高考数学复习专题二三角函数、平面向量专题提能三角与向量的创新考法与学科素养课后训练文

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高考数学二轮复习专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质理-

专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。

高考数学大一轮专题复习专题二三角函数与平面向量配套课件文

则cos∠MNP＝|NN→→MM|··N|→N→PP|＝
Hale Waihona Puke －6 5×25＝－35.
由∠MNP∈[0，π]，得sin∠MNP＝ 1－cos2∠MNP＝45.
2 值；最后由点M在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析式；先由x的范围，求得2x＋ π 的范围，把ωx＋φ看作一个整
6 体，再求得fx的值域.
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【互动(hù dònɡ)探究】
2．(2012年湖北八校联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R图象的一部分如图2-1.
第七页，共36页。
题型 2 三角变换与三角函数(sānjiǎhánshù)性质的整合例2：(2012年陕西西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)， x∈R 其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M23π，－2. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈1π2，π2时，求f(x)的值域．
对广东的试题而言，2008 年、2009 年、2010 年、2011 年、 2012 年、2013 年连续六年都是考查三角变换及三角函数求值．这个数据足以说明广东对该题型的情有独钟，但绝对不能因此
还有两个现象也应该引起(yǐnqǐ)我们备考时注意：①三角函数与而放松对整章知识系统而全面地复习．平面向量的综合，是近几年全国各地高考试题中的一种重要题型，已成为热点．而广东高考仅在 2007 年、2009 年在三角函
第三页，共36页。
题型 1 三角变换(biànhuàn)与求值的整合
例1：(2012年广东)已知函数f(x)＝Acos4x＋π6

高考数学一轮总复习专题二三角函数、平面向量与解三角形课件理

PA2＝3＋14－2×
3×12×cos30°＝74.故
PA＝
7 2.
(2)设∠PBA＝α，由已知，得 PB＝sinα.
在△PBA 中，由正弦定理，得sin1350°＝sin3si0n°α－α. 化简，得 3cosα＝4sinα.
所以
tanα＝
43，即
tan∠PBA＝
3 4.
【互动探究】
2．(2015 年浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 tanπ4＋A＝2.
由正弦函数 y＝sinx 在π4，54π上的图象知，当 2x＋4π＝π2，即 x＝8π时，f(x)取最大值 2＋1；当 2x＋4π＝54π，即 x＝π2时，f(x)取最小值 0. 综上可知，f(x)在0，π2上的最大值为 2＋1，最小值为 0.
题型 2 三角函数和解三角形有关三角知识与解三角形的综合是全国各地的高考题中的一种重要题型，对于这类题，通常是先利用正弦定理或者余弦定理，将边的关系转化为只含有角的关系，再利用三角知识来处理．本题考查解三角形、三角形的面积、三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用．
(2)方法一，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA.
而 a＝ 7，b＝2，A＝π3，得 7＝4＋c2－2c，即 c2－2c－3＝0.
因为 c>0，所以 c＝3.
故△ABC

面积为12bcsinA＝3
当 x＋π3＝π，即 x＝23π时，f(x)取得最小值．
∴f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
【规律方法】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、
三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题.解题时

高考数学一轮复习专题讲座2 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略知能训练轻松闯

专题讲座2 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略1．已知|a |＝3，|b |＝2，(a ＋2b )·(a －3b )＝－18，则a 与b 夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 解析：选B.(a ＋2b )·(a －3b )＝－18，所以a 2－6b 2－a·b ＝－18，因为|a |＝3，|b |＝2，所以9－24－a ·b ＝－18，所以a·b ＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝36＝12，所以〈a ，b 〉＝60°. 2．(2016·郑州第一次质量预测)已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图像如图所示，点B ，C 是该图像与x 轴的交点，过点C 的直线与该图像交于D ，E 两点，则(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)的值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．2解析：选D.注意到函数f (x )的图像关于点C 对称，因此C 是线段DE 的中点，BD →＋BE →＝2BC →.又BE →－CE →＝BE →＋EC →＝BC →，且|BC →|＝12T ＝12×2ππ＝1，因此(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝2BC →2＝2.3．(2015·高考重庆卷)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________．解析：如图，在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin B ＝ABsin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝22.所以∠ADB ＝45°，所以∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°. 所以∠BAC ＝30°，∠C ＝30°，所以BC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由正弦定理，得ACsin B＝BCsin ∠BAC，所以AC ＝ 6.答案： 6 4．(2015·高考天津卷改编)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内递增，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图像关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2. 答案：π25.已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R 的图像的一部分如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解：(1)由题图知A ＝2，T ＝8，因为T ＝2πω＝8，所以ω＝π4.又图像经过点(－1，0)，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0. 因为|φ|<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝22cos π4x .因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23，所以－3π2≤π4x ≤－π6.所以当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2. 6．(2015·高考陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3.由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c ＞0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217. 又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cosB sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.1．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )．(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.(2)由f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＋1＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3.因为向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，所以sin A sin B ＝12.由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.2．(2015·高考福建卷)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图像向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，且函数g (x )的最大值为2. ①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0. 解：(1)因为f (x )＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2＝53sin x ＋5cos x ＋5＝10sin(x ＋π6)＋5，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)①将f (x )的图像向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图像，再向下平移a (a＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图像．又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45.由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45. 由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45.因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x k ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k ＞45.即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.。

