2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(辽宁卷)
辽宁理科1.(2012辽宁,理1)已知全集U ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A ={0,1,3,5,8},集合B ={2,4,5,6,8},则(∁U A )∩(∁U B )=( ). A .{5,8} B .{7,9} C .{0,1,3} D .{2,4,6}B 由已知条件可得∁U A ={2,4,6,7,9},∁U B ={0,1,3,7,9},所以(∁U A )∩(∁U B )={7,9},故选B . 2.(2012辽宁,理2)复数2i 2i -+=( ). A .35-45iB .35+45iC .1-45iD .1+35iA 2i 2i-+=2(2i)(2i)(2i)-+-=244i i 5-+=35-45i ,故选A .3.(2012辽宁,理3)已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是( ). A .a ∥b B .a ⊥b C .|a |=|b | D .a +b =a -bB |a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2,|a -b |2=|a |2-2a ·b +|b |2,因为|a +b |=|a -b |,所以|a |2+2a ·b +|b |2=|a |2-2a ·b +|b |2,即2a ·b =-2a ·b , 所以a ·b =0,a ⊥b .故选B .4.(2012辽宁,理4)已知命题p :∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0,则p 是( ). A .∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 B .∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 C .∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 D .∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0C 命题p 是一个全称命题,其否定为存在性命题,p :∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0,故选C .5.(2012辽宁,理5)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ). A .3×3! B .3×(3!)3 C .(3!)4 D .9!C 完成这件事可以分为两步,第一步排列三个家庭的相对位置,有33A 种排法;第二步排列每个家庭中的三个成员,共有333333A A A 种排法.由乘法原理可得不同的坐法种数有33333333A A A A ,故选C . 6.(2012辽宁,理6)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=( ). A .58 B .88 C .143D .176 B 因为数列{a n }为等差数列,所以S 11=11111(a a )2+,根据等差数列的性质,若p +q =m +n ,则a p +a q =a m +a n 得,a 1+a 11=a 4+a 8=16,所以S 11=11162⨯=88,故选B .7.(2012辽宁,理7)已知sin α-cos α∈(0,π),则tan α=( ).A .-1B 2C 2D .1A 将sin α-cos sin 2α-2sin αcos α+cos 2α=2,即sin αcos α=-12,则22ααααsin cos sin cos +=2αα1tan tan +=-12,整理得2tan α+tan 2α+1=0,即(tan α+1)2=0, 所以tan α=-1.故选A .8.(2012辽宁,理8)设变量x ,y 满足x y 10,0x y 20,0y 15,-≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则2x +3y 的最大值为( ).A .20B .35C .45D .55D 不等式组表示的平面区域如图所示,则2x +3y 在A (5,15)处取得最大值,故选D .9.(2012辽宁,理9)执行如图所示的程序框图,则输出的S 值是( ). A .-1 B .23C .32D .4 D 当i =1时,S =224-=-1; i =2时,S =221+=23; i =3时,S =2223-=32;i =4时,S =2322-=4;i =5时,S =224-=-1;i =6时,S =23;i =7时,S =32;i =8时,S =4;i =9时,输出S ,故选D .10.(2012辽宁,理10)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( ). A .16B .13C .23D .45C 设AC =x cm (0<x <12),则CB =12-x (cm ),则矩形面积S =x (12-x )=12x -x 2<32,即(x -8)(x -4)>0,解得0<x <4或8<x <12,在数轴上表示为由几何概型概率公式得,概率为812=23,故选C .11.(2012辽宁,理11)设函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当x ∈[0,1]时,f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos (πx )|,则函数h (x )=g (x )-f (x )在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为( ).A .5B .6C .7D .8 B 由f (-x )=f (x ),f (x )=f (2-x )可知,f (x )是偶函数,且关于直线x =1对称,又由f (2-x )=f (x )=f (-x )可知,f (x )是以2为周期的周期函数.在同一坐标系中作出f (x )和g (x )在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图,可知f (x )与g (x )的图象在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有6个交点,即h (x )的零点个数为6.12.(2012辽宁,理12)若x ∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是( ). A .e x ≤1+x +x 2 B1-12x +14x 2C .cos x ≥1-12x 2D .ln (1+x )≥x -18x 2C 对于e x 与1+x +x 2,当x =5时,e x >32,而1+x +x 2=31,所以A 选项不正确;1-12x +14x 2,当x =14时51-12x +14x 2=5764<5所以B 选项不正确;令f (x )=cos x +12x 2-1,则f '(x )=x -sin x ≥0对x ∈[0,+∞)恒成立,f (x )在[0,+∞)上为增函数,所以f (x )的最小值为f (0)=0,所以f (x )≥0,cos x ≥1-12x 2,故C 正确;令g (x )=ln (1+x )-x +18x 2,则g '(x )=1x 1++14x -1,令g '(x )=0,得x =0或x =3.当x ∈(0,3)时,g '(x )<0,当x ∈(3,+∞)时,g '(x )>0,g (x )在x =3时取得最小值g (3)=ln 4-3+98<0,所以D 不正确.13.(2012辽宁,理13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .38 由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱,长方体表面积为2×(4×3+3×1+4×1)=38,圆柱的侧面积为2π,上下两个底面积和为2π,所以该几何体的表面积为38+2π-2π=38.14.(2012辽宁,理14)已知等比数列{a n }为递增数列,且25a =a 10,2(a n +a n +2)=5a n +1,则数列{a n }的通项公式a n = .2n 设数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则21a ·q 8=a 1·q 9,a 1=q ,由2(a n +a n +2)=5a n +1,得2q 2-5q +2=0,解得q =2或q =12,因为数列{a n }为递增数列,所以q =2,a 1=2,a n =2n .15.(2012辽宁,理15)已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为.-4 由已知可设P (4,y 1),Q (-2,y 2),∵点P ,Q 在抛物线x 2=2y 上,∴212242y ,(-2)2y ,⎧=⎨=⎩①② ∴12y 8,y 2,=⎧⎨=⎩ ∴P (4,8),Q (-2,2).又∵抛物线可化为y =12x 2,∴y '=x ,∴过点P 的切线斜率为y 'x 4==4. ∴过点P 的切线为:y -8=4(x -4),即y =4x -8. 又∵过点Q 的切线斜率为y 'x 2 =-=-2, ∴过点Q 的切线为y -2=-2(x +2), 即y =-2x -2. 联立y 4x 8,y 2x 2,=-⎧⎨=--⎩得x =1,y =-4,∴点A 的纵坐标为-4.16.(2012辽宁,理16)已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C,若PA ,PB ,PC 两两相互垂直,则球心到截面ABC 的距离为.3正三棱锥P -ABC 可看作由正方体PADC -BEFG 截得,如图所示,PF 为三棱锥P -ABC 的外接球的直径,且PF ⊥平面ABC .设正方体棱长为a ,则3a 2=12,a =2,AB =AC =BC =S △ABC =12×2由V P -ABC =V B -PAC ,得13·h ·S △ABC =13×12×2×2×2,所以h3因此球心到平面ABC317.(2012辽宁,理17)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列. (1)求cos B 的值;(2)边a ,b ,c 成等比数列,求sin A sin C 的值.解:(1)由已知2B =A +C ,A +B +C =180°,解得B =60°,所以cos B =12.(2)解法一:由已知b 2=ac ,及cos B =12,根据正弦定理得sin 2B =sin A sin C ,所以sin A sin C =1-cos 2B =34.解法二:由已知b 2=ac ,及cos B =12,根据余弦定理得cos B =22a c ac 2ac+-,解得a =c ,所以A =C =B =60°,故sin A sin C =34.18.(2012辽宁,理18)如图,直三棱柱ABC -A 'B 'C ',∠BAC =90°,AB =AC =λAA ',点M ,N 分别为A 'B 和B 'C '的中点. (1)证明:MN ∥平面A 'ACC ';(2)若二面角A '-MN -C 为直二面角,求λ的值.解:(1)证法一:连结AB ',AC ',由已知∠B AC =90°,AB =AC ,三棱柱ABC -A 'B 'C '为直三棱柱,所以M 为AB '中点. 又因为N 为B 'C '的中点, 所以MN ∥AC '.又MN ⊄平面A 'A CC ',AC '⊂平面A 'ACC ', 因此MN ∥平面A 'ACC '.证法二:取A 'B '中点P ,连结MP ,NP , 而M ,N 分别为AB '与B 'C '的中点, 所以MP ∥AA ',PN ∥A 'C ',所以MP ∥平面A 'ACC ',PN ∥平面A 'ACC '. 又MP ∩NP =P ,因此平面MPN ∥平面A 'A CC '. 而MN ⊂平面MPN ,因此MN ∥平面A 'ACC '.(2)以A 为坐标原点,分别以直线AB ,AC ,AA '为x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系O -xyz ,如图所示. 设AA '=1,则AB =AC =λ,于是A (0,0,0),B (λ,0,0),C (0,λ,0),A '(0,0,1),B '(λ,0,1),C '(0,λ,1),所以M λ1,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,N λλ,,122⎛⎫⎪⎝⎭.设m =(x 1,y 1,z 1)是平面A 'MN 的法向量,由m '0,m 0A M M N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111110,2210,22x z y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可取m =(1,-1,λ).设n =(x 2,y 2,z 2)是平面MNC 的法向量,由n 0,n 0N C M N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222220,2210,22x y z y z λλλ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可取n =(-3,-1,λ).因为A '-MN -C 为直二面角,所以m ·n =0,即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得19.(2012辽宁,理19)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望E (X )和方差D (X ).附:χ2=211221221n (n n n n )n n n n -,将2×2列联表中的数据代入公式计算,得χ2=2112212211212n (n n n n )n n n n ++++-=2100(30104515)75254555⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=10033≈3.030.因为3.030<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意X ~B 13,⎛⎫ ⎪,从而X 的分布列为E (X )=np =3×14=34,D (X )=np (1-p )=3×14×34=916.20.(2012辽宁,理20)如图,椭圆C 0:22x a+22y b=1(a >b >0,a ,b 为常数),动圆C 1:x 2+y 2=21t ,b <t 1<a .点A 1,A 2分别为C 0的左,右顶点,C 1与C 0相交于A ,B ,C ,D 四点.(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程; (2)设动圆C 2:x 2+y 2=22t 与C 0相交于A ',B ',C ',D '四点,其中b <t 2<a ,t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A 'B 'C 'D '的面积相等,证明:21t +22t 为定值. (1)解:设A (x 1,y 1),B (x 1,-y 1),又知A 1(-a ,0),A 2(a ,0),则直线A 1A 的方程为y =11y x a+(x +a ),①直线A 2B 的方程为y =11y x a--(x -a ).②由①②得y 2=21221y x a--(x 2-a 2).③由点A (x 1,y 1)在椭圆C 0上,故212x a+212y b=1.从而21y =b 2212x 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,代入③得22x a-22y b=1(x <-a ,y <0).(2)证明:设A '(x 2,y 2),由矩形ABCD 与矩形A 'B 'C 'D '的面积相等,得4|x 1||y 1|=4|x 2||y 2|,故2211x y =2222x y . 因为点A ,A '均在椭圆上,所以b 222112x x 1a ⎛⎫-⎪⎝⎭=b 222222x x 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由t 1≠t 2,知x 1≠x 2,所以21x +22x =a 2. 从而21y +22y =b 2, 因此21t +22t =a 2+b 2为定值.21.(2012辽宁,理21)设f (x )=ln (x +1ax +b (a ,b ∈R ,a ,b 为常数),曲线y =f (x )与直线y =32x 在(0,0)点相切.(1)求a ,b 的值;(2)证明:当0<x <2时,f (x )<9x x 6+.(1)解:由y =f (x )过(0,0)点,得b =-1.由y =f (x )在(0,0)点的切线斜率为32,又y '|x =0=1ax 1⎛⎫+⎪+⎝⎭|x =0=32+a ,得a =0.(2)证法一:由均值不等式,当x >0时,x +1+1=x +2,故x 1+<x 2+1.记h (x )=f (x )-9x x 6+,则h '(x )=1x 1++2x 1+-254(x 6)+=2x 12(x 1)+++-254(x 6)+<x 64(x 1)++-254(x 6)+=32(x 6)216(x 1)4(x 1)(x 6)+-+++.令g (x )=(x +6)3-216(x +1),则当0<x <2时,g '(x )=3(x +6)2-216<0. 因此g (x )在(0,2)内是递减函数, 又由g (0)=0,得g (x )<0, 所以h '(x )<0.因此h (x )在(0,2)内是递减函数, 又h (0)=0,得h (x )<0. 于是当0<x <2时,f (x )<9x x 6+.证法二:由(1)知f (x )=ln (x +1)+x 1+-1.由均值不等式,当x >0时,2(x 1) 1+<x +1+1=x +2, 故x 1+<x 2+1.①令k (x )=ln (x +1)-x ,则k (0)=0,k '(x )=1x 1+-1=x x 1-+<0,故k (x )<0,即ln (x +1)<x .② 由①②得,当x >0时,f (x )<32x .记h (x )=(x +6)f (x )-9x ,则当0<x <2时, h '(x )=f (x )+(x +6)f '(x )-9 <32x +(x +6)1x 12x 1⎛+⎪++⎝⎭-9 =12(x 1)+[3x (x +1)+(x +6)(2+x 1+)-18(x +1)]<1x 3x (x 1)(x 6)318(x 1)2(x 1)2⎡⎤⎛⎫++++-+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ =x 4(x 1)+(7x -18)<0.因此h (x )在(0,2)内单调递减, 又h (0)=0,所以h (x )<0,即f (x )<9x x 6+.22.(2012辽宁,理22)选修4-1:几何证明选讲如图,☉O 和☉O '相交于A ,B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连结DB 并延长交☉O 于点E .证明:(1)AC ·BD =AD ·AB ; (2)AC =AE .证明:(1)由AC 与☉O '相切于A ,得∠CAB =∠ADB ,同理∠ACB =∠DAB , 所以△ACB ∽△DAB .从而A C A D=A B B D,即AC ·BD =AD ·AB .(2)由AD 与☉O 相切于A ,得∠AED =∠BAD , 又∠ADE =∠BDA ,得△EAD ∽△ABD . 从而A E A B=A D BD,即AE ·BD =AD ·AB .结合(1)的结论,AC =AE .23.(2012辽宁,理23)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,圆C 1:x 2+y 2=4,圆C 2:(x -2)2+y 2=4.(1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C 1,C 2的极坐标方程,并求出圆C 1,C 2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程. (1)解:圆C 1的极坐标方程为ρ=2,圆C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ.解ρ2,ρ4θcos =⎧⎨=⎩得ρ=2,θ=±3π,故圆C 1与圆C 2交点的坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭,2,-3π⎛⎫ ⎪⎝⎭.注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)解法一:由x ρθ,y ρθcos sin =⎧⎨=⎩得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(11故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为x 1,y t,=⎧⎨=⎩t(或参数方程写成x 1,y y,=⎧⎨=⎩y 解法二:将x =1代入x ρθ,y ρθcos sin =⎧⎨=⎩得ρcos θ=1,从而ρ=1θcos .于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为x 1,y θ,tan =⎧⎨=⎩-3π≤θ≤3π.24.(2012辽宁,理24)选修4—5:不等式选讲已知f (x )=|ax +1|(a ∈R ),不等式f (x )≤3的解集为{x |-2≤x ≤1}. (1)求a 的值;(2)若x f (x)-2f 2⎛⎫ ⎪⎝⎭≤k 恒成立,求k 的取值范围. 解:(1)由|ax +1|≤3得-4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |-2≤x ≤1}, 所以当a ≤0时,不合题意.当a >0时,-4a≤x ≤2a,得a =2.(2)记h (x )=f (x )-2f x 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,则h(x)=1,x1,1 4x3,-1x,211,x,2⎧⎪≤-⎪⎪--<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩所以|h(x)|≤1,因此k≥1.。
