高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2平面向量基本定理及坐标表示课件文
高考数学一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示课
A．(－2，7)
B．(－6，21)
C．(2，－7)
D．(6，－21)
解析：(1)设点 B 的坐标为(x，y)，则A→B＝(x＋1，y－5)． 由A→B＝3ɑ，得xy＋－15＝＝69，，解得xy＝＝51，4. (2)B→C＝3P→C＝3(2P→Q－P→A)＝6P→Q－3P→A ＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)．
2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行 向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题的关 键是根据平面向量基本定理列出关于 λ，μ的方程组．
(1)已知平面向量ɑ＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量12ɑ－32b
＝( )
A．(－2，－1)
B．(－2，1)
C．(－1，0)
解析：(1)由ɑ∥b，得 sin 2θ＝cos2θ，即 2sin θcos θ＝cos2 π
θ，因为 0＜θ＜ 2 ，所以 cos θ≠0，整理得 2sin θ＝cos θ.所以 tan θ＝21.
(2)若点 A，B，C 能构成三角形，则向量A→B，A→C不共线． ∵A→B＝O→B－O→A＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)， A→C＝O→C－O→A＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， ∴1×(k＋1)－2k≠0，解得 k≠1.
D．3
解析：(1)∵在梯形 ABCD 中，DC＝2AB， ∴D→C＝2A→B.设点 D 的坐标为(x，y)， 则D→C＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)． A→B＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，
∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即(4－x，2－y)＝(2，－2)，
∴4－x＝2 ，解得x＝2，
答案：(1)12 (2)k≠1
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二、走近高考
3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，动点 P 在以点 C
→→ → 为圆心且与 BD 相切的圆上。若AP＝λAB＋μAD，则 λ＋μ 的最大值为( )
A．3
B．2 2
C． 5 D．2
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考点二 平面向量的坐标运算
【例 2】 (1)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，
→→ 且BC＝2AD，则顶点 D 的坐标为( )
A．2，27 C．(3,2)
B．2，－12 D．(1,3)
→
→
→→
解析 (1)设 D(x，y)，AD＝(x，y－2)，BC＝(4,3)，又BC＝2AD，所以
→→
→
C(2,3)，|BC|＝2|AC|，则向量OB的坐标是________。
→→ →
→
解析 (1)由点 C 是线段 AB 上一点，|BC|＝2|AC|，得BC＝－2AC。设
2－x＝－2，
x＝4，
点 B 为(x，y)，则(2－x,3－y)＝－2(1，2)，即3－y＝－4， 解得y＝7。
→ 所以向量OB的坐标是(4,7)。
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一、走进教材 1．(必修 4P99 例 8 改编)若 P1(1,3)，P2(4,0)且 P 是线段 P1P2 的一个三等分 点，则点 P 的坐标为( ) A．(2,2) B．(3，－1) C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
2020高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2平面向量基本定理及坐标表示课件文
解析：(1)2a＋b＝(4,2)，因为 c∥(2a＋b)，所以 4λ＝2，得 λ＝12. (2)由题意，得 a＋b＝(1,4)，由(a＋b)∥c，得 1×k＝4×(－2)， 解得 k＝－8.
答案：(1)12 (2)－8
悟·技法 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数 的取值时，则利用“若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条 件是 x1y2＝x2y1”解题比较方便．
【知识重温】
一、必记 3 个知识点 1．平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个①不共线向量，那么对于这一 平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝②λ1e1＋λ2e2. 我们把不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一 组③基底．
2．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴④同向的两个单位 ⑤向量 i、j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一对实 数 x，y，使得 a＝⑥xi＋yj，则有序数对(x、y)叫做向量 a 的坐标， 记作⑦a＝(x，y)，其中 x，y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上的坐标，a ＝(x，y)叫做向量 a 的坐标表示，相等的向量其⑧坐标相同，⑨坐 标相同的向量是相等向量．
(4)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b⇔⑱x1＝x2 且 y1＝y2.
二、必明 3 个易误点 1．若 a、b 为非零向量，当 a∥b 时，a，b 的夹角为 0°或 180°， 求解时容易忽视其中一种情形而导致出错． 2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完 全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息． 3．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件不能表示 成xx12＝yy12，因为 x2，y2 有可能等于 0，应表示为 x1y2－x2y1＝0.
高考数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2平面向量基本定理及坐标表示高三全册数学
A.－12，5 C.12，－5
B.12，5 D.－12，－5
解析：A→C＝A→B＋A→D＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)， ∴O→C＝12A→C＝12，5.∴C→O＝－12，－5.
