五年级整除的特征
五年级数学讲义数的整除
数的整除月日姓名【知识要点】1．整除概念：一个整数除以另一个整数，得到的商也是一个整数，叫做整除。
2．较常见数的整除特征：（一）能被2、5、4、25、8、125整除的数的特征：①末一位能被2或5整除；②末两位能被4或25整除；③末三位能被8或125整除。
（二）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
（三）能被6整除数的特征：既能被2整除又能被3整除。
3．能同时被2、5、3、9整除的数满足。
①末尾是0。
②各个数位上的数字之和能被9整除。
【典型例题】例1 谁能又快又好的写出下面的答案.（千万不要落下一个噢）26□4能被2整除. 259□能被5整除2□93能被3整除 6□93能被9整除51□4能被4整除 63□□能被25整除61□6能被8整除 98□□□能被125整除例2 5□4□（1）能同时被5和9整除（2）能被45整除呢？例3ab25这个四位数，能同时被2，3，5，9整除，则此四位数是_________.例 4 一位马虎的采购员买了72只桶,洗衣服时将购货票,洗坏了,只能看到:72只桶.共□67.9□元,请你帮他算一下这次采购一共用了多少钱?随堂小测月日姓名 1.下列数中12、25、100、36、18、99、111、250能被2整除的有（）.能被3整除的有（）.能被6整除的有（）.能被9整除的有（）.能被25整除的有（）.2．四位数BA18能同时被5、6整除，这个四位数是_________.3．7□11□能被12整除，则此5位数是__________.4 AB45这个四位数，同时能被2，3，4，5，9整除，求此四位数。
课后作业月日姓名1．填出所有的情况下的数。
762□能被2整除870□能被5整除93□76能被2整除9□391能被9整除87□4能被4整除81□5能被25整除7312□能被8整除73□25能被地125整除2．四位数392□能被6整除的所有符合条件的数。
3．五位数7□36□同时能被2.5和9整除，则此五位数是_________.。
五年级数的整除
数的整除一、整除的概念：a÷b=c，整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数（或者余数为零）就叫做a能被b整除，或者说b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数二、整除的性质（1）如果数a是b的倍数，c是整数，那么积ac也是b的倍数例：24是8的倍数，5是整数，5×24的积也是8的倍数（2）如果数a和b都是c的倍数，那么（a+b）与（a-b）也是c的倍数例：24和30都是6的倍数，那么（24+30）与（30—24）也是6的倍数（3）如果a是b的倍数，b又是c的倍数，那么a也是c的倍数例：24是12的倍数，12又是6的倍数，那么24也是6的倍数（4）如果a同时是b、c的倍数，而且b和c是互质数，那么a一定是bc的倍数例：24是2、3的倍数，2、3互质，24也是2×3的倍数（5）如果数b是a的因数，或者a含有因数b,那么a就是b的倍数例：60含有因数15，那么60就是15的倍数三、整除的特征（1）4或25的倍数的特征：如果一个自然数的末两位的数字所组成的数能被4、25整除，那么这个数就是4或25的倍数例：58372的末两位是72, 72是4的倍数，那么58372就是4的倍数57325的末两位是25,25是25的倍数，那么58325就是25的倍数（2）8或125的倍数特征：如果一个自然数的末三位的数字所组成的数能被8、125整除，那么这个数就是8或125的倍数例：58272的末三位是272, 272是8的倍数，那么58272就是8的倍数57375的末三位是375,375是125的倍数，那么58375就是125的倍数（3）7,11,13的倍数的特征：如果一个自然数的末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7,11,13整除，那么这个数就是7,11,13的倍数例：1059282是否是7的倍数：把1059282分成1059和282两个数，因为1059-282=777，又777能整除7，所以1059282是7的倍数若一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，那么这个数就是11,的倍数例：123456789的奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20，因为25—20=5，因为5不能被11整除，所以123456789不能被11整除1.判断3546725能否被13整除？2.一个四位数9（）2（）既有因数2，又是3的倍数，同时又能被5整除，这四个数最大是多少？3.378287、ABCABC这两个数能否被7，11,13整除？4.一个六位数（）6879（）首尾不祥，只知道这个六位数能被72整除，这个六位数是多少？5.一个整数能被13整除，这个数的最后三位数是339，那么这样的整数中最小的是多少？6.同时被3、4、5整除的最大四位数是多少？7.从1到9这九个数字中任选六个数字组成36的倍数，这样的六位数中最大的数是多少？最小的数是多少？8.已知A是一个自然数，并且它的各数位上的数字只有0和8两数，已知这个数是6 的倍数，A最小是多少？9.在257后面补上三个数字组成一个各数位上的数字都不相同的六位数，使它能被60整除，这样的六位数中最小的是多少？10.3（）6（）5是一个五位数，且是75的倍数，若想使3（）6（）5无重复数字，这个五位数是多少？答案：1.能 2.9720 3. 78287不能能 4.468729 5.1339 6.9960 7.987652 123768 8.8088 9.257160 10.30625 38675 39675。
