第四章N-C公式
《传热学》课后习题答案-第四章
t k i，j 1 t k i，j t k i，j 1 t k i , j r r rj rj r 2 r 2 rj r
并简化，可以得出与上式完全一样相同的结果。
4-7、 一金属短圆柱在炉内受热厚被竖直地移植到空气中冷却， 底面可以认为是绝热的。为用数值法确定冷却过程中柱体温 度的变化， 取中心角为 1rad 的区域来研究 （如本题附图所示） 。 已知柱体表面发射率，自然对流表面传热系数，环境温度， 金属的热扩散率，试列出图中节点（1，1） ， （M,1）(M,n)及 （M,N） 的离散方程式。 在 r 及 z 方向上网格是各自均分的。 解：应用热平衡法来建立四个节点点离散方程。 节点（1，1） ：
， 离散方程的建立 4-5、试将直角坐标中的常物性无内热源的二维稳态导热微分方程化为显式差分格式，并指 出其稳定性条件（ x y) 。 解：常物性无内热源二维非稳态方程微分方程为
4.3636t 2 2.53t1 1.8336t f
t2
2.53t f 1.8336t f
2t 2t t a x 2 y 2
Bi=0.1,1,10 的三种情况计算下列特征方程的根
n (n 1,2,6) :
n a Fo 2 0.2 并用计算机查明，当 时用式（3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计
算中用前六项之和来替代）可能引起 的误差。 解： n Bi 0.1 1.0 10
tan n
第四章
复习题 1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。 2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。 3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似， 为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。 4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数 用差分公式表示来建立。试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方 程的异同与优劣。 5．对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？试分析比较之． 6．什么是非稳态导热问题的显示格式？什么是显示格式计算中的稳定性问题？ 7．用高斯－塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解？不能得出收敛的解 时是否因为初场的假设不合适而造成？
化工原理-第四章-传热
d12
d1
4 d2 d1
入口效应修正 在管进口段，流动尚未充分发展，传热边界层较
薄，给热系数较大，对于l d1 60 的换热管，应考虑进口段对给 热系数的增加效应。故将所得α乘以修正系数：
l
1 d l
0.7
弯管修正 流体流过弯曲管道或螺旋管时，会引起二次环流而强
化传热，给热系数应乘以一个大于1的修正系数：
水和甘油：T ↗ ↗ 一般液体： T ↗ ↘ 纯液体＞溶液
气体的导热系数：
T ↗ ↗ P ↗ 变化小 极高P ↗ ↗
气体导热系数小，保温材料之所以保温一般是材料中空 隙充有气体。
18
三、平壁的稳态热传导
1.单层平壁的热传导
t1 t2
b
t Q t1
t2
0 bx
b：平均壁厚，m； t：温度差，oC；
4
❖ 一、传热过程的应用
物料的加热与冷却 热量与冷量的回收利用 设备与管路的保温
❖ 二、热传递的三种基本方式
热传导 热对流 热辐射
5
1. 热传导（又称导热）
热量从高温物体传向低温物体或从物体内部高温部 分向低温部分传递。
特点：物体各部分不发生相对位移，仅借分子、原 子和自由电子等微观粒子的热运动而引起的热量 传递。
8
3. 热辐射
因热的原因而产生的电磁波在空间的传递， 称为热辐射。
热辐射的特点：
①不需要任何介质，可以在真空中传播；
②不仅有能量的传递，而且还有能量形式 的转移；
③任何物体只要在热力学温度零度以上， 都能发射辐射能，但是只有在物体温度较高时， 热辐射才能成为主要的传热方式。
9
二、间壁传热与速率方程
41
物化公式归纳
物化公式归纳 第一章化学热力学基础公式总结1.体积功 We = -Pe ^V2 •热力学第一定律的数学表达式△U = Q +W 3. n mol 理想气体的定温膨胀过程 .定温可逆时： V iF 2Wmax=-Wmin=nRT ln nRT ln -V 2F4.焓定义式 H = U + FV 在封闭体系中，W =0 ,体系发生一定容过程 Qv = △ U 在封闭体系中，W =0 ,体系发生一定压过程 Qp = H2 -H1 = △ H5.摩尔热容 Cm ( J K-1 mol-1 ):C m 定容热容CV T2 U = T nC v ,m dTT 1(适用条件：封闭体系、无相变、无化学变化、适用对象：任意的气体、液体、固体物质 W' =0定容过程 )定压热容Cp 丁2= T nC p,m dT T1(适用条件：封闭体系、无相变、无化学变化、W' =0的定压过程适用对象：任意的气体、液体、固体物质 ) 单原子理想气体:Cv,m = 1.5R , Cp,m = 2.5R 双原子理想气体:Cv,m = 2.5R, Cp,m = 3.5R 多原子理想气体:Cv,m = 3R , Cp,m = 4R Cp,m = Cv,m + R6.理想气体热力学过程△ U 、△ H 、Q 、W^H A S 的总结C p dT△ Cp ( T2 - T1)10.热机的效率为 对于卡诺热机 W Q 亠 Q 2Q 2--- zzj -------------- =1 "r ： Q Q [ ---------------- Q [W Q 1 Q Q 1Q|★ ~T 2 T 1可逆循环过程不可逆循环过程11.熵变定义式 (体系经历一可逆过程的热温商之和等于该过程的熵变.)7. 定义：△ fHm 9 (kJ mol-1)-- 标准摩尔生成焓 △ H —焓变；△ rHm —反应的摩尔焓变 △ rHm 9 — 298K 时反应的标准摩尔焓变；△ fHm 9 (B) — 298K 时物质B 的标准摩尔生成焓； △ cHm 9 (B) — 298K 时物质B 的标准摩尔燃烧焓。