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考点三 平面向量共线的坐标表示
【例 3】 (1)若 A，B，C，D 四点共线，且满足A→B＝
(3a,2a)(a≠0)，C→D＝(2，t)，则 t 等于( B )
3 A.4
4 B.3
C．3
D．－3
(2)已知向量 a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且 a∥b，则 m＝__－___6___.
(3)设向量 a，b 满足|a|＝2 5，b＝(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则
a 的坐标为______(_－__4_，__－___2_)____．
若P→A＝(4,3)，P→Q＝(1,5)，则B→C＝_(_－__6_,_2_1_).
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【解析】 (1)M→N＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设 N(x，y)，则M→N＝(x－5，y＋6)＝(－3，6)， 所以xy－ ＋56＝ ＝6－，3， 即xy＝ ＝20.， (2)∵A→Q＝P→Q－P→A＝(－3,2)， ∴A→C＝2A→Q＝(－6,4)． ∵P→C＝P→A＋A→C＝(－2,7)，∴B→C＝3P→C＝(－6,21)．
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方法技巧 (1)向量共线的两种表示形式 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b ⇔x1y2－x2y1＝0. (2)两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线问题；另外， 利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.2 平面向量基本定理及其坐标表示课
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.2 平面向量基本定理及其坐标表示课时规范训练 理 北师大版[A 级 基础演练]1．(2014·高考福建卷)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)解析：由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2)．答案：B2．e 1，e 2是平面内一组基底，那么( )A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析： 对于A ，∵e 1，e 2不共线，故λ1＝λ2＝0正确；对于B ，空间向量a 应改为与e 1，e 2共面的向量才可以；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定与e 1，e 2共面；D 中，根据平面向量基本定理，λ1，λ2应是惟一一对．答案：A3．(2016·郑州质检)已知△ABC 中，平面内一点P 满足CP →＝23CA →＋13CB →，若|PB →|＝t |PA →|，则t 的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：由题意可知PB →＝CB →－CP →＝CB →－⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →＝23(CB →－CA →)＝23AB →，同理可得PA →＝－13AB →，∴|PB →|＝2|PA →|，即t ＝2.答案：C4．(2015·高考江苏卷)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n∈R )，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－35．(2016·荆州模拟)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝________.解析：AB →＝(4－k ，－7)，AC →＝(－2k ，－2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴－2(4－k )－14k ＝0，解得k ＝－23.答案：－236．(2016·江西南昌模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为__________．解析：由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎨⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为|OP |＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.答案：167．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，B －*4/5)， ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →， ∴2(B －*4/5)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，B －*4/5)＝2(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，B －*4/5＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． 解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明：当t 1＝1时， 由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)， ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)， AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴A ，B ，M 三点共线．[B 级 能力突破]1．(2015·高考湖南卷)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：法一：AC 为Rt △ABC 的斜边，则AC 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，故AC 必经过原点，如图，则PA →＋PC →＝2PO →，|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋PB →|≤2 |PO →|＋|PB →|，当P ，O ，B 三点共线时取等号，即当B 落在点(－1,0)处时|PA →＋PB →＋PC →|取得最大值，此时，PO →＝(－2,0)，PB →＝(－3,0)，2 |PO →|＋|PB →|＝2×2＋3＝7，故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7.法二：同解法一，得|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋PB →|. 又PB →＝OB →－OP →，∴|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋OB →－OP →|＝|OB →－3 OP →| ＝OB →2＋9 OP →2－6 OB →·OP →＝ 12＋9×22－6×1×2cos∠POB ＝37－12cos ∠POB ≤37＋12＝7，当且仅当∠POB ＝180°时取“等号”，故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7. 法三：同法一，得|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋PB →|.设B (cos α，sin α)，则|2 PO →＋PB →|＝|2(－2,0)＋(cos α－2，sin α)|＝|(－6＋cos α，sin α)|＝－6＋cos α2＋sin 2α＝37－12cos α≤37＋12＝7(当cos α＝－1，即B 落在点(－1,0)处时取等号)．故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7. 答案：B2．(2016·保定模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由p ∥q 得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°.答案：B3．(2016·河北邯郸一模)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn等于( )A ．－2B ．2C ．－12D.12解析：由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12，故选C.答案：C4．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消去a 得λ＝12.答案：125．