小学五年级奥数--数的整除特征
（二） 数的整除性质
• 1、看下面的两个例子： • ⑴ 我们知道 2︱10 ， 2︱6 ，2能整除10
与6的和或者差吗 • 能 。 2︱（10＋6）且 2︱（10－6） • ⑵ 我们再看 5︱25 ， 5︱10 ，5能整除
25与10的和或差吗？ • 能 。 5︱（25＋10）， 5︱（25－10） • 你能从上面的题目中得到上面规律？
• 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
• 即：如果c︱b ， b︱a 那么 c︱a。
（三）数的整除特征
• （一）：能被2、3、5、9、整除的数的整除特征； • （二）①能被4、25整除：末两位数能被4和25整
除； • ②能被8、125整除：末三位数能被8、125整除； • ③能被11整除：奇位数字之和与偶位数字之和的
9□.2□元＝9□2□分
• 解：∵28＝4×7，根据整除的性质③，
•
可知4︱9□2□ 且7︱9□2□
• ∴ 根据4的整除特征可知□可以填0、4、8 ，
•
∵ 7 9020， 7 9424；7 9828。
•
∴ □处应当填 。 ∣
•
÷28＝ 8（分）＝ （元）
• 答：9每82支8钢笔的价格35是1
元3。.51
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世界触手可及
（德阳市第十届小学生数学邀请赛试题）。
4、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____
5、 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数 能被11整除, 方格内应填_____。
6、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们 分别能被2 3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
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数的整除性质1
五年级整除的特征
五年级学生在学习整数的除法时，会遇到一些特殊的情况，即整除的特征。
整除是指除法中的商是整数，没有余数。
在五年级，学生需要理解整除的概念以及找出整除的规律。
首先，学生要明确整除的概念。
整除是指能够被整数整除的数，也就是说，除法中没有余数。
例如，6除以3等于2，没有余数，所以6能够整除3、但是如果我们计算7除以3，得到的商是2余1，即7不能整除3接下来，我们来探讨一下五年级整除的特征。
最简单的整除特征是能够整除1和自身的数。
这些数叫做质数。
质数的特点是只能被1和自身整除，例如2、3、5、7等。
这些数都没有其他因数。
其次，我们来看看其他整除的特征。
当一个数能够被2整除时，我们称其为偶数。
所有的偶数都可以被2整除，例如4、6、8、10等。
因为偶数一定能够被2整除，所以偶数的个位数一定是0、2、4、6、8中的一个。
当一个数能够被5整除时，个位数必定是0或者5、因为5的倍数只能在个位数上是0或者5，例如5、10、15、20等。
当一个数能够被10整除时，个位数必定是0。
因为10的倍数的个位数一定是0，例如10、20、30、40等。
当一个数能够被9整除时，我们可以用其各位数字之和能否被9整除来判断。
例如，36是9的倍数，因为3+6=9，9能够被9整除；而42不是9的倍数，因为4+2=6，6不能被9整除。
当一个数能够被3整除时，我们同样可以用其各位数字之和能否被3整除来判断。
例如，27是3的倍数，因为2+7=9，9能够被3整除；而31不是3的倍数，因为3+1=4，4不能被3整除。
当一个数能够被6整除时，它必须同时满足能够被2和3整除的条件。
例如12、18、24等都能够被6整除，因为它们都是2和3的倍数。
当一个数能够被4整除时，我们可以观察该数的末尾两位数字组成的数能否被4整除。
例如，148能够被4整除，因为48是4的倍数；而127不能被4整除，因为27不是4的倍数。
当一个数能够被8整除时，我们观察该数的末尾三位数字组成的数能否被8整除。
五年级数论：第2讲 整除特征(二)生
第二讲整除特征（2）【知识提要】1. 被3（或9）整除的数的特征：这个数的各位上数字之和是3（或9）的倍数。