高考数学二轮复习专题二三角函数、平面向量与复数第3讲平面向量与复数教案-高三全册数学教案

第3讲平面向量与复数平面向量的概念与线性运算[核心提炼]1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[典型例题](1)(2019·杭州模拟)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b(2)(2019·金华市十校联考)已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)，则S △PAB S △OAB为( )A ．32 B ．23C ．2D ．12(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则(λ＋1)2＋μ2的取值范围为________．【解析】 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)如图，延长CO ，交AB 中点D ，O 是△ABC 的重心，则OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)＝14(2OD →＋2OC →)＝14(－OC →＋2OC →)＝14OC →，所以OP ＝14OC ＝14×23CD ＝16CD ；所以DP ＝DO ＋OP ＝13CD ＋16CD ＝12CD ，DO ＝13CD ；所以S △PAB S △OAB ＝DP DO ＝12CD13CD ＝32.(3)因为点E 在射线AD (不含点A )上，设AE →＝kAD →(k >0)，又BD →＝34BC →，所以AE →＝k (AB →＋BD →)＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋34（AC →－AB →）＝k 4AB →＋3k 4AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k 4μ＝3k4，(λ＋1)2＋μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4＋12＋916k 2＝58⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋252＋910>1，故(λ＋1)2＋μ2的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 (1)D (2)A (3)(1，＋∞)平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．[对点训练]1．(2019·瑞安市四校联考)设M 是△ABC 边BC 上的点，N 为AM 的中点，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.14B.13C.12D.1 解析：选C.因为M 在BC 边上，所以存在实数t ∈[0，1]使得BM →＝tBC →. AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋tBC →＝AB →＋t (AC →－AB →)＝(1－t )AB →＋tAC →，因为N 为AM 的中点，所以AN →＝12AM →＝1－t 2AB →＋t 2AC →，所以λ＝1－t 2，μ＝t 2，所以λ＋μ＝1－t 2＋t 2＝12，故C 正确．2．(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267.若动点P 满足AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →，(λ∈R )，则点P 的轨迹与直线BC ，AC 所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10C ．2 6D ．4 6解析：选A.设AD →＝23AC →，因为AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →＝(1－λ)AB →＋λAD →，所以B ，D ，P 三点共线．所以P 点轨迹为直线BC .在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267，所以sin C ＝57，所以S △ABC ＝12×7×6×57＝15，所以S △BCD ＝13S △ABC ＝5.3．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，所以λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最大值22＋42＝2 5.答案：0 2 5平面向量的数量积 [核心提炼]1．平面向量的数量积的两种运算形式(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为向量a ，b 的夹角)；(2)坐标运算：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. [典型例题](1)(2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．【解析】 (1)设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A. (2)设b 与c 的夹角为θ，由题b ＋c ＝－a ，所以b 2＋c 2＋2b ·c ＝1.即cos θ＝2k 2－4k ＋32k 2－4k ＝1＋32（k －1）2－2. 因为|a |＝|b ＋c |≥|b －c |，所以|2k －2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以－1≤cos θ≤－12.【答案】 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12(1)平面向量数量积的计算①涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路(ⅰ)直接利用数量积的定义； (ⅱ)建立坐标系，通过坐标运算求解．②在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．(2)求解向量数量积最值问题的两种思路①直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．②建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．[对点训练]1．(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D.由平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1·1·cos 〈a ，b 〉＝12，由0≤〈a ，b 〉≤π，可得〈a ，b 〉＝π3，设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(x ，y )，则|a －b ＋c |≤1，即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，y －32≤1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322≤1，故|a －b ＋c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3解析：选C.如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0，所以I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，所以OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，所以OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.3．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．解析：非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，可得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)＝15(|a |2＋4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，即有cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |，取得最小值45.答案：45平面向量与其他知识的交汇[核心提炼]平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、数列、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．[典型例题](1)如图，已知点D 为△ABC 的边BC 上一点，BD →＝3DC →，E n (n ∈N *)为边AC 上的列点，满足E n A →＝14a n ＋1·E n B →－(3a n ＋2)E n D →，其中实数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝( )A ．3·2n －1－2 B ．2n－1 C ．3n－1 D ．2·3n －1－1(2)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量p ＝(cos B ＋sinB ，2sin B －2)，q ＝(sin B －cos B ，1＋sin B )，且p ⊥q .①求B 的大小；②若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .【解】 (1)选D.因为BD →＝3DC →，所以E n C →＝E n B →＋BC →＝E n B →＋43BD →＝E n B →＋43(BE n →＋E n D →)＝－13E n B→＋43E n D →.设mE n C →＝E n A →，则由E n A →＝14a n ＋1E n B →－(3a n ＋2)E n D →，得(14a n ＋1＋13m )E n B →－(43m ＋3a n ＋2)E n D →＝0，则－13m ＝14a n ＋1，43m ＝－(3a n ＋2)，所以14a n ＋1＝14(3a n ＋2)，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．因为a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.(2)①因为p ⊥q ，所以p ·q ＝(cos B ＋sin B )(sin B －cos B )＋(2sin B －2)·(1＋sin B )＝0，即3sin 2B －cos 2B －2＝0，即sin 2B ＝34，又角B 是锐角三角形ABC 的内角，所以sin B ＝32，所以B ＝60°. ②由①得B ＝60°，又△ABC 的面积为3，所以S △ABC ＝12ac sin B ，即ac ＝4.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，又b ＝2，所以a 2＋c 2＝8，② 联立①②，解得a ＝c ＝2.平面向量与其他知识的交汇点主要体现在与三角函数、立体几何、解析几何，求最值． (1)利用平面向量的知识给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数的知识．在解析几何中只是利用向量知识给出一些几何量的位置关系和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中几何量之间的关系，最后的解题还要落实到解析几何知识上．(2)因为向量是沟通代数、几何的工具，有着极其丰富的实际背景，对于某些代数问题，可构造向量，使其转化为向量问题求解．[对点训练]1．(2019·杭州市高三二模)△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A.54 B.154 C.174D.174解析：选B.以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A (0，4)，B (3，0)，C (0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 设E (x ，0)，则F (0，1－x 2)，0≤x ≤1. 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，－2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1－x 2－2.所以DE →·DF →＝94－32x ＋4－21－x 2＝254－3x 2－21－x 2.令f (x )＝254－3x 2－21－x 2，当x ≠1时，则f ′(x )＝－32＋2x1－x 2. 令f ′(x )＝0得x ＝35.当0≤x ＜35时，f ′(x )＜0，当35＜x ＜1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝35时，f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝154.当x ＝1时，f (1)＝254－32＝194＞154，故选B.2．(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]解析：选B.|a |＋|b |≥max{|a ＋b |，|a －b |}＝4， (|a |＋|b |)2≤|a ＋b |2＋|a －b |2＝25，所以|a |＋|b |≤5.3．(2019·江苏常州武进区高三上学期期中考试改编)已知数列{a n }中，a 1＝2，点列P n (n ＝1，2，…)在△ABC 内部，且△P n AB 与△P n AC 的面积比为2∶1.若对n ∈N *都存在数列{b n }满足b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，求a 4.解：在线段BC 上取点D ，使得BD ＝2CD ，则P n 在线段AD 上，因为b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，所以－12a n ＋1BP n →＝b n AP n →＋(3a n ＋2)CP n →＝b n (BP n →－BA →)＋(3a n ＋2)(BP n →－BC →)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a n ＋1－b n －3a n －2BP n →＝－b n BA →－32×(3a n ＋2)BD →.因为A ，P n ，D 三点共线，所以－12a n ＋1－b n －3a n －2＝－b n －32(3a n ＋2)，即a n ＋1＝3a n ＋2，所以a 2＝3a 1＋2＝8，a 3＝3a 2＋2＝26，a 4＝3a 3＋2＝80.复数 [核心提炼]1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． (3)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i.(4)i 4n＋i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i4n ＋3＝0.[典型例题](1)(2019·杭州学军中学高考模拟)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2(2)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(3)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017的实部为( )A ．1B ．－1C ．21 009D ．－21 009【解析】 (1)因为复数z 满足1＋z1－z＝i ，所以1＋z ＝i －z i ，所以z (1＋i)＝i －1，所以z ＝i －1i ＋1＝i ，所以|z |＝1，故选A.(2)对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R成立，故命题p 1正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，得ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z 2，故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z ＝a ∈R 成立，故命题p 4正确．故选B.(3)因为z ＝1＋i ，所以1＋z ＋z 2＋…＋z2 017＝1×（1－z 2 018）1－z＝z 2 018－1z －1＝（1＋i ）2 018－11＋i －1＝（2i ）1 009－1i ＝（－1＋21 009i ）（－i ）－i2＝21 009＋i. 所以复数1＋z ＋z 2＋…＋z2 017的实部为21 009.故选C.