2014.11.21椭圆的简单几何性质(二)
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质椭圆是一种具有特定几何性质的曲线。
在本文档中，我们将详细讨论椭圆的简单几何性质，并介绍其定义、焦点、半长轴、半短轴以及离心率等重要概念。
椭圆的定义椭圆可以通过以下方式进行定义：给定平面上的两个焦点F1和F2以及一条固定的长度2a的线段，椭圆是满足以下条件的点的集合：对于任意点P到焦点F1的距离加上点P到焦点F2的距离等于2a。
椭圆的焦点对于给定的椭圆，焦点F1和F2是椭圆上的两个点，且满足任意点P到焦点F1的距离加上点P到焦点F2的距离等于2a。
焦点对于椭圆的性质非常重要，并在许多应用中起着重要的作用。
椭圆的半长轴和半短轴椭圆的半长轴和半短轴是两个关键的几何性质。
半长轴为轴线上从中心点到椭圆上离心率最大的点的距离；半短轴为轴线上从中心点到椭圆上离心率最小的点的距离。
椭圆的半长轴和半短轴的关系可以用离心率来表示。
离心率定义为焦点到椭圆中心的距离除以半长轴的长度。
离心率也可以用半短轴除以半长轴来表示。
椭圆的离心率离心率是一个椭圆的重要几何性质，它描述了椭圆形状的圆度程度。
离心率范围在0和1之间，且离心率为0时表示圆形，离心率为1时表示长椭圆。
离心率越接近于0，椭圆的形状越接近于圆形。
椭圆的参数方程椭圆可以用参数方程来表示，其中x和y的值取决于参数t 的变化。
椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别是半长轴和半短轴的长度。
椭圆与直线的交点椭圆与直线的交点是椭圆和直线相交的点的集合。
在平面几何中，椭圆和直线的交点有以下几种情况：1.椭圆内部：直线与椭圆相交于两个不同的点。
2.直线刚好接触椭圆：直线与椭圆相切于一个点。
3.椭圆外部：直线与椭圆没有交点。
椭圆的对称性椭圆具有关于x轴和y轴的对称性。
具体来说，椭圆关于x轴对称指的是如果点(x, y)在椭圆上，则点(x, -y)也在椭圆上。
类似地，椭圆关于y轴对称指的是如果点(x, y)在椭圆上，则点(-x, y)也在椭圆上。
椭圆的相关知识点
椭圆的相关知识点椭圆是数学中一个非常重要的几何形状。
它在各个领域中都有广泛的应用，如天文学、物理学、工程学等。
本文将详细介绍椭圆的相关知识点，包括椭圆的定义、性质、方程和应用。
一、定义与性质椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个固定点分别称为椭圆的焦点，连接两个焦点的线段称为主轴，主轴的中点称为椭圆的中心。
在椭圆上任取一点P，连接P到两个焦点的距离之和等于常数，记为PF1 + PF2 = 2a（a为常数）。
椭圆的性质如下：1. 所有点到两个焦点的距离之和等于常数。
2. 主轴是椭圆上最长的一段线。
3. 所有点到椭圆中心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
4. 与椭圆的长轴垂直的线段称为短轴，长轴和短轴的长度之比称为椭圆的离心率。
离心率小于1的椭圆称为椭圆，等于1的椭圆称为抛物线，大于1的椭圆称为双曲线。
二、椭圆的方程椭圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程。
1. 标准方程以椭圆的中心为原点，椭圆的长轴与x轴平行。
设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 12. 一般方程一般方程是对标准方程进行平移和旋转得到的。
设椭圆的中心为(h, k)，椭圆的标准方程为：((x-h)^2)/a^2 + ((y-k)^2)/b^2 = 1其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
三、椭圆的应用椭圆在众多领域中有广泛的应用。
1. 天文学在天文学中，行星和卫星的轨道往往是椭圆。
开普勒定律描述了行星运动的规律，其中第一定律指出行星和太阳之间的轨道是一个椭圆。
2. 物理学在牛顿力学中，椭圆是一种机械能守恒的轨迹。
当质点在万有引力下运动时，其轨迹为椭圆。
3. 工程学在建筑工程中，椭圆的形状经常被利用于设计桥梁、隧道以及建筑物的拱形结构。
椭圆形的结构能够提供更好的均匀分布重量的能力，提高结构的稳定性和承载能力。
4. 地理学椭圆也常常用于地理学中，用来表示地球的形状。
椭圆的简单几何性质
2.2 椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质 第一课时 椭圆的简单几何性质【学习目标】1、理解椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长及短轴长；2、掌握椭圆的离心率及c b a ,,的几何意义。
【重难点】重点：椭圆的简单几何性质 难点：求椭圆的离心率 【学习过程】复习引入：1、椭圆的定义我们把平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点21,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点21,F F 间的距离||21F F 叫做椭圆的焦距。
