【解答】解：（1）＝（1+log2x，log2x），＝（log2x，1），若⊥，则（1+log2x）•log2x+log2x＝0，可得log2x＝0或log2x＝﹣2，解得x＝1或x＝；（2）函数f（x）＝•＝（1+log2x）•log2x+log2x＝（log2x）2+2log2x，令t＝log2x，由x∈[，2]，可得t∈[﹣2，1]，即有函数y＝t2+2t＝（t+1）2﹣1，当t＝﹣1时，函数取得最小值﹣1；当t＝1时，函数取得最大值3．则函数f（x）的值域为[﹣1，3]．19．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，则|a n+1﹣a n|＝p n化为：a n+1﹣a n＝p n，分别令n＝1，2可得，a2﹣a1＝p，，即a2＝1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2＝a1+3a3，即4（1+p）＝1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p＝0，解得或0，当p＝0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1﹣a n|＝，则|a2n﹣a2n﹣1|＝，|a2n+2﹣a2n+1|＝，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|＝＞|a2n+2﹣a2n+1|＝，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n＝当数列{a n}的项数为偶数时，令n＝2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，＝＝，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n＝2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+＝﹣＝，则，且当m＝0时a1＝1符合，故，综上得，．20．【解答】解：（1）在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝，从而sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝＝由正弦定理，得AB＝＝＝1040m．答：索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×＝200（37t2﹣70t+50）＝200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，答：当t＝min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC＝＝＝500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）＝550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为vm/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，答：为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．21．【解答】解：（1）当b＝1时，f（x）＝x2+ax+1，∵f（x）在[﹣2，2]上存在零点，∴f（﹣2）f（2）≤0或即（5﹣2a）（5+2a）≤0，或，解得a≥或a≤﹣，或﹣≤a≤﹣2或2≤a≤，即a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；（2）∵x∈[﹣2，3]，函数f（x）＝x2+ax+b开口向上，∴f（x）max＝max{f（﹣2），f（3）}，∵f（﹣2）＝4﹣2a+b，f（3）＝9﹣3a+b，∴f（3）﹣f（2）＝9﹣3a+b﹣4+a＝5﹣a＞0，∴f（x）max＝f（3）＝9﹣3a+b，∵对任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣2，3]使f（x）＞0，∴9﹣3a+b＞0对a∈[﹣1，1]恒成立，∴b＞3a﹣9，∵a∈[﹣1，1]，∴3a﹣9≤3﹣9＝﹣6，∴b＞﹣6；（3）f（x）＝x2+ax+b的对称轴为x＝．①若a≥0，则≤0，∴f（x）在[0，b）上单调递增，∴．由b2+ab+b≤10，得≥a≥0，解不等式组，得1≤b≤．②若0＜＜，即﹣b＜a＜0时，f（x）在[0，]上单调递减，在（﹣，b]单调递增，∴．∴，即，得1＜b＜10．③若0＜＜b，即﹣2b＜a＜﹣b＜0时，f（x）在[0，]单调递减，在（，b]单调递增，∴，即，则1＜b≤10．④若≥b，即a≤﹣2b时，f（x）在[0，b）上单调递减，∴，∴，即，则b∈∅．综上，b的取值范围是[1，10]，b的最大值为10．。

