基本初等函数专项训练经典题
基本初等函数练习题
基本初等函数练习题基本初等函数练习题函数是数学中的重要概念,它描述了一种映射关系,将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
而初等函数则是指可以由有限次的四则运算、指数和对数运算以及三角函数和反三角函数运算得到的函数。
在数学学习中,初等函数是一个基础且重要的概念,下面我们来练习一些基本初等函数的题目。
1. 计算函数f(x) = 3x + 2在x = 5处的值。
解答:将x = 5代入函数f(x) = 3x + 2中,得到f(5) = 3 * 5 + 2 = 17。
所以函数在x = 5处的值为17。
2. 求函数g(x) = x^2 - 4x + 3的零点。
解答:零点即函数的解,即g(x) = 0。
将g(x) = x^2 - 4x + 3置零,得到x^2 -4x + 3 = 0。
通过求根公式,我们可以得到x = 1和x = 3。
所以函数的零点为x = 1和x = 3。
3. 计算函数h(x) = log2(x)在x = 8处的值。
解答:将x = 8代入函数h(x) = log2(x)中,得到h(8) = log2(8)。
由于2的多少次方等于8,所以log2(8) = 3。
所以函数在x = 8处的值为3。
4. 求函数k(x) = sin(x) + cos(x)的最大值和最小值。
解答:由于三角函数的取值范围在[-1, 1]之间,所以sin(x)和cos(x)的最大值和最小值都是1和-1。
所以函数k(x) = sin(x) + cos(x)的最大值为1 + 1 = 2,最小值为-1 - 1 = -2。
5. 计算函数m(x) = e^x在x = 2处的值。
解答:将x = 2代入函数m(x) = e^x中,得到m(2) = e^2。
e是一个数学常数,约等于2.71828。
所以函数在x = 2处的值为e^2。
通过以上的练习题,我们可以巩固对基本初等函数的理解和运用。
初等函数在数学中的应用非常广泛,它们可以描述各种各样的数学关系和现象。
基本初等函数专项训练(含答案)经典题
基本初等函数专项训练(含答案)经典题一、简答题1、设.(1)判断函数的奇偶性;(2)求函数的定义域和值域.2、设函数(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值.3、已知函数f(x)=x2+2ax+1(a∈R),f′(x)是f(x)的导函数.(1)若x∈[-2,-1],不等式f(x)≤f′(x)恒成立,求a的取值范围;(2)解关于x的方程f(x)=|f′(x)|;(3)设函数g(x)=,求g(x)在x∈[2,4]时的最小值.4、经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)=4+,人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)=115-|t-15|.(1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30,t∈N*)的函数关系式;(2)求该城市旅游日收益的最小值(万元).5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查,预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是:P(x)=x(x+1)(41-2x)(x≤12且x∈N*)(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式;(2)若第x月的销售量g(x)=(单位:件),每件利润q(x)元与月份x的近似关系为:q(x)=,问:该商场销售A品牌商品,预计第几月的月利润达到最大值月利润最大值是多少(e6≈403)6、已知函数f(x)=x2-(1+2a)x+a ln x(a为常数).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;(2)当a>0时,讨论函数y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间.7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1 000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:资金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数y=f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求,并分析函数y=+2是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;(2)若该公司采用模型函数y=作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值.8、已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,);(Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求证:.9、已知命题p:函数y=log a(1-2x)在定义域上单调递增;命题q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立.若p∨q是真命题,求实数a的取值范围.二、选择题10、已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上是增函数.令,,,则()A.B.C.D.11、函数是()A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数12、曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D.13、函数的单调增区间为A、RB、C、D、14、已知,若恒成立,则的取值范围是(A)(B)(C)(D)15、已知函数其中表示不超过的最大整数,(如,,).若直线与函数的图象恰有三个不同的交点,则实数的取值范围是A.B.C.D.16、已知,,,则A. B. C. D.17、已知函数f(x)=,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围为()A.()B.()C.(,12)D.(6,l2)18、下列函数中既是奇函数,又在区间上单调递减的函数是A. B.C. D.19、已知,,,则(A)(B)(C)(D)20、函数的部分图象为()21、A BC D21、已知函数的两个极值点分别为,且,,点表示的平面区域为,若函数的图像上存在区域内的点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.22、已知.我们把使乘积为整数的数n叫做“优数”,则在区间(1,2004)内的所有优数的和为()A.1024 B.2003 C.2026 D.204823、若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图象上;②点A、B关于原点对称,则点(A,B)是函数的一个“姊妹点对”。
高中数学【基本初等函数、函数的应用】专题练习
高中数学【基本初等函数、函数的应用】专题练习1.已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( ) A.a <b <c B.b <a <c C.b <c <a D.c <a <b答案 A解析 ∵log 53-log 85=log 53-1log 58=log 53·log 58-1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53+log 5822-1log 58=⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52422-1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52522-1log 58=0,∴log 53<log 85.∵55<84,134<85,∴5log 85<4log 88=4=4log 1313<5log 138, ∴log 85<log 138,∴log 53<log 85<log 138, 即a <b <c .故选A.2.若2x -2y <3-x -3-y ,则( ) A.ln(y -x +1)>0 B.ln(y -x +1)<0 C.ln|x -y |>0 D.ln|x -y |<0 答案 A解析 设函数f (x )=2x -3-x .因为函数y =2x 与y =-3-x 在R 上均单调递增, 所以f (x )在R 上单调递增.原已知条件等价于2x -3-x <2y -3-y ,即f (x )<f (y ),所以x <y ,即y -x >0,y -x +1>1,所以A 正确,B 不正确. 因为|x -y |与1的大小不能确定,所以C ,D 不正确.3.设a ∈R ,函数f (x )=⎩⎨⎧cos (2πx -2πa ),x <a ,x 2-2(a +1)x +a 2+5,x ≥a ,若f (x )在区间(0,+∞)内恰有6个零点,则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤2,94∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52,114 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74,2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52,114 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤2,94∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫114,3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74,2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫114,3 答案 A解析 因为x 2-2(a +1)x +a 2+5=0最多有2个根, 所以c os (2πx -2πa )=0至少有4个根.由2πx -2πa =π2+k π,k ∈Z 可得x =k 2+14+a ,k ∈Z .由0<k 2+14+a <a 可得-2a -12<k <-12.①当x <a 时,当-5≤-2a -12<-4时,f (x )有4个零点,即74<a ≤94;当-6≤-2a -12<-5时,f (x )有5个零点, 即94<a ≤114;当-7≤-2a -12<-6时,f (x )有6个零点, 即114<a ≤134;②当x ≥a 时,f (x )=x 2-2(a +1)x +a 2+5, Δ=4(a +1)2-4(a 2+5)=8(a -2), 当a <2时,Δ<0,f (x )无零点;当a =2时,Δ=0,f (x )有1个零点x =3;当a >2时,令f (a )=a 2-2a (a +1)+a 2+5=-2a +5≥0,则2<a ≤52,此时f (x )有2个零点;所以当a >52时,f (x )有1个零点.综上,要使f (x )在区间(0,+∞)内恰有6个零点,则应满足⎩⎪⎨⎪⎧74<a ≤94,2<a ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧94<a ≤114,a =2或a >52或⎩⎨⎧114<a ≤134,a <2.则可解得a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2,94∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52,114.4.已知f (x )=|lg x |-kx -2,给出下列四个结论: (1)若k =0,则f (x )有两个零点; (2)∃k <0,使得f (x )有一个零点; (3)∃k <0,使得f (x )有三个零点; (4)∃k >0,使得f (x )有三个零点. 以上正确结论的序号是________. 答案 (1)(2)(4)解析 令f (x )=|lg x |-kx -2=0,可转化成两个函数y 1=|lg x |,y 2=kx +2的图象的交点个数问题. 对于(1),当k =0时,y 2=2与y 1=|lg x |的图象有两个交点,(1)正确; 对于(2),存在k <0,使y 2=kx +2与y 1=|lg x |的图象相切,(2)正确;对于(3),若k <0,则y 1=|lg x |与y 2=kx +2的图象最多有2个交点,(3)错误; 对于(4),当k >0时,过点(0,2)存在函数g (x )=lg x (x >1)图象的切线,此时共有两个交点,当直线斜率稍微小于相切时的斜率时,就会有3个交点,故(4)正确.1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m ·a n =a m +n ; (2)(a m )n =a mn ;(3)log a (MN )=log a M +log a N ; (4)log a MN =log a M -log a N ;(5)log a M n =n log a M ; (6)a log a N =N ;(7)log a N =log b Nlog ba (注:a ,b >0且a ,b ≠1,M >0,N >0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y =a x (a >0,a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的图象和性质,分0<a <1,a >1两种情况,当a >1时,两函数在定义域内都为增函数,当0<a <1时,两函数在定义域内都为减函数. 3.函数的零点问题(1)函数F (x )=f (x )-g (x )的零点就是方程f (x )=g (x )的根,即函数y =f (x )的图象与函数y =g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③数形结合,利用两个函数图象的交点求解. 4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.热点一 基本初等函数的图象与性质 【例1】 (1)(多选)下列命题中正确的是( ) A.∃x ∈(0,+∞),⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13xB.∀x ∈(0,1),log 12x >log 13xC.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12D.∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 13x(2)已知函数f (x )=⎩⎨⎧log a x ,x >0,|x +2|,-3≤x ≤0(a >0且a ≠1),若函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称,则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,3)C.(0,1)∪(3,+∞)D.(0,1)∪(1,3)答案 (1)ABC (2)D解析 (1)对于A ,分别作出y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象,如图(1),由图可知,当x ∈(0,+∞)时,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,故A 正确;对于B ,分别作出y =log 12x ,y =log 13x 的图象,如图(2),由图可知,当x ∈(0,1)时,log 12x >log 13x ,故B 正确;对于C ,分别作出y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,y =x 12的图象,如图(3),由图可知,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12时,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12,故C 正确;对于D ,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13时,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫120=1,log 13x >log 1313=1,所以D 错误.故选ABC.(2)y =log a x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y =log a (-x ),函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称,等价于y =log a (-x )与y =|x +2|,-3≤x ≤0的图象有且仅有一个交点.当0<a <1时,显然符合题意(图略).当a >1时,只需log a 3>1,∴1<a <3. 综上所述,a 的取值范围是(0,1)∪(1,3).探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a 的范围. 2.基本初等函数的图象和性质是统一的,在解题中可相互转化. 【训练1】 (1)函数f (x )=x 2-1e x 的图象大致为( )(2)(多选)已知函数f (x )=log 2(1+4x )-x ,则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )是偶函数 B.函数f (x )是奇函数C.函数f (x )在(-∞,0]上单调递增D.函数f (x )的值域为[1,+∞) 答案 (1)A (2)AD解析 (1)易知f (x )在定义域R 上为非奇非偶函数,B 不合题意. 当x <0且x →-∞时,f (x )>0,且f (x )→+∞,C 不合题意. 当x >0且x →+∞时,f (x )→0,知D 不合题意,只有A 满足.(2)因为f (x )的定义域为R ,且f (-x )=log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1+14x -(-x )=log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +14x +x =log 2(4x +1)-log 24x +x =log 2(1+4x )-2x +x =log 2(1+4x )-x =f (x ), 所以函数f (x )为偶函数,故A 正确,B 不正确;f ′(x )=4x ln 4(1+4x)ln 2-1=2×4x 4x +1-1=4x -14x +1, 则当x <0时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减,当x >0时,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增,故C 不正确;由以上分析知,f (x )min =f (0)=1,所以函数f (x )的值域为[1,+∞),故D 正确.