如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰好为P ，则AP →＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，连接BP ，则AP →＝AC →＋CP →＝b ＋PR →①AP →＝AB →＋BP →＝a ＋RP →－RB →② ①＋②得，2AP →＝a ＋b －RB →③ 又RB →＝12QB →＝12(AB →－AQ →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12AP →④ 将④代入③得，2AP →＝a ＋b －12(a －12AP →)，解得AP →＝27a ＋47b .答案：27a ＋47b .6．(2014·高考湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．解析：设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)．∴|OA →＋OB →＋OC →|＝x －2＋y ＋32.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为－2＋＋32＝7，故x －2＋y ＋32的最大值为7＋1.答案：7＋17．已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示． (1)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标； (2)求使f (c )＝(p ，q )(p 、q 为常数)的向量c 的坐标；(3)证明：对任意的向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立． 解：(1)∵a ＝(1,1)，∴f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)． 又∵b ＝(1,0)，∴f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p ，2y －x ＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p －q ，y ＝p ，∴c ＝(2p －q ，p )．(3)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a＋n b＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，∴f(m a＋n b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．∵mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，∴mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，∴f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b)成立．。
2017版高考数学一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第二节 平面向量的基本定
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示【最新考纲】 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任意向量ɑ，有且只有一对实数λ1，λ2，使ɑ＝λ1e 1＋λ2e 2．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量ɑ，有且只有一对实数x 、y ，使ɑ＝xi ＋yj ，把有序数对(x ，y)叫做向量ɑ的坐标，记作ɑ＝(x ，y)．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设ɑ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则ɑ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，ɑ－b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λɑ＝(λx 1，λy 1)，|ɑ| (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标为向量的坐标．②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 4．平面向量共线的坐标表示设ɑ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0.ɑ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，AB →，AC →可以作为基底．( )(2)在△ABC 中，设AB →＝ɑ，BC →＝b ，则向量ɑ与b 的夹角为∠ABC.( ) (3)若ɑ，b 不共线，且λ1ɑ＋μ1b ＝λ2ɑ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (4)若ɑ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则ɑ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(2015·四川卷)设向量ɑ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 解析：∵ɑ∥b，∴2×6－4x ＝0，解得x ＝3. 答案：B3．已知平面向量ɑ＝(2，－1)，b ＝(1，3)，那么|ɑ＋b|等于( ) A ．5 B.13 C.17 D ．13解析：因为ɑ＋b ＝(2，－1)＋(1，3)＝(3，2)， 所以|ɑ＋b|＝32＋22＝13. 答案：B4．已知向量ɑ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2ɑ－b ＝( ) A ．(5，7) B ．(5，9) C ．(3，7) D ．(3，9)解析：2ɑ－b ＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)． 答案：A5．在下列向量组中，可以把向量ɑ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)解析：由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，ɑ＝(3，2)＝2e 1＋e 2)．答案：B一个区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝ɑ，点A 的位置被向量ɑ唯一确定，此时点A 的坐标与ɑ的坐标统一为(x ，y)．但表示形式与意义不同，如点A(x ，y)，向量ɑ＝OA →＝(x ，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息．两点提醒1．若ɑ，b 为非零向量，当ɑ∥b 时，ɑ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．2．若ɑ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则ɑ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0，不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.三个结论1．若ɑ与b 不共线，λɑ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.3．平面向量的基底中一定不含零向量．一、选择题1．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：A2．已知向量ɑ＝(3，1)，b ＝(0，－2)．若实数k 与向量c 满足ɑ＋2b ＝kc ，则c 可以是( )A ．(3，－1)B ．(－1，－3)C ．(－3，－1)D ．(－1，3)解析：∵ɑ＋2b ＝kc ，∴(3，1)＋2(0，－2)＝kc ，则c ＝1k (3，－3)．答案：D3．(2016·朝阳一模)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14 D ．1 解析：∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →.∴λ＋μ＝12(x ＋y)＝12.答案：A4．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R)，则称(x ，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量α在基底p ＝(1，－1)，q ＝ (2，1)下的坐标为(－2，2)，则ɑ在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2)解析：∵ɑ在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)，即ɑ＝－2p ＋2q ＝(2，4)，令ɑ＝xm ＋yn ＝(－x ＋y ，x ＋2y)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.∴ɑ在基底m ，n 下的坐标为(0，2)． 答案：D5．(2016·大连模拟)已知平面向量ɑ＝(1，x)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，y －1，若ɑ与b 共线，则y ＝f(x)的最小值是( )A ．－92B ．－4C ．－72D ．－3解析：因为ɑ与b 共线，所以y －1－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3＝0，则y ＝12x 2－3x ＋1＝12(x －3)2－72，所以当x ＝3时，y min ＝－72.