无机化学常用公式小全
无机化学常用公式小全1：理想气体状态方程pv=nrt（该公式的各类变体参见第四章）2：实际气体状态方程。
⎢p实+a⎢⎢(v实-nb)=nrt⎢v⎢⎢⎢⎢⎢3：混合气体的分压定律p总=∑pipi=p总gxi=p总4：graham气体蔓延定律=u(b)b(b)=n(b)n(b)或m(b)=m(a)m(a)n(b)m(b)w(b)=vm，x(剂)=n(剂)=n液n质+n剂n(剂)5：质量摩尔浓度，物质的量浓度，质量浓度和摩尔分数则表示方法。
c(b)=n液n质+n剂n(质)6：raoult定律n质+n剂n(质)n剂n(质)p=p*g（x剂）∆p=p*g（x质）=p*k’b=kb(k=p*k’)7:沸点升高公式∆tb=k’∆p=kbb∆tf=k’∆p=kfb8：溶液渗透压公式∏=crt∏v=nrt常用物理量一览表（无论x是什么量）1：∆x=x(终)-x始2：w=-p外g∆v3：（热力学第一定律）∆u=q+w4：恒容反应热（1）∆u=qv（2）qv=-cg∆t（3）qv1∆t1⇒qv1=qv21（推论1）∆t2∆t2m1q1mq=22（推论2）m2∆t1m2∆t25：恒压反应热（1）h=u+pvqp=∆u-w=∆u+p外∆v=(u2-u1)+(p2v2-p1v1)=(u2+p2v2)-(u1+p1v1)=∆h6：qp与qv的关系（1）qp=qv+∆nrt（2）∆rhm=（3）∆rhm=∆rum+∆νrt（备注：左右两边的单位为j·mol-1）7：标准分解成冷的应用领域∆rhm=∑vi∆fh（生成物）-v∆h（∑mifm反应物）θθθ∆rhm=∑vi∆ch（m反应物）-∑vi∆ch（m生成物）（注意反应物与生成物的前后顺序。
）s=klnω(k=1.38⨯10-23jk-1)（注：该公式只在恒温可逆过程中成立）tθθθ∆rsm=∑vis（m生成物）-∑vis（m反应物）10：吉布斯自由能∆ru=q+w体+w非⇒q=∆ru+w体+w非=∆ru+(-p∆v)+w非=∆rh-w非qr=t∆s≥∆rh-w非-(∆h-t∆s)≥-w非-⎢⎢(h2-h1)-(t2s2-t1s1)⎢⎢≥-w非-⎢⎢(h2-t2s2)-(h1-t1s1)⎢⎢≥-w非-[g2-g1]=-∆g≥-w非(g=h-ts)11：标准生成吉布斯自由能∆rgm=∑vi∆fg（生成物）-v∆g（∑ifm反应物）m∆rgm=∆rhm-t∆rsm1：反应平均速率v(a)=2：反应瞬时速率c(a)2-c(a)1t2-t1∆c(a)⎢∆c(a)⎢dc(a)v(a)=lim-⎢=∆t→0∆tdt⎢⎢aa+bb=cc+ddv=k⎢⎢c(a)⎢⎢⎢⎢c(b)⎢⎢（注：k是反应速率常数，m，n称为a,b浓度的幂指数，不一定等于反应系数，三者皆可以通过实验测得。
物理化学 第四章 多组分系统热力学
Vm
T,p一定
V*m,C VC
V*m,B VB
d c· b·
0 B
a xC
C
图4.1.2 二组分液态混合物的 偏摩尔体积示意图
若B，C形成真实液态混合物： 则混合物体积为由V*m,B至V*m,C的曲线。对于任一 组成a时，两组分的偏摩尔体积可用下法表示： 过组成点a所对应的系统体积点d作Vm-xC曲线的 切线，此切线在左右两纵坐标上的截距即分别 为该组成下两组分的偏摩尔体积VB，VC。
B
系统中各广度量的偏摩尔量： 对于多组分系统中的组分B，有： 偏摩尔体积： VB=(ƽV/ƽnB)T,p,n C 偏摩尔热力学能： UB=(ƽU/ƽnB)T,p,n C 偏摩尔焓： HB=(ƽH/ƽnB)T,p,n C 偏摩尔熵： SB=(ƽS/ƽnB)T,p,n C 偏摩尔亥姆霍兹函数：AB=(ƽA/ƽnB)T,p,n C 偏摩尔吉布斯函数： GB=(ƽG/ƽnB)T,p,n
C
几点说明： (1)偏摩尔量为两个广度性质之比，所以为强度 性质； (2)偏摩尔量的定义中明确是在恒温、恒压及系 统组成不变的条件下，偏导数式的下标为T，p 时才是偏摩尔量； (3)同一物质在相同温度、压力但组成不同的多 组分均相系统中，偏摩尔量不同； (4)若系统为单组分系统，则该组分的偏摩尔量 与该组分的摩尔量相等，即： XB=X*B，m
C
=VB (数学知识：二阶偏导与求导的顺序无关) 得证。
4.2化学势 4.2化学势
1.化学势的定义 混合物(或溶液中)组分B的偏摩尔吉布斯函数GB 定义为B的化学势，用符号μB表示：
μB = GB=(ƽG/ƽnB)T,p,n
def
C
对于纯物质，其化学势等于它的摩尔吉布斯函 数。
第四章N-C公式
解:
对于 f ( x) x
1
I x 0 dx h
0
h
I2 h
对于 f ( x) x
对于 f ( x) x2
I
h 0
I
h
0
h x dx 2
1
2
h2 I2 2
h x dx 3
2
3
h3 I2 ah2 [0 2 h] ( 1 2 a )h 3 2 2
直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大
而如果增加节点个数 ,即n 1增加时
公式的舍入误差又很难得到控制
为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用
复化方法
即将积分区间 [a , b]分成若干个子区间
然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式
最后将每个小区间上的积分的近似值相加
Simpson公式的余项为
R( S ) R( I 2 ) a R2 ( x)dx
