2014高三理科数学概率检测卷
2014高三理科数学专项训练(二)——概率统计
高三理科数学专项训练（二）——概率统计高三（ ）班 学号 姓名 成绩1．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差．2． 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标，相互 之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击3次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？ ⑶设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望E ξ. （结果可以用分数表示）3．为了调查本市某中学高三男学生的身高情况，在该中学高三男学生中随机抽取了40名同学作为样本，测得他们的身高后，画出频率分布直方图如下： （1）估计该校高三男生的平均身高；（2）从身高在170cm （含170cm ）以上的样本中随机抽取2人，记身高在170~175cm 之间的人数为X ，求X 的分布列和数学期望。
（部分参考数据：167.5×0.125+172.5×0.35+177.5×0.325=139.00）4． 随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：课后练习1．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则a =_______________.2．某中学举行了一次田径运动会，其中有50名 学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图1 所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这 次百米比赛中获奖的人数共有 人.3．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题， 每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为23，则该学生在面试时得分的期望值为 分.4．已知函数)3cos(3)3sin()(πωπω+-+=x x x f （0>ω）的最小正周期为π．⑴求)127(πf 的值； ⑵若ABC ∆满足)(2)()(A f A B f C f =-+，证明：ABC ∆是直角三角形．5． 如图，平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，2AB =，BD =BD 将BCD ∆折起，使二面角A BD C--是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥OAD C -的体积最大？最大值为多少？（2）当AD BC ⊥时，求α的大小．A BDCO ABC D6. 已知函数 2x =是()f x 的一个极值点.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若当[1,)x ∈+∞时，22()3f x a ->恒成立，求a 的取值范围.高三理科数学专项训练（二）——概率统计答案1. 解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为,A B . 设甲独立解出此题的概率为1P ，乙为2P . 则12()0.6,()P A P P B P ===1212122222()1()1(1)(1)0.920.60.60.920.40.320.8(2)(0)()()0.40.20.08(1)()()()()0.60.20.40.80.44(2)()()0.60.80.48:P A B P A B P P P P PP P P P P P P A P B P P A P B P A P B P P A P B ξξξξ+=-⋅=---=+-=∴+-=====⋅=⨯===+=⨯+⨯===⋅=⨯=则即的概率分布为.096.136.2)()(4.01728.00704.01568.048.0)4.12(44.0)4.11(08.0)4.10(4.196.044.048.0244.0108.0022222=-=-==++=⋅-+⋅-+⋅-==+=⨯+⨯+⨯=ξξξξξE E D D E 或利用2．解：（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-32()3=1927答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为1927； (2) 记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A 2，由于各事件相互独立，,231)(23a x bx x x f ++-=故P （A 2）=41×41×43×41+41×41×43×43 =364， 答：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是364（3）根据题意ξ服从二项分布，2323E ξ=⨯=（3）方法二：03311(0)()327p C ξ==⋅= 123216(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=22132112(2)()()3327p C ξ==⋅⋅= 3303218(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=161280123227272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=3． 解：（1）由频率分布直方图可知，该校高三男学生的平均身高为05.05.1871.05.182325.05.17735.05.172125.05.16705.05.162⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x =174.750（cm ） （2）由频率分布直方图可知，所抽取的样本中身高在170—175cm 之间的人数有0.070×5×40=14人 所抽取的样本中身高在170cm （包含170cm ）以上的人数有 （0.070+0.065+0.020+0.010）×5×40=33人 所以X 的可能取值为0,1,2，，52891)2(528266)1(,528171)0(233214019233114119233014219=========C C C X P C C C X P C C C X P 所以X 的分布列为X 的数学期望为4.解：（1）依题意，随机变量X 的取值为：0,1,2,3，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为56p =． 方法一：2161)61()0(303===C X P ，725)65()61()1(213===C X P ， 7225)65)(61()2(223===C X P ，216125)65()3(333===C X P ．X ∴221637227212160=⨯+⨯+⨯+⨯=∴EX ．方法二：根据题意可得)65,3(~B X ，k k k C k X P )65()61()(33-==∴，3,2,1,0=k ．∴25653=⨯==np EX ．.33252815280528=⨯+⨯+⨯=EX(2) 提出假设0H ：休闲方式与性别无关系．根据样本提供的22⨯列联表得22()80(10101050)808.889 6.635()()()()602020609n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯．因为当0H 成立时，635.62≥K 的概率约为01.0，所以我们有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段性别与休闲方式有关”．课后练习答案1. 302. 11 3．15 4.解：⑴x x f ωsin 2)(=，πωπ==2T ，2=ω，所以167sin 2)127(-==ππf ⑵由)(2)()(A f A B f C f =-+得A ABC 2sin 2)22sin(2sin =-+，A A B B A 2sin 2)22sin()22sin(=-++-，得02sin cos 2=A B ，所以0cos =B 或02sin =A ，因为A <0，π<B ， 所以2π=B 或2π=A ，ABC ∆是直角三角形．5.解：（1）由题知OD 为CD 在平面ABD 上的射影，∵BD CD ⊥，CO ⊥平面ABD ，∴BD OD ⊥， ∴ODC α∠=，111332C AOD AOD V S OC OD BD OC -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅sin cos 66OD OC CD CD αα=⋅=⋅⋅⋅sin 23α=3≤，当且仅当sin 21α=，即45α=︒时取等号，∴当45α=︒时，三棱锥O ACD -(2)(法一)连接OB ，∵CO ⊥平面ABD ，AD BC ⊥， ∴AD ⊥平面BOC ，∴AD OB ⊥，∴90OBD ADB ∠+∠=︒， 故OBD DAB ∠=∠，∴Rt ABD Rt BDO ∆∆∽，∴OD BD BD AB=， ∴21BD OD AB ===， 在Rt COD ∆中，1cos 2OD CD α==，得60α=︒．(法二) 过O 作OE AB ⊥于E ，则OEBD 为矩形， 以O 为原点，OE ，OD ，OC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,2cos 2,2(),0,cos 2,0(),0,0,0(-ααA D O )sin 2,0,0(),0,cos 2,2(ααC B ，B D于是)0,2,2(-=，)sin 2,cos 2,2(αα--=， 由AD BC ⊥，得0=⋅BC AD ，∴0sin 20)cos 2(2)2()2(=⨯+-⨯+-⨯-αα， 得21cos =α，又α为锐角，∴60α=︒ ． 6．解：（1）∵2'()22f x x bx =-+且2x =是()f x 的一个极值点∴'(2)4420f b =-+=32b ⇒=， ∴2'()32(1)(2)f x x x x x =-+=-- 由'()0f x >得2x >或1x <，∴函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞，(2,)+∞； 由'()0f x <得12x <<，∴函数()f x 的单调减区间为(1,2)， （2）由（1）知，函数()f x 在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增 ∴当2x =时，函数()f x 取得最小值，min ()(2)f x f ==23a +， [1,)x ∈+∞时，22()3f x a ->恒成立等价于2min 2(),[1,)3a f x x <-∈+∞ 即2001a a a -<⇒<<。
2014届高三理科数学试题分类汇编：统计与概率1
2014届高三理科数学试题分类汇编：统计与概率1一、选择题1、（河南省安阳市2014届高三第一次调研）已知随机变量x，y的值如右表所示：如果y与x线性相关且回归直线方程为y＝bx＋72，则实数b＝A．－12B．12C．－110D．1102、（河南省淇县一中2014届高三第四次模拟）在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为A. 16 B.13 C.23 D.453、（河南省郑州一中2014届高三上学期期中考试）某班有男生30人，女生20人．现按分层抽样的方法抽取10人去参加座谈会，则女生应抽取人数为( )A．6 B．4 C．5 D．34、（河南省开封市2014届高三第一次模拟考试）把长为1的铁丝截成三段，则这三段恰好能围成三角形的概率是（）A. 12B. 1C.14D.185、（河南省豫南九校2014届高三12月联考）二、解答题1、（河南省洛阳市2014届高三12月统考）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1，2，3三个问题，每位参赛者按问题1，2，3的顺序作答，竞赛规则如下：①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1，2，3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．已知甲同学回答1，2，3三个问题正确的概率依次为34，12，13，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用X表示甲同学本轮答题结束时累计分数，求X的分布列和数学期望．2、（河南省安阳市2014届高三第一次调研）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1 : 2 : 3，其中第2小组的频数为12．（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数;（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．3、（河南省淇县一中2014届高三第四次模拟）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0 ；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．。
2014年全国统一高考数学试卷(理科)及答案
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为_________．（用数字填写答案）14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_________．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为_________．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为_________．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）|g（x）|为奇函数，故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．解答：解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C 的一条渐近线的距离为=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．解答：解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．点评：本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P 做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．解答：解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：概率与统计．分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．解答：解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．解答：解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A，B后验证C，当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．点评：本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3考点：命题的真假判断与应用．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．解答：解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故A：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；在直线x+2y=2的右上方区域，：∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；由图知，p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．