上海市浦东新区高考2018年数学三模试卷理科含解析

2018年上海市浦东新区高考数学三模试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．抛物线的准线方程为______．2．计算：=______．3．已知||=2， |=3，且、的夹角为，则|3﹣2|=______．4．在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=______．5．关于x方程=0的解为______．6．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为______．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=______．8．某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为______．（结果用数值表示）9．圆心是C（a，0）、半径是a的圆的极坐标方程为______．10．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的．已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为______．11．直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，则k的取值范围______．12．已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），关于x的函数g（x）=f（x）﹣k n x的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+…+k n2）=______．=f（a n），n∈N*，若要13．函数f（x）=3|x+5|﹣2|x+3|，数列a1，a2，…，a n…，满足a n+1使a1，a2，…a n，…成等差数列．则a1的取值范围______．14．设整数n≥3，集合P={1，2，…，n}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．设P为双曲线﹣y2=1（a＞0）的上一点，∠F1PF2=，（F1、F2为左、右焦点），则△F1PF2的面积等于（）A．B．C．D．17．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（）A．B．2 C．4 D．18．设{a n}是公比为q（q≠1）的无穷等比数列，若{a n}中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{a n}为“封闭等比数列”．给出以下命题：（1）a1=3，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（2）a1=，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（3）若{a n}，{b n}都是“封闭等比数列”，则{a n•b n}，{a n+b n}也都是“封闭等比数列”；（4）不存在{a n}，使{a n}和{a n2}都是“封闭等比数列”；以上正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣PAD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．20．如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．21．已知函数f（x）=ax2﹣+1，g（x）=x+．（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E： +y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．（1）设椭圆E与椭圆F： +=1是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆G： +y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点，当λ为何值时|k1|+|k2|取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆E与椭圆H： +=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y0），求证：△ABC的垂心M在椭圆E上．23．已知无穷数列{a n}满足a n=p•a n+（n∈N*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．+1（1）若p=，q=2，且a3=，求a1的值；（2）若a1=5，p•q=0，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若a1=2，q=1，且{a n}是单调递减数列，求实数p的取值范围．2018年上海市浦东新区高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．抛物线的准线方程为y=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．【解答】解：由，得x2=﹣4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y==1．故答案为：y=1．2．计算：=1．【考点】极限及其运算．【分析】先由组合数计算公式，把转化为，进而简化为，由此能求出结果．【解答】解：===1．故答案为：1．3．已知||=2， |=3，且、的夹角为，则|3﹣2|=6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的公式进行求解即可．【解答】解：∵||=2， |=3，且、的夹角为，∴•=||||cos=2×=3，则|3﹣2|2=9||2﹣12•+4||2=9×4﹣12×3+4×9=36﹣36+36=36，则|3﹣2|=6，故答案为：6．4．在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】求出复数z+1，然后求解复数的模．【解答】解：在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=|﹣2+i+1|=|﹣1+i|==．故答案为：．5．关于x方程=0的解为x=或x=，k∈Z．【考点】三角函数中的恒等变换应用；二阶矩阵．【分析】由已知可得sin2x=．求出2x的值，则原方程的解可求．【解答】解：由=0，得4sinxcosx﹣1=0，即sin2x=．∴2x=或x=，则x=或x=，k∈Z．故答案为：x=或x=，k∈Z．6．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为{﹣1，0， } ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】先化简集合A，利用B⊆A，求出a的取值，注意要分类讨论．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x﹣3=0}={﹣1，3}，∴若B⊆A，则若a=0，即B=∅时，满足条件B⊆A．若a≠0，则B={x|ax﹣1=0}={}，要使B⊆A，则=﹣1或=3，解得a=﹣1，或a=．综上a=0或a=﹣1或a=，∴由a的值构成的集合为{﹣1，0， }．故答案为：{﹣1，0， }．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的首项，由=3得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式可得．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则，由=3，得，即d=4a1，∴=．故答案为：．8．某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为．（结果用数值表示）【考点】等可能事件的概率．【分析】根据题意，首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目，再分析选出的4人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取法，其中全部为女生的有C44=1种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有15﹣1=14种，则其概率为；故答案为．9．圆心是C（a，0）、半径是a的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由已知可得直角坐标方程，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入即可得出极坐标方程．【解答】解：圆心是C（a，0）、半径是a的圆的直角坐标方程为：（x﹣a）2+y2=a2，化为x2+y2﹣2ax=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得极坐标方程：ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ．故答案为：ρ=2acosθ．10．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的．已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，连接BD，BD1，可得∠，在底面正方形中，由AB=1，求得BD=，在Rt△D1DB中，解直角三角形求得DD1，求出直角梯形ADD1A1的面积，然后由棱锥的体积公式求得答案．【解答】解：如图，连接BD，BD1，则∠，在底面正方形中，由AB=1，得BD=，在Rt△D1DB中，由BD=，∠，求得，∴A1A=C1C=D=，则，∴多面体的体积为V=．故答案为：．11．直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，则k的取值范围{0}∪[，+∞）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】联立方程组消元，令方程无解或只有一解得出k的范围．【解答】解：把y=kx+1代入y2=2x得k2x2+（2k﹣2）x+1=0，（1）若k=0，则﹣2x+1=0，方程只有一解，故直线y=kx+1与抛物线y2=2x只有一个公共点，符合题意．（2）若k≠0，△=（2k﹣2）2﹣4k2=4﹣8k．∵直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，∴△=4﹣8k≤0，解得k．∴k或k=0．故答案为：{0}∪[，+∞）．12．已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），关于x的函数g（x）=f（x）﹣k n x的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+…+k n2）=．【考点】函数的图象；函数零点的判定定理；极限及其运算．【分析】画出函数f（x）=的图象，若g（x）=0，则f（x﹣2）=k n x，数形结合可得圆心（2n+1，0）到直线y=k n x的距离为1，进而得到答案．【解答】解：当0≤x＜2时，（x﹣1）2+y2=1，（y≥0）其图形是以（1，0）点为圆心以1为半径的上半圆，当x≥2时，函数f（x）=f（x﹣2）表示函数的周期为2，故函数f（x）=的图象如下：若g（x）=0，则f（x﹣2）=k n x，由于g（x）的零点个数为2n+1则直线y=k n x与第n+1个半圆相切，圆心（2n+1，0）到直线y=k n x的距离为1，即有k12+k22+k32+…+k n2=．∴（k12+k22+k32+…+k n2）=，故答案为：=f（a n），n∈N*，若要13．函数f（x）=3|x+5|﹣2|x+3|，数列a1，a2，…，a n…，满足a n+1使a1，a2，…a n，…成等差数列．则a1的取值范围{﹣9}∪[﹣3，+∞）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由绝对值的意义可得f（x）的分段函数式，求得对任意n∈N*，a n﹣a n≥1．{a n}+1为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣3，再对a1讨论，①当a1＜﹣5时，②若﹣5≤a1＜﹣3，③若a1≥﹣3，结合函数式和等差数列的通项，即可得到结论．【解答】解：当x≥﹣3时，f（x）=3x+15﹣2x﹣6=x+9；当﹣5≤x＜﹣3时，f（x）=3x+15+2x+6=5x+21；当x＜﹣5时，f（x）=﹣3x﹣15+2x+6=﹣x﹣9．当a n≥﹣3时，a n﹣a n=9；+1﹣a n=4a n+21≥4×（﹣5）+21=1；当﹣5≤a n＜﹣3时，a n+1﹣a n=﹣2a n﹣9＞﹣2×（﹣5）﹣9=1．当a n＜﹣5时，a n+1﹣a n≥1．∴对任意n∈N*，a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．即a n+1又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣3，=f（a n）=a n+9，由于{a n}为等差数列，从而a n+1因此公差d=9．①当a1＜﹣5时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣9，又a2=a1+d=a1+9，故﹣a1﹣9=a1+9，即a1=﹣9，从而a2=0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2=0＞﹣3，=f（a n）=a n+9，而a2=a1+9，故当a1=﹣9时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；∴a n+1②若﹣5≤a1＜﹣3，则a2=f（a1）=5a1+21，又a2=a1+d=a1+9，∴5a1+21=a1+9，得a1=﹣3，应舍去；=f（a n）=a n+9，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．③若a1≥﹣3，则由a n≥a1得到a n+1综上可知：a1的取值范围为{﹣9}∪[﹣3，+∞）．故答案为：{﹣9}∪[﹣3，+∞）．14．设整数n≥3，集合P={1，2，…，n}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：（n﹣2）•2n﹣1+1．【考点】数列的求和；元素与集合关系的判断．【分析】设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，B中必不含元素1，2，…，k；元素k+1，k+2，…，k可在B 中，但不能都不在B中．由此能求出a n．【解答】解：设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，故A的个数为： ++…+=2k﹣1，B中必不含元素1，2，…，k，另元素k+1，k+2，…，n可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为： ++…+=2n﹣k﹣1，从而集合对（A，B）的个数为2k﹣1•（2n﹣k﹣1）=2n﹣1﹣2k﹣1，∴a n=（2n﹣1﹣2k﹣1）=（n﹣1）•2n﹣1﹣=（n﹣2）•2n﹣1+1．故答案为：（n﹣2）•2n﹣1+1．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【分析】利用不等式的性质判断出“a＜b＜0”则有“a2＞b2”，通过举反例得到“a2＞b2”成立推不出“a＜b＜0”成立，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：若“a＜b＜0”则有“a2＞b2”反之则不成立，例如a=﹣2，b=1满足“a2＞b2”但不满足“a＜b＜0”∴“a＜b＜0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选A．16．设P为双曲线﹣y2=1（a＞0）的上一点，∠F1PF2=，（F1、F2为左、右焦点），则△F1PF2的面积等于（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先利用双曲线的定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，利用余弦定理求出|PF1|•|PF2|的值，结合三角形的面积公式即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：∵双曲线方程﹣y2=1（a＞0），∴b=1，不妨设P是双曲线的右支上的一个点，则由双曲线的定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵，∠F1PF2=，∴4c2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos=|PF1|2+|PF2|2+|PF1|•|PF2|=（|PF1|﹣|PF2|）2+3|PF1|•|PF2|，即4c2=4a2+3|PF1|•|PF2|，即3|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2=4b2=4，则|PF1|•|PF2|=，∴=|PF1|•|PF2|sin=××=，故选：C．17．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（）A．B．2 C．4 D．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出圆锥的母线和底面半径，设截面在圆锥底面的轨迹AB=a，（0＜a≤2r），用a 表示出截面的面积，利用基本不等式求出截面的面积最大值．【解答】解：圆锥的母线长l=2，设圆锥的底面半径为r，则2πr=2×=．∴r=．设截面在圆锥底面的轨迹AB=a（0＜a≤）．则截面等腰三角形的高h==．∴截面面积S===≤=2．当且仅当即a=2时取等号．故选：B．18．设{a n}是公比为q（q≠1）的无穷等比数列，若{a n}中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{a n}为“封闭等比数列”．给出以下命题：（1）a1=3，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（2）a1=，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（3）若{a n}，{b n}都是“封闭等比数列”，则{a n•b n}，{a n+b n}也都是“封闭等比数列”；（4）不存在{a n}，使{a n}和{a n2}都是“封闭等比数列”；以上正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）求出，由a1•a2∉{a n}，知（1）错误；（2）由，推导出命题（2）正确；（3）不是“封闭等比数列”；（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”．【解答】解：（1）∵{a n}是a1=3，q=2的等比数列，∴，由题意得a1•a2=3×6=18∉{a n}，故命题（1）错误；（2）∵，∴，故命题（2）正确；（3）若都为“封闭等比数列”，则不是“封闭等比数列”，故命题（3）错误；（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”，故命题（4）错误．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣PAD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）转换底面，代入体积公式计算；（2）利用线线垂直证明AF⊥平面PBC，即可得出结论．【解答】（1）解：∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．∴，…∴…（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵PA=AB=1，且点F是PB的中点，∴AF⊥PB…又PA⊥BC，BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴BC⊥AF…由AF⊥平面PBC，又∵PE⊂平面PBC∴无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE成立．…20．如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用三角形面积公式，基本不等式可得，即可得解．（2）利用已知及余弦定理可得PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=（x﹣100）2+30000，根据二次函数的图象和性质即可解得线段|PQ|最小值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）因为：AP=x，AQ=y且x+y=200，…2分所以：．…4分当且仅当x=y=100时，等号成立．所以：当x=y=100米时，平方米．…6分（2）因为：PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy…8分=x2+2+x=x2﹣200x+40000=（x﹣100）2+30000．…10分所以：当x=100米，线段米，此时，y=100米．…12分答：（1）当AP=AQ=100米时，游客体验活动区APQ的面积最大为平方米．（2）当AP=AQ=100米时，线段|PQ|最小为．…14分．21．已知函数f（x）=ax2﹣+1，g（x）=x+．（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）把不等式f（x）＞0恒成立转化为ax2﹣+1＞0恒成立，分离参数a后得到a，求出不等式右边在[1，2）上的最大值得答案；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于f（x）min≥g（x）min在区间[1，2]上成立，利用单调性求出f（x）的最小值，再分段求出g（x）的最小值，列关于a的不等式组求得答案．【解答】解：（1）f（x）＞0⇔ax2﹣+1＞0⇒a在x∈[1，2）上恒成立，∵x∈[1，2），∴x2∈[1，4），∈[，），则∈[﹣2，），∴a，则a的取值范围是[）；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于f（x）min≥g（x）min在区间[1，2]上成立，当a＞0时，函数f（x）在[1，2]上单调递增，∴，，故①，或②或③．解①得，a∈∅；解②得，a∈∅；解③得1≤a≤4．综上，a的取值范围为[1，4]．22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E： +y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．（1）设椭圆E与椭圆F： +=1是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆G： +y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点，当λ为何值时|k1|+|k2|取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆E与椭圆H： +=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y0），求证：△ABC的垂心M在椭圆E上．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用“相似椭圆”的定义，讨论s＞2，0＜s＜2，列出等式，解方程可得s；（2）求得A，D的坐标，可得直线l1与直线l2的方程，代入椭圆G的方程，运用判别式为0，求得|k1|，|k2|，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆H的方程，设出椭圆H上的任意一点C（x0，y0），代入椭圆H的方程；设△ABC的垂心M的坐标为（x M，y M），运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，化简整理，可得M的坐标，代入椭圆E的方程即可得证．【解答】解：（1）显然椭圆E的方程为=1，由椭圆E与F相似易得：当s＞2时⇒s=4；当0＜s＜2时⇒s=1．则s=4或1；（2）易得，可得l1、l2的方程分别为、y=k2x+1，依题意联立：⇒（1+2k12）x2+4k12x+4k12﹣2λ=0，又直线l1与椭圆G相切，则△1=0（又0＜λ＜1），即32k14﹣4（1+2k12）（4k12﹣2λ）=0，即|k1|=，依题意再联立：⇒（1+2k22）x2+4k2x+2﹣2λ=0，又直线l2与椭圆G相切则△2=0（又0＜λ＜1），即16k22﹣4（1+2k22）（2﹣2λ）=0，即|k2|=，故|k1k2|=，即|k1|+|k2|≥2，当且仅当|k1|=|k2|时取到等号，此时λ=，所以当λ=时|k1|+|k2|取得最小值；（3）证明：显然椭圆E：=1，由=，可得t=4，即有椭圆H：=1．由椭圆H上的任意一点C（x0，y0），于是=1①设△ABC的垂心M的坐标为（x M，y M），由CM⊥AB得x M=x0，又AM⊥BC⇒=﹣1，将x M=x0代入=﹣1，得x18=2﹣y0y M②由①②得y0=2y M．又x0=x M代入（1）得2=1，即△ABC的垂心M在椭圆E上．=p•a n+（n∈N*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．23．已知无穷数列{a n}满足a n+1（1）若p=，q=2，且a3=，求a1的值；（2）若a1=5，p•q=0，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若a1=2，q=1，且{a n}是单调递减数列，求实数p的取值范围．【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．【分析】（1）a3==+，解得a2=或，进而解得a1．（2）对p，q分类讨论，对n分类讨论，利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．（3）由题意，a n＞0，由a1=2，可得，解得，若数列{a n}是单调递减数列，则，可得，可得：对于任意自然数n，恒成立．由，由，解得．下面证明：当时，数列{a n}是单调递减数列．通过作差即可证明．【解答】解：（1）∵a3==+，解得a2=或，当时，，解得a1=1或4，当时，无解．∴a1=1或4．（2）若p=0，q≠0，．∴，∴当n为奇数时，；当n为偶数时，．=p•a n，若p≠0，q=0时，a n+1∴．（3）由题意，a n＞0，由a1=2，可得，解得，若数列{a n}是单调递减数列，则，可得，又有①∵，∴，即．由①可知，，，∴②∴对于任意自然数n ，恒成立．∵，由，解得．下面证明：当时，数列{a n }是单调递减数列．当时，可得③由和，两式相减得，∵成立，则有a n •a n ﹣1＞4p当时，，即④，由③④可知，当a n ＜a n ﹣1时，恒有a n +1＜a n ，对于任意的自然数n ，a n +1＜a n 恒成立．∴实数p 的取值范围是：．2018年9月28日。

高三数学-2018年上海数学高考模拟卷精品

2018年全国普通高等学校统一招生考试(上海卷)数学（模拟卷）一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1．已知},,121|{},21|{2M x x y y N x x M ∈-==<<-=则N M 为______________。

2．若直线),(042R n m ny mx ∈=-+始终平分圆042422=---+y x y x 的周长，则mn 的取值范围是_________________。

3．)sin ,(cos αα=a，)sin ,(cos ββ=b ，且a 与b 之间满足关系：b k a b a k -=+3，其中k >0。

则a ·b取得最小值时a 与b 夹角θ的大小为___________________。

4．某市高中把9台型号相同的电脑送给与之建立友好关系学校的三所郊县中学，若每所学校至少分得2台，不同送法的种数是________________。

5．若数列满足，且，则的值为______________。

6．设（其中），k 是的小数点后第n 位数字，…74142135623.12=，则的值等于_____________。

7．设函数是定义在R 上的奇函数，若的最小正周期为3，且，，则m 的取值范围是__________________。

8．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若521=+y y ，则线段AB 的长等于______________。

9．有一台坏天平，两臂长不相等，其余均精确，现用它称物体的重量，将物体放在左右托盘各称一次，重量分别为a 、b ，则该物体的真实重量为______________。

10．依次写出数11=a ，2a ，3a ，…法则如下：如果2-n a 为非负正整数且未写出过，则写21-=+n n a a ，否则就写31+=+n n a a ，那么=6a ______________。