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 1度
Cotes公式及其余项
ba 取n 4 , 则 xk a kh , k 0 ,1, , 4 , h 4 1 4 7 (4) (t 1)( t 2 )(t 3)( t 4)dt Cotes系数为 C0 4 4! 0 90
因此
I ( x j ) I2 ( x j )
j 0,1,2,3
I ( x4 ) I2 ( x4 )
所以该积分公式具有3次代数精确度
设函数f ( x) C[a , b]
将积分区间 [a , b]分割为n等份
各节点为
xk a kh , k 0,1,, n
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
2 ( I Mu ) 0
2 I M 0
特征方程
对于二个自由度系统：
2 2 1 - m m 1 1 1 1 2 2 0 2 2 21m -22m 1 1 2
展开整理
1 m m 1 1 1 2 22 2 m m ( )0 12 1 1 2 2 1 2 2 1 4
U 带入公式 T m a x m a x 得：
T { u } K{ui } 2 i ni {ui }T M {ui }
4-2-7
利用4-2-7精确计算多自由度振动系统的固有频率，前 提条件是需要已知系统的振型，这是无法做到的。但 振动系统的一阶振型的近似值一般可以预测，大都数 情况下与其静载荷作用下产生的静变形十分接近。 例如例4-2-1所给出的振动问题，若取 u 1 1 1 代入式4-2-7进行试算：
2 2 J k a c l o
k a c l 0 即 J o
2 2
振动系统固有频率：
k a2 k a2 3 k a2 n 3 1 Jo m l 3 m l 3
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统
二．能量法 原理： 对于单自由度无阻尼自由振动系统，其响应为简谐振 d (T U ) 0 。在静平衡 动，系统 T Uc o n s t或 dt U 0 ,T T 位置，势能为0，动能达到最大，即： m a x。 在最大位移处，动能为0，势能达到最大， U U ,T 0 即： 。所以有： m a x
其点矩阵形式的动力方程为为第n段单元对转轴的转动惯量图434扭转振动单元状态向量表示gigd第4章固有频率的实用计算方法432传递矩阵法分析圆轴的扭转振动传递矩阵法的计算第n段单元的传递矩阵系统的传递矩阵的计算公式仍然可以表示为第4章固有频率的实用计算方法432传递矩阵法分析圆轴的扭转振动算法流程图图435a所示的一端固定一端自由的圆轴作扭转自由振动其中材料的切变模量为g密度为用传递矩阵法计算一阶固有频率
N-C公式2物理信息 (16)
如果g ′( x*) = g ′′( x*) = = g ( p 1) ( x*) = 0
而g ( p ) ( x*) ≠ 0
g ( p ) ( x*) ( x x*) p + g ( x ) = g ( x*) + p!
数计学院数计学院-黄陈思
g ( p ) ( x*) ( xk x*) p + xk +1 = g ( xk ) = g ( x*) + p!
x k + 1 = x k arctan x k ( 1 + x k2 )
若取初值 x 0 = 2
收敛
x0 = 2 x1 = -3.54 x2 = 13.95 x3 = -279.34 x4 = 122017
发散
数计学院数计学院-黄陈思
非线性方程迭代法的加速
对于迭代法
xk +1 = g ( xk )
用牛顿法解方程x e 1 = 0
x
取x0 = 0.5,迭代3次得到解
若采用x = e 的形式需17次;
可见用牛顿法收敛速度很快.
牛顿法应用举例
数计学院数计学院-黄陈思
x
评价:牛顿法的优点是收敛速度快. 评价:牛顿法的优点是收敛速度快. 缺点是每一步都要计算f(x) 的导数, 缺点是每一步都要计算f(x) 的导数, 计算量大且有时计算较困难; 计算量大且有时计算较困难; 二是初始值要取到根附近才能保证收敛. 二是初始值要取到根附近才能保证收敛. 如何克服以上缺点? 如何克服以上缺点?
数计学院数计学院-黄陈思
无论前面哪种迭代法: Newton迭代法 简化Newton法 弦截法
是否收敛均与初值的位置有关 如
f ( x ) = arctan( x ) = 0
基础工程,课件,第四章, 桩基础
挤土桩—打入或压入，预制桩或沉管灌注桩。挤土 使土密实，但打入有噪声，挤土会发生漂桩，还会 破坏周边设施 非挤土桩—钻、挖孔桩，桩长、桩径可较大，可穿 越硬土层。无挤密效果，但有些土（饱和软粘土） 本不可挤密。 部分挤土桩—钻小口径孔，再打入，或钢管、砼管桩
4、按荷载传递方式分
摩 擦 桩 摩擦型桩 端承摩擦桩
）
（c）嵌岩桩
以往按端承设计，欠妥：桩不很短时侧阻部分发挥；嵌深 段有侧阻，嵌深>5d则端承极小。
Quk Qsபைடு நூலகம் Qrk Qpk
Qsk u si q sik li
i 1 n
所以嵌深度过大无用
Qrk u r f rc hr
Qpk p f rc Ap
si—侧阻发挥系数。当l/d<30，桩端岩石好，无沉渣时， 对粗粒土取0.7、细粒土取0.8; 其余情况取1.0
2、按桩的制作方法分
预制桩—质量易保证、现场整洁、用时间少， 但配筋由运输、打桩控制，配筋率较大，长度 不可过大，现场接桩、截桩难。
灌注桩—钻孔、放钢筋笼、浇砼。尺寸灵活，
还可扩头，配筋率可以小，但现场脏，质量难
保证，例断桩、缩颈、露筋、清底不充分等。
3、按设臵效应分
—是否挤土
例上海某电话局机务大楼，打桩使周 边房屋破坏，赔40万。解决方法：挖 地沟、合理安排打桩顺序。
1、Q~S曲线拐点法 取明显拐点处荷载为Qu；
对于d(b)550mm的预制桩，在Qi+1作用下， Si 1 其 0.1mm / KN时，取Qi作为Qu ; Qi 1 Q~S无陡降段时，Qu取S＝40mm处相应荷载。
2、S~logt曲线(沉降速率)法 特点：