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(四川卷)
四川卷(理科数学)1.(2012四川,理1)(1+x )7的展开式中x 2的系数是( ). A .42B .35C .28D .21D 含x 2的项是展开式中的第三项T 3=27C x 2=21x 2,所以x 2的系数是21.2.(2012四川,理2)复数2(1i)2i-=( ).A .1B .-1C .iD .-iB 2(1i)2i -=212i i 2i -+=2i 2i-=-1.3.(2012四川,理3)函数f (x )=29,x 3,3ln(2),3x x x x ⎧-<⎪-⎨⎪-≥⎩在x =3处的极限( ). A .不存在 B .等于6 C .等于3D .等于0A 当x <3时,3lim x →f (x )=239lim 3x x x →--=3lim x →(x +3)=6;当x >3时,3lim x →f (x )=3lim x →ln (x -2)=0.由于f (x )在x =3处的左极限不等于右极限,所以函数f (x )在x =3处的极限不存在.4.(2012四川,理4)如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使AE =1,连结EC ,ED ,则sin ∠CED =( ). ABC D B 因为四边形ABCD 是正方形,且AE =AD =1,所以∠AED =π4.在Rt △EBC 中,EB =2,BC =1,所以sin∠BEC cos ∠BEC sin ∠CED=sin πBEC 4∠⎛⎫-⎪⎝⎭∠BEC∠BEC⎝⎭. 5.(2012四川,理5)函数y=a x -1a(a >0,且a ≠1)的图象可能是( ).D 当a >1时,函数y =a x 单调递增,-1<-1a<0,所以y =a x -1a的图象与y 轴的交点的纵坐标在0至1之间,所以选项A ,B 都不正确;当0<a <1时,函数y =a x 单调递减,而此时-1a <-1,所以函数y =a x -1a与y 轴的交点在x 轴的下方,选项D 符合条件.6.(2012四川,理6)下列命题正确的是( ).A .若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B .若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C .若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D .若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 C若两条直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线可平行、可异面、可相交.选项A 错;如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧,则经过这三个点的平面与这个平面相交,选项B 不正确;如图,平面α∩β=b ,a ∥α,a ∥β,过直线a 作平面ε∩α=c ,过直线a 作平面γ∩β=d ,∵a ∥α,∴a ∥c ,∵a ∥β,∴a ∥d ,∴d ∥c ,∵c ⊂α,d ⊄α,∴d ∥α,又∵d ⊂β,∴d ∥b ,∴a ∥b ,选项C 正确;若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项D 不正确. 7.(2012四川,理7)设a ,b 都是非零向量,下列四个条件中,使||a a =||b b 成立的充分条件是( ).A .a =-bB .a ∥bC .a =2bD .a ∥b 且|a |=|b |C 因为||a a =||b b ,则向量||a a 与||b b 是方向相同的单位向量,所以a 与b 共线同向,即使||a a =||b b 成立的充分条件为选项C .8.(2012四川,理8)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M (2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM |=( ). A .B .C .4D .B 由抛物线定义,知2p +2=3,所以p =2,抛物线方程为y 2=4x .因为点M (2,y 0)在抛物线上,所以y 0=±故|OM9.(2012四川,理9)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A ,B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ). A .1 800元 B .2 400元 C .2 800元D .3 100元C 设某公司生产甲产品x 桶,生产乙产品y 桶,获利为z 元,则x ,y 满足的线性约束条件为212,212,0Z,0Z,x y x y x x y y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩且且目标函数z =300x +400y .作出可行域,如图中四边形OABC 的边界及其内部整点.作直线l 0:3x +4y =0,平移直线l 0经可行域内点B 时,z 取最大值,由212,212,x y x y +=⎧⎨+=⎩得B (4,4),满足题意,所以z max =4×300+4×400=2 800.10.(2012四川,理10)如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径CD 作与平面α成45°角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足∠BOP =60°,则A ,P 两点间的球面距离为( ).A .RB .π4RC .RD .π3RA过点A 作AH ⊥平面BCD ,平面BCD 与底面所成的角为45°,AO ⊥平面α,且点B 为交线上与平面α的距离最大的点,∴点H 在OB 上,且∠AOB =45°.过点H 作HM ⊥OP ,垂足为M ,连接AM ,在等腰直角三角形AOH中,AH =OH .在Rt △HOM 中,∠HOP =60°,∴HM =OH R .在Rt △AHM中,AM R ,则在Rt △AMO 中,sin ∠AOP =4R ,∴cos ∠AOP ∴∠AOP =∴A ,P 两点的球面距离为R 11.(2012四川,理11)方程ay =b 2x 2+c 中的a ,b ,c ∈{-3,-2,0,1,2,3},且a ,b ,c 互不相同.在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( ). A .60条B .62条C .71条D .80条B 因为a ,b 不能为0,先确定a ,b 的值有25A 种,则c 有14C 种,即所形成的抛物线有2154A C =80条.当b =±2时,b 2的值相同,重复的抛物线有1133C C =9条;当b =±3时,b 2的值相同,重复的抛物线有1133C C =9条,所以不同的抛物线共有2154A C -21133C C =62条. 12.(2012四川,理12)设函数f (x )=2x -cos x ,{a n }是公差为π8的等差数列,f (a 1)+f (a 2)+…+f (a 5)=5π,则[f (a 3)]2-a 1a 5=( ). A .0B .116π2C .18π2D .1316π2D 因为{a n }是以π8为公差的等差数列,所以a 1=a 3-π4,a 2=a 3-π8,a 4=a 3+π8,a 5=a 3+π4,则f (a 1)=2a 3-π2-cos 3π4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,f (a 2)=2a 3-π4-cos 3π8a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,f (a 3)=2a 3-cos a 3,f (a 4)=2a 3+π4-cos 3π8a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,f (a 5)=2a 3+π2-cos 3π4a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以f (a 1)+f (a 2)+f (a 3)+f (a 4)+f (a 5)=10a 3-3πcos 4a ⎡⎛⎫- ⎪⎢⎝⎭⎣+cos 3π8a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+cos a 3+cos 3π8a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+3πcos 4a ⎤⎛⎫+ ⎪⎥⎝⎭⎦=10a3-333πcos 8a a a ⎫++⎪⎭=10a3-π12cos 8⎫+⎪⎭cos a 3=5π.则a 3=π2.于是a 1=a 3-π4=π4,a 5=a 3+π4=3π4,f (a 3)=2×π2-cos π2=π.故[f (a 3)]2-a 1a 5=π2-π4·3π4=1316π2.13.(2012四川,理13)设全集U ={a ,b ,c ,d },集合A ={a ,b },B ={b ,c ,d },则(∁U A )∪(∁U B )= .{a ,c ,d } ∁U A ={c ,d },∁U B ={a },所以(∁U A )∪(∁U B )={a ,c ,d }.14.(2012四川,理14)如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱CD ,CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是 .90° 如图,以点D 为原点,以DA ,DC ,DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系D -xyz .设正方体的棱长为2,则1MA =(2,-1,2),DN =(0,2,1),1MA ·DN=0,故异面直线A 1M 与ND 所成角为90°.15.(2012四川,理15)椭圆24x +23y =1的左焦点为F ,直线x =m 与椭圆相交于点A ,B .当△FAB 的周长最大时,△FAB 的面积是 . 3设椭圆的右焦点为F 1,则|AF |=2a -|AF 1|=4-|AF 1|,∴△AFB 的周长为2|AF |+2|AH |=2(4-|AF 1|+|AH |). ∵△AF 1H 为直角三角形,∴|AF 1|>|AH |,仅当F 1与H 重合时,|AF 1|=|AH |,∴当m =1时,△AFB 的周长最大,此时S △FAB =12×2×|AB |=3.16.(2012四川,理16)记[x ]为不超过实数x 的最大整数.例如,[2]=2,[1.5]=1,[-0.3]=-1.设a 为正整数,数列{x n }满足x 1=a ,x n +1=2n n a x x ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(n ∈N *).现有下列命题:①当a =5时,数列{x n }的前3项依次为5,3,2;②对数列{x n }都存在正整数k ,当n ≥k 时总有x n =x k ; ③当n ≥1时,x n1;④对某个正整数k ,若x k +1≥x k ,则x k其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号)①③④ 当a =5时,x 1=5,x 2=512+⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3,x 3=5332⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2,①正确.当a =1时,x 1=1,x 2=1112⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=1,x 3=1,x k 恒等于1; 当a =2时,x 1=2,x 2=212+⎡⎤⎢⎥⎣⎦=32⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1,x 3=2112⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=32⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1,所以当k ≥2时,恒有x k1;当a =3时,x 1=3,x 2=312+⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2,x 3=3222⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=32⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1x 4=3112⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2,x 5=3222⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=32⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1,x 6=132+⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2, 所以当k 为偶数时,x k =2,当k 为大于1的奇数时,x k =1,②不正确. 在x n +n a x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦中,当n a x 为正整数时,x n +n a x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=x n +n a x ≥∴x n +1=2n n a x x ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥≥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦当n a x 不是正整数时,令n a x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=n a x -t ,t 为n a x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的小数部分,0<t <1,x n +1=2n n a x ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=t 2n n a x x ⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦>⎣⎦=2t ⎤⎥⎦∴x n +1≥∴x n ≥即x n1,③正确.由以上论证知,存在某个正整数k ,若x k +1≥x k ,则x k④正确.17.(2012四川,理17)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值;(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望E ξ. 解:(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ,那么1-P (C )=1-110·p =4950.解得p =15.(2)由题意,P (ξ=0)=3031C 10⎛⎫ ⎪⎝⎭=11000,P (ξ=1)=2131C 10⎛⎫ ⎪⎝⎭·1110⎛⎫- ⎪⎝⎭=271000,P (ξ=2)=231C 10·21110⎛⎫- ⎪⎝⎭=2431000,P (ξ=3)=3331C 110⎛⎫- ⎪⎝⎭=7291000.故随机变量ξ的数学期望:E ξ=0×11000+1×271000+2×2431000+3×7291000=2710.18.(2012四川,理18)函数f (x )=6cos 22x ω ωx -3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B ,C 为图象与x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. (1)求ω的值及函数f (x )的值域;(2)若f (x 0,且x 0∈102,33⎛⎫- ⎪⎝⎭,求f (x 0+1)的值.解:(1)由已知可得,f (x )=3cos ωx ωx =π3x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭.又正三角形ABC 的高为从而BC =4. 所以函数f (x )的周期T =4×2=8,即2πω=8,ω=π4.函数f (x )的值域为[-(2)因为f (x 0,由(1)有f (x 0)=0ππ43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即sin 0ππ43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=45.由x 0∈102,33⎛⎫- ⎪⎝⎭,知0π4x +πππ,322⎛⎫∈- ⎪⎭,所以cos 0ππ43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭35.故f (x 0+1)=0πππ443x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=0πππ434x ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=0πππsin cos 434x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+cos 0π4x ⎛ ⎝+ππsin 34⎤⎫⎪⎥⎭⎦=4355⎭19.(2012四川,理19)如图,在三棱锥P -ABC 中,∠APB =90°,∠PAB =60°,AB =BC =CA ,平面PAB ⊥平面ABC . (1)求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小; (2)求二面角B -AP -C 的大小.解法一:(1)设AB 的中点为D ,AD 的中点为O ,连结PO ,CO ,CD .由已知,△PAD 为等边三角形.所以PO ⊥AD .又平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ∩平面ABC =AD , 所以PO ⊥平面ABC .所以∠OCP 为直线PC 与平面ABC 所成的角.不妨设AB =4,则PD =2,CD =OD =1,PO在Rt △OCD 中,CO所以,在Rt △POC 中,tan ∠OCP =PO CO故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为(2)过D 作DE ⊥AP 于E ,连结CE . 由已知可得,CD ⊥平面PAB . 根据三垂线定理知,CE ⊥PA .所以∠CED 为二面角B -AP -C 的平面角.由(1)知,DE在Rt △CDE 中,tan ∠CED =CD DE2.故二面角B -AP -C 的大小为arctan 2.解法二:(1)设AB 的中点为D ,作PO ⊥AB 于点O ,连结CD .因为平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ∩平面ABC =AD , 所以PO ⊥平面ABC . 所以PO ⊥CD .由AB =BC =CA ,知CD ⊥AB . 设E 为AC 中点,则EO ∥CD ,从而OE ⊥PO ,OE ⊥AB .如图,以O 为坐标原点,OB ,OE ,OP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .不妨设PA =2,由已知可得,AB =4,OA =OD =1,OP 3CD =3所以O (0,0,0),A (-1,0,0),C (1,30),P (0,03所以CP =(-1,-33而OP=(0,03为平面ABC 的一个法向量. 设α为直线PC 与平面ABC 所成的角,则sin α=·||||CPOP CP OP003163++⨯3故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为3(2)由(1)有,AP =(1,03AC=(2,30).设平面APC 的一个法向量为n =(x 1,y 1,z 1),则AP,AC n n ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇔·AP 0,·AC 0n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇔111111(,,)(13)0,(,,)(2,23,0)0.x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 从而11113 22 3 x z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 取x 13则y 1=1,z 1=1,所以n 31,1).设二面角B -AP -C 的平面角为β,易知β为锐角. 而面ABP 的一个法向量为m =(0,1,0),则cos β=·||||n m n m 1311++5故二面角B -AP -C 的大小为520.(2012四川,理20)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2a n =S 2+S n 对一切正整数n 都成立. (1)求a 1,a 2的值;(2)设a 1>0,数列110lg n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n .