11．已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为________________。

2018年上海市延安中学高考三模数学试题

绝密★启用前2018年上海市延安中学高考三模数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．“(23)0x x +≥”是“0x ≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．若球的半径.圆柱底面半径和圆锥底面半径都相等，且这三个旋转体的体积也都相等，则球的表面积1S ，圆柱的表面积2S 和圆锥的表面积3S 的大小关系为（） A ．123S S S <<B ．213S S S >>C ．231S S S >>D ．321S S S >> 3．若等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，则关于x .y 的二元一次方程组132443a x a y a x a y +=⎧⎨+=-⎩的解，下列说法中正确的是（）A ．对任意(0)q R q ∈≠，方程组都有唯一解；B ．对任意(0)q R q ∈≠，方程组都无解；C ．当且仅当34q =-时，方程组有无穷多解； D ．当且仅当34q =-时，方程组无解；4．已知函数()|f x =，给出下列四个判断：①函数()f x 的值域是[0,2]；②函数()f x 的图像时轴对称图形；③函数()f x 的图像时中心对称图形；④方程3[()]2f f x =有实数解.其中正确的判断有（）外…………○……※※请※内…………○……第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．函数()sin cosf x x x=⋅的最小正周期是_________.6．已知复数2iiz-=（i是虚数单位），则||=z_______.7．设集合{}2|60M x x x=--<，{|31}N x x=-≤≤，则M N=________.8．若函数3()-=f x x的反函数为1()y f x-=，则1(8)f-=_____.9．抛物线266x ty t⎧=⎨=⎩（t为参数）的焦点坐标为_____.10．等比数列{}n a的前n项和为n S，若31210S a a=+，59a=，则1a=______.11．已知双曲线22:1(0)9x ymm mΓ-=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则Γ的焦距为_______.12．口袋中有形状，大小都相同的6只球，其中一只白球，2只红球，3只黄球，从袋中随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为___.13．已知一组数据：1210x x x≤≤≤，且{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}(1,2,3,,10)ix i∈=，这组数据的中位数是5，则这组数据的平均数的最大可能值是____.14．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为________3cm.15．在平面直角坐标系：xOy中，(1,0)A，(3,0)B，(3,C，若P为圆224x y+=上一动点，且3PA PB⋅≤uu r uu r，则PB PC⋅的取值范围是_______.16．由“无穷等比数列各项的和”可知，当0||1x<<时，有………○………………订…………○……学校:___________________考号：___________………○………………订…………○……21111n x x x x -+++++=-，若对于任意的10||2x <<，都有220122(1)(12)n n x a a x a x a x x x =+++++-+，则11a =______.三、解答题17．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点.（1）求直线BE 与平面11ABB A 所成的大小；（2）在棱11C D 上是否存在一点F ，使1//B F 平面1A BE ？证明你的结论.18．如图所示，某工厂在基建中，要测定被障碍物隔开的A 和P 间的距离.为此，在障碍物的两侧选取两点B .C ，测得1)AB =米，AC =45BAC ︒∠=，120ABP ︒∠=，135ACP ︒∠=.（1）求BC 的长和ABC ∠的大小；（2）求A 和P 间的距离（精确到1米）.19．已知椭圆22:19x y Γ+=，直线l 不经过坐标原点O 且不平行与坐标轴，l 与Γ相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M .（1）证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；（2）若直线l 过点(2,0)T ，延长线OM 与Γ交于点P ，若四边形OAPB 是平行四边形，求直线l 的斜率；20．对于函数()f x ，若存在实数m ，使得()()f x m f m +-为R 上的奇函数，则称()f x 是位差值为m 的“位差奇函数”.（1）判断函数()21f x x =+和2()g x x =是否是位差奇函数，并说明理由；（2）若()sin()f x x ϕ=+是位差值为3π的位差奇函数，求ϕ的值；（3）若对于任意[1,)m ∈+∞，()22x xf x t -=-⋅都不是位差值为m 的位差奇函数，求实数t 的取值范围.21．已知数列{}n a 满足1a a =，1231n n n a a a ++=-，我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列.如当0a =时，得到无穷数列：0，3-，34，18-，…，当16a =时，得到有穷数列：16，4-，1. （1）当a 为何值时，41a =；（2）设数列{}n b 满足14b =-，*13()2n n n b b n N b ++=∈-，求证：a 取{}n b 中的任一数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（3）是否存在实数a ，使得到的{}n a 是无穷数列，且对于任意*,2n N n ∈≥，都有0n a >成立，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案1．B 【解析】【分析】先求出(23)0x x +≥的充要条件再判断即可. 【详解】由(23)0x x +≥得0x ≥或32x ≤-.故“(23)0x x +≥”是“0x ≥”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次不等式的求解与必要不充分条件的判定.属于基础题型. 2．D 【解析】【分析】设半径为r ,再根据球的体积与圆柱圆锥体积相等分别计算圆柱的高与圆锥的高,再分别求三个旋转体的表面积判断即可. 【详解】设半径为r ,则三个旋转体的体积都相等且为343V r π=, 故圆柱的高1h 满足321144,33r r h h r ππ==,圆锥的高2h 满足322241,433r r h h r ππ==. 故球的表面积214S r π=,圆柱的表面积2224142233r r S r r πππ=+⨯=,圆锥的表面积)2231S r r rπππ=+=.因为)22214143r r r πππ>>. 故321S S S >>. 故选：D 【点睛】本题主要考查了圆柱圆锥和球的体积与表面积的运算,需要根据题意设半径为r 再分别求圆柱与圆锥的高,进而求得表面积.属于中等题型. 3．C 【解析】【分析】根据等比数列的性质,将二元一次方程组132443a x a y a x a y +=⎧⎨+=-⎩两式相除分析即可.【详解】由题意, 241334a x a y a x a y +=-+即()131334q a x a y a x a y +=-+,即34q =-. 故当且仅当34q =-时,方程组有无穷多解. 故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义与用法,所以基础题型. 4．B 【解析】【分析】根据()|f x =的几何意义分析即可.【详解】由题()||f x ==的几何意义为(,0)P x 到(3,2),(5,2)A B 的距离差的绝对值.其中(,0)P x 在x 轴上运动.对①,由图像可知,当(,0)P x 在1(4,0)P 处()0f x =取得最小值,当(,0)P x 往1(4,0)P 两边运动时, ()f x 无限接近2,但112PA PB AB -<=.故①错误. 对②,易得当(,0)P x 往1(4,0)P 两边运动时, ()f x 关于4x =对称.故②正确. 对③,由②有③错误.对④,由①可知,[)()0,2f x ∈.由图易得()f x 在[)0,2内单调递减, 故[]()f f x ∈,故3[()]2f f x =>.故④正确.故选：B 【点睛】本题主要考查了数形结合解决函数的问题,需要分析出函数的几何意义再画图求解,属于中等题型. 5．π 【解析】【分析】利用降幂公式化简再求最小正周期即可. 【详解】1()sin cos sin 22f x x x x =⋅=,故最小正周期是22ππ=.故答案为：π 【点睛】本题主要考查了降幂公式与三角函数最小正周期,属于基础题型.6【解析】【分析】根据复数模长的性质求解即可. 【详解】因为2ii z -=,故2i iz -===【点睛】本题主要考查了复数模长的性质,属于基础题型.7．{}|21x x -<≤ 【解析】【分析】求出集合M 再求交集即可. 【详解】集合{}{}{}2|60|(3)(2)0|23M x x x x x x x x =--<=-+<=-<<.故{}|21MN x x =-<≤.故答案为：{}|21x x -<≤ 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,属于基础题型. 8．12【解析】【分析】先求出1()y f x -=再代入8x =即可.【详解】由题,3y x -=的反函数313y y x x --⇒==,故函数3()-=f x x 的反函数为113()y fx x--==.故1131(8)82f --==.故答案为：12【点睛】本题主要考查了反函数的求法以及求解,属于基础题型. 9．3,02⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】求出抛物线的标准方程再求焦点坐标即可.【详解】抛物线22222666636x t x t y x y t y t⎧⎧==⇒⇒=⎨⎨==⎩⎩.焦点坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故答案为：3,02⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了抛物线的参数方程与直角坐标方程的互化与焦点的坐标,属于基础题型. 10．19【解析】【分析】由31210S a a =+求得公比,再利用59a =计算1a 即可. 【详解】由31210S a a =+得1231231109a a a a a a a +=++=⇒,即29q =.又451199819a a q a =⇒=⇒=,故119a =. 故答案为：19【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量的求法,属于基础题型.11．【解析】【分析】由虚轴长是实轴长的2倍可得2b a =,进而求得m 与焦距即可. 【详解】由题,双曲线中2b a =,故224b a =,即943m m m +=⇒=.故2915c m m =++=.故焦距2c =故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线中基本量求解,属于基础题型.12．1115【解析】【分析】求“摸出两只球颜色不同”的对立事件的概率,再利用概率和为1求解即可. 【详解】由题得“摸出两只球颜色相同”的概率为2223261341515C C C ++==.故“摸出两只球颜色不同”的概率为41111515-=. 故答案为：1115【点睛】本题主要考查了排列组合求概率的方法,属于基础题型. 13．7 【解析】【分析】由题,要平均数尽可能大,则需要每个数尽可能大,且中位数是5,再求解即可. 【详解】由题,当1256789105,10x x x x x x x x =========时平均数最大,此时平均值为56410710⨯+⨯=.故答案为：7 【点睛】本题主要考查了中位数与平均数的应用,属于基础题型. 14．100 【解析】【分析】由题可得该几何体为长方体截去一个三棱锥,用长方体体积减去三棱锥体积即可. 【详解】由题易得该几何体为636⨯⨯的长方体截去了一个三条直角棱长分别为344⨯⨯的三棱锥.故体积为1163634410032⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.故答案为：100 【点睛】本题主要考查了三视图求体积的问题,属于基础题型.15．13⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】设(,)P x y ,再根据3PA PB ⋅≤uu r uu r求出(,)P x y 中的坐标范围,再计算PB PC ⋅的取值范围即可.【详解】设(,)P x y ,因为3PA PB ⋅≤uu r uu r ,故22(1,)(3,)433x y x y x x y --⋅--=-++≤,故又224x y +=,故44,1x x ≤≥.