3、S~logQ法 特点：
环境工程设计第四章计算题公式总结
第四章计算题1.“以新带老”削减量的计算课本P62 改扩建与技术改造项目的污染物排放量包括改扩建与技术改造前污染物的实际排放量；改扩建和技术改造项目计划实施的自身污染物排放量；实施治理措施后能够实现的污染物削减量（以新带老削减量），统称为“三本账”。
「例」某企业对锅炉进行技术改造并增容，现有SO2排放量是100t/a（未加脱硫设施），通过技改后，SO2产生量为120t/a，安装了脱硫设施SO2最终排放量为40t/a。
请问：以新带老的削减量为？解：本题以新带老削减量的含义：原有锅炉加上脱硫设施后，SO2排放量比原来未加脱硫设施时SO2排放量减少了多少。
脱硫设施的脱硫效率：（120-40）/120=66.7%原有锅炉加脱硫设施后的排放量为：100*（1-66.7%）=33.3t/a以新带老削减量=100-33.3=66.7t/a「例」原产品产量3000吨，产生COD150吨，技术改造扩建后，产品年产量5000吨，每吨产品耗水量不变，产生COD100吨，问以新带老的量？解：以新带老的削减量为150-（100/5000）*3000=90吨2.污染物排放量的计算方法实测法：Gj=KCjQTGj：废水废气中j种污染物的排放量tK：单位换算系数(废水10-6，废气10-9)Cj：j种污染物的实测浓度，mg/LQ：单位时间废水或废气的排放量m3/hT：污染物排放时间，h课本「例」P64「例」某厂共有两个污水排放口，第一排放口排放废水400t/h，COD的平均浓度为300mg/L,第二排放口排放废水500t/h,COD的平均浓度为120mg/L，该厂全年连续工作，求该厂全年COD的排放量。
解：该厂全年工作时间365*24=8760hGcod=（400*300*10^-6+500*120*10^-6）*8760=1576.8t/a物料衡算G投入=G产品+G流失课本「例」P65，66，67关于例题4-4，以Cr为衡算对象G投入就是铬铁矿粉真正转化的Cr的质量，不要忘记乘以转化率G产品就是生产的重铬酸钠中Cr的质量，不要忘记乘以其纯度G处理就是回收的废水中的Cr的质量G流失包含废水中未回收的Cr和废渣中的Cr「例」某电镀企业每年用铬酸酐4t，其中约15%的铬沉淀在镀件上，约有25%的铬以铬酸雾的形式排入大气，约有50%的铬从废水中流失，其余的都损耗在渡槽上，则全年从废水中排放的六价铬是（）t（已知：铬元素原子量为:52）解：CrO3中的分子量比值52/100废水中排放Cr：4*50%*52%=1.04t3.废气排放计算(1)锅炉燃料耗量计算B=D（i”-i’）/(Qη)B:锅炉燃料耗量I”:锅炉在工作压力下的饱和蒸汽热焓值i'：锅炉热晗值，给水温度20摄氏度时，i'=83.75kJ/kgQ：燃料应用基的低位发热值η：锅炉的热效率(2)理论空气需要量固体燃料理论空气需要量：V0=8.89wc+26.5wH+3.33wS-3.33wO(注：此处的w是带有百分号的）（3）燃烧产生的烟气量：Vy=1.866wc+0.7wS+0.8wN+1.24wW+11.1wH+1.016αV0-0.21V0 +1.244GmwW:水的百分含量Gm：使用1kg雾化燃油的蒸汽量，kg。
电工电子技术第4章三相异步电动机
T
临界转差率sm
讨论
Tmax
（1）Tmax与电源电压U1的平方成正比，但sm（临界转 速nm ）与U1无关 n a 过载系数
U K 2 X 20
Tmax
2 1
R2 sm X 20
TN
nm
0.8U1
U1
b
过载系数是表示电动机稳定运 行的重要数据,同时也表示了 电动机容许的短时过载运行能 0 力
U U1 U
iU
U1
V W
W1
iV iW
V1
V W
iV W1
iW
V1
相序U-V-W
相序U-W-V
改变电动机的旋转方向
12
（三）旋转磁场的转速 同步转速n1---r／min（每分钟的转数）
以上分析的是二极旋转磁场（磁极对数 p=1），交流电 变化一个周期，旋转磁场在空间旋转一周
交流电频率f1=50Hz，则 同步转速 n1 =50×60=3000r／min。
36
3.最大电磁转矩Tmax 最大电磁转矩Tmax 机械特性临界点所对应的电磁转矩, 又称临界转矩，所对应的转差率称为临界转差率sm Tmax是在一定的电源电压U1 下电动机能够提供的最大电 磁转矩 最大电磁转矩Tmax
n a
nm
b
Tmax
U K 2 X 20ห้องสมุดไป่ตู้
R2 sm X 20
2 1
0
c
Tm
n=n1 Sm
0
S
理想空载 ①以最大电磁转矩Tm对应的转差率Sm为界,分为具有不 同特性的两段 稳定运行区 0b段 非稳定运行区 ba段
（ 0＜S＜Sm ） （ S＞Sm ） 特性 T ∝S 特性 S↑→T↓
第四章机器人的动力学
n
1
v Ci
v Ci
1 2
i Ii i )
T
1
[m 2
i 1 n
i
(J L q ) J L q (J A q ) IiJ A q ]
(i) (i) T (i) T T
1
(m 2
i 1
i
q
JL
(i)T
JL q q
(i)
二、机器人静力学关系式推导
以2自由度机械手为例，要产生图a所示的虚位移 , ， r ， 则图b所示各力 , 和 F 之间的关系：
1 2
1
2
由 虚 功 原 理 知 ： 1 1 2 2 F r 0 即： 1
2
1 F 2
当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度
，惯
性张量
与作用力矩N之间满足欧拉方程：
IC (IC ) N
——欧拉运动方程
Ic R
3 3
是绕重心 c 的惯性矩（转动惯量） N 回转力矩
， I c的各元素表示对应的力
矩元素和加速度元素间
的惯性矩；
回转角速度；
对于对于zz轴轴于是于是12联立可得联立可得对于一般形状连杆对于一般形状连杆除第33分量以外其它分量皆不为分量以外其它分量皆不为00的第1122分量成为改变轴方向的力矩但在固定分量成为改变轴方向的力矩但在固定轴场合与这个力矩平衡的约束力生成轴场合与这个力矩平衡的约束力生成22式中的式中的1122分分量不产生运动
