高一苏教版数学必修四1.3.3 函数yAsin(ωx Bφ)的图象 教学案(1) Word版缺答案
19.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§1.3.3y=Asin(ωx+φ)的图像(2)
§1.3.3函数y＝A sin(ωx＋ϕ)的图象（２）教学目标：理解并熟练运用相位变换、周期变换和振幅变换中的有关概念，会用三种变换画出函数的图象；会用“五点法”画出y＝Asin(x＋ϕ)的简图；将数形结合思想渗透，注重辩证观点的培养，数学修养的培养.教学重点：1.会用变换画函数y＝A sin(ωx＋ϕ)的图像；2.会用“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋ϕ)图象；3.逆向思考问题.教学难点：知识和方法的灵活运用，知识和方法的逆向运用.教学过程：一．思考并回答下列一组小练习题：函数y＝A sin(ωx＋ϕ)的图象(二)1．(1)y＝sin(x＋π4)是由y＝sin x向平移个单位得到的.(2)y＝sin(x－π4)是由y＝sin x向平移个单位得到的.(3)y＝sin(x－π4)是由y＝sin(x＋π4)向平移个单位得到的.(1)y＝sin(x＋π4)是由y＝sin x向左平移4π个单位得到的.(2)y＝sin(x－π4)是由y＝sin x向右平移4π个单位得到的.(3)y＝sin(x－π4)是由y＝sin(x＋π4)向右平移2π个单位得到的.2．若将某函数的图象向右平移π2以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋π4)，则原来的函数表达式为( )A.y＝sin(x＋3π4) B.y＝sin(x＋π2)C.y＝sin(x－π4) D.y＝sin(x＋π4)－π4A3．把函数y＝cos(3x＋π4)的图象适当变动就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变动可以是( )A.向右平移π4 B.向左平移π4C.向右平移π12 D.向左平移π12D4．将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移π3，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是 ( )A.y ＝sin(2x ＋π3 )B.y ＝sin(2x －π3 )C.y ＝sin(2x ＋2π3 )D.y ＝sin(2x －2π3)C5．若对任意实数a ，函数y ＝5sin(2k ＋13 πx －π6)(k ∈N)在区间［a ，a ＋3］上的值 54出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是 ( )A.2B.4C.3或4D.2或35．分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与k 相关的周期T 的取值范围，再求k .解：∵T ＝ππ32＝62k ＋1 ，(a ＋3)－a ＝3又因每一周期内出现54 值时有2次，出现4次取2个周期，出现54值8次应有4个周期.∴有4T ≥3且2T ≤3即得34 ≤T ≤32 ，∴34 ≤62k ＋1 ≤32解得32 ≤k ≤72，∵k ∈N ，∴k ＝2或3.6．若函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a ＝ .分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.解：∵x1＝0，x2＝－π4是定义域中关于x＝－π8对称的两点∴f(0)＝f(－π4)即0＋a＝sin(－π2)＋a cos(－π2)∴a＝－1二．思考并回答下列又一组小练习3．已知如图是函数y＝2sin(ωx＋ϕ)(｜ϕ｜＜π2)的图象，那么( )A.ω＝1011，ϕ＝π6 B.ω＝1011，ϕ＝－π6C.ω＝2，ϕ＝π6 D.ω＝2，ϕ＝－π64．已知函数y＝A sin(ωx＋ )，在同一周期内，当x＝π9时函数取得最大值2，当x＝4π9时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( )A.y＝2sin(3x－π6) B.y＝2sin(3x＋π6)C.y＝2sin(x3＋π6) D.y＝2sin(x3－π6)B函数y＝A sin(ωx＋ )的图象(四)1．若函数y＝f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移π2个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y＝12sin x的图象，则有y＝f(x)是( )A.y＝12sin(2x＋π2)＋1 B.y＝12sin(2x－π2)＋1C.y＝12sin(2x－π4)＋1 D.y＝12sin(12x＋π4)＋1B2．函数y＝3sin(2x＋π3)的图象，可由y＝sin x的图象经过下述哪种变换而得到( )A.向右平移π3个单位，横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标扩大到原来的3倍B.向左平移π3个单位，横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标扩大到原来的3倍C.向右平移π6个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的13倍D.向左平移π6个单位，横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标缩小到原来的13倍B求下列函数的解析式：１．已知函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ) (A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜2π)图象的一个最高点(2，3 )，由这个最高点到相邻最低点的图象与x 轴交于点(6，0)，试求函数的解析式.解：由已知可得函数的周期T ＝4×(6－2)＝16∴ω＝2πT ＝π8 又A ＝ 3∴y ＝ 3 sin(π8x ＋ϕ)把(2， 3 )代入上式得： 3 ＝sin(π8×2＋ϕ)·3∴sin( π ＋ϕ)＝1，而0＜ϕ＜2π ∴ϕ＝π∴所求解析式为：y ＝ 3 sin(π8 x ＋π4 )２．已知函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ) (其中A ＞0，｜ϕ｜＜π2)在同一周期内，当x ＝π12 时，y 有最小值－2，当x ＝7π12 时，y 有最大值2，求函数的解析式.分析：由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象易知A 的值，在同一周期内，最高点与最低点横坐标之间的距离即 T2，由此可求ω的值，再将最高(或低)点坐标代入可求ϕ.解：由题意A ＝2，T 2 ＝7π12 －π12∴T ＝π＝ωπ2，∴ω＝2 ∴y ＝2sin(2x ＋ϕ)又x ＝π12 时y ＝2∴2＝2sin(2×π12 ＋ϕ) ∴ϕ＋π6 ＝π2 (ϕ＜π6 )∴ϕ＝π3∴函数解析式为：y ＝2sin(2x ＋π3)3. (课时训练P27例2)解析:练习:如图所示，是正弦函数f （x ）=A sin （ω x +ϕ）（A >0,ω>0）的一个周期的图象. （1）写出f （x ）的解析式；（2）若g （x ）与f （x ）的图象关于直线x =2对称，写出g （x ）的解析式.解析：（1）由图象知：周期T =8，由T =ωπ2得ω=4π,又A =2， 得f （x ）=2sin （πx +ϕ）=2sin ［π（x +4ϕ）］.令π4ϕ=1,则ϕ=4π,所以f （x ）=2sin （4πx +4π）. （2）g （x ）与f （x ）的图象关于直线x =2对称，设（x ,y ）是g （x ）图象上的任意一点， 则（4－x ,y ）就是f （x ）图象上与点（x ,y ）关于直线x =2对称的点，所以y =2sin ［4π（4－x ）+4π］=2sin （4πx －4π）,即g （x ）=2sin （4πx －4π）.综合例题讲解:1．已知函数f (x )＝ 2 cos(2x ＋π4 ) x ∈［0，π2］.求f (x )的最大值，最小值.解：∵0≤x ≤π2 .∴π4 ≤2x ＋π4 ≤45π当2x ＋π4 ＝π4 时,cos(2x ＋π4 )取得最大值22；当2x ＋π4 ＝π时，cos(2x ＋π4)取得最小值－1.∴f (x )在［0，π2］上的最大值为1，最小值为－ 2 .4．试判断函数f(x)＝1＋sinx －cosx1＋cosx ＋sinx在下列区间上的奇偶性.(1)x ∈(－π2 ，π2 ) (2)x ∈［－π2 ，π2 ］4．解：f(x)＝（1＋sinx －cosx ）（1＋cosx －sinx ）（1＋cosx ＋sinx ）（1＋cosx －sinx ）＝1－（cosx －sinx ）2 （1＋cosx ）2－sin 2x ＝2sinxcosx 1＋2cosx ＋cos 2x －sin 2x ＝sinx 1＋cosx ∵f(－x)＝sin （－x ） 1＋cos （－x ） ＝－sinx 1＋cosx ＝－f(x)∴在(－π2 ，π2)上f(x)为奇函数.(2)由于x ＝π2 时，f(x)＝1，而f(－x)无意义.∴在［－π2 ，π2 ］上函数不具有奇偶性.5．求函数y ＝log 21cos(x ＋π3)的单调递增区间.5．分析：先考虑对数函数y ＝log 21x 是减函数，因此函数的增区间在u ＝cos(x ＋π3)的减区间之中，然后再考虑对数函数的定义域.即函数的递增区间应是cos(x ＋π3 )的递减区间与cos(x ＋π3)＞0的解集的交集.解：依题意得解得x ∈［2k π－π3 ，2k π＋π6)(k ∈Z)评述：求例如sin(ωx ＋ϕ)、cos(ωx ＋ϕ)的单调区间时，要注意换元，即令u ＝ωx ＋ϕ，由u 所在区间得到x 的范围.6．求函数y ＝sin(π6－2x)的单调递增区间.错解：∵y ＝sinx 的单调递增区间是［2k π－π2 ，2k π＋π2］(k ∈Z)∴2k π－π2 ≤π6 －2x ≤2k π＋π2 (k ∈Z)解得－k π－π6 ≤x ≤－k π＋π3 (k ∈Z)∴函数y ＝sin(π6 －2x)的递增区间是［k π－π6 ，k π＋π3］(k ∈Z)评述：y ＝sin(π6 －2x)是y ＝sint 及t ＝π6 －2x 的复合函数.由于t ＝π6－2x 是减函数，所以当y ＝sint 递增时，函数y ＝sin(π6－2x)是减函数，上面求得的结果是函数的递减区间，可见，讨论复合函数的单调性必须分析每个函数的单调性，以免犯类似的错误.复合函数的单调性有如下规律：双增双减均为增，一增一减为减.正确解法：将函数解析式变形为sin(2)6y x π=--，为求其单调递增区间，改求sin(2)6yx π=-单调递减区间，由sin y x =单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈，所以3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得5()36k x k k Z ππππ+≤≤+∈∴函数y ＝sin(π6 －2x)的递增区间是5[,]()36k k k Z ππππ++∈．函数y＝A sin(ωx＋ )的图象(二)答案2．若将某函数的图象向右平移π2以后所得到的图象的函数解析式是y＝sin(x＋π4)，则原来的函数表达式为( )A.y＝sin(x＋3π4) B.y＝sin(x＋π2)C.y＝sin(x－π4) D.y＝sin(x＋π4)－π43．把函数y＝cos(3x＋π4)的图象适当变动就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变动可以是( )A.向右平移π4 B.向左平移π4C.向右平移π12 D.向左平移π12(逆向思考：根据变换写出解析式．)4．将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移π3，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是( )A.y＝sin(2x＋π3) B.y＝sin(2x－π3)C.y＝sin(2x＋2π3) D.y＝sin(2x－2π3)（将因果关系倒过来就可以了：由y＝sinx到y＝f(x)，将变换逆过来说．）先求出与k相关的周期T的取值范围，再求k.解：∵T ＝ππ3122+k ＝62k ＋1 ，(a ＋3)－a ＝3 又因每一周期内出现54 值时有2次，出现4次取2个周期，出现54值8次应有4个周期.∴有4T ≥3且2T ≤3即得34 ≤T ≤32 ，∴34 ≤62k ＋1 ≤32解得32 ≤k ≤72，∵k ∈N ，∴k ＝2或3.型题，解题的关键是如何巧用对称性.解：∵x 1＝0，x 2＝－π4 是定义域中关于x ＝－π8对称的两点∴f (0)＝f (－π4)即0＋a ＝sin(－π2 )＋a cos(－π2)∴a ＝－1函数y＝A sin(ωx＋ϕ)的图象(三)答案1．若函数y＝f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移π2个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y＝12sin x的图象，则有y＝f(x)是( )A.y＝12sin(2x＋π2)＋1 B.y＝12sin(2x－π2)＋1C.y＝12sin(2x－π4)＋1 D.y＝12sin(12x＋π4)＋12．函数y＝3sin(2x＋π3)的图象，可由y＝sin x的图象经过下述哪种变换而得到A.向右平移π3个单位，横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标扩大到原来的3倍B.向左平移π3个单位，横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标扩大到原来的3倍C.向右平移π6个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的13倍D.向左平移π6个单位，横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标缩小到原来的13倍3．已知如图是函数y＝2sin(ωx＋ϕ)(｜ϕ｜＜π2)的图象，那么( )A.ω＝1011，ϕ＝π6 B.ω＝1011，ϕ＝－π6C.ω＝2，ϕ＝π6 D.ω＝2，ϕ＝－π64．已知函数y＝A sin(ωx＋ϕ)，在同一周期内，当x＝π9时函数取得最大值2，当x＝4π9时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( )A.y＝2sin(3x－π6) B.y＝2sin(3x＋π6) C.y＝2sin(x3＋π6) D.y＝2sin(x3－π6)∴ω＝2πT ＝π8 又A ＝ 3∴y ＝ 3 sin(π8x ＋ϕ)把(2， 3 )代入上式得： 3 ＝sin(π8×2＋ϕ)·3∴sin( π4 ＋ϕ)＝1，而0＜ϕ＜2π ∴ϕ＝π4∴所求解析式为：y ＝ 3 sin(π8 x ＋π4 )分析：由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象易知A 的值，在同一周期内，最高点与最低点横坐标之间的距离即 T2，由此可求ω的值，再将最高(或低)点坐标代入可求ϕ.解：由题意A ＝2，T 2 ＝7π12 －π12∴T ＝π＝ωπ2，∴ω＝2 ∴y ＝2sin(2x ＋ϕ)又x ＝π12 时y ＝2∴2＝2sin(2×π12 ＋ϕ) ∴ϕ＋π6 ＝π2 (ϕ＜π6 )∴ϕ＝π3∴函数解析式为：y ＝2sin(2x ＋π)解：∵0≤x ≤π2 .∴π4 ≤2x ＋π4 ≤45当2x ＋π4 ＝π4 时,cos(2x ＋π4 )取得最大值22；当2x ＋π4 ＝π时，cos(2x ＋π4)取得最小值－1.∴f (x )在［0，π2 ］上的最大值为1，最小值为－ 2 .4．解：f(x)＝（1＋sinx －cosx ）（1＋cosx －sinx ）（1＋cosx ＋sinx ）（1＋cosx －sinx ）＝1－（cosx －sinx ）2 （1＋cosx ）2－sin 2x ＝2sinxcosx 1＋2cosx ＋cos 2x －sin 2x ＝sinx 1＋cosx ∵f(－x)＝sin （－x ） 1＋cos （－x ） ＝－sinx 1＋cosx ＝－f(x)∴在(－π2 ，π2)上f(x)为奇函数.(2)由于x ＝π2 时，f(x)＝1，而f(－x)无意义.∴在［－π2 ，π2 ］上函数不具有奇偶性.5．分析：先考虑对数函数y ＝log 21x 是减函数，因此函数的增区间在u ＝cos(x ＋π3)的减区间之中，然后再考虑对数函数的定义域.即函数的递增区间应是cos(x ＋π3 )的递减区间与cos(x ＋π3)＞0的解集的交集.解：依题意得解得x ∈［2k π－π3 ，2k π＋π6)(k ∈Z)评述：求例如sin(ωx ＋ϕ)、cos(ωx ＋ϕ)的单调区间时，要注意换元，即令u ＝ωx ＋ϕ，由u 所在区间得到x 的范围.错解：∵y ＝sinx 的单调递增区间是［2k π－π2 ，2k π＋π2］(k ∈Z)∴2k π－π2 ≤π6 －2x ≤2k π＋π2 (k ∈Z)解得－k π－π6 ≤x ≤－k π＋π3 (k ∈Z)∴函数y ＝sin(π6 －2x)的递增区间是［k π－π6 ，k π＋π3 ］(k ∈Z)评述：y ＝sin(π6 －2x)是y ＝sint 及t ＝π6 －2x 的复合函数.由于t ＝π6－2x 是减函数，所以当y ＝sint 递增时，函数y ＝sin(π6－2x)是减函数，上面求得的结果是函数的递减区间，可见，讨论复合函数的单调性必须分析每个函数的单调性，以免犯类似的错误.复合函数的单调性有如下规律：双增双减均为增，一增一减为减.正确解法：将函数解析式变形为sin(2)6y x π=--，为求其单调递增区间，改求sin(2)6yx π=-单调递减区间，由sin y x =单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈，- 21 - 所以3222262k x k πππππ+≤-≤+， 解得5()36k x k k Z ππππ+≤≤+∈∴函数y ＝sin(π6 －2x)的递增区间是5[,]()36k k k Z ππππ++∈．。
《函数yAsin(ωxψ)的图象》教学教案
《函数y=Asin(ωx+ψ)的图象》教学教案第一章：函数y=Asin(ωx+ψ)的定义与解析1.1 教学目标(1) 理解函数y=Asin(ωx+ψ)的基本概念。
(2) 掌握函数y=Asin(ωx+ψ)的解析式。
(3) 了解函数y=Asin(ωx+ψ)的参数含义。
1.2 教学内容(1) 引入正弦函数y=Asin(x)的概念，让学生回顾其图象与性质。
(2) 讲解函数y=Asin(ωx+ψ)的定义，解释参数A、ω、ψ的含义。
(3) 通过示例，展示函数y=Asin(ωx+ψ)的图象变化。
1.3 教学方法(1) 采用讲解法，讲解函数y=Asin(ωx+ψ)的定义与参数含义。
(2) 利用数形结合法，让学生观察图象，理解函数变化规律。
1.4 教学活动(1) 课堂讲解：讲解函数y=Asin(ωx+ψ)的定义与解析式。
(2) 示例分析：展示函数y=Asin(ωx+ψ)的图象，分析参数变化对图象的影响。
(3) 学生练习：让学生绘制函数y=Asin(ωx+ψ)的图象，加深对函数的理解。
第二章：函数y=Asin(ωx+ψ)的图象变换2.1 教学目标(1) 掌握函数y=Asin(ωx+ψ)的图象平移变换。
(2) 了解函数y=Asin(ωx+ψ)的图象缩放变换。
(3) 理解函数y=Asin(ωx+ψ)的图象旋转变换。
2.2 教学内容(1) 讲解函数y=Asin(ωx+ψ)的图象平移变换规律。
(2) 讲解函数y=Asin(ωx+ψ)的图象缩放变换规律。
(3) 讲解函数y=Asin(ωx+ψ)的图象旋转变换规律。
2.3 教学方法(1) 采用讲解法，讲解图象变换规律。
(2) 利用数形结合法，让学生观察图象，理解变换效果。
2.4 教学活动(1) 课堂讲解：讲解函数y=Asin(ωx+ψ)的图象变换规律。
(2) 示例分析：展示函数y=Asin(ωx+ψ)的图象变换，分析变换规律。
(3) 学生练习：让学生绘制函数y=Asin(ωx+ψ)的图象变换，加深对变换的理解。
