把一个正六边形平均分成6等份且形状相同动画演示

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七巧板六边形拼法

七巧板六边形拼法
七巧板是一种拼图玩具，由七个形状各异的多边形块组成。

其中包括四个等边三角形、两个小正方形和一个大正方形。

我们可以利用这些多边形块来拼出各种形状的图案，包括六边形。

在拼六边形时，我们可以使用两个等边三角形和三个小正方形组合而成。

具体步骤如下：
将一个等边三角形放置在工作面上，使其一个顶点指向上方。

将另一个等边三角形的一个边的一个顶点对齐到前一个三角形中的一个顶点。

将一个小正方形的一个边对齐到前两个三角形的另外两个边上的两个顶点。

将另一个小正方形的一个边对齐到前三个图形的最后一个边上的两个顶点。

最后，将第三个小正方形放置在前四个图形的中间，以完成六边形的拼图。

这样，我们就成功地用七巧板拼出了一个六边形。

拼六边形的方法还有很多种，可以根据具体需求和想要的形状进行不同的组合。

第十讲动手剪拼图形

第十讲动手剪拼图形第十讲动手剪拼图形一、剪剪拼拼图形的分割与剪拼都需要一定的技巧，下面举例说明某些常用技巧的来路及依据。

例1 你能想出几种方法，将任意一个三角形分成面积相等的六个三角形？分析：把一个三角形分成面积相等的六个三角形，根据等底等高的三角形面积相等这一结论。

只要把原三角形分成六个等底等高的小三角形即可。

为此，只要把三角形的任一边六等分，再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来，问题就解决了。

另外，6=1×6=3×2=2×3。

如果我们把分得的每一个小三角形的面积看成“1”，那么1×6就可看成把原三角形的面积直接六等分，而3×2可看成先把原三角形的面积二等分，再把其中的每一份分成面积相等的三个小三角形。

同理，2×3可看成先把原三角形分成三个面积相等的三角形，再把其中的每一个三角形又分成两个面积相等的小三角形。

除了上面的几种分法外，还可以这样想，因为6=1+5=2+4=3+3。

所以对余下的三角形分成五个面积相等的小三角形。

对6=2+4而言，可先从原三角形分出的三角形和剩下的三角形分别分成2个和4个面积相等的小三角形，对6=3+3可采用与上面类似的方法进行分割。

解法1 将三角形的任一边六等分，再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来，见图10-1。

解法2 以面积而言，先将原三角形二等分再三等分，或先将原三角形三等分再二等分。

分法见图10-2。

解法3 先将原三角形分成两个三角形，使它们面积比为1∶5或2∶4或3∶3。

再将面积为“5”、“2”、“4”、“3”的那个三角形分成5个或2个或4个或3个面积相等的小三角形，分法见图10-3。

图10-1至图10-3中，在同一三角形中，标有相同符号的线段彼此相等。

还有别的分法，请读者自己给出。

例2把图10-4两个图形中的某一个，分成三块，最后都拼在一起，正好拼成一个正方形，应怎么分与拼？分析与解：不管将图10-4中的哪一个图形如何分成三块，最后拼得的正方形面积总等于图10-4中两个图形面积之和。

等形分割

等形分割
例1 如图1，你能把这个正六边形分成6个全等的三角形吗?能分成6个
全等的四边形吗?
图1 图2 图3
解析：根据全等图形的定义和正六边形的6条边相等、6个角相等的条件进行分割．如图2所示，分成6个全等的三角形；如图3所示，分成6个全等的四边形.
例2相传，北宋大文学家苏轼在凤翔作官时，为官清正，秉公执法，深得百姓拥戴．一天，有兄弟四人前来告状．苏轼坐在公案前，展开状纸一看：“小民杨大毛，家住城南寨．先父临终时，留下两顷田．只因分不均，兄弟反目．青天大老爷，请把理来断．”
苏轼接过地契，心中暗暗盘算，杨家田地为工字形（如图4），如何分配，才让四兄弟满意呢？沉思片刻，计上心来，遂唤一名差役耳语道：“只需如此如此……”差役遵嘱叫上四兄弟当场丈量，不一会儿，只见四兄弟笑容满面地跑过来，叩头不迭道：“多谢恩公明断！”
你知道苏轼是怎样使分开后的四块田地形状相同，面积相等的吗？
图4 图5
解析：由于杨家田地为工字形，他的绝妙的想法是将原图形分割成32个小正方形，32÷4＝8，即每个分割的图形占8个小正方形，具体操作如图5所示.分开后的四块田地形状相同，面积相等.
苏轼不仅是一个文学家，而且是一个数学天才.。

小学五年级数学思维专题训练—等积变形(含答案解析)

小学五年级数学思维专题训练—等积变形例1.长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AD、AH、DH、BC的中点，三角形EFG的面积是平方厘米例 2.梯形ABCD中，AE与DC平行，S ABE∆=15，S BCF∆= .例3。

如下图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD= 15.四边EFGO 的面积为。

例4.如下图所示，在平行四边形ABCD中，已知三角形ABP.BPC的面积分别是73、100，求三角形BPD的面积．例5.如下图所示，BD是平行四边形ABCD的对角线，EF平行于BD，如果三角形ABE的面积是12平方厘米，那么三角形AFD的面积是平方厘米。