【答案】 (1)A (2)B (3)C复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题．[对点训练]1．(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z ＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A.2．(2019·金丽衢十二校联考)设z 是复数，|z －i|≤2(i 是虚数单位)，则|z |的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为|z －i|≤2，所以复数z 在复平面内对应点在以(0，1)为圆心，以2为半径的圆及其内部．所以|z |的最大值为3.故选C.3．(2019·高考浙江卷)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝________．解析：通解：z ＝11＋i ＝1－i 2＝12－i2，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 优解：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11＋i ＝1|1＋i|＝112＋12＝22.答案：22专题强化训练1．(2019·绍兴诸暨高考二模)已知复数z 满足z (1＋i)＝2i ，则z 的共轭复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B.由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i.故选B.2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 解析：选B.因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.3．(2019·嘉兴一中高考模拟)复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则复数|zi|＝( )A.253 B.2C.553D. 5解析：选D.复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，所以z ·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z ＝10－5i ，可得z ＝2－i.则复数|z i |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－i （2－i ）－i·i＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝12＋22＝ 5.故选D.4.在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则DE →·BF →＝( )A ．－52B ．32C ．－4D ．－2解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．所以DE →＝(2，－1)，BF →＝(－1，2)，所以DE →·BF →＝－4.5．(2019·台州市书生中学检测)已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x 、y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( )A.23B.33C.23D.13解析：选A.设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →.又因为x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23.故选A.6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－tBC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA →－tBC →|≥|AC →|，得BA →2－2tBA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.7．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：选B.由于d (a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．8．(2019·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A.255B.223 C.1D.52解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB ＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)，因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1. 又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1. 所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255.故选A.9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为( )A ．43＋37B ．47＋3 3C ．(43＋37)2D ．(47＋33)2解析：选D.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ，因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°，设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332，设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332，所以h ＝3217，因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上，所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217.所以S △ABC 的最大值为 12×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3217 ＝27＋332，所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.故选D.10．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23πB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ，且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角，即OB →与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6.11．(2019·杭州市高考二模)已知复数z ＝1＋a ii (a ∈R )的实部为1，则a ＝________，|z |＝________．解析：因为z ＝1＋a i i ＝（1＋a i ）（－i ）－i 2＝a －i 的实部为1，所以a ＝1，则z ＝1－i ，|z |＝ 2. 答案：1212．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2，所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3.a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2. 答案：2π313．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，故a·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：1214．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________．解析：由AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB →·CD →＝(MB →－MA →)(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB →·MC →－MA →·MD →，设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC →， MB →＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB →·CD →取到最小值－2.答案：2 [－2，0)15．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．解析：在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，函数f (m )的最小值为32. 所以函数f (m )＝|CA →－mCB →| ＝CA →2＋m 2CB →2－2mCA →·CB →＝1＋m 2－2m cos ∠ACB ≥32，化为4m 2－8m cos ∠ACB ＋1≥0恒成立．当且仅当m ＝8cos ∠ACB8＝cos ∠ACB 时等号成立，代入得到cos ∠ACB ＝－12，所以∠ACB ＝2π3.所以|CO →|2＝x 2CA →2＋y 2CB →2＋2xyCA →·CB →＝x 2＋y 2＋2xy ×cos 2π3＝x 2＋(1－x )2－x (1－x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，当且仅当x ＝12＝y 时，|CO →|2取得最小值14，所以|CO →|的最小值为12.答案：1216．在△OAB 中，已知|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，若OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →在OP →上的投影的取值范围是________．解析：由OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →·OP →＝OA →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →＝λOA →2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →，又|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，所以由余弦定理求得|OA →|＝1，所以OA →·OP →＝λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2×1×2×22＝1＋λ2，|OP →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →2＝ λ2|OA →|2＋2λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ22|OB →|2＝λ22＋2，故OA →在OP →上的投影OA →·OP →|OP →|＝1＋λ2λ22＋2＝22·λ＋2λ2＋4(*)．当λ＜－2时，(*)式＝－22·（λ＋2）2λ2＋4＝－221＋4λλ2＋4＝－221＋4λ＋4λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0；当λ≥－2时，(*)式可化为22（λ＋2）2λ2＋4；①λ＝0，上式＝22；②－2≤λ＜0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22； ③λ＞0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎝⎛⎦⎥⎤22，1. 综上，OA →在OP →上的投影的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1 17．已知OA →，OB →是非零不共线的向量，设OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，定义点集P ＝⎩⎪⎨⎪⎧K ⎪⎪⎪⎪KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，⎭⎪⎬⎪⎫KC →≠0，当K 1，K 2∈P 时，若对于任意的r ≥3，不等式|K 1K 2→|≤c |AB→|恒成立，则实数c 的最小值为________．解析：由OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，可得A ，B ，C 三点共线，由KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，可得|KC →|cos ∠AKC ＝|KC →|cos ∠BKC ，即有∠AKC ＝∠BKC ，则KC 为∠AKB 的角平分线．由角平分线的性质定理可知|KA ||KB |＝|AC ||BC |＝r ，以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 上某一点为原点建立直角坐标系，设点K (x ，y )，A (－a ，0)，B (b ，0)，所以（x ＋a ）2＋y 2（x －b ）2＋y2＝r 2，化简得(1－r 2)x 2＋(1－r 2)y 2＋(2a ＋2br 2)x ＋(a 2－b 2r 2)＝0.由方程知K 的轨迹是圆心在AB 上的圆，当|K 1K 2|为直径时最大，方便计算，令K 1K 2与AB 共线，如图，由|K 1A |＝r |K 1B |，可得|K 1B |＝|AB |r ＋1，由|K 2A |＝r |K 2B |，可得|K 2B |＝|AB |r －1，可得|K 1K 2|＝|AB |r ＋1＋|AB |r －1＝2r r 2－1|AB |＝2r －1r|AB |，而易知r －1r ≥3－13＝83，即有|K 1K 2|≤34|AB |，即|K 1K 2||AB |≤34，即c ≥⎝⎛⎭⎪⎫|K 1K 2||AB |max ＝34，故c 的最小值为34.答案：3418．在△ABC 中，已知C ＝π6，向量p ＝(sin A ，2)，q ＝(2，cos B )，且p ⊥q .(1)求角A 的值；(2)若BC →＝2BD →，AD ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝0⇒p ·q ＝2sin A ＋2cos B ＝0，又C ＝π6，所以sin A ＋cos B ＝sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0，化简得tan A ＝33，A ∈(0，π)，所以A ＝π6. (2)因为BC →＝2BD →，所以D 为BC 边的中点，设|BD →|＝x ，|BC →|＝2x ，由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝2x ，B ＝2π3，在△ABD 中，由余弦定理，得|AD →|2＝|BA →|2＋|BD →|2－2|BA →|·|BD →|·cos 2π3＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x ·cos 2π3＝7，所以x ＝1，所以AB ＝BC ＝2，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.19．已知m ＝(2sin x ，sin x －cos x )，n ＝(3cos x ，sin x ＋cos x )，记函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝2，c ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意，得f (x )＝m ·n ＝23sin x cos x ＋sin 2x －cos 2x ＝3sin 2x －(cos 2x －sin 2x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (x )max ＝2；当f (x )取最大值时，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z .(2)由f (C )＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又0＜C ＜π，即－π6＜2C －π6＜11π6，所以2C －π6＝π2，解得C ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得3＝a 2＋b 2－ab ≥ab ，即ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时，取等号，所以S △ABC ＝12ab sinC ＝34ab ≤334，所以△ABC 面积的最大值为334.。