当n 为何值时,T n 最大?并求出T n 的最大值. 解:(1)取n =1,得a 2a 1=S 2+S 1=2a 1+a 2,①取n =2,得22a =2a 1+2a 2,②由②-①,得a 2(a 2-a 1)=a 2.③ 若a 2=0,由①知a 1=0;若a 2≠0,由③知a 2-a 1=1.④由①,④解得,a 121,a 2=22或a 1=12a 2=22综上可得,a 1=0,a 2=0;或a 121,a 222;或a 1=12a 2=22(2)当a 1>0时,由(1)知a 121,a 222. 当n ≥2时,有(22a n =S 2+S n ,(22a n -1=S 2+S n -1, 所以(12a n =(22a n -1,即a n 2n -1(n ≥2),所以a n =a 1(2)n -1=(2+1)·(2)n -1. 令b n =lg 110na a ,则b n =1-lg (2)n -1=1-12(n -1)lg 2=12lg 11002n -.所以数列{b n }是单调递减的等差数列1lg22⎛⎫- ⎪⎝⎭公差为,从而b 1>b 2>…>b 7=lg 108>lg 1=0,当n ≥8时,b n ≤b 8=12lg 100128<12lg 1=0,故n =7时,T n 取得最大值,且T n 的最大值为T 7=177()2b b +=7(113lg2)2+-=7-212lg 2.21.(2012四川,理21)如图,动点M 与两定点A (-1,0),B (2,0)构成△MAB ,且∠MBA =2∠MAB .设动点M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程;(2)设直线y =-2x +m 与y 轴相交于点P ,与轨迹C 相交于点Q ,R ,且|PQ |<|PR |,求||||PR PQ 的取值范围.解:(1)设M 的坐标为(x ,y ),显然有x >0,且y ≠0.当∠MBA =90°时,点M 的坐标为(2,±3).当∠MBA ≠90°时,x ≠2,由∠MBA =2∠MAB ,有tan ∠MBA =22tan 1tan MAB MAB ∠∠-,即-||2y x -=2||21||11y x y x +⎛⎫- ⎪+⎝⎭.化简可得,3x 2-y 2-3=0.而点(2,±3)在曲线3x 2-y 2-3=0上,综上可知,轨迹C 的方程为3x 2-y 2-3=0(x >1).(2)由222,330y x m x y =-+⎧⎨--=⎩消去y ,可得x 2-4mx +m 2+3=0.(*) 由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内. 设f (x )=x 2-4mx +m 2+3,所以222241,2(1)14m 30,(-4)4(3)0.m f m m m -⎧->⎪⎪=-++>⎨⎪∆=-+>⎪⎩解得,m >1,且m ≠2.设Q ,R 的坐标分别为(x Q ,y Q ),(x R ,y R ),由|PQ |<|PR |有x R =2m 23(1)m -x Q =2m 23(1)m -所以||||PR PQ =R Qx x 2223(1)23(1)m m m m +---2212311231m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭121231m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由m >1,且m ≠2,有1<-121231m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<7+3且-121231m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭7.所以||||PR PQ 的取值范围是(1,7)∪(7,7+22.(2012四川,理22)已知a 为正实数,n 为自然数,抛物线y =-x 2+2n a 与x 轴正半轴相交于点A .设f (n )为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距. (1)用a 和n 表示f (n );(2)求对所有n 都有33()-1()11f n n f n n ≥++成立的a 的最小值;(3)当0<a <1时,比较11()-(2)n k f k f k =∑与274·(1)-()(0)-(1)f f n f f 的大小,并说明理由.解:(1)由已知得,交点A 的坐标为⎫⎪⎪⎭.对y =-x 2+12a n 求导得y '=-2x ,则抛物线在点A 处的切线方程为y =-x ,即y +a n .则f (n )=a n . (2)由(1)知f (n )=a n ,则33()-1()11f n n f n n ≥++成立的充要条件是a n ≥2n 3+1.即知,a n ≥2n 3+1对所有n 成立.特别地,取n =2得到a当a n ≥3时,a n >4n =(1+3)n =1+1C n ·3+2C n ·32+3C n ·33+… ≥1+1C n ·3+2C n ·32+3C n ·33 =1+2n 3+12n [5(n -2)2+(2n -5)]>2n 3+1.当n =0,1,2时,显然n ≥2n 3+1.故a ,3()-1()11f n n f n n ≥++对所有自然数n 都成立.所以满足条件的a (3)由(1)知f (k )=a k ,则11()-(2)nk f k f k =∑=211n k k k a a =∑-,(1)-()(0)-(1)f f n f f =1n a a a--. 下面证明:11()-(2)n k f k f k =∑>274·(1)-()(0)-(1)f f n f f . 首先证明:当0<x <1时,1274x x ≥-x .设函数g (x )=274x (x 2-x )+1,0<x <1.则g '(x )=81243x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当0<x <23时,g '(x )<0;当23<x <1时,g '(x )>0.故g (x )在区间(0,1)上的最小值g (x )min =g 23⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.所以,当0<x <1时,g (x )≥0,即得21274x x ≥-x .由0<a <1知0<a k <1(k ∈N *), 因此21274kka a ≥-a k,11从而11()-(2)n k f k f k =∑=211n k k k a a =∑- ≥1274n k =∑a k =274·11n a a a+-- >274·1n a a a-- =274·(1)-()(0)-(1)f f n f f .。
2012年高考真题试卷理科数学(新课标卷)答案解析版(1)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)iz i ii i--===---+-+--1:2p z =，22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 45【解析】选C∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形221332()224cP F F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B -- 得：222(4)(23)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷)(解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（理科）本试卷共21题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式：主体的体积公式V=Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高。
锥体的体积公式为13V sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ． 65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i -- 2．设集合U ={1,2,3,4,5,6}， M ={1,2,4 } 则U C M =A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量BA=（2,3），CA =（4,7），则BC =A ．（-2,-4）B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(-6,-10) 4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A ．ln(2)y x =+ B．y =．y=12x⎛⎫⎪⎝⎭D ．1y x x =+5．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z =3x +y 的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．1-6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12π B.45π C.57π D.81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是A.49 B. 13 C. 29 D. 198.对任意两个非零的平面向量α 和β ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥> ，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =A ．12 B.1 C. 32 D. 52二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。
（一）必做题（9-13题）9.不等式21x x +-≤的解集为_____。
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(课标全国卷)
课标全国(理)1.(2012课标全国,理1)已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x -y ∈A },则B 中所含元素的个数为( ). A .3 B .6 C .8 D .10D 由x ∈A ,y ∈A 得x -y ∈A ,得(x ,y )可取如下:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),故集合B 中所含元素的个数为10.2.(2012课标全国,理2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ). A .12种 B .10种 C .9种 D .8种 A 将4名学生均分为2个小组共有224222C C A =3种分法,将2个小组的同学分给两名教师带有22A =2种分法, 最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有22A =2种分法, 故不同的安排方案共有3×2×2=12种. 3.(2012课标全国,理3)下面是关于复数z =21i-+的四个命题:p 1:|z |=2, p 2:z 2=2i ,p 3:z 的共轭复数为1+i , p 4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( ). A .p 2,p 3 B .p 1,p 2 C .p 2,p 4 D .p 3,p 4C z =2(-1i)(-1i)(-1i)-+-=-1-i ,故|zp 1错误;z 2=(-1-i )2=(1+i )2=2i ,p 2正确;z 的共轭复数为-1+i ,p 3错误;p 4正确.4.(2012课标全国,理4)设F 1,F 2是椭圆E :22x a+22y b=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线x =32a 上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( ). A .12B .23C .34D .45C 设直线x =32a 与x 轴交于点M ,则∠PF 2M =60°,在Rt △PF 2M 中,PF 2=F 1F 2=2c ,F 2M =32a -c ,故cos 60°=22M F PF =3a c 22c-=12,解得c a=34,故离心率e =34.5.(2012课标全国,理5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ). A .7 B .5 C .-5 D .-7 D ∵{a n }为等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=-8,联立47472,8a a a a +=⎧⎨=-⎩可解得474,2a a =⎧⎨=-⎩或472,4,a a =-⎧⎨=⎩当474,2a a =⎧⎨=-⎩时,q 3=-12,故a 1+a 10=43a q+a 7q 3=-7;当472,4a a =-⎧⎨=⎩时,q 3=-2,同理,有a 1+a 10=-7. 6.(2012课标全国,理6)如果执行下边的程序框图,输入正整数N (N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ,输出A ,B ,则().A .A +B 为a 1,a 2,…,a N 的和B .2A B +为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数C .A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数D .A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数C 随着k 的取值不同,x 可以取遍实数a 1,a 2,…,a N ,依次与A ,B 比较,A 始终取较大的那个数,B 始终取较小的那个数,直到比较完为止,故最终输出的A ,B 分别是这N 个数中的最大数与最小数.7.(2012课标全国,理7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为().A .6B .9C .12D .18B 由三视图可推知,几何体的直观图如下图所示,可知AB =6,CD =3,PC =3,CD 垂直平分AB ,且PC ⊥平面ACB ,故所求几何体的体积为13×1632⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭×3=9.8.(2012课标全国,理8)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ,B 两点,|AB |=则C 的实轴长为( ). AB .C .4D .8C 设双曲线的方程为22x a-22y a=1,抛物线的准线为x =-4,且|AB |=故可得A (-4,B (-4,-将点A 坐标代入双曲线方程得a 2=4,故a =2,故实轴长为4.9.(2012课标全国,理9)已知ω>0,函数f (x )=sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,则ω的取值范围是( ).A .15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D .(0,2]A 结合y =sin ωx 的图像可知y =sin ωx 在π3π,22ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,而y =sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin π4x ωω⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,可知y =sinωx 的图像向左平移π4ω个单位之后可得y =sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像,故y =si n π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π5π,44ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,故应有π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊆π5π,44ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦,解得12≤ω≤54.10.(2012课标全国,理10)已知函数f (x )=1ln (1)-x x+,则y =f (x )的图像大致为().B 当x =1时,y =1ln 21-<0,排除A ;当x =0时,y 不存在,排除D ;f '(x )=1ln (1)-x x ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦'=21[ln(1)-]xx x x ++,因定义中要求x >-1,故-1<x <0时,f '(x )<0,故y =f (x )在(-1,0)上单调递减,故选B .11.(2012课标全国,理11)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC的直径,且SC =2,A6B 6C 3D 2A ∵SC 是球O 的直径,∴∠CAS =∠CBS =90°.∵BA =BC =AC =1,SC =2,∴AS =BS取AB 的中点D ,显然AB ⊥CD ,AB ⊥SD , ∴AB ⊥平面SCD 在△CDS 中,CD 2DS 2,SC =2,利用余弦定理可得cos ∠CDS =222S S 2 C DD C C D SD+-故sin∠CDS∴S △CDS=12222∴V =V B -CDS +V A -CDS =13×S△CDS ×BD +13S △CDS×AD =13S △CDS ×BA =1321612.(2012课标全国,理12)设点P 在曲线y =12e x 上,点Q 在曲线y =ln (2x )上,则|PQ |的最小值为( ).A .1-ln 2B 1-ln 2)C .1+ln 2D1+ln 2)B 由题意知函数y =12e x 与y =ln (2x )互为反函数,其图像关于直线y =x 对称,两曲线上点之间的最小距离就是y =x 与y =12e x 最小距离的2倍,设y =12e x 上点(x 0,y 0)处的切线与y =x 平行,有01e 2x =1,x 0=ln 2,y 0=1,∴y =x 与y =12e x21-ln 2),∴|PQ |21-ln 2)×21-ln 2).13.(2012课标全国,理13)已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |=1,|2a -b则|b |= .∵a ,b 的夹角为45°,|a |=1,∴a ·b =|a |×|b |cos 45°2b |,|2a -b |2=4-42b |+|b |2=10,∴|b |=14.(2012课标全国,理14)设x ,y 满足约束条件1,3,0,0,x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z =x -2y 的取值范围为 .[-3,3] 作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线l 0:x -2y =0,在可行域内平移知过点A 时,z =x -2y 取得最大值,过点B 时,z =x -2y 取最小值.由10,30,x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B 点坐标为(1,2), 由0,30,y x y =⎧⎨+-=⎩得A 点坐标为(3,0).∴z max =3-2×0=3,z min =1-2×2=-3. ∴z ∈[-3,3].15.(2012课标全国,理15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N (1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 .38设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ,B ,C ,显然P (A )=P (B )=P (C )=12,∴该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A B +A B +AB )C .∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P =12⎛ ⎝×12+12×12+12×12⎫⎪⎭×12=38.16.(2012课标全国,理16)数列{a n }满足a n +1+(-1)n a n =2n -1,则{a n }的前60项和为 . 1 830 ∵a n +1+(-1)n a n =2n -1,∴a 2=1+a 1,a 3=2-a 1,a 4=7-a 1,a 5=a 1,a 6=9+a 1,a 7=2-a 1,a 8=15-a 1,a 9=a 1,a 10=17+a 1,a 11=2-a 1,a 12=23-a 1,…,a 57=a 1,a 58=113+a 1,a 59=2-a 1,a 60=119-a 1,∴a 1+a 2+…+a 60=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+a 7+a 8)+…+(a 57+a 58+a 59+a 60) =10+26+42+…+234=15(10234)2⨯+=1 830.17.(2012课标全国,理17)已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a cos C sin C -b -c =0. (1)求A ;(2)若a =2,△ABC 求b ,c .