例6.如下图所示，已知AE=EC，CD=DB，S ABC =60，求四边形FDCE的面积．例7.如右图所示，正方形ABC D和正方形ECGF并排放置，BF与CD相交于点H,已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．例8.如下图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，EG与FH交于点O,S1、S2、S3及S4分别表示4个小四边形的面积．试比较S1+S3与S2+S4的大小．例9.将长15厘米、宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，如右图所示，则阴影部分的面积是平方厘米．例10.右图所示ABCD 是个直角梯形（∠DAB=∠ABC= 900），以， AD 为一边向外作长方形ADEF ，其面积为6.36平方厘米，连接BE 交AD 于P ，再连接PC ．则图中阴影部分的面积是平方厘米。

A.6.36B.3.18C.2.12D.1.59例11.如下图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的。

A ．21B ．32C ．52D ．125例12.如下图所示，矩形ABCD 的面积是24平方厘米，三角形ADM 与三角形BCN 的面积之和是7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是平方厘米．例13.一个矩形分成4个不同的三角形（如下图），绿色三角形面积占矩形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？例14.如下图所示，正方形每条边上的三个点（端点除外）都是这条边的四等分点，则阴影部分的面积是正方形面积的。

六角花拼接方法

六角花拼接方法
六角花拼接方法是一种以六边形为基本形状的花拼接方法。

以下是一种常见的六角花拼接方法：
1. 准备六个相同大小的六边形。

2. 将其中一个六边形放置在工作台上，作为基础形状。

3. 将另外一个六边形放置在基础形状的旁边，并与基础形状的一个边相邻。

4. 重复步骤3，将剩下的四个六边形分别与基础形状的相邻边相连。

5. 最后，将第一个和最后一个六边形相连，形成一个闭环。

这样就完成了一个六角花的拼接。

可以使用相同的方法再次拼接其他六边形，以创建更大的花瓣或者整个花朵。

可以尝试不同颜色或者材质的六边形来增加花朵的视觉效果。

正六边形分解方法

正六边形分解方法正六边形是一种有六条边和六个角的多边形。

下面列出了50种关于正六边形的分解方法，并展开详细描述：1. 使用圆规和尺子分解正六边形：使用圆规画出正六边形的外接圆，然后使用尺子测量圆的半径和六边形的对边长度，根据这些尺寸来绘制正六边形。

2. 利用角度分解正六边形：首先确定正六边形的中心，然后利用角度的知识，将六个角平均分成6个相等的部分，然后通过连接这些角的顶点，就可以得到正六边形。

3. 利用正方形和三角形进行分解：将正六边形分解成4个相等的正方形和6个相等的等边三角形，然后根据正方形和等边三角形的性质来构造正六边形。

4. 利用菱形分解正六边形：首先将正六边形的对角线连接在一起，这样就构成了4个相等的菱形，然后通过连接菱形的顶点，就可以得到正六边形。

5. 运用平移和旋转分解正六边形：通过平移和旋转操作，将一个正六边形分解成多个相等的部分，然后再将这些部分组合在一起，形成一个完整的正六边形。

6. 利用黄金分割比例分解正六边形：将正六边形分解成多个黄金分割比例的部分，并利用这些部分来构造一个正六边形。

7. 运用三角函数分解正六边形：利用三角函数的知识，将正六边形分解成多个三角形，然后利用这些三角形来构造正六边形。

8. 利用相似三角形分解正六边形：通过相似三角形的性质，将正六边形分解成多个相似的三角形，然后再根据这些相似三角形来构造正六边形。

9. 利用向量分解正六边形：通过向量的知识，将正六边形分解成多个相等的部分，然后利用这些部分来构造正六边形。

10. 利用轴对称分解正六边形：通过轴对称的操作，将正六边形分解成多个对称的部分，然后再将这些部分组合在一起，形成一个完整的正六边形。

11. 利用投影分解正六边形：通过投影的方式，将正六边形投影在一个平面上，然后再将这些投影组合在一起，形成一个完整的正六边形。

12. 利用复数分解正六边形：通过复数的知识，将正六边形分解成多个复数的部分，然后再根据这些复数来构造正六边形。

考点16 正多边行与圆(解析版)

2021年八年级数学《暑假作业�新课程无忧衔接》（苏科版）考点16正多边行与圆【知识点梳理】正多边形的相关概念正多边行的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形正多边形和圆的关系把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心为这个正多边形的中心。