解答：解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴直线PF的斜率为﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0）0f′（x）+0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→+∞，f（x）→+∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：0 （0，+∞）x（﹣∞，）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值=，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．解答：解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．点评：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．解答：解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：=8．含x2y6的系数是=28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20点评：本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．解答：解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．点评：本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．解答：解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为临边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°点评：本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．解答：解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得4﹣b2=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．解答：（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．则a n+2﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．解答：解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．解答：解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为点评：本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c．又，b2=a2﹣c2，即可解得a，b；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时，，．∴|PQ|===，点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3，∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE 为等边三角形．解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．点评：本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．参与本试卷答题和审题的老师有：lincy；caoqz；wyz123；刘长柏；sxs123；wfy814；孙佑中；minqi5；清风慕竹；maths；qiss（排名不分先后）菁优网2014年6月23日。
(全国卷)2014届高考数学 专题阶段评估模拟卷6 概率与统计 文
专题阶段评估(六) 概率与统计—————————————————————————————————【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共60分)只有一项是符合题目要求的)1．某地区高中分三类，A 类学校共有学生2 000人，B 类学校共有学生3 000人，C 类学校共有学生4 000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A 类学校中的学生甲被抽到的概率为( )A.110B ．920C ．12 000D ．122．(2013·某某卷)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A.08 C ．02D ．013．(2013·全国新课标卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12 B ．13 C ．14D ．164．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )A ．32B ．0.2C ．40D ．0.255．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持的两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”( )附：P (K 2≥k 0)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 02.7063.8415.0246.63510.828% B ．1% C ．99%D ．99.9%6．(2013·某某市模拟考试)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x 甲、x 乙和中位数y 甲、y 乙进行比较，下面结论正确的是( )A.x 甲＞x 乙，y 甲＞y 乙 B ．x 甲＜x 乙，y 甲＜y 乙 C.x 甲＜x 乙，y 甲＞y 乙D ．x 甲＞x 乙，y 甲＜y 乙7．连续抛掷两枚正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记所得朝上的面的点数分别为x ，y ，过坐标原点和点P (x ，y )的直线的倾斜角为θ，则θ＞60°的概率为( )A.14 B ．34 C ．12D ．168．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.25 B ．710 C ．45 D ．9109．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y ∧＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧必过(x ，y )；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3本题可以参考独立性检验临界值表：P (K 2≥k )0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.82810.由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥t ，0≤x ≤2，围成的三角形区域内有一个内切圆，向该三角形区域内随机投一个点，该点落在圆内的概率是关于t 的函数P (t )，则( )A ．P ′(t )＞0B ．P ′(t )＜0C ．P ′(t )＝0D ．P ′(t )符号不确定11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差12．(2013·某某三市三模)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4C ．1－π2D ．1－3π4第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)题 号 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷 二 17 18 19 20 21 22 总 分 得 分二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上) 13．高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．14．(2012·某某卷)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的X 围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5，22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．15．(2013·某某省名校联考)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．16．若从集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14，3，4中随机抽取一个数记为a ，从集合{－1，1，－2,2}中随机抽取一个数记为b ，则函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的图象经过第三象限的概率是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知A 、B 、C 三个箱子中各装有两个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着1，另一个球标着2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出一个球．(1)若用数组(x ，y ，z )中的x 、y 、z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的，请写出数组(x ，y ，z )的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的之和，猜中有奖．那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．18．(本小题满分12分)(2013·某某卷)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值．(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．19．(本小题满分12分)(2013·某某市质量预测)某高校组织自主招生考试，共有2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第1组[195,205)，第2组[205,215)，…，第8组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试．(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中，参加面试的同学人数；(2)面试时，每位同学抽取两个问题，若两个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若两个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A 类资格；其他情况下获B 类资格．现已知某中学有两人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为12，求恰有一名同学获得该高校B 类资格的概率．20．(本小题满分12分)(2013·某某市调研)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数如下表：(1)在单位时间内加工的合格零件的方差，并由此分析两组技工的加工水平；(2)质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若2人加工的合格零件个数之和超过14，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．21．(本小题满分13分)甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：频数15x 3 2乙校：分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)频数1289分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数1010y 3(1)计算x，y的值；(2)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；(3)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差异.甲校乙校总计优秀非优秀总计参考数据与公式：由列联表中数据计算K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.临界值表P(K2≥k0)0.100.050.010k0 2.706 3.841 6.63522．(本小题满分13分)设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax，g(x)＝bx.(1)若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；(2)若a∈[1,4]，b∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．详解答案 一、选择题1．A 利用分层抽样，每个学生被抽到的概率是相同的，故所求的概率为9002 000＋3 000＋4 000＝110，故选A.2．D 由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.3．B 从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为412＝13.4．A 设中间的长方形面积为x ，则其他的10个小长方形的面积为4x ，所以可得x ＋4x ＝1，得x ＝0.2；又因为样本容量为160，所以中间一组的频数为160×0.2＝32，故选A.5．C 因为7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．6．B 从茎叶图看出乙地树苗高度的平均数大于甲地树苗高度的平均数，乙地树苗高度的中位数是35.5，甲地树苗高度的中位数是27.7．A 基本事件总数为6×6＝36种．θ＞60°的必须是y x＝tan θ＞3，则这样的基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,6)，共9种．所以概率为936＝14.8．C 记其中被污损的数字为x ，依题意得甲的5次综合测评的平均成绩是15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成绩是15(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝15(442＋x )，令90＞15(442＋x )，由此解得x ＜8，即x 的可能取值为0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝45.9．B ①根据方差的计算公式可知命题正确；②错，应为减少5个单位；③正确，这是回归直线方程满足的一个重要性质；④结合给出的数表，易知命题正确，故只有②是错误的．10．C 若围成三角形，则只可能恒为等腰直角三角形，内切圆半径r ＝(7－t )－22(7－t )，∴P (t )＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2227－t 2127－t 2＝π2(2－2)2，该值与t 无关，所以P ′(t )＝0. 11．C 由条形统计图知：甲射靶5次的成绩分别为：4,5,6,7,8； 乙射靶5次的成绩分别为：5,5,5,6,9，所以x 甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6；x 乙＝5＋5＋5＋6＋95＝6.所以x 甲＝x乙．故A 不正确．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 不正确．