由虚功原理得：
F A x A FB x B 0 即 ： F A L A F B L B 0 ( F A L A F B L B ) 0 F A L A FB L B 0 FB LA LB FA
第四章 流动阻力和水头损失
2.粗糙区：希弗林松公式
k 0.11 d
0.25
3.舍维列夫公式: 适用于旧钢管和旧铸铁 管 紊流过渡区,v≤1.2m/s
m3 2.0
雷诺实验揭示了沿程水头损失与流速的关系。当
v<vc时，hf～v1.0；当v>vc时， hf～v1.75～2.0 。
发现了流体流动中存在两种性质不同的形态，即
层流和紊流： 层流——流体呈层状流动，各层质点互不掺混； 紊流——流体质点的运动轨迹极不规则，各层 质点相互掺混，且产生随机脉动。
切应力分布:
r 0 r0
1.切应力分布 2.层流、紊流均适用
§4-4 圆管中的层流运动
1.流动特性
流体呈层状流动，各层质点互不掺混
层流中的切应力为粘性切应力
du dy
其中 y=r0-r
Hale Waihona Puke du dr2.断面流速分布
du 牛顿内摩擦定律 dr r 又 g J 2
总水头损失=沿程水头损失+局部水头损失
二、流动阻力
hw——流体粘性引起
1.沿程阻力——沿程损失(长度损失、摩擦损失)
l v hf d 2g
λ——沿程阻力系数
2.局部阻力——局部损失
2
达西-魏斯巴赫公式
v hj 2g
ζ——局部阻力系数
2
3.总能量损失
**说明几点
hw h f h j
d ux u x y l1 u x y l1 dy d ux u x u x y l1 u x y l1 dy
（2） 横向脉动速度 u x
第4章 理想气体的热力过程
dT dp − Rg T p
5、功与热量的计算 ①开口系： dwt=- vdp= 0 q=Δh+wt=Δh-vdp=Δh=cpΔT
dT 由于dp= 0，有： ds = c p T
dT 比较定容与定压过程，有： ds =
v
dT T = ds cp
dT T > ds cv =
p
T cp
定压线斜率小于 定容线斜率
2
1
故在p~v图上定熵线较定温线陡。
w=
wt
Rg Rg RgT (T1 − T2 ) = (T2 − T1 ) = k −1 1− k 1 1− k k −1 ⎡ ⎤ RgT1 ⎛ T2 ⎞ RgT1 ⎢ ⎛ p2 ⎞ k ⎥ ⎟ = ⎜1 − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎟ 1− ⎜ ⎜ k − 1 ⎝ T1 ⎠ k − 1 ⎢ ⎝ p1 ⎠ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
n −1
n 因 pvn 为常数，所以： w = pv n ∫ dv = pv n ∫ v − n dv = pv n
1
2
v
1
v 1− n = pv 1− n 1 1− n 1
2
2
Δs = cv ln(
T2 T ) + Rg ln( ) T1 T1
1 2 1− n
T Rg T Rg ⎤ T2 ⎡ = cv ln( 2 ) + ln( 2 ) = cv + ln( ) ⎢ T1 1 − n T1 1− n⎥ ⎣ ⎦ T1
4.1 分析热力过程的目的与方法
1、目的
选择最佳过程用于工程实践，提高热能和机械能转换效率。
2、方法
基于热力学第一定律找出Δu、Δh、 Δs、w、q 之间的关系。 （1）基本前提：① 热力学第一定律 ② 理想气体 ③ 过程可逆（或准静态过程） 四个基本热力过程：
布拉德福定律
布拉德福将表1中旳科学期刊按其刊登论文 数量旳大小, 期刊分为包括同等数量论文旳三 个区。 （见表3）
其中：9：59：258≈1：5：25（BACK）
两个学科旳期刊分区表
布拉德福定律旳基本原理
所以，布氏定律能够描述为：假如将科学期刊按 其刊登某个学科旳论文数量旳大小,以渐减顺序排列,那 么能够把期刊分为专门面对这个学科旳关键区和涉及 着与关键区同等数量论文旳几种区。这时,关键区与相 继各区旳期刊数量成1:ａ:ａ2……旳关系。”
Ji J a i1 k J1aki1
区域法旳发展
（i=1,2, … ,k
k=2,3, … ,m)
式中，J1为关键区(第1区)旳期刊量，ak＞1，是J期 刊群k个区旳布拉德福系数。
因为总论文数A和期刊数J已经拟定了，一般说来a将 伴随分区数k旳增长而降低。而且存在着区域划分旳 一种最大值m，显然，这时关键J1和am应是最小旳。
区域法旳发展
高夫曼旳最小关键区与最大划分 1、研究目旳 1969年W．高夫曼等人，从研究血吸虫病和肥大细 胞旳详细文件入手，寻找拟定最大划分和最上关键旳 措施。 2、 假定有一群期刊数为J，总共刊登有关某一学科旳 论文数为A。将该群期刊按其刊登有关论文数量递减约 原则排序，继之再提成具有论文量相等旳k个区域，每 个区域有期刊J1，J2，…，Jk。由布拉德福定律可知
布拉德福定律形成旳背景
20世纪30年代旳出版背景 1、文摘开始占据主导地位 2、大量文摘“求全而录” 3、图书馆馆际合作不顺利，UDC推广不普遍。 当初科学发展旳背景 1、文件分散旳普遍性 2、科学统一性原则旳决定作用 3、文件统计研究旳兴起
布拉德福定律
布拉德福与其助手兰开斯特-琼斯所做旳工作 布拉德福定律旳基本原理 文件旳紊乱
高中数学第四章数列4.1第2课时数列的递推公式同步课件新人教A版选择性必修第二册
5.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+3,则a3=
答案 5
解析 由Sn=n2+3可知a3=S3-S2=32+3-(22+3)=5.
.
6.已知数列{an}满足
a1=1,an+1=an+ (n∈N*),求数列{an}的通项公式.
+1
解 由题意显然 an>0,
答案 C
解析 A,B中没有说明第一项,无法递推;D中a1=2,a2=4,a3=8,不合题意.