综上所述,选AD. 热点二 函数的零点与方程 考向1 确定函数零点个数【例2】 (1)设函数f (x )=2|x |+x 2-3,则函数y =f (x )的零点个数是( ) A.4 B.3 C.2D.1(2)已知函数f (x )=⎩⎨⎧e x ,x <0,4x 3-6x 2+1,x ≥0,其中e 为自然对数的底数,则函数g (x )=3[f (x )]2-10f (x )+3的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6D.3答案 (1)C (2)A解析 (1)易知f (x )是偶函数,当x ≥0时,f (x )=2x +x 2-3,所以x ≥0时,f (x )在[0,+∞)上是增函数,且f (1)=0,所以x =1是函数y =f (x )在[0,+∞)上的唯一零点.根据奇偶性,知x =-1是y =f (x )在(-∞,0)内的零点, 因此y =f (x )有两个零点.(2)当x ≥0时,f (x )=4x 3-6x 2+1的导数为f ′(x )=12x 2-12x , 当0<x <1时,f (x )单调递减,x >1时,f (x )单调递增,可得f (x )在x =1处取得最小值,最小值为-1,且f (0)=1, 作出函数f (x )的图象,如图. g (x )=3[f (x )]2-10f (x )+3,可令g (x )=0,t =f (x ),可得3t 2-10t +3=0, 解得t =3或13.当t =13时,可得f (x )=13有三个实根,即g (x )有三个零点; 当t =3时,可得f (x )=3有一个实根,即g (x )有一个零点. 综上,g (x )共有四个零点.探究提高 判断函数零点个数的主要方法(1)解方程f (x )=0,直接求零点;(2)利用零点存在性定理;(3)数形结合法:对于给定的函数不能直接求解或画出图象,常会通过分解转化为两个能画出图象的函数,求其图象交点问题.【训练2】 (1)函数f (x )=2sin x -sin 2x 在[0,2π]的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4D.5(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R ,都有f (x +2)=f (2-x ),当x ∈[-2,0]时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫22x-1,则关于x 的方程为f (x )-log 8(x +2)=0在区间(-2,6)上根的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4答案 (1)B (2)C解析 (1)令f (x )=0,得2sin x -sin 2x =0, 即2sin x -2sin x cos x =0,∴2sin x (1-cos x )=0,∴sin x =0或cos x =1. 又x ∈[0,2π],∴由sin x =0得x =0,π或2π,由cos x =1得x =0或2π. 故函数f (x )的零点为0,π,2π,共3个. (2)对于任意的x ∈R ,都有f (2+x )=f (2-x ), ∴f (x +4)=f [2+(x +2)]=f [2-(x +2)]=f (-x )=f (x ), ∴函数f (x )是一个周期函数,且T =4.又∵当x ∈[-2,0]时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫22x-1,函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (6)=f (-2)=1,则函数y =f (x )与y =log 8(x +2)在区间(-2,6)上的图象如图所示,根据图象可得y =f (x )与y =log 8(x +2)在区间(-2,6)上有3个不同的交点,即f (x )-log 8(x +2)=0在区间(-2,6)上有3个根. 考向2 根据函数的零点求参数的值或范围 【例3】 (1)已知函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e-x +1)有唯一零点,则a =( )A.-12B.13C.12D.1(2)设a ,b ∈R ,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x <0,13x 3-12(a +1)x 2+ax ,x ≥0.若函数y =f (x )-ax -b恰有3个零点,则( ) A.a <-1,b <0 B.a <-1,b >0 C.a >-1,b <0 D.a >-1,b >0答案 (1)C (2)C解析 (1)f (x )=(x -1)2+a (e x -1+e 1-x )-1, 令t =x -1,则g (t )=f (t +1)=t 2+a (e t +e -t )-1. ∵g (-t )=(-t )2+a (e -t +e t )-1=g (t ),且t ∈R , ∴函数g (t )为偶函数.∵f (x )有唯一零点,∴g (t )也有唯一零点. 又g (t )为偶函数,由偶函数的性质知g (0)=0, ∴2a -1=0,解得a =12.(2)由题意,令y =f (x )-ax -b =0,得b =f (x )-ax =⎩⎨⎧(1-a )x ,x <0,13x 3-12(a +1)x 2,x ≥0. 设y =b ,g (x )=⎩⎨⎧(1-a )x ,x <0,13x 3-12(a +1)x 2,x ≥0,则以上两个函数的图象恰有3个交点,根据选项进行讨论.①当a <-1时,1-a >0,可知在x ∈(-∞,0)上,g (x )单调递增,且g (x )<0; 由g ′(x )=x 2-(a +1)x =x [x -(a +1)](x ≥0),a +1<0, 可知在x ∈[0,+∞)上,g (x )单调递增,且g (x )≥0.此时直线y =b 与g (x )的图象只有1个交点,不符合题意,故排除A ,B. ②当a >-1,即a +1>0时.因为g ′(x )=x [x -(a +1)](x ≥0),所以当x ≥0时,由g ′(x )<0可得0<x <a +1,由g ′(x )>0可得x >a +1,所以当x ≥0时,g (x )在(0,a +1)上单调递减,g (x )在(a +1,+∞)上单调递增.如图,y =b 与y =g (x )(x ≥0)的图象至多有2个交点.当1-a >0,即-1<a <1时,由图象可得,若要y =g (x )与y =b 的图象有3个交点,必有b <0;当1-a =0时,y =g (x )与y =b 的图象可以有1个、2个或无数个交点,但不存在恰有3个交点的情况,不符合题意,舍去;当1-a <0,即a >1时,y =g (x )与y =b 的图象可以有1个或2个交点,但不存在恰有3个交点的情况,不符合题意,舍去. 综上,-1<a <1,b <0.故选C.探究提高 1.求解第(1)题关键是利用函数f (x )有唯一零点找到解题思路.借助换元法,构造函数g (t )=f (t +1)=t 2+a (e t +e -t )-1,利用函数的性质求解. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】 设函数f (x )=e x (2x -1)-ax +a (a <1)有两个零点,则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,43e -0.5 C.(-∞,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,43e -0.5 答案 A解析 依题设,f (x )=e x (2x -1)-ax +a 有两个零点,∴函数y =e x (2x -1)的图象与直线y =a (x -1)有两个交点. 令y ′=[e x (2x -1)]′=e x (2x +1)=0,得x =-12.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12时,y ′<0,故y =e x(2x -1)为减函数; 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞时,y ′>0,故y =e x (2x -1)为增函数,如图.设直线y =a (x -1)与y =e x (2x -1)相切于点P (x 0,y 0), ∴y 0=e x 0(2x 0-1). 则过点P (x 0,y 0)的切线为 y -e x 0(2x 0-1)=e x 0(2x 0+1)(x -x 0).将点(1,0)代入上式,得x 0=0或x 0=32(舍去). 此时,直线y =a (x -1)的斜率为1.故若直线y =a (x -1)与函数y =e x (2x -1)的图象有两个交点,应有0<a <1. 热点三 函数的实际应用【例4】某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O 在水平线MN 上,桥AB 与MN 平行,OO ′为铅垂线(O ′在AB 上).经测量,左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO ′的距离a (米)之间满足关系式h 1=140a 2;右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO ′的距离b (米)之间满足关系式h 2=-1800b 3+6b .已知点B 到OO ′的距离为40米.(1)求桥AB的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价32k(万元)(k>0),问O′E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?解(1)如图,设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.由条件知,当O′B=40时,BB1=-1800×403+6×40=160,则AA1=160.由140O′A2=160,得O′A=80.所以AB=O′A+O′B=80+40=120(米).(2)以O为原点,OO′所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=-1800x3+6x,EF=160-y2=160+1800x3-6x.因为CE=80,所以O′C=80-x.设D(x-80,y1),则y1=140(80-x)2,所以CD =160-y 1=160-140(80-x )2=-140x 2+4x . 记桥墩CD 和EF 的总造价为f (x )万元, 则f (x )=k ⎝ ⎛⎭⎪⎫160+1800x 3-6x +32k ⎝ ⎛⎭⎪⎫-140x 2+4x=k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1800x 3-380x 2+160(0<x <40). f ′(x )=k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3800x 2-340x =3k 800x (x -20),令f ′(x )=0,得x =20或x =0(舍去). 列表如下:所以当x =20时,f (x )取得最小值. 答:(1)桥AB 的长度为120米;(2)当O ′E 为20米时,桥墩CD 与EF 的总造价最低.探究提高 1.解决函数的实际应用问题时,首先要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式,然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去.2.对函数模型求最值的常用方法:单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】 “一骑红尘妃子笑,无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活,同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展,极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系y =e ax +b (a ,b 为常数),若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时,在24 ℃的保鲜时间为8小时,且该果蔬所需物流时间为3天,则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过( ) A.9 ℃ B.12 ℃ C.18 ℃ D.20 ℃答案 B解析 当x =6时,e 6a +b =216;当x =24时,e 24a +b =8, ∴e 6a +be 24a +b =2168=27,则e 6a =13. 若果蔬保鲜3天,则72=13×216=e 6a ·e 6a +b =e 12a +b , 故物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过12 ℃.一、选择题1.设a =log 2 0.3,b =log 120.4,c =0.40.3,则a ,b ,c 的大小关系为( )A.a <b <cB.c <a <bC.b <c <aD.a <c <b答案 D解析 ∵log 20.3<log 21=0,∴a <0.∵log 120.4=-log 20.4=log 252>log 22=1,∴b >1.∵0<0.40.3<0.40=1,∴0<c <1, ∴a <c <b .2.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,满足f (x +1)=-f (x ),当x ∈[0,1]时,f (x )=cos π2x ,则函数y =f (x )-|x |的零点个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A解析 由f (x +1)=-f (x ),得f (x +2)=f (x ),知周期T =2. 令f (x )-|x |=0,得f (x )=|x |.作出函数y =f (x )与g (x )=|x |的图象如图所示.由图象知,函数y =f (x )-|x |有两个零点.3.Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位:天)的Logistic 模型:I (t )=K 1+e-0.23(t -53),其中K 为最大确诊病例数.当I (t *)=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则t *约为(ln 19≈3)( ) A.60 B.63 C.66 D.69答案 C 解析 ∵I (t )=K 1+e -0.23(t -53), ∴当I (t *)=0.95K 时,K1+e -0.23(t *-53)=0.95K ,则11+e -0.23(t *-53)=0.95⇒1+e -0.23(t *-53)=10.95⇒e -0.23(t *-53)=10.95-1⇒e0.23(t *-53)=19. ∴0.23(t *-53)=ln 19,∴t *=ln 190.23+53≈30.23+53≈66.4.已知函数f (x )=[x ]([x ]表示不超过实数x 的最大整数),若函数g (x )=e x -1e x -2的零点为x 0,则g [f (x 0)]等于( ) A.1e -e -2B.-2C.e -1e -2 D.e 2-1e 2-2答案 B解析 因为g (x )=e x -1e x -2, 所以g ′(x )=e x +1e x >0在R 上恒成立, 即函数g (x )=e x -1e x -2在R 上单调递增.又g(0)=e0-1e0-2=-2<0,g(1)=e1-1e1-2>0,所以g(x)在(0,1)上必然存在零点,即x0∈(0,1),因此f(x0)=[x0]=0,所以g[f(x0)]=g(0)=-2.5.(多选)若0<c<1,a>b>1,则()A.log a c>log b cB.ab c>ba cC.a log b c>b log a cD.a(b-c)>b(a-c) 答案AB解析对于A,因为0<c<1,a>b>1,所以log c a<log c b<0,所以log a alog a c<log b blog b c<0,即1 log a c<1log b c<0,所以0>log a c>log b c,故A正确;对于B,因为0<c<1,所以-1<c-1<0,所以当x>1时,函数y=x c-1单调递减,所以b c-1>a c-1,又ab>0,所以由不等式的基本性质得ab c>ba c,故B正确;对于C,由A知log b c<log a c<0,又a>b>1,所以a log b c<b log b c,b log b c<b log a c,所以a log b c<b log a c,故C不正确;对于D,因为0<c<1,a>b>1,所以ac>bc,所以-ac<-bc,所以ab-ac<ab-bc,即a(b-c)<b(a-c),故D不正确.综上所述,选AB.6.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则关于函数g(x)=|f(x)|+f(|x|),下列说法正确的是()A.g(x)为偶函数B.g (x )在(1,2)上单调递增C.g (x )在[2 016,2 020]上恰有三个零点D.g (x )的最大值为2 答案 AD解析 易知函数g (x )的定义域为R ,且g (-x )=|f (-x )|+f (|-x |)=|-f (x )|+f (|x |)=|f (x )|+f (|x |)=g (x ), 所以g (x )为偶函数,故A 正确;因为f (1+x )=f (1-x ),所以f (x )的图象关于直线x =1对称,又f (x )是奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x ,所以f (x )是周期为4的函数,其部分图象如图所示,所以当x ≥0时,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2f (x ),x ∈[4k ,2+4k ],0,x ∈(2+4k ,4+4k ],k ∈N ,当x ∈(1,2)时,g (x )=2f (x ),g (x )单调递减,故B 错误;g (x )在[2 016,2 020]上零点的个数等价于g (x )在[0,4]上零点的个数,而g (x )在[0,4]上有无数个零点,故C 错误;当x ≥0时,易知g (x )的最大值为2,由偶函数图象的对称性可知,当x <0时,g (x )的最大值也为2,所以g (x )在整个定义域上的最大值为2,故D 正确. 综上可知,选AD. 二、填空题7.已知λ∈R ,函数f (x )=⎩⎨⎧x -4,x ≥λ,x 2-4x +3,x <λ.若函数f (x )恰有2个零点,则λ的取值范围是________. 答案 (1,3]∪(4,+∞)解析 令f (x )=0,当x ≥λ时,x =4.