高中数学苏教版必修4第1章《1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学苏教版必修4第1章《1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案1教学目标(1)知道参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响,会由正弦曲线变换得到y=Asin (ωx+φ)的图象;(2)进一步提高研究数学知识的能力,感受数学与现实的联系,以及数学探究的魅力。
2学情分析本节课的教学对象是高一学生,他们精力旺盛,思维活跃,学习数学的积极性较高.他们在本节内容的学习之前,学生已经积累了一定的函数研究经验,掌握了研究函数的套路方法,并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼,这些均为本课的探究学习提供了基础。
学生已经学习了函数的概念和一般性质是学习三角函数的基础,学生在指数函数学习过程中掌握了形如y=2x+1、y=2x−1的图象与y=2x图象的关系,具备了学习本节内容所需的知识储备。
但是,函数y=Asin(ωx+φ)中有三个参数A,ω,φ学生研究y=Asin(ωx+φ)的图象问题可能会存在一定的困难,在教学中,应通过教师的指导,教会学生学会独立思考、大胆探索和灵活运用联想、类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。
3重点难点本课的重点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象以及参数A,ω,φ对函数变化的影响。
难点:函数y=sinωx的图象与函数y=sinx的图象关系,及y=sin(ωx+φ)图象与函数y=sin ωx图象之间的关系。
4教学过程4.1第一学时4.1.1教学目标(1)知道参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响,会由正弦曲线变换得到y=Asin (ωx+φ)的图象;(2)进一步提高研究数学知识的能力,感受数学与现实的联系,以及数学探究的魅力。
4.1.2学时重点。
《函数yAsin(ωxφ)的图像》教学教案
《函数y=Asin(ωxφ)的图像》教学教案第一章：函数y=Asin(ωxφ)的定义与基本性质1.1 函数y=Asin(ωxφ)的定义1.2 函数y=Asin(ωxφ)的基本性质1.3 函数y=Asin(ωxφ)的周期性1.4 函数y=Asin(ωxφ)的相位变换第二章：函数y=Asin(ωxφ)的图像2.1 函数y=Asin(ωxφ)的图像特点2.2 函数y=Asin(ωxφ)的图像与参数A的关系2.3 函数y=Asin(ωxφ)的图像与参数ω的关系2.4 函数y=Asin(ωxφ)的图像与参数φ的关系第三章：函数y=Asin(ωxφ)的图像变换3.1 函数y=Asin(ωxφ)的水平变换3.2 函数y=Asin(ωxφ)的垂直变换3.3 函数y=Asin(ωxφ)的旋转变换3.4 函数y=Asin(ωxφ)的缩放变换第四章：函数y=Asin(ωxφ)的图像的应用4.1 函数y=Asin(ωxφ)在物理中的应用4.2 函数y=Asin(ωxφ)在工程中的应用4.3 函数y=Asin(ωxφ)在科学研究中的应用4.4 函数y=Asin(ωxφ)在生活中的应用第五章：函数y=Asin(ωxφ)的图像的综合训练5.1 函数y=Asin(ωxφ)的图像识别与分析5.2 函数y=Asin(ωxφ)的图像绘制与设计5.3 函数y=Asin(ωxφ)的图像与实际问题的结合5.4 函数y=Asin(ωxφ)的图像的综合应用练习第六章：函数y=Asin(ωxφ)图像的数学分析6.1 利用导数分析函数y=Asin(ωxφ)图像的拐点6.2 应用积分学理解函数y=Asin(ωxφ)图像下的面积6.3 通过微分方程探讨函数y=Asin(ωxφ)图像的动态变化6.4 利用极限概念研究函数y=Asin(ωxφ)图像在极值点的行为第七章：函数y=Asin(ωxφ)图像的实验探究7.1 设计实验观察函数y=Asin(ωxφ)图像的振幅变化7.2 通过实验研究函数y=Asin(ωxφ)图像的周期性7.3 实验探究函数y=Asin(ωxφ)图像的相位变换7.4 利用现代技术工具绘制函数y=Asin(ωxφ)图像并进行分析第八章：函数y=Asin(ωxφ)图像与现实世界的联系8.1 解析自然界中出现的正弦波现象8.2 探讨科技领域中正弦波信号的应用8.3 分析日常生活中正弦波形的实例8.4 案例研究：正弦波在其他领域的应用第九章：函数y=Asin(ωxφ)图像的审美与创意9.1 函数图像的艺术化处理与创作9.2 利用函数y=Asin(ωxφ)图像进行视觉设计9.3 结合文化元素创作独特的正弦波图像9.4 举办函数图像创意大赛，展示学生的作品与创意第十章：综合评估与总结10.1 学生对函数y=Asin(ωxφ)图像的理解与掌握评估10.2 教学过程中存在的问题与反思10.3 学生反馈与建议的收集与分析10.4 总结本课程的重点内容，预告下一课程的学习计划第十一章：函数y=Asin(ωxφ)图像的扩展学习11.1 探索函数y=Asin(ωxφ)图像的奇偶性11.2 研究函数y=Asin(ωxφ)图像的对称性11.3 分析函数y=Asin(ωxφ)图像的周期性和平移11.4 引入函数y=Asin(ωxφ)的复合函数，如y=Asin(ωx+φ) 第十二章：函数y=Asin(ωxφ)图像在不同坐标系中的表现12.1 极坐标系中函数y=Asin(ωxφ)图像的特点12.2 复数平面（阿尔冈图）中函数y=Asin(ωxφ)图像的表示12.3 参数方程中函数y=Asin(ωxφ)图像的呈现12.4 探索函数y=Asin(ωxφ)图像在非欧几里得空间的表现第十三章：函数y=Asin(ωxφ)图像的数学软件实现13.1 使用数学软件绘制函数y=Asin(ωxφ)图像13.2 利用数学软件分析函数y=Asin(ωxφ)图像的特性13.3 学习如何使用数学软件进行函数图像的变换和操作13.4 实践项目：创建一个交互式的函数y=Asin(ωxφ)图像展示第十四章：函数y=Asin(ωxφ)图像的跨学科应用14.1 物理学中函数y=Asin(ωxφ)图像的应用案例14.2 电子学中函数y=Asin(ωxφ)图像的实践应用14.3 信号处理中函数y=Asin(ωxφ)图像的重要角色14.4 探索其他学科中函数y=Asin(ωxφ)图像的潜在应用第十五章：课程回顾与未来学习展望15.1 回顾本课程的重要概念和技能15.2 讨论在学习过程中遇到的挑战和解决方案15.3 展望未来课程的学习内容，特别是与函数y=Asin(ωxφ)图像相关的更高级主题15.4 鼓励学生进行自主学习，探索函数y=Asin(ωxφ)图像在现实世界中的更多应用重点和难点解析本文档涵盖了《函数y=Asin(ωxφ)的图像》的教学教案，共十五个章节。
苏教版数学高一必修4学案1.3.3第2课时函数y=Asin(ωxφ)的图象与性质
第2课时函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质学习目标 1.会用“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象.2.能根据y＝A sin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y＝A sin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．知识点一“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象思考1用“五点法”作y＝sin x，x∈[0,2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？思考2用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？梳理用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ) 的图象的步骤第一步：列表：ωx＋φ0π2π3π22πx－φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φωy0A0－A0第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连结这些点，形成图象．知识点二函数y＝A sin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质名称性质定义域________值域 ________ 周期性 T ＝________对称性 对称中心⎝⎛⎭⎫k π－φω，0(k ∈Z )对称轴____________________________ 奇偶性 当φ＝k π(k ∈Z )时是________函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是________函数单调性通过整体代换可求出其单调区间知识点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中 参数的物理意义一个弹簧振子作简谐振动，如图所示，该弹簧振子离开平衡位置的位移随时间t 变化的图象如下：思考 做简谐振动的物体离开平衡位置的位移s 与时间t 满足s ＝2sin πt2，图象中纵坐标2和横坐标4各具有怎样的物理意义？梳理 设物体做简谐运动时，位移s 与时间t 的关系为s ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)．其中A 是物体振动时离开平衡位置的____________，称为振动的________；往复振动一次所需的________T ＝2πω称为这个振动的________；单位时间内往复振动的________f ＝1T ＝ω2π称为振动的________；ωt ＋φ称为__________，t ＝0时的相位φ称为________．类型一 用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象例1 利用五点法作出函数y ＝3sin(x 2－π3)在一个周期内的草图．反思与感悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3π2，2π，解出x ，从而确定这五点．(2)作给定区间上y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，若x ∈[m ，n ]，则应先求出ωx ＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x ，y 的值，描点、连线并作出函数的图象． 跟踪训练1 已知f (x )＝1＋2sin(2x －π4)，画出f (x )在x ∈[－π2，π2]上的图象．类型二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象，求A ，ω，φ的值，并确定其函数解析式．反思与感悟 若设所求解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A ，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)由函数图象与x 轴的交点确定T ，由T ＝2π|ω|，确定ω.(3)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相φ的值的两种方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口．“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.跟踪训练2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则函数的解析式为________．类型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的应用例3 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象过点P (π12，0)，图象上与P 点最近的一个最高点的坐标为(π3，5)．(1)求函数解析式； (2)指出函数的单调增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围．反思与感悟 有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想．跟踪训练3 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值．1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,0<φ<π)的图象的一段如图所示，它的解析式是_________．2．函数y ＝－2sin(π4－x2)的周期、振幅、初相分别是________________．3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝________.4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则f (π3)＝________. 5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的单调增区间．1．利用“五点”作图法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次取0，π2，π，32π，2π，再求出x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx ＋φ”的值．2．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求得周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．3．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值．答案精析问题导学 知识点一思考1 依次为0，π2，π，3π2，2π.思考2 用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先令t ＝ωx ＋φ，再由t 取0，π2，π，3π2，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－φω，－φω＋π2ω，－φω＋πω，－φω＋3π2ω，－φω＋2πω. 知识点二 R [－A ，A ] 2πω x ＝π2ω＋k π－φω(k ∈Z ) 奇 偶 知识点三思考 2表示振幅，周期T ＝2ππ2＝4. 梳理 最大距离 振幅 时间 周期 次数 频率 相位 初相 A2πω ω2πωx ＋φ φ 题型探究例1 解 依次令x 2－π3＝0，π2，π，3π2，2π，列出下表：描点，连线，如图所示．跟踪训练1 解 (1)∵x ∈[－π2，π2]，∴2x －π4∈[－54π，34π]．列表如下：x －π2 －38π －π8 π8 38π π2 2x －π4－54π －π －π2 0 π2 34π f (x )211－211＋22(2)描点，连线，如图所示．例2 由图象知A ＝3，又图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有⎩⎨⎧π3·ω＋φ＝π，5π6·ω＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3. ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 跟踪训练2 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 例3 解 (1)∵图象最高点的坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)，得sin(2π3＋φ)＝1，∴2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . ∴φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ，又∵|φ|<π2，∴k ＝0，则φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)∵函数的单调增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴函数的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(3)∵5sin(2x －π6)≤0，∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．故所求x 的取值范围是[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )． 跟踪训练3 (1)－3π4(2)单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π8，k π＋9π8(k ∈Z ) 最大值为1 最小值为－1 当堂训练1．y ＝23sin(2x ＋2π3)2．4π，2，－π43．4 4.05．(1)2sin(π8x ＋π4)．(2)[16k －6,16k ＋2]，k ∈Z。
高中数学苏教版必修4教案：第一章 三角函数 第14课时 1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象
第十四课时 §1.3.3 函数的图象（2）【教学目标】一、知识与技能： (1) 会用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋)的图象；(2) 会用图象变换的方法画y ＝A sin(ωx ＋)的图象；(3) 会求一些函数的振幅、周期、最值等。
二、过程与方法在研究函数y ＝Asin (ωx ＋) 的图象的过程中进一步体会化归的数学思想，自觉运用数形结合思想解决问题。
三、情感态度价值观：会用联系的观点看问题，了解各个量之间内在的联系。
教学重点难点：函数图象的伸缩、平移变换。
【教学过程】一．复习回顾1．型函数的图象-----振幅变换:2．型函数的图象-----周期变换3．型函数的图象-----相位变换二．新课讲解问题： 函数y ＝Asin (ωx ＋)（A >0,ω>0）的图象可以由正弦曲线经过哪些图象变换而得到？引例 画出函数y ＝3sin(2x ＋)，x ∈R 的简图 解：(五点法)由T ＝，得T ＝π 列表：)sin(ϕω+=x A y ϕϕϕx A y sin =x y ωsin =)sin(ϕ+=x y ϕ3π22π描点画图：这种曲线也可由图象变换得到：方法一：即：y ＝sin x y ＝sin(x ＋) y ＝sin(2x ＋) y ＝3sin(2x ＋) 一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左(当_______时)或向右(当______时平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当______时)或伸长(当________时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当________时)或缩短(当________时)到原来的A 倍(横坐标不变) 问题：以上步骤能否变换次序？方法二：3π3π3πϕϕω1____移 个单位 纵坐标不变横坐标变为 倍 纵坐标变为 倍横坐标不变另外，注意一些物理量的概念:A ：称为振幅；T ＝：称为周期；f ＝：称为频率； ωx ＋：称为相位x ＝0时的相位称为初相三、例题分析：例1、已知函数x （）的图象一个最高点为A （2，），由点A 到相邻最低点的图象交x 轴于（6， 0），求此函数的解析式。
苏教版数学高一-必修4学案 1.3.3 函数y=Asin(ωxφ)的图象(一)