正多边形的半径正多边形的外接圆的半径为这个正多边形的半径。

正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离为这个正多边形的边心距。

中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角为这个正多边形的中心角。

正多边形的性质1.正多边形只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。

它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆【新课程预习练·无忧衔接】一、单选题1．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在①O上任取一点A，连接AO并延长交①O于点B，BO为半径作圆孤分别交①O于C，D两点，DO并延长分交①O 于点E，F；①顺次连接BC，F A，AE，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，交于点G，则下列结论错误的是．A．①AOE的内心与外心都是点G B．①FGA＝①FOAC．点G是线段EF的三等分点D．EF【答案】D【分析】证明①AOE是等边三角形，EF①OA，AD①OE，可判断A；．证明①AGF=①AOF=60°，可判断B；证明FG=2GE，可判断C；证明EF，可判断D．【详解】解：如图，在正六边形AEDBCF中，①AOF=①AOE=①EOD=60°，①OF=OA=OE=OD，①①AOF，①AOE，①EOD都是等边三角形，①AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，①四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，①AD①OE，EF①OA，①①AOE的内心与外心都是点G，故A正确，①①EAF=120°，①EAD=30°，①①F AD=90°，①①AFE=30°，①①AGF=①AOF=60°，故B正确，①①GAE=①GEA=30°，①GA=GE，①FG=2AG，①FG=2GE，①点G是线段EF的三等分点，故C正确，①AF=AE，①F AE=120°，①EF，故D错误，故答案为：D．【点睛】考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形AEOF，四边形AODE都是菱形．2．阅读图中的材料，解答下面的问题：已知O是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计O的面积，则O 的面积约是（）A ．3B ．3.1C ．3.14D ．π【答案】A 【分析】根据圆的面积公式得O 的面积S ，先求得得圆的内接正十二边形的面积S ①ABO ，最后可求解本题【详解】如图，构造ABO ，1OA OB ==，作BC AO ⊥于点C ．①3603012AOB ︒∠==︒，①1122BC OB ==， ①111112224ABO S OA BC =⋅=⨯⨯=△， ①正十二边形的面积为11234⨯=，故选A ．【点睛】考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．3．如图，正方形ABCD 的边长为1，中心为点O ，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ 绕点O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD 内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE 的最小值为（）A ．2B ．12CD ．12【答案】B【分析】当正六边形EFGHIJ 的边长最大时，要使AE 最小，六边形对角线EH 与正方形对角线AC 重合就可解决问题．【详解】解：如图所示，当EH AB =时，正六边形自由旋转且始终在正方形里，此时正六边形的边长最大，再当EH 与正方形对角线AC 重合时，AE 最小；正方形ABCD 的边长为1；AC ∴=1EH ∴=，AE ∴=，则AE 的最小值为AE =．故选：B ．【点睛】考查了正多边形的性质与运动的轨迹问题，解决本题的关键是首先找到正六边形的边长最大时正六边形在正方形内的位置，再旋转正六边形使得AE 最小．4．如图，O 与正五边形ABCDE 的两边,AE CD 相切于,A C 两点，则AOC ∠的度数是（）A ．144︒B ．130︒C ．129︒D ．108︒【答案】A【分析】根据切线的性质，可得①OAE ＝90°，①OCD ＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．【详解】解： ①A E 、CD 切①O 于点A 、C ，①①OAE ＝90°，①OCD ＝90°， ①正五边形ABCDE 的每个内角的度数为：()521801085-⨯︒=︒ ，①①AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，故选：A．【点睛】考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．5．如图，点A，B，C在O上，若BC，AB，AC分别是O内接正三角形．正方形，正n边形的一边，则n=（）A．9B．10C．12D．15【答案】C【分析】分别连接OB、OA、OC，根据正多边形的中心角=360n︒，可分别求得①BOC、①AOB的度数，从而可得①AOC的度数，再根据正多边形的中心角=360n︒，可求得边数n．【详解】分别连接OB、OA、OC，如图所示①BC 是O 内接正三角形的一边 ①①BOC =3601203︒=︒ 同理，可得：①AOB =90°①①AOC =①BOC −①AOB =30°①AC 是O 正n 边形的一边 ①36030n︒=︒ ①n =12故选：C ．【点睛】考查了正多边形与圆，正多边形的中心角=360n︒，掌握这一知识是解决本题的关键．6．如图，点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为O 的八等分点，AD 与BH 的交点为I ．若O 则HI 的长等于（）A ．B 2+C ．2D 【答案】B【分析】如图，连接AB 、OH ，作OM AD ⊥于M ，ON BH ⊥于N ，在IH 上截取一点K ，使得ON NK =，连接OK ．首先证明22.5H KOH ∠=∠=︒，推出OK KN =，在Rt ONH △中，22()4a a +=+求出a 即可解决问题；【详解】解：如图，连接AB 、OH ，作OM AD ⊥于M ，ON BH ⊥于N ，在IH 上截取一点K ，使得ON NK =，连接OK ．点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为O 的八等分点，45A B ∠，22.5H ∠=︒，90AIB ∴∠=︒，90MIN OMI ONI ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形OMIN 是矩形，AD BH =，AD BH ∴=，OM ON ∴=，∴四边形OMIN 是正方形，设OM a =，ON NK =，45OKN ∴∠=︒，OKN H KOH ∠=∠+∠，22.5H KOH ∴∠=∠=︒，OK KN ∴==，在Rt ONH △中，22()4a a +=+1a ，（负根舍去）(22IH a ∴==．故选：B ．【点睛】考查正多边形与圆、解直角三角形、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．7．如图，六边形ABCDEF 是正六边形，点P 是边AF 的中点，PC ，PD 分别与BE 交于点M ，N ，则:PBM PCD S S △△的值为（）．A ．12B ．23C ．14D ．38【答案】D【分析】设正六边形的边长为a ，MN 是①PCD 的中位线，求出①PBM 和①PCD 的面积即可．【详解】解：设正六边形的边长为a ，连接AC 交BE 于H 点，如下图所示：正六边形六边均相等，且每个内角为120°，①①ABC 为30°，30°，120°等腰三角形，①BE ①AC ，且32232aAC AH a ，且13,22a BH a AH ， ①AF∥CD ，P 为AF 上一点， ①21133222PCD ACD S S CD AC a a a ， MN 为①PCD 的中位线，①1122MN CD a ，由正六边形的对称性可知：12222BE BH CD a a a ， ①13()2(2)224BM EN BE MN a a a ， ①2113333224216PBM a S BM AH a a ， ①3323:1683PBM PCD S S ，故选：D ．【点睛】考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．8．