2018学年山西省晋中市平遥中学高二上学期期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年山西省晋中市平遥中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．（5分）直线的倾斜角为（）A．60°B．90°C．120° D．不存在2．（5分）棱台不具备的性质是（）A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点3．（5分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=04．（5分）已知平面α⊥β，且α∩β=l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n5．（5分）平行线3x+4y﹣9=0和6x+8y+2=0的距离是（）A．B．2 C．D．6．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）A． B．C．D．7．（5分）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=3，AD=4，AB=5，由A在表面到达C1的最短行程为（）A．12 B． C． D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．4 B．C．D．1210．（5分）若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣211．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2 B．8 C．4 D．1012．（5分）在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外接球半径为（）A．B．C．D．3二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=．14．（5分）圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为．15．（5分）在正四面体ABCD（各棱都相等）中，E是BC的中点，则异面直线AE与CD所成的角的余弦值为．16．（5分）已知直线与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B 分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，，则|CD|=．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，）17．（10分）（1）直线l；过点P（﹣1，2），且点A（﹣4，1），B（2，5）到直线l的距离相等，求直线l的方程；（2）已知圆心为C的圆过点A（﹣2，2），B（﹣5，5），且圆心在直线l：x+y+3=0上，求圆心为C的圆的标准方程．18．（12分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，M、N分别是AB'、BC'的中点．（Ⅰ）求证：直线MN∥平面ABCD．（Ⅱ）求B'到平面A'BC'的距离．19．（12分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线过点P（5，0）．（1）若直线l与圆C相切，求直线的方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求使得△ABC面积最大的直线方程．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．求证：（1）CM∥平面BEF．（2）求三棱锥M﹣BEF的体积．21．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=CC1，AB⊥BC．点M，N分别是CC1，B1C的中点，G是棱AB上的动点．（Ⅰ）求证：B1C⊥平面BNG；（Ⅱ）若CG∥平面AB1M，试确定G点的位置，并给出证明．22．（12分）已知过点A（﹣1，0）的动直线l与圆C：x2+（y﹣3）2=4相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（2）当时，求直线l的方程；（3）探索是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．2017-2018学年山西省晋中市平遥中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．（5分）直线的倾斜角为（）A．60°B．90°C．120° D．不存在【解答】解：由题意y=x，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，则tanα=，可得α=60°故选A．2．（5分）棱台不具备的性质是（）A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点【解答】解：根据棱台的定义，由平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台．∴棱台的两底面是相似多边形；侧面的上下底边平行；侧棱延长后交于一点，故A、B、D成立，C不一定成立，故选C．3．（5分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．4．（5分）已知平面α⊥β，且α∩β=l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【解答】解：∵α∩β=l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l．故选C．5．（5分）平行线3x+4y﹣9=0和6x+8y+2=0的距离是（）A．B．2 C．D．【解答】解：两平行直线的距离d===2．故选B6．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）A． B．C．D．【解答】解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．==，解得．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．7．（5分）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求．故选B．8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=3，AD=4，AB=5，由A在表面到达C1的最短行程为（）A．12 B． C． D．【解答】解：从A点沿不同的表面到C1，其距离可采用将长方体展开的方式求得，分别是=，=4，=3∴从A点沿表面到C1的最短距离为．故选：B．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．4 B．C．D．12【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱锥和一个棱柱组成的组合体，底面面积S=×2×2=2，棱锥的高为1，棱柱的高为2，故组合体的体积V=2××2×1+2×2=，故选：B10．（5分）若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣2【解答】解：由题意可得直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y ﹣6=0的圆心（1，2），故有2a+2b=2，即a+b=1．再根据+=+=3++≥3+2=2+2，当且仅当=时，取等号，故+的最小值是3+2，故选：C．11．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2 B．8 C．4 D．10【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．12．（5分）在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外接球半径为（）A．B．C．D．3【解答】解：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上．由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD．因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD与平面ABD所成角为θ，∴cosθ=，sinθ=．