2. 被7、11、13整除的数的特征：这个数的末三位与末三位以前的数字的差（以大减小）是7、11、13的倍数。
（割尾法）3. 能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差（以大减小）是11的倍数。
4、整除的性质：（1）如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。
（传递性）如：8|40，40|120，则。
（2）如果a和b（a>b）都能被c整除，那么a与b的和（a+b）及差（a-b）也能被c整除。
如：3|18,3|12，则，。
（3）如果数a能被数b整除，那么a和c的积（a×c）也能被b整除。
如：5|25,3为整数，则。
【基础训练】1、在□中填入适当的数字，使所组成的数既能被9整除，又有因数5。
23□5□ 57□3□ 7□832□2、判断102030405060708090能否被9整除。
3、判断。
（1）4932796与4392976分别除以11，它们能被11整除么？（2）把192992与192929分别除以11，它们能被11整除吗？4、判断。
（1）试判断20592，25092能否被99整除？（2）试判断2385，3825能否被45整除？（3）试判断12346578，12356784能否被44整除？【拓展提高】【例1】填空。
（1）有一个四位数13AA是9的倍数，A是。
（2）要使□3478□能被9整除，□是。
（3）已知自然数2*3*4*5*1能被11整除，问*是。
（4）一个六位数□8919□能被11整除，那么这个六位数是。
【例2】在□内填上合适的数字，使五位数□679□能同时被8和9整除。
【例3】在□内填入适当的数字，使□8□52能被72整除？【例4】要使六位数15□□□6能被36整除，这样的数中最小的是多少？【例5】在□内填上适当的数，使五位数29□7□能被12整除。
五年级秋学期奥数 第5讲：数的整除性
第5讲：数的整除性灵活地运用整除性质，可以解决许多有关整除方面的问题。
一些特殊数整除的特征：1．个位是0、2、4、6、8的数能被2整除。
2．个位是0或5的数能被5整除。
3．各位数字之和能被3或9整除的数就能被3或9整除。
4．如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。
5．如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。
6．被11整除的数的特征：如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个自然数就能被11整除，否则就不能。
7．能被7、11、13整除的数的特征：这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差，如果这个差能被7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。
学习例题：例1：在五位数15□8□的方框里填上什么数字，才能使它既能被3整除，又含有约数5？3是6的倍数，这样的六位数共有多少个？例2：六位数ABABA例3：在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。
符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？例4：五位数B A 329能被72整除。
问A 和B 各代表什么数字？例5：六位数B A 3412是88的倍数，这个数除以88所得的商是什么？例6．在五位数中，数字和等于43且能被11整除的数有哪些？思考与练习：1． 有一个四位数13AA ，它能被9整除。
A 所代表的数字是多少？2． 在2008后面填上三个数字，组成一个新七位数，使它分别能被除3、4、5整除，这个七位数最大是多少？3．173□是一个四位数，王老师说：“我在这个数的方框里分别填上3个数字，所得的四位数依次能被7、11、6整除。
”王老师填入的3个数字的和是多少？4．已知87654321□□这个十位数能被36整除，那么这个数个位上的数字最小是多少？5．用0、1、3、5、7这五个数字中的四个，可以组成许多能被11整除的四位数，其中最小的一个四位数是多少？6.将一个四位数减去各数位上数字的和后仍得一个四位数，19□2，那么□中应该填多少？7.六位数□1991□能被33整除，这样的六位数是多少？8.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的是多少?9.在一个两位数的数字之间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这个数。
五年级奥数数的整除全国通用
6和、可在能那算是式么91的a1b1倍cda或ebX2c倍3d，=ea即b=c和de是11中90或不01同08。0的0字母+表x示，不同ab的c数d字e，l1相=同1字0母x表+示1相，同的可数字得，求到abc方de。程:
2、有一个四位数7A2B能被2、3、5整除，这个四位数是多少?