解:(1)由a cos C sin C -b -c =0及正弦定理得sin A cos C n A sin C -sin B -sin C =0. -A -C ,A sin C -cos A sin C -sin C =0. 由于sin C ≠0,所以sin π6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭=12.又0<A <π,故A =π3.(2)△ABC 的面积S =12bc sin A 故bc =4.而a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,故b 2+c 2=8. 解得b =c =2.18.(2012课标全国,理18)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n ∈N )的函数解析式; (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由. 解:(1)当日需求量n ≥16时,利润y =80.当日需求量n <16时,利润y =10n -80. 所以y 关于n 的函数解析式为y =1080,16,80,16n n n -<⎧⎨≥⎩(n ∈N ).(2)①X 可能的取值为60,70,80,并且P (X =60)=0.1,P (X =70)=0.2,P (X =80)=0.7.X 的数学期望为EX =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X 的方差为DX =(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:Y 的数学期望为EY =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.Y 的方差为DY =(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,DX <DY ,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然EX <EY ,但两者相差不大. 故花店一天应购进16枝玫瑰花. 答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:Y的数学期望为EY =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,EX <EY ,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.19.(2012课标全国,理19)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC =BC =12AA 1,D 是棱AA 1的中点,DC 1⊥BD .(1)证明:DC 1⊥BC ;(2)求二面角A 1-BD -C 1的大小.解:(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D 为AA 1的中点,故DC =DC 1.又AC =12AA 1,可得D 21C +DC 2=C 21C ,所以DC1⊥DC .而DC 1⊥BD ,DC ∩BD =D ,所以DC 1⊥平面BCD . BC ⊂平面BCD ,故DC 1⊥BC .(2)由(1)知BC ⊥DC 1,且BC ⊥CC 1, 则BC ⊥平面ACC 1,所以CA ,CB ,CC 1两两相互垂直.以C 为坐标原点,C A 的方向为x 轴的正方向,|C A|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .由题意知A 1(1,0,2),B (0,1,0),D (1,0,1),C 1(0,0,2).则1D A=(0,0,-1),BD =(1,-1,1),1D C =(-1,0,1). 设n =(x ,y ,z )是平面A 1B 1BD 的法向量,则1·B D 0,·A D 0,n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,0.x y z z -+=⎧⎨=⎩ 可取n =(1,1,0).同理,设m 是平面C 1BD 的法向量,则1·B D 0,·D C 0.m m ⎧=⎪⎨=⎪⎩可取m =(1,2,1). 从而cos <n ,m >=·||||n m n m2故二面角A 1-BD -C 1的大小为30°.20.(2012课标全国,理20)设抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.(1)若∠BFD =90°,△ABD 的面积为求p 的值及圆F 的方程;(2)若A ,B ,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C,求坐标原点到m ,n 距离的比值. 解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD |=2p ,圆F 的半径|FA.由抛物线定义可知A 到l 的距离d =|FA. 因为△ABD 的面积为所以12|BD|·d =即12·2p =解得p =-2(舍去),p =2.所以F (0,1),圆F 的方程为x 2+(y -1)2=8. (2)因为A ,B ,F 三点在同一直线m 上, 所以AB 为圆F的直径,∠ADB =90°. 由抛物线定义知|AD|=|FA |=12|AB |,所以∠ABD =30°,m 3当m 3,由已知可设n :y 3+b ,代入x 2=2py 得x 23-2pb =0. 由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43p 2+8pb =0. 解得b =-6p .因为m 的截距b 1=2p ,1||||b b =3,所以坐标原点到m ,n 距离的比值为3.当m 的斜率为3,由图形对称性可知,坐标原点到m ,n 距离的比值为3.21.(2012课标全国,理21)已知函数f (x )满足f (x )=f '(1)e x -1-f (0)x +12x 2.(1)求f (x )的解析式及单调区间;(2)若f (x )≥12x 2+ax +b ,求(a +1)b 的最大值.解:(1)由已知得f '(x )=f '(1)e x -1-f (0)+x .所以f '(1)=f '(1)-f (0)+1,即f (0)=1. 又f (0)=f '(1)e -1,所以f '(1)=e .从而f (x )=e x -x +12x 2.由于f '(x )=e x -1+x ,故当x ∈(-∞,0)时,f '(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,f '(x )>0.从而,f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)由已知条件得e x -(a +1)x ≥b .①(ⅰ)若a +1<0,则对任意常数b ,当x <0,且x <11b a -+时,可得e x -(a +1)x <b ,因此①式不成立.(ⅱ)若a +1=0,则(a +1)b =0.(ⅲ)若a +1>0,设g (x )=e x -(a +1)x , 则g '(x )=e x -(a +1).当x ∈(-∞,ln (a +1))时,g '(x )<0; 当x ∈(ln (a +1),+∞)时,g '(x )>0.从而g (x )在(-∞,l n (a +1))单调递减,在(ln (a +1),+∞)单调递增. 故g (x )有最小值g (ln (a +1))=a +1-(a +1)ln (a +1). 所以f (x )≥12x 2+ax +b 等价于b ≤a +1-(a +1)ln (a +1).②因此(a +1)b ≤(a +1)2-(a +1)2ln (a +1). 设h (a )=(a +1)2-(a +1)2ln (a +1), 则h '(a )=(a +1)(1-2ln (a +1)).所以h (a )在(-1,12e -1)单调递增,在(12e -1,+∞)单调递减,故h (a )在a =12e -1处取得最大值. 从而h (a )≤e 2,即(a +1)b ≤e 2.当a =12e -1,b =12e 2时,②式成立,故f (x )≥12x 2+ax +b .综合得,(a +1)b 的最大值为e 2.22.(2012课标全国,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,D ,E 分别为△ABC 边AB ,AC 的中点,直线DE 交△ABC 的外接圆于F ,G 两点.若CF ∥AB ,证明:(1)CD =BC ;(2)△BCD ∽△GBD .证明:(1)因为D ,E 分别为AB ,AC 的中点,所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ,故四边形BCFD 是平行四边形, 所以CF =BD =AD . 而CF ∥AD ,连结AF ,所以ADCF 是平行四边形,故CD =AF . 因为CF ∥AB ,所以BC =AF ,故CD =BC . (2)因为FG ∥BC ,故GB =CF . 由(1)可知BD =CF ,所以GB =BD .而∠DGB =∠EFC =∠DBC ,故△BCD ∽△GBD .23.(2012课标全国,理23)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为π2,3⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设P 为C 1上任意一点,求|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围. 解:(1)由已知可得A ππ2cos ,2sin 33⎛⎫ ⎪⎝⎭,B ππππ2cos ,2sin 3232⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,C ππ2cos π,2sin π33⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, D π3ππ3π2cos ,2sin 3232⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 即A (1B1),C (-1D1). (2)设P (2cos φ,3sin φ),令S =|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2,则S =16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20si n 2φ.因为0≤sin 2φ≤1,所以S 的取值范围是[32,52]. 24.(2012课标全国,理24)选修4—5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x +a |+|x -2|.(1)当a =-3时,求不等式f (x )≥3的解集;(2)若f (x )≤|x -4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.解:(1)当a =-3时,f (x )=25,2,1,23,25, 3.x x x x x -+≤⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩当x ≤2时,由f (x )≥3得-2x +5≥3,解得x ≤1; 当2<x <3时,f (x )≥3无解;当x ≥3时,由f (x )≥3得2x -5≥3,解得x ≥4; 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}. (2)f (x )≤|x -4|⇔|x -4|-|x -2|≥|x +a |. 当x ∈[1,2]时,|x -4|-|x -2|≥|x +a | ⇔4-x -(2-x )≥|x +a | ⇔-2-a ≤x ≤2-a .由条件得-2-a ≤1且2-a ≥2,即-3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[-3,0].。
2012年高考理科数学北京卷-答案
数学（理科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】D
【解析】 ，利用二次不等式的解法可得 或 ，易得 ．
【提示】求出集合 ，然后直接求解 ．
【考点】集合间的基本运算．
2.【答案】D
【解析】题目中 表示的区域表示正方形区域，而动点 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此 ，故选D．
20.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ1
（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）由题意可知 ， ， ， ，
∴
（Ⅱ）先用反证法证明 ：
若 ，则 ，∴
同理可知 ，
∴ ，由题目所有数和为 ，即 ，
∴ 与题目条件矛盾
∴ ．
易知当 时， 存在
∴ 的最大值为1．
（Ⅲ） 的最大值为 ．
首先构造满足 的 ：
， ．
经计算知， 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ， ， ．
下面证明 是最大值．若不然，则存在一个数表 ，使得 ．
由 的定义知 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 中．由于 ，故 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于 ．
设 中有 列的列和为正，有 列的列和为负，由对称性不妨设 ，则 ．另外，由对称性不妨设 的第一行行和为正，第二行行和为负．
【考点】由三视图求几何体的表面积．
8.【答案】C
【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C．
【提示】由已知中图像表示某棵果树前 年的总产量 与 之间的关系，结合图像可得答案．
【考点】函数图像的应用．
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B+=+24S Rp=如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径()()()P A B P A P B?球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么343V Rp=在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k k n kn nP k C p p k n-=-=…第一部分（选择题共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、7(1)x+的展开式中2x的系数是（）A、42B、35C、28D、212、复数2(1)2ii-=（）A、1B、1- C、i D、i-3、函数29,3()3ln(2),3xxf x xx x⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x=处的极限是（）A、不存在B、等于6C、等于3D、等于04、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE=，连接EC、ED则sin CED∠=（）A、10B、10、10D5、函数1(0,1)xy a a aa=->≠的图象可能是（）6、下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a b a b =成立的充分条件是（ ） A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b =8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) [理科数学](新课标)含答案
含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/add38dcf58f5f61fb7366644.png)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) [理科数学]（新课标）含答案一．选择题：本大题共12小题：每小题5分。
1.已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 102.将2名教师：4名学生分成2个小组：分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动：每个小组由1名教师和2名学生组成：不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种3.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 344.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点：P 为直线32a x =上一点：∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形：则E的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 455.已知{}n a 为等比数列：472a a +=：568a a =-： 则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -76.如果执行右边的程序框图：输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ：输出,A B ：则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数7.如图：网格纸上小正方形的边长为1：粗线画出的是某几何体的三视图：则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 188.等轴双曲线C 的中心在原点：焦点在x 轴上：C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点：AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 89.已知0ω>：函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、 选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
（2）、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴==∴===或舍去.【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。
（3） 椭圆的中心在原点，焦距为4， 一条准线为x =﹣4 ，则该椭圆的方程为 A. 216x +212y =1 B. 212x +28y =1 C. 28x +24y =1 D. 212x +24y =1 【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上，∵2c =4∴c =2，a =22∴椭圆的方程为22=184x y + 【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。
在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷)