当x <λ时,x 2-4x +3=0,则x =1或x =3.若函数f (x )恰有2个零点,结合图1与图2知,1<λ≤3或λ>4.8.为了预防某种病毒,某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒,出于对顾客身体健康的考虑,相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25 mg/m 3时,顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始,商场内部的药物浓度y (单位:mg/m 3)与经过的时间t (单位:min)之间的函数关系为y =⎩⎪⎨⎪⎧0.1t ,0≤t <10,⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10-a,t ≥10(a 为常数),函数图象如图所示.如果商场规定10:00顾客可以进入商场,那么开始喷洒药物的时间最迟是________.答案 9:30解析 由题图可得函数图象过点(10,1), 代入函数的解析式,可得⎝ ⎛⎭⎪⎫121-a=1,解得a =1,所以y =⎩⎪⎨⎪⎧0.1t ,0≤t <10,⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10-1,t ≥10. 设从喷洒药物开始经过t min 顾客方可进入商场,易知t >10, 则⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10-1≤0.25,解得t ≥30,所以如果商场规定10:00顾客可以进入商场,那么开始喷洒药物的时间最迟是9:30.9.已知a ,b ,c 为正实数,且ln a =a -1,b ln b =1,c e c =1,则a ,b ,c 的大小关系是________. 答案 c <a <b解析 ln a =a -1,ln b =1b ,e c =1c .依次作出y =e x ,y =ln x ,y =x -1,y =1x 这四个函数的图象,如下图所示.由图象可知0<c <1,a =1,b >1,∴c <a <b . 三、解答题10.设函数f (x )=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-1x (x >0).(1)作出函数f (x )的图象;(2)当0<a <b 且f (a )=f (b )时,求1a +1b 的值;(3)若方程f (x )=m 有两个不相等的正根,求实数m 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的图象如图所示.(2)因为f (x )=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-1x=⎩⎪⎨⎪⎧1x -1,x ∈(0,1],1-1x ,x ∈(1,+∞),故f (x )在(0,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,由0<a <b 且f (a )=f (b ),得0<a <1<b , 且1a -1=1-1b ,所以1a +1b =2.(3)由函数f (x )的图象可知,当0<m <1时,方程f (x )=m 有两个不相等的正根. 故实数m 的取值范围为(0,1).11.随着中国经济的快速发展,节能减耗刻不容缓.某市环保部门为了提高对所辖水域生态环境的巡查效率,引进了一种新型生态环保探测器,该探测器消耗能量由公式E n =M v n T 给出,其中M 是质量(常数),v 是设定速度(单位:km/h),T 是行进时间(单位:h),n 为参数.某次巡查为逆水行进,水流速度为4 km/h ,行进路程为100 km.(逆水行进中,实际速度=设定速度-水流速度,顺水行进中,实际速度=设定速度+水流速度)(1)求T 关于v 的函数关系式,并指出v 的取值范围;(2)①当参数n =2时,求探测器最低消耗能量;②当参数n =3时,试确定使该探测器消耗的能量最低的设定速度.解 (1)由题意得,探测器实际速度为100T =v -4,则T =100v -4(v >4). (2)①当参数n =2时,E 2=100·M ·v 2v -4=100M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤v -4+16v -4+8 ≥100M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(v -4)·16v -4+8 =1 600M ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当v -4=16v -4,即v =8时取等号. 因此,当参数n =2时,该探测器最低消耗能量为1 600M .②当参数n =3时,E 3=100·M ·v 3v -4(v >4). 令f (v )=v 3v -4(v >4),则f ′(v )=2v 2(v -6)(v -4)2, 当4<v <6时,f ′(v )<0,f (v )单调递减,当v >6时,f ′(v )>0,f (v )单调递增.故当设定速度为6 km/h 时,该探测器消耗的能量最低.12.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I (t )=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,T =6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案 B解析 由R 0=1+rT ,R 0=3.28,T =6,得r =R 0-1T =3.28-16=0.38.由题意,累计感染病例数增加1倍,则I (t 2)=2I (t 1),即e0.38t 2=2e0.38t 1,所以e0.38(t 2-t 1)=2,即0.38(t 2-t 1)=ln 2,∴t 2-t 1=ln 20.38≈0.690.38≈1.8. 13.(多选)方程e x +x -2=0的根为x 1,ln x +x -2=0的根为x 2,则( ) A.x 1x 2>12 B.x 1ln x 2+x 2ln x 1<0 C.e x 1+e x 2<2eD.x 1x 2<e 2 答案 BD解析 令f (x )=e x +x -2,g (x )=ln x +x -2,作出函数y =-x +2,y =e x ,y =ln x 的图象,其中y =e x 与y =ln x 互为反函数,其图象关于直线y =x 对称,如图,则A (x 1,e x 1),B (x 2,ln x 2).设直线y =x 与y =-x +2的交点为C ,则C (1,1),且A ,B 关于点C 对称,∴e x 1=x 2,x 1+x 2=2.∵f (0)=-1<0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=e -32>0,g (1)=-1<0,g (2)=ln 2>0, ∴0<x 1<12<1<x 2<2,∴x 1x 2<12,故A 错误; ∵x 1ln x 2+x 2ln x 1<0等价于ln x 1x 1+ln x 2x 2<0,易知h (x )=ln x x 在(0,e)上单调递增, ∴h (x 1)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=-2ln 2,h (x 2)<h (2)=12ln 2, ∴h (x 1)+h (x 2)<-32ln 2<0,即ln x 1x 1+ln x 2x 2<0,故B 正确; ∵x 1+x 2=2且x 1≠x 2,∴e x 1+e x 2>2e x 1+x 2=2e ,故C 错误;∵e x 1=x 2,∴x 1x 2=x 1e x 1.易知φ(x )=x e x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12上单调递增, ∴φ(x 1)<φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12, 即x 1e x 1<e 2,即x 1x 2<e 2,故D 正确. 故选BD.14.记f ′(x ),g ′(x )分别为函数f (x ),g (x )的导函数.若存在x 0∈R ,满足f (x 0)=g (x 0)且f ′(x 0)=g ′(x 0),则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”.(1)证明:函数f (x )=x 与g (x )=x 2+2x -2不存在“S 点”;(2)若函数f (x )=ax 2-1与g (x )=ln x 存在“S 点”,求实数a 的值.(1)证明 函数f (x )=x ,g (x )=x 2+2x -2,则f ′(x )=1,g ′(x )=2x +2.由f (x )=g (x )且f ′(x )=g ′(x ),得⎩⎨⎧x =x 2+2x -2,1=2x +2,此方程组无解, 因此,f (x )与g (x )不存在“S 点”.(2)解 函数f (x )=ax 2-1,g (x )=ln x ,则f ′(x )=2ax ,g ′(x )=1x .设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”, 由f (x 0)=g (x 0)且f ′(x 0)=g ′(x 0),得 ⎩⎪⎨⎪⎧ax 20-1=ln x 0,2ax 0=1x 0,即⎩⎨⎧ax 20-1=ln x 0,2ax 20=1, (*) 得ln x 0=-12,即x 0=e -12,则a =12⎝ ⎛⎭⎪⎫e -122=e 2. 当a =e 2时,x 0=e -12满足方程组(*),即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”.因此,a 的值为e 2.。
基本初等函数练习题
基本初等函数练习题1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1,求f(2)的值。
解析:代入x=2,得出:f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1= 2(4) - 6 + 1= 8 - 6 + 1= 3所以,f(2)的值为3。
2. 求函数g(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x的导函数。
解析:对于函数g(x),使用幂函数的求导法则,得到:g'(x) = 3(3x^2) + 2(2x) - 5= 9x^2 + 4x - 5所以,函数g(x)的导函数为g'(x) = 9x^2 + 4x - 5。
3. 函数h(x) = log₃(x - 2),求h(10)的值。
解析:代入x=10,得出:h(10) = log₃(10 - 2)= log₃(8)因为log₃(8)表示3的几次方等于8,即3^? = 8。
而3^2 = 9,3^3 = 27,所以8位于3^2和3^3之间。
因此,log₃(8) = 2.xxx,其中xxx是一个小于1的数。
所以,h(10)的值约等于2.xxx。
4. 求函数j(x) = e^x 的反函数。
解析:对于函数j(x) = e^x,令y = e^x,则可以表示为x = ln(y)。
为了求得函数j(x)的反函数,交换x和y的位置并解出y即可。
解得,y = ln(x)。
所以,函数j(x)的反函数为j^(-1)(x) = ln(x)。
5. 函数k(x) = |x - 3|,求k(-2)的值。
解析:代入x=-2,得出:k(-2) = |-2 - 3|= |-5|= 5所以,k(-2)的值为5。
6. 求函数m(x) = 2x + 1 的零点。
解析:对于函数m(x),令y = 2x + 1,令y = 0,求得x的值。
解得,2x + 1 = 0=> 2x = -1=> x = -1/2所以,函数m(x)的零点为x = -1/2。
通过以上的练习题,不仅可以使我们更加熟悉和掌握基本初等函数的运算和性质,也对函数的图像、导函数、反函数以及零点有了更深入的理解。
专题练 第5练 基本初等函数、函数与方程
6.(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)=elnx,x,x≤x>00,,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个 零点,则a的取值范围是
A.[-1,0)
B.[0,+∞)
√C.[-1,+∞)
D.[1,+∞)
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令h(x)=-x-a,则g(x)=f(x)-h(x). 在同一坐标系中画出y=f(x),y=h(x)图象的示意图, 如图所示. 若g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平 移y=h(x)的图象可知,当直线y=-x-a过点(0,1)时,有2个交点, 此时1=-0-a,a=-1. 当y=-x-a在y=-x+1上方,即a<-1时,仅有1个交点,不符合 题意; 当y=-x-a在y=-x+1下方,即a>-1时,有2个交点,符合题意. 综上,a的取值范围为[-1,+∞).
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14.(2022·临汾模拟)2019年在阿塞拜疆举行的联合国教科文组织第43届世界遗
产大会上,随着木槌落定,良渚古城遗址成功列入《世界遗产名录》,这座见 证了中华五千多年文明史的古城迎来了在世界文明舞台上的“高光时刻”,标
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10.(2022·淮安模拟)已知函数f(x)=(3m-2)·xm+2(m∈R)是幂函数,则函数
g(x)=loga(x-m)+1(a>0,且a≠1)的图象所过定点P的坐标是
√A.(2,1)
B.(0,2)
C.(1,2)
D.(-1,2)
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基本初等函数练习题
基本初等函数练习题一、选择题1. 下列函数中,哪一个是奇函数?A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 函数f(x) = 2x^3 - 5x + 1在x=1处的导数值是:A. 6B. 3C. 4D. 53. 函数y = ln(x)的值域是:A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)4. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在区间[-4, 0]上是:A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减5. 函数g(x) = √x的最小值出现在x等于:A. 0B. 1C. 2D. 没有最小值二、填空题6. 若f(x) = 3x - 2,则f(1) = _______。
7. 函数y = 2^x的反函数是 _______。
8. 函数y = x^3在x=-1处的切线斜率是 _______。
9. 若f(x) = sin(x) + cos(x),则f'(x) = _______。
10. 函数y = e^x的微分dy等于 _______。
三、简答题11. 给定函数f(x) = 4x^3 - 2x^2 - 5x + 7,请计算其在x=0和x=2时的值。
12. 描述函数y = ln(x)在x=1处的切线方程。
13. 证明函数f(x) = x^2在(-∞, +∞)上是凸函数。
14. 求函数g(x) = √x在[1, 4]上的单调性,并说明理由。
15. 给定函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6,请找出其极值点。
四、计算题16. 计算定积分∫[0,1] (3x^2 - 2x + 1) dx。
17. 利用换元积分法计算定积分∫[1, e] (2/x) dx。
18. 求不定积分∫(2x + 1)^5 dx。
19. 利用分部积分法计算不定积分∫x * e^x dx。
20. 求函数f(x) = x^2 * sin(x)在区间[0, π]上的定积分。
(完整版)基本初等函数基础练习题
数学练习题姓名_________ 班级_________ 评卷人 得分 一、选择题(本题共12道小题,每小题4分,共48分)1、函数1y x =-的定义域是( )A .(﹣∞,1)B .(﹣∞,1]C .(1,+∞)D .[1,+∞) 2、小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )A .B .C .D .3、函数42()f x x x =+的奇偶性是( )A .偶函数B .奇函数C .非奇非偶D .无法判断4、如果偶函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是2,那么)(x f 在]3,7[--上是 A. 减函数且最小值是2 B.. 减函数且最大值是2C. 增函数且最小值是2D. 增函数且最大值是2.5、已知()f x 为R 上奇函数,当0x ≥时,2()2f x x x =+,则当0x <时,()f x =( ).A.22x x -B. 22x x -+C. 22x x +D. 22x x --6、已知函数)(x f 为奇函数,且当0>x 时,xx x f 1)(2+=,则=-)1(f A 2 B 1 C 0 D -27、已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,21()f x x x=+,则(1)f -=( ) A 、2 B 、0 C 、1 D 、-28、函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上递减,则a 的取值范围是A.[)3,-+∞B.(],3-∞-C.(],5-∞D.[)3,+∞ 9、已知函数f (x )=﹣x 2﹣x+2,则函数y=f (﹣x )的图象是( )10、函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为 ( )A.[0,3]B.[-1,0]C.[-1,3]D.[0,2]11、函数f (x )=x 2﹣4x+4的零点是( )A .(0,2)B .(2,0)C .2D .4 12、函数f (x )=x 2﹣4x+3的最小值是( )A .3B .0C .﹣1D .﹣2评卷人得分 二、填空题(本题共4道小题,每小题4分,共16分)13、已知函数53()7f x ax x bx =-+-,若(2)9f =-,则(2)f -= .14、已知函数y=f (x )可用列表法表示如下,则f(f(1))= .x-1 0 1 y0 1 -1 15、函数2()3f x x =-的定义域为______________.16、2()1f x x ax =++在(1,)+∞为单调递增,则a 的取值范围是 . 评卷人 得分 三、解答题(本题共3道小题,第1题8分,第2题8分,第3题8分,第四题12分,共36分)17、(1)证明2()24f x x x =--+在[1,8]是单调减函数(2)求()f x 在区间[2,2]-的最大值和最小值18、已知一次函数()f x 满足2(2)3(1)52(0)(1)1f f f f . (1)求这个函数的解析式;(2)若函数2()()g x f x x ,求函数()g x 的零点(3)x 为何值时,()0g x19、 若f (x )为二次函数,﹣1和3是方程f (x )﹣x ﹣4=0的两根,f (0)=1(1)求f (x )的解析式;(2)若在区间[﹣1,1]上,不等式f (x )>2x+m 有解,求实数m 的取值范围.20、已知函数f (x )=﹣x 2+2ax ﹣3a .(Ⅰ)若函数f(x)在(﹣∞,1)上是增函数,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若函数f(x)存在零点,求实数a的取值范围;(Ⅲ)分别求出当a=1和a=2时函数f(x)在[1,3]上的最大值.。