1．3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)1.理解y ＝A sin(ωx ＋φ)中ω、φ、A 对图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．1．“五点法”作图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈的图象，五个关键点是(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0)． 2．交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系？ 答 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似，从解析式来看，函数y ＝sin x 就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在A ＝1，ω＝1，φ＝0时的情况．1．函数s ＝A sin(ωx ＋φ)的振幅、周期、频率等在s ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，其中A 为物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T ＝2πω，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f ＝1T ＝ω2π，称为振动的频率；ωx ＋φ称为相位，x ＝0时的相位φ称为初相．2．φ、ω、A 对y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响(1)函数y ＝sin(x ＋φ)(其中φ≠0)的图象，可以看做是将函数y ＝sin x 上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位而得到的．(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看做是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上的所有点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看做是把y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)而得到的．3．函数y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0)的图象可以看做是由下面的方法得到：先画出函数y ＝sin x 的图象；再把正弦曲线向左(当φ>0时)或右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.要点一 三角函数图象的平移变换例1 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________． ①向左平移π3个单位；②向右平移π3个单位；③向左平移π6个单位；④向右平移π6个单位．答案 ③解析 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 所以把y ＝sin 2x 的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．规律方法 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：①将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin(ωx ＋φ)，即A 、ω及名称相同的结构． ②找到ωx →ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位为⎪⎪⎪⎪φω. ③明确平移的方向．跟踪演练1 要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________． ①向左平移π8个单位；②向右平移π8个单位；③向左平移π4个单位；④向右平移π4个单位．答案 ①解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以向左平移π8个单位．要点二 三角函数图象的伸缩变换例2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数解析式是__________________． 答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 解析 把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．规律方法 三角函数图象变换容易出错，尤其是既涉及平移变换又涉及伸缩变换．平移时，若x 的系数不是1，需把x 的系数先提出，提出后括号中的x 加或减的那个数才是平移的量，即x 的净增量．方向的规律是“左加右减”．伸缩时，只改变x 的系数ω，其余的量不变化，伸长时系数|ω|减小，缩短时|ω|增大．跟踪演练2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数解析式是__________________． 答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，x ∈R解析 将y ＝sin x 图象上的所有的点向左平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3. 要点三 三角函数图象的综合变换例3 把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式． 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的32倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3――――――――→向左平移π6个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . ∴f (x )＝3cos x .规律方法 (1)本例已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．跟踪演练3 将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，然后再将整个图象沿x 轴向右平移π2个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 图象相同，则y ＝f (x )的函数解析式为________．答案 y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2⎝⎛⎭⎫或y ＝12cos x 21．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点________________________． 答案 向左平行移动12个单位长度解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋12)的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象．2．由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位． 答案 π3 23π3．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________． 答案 ±124．将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的解析式为__________________． 答案 y ＝－cos 2x解析 y ＝sin(－2x )――――――――→左移π4个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－cos 2x .1.由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同： (1)先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位． (2)先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位．2．类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到．一、基础达标1．函数y ＝sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f (x )＝________. 答案 sin x2．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象________． ①向左平移π3个单位长度；②向右平移π3个单位长度；③向左平移π6个单位长度；④向右平移π6个单位长度．答案 ②3．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是__________________． 答案 y ＝1＋cos 2x解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x . 4．将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数________．①在区间hslx3y3hπ12，7π12π12，7π12－π6，π3－π6，π32(x －π2)＋π3k π＋π12，k π＋712ππ12，712π－π6，π3－π6，π3a ，ba ，ba ，b a ，b hslx3y3h 上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。
苏教版必修四 1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1) 教案
1.3.3 函数sin()y A x ωϕ=+的图象（1）一、课题：函数sin()y A x ωϕ=+的图象（1）二、教学目标：1．会画函数sin()y A x ωϕ=+的简图；2．弄清,,A ωϕ与函数sin()y A x ωϕ=+的图象之间的关系； 3．理解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。
三、教学重、难点：五点法画函数的图象。
四、教学过程： （一） 新课讲解：1．sin y A x =型函数的图象例1 画出函数2sin y x =，x R ∈，1sin 2y x =，x R ∈，的简图。
解：先画出它们在[0,2]上的图象，再向左右扩展，由图可知，对于同一个x ，2sin y x =，[0,2]x π∈的图象上的点的纵坐标等于sin y x =，[0,2]x π∈的图象上的点的纵坐标的2倍，因此，2sin y x =，x R ∈的图象可以看作正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变的情况下）而得到的。
1sin 2y x =，x R ∈的图象的情况也类似：纵坐标变为原来的12（横坐标不变情况下）。
一般地，函数sin y A x =，x R ∈(0,1)A A >≠的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（1A >时）或缩短（1A <时）到原来的A 倍（横坐标不变的情况下）而得到，因此，sin y A x =，x R ∈的值域是[,]A A -，最大值为A ，最小值为A -． 2．sin y x ω=型函数的图象例2 画出函数sin 2y x =，x R ∈，1sin 2y x =，x R ∈的函数简图。
解：先画出它们在一个周期内的图象，再向左、右扩展，xyO––π32π2π 2π2sin y x =sin y x =1sin 2y x =一般地，函数sin y x ω=，x R ∈（0,1ωω>≠）的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（1ω>时）或伸长（01ω<<时）到原来的1ω倍（纵坐标不变的情况下）而得到的。
数学苏教版必修4教学设计：1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象 Word版含解析
教学设计1．3.3函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象整体设计教学分析本节通过图象变换，揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．如何经过变换由正弦函数y＝sinx来获取函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象呢？通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法；通过对参数φ、ω、A的分类讨论，让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系．本节课建议充分利用多媒体，倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过图象变换，通过“五点”作图法，正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律，这也是本节课的重点所在．本节课的难点是对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解．因此，分析清不管哪种顺序变换，都是对一个字母x而言的变换成为突破本节课教学难点的关键．三维目标1．通过学生自主探究，理解φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响，ω对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响，A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．2．通过探究图象变换，会用图象变换法画出y＝Asin(ωx＋φ)图象的简图，并会用“五点法”画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图．3．通过学生对问题的自主探究，渗透数形结合思想．培养学生理解动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想．重点难点教学重点：用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的简图的作法．教学难点：由正弦曲线y ＝sinx 到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象的变换过程．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数(其中A 、ω、φ是常数)．例如，物体做简谐振动时位移y 与时间x 的关系，交流电中电流强度y 与时间x 的关系等，都可用这类函数来表示．这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象．揭示课题：函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象．思路2.(直接导入)从解析式来看，函数y ＝sinx 与函数y ＝Asin(ωx ＋φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y ＝sinx 与函数y ＝Asin(ωx ＋φ)存在着怎样的关系？接下来，我们就分别探索φ、ω、A 对y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象的影响．推进新课新知探究函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与函数y ＝sinx 的图象关系振幅变换：y ＝Asinx(A>0，A ≠1)的图象，可以看作是y ＝sinx 图象上所有点的纵坐标都伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的．周期变换：y ＝sinωx (ω>0，ω≠1)的图象，可以看作是把y ＝sinx 的图象上各点的横坐标都缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的，由于y ＝sinx 的周期为2π，故y ＝sinωx (ω>0)的周期为2πω. 相位变换：y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y ＝sinx 的图象上各点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位而得到的．由y ＝sinx 的图象得到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象主要有下列两种方法．分别在y ＝sinx 和y ＝sin(x ＋π3)的图象上恰当地选取一个纵坐标相同的点，同时移动这两点并观察其横坐标的变化，你能否从中发现，φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值，作出y ＝sin(x ＋φ)的图象，看看与y ＝sinx 的图象是否有类似的关系？利用上述研究问题的方法，讨论探究参数ω对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响，为了作图的方便，先不妨固定为φ＝π3，从而使y ＝sin(ωx ＋φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y ＝sin(x ＋π3)． 类似地，参数A 对y ＝sin(2x ＋π3)的图象有什么影响呢？为了研究方便，不妨令ω＝2，φ＝π3.此时，可以对A 任取不同的值，利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象，观察它们与y ＝sin(2x ＋π3)的图象之间的关系． 活动：教师先引导学生阅读课本本节开头部分，并得出：设物体做简谐运动时，位移s 和时间t 的关系为s ＝Asin(ωt ＋φ)(A>0，ω>0)，其中A 是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T ＝2πω，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f ＝1T ＝ω2π，称为振动的频率；ωt ＋φ称为相位，t ＝0时的相位φ称为初相． 教师引导学生思考研究问题的方法，同时引导学生观察y ＝sin(x ＋π3)图象上点的坐标和y ＝sinx 的图象上点的坐标的关系，获得φ对y ＝sin(x ＋φ)的图象的影响的具体认识．然后通过计算机作动态演示变换过程，引导学生观察变化过程中的不变量，得出它们的横坐标总是相差π3的结论．并让学生讨论探究．最后共同总结出：先分别讨论参数φ、ω、A 对y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象的影响，然后再整合．由学生作出φ取不同值时，函数y ＝sin(x ＋φ)的图象，并探究它与y ＝sinx 的图象的关系，看看是否仍有上述结论．教师引导学生获得更多的关于φ对y ＝sin(x ＋φ)的图象影响的经验．为了研究的方便，不妨先取φ＝π3，利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象，如图1，分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A ，B ，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，观察它们横坐标的关系．可以发现，对于同一个y 值，y ＝sin(x ＋π3)的图象上的点的横坐标总是等于y ＝sinx 的图象上对应点的横坐标减去π3.这样的过程可通过多媒体课件，使得图中A 、B 两点动起来(保持纵坐标相等)，在变化过程中观察A 、B 的坐标、x B －x A 、|AB|的变化情况，这说明y ＝sin(x ＋π3)的图象，可以看作是把正弦曲线y ＝sinx 上所有的点向左平移π3个单位长度而得到，同时多媒体动画演示y ＝sinx 的图象向左平移π3，使之与y ＝sin(x ＋π3)的图象重合的过程，以加深学生对该图象变换的直观理解．再取φ＝－π4，用同样的方法可以得到y ＝sinx 的图象向右平移π4后与y ＝sin(x －π4)的图象重合．