五位数A691B能被55整除，符合要求的五位数有哪些? ( 100000 +x) x3=10x+ 1
答:符合要求的五位数是96910和46915。
1、四位数3AA1能被9整除，求A的值。
四位数3AA1要是9的倍数，它的各个数位之和就必 须是9的倍数，3 +A+A+1的和可能是9或18 当3 +A+A+1 =9时，A=2.5，2.5不是自然数，不符 合题目要求。 当3+A+A+1=18时，A=7，符合题目要求
300000 +3x= 10x + 1
( 100000 +x) x3=10x+ 1
=abc x1001 性质1:如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也 能被 c整除。 5不是自然数，不符合题目要求。 本讲内容较为抽象，同学们可以通过型例题的学习和练习的变式训练提高数感，做到有条理、有根据地思考。 性质3:如果b、c都能整除a,且b与c互质，那么b与c的积也能整除a。 1、四位数3AA1能被9整除，求A的值。 解题时应掌握以下整除的性质和特征
这个五位数是46915。
1047、1074、1407、1470、1700. 这样的四位数有7020、7320、7620、7920。
7x = 299999
7x = 299999 用逐步推理的方法，利用末位数字的特点得出结论。
五年级数论：第1讲 整除特征(一)生
第一讲整除特征（1）【知识提要】1、整除概念：若整数a 除以大于0的整数b，商为整数而没有余数（或余数为零），我们就说a能被b整除（或说b 能整除a），记作b|a，否则称a不能被b整除（或说b不能整除a），记作b|a。
2、因数与倍数：如果整数a能被整数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b叫做a的因数。
如：6÷2=3，我们就说6能被2整除，记作2|6。
我们就说6是2的倍数，2是6的因数。
3、数的整除特征：2系列5系列被2整除的数：。
被5整除的数：。
被4整除的数：。
被25整除的数：。
被8整除的数：。
被125整除的数：。
【基础训练】1.下面各组数中那一组的第一个数能被第二个数整除？91和13；140和4；210和4；51和3；57和19；65和13；121和11；5.6和82.下列各组数试说明哪一个是另一个的因数哪一个是另一个的倍数？35和17；35和140；50和1000；117和393.写出18，27，36，48的因数各有哪些？18的因数：。
27的因数：。
36的因数：。
48的因数：。
4.写出5和8的倍数各有哪些？5的倍数：。
8的倍数：。
小结：①一个数的因数个数是，倍数的个数是。
②一个数最小的因数是，最大的因数是。
③一个数最小的倍数是，最大的倍数。
5. 在空格内填上合适的数，使它能被同时被10整除。
31□，42□，364□归纳得出结论：同时被2和5整除的数。
6.在空格内填上合适的数，使它能被同时被100整除。
67□□，154□□，2364□□归纳得出结论：同时被4和25整除的数。
7.在空格内填上合适的数，使它能被同时被1000整除。
3□□□，42□□□，183□□□归纳得出结论：同时被8和125整除的数。
8.在1278,4632,54684,119375,93648,87615,1548764中，能被2整除的数有：能被5整除的数有：能被4整除的数有：能被25整除的数有：能被8整除的数有：能被125整除的数有：9.讲这些整数填入合适的方框内：320,412,525,625,2000,1200,3375,2520。
(完整版)数的整除的特性(五年级)
第四讲：数论初步（二）——整除问题一、训练目标知识传递：掌握和拓展数的整除特征，根据整除特征灵活应用。
能力强化：分析能力、观察能力、综合能力、判断能力、推算能力。
思想方法：假设思想、对应思想、排除思想、尝试思想、重叠思想。
二、知识与方法归纳1、熟悉并掌握2、3、5、9的倍数的特征。
2、一个数的末两位数能4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。
（4×25=100）。
（8×125=1000。
）3、一个数的末三位数能被8或125整除。
那么这个数就能被8或25整除。
4、一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。
另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差（7×11×13=1001。
）（很常用，请牢记。
）等于0比较常见）能被11整除，这个数就能被11整除。
5、如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。
即如果ca，c︱b，则c︱（a+b）或c︱（a-b）。
6、如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。
即如果c︱a，b是整数，则c︱ab。
7、如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。
即如果a︱b，b︱c，则a︱c。
8、如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。
即如果a︱c，b︱c，且a、b互质，则ab︱c。
三、经典例题例1、七位数83□534□能被88整除，两个□中所填数字之和是。
解：答：。
例2、在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？解：答：。
体验训练1六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是多少？解：答：。
例3、要使六位数15□□□6能被36整除而且所得的商最大，□□□内应填多少？解：答：。
五年级奥数第19讲——整除
学生课程讲义【基础知识】：同学们在课内已经学习过整除的概念和它的一些性质。
这里我们仅补充一个能被7，11,13整除的特征：一个整数的末三位数与末三位数之前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除，那么，这个数就能被7（11或13）整除。
例如：数96928，因为928－96＝832，而832÷13＝64，说明832能被13整除，则96928能被13整除。
又例如：数690578，因为690－578＝112，而112÷7＝16，说明112能被7整除，则690578能被7整除。