山东卷(理科数学)1.(2012山东,理1)若复数z 满足z (2-i )=11+7i (i 为虚数单位),则z 为( ). A .3+5i B .3-5i C .-3+5i D .-3-5iA 设z =a +b i ,a ,b ∈R ,则z (2-i )=(a +b i )(2-i )=(2a +b )+(2b -a )i ,所以211,27,a b b a +=⎧⎨-=⎩解得3,5,a b =⎧⎨=⎩ 所以z =3+5i ,故选A .2.(2012山东,理2)已知全集U ={0,1,2,3,4},集合A ={1,2,3},B ={2,4},则(∁U A )∪B 为( ). A .{1,2,4} B .{2,3,4} C .{0,2,4} D .{0,2,3,4}C 易知∁U A ={0,4},所以(∁U A )∪B ={0,2,4},故选C .3.(2012山东,理3)设a >0,且a ≠1,则“函数f (x )=a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )=(2-a )x 3在R 上是增函数”的( ).A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件A 由函数f (x )=a x在R 上是减函数可得0<a <1,由函数g (x )=(2-a )x 3在R 上是增函数可得a <2,因为0<a <1⇒a <2,a <20<a <1,所以题干中前者为后者的充分不必要条件,故选A .4.(2012山东,理4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查.为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A ,编号落入区间[451,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为( ). A .7 B .9 C .10 D .15C 由题意可得,抽样间隔为30,区间[451,750]恰好为10个完整的组,所以做问卷B 的有10人,故选C .5.(2012山东,理5)设变量x ,y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数z =3x -y 的取值范围是( ).A .3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .3,-12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .[-1,6]D .36,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A 作出可行区域如图所示.目标函数z =3x -y 可变为y =3x -z ,作l 0:3x -y =0,在可行域内平移l 0,可知在A 点处z 取最小值为-32,在B 点处z 取最大值为6,故选A.6.(2012山东,理6)执行右面的程序框图,如果输入a =4,那么输出的n 的值为( ). A .2 B .3 C .4 D .5B 由程序框图知,当n =0时,P =1,Q =3;当n =1时,P =5,Q =7;当n =2时,P =21,Q =15,此时n 增加1变为3,满足P >Q ,循环结束,输出n =3,故选B .7.(2012山东,理7)若θ∈ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦,sin 28则si n θ=( ). A .35B .45C 4D .34D 由θ∈ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦,得2θ∈π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.又sin 28故cos 2θ=-18.故si n 34.8.(2012山东,理8)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x ).当-3≤x <-1时,f (x )=-(x +2)2;当-1≤x <3时,f (x )=x .则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 012)=( ). A .335 B .338 C .1 678 D .2 012B 由f (x +6)=f (x )得f (x )的周期为6,所以f (1)+f (2)+…+f (2 012)=335[f (1)+f (2)+…+f (6)]+f (1)+f (2),而f (1)=1,f (2)=2,f (3)=f (-3)=-1,f (4)=f (-2)=0,f (5)=f (-1)=-1,f (6)=f (0)=0,f (1)+f (2)+f (3)+…+f (6)=1,所以f (1)+f (2)+…+f (2 012)=338,故选B . 9.(2012山东,理9)函数y =cos622xxx --的图象大致为( ).D 令f (x )=cos622xxx --,则f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而f (-x )=cos(-6)22xxx --=-f (x ),所以f (x )为奇函数.又因为当x ∈10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭时,cos 6x >0,2x -2-x >0,即f (x )>0,而f (x )=0有无数个根,所以D 正确.10.(2012山东,理10)已知椭圆C :22x a+22y b=1(a >b >0)2.双曲线x 2-y 2=1的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为( ).A .28x +22y =1B .212x +26y =1C .216x +24y=1 D .220x +25y=1D 双曲线x 2-y 2=1的渐近线为y =±x ,与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形面积为16,可得四边形为正方形,其边长为4,双曲线的渐近线与椭圆C 的一个交点为(2,2),所以有24a+24b=1,又因为e =c a2a 2=b 2+c 2,联立解方程组得a 2=20,b 2=5,故选D .11.(2012山东,理11)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( ). A .232 B .252 C .472 D .484C 完成这件事可分为两类,第一类3张卡片颜色各不相同共有31114444C C C C =256种;第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有12113434C C C C =216种,由分类加法计数原理得共有472种,故选C . 12.(2012山东,理12)设函数f (x )=1x,g (x )=ax 2+bx (a ,b ∈R ,a ≠0).若y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则下列判断正确的是( ). A .当a <0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2>0 B .当a <0时,x 1+x 2>0,y 1+y 2<0 C .当a >0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2<0 D .当a >0时,x 1+x 2>0,y 1+y 2>0B 解析:由题意知函数f (x )=1x,g (x )=ax 2+bx (a ,b ∈R ,a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),等价于方程1x=ax 2+bx (a ,b ∈R ,a ≠0)有两个不同的根x 1,x 2,即方程ax 3+bx 2-1=0有两个不同实根x 1,x 2,因而可设ax 3+bx 2-1=a (x -x 1)2(x -x 2),即ax 3+bx 2-1=a (x 3-2x 1x 2+21x x -x 2x 2+2x 1x 2x -x 221x ), ∴b =a (-2x 1-x 2),21x +2x 1x 2=0,-ax 221x =-1,x 1+2x 2=0,ax 2>0, 当a >0时,x 2>0,∴x 1+x 2=-x 2<0,x 1<0, ∴y 1+y 2=11x +21x =1212x x x x +>0.当a <0时,x 2<0,∴x 1+x 2=-x 2>0,x 1>0, ∴y 1+y 2=11x +21x =1212x x x x +<0.13.(2012山东,理13)若不等式|kx -4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3},则实数k = . 2 不等式|kx -4|≤2可化为-2≤kx -4≤2,即2≤kx ≤6,而不等式的解集为{x |1≤x ≤3},所以k =2.14.(2012山东,理14)如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点,则三棱锥D 1-EDF 的体积为 .16三棱锥D 1-EDF 的体积即为三棱锥F -DD 1E 的体积.因为E ,F 分别为AA 1,B 1C 上的点,所以在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12,F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1,所以1E F D D V -=13×12×1=16.15.(2012山东,理15)设a >0.若曲线y x =a ,y =0所围成封闭图形的面积为a 2,则a = .49由题意可得曲线y x =a ,y =0所围成封闭图形的面积S =0a⎰x =3202|3ax =3223a =a 2,解得a =49.16.(2012山东,理16)如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为 .(2-sin 2,1-cos 2)因为圆心由(0,1)平移到了(2,1),所以在此过程中P 点所经过的弧长为2,其所对圆心角为2.如图所示,过P 点作x 轴的垂线,垂足为A ,圆心为C ,与x 轴相切于点B ,过C 作PA 的垂线,垂足为D ,则∠PCD =2-π2,|PD |=sin π22⎛⎫- ⎪⎝⎭=-cos 2,|CD |=cos π22⎛⎫- ⎪⎝⎭=si n 2,所以P 点坐标为(2-si n 2,1-cos 2),即OP的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).17.(2012山东,理17)已知向量m =(sin x ,1),n =3Acos ,cos22A x x ⎛⎫ ⎪⎭(A >0),函数f (x )=m ·n 的最大值为6.(1)求A ;(2)将函数y =f (x )的图象向左平移π12个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )在5π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.解:(1)f (x )=m ·n =3A sin x cos x +2A cos 2x=A 31sin 2cos222x x ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭=A sin π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭.因为A >0,由题意知A =6. (2)由(1)f (x )=6sin π26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.将函数y =f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y =6sin ππ2126x ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=6sin π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象;再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到y =6sin π43x ⎛⎫+⎪⎝⎭的图象.因此g (x )=6si n π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.因为x ∈5π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦,所以4x +ππ7π,336⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故g (x )在5π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[-3,6].18.(2012山东,理18)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,∠DAB =60°,FC ⊥平面ABCD ,AE ⊥BD ,CB =CD =CF . (1)求证:BD ⊥平面AED ;(2)求二面角F -BD -C 的余弦值.(1)证明:因为四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,∠DAB =60°,所以∠ADC =∠BCD =120°. 又CB =CD ,所以∠CDB =30°. 因此∠ADB =90°,AD ⊥BD .又AE ⊥BD ,且AE ∩AD =A ,AE ,AD ⊂平面AED , 所以BD ⊥平面AED.(2)解法一:由(1)知AD ⊥BD ,所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ,因此CA ,CB ,CF 两两垂直,以C 为坐标原点,分别以CA ,CB ,CF 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设CB =1,则C (0,0,0),B (0,1,0),D 1,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,F (0,0,1), 因此BD=3,022⎫⎪⎪⎝⎭,BF=(0,-1,1). 设平面BDF 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),则m ·BD =0,m ·BF=0, 所以x, 取z =1,则m1,1).由于CF=(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量,则cos <m ,CF>=·C F |||C F |m m=5所以二面角F -BD -C5解法二:取BD 的中点G ,连接CG ,FG ,由于CB =CD ,因此CG ⊥BD .又FC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD , 所以FC ⊥BD .由于FC ∩CG =C ,FC ,CG ⊂平面FCG , 所以BD ⊥平面FCG .故BD ⊥FG .所以∠FGC 为二面角F -BD -C 的平面角. 在等腰三角形BCD 中,由于∠BCD =120°,因此CG =12CB .又CB =所以GF, 故cos ∠FGC 5因此二面角F -BD -C 519.(2012山东,理19)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分,该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(1)求该射手恰好命中一次的概率;(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .解:(1)记:“该射手恰好命中一次”为事件A ,“该射手射击甲靶命中”为事件B ,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ,由题意知P (B )=34,P (C )=P (D )=23,由于A =B C D +BCD +B C D , 根据事件的独立性和互斥性得 P (A )=P (B C D +BCD +B C D ) =P (B C D )+P (BCD )+P (B C D )=P (B )P (C )P (D )+P (B )P (C )P (D )+P (B )P (C )P (D )=34×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭+314⎛⎫- ⎪⎝⎭×23×213⎛⎫- ⎪⎝⎭+314⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×23=736.(2)根据题意,X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5, 根据事件的独立性和互斥性得 P (X =0)=P (B C D ) =[1-P (B )][1-P (C )][1-P (D )] =314⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭=136, P (X =1)=P (B C D )=P (B )P (C )P (D ) =34×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭=112,P (X =2)=P (BCD +B C D )=P (BCD )+P (B C D ) =314⎛⎫- ⎪⎝⎭×23×213⎛⎫- ⎪⎝⎭+314⎛⎫- ⎪⎝⎭×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×23=19,P (X =3)=P (BC D +B C D )=P (BC D )+P (B C D ) =34×23×213⎛⎫- ⎪⎝⎭+34×213⎛⎫- ⎪⎝⎭×23=13,P (X =4)=P (B CD ) =314⎛⎫-⎪⎝⎭×23×23=19,P (X =5)=P (BCD )=34×23×23=13.所以EX =0×136+1×112+2×19+3×13+4×19+5×13=4112.20.(2012山东,理20)在等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=84,a 9=73. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)对任意m ∈N *,将数列{a n }中落入区间(9m ,92m )内的项的个数记为b m ,求数列{b m }的前m 项和S m . 解:(1)因为{a n }是一个等差数列,所以a 3+a 4+a 5=3a 4=84,a 4=28. 设数列{a n }的公差为d , 则5d =a 9-a 4=73-28=45, 故d =9.由a 4=a 1+3d 得28=a 1+3×9,即a 1=1.所以a n =a 1+(n -1)d =1+9(n -1)=9n -8(n ∈N *). (2)对m ∈N *,若9m <a n <92m , 则9m +8<9n <92m +8. 因此9m -1+1≤n ≤92m -1. 故得b m =92m -1-9m -1.于是S m =b 1+b 2+b 3+…+b m=(9+93+…+92m -1)-(1+9+…+9m -1)=9(181)181m ⨯---1919m--=219109180m m+-⨯+.21.(2012山东,理21)在平面直角坐标系xOy 中,F 是抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点,M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点,过M ,F ,O 三点的圆的圆心为Q ,点Q 到抛物线C 的准线的距离为34.(1)求抛物线C 的方程;(2)是否存在点M ,使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由;(3)若点M 直线l :y =kx +14与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,l 与圆Q 有两个不同的交点D ,E ,求当12≤k ≤2时,|AB |2+|DE |2的最小值.解:(1)依题意知F 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y =4p 上,因为抛物线C 的准线方程为y =-2p ,所以34p =34,即p =1,因此抛物线C 的方程为x 2=2y .(2)假设存在点M 200,2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x 0>0)满足条件,抛物线C 在点M 处的切线斜率为y '0|x x ==22x ⎛⎫ ⎪⎝⎭'0|x x==x 0. 所以直线MQ 的方程为y -202x =x 0(x -x 0),令y =14得x Q =02x +014x ,所以Q 0011,244x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.又|QM |=|OQ |,故200142x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+220142x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=200142x x ⎛⎫+⎪⎝⎭+116, 因此220142x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=916,又x 0>0,所以x 0此时M1).故存在点M1),使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M . (3)当x 0=,由(2)得Q 184⎫⎪⎪⎝⎭.☉Q 的半径为r8所以☉Q的方程为28x ⎛- ⎝⎭+214y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2732. 由21,21,4y x y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩整理得2x 2-4kx -1=0. 设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 由于Δ1=16k 2+8>0,x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-12,所以|AB |2=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=(1+k 2)(4k 2+2).由22127,84321,4x y y kx ⎧⎛⎛⎫⎪-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩整理得(1+k 2)x 24-116=0.设D ,E 两点的坐标分别为(4). 由于Δ2=24k+278>0,x 3+x 44(1)k +x 3x 4=-2116(1)k +,所以|DE |2=(1+k 2)[(x 3+x 4)2-4x 3x 4]=2258(1)k ++14.因此|AB |2+|DE |2=(1+k 2)(4k 2+2)+2258(1)k ++14.令1+k 2=t ,由于12≤k ≤2,则54≤t ≤5.所以|AB |2+|DE |2=t (4t -2)+258t+14=4t 2-2t +258t+14,设g (t )=4t 2-2t +258t+14,t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦,因为g '(t )=8t -2-2258t,所以当t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦,g '(t )≥g '54⎛⎫ ⎪⎝⎭=6,即函数g (t )在t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦是增函数,所以当t =54时g (t )取到最小值132,因此当k =12时,|AB |2+|DE |2取到最小值132.22.(2012山东,理22)已知函数f (x )=ln exx k +(k 为常数,e =2.718 28…是自然对数的底数),曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行.(1)求k 的值;(2)求f (x )的单调区间;(3)设g (x )=(x 2+x )f '(x ),其中f '(x )为f (x )的导函数,证明:对任意x >0,g (x )<1+e -2. (1)解:由f (x )=ln exx k +,得f '(x )=1ln ex kx x xx --,x ∈(0,+∞),由于曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线与x 轴平行, 所以f '(1)=0,因此k =1.(2)解:由(1)得f '(x )=1exx (1-x -x ln x ),x ∈(0,+∞),令h (x )=1-x -x ln x ,x ∈(0,+∞),当x ∈(0,1)时,h (x )>0;当x ∈(1,+∞)时,h (x )<0. 又e x >0,所以x ∈(0,1)时,f '(x )>0;x ∈(1,+∞)时,f '(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (3)证明:因为g (x )=(x 2+x )f '(x ),所以g (x )=1exx +(1-x -x ln x ),x ∈(0,+∞).因此对任意x >0,g (x )<1+e -2等价于1-x -x ln x <e 1xx +(1+e -2).由(2)h (x )=1-x -x ln x ,x ∈(0,+∞),所以h '(x )=-ln x -2=-(ln x -ln e -2),x ∈(0,+∞),因此当x ∈(0,e -2)时,h '(x )>0,h (x )单调递增;当x ∈(e -2,+∞)时,h '(x )<0,h (x )单调递减. 所以h (x )的最大值为h (e -2)=1+e -2, 故1-x -x ln x ≤1+e -2. 设φ(x )=e x -(x +1). 因为φ'(x )=e x -1=e x -e 0,所以x ∈(0,+∞)时,φ'(x )>0,φ(x )单调递增, φ(x )>φ(0)=0,故x ∈(0,+∞)时,φ(x )=e x -(x +1)>0,即e 1xx +>1.所以1-x -x ln x ≤1+e -2<e 1xx +(1+e -2).因此对任意x >0,g (x )<1+e -2.。