图1如果再变换φ的值，类似的情况将不断出现，这时φ对y ＝sin(x ＋φ)的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于φ对y ＝sin(x ＋φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓．y ＝sin(x ＋φ)(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．教师指导学生独立或小组合作进行探究ω对图象的影响，教师作适当指导．注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论．具体过程是：(1)以y ＝sin(x ＋π3)为参照，把y ＝sin(2x ＋π3)的图象与y ＝sin(x ＋π3)的图象作比较，取点A 、B 观察．发现规律：如图2，对于同一个y 值，y ＝sin(2x ＋π3)的图象上点的横坐标总是等于y ＝sin(x ＋π3)的图象上对应点的12倍．教学中应当非常认真地对待这个过程，展示多媒体课件，体现伸缩变换过程，引导学生在自己独立思考的基础上给出规律．(2)取ω＝12，让学生自己比较y ＝sin(12x ＋π3)的图象与y ＝sin(x ＋π3)的图象．教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动，得出结论：把y ＝sin(x ＋π3)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)就得到y ＝sin(12x ＋π3)的图象．图2当取ω为其他值时，观察相应的函数图象与y ＝sin(x ＋π3)的图象的关系，得出类似的结论．这时ω对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于ω对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓．教师指导学生将上述结论一般化，归纳y ＝sin(ωx ＋φ)的图象与y ＝sin(x ＋φ)的图象之间的关系，得出结论：函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到． 教师适时点拨学生，探索A 对图象的影响的过程，与探索ω、φ对图象的影响过程完全一致，鼓励学生独立完成．学生观察y ＝3sin(2x ＋π3)的图象和y ＝sin(2x ＋π3)的图象之间的关系．如图3，分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A 、B ，沿两条曲线同时移动这两点，并使它们的横坐标保持相同，观察它们纵坐标的关系．可以发现，对于同一个x 值，函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象上的点的纵坐标等于函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象上点的纵坐标的3倍．这说明，y ＝3sin(2x ＋π3)的图象，可以看作是把y ＝sin(2x ＋π3)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的．通过实验可以看到，A 取其他值时也有类似的情况．有了前面两个参数的探究，学生得出一般结论：图3函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到，从而，函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A.由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象变化的影响情况．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象，可以看作用下面的方法得到：先画出函数y＝sinx的图象，再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度，得到函数y＝sin(x倍，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．最后教师引导学生类比得出，也可先伸缩后平移，其顺序是：先伸缩横坐标(或纵坐标)，再伸缩纵坐标(或横坐标)，最后平移．但学生很容易在第三步出错，在图象变换时，对比变换可以引起学生注意，并体会一些细节．由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究．教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想：由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想．规律总结先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移)的步骤程序如下：y ＝sinx 的图象――→纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)为原来的A 倍(横坐标不变)得y ＝Asinx 的图象――→横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)到原来的1ω(纵坐标不变) 得y ＝Asin(ωx )的图象――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位 得y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象．先平移后伸缩的步骤程序如下：y ＝sinx 的图象――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度得y ＝sin(x ＋φ)的图象――→横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)到原来的1ω(纵坐标不变) 得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――→纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)为原来的A 倍(横坐标不变)得y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象．应用示例思路1例1见课本本节例1.变式训练画出函数y ＝2sin(13x －π6)的简图． 活动：本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识．(1)可引导学生从图象变换的角度来探究，这里的φ＝－π6，ω＝13，A ＝2，鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y ＝2sin(13x －π6)的图象的过程：只需把y ＝sinx 的曲线上所有点向右平行移动π6个单位长度，得到y ＝sin(x －π6)的图象；再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(13x －π6)的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y ＝2sin(13x －π6)的图象．如图4所示．图4(2)学生完成以上变换后，为了进一步掌握图象的变换规律，教师可引导学生做换个顺序的图象变换，要让学生自己独立完成仔细体会变化的实质．(3)学生完成以上两种变换后，就得到了两种画函数y ＝2sin(13x －π6)简图的方法，教师再进一步地启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y ＝2sin(13x －π6)的简图，并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程．解：方法一：画出函数y ＝2sin(13x －π6)简图的方法为方法三：(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象)令X ＝13x －π6，则x ＝3(X ＋π6)．列表： X0 π2 π 3π2 2π xπ2 2π 7π2 5π 13π2 y 0 20 －2 0描点画图，如图5所示．图5点评：学生独立完成以上探究后，对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识．但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换，左右平移变换只对“单个”x 而言，这是个难点，学生极易出错．对于“五点法”作图，要强调：这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点．找出它们的方法是先作变量代换，设X ＝ωx ＋φ，再用方程思想由X 取0，π2，π，3π2，2π来确定对应的x 值.例2将函数y ＝sinx 的图象怎样变换可得到函数y ＝2sin(2x ＋π4)＋1的图象？ 活动：可以用两种图象变换得到．但无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由y ＝sin2x的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是y ＝sin2(x ＋π8)而不是y ＝sin(2x ＋π8)，把y ＝sin(x ＋π4)的图象的横坐标缩小到原来的12倍，得到的函数图象的解析式是y ＝sin(2x ＋π4)而不是y ＝sin2(x ＋π4)． 解：方法一：①把y ＝sinx 的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得y ＝sin(x ＋π4)的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12倍，得y ＝sin(2x ＋π4)的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y ＝2sin(2x ＋π4)的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y ＝2sin(2x ＋π4)＋1的图象． 方法二：①把y ＝sinx 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y ＝2sinx 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12倍，得y ＝2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度，得y ＝2sin2(x ＋π8)的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y ＝2sin(2x ＋π4)＋1的图象． 点评：三角函数图象变换是个难点．本例很好地巩固了本节所学知识方法，关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响.知能训练课本本节练习1、2、3、4.课堂小结1．由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识，使本节的总结成为学生凝练提高的平台．2．教师强调，本节课借助于计算机讨论并画出y ＝Asin(ωx ＋π3)的图象，分别观察参数φ、ω、A 对函数图象变化的影响，同时通过具体函数的图象的变化，领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想．作业1．用图象变换的方法在同一坐标系内由y ＝sinx 的图象画出函数y ＝－12sin(－2x)的图象．2．要得到函数y ＝cos(2x －π4)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象通过怎样的变换得到？ 3．指出曲线y ＝cos2x ＋1与余弦曲线y ＝cosx 的关系．解答：1.y ＝－12sin(－2x)＝12sin2x ，作图过程：y ＝sinx y＝sin2x y ＝12sin2x. 2．∵y ＝cos(2x －π4)＝sin[π2＋(2x －π4)]＝sin(2x ＋π4)＝sin2(x ＋π8)， ∴将曲线y ＝sin2x 向左平移π8个单位长度即可． 3．∵y ＝cos2x ＋1，∴将余弦曲线y ＝cosx 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再将所得曲线上所有的点向上平移1个单位长度，即可得到曲线y ＝cos2x ＋1.设计感想1．本节图象较多，学生活动量大，因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具，从整体上探究参数φ、ω、A 对函数y ＝Asin(ωx ＋φ)图象整体变化的影响．这符合新课标精神，符合教育课改新理念．现代教育要求学生在富有的学习动机下主动学习，合作探究，教师仅是学生主动学习的激发者和引导者．2．对于函数y ＝sinx 的图象与函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象间的变换，由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别，直接会对图象平移量产生影响，这点也是学习三角函数图象变换的难点所在，设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同．3．学习过程是一个认知过程，学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量．如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构，外部的变量就不能发挥它们的作用，但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习．备课资料一、关于函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0)的奇偶性1．若函数y ＝Asin(ωx ＋φ)是奇函数，则φ＝kπ(k ∈Z )，反之也成立；若y ＝Asin(ωx ＋φ)是偶函数，则φ＝kπ＋π2(k ∈Z )，反之也成立．2．若函数y ＝Acos(ωx ＋φ)是奇函数，则φ＝kπ＋π2(k ∈Z )，反之也成立；若y ＝Acos(ωx ＋φ)是偶函数，则φ＝kπ(k ∈Z )，反之也成立．以下仅对命题“若函数y ＝Asin(ωx ＋φ)是奇函数，则φ＝kπ(k ∈Z )，反之也成立”给出证明．若y ＝Asin(ωx ＋φ)是奇函数，则Asin(－ωx ＋φ)＝－Asin(ωx ＋φ)对x ∈R 成立，即sin(ωx －φ)＝sin(ωx ＋φ)对x ∈R 成立．令x ＝0，则sin(－φ)＝sinφsinφ＝0，φ＝kπ(k ∈Z )．反之，若φ＝kπ(k ∈Z )，则y ＝f(x)＝Asin(ωx ＋φ)＝Asin(ωx ＋kπ)＝⎩⎪⎨⎪⎧ Asinωx ，k 为偶函数，－Asinωx ，k 为奇数， ∴f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ Asin (－ωx )，k 为偶数－Asin (－ωx )，k 为奇数＝⎩⎪⎨⎪⎧－Asinωx ，k 为偶数Asinωx ，k 为奇数＝－f(x)． ∴当φ＝kπ(k ∈Z )时，y ＝f(x)＝Asin(ωx ＋φ)为奇函数．二、备用习题 1．下列变换中，正确的是( )A ．将y ＝sin2x 图象上的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)即可得到y ＝sinx 的图象B ．将y ＝sin2x 图象上的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)即可得到y ＝sinx 的图象 C ．将y ＝－sin2x 图象上的横坐标变为原来的12倍，纵坐标变为原来的相反数，即得到y ＝sinx 的图象D ．将y ＝－3sin2x 图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的13倍，且变为相反数，即得到y ＝sinx 的图象2．若将某函数的图象向右平移π2以后所得到的图象的函数式是y ＝sin(x ＋π4)，则原来的函数表达式为( )A ．y ＝sin(x ＋3π4)B ．y ＝sin(x ＋π2) C ．y ＝sin(x －π4) D ．y ＝sin(x ＋π4)－π43．函数y ＝sin(2x －π3)的图象可由函数y ＝sin2x 的图象经过下列哪种变换得到…… ( )A ．向右平移π3个单位长度B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度 D ．向左平移π6个单位长度 4．函数f(x)＝Msin(ωx ＋φ)(其中M>0，ω>0)在区间[a ，b]上是增函数，且f(a)＝－M ，f(b)＝M ，则函数g(x)＝Mcos(ωx ＋φ)在[a ，b]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M5．把函数y ＝sin(x ＋π8)的图象向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标缩短为原来的12，则所得图象对应的函数的解析式为________________． 6．关于y ＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )有下列命题： ①由f(x 1)＝f(x 2)＝0，可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y ＝f(x)的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π6)； ③y ＝f(x)的图象关于点(－π6，0)对称； ④y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－π6对称． 其中正确的命题的序号为__________．7．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在[－π6，π3]上是增函数”的一个函数是( )A ．y ＝sin(x 2＋π6)B ．y ＝cos(2x ＋π3) C ．y ＝sin(2x －π6) D ．y ＝cos(2x －π6) 参考答案：1.A 2.A 3.B 4.C 5.f(x)＝sin(2x ＋3π8) 6.②③ 7.B (设计者 王光玲)第2课时导入新课思路1.(直接导入)上一节课中，我们分别探索了参数φ、ω、A 对函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象的影响及“五点法”作图．现在我们进一步熟悉掌握函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，φ≠0)的图象变换及其物理背景．由此展开新课．思路2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数y ＝4sin(12x －π3)的简图，学生动手画图，教师适时地点拨、纠正，并让学生回答有关的问题．在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课．推进新课新知探究进一步熟悉并掌握三角函数的图象变换．练习：(1)在上节课的学习中，用“五点作图法”画函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象时，列表中最关键的步骤是什么？(2)①把函数y ＝sin2x 的图象向__________平移__________个单位长度得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象；②把函数y ＝sin3x 的图象向__________平移__________个单位长度得到函数y ＝sin(3x ＋π6)的图象；③如何由函数y ＝sinx 的图象通过变换得到函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象？(3)将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π2个单位长度，所得到的曲线是y ＝12sinx 的图象，试求函数y ＝f(x)的解析式． 