4.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2),则a6=(
A.7
B.11
C.16
D.17
)
答案 C
解析 ∵a1=1,an-an-1=n-1,∴a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4,a6-a5=5,
A.0
2
B. 5
C.2
D.5
答案 B
解析 由题意,得a2=ma3+1,
即3=5m+1,
2
解得m= 5 .
)
3.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是(
)
A.an=an-1+2(n≥2)
B.an=2an-1(n≥2)
C.a1=2,an=an-1+2(n≥2)
D.a1=2,an=2an-1(n≥2)
何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,称T为这个函数的一
个周期.
2.周期数列:对于数列{an},如果存在正整数k,使得an+k=an对一切正整数n都
第四章n阶线性微分方程
式中比例常数c(>0)叫作弹性系数，根据所取的坐标系，恢复力f1的方向与位移x的方向相反，所以上式右端添一负号．
(2)空气的阻力f2，当速度不太大时，空气阻力f2可取 为与物体B位移的速度成正比，亦即 式中比例常数(>0)叫作阻尼系数，式中右边的负号， 是由于阻力f2的方向与物体B
的速度
的方向相反．
(4.5) 方程(4.5)的初始条件记为
(4.6) n 阶线性微分方程与第三章讲过的一阶线性微分方程组有着密切的关系，即可以把前者化成后者，而且二者是等价的，这 样就可以把前者作为后者的特例加以处理. 在方程(4.5)中，令
,(4.5)就可以化成一阶方程组
(4.7)
(4.7)可以写成向量形式
(4.8) 其中
与时间 及点的坐标 的关系为
且质点在时刻 经过点 ，求该质点的运动轨迹。
因为
和
,所以这个问题其实就是求一阶微分方程组
的满足初始条件
的解 。 另外，在n阶微分方程
（1.12）
中,令
就可以把它化成等价的一阶微分方程组
注意，这是一个含n个未知函数 的一阶微分方程组。
第四章 线性微分方程
第17讲 n 阶线性微分方程的一般理论 第18讲 n 阶常系数线性齐次方程的解法 第19讲 n 阶常系数线性非齐次方程的解法 第20讲 二阶常系数线性方程与振动现象
4.1.1 线性微分方程的一般概念
n阶线性微分方程在自然科学与工程技术中有着极其广泛的应用．在介绍线性方程的一般理论之前，先让我们来研究一个实际例子. 例1 弹簧振动.
设一质量为m的物体B被系于挂在顶板上一弹簧的末端， (我们将假设弹簧的质量与这一物体的质量比较起来是小的 可以忽略不计的)，现在来求该物体在外力扰动时的运动微 分方程式． 当物体B不受外力扰动时，重力被作用于物体B上的弹 簧的弹力所平衡而处于静止位置，把物体B的静止位置取 为坐标轴x的原点0，向下方向取为正向，如图4-1的(a). 若有一外力f(t)沿垂直方向作用在物体B上，那么物体B 将离开静止位置0，如图4- 1
核反应堆热工基础-第四章
（2）自然对流的传热系数 自然对流是流体内部密度梯度引起的运动过程，其 运动的强度取决于温度梯度的大小及流体运动空间的大 小。 在核工程中，自然对流传热对反应堆的正常冷却及 事故分析都具有重要意义。例如自然循环沸水堆正常工 况下的传热计算，压水堆、钠冷快堆的事故分析以及乏 燃料贮存水池或运输容器中燃料元件的散热计算等，都 会遇到自然对流传热问题。 计算自然对流传热系数的公式可表示为如下形式：
2. 两相流的传热系数
（1）基本概念 • 多相流：多种物相在同一个系统内一 起流动。 多组分多相流 单组分多相流
• • 沸腾：液体受热超过其饱和温度时，在液体内部和 表面同时发生剧烈汽化的现象。 欠热沸腾（过冷沸腾）：流体处于未饱和状态即流 体温度低于饱和温度的沸腾现象。 饱和沸腾：若液体的主体温度达到或超过饱和温度， 气泡脱离壁面后会在液体中继续长大，直至冲出液 体表面，这样的沸腾称为饱和沸腾。
在环状流情况下，含汽量较高，核心中蒸汽流速可 能相当高，致使汽-液交界面上产生很大的扰动。在环 状流区域内的传热系数可采用Chen推荐的公式：
h 0.08513 S
.79 0.45 0.49 0.24 0.75 0.25 K0 c ( T T ) p g f f w s c f .29 0.24 0.24 0.5 0 H f g
目前计算间隙总热传导系数的方法大致有三类： ①气隙导热模型 ②气隙导热和接触导热混合模型 ③经验数值
目前，国外设计轻水动力堆，一般是采用间隙传 热系数的经验值，典型值取hg ＝5678 W ·m-2 ·℃-1 ，以此作为整个运行过程中可能出现的最低值。
3. 包壳中的温度降
包壳也可看作是一个没有热源的固体薄层，热量传递靠导 热作用，适用于导热微分方程，解得
最新版商务与经济学完整版商数公式
第四章--微分Rules of Differentiation1.基本求导公式（1）(C)'=0 p252（2）(x n)’=nx n-1 p245（3）P333 与复合函数求导结合(e x)’=e x(e mx)=e mx*mlnmx=1/mx*m（4）(lnx)'=1/x p334（5）h(x)=cf(x) then h’(x)=cf’(x) p2512.导数的四则运算加法和减法法则h(x)=f(x)+g(x) then h’(x)=f’(x)+g’(x) P252乘法法则(uv)’=u’v+uv' P278（u、v为可导函数）商法则(u/v)'=(u'v-uv')/v2 △ P2813.The chain rule链式法则p276（复合函数求导）如果y是一个关于u的函数，u本身是关于x的函数，则：dy/dx=dy/du * du/dx4.反函数求导法则设函数y=f(x)在某一区间单调、连续，又在该区间内一点x处导数f'(x)存在且不为零，则反函数x=u(y)在对应点y处存在导数u'(x)，且有u'(x)=1/f'(x)4.1和4.2高中学过导数的跳过~4.3边际函数Marginal Functions主要任务:三个领域中的应用1.收益和成本--计算边际收益MR（marginal revenue）和边际成本MC（marginal cost）主用公式：2.2：p129/p131/p132*P与Q的关系式（题目中会给出）若P（price价格）为常数，P与Q（quantity 数量）无关，则为完全竞争市场；若P为关于Q的表达式，则为垄断市场，P 随Q的增加而下降。