s 2甲＝15[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝15×10＝2，s 2乙＝15[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝15×12＝125，因为2＜125，所以s 2甲＜s 2乙.故C 正确．甲的成绩的极差为：8－4＝4，乙的成绩的极差为：9－5＝4， 故D 不正确．故选C.12．B 函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，需Δ＝4a 2－4(－b 2＋π2)≥0，即a 2＋b 2≥π2成立．而a ，b ∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a 2＋b 2≥π2的点(a ，b )如图阴影部分所示，所求事件的概率为P ＝2π×2π－π32π×2π＝4π2－π34π2＝1－π4，故选B.二、填空题13．解析： 从56人中抽取一个容量为4的样本，用系统抽样抽取的间隔为564＝14，又因为学号为6,34,48的同学在样本中，可知初次抽取的学号为6，还有一个同学的学号应为6＋14＝20.答案： 2014．解析： 设样本容量为n ，则n ×(0.1＋0.12)×1＝11，所以n ＝50，故所求的城市数为50×0.18×1＝9. 答案： 915．解析： 列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P ＝1036＝518.答案：51816．解析： (b ，a )的所有可能情况有：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14，(－1,3)，(－1,4)；⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，(1,3)，(1,4)；…；⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，(2,3)，(2,4)，共16种．由于函数f (x )的图象经过第三象限，因此，0＜a ＜1，b ＜－1或a ＞1，b ＜0，因此满足条件的(b ，a )有：(－1,3)，(－1,4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14，(－2，3)，(－2,4)，共6种．根据古典概型的概率计算公式可得P ＝616＝38.答案： 38三、解答题17．解析： (1)数组(x ，y ，z )的所有情形为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．(2)记“所摸出的三个球的之和为i ”为事件A i (i ＝3,4,5,6)，易知事件A 3的基本结果有1种，事件A 4的基本结果有3种，事项A 5的基本结果有3种，事件A 6的基本结果有1种，所以，P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝18.所以所摸出的三个球的之和为4，为5的概率相等且最大． 故猜4或5获奖的可能性最大．18．解析： (1)由茎叶图可知，样本数据为17,19,20,21,25,30，则x ＝16(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，故样本均值为22.(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，故优秀工人的频率为26＝13，该车间12名工人中优秀工人大约有12×13＝4(名)，故该车间约有4名优秀工人．(3)记“恰有1名优秀工人”的事件A ，其包含的基本事件总数为4×8＝32，所有基本事件的总数为12×112＝66，由古典概型概率公式，得P (A )＝3266＝1633.所以恰有1名优秀工人的概率为1633.19．解析： (1)设第i (i ＝1,2，…，8)组的频率为f i ，则由频率分布直方图知f 7＝1－(0.004＋0.01＋0.01＋0.02＋0.02＋0.016＋0.008)×10＝0.12.所以成绩在260分以上的同学的概率P ≈f 72＋f 8＝0.14，∴2 000×0.14＝280，故这2 000名同学中，取得面试资格的约为280人．(2)不妨设两名同学分别为M ，N ，且M 的笔试成绩在270分以上，则对于M ，答题的可能有M 11，M 10，M 01，M 00，对于N ，答题的可能有N 11，N 10，N 01，N 00，其中角标中的1表示正确，0表示错误，如N 10表示N 同学第一题正确，第二题错误．将两名同学的答题情况列表如下：表中AB 表示M 获A N 没有获得资格． 所以恰有一名同学获得该高校B 类资格的概率为816＝12.20．解析： (1)由甲组技工在单位时间内加工的合格零件平均数x 甲＝15(4＋5＋x ＋9＋10)＝7，得x ＝7.由乙组技工在单位时间内加工的合格零件平均数x 乙＝15(5＋6＋7＋y ＋9)＝7，得y ＝8.甲组方差s 2甲＝15[(4－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2]＝5.2.乙组方差s 2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2]＝2.∵x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，∴两组技工水平基本相当，乙组更稳定些．(2)从甲、乙两组中各随机抽取一名技工，加工的合格零件个数包含的基本事件为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(7,5)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(7,9)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共25个．而车间“质量合格”包含的基本事件为(7,8)，(7,9)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共11个，因此，所求概率P ＝1125，即该车间“质量合格”的概率为1125.21．解析： (1)从甲校抽取110× 1 2001 200＋1 000＝60(人)，从乙校抽取110× 1 0001 200＋1 000＝50(人)，故x ＝10，y ＝7.(2)估计甲校数学成绩的优秀率为1560×100%＝25%，乙校数学成绩的优秀率为2050×100%＝40%.(3)表格填写如图，甲校 乙校 总计 优秀 15 20 35 非优秀 45 30 75 总计6050110K 2的观测值k ＝110×15×30－20×45260×50×35×75≈2.829＞2.706，故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学成绩有差异． 22．解析： (1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”， 则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有：x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a ＞0，b ＞0时，ax ＋b x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， b a 上递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞上递增；x －1x 和4x －1x在(0，＋∞)上递增， ∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x，故事件A包含的基本事件有4种，∴P (A )＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数， ∴点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立，需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b2≤8， ∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分． ∴P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋114×33×3＝1924，故所求概率是1924.。
2014届高三数学区一检理科试题(带答案)
2014届高三数学区一检理科试题（带答案）高三理科数学质量检测试题（卷）2013.10本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效，本试卷满分150分，考试时间为120分钟.注意事项：1.考生答题前，先将条形码贴在条形码区，并将本人姓名、学校、准考证号填写在相应位置.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.参考公式：，，，，，．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知，函数的定义域为集合，则A.B.C.D.3.在一次投掷链球比赛中，甲、乙两位运动员各投掷一次，设命题是“甲投掷在80米之外”，是“乙投掷在80米之外”，则命题“至少有一位运动员没有投掷在80米之外”可表示为A.非或非B.或非C.非且非D.或4.设，，，则A.B.C.D.5.的内角的对边分别是，若，，，则A.B.C.D.6.已知，则的值等于A.B.C.D.7.函数的零点个数为A.B.C.D.8.已知函数，下列结论中错误的是A.存在，B.若是的极小值点，则在区间上单调递减C.若是的极值点，则D.函数无最大值9.已知函数为奇函数，且当时，，则A.B.C.D.10.若函数的图像关于直线对称，则的最大值是A.B.C.或D.不存在第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.计算：；12.若直线与幂函数的图像相切于点，则直线的方程为；13.已知函数，其导函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为；14.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为；15.给出下列三个命题中,其中所有正确命题的序号是.①函数在上的最小值是.②命题“函数，当，且时，有”是真命题.③函数，若，且，则动点到直线的最小距离是.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)叙述并证明余弦定理.17.(本小题满分12分)已知向量，，，设函数.(1)求的最小正周期；(2)求在上的最大值和最小值.18.(本小题满分12分)已知关于的不等式的解集为.(1)当时，求集合；(2)当且时,求实数的范围.19.(本小题满分12分)甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求),每小时可获得的利润是元.(1)求证:生产千克该产品所获得的利润为元；(2)要使生产千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.20.(本小题满分13分)设函数且是定义域为的奇函数．(1)求的值；(2)若，且在上的最小值为，求的值．21.(本小题满分14分)已知为函数图像上一点，为坐标原点，记直线的斜率．(1)若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.高三理科数学质量检测试题答案2013.10一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A2.D3.A4.C5.B6.D7.B8.B9.C10.B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2912．13.14.15.②三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在△ABC中，为A，B，C的对边，有，，.（5分）证明：在△ABC中，(8分)∴(10分)∴同理可证：，.(12分)注:此题还有其它证法，酌情按步骤给分.17.(本小题满分12分)解：（1）（4分）的最小正周期.即函数的最小正周期为.（6分）（2），，（8分）由正弦函数的性质，当，即时，取得最大值1.（10分）当，即时，取得最小值.（12分）18．(本小题满分12分)解:解：（1）当时，……5分(2),①……8分,②……11分由①②知……12分19.(本小题满分12分)解:(1)每小时生产千克产品,获利,生产千克该产品用时间为,………3分所获利润为元.………6分(2)生产900千克该产品,所获利润为………9分所以,最大利润为元.………12分20．(本小题满分13分)解：（1）（法一）由题意，对任意，，即，………2分即，，………4分因为为任意实数，所以．………5分（法二）因为且是定义域为的奇函数．………2分所以，即，………4分解得………5分（2）由（1），因为，所以，解得．………7分故，，………8分令，则，………10分由，得，所以，………11分当时，在上是增函数，则，，解得（舍去）．………12分当时，则，，解得，或（舍去）．（13分）21．(本题满分14分)解：（1）由题意，……………2分所以………………4分当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值．………………5分因为函数在区间（其中）上存在极值，所以，得．即实数的取值范围是．……………7分（2）由得，……………8分令，则．……………10分令，则，……………………11分因为所以,故在上单调递增．所以,从而……………………12分在上单调递增,所以实数的取值范围是．…………………………………………14分。
2014年全国各地高考试题分类汇编(理数)10----概率与
2014年全国各地高考试题分类汇编(理数概率与统计(解答题(2014安徽理数 17. (本小题满分 12分甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5局仍未出现连胜, 则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 23,乙获胜的概率为 13,各局比赛结果相互独立. (1求甲在 4局以内(含 4局赢得比赛的概率;(2记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望.解:用 A 表示“ 甲在 4局以内 (含 4局赢得比赛” , k A 表示“第 k 局甲获胜” , k B 表示“ 第 k 局乙获胜” 则 (23k P A =, (13k P B =, 1,2,3,4,5. k = (1 ((((121231234P A P A A P B A A P AB A A =++ (((((((((121231234P A P A P B P A P A P A P B P A P A =++ 2222122125633333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2 X 的可能取值为 2,3,4,5. (((((((12121212529P X P A A P B B P A P A P B P B ==+=+=, (((((((((123123123123239P X P B A A P A B B P B P A P A P A P B P B ==+=+=, (((123412344P X P AB A A P B A B B ==+((((((((123412341081 P A P B P A P A P B P A P B P B =+=, ((((85123481P X P X P X P X ==-=-=-==, 故 X 分布列为52108234599818181EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.(2014北京理数 16:(1从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率.(2从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 6. 0,一场不超过 6. 0的概率.(3记 x 是表中 10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明在这比赛中的命中次数,比较 EX 与 x 的大小. (只需写出结论解:(1 根据投篮统计数据, 在 10场比赛中, 李明投篮命中率 0.6的场次有 5场, 分别是主场 2, 主场 3, 主场 5, 客场 2,客场 4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6的概率是 0.5.