(word版)基本初等函数练习题与答案
数学1〔必修〕第二章根本初等函数〔1〕[根底训练A组]一、选择题1.以下函数与y x有相同图象的一个函数是〔〕A.y x2B.y x2x.loga x且D.y log a x a(a0a1)aCy2.以下函数中是奇函数的有几个〔〕x2x①y a1②y lg(1x)③y④y log a1xxa x1x331x A.1B.2C.3D.43.函数y3x与y 3x的图象关于以下那种图形对称()A.x轴B.y轴C.直线y xD.原点中心对称x1334.x3,那么x2x2值为〔〕A.33B.25C.45D.455.函数y log1(3x 2)的定义域是〔〕2A.[1,)B.(2,)C.[2,1]D.(2,1]3336.三个数6,6,log6的大小关系为〔〕A.6log66B.66log6 C.log666 D.log6667.假设f(lnx)3x4,那么f(x)的表达式为〔〕A.3lnx B.3lnx4C.3e x D.3e x4二、填空题1.2,32,54,88,916从小到大的排列顺序是。
2.化简81041084的值等于__________。
4113.计(log25)24log254log21=。
算:54.x2y24x2y50,那么log x(y x)的值是_____________。
13x3的解是_____________。
5.方程3x116.函数y82x1的定义域是______;值域是______.7.判断函数y x2lg(x x21)的奇偶性。
三、解答题1.a x65(a0),求a3xaa x a3x的值。
2.计算1lg214lg34lg6lg的值。
33.函数f(x)1log21x,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性单调性。
x1x 4.〔1〕求函数f(x)log2x13x2的定义域。
〔2〕求函数y(1)x24x,x[0,5)的值域。
3数学1〔必修〕第二章根本初等函数〔1〕[综合训练B组]一、选择题1.假设函数f(x)log a x(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,那么a的值为()2 B .2 1D .1A .C . 42422.假设函数y log a (xb)(a0,a 1)的图象过两点(1,0)和(0,1),那么( )A .a2,b2B .a 2,b2C .a2,b1D .a2,b23.f(x 6)log 2x ,那么f(8)等于〔〕4 B .8C .18D .1A .234.函数y lgx ()A .是偶函数,在区间B .是偶函数,在区间C .是奇函数,在区间( ,0) 上单调递增 (,0)上单调递减(0, )上单调递增D .是奇函数,在区间 (0, )上单调递减5.函数f(x)lg 1 x .假设f(a) b.那么f(a)〔〕1 xA .bB .b1 D .1C .bb6.函数f(x)log a x 1 在(0,1) 上递减,那么 f(x)在(1,)上〔〕A .递增且无最大值B .递减且无最小值C .递增且有最大值D .递减且有最小值二、填空题1f(x) 2x2 xlga是奇函数,那么实数a =_________。
基本初等函数测试题及答案精编版
基本初等函数测试题一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.有下列各式:①na n=a ; ②若a ∈R ,则(a 2-a +1)0=1;③44333x y x y +=+; ④6(-2)2=3-2.其中正确的个数是( )A .0B .1C .2D .32.函数y =a |x |(a >1)的图象是( )3.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( ) A .y =3-x B .y =-2x C .y =log 0.1x D .y =x 124.三个数log 215,20.1,2-1的大小关系是( )A .log 215<20.1<2-1B .log 215<2-1<20.1C .20.1<2-1<log 215 D .20.1<log 215<2-15.已知集合A ={y |y =2x ,x <0},B ={y |y =log 2x },则A ∩B =( ) A .{y |y >0} B .{y |y >1} C .{y |0<y <1} D .∅6.设P 和Q 是两个集合,定义集合P -Q ={x |x ∈P 且x ∉Q },如果P ={x |log 2x <1},Q ={x |1<x <3},那么P -Q 等于( )A .{x |0<x <1}B .{x |0<x ≤1}C .{x |1≤x <2}D .{x |2≤x <3}7.已知0<a <1,x =log a 2+log a 3,y =12log a 5,z =log a 21-log a 3,则( )A .x >y >zB .x >y >xC .y >x >zD .z >x >y 8.函数y =2x -x 2的图象大致是( )9.已知四个函数①y =f 1(x );②y =f 2(x );③y =f 3(x );④y =f 4(x )的图象如下图:则下列不等式中可能成立的是( )A .f 1(x 1+x 2)=f 1(x 1)+f 1(x 2)B .f 2(x 1+x 2)=f 2(x 1)+f 2(x 2)C .f 3(x 1+x 2)=f 3(x 1)+f 3(x 2)D .f 4(x 1+x 2)=f 4(x 1)+f 4(x 2)10.设函数121()f x x =,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则f 1(f 2(f 3(2010)))等于( ) A .2010 B .20102 C.12010 D.1201211.函数f (x )=3x 21-x +lg(3x +1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫-∞,-13 B.⎝⎛⎭⎫-13,13 C.⎝⎛⎭⎫-13,1 D.⎝⎛⎭⎫-13,+∞ 12.(2010·石家庄期末测试)设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2e x -1, x <2,log 3(x 2-1), x ≥2. 则f [f (2)]的值为( )A .0B .1C .2D .3二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.给出下列四个命题:(1)奇函数的图象一定经过原点;(2)偶函数的图象一定经过原点; (3)函数y =lne x是奇函数;(4)函数13y x =的图象关于原点成中心对称. 其中正确命题序号为________.(将你认为正确的都填上) 14. 函数12log (4)y x =-的定义域是 .15.已知函数y =log a (x +b )的图象如下图所示,则a =________,b =________.16.(2008·上海高考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范围是________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f (x )=log 2(ax +b ),若f (2)=1,f (3)=2,求f (5).18.(本小题满分12分)已知函数12()2f x x =-.(1)求f (x )的定义域;(2)证明f (x )在定义域内是减函数. 19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=2x -12x +1.(1)判断函数的奇偶性;(2)证明:f (x )在(-∞,+∞)上是增函数. 20.(本小题满分12分)已知函数()223(1)mm f x m m x +-=--是幂函数, 且x ∈(0,+∞)时,f (x )是增函数,求f (x )的解析式.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=lg(a x -b x ),(a >1>b >0). (1)求f (x )的定义域;(2)若f (x )在(1,+∞)上递增且恒取正值,求a ,b 满足的关系式. 22.(本小题满分12分)已知f (x )=⎝⎛⎭⎫12x -1+12·x .(1)求函数的定义域; (2)判断函数f (x )的奇偶性; (3)求证:f (x )>0.参考答案答案速查:1-5 BCDBC 6-10 BCACC 11-12 CC 1.解析:仅有②正确.答案:B2.解析:y =a |x |=⎩⎪⎨⎪⎧a x ,(x ≥0),a -x ,(x <0),且a >1,应选C.答案:C3.答案:D4.答案:B5.解析:A ={y |y =2x ,x <0}={y |0<y <1},B ={y |y =log 2x }={y |y ∈R },∴A ∩B ={y |0<y <1}. 答案:C6.解析:P ={x |log 2x <1}={x |0<x <2},Q ={x |1<x <3},∴P -Q ={x |0<x ≤1},故选B.答案:B7.解析:x =log a 2+log a 3=log a 6=12log a 6,z =log a 21-log a 3=log a 7=12log a 7.∵0<a <1,∴12log a 5>12log a 6>12log a 7.即y >x >z . 答案:C8.解析:作出函数y =2x 与y =x 2的图象知,它们有3个交点,所以y =2x -x 2的图象与x 轴有3个交点,排除B 、C ,又当x <-1时,y <0,图象在x 轴下方,排除D.故选A.答案:A9.解析:结合图象知,A 、B 、D 不成立,C 成立.答案:C 10.解析:依题意可得f 3(2010)=20102,f 2(f 3(2010)) =f 2(20102)=(20102)-1=2010-2,∴f 1(f 2(f 3(2010)))=f 1(2010-2)=(2010-2)12=2010-1=12010.答案:C11.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧1-x >03x +1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1x >-13⇒-13<x <1. 答案: C12.解析:f (2)=log 3(22-1)=log 33=1,∴f [f (2)]=f (1)=2e 0=2. 答案:C13.解析:(1)、(2)不正确,可举出反例,如y =1x ,y =x -2,它们的图象都不过原点.(3)中函数y =lne x =x ,显然是奇函数.对于(4),y =x 13是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称,所以(4)正确.答案:(3)(4)14. 答案:(4,5]15.解析:由图象过点(-2,0),(0,2)知,log a (-2+b )=0,log a b =2,∴-2+b =1,∴b =3,a 2=3,由a >0知a = 3.∴a =3,b =3.答案:3 316.解析:根据题意画出f (x )的草图,由图象可知,f (x )>0的x 的取值范围是-1<x <0或x >1.答案:(-1,0)∪(1,+∞)17.解:由f (2)=1,f (3)=2,得⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(2a +b )=1log 2(3a +b )=2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2a +b =23a +b =4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-2.∴f (x )=log 2(2x-2),∴f (5)=log 28=3. 18.∵x 2>x 1≥0,∴x 2-x 1>0,x 2+x 1>0, ∴f (x 1)-f (x 2)>0,∴f (x 2)<f (x 1). 于是f (x )在定义域内是减函数. 19.解:(1)函数定义域为R .f (-x )=2-x -12-x +1=1-2x 1+2x =-2x -12x +1=-f (x ),所以函数为奇函数.(2)证明:不妨设-∞<x 1<x 2<+∞, ∴2x 2>2x 1.又因为f (x 2)-f (x 1)=2x 2-12x 2+1-2x 1-12x 1+1=2(2x 2-2x 1)(2x 1+1)(2x 2+1)>0,∴f (x 2)>f (x 1).所以f (x )在(-∞,+∞)上是增函数. 20.解:∵f (x )是幂函数, ∴m 2-m -1=1, ∴m =-1或m =2, ∴f (x )=x-3或f (x )=x 3,而易知f (x )=x -3在(0,+∞)上为减函数,f (x )=x 3在(0,+∞)上为增函数. ∴f (x )=x 3.21.解:(1)由a x -b x >0,得⎝⎛⎭⎫a b x>1. ∵a >1>b >0,∴ab >1,∴x >0.即f (x )的定义域为(0,+∞).(2)∵f (x )在(1,+∞)上递增且恒为正值, ∴f (x )>f (1),只要f (1)≥0, 即lg(a -b )≥0,∴a -b ≥1.∴a ≥b +1为所求22.解:(1)由2x -1≠0得x ≠0,∴函数的定义域为{x |x ≠0,x ∈R }.(2)在定义域内任取x ,则-x 一定在定义域内. f (-x )=⎝⎛⎭⎫12-x -1+12(-x )=⎝⎛⎭⎫2x 1-2x +12(-x )=-1+2x 2(1-2x )·x =2x+12(2x -1)·x . 而f (x )=⎝⎛⎭⎫12x -1+12x =2x+12(2x -1)·x ,∴f (-x )=f (x ). ∴f (x )为偶函数.(3)证明:当x >0时,2x >1, ∴⎝⎛⎭⎫12x -1+12·x >0.又f (x )为偶函数, ∴当x <0时,f (x )>0.故当x ∈R 且x ≠0时,f (x )>0.。
必修一基本初等函数练习题(含详细答案解析)
必修一基本初等函数练习题(含详细答案解析)一、选择题1.对数式log32-(2+3)的值是().A.-1 B.0 C.1 D.不存在1.A解析:log32-(2+3)=log32-(2-3)-1,故选A.2.当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=log a x的图象是().A B C D2.A解析:当a>1时,y=log a x单调递增,y=a-x单调递减,故选A.3.如果0<a<1,那么下列不等式中正确的是().A.(1-a)31>(1-a)21B.log1-a(1+a)>0C.(1-a)3>(1+a)2D.(1-a)1+a>13.A解析:取特殊值a=21,可立否选项B,C,D,所以正确选项是A.4.函数y=log a x,y=log b x,y=log c x,y=log d x的图象如图所示,则a,b,c,d的大小顺序是().A.1<d<c<a<bB.c<d<1<a<bC.c<d<1<b<aD.d<c<1<a<b4.B解析:画出直线y=1与四个函数图象的交点,它们的横坐标的值,分别为a,b,c,d的值,由图形可得正确结果为B.(第4题)5.已知f (x 6)=log 2 x ,那么f (8)等于( ). A .34 B .8 C .18 D .21 5.D6.如果函数f (x )=x 2-(a -1)x +5在区间⎪⎭⎫⎝⎛121 ,上是减函数,那么实数a 的取值范围是( ).A . a ≤2B .a >3C .2≤a ≤3D .a ≥36.D7.函数f (x )=2-x -1的定义域、值域是( ). A .定义域是R ,值域是RB .定义域是R ,值域为(0,+∞)C .定义域是R ,值域是(-1,+∞)D .定义域是(0,+∞),值域为R7.C+∞).8.已知-1<a <0,则( ).A .(0.2)a <a⎪⎭⎫⎝⎛21<2aB .2a <a⎪⎭⎫⎝⎛21<(0.2)aC .2a <(0.2)a <a⎪⎭⎫⎝⎛21D .a⎪⎭⎫⎝⎛21<(0.2)a <2a8.B9.已知函数f (x )=⎩⎨⎧+-1 log 1≤413> ,,)(x x x a x a a是(-∞,+∞)上的减函数,那么a 的取值范围是( ).A .(0,1)B .⎪⎭⎫ ⎝⎛310,C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡3171,D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡171,9.C解析:由f (x )在R 上是减函数,∴ f (x )在(1,+∞)上单减,由对数函数单调性,即0上是减函数,为了满足单调区间的定义,f (x )在(-∞,1]上的最小值7a -1要大于等于f (x )在[1,+∞)上的最大值0,才能保证f (x )在R 上是减函数.10.已知y =log a (2-ax )在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是( ). A .(0,1) B .(1,2) C .(0,2) D .[2,+∞)10.B解析:先求函数的定义域,由2-ax >0,有ax <2,因为a 是对数的底,故有a >0且若0<a <1,当x 在[0,1]上增大时,2-ax 减小,从而log a (2-ax )增大,即函数 y =log a (2-ax )在[0,1]上是单调递增的,这与题意不符.若1<a <2,当x 在[0,1]上增大时,2-ax 减小,从而log a (2-ax )减小,即函数 y =log a (2-ax )在[0,1]上是单调递减的.所以a 的取值范围应是(1,2),故选择B . 二、填空题11.满足2-x >2x 的 x 的取值范围是 .11.参考答案:(-∞,0). 解析:∵ -x >x ,∴ x <0.12.已知函数f (x )=log 0.5(-x 2+4x +5),则f (3)与f (4)的大小关系为 . 12.参考答案:f (3)<f (4).解析:∵ f (3)=log 0.5 8,f (4)=log 0.5 5,∴ f (3)<f (4). 13.64log 2log 273的值为_____.14.已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧,≤ ,,>,020log 3x x x x 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f 的值为_____.15.