故22(3,)(3,)69PB x y x PC y x x y ⋅=---=-++-13(6)x =-+.设2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩,因为1x ≥,故1cos 2θ≥,故,33ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.所以13(6)13(12cos )13)3x πθθθ-+=-+=-+.又,33ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,故20,33ππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.故[]sin()0,13πθ+∈.所以13)133πθ⎡⎤-+∈-⎣⎦.故答案为：13⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题主要考查了平面向量建系的做法,需要根据题意设合适的点坐标,再表达出题中对应的表达式求坐标的范围,在求PB PC ⋅的范围时可再设P 点的参数方程,从而方便求最值.属于中16．682- 【解析】【分析】根据当0||1x <<时,有21111n x x x x -+++++=-,可将112x +与211x -同理展开. 再分析11a 即可. 【详解】由题,当10||2x <<时满足21124(2)12n x x x x=-+-+-++,又24222111n x x x x-=+++++-.故()()222422221(1)(12)124(2)n n x x x x x x x x x x -=+++++-+-+-+-+,由题即求11x 项的系数11a . 即()()242221124(2)n n xx x x x x -+++++-+-+-+中9x的系数.故只需考虑()24681x x x x ++++五项分别对应的情况即可.故含9x 的项为9274563811(2)(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x x ⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-()975319922222682x x =-----=-.故答案为：682- 【点睛】本题主要考查了无穷数列求和的问题的迁移.需要根据题意找到题中所给的等式对应的展开式,再分情况计算对应项的系数.属于难题.17．(1) ;(2)在棱11C D 上存在一点F 为11C D 的中点,满足1//B F 平面1A BE 【解析】【分析】(1)取1A A 的中点M ,则直线BE 与平面11ABB A 所成的角为EBM ∠,再求解即可. (2)取CD 中点G ,11C D 中点F ,再证明1,,,A B G E 共面,再证明1//B F BG 即可.(1) 取1A A 的中点M ,因为E 为1DD 中点,所以//EM DA ,又DA ⊥平面11ABB A ,故EM ⊥平面11ABB A ,故直线BE 与平面11ABB A 所成的角为EBM ∠.设正方体1111ABCD A B C D -的边长为2 则2EM =,BM ==.所以tan5EBM ∠==.故 arctan 5EBM ∠=(2) 在棱11C D 上存在一点F 为11C D 的中点,满足1//B F 平面1A BE .证明：取CD 中点G ,11C D 中点F ,连接1CD ,则因为11//A D BC 且 11A D BC =. 故11A D CB ,所以11//CD BA . 又,E G 分别为1,DD CD 的中点,故1//EG CD . 所以1//EG BA ,故1,,,A B G E 共面.又11C D 中点F ,CD 中点G ,故11////FG C C BB . 且1FG BB =.故1B FGB .故1//B F BG .又BG ⊂平面1A BE ,故1//B F 平面1A BE .即在棱11C D 上存在一点F 为11C D 的中点,满足1//B F 平面1A BE . 【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面角的求解以及平行的证明与性质运用,属于中等题型. 18．(1) 40,3C C B AB π∠==;(2) A 和P 间的距离约为61米【解析】(1)连接BC ,作CE AB ⊥于E ,分别求,EB EC ,BC 的长度再判断ABC ∠的大小即可. (2)连接AP ,分析角度的关系可得BCP 为正三角形.再利用余弦定理求AP 即可. 【详解】(1) 连接BC ,作CE AB ⊥于E ,因为45BAC ︒∠=,故Rt AEC 中EA EC =.故AC .因为AC =故AE ==故1)20EB AB AE -==-=.又EC EA ==,故40BC ==.又1cos 2BE ABC BC ∠==且0,2ABC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,故3ABC π∠=. 即40,3C C B AB π∠==.(2)因为3ABC π∠=,120ABP ︒∠=,故30BCE ∠=︒，60PBC ∠=︒,又135ACP ︒∠=,故135453060PCB ∠=︒-︒-︒=︒.故PBC 为正三角形.40PC BC ==米. 由余弦定理得2222cos AP CA CP CA CP ACP =+-⋅∠.即22400160024040002AP =+-⨯⨯=-故61AP =≈.即A 和P 间的距离约为61米.【点睛】本题主要考查了解三角形解决实际的应用问题,画辅助线找特殊角能简化运算,同时利用余弦定理与边角关系可求所需的边,属于中等题型.19．(1) 直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值19-；(2) 【解析】(1)设点1122(,),(,)A x y B x y ,再代入椭圆方程,相减后即可求得l 的斜率与中点M 与OM 的斜率.再化简证明乘积为定值即可.(2) 点1122(,),(,)A x y B x y ,再根据四边形OAPB 是平行四边形可得1212(,)P x x y y ++在椭圆上,进而求得1212,x x y y 的关系,再设直线l 的方程2x ty =+,联立椭圆方程求1212,x x y y 代入关系化简即可.【详解】(1) 设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠,则221119x y +=,①222219x y +=②, ①-②得：()222212129x x y y -=--,()121212129y y x x x x y y -+∴=--+, ()121212129AB y y x x k x x y y -+∴==--+.又1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭, 故1212OM y y k x x +=+,()12121212199AB OM x x y y k k y y x x ++∴⋅=-⋅=-++, 故直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值19-. (2)由题,因为四边形OAPB 是平行四边形,故OP OA OB =+,设()()1122,,,A x y B x y 则1212(,)P x x y y ++.又221122221919x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,且()()22121219x x y y +++=.故2222121212122219x x x x y y y y +++++=,化简得1212992x x y y +=-.当直线l 斜率为0时, 四边形OAPB 不是平行四边形.故设直线l 的方程2x ty =+,则()22222945019x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩.故12259y y t =-+,又 ()222222936369019x ty t x x t x y =+⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩.21223699t x x t -=+. 故222223695911999292t t t t t -+-⨯=-⇒=+++,故27t =,t =.故此时求直线l的斜率为1k t == 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系中的斜率定值问题,需要根据题意设点再表示出对应的斜率,同时利用点在椭圆上满足椭圆的方程进行化简求解.同时也考查了联立直线与椭圆的方程求对应的表达式,属于难题.20．(1) 对于任意m 有()21f x x =+为位差奇函数, 不存在m 有2()g x x =为位差奇函数.(2) ,3k k Z πϕπ=-∈;(3) (),4t ∈-∞【解析】【分析】(1)根据题意计算()()f x m f m +-与()()g x m g m +-,判断为奇函数的条件即可. (2)根据()sin()f x x ϕ=+是位差值为3π的位差奇函数可得()()33f x f ππ+-为R 上的奇函数计算ϕ的值即可.(3)计算()()f x m f m +-为奇函数时满足的关系,再根据对于任意[1,)m ∈+∞()22x x f x t -=-⋅都不是位差值为m 的位差奇函数求解恒不成立问题即可.【详解】(1)由()21f x x =+,所以()()2()1(21)2f x m f m x m m x +-=++-+=为奇函数. 故对于任意m 有()21f x x =+为位差奇函数.又2()g x x =,设222()()()()2G x g x m g m x m m x mx =+-=+-=+.此时()22()22G x x mx x mx -=--=-,若()G x 为奇函数则22220x mx x mx -++=恒成立.与假设矛盾,故不存在m 有2()g x x =为位差奇函数.(2) 由()sin()f x x ϕ=+是位差值为3π的位差奇函数可得,()()33f x f ππ+-为R 上的奇函数.即()()sin()sin()3333f x f x ππππϕϕ+-=++-+为奇函数.即3k πϕπ+=,,3k k Z πϕπ=-∈.(3)设()()22()()()(222)12122x mm m m m x x x m h t x f t m t f x m ----+-=+-=--⋅-⋅⋅=---.由题意()()0h x h x +-=对任意的[1,)m ∈+∞均不恒成立. 此时()()()()22222222()()11110mxm x x mxm h x t h x t ----+-=--⋅-⋅-+--=即()()222221112122mxx x x m m m t t -----+-=-+=⋅-⇒⋅对任意的[1,)m ∈+∞不恒成立. 故22m t=在[1,)m ∈+∞无解.又22224m ≥=,故4t <.故(),4t ∈-∞ 【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题,需要根据题意求所给的位差函数的表达式分析即可.属于中等题型. 21．(1) 1911a =-；(2)证明见解析；(3) 4a <-或1a > 【解析】【分析】(1)根据递推公式分别依次计算321,,a a a 即可. (2)由题中所给1231n n n a a a ++=-与当16a =时,得到有穷数列：16,4-,1.可知若有1n a =则该数列为有穷数列.且14b =-,故可以考虑反推证明能够有正整数n 满足1n a =即可. (3) 由0n a >与1231n n n a a a ++=-可得n a 的范围,再分2n ≥与1n =的情况讨论即可. 【详解】 (1)由题343323114a a a a +==⇒-=-,2322231164a a a a +===--⇒,1211231161911a a a a +===-⇒-,故1911a =-. (2)因为*13()2n n nb b n N b ++=∈-故1215n n b b +=+-.又a 取{}n b 中的任一数不妨设n a b =. 则1235211n n n n a a a a ++==+--,故121552211n n a b a b -=+=+=--, 同理1322552211n n a b a b --=+=+=-- ……1125522411n n a b a b -=+=+==---. 故12311n n n a a a ++==-,因为21231n n n a a a +++=-不存在,故{}n a 为有穷数列.即a 取{}n b 中的任一数，都可以得到一个有穷数列{}n a (3) 由对于任意*,2n N n ∈≥，都有0n a >成立且1231n n n a a a ++=-可得23011n n n a a a +>⇒->或32n a <-,又0n a >,故1n a >()*2,n N n ∈≥.又当1n a >时12352211n n n n a a a a ++==+>--恒成立,故{}n a 是无穷数列满足题意. 故只需21a >即可. 又1211(4)(1231)2031a a a a a a a ++==⇒--->+>.解得4a <-或1a >. 【点睛】本题主要考查了递推数列的应用,需要根据递推公式逐个求解前几项从而找到数列的规律以及所给的信息等.另外在证明是否为无穷数列时理解到若有1n a =则数列有穷.属于难题.。