1*TR=PQ（TR总收益-total revenue,P-price,Q-sales of Q goods)2*π=TR-TC（π利润profit，因以用p表示price，所以此处用π表示profit）3*TC=FC+（VC）Q(TC总成本-total cost，FC固定成本-fixed cost，VC可变成本-variable cost）4*AC=TR/Q(AC平均成本-average cost)4.3公式1* MR=TR'边际收益是总收益对需求量的导数 p262同理，MC=TC'边际成本是总成本对产出的微分p267（一定将TR、TC写成关于Q的表达式而非关于P的表达式，求导后才是MR、MC）2*Δ(TR)≈MR×ΔQ p264 ΔTR的近似计算公式2. 生产--计算劳动边际产出MP L(marginal product of labour)；证明边际产出递减规律MP L=dQ/dL边际产出是产出对劳动的微分（Q关于L的函数）（Q产量-output，L劳动力-labour）若证明边际产出递减规律，则再对MP L求导，证明其恒<0）3. 消费和储蓄--计算边际消费倾向MPC(marginal propensity to consume)和边际储蓄倾向MPS(marginal propensity to save)用到1.6内容Y国民收入-national income，C消费-consumption，S储蓄-savingsC=aY+b（0<a<1,a为边际消费倾向即MPC）Y=C+SMPC+MPS=1MPC=C'(Y) MPS=1-MPC4.5弹性Elasticity主要任务：1.计算弧弹性和点弹性；需求函数的价格弹性Price elasticity of Demand(经济学中一般用来衡量需求的数量随商品的价格的变动而变动的情况)☆因需求函数中P上升（价格）时，Q（需求数量）下降，即ΔP>0时，ΔQ<0，为使E符号位正，求时需加负号E= －需求变化的百分数/价格变化的百分数☆弧弹性Elasticity averaged along an arc(题目给出两点,两点平均，不用求导）E=－ΔQ/ΔP * P/QΔQ=Q2-Q1,ΔP=P2-P1 , P=(P1+P2)/2 ,Q=(Q1+Q2)/2☆点弹性Elasticity at a point（在一点的弹性，需求此点的导数）E=－Q’P *P/QQ’P=1/P’Q供给函数的价格弹性Price Elasticity of Supply除了应去掉负号外与需求函数价格弹性公式都相同因供给中P（价格）上升时，Q（企业产出数量）上升，即ΔP>0时，ΔQ>0，E为正，故前不用加负号△此节特别注意正负号问题，不能漏加，也不能少加，Demand有负号，Supply 没有（供给与需求中，P、Q关系，涉及1.3内容p53）2.求出E后，判断供给和需求函数是缺乏弹性、单位弹性还是富有弹性E<1 inelasricE=1unit elasticE>1 elastic3.公式变形，求出E后，由价格变化ΔP/P*100%求需求或供给ΔQ/Q*100%，或P、Q反过来求也一样4.6经济函数的最优化1.求驻点stationary pointf '(x)=02.求局部最大maximumf ''(x)<03.求局部最小minimumf ''(x)>04.拐点f ''(x)=o5.计算并证明在劳动平均产出的最大点处MP L=AP L6.计算并证明在利润π最大点处MR=MC（π'=0，π'=MR－MC , π''=MR'－MC'<0，MR'<MC'）（p312的例题，和第一章的收税问题结合，比较好~很值得一看！参考1.2 p55例题用到公式市场均衡时，Q S=Q D=Q*对企业单位商品征税t：需求函数不变，供给函数由P=cQ s+d，变为P=cQ s+d+t △重要，注意t加在等式的右边政府总税收T=tQ*）求极值就求导，一阶导数为0，→stationary point，然后再求二阶导数，证明其是max或min4.7经济函数的进一步优化主要任务：1.没有价格歧视price discrimination时，函数都用Q表示，用已证明的在利润π最大点处MR=MC，且MR'<MC'解题，计算利益最大时，两种商品的价格2.有价格歧视时，为了方便，可以TR、TC、π都用P表示，用π'=0，计算两种商品的价格（黄万阳老师就这么做的，跟课本上不同，但其实原理都一样）4.8AP L=Q/LAP L’=0AP L’’<0,max，AP L’’>0，min仍为求极值问题，只不过求导用了乘法、除法和链式法则而已，若考了，知道怎么求导，注意一下求导的时候仔细点就ok，此节不做重点，看p338例题第三章--金融数学Mathematics of Finance3.1百分数percentages主要任务：1.使用百分数表示各种东西，初中内容而已，果断跳过2.求指数时，被选择的基期年份的值为100，指数=相对基期的比例因子*100，求出然后进行各年间的比较index number=scale factor form base year*100（P187也有个小公式，不写了，不一定能出大题，有兴趣的童鞋看一下）3.Inflation通货膨胀△annual rate of inflation年通货膨胀率（上一年所选定的商品和劳务价格在本年度平均变化的百分比）nominal data名义值（最初的原始数据）real data真值（又叫实际值，是考虑到通货膨胀后调整过的数据）比较名义价格与实际价格的上涨p189例题3.2 Compound interest 复利公式1.S=P(1+r/100)nP-本金principal，S-终值future value，r-年复利，t-时间△注意题目所给interest一般就是以年为单位的年复利r%，一般r%<0.有一年复利，半年复利，季度复利，每月复利，每周复利，即根据年利率将其分成2份、4份、12份、52份。
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∫b a
q( n1)( )
( n1)!