函数y =)-(34log 5.0x 的定义域为 .16.已知函数f (x )=a -121+x,若f (x )为奇函数,则a =________. 解析:∵ f (x )为奇函数,三、解答题17.设函数f (x )=x 2+(lg a +2)x +lg b ,满足f (-1)=-2,且任取x ∈R ,都有f (x )≥2x ,求实数a ,b 的值.17.参考答案:a =100,b =10.解析:由f (-1)=-2,得1-lg a +lg b =0 ①,由f (x )≥2x ,得x 2+x lg a +lg b ≥0 (x ∈R ).∴Δ=(lg a )2-4lg b ≤0 ②.联立①②,得(1-lg b )2≤0,∴ lg b =1,即b =10,代入①,即得a =100.18.已知函数f (x )=lg (ax 2+2x +1) .(1)若函数f (x )的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若函数f (x )的值域为R ,求实数a 的取值范围.18.参考答案:(1) a 的取值范围是(1,+∞) ,(2) a 的取值范围是[0,1]. 解析:(1)欲使函数f (x )的定义域为R ,只须ax 2+2x +1>0对x ∈R 恒成立,所以有⎩⎨⎧0 <440a -a >,解得a >1,即得a 的取值范围是(1,+∞); (2)欲使函数 f (x )的值域为R ,即要ax 2+2x +1 能够取到(0,+∞) 的所有值.②当a ≠0时,应有⎩⎨⎧0 ≥440a -a =>Δ⇒ 0<a ≤1.当x ∈(-∞,x 1)∪(x 2,+∞)时满足要求(其中x 1,x 2是方程ax 2+2x +1=0的二根).综上,a 的取值范围是[0,1].19.求下列函数的定义域、值域、单调区间: (1)y =4x +2x +1+1; (2)y =2+3231x -x ⎪⎭⎫⎝⎛.19.参考答案:(1)定义域为R .令t =2x (t >0),y =t 2+2t +1=(t +1)2>1, ∴ 值域为{y | y >1}.t =2x 的底数2>1,故t =2x 在x ∈R 上单调递增;而 y =t 2+2t +1在t ∈(0,+∞)上单调递增,故函数y =4x +2x +1+1在(-∞,+∞)上单调递增.20.已知函数f(x)=log a(x+1),g(x)=log a(1-x),其中a>0,a≠1.(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;(2)判断f(x)-g(x)的奇偶性,并说明理由;(3)求使f(x)-g(x)>0成立的x的集合.20.参考答案:(1){x |-1<x<1};(2)奇函数;(3)当0<a<1时,-1<x<0;当a>1时,0<x<1.(2)设F(x)=f(x)-g(x),其定义域为(-1,1),且F(-x)=f(-x)-g(-x)=log a(-x+1)-log a(1+x)=-[log a(1+x)-log a(1-x)]=-F(x),所以f(x)-g(x)是奇函数.(3)f(x)-g(x)>0即log a(x+1)-log a(1-x)>0有log a(x+1)>log a(1-x).。
必修1基本初等函数练习题及答案(可编辑修改word版)
a a a a 2 第二章 基本初等函数部分练习题(2)一、选择题:(只有一个答案正确,每小题 5 分共 40 分) 1、若 a > 0 ,且 m , n 为整数,则下列各式中正确的是( D )mA 、 a m ÷ a n = an1÷ a n = a 0-nB 、 a m ⋅ a n = a m a nC 、 (a m)n= a m +nD 、2、已知 f (10x ) = x ,则 f (100)=( D )A 、100B 、10100C 、lg10D 、23、对于 a > 0, a ≠ 1 ,下列说法中,正确的是 ( D)①若 M = N 则log a M = log a N ; ② 若 log a M = log a N 则M = N ; ③ 若log M 2 = log N 2 则 M = N ;④若 M = N 则log M 2 = log N 2 。
A 、①②③④B 、①③C 、②④D 、②4、函数 y = 2 + log 2 x (x ≥1) 的值域为 (C)A 、(2, +∞)B 、(-∞, 2)⎛ 1 ⎫-1.5 C 、[2, +∞) D 、[3, +∞)5、设 y = 40.9, y = 80.48, y =,则 ( C )123 ⎪ ⎝ ⎭A 、 y 3 > y 1 > y 2B 、 y 2 > y 1 > y 3C 、 y 1 > y 3 > y 2D 、y 1 > y 2 > y 36、在b = log (a -2) (5 - a ) 中,实数 a 的取值范围是 ( B )A 、 a > 5或a < 23 < a < 4B 、 2 < a < 3或3 < a < 5C 、 2 < a < 5D 、7、计算(lg 2)2+ (lg 5)2+ 2 lg 2 ⋅ lg 5 等于 (B )A 、0B 、1C 、2D 、38、已知 a = log 3 2 ,那么log 3 8 - 2 log 3 6 用 a 表示是( B )A 、5a - 2B 、 a - 2C 、3a - (1+ a )2D 、 3a - a 2 -1二、填空题:(每小题 4 分,共 20 分)9、某企业生产总值的月平均增长率为 p ,则年平均增长率为(1 + p )12- 1 .2 3x - 2 ⎩ ⎪ 10、log 6 [log 4 (log3 81)] 的值为 0 .11、若log x( -1) = -1 ,则 x = 2 + 1.12. 已知幂函数的图像经过点(2,32)则它的解析式是 y = x 5三.解答题 (共 40 分)13. 求下列函数的定义域:(每小题 5 分,共 10 分)(1) f (x )= log 2 1(x+1) - 3 (2) f (x ) = log2 x -13x -2解:要使原函数有意义,须使:解:要使原函数有意义,须使:⎧x > 2, ⎧x + 1 > 0, ⎧x > -1, ⎧ > 0, ⎪ 3⎪ ⎪ 1 ⎨( + 1) - 3 ≠ 0, 即⎨x ≠ 7, ⎨2x - 1 > 0, 得⎨x > 2 ,⎩log 2 x ⎩⎪2x - 1 ≠ 1,⎪ ⎪x ≠ 1.⎪⎩所以,原函数的定义域是: 所以,原函数的定义域是:(-1,7) (7, + ∞ ).2 ( ,1) 3(1, + ∞ ).114、由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔 5 年计算机的价格降低 ,3问现在价格为 8100 元的计算机经过 15 年后,价格应降为多少? (10 分)解:设 15 年后的价格为 y 元,则依题意,得 y = 8100 ⋅ ⎛1 - ⎝ 1 ⎫3⎪ ⎭=2400 (元)答:15 年后的价格为 2400 元。
(完整版)基本初等函数测试题及答案
基本初等函数测试题一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.有下列各式:①na n=a ; ②若a ∈R ,则(a 2-a +1)0=1;③44333x y x y +=+; ④6(-2)2=3-2.其中正确的个数是( )A .0B .1C .2D .32.函数y =a |x |(a >1)的图象是( )3.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( ) A .y =3-x B .y =-2x C .y =log 0.1x D .y =x 124.三个数log 215,20.1,2-1的大小关系是( )A .log 215<20.1<2-1B .log 215<2-1<20.1C .20.1<2-1<log 215 D .20.1<log 215<2-15.已知集合A ={y |y =2x ,x <0},B ={y |y =log 2x },则A ∩B =( ) A .{y |y >0} B .{y |y >1} C .{y |0<y <1} D .∅6.设P 和Q 是两个集合,定义集合P -Q ={x |x ∈P 且x ∉Q },如果P ={x |log 2x <1},Q ={x |1<x <3},那么P -Q 等于( )A .{x |0<x <1}B .{x |0<x ≤1}C .{x |1≤x <2}D .{x |2≤x <3}7.已知0<a <1,x =log a 2+log a 3,y =12log a 5,z =log a 21-log a 3,则( )A .x >y >zB .x >y >xC .y >x >zD .z >x >y 8.函数y =2x -x 2的图象大致是( )9.已知四个函数①y =f 1(x );②y =f 2(x );③y =f 3(x );④y =f 4(x )的图象如下图:则下列不等式中可能成立的是( )A .f 1(x 1+x 2)=f 1(x 1)+f 1(x 2)B .f 2(x 1+x 2)=f 2(x 1)+f 2(x 2)C .f 3(x 1+x 2)=f 3(x 1)+f 3(x 2)D .f 4(x 1+x 2)=f 4(x 1)+f 4(x 2)10.设函数121()f x x =,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则f 1(f 2(f 3(2010)))等于( ) A .2010 B .20102 C.12010 D.1201211.函数f (x )=3x 21-x +lg(3x +1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫-∞,-13 B.⎝⎛⎭⎫-13,13 C.⎝⎛⎭⎫-13,1 D.⎝⎛⎭⎫-13,+∞ 12.(2010·石家庄期末测试)设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2e x -1, x <2,log 3(x 2-1), x ≥2. 则f [f (2)]的值为( )A .0B .1C .2D .3二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.给出下列四个命题:(1)奇函数的图象一定经过原点;(2)偶函数的图象一定经过原点; (3)函数y =lne x是奇函数;(4)函数13y x =的图象关于原点成中心对称. 其中正确命题序号为________.(将你认为正确的都填上) 14. 函数12log (4)y x =-的定义域是 .15.已知函数y =log a (x +b )的图象如下图所示,则a =________,b =________.16.(2008·上海高考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范围是________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f (x )=log 2(ax +b ),若f (2)=1,f (3)=2,求f (5).18.(本小题满分12分)已知函数12()2f x x =-.(1)求f (x )的定义域;(2)证明f (x )在定义域内是减函数. 19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=2x -12x +1.(1)判断函数的奇偶性;(2)证明:f (x )在(-∞,+∞)上是增函数. 20.(本小题满分12分)已知函数()223(1)mm f x m m x +-=--是幂函数, 且x ∈(0,+∞)时,f (x )是增函数,求f (x )的解析式.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=lg(a x -b x ),(a >1>b >0). (1)求f (x )的定义域;(2)若f (x )在(1,+∞)上递增且恒取正值,求a ,b 满足的关系式. 22.(本小题满分12分)已知f (x )=⎝⎛⎭⎫12x -1+12·x .(1)求函数的定义域; (2)判断函数f (x )的奇偶性; (3)求证:f (x )>0.参考答案答案速查:1-5 BCDBC 6-10 BCACC 11-12 CC 1.解析:仅有②正确.答案:B2.解析:y =a |x |=⎩⎪⎨⎪⎧a x ,(x ≥0),a -x ,(x <0),且a >1,应选C.答案:C3.答案:D4.答案:B5.解析:A ={y |y =2x ,x <0}={y |0<y <1},B ={y |y =log 2x }={y |y ∈R },∴A ∩B ={y |0<y <1}. 答案:C6.解析:P ={x |log 2x <1}={x |0<x <2},Q ={x |1<x <3},∴P -Q ={x |0<x ≤1},故选B.答案:B7.解析:x =log a 2+log a 3=log a 6=12log a 6,z =log a 21-log a 3=log a 7=12log a 7.∵0<a <1,∴12log a 5>12log a 6>12log a 7.即y >x >z . 答案:C8.解析:作出函数y =2x 与y =x 2的图象知,它们有3个交点,所以y =2x -x 2的图象与x 轴有3个交点,排除B 、C ,又当x <-1时,y <0,图象在x 轴下方,排除D.故选A.答案:A9.解析:结合图象知,A 、B 、D 不成立,C 成立.答案:C 10.解析:依题意可得f 3(2010)=20102,f 2(f 3(2010)) =f 2(20102)=(20102)-1=2010-2,∴f 1(f 2(f 3(2010)))=f 1(2010-2)=(2010-2)12=2010-1=12010.答案:C11.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧1-x >03x +1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1x >-13⇒-13<x <1. 答案: C12.解析:f (2)=log 3(22-1)=log 33=1,∴f [f (2)]=f (1)=2e 0=2. 答案:C13.解析:(1)、(2)不正确,可举出反例,如y =1x ,y =x -2,它们的图象都不过原点.(3)中函数y =lne x =x ,显然是奇函数.对于(4),y =x 13是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称,所以(4)正确.答案:(3)(4)14. 答案:(4,5]15.解析:由图象过点(-2,0),(0,2)知,log a (-2+b )=0,log a b =2,∴-2+b =1,∴b =3,a 2=3,由a >0知a = 3.∴a =3,b =3.答案:3 316.解析:根据题意画出f (x )的草图,由图象可知,f (x )>0的x 的取值范围是-1<x <0或x >1.答案:(-1,0)∪(1,+∞)17.解:由f (2)=1,f (3)=2,得⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(2a +b )=1log 2(3a +b )=2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2a +b =23a +b =4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-2.∴f (x )=log 2(2x-2),∴f (5)=log 28=3. 18.∵x 2>x 1≥0,∴x 2-x 1>0,x 2+x 1>0, ∴f (x 1)-f (x 2)>0,∴f (x 2)<f (x 1). 于是f (x )在定义域内是减函数. 19.解:(1)函数定义域为R .f (-x )=2-x -12-x +1=1-2x 1+2x =-2x -12x +1=-f (x ),所以函数为奇函数.(2)证明:不妨设-∞<x 1<x 2<+∞, ∴2x 2>2x 1.又因为f (x 2)-f (x 1)=2x 2-12x 2+1-2x 1-12x 1+1=2(2x 2-2x 1)(2x 1+1)(2x 2+1)>0,∴f (x 2)>f (x 1).所以f (x )在(-∞,+∞)上是增函数. 20.解:∵f (x )是幂函数, ∴m 2-m -1=1, ∴m =-1或m =2, ∴f (x )=x-3或f (x )=x 3,而易知f (x )=x -3在(0,+∞)上为减函数,f (x )=x 3在(0,+∞)上为增函数. ∴f (x )=x 3.21.解:(1)由a x -b x >0,得⎝⎛⎭⎫a b x>1. ∵a >1>b >0,∴ab >1,∴x >0.即f (x )的定义域为(0,+∞).(2)∵f (x )在(1,+∞)上递增且恒为正值, ∴f (x )>f (1),只要f (1)≥0, 即lg(a -b )≥0,∴a -b ≥1.∴a ≥b +1为所求22.解:(1)由2x -1≠0得x ≠0,∴函数的定义域为{x |x ≠0,x ∈R }.(2)在定义域内任取x ,则-x 一定在定义域内. f (-x )=⎝⎛⎭⎫12-x -1+12(-x )=⎝⎛⎭⎫2x 1-2x +12(-x )=-1+2x 2(1-2x )·x =2x+12(2x -1)·x . 而f (x )=⎝⎛⎭⎫12x -1+12x =2x+12(2x -1)·x ,∴f (-x )=f (x ). ∴f (x )为偶函数.(3)证明:当x >0时,2x >1, ∴⎝⎛⎭⎫12x -1+12·x >0.又f (x )为偶函数, ∴当x <0时,f (x )>0.故当x ∈R 且x ≠0时,f (x )>0.。
完整版)基本初等函数经典复习题+答案
完整版)基本初等函数经典复习题+答案1、幂的运算性质1) $a^r\cdot a^s=a^{r+s}$,其中$r,s\in R$;2) $(a^r)^s=a^{rs}$,其中$r,s\in R$;3) $a^r\cdot b^r=(ab)^r$,其中$r\in R$;4) $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$,其中$a>0,n\in N^*,n>1$。
2、对数的运算性质若$a>0$且$a\neq 1$,$M>0,N>0$,则有:1) $a^x=N\iff \log_a N=x$;2) $\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$;3) $\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$;4) $\log_a M^n=n\log_a M$,其中$n\in R$;5) $\log_a 1=0$;6) 换底公式:$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$,其中$a>0,a\neq 1,c>0,c\neq 1,b>0$。
3、函数的定义域能使函数式有意义的实数$x$的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时,需要注意以下几点:1) 偶次方根的被开方数不小于零;2) 对数式的真数必须大于零;3) 分式的分母不等于零;4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1.4、函数单调区间与单调性的判定方法A) 定义法:1.任取$x_1,x_2\in D$,且$x_1<x_2$;2.作差$f(x_1)-f(x_2)$;3.变形(通常是因式分解和配方);4.定号(即判断差$f(x_1)-f(x_2)$的正负);5.下结论(指出函数$f(x)$在给定的区间$D$上的单调性)。