2012年高考理科数学试题与答案-全国卷2
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合A={1, 2, 3, 4, 5} ，B={( x,y)| x∈A, y∈A, x- y∈A}，则B 中所含元素的个数为（）A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2 名教师，4 名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（）A. 12 种B. 10 种C. 9 种D. 8 种3. 下面是关于复数z21 i的四个命题中，真命题为（）2P1: |z|=2，P2: z =2i，P3: z 的共轭复数为1+i，P4: z 的虚部为- 1 .A. P2，P3B. P1，P2C. P2，P4D. P3，P42 2x y 4.设F1，F2 是椭圆E: 12 2a b (a b 0) 的左右焦点，P 为直线3ax 上的一点，2△F2PF 是底角为30o的等腰三角形，则E 的离心率为（）1A. 12B.23C.34D.455. 已知{ a n}为等比数列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则a1 + a10 =（）A. 7B. 5C. - 5D. - 76. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，⋯，a N，输入A、B，则（）A. A+B 为a1，a2，⋯，a N 的和B. A B 为a1，a2，⋯，a N 的算术平均数2C. A 和B 分别是a1，a2，⋯，a N 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是a1，a2，⋯，a N 中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 182012 年高考数学试题（理）第1页【共10 页】8. 等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y2=16 x 的准线交于A，B 两点，|AB|=4 3 ，则 C 的实轴长为（）A. 2B. 2 2C. 4D. 89. 已知0 ，函数 f (x) sin( x ) 在, )( 单调递减，则的取值范围是（）4 2A.1 5[ , ]2 4B.1 3[ , ]2 4C.1(0, ]2D. (0,2]10. 已知函数f1(x) ，则y f (x) 的图像大致为（）ln( x 1) xy y y y1o 1 x 1o 1 x1o 1 x1ox 1A. B. C. D.11. 已知三棱锥S- A BC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形，SC为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A.26B.36C.23D.2212. 设点P 在曲线y 12xe 上，点Q 在曲线y ln( 2x) 上，则| PQ |的最小值为（）A. 1 ln 2B. 2(1 ln 2)C. 1 ln 2D. 2(1 ln 2)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生必须做答.第22 题～第24 题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分.）13. 已知向量 a ，b 夹角为45o，且|a| 1，|2a b| 10 ，则|b| .x y 1x y 3，则z x 2y的取值范围为.14. 设x，y 满足约束条件x 0y 02012 年高考数学试题（理）第2页【共10 页】15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部元件1件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小2)，且各元件能否正时）服从正态分布N(1000，50 元件2元件3常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为.n16.数列{a n} 满足a n 1 ( 1) a n 2n 1，则{a n} 的前60 项和为.三、解答题：（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题12 分）已知 a ，b，c 分别为△ABC 三个内角A，B ，C 的对边，a cos C3asin Cbc 0 .（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积为 3 ，求b，c.18.（本小题12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店某天购进16 枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n∈N）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10 以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；（ii ）若花店计划一天购进16 枝或17 枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是17 枝？请说明理由. C1 B1 19.（本小题12 分）如图，直三棱柱ABC - A1B1C1 中，A11AC ，D 是棱AA1 的中点，DC1⊥BD.BC AA12D（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；C B（Ⅱ）求二面角A1- BD- C1 的大小.A2 ( p 0) 的焦点为F，准线为l，A 为C 上20.（本小题满分12 分）设抛物线C : x 2py的一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交l 于B，D 两点.（Ⅰ）若∠BFD =90 o，△ABD 面积为4 2 ，求p 的值及圆 F 的方程；（Ⅱ）若A、B、F 三点在同一直线m上，直线n与m 平行，且n 与C 只有一个公共m，n 的距离的比值.点，求坐标原点到2012 年高考数学试题（理）第3页【共10 页】21.（本小题12 分）已知函数x1 1 2f (x) f (1)e f (0) x x .2（Ⅰ）求 f (x) 的解析式及单调区间；12（Ⅱ）若 f (x) x ax b ，求(a 1)b 的最大值.2请考生在第22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.22.（本小题10 分）【选修4-1：几何证明选讲】A 如图，D，E 分别为△ABC边A B，AC 的中点，直线D E 交于△ABC 的外接圆于F，G 两点，若CF // AB，证明：（Ⅰ）CD = BC；G DEF （Ⅱ）△BCD ∽△GBD .B C23.（本小题10 分）【选修4- 4：坐标系与参数方程】已知曲线C1 的参数方程是xy2cos3sin（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程是ρ= 2. 正方形ABCD 的顶点都在C2 上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为)(2, .3（Ⅰ）点A，B，C，D 的直角坐标；2 （Ⅱ）设P为C1 上任意一点，求|PA |2+ |PB|2+ |PC |2 的取值范围.+ |PD |24.（本小题10 分）【选修4- 5：不等式选讲】已知函数 f (x) = |x + a| + |x- 2|.（Ⅰ）当 a =- 3 时，求不等式 f (x) ≥3 的解集；（Ⅱ）若 f (x) ≤| x- 4 |的解集包含[1, 2] ，求 a 的取值范围.2012 年高考数学试题（理）第4 页【共10 页】2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理科数学【参考答案】一、选择题：1．【答案：D】解析：要在1，2，3，4，5 中选出两个，大的是x，小的是y，共 2C5 10 种选法. 2．【答案：A】解析：只需选定安排到甲地的 1 名教师2名学生即可，共有 1 2C C 种安排方案.2 43．【答案：C】22 2解析：经计算，，复数z 的共轭复数为z 1 i, | z| 2 z ( 1 i) =2i1 i1 i ，z的虚部为1，综上可知P2，P4正确.4．【答案：C】解析：由题意可得，△F PF 是底角为30o 的等腰三角形可得2 1 PF F F ，即2 1 23a2( c ) 2c，所以2 eca34.5．【答案：D】解析：∵a4 a7 2，a5a6 a4a7 8，a4 4，a7 2或a4 2，a7 4，∵a，a ，a ，a 成等比数列，1 4 7 10a1 a10 7 .6．【答案：C】解析：由程序框图判断x>A 得A应为a1，a2，⋯，a N 中最大的数，由x<B 得B应为a1，a2，⋯，a N 中最小的数.7．【答案：B】解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形（俯视图），高为3 的三棱锥，故其体积为1 1V 3 2 3 2 3 9.3 28．【答案：C】解析：抛物线的准线方程是x=4，所以点A( 4,2 3) 在 2 2 2x y a 上，将点 A 代入得2 4a ，所以实轴长为2a 4 .9．【答案：A】3解析：由 2 2 ,k k k Z得，2 2 4 4 21 5∵0，∴.2 4 1 54k 2k, k Z，2 42012 年高考数学试题（理）第5页【共10 页】10．【答案： B 】解析： 易知 y ln( x 1) x 0 对 x ( 1,0) U (0, ) 恒成立， 当且仅当 x 0时， 取等号，故的值域是 (-∞, 0). 所以其图像为 B. 11．【答案： A 】解析：易知点 S 到平面 ABC 的距离是点 O 到平面 ABC 的距离的 2 倍.显然 O- ABC 是棱长为 1 的正四面体，其高为6 3，故1 3 6 2V ，22VV.O ABCS ABCO ABC3 43 12 612．【答案： B 】解析： 因为1x y e 与 y ln(2 x)互为反函数，所以曲线 21 xy e 与曲线 y ln(2 x)关于 2 直线 y=x 对称，故要求 |PQ |的最小值转化为求与直线y=x 平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为 A ，则 A 点到直线 y=x 距离的最小值的 2 倍就是 |PQ |的最小值 . 则11xxxy ( e )e 1， e2 ，即 x ln 2 ，故切点 A 的坐标为 (ln 2,1)，因此， 2 2切点 A 点到直线 y=x 距离为| ln 2 1|1 ln 2d，所以 | PQ|2d 2(1 ln2) .22二、填空题： 13．【答案： 3 2 】r r r r rr rrrrrr22222o2|2a b| (2a b)4a 4a b b4|a| 4| a| | b |cos45 |b| 解析： 由已知得rrr24 2 2 | b | |b | 10 ，解得 |b | 3 2.14．【答案： [ 3,3]】解析：画出可行域， 易知当直线 Zx 2y 经过点 (1,2) 时，AC Z 取最小值 - 3；当直线 Zx 2y 经过点 (3,0) 时， Z 取最大值 3. 故 Z x 2y 的取值范围为 [ 3,3].OB15．【答案： 3 8】解析： 由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000 小时的概率均为 1 2，所以该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为1 1 32[1 (1 ) ]2 2 8.16．【答案：1830】解析：由na 1 ( 1) a 2n 1 得n n a a 4k 3L2k 2k 1a a 4k 1L2k 1 2k①②，由②①得,a2k 1 a2k 1 2 ③由①得, S S (a a ) (a a ) (a a ) L (a a )偶奇2 1 43 6 5 60 59 2012 年高考数学试题（理）第6页【共10 页】(1 117) 301 5 9 117 1770L . 由③得, S (a3 a1) (a7 a5) (a11 a9)奇2L (a a ) 2 15 30 ，所以59 57 S60 S S奇(S S奇) 2S奇1770 2 30 1830.偶偶三、解答题：17．解析：（Ⅰ）由 a c osC 3a s inC b c 0及正弦定理可得sin A cosC 3sin AsinC sinB sinC 0，sinAcosC 3sinAsinC sin(A C) sinC 0，3sin AsinC cosAsinC sin C 0 ，Q sin C 0 ，3sin A cos A 1 0 ，2sin( A ) 1 0 ，61sin( A ) ，Q 0 A ，6 25A ，6 6 6A ，6 6A .3（Ⅱ）Q S 3 ，V ABC 1 3bc sin A bc 3 ，bc 4 ，Q a 2, A ，2 4 32 2 2 2 cos 2 2 4a b c bc A b c bc ，2 2 8b c ，解得b c 2 .18．解析：（Ⅰ）当n≥16 时，y=16×(10- 5)=80，当n≤15 时，y=5n- 5×(16 - n)=10 n- 80，得10n 80,(n 15)y (n N)80, (n 16).（Ⅱ）（ⅰ）X 可能取60，70，80. P (X =60)=0.1，P (X =70)=0.2，P(X=80)=0.7 ，X 的分布列为：X 60 70 80P 0.1 0.2 0.7 X 的数学期望E(X) =60 ×0.1+70 ×0.2+80 ×0.7=76，X 的方差D(X) =(60-76) 2×0.1+(70-76) 2×0.2+(80-76) 2×0.7=44.（ⅱ）若花店计划一天购进17 枝玫瑰花，X 的分布列为X 55 65 75 85P 0.1 0.2 0.16 0.54 X 的数学期望E(X) =55 ×0.1+65 ×0.2+75 ×0.16+85 ×0.54=76.4，因为76.4 76，所以应购进17 枝玫瑰花.119 ．解析：（Ⅰ）证明：设1AC BC AA a ，直三棱柱2 ABC A1B C ，1 1DC1 DC 2a ，CC1 2a ， 2 2 2DC DC CC ，DC1 DC . 又1 1Q DC BD ，1 DC I DC D ，DC1 平面B D C .1C1 B1Q BC 平面BDC ，DC1 BC . A1（Ⅱ）由(Ⅰ) 知，D C1 2 a，BC1 5a ，又已知DC B 2012 年高考数学试题（理）第7页【共10 页】ADC o ，1 ，BD 3a . 在Rt△ABD 中，BD 3a ，AD a, DAB 90BDAB 2a . 2 2 2AC BC AB ，AC BC .法一：取A B的中点 E ，则易证C1E 平面BDA1 ，连结DE ，则C1E BD ，已知1 1DC 1 ，BD 平面DC1E ，BD DE ，C1DE 是二面角A1 BD C1 BD平面角. 在Rt△C DE 中，1 sin C DE1C E 2a 2 11C D 2a12，C1DE 30 . 即二面角A1 BD C1的大小为30 .法二：以点 C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,CC 为z轴,建立空间直角坐标系1u u u rC xyz . 则A1 a,0,2 a ,B 0,a,0 ,D a,0, a ,C1 0,0,2 a . DB a, a, a，uuurrDC1 a ,0, a 1 ( 1, 1, 1), 设平面 D B C的法向量为n x y z，则1u u u rrn D B a x a 0y a zr 1 1 1x1 1，得y1 2, z1 1，故可取n1 (1,2,1) u u u r，不妨令. rn D C a x 0 a z1 1 1r r r同理, 可求得平面D BA 的一个法向量n2 (1,1, 0). 设n1 n与的夹角为，则1 2cosr rn n 3 31 2r r , 30 . 由图可知，二面角的大小为锐角，故| | | | 6 2 2n n1 2二面角A1 BD C 的大小为30 .120．解析：（Ⅰ）由对称性可知，△BFD 为等腰直角三角形，斜边上的高为p ，斜边长BD 2p . 点A 到准线l 的距离d FB FD 2 p. 由S ABD 4 2△得，1 1BD d 2 p 2p 4 2 ，p 2 . 圆F 的方程为2 ( 1)2 8 x y .2 2（Ⅱ）由对称性，不妨设点A( x A , y A ) 在第一象限，由已知得线段AB 是圆F 的在直o径，ADB 90 ，BD 2p ，32y p ，代入抛物线 C : x 2pyA2得x A 3p .直线m 的斜率为kAF p3p33. 直线m 的方程为3px 3y 0 . 由22x 2py y得2x2p,yxp. 由yxp33得 ,3x p n.C3的切点坐标为3p p( , )3 6，直线n 的方程为 3 3p0x y . 所以坐标原点到m，62012 年高考数学试题（理）第8页【共10 页】n的距离的比值为3p3p：4 123 .21．解析：（Ⅰ）x 1f (x) f (1e) f (0) x，令x=1 得，f (x)=1，再由x1 1 2f (x) f (1)e f (0)x x ，2令x 0 得 f (1) e. 所以 f (x) 的解析式为1x 2 xf (x) e x x ，∴f (x) e 1 x ，2x易知f ( x) e 1 x是R 上的增函数，且 f (0) 0 .所以 f ( x) 0 x 0，f (x) 0 x 0 ，所以函数 f ( x) 的增区间为(0, )，减区间为( ,0) .12（Ⅱ）若f (x) x ax b 恒成立，即212 xh( x) f (x) x ax b e (a 1)x b 02x 恒成立，Q h(x) e (a 1).(1) 当a 1 0 时，h (x) 0 恒成立，h(x) 为R 上的增函数，且当x 时，h(x) ，不合题意；(2)当a 1 0 时，h( x) 0恒成立，则b0，(a 1)b 0 ；x(3) 当a 1 0 时，h (x) e (a 1) 为增函数，由h (x) 0 得x ln( a 1) ，故f ( x) 0 x ln( a 1)，f (x) 0 x ln( a 1)，当x ln( a 1)时，h( x) 取最小值h(ln(a 1)) a 1 (a 1)ln( a 1) b . 依题意有h(ln(a 1)) a 1 (a 1)ln(a 1) b 0，即b a 1 (a 1)ln( a 1)，Q a 1 0， 2 2(a 1)b (a 1) (a 1) ln( a 1) ，令2 2u(x) x x lnx (x 0) ，则u (x) 2x 2x ln x x x(1 2ln x) ，u (x) 0 0 x e,u (x) 0e ex e ，所以当x e时，u( x) 取最大值()u e . 故当a 1 e,b 时，2 2e (a 1)b 取最大值212.综上，若 f (x) x ax b ，则2e (a 1)b 的最大值为.222．解析：（Ⅰ）∵D，E 分别为△ABC边A B，AC 的中点，∴DE // BC. GDAEF∵CF //AB，DF // BC，∴CF// BD 且CF =BD，∵又 D 为AB 的中点，B C ∴CF //AD 且CF =AD，∴CD =AF. ∵CF //AB，∴BC=AF ，∴CD =B C.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC //GF ，∴GB=CF=BD，∠BGD =∠BDG =∠DBC =∠BDC，∴△BCD∽△GBD .23．解析：（Ⅰ）依题意，点A，B，C，D 的极坐标分别为5 4 11 (2, ),(2, ),(2, ),(2, )3 6 3 6.所以点A，B，C，D 的直角坐标分别为(1, 3) 、( 3,1)、( 1,3) 、( 3, 1). 2012 年高考数学试题（理）第9 页【共10 页】（Ⅱ）设P 2cos ,3sin ，则| P A|2 | PB|2 | P C|2 | P D|2 (1 2cos )2 ( 3 3sin )22 2 2 2 2 2( 3 2cos ) (1 3sin ) ( 1 2cos ) ( 3 3sin ) ( 3 2cos ) ( 1 3sin )2 2 216cos 36sin 16 32 20sin 32,52 .所以 2 | | | |2 | |22| PA| PB PC PD 的取值范围为32,52 .x 224．解析：（Ⅰ）当 a 3时，不等式 f (x) 3 | x 3| | x 2 | 3x 3 x 2 3或2x 3x 3 x 2 3 或x 3x 3 x 2 3或x 4 . 所以当 a 3时，不等式f ( x) 3的解集为x x 1或x 4 .（Ⅱ）f (x) |x4|的解集包含[1,2 ]，即| x a | | x 2|| x4| 对x1,2 恒成立，即| x a| 2 对x 1,2 恒成立，即 2 a x 2 a 对x 1,2 恒成立，所以2 a 1，即 3 a 0 . 故a的取值范围为3,0 . 2 a 22012 年高考数学试题（理）第10页【共10 页】。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(安徽卷)理