(2设事件 A 为“ 在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6” ,事件 B 为“ 在随机选择的一场客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6” ,事情 C 为“ 在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过0.6” .则 C =, A , B 独立.根据投篮统计数据, (35P A =, (25P B =. (((P C P P =+332213555525=⨯+⨯=. 所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6的概率为1325. (3 EX =.(2014大纲理数 20. (本小题满分 12分设每个工作日甲、乙、丙、丁 4人需使用某种设备的概率分别为 0.6, 0.5, 0.5, 0.4,各人是否需使用设备相互独立. (1求同一工作日至少 3人需使用设备的概率; (2 X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望.解:记 i A 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备, 0,1, 2, i =, B 表示事件:甲需使用设备, C 表示事件:定需使用设备, D 表示事件:同一工作日至少 3人需使用设备.(1 122D A B C A B A B C=⋅⋅+⋅+⋅⋅, (0.6P B =, (0.4P C =, (122C 0.5i P A =⨯, 0,1, 2, i = 所以 ((((12212P D P A B C A B A B C P A B C P A B =⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+(2P A B C ⋅⋅=((((((((1220.31P A P B P C P A P B P A P B P C ++=.(2 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4,则 (((((((200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=,((0011P X P B A C B A C B A C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅(((((((((001P B P A P C P B P A P C P B P A P C =++((((2220.60.510.410.60.50.410.620.510.4=⨯⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-0.25=, (((((22240.50.60.40.06P X P A B C P A P B P C ==⋅⋅==⨯⨯=, (((340.25P X P D P X ==-==,(((((210134P X P X P X P X P X ==-=-=-=-=10.060.250.250.06=----=0.38,数学期望 ((((00112233EX P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+(440.2520.3830.2540.062P X ⨯==+⨯+⨯+⨯=.(2014福建理数 18. (本小题满分 13分为回馈顾客, 某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000位顾客进行奖励, 规定:每位顾客从一个装有 4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2个球, 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1若袋中所装的 4个球中有 1个所标的面值为 50元,其余 3个均为 10元,求: ①顾客所获的奖励额为 60元的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2商场对奖励总额的预算是 60000元,并规定袋中的 4个球只能由标有面值 10元和 50元的两种球组成,或标有面值 20元和 40元的两种球组成. 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由. 解:(1设顾客所获的奖励额为 X .(i 依题意,得 (111324C C 160C 2P X ===,即顾客所获的奖励额为 60元的概率为 12. (ii 依题意,得 X 的所有可能取值为 20, 60. (1602P X ==, (2324C 120C 2P X ===, 即 X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为 (200.5600.540EX =⨯+⨯=(元. (2 根据商场的预算, 每个顾客的平均奖励额为 60元. 所以, 先寻找期望为 60元的可能方案. 对于面值由 10元和 50元组成的情况,如果选择 (10,10,10,50的方案,因为 60元是面值之和的最大值,所有期望不可能为 60元;如果选择 (50,50,50,10的方案,因为 60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为 60元,因此可能的方案是 (10,10,50,50,记为方案 1.对于面值由 20元和 40元组成的情况,同理可排除 (20,20,20,40和(40,40,40,20的方案,所以可能的方案是 (20,20,40,40,记为方案 2. 以下是对两个方案的分析:对于方案 1,即方案 (10,10,50,50,设顾客所获得奖励额为 1X , 则 1X 的分布列为 1X 的期望为 (1121206010060636E X =⨯+⨯+⨯=, 1X 的方差为 ((((21121160020606060100606363D X =-⨯+-⨯+-⨯=. 对于方案 2,即方案 (20,20,40,40,设顾客所获得奖励额为 2X , 则 2X 的分布列为 2X 的期望为 (212140608060636E X =⨯+⨯+⨯=, 2X 的方差为 ((((22221214004060606080606363D X =-⨯+-⨯+-⨯=. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案 2奖励额的方差比方案 1的小,所以应该选择方案 2. 注:第(2问,给出方案 1或方案 2的任一种方案,并利用期望说明所给方案满足要求,给 3分; 进一步比较方差,说明应选择方案 2,再给 2分. (2014广东理数 17. (13分随机观测生产某种零件的某工厂 25名工人的日加工零件数(单位:件 ,获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:(1 确定样本频率分布表中 121, , n n f 和 2f 的值; (2根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4人,至少有 1人的日加工零件数落在区间 (]30,35的概率. 解:(1 17n =, 22n =, 10.28f =, 20.08f =. (2样本频率分布直方图如图所示(3根据样本频率分布直方图,得每人的日加工零件数落在区间 (]30,35的概率为0.2, 设所取的 4人中,日加工零件数落在区间 (]30,35的人数为ξ, 则(4,0.2B ξ, (((4110110.210.40960.5904P P ξξ=-==--=-=… ,所以 4人中,至少有 1人的日加工零件数落在区间 (]30,35的概率约为 0.5904.(2014湖北理数 20. (本小题满分 12分计划在某水库建一座至多安装 3台发电机的水电站,过去 50年的水文资料显示, 水库年入流量 X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和, 单位:亿立方米都在 40以上. 其中,不足 80的年份有 10年,不低于 80且不超过 120的年份有 35年,超过 120的年份有 5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1求未来 4年中,至多 1年的年入流量超过 120的概率;(2X若某台发电机运行,则该台年利润为万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?解:(1依题意, (11040800.250p P X =<<==, (235801200.750p P X ===剟 , (351200.150p P X =>==.由二项分布,在未来 4年中至多有 1年的年入流量超过 120的概率为((43430143433991C 1C 140.9477101010p p p p ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.(2记水电站年总利润为 Y (单位:万元①安装 1台发电机的情形. 由于水库年人流量总大于 40, 故一台发电机运行的概率为 1, 对应得年利润 5000Y =,(500015000E Y =⨯=.0000②安装 2台发电机的情形.依题意,当 4080X <<时,一台发电机运行,此时50008004200Y =-=,因此 ((1420040800.2P Y P X p ==<<==;当80X … 时,两台发电机运行, 此时 5000210000Y =⨯=, 因此 ((2310000800.8P Y P X p p===+=… ; 由此得 Y 的分布列如下: 所以, (42000.2100000.88840EY =⨯+⨯=.③安装 3台发电机的情形.依题意,当 4080X <<时,一台发电机运行,此时500016003400Y =-=,因此((1340040800.2P Y P X p ==<<==; 当 80120X 剟时, 两台发电机运行, 此时500028009200Y =⨯-=,因此 ((29200801200.7P Y P Xp ====剟 ;当 120X >时,三台发电机运行,此时 5000315000Y =⨯=,因此 ((3150001200.1PY P X p ==>==,由此得 Y 的分部列如下: 所以, (34000.292000.7150000.18620E Y =⨯+⨯+⨯=.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2台.(2014湖南理数 17. 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和 35,现安排甲组研发新产品 A ,乙组研发新产品 B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1求至少有一种新产品研发成功的概率;(2若新产品 A 研发成功,预计企业可获得 120万元;若新产品 B 研发成功,预计企业可获得利润 100万元, 求该企业可获得利润的分布列和数学期望.解:记 E ={甲组研发新产品成功 }, F ={乙组研发新产品成功 },由题设知 (23P E =, (13P E =, (35P F =, (25P F =,且事件 E 与 F , E 与 F , E 与 F , E 与 F 都相互独立. (1记 H ={至少有一种新产品研发成功 },则 H EF =,于是 (((1223515P H P E P F ==⨯=, 故所求的概率为 ((213111515P H P H =-=-=. (2设企业可或利润为 X (万元 ,则 X 的可能取值为 0, 100, 120, 220,因为 ((12203515P X P EF ===⨯=, ((1331003515P X P EF ===⨯=,((2241203515P X P EF ===⨯=, ((236220P X P EF ===⨯=.故所求的分布列为数学期望为 (2321000100120220140151515151515E X =⨯+⨯+⨯+⨯===. (2014江苏 22. (本小题满分 10 分盒中共有 9个球,其中有 4个红球、 3个黄球和 2个绿球, 这些球除颜色外完全相同. (1从盒中一次随机取出 2个球, 求取出的 2个球颜色相同的概率 P ;(2 从盒中一次随机取出 4个球, 其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 1x , 2x , 3x , 随机变量 X 表示 1x ,2x , 3x 中的最大数. 求 X 的概率分布和数学期望 (E X .解:(1取到的 2个颜色相同的球可能是2个红球、 2个黄球或 2个绿球,所以 22243229C C C 6315C 3618P ++++===. (2随机变量 X 所有可能取值为 2, 3, 4. {}4X =表示的随机事件是“ 取到的 4个球是 4个红球” , 故 (((1311121341P X P X P X ==-=-==--=.所以随机变量 X 的概率分布如下表: 因此随机变量 X 的数学期望(1123414631269E X =⨯+⨯+⨯=.(2014江西理数 21. (本小题满分 14分随机将 (1, 2, , 2, 2n n n *⋅⋅⋅∈N …这 2n 个连续正整数分成 , A B 两组, 每组 n 个数, A 组最小数为 1a ,最大数为2a ; B 组最小数为 1b ,最大数为 2b ,记21a a ξ=-, 21b b η=-. (1当 3n =时,求ξ的分布列和数学期望;(2令 C 表示事件“ ξ与η的取值恰好相等” ,求事件 C 发生的概率 (P C ;(3对(2中的事件 C , C 表示 C 的对立事件,判断 (P C 和 (P 的大小关系,并说明理由.解:(1当 3n =时, ξ的所有可能取值为 2, 3, 4, 5.将 6个正整数平均分成 A, B 两组,不同的分组方法共有 36C 20=种,所以ξ的分布列为1331723455101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.(2 ξ和η恰好相等的所有可能取值为 1n -, n , 1n +, … , 22n -.又ξ和η恰好相等且等于 1n -时,不同的分组方法有 2种; ξ和η恰好相等且等于 ((1,2,23n k k n n +=-… 时,不同的分组方法有 22C k k 种,所以当 2n =时, (4263P C ==,当3n … 时, (221222C C n k k k n nP C -=⎛⎫+ ⎪=∑.(3由(2知当 2n =时, (13P C =,因此 ((P C P C >,而当3n … 时, ((P C P C <.理由入下:((P C P C <等价于 222142C C n k nk n k -=⎛⎫+< ⎪⎝⎭∑.①用数学归纳法来证明:1当 3n =时,①式左边 ((1242C 42216=⨯+=⨯+=,①式右边 36C 20==,所以①式成立.2假设(3n m m =… 时①式成立,即 222142C C m k m k m k -=⎛⎫+< ⎪⎝⎭∑成立,那么,当1n m =+时, 左边 ((1221122221211142C 42C 4C C 4C m m k k m m m k k m m m k k +------==⎛⎫⎛⎫=+=++<+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑((2! 422! ! ! 1! 1! m m m m m m ⋅-+=--((((21222! 411! 1!m m m m m m +--<++ (((((((21121211222! 421C C 1! 1! 2121m m m m m m m m m m m m m m +++++-+=⋅<=+++-右边,即当 1n m =+时①式也成立. 综合 1, 2得,对于3n … 的所有正整数,都有 ((P C P C <成立.(2014辽宁理数 18. (本小题满分 12分一家面包房根据以往某面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1求在未来连续 3天里,有连续 2天的日销售量都不低于 100个且另一天的日销售量低于 50个的概率; (2 用 X 表示在未来 3天里日销售量不低于 100个的天数, 求随机变量 X 的分布列, 期望 (E X 及方差 (D X .解:(1设 1A 表示事件“ 日销售量不低于 100个” , 2A 表示事件“ 日销售量低于50个” , B 表示事件“ 在未来连续 3天里有连续 2天日销售量不低于 100个且另一天销售量低于 50个” .