2018年上海市高考数学模拟试卷(三)

2018年上海市高考数学模拟试卷（三）一、填空题.1. 向量a →=(3, 4)在向量b →=(1, −1)方向上的投影为________．2. 已知正数a ，b 满足a +b =2，则行列式|1+1a111+1b|的最小值为________．3. 阅读程序框图，如果输出的函数值y 在区间[14,1brack 内，则输入的实数x 的取值范围是________．4. 设α、β是一元二次方程x 2−2x +m =0的两个虚根．若|αβ|=4，则实数m =________．5. 集合A ={x|x−1x+1<0}，B ={x||x −b|<a}，若“a =1”是“A ∩B ≠⌀”的充分条件，则b 的取值范围是________．6. 已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为A(0, −1)，其右焦点到直线x −y +2√2=0的距离为3，则椭圆的方程为________．7. 在△ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．若1+tanAtanB +2c b=0，则A =________．8. 已知数列{a n }的首项a 1=2，其前n 项和为S n ．若S n+1=2S n +1，则a n =________．9. 某地球仪上北纬30∘纬线长度为12πcm ，该地球仪的表面上北纬30∘东经30∘对应点A 与北纬30∘东经90∘对应点B 之间的球面距离为________cm （精确到0.01）．10. 已知直线y =k(x +2)与抛物线C:y 2=8x 相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若|FA →|=2|FB →|，则实数k =________．11. 将f(x)=2x−a2x的图象向右平移2个单位后得曲线C1，将函数y=g(x)的图象向下平移2个单位后得曲线C2，C1与C2关于x轴对称，若F(x)=f(x)a+g(x)的最小值为m且m>2+√7，则实数a的取值范围为________．12. 已知“a，b，c，d，e，f”为“1，2，3，4，5，6”的一个全排列．设x是实数，若“(x−a)(x−b)<0”可推出“(x−c)(x−d)<0或(x−e)(x−f)<0”，则满足条件的排列“a，b，c，d，e，f”共有________个．二、选择题.函数f(x)=12x2+1(x<−2)的反函数是（）A.y=√2x−2(1≤x<3)B.y=√2x−2(x>3)C.y=−√2x−2(1≤x<3)D.y=−√2x−2(x>3)直线l的法向量是n→=(a,b)．若ab<0，则直线l的倾斜角为（）A.arctan(−ba ) B.arctan(−ab)C.π+arctan ab D.π+arctan ba已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点．若|AB→|=|AC→|，则AB→∗AC→的最小值是（）A.0B.−14C.−12D.−34等差数列{a n}的公差d≠0，a n∈R，前n项和为S n，则对正整数m，下列四个结论中：（1）S m，S2m−S m，S3m−S2m成等差数列，也可能成等比数列；（2）S m，S2m−S m，S3m−S2m成等差数列，但不可能成等比数列；（3）S m，S2m，S3m可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）S m，S2m，S3m不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是（）A.(1)(3)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)三、解答题.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC＝90∘，AB＝BC＝1，BB1＝2．（1）求异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的大小；（2）求直线B 1C 1与平面A 1BC 的距离．已知f(x)=lg(√4x 2+b +2x)，其中b 是常数．（1）若y =f(x)是奇函数，求b 的值；（2）求证：y =f(x)的图象上不存在两点A 、B ，使得直线AB 平行于x 轴．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设∠AA 1H 1＝α．（1）试用α表示△AA 1H 1的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．已知点F 1、F 2为双曲线C:x 2−y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2=30∘．圆O 的方程是x 2+y 2=b 2．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、P 2，求PP 1→⋅PP 2→的值；（3）过圆O 上任意一点Q(x 0, y 0)作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：|AB →|=2|OM →|．在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1=b 1=2，a 2=b 2=2+b ，S n 是{b n }前n 项和．（1）若lim n→∞S n =3−b ，求实数b 的值；（2）是否存在正整数b ，使得数列{b n }的所有项都在数列{a n }中？若存在，求出所有的b，若不存在，说明理由；（3）是否存在正实数b，使得数列{b n}中至少有三项在数列{a n}中，但{b n}中的项不都在数列{a n}中？若存在，求出一个可能的b的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2018年上海市高考数学模拟试卷（三）一、填空题. 1.【答案】−√22【考点】平面向量数量积的含义与物理背景【解析】由向量a →在向量b →方向上的投影定义，结合平面向量的数量积公式，知向量a →在向量b →方向上的投影为|a →|cosθ，代入计算即可．【解答】向量a →=(3,4)，b →=(1, −1)； ∴ 向量a →在向量b →方向上的投影为 |a →|cosθ＝|a →|×a →⋅b→|a →|×|b →|=a →⋅b →|b →|=√12+(−1)2=−√22； 2.【答案】 3【考点】二阶矩阵【解析】计算行列式，再利用基本不等式，即可得出结论．【解答】行列式|1+1a111+1b|=(1+1a )(1+1b )−1=1a +1b +1ab =a+b+1ab，∵ a +b =2， ∴a+b+1ab=3ab，∵ a +b =2≥2√ab ， ∴ ab ≤1， ∴ 3ab ≥3， ∴ 行列式|1+1a 111+1b|的最小值为3．3.【答案】 [−2, 0] 【考点】【解析】由程序框图得出分段函数，根据函数的值域，求出实数x 的取值范围．【解答】由程序框图可得分段函数：y ={2x ,x ∈[−2,2brack2,x ∉[−2,2brack ， ∴ 令2x ∈[14, 1]，则x ∈[−2, 0]，满足题意；∴ 输入的实数x 的取值范围是[−2, 0]． 4.【答案】 4【考点】复数的运算【解析】由题意可得△=4−4m <0，可得m 的范围，由韦达定理可得α+β=2，αβ=m ，综合可解m 的值．【解答】由题意可得△=4−4m <0，解得m >1，由韦达定理可得α+β=2，αβ=m ，又∵ |αβ|=4，即|m|=4， ∴ 实数m =4，或m =−4，结合m >1可得m =4 5.【答案】 −2<b <2 【考点】充分条件、必要条件、充要条件集合关系中的参数取值问题【解析】先化简A 及当a =1 时集合B ，再结合数轴解决．【解答】A ={x|x−1x+1<0}={x|(x −1)(x +1)<0}，当a =1时，B ={x||x −b|<1}={x|b −1<x <b +1}，此时有A ∩B ≠φ，∴ {b +1>−1b −1<1，解得−2<b <26.【答案】 x 23+y 2=1 【考点】椭圆的定义【解析】由已知条件设椭圆方程为x 2a 2+y 2=1，(a >1)，由右焦点到直线x −y +2√2=0的距离为3，利用点到直线的距离公式求出a 2，由此能求出椭圆方程．∵椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为A(0, −1)，∴设椭圆方程为x2a2+y2=1，(a>1)∴椭圆的右焦点F(√a2−1, 0)，∵右焦点到直线x−y+2√2=0的距离为3，∴|√a2−1−0+2√2|√1+1=3，解得a2=3，∴椭圆方程为x23+y2=1．7.【答案】2π3【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】已知等式移项后，左边通分并利用同分母分式的加法法则变形，再利用同角三角函数间的基本关系切化弦，整理后利用诱导公式化简，右边利用正弦定理化简，求出cosA 的值，即可确定出A的度数．【解答】已知等式变形得：1+tanAtanB =tanA+tanBtanB=sinAcosA+sinBcosBsinBcosB=sinAcosB+cosAsinBsinBcosA=sin(A+B)sinBcosA=sinC sinBcosA =−2cb=−2sinCsinB，∴cosA=−12，则A=2π3．8.【答案】{2n=13∗2n−2n≥2【考点】数列递推式【解析】把已知递推式两边加1，得到等比数列{S n+1}，求出其通项公式后，由a n=S n−S n−1(n≥2)求解数列{a n}的通项公式．【解答】∵S n+1=2S n+1，∴S n+1+1=2(S n+1)，∵S1+1=a1+1=3≠0，∴S n+1+1S n+1=2．∴数列{S n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴S n+1=3⋅2n−1，∴S n=3⋅2n−1，∴a n=S n−S n−1=3⋅2n−1−1−3⋅2n−2+1=3⋅2n−2(n≥2)，n=1时，a1=2不满足上式，∴a n={2n=13∗2n−2n≥2．9.【答案】6.21【考点】球面距离及相关计算【解析】先求纬圆半径，再求地球仪的半径，A、B两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．【解答】地球仪上北纬30∘纬线的长度为12πcm，则纬圆半径r，2πr=12π∴r=6，∴地球仪的半径R=rcos30∘=4√3cm．∵北纬30∘东经30∘对应点A与北纬30∘东经90∘对应点B，∴北纬30∘的纬圆半径是2√3cm，经度差是60∘，∴AB=6cm，设球心角为α，则cosα=58，∴α=arccos58，∴球面距离为l=αR=4√3⋅arccos58=6.2053≈6.21cm．10.【答案】±2√2 3【考点】抛物线的求解【解析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=12，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=−2，直线y=k(x+2)恒过定点P(−2, 0)如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=12|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∴点B的坐标为(1, ±2√2)，∴k=±2√2−01−(−2)=±2√23．11.【答案】(12, 2)【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据C1推出C2，由C2推出g(x)，再算出F(x)=(1a −14)⋅2x+4a−12x+2，设t=2x，利用非单调函数取最值的性质和均值定理能求出实数a的取值范围．【解答】∵将f(x)=2x−a2x的图象向右平移2个单位后得曲线C1，∴曲线C1:p(x)=2x−2−a2x−2，∵曲线C2，C1与C2关于x轴对称，∴曲线C2:q(x)=a2x−2−2x−2，∵将函数y=g(x)的图象向下平移2个单位后得曲线C2，∴g(x)=a2x−2−2x−2+2，∴F(x)=f(x)a+g(x)=2xa−12x+a2x−2−2x−2+2=(1a −14)⋅2x+4a−12x+2，设t=2x，∵2x>0，∴t>0，∵函数定义域的端点值取不到，∴如果函数有最值，那么该最值就一定在非端点处取到，也就是说该函数一定不是单调函数，而对于形如y=ax+bx的函数只有当ab>0时才是(0, +∞)上的非单调函数，∴(1a −14)(4a−1)>0，解得a<0或14<a<4，当a<0时，变量t的两个系数都为负数，此时F(x)只有最大值，不合题意．当14<a<4时，t的两个系数都为正数，并且t也为正数，∴可以用基本不等式：F(x)≥2√(1a −14)(4a−1)+2，∵F(x)=f(x)a+g(x)的最小值为m且m>2+√7，∴m=2√(1a −14)(4a−1)+2>2+√7，联立14<a<4，解得：12<a<2．综上所述：实数a的取值范围为(12, 2)．12.【答案】208【考点】进行简单的合情推理【解析】分析题意，得出结论为(a, b)包含于(c, d)∪(e, f)，由于是(c, d)∪(e, f)，我们考虑一下这两个区间的关系：无外乎分离、交叉、包含3种，分类讨论，可得结论．【解答】分析题意，得出结论为(a, b)包含于(c, d)∪(e, f)．首先对于类似(a, b)可能是(b, a)这种，有23=8种情况（包括cd dc ef fe）由于是(c, d)∪(e, f)，我们考虑一下这两个区间的关系：无外乎分离、交叉、包含3种①分离：此时ab只能在cd内部，或者在ef内部；再考虑到cd、ef谁左谁右，总共2×2=4种情况；②交叉：比如此时由小到大的顺序为cedf，那么(c, d)∪(e, f)实际上就是(c, f)，所以cf之间应该有abde4个数字，选择4个位置中的两个给ab有C42−1=5；再考虑到cd、ef谁左谁右，总共5×2=10种情况包含：跟交叉无甚区别，也是12种情况故总情况数：8×(4+10+12)=208个．二、选择题.【答案】D【考点】反函数【解析】求函数的反函数，根据原函数解出x，然后把x和y互换即可，注意函数定义域．【解答】由y=12x2+1(x<−2)得，x=−√2y−2(y>3)，所以原函数的反函数为y=−√2x−2(x>3)．【答案】B【考点】直线的倾斜角【解析】设直线l的倾斜角为θ，由于直线l的法向量是n→=(a,b)，可得直线l的斜率k=−ab．即tanθ=−ab．由ab<0，判定θ为锐角．利用反三角函数即可得出．设直线l 的倾斜角为θ，∵ 直线l 的法向量是n →=(a,b)， ∴ 直线l 的斜率k =−ab ． ∴ tanθ=−ab ．∵ ab <0，∴ −ab >0，即θ为锐角． ∴ θ=arctan(−a b )．【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】由题意可得，点A 在BC 的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O(0, 0)，点A(0, 1)，点B(x 1, y 1)，则点C(−x 1, y 1)，x 12+y 12=1，且−1≤y 1<1．根据 AB →∗AC →=2y 12−2y 1，再利用二次函数的性质求得它的最小值．【解答】由题意可得，点A 在BC 的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O(0, 0)，点A(0, 1)，点B(x 1, y 1)，则点C(−x 1, y 1)， −1≤y 1<1．∴ AB →=(x 1, y 1−1)，AC →=(−x 1, y 1−1)，x 12+y 12=1． ∴ AB →∗AC →=−x 12+y 12−2y 1+1=−(1−y 12)+y 12−2y 1+1 =2y 12−2y 1，∴ 当y 1=12时，AB →∗AC →取得最小值为−12，【答案】中正确；只有当d =0时，才有S m ，S 2m ，S 3m 成等比数列，故 D【考点】等差数列的性质【解析】由等差数列的性质可得S m ，S 2m −S m ，S 3m −S 2m 成等差数列，可知（2）正确；只有当d =0时，才有S m ，S 2m ，S 3m 成等比数列，故（4）正确，可得答案．