B) 图象法(从图象上看升降)。
C) 复合函数的单调性:复合函数$f[g(x)]$的单调性与构成它的函数$u=g(x),y=f(u)$的单调性密切相关,其规律为“同增异减”。
基本初等函数基础题(答案解析)
基本初等函数基础题汇总一、单选题(共15小题)1.若a>b,则下列各式中恒正的是()A.lg(a﹣b)B.a3﹣b3C.0.5a﹣0.5b D.|a|﹣|b|【解答】解:选项A:令a=1,b=,则a﹣b=,而lg=﹣lg2<0,A错误,选项B:因为函数y=x3在R上单调递增,又a>b,所以有a3>b3,则a3﹣b3>0,B正确,选项C:因为函数y=0.5x在R上单调递减,又a>b,所以有0.5a<0.5b,即0.5a﹣0.5b<0,C错误,选项D:令a=1,b=﹣2,则|a|﹣|b|=1﹣2=﹣1<0,D错误,故选:B【知识点】指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的性质2.设a=40.4,b=log0.40.5,c=log50.4,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a【解答】解:∵a=40.4>1,0<b=log0.40.5<log0.40.4=1,c=log50.4<0,∴c<b<a.故选:D.【知识点】对数值大小的比较3.设lg2=a,lg3=b,则log512等于()A.B.C.D.【解答】C【知识点】对数的运算性质4.已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则f()的值为()A.B.C.2D.8【解答】解:设幂函数f(x)=xα(α为常数),∵幂函数f(x)的图象过点(2,),∴,∴,∴f(x)==,∴f()==,故选:A.【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域5.已知幂函数y=(k﹣1)xα的图象过点(2,4),则k+α等于()A.B.3 C.D.4【解答】解:∵幂函数y=(k﹣1)xα的图象过点(2,4),∴k﹣1=1,2α=4,∴k=2,α=2,∴k+α=4,故选:D.【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域6.已知x>0,y>0,a≥1,若a•()y+log2x=log8y3+2﹣x,则()A.ln|1+x﹣3y|<0 B.ln|1+x﹣3y|≤0C.ln(1+3y﹣x)>0 D.ln(1+3y﹣x)≥0【解答】解:由题意可知,a•()3y+log2x=log2y+,∴=<≤,令f(x)=,则f(x)<f(3y),易知f(x)在(0,+∞)上为增函数,由f(x)<f(3y)得:x<3y,∴3y﹣x>0,∴1+3y﹣x>1,∴ln(1+3y﹣x)>ln1=0,故选:C.【知识点】对数的运算性质7.若a,b,c满足,则()A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b【解答】解:∵2a=3,∴a=log23,∵1=log22<log23<log25,∴b>a>1,∵3c=2,∴c=log32,∵0=log31<log32<log33=1,∴0<c<1,∴b>a>c,故选:D.【知识点】对数值大小的比较8.已知实数a,b,c∈R,满足==﹣<0,则a,b,c的大小关系为()A.c>b>a B.c>a>b C.b>c>a D.b>a>c【解答】解:易知,a,b,c>0.由﹣<0,则c>1,不妨令c=e.则<0,故0<2a<1,0<b<1.因为,故,所以,而函数f(x)=,,易知0<x<1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1)上递增,故0<a<b<1.所以c>b>a.故选:A.【知识点】对数值大小的比较9.函数f(x)=a x﹣2﹣ax+2a+1恒过定点P,则点P的坐标为()A.(2,1)B.(2,2)C.(3,1)D.(2,2)或(3,1)【解答】解:①令x﹣2=0,得x=2,此时y=1﹣2a+2a+1=2,所以定点P(2,2),②令x﹣2=1,得x=3,此时y=a﹣3a+2a+1=1,所以定点P(3,1)综上所述,点P的坐标为(2,2)或(3,1),故选:D.【知识点】指数函数的单调性与特殊点10.若函数为对数函数,则a=()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:∵函数为对数函数,∴a2﹣3a+2=0,则a=1(舍去)或a=2,故选:B.【知识点】对数函数的定义11.若实数a,b满足2a=2﹣a,log2(b﹣1)=3﹣b,则a+b=()A.3 B.C.D.4【解答】解:由2a=2﹣a可知,a为函数y=2x与y=2﹣x的交点A的横坐标,由log2(b﹣1)=3﹣b=2﹣(b﹣1)可知,b﹣1为函数y=log2x与y=2﹣x的交点B的横坐标,如图所示:,∵函数y=2x与函数y=log2x关于直线y=x对称,∴点A与点B关于点(1,1)对称,∴a+b﹣1=2,即a+b=3,故选:A.【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质12.函数f(x)=a x﹣2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,点P又在幂函数g(x)的图象上,则g(3)的值为()A.4 B.8 C.9 D.16【解答】解:∵f(x)=a x﹣2+3,令x﹣2=0,得x=2,∴f(2)=a0+3=4,∴f(x)的图象恒过点(2,4).设幂函数g(x)=xα,把P(2,4)代入得2α=4,∴α=2,∴g(x)=x2,∴g(3)=32=9,故选:C.【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域13.已知幂函数f(x)=(m2﹣2m﹣2)x在(0,+∞)上是减函数,则f(m)的值为()A.3 B.﹣3 C.1 D.﹣1【解答】解:∵幂函数f(x)=(m2﹣2m﹣2)x在(0,+∞)上是减函数,则m2﹣2m﹣2=1,且m2+m﹣2<0,求得m=﹣1,故f(x)=x﹣2=,故f(m)=f(﹣1)==1,故选:C.【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域、幂函数的性质14.已知对数函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象经过点P(3,﹣1),则幂函数y=x a的图象是()A.B.C.D.【解答】解:∵对数函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象经过点P(3,﹣1),∴﹣1=log a3,∴a=,故幂函数y=x a=,它的图象如图D所示,故选:D.【知识点】幂函数的图象15.从2,4,6,8,10这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是()A.20 B.18 C.10 D.9【解答】解:首先从2,4,6,8,10这五个数中任取两个不同的数排列,共A52=20有种排法,又,,∴从2,4,6,8,10这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga﹣lgb=的不同值的个数是:20﹣2=18.故选:B.【知识点】对数的运算性质二、填空题(共10小题)16.设函数f(x)=a x+1﹣2(a>1)的反函数为y=f﹣1(x),若f﹣1(2)=1,则f(2)=【解答】解:由题意得:函数f(x)=a x+1﹣2(a>1)过(1,2),将(1,2)代入f(x)得:a2﹣2=2,解得:a=2,故f(x)=2x+1﹣2,故f(2)=6,故答案为:6.【知识点】反函数17.若函数y=f(x)的反函数f﹣1(x)=log a x(a>0,a≠1)图象经过点(8,),则f(﹣)的值为.【解答】解:由已知可得log a8=,即a=8,解得a=4,所以f﹣1(x)=log4x,再令log4x=﹣,即4=x,解得x=,由反函数的定义可得f(﹣)=,故答案为:.【知识点】反函数、函数的值18.若函数y=log2(x﹣m)+1的反函数的图象经过点(1,3),则实数m=.【解答】解:∵函数y=log2(x﹣m)+1的反函数的图象经过点(1,3),∴函数y=log2(x﹣m)+1的图象过点(3,1),∴1=log2(3﹣m)+1∴log2(3﹣m)=0,∴3﹣m=1,∴m=2.故答案为:2.【知识点】反函数19.已知幂函数y=(n∈N*)的定义域为(0,+∞),且单调递减,则n=.【解答】解:∵幂函数y=(n∈N*)的定义域为(0,+∞),且单调递减,∴,解得n=2.故答案为:2.【知识点】幂函数的性质20.已知函数y=f(x)在定义域R上是单调函数,值域为(﹣∞,0),满足f(﹣1)=﹣,且对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=﹣f(x)f(y).y=f(x)的反函数为y=f﹣1(x),若将y=kf(x)(其中常数k>0)的反函数的图象向上平移1个单位,将得到函数y=f﹣1(x)的图象,则实数k的值为()【解答】解:由题意,设f(x)=y=﹣a x,根据f(﹣1)=﹣,解得a=3,∴f(x)=y=﹣3x,那么x=log3(﹣y),(y<0),x与y互换,可得f﹣1(x)=log3(﹣x),(x<0),则y=kf(x)=﹣k•3x,那么x=,x与y互换,可得y=,向上平移1个单位,可得y=+1,即log3(﹣x)=,故得k=3,故答案为:3.【知识点】反函数21.若函数y=log a(x﹣7)+2恒过点A(m,n),则=()【解答】解:∵函数y=log a(x﹣7)+2恒过点A(m,n),令x﹣7=1,求得x=8,y=2,可得函数的图象经过定点(8,2).若函数y=log a(x﹣7)+2恒过点A(m,n),则m=8,n=2,则==2,故答案为:2.【知识点】对数函数的单调性与特殊点22.已知函数f(x)=(m2﹣m﹣1)x1﹣m是幂函数,在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为.【解答】解:∵函数f(x)=(m2﹣m﹣1)x1﹣m是幂函数,∴m2﹣m﹣1=1,求得m=2,或m=﹣1.∵当x∈(0,+∞)时,f(x)=x1﹣m是上是减函数,∴1﹣m<0,故m=2,f(x)=x﹣1=,故答案为:2.【知识点】幂函数的性质23.已知函数f(x)=x2﹣3tx+1,其定义域为[0,3]∪[12,15],若函数y=f(x)在其定义域内有反函数,则实数t的取值范围是()【解答】解:函数f(x)=x2﹣3tx+1的对称轴为x=,若≤0,即 t≤0,则 y=f(x)在定义域上单调递增,所以具有反函数;若≥15,即 t≥10,则 y=f(x)在定义域上单调递减,所以具有反函数;当3≤≤12,即 2≤t≤8时,由于区间[0,3]关于对称轴的对称区间是[3t﹣3,3t],于是当或,即t∈[2,4)或t∈(6,8]时,函数在定义域上满足1﹣1对应关系,具有反函数.综上,t∈(﹣∞,0]∪[2,4)∪(6,8]∪[10,+∞).【知识点】反函数24.如图所示,正方形ABCD的四个顶点在函数y1=log a x,y2=2log a x,y3=log a x+3(a>1)的图象上,则a=()【解答】解:设B(x1,2log a x1),C(x1,log a x1+3),A(x2,log a x2),D(x2,2log a x2),则log a x2=2log a x1,∴,又2log a x2=log a x1+3,,即x1=a,,∵ABCD为正方形,∴|AB|=|BC|;可得a2﹣a=2,解得a=2.故答案为:2.【知识点】对数函数的图象与性质25.已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,若f(x)=x+log2(2x+2),则满足f(x)>log23>g(x)的x的取值范围是.【解答】解:∵函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,f(x)=x+log2(2x+2),设y=x+,则y﹣x=,∴2y﹣x=2x+2,∴2y=22x+2x+1,∴2x==﹣1,x=.互换x,y,得g(x)=,∵f(x)>log23>g(x),∴x+log2(2x+2)>log23>,解得0<x<log215.∴满足f(x)>log23>g(x)的x的取值范围是(0,log215).故答案为:(0,log215).【知识点】反函数三、解答题(共10小题)26.计算以下式子的值:(1)2lg2+lg25;(2);(3)(2)0+2﹣2•(2)﹣(0.01)0.5.【解答】解:(1)原式=lg4+lg25=lg(4×25)=lg100=2;(2)原式=====1;(3)原式=.【知识点】对数的运算性质、有理数指数幂及根式27.求值:(1);(2)log354﹣log32+log23•log34.【解答】解:(1)原式=+4+1+=7;(2)原式=log327+•=3+2=5.【知识点】有理数指数幂及根式、对数的运算性质28.计算下列各式的值:(1);(2)lg25+4.【解答】解:(1)原式===;(2)原式=2lg5+2lg2﹣2log23•log32=2(lg5+lg2)﹣2=2﹣2=0.【知识点】对数的运算性质、有理数指数幂及根式29.已知幂函数f(x)=(m∈N*),经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2﹣a)>f(a﹣1)的实数a的取值范围.【解答】解:∵幂函数f(x)经过点(2,),∴=,即=∴m2+m=2.解得m=1或m=﹣2.又∵m∈N*,∴m=1.∴f(x)=,则函数的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.由f(2﹣a)>f(a﹣1)得解得1≤a<.∴a的取值范围为[1,).【知识点】幂函数的性质30.(1)化简:(a,b均为正数);(2)求值:lg4+2lg5+π0﹣4ln+.【解答】解:(1)===.(2)lg4+2lg5+π0﹣4ln+==2+1﹣4×=22.【知识点】对数的运算性质、有理数指数幂及根式31.已知函数f(x)为函数y=a x(a>0,a≠1)的反函数,f(5)>f(6),且f(x)在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.(1)求a的值;(2)解关于x的不等式.【解答】解:(1)∵f(x)为函数y=a x的反函数,∴f(x)=log a x,又∵log a5>log a6得:0<a<1,由f(x)在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1,得:log a a﹣log a3a=1,解得:a=;(2)∵0<a<1,∴,∴1<x≤2.【知识点】反函数、指、对数不等式的解法32.计算:(1).(2)已知,,求实数B的值.【解答】解:(1)原式==.(2)由题意知:,,∴3B=9B﹣6=(3B)2﹣6,解得3B=3或﹣2(舍),∴B=1.【知识点】对数的运算性质33.已知函数f(x)=log a(kx2﹣2x+6)(a>0且a≠1).(1)若函数的定义域为R,求实数k的取值范围;(2)若函数f(x)在[1,2]上恒有意义,求k的取值范围;(3)是否存在实数k,使得函数f(x)在区间[2,3]上为增函数,且最大值为2?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。
基本初等函数综合测试题(教师补课专用含答案详解)
基本初等函数综合测试题(教师补课专用含答案详解)一、选择题1.三个数log 215,20.1,20.2的大小关系是 ( )A .log 215<20.1<20.2B .log 215<20.2<20.1C .20.1<20.2<log 215D .20.1<log 215<20.21.[答案] A [解析] ∵log 215<0,0<20.1<20.2,∴log 215<20.1<20.2,选A.2.设集合A ={y |y =2x ,x ∈R },B ={x |x 2-1<0},则A ∪B = ( ) A .(-1,1) B .(0,1) C .(-1,+∞)D .(0,+∞)2.[答案] C [解析] A ={y |y =2x ,x ∈R }={y |y >0}.B ={x |x 2-1<0}={x |-1<x <1},∴A ∪B ={x |x >0}∪{x |-1<x <1}={x |x >-1},故选C. 3.已知2x =3y ,则xy = ( )A.lg2lg3B.lg3lg2 C .lg 23D .lg 323.[答案] B [解析] 由2x =3y 得lg2x =lg3y ,∴x lg2=y lg3, ∴x y =lg3lg2. 4.函数f (x )=x ln|x |的图象大致是 ( )4.[答案] A [解析] 由f (-x )=-x ln|-x |=-x ln|x |=-f (x )知,函数f (x )是奇函数,故排除C ,D ,又f (1e )=-1e<0,从而排除B ,故选A.5.若函数f (x )=3x +3-x 与g (x )=3x -3-x 的定义域均为R ,则 ( )A .f (x )与g (x )均为偶函数B .f (x )为奇函数,g (x )为偶函数C .f (x )与g (x )均为奇函数D .f (x )为偶函数,g (x )为奇函数5.[答案] D [解析] 因为f (-x )=3-x +3x =f (x ),g (-x )=3-x -3x =-g (x ),所以f (x )是偶函数,g (x )为奇函数,故选D.6.函数y =(m 2+2m -2)x 1m -1是幂函数,则m = ( )A .1B .-3C .-3或1D .26.[答案] B [解析] 因为函数y =(m 2+2m -2)x 1m -1是幂函数,所以m 2+2m -2=1且m ≠1,解得m =-3.7.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1+log 2(2-x ) (x <1)2x -1 (x ≥1),则f (-2)+f (log 212)= ( )A .3B .6C .9D .127.[答案] C [解析] f (-2)=1+log 2(2-(-2))=3,f (log 212)=2log 212-1=2log 26=6, ∴f (-2)+f (log 212)=9,故选C.8.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(a -2)x ,x ≥2,(12)x -1,x <2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则实数a 的取值范围为 ( )A .(-∞,2)B .(-∞,138]C .(-∞,2]D .[138,2)8.[答案] B [解析] 由题意知函数f (x )是R 上的减函数,于是有⎩⎪⎨⎪⎧a -2<0,(a -2)×2≤(12)2-1,由此解得a ≤138,即实数a 的取值范围是(-∞,138],选B. 9.