因此 ((10.0060.0040.002500.6P A =++⨯=, (20.003500.15P A =⨯=,(0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.(2可能取的值为 0, 1, 2, 3,相应的概率为 ((303010.60.064P X C ==⋅-=,((21310.610.60.288P X C ==⋅-=, ((22320.610.60.432P X C ==⋅-=, (33330.60.216P X C ==⋅=.分布列为因为 (3,0.6XB ,所以期望 (30.61.8E X =⨯=,方差 ((30.610.60.72D X =⨯⨯-=.(2014山东理数 18. (本小题满分 12分乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域 , A B ,乙被划分为两个不相交的区域 , C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在 C 上记 3分,在D 上记 1分,其他情况记 0分.对落点在 A 上的来球,队员小明回球的落点在 C 上的概率为12,在 D 上的概率为 13;对落点在 B 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为 15,在 D 上日销售量 /个的概率为35.假设共有两次来球且落在 , A B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求: (1小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.解:(1记 1A 为事件“ 小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分” (0,1,3i =, 则(312P A =, (113P A =, (01111236P A =--=;记 i B 为事件“ 小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 i 分” (0,1,3i =,则 (315P B =, (135P B =, (01311555P B =--=.记 D 为事件“ 小明两次回球的落点中恰有 1次的落点在乙上” .由题意, 30100103D A B A B A B A B =+++,由事件的独立性和互斥性,((((((3010010330100103P D P A B A B A B A B P A B P A B P A B P A B=+++=+++= ((((((((30100103P A P B P A P B P A P B P A P B +++=1111131132535656510⨯+⨯+⨯+⨯= 所以小明两次回球的落点中恰有 1次的落点在乙上的概率为 310.(2由题意,随机变量ξ可能的取值为 0, 1, 2, 3, 4, 6,由事件的独立性和互斥, 得((0011106530P P A B ξ===⨯=, ((((1001100111131135656P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=,((111312355P P A B ξ===⨯=, ((((30033003111123255615P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=,((((311331131311114253530P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=, ((33111 62510P P A B ξ===⨯=.可得随机变量ξ的分布列为:所以数学期望 111211191012346306515301030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(2014陕西理数 19. (本小题满分 12分在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:(1设 X 表示在这块地上种植 1季此作物的利润,求 X 的分布列;(2若在这块地上连续 3季种植此作物,求这 3季中至少有 2季的利润不少于2000元的概率. 解:(1设 A 表示事件“ 作物产量为300kg ” B表示事件“ 作物市场价格为 6元∕ kg ” ,由题设知 (0.5P A =, (0.4P B =,因为利润 =产量⨯市场价格 -成本,所以 X 所有可能的取值为 5001010004000⨯-=, 500610002000⨯-=, 3001010002000⨯-=, 30061000800⨯-=. (((((400010.510.40.3P X P A P B ===-⨯-=,(((((((200010.50.40.510.40.5P X P A P B P A P B ==+=-⨯+⨯-=,(((8000.50.40.2P X P A P B ===⨯=,所以 X 的分布列为(2设 i C 表示事件“ 第 i 季利润不少于 2000元” ,由题意知 1C , 2C , 3C 相互独立, 由(1知, ((((1400020000.30.50.81,2,3P C P X P X i ==+==+==, 3季的利润均不少于 2000元的概率为 ((((31231230.80.512C C C P C P C P C ===;3季中有 2季利润均不少于 2000元的概率为 (((212312312330.80.20.384P C C C P C C C P C C C ++=⨯⨯=,所以,这 3季中至少有 2季的利润不少于 2000元的概率为 0.5120.3840.896+=.(2014四川理数 17. 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐, 要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得 20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除 200分(即获得 200-分 .设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1设每盘游戏获得的分数为 X ,求 X 的分布列; (2玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.解:(1 X 可能的取值为 10, 20, 100, 200-.根据题意,有 (121311310C 1228P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,(212311320C 1228P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, (3033111100C 1228P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,(0303111200C 1228P X ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.所以 X 的分布列为(2设“ 第 i 盘游戏没有出现音乐” 为事件 (1,2,3i A i =,则 ((((2312008 i P A P A P A P X ====-=. 所以, “ 三盘游戏中至少有一次出现音乐” 的概率为 (3 23115111118512512i P A A A ⎛⎫-=-=-=⎪⎝⎭. 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3 X 的数学期望为 33115102010020088884EX =⨯+⨯+⨯-⨯=-.这表明,获得分数 X 的均值为负. 因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.(2014天津理数 16. (本小题满分 13分某大学志愿者协会有 6名男同学, 4名女同学. 在这 10名同学中,3名同学来自数学学院,其余 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的 7个学院. 现从这 10名同学中随机选取 3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同 . (1求选出的 3名同学是来自互不相同学院的概率;(2设 X 为选出的 3名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解:(1设“ 选出的 3名同学是来自互不相同的学院” 为事件 A ,则(120337373104960C C C C P A C ⋅+⋅==.所以选出的 3名同学是来自互不相同的学院的概率为 4960. (2随机变量 X 的所以可能值为 0, 1, 2, 3. ((3463100,1,2,3K kC C P X k k C -===.所以随机变量 X 的分布列是随机变量 X 的数学期望(1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2014新课标 1理数 18. (本小题满分 12分从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1求这 500件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 2s (同一组数据用该区间的中点值作代表 ; (2由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 2(, N μδ,其中μ近似为样本平均数 x , 2δ近似为样本方差 2s . (i 利用该正态分布,求 (187.8212.2 P Z <<;(ii 某用户从该企业购买了 100件这种产品, 记 X 表示这 100件产品中质量指标值为于区间 2. 212, 8. 187(的产品件数,利用(i 的结果,求 EX .. 2.若 Z ~2(, N μδ,则( P Z μδμδ-<<+=0. 6826, (22 P Z μδμδ-<<+=0. 9544.解:(1抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差 2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+2300.02200⨯=(((((222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+(2300.02150⨯=(2 (ⅰ由 (1 知 Z(200,150N , 从而 (187.8212.2 P Z <<=(20012.220012.2 0.6826P Z -<<+=(ⅱ由(ⅰ知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2的概率为 0.6826依题意知(100,0.6826XB ,所以 1000.682668.26EX =⨯=（2014 新课标 2 理数）19．（本小题满分 12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y （单位：千元）的数据如下表：年份年份代号 t 人均纯收入y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 （1）求y 关于 t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： bt t y y i 1 i i n t t i 1 i n 2 ˆ．ˆ y bt ，a 解：7 4 ， 7 1 y（1）由所给数据计算得 t 1 2 3 4 5 6， ti t 7 i 1 1 72.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 4.3， t i 1 7 i t yi y =2 9 4 1 0 1 4 9 283 1.4 2 1 1 0.7 +0 0.1+1 0.5+2 0.9+3 1.6 =14 ， t yi y i ˆ b t i 1 7 i t i 1 7，所求回归方程为y ˆ 0.5t 2.3 ．ˆ yt 2 14 ˆ 4.3 0.5 4 2.3bt 0.5 ，a 28 ˆ 0.5 0 ，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 （2）由（1）知，b ˆ 0.5 9 2.3 6.8 千元，故预测该地区 2015 年千元．将 2015 年的年份代号 t 9 代入（I）中的回归方程，得 y 农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元．（2014 重庆理数）18．（本小题满分 13 分）一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是1 ， 3 张卡片上的数字是2 ， 2 张卡片上的数字是3 ，从盒中任取 3 张卡片．（1）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； b c，（2） X 表示所取 3张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望（注：若三个数 a, b, c 满足 a剟则称 b 为这三个数的中位数）．解：（1）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 P 3 C3 5 4 C3 ． 3 C9 84 （2） X 的所有可能值为 1，2，3，且 P X 1 1 C2 1 2 C7 ，故 X 的分布列为 3 C9 12 1 3 1 1 2 1 3 C2 C1 17 434C5 C4 3C4 C2 C3 C6 C3 ，， P X 2 3 3 C9 42 C9 84 P X 3 X P 1 2 3 从而 E X 1 17 43 1 47 2 3 ． 42 84 12 28 11 17 42 43 84 1 1212。
浙江省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选1分类汇编14：概率 Word版含答案