对这个问题的求解现给出以下三种解法，请说出甲、乙、丙各自解法的正误(多媒体出示各自解法)．甲生：所给问题即是将y ＝12sinx 的图象先向右平移π2个单位长度，得到y ＝12sin(x －π2)的图象，再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到y ＝12sin(2x －π2)， 即y ＝－12cos2x 的图象，∴f(x)＝－12cos2x. 乙生：设f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝Asin(ω2x ＋φ)的图象，再将所得的图象向左平移π2个单位长度，得到y ＝Asin(ω2x ＋π2＋φ)＝12sinx ，∴A ＝12，ω2＝1，π2＋φ＝0， 即A ＝12，ω＝2，φ＝－π2.∴f(x)＝12sin(2x －π2)＝－12cos2x. 丙生：设f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝Asin(ω2x ＋φ)的图象，再将所得的图象向左平移π2个单位长度，得到y ＝Asin[ω2(x ＋π2)＋φ]＝Asin(ω2x ＋ωπ4＋φ)＝12sinx ， ∴A ＝12，ω2＝1，ωπ4＋φ＝0. 解得A ＝12，ω＝2，φ＝－π2，∴f(x)＝12sin(2x －π2)＝－12cos2x. 活动：通过以上回顾练习，复习巩固已学三种基本变换，同时为导入本节课重、难点创设情境．让学生回答并回忆A 、ω、φ对函数y ＝Asin(ωx ＋φ)图象变化的影响．引导学生回顾“五点作图法”，既复习了旧知识，又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障．让学生通过实例综合以上两种变换，再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因，以此培养训练学生变换的逆向思维能力，训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力．练习③甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”，即将以上变换倒过来，由y ＝12sinx 变换到y ＝f(x)，解答正确．乙、丙两名同学都是采用代换法，即设y ＝Asin(ωx ＋φ)，然后按题设中的变换得到两次变换后图象的函数解析式，这种思路清晰，但值得注意的是：乙生的解答过程中存在实质性的错误，就是将y ＝Asin(ω2x ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度时，把y ＝Asin(ω2x ＋φ)函数中的自变量x 变成x ＋π2，应该变换成y ＝Asin[ω2(x ＋π2)＋φ]，而不是变换成y ＝Asin(ω2x ＋π2＋φ)，虽然结果一样，但这是巧合，丙同学的解答是正确的． 三角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序，比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错，故在对这种方法不是很熟练的情况下，用丙同学的解法较合适(即待定系数法)．平移变换是对自变量x 而言的，比如乙同学的变换就出现了这种错误．以上练习的答案是：(1)将ωx ＋φ看作一个整体，令其分别为0，π2，π，3π2，2π. (2)①右 π6 ②左 π18 ③先将y ＝sinx 的图象左移π3个单位，再把所有点的横坐标压缩到原来的12倍(纵坐标不变)．(3)略．应用示例思路1例1图1是某简谐运动的图象．试根据图象回答下列问题：(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少？(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？(3)写出这个简谐运动的函数表达式．图1活动：本例是根据简谐运动的图象求解析式．教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识，并提醒学生注意本课开始时探讨的知识，思考y＝Asin(ωx＋φ)中的参数φ、ω、A在图象上是怎样反映的，要解决这个问题，关键要抓住什么？让学生明确解题思路是由形到数地解决问题，学会数形结合地处理问题．完成解题后，教师引导学生进行反思学习过程，概括出研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的思想方法，找两名学生阐述思想方法，教师作点评、补充．解：(1)从图象上可以看到，这个简谐运动的振幅为2 cm；周期为0.8 s；频率为5 4.(2)如果从O点算起，到曲线上的D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，则到曲线上的E点，表示完成了一次往复运动．(3)设这个简谐运动的函数表达式为y ＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)，那么A ＝2；由2πω＝0.8，得ω＝5π2；由图象知初相φ＝0.于是所求函数表达式是y ＝2sin 5π2x ，x ∈[0，＋∞)． 点评：本例的实质是由函数图象求函数解析式，要抓住关键点．应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法，应让学生熟练地掌握这种方法.思路2例1若函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(π12，3)和一个最低点(7π12，－5)，求这个函数的解析式． 活动：让学生自主探究题目中给出的条件，本例中给出的实际上是一个图象，它的解析式为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)，这是学生未遇到过的．教师应引导学生思考它与y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象的关系，它只是把y ＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|个单位．由图象可知，取最大值与最小值时相应的x 的值之差的绝对值只是半个周期．这里φ的确定学生会感到困难，因为题目中毕竟没有直接给出图象，不能明显地看出来，应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|<π，如不注明，就取离y 轴最近的一个即可．解：由已知条件，知y max ＝3，y min ＝－5，则A ＝12(y max －y min )＝4，B ＝12(y max ＋y min )＝－1，T 2＝7π12－π12＝π2. ∴T ＝π，得ω＝2.故有y ＝4sin(2x ＋φ)－1.由于点(π12，3)在函数的图象上，故有3＝4sin(2×π12＋φ)－1， 即sin(π6＋φ)＝1.一般要求|φ|<π，故取π6＋φ＝π2.∴φ＝π3.故所求函数的解析式为y ＝4sin(2x ＋π3)－1. 点拨：这是数形结合的又一典型应用，应让学生明了，题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图，结合图象可直接求得A 、ω，进而求得初相φ.但要注意初相φ的确定．求初相也是这节课的一个难点.变式训练1.图2是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，|φ|＜π的图象的一部分，由图中条件，写出该函数解析式．图2解：由图象得：A ＝5，T 2＝5π2－π，∴T ＝3π， ∴2πω＝T ，ω＝23. 方法一：单调性法．∵点(π，0)在递减的那段曲线上，∴2π3＋φ∈[π2＋2kπ，2π3＋2kπ](k ∈Z )． 由sin(2π3＋φ)＝0，得2π3＋φ＝2kπ＋π， ∴φ＝2kπ＋π3(k ∈Z )． ∵|φ|＜π，∴φ＝π3. 方法二：最值点法．将最高点坐标(π4，5)代入y ＝5sin(23x ＋φ)，得5sin(π6＋φ)＝5， ∴π6＋φ＝2kπ＋π2.∴φ＝2kπ＋π3(k ∈Z )，取φ＝π3. 方法三：起始点法．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ωx ＋φ＝0解得的，故只要找出起始点横坐标x 0，就可以迅速求得初相φ.由图象求得x 0＝－π2，∴φ＝－ωx 0＝－23×(－π2)＝π3. 故函数解析式为y ＝5sin(23x ＋π3)． 点评：求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角？初相角有几个？让学生在探究一题多解中细细体会，在应用中逐渐掌握它．2．函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图是( )图3答案：A知能训练课本本节练习5、6.课堂小结1．由学生自己回顾本节学习的数学知识：简谐运动的有关概念．本节学习的数学方法：简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想，数形结合思想，待定系数法，数学的应。
数学：1.3.3《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》(2)教案(苏教版必修4)
1.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象（2）教学目标：1．理解φ、ω、A 对函数)sinϕ+=wx A y （的图象的影响； 2．能够将x y sin =的图象变换到)sin(ϕ+=wx A y 的图象；3．进一步体会数形结合、化归的思想方法．教学重点：用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A 变化时对函数图象的形状和位置的影响，掌握函数y =A sin(ωx +φ)图象的简图的作法．教学难点：如何将x y sin =的图象变换到)sin(ϕ+=wx A y 的图象，图象变换与函数解析式变换的内在联系的理解．教学方法：启发引导式教学、问题链导学．教学过程：一、问题情境上一节课我们已经学习了函数图象的周期变换和振幅变换（1）周期变换：x y sin =图象 y =sin ωx 图象．（2）振幅变换： x y sin =图象 y =A sin x 图象． 那么函数sin()y x ϕ=+的图象与函数sin y x =的图象的关系呢？二、学生活动横坐标变为原来的ω1（纵坐标不变）纵坐标变为原来的A探究1 作出函数y =sin(x +3π)与y =sin(x -4π)的图象，并与y =sin x 图象比较 探究2 函数y=sin2x 与y=sin(32π-x )图象之间的关系三、建构数学 小结：一般地，函数y ＝sin(x ＋ϕ) (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向_____(当ϕ＞0时)或向____ (当ϕ＜0时)平移_______个单位而得到（“左加”、“右减”）y ＝sin(x ＋ϕ)与y ＝sin x 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，ϕ决定了函数的相位，这一变换称为相位变换．小结 一般地，函数y ＝sin(w x ＋ϕ) (其中w>0,ϕ≠0)的图象，可以看作把y=sin(wx)上所有点向_____(当ϕ＞0时)或向____ (当ϕ＜0时)平移_______个单位而得到（“左加”、“右减”）四、数学运用例1 作出函数)32sin(3π-=x y 的简图．分析：法1 五点法作图；法2 图象变换由正弦函数图象来变换得到．小结 一般地，函数y=Asin(ωx+ϕ),x ∈R （其中A>0，ω>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当ϕ>0时）或向右（当ϕ<0时）平行移动|ϕ|个单位长度 （得y=sin(x+ϕ)图），再把所得各点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）（得y=sin(ωx+φ)图），再把所得各点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到原来的A 倍（横坐标不变）．（若先伸缩，再平移时移多少？）例2 已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+．（1）下图是sin()I A t ωϕ=+（ω＞0，||2πϕ<）在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ωϕ=+的解析式；（2）如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解 （1）300sin(150)6I t ππ=+． （2）最小正整数ω＝943．练习1 写出由y =sin x 到)321sin(π-=x y 的图象的变换过程． 分析：法1 先相位变换再周期变换法2 先周期变换再相位变换五、要点归纳与方法小结：本节课学习了以下内容：（1）相位变换；（2）由函数y =sin x 的图象得到函数y =A sin(ωx +ϕ)的图象；（3）对于三角函数的变换问题，要注意y =sin(x +ϕ)→y =sin(ωx +ϕ)与 y =sin ωx →y =sin(ωx +ϕ)的区别，不同名的要先化为同名．。
江苏省高中数学必修4教案：第一章三角函数第14课时1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2)
第十四课时 §1.3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象（2）【教学目标】一、知识与技能： (1) 会用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象；(2) 会用图象变换的方法画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象；(3) 会求一些函数的振幅、周期、最值等。
二、过程与方法在研究函数y ＝Asin (ωx ＋ϕ) 的图象的过程中进一步体会化归的数学思想，自觉运用数形结合思想解决问题。
三、情感态度价值观：会用联系的观点看问题，了解各个量之间内在的联系。
教学重点难点：函数图象的伸缩、平移变换。
【教学过程】一．复习回顾1．x A y sin =型函数的图象-----振幅变换:2．x y ωsin =型函数的图象-----周期变换3．)sin(ϕ+=x y 型函数的图象-----相位变换二．新课讲解问题： 函数y ＝Asin (ωx ＋ϕ)（A >0,ω>0）的图象可以由正弦曲线经过哪些图象变换而得到？引例 画出函数y ＝3sin(2x ＋3π)，x ∈R 的简图 解：(五点法)由T ＝22π，得T ＝π 列表：描点画图：这种曲线也可由图象变换得到：方法一：即：y ＝sin x y ＝sin(x ＋3π) y ＝sin(2x ＋3πy ＝3sin(2x ＋3π) 一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左(当_______时)或向右(当______时平行移动｜ϕ｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当______时)或伸长(当________时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当________时)或缩短(当________时)到原来的A 倍(横坐标不变)问题：以上步骤能否变换次序？方法二：____移 个单位 纵坐标不变横坐标变为 倍 横坐标不变另外，注意一些物理量的概念:A ：称为振幅；T ＝ωπ2：称为周期；f ＝T1：称为频率； ωx ＋ϕ：称为相位x ＝0时的相位ϕ称为初相三、例题分析：例1、已知函数sin(A y =ωx )ϕ+（πϕω2,0,0<<>>A ）的图象一个最高点为A （2，3），由点A 到相邻最低点的图象交x 轴于（6， 0），求此函数的解析式。
苏教版数学高一必修4学案 1. 3.3 函数yAsin(wx)的图象
1．3.3 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象情景：下表是某地1951—1981年月平均气温(华氏)：月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温73.071.964.753.539.827.7思考：(1)(2)用正弦曲线去拟合这些数据． (3)这个函数的周期是多少？(4)估计这个正弦曲线的振幅A (精确到度)．(5)下面四个函数模型中，________最合适这些数据． A.y a ＝cos ⎝⎛⎭⎫πx 6 B.y －46a ＝cos ⎝⎛⎭⎫πx 6 C.y －46－a＝cos ⎝⎛⎭⎫π6x D.y －46a ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6x1．函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R(其中φ≠0)的图象，可以看做是把正弦曲线上所有的点__________(当φ＞0时)或________(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．答案：向左 向右2．函数y ＝sin ωx ，x ∈R(其中ω＞0，且ω≠1)的图象，可以看做是把正弦曲线上所有点的横坐标________原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到．答案：变为3．函数y ＝A sin x ，x ∈R(A ＞0且A ≠1)的图象，可以看做是把正弦曲线上所有点的纵坐标________原来的A 倍(横坐标不变)而得到的，函数y ＝A sin x 的值域为______，最大值为________，最小值为________．答案：变为A－A4．函数y＝A sin(ωx＋φ)，x∈R其中(A＞0，ω＞0)的图象，可以看做用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点______(当φ＞0时)或________(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标________原来的1ω倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标________原来的A倍(横坐标不变)而得到．答案：向左向右变为变为5．y＝A sin(ωx＋φ)的周期是________．答案：2π|ω|6．在y＝A sin(ωx＋φ)中________、________决定“形变”，________决定“位变”，________影响值域，________影响周期，________、________、________影响单调性．答案：AωφAωAωφ7．一般地，y＝f(x)的图象沿x轴方向平移________个单位后得到函数y＝f(x＋a)的图象(a≠0)．当________时向左平移，当________时向右平移．答案：|a|a＞0a＜08．y＝f(x)的图象沿y轴方向平移________个单位长度后得到y＝f(x)＋b的图象(b≠0)．当________时向上平移，当________时向下平移．答案：|b|b＞0b＜0y＝Asin(ωx＋φ)的图象的画法1．图象变换法．函数y＝A sin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看做用下面的方法得到：先画出函数y＝sinx 的图象；再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍，这时的曲线就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．2．五点法作图．令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，分别求出相应的x 、y ，得出y ＝A sin(ωx ＋φ)图象上一个周期内的五个特殊点(两个最值点，三个平衡位置的点)，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再由周期性向两端延伸．