如图，点O 为正六边形ABCDEF 对角线FD 上一点，8AFO S =△，2CDO S =△，则ABCDEF S 正六边形的值是（）A ．20B ．30C ．40D ．随点O 位置而变化【答案】B【分析】连接AC 、AD 、CF ，AD 与CF 交于点M ，可知M 是正六边形ABCDEF 的中心，根据矩形的性质求出5AFM S =△，再求出正六边形面积即可．【详解】解：连接AC 、AD 、CF ，AD 与CF 交于点M ，可知M 是正六边形ABCDEF 的中心，①多边形ABCDEF 是正六边形，①AB =BC ，①B =①BAF = 120°，①①BAC =30°，①①F AC =90°，同理，①DCA =①FDC =①DF A =90°，①四边形ACDF 是矩形，1+=102AFO CDO AFDC S S S =△△矩形，154AFM AFDC S S ==△矩形， =6=30AFM ABCDEF S S △正六边形，故选：B ．【点睛】考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解．9．尺规作图是初中数学学习中一个非常重要的内容．小明按以下步骤进行尺规作图：①将半径为r 的O 六等分，依次得到,,,,,A B C D E F 六个分点；①分别以点,A D 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点G ；①连结OG ．则OG 的长是（）A ．12r ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．12r ⎛+ ⎝⎭ C D【答案】C【分析】如图（见解析），先根据六等分点可得AD 是O 的直径，30CAD ∠=︒，再根据圆周角定理、勾股定理可得AC =，从而可得AG DG AC ===，然后根据等腰三角形的三线合一可得1,2OA AD r OG AD ==⊥，最后在Rt AOG 中，利用勾股定理即可得．【详解】解：如图，连接,,,,AD AC CD AG DG ，,,,,,A B C D E F 是O 的六等分点，AD ∴是O 的直径，30CAD ∠=︒，由圆周角定理得：90ACD ∠=︒，在Rt ACD △中，1,2CD AD r AC ====，分别以点,A D 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点G ，AG DG AC ∴===，又点O 是AD 的中点，1,2OA AD r OG AD ∴==⊥（等腰三角形的三线合一），在Rt AOG 中，OG ==，故选：C ．【点睛】考查了圆周角定理、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 10．如图所示，ABC 为O 的内接三角形，2,30AB C =∠=︒，则O 的内接正方形的面积（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C【分析】先连接BO ，并延长交①O 于点D ，再连接AD ，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得①ADB=30°，而BD 是直径，那么易知①ADB 是直角三角形，再利用直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半，那么可求BD ，进而可知半径的长，任意圆内接正方形都是以两条混响垂直的直径作为对角线的四边形，故利用勾股定理可求正方形的边长，从而可求正方形的面积．【详解】解：连接BO ，并延长交①O 于点D ，再连接AD ，如图，①①ACB=30°，①①BDA=30°，①BD 是直径，①①BAD=90°，在Rt①ADB 中，BD=2AB=4，①①O 的半径是2，①①O 的内接正方形是以两条互相垂直的直径为对角线的，①正方形的边长=①S 正方形=8=．故选：C ．【点睛】考查了圆周角定理、含有30角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．11．如图，AB ，AC 分别为O 的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC 恰好是同圆的一个内接正n 边形的一边，则n 的值为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】C 【分析】连接OB ，OC ，OA ，根据圆内接正三角形，正方形可求出AOB ∠，AOC ∠的度数，进而可求BOC∠的度数，利用360BOC n︒∠=，即可求得答案．【详解】如图：连接OB ，OC ，OA ，ABE △为圆内接正三角形3601203AOB ︒∴∠==︒ 四边形ACDF 为圆内接正方形360904AOC ︒∴∠==︒ 1209030BOC AOB AOC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒若以BC 为边的圆内接正n 边形，则有36030BOC n︒∠==︒ 12n ∴=故选：C ．【点睛】考查了圆内接正多边形中心角的求法，熟练掌握圆内接正多边形的中心角等于360n︒（n 为正多边形的边数）是解题关键． 12．如图，正五边形ABCDE 内接于O ，点P 为DE 上一点（点P 与点D ，点E 不重合），连接PC ，PD ，DG PC ⊥，垂足为G ，则PDG ∠等于（）A ．72°B ．54°C ．36°D ．64°【答案】B【分析】根据正五边形ABCDE 内接于O ，可得COD ∠，再根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可得CPD ∠，再根据三角形内角和定理即可得PDG ∠．【详解】解：①正五边形ABCDE 内接于O ， ①360725COD ︒∠==︒ ①CPD ∠与COD ∠所对的弧相同 ①1362CPD COD ∠=∠=︒ ①PDG ∠=180903654︒-︒-︒=︒故选：B ．【点睛】考查了圆内接正多边形的性质及同弧所对的圆周角和圆心角的性质，解题的关键是求出CD 所对的圆心角．二、填空题13．如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a ．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图①两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间：_______．（填①或①）（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是_______．（用含a 的代数式表示）【答案】图①【分析】(1)图①由10个正六边形构成，图①由10个正六边形和4个正三角形构成，分别计算出其面积比较大小即可，(2)要装24支铅笔，要使纸盒底面最小，按图①方式排每个正六边形相邻的空间最小计算出半径即可；【详解】（1）①一个正六边形可以分为6个全等的等边三角形，且边长为2a①小三角形的高=①21=6=622S S a ⨯⨯=正六边形小三角形，图①由10个正六边形构成2210S =⨯= ，图①由10个正六边形和4个正三角形构成22210+4=104S S S =⨯+=正六边形小三角形①22＜①图①更节省空间故答案为：①（2）由（1）可知，每个正六边形相邻空间最小，此时的盒地面半径最小，如图以中点O为圆心，OA长为半径纸盒底面半径最小,过O点作OB①AB，由（1）可知，OB=3⨯=在Rt①AOB中，AB=a，OB=OA=【点睛】考查了平面镶嵌，正多边形的面积，勾股定理，以及圆的知识，解题的关键要读懂题意画出示意图．14．如图，四边形ABCD为O的内接正四边形，AEF为O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为_________．【答案】12【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算①O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到①AOD=90°，①AOF=120°，则①DOF=30°，然后计算36030︒︒即可得到n的值．【详解】解：连接OA、OD、OF，如图，①AD，AF分别为①O的内接正四边形与内接正三角形的一边，①①AOD=3604︒=90°，①AOF=3603︒=120°，①①DOF=①AOF-①AOD=30°，①n=36030︒︒=12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故选：C．【点睛】考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．AB ，连接AD，则AD的长为______15．