浙江省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编14：概率一、填空题1 ．（浙江省温州中学2014届高三10月月考数学（理）试题）有一种游戏规则如下:口袋里有5个红球和5个黄球,一次摸出5个,若颜色相同则得100分,若4个球颜色相同,另一个不同,则得50分,其他情况不得分,小张摸一次得分的期望是____________分.【答案】75 7二、解答题2 ．（浙江省温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学（理）试题）某种项目的射击比赛,开始时在距目标100m处射击,如果命中记3分,且停止射击;若第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但目标已在150m处,这时命中记2分,且停止射击;若第二次仍未命中,还可以进行第三次射击,此时目标已在200m处,若第三次命中则记1分,并停止射击;若三次都未命中,则记0分,且比赛结束.已知射手甲在100m他的命中率与目标的距离的平方成反比,且各次射击都是独立的.(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率;(2)求射手甲在这次射击比赛中得分的数学期望.【答案】解:记第一、二、事件D,设在x m5000k=∴,由于各次射击都是相互独立的,∴该射手在三次射击中击中目标的概率3 ．（浙江省温州市十校联合体2014届高三10月阶段性测试数学（理）试题）在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出1点,甲盒中放一球;若掷出2点或3点,乙盒中放一球;若掷出4点或5点或6点,丙盒中放一球,前后共掷3 次,设,,x y z 分别表示甲,乙,丙3个盒中的球数. (1)求,,x y z 依次成公差大于0的等差数列的概率; (2)记x y ξ=+,求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.【答案】解:(1)x,y,z 依次成公差大于0的等差数列的概率,即甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0,1,2,------ 此时的概率41)21(31213=⨯⨯=C p ---- (2)(2)ξ的取值范围0,1,2,3,且311(0)()28p ξ===;1212331111113(1)()()6232848p C C ξ==⨯⨯+⨯⨯=+=;3222233*********(2)()()63232628p A C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=;332222*********(3)()()()()6363638p C C ξ==++⨯⨯+⨯⨯=随机变量ξ的概率分布列数学期望为2E ξ=------ 4 ．（浙江省温州市2014届高三上学期八校联考数学（理）试题）一个袋子里装有7个球, 其中有红球4个, 编号分别为1,2,3,4;白球3个, 编号分别为2,3,4. 从袋子中任取4个球 (假设取到任何一个球的可能 性相同).(Ⅰ) 求取出的4个球中, 含有编号为3的球的概率;(Ⅱ) 在取出的4个球中, 红球编号的最大值设为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】解: (Ⅰ) 设“取出的4个球中,含有编号为3的球”为事件A,则76C C C C C )(4725223512=+=A P 所以,取出的4个球中,含有编号为3的球的概率为76(Ⅱ)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4351C C )1(4733===X P , 354C C )2(4734===X P ,72C C )3(4735===X P , 74C C )4(4736===X P , 所以随机变量的分布列是随机变量X 的数学期望57473352351=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 5 ．（浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考数学（理）试题 ）(本题满分14分)在两个不同的口袋中,各装有大小、形状完全相同的1个红球、2个黄球.现分别从每一个口袋中各任取2个球,设随机变量ξ为取得红球的个数. (Ⅰ)求ξ的分布列; (Ⅱ)求ξ的数学期望E ξ.【答案】解:(Ⅰ)由题意ξ的取值为0,1,2.则)0(=ξP 22222233C C C C =⋅19=;)1(=ξP 122222332C C C C =⨯⋅49=;)2(=ξP 11222233C C C C =⋅49=;所以ξ的分布列为(Ⅱ)ξ的数学期望:E ξ=14440129993⨯+⨯+⨯=. 【编号】378 【难度】一般6 ．（浙江省嘉兴一中2014届高三上学期期中数学理试卷）某单位的联欢活动中有一种摸球游戏,已知甲口袋中大小相同的3个球,其中2个红球,1个黑球;乙口袋中有大小相同的2个球,其中1个红球,1个白球.每次从一只口袋中摸一个球,确定颜色后再放回.摸球的规则是:先从甲口袋中摸一个球,如果摸到的不是红球,继续从甲口袋中摸一个球,只有当从甲口袋中摸到红球时,才可继续从乙口袋里摸球.从每个口袋里摸球时,如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球,则该游戏者的游戏停止.游戏规定,如果游戏者摸到2个红球,那么游戏者就中奖.现假设各次摸球均互不影响. (I)一个游戏者只摸2次就中奖的概率;(II)在游戏中,如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会,记他摸球的次数为ξ,求ξ的数学期望.【答案】解:从甲口袋中摸一个球,摸到的球是红色球的概率为23;从乙口袋中摸一个球,摸到的球是红色球的概率为12. (1)一个游戏者只摸2次就中奖,说明他第一次从甲口袋摸到的是红球,第二次从乙口袋中摸到的也是红球,所以其概率为211323⨯=;(2)ξ可取2,3,4.用A 表示“从甲口袋中摸1个球,摸到的是红球”,用A 表示“从甲口袋中摸1个球,摸到的不是红球”,则21(),()33P A P A ==;用B 表示“从乙口袋中摸1个球,摸到的是红球”,用B 表示“从乙口袋中摸1个球,摸到的不是红球”,则11(),()22P B P B ==.21114(2)()()32339P P A B P A A ξ==⋅+⋅=⨯+⨯=;1114(3)()()()6699P P A B B P A B B P A A B ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=;111(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=.所以ξ的分布列为44182349993E ξ=⨯+⨯+⨯=.7 ．（浙江省嘉兴市2014届高三9月月考数学理试题）一个袋子中装有6个红球和4个白球,假设每一个球被摸到的可能性是相等的.(I)从袋子中摸出3个球,求摸出的球为2个红球和1个白球的概率;(II)从袋子中摸出2个球,其中白球的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.【答案】。
江苏省徐州市2014届高三第三次质量检测理科数学试卷(带解析)
江苏省徐州市2014届高三第三次质量检测理科数学试卷（带解析）1【解析】N={2,3,4}.考点：集合运算25的虚部是．【答案】-2【解析】=z的虚部为-2.考点：复数概念3．一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为．【解析】试题分析：向上一面数字之和为5的事件包含2+3与3+2考点：古典概型概率4．从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140)内的学生人数为．【答案】30【解析】试题分析：由频率分布直方图中长方形的面积为频率，所以[130,140）内考点：频率分布直方图5的值为．【答案】16.【解析】16.考点：伪代码61，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为．【解析】考点：圆柱的侧面积7的离心率为．【解析】试题分析：双曲线一条渐近线方程为，所以考点：点到直线距离公式，双曲线渐近线8的值为 ．【答案】7 【解析】考点：等比数列前n 项和9的最大值为 ．【解析】试题分析：可行域为三角形OAB 及其内部,B 时，取考点：线性规划求最值10的横坐标之和为．【答案】30【解析】试题分析：考点：三角函数图像与性质11角）的值为．【解析】试题分析：因为，所以θ所以)s i n(考点：同角三角函数关系，向量数量积12的解集是．【解析】试题分析：考点：利用函数性质解不等式13BE =【解析】试题分析：因为，所以考点：向量表示14．1a 的取值范围是 ．【解析】1-∞=(,)e考点：利用导数求参数取值范围15（1（2【答案】（1（2【解析】试题分析：（10，所以转化条件，因为，所以关键在于求边，BD==BA=试题解析：（1）2分4分6分7分（2BD=BC=BA=由（110分12分14分16（1（2【答案】（1）详见解析，（2【解析】试题分析：（1）证明线线平行，一般思路为利用线面平行的性质定理与判定定理进行转化. 因（2）求三棱锥的体积，关键是找寻高.垂直证线面垂直.试题解析：（13分6分（2DE D=9分又由（112分14分考点：线面平行判定定理与性质定理，线面垂直判定定理与性质定理，三棱锥体积17．根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，件)之间近似地满足关系式(日产品废品率．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（1)件)的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？【答案】（1（2）日产量为10件时，日利润最大，【解析】 试题分析：（1）解实际问题应用题，关键正确理解题意，列出函数关系式.废品为件，正品为件，因此赢利，亏损，利润为2）求分段函数最值，需分别求. 当值，也是最大值，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大． 试题解析：（1）由题意可知，4分 （210分10件时，日利润最大．答：当该车间的日产量为1014分考点：函数解析式，利用导数求函数最值18个边长为2（1程；（2，，直线2)1 x与（ⅱ）说明理由．【答案】（1（2）【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件.求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本（2）.程为，与直线的方程联立，解得点解得点,因此1=”，. 直线的试题解析：（12分4分（26分9分（ⅰ）=”，12分14分16分考点：椭圆与圆标准方程，直线与椭圆位置关系19（1）求证：数列是等差数列，并求数列（2，【答案】（1（2【解析】试题分析：（1.因此首先得到关于与的关系式，因为，所以，则2）由(1)然后假设存在，得一等量关系：方向.题中暗示，用p表示，所以：，试题解析：（12分4分6分（2）由（1，9分12分14分15分16分考点：等差数列定义，等差数列综合应用20（1（2（3）【答案】（1（23）不平行【解析】试题分析：（1关键在因式分解，目的解不等式.（2）求函数最值，其实质还是研究其单调性.得，，①当>1，即2⎡⎤时，（3）是否平行，还是从假设平行出发，探究等量关系是否成立. 设，则点N的横坐标为ABC 在点N 处的切线斜不妨1的解.易由函数单调性得方程无解.试题解析：（12分4分（2①，⎤所以在上的最小值为6分8分综上，函数oρ在区间3)](1y z +-+上的最小值10分（3N直线AB曲线C 在点N假设曲线C 在点N 处的切线平行于直线AB13分116BA CB BA =不成立， 所以曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB ．16分 考点：利用导数求单调区间，利用导数求最值，利用导数研究方程是否有解 21．如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE=AC ， DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．【答案】详见解析【解析】证明三角形相似，关键在于找出对应角相等.需再找另一角即可.因为又（第21-A 题）A BPF OE DC·试题分析：试题解析：3分8分考点：三角形相似222，3的一个特【解析】试题分析：由矩阵特征值与特征向量对应关系有,所以解得5分10分考点：矩阵特征值与特征向量，逆矩阵23．在极坐标系中，已知圆心半径点迹的极坐标方程．【解析】试题解析：由题意知，4分9分10分考点：轨迹方程24．已知，，，且1【答案】详见解析【解析】试题分析：由柯西不等式得试题解析：因为8分10分考点：利用柯西不等式证明25（1（2【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）利用空间向量求线线角，关键在于正确表示各点的坐标.，所以,1，,因此116BACB BA=（2）利用空间向量求二面角，关键在于求出一个法向量.平一个法向量为试题解析：（1116BA CB BA =夹角的余弦值为104分 （210分考点：利用空间向量求线线角及二面角26．在数列中，已知，，(，．（1明；（2【答案】（1．（2.【解析】试题分析：（1）第一步是归纳，分别进行计算.；当时，．第二步猜想，．第三步证明，本题可用数学归纳法证，也可证等式（2）探求整数解问题，一般要构造一个可说明的整式. 设，则，又，且满足条件．试题解析：（12分．3分下面用数学归纳法证明：根据①,成立．5分（27分，10分考点：数学归纳法。
2014-2017全国卷(理)真题汇编---概率与统计-T
2014-2017全国卷(理)真题汇编---概率与统计-T第九章 附-统计与概率高考真题（2014全国1）18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （I ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x，2δ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .18．【解析】：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()()()()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150= …………6分（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z～(200,150)N，从而P Z<<=(20012.220012.2)0.6826-<<+= (9)P Z(187.8212.2)分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知(100,0.6826)X B，所以EX=⨯=………12分1000.682668.26（2014全国2）19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．xyw821()ii x x =-∑ 821()ii w w =-∑ 81()()iii x x y y =--∑ 81()()iii w w y y =--∑46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中iiw x =81i i w w ==∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x=-。
专题12 概率和统计-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编(第02期) Word版含解析[ 高考]
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一．基础题组1. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】已知2~(3,)N ξσ，若(2)0.2P ξ≤=，则ξ≤P(4)等于( )A ．2.0B ．3.0C ．7.0D ．8.02. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，若(8)0.4P ξ>=，则(0)P ξ<=( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.73. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是 ( )4.【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】某小学对学生的身高进行抽样调查，如图，是将他们的身高（单位：厘米）数据绘制的频率分布直方图．若要从身高在［120，130），［130，140），［140，150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人，则从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为________.5.【江苏省阜宁中学2014届高三年级第一次调研考试】下图茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为.二．能力题组1.【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】在圆22＋＝--(2)(2)4x y内任取一点，则该点恰好在区域50303x x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋2y －≥－2＋≥≤内的概率为（ ）A ．18π B ．14π C ．12π D ．1π考点：二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识, 考查学生的基本运算能力．2. .【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是12，反复这样投掷，数列{}a n 定义如下：a n n n =-⎧⎨⎪⎩⎪11，第次投掷出现正面，第次投掷出现反面，若S a a a n N n n =+++∈12 ()*，则事件“280,2S S ≠=”的概率是（ ）A ．1256 B.13128 C.12 D.732三．拔高题组1. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】现有A ，B 两球队进行友谊比赛，设A 队在每局比赛中获胜的概率都是23．