答案：C6．已知ɑ，b 是不共线的向量，AB →＝λɑ＋b ，AC →＝ɑ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：∵A、B 、C 三点共线，∴存在实数t ，满足AB →＝tAC →，即λɑ＋b ＝t ɑ＋μtb ，又ɑ，b 是不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t 1＝μt ，∴λμ＝1. 答案：D二、填空题7．已知两点A(－1，0)，B(1，3)，向量ɑ＝(2k －1，2)，若AB →∥ɑ，则实数k 的值为________． 解析：因为A(－1，0)，B(1，3)，所以AB →＝(2，3)． 又因为AB →∥ɑ，所以2k －12＝23，故k ＝76.答案：768．(2015·江苏卷)已知向量ɑ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m ɑ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵mɑ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n)＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－39．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且ɑ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量ɑ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________．解析：由题意，设e 1＋e 2＝m ɑ＋nb. 因为ɑ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m(e 1＋2e 2)＋n(－e 1＋e 2)＝(m －n)e 1＋(2m ＋n)e 2. 由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.即e 1＋e 2＝23ɑ－13b.答案：23ɑ－13b三、解答题10．(2016·郑州一中月考)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝ɑ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b.(1)求3ɑ＋b －3c ；(2)求满足ɑ＝mb ＋nc 的实数m 、n 的值； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得ɑ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3ɑ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴M(0，20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋ (－3，－4)＝(9，2)， ∴N(9，2)， ∴MN →＝(9，－18)．11．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且OP →＝OA →＋tAB →(t∈R)，问： (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在二、四象限角平分线上？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 解析：(1)∵O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)， ∴OA →＝(1，2)，AB →＝(3，3)， OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t)． 若P 在x 轴上，只需2＋3t ＝0，t ＝－23；若P 在第二、四象限角平分线上，则 1＋3t ＝－(2＋3t)，t ＝－12.(2)OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t)， 若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，即⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，此方程组无解． 所以四边形OABP 不可能为平行四边形．。
2022版高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第二讲 平面向量的基本定理及
学习资料2022版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第二讲平面向量的基本定理及坐标表示学案（含解析）新人教版班级：科目：第二讲平面向量的基本定理及坐标表示知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个__不共线__向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2使a＝__λ1e1＋λ2e2__.知识点二平面向量的坐标表示在直角坐标系内,分别取与__x轴，y轴正方向相同__的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a,有唯一一对实数x，y，使得：a＝x i＋y j，__(x,y)__叫做向量a的直角坐标，记作a＝（x,y），显然i＝__（1,0）__，j＝(0,1），0＝__（0，0）__.知识点三平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝（x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__（x1＋x2,y1＋y2）__，a－b＝__(x1－x2,y1－y2）__，λa＝__(λx1，λy1）__，｜a｜＝__错误!__.（2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1）,B(x2,y2），则错误!＝__（x2－x1,y2－y1)__，|错误!|＝__错误!__。
知识点四向量共线的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2）,则a∥b⇔__x1y2－x2y1＝0__。
错误!错误!错误!错误!两个向量作为基底的条件：作为基底的两个向量必须是不共线的．平面向量的基底可以有无穷多组．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)（2）若a,b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2，μ1＝μ2。
(√）（3)若a＝(x1，y1）,b＝（x2,y2），则a∥b的充要条件可表示成错误!＝错误!.(×）(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．（√)(5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二走进教材2．(必修4P 100T2改编）(2021·北京十五中模拟）如果向量a ＝(1，2），b ＝(4，3）,那么a －2b ＝( B ）A ．(9,8)B ．(－7，－4）C ．(7，4)D ．(－9,－8）［解析］ a －2b ＝（1，2）－（8，6）＝（－7,－4），故选B ．3．（必修4P 101A 组T5改编）下列各组向量中，可以作为基底的是( B ）A ．e 1＝(0，0），e 2＝（1，2)B ．e 1＝（－1，2）,e 2＝（5，7)C ．e 1＝（3,5）,e 2＝（6，10）D ．e 1＝(2，－3),e 2＝错误!［解析] A 选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 选项中,不存在实数λ，使得e 1＝λe 2.故两向量不共线,故其可以作为基底；C 选项中，e 2＝2e 1，两向量共线，故其不可以作为基底;D 选项中,e 1＝4e 2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B ．题组三 走向高考4．(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A （0,1)，B （3,2)，向量错误!＝（－4，－3），则向量错误!＝( A )A ．(－7,－4)B ．(7，4）C ．（－1,4)D ．(1，4)［解析］ 设C （x ，y ），∵A (0,1），错误!＝(－4，－3），∴错误!解得错误!∴C （－4,－2），又B （3,2)，∴错误!＝(－7，－4)，选A ．5．（2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝（1，2），b ＝（2，－2），c ＝（1，λ）．若c ∥（2a＋b ),则λ＝__12__。
(全国版)高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2平面向量的基本定理及向量坐标运
第二节 平面向量的基本(jīběn)定理及向量坐标
运算
第一页，共73页。
第二页，共73页。
第三页，共73页。
【知识梳理】 1.平面向量基本定理
不共线
(1)定理:如果(rúguǒ)e1,e2是同一平面内的两(ɡ个òn_ɡ______向量,
那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一xi对àn实)数
表
AB,AC CP.