【解答】中正确；只有当d =0时，才有S m ，S 2m ，S 3m 成等比数列，故正确三、解答题.【答案】由题意可得BC // B1C1，∴∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角，由题意可知BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B，∴△A1BC为直角三角形，∴tan∠A1CB=A1BBC=√AB2+BB12BC=√5，∴异面直线B1C1与A1C所成的角为arctan√5；∵BC // B1C1，BC⊂平面A1BC，B1C1平面A1BC，∴B1C1 // 平面A1BC，∴直线B1C1上任意一点到平面A1BC的距离均为直线B1C1到平面A1BC的距离，不妨取B1，且设B1到平面A1BC的距离为ℎ，由等体积法可得V B1−A1BC =V C−A1BB1，即13S△A1BC×ℎ=13S△ABB1×BC代入数据可得13×12×1×√5×ℎ=13×12×2×1×1，解得ℎ=2√55∴直线B1C1到平面A1BC的距离为2√55【考点】异面直线及其所成的角点、线、面间的距离计算【解析】（1）由题意可得∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角，解三角形可得；（2）可证B1C1 // 平面A1BC，则B1到平面A1BC的距离ℎ即为所求，由等体积法可得V B1−A1BC =V C−A1BB1，代入数据计算可得．【解答】由题意可得BC // B1C1，∴∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角，由题意可知BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B，∴△A1BC为直角三角形，∴tan∠A1CB=A1BBC=√AB2+BB12BC=√5，∴异面直线B1C1与A1C所成的角为arctan√5；∵BC // B1C1，BC⊂平面A1BC，B1C1平面A1BC，∴B1C1 // 平面A1BC，∴直线B1C1上任意一点到平面A1BC的距离均为直线B1C1到平面A1BC的距离，不妨取B1，且设B1到平面A1BC的距离为ℎ，由等体积法可得V B1−A1BC =V C−A1BB1，即13S△A1BC×ℎ=13S△ABB1×BC代入数据可得13×12×1×√5×ℎ=13×12×2×1×1，解得ℎ=2√55∴直线B1C1到平面A1BC的距离为2√55【答案】∵f(x)=lg(√4x2+b+2x)是奇函数，所以对定义域内任意x，都有f(x)+f(−x)=0，即lg(√4x2+b+2x)+lg(√4x2+b−2x)=0，即lgb=0，可得b=1．此时，f(x)=lg(√4x2+1+x)，为奇函数．设定义域内任意x1<x2，设ℎ(x)=√4x2+b+2x，∵ℎ(x1)−ℎ(x2)=√4x12+b+2x1−√4x22+b−2x2=2[1222√4x12+b+√4x22+bx1−x2]=2(x1−x2)(12√4x12+b+√4x22+b1)，当b>0时，由于−1<12√4x12+b+√4x22+b <1，∴12√4x12+b+√4x22+b1>0，可得ℎ(x1)<ℎ(x2)，故总有ℎ(x)在定义域上单调递增，故函数f(x)在定义域上单调递增．当b=0时，ℎ(x)=4x，ℎ(x)在定义域上单调递增，故函数f(x)在定义域上单调递增．当b<0时，12√4x12+b+√4x22+b 1>0，可得ℎ(x1)<ℎ(x2)，总有ℎ(x)在定义域上单调递增，故函数f(x)在定义域上单调递增．综上可得，不论b取何值，函数f(x)在其定义域上单调递增，故y=f(x)的图象上不存在两点，使得所连的直线与x轴平行．【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】（1）根据f(x)+f(−x)=0，化简求得b的值．（2）设定义域内任意x1<x2，设ℎ(x)=√4x2+b+2x，用函数的单调性的定义证明ℎ(x)在函数的定义域内是增函数，可得f(x)在定义域内是增函数，从而得出结论．【解答】∵f(x)=lg(√4x2+b+2x)是奇函数，所以对定义域内任意x，都有f(x)+f(−x)=0，即lg(√4x2+b+2x)+lg(√4x2+b−2x)=0，即lgb=0，可得b=1．此时，f(x)=lg(√4x2+1+x)，为奇函数．设定义域内任意x1<x2，设ℎ(x)=√4x2+b+2x，∵ℎ(x1)−ℎ(x2)=√4x12+b+2x1−√4x22+b−2x2=2[1222√4x12+b+√4x22+bx1−x2]=2(x1−x2)(12√4x12+b+√4x22+b1)，当b>0时，由于−1<12√4x12+b+√4x22+b <1，∴12√4x12+b+√4x22+b1>0，可得ℎ(x1)<ℎ(x2)，故总有ℎ(x)在定义域上单调递增，故函数f(x)在定义域上单调递增．当b=0时，ℎ(x)=4x，ℎ(x)在定义域上单调递增，故函数f(x)在定义域上单调递增．当b<0时，12√4x12+b+√4x22+b 1>0，可得ℎ(x1)<ℎ(x2)，总有ℎ(x)在定义域上单调递增，故函数f(x)在定义域上单调递增．综上可得，不论b取何值，函数f(x)在其定义域上单调递增，故y=f(x)的图象上不存在两点，使得所连的直线与x轴平行．【答案】设AH1为x，∴x+xsinα+xtanα=4，x=4sinαsinα+cosα+1，S△AA1H1=12⋅x2tanα=8sinαcosα(sinα+cosα+1)2，α∈(0,π2)，令t=sinα+cosα∈(1,√2]，只需考虑S△AA1H1取到最大值的情况，即为S=4(t 2−1)(t+1)2=4−8t+1，当t=√2，即α＝45∘时，S△AA1H1达到最大此时八角形所覆盖面积的最大值为64−32√2．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）先求出AH1，再用α表示△AA1H1的面积；（2）令t=sinα+cosα∈(1,√2]，只需考虑S△AA1H1取到最大值的情况．【解答】设AH1为x，∴x+xsinα+xtanα=4，x=4sinαsinα+cosα+1，S△AA1H1=12⋅x2tanα=8sinαcosα(sinα+cosα+1)2，α∈(0,π2)，令t=sinα+cosα∈(1,√2]，只需考虑S△AA1H1取到最大值的情况，即为S=4(t 2−1)(t+1)2=4−8t+1，当t=√2，即α＝45∘时，S△AA1H1达到最大此时八角形所覆盖面积的最大值为64−32√2．【答案】设F2，M的坐标分别为(√1+b2,0),(√1+b2,y0)因为点M在双曲线C上，所以1+b2−y02b2=1，即y0=±b2，所以|MF2|=b2在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=300，|MF2|=b2，所以|MF1|=2b2由双曲线的定义可知：|MF1|−|MF2|=b2=2故双曲线C的方程为：x2−y22=1由条件可知：两条渐近线分别为l1:√2x−y=0;l2:√2x+y=0设双曲线C上的点P(x0, y0)，设两渐近线的夹角为θ，则则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|=√2x00√3|PP2|=√2x00√3因为P(x0, y0)在双曲线C:x2−y22=1上，所以2x02−y02=2又cosθ=13，所以PP 1→⋅PP 2→=√2x 00√3⋅√2x 00√3cos(π−θ)=−|2x 02−y 02|3⋅13=−29证明：由题意，即证：OA ⊥OB ．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，切线l 的方程为：x 0x +y 0y =2①当y 0≠0时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：(2y 02−x 02)x 2+4x 0x −(2y 02+4)=0 所以：x 1+x 2=−4x 0(2y 02−x02),x 1x 2=−(2y 02+4)(2y2−x 02)，又y 1y 2=(2−x 0x 1)y 0⋅(2−x 0x 2)y 0=1y 02[4−2x 0(x 1+x 2)+x 02x 1x 2]=8−2x 022y 02−x 02所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=−(2y 02+4)(2y02−x2)+8−2x 022y02−x2=4−2(x 02+y 02)2y 02−x 02=0②当y 0=0时，易知上述结论也成立．所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=0 综上，OA ⊥OB ，所以|AB →|=2|OM →|．【考点】直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）确定|MF 2|=b 2，|MF 1|=2b 2，由双曲线的定义可知：|MF 1|−|MF 2|=b 2=2，从而可得双曲线C 的方程；（2）确定两条渐近线方程，设双曲线C 上的点P(x 0, y 0)，求出点P 到两条渐近线的距离，利用P(x 0, y 0)在双曲线C 上，及向量的数量积公式，即可求得结论；（3）分类讨论：①当切线l 的斜率存在，设切线l 的方程代入双曲线C 中，利用韦达定理，结合直线l 与圆O 相切，可得|AB|=2|OM|成立；②当切线l 的斜率不存在时，求出A ，B 的坐标，即可得到结论．【解答】设F 2，M 的坐标分别为(√1+b 2,0),(√1+b 2,y 0) 因为点M 在双曲线C 上，所以1+b 2−y 02b 2=1，即y 0=±b 2，所以|MF 2|=b 2在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2=300，|MF 2|=b 2，所以|MF 1|=2b 2 由双曲线的定义可知：|MF 1|−|MF 2|=b 2=2 故双曲线C 的方程为：x 2−y 22=1由条件可知：两条渐近线分别为l 1:√2x −y =0;l 2:√2x +y =0 设双曲线C 上的点P(x 0, y 0)，设两渐近线的夹角为θ，则则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1|=√2x 00√3|PP 2|=√2x 00√3因为P(x 0, y 0)在双曲线C:x 2−y 22=1上，所以2x 02−y 02=2又cosθ=13，所以PP 1→⋅PP 2→=√2x 00√3⋅√2x 00√3cos(π−θ)=−|2x 02−y 02|3⋅13=−29证明：由题意，即证：OA ⊥OB ．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，切线l 的方程为：x 0x +y 0y =2①当y 0≠0时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：(2y 02−x 02)x 2+4x 0x −(2y 02+4)=0 所以：x 1+x 2=−4x 0(2y 02−x02),x 1x 2=−(2y 02+4)(2y2−x 02)，又y 1y 2=(2−x 0x 1)y 0⋅(2−x 0x 2)y 0=1y 02[4−2x 0(x 1+x 2)+x 02x 1x 2]=8−2x 022y 02−x 02所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=−(2y 02+4)(2y 02−x 02)+8−2x 022y02−x 02=4−2(x 02+y 02)2y 02−x 02=0②当y 0=0时，易知上述结论也成立．所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=0 综上，OA ⊥OB ，所以|AB →|=2|OM →|．【答案】对等比数列{b n }，公比q =2+b 2=1+b2．∵ lim n→∞S n 有意义， ∴ 0<|q|<1， ∴ −4<b <0．又∵ S n =2[1−(1+b 2)n brack1−(1+b 2)，∴ lim n→∞S n =21−(1+b 2)=3−b ．解方程21−(1+b 2)=3−b ，得b =4或−1．因为−4<b <0，所以b =−1．当b 取偶数(b =2k, k ∈N ∗)时，{b n }中所有项都是{a n }中的项．证：由题意：b 1，b 2均在数列{a n }中，当n ≥3时，b n =2(2+b 2)n−1=2(k +1)n−1=2(C n−10k n−1+C n−11k n−2+⋯+C n−1n−2k 1+C n−1n−1)=2+2k[(C n−10k n−2+C n−11k n−3+⋯+C n−1n−2+1)−1brack∴ {b n }的第n 项是{a n }中的第C n−10k n−2+C n−11k n−3+⋯+C n−1n−2+1项．当b 取奇数(b =2k +1, k ∈N ∗)时， ∵ b n 不是整数，∴ 数列{b n }的所有项都不在数列{a n }中．综上，所有的符合题意的b =2k(k ∈N ∗)．假设存在b 满足题意， ∵ b 1，b 2在{a n }中，∴ {b n }中至少存在一项b m (m ≥3)在{a n }中，另一项b t (t ≠m)不在{a n }中．由b m =a k 得2(1+b2)m−1=2+(k −1)b ，不妨取m =4得2(1+b2)3=2+(k −1)b ，即(b +2)2=4(k −2)．不妨也取k =4，得b =2√2−2（舍负值）．此时b 4=a 3．当b =2√2−2时，b 3=8，a n =2+(n −1)(2√2−2)，对任意n ，a n ≠b 3 综上，b =2√2−2可以满足题意．【考点】数列与不等式的综合等差数列与等比数列的综合【解析】（1）根据条件先求出表示q ，因为lim n→∞S n 有意义有意义所以0<|q|<1，由等比数列前n 项和公式可表示出lim n→∞S n ，然后解方程21−(1+b 2)=3−b ，可得b 的值；（2）分情况可证明当b 取偶数(b =2k, k ∈N ∗)时，{b n }中所有项都是{a n }中的项，当b 取奇数(b =2k +1, k ∈N ∗)时，b n 不是整数，数列{b n }的所有项都不在数列{a n }中；（3）假设存在b 满足题意，由b 1，b 2在{a n }中可推出：{b n }中至少存在一项b m (m ≥3)在{a n }中，另一项b t (t ≠m)不在{a n }中．建立关系b m =a k 得2(1+b2)m−1=2+(k −1)b ，尝试取m 和k 的值即可．【解答】对等比数列{b n }，公比q =2+b 2=1+b2．∵ lim n→∞S n 有意义， ∴ 0<|q|<1， ∴ −4<b <0．又∵ S n =2[1−(1+b 2)n brack1−(1+b 2)，∴ lim n→∞S n =21−(1+b 2)=3−b ．解方程21−(1+b 2)=3−b ，得b =4或−1．因为−4<b <0，所以b =−1．当b 取偶数(b =2k, k ∈N ∗)时，{b n }中所有项都是{a n }中的项．证：由题意：b 1，b 2均在数列{a n }中，当n ≥3时，b n =2(2+b 2)n−1=2(k +1)n−1=2(C n−10k n−1+C n−11k n−2+⋯+C n−1n−2k 1+C n−1n−1)=2+2k[(C n−10k n−2+C n−11k n−3+⋯+C n−1n−2+1)−1brack∴ {b n }的第n 项是{a n }中的第C n−10k n−2+C n−11k n−3+⋯+C n−1n−2+1项．当b 取奇数(b =2k +1, k ∈N ∗)时， ∵ b n 不是整数，∴ 数列{b n }的所有项都不在数列{a n }中．综上，所有的符合题意的b =2k(k ∈N ∗)．假设存在b 满足题意， ∵ b 1，b 2在{a n }中，∴ {b n }中至少存在一项b m (m ≥3)在{a n }中，另一项b t (t ≠m)不在{a n }中．)m−1=2+(k−1)b，由b m=a k得2(1+b2)3=2+(k−1)b，即(b+2)2=4(k−2)．不妨取m=4得2(1+b2不妨也取k=4，得b=2√2−2（舍负值）．此时b4=a3．当b=2√2−2时，b3=8，a n=2+(n−1)(2√2−2)，对任意n，a n≠b3综上，b=2√2−2可以满足题意．。