（Ⅰ）若比赛6局，求A 队至多获胜4局的概率；（Ⅱ）若采用“五局三胜”制，求比赛局数ξ的分布列和数学期望．（Ⅱ）由题意可知，ξ的可能取值为3，4，5．考点：排列组合，分布列，期望.2.【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】一个袋子里装有7个球, 其中有红球4个, 编号分别为1，2，3，4；白球3个, 编号分别为2，3，4. 从袋子中任取4个球(假设取到任何一个球的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4个球中, 含有编号为3的球的概率；(Ⅱ) 在取出的4个球中, 红球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4. ……6分考点：概率，分布列，期望.3. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】一个口袋中有红球3个，白球4个．（Ⅰ）从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸2次恰好第2次中奖的概率；（Ⅱ）每次同时摸2个，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X 的数学期望E(X)．(Ⅱ) 设“每次同时摸2个,恰好中奖”为事件B ，则75C C )(27141323=+=C C B P随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. ……6分4314716075175)1(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅==C X P ， 42224760075175)2(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 43347100075175)3(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 4444762575)4(=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，……10分所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望240168607625471000376002716014444=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . ……14分 考点：组合公式、概率，分布列，期望4. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】(本题满分12分)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是23. (Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X 的分布列及数学期望；(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.【答案】(Ⅰ)X 的分布列数学期望4EX =；(Ⅱ)81. 【解析】试题分析：(Ⅰ)先定出X 的所有可能取值，易知本题是6个独立重复试验中成功的次数的离散概率分布，即为二项分布.由二项分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根据比赛获胜的规定，教师甲前四次投球中至少有两次投中，后两次必须投中，即可能的情况有1.前四次投中2次（六投四中）；考点：1.二项分布；2.离散型随机变量的分布列与期望；3.随机事件的概率.5.【2014届广东高三六校第一次联考理】甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。
2014届高三数学 概率
2014届高三数学概率【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌握系列》16.概率1.（2013·合肥二模)将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为( )．A.18B.316C.14D.12解析由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个，所以所求概率为1 4.答案 C2．(2013·日照模拟)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为 ( )．A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3 解析 由对立事件可得P ＝1－P (A )＝0.35. 答案 C3．(2013·海口模拟)盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球．不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为 ( )．A.35B.110C.59D.25解析 第一次结果一定，盒中仅有9个乒乓球，5个新球4个旧球，所以第二次也取到新球的概率为59. 答案 C4.某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e>5的概率是________．解析e＝1＋b2a2>5，∴b>2a，符合b>2a的情况有：当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a ＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．则所求概率为636＝16.答案1 65.(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．解析根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．因为每人都从三个项目中选择两个，有(C23)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有C23C13 C12个，故所求概率为C23C13C12C233＝23.答案2 36.(2013·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x＝22a－2bx有不等实数根的概率为( )．A.14B.12C.34D.25解析方程x＝22a－2bx，即x2－22ax＋2b＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(22a)2－4×2b>0，即a>b.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A“方程x＝22a－2bx有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．由几何概型公式可得P(A)＝12×1×11×1＝12.故选B.答案 B7.(2013·武汉一模)有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________．解析确定点P到点O1，O2的距离小于等于1的点的集合为，以点O1，O2为球心，1为半径的两个半球，求得体积为V＝2×12×43π×13＝43π，圆柱的体积为V＝Sh＝3π，所以点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为V＝1－4π33π＝59.答案5 98.(2012·烟台二模)已知正三棱锥S－ABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使得V P－ABC <12VS－ABC的概率是________．解析三棱锥P－ABC与三棱锥S－ABC的底面相同，V P－ABC<12VS－ABC就是三棱锥P－ABC的高小于三棱锥S－ABC的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC的面积为S，三棱锥S－ABC的高为h，则所求概率为：P＝13Sh－13×14S×12h13Sh＝78.答案7 8。
2014年全国高考理科数学《概率》汇编
2014年全国高考理科数学《概率》汇编1.（天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.（Ⅰ）解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则()120337373104960C C C C P A C ? ==. 所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960. 所以，()f x 的最小正周期22T pp ==. （Ⅱ）解：随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.()346310k k C C P x k C -×==()0,1,2,3k =. 所以，随机变量X 的分布列是X 012 3P1612310 130随机变量X 的数学期望E(X)=0×61+1×21＋2×103＋3×301=56.2. （北京）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论） 解：⑴ 李明在该场比赛中命中率超过0.6的概率有：主场2 主场3 主场5 客场2 客场4 所以李明在该场比赛中投篮命中超过0.6的概率51102P == ⑵ 李明主场命中率超过0.6概率135P =，命中率不超过0.6的概率为1215P -= 客场中命中率超过0.6概率225P =，命中率不超过0.6的概率为2315P -=．332213555525P =⨯+⨯=⑶ ()E X x =．3、（广东）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为4.（山东）乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求： （I ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （II ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.BA CD解：（I ）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A10354615165)(=⨯+⨯=A P（II ）643210，，，，，的可能取值为ξ1015121)6(,301151315321)4(15251615121)3(,515331)2(6153615131)1(,3015161)0(=⨯===⨯+⨯===⨯+⨯===⨯===⨯+⨯===⨯==ξξξξξξP P P P P P 的分布列为ξ∴ ξ 012346P301 6151 152 3011 101 309110163011415235126113010)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE 其数学期望为5.（陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少．．于．2000元的概率.（1）3.06.0*5.0)4000(,5.04.0*5.06.0*5.0)2000(,2.04.0*5.0)800(.4000,2000,80040001000-10*50020001000-6*50020001000-10*3008001000-6*300.-*====+==========X p X p X p X X 三个，即，，，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润X 的分布列如下表：X 800 2000 4000 P 0.2 0.5 0.3（2）896.020*******.08.02.0*8.0*3)-1()-1(200023.8.03.05.02000)1(8001000-6*300.-*32333223的概率是季的利润不少于季中至少有所以，的概率季的利润不少于季中至少有则的概率知，一季利润不少于由，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润=+=+==+===p p C p p C P p X X6.（四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）。
2014年高考数学真题汇编(含答案)：概率与统计
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯w o r d 解析版) 八、概率与统计（逐题详解） 第I 部分1.【2014年陕西卷（理06）】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ） 【答案】 C【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525===2.【2014年重庆卷（理03）】已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =，3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）【答案】A【解析】根据正相关知回归直线的斜率为正，排除,C D ，回归直线经过点(,)x y --，故选A 3.【2014年陕西卷（理09）】设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值和方差分别为（ ）（A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a【答案】 A【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，. 4.【2014年湖南卷（理02）】对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本，若选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ，2p ，3p ，则 A. 321p p p <= B. 132p p p <= C. 231p p p <= D. 321p p p ==【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得三种抽样方式都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即 321p p p ==，故选D5.【2014年山东卷（理07）】为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 （A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 【答案】C【解析】第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4200.450÷=500.361818612⨯=-=6.【2014年全国新课标Ⅰ（理05）】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78【答案】：D【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有246C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.7.【2014年全国新课标Ⅱ（理05）】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 【答案】 A 【解析】8.【2014年广东卷（理06）】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10 【答案】A【解析】由题意知：该地区中小学生总人数为：35004500200010000++=人，所以样本容量为100002%200⨯=，应抽取高中生人数为：420040794⨯=++，所以抽取的高中生近视人数为4050%20⨯=人.故选A.9.【2014年湖北卷（理04）】根据如下样本数据x 3 45 6 7 8 y4.02.5 -0.5 0.5-2.0-3.0得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a 【答案】 B【解析】画出散点图如图所示，y 的值大致随x 的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b ，0>a10.