示
CP 2 CA 1 CB, 【解析】因为 3 3
所以 3CP 2CA CB,
即 2CP 2CA CB CP,2AP PB,
所以 AP 1 AB, 3
CP AP AC 1 AB AC. 3
第二十四页，共73页。
2.在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？
(2)(2016·福州模拟)在△ABC中，点P是AB上一点，
且
CP
2
CA
1
,Q是BC的中点(zhōnɡ
CB
diǎn)，AQ与CP
的交点为3 M, 3
又 CM tCP, 则实数t的值为______.
第十九页，共73页。
【解题导引】(1)利用基底的概念来逐一判断. (2)首先利用条件确定P点的位置,再利用平面向量基本定理 (dìnglǐ)确定基底,从而联立方程得t.
1 ，
第二十一页，共73页。
(2)因为 CP 2 CA 1 CB，
所以
33
3CP 2CA CB，
即
所以2CP 2CA CB CP，
即P为2AAPB的P一B.个三等分点(靠近A点)，
又因为A，M，Q三点(sān diǎn)共线，设
2020版高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表示课件文
[规律方法] 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题 策略
(1)利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数
的取值时，利用“若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件
是 x1y2＝x2y1”解题比较方便． (2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已
B．－2e1－4e2 D．3e1－e2
C [根据向量的减法和加法的三角形法则知 a－b＝e1－3e2，故 选 C．]
解析答案
[规律方法] 平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法 则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并 运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来 解决． 易错警示：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题 带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
平面向量共线的坐标表示
【例 2】 已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线？ (2)若A→B＝2a＋3b，B→C＝a＋mb 且 A，B，C 三点共线，求 m 的 值．
[解] (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵ka－b 与 a＋2b 共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即 2k－4＋5 ＝0，得 k＝－12.
答案
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，
高三数学(理)一轮复习课件第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入
【解析】 (1)如图①，连接 OC、OD、CD，由点 C、D 是半圆弧的三等分点，有∠A OC ＝∠COD＝∠BOD＝60°，且 OA ＝OC＝OD，则△OA C 与△OCD 均为边长等于圆 O 的半 径的等边三角形，所以四边形 OA CD 为菱形，所以A→D＝A→O＋A→C＝12A→B＋A→C＝12a＋b.
【阅后报告】要求在正确理解即时给出的新定义的前提下， 通过逐项判断来找到正确答案.在判断中需要在反复运用共线 向量定理和向量数乘运算性质的同时，正确运用反证法的思 想.
1.（2013·四川卷)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点
O，AB＋AD＝λAO，则λ＝
.
【解析】由向量加法的平行四边形法则，得AB＋AD＝AC.
D． 4 3
【解析】 （1）由于 AB 、 AC 分别是与 OA 、 OC 有相同方向的单 AB AC
位向量，且 OP
OA
AB AB
AC AC
，即
AP
AB AB
AC AC
，
∴动点轨迹是过内心的一条直线，故选 A.
（2） 由OA OB OC =0，知 O 为△ABC 的重心，
（5）相等向量：长度 相等 且方向 相同 的向量. （6）相反向量:长度 相等 且方向 相反 的向量.
【思考探究】两向量平行与两直线（或线段）平行有何不同? 提示：平行向量也叫共线向量,这里的“平行”与两直线（或线段） 平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至 起点都可以相同.
又O是AC的中点，∴AC＝2AO，
∴AC＝2AO，∴AB＋AD＝2AO.
又AB＋AD＝λAO，∴λ＝2.
高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2平面向量的基本定理及坐标表示课件文
答案：49a＋59b
3．设 e1，e2 是平面内一组基向量，且 a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2， 则向量 e1＋e2 可以表示为另一组基向量 a，b 的线性组合，即 e1＋e2 ＝________a＋________b.