如图，正六边形ABCDEF中，1【答案】2【分析】如图，连接AC，根据正六边形的性质可得①ABC=①BCD=120°，①ADC=60°，AB=BC=CD，根据等腰三角形的性质可得①BCA=30°，即可求出①ACD=90°，可得①CAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可得答案．【详解】如图，连接AC，①六边形ABCDEF是正六边形，①①ABC=①BCD=120°，①ADC=60°，AB=BC=CD，①①BCA=①BAC=30°，①①ACD=①BCD-①BCA=90°，①①CAD=30°，①AB=CD=1，①AD=2CD=2，故答案为：2【点睛】考查正多边形与圆、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．16．如图，A ，B ，C ，D 为一个正多边形的相邻四个顶点，点O 为正多边形的中心，若18ADB ∠=︒，则从该正多边形的一个顶点出发共有______条对角线．【答案】7【分析】连接OA 、OB ，根据圆周角定理得到236AOB ADB ∠=∠=︒，即可得出该图形是正几边形，即可得出从一个顶点出发对角线的数量．【详解】解：连接OA 、OB ，点A 、B 、C 、D 在以O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上，根据圆周角定理，236AOB ADB ∠=∠=︒，3601036n ︒∴==︒，即该多边形为正十边形， ∴从一个定点出发，除去自身与相邻的两个点，共可作103=7-条对角线，故答案为：7．【点睛】考查了正多边形与圆，圆周角定理；知道正多边形与圆的位置特点解决本题的关键．三、解答题17．（阅读理解）如图1，BOC ∠为等边ABC 的中心角，将BOC ∠绕点O 逆时针旋转一个角度(0120)αα︒<<︒，BOC ∠的两边与三角形的边,BC AC 分别交于点,M N ．设等边ABC 的面积为S ，通过证明可得OBM OCN ≌，则1S 3OMCOCNOMCOBMOBCOMCN S SSSSS=+=+==四边形．（类比探究）如图2，BOC ∠为正方形ABCD 的中心角，将BOC ∠绕点O 逆时针旋转一个角度9(0)0αα︒<<︒，BOC ∠的两边与正方形的边,BC CD 分别交于点,M N ．若正方形ABCD 的面积为S ，请用含S 的式子表示四边形OMCN 的面积（写出具体探究过程）．（拓展应用）如图3，BOC ∠为正六边形ABCDEF 的中心角，将BOC ∠绕点O 逆时针旋转一个角度(060)αα︒<<︒，BOC ∠的两边与正六边形的边,BC CD 分别交于点,M N ．若四边形OMCN 请直接写出正六边形ABCDEF 的面积．【答案】【类比探究】四边形OMCN 的面积=1S 4．【拓展应用】【分析】类比探究：通过证明可得OBM OCN ≌，则1S 4OMCOCNOMCOBMOBCABCD OMCN S SSSSS=+=+==正方形四边形．拓展应用：通过证明可得OBM OCN ≌，则1S 6OMCOCNOMCOBMOBCOMCN ABCDEF S SSSSS=+=+==四边形六边形．【详解】解：类比探究：如图2，①BOC ∠为正方形ABCD 的中心角， ①OB =OC ，①OBM =①OCN =45°，①BOC ∠绕点O 逆时针旋转一个角度9(0)0αα︒<<︒，BOC ∠的两边与正方形的边,BC CD 分别交于点,M N①①BOM =①CON ， ①①BOM ①①CON ， ①1S 4OMCOCNOMCOBMOBCABCD OMCN S SSSSS=+=+==正方形四边形．拓展应用：如图3，①BOC ∠为正六边形ABCD EF 的中心角， ①OB =OC ，①OBM =①OCN =60°，①BOC ∠绕点O 逆时针旋转一个角度9(0)0αα︒<<︒，BOC ∠的两边与正方形的边,BC CD 分别交于点,M N①①BOM =①CON ， ①①BOM ①①CON ， ①1S 6OMCOCNOMCOBMOBCOMCN ABCDEF S SSSSS=+=+==四边形六边形．①四边形OMCN①正六边形ABCDEF 的面积为【点睛】考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．18．如图，六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形．（1）求证：在六边形ABCDEF 中，过顶点A 的三条对角线四等分BAF ∠．（2）设O 的面积为1S ，六边形ABCDEF 的面积为2S ，求12S S 的值．【答案】（1）见解析；（2）9【分析】（1）连接AE ，AD ，AC ，根据等弧所对的圆周角相等即可证明；（2）过点O 作OG ①DE 于G ，连接OE ，设圆O 的半径为r ，求出OG ，用①OED 的面积乘以6得到2S ，再求出1S ，即可计算12S S 的值．【详解】解：（1）连接AE ，AD ，AC ，①六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形， ①EF =ED =CD =BC ，①①F AE =①EAD =①DAC =①CAB ，即过顶点A 的三条对角线四等分BAF ∠；（2）过点O 作OG ①DE 于G ，连接OE ，设圆O 的半径为r ， ①EF =BC =ED =r ，AD =2r ，在正六边形ABCDEF 中，①OED =①ODE =60°， ①①EOG =30°， ①EG =12r ， ①OG， ①正六边形ABCDEF 的面积=162r r⨯⨯=22，圆O 的面积=2r π，①12S S2=9．【点睛】考查了正多边形与圆，圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线．19．如图，已知O ，点A 在圆上，请以A 为一顶点作圆内接正方形ABCD ．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见详解【分析】先作直径AC ，再过O 点作AC 的垂线交①O 于B 、D ，则四边形ABCD 为正方形．【详解】解：如图，正方形ABCD 为所作．【点睛】考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．20．正方形ABCD的四个顶点都在①O上，E是①O上的一点．（1）如图①，若点E在AB上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：①ADF①①ABE；（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-．请说明理由；（3）如图①，若点E在AB上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）理由见解析；（3）DE=7，CE=【分析】∠=∠，结合DF=BE，即可完成（1）根据正方形的性质，得AB=AD；根据圆周角的性质，得ABE ADE证明；DAF BAE；结合①BAD=90°，得①EAF=90°，从而得到①EAF是等腰（2）由（1）结论得AF=AE，∠=∠直角三角形，即；最后结合DE -DF=EF ，从而得到答案；（3）连接BD ，将①CBE 绕点C 顺时针旋转90°至①CDH ；结合题意，得①CBE+①CDE=180°，从而得到E ，D ，H 三点共线；根据BC=CD ，得BC CD =，从而推导得①BEC=①DEC=45°，即①CEH 是等腰直角三角形；再根据勾股定理的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）如图，1ADE ∠=∠，2ABE ∠=∠，3DAF ∠=∠，4BAE ∠=∠在正方形ABCD 中，AB=AD 在①ADF 和①ABE 中12AB AD BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ADF①①ABE （SAS ）；（2）由（1）结论得：①ADF①①ABE ①AF=AE ，①3=①4正方形ABCD 中，①BAD=90° ①①BAF+①3=90° ①①BAF+①4=90° ①①EAF=90°①①EAF 是等腰直角三角形①EF2=AE2+AF2①EF2=2AE2即DE-①DE-；（3）连接BD，将①CBE绕点C顺时针旋转90°至①CDH①四边形BCDE内接于圆①①CBE+①CDE=180°①E，D，H三点共线在正方形ABCD中，①BAD=90°①①BED=①BAD=90°①BC=CD①BC CD①①BEC=①DEC=45°①①CEH是等腰直角三角形在Rt①BCD中，由勾股定理得在Rt①BDE中，由勾股定理得：7=在Rt①CEH中，由勾股定理得：EH2=CE2+CH2①（ED+DH）2=2CE2，即（ED+BE）2=2CE2①64=2CE2【点睛】考查了正方形、圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、圆周角、正多边形与圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的性质，从而完成求解．。