在△DMN中，DM=CD=1，DN=•DP=••3=．由余弦定理得MN2=12+（）2﹣2•1••=2，故MN=．∴四边形DMON的外接圆的直径OD===．故球O的半径R=．故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=2．【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．14．（5分）圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为180°．【解答】解：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，设圆锥底面半径为r，则圆锥母线长为2r，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2rπ，该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：=π，即180°故答案为：180°．15．（5分）在正四面体ABCD（各棱都相等）中，E是BC的中点，则异面直线AE与CD所成的角的余弦值为．【解答】解：取BD的中点F，连接AF、EF，∵E、F分别是BC、BD的中点，∴EF∥CD，∴∠AEF为异面直线AE与CD所成的角，设正四面体ABCD的棱长为2，则AE=AF=，EF=1，在△AEF中，cos∠AEF===．故答案是16．（5分）已知直线与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，，则|CD|=4．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，）17．（10分）（1）直线l；过点P（﹣1，2），且点A（﹣4，1），B（2，5）到直线l的距离相等，求直线l的方程；（2）已知圆心为C的圆过点A（﹣2，2），B（﹣5，5），且圆心在直线l：x+y+3=0 上，求圆心为C的圆的标准方程．【解答】解：（1）当所求的直线和线段AB平行时，它的斜率为K AB==，再根据直线l过点P（﹣1，2），利用点斜式求得它的方程为y﹣2=（x+1），即2x﹣3y+8=0．当所求直线经过线段AB的中点C（﹣1，3）时，再根据直线l过点P（﹣1，2），可得它的方程为x=﹣1，即x+1=0．综上可得，要求的直线l的方程为2x﹣3y+8=0，或x+1=0．（2）设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，根据已知条件可得（﹣2﹣a）2+（2﹣b）2=r2，①（﹣5﹣a）2+（5﹣b）2=r2，②a+b+3=0，③联立①，②，③，解得a=﹣5，b=2，r=3．所以所求圆的标准方程为（x+5）2+（y﹣2）2=9．18．（12分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，M、N分别是AB'、BC'的中点．（Ⅰ）求证：直线MN∥平面ABCD．（Ⅱ）求B'到平面A'BC'的距离．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结B′C、AC，则N也是B′C的中点，∴MN是△B′AC的中位线，∴MN∥AC；又MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；（Ⅱ）△A′BC′是边长为的等边三角形，=×××sin60°=；∴S△A′BC′设B′到平面A′BC′的距离为h，=V三棱锥A′﹣B′BC′得，由V三棱锥B′﹣A′BC′×=×（1×1×）×1，解得h=．19．（12分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线过点P（5，0）．（1）若直线l与圆C相切，求直线的方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求使得△ABC面积最大的直线方程．【解答】解：（1）①当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为y=k（x﹣5），整理得kx﹣y﹣5k=0，∵直线l与圆C相切，故=2，解得：k=﹣，故此时直线l的方程是：3x+4y﹣15=0；②当直线l的斜率不存在时，其方程是x=5，与圆相切，符合题意，综上，直线l的方程是：3x+4y﹣15=0或x﹣5=0；（2）由（1）可得当直线l与圆C相交时，它的斜率一定存在，设其方程是kx﹣y﹣5k=0，∵圆心到直线l的距离d=，|AB|=2，故△ABC的面积为|AB|d=d=，故当d2=2时，△ABC的面积取最大值，由=，整理得k2+8k+7=0，解得：k=﹣1或k=﹣7，故直线l的方程是：x+y﹣5=0或7x+y﹣35=0．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．求证：（1）CM∥平面BEF．（2）求三棱锥M﹣BEF的体积．【解答】证明：（1）取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，∵E为PC中点，FA=2FP，∴FE∥CG．∵CG⊄面BEF，EF⊂面BEF，∴CG∥面BEF．同理可证：GM∥面BEF．又GC∩GM=G，∴面CMG∥面EFB．∵CM⊂面CMG，∴CM∥面BEF．解：（2）∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC，又∵BC⊥AC，且PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC，∴AC⊥BE，又∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC，则BE⊥面PAC．在三角形PAC中，PC=4，CA=4，PA=4，∴∠PCA=90°，=S△PAC=S△ACE=S△PEF=S△AEF=S△PAC=×AC•PC=，∵S△AEF又∵BE=2是三棱锥B﹣AEF的高，=V A﹣BEF====．∴V M﹣BEF21．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=CC1，AB⊥BC．点M，N分别是CC1，B1C的中点，G是棱AB上的动点．（Ⅰ）求证：B1C⊥平面BNG；（Ⅱ）若CG∥平面AB1M，试确定G点的位置，并给出证明．【解答】解：（I）：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=CC1=BB1，点N是B1C的中点，∴BN⊥B1C…（1分）∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BB1∩BC=B∴AB⊥平面B1BCC1…（3分）∵B1C⊂平面B1BCC1∴B1C⊥AB，即B1C⊥GB…（5分）又∵BN∩BG=B，BN、BG⊂平面BNG∴B1C⊥平面BNG…（6分）（II）当G是棱AB的中点时，CG∥平面AB1M．…（7分）证明如下：连接AB1，取AB1的中点H，连接HG、HM、GC，则HG为△AB1B的中位线∴GH∥BB1，GH=BB1…（8分）∵由已知条件，B1BCC1为正方形∴CC1∥BB1，CC1=BB1∵M为CC1的中点，∴…（11分）∴MC∥GH，且MC=GH∴四边形HGCM为平行四边形∴GC∥HM…（12分）又∵GC⊈平面AB1M，HM⊂平面AB1M，∴CG∥平面AB1M…（14分）22．（12分）已知过点A（﹣1，0）的动直线l与圆C：x2+（y﹣3）2=4相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（2）当时，求直线l的方程；（3）探索是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．【解答】解：（1）∵l与m垂直，且，∴k1=3，故直线l方程为y=3（x+1），即3x﹣y+3=0．∵圆心坐标（0，3）满足直线l方程，∴当l与m垂直时，l必过圆心C．（2）①当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），即kx﹣y+k=0，∵，∴，则由，得，∴直线l：4x﹣3y+4=0．故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．（3）∵CM⊥MN，∴．①当l与x轴垂直时，易得，则，又，∴．②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），则由得，则．∴．综上所述，a=18与直线l的斜率无关，且．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。