所以(2－λ)a－b＝x2a－53b. 因为 a 与 b 不共线，由平面向量基本定理，
得2－－1λ＝＝－2x53，x， 故 λ＝45.
解得 xλ＝ ＝3545， .
【总结反思】 应用平面向量基本定理的注意事项
(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充 要条件，把相关向量用这一组基底表示出来． (2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量， 常借助图形的几何性质，如平行、相似等． (3)强化共线向量定理的应用.
又因为 A，M，Q 三点共线，设A→M＝λA→Q. 所以C→M＝A→M－A→C＝λA→Q－A→C ＝λ12A→B＋12A→C－A→C＝2λA→B＋λ－2 2A→C， 又C→M＝tC→P＝t(A→P－A→C) ＝t13A→B－A→C＝3t A→B－tA→C.
解析：由题意，设 e1＋e2＝ma＋nb. 因为 a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2， 所以 e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. 由平面向量基本定理，得
m－n＝1， 2m＋n＝1，
所以 mn＝＝－23，13.
答案：23 －13
【解】 (1)由题意知，A 是 BC 的中点，且O→D＝23O→B，由平 行四边形法则，得O→B＋O→C＝2O→A，所以O→C＝2O→A－O→B＝2a－b， D→C＝O→C－O→D＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
高考数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2平面向量基本定理及向量坐标运算文
平面向量、数系的扩充(kuòchōng)与复数的引入
2021/12/12
第一页，共四十一页。
第2节 平面向量 基本定理 (xiàngliàng) 及向量坐标运算
2021/12/12
第二页，共四十一页。
考纲考情
考向预测
从近三年高考情况来看，本节是高考中 1. 了 解平 面向 量 的 基本定理及其意义． 的热点．预测 2020 年将主要考查平面
在一起考查的解答题，属于中档题.
2021/12/12
第三页，共四十一页。
课堂探究(tànjiū) 考点突 破
真题模拟(mónǐ)演练
2021/12/12
第四页，共四十一页。
课堂探究 考点突破
2021/12/12
第五页，共四十一页。
考点一 平面向量基本定理及其应用
(1)在△ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且B→D
2021/1结论探究 2】 典例中条件不变，求三角形 ABC 的重心 G 的坐 标．
解：设 AB 的中点为 P，O 为坐标原点， 因为C→G＝23C→P， 所以O→G＝13O→C＋23O→P＝13O→C＋13(O→A＋O→B)， 所以O→G＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13((－2,4)＋(3，－1)＋(－3，－ 4))＝－23，－13，所以重心 G 的坐标为－23，－13.
解析：解法一：连接 AC(图略)，由A→B＝λA→M＋μA→N，得 A→B＝λ·12(A→D＋A→C)＋μ·12(A→C＋A→B)， 则μ2－1A→B＋λ2A→D＋2λ＋μ2A→C＝0， 得μ2－1A→B＋λ2A→D＋2λ＋μ2A→D＋12A→B＝0， 得14λ＋34μ－1A→B＋λ＋μ2A→D＝0. 又A→B，A→D不共线，
高考数学大一轮复习-第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第2课时 平面向量基本定理及其坐标表示
1
2
A.3
B.3
4 C.3
D．2
解析：法一(坐标法)：建立如图所示直角坐标系，则A(0,0)， B(1,0)，C(0,2)，
由A→P＝λA→B，A→Q＝(1－λ)A→C可得P(λ，0)，Q(0,2－2λ)， 则B→Q＝(－1,2－2λ)，C→P＝(λ，－2)， 所以B→Q·C→P＝－λ＋4λ－4＝3λ－4＝－2，即λ＝23，故选B.
1．(2015·高考四川卷)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则
实数x＝( )
A．2
B．3
C．4
D．6
解析：∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.
答案：B
2．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)， (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线； (2)若 A→B ＝2a＋3b， B→C ＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的 值． 解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)． a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0， 即2k－4＋5＝0，得k＝－12.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1) ，|A→B|
＝ x2－x12＋y2－y12
.