六边形Word

六边形维基百科，自由的百科全书正六边形角和边的数量 6施莱夫利符号{6}t{3} Coxeter-Dynkin diagram空间对称群二面体群(D6)内角的大小120°查·论·编·历六边形是多边形的一种，指所有有六条边和六只角的多边形。

正六边形可以单单用圆规直尺来绘画。

因为当正六边形内接于圆时，圆的半径刚好等于正六边形的边长，正六边形最长的对角线就等于圆的直径。

中国古代对圆周和直径的关系有“周三径一”之说，可以视为采用正六边形为圆的近似图形求得的结果。

正六边形的内角和是720°，每只内角120°。

正六边形是其中一种能够密铺平面的正多边形，其余两种为等边三角形和正方形。

大卫星是正六边形的对角线相交得出的形状。

正六边形尺规作图1.画一条水平线，通过此线上的任意点做一个圆。

2.以该圆与线的焦点为圆心，分别画出与该圆半径相同的圆，与该圆交于4点。

3.依顺序联结这4个点和该圆与水平线的焦点即成正六边形。

正六边形面积因为正六边形由六个等边三角形组成，所以：正六边形的面积=三角形面积×6=这些等边三角形的高是正六边形内接圆的半径，即。

性质各内角相等，6边相等。

有外角和等于360度这是固定的，推出一个内角为180-(360/6)=120度,所以一个内角为120度,因为是正六边形，正六边形就可以分成过中心6个全等的正三角形，作正三角形的高，利用勾股定理可求高为√3/2×a，每个三角形的面积都是√3/4×a²，所以正六边形的面积为√3/4×a²×6=3√3/2×a²S正六边形=(3√3/2)a².(a为边长）正六边形尺规作图方法一（更简单）：以任意长画一条线段AB。

以A为圆心，AB为半径，作圆A。

以B为圆心，AB 为半径，作圆B与圆A交于点C。

圆分六等分最简单方法

圆分六等分最简单方法
圆分六等分是一道经典的几何题，下面介绍最简单的解题方法。

1. 划分圆的周长
首先，需要将圆的周长分成六等分。

这可以通过将圆周长除以6得到每个等分的长度。

假设圆的周长为C，则每个等分的长度为L=C/6。

2. 画出六边形
接着，需要画出一个正六边形。

画圆心O，并在圆心处画一条射线。

将这条射线按照每个等分的长度L分成六段，分别标记为A、B、C、D、E、F。

3. 连接线段
接下来，需要用直线将线段A、C、E相连，将线段B、D、F相连，最终得到一个正六边形。

4. 连接圆心
再将连线O-A、O-C、O-E相连，得到三条线段。

将其和正六边形的边相连，即可将圆分成六等分。

以上方法简单易懂，只需要将圆的周长分成六等分，并逐步连接各个线段和圆心，即可完成圆分六等分的问题。

所以，如果你遇到了圆分六等分的几何问题，可以尝试使用以上方法求解。

[宝典]正六边形中平行四边形的个数详解

[宝典]正六边形中平行四边形的个数详解正六边形中平行四边形的个数详解把正六边形的各边n等分～用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。