上海市2018届高三5月高考模拟练习(三)数学试题(解析版)

2018年高考数学模拟练习3一、填空题.1. 向量在向量方向上的投影为____________.【答案】.【解析】【分析】根据投影的计算公式进行计算.【详解】向量在向量的投影为，填.【点睛】一般地，向量在向量的投影为，而的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积.2. 已知正数满足，则行列式的最小值为____________.【答案】3.【解析】【分析】行列式为，利用基本不等式可求最小值.【详解】.又，所以，当且仅当时等号成立，故，当且仅当取最小值，即的最小值为，填.【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.3. 阅读下边的程序框图，如果输出的函数值在区间，内，则输入的实数的取值范围是____________.【答案】.【解析】试题分析：流程图表示函数，因为输出的函数值在区间内，所以考点：流程图4. 设是一元二次方程的两个虚根，若，则实数____________.【答案】4.【解析】【分析】求出方程的两个虚根，计算它们的乘积的模可得的值.【详解】，因为方程有两个虚根，所以.又原方程可化为，故两虚根为，两个虚根为共轭复数，故，故，填.【点睛】对于实系数的一元二次方程，当时，方程有两个虚根且它们是一对共轭复数满足.5. 集合，，若“”是“”的充分条件，则实数取值范围是____________.【答案】.【解析】【分析】由是充分条件得，故可求的取值范围.【详解】，当时，，因为“”是“”的充分条件，所以，故.填.【点睛】在充分条件和必要条件的判断中，注意数学语言叙述上的差异，比如：是的充分条件指若则是真命题，而的充分条件是则是若则是真命题.6. 已知椭圆的焦点在轴上，一个质点为，其右焦点到直线的距离为3，则椭圆的方程为_____________.【答案】.【解析】试题分析：据题意，椭圆方程是标准方程，，右焦点为，它到已知直线的距离为，，所以，椭圆方程为.考点：椭圆的标准方程.7. 在中，所对边分别为，若，则____________.【答案】.【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式，再把正切化成弦，整理后可得，解出即可.【详解】由正弦定理可得，故，通分得到，.因为，所以，故即.因为，故，填.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.8. 已知数列的首项，其前项和为，若，则____________.【答案】.【解析】【分析】先求出的通项，再求的通项.【详解】因为，所以.因为，故，所以，是等比数列，公比为，首项为，故，所以.填.【点睛】一般地，与之间的关系是，我们常常用这个关系实现与之间的转化.9. 某地球仪上北纬纬线长度为，该地球仪的表面上北纬东经对应点与北纬东经对应点之间的球面距离为____________ (精确到0.01)【答案】6.21.【解析】【分析】先根据北纬的纬线长为得到地球仪的半径及的长度，再利用余弦定理算出球心与连线的夹角的余弦值，利用弧长公式可求球面距离.【详解】设地球仪的球心为，因为北纬的纬线长为，纬线所在的小圆的半径为，所以.又地球仪的半径为，所以，所以之间的球面距离为.【点睛】对于球面上两点间的球面距离的计算，关键是球心与两点的连线的夹角的大小计算，可利用纬线长、纬度及两点所在的经度计算的长度，再利用余弦定理算出的大小.10. 已知直线与抛物线相交于两点，为抛物线的焦点，若，则实数____________.【答案】.【解析】【分析】直线过点，抛物线的准线为，根据抛物线几何性质可知到准线的距离与到准线的距离之比为，故而为的中点，设，则可求的坐标，从而得到的值.【详解】设，为抛物线的准线方程，过点分别作准线的垂线，垂足为，则，，所以，所以.设，则，故，解得，故.填.【点睛】圆锥曲线中与焦点或准线有关的问题，可以考虑利用其几何性质来处理.如抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离，椭圆上的点到一个焦点的距离可以转化到另一个焦点的距离，也可以转化到相应准线的距离.11. 将的图像向右平移2个单位后得曲线，将函数的图像向下平移2个单位后得曲线，与关于轴对称，若的最小值为，且，则实数的取值范围为____________.【答案】.【解析】试题分析：首先应求出的表达式，曲线对应的函数式为，曲线与关于轴对称，因此的函数解析式为，向上平移2个单位，就是函数的图象，则.，其最小值大于，说明函数的最小值大于.下面观察函数，若，则当时，，无最小值，同理当时，时，，无最小值，因此，，当且仅当时等号成立，即最小值为，从而，解得.考点：图象的变换，函数的最小值，解不等式.12. 已知“”为“”的一个全排列，设是实数，若“”可推出“或”则满足条件的排列“”共有_______个.【答案】224.【解析】【分析】中有1和6，分同在或和不同在或两种情况分类讨论即可.【详解】如果为或为，则余下4个元素无限制，共有种，如果中有1，有6，则共有种，如果中有6，有1，则共有种，综上，共有种，填.【点睛】对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选出符合要求的数字，在把它们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑．二、选择题.13. 函数的反函数是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】对给定的函数反解（用表示）即可得到反函数．【详解】令，因，故且，因，故，所以反函数为，其中，故选D．【点睛】求给定函数的反函数，只需反解后互换即得反函数，注意反函数的定义域就是原函数的值域且反解时注意自变量的范围．14. 直线的法向量是，若，则直线的倾斜角为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设为直线的倾斜角，则根据法向量可得方向向量为，故斜率为，由知，因此可用反三角函数表示倾斜角．【详解】直线的方向向量为，所以其斜率为．设其倾斜角为，则．又，所以，故且，故选B．【点睛】用反三函数表示角时，要注意反三角函数值角的范围：如，，，也要注意所要表示的角的范围，如本题中直线的方向向量若为且，因倾斜角的范围为，故直线的倾斜角为．15. 已知是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值是( )A. 0B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：记单位圆的圆心为，由于，则与同向，，，可见最小值为，(时，取得最小值)．选C．考点：向量的数量积．16. 已知等差数列的公差，前项和为，则对正整数，下列四个结论中:(1)成等差数列，也可能成等比数列；(2)成等差数列，但不可能成等比数列；(3)可能成等比数列，但不可能成等差数列；(4)不可能成等比数列，也不叫能成等差数列.正确的是( )A. (1)(3)B. (1)(4)C. (2)(3)D. (2)(4)【答案】D【解析】试题分析：根据等差数列的性质，，，，因此(1)错误，(2)正确，由上显然有，，，，故(3)错误，(4)正确．即填(2)(4)．考点：等差数列的前项和，等差数列与等比数列的定义．三、解答题.17. 在直三棱柱中，，，.求:(1)异面直线与所成角的大小；(2)直线到平面的距离.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）或其补角就是异直线与所成角，我们可证为直角三角形且，故可得异面直线所成角的大小.（2）先计算，再利用等积法求到平面的距离，它就是直线到平面的距离.【详解】(1)因为，所以 (或其补角)是异直线与所成角.因为，，，所以平面，所以.中，，所以，所以异面直线与所成角的大小为.(2)因为平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，设到平面的距离为，因为，，可得，直线与平面的距离为.【点睛】异面直线所成角的计算，可通过平移把空间角转化为平面角，在可解的三角形中求其大小.直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，求点面距时，注意利用题设中已有的线面垂直，如果没有，则利用面面垂直构建线面垂直，也可利用等积法求点面距.18. 已知，其中是常数.(1)若是奇函数，求的值；(2)求证：的图像上不存在两点，使得直线平行于轴.【答案】(1).(2)见解析.【解析】【分析】（1）利用可计算的值.（2）可证为上的增函数.【详解】(1)设定义域为，因为是奇函数，所以对任意,有，整理得，故.此时，，为奇函数.(2)若，则，若，则，若，则，设定义域内任意，设，..当时，总有，，得；当时，，得；当时，，，，，得，故总有在定义域上单调递增，所以总有在定义域上单调递增.的图像上不存在两点,使得所连的直线与轴平行.【点睛】求奇函数或偶函数中参数的取值，我们可以利用恒等式或来求.特别地，如果奇函数处有定义，则可利用来求参数的值（注意检验）.19. 如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设.(1)试用表示的面积；(2)求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小.【答案】(1)，.(2) 时,达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为.【解析】【分析】（1）注意到，从而的周长为，故，所以，注意.（2）令，则，根据可求最大值.【详解】(1)设为,，，，，(2)令,只需考虑取到最大值的情况,即为，当,即时,达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为.【点睛】如果三角函数式中仅含有和，则可令后利用把三角函数式变成关于的函数，注意换元后的范围.20. 已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，求的值；(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于两点，中点为，求证:.【答案】(1).(2).(3)见解析.【解析】【分析】（1），根据可得，利用双曲线的定义可得从而得到双曲线的方程. （2）设点，利用渐近线的斜率可以得到夹角的余弦为，利用点在双曲线上又可得为定值，故可得的值.（3）设，切线的方程为:，证明等价于证明，也就是证明，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明.【详解】(1)设的坐标分别为,因为点在双曲线上,所以,即,所以，在中, ,,所以，由双曲线的定义可知: ，故双曲线的方程为:.(2)由条件可知:两条渐近线分别为；.设双曲线上的点,设的倾斜角为，则，又，所以，故，所以的夹角为，且.点到两条渐近线的距离分别为，.因为在双曲线上,所以，所以.(3)由题意,即证: ,设,切线的方程为:.时,切线的方程代入双曲线中,化简得:(，所以，.又，所以 .时,易知上述结论也成立.所以.综上,,所以.【点睛】（1）过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于，则（通径）.（2）直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有或，最后利用韦达定理证明该关系式为恒等式.21. 等差数列和等比数列中，，，是前项和.(1)若，求实数的值；(2)是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中?若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；(3)是否存在正实数，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中?若存在，求出一个可能的的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1).(2) 所有的符合题意的.(3) .【解析】试题分析：(1)数列是等比数列，其前和的极限存在，因此有公式满足，且极限为；(2)由于是正整数，因此可对按奇偶来分类讨论，因此当为奇数时，等比数列的公比不是整数，是分数，从而数列从第三项开始每一项都不是整数，都不在数列中，而当为偶数时，数列的所有项都在中，设，则，展开有，这里用到了二项式定理，，结论为真；(3)存在时只要找一个，首先不能为整数，下面我们只要写两数列的通项公式，让，取特殊值求出，如取，可得，此时在数列中，由于是无理数，会发现数列除第一项以外都是无理数，而是整数，不在数列中，命题得证，(如取其它的又可得到另外的值)．试题解析：（1）对等比数列，公比．因为，所以．２分解方程，４分得或．因为，所以．６分（2）当取偶数时，中所有项都是中的项．8分证: 由题意：均在数列中，当时，说明的第n项是中的第项．10分当取奇数时，因为不是整数，所以数列的所有项都不在数列中。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2018年上海市高考数学模拟试卷（三）(J)副标题一、选择题（本大题共4小题，共4.0分）1.函数的反函数是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由得，，所以原函数的反函数为．故选：D．求函数的反函数，根据原函数解出x，然后把x和y互换即可，注意函数定义域．本题考查了函数反函数的求解方法，解答的关键是正确解出x，特别要注意的是反函数的定义域应为原函数的值域，是易错题．