另外，如果a能整除b,我们经常使用一个竖条“丨”来表示a、b整除的关系：也就是：a丨b＝b÷a【例1】六位数□2004□能被99整除，这个六位数是（）。
随堂练习1六位数2003□□能背99整除，它的最后两位数是（）【例2】有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除，请你算出后两位数。
随堂练习2将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是（）【例3】若四位数9a8a能被15整除，则a代表的数字是（）【例4】一个七位数20a0b9c是33的倍数，那么a＋b＋c＝（）随堂练习3如果一个九位数A1999311B能被72整除，试求A、B两数的差（大减小）。
【例5】在一个四位数的某位数字前添上一个小数点，再和原来的四位数相减，差的绝对值是1803.6.则原来的四位数是（）随堂练习4一个四位数，给它加上小数点后，比原数小2003.4，这个四位数是（）。
【例6】如图，在一个圆周上放了一枚黑色的围棋子和2012枚白色的围棋子，若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩（）枚白子。
随堂练习5一个三位自然数正好等于它各位数字和的18倍，这个三位自然数是（）。
五年级奥数专题-数的整除
五年级奥数专题-数的整除如果整除a 除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a 能被b 整除,或叫b 能整除a.如果a 能被b 整除,那么,b 叫做a 的约数,a 叫做b 的倍数.数的整除的特征：（1） 能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0,那么这个整数一定能被2整除.（2） 能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除,那么这个整数一定能被3（或9）整除.（3） 能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除,那么这个数就一定能被4（或25）整除.（4） 能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除.（5） 能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除,又能被3整除,那么这个数就一定能被6整除.（6） 能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数,末三位为一个数,其余各位为另一个数,如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数,这个数就能被7（或11或13）整除.（7） 能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么这个数就一定能被8（或125）整除.（8） 能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除.一、例题与方法指导例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能或又 23056088=2620238568÷88=2711所以,本题的答案是2620或2711.例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.思路导航：因为36=9⨯4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45,由能被9整除的数的特征,（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8,8+1,2+7,7+2,3+6,6+3,4+5,5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…,36,…,72,…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.例3. 下面一个1983位数33…3□…4中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个知这个多位数被7整除,那么中间方框内的数字是_____.思路导航：33...3□44 (4)991个个=33...3⨯10993+3□4⨯10990+44 (4)990个 990个因为111111能被7整除,所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要990个 990个3□4能被7整除,原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.所以,答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34.[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以,)2+nn+n能被3整除.(+)1(+二、巩固训练1.有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.2.一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.3.任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.4.有0、1、4、7、9五个数字,从中选出四个数字组成不同的四位数,如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来,第五个数的末位数字是_____.1. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.所以,所求的和是39+79=118.2． 195因为这个数可以分解为两个两位数的积,而且15⨯15=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13⨯13=169不合要求,13⨯15=195适合要求.所以,答案应是195.3. 