名师专题讲座2-三角函数、平面向量的高考解答题型及求解策略

名师专题讲座(二)三角函数、平面向量的高考解答题型及求解策略专题概述高考对本部分内容的考查主要有：三角恒等变换与三角函数图象和性质结合，解三角形与恒等变换、平面向量的综合，难度属于中低档题，但考生得分不高，其主要原因是公式不熟导致运算错误．考生在复习时，要熟练掌握三角公式，特别是二倍角的余弦公式，在此基础上掌握一些三角恒等变换．要注意公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.题型一三角函数的图象与性质题型概览：(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期．(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝(23·cos ωx ＋sin ωx )sin ωx －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋ωx (ω>0)，且函数y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值和函数f (x )的单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域． [审题程序]第一步：化简f (x )为“一角一函数”形式；第二步：求ω和单调递增区间；第三步：求f (x )在给定区间上的值域．[规范解答] (1)f (x )＝23cos ωx sin ωx ＋sin 2ωx －cos 2ωx ＝3sin2ωx －cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.由函数f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，得14T ＝14·2π2ω＝π4，即ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z . (2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以－1≤f (x )≤2，所以函数f (x )的值域为[－1,2]．[解题反思] 此类题目是三角函数问题中的典型题型，该题综合考查了三角函数的诱导公式、由三角函数值求参数、三角函数的周期、三角函数在指定区间上的最值等，考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及转化与化归思想、应用意识等．该题的亮点有二：一是第(1)问，由f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离得出f (x )的周期从而求出ω，求出f (x )的单调递增区间，经典而又不失新意；二是第(2)问考查函数f (x )在给定区间上的最值问题．需结合y ＝sin x的图象及自变量的变化求解，否则容易出现－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤12，从而出现f (x )∈[－1,1]的错误．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：[题型专练]1．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.设t ＝2x －π3，则函数f (x )可转化为y ＝－sin t .当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤8π3，如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3上的图象．由图象可知，当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时， sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 题型二解三角形应用题型概览：(1)已知两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可先求出角C 及b ，再求出c .(2)已知两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C .(3)已知三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C .(4)已知两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B 可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝bsin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．(2017·湖南五市十校3月联考)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求BC 边上的中线AM 的最大值．[审题程序]第一步：依据余弦定理角化边；第二步：依据余弦定理求cos B 及AM ；第三步：由余弦定理和重要不等式求AM 的最大值．[规范解答] (1)∵b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.又0<A <π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝3，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2＋c 2＝bc ＋3.则b 2＋c 2＝bc＋3≥2bc ，得bc ≤3(当且仅当b ＝c 时取等号)．在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac .在△ABM 中，由余弦定理，得AM 2＝AB 2＋BM 2－2·AB ·BM ·cos B ＝c 2＋a 24－2·c ·12a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2c 2＋2b 2－a 24＝2bc ＋34≤94， ∴AM ≤32.∴AM 的最大值是32.[解题反思] 三角形中的边角关系的转化往往通过正余弦定理．求解与三角形有关的最值问题时，常利用余弦定理和基本不等式构造不等关系．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：[题型专练]2．(2018·宁波统考)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c sin C －b sin B ＝(a －b )sin A .(1)求角C ；(2)若c ＝5，求△ABC 的面积的最大值．[解] (1)由c sin C －b sin B ＝(a －b )sin A 及正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵c ＝5，由(1)知C ＝π3，∴a 2＋b 2－25＝ab ，又a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，∴a 2＋b 2－25＝ab ≥2ab －25，即ab ≤25，∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ≤12×25×32＝2534.当且仅当a ＝b ＝c ＝5，即△ABC 为等边三角形时，面积取得最大值2534.题型三三角函数、解三角形与平面向量的综合应用题型概览：(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数 f (A )的取值范围．[审题程序]第一步：化简m ·n ＝1；第二步：应用三角函数诱导公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ；第三步：由正弦定理求角；第四步：求三角函数的值域．[规范解答] (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4 ＝32sin x 2＋1＋cos x 22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， ∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C .∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0.∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. ∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12. 故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，32. [解题反思] 本例将平面向量的坐标运算、三角恒等变换、解三角形等知识综合考查．有一定难度．无论(1)还是(2)通过三角恒等变换转化为“一角一函数”的形式都是高考的重点．在(2)中利用正余弦定理转化为给定区间上的最值问题也是热点问题，考查了三角函数的性质．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：[题型专练]3．(2017·山东淄博3月模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋1(ω>0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求ω的值及函数f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且满足a ＝3，f (A )＝1，求△ABC 面积S 的最大值．[解] (1)f (x )＝32sin2ωx －1－cos2ωx 2＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12.因为函数f (x )的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T＝π，即2π2ω＝π，所以ω＝1.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12. 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． (2)由f (A )＝1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.因为2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，得A ＝π3.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3，所以bc ＋3＝b 2＋c 2≥2bc ，解得bc ≤3，当且仅当b ＝c 时等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334.。