4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0， 则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
易错分析 易误认为“a与b的方向相反⇔a∥b”致使设a＝ λb出现增解(4,2)．
失分警示 (1)向量共线的条件掌握不准导致错解或无法解 题．
(2)混淆向量共线与向量垂直的充要条件．
高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第二节平面向量基本定理及坐标表示教师用书理
第二节平面向量基本定理及坐标表示☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．平面向量基本定理(1)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
(2)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。
2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝x i＋y j，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y。
3．平面向量的坐标运算4．向量共线的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0。
微点提醒1．能作为基底的两个向量必须是不共线的。
2．向量的坐标与点的坐标不同，向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但由于向量的坐标均为终点坐标减去起点坐标，故平移后坐标不变。
3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0。
小|题|快|练一 、走进教材1．(必修4P 99例8改编)设P 是线段P 1P 2上的一点，若P 1(1,3)，P 2(4,0)且P 是P 1P 2的一个三等分点，则点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．(3，－1)C ．(2,2)或(3，－1)D ．(2,2)或(3,1)【解析】 由题意得P 1P →＝13P 1P 2→或P 1P →＝23P 1P 2→，P 1P 2→＝(3，－3)。
设P (x ，y )，则P 1P →＝(x －1，y －3)，当P 1P →＝13P 1P 2→时，(x －1，y －3)＝13(3，－3)， 所以x ＝2，y ＝2时，即P (2,2)。
高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2平面向量的基本定理及坐标表示课时训练
2019年高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2 平面向量的基本定理及坐标表示课时跟踪检测理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2 平面向量的基本定理及坐标表示课时跟踪检测理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2 平面向量的基本定理及坐标表示课时跟踪检测理的全部内容。
4。
2 平面向量的基本定理及坐标表示[课时跟踪检测][基础达标］1．已知M(3，－2）,N(－5，－1)，且错误!＝错误!错误!,则P点的坐标为( ）A．（－8，1) B．错误!C。
错误!D．(8，－1)解析:设P（x，y),则错误!＝(x－3，y＋2）．而错误!错误!＝错误!(－8,1）＝错误!，∴错误!解得错误!∴P错误!.故选B。
答案：B2．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，错误!＝x错误!＋y错误!，且错误!＝2错误!，则( )A．x＝错误!,y＝错误!B．x＝错误!，y＝错误!C．x＝错误!，y＝错误!D．x＝错误!，y＝错误!解析：由题意知OP→＝错误!＋错误!，又错误!＝2错误!，所以错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!－错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!，所以x＝2，y＝错误!.3答案：A3．已知向量a＝(5,2），b＝(－4，－3）,c＝(x,y),若3a－2b＋c＝0，则c＝（)A．（－23，－12）B．（23,12)C．（7，0）D．（－7，0）解析：由题意可得3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y）＝（0，0),所以错误!解得错误!所以c＝（－23，－12）．答案：A4．已知点A（2,3），B（4，5)，C(7,10)，若错误!＝错误!＋λ错误!(λ∈R），且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为( ）A。
高考数学一轮总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.2平面向量的基本定理及坐标表示课件理
第十五页，共39页。
3
考点疑难突破
第十六页，共39页。
平面(píngmiàn)向量基本定理及其应用
[题 组 训 练] 1．(2017 年江苏卷)如图，在同一个平面内，向量O→A，O→B，O→C的模分别为 1,1， 2，O→A与O→C的夹角为 α，且 tanα＝7，O→B与O→C的夹角为 45°.若O→C＝mO→A＋nO→B(m， n∈R)，则 m＋n＝________.
考情分析
第三页，共39页。
考点分 布
考纲要求
平面向量的基本定理及坐标表
示
平面向 (1)了解平面向量的基本定理及
量的 其意义．
基本 定理 及坐
(2)掌握平面向量的正交分解及 其坐标表示．
标表 (3)会用坐标表示平面向量的加
示 法、减法与数乘运算．
(4)理解用坐标表示的第平四页，共面39页。 向量
考点频 率
第十页，共39页。
2．已知点 A(－1,5)和向量 a＝(2,3)，若A→B＝3a，则点 B 的坐标为( )
A．(7,4)
B．(7,14)
C．(5,4)
D．(5,14)
解析：设点 B 的坐标为(x，y)，则A→B＝(x＋1，y－5)．
由A→B＝3a，得xy＋ －15＝ ＝69， ， 解得xy＝ ＝514，. 故选 D. 答案：D
必修(bìxiū)部分
第四章 平面向量(xiàngliàng)、数系的扩充与复数 的引入
第二节 平面向量(xiàngliàng)的基本定理 及坐标表示
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【解析】 A→B＝(3,1)，B→C＝A→C－A→B＝(－7，－4)，选A.