w( x )dx
b ∫b
n1 a
w( x )dx
( 令x a th )
b h ∫ n2 n n1
t( t
1 )
(t
n
)dt
0
当n 为偶数时，上式积分为0， 即：
∫b q (x)dx ∫b Pn(x)dx
a
a
即 Newton Cotes 求积公式当n 为偶数时至少
6
2
上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式
记为 S I2( f ) Simpson公式的余项为
b
R(S) R(I2 ) a R2(x)dx
b a (b a )4 f (4)()
180 2 Simpson公式具有3次代数精度
Cotes公式及其余项
取n
0.6931
当 f (x) 为 n 次多项式时
b
f P (n1)
(x) 0 I(f)
(x)dx , 从而至少
n
a
有 n 次代数精确度。
Simpson公式及其余项
取n
2,则x0
a
,
x1
b
2
a
, x2
b
,h
b
2
a
Cotes系数为
C0(2)
1 4
2
(t 1)(t 2)dt
有 n 1次代数精确度。
∫n t(t 1) (t n )d t
0
∫2k t(t 1) (t k)(t k 1) (t ( 2k 1))(t 2k)d
0
令 utk
∫k (u k)(u k 1) u(u 1) (u k 1)(u k)du
这表明k求0 积公式计算是稳定的k。0
舍入误差
~ In( f ) In( f )
n
~ Ak[ f (xk ) fk ]
n
Ak k
k 0
k 0
定理2：若机械求积公式中的系数 Ak 0(k 0,1 , n)
( x3)
41
9
9
840 f ( x0 ) 35 f ( x1) 280 f ( x2 )]
41 6 9 6 9 6 34 6 41 6 9 6 9 6 840 6 35 7 280 8 105 9 840 10 35 11 280 12
f (x) x4时，I ( f ) b5 a5 5
I3(
f
)
b
6
a
(a3
(a
b)3 2
b3 )
b4
4
a4
I3(
f
)
ba 6
(a4
(a
b)4 4
b4)
I(
f
)
例1. 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.
I
h
f (x)dx
0
h[ 2
k
令 H(u) (u k)(u k 1) u(u 1) (u k 1)(u k) H( u) ( u k)( u k 1) ( u)( u 1) ( u k 1)( u k) ( 1)2k1 H(u) H(u) 奇函数在以零点为对称 点上的对称区间上的积 分为零！
h5 6
因此
I(x j) I2(x j) I(x4) I2(x4)
j 0,1,2,3
所以该积分公式具有3次代数精确度
设函数f (x) C[a,b]
将积分区间[a,b]分割为n等份
各节点为 xk a kh , k 0,1, , n
其中h b a 为步长 n
4
I4( f ) (b a) Ck(4) f (xk )
k 0
(b a)[ 7 90
f
(x0 )
32 90
f
(x1 )
12 90
f (x2 )
32 90
f (x3 )
7 90
f
(x4 )]
ba 90
[7
f
(
x0
)
32
f
( x1
)
12
f
(
x2
)
32
f
(
x3
)
7
f
(
x4
)]
上式称为Cotes求积公式，也称五点公式 记为 C I4( f )
Cotes公式的余项为
R(C) R(I4 )
b
a R4( x)dx
2(b a) 945
(b
4
a
)6
f
(6)()
Cotes公式具有5次代数精度
思考 使用n次Lagrange插值多项式的Newton-Cotes
Why do we do numerical integral?
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
b
I ( f ) a f (x)dx F (b) F (a)
要求被积函数f(x)
☞ 有解析表达式；
☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
问题
☎ f(x)没有解析表达式，只有数表形式
Co注tes：系C数oteCs 系i(n数) 仅取决于 n 和 i，
可查表得到。与 f (x) 及区
间[a, b]均无关。
1
I1( f ) (b a) Ck(1) f (xk ) k 0
ba[ 2
f (x0 )
f (x1 )]
即
I1(
f
)
ba[ 2
f
(a)
f
(b)]
梯形公式
n 3时，
b a
f
( x)dx
(b
a)
1 8
f
(a)
3 8
f
( 2a 3
b)
3 8
f
(a
2b) 3
1 8
f
(b)
——3/8公式
例 用n=6的牛顿－柯特斯公式计算定积分值
I
1 dx .
01 x
解：将积分区间[0,1]划分为n份，得到节点列为
ah2[0 2h]
( 1 2a)h3 2
令I I2
a 1 12
对于 f ( x) x3
I
h x3dx
0
h4 4
I2
h4 2
ah2[0
3h2 ]
h4 4
对于 f ( x) x4
I h x4dx h5
0
5
I2
h5 2
ah2[0 4h3 ]
e.g. x 1 2 3 4 5 f(x) 4 4.5 6 8 8.5
☎ f(x)有表达式，但原函数不是初等函数
e.g.
1ex2 dx 0
1
0 (arctan x x)dx
它们的原函 数都不是初
等函数.
☎ f(x)原函数表达式很复杂，计算量很大
e.g.
讨论数值积
分的必要性
更一般地，我们可以在区间[a,b]上选取某些节点
n
Ck 1 k 0
n
n 7,Ck 0, Ck 1, (b a) k 0
n
n 8,Ck有正有负, Ck 1,且随n的增大而增大 k 0
0 0 定定就义义有32I对在nlnhi( 任m机f0 )k给n械0 AI求knf(积(~fxk)公) 若式abn中f (A，xk)[d若xf (其xk只中) 要h~fk]fm1(iaxxnkn(
f
( xk
)
~ f(
xk
)]
k 0
In
I~n
n
(b a) Ck(n)[
k 0
n
f (xk )
~ f (xk )]
k
~ f (xk ) f (xk )
(b a) Ck(n)k k 0
设maxk
n
(b a) Ck k 0
f
(0)
f
(h)]
ah2[
f
(0)
f
(h)]
I2
解: 对于 f (x) x0
I h x0dx h 0
I2 h
对于 f ( x) x1
I h x1dx h2
0
2
I2
h2 2
对于 f ( x) x2
I
h x2dx
0
h3 3
I2
h3 2
公式至少具有n次代数精度,并且n为偶数时至 少具有n+1次代数精度.
n=偶数时Newton-Cotes 求积公式的代数精确度
对n 1次多项式
∑n1
q(x)
bk
xk
q b 则 (n1)(x) (n 1)! n1
k 0
积分误差：
∫b a
q ( x )dx ∫b a
Pn( x )dx
1 xi 0 6 i, i 0,1, 2,L , 6
在这些节点处的函数值为
f
(
xi
)
1
1 xi
6, 6i