重点诠释：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换步骤可直观地表示如下：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0)的图象变换的另一种途径：y ＝sin x →sinωx →sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω→y ＝A sin(ωx ＋φ)，即先将y ＝sin x 的图象的横坐标变为原来的1ω倍，再向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平移|φ|ω个单位长度，再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍．基础巩固1．若将某正弦函数的图象向右平移π2个单位长度以后，所得到的图象的函数式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则原来的函数表达式为________．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋34π 2．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象可以看做是把函数y ＝12sin 2x 的图象____________________________________________________．答案：向右平移π6个单位长度3．要得到y ＝sin x 的图象，只需将y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象 ______________________________________________________. 答案：向右平移π6个单位长度4．(2014·浙江卷)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位答案：C5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π的简图是( )答案：A6．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，将f (x )图象向左平移π6个单位后，得到的图象关于坐标原点对称，则φ的值为________． 答案：π67．将函数y ＝cos x 的图象向右平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标变为原来的14倍，所得图象的函数解析式为______________________________________．答案：y ＝14cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π48．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝－512πC ．x ＝π2D ．x ＝π6答案：B9．函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称，则最小正角θ为________． 答案：π1010．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的振幅、周期和初相分别是( ) A ．2，14π，－π4 B ．2，14π，π4C ．2，4π，－π4D ．±2，4π，－π4答案：C11．若函数f (x )＝sin(πx ＋α)的最小正周期是T ，且当x ＝2时有最大值，则T ＝________，α＝________．答案：2 π2能力升级12．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 解析：将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 答案：C13．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则函数的解析式为f (x )＝________．解析：由图象可知：34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3， 解得T ＝π，∴ω＝2.又∵函数图象过点⎝⎛⎭⎫5π12，2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝2. ∴5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z. ∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π3.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π314．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如下图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝________．解析：由图得A ＝2，T ＝8＝2πω，∴ω＝π4. 由2sin ⎝⎛⎭⎫π4×2＋φ＝2，得φ＝0， ∴f (x )＝2sin π4x .∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝2sin π4＋2sin 2π4＋2sin 3π4＋…＋2sin 11π4＝2＋2 2. 答案：2＋2 215．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．解析：函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ωx 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－ωπ3，ωπ4，∴－ωπ3≤－π2或ωπ4≥3π2.∴ω的最小值等于32.答案：3216．直线y ＝a 与曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在x ∈(0，2π)内有四个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．解析：作函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在x ∈(0，2π)内的简图．观察图象即可得答案． 答案：(－2，3)∪(3，2)17．先将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，再作所得图象关于y 轴的对称图形，所得图形的函数解析式为________．解析：向右平移π3个单位长度得y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3，关于y 轴对称只要将关系式中的“x ”换成“－x ”即可，∴y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫－x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －2π3. 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －23π18．若函数f (x )具有性质：①f (x )为偶函数；②对任意x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则函数f (x )的解析式是________(只需写出满足条件的一个解析式即可)．解析：由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知y ＝f (x )关于x ＝π4对称，又∵f (x )为偶函数，∴可写成y ＝cos 4x 或y ＝cos 4x ＋b ，本题属于开放性问题．答案：y ＝cos 4x (答案不唯一)19．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称 解析：利用函数y ＝f (x )的性质，逐个进行判断．由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确． 答案：D20．已知函数f (x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2. (1)求f (x )的最大值和最小值；(2)若不等式f (x )－m <2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1)∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3. 故当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f (x )max ＝3；当2x －π3＝π6，即x ＝π4时，f (x )min ＝2.(2)由题设条件可知f (x )<m ＋2对x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2恒成立，又当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，f (x )max ＝3.所以m ＋2>3，即m >1，故m 的取值范围是(1，＋∞)．21．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的一个周期的图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )与f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求g (x )的解析式； (3)求函数g (x )的单调区间．解析：(1)由图知：A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， 故ω＝2πT ＝π4.∵图象过(－1，0)，∴－π4＋φ＝0.∴φ＝π4.∴所求的函数解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)∵g (x )与f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 设g (x )的图象上任一点坐标(x ，y )，则(x ，y )关于x ＝2的对称点为(4－x ，y )，这个点在f (x )上，∴f (4－x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4（4－x ）＋π4＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫5π4－π4x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)当2k π－π2≤π4x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)即8k －1≤x ≤8k ＋3(k ∈Z)时，函数g (x )单调递增；当2k π＋π2≤π4x－π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)即8k ＋3≤x ≤8k ＋7(k ∈Z)时，函数g (x )单调递减． ∴g (x )的单调增区间为(k ∈Z)，单调减区间为(k ∈Z)．22．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在上的面积，已知函数y ＝sin nx 在⎣⎡⎦⎤0，πn 上的面积为2n(n ∈N *)． (1)求y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积； (2)求y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎡⎦⎤π3，4π3上的面积．解析：(1)令n ＝3，则y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，π3上的面积为23. 又∵y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤π3，2π3上的面积相等， ∴y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积为2×23＝43. (2)由y ＝sin(3x －π)＋1，设3φ＝3x －π， ∴y ＝sin 3φ＋1.又∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴3φ∈．由(1)y ＝sin 3φ在⎣⎡⎦⎤0，π3上的面积为23，y ＝sin 3φ＋1在上的面积为S 1＋S 2＋S 3－S 4＝2×23－23＋S 3＝23＋S 3(S 3为y ＝1与图象围成的大矩形的面积)，∵S 3＝1×⎝⎛⎭⎫4π3－π3＝π，打印版本 高中数学∴y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎡⎦⎤π3，4π3上的面积为π＋23.。
苏教版数学高一 必修4学案 1.3.3.1 函数y=Asin(ωxφ)的图象
1.3.3函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象第1课时函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象1．理解y＝A sin(ωx＋φ)中，A，ω，φ对图象的影响．(重点)2．掌握y＝sin x与y＝A sin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念阅读教材P34有关内容，完成下列问题．设物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝A sin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，其中A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T＝2πω称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝1T＝ω2π称为振动的频率；ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初相．简谐运动y＝14sin⎝⎛⎭⎪⎫π3x－π12的振幅为________，周期为________，频率为________，初相为________．【解析】由简谐运动的相关概念可知，A＝14，T＝2ππ3＝6，f＝1T＝16，初相φ＝－π12.【答案】14616－π12教材整理2图象变换阅读教材P34～P37的有关内容，完成下列问题．1．φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响(相位变换)：y＝sin x图象―――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度y＝sin(x＋φ)图象．2．A对函数y＝A sin x图象的影响(振幅变换)：y＝sin x图象各点纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)得到y＝A sin x图象．3．ω对函数y＝sin ωx的图象的影响(周期变换)：y＝sin x图象各点横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)得到y＝sin ωx图象．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将y＝sin x的图象向右平移π4个单位，得到y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4的图象．()(2)将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到y＝sin12x的图象．()(3)将y＝sin x图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin x的图象．()【解析】(1)×.y＝sin x―――――→向右平移π4个单位y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x－π4.(2)×.y＝sin x―――――→横坐标变为原来的12y＝sin 2x.(3)√.y ＝sin x ―――――→纵坐标变为原来的2倍y ＝2sin x .【答案】 (1)× (2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3的图象并指出它的周期、频率、相位、初相及单调区间．【导学号：06460030】【精彩点拨】 用“五点法”作图―→ 求周期、频率、相位、初相―→求单调区间 【自主解答】 “五点法”作图． (1)列表如下：x π3 56π 43π 116π 73π x －π3 0 π2 π 32π 2π y35313(2)描点．(3)作图，如图所示：周期为T ＝2π，频率为f ＝1T ＝12π，相位为x －π3，初相为－π3，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋116π，k ∈Z ，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋56π，k ∈Z .1．用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，32π，2π，然后解出自变量x 的对应值，作出一周期内的图象．2．若在一个定区间内作图象，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的最值点、零点．即“五点法”演变成了“4＋2”作图．[再练一题]1．画出f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6在长度为一个周期的闭区间上的简图．【解】 列表：4x ＋π6 0 π2 π 3π2 2π x －π24 π12 5π24 π3 11π24 f (x )3－3图象如图所示：[探究共研型]三角函数的图象变换探究1 将函数y ＝sin x 的图象经过怎样变换，可以得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象？【提示】 先把函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin x ＋π3的图象；再把曲线上各点的横坐标变为原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的3倍，就得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．探究2 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π2个单位，可以得到哪个函数的图象？【提示】 y ＝sin 2xy ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x .要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________．①向左平移π3个单位；②向右平移π3个单位； ③向左平移π6个单位；④向右平移π6个单位．【精彩点拨】 利用平移变换求解，注意平移只是“单纯的变量x 加减．” 【自主解答】 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6， ∴只需将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位便可得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．【答案】 ③已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：(1)将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin (ωx ＋φ)，即A ，ω及名称相同的结构.(2)找到ωx →ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.