第四章专题讲座二三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略

专题讲座二三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略考情概述从近几年高考看，高考对本部分内容的考查主要有：三角恒等变换与三角函数图象和性质结合，解三角形与恒等变换、平面向量、数列、不等式的综合，难度属于中低档题，但考生得分不高，其主要原因是公式不熟导致运算错误．考生在复习时，要熟练掌握三角公式，特别是二倍角的余弦公式，在此基础上掌握一些三角恒等变换，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等．专题一三角函数的图象与性质[学生用书P92](2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求g (x )的值域．[解] (1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(2)由条件可知g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，从而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值域为⎣⎡⎦⎤12，1，那么y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.解决三角函数的图象和性质的综合问题，一般先由图象或三角公式确定三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 等)的解析式．研究三角函数性质时，需把ωx ＋φ看成一个整体.1.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－2cos 2ωx 2，x ∈R ，ω＞0.(1)求函数f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫32sin ωx －12cos ωx －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1.由－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6≤1，得－3≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1≤1，所以函数f (x )的值域为[－3，1]．(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y ＝f (x )的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以函数y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．专题二解三角形[学生用书P93](2015·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值．[解] (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154.由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24.又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316.在解决三角形与三角恒等变换综合问题时，一般先利用正、余弦定理，边角相互转化，求解三角函数值时通常利用三角恒等变换化成一个角的三角函数求解.2.(2016·郑州第一次质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，2b sin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，A ＝π6.由2b sin A ＝a ，得sin B ＝12，故B ＝π6.(2)设AC ＝BC ＝x ，得AM 2＝x 2＋x 24－2x ·x 2·⎝⎛⎭⎫－12＝(14)2，解得x ＝22，故S △ABC ＝12×22×22×32＝2 3.专题三三角函数、解三角形与平面向量的综合应用[学生用书P93](2014·高考辽宁卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3，求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．[解] (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2.又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B.又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响.3.已知f (x )＝a·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x ，1)(x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，AB →·AC →＝3，求边长b 和c 的值(b ＞c )．解：(1)由题意知，f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝π，因为y ＝cos x 在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上单调递减，所以令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.又π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π.所以A ＝π3.因为AB →·AC →＝3，即bc ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ， 7＝(b ＋c )2－18，b ＋c ＝5，又b ＞c ，所以b ＝3，c ＝2.1．若向量a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，则|a －b －c |的最小值为( ) A.2－1 B ．1 C.2＋1 D. 2 解析：选A.因为a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，所以a·b ＝0，所以|a －b |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a·b ＝2，所以|a －b －c |≥||a －b |－|c ||＝2－1. 2.(2016·郑州第一次质量预测)已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图象如图所示，点B ，C是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)的值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．2 解析：选D.注意到函数f (x )的图象关于点C 对称，因此C 是线段DE 的中点，BD →＋BE →＝2BC →.又BE →－CE →＝BE →＋EC →＝BC →，且|BC →|＝12T ＝12×2ππ＝1，因此(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝2BC →2＝2.3．(2015·高考重庆卷)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC＝________．解析：如图，在△ABD 中，由正弦定理，得 AD sin B ＝ABsin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝22. 所以∠ADB ＝45°，所以∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°.所以∠BAC ＝30°，∠C ＝30°，所以BC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由正弦定理，得ACsin B＝BCsin ∠BAC，所以AC ＝ 6.答案： 6 4．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π25．已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解：(1)由题图知A ＝2，T ＝8，因为T ＝2πω＝8，所以ω＝π4.又图象经过点(－1，0)，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0.因为|φ|<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝22cos π4x .因为x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23，所以－3π2≤π4x ≤－π6. 所以当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2. 6．(2015·高考陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理，得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c ＞0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217.又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.1．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )．(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令－π2＋2k π≤2x＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.(2)由f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＋1＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3.因为向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，所以sin A sin B ＝12.由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.2．(2015·高考福建卷)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.解：(1)因为f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2＝53sin x ＋5cos x ＋5 ＝10sin(x ＋π6)＋5，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)①将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图象，再向下平移a (a＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象．又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45.由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45. 由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45.因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x k ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k ＞45.即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.。

高考数学二轮专题突破配套专题二三角函数、解三角形与平面向量第1讲课件ppt.pptx

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解析由于f(x)的最小正周期为π， ∴ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)，
又当 x＝23π时，2x＋φ＝43π＋φ＝2kπ－2π(k∈Z)， ∴φ＝2kπ－116π(k∈Z)，又 φ>0， ∴φmin＝π6，故 f(x)＝Asin(2x＋π6).于是 f(0)＝12A，
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热点分类突破热点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
(1)三角函数：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦. (2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，csoins αα＝tan α. (3)诱导公式：在k2π＋α，k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.
再把图象沿 x 轴向右平移8π个单位后得到 y＝3sin 2(x－8π)＝ 3sin(2x－π4). 答案 B
(2)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 为常数，A>0，ω>0,0<φ<π) 的图象如图所示，则 f(3π)的值为________.
解析根据图象可知，A＝2，34T＝1112π－π6，所以周期T＝π，
因此 f(π6)＝2sinπ3＝ 3.
(2)将函数 y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数 y＝
g(x)的图象，求函数 g(x)的单调递增区间.
解将 f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到 f(x－π6)的图象，所以 g(x)＝f(x－6π)＝2sin[2(x－π6)]＝2sin(2x－π3). 当 2kπ－2π≤2x－3π≤2kπ＋π2(k∈Z)，因即此kπg－(x1)π的 2≤单x≤调k递π＋增51区π2(间k∈为Z[)k时π－，1πg2(，x)k单π＋调51递π2]增(k，∈Z).