9根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为3456=384⨯9,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B的各位数字之和C也总是9.4. 9∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五个数的末位数字是9.三、拓展提升1. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？2．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？3． 500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数,既报1又报6的士兵有多少名？4. 试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”,则只要举出一种排法；如果回答：“不能”,则需给出说明.答案1. 如果最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数,因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个数,仍不符合要求,因为5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7.2. 因为225=25 9,要使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把1改为0；把4改为3；把1改为9；把2改为1.3. 若将这500名士兵从右到左依次编号,则第一次报数时,编号能被5整除的士兵报1；第二次报数时,编号能被6整除的士兵报6,所以既报1又报6的士兵的编号既能被5整除又能被6整除,即能被30整除,在1至500这500个自然数中能被30整除的数共有16个,所以既报1又报6的士兵共有16名.4. 不能.假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3 的倍数.从而一共有不少于40个数是3 的倍数.但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致矛盾.。
五年级第一讲数的整除
第一讲 数的整除一、学法指导数的整除特性：（1）能被2（或5）、3(或9)整除的数的特征（自己回忆整理）。
（2）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
（3）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个数的末三位能被8（或125）整除这个数就能被（或）125整除。
（4）能被11整除的数的特征：如果一个整数奇数位数字与偶数位数字和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除。
（5）能被7、11、13整除的数的特征：一个整数末三位与末三位以前的数的差（大减小）能被7（11或13）整除，那么这个数就能被7（11或13）整除。
补充结论： 1.abcabc 能被7、11、13整除。
2.如果数a 能同时被数b 、c 整除，而且b 、c 互质，那么a 就能被b 、c 的乘积整除。
举例：比如能被72整除的数的特征，就是这个数能同时被8、9整除。
因为72=8×9，而8、9互质，根据上面的结论，一个数能否被72整除，我们只要分析这个数能否同时被8和9整除就可以了。
有了这个结论，我们研究整除特性的范围就被大大地扩展，很多很多我们没学过的数的整除特征，都可以据此找到规律了。
如能被20，26，28，45，91，99整除的数的特征等。
我们研究整除特性有了有利的工具。
二、例题：例1、 整数6427B A 能被72整除，这个数有那些可能？例2、 四位数Y X 47能被18整除，要使这个四位数尽可能小，那么这个四位数是多少？例3、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、7整除，这个七位数最小是多少？例4、一个六位数BA1997，能被99整除，A和B各是多少？例5、在532后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，这样的六位数中最小的是□□□□□□。
例6、已知45|YX1993,求所有满足条件的六位数？三、练习A卷、基本能力训练154能被72整除，求X+Y是多少？1、XY2、1997□□□能被4、5、6整除，那么这个七位数最小是多少？3、一个能被11整除的最小四位数，去掉它的千位上和个位上的数字以后，是一个同时能被2、3、5整除的最大的两位数。
小学五年级奥数--数的整除特征(1)
4、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____
5、 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数 能被11整除, 方格内应填_____。
6、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们 分别能被2 3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
应用举例（一） 判断一个数能不能被整除
• • • • 例1、 ①判断35112能不能被7、11、13整除 ②33333333468375能不能被125整除 ③1234567891011121314能不能被3和9整 除
• ①判断35112能不能被7、11、13整除 • 回忆：能被7、11、13整除的数的特征： • 末三位数字与前面的数字的差（大减小） 能被7、11、13整除。 • 解： 112－35＝77 • 因为 7∣77 ， 11∣ 77， 13 77 • 答：35112能被7和11整除，但不能被13整 除。
数的整除性质3
• 性质3： • 如果b、c都能整除a，且b和c 互质 ， 那么b、c的积能整除a 。 • 即：如果b︱a ， c︱a 且（b，c）＝1， 那么 bc︱a。 • 例如 8︱324685008 ， 9︱324685008 且（8，9）＝1， • 那么 72︱324685008。
数的整除性质4
第一单元 数的整除特征
熟记整除的性质，以及能被2、3、 4、5、7、8、9、11、13、25、125整 除的数的特征，能应用性质和特征解决 简单的数字问题及生活中的问题