2.直线l的法向量是若，则直线l的倾斜角为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设直线l的倾斜角为，直线l的法向量是，直线l的斜率．．，，即为锐角．故选：B．设直线l的倾斜角为，由于直线l的法向量是，可得直线l的斜率即由，判定为锐角利用反三角函数即可得出．本题考查了直线的法向量与直线的斜率之间的关系、反三角函数，属于基础题．3.已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点若，则的最小值是A. 0B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为，点，点，则点，．，，．，当时，取得最小值为，故选：C．由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为，点，点，则点，，且根据，再利用二次函数的性质求得它的最小值．本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．4.等差数列的公差，，前n项和为，则对正整数m，下列四个结论中：，，成等差数列，也可能成等比数列；，，成等差数列，但不可能成等比数列；，，可能成等比数列，但不可能成等差数列；，，不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可得，，成等差数列，若也成等比数列，则必须有数列为常数列，与矛盾，故中正确；只有当时，才有，，成等比数列，故正确故选：D．由等差数列的性质可得，，成等差数列，可知正确；只有当时，才有，，成等比数列，故正确，可得答案．本题考查等差数列的性质，属基础题．二、填空题（本大题共12小题，共12.0分）5.向量在向量方向上的投影为______．【答案】【解析】解：向量，；向量在向量方向上的投影为；故答案为：．由向量在向量方向上的投影定义，结合平面向量的数量积公式，知向量在向量方向上的投影为，代入计算即可．本题考查了平面向量在另一向量上的投影问题，是基础题．6.已知正数a，b满足，则行列式的最小值为______．【答案】3【解析】解：行列式，，，，，，行列式的最小值为3．故答案为：3．计算行列式，再利用基本不等式，即可得出结论．本题考查行列式，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，比较基础．7.阅读程序框图，如果输出的函数值y在区间内，则输入的实数x的取值范围是______．【答案】【解析】解：由程序框图可得分段函数：，令，则，满足题意；输入的实数x的取值范围是．故答案为：．由程序框图得出分段函数，根据函数的值域，求出实数x的取值范围．本题考查了程序框图的运行过程的问题，解题时应读懂框图，得出分段函数，从而做出正确解答，是基础题．8.设、是一元二次方程的两个虚根若，则实数______．【答案】4【解析】解：由题意可得，解得，由韦达定理可得，，又，即，实数，或，结合可得故答案为：4由题意可得，可得m的范围，由韦达定理可得，，综合可解m的值．本题考查实系数的一元二次方程的根的问题，属基础题．9.集合，，若“”是“”的充分条件，则b的取值范围是______．【答案】【解析】解：，当时，，此时有，，解得故答案为：先化简A及当时集合B，再结合数轴解决．本题主要考查集合的运算与基本关系，考查数形结合、计算、不等式的解法等思想与能力．10.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为，其右焦点到直线的距离为3，则椭圆的方程为______．【答案】【解析】解：椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为，设椭圆方程为，椭圆的右焦点，右焦点到直线的距离为3，，解得，椭圆方程为．故答案为：．由已知条件设椭圆方程为，，由右焦点到直线的距离为3，利用点到直线的距离公式求出，由此能求出椭圆方程．本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．11.在中，A、B、C所对边分别为a、b、若，则______．【答案】【解析】解：已知等式变形得：，，则．故答案为：已知等式移项后，左边通分并利用同分母分式的加法法则变形，再利用同角三角函数间的基本关系切化弦，整理后利用诱导公式化简，右边利用正弦定理化简，求出的值，即可确定出A的度数．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．12.已知数列的首项，其前n项和为若，则______．【答案】【解析】解：，，，．数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，，，时，不满足上式，．故答案为：．把已知递推式两边加1，得到等比数列，求出其通项公式后，由求解数列的通项公式．本题考查了数列递推式，关键是把已知递推式变形，得到新的等比数列，是中档题．13.某地球仪上北纬纬线长度为，该地球仪的表面上北纬东经对应点A与北纬东经对应点B之间的球面距离为______精确到．【答案】【解析】解：地球仪上北纬纬线的长度为，则纬圆半径r，，地球仪的半径．北纬东经对应点A与北纬东经对应点B，北纬的纬圆半径是，经度差是，，设球心角为，则，，球面距离为．故答案为：．先求纬圆半径，再求地球仪的半径，A、B两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．14.已知直线与抛物线C：相交于A、B两点，F为抛物线C的焦点若，则实数______．【答案】【解析】解：设抛物线C：的准线为l：，直线恒过定点如图过A、B分别作于M，于N，由，则，点B为AP的中点、连接OB，则，，点B的横坐标为1，点B的坐标为，．故答案为：．根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作于M，于N，根据，推断出，点B为AP的中点、连接OB，可知，推断出，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．本题主要考查了抛物线的简单性质，是中档题，解题要注意抛物线的基础知识的灵活运用．15.将的图象向右平移2个单位后得曲线，将函数的图象向下平移2个单位后得曲线，与关于x轴对称，若的最小值为m且，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：将的图象向右平移2个单位后得曲线，曲线：，曲线，与关于x轴对称，曲线：，将函数的图象向下平移2个单位后得曲线，，，设，，，函数定义域的端点值取不到，如果函数有最值，那么该最值就一定在非端点处取到，也就是说该函数一定不是单调函数，而对于形如的函数只有当时才是上的非单调函数，，解得或，当时，变量t的两个系数都为负数，此时只有最大值，不合题意．当时，t的两个系数都为正数，并且t也为正数，可以用基本不等式：，的最小值为m且，，联立，解得：．综上所述：实数a的取值范围为．故答案为：．根据推出，由推出，再算出，设，利用非单调函数取最值的性质和均值定理能求出实数a的取值范围．本题考查函数中参数的取值范围的求法，涉及到函数图象的对称性、函数的单调性、函数的最值、均值定理等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意等价转化思想的合理运用．16.已知“a，b，c，d，e，f”为“1，2，3，4，5，6”的一个全排列设x是实数，若“”可推出“或”，则满足条件的排列“a，b，c，d，e，f”共有______个【答案】208【解析】解：分析题意，得出结论为包含于．首先对于类似可能是这种，有种情况包括由于是，我们考虑一下这两个区间的关系：无外乎分离、交叉、包含3种分离：此时ab只能在cd内部，或者在ef内部；再考虑到cd、ef谁左谁右，总共种情况；交叉：比如此时由小到大的顺序为cedf，那么实际上就是，所以cf 之间应该有abde4个数字，选择4个位置中的两个给ab有；再考虑到cd、ef 谁左谁右，总共种情况包含：跟交叉无甚区别，也是12种情况故总情况数：个．故答案为：208个．分析题意，得出结论为包含于，由于是，我们考虑一下这两个区间的关系：无外乎分离、交叉、包含3种，分类讨论，可得结论．本题考查合情推理，考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共5.0分）17.在直三棱柱中，，，，求：异面直线与所成角的大小；直线到平面的距离．【答案】解：由题意可得，或其补角即为异面直线与所成的角，由题意可知平面，，为直角三角形，，异面直线与所成的角为；，平面，平面，平面，直线上任意一点到平面的距离均为直线到平面的距离，不妨取，且设到平面的距离为h，由等体积法可得，即代入数据可得，解得直线到平面的距离为【解析】由题意可得或其补角即为异面直线与所成的角，解三角形可得；可证平面，则到平面的距离h即为所求，由等体积法可得，代入数据计算可得．本题考查异面直线所成的角，涉及直线到平面的距离，等体积是解决问题的关键，属中档题．18.已知，其中b是常数．若是奇函数，求b的值；求证：的图象上不存在两点A、B，使得直线AB平行于x轴．【答案】解：是奇函数，所以对定义域内任意x，都有，即，即，可得．此时，，为奇函数设定义域内任意，设，，当时，由于，，可得，故总有在定义域上单调递增，故函数在定义域上单调递增．当时，，在定义域上单调递增，故函数在定义域上单调递增．当时，，可得，总有在定义域上单调递增，故函数在定义域上单调递增．综上可得，不论b取何值，函数在其定义域上单调递增，故的图象上不存在两点，使得所连的直线与x轴平行．【解析】根据，化简求得b的值．设定义域内任意，设，用函数的单调性的定义证明在函数的定义域内是增函数，可得在定义域内是增函数，从而得出结论．本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的单调性的判断和证明，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．19.如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设．试用表示的面积；求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．【答案】解：设为x，，，分，，分令分只需考虑取到最大值的情况，即为，分当，即时，达到最大分此时八角形所覆盖面积的最大值为分【解析】先求出，再用表示的面积；令，只需考虑取到最大值的情况．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.已知点、为双曲线C：的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且圆O的方程是．求双曲线C的方程；过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；过圆O上任意一点作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：．【答案】解：设，M的坐标分别为因为点M在双曲线C上，所以，即，所以在中，，，所以分由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：分解：由条件可知：两条渐近线分别为：；：分设双曲线C上的点，设两渐近线的夹角为，则则点Q到两条渐近线的距离分别为分因为在双曲线C：上，所以又，所以分证明：由题意，即证：．设，，切线l的方程为：分当时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得：所以：又分所以分当时，易知上述结论也成立所以分综上，，所以．【解析】确定，，由双曲线的定义可知：，从而可得双曲线C的方程；确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点，求出点P到两条渐近线的距离，利用在双曲线C上，及向量的数量积公式，即可求得结论；分类讨论：当切线l的斜率存在，设切线l的方程代入双曲线C中，利用韦达定理，结合直线l与圆O相切，可得成立；当切线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，即可得到结论．本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．21.在等差数列和等比数列中，，，是前n项和．若，求实数b的值；是否存在正整数b，使得数列的所有项都在数列中？若存在，求出所有的b，若不存在，说明理由；是否存在正实数b，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中？若存在，求出一个可能的b的值，若不存在，请说明理由．【答案】解：对等比数列，公比．有意义，，．又，．解方程，得或．因为，所以当b取偶数时，中所有项都是中的项．证：由题意：，均在数列中，当时，的第n项是中的第项当b取奇数时，不是整数，数列的所有项都不在数列中．综上，所有的符合题意的假设存在b满足题意，，在中，中至少存在一项在中，另一项不在中由得，不妨取得，即．不妨也取，得舍负值此时当时，，，对任意n，综上，可以满足题意．【解析】根据条件先求出表示q，因为有意义有意义所以，由等比数列前n项和公式可表示出，然后解方程，可得b的值；分情况可证明当b取偶数时，中所有项都是中的项，当b 取奇数时，不是整数，数列的所有项都不在数列中；假设存在b满足题意，由，在中可推出：中至少存在一项在中，另一项不在中建立关系得，尝试取m和k的值即可．本题主要考查等比数列等差数列的通项公式和前n项和公式，极限的意义，存在性问题的解决技巧，分析问题和处理数据的能力，属于难题．。