(3)明确平移的方向.[再练一题]2．把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式．【解】 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝3cos x ，∴f (x )＝3cos x .[构建·体系]1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T ＝________，初相φ＝________.【解析】 由题意可知f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝12， 又|φ|＜π2，φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，∴T ＝2ππ3＝6，φ＝π6.【答案】 6 π62．把函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位得到一个函数图象，则该函数的解析式是________．【解析】 y ＝sin x y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .【答案】 y ＝cos x3．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．【解析】 将函数图象上所有点向右平移π10个单位，得y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10，再将各点横坐标伸长到原来的2倍，用12x 代替y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10中的x ，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π10.【答案】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π104．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位，所得函数的解析式为________．【解析】 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x . 【答案】 y ＝cos 2x 5．已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.(1)用“五点法”画函数的图象；(2)说出此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的？ (3)求此函数的周期、振幅、初相；(4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间．【导学号：06460031】【解】 (1)列表：12x －π4 0 π2 π 3π2 2π x π2 3π2 5π2 7π2 9π2 y3－3图象，如图所示，再将这部分图象左右平移4k π(k ∈Z )个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象．(2)法一：①把y ＝sin x 图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象； ②把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象；③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin 12x －π4的图象．法二：①把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象；②把y ＝sin 12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象； ③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin 12x －π4的图象．(3)周期T ＝2πω＝2π12＝4π，振幅A ＝3，初相是－π4.(4)令12x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 解得x ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，即函数的对称轴是直线x ＝3π2＋2k π，k ∈Z . 令12x －π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即函数的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，0，k ∈Z .令－π2＋2k π≤12x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π2＋4k π≤x ≤3π2＋4k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋4k π，3π2＋4k π(k ∈Z )．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．【解析】 y ＝cos x ―――――――――→横坐标变为原来的2倍y ＝cos 12x .【答案】 122．将y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为________．【解析】 y ＝cos 2x →y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3.【答案】 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π33．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3向右平移________个单位长度得到y ＝sin x 的图象．【解析】 y ＝sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象变换为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图象应向右平移π6个单位．【答案】 π64．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．【解析】 y ＝sin 2xy ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ―――→向上平移1个单位y ＝cos 2x ＋1.【答案】 y ＝cos 2x ＋1 5．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)． 【解析】 由图象平移变换可知①③正确． 【答案】 ①③6．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，则ω＝________.【解析】 周期T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴2πω＝π，ω＝2.【答案】 27．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是________．【解析】 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6化为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，相位x ＋5π6，初相5π6.【答案】 x ＋5π6，5π68．(2016·南京高一检测)设ω>0，函数y ＝sin ωx ＋π3＋2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为________．【解析】 由题意知4π3是函数周期的整数倍，又ω>0， ∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )， ∴ω的最小值为32. 【答案】 32 二、解答题9．用“五点法”画函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的图象.【导学号：06460032】【解】 ①列表：2x ＋π3 0 π2 π 3π2 2π x －π6 π12 π3 7π12 5π6 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π33－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0. ③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的简图，如图所示．10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x (x ∈R )．(1)求f (x )的单调减区间．(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可) 【解】 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin2x －π3的单调递增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－π12≤x ≤k π＋512π(k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )．(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12.∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度即可．[能力提升]1．将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象，则f (x )＝________.【解析】 将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象向左平移π3个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π4＝2sin4x ＋13π12的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1的图象，即f (x )＝2sin4x ＋13π12－1.【答案】 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－12．某同学用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内简图时，列表如下：则A ＝【解析】 由表格得A ＝2，34π－π12＝2πω， ∴ω＝3，∴ωx ＋φ＝3x ＋φ.当x ＝π12时，3x ＋φ＝π4＋φ＝0，∴φ＝－π4. 【答案】 2 3 －π43．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象上的所有点的________．①横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度； ②横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度； ③横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度； ④横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度． 【解析】 y ＝2cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2.法一：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin 2(x ＋π8)y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2――――→横坐标缩短为原来的12y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. 法二：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4―――――→横坐标缩短为原来的12y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2.【答案】 ②4．已知f (x )＝2sin 2x ，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．【解】 f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.g (x )＝0⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。
苏教版数学高一-必修4学案 1.3.3 函数y=Asin(ωxφ)的图象(二)
1.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二)1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式．由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象？ 答 y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象一般有两个途径： 途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下：要点一 “五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的简图，并指出该函数的单调区间． 解 (1)列表如下：(2)描点、连线，如图由图象知，在一个周期内，函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减，函数在⎣⎡⎦⎤－512π，π12上单调递增．又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )；单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．规律方法 用“五点法”画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先作变量代换，令X ＝ωx ＋φ，再用方程思想由X 取0，π2，π，32π，2π来确定对应的x 值，最后根据x ，y 的值描点、连线画出函数的图象．跟踪演练1 作出函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图象． 解 列表：描点画图(如图所示)：要点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．解 方法一 (逐一定参法)由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2，∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上，且为第一个特值点， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法二 (待定系数法)由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法三 (图象变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 规律方法 给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法：(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．跟踪演练2 如图，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析式．解 由图象知A ＝5.由T 2＝5π2－π＝3π2，得T ＝3π， ∴ω＝2πT ＝23.∴y ＝5sin(23x ＋φ)．下面用两种方法求φ： 方法一 (单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上，∴2π3＋φ∈hslx3y3h π2＋2k π，32π＋2k π0，πk π－π6，k π＋π3hslx3y3h(k ∈Z )． (3)∵5sin(2x －π6)≤0，∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．三、探究与创新13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． 解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2.由图象关于M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称可知， sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数， ∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2.综上，φ＝π2，ω＝23或2.。
苏教版数学高一苏教版必修4课前引导1.3.3函数y=Asin(ωxφ)的图象
1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
课前导引
问题导入
下图表示电流I 与时间t 的函数关系式I=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.
（1）根据图象写出I=Asin （ωx+φ）的解析式. （2）为了使I=Asin （ωx+φ）中t 在任意一段
s 1001的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
思路分析：（1）由图可知A=300，设t 1=3001-
,t 3=1501. ∵T=2(t 3-t 1)=2(
1501+3001)=501, ∴ω=T
π2=100π. 由ωt 1+φ=0
知φ=-ωt 1=3
π. ∴I=300sin(100πt+
3
π). (2)问题等价于100
12≤T , 即1001≤ωπ,也即ω≥100 π,故最小正整数为ω=315. 函数y=Asin(ωx+φ)在日常生和工农业生产中有广泛应用，这就是这节课要学习的主要内容. 知识预览
1.用五点作图法画函数y=Asin(ωx+φ)的简图，其函数图象一个周期上的五个关键点是最低点，零点，最高点.
2.函数y=sinx 的图象经变换得y=Asin(ωx+φ)图象的步骤与方法.
3.当函数y=Asin(ωx+φ)（A ＞0,ω＞0）x ∈［0,+∞)表示一个振动量时，Ａ称为振幅，T=ωπ2叫做振动的周期，f=
π
ω21=T 叫做振动的频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相.。
江苏省常熟市中学高中数学必修四：1.3.3函数的图象教案