这样～正六边形就变成了由许多相同的小正三角形组成的网格状图形。

通过仔细观察可以发现～网格中不仅有小正三角形～还有许多大小不同的平行四边形、平行四边形和正六边形。

那么网格中一共有多少个大小不同的正三角形、平行四边形、平行四边形和正六边形呢,这是一个有趣又有一定难度的数数问题～通过分析解答该题可以锻炼我们的观察分析能力和归纳推理能力。

由于受篇幅限制～本文只对网格中一共有多少个大小不同的平行四边形给予解答。

我们可以从研究分析简单的情形入手～最后归纳出一般的公式。

如图～把正六边形的各边2等分～用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。

这样～正六边形就变成了由有限个相同的小正三角形组成的网格状图形。

图中一共有多少个大小不同的平行四边形呢,通过观察分析可以发现～正六边形中有三组不同方向的平行线段～会产生三种不同方向的平行四边形。

由于正六边形的对称性～三种不同方向的平行四边形的个数相等。

因此～我们只要数出水平左斜方向上平行四边形的个数～再乘3就可得出图中一共有多少个大小不同的平行四边形。

细看图中在水平左斜方向上既有斜边长为1～,图中小正三角形的边长规定为1个单位长度,底长为1，2的平行四边形～又有斜边长为2～底长为1，2的平行四边形～还有斜边长为3底长为1的平行四边形。

下面我们从上到下逐行数出水平左斜方向上平行四边形的个数。

第一行有斜边长为1～底长为1，2的平行四边形～共有2+1=3个。

第二行有斜边长为1～底长为1，3的平行四边形～共有3+2+1=6个。

为便于归纳分析～我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形～以下各行类同第二行。

因此第二行还包括斜边长为2～底长为1，2的平行四边形～共有2+1=3个。

所以第二行共有6+3=9个平行四边形。

正六边形的切割方法-概述说明以及解释

正六边形的切割方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述正六边形是一种具有六条边和六个角的特殊多边形。

它所有的边长相等，所有的内角也相等，每个内角都是正120度。

正六边形具有许多独特的性质和特点，使其在数学、几何、建筑等领域中得到广泛的应用。

本文旨在介绍正六边形的切割方法，通过对正六边形的切割，可以得到具有特定形状和特征的子图形。

这些切割方法可以应用于许多实际问题中，例如地面铺砖、拼图设计、建筑结构等领域。

本文将首先给出正六边形的定义和特点，包括其边长相等、内角相等等基本性质。

然后，将详细介绍两种切割方法，包括切割形成的子图形的特点和应用场景。

最后，通过对切割方法的总结，探讨其在实际应用中的前景和潜在问题。

通过本文的阅读，读者将能够了解正六边形的基本性质和特点，掌握切割方法的具体步骤和应用场景，并深入思考如何运用这些切割方法解决实际问题。

同时，读者还可以进一步探索更多有关正六边形的知识和扩展应用，从而提升对几何学和数学的综合理解和应用能力。

接下来，我们将详细介绍正六边形的定义和特点，为后续切割方法的介绍做好铺垫。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以描述文章的整体组织结构，并概述各个部分的主要内容。

例如，可以这样编写：1.2 文章结构本篇文章将按照以下结构进行展开：2.1 正六边形的定义和特点在本节中，我们将介绍正六边形的基本定义和一些重要特点，包括边长、角度、对称性等，以便读者对正六边形有一个基本的认识。

2.2 切割方法一本节将详细介绍第一种正六边形的切割方法，我们将会讨论如何将一个正六边形切割成许多小块，并探讨不同切割方式所带来的效果和应用场景。

2.3 切割方法二在本节中，我们将介绍另一种正六边形的切割方法，探讨其与切割方法一的异同，以及在不同场景中的应用。

3.1 总结切割方法在本节中，我们将对前两节所介绍的两种切割方法进行总结和比较，分析它们各自的优缺点以及适用的场景，并给出推荐的使用方法。

2022HTMTC国际精英挑战赛六年级个人和团体战(希望杯夏令营)

2022 HMTC国际精英挑战营六年级个人战1.计算：47111193019 312285688209⎛⎫-+--+⨯=⎪⎝⎭________。

2.计算：2222111134522⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________。

3.制作一批冰墩墩，25名工人工作12天可完成。

实际工作4天后，有5名工人被安排制作雪容融。

剩下的工人还需工作________天才能完成制作冰墩墩的任务。

4.滑雪场有一部上行的自动扶梯。

熊大和熊二着急上山，在扶梯上行的同时他们也在向上走，从山脚到山顶熊大用了15分钟，熊二用了30分钟。

一天自动扶梯检修停止运行，熊大从山脚走到山顶用了20分钟，熊二从山脚走到山顶需要用________分钟。

5.提高盐水浓度的方法有两种，一种是蒸发掉其中的水分，另一种是加入食盐。

现把200克浓度为10%的盐水分成两份，往其中一份盐水中加入5克食盐，把另一份盐水蒸发掉5克水，结果两份盐水的浓度仍相等。

最初分成的两份盐水中，较少的那一份盐水原来有________克。

6.水族馆里的荧光鱼、小丑鱼和孔雀鱼共有1000条。

其中荧光鱼数量最多，孔雀鱼数量最少，它们的数量比是5∶3。

那么小丑鱼最多有________条。

7.甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，在距离A地1600米处的C地相遇。

相遇后乙的速度保持不变，甲的速度变为原来的一半，甲继续行驶到B地后立即掉头返回。

当甲再次到达C地时，乙刚好第一次到达A地。

A、B两地的距离是________米。

8.边长为50 cm的正方形ABCD的顶点A，C各有一只小虫，它们同时出发沿正方形的边顺时针爬行，小虫甲每秒爬4 cm，小虫乙每秒爬5 cm，它们在顶点处转弯时都需要耗时2秒。