高考数学二轮复习专题2三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第三讲平面向量文

高考数学二轮复习专题 2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第三讲平面向量文经过近三年高考真题统计，平面向量都有独自小题，所以仔细掌握好平面向量很重要，展望 2016 年平面向量仍为考察的要点，向量的观点、坐标运算为主要内容.向量的观点与运算 1. 向量的加法运算切合平行四边形法例和三角形法例；向量的减法运算切合三角形法则.2. 用下列图中有向线段表示：→ → →a ＋b ＝OC ， a － b ＝ BA ， b － a ＝ AB Ｗ .3. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，关于随意愿量 a ， b 以及随意实数λ， μ1， μ2，恒有 λ （μ1a ± μ2b ）＝ λμ 1a ±λμ 2b Ｗ .平面向量基本定理与向量的数目积1. 假如 e 1， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内的随意愿量a ，有且只有一对实数 λ1， λ2，使 a ＝ λ1e 1＋ λ 2e 2，此中不共线向量e 1， e 2 叫做基底Ｗ .2. 平面向量数目积的定义 .已知两非零向量 a ，b ，则 a 与 b 的数目积（或内积）为 | a ||b |cos θ，记作 a · b ＝ | || |cosθ，此中 θ ＝〈，〉， | |cos θ叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影 .a ba b b3. 两非零向量平行、垂直的充要条件.若 a ＝（ x 1， y 1）， b ＝（ x 2， y 2），则（ 1） a ∥ b ? a ＝λb （ λ≠0） ? x 1 y 2－ x 2y 1＝ 0Ｗ .（ 2） a ⊥ b ? a ·b ＝ 0? x 1x 2＋y 1y 2＝ 0Ｗ .4. 若 a ＝（ x 1，y 1），b ＝（ x 2，y 2），a ，b 的夹角为θ，则 cosＷ .a · bx x ＋ y y 2θ ＝1 21| a || b | ＝ 2 2 2 2x 1＋ y 1·x 2 ＋ y 2判断下边结论能否正确（请在括号中打“√”或“×”） .（ 1）向量与有向线段是同样的，所以能够用有向线段来表示向量. （ ×）（ 2） |a| 与 |b| 能否相等与 a ， b 的方向没关 . （ √ ）（ 3）已知两向量 a ， b ，若 | a | ＝ 1，| b | ＝ 1，则 | a ＋ b | ＝2. （ × ）→ 1 → →（ 4）△ ABC 中， D 是 BC 中点，则 AD ＝（ AC ＋ AB ） . （ √）2→→A ，B ，C ，D 四点在一条直线上 . （× ）（ 5）向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则（ 6）当两个非零向量a ，b 共线时，必定有 b ＝ λa ，反之建立 . （ √ ）1. 设 P 是△ ABC 所在平面内的一点， → →→BC ＋ BA ＝ 2BP ，则（ B ） → → → →A. PA ＋PB ＝ 0 B .PC ＋ PA ＝ 0→ →→ → →.PB ＋PC ＝ 0.PA ＋ PB ＋ PC ＝ 0C D→ → →B .分析：由于 BC ＋BA ＝ 2BP ，所以点 P 为线段 AC 的中点，所以应当选 2. （2014·新课标Ⅱ卷）设向量 a ，b 知足 | a ＋ b | ＝ 10，| a － b | ＝ 6，则 a · b ＝（ A ）A.1B.2C.3D.4分析：由已知得， a 2＋ 2a ·b ＋ b 2＝ 10，a 2－ 2a ·b ＋b 2＝ 6，两式相减得， 4a · b ＝ 4，故a ·b ＝ 1.3. （2015·北京卷）设， b 是非零向量， “ · ＝| ||b |”是“ ∥ ”的（ A ）aa baa bA. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件分析：由于 a ·b ＝ | a || b |cos 〈 a ，b 〉，所以当 a · b ＝ | a || b | 时，有 cos 〈 a ， b 〉＝ 1，即〈 a ，b 〉＝ 0°，此时 a ，b 同向，所以 a ∥ b . 反过来，当 a ∥ b 时，若 a ， b 反向，则〈 a ，〉＝ 180°， a · ＝－| a || b | ；若，同向，则〈，〉＝ 0°， a· ＝ | a|| | ，故“ a ·bbba b a bbb＝| a || b | ”是“ a ∥ b ”的充足而不用要条件 .4. （ 2015·广东卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形是平行四边形， → ＝ABCDAB（1，－→→ → 2）， AD ＝（ 2，1），则 AD · AC ＝（ D ）A.2B.3C.4D.5分析：由于四边形是平行四边形，所以 → ＝→ ＋ →＝（ 1，－ 2）＋（ 2，1）＝（ 3，ABCDAC AB AD→→－1）所以AD·AC＝2×3＋ 1×（－ 1）＝ 5，应选 D.。

高考数学二轮复习专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质课件

例 1 若 sin θ＝－54，tan θ＞0，则 cos θ＝________．解析：由已知 sin θ＝－45，tan θ＞0，知 θ 在第三象限， ∴cos θ＝－ 1－sin2 θ ＝－ 1－－452＝－35. 答案：－35
(1)三角函数线是研究三角函数性质的主要依据，在函数值大小比较时经常运用．
则 cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝ccooss22θθ＋－ssiinn22θθ＝11＋－ttaann22θθ
＝－35.
例 2 设向量 a＝sin2π＋4 2x，cos x＋sin x，b＝(4sin x，cos x－sin x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)已知常数 ω>0，若 y＝f(ωx)在区间－π2 ，23π上是增函数，求 ω 的取值范围；
(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式及公式的应用条件．
1．已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重
合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ＝(B)
A．－45
B．－53
3
4
C.5
D.5
解析：∵角 θ 的终边在直线 y＝2x 上，∴tan θ(x)＝Asin(ωx ＋φ)的解析式．
解析：由图象，知最大值为 3.则 A＝ 3.12T＝21π，故 ω
＝2.所求解析式为 y＝ 3sin(2x＋φ)．
∵点 Mπ3 ，0在图象上，∴φ＝－23π＋2kπ(k∈Z)．
取 φ＝－23π，∴所求解析式为 y＝ 3sin2x－23π.
根据三角函数的图象特征转化为求函数的周期、最值、单调区间问题，并且用代数式表示．
2．已知 ω>0，0＜φ＜π，直线 x＝π4 和 x＝5π 4 是函数 f(x)＝sin(ωx

高三数学二轮复习三角函数与平面向量专题

A
6
1
3
cos A cos A
sin A
2
2
3 sin A
.
3
33（本题满分 12 分）
在 ABC 中 ,角 A ． B．C 的对边分别为 a、b、c,且满足 (2a-c)cosB=bcos
C． (Ⅰ )求角 B 的大小 ;
(Ⅱ ) 设 m sin A,cos2 A ,n 4k,1 k 1 , 且 m n 的最
(Ⅱ )求 cos A sin C 的取值范围 . 【解析】 :( Ⅰ ) 由 a 2b sin A , 根据正弦定理得
1 sin A 2sin Bsin A ,所以 sin B ,
2
由 ABC 为锐角三角形得 B
π
.
6
(Ⅱ ) cos A sin C cos A sin
A
cos A sin
π
1 2sin 2x
．
3
又∵ x
π，π ， ∴ π≤ 2x
π≤
2π
，
42
6
33
即 2 ≤ 1 2sin 2x π ≤ 3，
3
∴ f ( x)max 3， f ( x) min 2 ．（ Ⅱ ） ∵ f ( x) m 2 f ( x) 2 m f (x) 2 ，
x π，π ， 42
∴ m f ( x)max 2 且 m f ( x)min 2 ， ∴1 m 4 ，即 m 的取值范围是 (1，4) ．
大值是 5,求 k 的值 .
学习好资料
【解析】 :(I) ∵(2 a-c)cosB=bcosC, ∴(2sin A-sinC)cosB=sinBcos C．即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin( B + C) ∵A+B+C=π∴，2sinAcosB=sinA ． ∵0<A<π，∴sinA≠0.