安徽卷(理科数学)1.(2012安徽,理1)复数z满足(z-i)(2-i)=5,则z=().A.-2-2iB.-2+2iC.2-2iD.2+2iD由题意可得,z-i=52i-=5(2i)(2i)(2i)+-+=2+i,所以z=2+2i.2.(2012安徽,理2)下列函数中,不满足．．．f(2x)=2f(x)的是().A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-xC只有C不满足,∵f(2x)=2x+1,而2f(x)=2x+2,∴f(2x)≠2f(x).3.(2012安徽,理3)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是().A.3B.4C.5D.8B由程序框图依次可得,x=1,y=1→x=2,y=2→x=4,y=3→x=8,y=4→输出y=4.4.(2012安徽,理4)公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10=().A.4B.5C.6D.7B由题意可得,a3a11=27a=16,∴a7=4.∴a10=a7·q3=25.∴log2a10=log225=5.5.(2012安徽,理5)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则().A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差C由图可得,x甲=456785++++=6,x乙=35695⨯++=6,故A错;而甲的成绩的中位数为6,乙的成绩的中位数为5,故B错;2s甲=22222(46)(56)(66)(76)(86)5-+-+-+-+-=2,2s乙=2223(56)(66)(96)5⨯-+-+-=2.4,故C正确;甲的成绩的极差为4,乙的成绩的极差也为4,故D错.6.(2012安徽,理6)设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b ⊥m ,则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A 由面面垂直的性质定理可得,α⊥β,α∩β=m ,b ⊂β,b ⊥m ⇒b ⊥α.又∵a ⊂α,∴a ⊥b ,但反之则不成立. 7.(2012安徽,理7)(x 2+2)5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是( ).A.-3B.-2C.2D.3D 5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为T r +1=5521C rr x -⎛⎫ ⎪⎝⎭(-1)r=(-1)r51021Crrx -.要使(x 2+2)5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式为常数,须令10-2r =2或0,此时r =4或5.故(x 2+2)5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是(-1)4×45C +2×(-1)5×55C =3. 8.(2012安徽,理8)在平面直角坐标系中,点O (0,0),P (6,8).将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ ,则点Q 的坐标是( ).A 设OP 与x 轴正半轴的夹角为θ,则cos θ=35,sin θ=45,则由三角函数定义可得,OQ =3π3π||cos ,||sin 44OP OP θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∵|OP |cos 3π4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3π3πcos cos sin sin 44θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=10×3455⎡⎛⨯-⎢ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦|OP |sin 3π4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3π3πsin cos cos sin 44θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=10×4355⎡⎛⨯+⎢ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴OQ 即点Q 的坐标为9.(2012安徽,理9)过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若|AF |=3,则△AOB 的面积为( ).C 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由|AF |=3及抛物线定义可得,x 1+1=3,∴x 1=2.∴A 点坐标为则直线AB 的斜率k∴直线AB 的方程为yx -1),即为-y则点O 到该直线的距离为d=由24x,1),y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得,2x 2-5x +2=0,解得x 1=2,x 2=12.∴|BF |=x 2+1=32,∴|AB |=3+32=92.∴S △AOB =12|AB |·d =12×9210.(2012安徽,理10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为( ). A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4D 6人之间互相交换,总共有26C =15种,而实际只交换了13次,故有2次未交换.不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换,当甲与乙、丙与丁之间未交换时,甲、乙、丙、丁4人都收到4份礼物;当甲与乙、甲与丙之间未交换时,只有乙、丙两人收到4份礼物,故选D.11.(2012安徽,理11)若x ,y 满足约束条件0,23,23,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则x -y 的取值范围是 .[-3,0]作出可行域如图所示,令z =x -y ,当z =0时,得l 0:x -y =0.平移l 0,当l 0过点A (0,3)时满足z 最小,此时z min =0-3=-3;当l 0过点B (1,1)时,此时z max =1-1=0,故x -y 的取值范围为[-3,0].12.(2012安徽,理12)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 .92 由三视图可知,该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱,该几何体的表面积为S =2×12×(2+5)×4=92.13.(2012安徽,理13)在极坐标系中,圆ρ=4sin θ的圆心到直线θ=π6(ρ∈R)的距离是 .由极坐标下圆的方程ρ=4sin θ可得,ρ2=4ρsin θ,所以x 2+y 2=4y ,即x 2+(y -2)2=4,表示以(0,2)为圆心,2为半径的圆.又θ=π6(ρ∈R)表示直线y,∴由点到直线的距离公式可得d14.(2012安徽,理14)若平面向量a ,b 满足|2a -b |≤3,则a ·b 的最小值是 . -98∵|2a -b |≤3,∴4a 2+b 2≤9+4a ·b .∵4a 2+b 2≥4|a ||b |≥-4a ·b , ∴9+4a ·b ≥-4a ·b . ∴a ·b ≥-98.15.(2012安徽,理15)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).①若ab >c 2,则C <π3②若a +b >2c ,则C <π3③若a 3+b 3=c 3,则C <π2④若(a +b )c <2ab ,则C >π2⑤若(a 2+b 2)c 2<2a 2b 2,则C >π3①②③ 对于①,由ab >c 2可得cos C =2222a b c ab +->22ab 222a b ab ab ab ab +--≥=12.故C <π3,∴①正确;对于②,由a +b >2c 可得c <2a b +,故c 2<2()4a b +.故cos C =2222a b c ab +->222()42a b a b ab ++-=2233()-2ab 424222ab ab a b ab ab+⨯-≥=12. ∴C <π3,②正确;对于③,由a 3+b 3=c 3可得c 2=33a b c +,故a 2+b 2-c 2=a 2+b 2-33a b c+=2233c c-()a b a b c ++=22(c a)(c b)a b c -+-.又a 3+b 3=c 3,故c >a ,c >b ,故22(c a)(c b)a b c-+->0,故a 2+b 2>c 2.故C <π2,③正确;对于④,c <2ab a b +,故c 2<2222244()4a b a b a b ab≤+=ab . 故cos C =2222a b c ab +->22ab 122a b ab +-≥.∴C <π3,④不正确;对于⑤,由(a 2+b 2)c 2<2a 2b 2可得c 2<222222222a b a b a b ab≤+=ab .故cos C =2222a b c ab +->22ab 222a b ab ab ab ab +--≥=12.∴C <π3,⑤不正确.综上可知,①②③正确.16.(2012安徽,理16)设函数f (xπ24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期;(2)设函数g (x )对任意x ∈R,有g π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=g (x ),且当x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,g (x )=12-f (x ).求g (x )在区间[-π,0]上的解析式. 解:(1)f (xπ24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+sin 2xππcos2cos sin2sin 44x x ⎫-⎪⎝⎭+1cos22x -=12-12sin 2x ,故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,g (x )=12-f (x )=12sin 2x .故①当x ∈π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时,x +ππ0,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.由于对任意x ∈R,g π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=g (x ),从而g (x )=g π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12sin π22x ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=12sin(π+2x )=-12sin 2x .②当x ∈ππ,-2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,x +π∈π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 从而g (x )=g (x +π)=12sin[2(x +π)]=12sin 2x .综合①,②得g (x )在[-π,0]上的解析式为g (x )=1πsin2,π,-,221πsin2,,0.22x x x x ⎧⎡⎫∈-⎪⎪⎢⎪⎣⎭⎨⎡⎤⎪-∈-⎢⎥⎪⎣⎦⎩17.(2012安徽,理17)某单位招聘面试,每次从试题库中随机调用一道试题.若调用的是A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库,此次调题工作结束,若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现有n +m 道试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题.以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类型试题的数量. (1)求X =n +2的概率;(2)设m =n ,求X 的分布列和均值(数学期望). 解:以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题,i =1,2.(1)P (X =n +2)=P (A 1A 2)=n m n +·12n m n +++=(1)()(2)n n m n m n ++++.(2)X 的可能取值为n ,n +1,n +2.P (X =n )=P (12 A A )=n n n +·n n n+=14. P (X =n +1)=P (A 12A )+P (1A A 2)=n n n +·12n n n ++++n n n +·n n n+=12,P (X =n +2)=P (A 1A 2)=n n n +·12n n n +++=14,从而X 的分布列是EX =n ×14+(n +1)×12+(n +2)×14=n +1.18.(2012安徽,理18)平面图形ABB 1A 1C 1C 如图1所示,其中BB 1C 1C 是矩形,BC =2,BB 1=4,AB =AC =A 1B 1=A 1C 1现将该平面图形分别沿BC 和B 1C 1折叠,使△ABC 与△A 1B 1C 1所在平面都与平面BB 1C 1C垂直,再分别连接A 1A ,A 1B ,A 1C ,得到如图2所示的空间图形.对此空间图形解答下列问题.(1)证明:AA 1⊥BC ; (2)求AA 1的长;(3)求二面角A -BC -A 1的余弦值.(向量法)(1)证明:取BC ,B 1C 1的中点分别为D 和D 1,连接A 1D 1,DD 1,AD .由四边形BB 1C 1C 为矩形知,DD 1⊥B 1C 1. 因为平面BB 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1, 所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1. 又由A 1B 1=A 1C 1知,A 1D 1⊥B 1C 1.故以D 1为坐标原点,可建立如图所示的空间直角坐标系D 1-xyz . 由题设,可得A 1D 1=2,AD =1.由以上可知AD ⊥平面BB 1C 1C ,A 1D 1⊥平面BB 1C 1C ,于是AD ∥A 1D 1. 所以A (0,-1,4),B (1,0,4),A 1(0,2,0),C (-1,0,4),D (0,0,4). 故1AA =(0,3,-4),BC =(-2,0,0), 1AA ·BC =0. 因此1AA BC ⊥,即AA 1⊥BC .(2)解:因为1AA =(0,3,-4),所以|1AA |=5,即AA 1=5. (3)解:连接A 1D .由BC ⊥AD ,BC ⊥AA 1,可知BC ⊥平面A 1AD ,BC ⊥A 1D , 所以∠ADA 1为二面角A -BC -A 1的平面角. 因为DA =(0,-1,0),1DA =(0,2,-4),所以cos<DA ,1DA即二面角A -BC -A 1的余弦值为或用法向量求解)(综合法)(1)证明:取BC ,B 1C 1的中点分别为D 和D 1,连接A 1D 1,DD 1,AD ,A 1D .由条件可知,BC ⊥AD ,B 1C 1⊥A 1D 1.由上可得AD ⊥平面BB 1C 1C ,A 1D 1⊥平面BB 1C 1C , 因此AD ∥A 1D 1,即AD ,A 1D 1确定平面AD 1A 1D . 又因为DD 1∥BB 1,BB 1⊥BC ,所以DD 1⊥BC . 又考虑到AD ⊥BC ,所以BC ⊥平面AD 1A 1D , 故BC ⊥AA 1.(2)解:延长A 1D 1到G 点,使GD 1=AD .连接AG .因为AD GD 1,所以AG DD 1 BB 1. 由于BB 1⊥平面A 1B 1C 1,所以AG ⊥A 1G . 由条件可知,A 1G =A 1D 1+D 1G =3,AG =4, 所以AA 1=5.(3)解:因为BC ⊥平面AD 1A 1D ,所以∠ADA 1为二面角A -BC -A 1的平面角.在Rt △A 1DD 1中,DD 1=4,A 1D 1=2,解得sin ∠D 1DA 1∠ADA 1=cos 11πD 2D A ∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭即二面角A -BC -A 1的余弦值为19.(2012安徽,理19)设函数f (x )=a e x +1e xa +b (a >0).(1)求f (x )在[0,+∞)内的最小值;(2)设曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y =32x ,求a ,b 的值.解:(1)f '(x )=a e x -1e xa ,当f '(x )>0,即x >-ln a 时,f (x )在(-ln a ,+∞)上递增; 当f '(x )<0,即x <-ln a 时,f (x )在(-∞,-ln a )上递减.①当0<a <1时,-ln a >0,f (x )在(0,-ln a )上递减,在(-ln a ,+∞)上递增,从而f (x )在[0,+∞)上的最小值为f (-ln a )=2+b ;②当a ≥1时,-ln a ≤0,f (x )在[0,+∞)上递增,从而f (x )在[0,+∞)上的最小值为f (0)=a +1a+b .(2)依题意f '(2)=a e 2-21e a =32,解得a e 2=2或a e 2=-12(舍去).所以a =22e ,代入原函数可得2+12+b =3,即b =12.故a =22e ,b =12.20.(2012安徽,理20)如图,点F 1(-c ,0),F 2(c ,0)分别是椭圆C :22x a +22y b=1(a >b >0)的左、右焦点,过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ,过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x =2a c于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆C 的方程; (2)证明:直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.(1)解:(方法一)由条件知,P 2,b c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故直线PF 2的斜率为2PF k =20b a c c---=-22b ac . 因为PF 2⊥F 2Q ,所以直线F 2Q 的方程为y =22ac b x -222ac b. 故Q 2,2a a c⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由题设知,2a c=4,2a =4,解得a =2,c =1.故椭圆方程为24x +23y =1.(方法二)设直线x =2a c与x 轴交于点M .由条件知,P 2,b c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 因为△PF 1F 2∽△F 2MQ ,所以12|||M |PF F =12||||F F MQ .即22c b a a c-=2||c MQ ,解得|MQ |=2a ,所以24,24,a ca ⎧=⎪⎨⎪=⎩a =2,c =1.故椭圆方程为24x +23y =1.(2)证明:直线PQ 的方程为222a y a ba --=22a x c a c c---,即y =c ax +a .将上式代入椭圆方程得x 2+2cx +c 2=0, 解得x =-c ,y =2b a.所以直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.21.(2012安徽,理21)数列{x n }满足x 1=0,x n +1=-2n x +x n +c (n ∈N *). (1)证明:{x n }是递减数列的充分必要条件是c <0; (2)求c 的取值范围,使{x n }是递增数列.(1)证明:先证充分性,若c <0,由于x n +1=-2n x +x n +c ≤x n +c <x n ,故{x n }是递减数列;再证必要性,若{x n }是递减数列,则由x 2<x 1可得c <0. (2)解:假设{x n }是递增数列.由x 1=0,得x 2=c ,x 3=-c 2+2c .由x 1<x 2<x 3,得0<c <1.由x n <x n +1=-2n x +x n +c 知,对任意n ≥1都有x n①x n +1=2n x -x n -cx nx n ).② 由①式和②式可得x n >0,即x n由②式和x n ≥0还可得,对任意n ≥1x n +1≤x n ).③ 反复运用③式,x n ≤n -1x 1n -1.x nx nn -1两式相加,知n -1对任意n ≥1成立. 根据指数函数yx 的性质,得≤0,c ≤14,故0<c ≤14.若0<c ≤14,要证数列{x n }为递增数列,即x n +1-x n =-2n x +c >0.即证x 0n ≥1成立.下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时,x nn ≥1成立.当n =1时,x112≤,结论成立.假设当n =k (n ∈N *)时结论成立,即x k 因为函数f (x )=-x 2+x +c 在区间1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦内单调递增,所以x k +1=f (x k )<f 这就是说当n =k +1时,结论也成立.故x n n ≥1成立.因此,x n +1=x n -2n x +c >x n ,即{x n }是递增数列.综上可知,使得数列{x n }单调递增的c 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷)(解析版)