（一）整除——约数、倍数
• 像15÷3＝5，63÷7＝9这样， • 一般的，如果a、b、c为整数，b≠0，且 a÷b＝c，即整数a除以整数b所得的商正好 等于c且没有余数，我们就说a能被b整除 （或者说b能整除a），记作：b︱a， • 否则，称a不能被b整除（或b不能整除a）， 记作：b a
五年级思维拓展- 数的整除特征
数的整除特征知识要点整数是人类最早接触的最简单、最基础的数，因此，也是最早开始研究的数。
研究整数的性质及其运算的科学叫数论。
数的整除是数论的基础知识，熟悉和掌握有关数的整除概念、性质及其特征，为我们解决整除问题带来了方便。
1、整除的概念如果一个自然数a被一个非0自然数b除，余数为0，则称a能被b整除，记作a｜b，如15能被3整除，记作3｜15。
2、整除的性质性质1 如果数a，b都能被c整除，则（a+b）与（a-b）也能被c 整除。
性质2 如果数a能被b整除，c为整数，则积ac也能被b整除。
性质3 如果数a能被b整除，b又能被c整除，则a也能被c整除。
性质4 如果数a能同时被b，c整除，且b，c互质，则a能被b，c之积整除。
1、数的整除特征①任何数都不能被0整除，0能被任何数整除。
②任何自然数都能被1整除。
③能被2或5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除。
④能被3或9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
如123的各位数字之和是1+2+3=6,6能被3整除，不能被9整除，则123能被3整除，不能被9整除。
⑤能被4或25整除的数的特征：末两位数能被4或25整除。
如7684的末两位是84，84能被4整除，则7684能被4整除，再如7150的末两位是50，,50能被25整除，则7150能被25整除.⑥能被8、125整除的数的特征：末三位数能被8、125整除。
⑦一个数能够被11整除的特征：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个自然数能被11整除，否则这个数不能被11整除。
⑧能被7、11、13整除的数的特征：如果一个整数的奇千位数之和与偶千位数的数之和的差（大数减小数）能被7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除，否则这个数不能被7、11、13整除。
延伸：对于没有给出的一些数的整除特征，如6,12,15，……如何判断一个数能否被这些数整除呢，显然6=2×3,12=3×4，……等号右边的两个因数之间除1外没有相同因数，于是可以把一个数能否被6整除转化为同时能被2和3整除，把一个数能否被12整除转化为同时能被3和4整除.☜精选例题【例1】：五位数b a135能被9整除，这个五位数是多少？☝思路点拨：由一个数能被9整除的特征，应该有9｜（5+a+1+3+b），即要9｜（a+b）。
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整除的特征
一、性质
1、如果整数A、B都能被C整除，那么他们的和A+B或差A-B也能被C整除。
例如：8整除64，8整除24，那么8整除64+24或64-24
2、如果A能被B整除，B能被C整除，那么A能被C整除。
例如：30能被15整除，15能被5整除，那么30能被5整除。
二、数的整除特征
能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8。
能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数。
能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。
能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。
能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。
能被7、11、13整除的数的特征：末三位数与末三位数以前的数所组成的数之差能被7、11、13整除。
一个三位数连续写偶数次，所得的数能被7、11、13整除
三、例题与练习
例1、判断下面的数是否能整除。
例2、判断下面的数是否能整除。
例题3、四位数2□2□能同时被8、9整除，那么这个四位数是多少？
练习1、在3□2□的方框里填入合适的数字，使这个四位数能被15整除，这样的四位数中最大的是多少？
例题4、将1、2、3、4这四个数任意排列，可组成若干个四位数，在这些四位数中，能被11整除的数最小是多少？能被4整除的数最小是多少？
练习3、由1、2、3这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数有哪些？
练习4、从0、3、5、7这四个数中选择三个数，排成一个三位数，使它能同时被2、3、5整除，这样的三位数最大的是哪个？
练习5、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，这个六位数最小是多少？
例5、某个七位数1993口口口能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?
**例6、已知数022983298329832983
个 n 能被18整除，那么n 的最小值是多少？
**例7、三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a 和b ，将它连续重复写
99次成为：
ab
ab ab ab 5个99555。
如果此数能被91整除，那么这个三位数ab 5是多少？
四、作业
1、四位数45□□能同时被4、9整除，这个四位数最小是多少？
2、六位数36□2□□能同时被
3、
4、5整除，这个六位数最大是多少？
3、用0、2、3、5、6这五个数字中的四个能组成能被11整除的四位数，这些四位数中最小的一个是多少？
4、七位数23□354□能被72整除，两个□中的数的乘积是多少？
5、已知五位数3□6□5是75的倍数，这样的五位数最大的一个是多少？
6、由1、2、5、6、
7、9这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？
7、已知四十一位数55……5□99……9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？。