高考数学复习高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

因为 f(x)＝52sin 2x－523(1＋cos 2x)＋523
＝5(12sin
2x－
3 2 cos
2x)＝5sin(2x－π3)，
所以函数的周期 T＝22π＝π.
16/51
(2)函数f(x)单调区间；解答
由 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得 kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2 (k∈Z)，所以函数 f(x)的单调增区间为[kπ－1π2，kπ＋51π2](k∈Z). 由 2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋32π(k∈Z)，得 kπ＋152π≤x≤kπ＋1112π(k∈Z)，所以函数 f(x)的单调减区间为[kπ＋152π，kπ＋1112π](k∈Z).
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(2)cos(B－C)值. 解答在△ABC 中，sin B＝ 1－cos2B
＝ 1－132＝232，
由正弦定理，得
sin
C＝bcsin
B＝23×2 3
2＝4
2 9.
因为a＝b>c，所以C为锐角，
因此 cos C＝ 1－sin2C＝
1－4 9 22＝79.
于是 cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
2－ 20
6 .
20/51
思维升华
依据三角形中已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在做相关角范围问题时，要注意挖掘题目中隐含条件，正确对结果进行取舍.
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跟踪训练2 在△ABC中，角A，B，C所正确边分别为a，b，c.已知a＝3， cos A＝，B＝A＋ . (1)求b值；解答
由题意知，sin A＝ 1－cos2A＝ 33，又因为 B＝A＋π2，
解答
由(1)得：sin B＝35，cos B＝45，sin C＝cos C＝ 22，则 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝7102， cos A＝－cos(B＋C)＝－(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－102，

高考数学一轮复习课件-专题二三角函数与平面向量广东版

∵B 为锐角，∴2B∈(0，π)，
∴2B＝23π，即 B＝π3. 方法二，由 m∥n 得 3cos 2B＝－2sin Bcos B，
即 3cos 2B＝－sin 2B， ∴sin 2B＋ 3cos 2B＝0，即 2sin2B＋π3＝0， ∴2B＋π3＝kπ，k∈Z，即 B＝－π6＋k2π，k∈Z， ∵B 为锐角，∴B＝π3.
题型一三角函数和解三角形有关三角函数与解三角形的综合是全国各地的高考题中的一种重要题型，对于这类题，通常是先利用正弦定理或者余弦定理，将边的关系转化为只含有角的关系，再利用三角函数知识来处理.
[例 1]在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，在 ①bcos Acos C＝asin Bsin C－12b；②bsin Bcos C＋12csin 2B＝
即 cos(A＋C)＝－12，因为 B＝π－(A＋C)，所以 cos(A＋C)＝－cos B＝－12，即 cos B＝12，因为 0<B<π，所以 B＝π3. 若选择②，由正弦定理得
sin2Bcos C＋12sin Csin 2B＝ 3sin Acos B，即 sin2Bcos C＋sin Csin Bcos B＝ 3sin Acos B，
∴BD＝4 5 7，AD＝BD·sin B＝4 5 7× 1241＝2 5 3，
∴△ABD 的周长为 2＋2 5 3＋4 5 7＝10＋2
3＋4 5
7 .
题型四三角中的范围问题 [例 4](202X 年浙江)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2bsin A＝ 3 a. (1)求角 B； (2)求 cos A＋cos B＋cos C 的取值范围.
【规律方法】利用向量的运算性质将向量间关系化为三角形中的边角关系是解题关键.

高考二轮复习专题-以向量形式出现的三角函数问题优质课件(共22张PPT)

3
23
kt 2t 2 1 t 2(t 1)2 1
2
8 32
当t 1 时，kt的最小值为 1 .
8
32
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2
2
(1)若a b时，求 cos 的值；
(2)当cos 1 时，x a 2 (1 t )b, y ka t b,( k , t为实数 ),
2
3
且 x y ,试求kt的最小值.
解: （1） a b, 3 (1 cos ) 3 cos 2 0, 2 cos2 cos 0,
2
2
a c b b c a 转化与化归思想方法．根据向量平行与垂直的关系，
转化为三角函数的问题，要证B为锐角，转化2余弦值或2者正切值判2断
法三化边由正余弦定理可得 a 3b 0, 精编优质课PPT2020届江苏省高考二轮复习专题：以向量形式出现的三角函数问题课件(共22张PPT)(获奖课件推荐下载)
f (x) 3cos x 3 sin x
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解（1） a b,3sin x 3 cos x 0,2 3 sin(x ) 0
x [0, ], x
32
6
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高考数学二轮复习专题提能二三角与向量的创新考法与学科素养课件理

提分策略三引入临界知识考学科潜力
又由正弦定理得sina A＝2R(R 为△ABC 外接圆的半径)， ∴2Rsin A＝a≥2，即 3R≥2， ∴R2≥43，∴三角形外接圆面积的最小值为43π. 答案：题巧用sina A＝2R，通过 a 的取值范围求得 R 的范围，进而求得△ABC 外接圆面积的最小值．
二、同步听课法
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记下来，到课后再慢慢弄懂它。
老师没提了一个问题，同学们就应当立即主动地去思考，积极地寻找答案，然后和老师的解答进行比较。通过超前思考，可以把注意力集中在对这些“难点”的理解上，保证“好钢用在刀刃上”，从而避免了没有重点的泛泛而听。通过将自己的思考跟老师的讲解做比较，还可以发现自己对新知识理解的不妥之处，及时消除知识的“隐患”。
a a2＋b2
，
sin
φ＝
a2b＋b2，解决很多三角综合问题都离不开它．
提分策略三引入临界知识考学科潜力
(2)射影定理：在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 a＝b cos C＋c cos B，b＝ccos A＋acos C， c＝acos B＋bcos A. (3)已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则sina A ＝sinb B＝sinc C＝2R 外接圆．