1 2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（理科）本试卷共21题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式：主体的体积公式V=Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高。
锥体的体积公式为13V sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，则复数56i i-= A ． 65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i --2．设集合U ={1,2,3,4,5,6}， M ={1,2,4 } 则U C M = A ．U B ．{1,3,5} C ．{3,5,6} D ．{2,4,6}3．若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC = A ．（-2,-4） B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(-6,-10)4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A ．ln(2)y x =+ B．y =．y=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1y x x =+ 5．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z =3x +y 的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．1-6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A.49 B. 13 C. 29 D. 19 8.对任意两个非零的平面向量α 和β ，定义αβαβββ⋅=⋅ ．若平面向量,a b 满足0a b ≥> ，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ．12 B.1 C. 32 D. 52 二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。
2012年高考理科数学全国卷1-答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序， 可知：该程序的作用是：求出12n a a a ，，，中最大的数和最小的数 其中A 为12n a a a ，，，中最大的数，B 为12n a a a ，，，中最小的数【提示】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出12n a a a ，，中最大的数和最小的数． 【考点】循环结构．7.【答案】B【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3； 底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，，12ω>∴，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．的范围即可．【解析】由已知得22222(2)44|a b|a b a a b b -=-=-+224||4||||cos45||a a b b =-︒+24|||10b b =-+=，解得||32b =【提示】由已知可得，2||||cos45||2b a a b b =︒=，代入 2222(2)44a b|a b a a b b -=-=-+242||||10b b =-+=可求14.【答案】[]3,3-60(a ++-117++=59(a +++，sin 0C >，0πA <<π5π66A -<法二：由正弦定理可得sin a 222a b c a ab+-，0πA <<）ABC S =△，2a A =，，直又1DC BD ⊥1DC D =2AB a =，1DC ∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12DC a =90AB ∴30． 30．x 轴，(,DB a =-，1(,0,DC a =-的法向量为11(,n x y =111n DB ax n DC ax ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，故可取1(1,2,1)n =的一个法向量2(1,1,0)n =设1n 与2n 的夹角为1212||||6n n n n =⨯30．由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角1A -'=h x()eh x→-∞()（2）当aa+>，10，所以当x ∥CF AB∥CF AB（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴△∽△BCD。
2012年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修II)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。
考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A＝{1.3. ，B＝{1，m} ,A B＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A 2BC D 1（5）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100第1/4页（6）△ABC中，AB边的高为CD ，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)（B ）(C)(D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=3，则cos2α=(A) （B）(C)（8）已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=(A)14（B）35(C)34(D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
2012年普通高等学校招生全国统一考试全国卷(数学理)word版缺答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（1）复数131i i-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i -（2）已知集合{1A =，{1,}B m =，A B A = ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ，2AB =，1CC =，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为 （A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos 3αα+=，则cos 2α=（A ）3- （B ）9- （C ）9 （D ）3（8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<（10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。
2012年四川高考数学理科试卷(带详解)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.7(1)x +的展开式中2x 的系数是 （ ） A.42 B.35 C.28 D.21 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项展开式，求满足条件的项的系数. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =27C ,k x ，令k =2，则2237C T x =,2x ∴的系数为27C 21=.2.复数2(1i)2i-= （ ） A.1 B.1- C.i D.i - 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出两复数比的形式，根据复数代数形式的四则运算直接求解. 【难易程度】容易. 【参考答案】B【试题解析】2(1i)2i-=21i 2i12i +-=- 3.函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-⎩…在3x =处的极限是 （ ）A.不存在B.等于6C.等于3D.等于0 【测量目标】分段函数，对数函数的性质，函数的定义域. 【考查方式】直接给出分段函数，求分段函数在一点的极限值. 【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】分段函数在3x =处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.4.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠= （ ） A.31010 B.1010 C.510 D.515第4题图【测量目标】余弦定理，同角三角函数的基本关系.【考查方式】已知图形中直角三角形各边长，利用余弦定理求其中一角的余弦值，并转化为正弦值. 【参考答案】B 【试题解析】1,AE = 正方形的边长也为1222ED AE AD ∴=+=22222251310cos 21010sin 1cos 10EC EA AB CB CD ED EC CDCED ED ECCED CED =++==+-∴∠==∠=-∠=（）， 5.函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是 （ ）A B C D第5题图【测量目标】函数图象的判断，【考查方式】直接给出函数解析式，判断其函数图象. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可以看成把函数x y a =的图象向下平移1a .个单位得到的。
2012年全国高考理科数学试题及答案-新课标1
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为 （A ） 3 （B ） 6 （C ） 8 （D ） 10（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（A ） 12种 （B ） 10种 （C ） 9种 （D ）8种 （3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题 1p ：||2z = 2p : 22z i = 3p :z 的共轭复数为1i + 4p ：z 的虚部为1-其中真命题为(A ) 2p , 3p （B ） 1p , 2p （C ） 2p ，4p （D ） 3p , 4p（4）设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上的一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则 E 的离心率为(A) 12 (B) 23 (C) 34 (D) 45（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=(A) 7 (B) 5 (C) 5- (D) 7- （6）如果执行右边的程序图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,N a a a 输入,A B ,则 (A)A B +为12,,...,N a a a 的和 （B ）2A B+为12,,...,N a a a 的算式平均数 （C ）A 和B 分别是12,,...,N a a a 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是12,,...,N a a a 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 (B)9 （C ）12 （D ）18（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为（A ）2 （B ）22 （C ）4 （D ）8 （9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则ω的取值范围 (A) 15[,]24 (B) 13[,]24 (C) 1(0,]2(D)(0,2]（10）已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为O的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为(A)26 (B)36 (C)23 (D)22（12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为 (A)1ln 2- (B)2(1ln 2)- (C)1ln 2+ (D)2(1ln 2)+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2012年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分） 注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式
如果事件A,B 互斥 ，那么 P(A+B)=P(A)+P(B
如果事件A,B 相互独立，那么 P(A ·B)=P(A)·P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
P n (k)= (1)(0,1,2,...,)k k
n k n C p p k n --=
台体的体积公式
V=121()3
h S S +
其中S 1，S 2分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V=Sh
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式V=1
3
Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球体的面积公式 S=4πR 2
球的体积公式 V=
4
3
πR 3 其中R 表示球的半径
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）=
A (1,4)
B (3,4)
C (1,3)
D (1,2)∪（3,4） 2. 已知i 是虚数单位，则
31i
i
+-= A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i
3. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
4.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是
5.设a ，b 是两个非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λ a
D.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b|
6.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A.60种 B.63种 C.65种 D.66种
7.设S 。
是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是 A.若d ＜0，则列数﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0 C.若数列﹛S n ﹜
D.是递增数列，则对任意n ∈N n ，
均有S n ＞0
8.如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：2
2
221x y a b
-=（a,b ＞0）的在左、右焦点，B 是虚轴的端点，
直线F 1B 与C 的两条渐近线分别教育P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是
A.
3 B 2
C..
D.
9.设a大于0，b大于0.
A.若2a+2a=2b+3b，则a＞b
B.若2a+2a=2b+3b，则a＞b
C.若2a-2a=2b-3b，则a＞b
D.若2a-2a=a b-3b，则a＜b
10. 已知矩形ABCD，AB=1，BC=。
将△沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。
A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.
B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.
C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.
D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
2012年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
非选择题部分（共100分）
注意事项：
1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11.已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm3.
12.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________。
13.设公比为q（q＞0）的等比数列{a n}的前n项和为S n。
若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则
q=______________。
14.若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋……＋a5
（1＋x）
5，其中a
，a
1
，a
2
，…a
5
为实数，则a3=______________。
15.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.
16．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。
17．设a∈R，若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，则a=__________。
三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。
已知cosA=2
3
，
C。
（1）求tanC的值；
（2）若ABC的面积。
19.（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分。
现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和。
（1）求X的分布列；
（2）求X的数学期望E（X）。
20.（本题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为∠BAD=120°，
且PA⊥平面ABCD，PA=,M，N分别为PB,PD的中点。
（1）证明：MN∥平民啊ABCD；
（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。
21.（本题满分15分）如图，椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的离心率为
1
2
，其左焦点到点
Ｐ（２,．．．．Ｏ的直线ｌ与Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，且线段ＡＢ被直线ＯＰ平分。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程。
22.（本题满分14分）已知a>0,b∈R，函数f(x)=4ax2-2bx-a+b。
（Ⅰ）证明：当0≤x≤1时。
（1）函数f(x)的最大值为
（2）f(x)+ a b
-+a ≥0;
0,1恒成立，求a+b的取值范围。
（Ⅱ）若-1≤f(x) ≤1对x∈[]。