苏教版一般高中课程标准实验教科书数学必修4§函数y Asin(x) 的图象（第一课时）【教课目的】知识目标：1. 让学生会用“五点法”画出函数y sin( x) 、y Asin x、 y sin x 的简图；2. 掌握参数A、、对函数y Asin(x) 图象的影响，浸透分而治之、各个击破的策略 .过程与方法：1.经过学生自己着手绘图象，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；经过在同一个坐标平面内对照有关的几个函数图象，发现规律，总结提练；2. 经历函数y sin x 分别到 y sin( x) 、 y A sin x 、 y sin x 的图象变换规律的研究过程，领会由简单到复杂、由特别到一般的数学思想以及由感性上涨到理性的思想过程 .感情、态度与价值观：1.经过本节的学习，让学生认识动与静的辩证关系，学会运用运动变化的看法认识事物；2. 经过学生的亲自实践，引起学生学习兴趣，激发学生剖析、研究的学习态度.教课要点：掌握参数 A, ,对函数y Asin( x) 图象的三种影响.教课难点：图象变换与函数分析式变换的内在联系的认识.【学法与教课器具】1.学法：自主研究、察看发现、合作沟通、归纳总结 .2.学法指导：主要让学生着手实践，课上尽可能多地让他们绘图，教师不过加以点拨；能够从几个详细的、简单的例子开始，在适合的时候加以推行；先分解各个小知识点，再综合在一同，上涨更高一层 . 以问题为载体，经过“作图 -- 察看--比较 -- 猜想 -- 证明”的方式表现，并体验研究、发现和创建的乐趣．3.教法：开放式研究、启迪式指引、互动式议论 .4.教课器具：多媒体【教课过程】一、提出问题，引入课题师：同学们，前一阶段我们学习了正弦函数y sin x 的图象和性质，并且也学习了用“五点法”画一些由正弦函数生成的函数的图象. 此刻大家回首一下，你能写出一些由正弦函数y sin x 生成的函数吗？生：y sin(x、 y sin(x)、y sin 2x、y 2 sin x等.34( 学生各抒己见）师：我们可否给他们一个一致的一般形式呢？学生试试给出一般形式，参数可能不是A、、.师：习惯上，我们用 A、、来表示一般形式，即 y A sin( x) .下边我们就来研究函数 y A sin(x) .师：这是一个相对比较复杂的函数，我们能够通过什么方法来研究函数y A sin( x) 的性质呢？生：绘图 .师：很好！我们对这个函数的研究，就从它的图象下手. 其实头几日我们用“五点法”也画了一些函数y Asin( x) 的图象，你有没有发现它们的图象和谁的图象近似呢？生：正弦函数 y sin x .师：那么，这个函数的图象和y sin x 图象究竟有什么关系呢？这就是本节课我们将要研究的问题 . （板书课题§函数y Asin( x) 的图象（第一课时））二、剖析问题，规划研究问题1：我们来察看这个函数的表达式，你以为哪些要素在影响y A sin( x ) 的图象呢？生：三个参数 A、、.问题 2：三个参数都在限制函数的图象，你打算如何研究参数A、、对函数y A sin( x) 图象的影响呢？生：三个参数分开研究 .师：想法很好，我们能够分而治之，逐一击破 . 当我们遇到一个复杂的问题时，伟大的数学家华罗庚说：“要擅长‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个窍门！”这里的“分而治之、逐一击破” 就是“退”的方法 . 比方我们先研究参数，那么 A 和的值怎么办理呢？生：能够令 A 1, 1.师：很好，我们能够再“退”.关于此外两个量研究次序能够让学生来定. 教师板书：y sin x y sin( x)y sin x y Asin xy sin x y sin x下边请学生选用适合的参数，依据次序来研究三组函数图象间的关系.三、研探新知，怀疑辩论，排难解惑，发展思想合作研究 1研究对函数 y sin( x) 的影响（以y sin( x)、y sin( x) 为例）34在同一坐标系中画出以下两个函数 y sin( x) 、 y sin( x) ， x R 一34个周期内的简图 .学生用“五点法”画出两个函数的图象.步骤： 1. 列表x032322x275 36363sin( x)01010 3x032422x3579 44444sin( x)0101042.描点3.连线（几何画板作图）师：察看一下这两个函数的图象，它们的形状和地点之间有什么关系呢？生：形状同样，地点发生了改变，函数y sin( x) 的图象能够由函数y sin x3向左平移个单位而获得 .3师：你是怎么察看出来的呢？生：我看的是两个特别点（ -，0）和（0,0）.3师：这两个坐标之间有什么关系？生：横坐标间相差，纵坐标相等 .3师：方才我们察看的是特别点，下边我们来看看随意对应点之间能否也有这样的关系 .（几何画板考证）我们发现两个对应点之间的间距恒等于. 下边能够来探3寻一下列图象变换的实质，假如设函数y sin x 横坐标为t 的话，那么函数y sin( x) 图象上对应的横坐标就是t -，此时它们的纵坐标相等.33图像是点的会合，所以观察两个图象间的关系就是观察对应点之间的关系在函数 y sin( x) 图象上的横坐标为 t -的点的纵坐标，与函数 y sin x 上横33坐标为 t 的点的纵坐标相等 . 所以，函数y sin( x) 的图象能够看做是将函数3y sin x 的图象上全部点向左平移个单位长度而获得的. 推行：在函数3y sin( x) 图象上的横坐标为t -的点的纵坐标，与函数 y sin x 上横坐标为t 的点的纵坐标相等 . 所以，一般地，函数y sin( x) 的图象能够看做是将函数y sin x 的图象上全部点向左（当0 时）或向右（当0 时）平移个单位长度而获得的板书： y图象向左（0）或向右（0）平移个单位y sin( x) sin x师：我们经过对参数选用了一些特别值，总结出了一般规律，这就是数学中常用的“特别到一般”的思想方法. 接下去研究参数 A ，也能够采纳此方法 .合作研究 2研究 A 对函数 y Asin x 的影响（以 y2sin x、y 1为例）sin x21在同一坐标系中画出函数y sin x ，y2sin x ，sin x 一个周期内简图.y23x0222sin x010102sin x020201sin x01010222（几何画板作图）师：察看一下这两个函数的图象，它们的形状和地点之间有什么关系呢？生：地点同样，形状发生了改变，函数 y 2 sin x 的图象能够由函数y sin x 的图象纵向伸长了 2 倍而获得的 .师：你是怎么察看出来的呢？生：我看的是两个特别点（，2）和（,1）.22师：这两个坐标之间有什么关系？生：横坐标相等，y 2 sin x 的纵坐标是 y sin x 图象上对应纵坐标的 2 倍.师：依据我们方才发现的坐标之间的关系，你可否用规范的语句来总结出函数y 2sin x 和 y sin x 图象间的关系呢?生： y 2sin x 的图象能够看做由函数y sin x 的图象纵坐标变成本来的 2 倍（横坐标不变）获得的师：你的结论必定正确吗，可否也从随意对应点之间的坐标来说明呢？生：（类比研究 1）在同一个横坐标 t 处，y2sin x 的纵坐标是 y sin x 纵坐标的2 倍，所以y 2sin x的图象能够看做由函数y sin x 的图象纵坐标变成本来的2倍（横坐标不变）获得的 . 即在同一个横坐标 t 处，y Asin x 的纵坐标是 y sin x 纵坐标的 A 倍. 所以，一般地，函数y Asin x ( A0 且 A 1 ) 的图象，能够看做是将函数 y sin x 的图象上全部点的纵坐标变成本来的 A 倍（横坐标不变）而得到的 .板书： y sin x纵坐标变成本来的A倍y Asin x横坐标不变合作研究 3研究对函数 y sin x 的影响（以 y sin 2x 、 y sin1x 为例）21在同一坐标系中画出函数 y sin x ， y sin 2x ， y sin x 一个周期内的简2图2x0232 1 x0232 222x03x0234 424sin 2x01010sin 1x01010 2（几何画板作图）师：察看一下这两个函数的图象，它们的形状之间有什么关系呢？生：形状发生了改变，函数y sin 2x 的图象横向缩短了.师：你是怎么察看出来的呢？生：我看的是两个特别点（，0）和.（2,0）师：这两个坐标之间有什么关系？生：纵坐标相等， y sin 2x 的横坐标是 y sin x 图象上对应横坐标的1倍.2师：依据我们方才发现的坐标之间的关系，类比研究2，你可否用规范的语句来总结出函数 y sin 2x 和 y sin x 图象间的关系呢?生：的图象能够看做由函数y sin x 的图象 , 横坐标变成本来的1倍（纵y sin 2x2坐标不变）获得的师：你的结论必定正确吗，可否也从随意点之间的坐标来说明呢？生：（类比研究 2）在同一个纵坐标 sin t 处，y sin 2x 的横坐标是 y sin x 横坐标的1倍，所以 y sin 2x 的图象能够看做由函数 y sin x 的图象横坐标变成本来2的1倍（纵坐标不变）获得的 . 即在同一个纵坐标 sin t 处，y sin x 的横坐标是21倍. 所以，一般地，函数yy sin x 横坐标的sin x (0 且1) 的图象，能够看做是将函数 y sin x 的图象上全部点的横坐标变成本来的1倍（纵坐标不变）而获得的 .板书： y sin x 横坐标变成本来的1倍sin xy纵坐标不变师：方才我们研究了一个参数的变化对函数y Asin( x) 图象的影响，如有两个或三个参数，又会有什么影响呢？下边我们先来看看含有两个参数的函数.以函数 y sin 2x 和 y sin(2x) 为例，大家来谈谈它们图象间的关系.3师：我们能够经过什么方法来找寻它们图象间的关系呢?其实能够借鉴方才的探究经验，经过作图 -- 察看 -- 比较 -- 猜想 -- 证明这个过程方法来操作.合作研究 4研究函数 y sin x 与函数 y sin( x) 图象间的关系.2( x)032622在同一坐标系中画出函数y sin 2 x x521171231266与 y sin(2x) 一个周期内的简图.sin 2( x) 000 31162x032 22x03 424sin 2x01010师：为何我们平移了个单位，而不是个单位呢？63教师在学生回答的基础上作增补说明：在函数y sin(2x -) 图象上横坐标3为 t -的点的纵坐标，与函数y sin 2x 上横坐标为t 的点的纵坐标相等.所以，6函数y sin(2 x -) 的图象能够看做是将函数y sin 2x 的图象上全部点向右平移3个单位而获得的. 一般的，在函数y sin( x) 图象上的横坐标为t -的点的纵坐标，与函数y sin( x)(y sin0,x 上横坐标为t的点的纵坐标相等0) 的图象，能够看做是将函数y. 所以，一般地，函数sin x 的图象上全部的点向左（当0 时）或向右（当0 时）平移个单位长度而获得的.图像向左 (0)或向右（0) 平移个单位)板书： y sin x y sin( x ) sin ( x四、讲堂小结：请同学们谈谈本堂课的收获（略）.教师总结：一、知识：二、过程：作图 -- 察看 -- 比较 -- 猜想 -- 证明（感性到理性）三、思想：特别到一般，数形联合五、部署作业：课本 P39第1、2题.P40第3、4题.【板书设计】§函数y A sin( x) 的图象（第一课时）三种变换：1．y sin x（t, sin t ) 2．y sin x 图象向左（0）或向右（0）平移个单位sin( x)y（t - ,sin t)纵坐标变成为本来的A倍，横坐标不变y Asin x（ t, sin t )（ t , Asin t)横坐标变成本来的1倍，纵坐标不变y sin x3．y sin x（ t, sin t )（t,sin t)图像向左 (0)或向右（0) 平移个单位sin( x )提升： y sin x y（ t, sin t )（ t -,sin t )【设计理念】本节课依据“诱思研究”教课模式，表现教师是主导，学生是主体的教课思想 . 教师在教课中贯彻“特别到一般，感性到理性”的思想，经过层层设问，引诱学生思虑，解决问题来推动教课进度 . 教师“诱”在要点点上，在精不用多，学生“思”在疑惑点处 . 整个教课过程中，让学生着手探，动脑思，动口归纳表达，经历函数y sin x 到 y sin( x)、 y Asin x、 y sin x 的图象变换规律的研究过程，在过程中培育学生剖析、抽象、归纳的能力，同时也培育学生察看问题和研究问题的能力 .江苏省常熟市中学高中数学必修四：1.3.3函数的图象教课设计。
高中数学 1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象导学案 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学1.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象导学案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学1.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象导学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学1.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象导学案苏教版必修4的全部内容。
1.3。
3 函数y ＝Asin （ωx＋φ)的图象函数图象变化的影响.1．有关概念设物体做简谐运动时，位移s 与时间t 的关系为s ＝A sin （ωt ＋φ)（A ＞0，ω＞0）．其中A 是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T ＝错误!称为这个振动的周期．单位时间内往复振动的次数f ＝错误!＝错误!称为振动的频率；ωt ＋φ称为相位，t ＝0时的相位φ称为初相．预习交流1函数y ＝3sin 错误!的振幅、周期、初相分别为__________． 提示：3，4π，错误! 2．图象变换（1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ）的图象的影响（相位变换) y ＝sin x 图象错误!y ＝sin （x ＋φ）图象．(2）ω对函数y ＝sin ωx 的图象的影响（周期变换)y ＝sin x 图象横坐标变为原来的1ω倍,(纵坐标不变）y ＝sin ωx 图象．(3)A 对函数y ＝A sin x 图象的影响(振幅变换) y ＝sin x 图象错误!y ＝A sin x 图象．(4)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可以由y ＝sin x 的图象经下列变换得到：y ＝sin x 错误!y ＝sin(x ＋φ)错误!y ＝sin(ωx ＋φ)错误!y ＝A sin ω（x ＋φ）． 预习交流2怎样把y ＝sin(x ＋φ）的图象变换成y ＝sin x 的图象？提示：把y ＝sin(x ＋φ)的图象向左(φ＜0)或向右（φ＞0）平移｜φ｜个单位长度便可得到y ＝sin x 的图象．预习交流3将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移错误!个单位长度能得到函数y ＝sin 错误!的图象吗？为什么?提示：不能．因为把y ＝sin 2x 图象向右平移π3个单位长度，得y ＝sin2错误!＝sin 错误!的图象，而不是函数y ＝sin 错误!的图象．应向右平移错误!个单位长度,才能得到y ＝sin2错误!＝sin 错误!的图象．一、运用图象变换画函数的图象写出函数y＝2sin错误!＋1的振幅、周期和初相，说明该函数的图象可以由正弦曲线经过怎样的变换得到，并画图．思路分析：由周期知“横向缩短",由振幅知“纵向伸长"，并且需要向左、向上移动．解：函数y＝2sin错误!＋1的振幅为2，周期T＝错误!，初相为错误!.y＝sin xπ4−−−−−−→向左平移个单位y＝sin错误!13−−−−−−−−−−→横坐标变为原来的倍，纵坐标不变y＝sin错误!错误!y＝2sin错误!错误!y＝2sin错误!＋1。
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1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)
【教学目标】
1．了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义，会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图；
2．会画y=Asinx ，y=sin(x+φ)和y=sinωx 的简图，并理解它们与y=sinx 的图象的关系；
3．弄清A 、ω、φ对函数图象变化的影响。
【教学重点】
函数y=Asin(ωx+φ)的图象以及参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响。
【教学难点】
函数的图象与正弦曲线的关系。
【过程方法】
在学习过程中，由简单到复杂，通过对图象的观察、思考去探究和发现函数的规律，培养学习的热情和兴趣，养成审慎的思维习惯，提高分析问题和解决问题的能力。
【教学过程】
一、讲授新课
简谐振动
设物体做简谐运动时，位移s 和时间t 的关系为s=Asin(ωx+φ)，（A>0，ω>0）， 其中 A 是物体振动时离开平衡位置时的最大距离，称为振动的振幅， 往复振动一次所需的时间ω
π=2T 称为这个振动的周期； 单位时间内往复振动的次数π
ω==21T f 称为振动频率； ϕ+ωt 称为相位，0=t 时的相位ϕ称为初相。
练习：函数)3
21sin(32π+=x y 的振幅是_________;周期是_________;初相是________. 在物理和工程技术的许多实际问题中，经常会遇到形如
)0,0,,A )(sin(>>+=ωϕωϕωA x A y 都是常数，且其中的函数。
函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像与x y sin =的图像有什么关系呢？
二、例题选讲
例1、作函数)1sin(+=x y 的图象，并与x y sin =的图象进行比较。
问：函数)1sin(-=x y 的图象与x y sin =的图象有何关系？
【归纳】一般的，函数y=sin(x+φ)（φ≠0）的图象，可以看作是把y=sinx 的图象上所有点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位长度而得到的。
由y=sinx 的图象变换为y=sin(x+φ)
的图象，使相位由x 变为x+φ，这种变换称为相位变换。
它实质上是一种左右平移的变换。
例2、作函数x y sin 3=的图象，并与x y sin =的图象进行比较。
问：函数x y sin 3
1=
的图象与x y sin =的图象有何关系？
【归纳】一般的，函数y=Asin x （A>0且A≠1）的图象，可以看是将函数y=sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍（横坐标不变）而得到的，这种变换称为振幅变换，实质上是纵向的伸缩变换。
例3、作函数x y 2sin =的图象，并与x y sin =的图象进行比较。
问：函数x y 21sin
=的图象与x y sin =的图象有何关系？
【归纳】函数y=sinωx (ω>0且ω≠1)的图象，可以看作是把y=sinx 的图象上所有点的横坐标变为原来的
ω1倍（纵坐标不变）而得到的，由y=sinx 的图象变换为y=sinωx 的图象，其周期由2π变为ωπ2，这种变换叫做周期变换，它实际上是横向的伸缩变换。
例4、作函数)12sin(+=x y 图像，并与x y 2sin =的图像进行比较。
问：函数)12sin(-=x y 的图象与x y 2sin =的图象有何关系？
【归纳】一般的，函数)0,0)(sin(≠>+=ϕωϕωx A y 的图像，可以看做是将函数x y ωsin =的图像上所有的点向左（当)0>ϕ或向右（当)0<ϕ平移||
ωϕ个单位长度而得到的。
例5、已知函数)32sin(3π
+=x y
（1）用五点法作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（2）说明)32sin(3π+
=x y 的图像可由x y sin =的图像经过怎样的变换而得到。
三、课堂小结：
1．描点法是作函数图象的基本方法，要掌握“五点法”作三角函数的图象的方法；
2．掌握函数y=Asin x （A>0且A≠1）、y=sinωx (ω>0且ω≠1)和y=sin(x+φ)（φ≠0）的图象与y=sinx 的图象的关系。
四、作业：
《数学之友》T1.11
课外练习：
1、已知函数x y sin 3=的图像为C 。
（1）为了得到函数)5sin(3π
-=x y 的图像，只需把C 上的所有点___________________;
（2）为了得到函数)52sin(3π+
=x y 的图像，只需把C 上的所有点___________________. （3）为了得到函数)5sin(4π+=x y 的图像，只需把C 上的所有点___________________.
2、函数)3cos()(ϕ+=x x f 是奇函数，则ϕ的值是______________.
3、函数)4tan()(π+
=x x f 的单调递增区间是_____________________. 4、函数)63sin(π
+=x y 的对称中心是_________________.
5、先将函数)(x f y =的图像向右平移8
π个单位，再把图像上每一点的横坐标扩大为原来的两倍，所得图像与函数)6
sin(3π+=x y 的图像相同，求)(x f 的解析式并画出一个周期内的图像.。