当a >1时,在同一坐标系中,函数y =a -x 与y =log a x 的图象是( ).A B C D 9.A 解析:当a >1时,y =log a x 单调递增,y =a -x 单调递减,故选A .10.如果0<a <1,那么下列不等式中正确的是( ).A .(1-a )31>(1-a )21 B .log 1-a (1+a )>0 C .(1-a )3>(1+a )2D .(1-a )1+a >110.A 解析:取特殊值a =21,可立否选项B ,C ,D ,所以正确选项是A .11.如果函数f (x )=x 2-(a -1)x +5在区间⎪⎭⎫⎝⎛121 ,上是减函数,那么实数a 的取值范围是( ).A . a ≤2B .a >3C .2≤a ≤3D .a ≥311.D 解析:由函数f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛121 ,上是减函数,于是有21-a ≥1,解得a ≥3.12.函数f (x )=2-x -1的定义域、值域是( ).A .定义域是R ,值域是RB .定义域是R ,值域为(0,+∞)C .定义域是R ,值域是(-1,+∞)D .定义域是(0,+∞),值域为R12.C 解析:函数f (x )=2-x-1=x⎪⎭⎫ ⎝⎛21-1的图象是函数g (x )=x⎪⎭⎫ ⎝⎛21图象向下平移一个单位所得,据函数g (x )=x⎪⎭⎫⎝⎛21定义域和值域,不难得到函数f (x )定义域是R ,值域是(-1,+∞).二、填空题13.若函数y =log 12(3x 2-ax +5)在[-1,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是________.13.[答案] (-8,-6] [解析] 令g (x )=3x 2-ax +5,其对称轴为直线x =a6,依题意,有⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤-1,g (-1)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-6,a >-8.14.满足2-x >2x 的 x 的取值范围是 . 14.参考答案:(-∞,0). 解析:∵ -x >x ,∴ x <0. 15.64log 2log 273的值为_____.15.参考答案:21. 解析:64log 2log 273=3lg 2lg ·64lg 27lg =63=21.16.已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧,≤ ,,>,020log 3x x x x 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f 的值为_____. 16.参考答案:41. 解析:⎪⎭⎫⎝⎛91f =log 391=-2,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f =f (-2)=2-2=41. 17.函数y =)-(34log 5.0x 的定义域为 .17.参考答案:⎥⎦⎤ ⎝⎛143,. 解析:由题意,得 ⎪⎩⎪⎨⎧0 34log 0345.0≥)-(>-x x ⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧13443 ≤->x x ∴ 所求函数的定义域为⎥⎦⎤ ⎝⎛143,. 18.已知函数f (x )=a -121+x,若f (x )为奇函数,则a =________. 18.参考答案:a =21. 解析:∵ f (x )为奇函数,∴ f (x )+f (-x )=2a -121+x -121+x -=2a -1212++x x =2a -1=0,∴ a =21. ∴a ∈(-8,-6].三、解答题19.已知函数f (x )=(12)ax ,a 为常数,且函数的图象过点(-1,2).(1)求a 的值;(2)若g (x )=4-x -2,且g (x )=f (x ),求满足条件的x 的值.19.[解析] (1)由已知得(12)-a =2,解得a =1.(2)由(1)知f (x )=(12)x ,又g (x )=f (x ),则4-x -2=(12)x ,即(14)x -(12)x -2=0,即[(12)x ]2-(12)x -2=0,令(12)x =t ,则t 2-t -2=0,即(t -2)(t +1)=0, 又t >0,故t =2,即(12)x =2,解得x =-1.20.已知函数f (x )=log a (1+x ),g (x )=log a (1-x ),(a >0,a ≠1). (1)设a =2,函数f (x )的定义域为[3,63],求f (x )的最值; (2)求使f (x )-g (x )>0的x 的取值范围. 20.[解析] (1)当a =2时,f (x )=log 2(1+x ),在[3,63]上为增函数,因此当x =3时,f (x )最小值为2. 当x =63时f (x )最大值为6. (2)f (x )-g (x )>0即f (x )>g (x ) 当a >1时,log a (1+x )>log a (1-x ) 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1+x >1-x 1+x >01-x >0∴0<x <1当0<a <1时,log a (1+x )>log a (1-x ) 满足⎩⎪⎨⎪⎧1+x <1-x 1+x >01-x >0∴-1<x <0综上a >1时,解集为{x |0<x <1} 0<a <1时解集为{x |-1<x <0}.21.求使不等式(1a )x 2-8>a -2x 成立的x 的集合(其中a >0,且a ≠1).21.[解析] ∵(1a )x 2-8=a 8-x 2,∴原不等式化为a 8-x 2>a-2x.当a >1时,函数y =a x 是增函数, ∴8-x 2>-2x ,解得-2<x <4; 当0<a <1时,函数y =a x 是减函数, ∴8-x 2<-2x ,解得x <-2或x >4. 故当a >1时,x 的集合是{x |-2<x <4}; 当0<a <1时,x 的集合是{x |x <-2或x >4}.22.已知函数f (x )=2x 的定义域是[0,3],设g (x )=f (2x )-f (x +2), (1)求g (x )的解析式及定义域;(2)求函数g (x )的最大值和最小值. 22..[解析] (1)∵f (x )=2x , ∴g (x )=f (2x )-f (x +2) =22x -2x +2.因为f (x )的定义域是[0,3],所以0≤2x ≤3,0≤x +2≤3,解得0≤x ≤1.于是g (x )的定义域为{x |0≤x ≤1}.(2)设g (x )=(2x )2-4×2x =(2x -2)2-4. ∵x ∈[0,1],∴2x ∈[1,2],∴当2x =2,即x =1时,g (x )取得最小值-4; 当2x =1,即x =0时,g (x )取得最大值-3. 23.已知函数f (x )=lg(ax 2+2x +1) .(1)若函数f (x )的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若函数f (x )的值域为R ,求实数a 的取值范围.23.参考答案:(1) a 的取值范围是(1,+∞) ,(2) a 的取值范围是[0,1]. 解析:(1)欲使函数f (x )的定义域为R ,只须ax 2+2x +1>0对x ∈R 恒成立,所以有⎩⎨⎧0 <440a -a >,解得a >1,即得a 的取值范围是(1,+∞); (2)欲使函数 f (x )的值域为R ,即要ax 2+2x +1 能够取到(0,+∞) 的所有值. ①当a =0时,a x 2+2x +1=2x +1,当x ∈(-21,+∞)时满足要求; ②当a ≠0时,应有⎩⎨⎧0 ≥440a -a =>Δ⇒ 0<a ≤1.当x ∈(-∞,x 1)∪(x 2,+∞)时满足要求(其中x 1,x 2是方程ax 2+2x +1=0的二根).综上,a 的取值范围是[0,1].24.求函数y =4x +2x+1+1的定义域、值域、单调区间:24.参考答案:定义域为R .令t =2x (t >0),y =t 2+2t +1=(t +1)2>1, ∴ 值域为{y | y >1}.t =2x 的底数2>1,故t =2x 在x ∈R 上单调递增;而 y =t 2+2t +1在t ∈(0,+∞)上单调递增,故函数y =4x +2x +1+1在(-∞,+∞)上单调递增.。
(完整版)基本初等函数基础练习题
数学练习题姓名 _________班级_________评卷人得分一、选择题(此题共12 道小题,每题 4 分,共 48 分)1、函数yx 1 的定义域是()A.(﹣∞, 1)B.(﹣∞, 1] C.( 1, +∞)D. [1 , +∞)2、小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通拥塞逗留了一段时间,后为了赶时间加速速度行驶.与以上事件符合得最好的图象是()A.B.C.D.3、函数 f ( x) x4x2的奇偶性是()A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶 D .没法判断4、假如偶函数 f (x) 在 [3,7] 上是增函数且最小值是2,那么 f ( x) 在 [ 7, 3] 上是A.减函数且最小值是C.增函数且最小值是22B..减函数且最大值是 2D.增函数且最大值是 2 .5、已知f ( x)为R上奇函数,当x 0 时, f ( x) x2 2x ,则当x 0 时,f ( x) ( ).A. x2 2xB. x2 2xC. x2 2xD. x2 2x6、已知函数 f ( x) 为奇函数,且当x 0 时, f ( x) x 2 1 ,则 f ( 1)xA 2B 1C 0D-27、已知函数 f ( x) 为奇函数,且当x 0 时 , f ( x) x2 1 ,则 f ( 1) =()xA、 2 B 、 0 C 、 1 D 、- 28、函数f x x2 2 a 1 x 2 在区间,4 上递减,则 a 的取值范围是A. 3,B. , 3C. ,5D. 3,9、已知函数 f ( x)=﹣ x 2﹣ x+2,则函数 y=f (﹣ x)的图象是()10、函数y x2 4x 3, x [0,3] 的值域为()A.[0,3]B.[-1,0]C.[-1,3]D.[0,2]11、函数 f (x) =x 2﹣ 4x+4 的零点是()A.( 0, 2) B.( 2, 0) C. 2 D. 412、函数 f (x) =x 2﹣ 4x+3 的最小值是()A.3B. 0 C.﹣ 1 D.﹣ 2评卷人得分二、填空题(此题共 4 道小题,每题 4 分,共 16 分)13、已知函数 f ( x) ax5 x3 bx 7 ,若 f (2) 9 ,则 f ( 2) = .14、已知函数y=f (x)可用列表法表示以下,则f(f(1))= .x -1 0 1y 0 1 -115、函数f ( x) 1 的定义域为 ______________.3 x216、f (x) x2 ax 1在 (1, ) 为单一递加,则a 的取值范围是.评卷人三、解答题(此题共 3 道小题 ,第 1题 8分,第 2题 8分,第 3 得分题 8 分,第四题 12 分,共 36 分)17、(1f (x) x2 2x 4 在[1,8]是单一减函数)证明( 2)求f ( x)在区间[2,2] 的最大值和最小值18、已知一次函数 f (x) 知足 2 f (2) - 3 f (1) = 5 2 f (0) - f (- 1) = 1 .(1)求这个函数的分析式;(2)若函数g(x) = f (x) - x2,求函数g( x)的零点(3) x 为什么值时,g (x) > 019、若 f ( x)为二次函数,﹣ 1 和 3 是方程 f ( x)﹣ x﹣ 4=0 的两根, f ( 0) =1(1)求 f ( x)的分析式;(2)若在区间 [ ﹣ 1, 1] 上,不等式 f ( x)> 2x+m有解,务实数 m的取值范围.20、已知函数 f (x)=﹣x2+2ax﹣3a.(Ⅰ)若函数 f (x)在(﹣∞, 1)上是增函数,务实数 a 的取值范围;(Ⅱ)若函数 f (x)存在零点,务实数 a 的取值范围;(Ⅲ)分别求出当 a=1 和 a=2 时函数 f(x)在 [ 1,3] 上的最大值.。
基本初等函数练习题
基本初等函数练习题一、选择题1.如果函数y =(a x-1)-12的定义域为(0,+∞)那么a 的取值范围是( )A .a >0B .0<a <1C .a >1D .a ≥12.函数y =a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a 等于( )A.12B .2C .4D.143.在同一平面直角坐标系中,函数f (x )=ax 与指数函数g (x )=a x的图象可能是( )4.函数xx y 2221+⎪⎭⎫ ⎝⎛=的值域是( )A .(0,+∞)B .(0,2]C .(12,2] D .(-∞,2]5.函数y =3x与y =(13)x的图象( )A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于原点对称D .关于直线y =x 对称 6.若-1<a <0,则有( )A .2a>(12)a >0.2aB .(12)a >0.2a >2aC .0.2a >(12)a >2aD .2a >0.2a >(12)a7.设a 、b 满足0<a <b <1,下列不等式中正确的是( )A .a a<a bB .b a <b bC .a a <b aD .b b <a b8.下列式子中正确的个数是( )①log a (b 2-c 2)=2log a b -2log a c ②(log a 3)2=log a 32③log a (bc )=(log a b )·(log a c ) ④log a x 2=2log a xA .0B .1C .2D .3 9.如果lg x =lg a +2lg b -3lg c ,则x 等于( )A .a +2b -3cB .a +b 2-c 3C.ab 2c3D.2ab 3c10. 的值等于( )A .2+ 5B .2 5C .2+52D .1+5211.设log (a -1)(2x -1)>log (a -1)(x -1),则( )A .x >1,a >2B .x >1,a >1C .x >0,a >2D .x <0,1<a <212.若函数y =log (a 2-1)x 在区间(0,1)内的函数值恒为正数,则a 的取值范围是( )A .|a |>1B .|a |> 2C .|a |< 2D .1<|a |< 213.已知集合A ={y |y =log 2x ,x >1},B ={y |y =(12)x,x >1},则A ∪B =( )A .{y |0<y <12}B .{y |y >0}C .∅D .R14.若0<a <1,函数y =log a (x +5)的图象不通过( )A.第一象限 B .第二象限 C.第三象限 D .第四象限15.如下图所示的曲线是对数函数y =log a x 的图象,已知a 的取值分别为3、43、35、110,则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次是( ) A.3,43,35,110B.3,43,110,35C.43,3,35,110D.43,3,110,3516.幂函数y =x α (α≠0),当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连结AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y =x α,y =x β的图象三等分,即有BM =MN =NA .那么,αβ=( ) A .1B .2C .3D .无法确定17.下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( )A .f (x )=3x 2-4x +5B .f (x )=x 3-5x -5C .f (x )=ln x -3x +6D .f (x )=e x+3x -618.已知函数f (x )=mx 2+(m -3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数m 的取值范围是( )A .(0,1]B .(0,1)C .(-∞,1)D .(-∞,1]19.函数f (x )=lg x -9x的零点所在的大致区间是( )A .(6,7)B .(7,8)C .(8,9)D .(9,10)20.已知f (x )=(x -a )(x -b )-2,并且α、β是函数f (x )的两个零点,则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( )A .a <α<b <β B .a <α<β<b C .α<a <b <β D .α<a <β<b21.函数f (x )=⎩⎨⎧x 2+2x -3,x ≤0,-2+ln x ,x >0的零点个数为( )A .0 B .1 C .2 D .322.函数y =x 3与y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象的交点为(x 0,y 0),则x 0所在区间为( )A .(-2,-1)B .(-1,0)C .(0,1)D .(1,2)23.若函数f (x )是奇函数,且有三个零点x 1、x 2、x 3,则x 1+x 2+x 3的值为( )A .-1B .0C .3D .不确定24.函数f (x )=(x -1)ln(x -2)x -3的零点有( )A .0个 B .1个C .2个 D .3个25.若函数y =f (x )在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线,且方程f (x )=0在(0,4)内仅有一个实数根,则f (0)·f (4)的值( )A .大于0 B .小于0 C .等于0 D .无法判断 二、填空题1.指数函数y =f (x )的图象过点(-1,12),则f [f (2)]=________.2.当x ∈[-1,1]时,函数f (x )=3x-2的值域为__________.3.已知x >0时,函数y =(a 2-8)x的值恒大于1,则实数a 的取值范围是________4.使对数式log (x -1)(3-x )有意义的x 的取值范围是________. 5.已知5lg x=25,则x =________,已知log x 8=32,则x =________.6.若log 0.2x >0,则x 的取值范围是________;若log x 3<0,则x 的取值范围是________. 7.用“>”“<”填空:(1)log 3(x 2+4)___1;(2)log 12(x 2+2)___0;(3)log 56_____log 65;(4)log 34___43.8.y =log a x 的图象与y =log b x 的图象关于x 轴对称,则a 与b 满足的关系式为________. 9.函数y =ax +1(0<a ≠1)的反函数图象恒过点______.10.已知幂函数y =f (x )的图象经过点(2,2),那么这个幂函数的解析式为________. 11.若(a +1)13<(2a -2)13,则实数a 的取值范围是________.12.