2、椭圆的标准方程焦点在x 轴上：12222=+b y a x )0(>>b a 焦点在y 轴上：12222=+ay b x )0(>>b a3、重要结论：222c b a +=知识点一：椭圆的简单几何性质 1、范围由图形及椭圆的标准方程12222=+b y a x 可知，122≤a x 且122≤by ，即⎩⎨⎧≤≤-≤≤-by b ax a 故椭圆12222=+by a x 位于直线a x ±=和b y ±=所形成的矩形框里。
2、对称性观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
在椭圆12222=+by a x 中，用y -代替y ，方程不变，所以椭圆关于x 轴对称；用x -代替x ，方程不变，所以椭圆关于y 轴对称；用x -代替x ，用y -代替y ，方程不变，所以椭圆关于原点对称。
结论：椭圆关于x 轴和y 轴都对称，所以x 轴、y 轴叫做椭圆的对称轴；对称轴的交点原点，叫做椭圆的对称中心。
3、顶点椭圆与对称轴的交点，叫做椭圆的顶点。
显然12222=+by a x 有四个顶点，其中在x 轴上有)0,(),0,(21a A a A -，在y 轴上有),0(),,0(21b B b B -。
线段2121,B B A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别和a 2和b 2，b a ,分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的简单几何性质课件
椭圆的简单几何性质课件椭圆的简单几何性质椭圆，作为一种常见的几何形状，具有许多有趣的性质和特点。
在这篇文章中，我们将探讨椭圆的一些简单几何性质，帮助读者更好地理解和应用椭圆。
一、椭圆的定义和基本元素椭圆是指平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
这两个固定点称为焦点，连接两个焦点的线段称为主轴，主轴的中点称为椭圆的中心。
椭圆的两个焦点与中心之间的距离称为焦距，记为c。
椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，其中a大于b。
二、椭圆的离心率和焦半径椭圆的离心率是一个重要的参数，用e表示。
离心率的定义是焦距与长轴长度的比值，即e=c/a。
离心率可以用来描述椭圆的扁平程度，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于直线。
与离心率相关的概念是焦半径。
焦半径是指从椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和，记为r。
根据焦半径的定义，我们可以得到一个重要的结论：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于2a，即r=2a。
三、椭圆的方程和参数方程椭圆的方程是描述椭圆上的点的数学表达式。
椭圆的标准方程是(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标。
根据椭圆的定义，我们可以得到一个重要的性质：椭圆上的任意一点到中心的距离与椭圆的长轴、短轴长度之间存在一定的关系，即(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1。
除了标准方程，椭圆还可以用参数方程来表示。
参数方程是通过引入一个参数t，将椭圆上的点的坐标表示为x=a*cos(t)+h，y=b*sin(t)+k。
参数方程的优点是可以方便地描述椭圆上的点的运动和变化。
四、椭圆的性质和应用椭圆具有许多有趣的性质和应用。
首先，椭圆是一个闭合曲线，它的形状稳定且对称。
其次，椭圆上的点到两个焦点的距离之和是常数，这个性质可以应用于天文学中的行星轨道计算、卫星轨道设计等领域。
此外，椭圆还有许多与切线、法线、对称性等相关的性质。
椭圆的简单几何性质
1.椭圆的对称性
y
F
1
O
F
2
x
椭圆关于x轴对称
二、新课探究：
A1 F
1
1.椭圆的对称性
y
O
F
2
x
A2
椭圆关于原点对称
二、新课探究：
1.椭圆的对称性
Y P（x，y）
以焦点在X轴上的为例：
P1（-x，y）
O
X
P 2 x, y
P3（-x，-y）
二、新课探究：
2、椭圆的顶点
B2 (0,b)
一、复习回顾：
3.椭圆中a,b,c的关系:
若点M运动到y轴上时：
y
M
| MF1 | ＝ | MFOF1 | ＝ | OF2 | c
x
F1
O
| MO | ＝ a c b
2 2
a2=b2+c2
二、新课探究：
y
1.椭圆的对称性
F
1
O
F
2
x
椭圆关于y轴对称
二、新课探究：
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
2.2.2 椭圆的简单几何性质
第一课时 椭圆的简单几何性质
一、复习回顾：
1、椭圆的定义：
椭圆的几何性质第二定义_图文
所示的直角坐标系，AB与地球交与C,D两点。
Y
由题意知：|AC|=439,|BD|=2384 ,
B
F1 F2
DO
CA X
∴b≈7722.