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专题提能三角与向量的创新考法与学科素养一、选择题1．定义：|a ×b |＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b ＝－6，则|a ×b|等于( )A ．－8B ．8C ．－8或8D ．6解析：由|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，可得2×5 cos θ＝－6⇒cos θ＝－35.又θ∈[0，π]，所以sin θ＝45.从而|a ×b |＝2×5×45＝8.答案：B2．已知外接圆半径为R 的△ABC 的周长为(2＋3)R ，则sin A ＋sin B ＋sin C ＝( ) A ．1＋32B ．1＋34C ．12＋32D ．12＋ 3 解析：由正弦定理知a ＋b ＋c ＝2R (sin A ＋sin B ＋sin C )＝(2＋3)R ，所以sin A ＋sin B ＋sin C ＝1＋32，故选A. 答案：A3．设a ，b 为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成．若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )A ．2π3B ．π3C ．π6D ．0解析：设S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，若S 的表达式中有0个a·b ，则S ＝2a2＋2b 2，记为S 1，若S 的表达式中有2个a·b ，则S ＝a 2＋b 2＋2a·b ，记为S 2，若S 的表达式中有4个a·b ，则S ＝4a·b ，记为S 3.又|b |＝2|a |，所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a·b ＝2(a －b )2＞0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a·b ＝(a －b )2＞0，S 2－S 3＝(a －b )2＞0，所以S 3＜S 2＜S 1，故S min ＝S 3＝4a·b ，设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 答案：B4．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90˚，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋PB →|的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．6解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A (2,0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，则PA →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5,3b －4y )．所以|PA →＋3PB →|＝25＋b －4y2(0≤y ≤b )．当y ＝34b 时，|PA →＋3PB →|min ＝5.答案：A 二、填空题5．(2018·石家庄质检)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ＞0)，向量组x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________.解析：由题意，x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3的运算结果有以下两种可能：①m 2＋m·n ＋n 2＝m 2＋λ|m||m|cos π3＋λ2m 2＝(λ2＋λ2＋1)m 2；②m·n ＋m·n ＋m·n ＝3λ|m |·|m |cos π3＝3λ2m 2.又λ2＋λ2＋1－3λ2＝λ2－λ＋1＝(λ－12)2＋34＞0，所以3λ2m 2＝4m 2，即3λ2＝4，解得λ＝83.答案：836．定义平面向量的一种运算a⊙b ＝|a ＋b|×|a －b|×sin〈a ，b 〉，其中〈a ，b 〉是a 与b 的夹角，给出下列命题：①若〈a ，b 〉＝90˚，则a ⊙b ＝a 2＋b 2；②若|a|＝|b|，则(a ＋b )⊙(a －b )＝4a·b ；③若|a|＝|b|，则a⊙b ≤2|a|2；④若a ＝(1,2)，b ＝(－2,2)，则(a ＋b )⊙b ＝10.其中真命题的序号是________．解析：①中，因为〈a ，b 〉＝90˚，则a ⊙b ＝|a ＋b|×|a －b|＝a 2＋b 2，所以①成立；②中，因为|a|＝|b|，所以〈(a ＋b )，(a －b )〉＝90˚，所以(a ＋b )⊙(a －b )＝|2a|×|2b|＝4|a|·|b|，所以②不成立；③中，因为|a|＝|b|，所以a⊙b ＝|a ＋b|×|a －b|sin 〈a ，b 〉≤|a ＋b |×|a －b |≤|a ＋b |2＋|a －b |22＝2|a |2，所以③成立；④中，因为a ＝(1,2)，b＝(－2,2)，所以a ＋b ＝(－1,4)，sin 〈(a ＋b )，b 〉＝33434，所以(a ＋ b )⊙b ＝35×5×33434＝453434，所以④不成立．故真命题的序号是①③.答案：①③7．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________．解析：由e 1·e 1＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32，故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝(32e 1－12e 2)· ⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 1－32e 2＝32－e 1·e 2＝0，所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1)．故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.答案：π28．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α。

β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a|≥|b|＞0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a 。

b 和b 。

a 都在集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a 。

b ＝________.解析：a 。

b ＝a·b b·b ＝|a||b|cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b 。

a ＝b·a a·a ＝|b||a|cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.②∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22＜cos θ＜1.又|a |≥|b |＞0，∴0＜|b ||a |≤1.∴0＜|b ||a |cos θ＜1，即0＜b 。

a ＜1.∵b 。

a ∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪n 2n ∈Z ， ∴b 。

a ＝12.①×②，得(a 。

b )×(b 。

a )＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴12＜12(a 。

b )＜1，即1＜a 。

b ＜2，∴a 。

b ＝32. 答案：329．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千岁，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A 的高度AH ，立两根高均为3丈的标杆BC 和DE ，前后标杆相距1 000步，使后标杆杆脚D 与前标杆杆脚B 与山峰脚H 在同一直线上，从前标杆杆脚B 退行123步到F ，人眼著地观测到岛峰，A ，C ，F 三点共线，从后标杆杆脚D 退行127步到G ，人眼著地观测到岛峰，A ，E ，G 三点也共线，问岛峰的高度AH ＝________步．(古制：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800 尺＝300步)解析：如图所示，由题意知BC ＝DE ＝5步，BF ＝123步，DG ＝127步，设AH ＝h 步，因为BC ∥AH ，所以△BCF ∽△HAF ，所以BC AH ＝BFHF，所以5h ＝123HF ，即HF ＝123h 5.因为DE ∥AH ，所以△GDE ∽△GHA ，所以DE AH ＝DG HG，所以5h ＝127HG ，即HG ＝127h 5，由题意(HG －127)－(HF －123)＝1 000，即127h 5－123h 5－4＝1 000，h ＝1 255，即AH ＝1 255步．答案：1 255 三、解答题10．已知下凸函数f (x )在定义域内满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ≤f x 1＋f x 2＋…＋f x n n .若函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是下凸函数，那么在锐角△ABC 中，求tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值．解析：因为y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是下凸函数，则13(tan A ＋tan B ＋tan C )≥tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝tan π3＝3，即tan A ＋tan B ＋tanC ≥33，当且仅当tan A ＝tan B ＝tan C ，即A ＝B ＝C ＝π3时，取等号，所以tan A ＋tan B＋tan C 的最小值为3 3.11．在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且满足2sin B ＝sin A ＋sin C ，设B 的最大值为B 0.(1)求B 0的值；(2)当B ＝B 0，a ＝3，c ＝6，AD →＝12DB →时，求CD 的长．解析：(1)由题设及正弦定理知，2b ＝a ＋c ，即b ＝a ＋c2.由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝a 2＋c 2－2ac 8ac≥ac －2ac 8ac ＝12.当且仅当a 2＝c 2，即a ＝c 时等号成立． ∵y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴B 的最大值B 0＝π3.(2)∵B ＝B 0＝π3，a ＝3，c ＝6，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝33， ∴c 2＝a 2＋b 2，即C ＝π2，A ＝π6，由AD →＝12DB →，知AD ＝13AB ＝2，在△ACD 中，由余弦定理得CD ＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos∠CAD ＝13.。