二次函数y =ax 2+bx +c (x ∈R )的部分对应值如下表:x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y6-4-6-6-46则使ax 213.已知y =x (x -1)(x +1)的图象如图所示.令f (x )=x (x -1)(x +1)+0.01, 则下列关于f (x )=0的解叙述正确的是________.①有三个实根;②x >1时恰有一实根;③当0<x <1时恰有一实根;④当-1<x <0时恰有一实根;⑤当x <-1时恰有一实根(有且仅有一实根).三、解答题1.已知f (x )=73x +1,g (x )=2x,在同一坐标系中画出这两个函数的图象.试问在哪个区间上,f (x )的值小于g (x )?哪个区间上,f (x )的值大于g (x )?2.已知函数f (x )=log a (a x-1)(a >0且a ≠1)(1)求f (x )的定义域;(2)讨论f (x )的单调性;(3)x 为何值时,函数值大于1.3.已知函数f (x )=(m 2+2m )·xm 2+m -1,m 为何值时,f (x )是(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.4.已知函数y =xn 2-2n -3(n ∈Z )的图象与两坐标轴都无公共点,且其图象关于y 轴对称,求n的值,并画出函数的图象.5.若函数f (x )=log 3(ax 2-x +a )有零点,求a 的取值范围.参考答案:一、选择题:1-5CBBBB 6-10CCACB 11-15ADBAA 16-20ADDDC 21-25CCBAD二、填空题:1.16 2.{y |-53≤y ≤1}3. a >3或a <-3 4.1<x <3且x ≠2 5.100;4 6. (0,1),(0,1)8.ab =1 9.(1,-1) 10.y =x 12 11. (3,+∞) 12.(-∞,-2)∪(3,+∞)13.①⑤ 三、解答题:1.[解析] 在同一坐标系中,画出函数f (x )=2x与g (x )=7x 3+1的图象如图所示,两函数图象的交点为(0,1)和(3,8),显然当x ∈(-∞,0)或x ∈(3,+∞)时,f (x )>g (x ),当x ∈(0,3)时,f (x )<g (x ). 2.[解析] (1)f (x )=log a (a x-1)有意义,应满足a x-1>0即a x>1当a >1时,x >0,当0<a <1时,x <0因此,当a >1时,函数f (x )的定义域为{x |x >0};0<a <1时,函数f (x )的定义域为{x |x <0}. (2)当a >1时y =a x-1为增函数,因此y =log a (a x-1)为增函数;当0<a <1时y =a x-1为减函数,因此y =log a (a x -1)为增函数综上所述,y =log a (a x-1)为增函数. (3)a >1时f (x )>1即a x -1>a ∴a x>a +1∴x >log a (a +1)0<a <1时,f (x )>1即0<a x-1<a ∴1<a x<a +1∴log a (a +1)<x <0.3.[解析] (1)若f (x )为正比例函数,则⎩⎨⎧m 2+m -1=1,m 2+2m ≠0⇒m =1. (2)若f (x )为反比例函数,则⎩⎨⎧m 2+m -1=-1,m 2+2m ≠0⇒m =-1. (3)若f (x )为二次函数,则⎩⎨⎧m 2+m -1=2,m 2+2m ≠0⇒m =-1+132.(4)若f (x )为幂函数,则m 2+2m =1,∴m =-1± 2.4.[解析] 因为图象与y 轴无公共点,所以n 2-2n -3≤0,又图象关于y 轴对称,则n 2-2n -3为偶数,由n 2-2n -3≤0得,-1≤n ≤3,又n ∈Z .∴n =0,±1,2,3当n =0或n =2时,y =x -3为奇函数,其图象不关于y 轴对称,不适合题意.当n =-1或n =3时,有y =x 0,其图象如图A.当n =1时,y =x -4,其图象如图B.∴n 的取值集合为{-1,1,3}. 5.[解析] ∵f (x )=log 3(ax 2-x +a )有零点,∴log 3(ax 2-x +a )=0有解.∴ax 2-x +a =1有解.当a =0时,x =-1.当a ≠0时,若ax 2-x +a -1=0有解,则Δ=1-4a (a -1)≥0,即4a 2-4a -1≤0,解得1-22≤a ≤1+22且a ≠0.综上所述,1-22≤a ≤1+22.。
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一、简答题1、设.(1)判断函数的奇偶性;(2)求函数的定义域和值域.2、设函数(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值.3、已知函数f(x)=x2+2ax+1(a∈R),f′(x)是f(x)的导函数.(1)若x∈[-2,-1],不等式f(x)≤f′(x)恒成立,求a的取值范围;(2)解关于x的方程f(x)=|f′(x)|;(3)设函数g(x)=,求g(x)在x∈[2,4]时的最小值.4、经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)=4+,人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)=115-|t-15|.(1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30,t∈N*)的函数关系式;(2)求该城市旅游日收益的最小值(万元).5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查,预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是:P(x)=x(x+1)(41-2x)(x≤12且x∈N*)(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式;(2)若第x月的销售量g(x)=(单位:件),每件利润q(x)元与月份x的近似关系为:q(x)=,问:该商场销售A品牌商品,预计第几月的月利润达到最大值?月利润最大值是多少?(e6≈403)6、已知函数f(x)=x2-(1+2a)x+a ln x(a为常数).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;(2)当a>0时,讨论函数y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间.7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1 000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:资金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数y=f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求,并分析函数y=+2是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;(2)若该公司采用模型函数y=作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值.8、已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,);(Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求证:.9、已知命题p:函数y=log a(1-2x)在定义域上单调递增;命题q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x 恒成立.若p∨q是真命题,求实数a的取值范围.二、选择题10、已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上是增函数.令,,,则(??? )A.?? ???????B.??? ????C.??? ???D.11、函数是(??? )A.周期为的奇函数 ?????????????????B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数 ????????????????D.周期为的偶函数12、曲线在点处的切线方程为???????????? ?????????????????????? (??? )A. ????B. ????C.???D.13、函数的单调增区间为A、R???????????????B、???????????C、??????D、14、已知,若恒成立,则的取值范围是(A) ?? (B)?? ????(C)??? ???? (D)15、已知函数其中表示不超过的最大整数,(如,,).若直线与函数的图象恰有三个不同的交点,则实数的取值范围是??A . ??????B . ?????C . ?????D .16、已知,,,则????? A.???????? B. ???????C.?????? D.???17、已知函数f (x )=,若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),则a+b+c 的取值范围为(??? ) ??? A .()??? ?? B .()??? C .(,12)??? ?? D .(6,l2)18、下列函数中既是奇函数,又在区间上单调递减的函数是 A.??????????? B. C.??????? D.19、已知,,,则????????????????????????????????????????? (A )???? (B )???? (C )???? (D )20、函数的部分图象为(???? )21、 A??B??????????????????????? ?? ?????????? C?????????????? D21、已知函数的两个极值点分别为,且,,点表示的平面区域为,若函数的图像上存在区域内的点,则实数的取值范围是()A. ? ??????????B. ??????C. ?? ????D.22、已知.我们把使乘积为整数的数n叫做“优数”,则在区间(1,2004)内的所有优数的和为( )A.1024? ?????? B.2003 ???????C.2026? ??????? D.204823、若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图象上;②点A、B关于原点对称,则点(A,B)是函数的一个“姊妹点对”。
点对(A,B)与(B,A)可看作是同一个“姊妹点对”,已知函数,则的“姊妹点对”有(?? )A.?? 0个????????B.? 1个????????C.?? 2个?????????D.?? 3个24、函数的图象大致是()25、已知函数,若a,b,c互不相等,且,则的取值范围为(???? )A.??? B.??? C.??? D.26、已知集合,则(? )??????? B.????????? ???????????27、函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是?????? ( )A.(-∞,2)? ?????????????????????????? B.(0,3)C.(1,4)? ?????????????????????????????? D.(2,+∞)28、设,则??????????????? ????(???? ?)?? A.?????????? ?B.2 ????????????? C.3??? ??? ?????D.429、函数与在同一坐标系中的图像大致是(????? )30、设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P,且x?Q},如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P -Q等于( )A.{x|0<x<1} ???????????????????? B.{x|0<x≤1}C.{x|1<x<2} ???????????????????? D.{x|2<x<3}三、填空题31、设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,令,则的值为??????????????? .????32、已知直线y=kx是y=1n x-3的切线,则k的值为____???????? .33、设函数的图象关于点(1,0)中心对称,则a的值为_______34、已知函数f(x)=f(x)=x的根从小到大构成数列{a n},则a2 012=________.35、已知函数f(x)=-x ln x+ax在(0,e)上是增函数,函数g(x)=|e x-a|+,当x∈[0,ln 3]时,函数g(x)的最大值M与最小值m的差为,则a=________.36、设a=2 ,b=,则a,b,c的大小关系是________.37、函数,则_______________.38、y=x2e x的单调递增区间是____? ____?? .39、已知,,,则集合中元素有???? 个。
40、函数f(x)=ln x+的定义域为????? .参考答案一、简答题1、(1)奇函数;(2)定义域,Z},值域R.2、解析:的定义域为.(Ⅰ).当时,;当时,;当时,.从而,分别在区间,单调增加,在区间单调减少.……6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为.又.所以在区间的最大值为.……12分3、解(1)因为f(x)≤f′(x),所以x2-2x+1≤2a(1-x),又因为-2≤x≤-1,所以a≥max在x∈[-2,-1]时恒成立,因为≤,所以a≥.(4分)(2)因为f(x)=|f′(x)|,所以x2+2ax+1=2|x+a|,所以(x+a)2-2|x+a|+1-a2=0,则|x+a|=1+a或|x+a|=1-a.(7分)①当a<-1时,|x+a|=1-a,所以x=-1或x=1-2a;②当-1≤a≤1时,|x+a|=1-a或|x+a|=1+a,所以x=±1或x=1-2a或x=-(1+2a);③当a>1时,|x+a|=1+a,所以x=1或x=-(1+2a).(10分)(3)因为f(x)-f′(x)=(x-1)[x-(1-2a)],g(x)=①若a≥-,则x∈[2,4]时,f(x)≥f′(x),所以g(x)=f′(x)=2x+2a,从而g(x)的最小值为g(2)=2a+4;(12分)②若a<-,则x∈[2,4]时,f(x)<f′(x),所以g(x)=f(x)=x2+2ax+1,当-2≤a<-时,g(x)的最小值为g(2)=4a+5,当-4<a<-2时,g(x)的最小值为g(-a)=1-a2,当a≤-4时,g(x)的最小值为g(4)=8a+17.(14分)③若-≤a<-,则x∈[2,4]时,g(x)=当x∈[2,1-2a)时,g(x)最小值为g(2)=4a+5;当x∈[1-2a,4]时,g(x)最小值为g(1-2a)=2-2a.因为-≤a<-,(4a+5)-(2-2a)=6a+3<0,所以g(x)最小值为4a+5,综上所述,[g(x)]min=4、可证w(t)在t∈[15,30]上单调递减,所以当t=30时,w(t)取最小值为403.(13分)由于403<441,所以该城市旅游日收益的最小值为403万元.(14分)5、解(1)当x=1时,f(1)=P(1)=39.当x≥2时,f(x)=P(x)-P(x-1)? =x(x+1)(41-2x)-(x-1)x(43-2x)? =3x(14-x).∴f(x)=-3x2+42x(x≤12,x∈N*).(5分)(2)设月利润为h(x),h(x)=q(x)·g(x)∵当1≤x≤6时,h′(x)≥0,当6<x<7时,h′(x)<0,∴当1≤x<7且x∈N*时,h(x)max=30e6≈12 090,(11分)∵当7≤x≤8时,h′(x)≥0,当8≤x≤12时,h′(x)≤0,∴当7≤x≤12且x∈N*时,h(x)max=h(8)≈2 987.综上,预计该商场第6个月的月利润达到最大,最大月利润约为12 090元.(14分) 6、解(1)当a=-1时,f(x)=x2+x-ln x,则f′(x)=2x+1-,(2分)所以f(1)=2,且f′(1)=2.所以曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为:y-2=2(x-1),即:y=2x.(6分)(2)由题意得f′(x)=2x-(1+2a)+= (x>0),由f′(x)=0,得x1=,x2=a,(8分)①当0<a<时,由f′(x)>0,又知x>0得0<x<a或<x<1由f′(x)<0,又知x>0,得a<x<,所以函数f(x)的单调增区间是(0,a)和,单调减区间是,(10分)②当a=时,f′(x)=≥0,且仅当x=时,f′(x)=0,所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数.(11分)③当<a<1时,由f′(x)>0,又知x>0得0<x<或a<x<1,由f′(x)<0,又知x>0,得<x<a,所以函数f(x)的单调增区间是和(a,1),单调减区间是,(13分)④当a≥1时,由f′(x)>0,又知x>0得0<x<,由f′(x)<0,又知x>0,得<x<1,所以函数f(x)的单调增区间是,单调减区间是.(16分)7、解(1)设奖励函数模型为y=f(x),按公司对函数模型的基本要求,函数y=f(x)满足:当x∈[10,1 000]时,①f(x)在定义域[10,1 000]上是增函数;②f(x)≤9恒成立;③f(x)≤恒成立.(2分)对于函数模型f(x)=+2.当x∈[10,1 000]时,f(x)是增函数,(3分)f(x)max=f(1 000)=+2=+2<9.所以f(x)≤9恒成立.但x=10时,f(10)=+2>,即f(x)≤不恒成立,故该函数模型不符合公司要求.(6分)(2)对于函数模型f(x)=,即f(x)=10-,当3a+20>0,即a>-时递增;(8分)要使f(x)≤9对x∈[10,1 000]恒成立,即f(1 000)≤9,3a+18≥1 000,a≥;(10分)要使f(x)≤对x∈[10,1 000]恒成立,即,x2-48x+15a≥0恒成立,所以a≥.(12分)综上所述,a≥,所以满足条件的最小的正整数a的值为328.(14分) 8、解(Ⅰ),,.∴,且.? ?解得a=2,b=1.????????????????????????? ?(Ⅱ),令,则,令,得x=1(x=-1舍去).在内,当x∈时,,∴h(x)是增函数;当x∈时,,∴h(x)是减函数.??? ?则方程在内有两个不等实根的充要条件是即.? ?????????????????????? ?9、解:∵命题p:函数y=log a(1-2x)在定义域上单调递增,∴ 0<a<1. 又命题q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立,∴ a=2或即-2<a≤2.∵ p∨q是真命题,∴ a的取值范围是-2<a≤2.二、选择题10、A11、A12、B13、C14、D15、B16、D17、B18、C19、A?20、A21、B22、C23、C24、D25、B26、A27、D28、C29、C30、B三、填空题31、-232、????33、14/534、2 01135、36、a>b>c37、38、?(-∞,-2),(0,+∞)39、?5???????40、。