【答案】 A
(2)(2015·江苏卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma ＋nb＝(9，－8)，(m，n∈R)，则m－n的值为________．
【解析】 由a＝(2,1)，b＝(1，－2)，可得ma＋nb＝ (2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)，
(1)(x1±x2，y1±y2) (2)(x2－x1，y2－y1) (3)(λx，λy) (4)x1y2＝x2y1
【调研1】 (1)(2015·课标卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向
量A→C＝(－4，－3)，则向量B→C＝( )
A. (－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
【解析】
因为A→P
＝ A→B ＋ B→P ＝ A→B ＋k
B→N＝
由已知可得2mm－＋2nn＝＝9－，8. 解得mn＝＝52，， 从而m－n＝－3. 【答案】 －3
(3)(2016·沈阳三校模拟)向量 A→B 与向量a＝(－3,4)的夹角为 π，|A→B|＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标是( )
A．(－7,8) B．(9，－4) C．(－5,10) D．(7，－6)
点，点C在第二象限，且∠AOC＝56π，O→C＝－2O→A＋λO→B(λ∈
R)，则λ＝( )
A．－12
1 B.2
C．－1
D定义， 可设C－ 23r，12r. ∵O→C＝－2O→A＋λO→B，
∴－ 23r，12r＝(－2,0)＋(λ， 3λ)，
平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的 法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先 求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原 则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.
突破考点 02
平面向量基本定理
（重点得分——师生共研）
(2) 代数方法：即建立坐标系，由已知条件求得O→P，e1，
e2的坐标，通过方程来求解．
(3)线性方法：用基底e1，e2表示出与
→ OP
相等的向量，进
而表示出O→P＝xe1＋ye2.
(2016·济南调研)如图，在△ABC中，A→N＝13N→C，P是BN上 的一点，若A→P＝mA→B＋121A→C，则实数m的值为________．
1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于 这一平面内的任意向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝ ________. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量 的一组________．
2．平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的 两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且 只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对________叫做 向量a的坐标，记作a＝________，其中________叫做a在x轴 上的坐标，________叫做a在y轴上的坐标．
平面向量基本定理的应用技巧
对于基底e1，e2明确后，平面内任意向量
→ OP
＝xe1＋ye2
中，x，y的求法一般有三种思路：
(1)几何方法．用平行四边形法则，分解
→ OP
在e1，e2两个
方向的分向量为O→A，O→B，则易知O→A＝xe1，O→B＝ye2，且|x|＝
→
→
|O|e1A| |，|y|＝|O|e2B| |.
突破考点01 突破考点02 突破考点03
高考真题演练 课时作业
突破考点 01
向量的基本概念
（基础送分型——自主练透）
平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝________； (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝________； (3)若a＝(x，y)，则λa＝________； (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔________.
(2)设
→ OA
＝xi＋yj，则向量
→ OA
的坐标(x，y)就是________
的坐标，即若
→ OA
＝(x，y)，则A点坐标为________，反之亦成
立．(O是坐标原点)．
1.不共线 有且只有 λ1e1＋λ2e2 基底 2．(1)(x，y) (x，y) x y (2)A (x，y)
【调研2】 (1)已知两点A(1,0)，B(1， 3 )，O为坐标原
【解析】 由题意，设A→B＝(3a，－4a)(a>0)． 又|A→B|＝10，∴ 3a2＋－4a2＝10， 解得a＝2. 设B(x，y)，有A→B＝(x－1，y－2)＝(6，－8)． ∴xy－ －12＝ ＝6－，8 ⇒xy＝ ＝7－，6. 故B(7，－6)．
【答案】 D
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
考纲下载 1．了解平面向量基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
请注意
本节内容在高考中一般不单独命题，常是结合向量的 其他知识命制综合性的小题，多属于中低档题，问题常涉 及以下几个方面：1结合向量的坐标运算求向量的值，2 结合平面向量基本定理考查向量的坐标表示，3结合向量 的垂直与共线等知识，求解参数问题.
－ ∴
23r＝λ－2，
12r＝ 3λ，
解得λ＝12.
【答案】 B
(2)如图所示，|O→A|＝|O→B|＝1，|O→C|＝ 3，∠AOB＝60°， O→B⊥O→C，设O→C＝xO→A＋yO→B.求实数x，y的值．
【解】 过C作CD∥OB，交OA的反向延长线于点D，连 接BC，由|O→B|＝1，|O→C|＝ 3，O→B⊥O→C，得∠OCB＝30°.又∠ COD＝30°，∴BC∥OD，∴O→C＝O→D＋O→B＝－2O→A＋O→B，∴ x＝－2，y＝1.