经过________秒其中一只小虫将首次追上另一只小虫。

9.地震发生时，震源同时传播出纵波和横波。

某次地震，监测点先接收到纵波，20秒后又接收到横波。

如图所示.大正三角形内有一个正六...

3．如图所⽰，⼤正三⾓形内有⼀个正六边形，正六边形与⼤正三⾓形的周长之⽐是2：3，⾯积之⽐是2：3．
分析如图：（1）将正六边形平均分成6个和空⽩部分的三⾓形的⾯积相等的三⾓形，此时正六边形的边长为
a，则周长为6a，⼤正三⾓形的周长为3a×3，由此求出正六边形与⼤正三⾓形的周长之⽐．
（2）设空⽩三⾓形的⾯积为s，则⼤正三⾓形的⾯积是9s，正六边形的⾯积是6s，由此写出正六边形与⼤正三⾓形的⾯积⽐．
解答解：（1）将正六边形平均分成6个和空⽩部分的三⾓形的⾯积相等的三⾓形，设正六边形的边长为a，则周长为6a；⼤正三⾓形的周长为3a×3=9a
正六边形与⼤正三⾓形的周长之⽐是6a：9a=2：3．
（2）设空⽩三⾓形的⾯积为s，则⼤正三⾓形的⾯积是9s，正六边形的⾯积是6s，正六边形与⼤正三⾓形的⾯积⽐是6s：9s=2：3．
故答案为：2：3，2：3．
点评关键是把正六边形平均分成6个和空⽩部分的三⾓形的⾯积相等的三⾓形，再找出对应量，写出对应⽐．。

正六边形中的数数问题详解 Word 文档

正六边形中的数数问题详解如图，把正六边形的各边二等分，用线段顺次连接相隔一边的两边上的对应分点（包括正六边形的对应顶点），使与所夹边平行。

这样，正六边形就变成了由有限个相同的小正三角形组成的网格状图形。

仔细观察可以发现，图中不仅有大小不同的正三角形，还有大小不同的平行四边形、等腰梯形和正六边形。

那么，图中一共有多少个大小不同的正三角形、平行四边形、等腰梯形和正六边形呢？进而推想：如果把正六边形的各边n等分，用线段顺次连接相隔一边的两边上的对应分点（包括正六边形的对应顶点），使与所夹边平行。

在由许多相同的小正三角形组成的网格状图形中，一共有多少个大小不同的正三角形、平行四边形、等腰梯形和正六边形呢？这是一个有趣又有一定难度的数数问题。

通过分析解答该题，不仅可以提高我们的观察能力，而且可以提高我们的归纳和推理能力。

我们可以从分析解答简单的情形入手，最后分析归纳出一般的结论。

一、一共有多少个正三角形？通过观察分析可以发现，图中既有正立（△）的正三角形，又有倒立（▽）的正三角形；既有边长为1（图中小正三角形的边长规定为1个单位长度）的小正三角形，又有边长为2和3的大正三角形。

而且，由于正六边形的对称性，所有正立正三角形的个数和倒立正三角形的个数相等。

下面我们从上到下逐行数出所有正立正三角形的个数。

边长为1的正立正三角形有：3+4+3+2=12（个）。

边长为2的正立正三角形有:3+2+1=6（个）。

边长为3的正立正三角形有1个。

所以正立正三角形的个数是：12+6+1=19（个）。

因为正立正三角形的个数和倒立正三角形的个数相等，所以图中一共有19×2=38（个）大小不同的正三角形。

通过进一步的观察和分析，我们发现正六边形中正三角形的个数分为两种情形：即正六边形各边的等分数n 分别为偶数（n=2m ）和奇数（n=2m+1）时有不同的结论。

先看当n=2m 时正六边形中正三角形的个数。

同上，我们只要先从上到下逐行求出边长为1～3m(边长为3m 的正立正三角形是正六边形中最大的正立正三角形)的正立正三角形的个数，再乘2，就可以得出正六边形中全部正三角形的个数。

如果你有一块巧克力,你怎么分成六块,每块都是相等的,但只能切两刀？

如果你有一块巧克力，你怎么分成六块，每块都是相等的，
但只能切两刀？
要将一块巧克力分成六块，且每块都是相等的，但只能切两刀，可以按照以下
步骤进行：
步骤1：首先，将巧克力平放在桌子上，确保它的形状是长方形或正方形。

步骤2：使用第一刀，将巧克力切成两个相等的矩形块。

这可以通过在巧克力
的中心水平切一刀来实现。

步骤3：现在，你有两个相等的矩形块。

将它们叠放在一起，使它们的边缘对齐。

步骤4：使用第二刀，将巧克力再次切成两个相等的矩形块。

这次，你需要垂
直切一刀，将两个矩形块分成四个相等的矩形块。

步骤5：现在，你有四个相等的矩形块。