【2014年湖北卷（理07）】由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.81 B.41 C. 43 D.87 【答案】 D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDFCEFBDFSSP S⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯. 11.【2014年江西卷（理06）】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是 【答案】D【解析】根据独立性检验相关分析知，阅读量与性别相关数据较大，选D 12.【2014年浙江卷（理09）】已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(3m ≥，3)n ≥，从乙盒中随机抽取(1i i =，2)个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1i i ξ=，2)；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1i p i =，2).则A.12p p >，12()()E E ξξ<B.12p p <，12()()E E ξξ>C.12p p >，12()()E E ξξ>D.12p p <，12()()E E ξξ< 【答案】A 【解析】，，，所以P1＞P 2；由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，所以 ==，E （ξ1）﹣E （ξ2）=．故选A第II 部分13.【2014年辽宁卷（理14）】正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，学科网则质点落在阴影区域的概率是 .【答案】【解析】∵A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），C （1，1），D （﹣1，1），∴正方体的ABCD 的面积S=2×2=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2[（1﹣）﹣（﹣1+）]=2×=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故答案为：14.【2014年广东卷（理11）】从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。
2014年高考数学全国卷1(理科)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷)数 学(理科)一．选择题：共12小题,每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1。
已知集合A={x ｜2230x x --≥｝,B=｛x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A 。
［-2,—1] B 。
［-1，2) C 。
[—1,1］ D .［1，2） 2。
32(1)(1)i i +-=A 。
1i +B .1i -C .1i -+D 。
1i --3。
设函数()f x ，()g x 的定义域都为R,且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B 。
｜()f x ｜()g x 是奇函数C .()f x |()g x ｜是奇函数D .｜()f x ()g x ｜是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A 。
3B .3C 。
3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D 。
786.如图,圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则y =()f x 在[0，π]上的图像大致为7。
执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2，3，则输出的M =A 。
203 B 。
165 C 。
72D .158 8.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C 。
32παβ+=D 。
22παβ+=9。
不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D 。
2014年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计_有答案
2014年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题1某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（）A．45B．50C．55D．60【答案】B2某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B3某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C4某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【答案】D5如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（）A ．14π-B ．12π- C ．22π-D ．4π【答案】A6节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ） A ．14B ．12C ．34D ．78【答案】C错误！未指定书签。
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概率专题1、两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）（A ）12 (B)512(C)14 (D)162、一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。
方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。
国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为1p 和2p ，则（ ）A. 1p =2pB. 1p <2pC. 1p >2p D 。
以上三种情况都有可能3 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 （A ）318 （A ）418 （A ）518 （A ）618 4.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（ ） （A ）45 (B)35 （C ）25 (D)155.为了迎接广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。
如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ） A 、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒6.考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ） A ．175 B ． 275 C ．375 D ．4757、考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于 （ ） A.1 B. C. D. 0 8、甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 （ ）A ．16 B ．14 C ．13 D ．129、为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（ ） A ．3181 B ．3381 C ．4881 D ．508110、ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）A ．4π B ．14π- C ．8π D ．18π- 11、若事件E 与F 相互独立，且()()14P E P F ==，则()P E F I 的值等于 （ ）A ．0B ．116C ．14D ．1212、从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A ．929B ．1029C ．1929D ．202913、在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ） A.124414128C A AB.124414128C C C C .12441412833C C C A D.12443141283C C C A 14、4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．3415、在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin 1x x +≤”发生的概率为（ ）A ．14 B ．13 C ．12 D ．2316、某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为(80)2200()()x f x ex R --=∈,则下列命题中不正确的是 ( )A. 该市这次考试的数学平均成绩为80分B. 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C. 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D. 该市这次考试的数学成绩标准差为1017、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为（结果用最简分数表示）。
18、三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为。
19、加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________ .20、一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这咱新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）。
21、某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。
假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于。
22、如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．23、某同学参加3门课程的考试。
假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。
记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求p，q的值； (Ⅲ)求数学期望Eξ。
24、某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。
另外2次未击中目标的概率；（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ分布列。
25、如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。
已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变量ξ为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望ξE；(II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求)2 (=ηP．26、投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．27、某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。
生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。
设生产各种产品相互独立。
（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
28、甲、乙两位乒乓球选手，在过去的40局比赛中，甲胜24局.现在两人再次相遇.⑴打满3局比赛，甲最有可能胜乙几局，说明理由；⑵采用“三局两胜”或“五局三胜”两种赛制，哪种对甲更有利，说明理由.（注：计算时，以频率作为概率的近似值.“三局两胜”就是有一方胜局达到两局时，就结束比赛；“五局三胜”就是有一方胜局达到三局时，就结束比赛）29、为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.12、13、16，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。
（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望。
30、某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励．已知此技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为23，被乙小组攻克的概率为34．（1）设ξ为攻关期满时获奖的攻关小组数，求ξ的分布列及Eξ；（2）设η为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函数7()2xf xη=-在定义域内单调递减”为事件C，求事件C的概率．概率专题参考答案1、【答案】B 【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算问题【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，则P(A)=P(A 1)+ P(A 2)=211335+=43412⨯⨯2、【答案】B 【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。
本题是北师大版新课标的课堂作业，作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。
方法一：每箱的选中的概率为110，总概率为0010101(0.1)(0.9)C -；同理，方法二：每箱的选中的概率为15，总事件的概率为0055141()()55C -，作差得1p <2p 。
3、【答案】C 【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。
两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线）包括10个基本事件，所以概率等于.【方法技巧】对于几何中的概率问题，关键是正确作出几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件保护的基本事件数，进而利用概率公式求概率. 4、【答案】D5、【答案】C 每次闪烁时间5秒，共5×120=600s ，每两次闪烁之间的间隔为5s ，共5×（120-1）=595s ．总共就有600+595=1195s ．6、【解析】如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有22661515225C C ∙=⨯=种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有//,//,//,AC DB AD CB AE BF //,//,//AF BE CE FD CF ED共12对，所以所求概率为12422575p ==，选D 7、【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有36C 个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为1，选A 。