练习与巩固： 1、求下列椭圆的准线方程： ①x2＋4y2＝4 ②
2.已知P是椭圆
上的点,P
到右准线的距离为8.5,则P到左焦点
B1
A2 y
F2
B2
B1
O
x
F1
A1
关于x轴、y轴、原点对称 A1(-a,0), A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) B1(0,-b), B2(0,b) B1(-b,0), B2(b,0)
标准方程
焦点坐标 半轴长 离心率
a、b、c 的关系准线 Nhomakorabea(c,0)、(-c,0)
(0 , c)、(0, -c)
c
（3）当定点改为 F (c，0 )，定直线改为 l : x = - a 2 时，对应 c
的点M轨迹会是一个椭圆吗？ （不是）
注意：在定义中，比值必须是动点到焦点（左）与准线 （左）之比。
第二定义的“三定”： 定点是焦点；定直线是准线；定值是 离心率组卷网
的准线是 x= 的准线是 y=
例2、 如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地 心面(最地近球的的点中)心距)地F2面为4一39个km焦,远点地的点椭B圆距,已地知面它23的84近km地.并点且A(F离2、地A 、B在同一直线上，地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道 方程（精确到1km).
标准方程
焦点坐标 半轴长 离心率
a、b、c 的关系
准线
椭圆的几何性质第二定义课件
椭圆的几何性质证明
01
02
03
04
椭圆的性质证明
通过椭圆的定义和标准方程， 可以推导出椭圆的性质，如范
围、对称性、顶点等。
椭圆的范围
由椭圆的标准方程可知，椭圆 位于x轴和y轴之间，其边界
是x=±a和y=±b。
椭圆的对称性
椭圆关于坐标轴和原点对称。
椭圆பைடு நூலகம்顶点
椭圆的顶点是x轴与椭圆的交 点，即A1(-a,0)和A2(a,0)。
以参数t为变量，将椭圆的一般方程化为参数方程的表达式。
参数t的几何意义
参数t表示椭圆上任意一点P(x,y)在椭圆上的运动时间。
椭圆的参数方程的特点
椭圆的参数方程将椭圆的几何性质转化为函数关系，便于研究椭圆 的性质。
椭圆的参数方程推导
从椭圆的一般方程出发，通过 三角代换，得到椭圆的参数方 程。
三角代换的原理：利用三角函 数的性质，将一般方程中的x和 y用参数t表示。
连。
位置
焦点到椭圆中心的距离等于半长轴 的长度。
与椭圆的关系
椭圆上的任意一点到两个焦点的距 离之和等于常数（即半长轴的长度 ）。
椭圆的离心率
01
02
03
定义
椭圆的离心率是椭圆中心 与焦点的距离与半长轴的 比值。
公式
离心率 = 焦点到椭圆中心 的距离 / 半长轴的长度。
与椭圆形状的关系
离心率越大，椭圆的形状 越扁平；离心率越小，椭 圆的形状越接近于圆形。
椭圆的几何性质第 二定义课件
目录
• 椭圆的基本性质 • 椭圆的焦点和离心率 • 椭圆的切线性质 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的几何性质总结
01
椭圆的基本性质
《椭圆的简单几何性质》知识点总结（精选2篇）
《椭圆的简单几何性质》知识点总结（精选2篇）《椭圆的简单几何性质》知识点总结篇1椭圆的简单几何性质中的考查点:（一）、对性质的考查：1、范围：要注意方程与函数的区别与联系；与椭圆有关的求最值是变量的取值范围；作椭圆的草图。
2、对称性：椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。
3、顶点：椭圆的顶点坐标；一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点；椭圆中a、b、c的几何意义（椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示）。
4、离心率：离心率的定义；椭圆离心率的取值范围：（0，1）；椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平；当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。
（二）、课本例题的变形考查：1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点p（x，y）到椭圆一焦点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点p的坐标；2、椭圆的第二定义及其应用；椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。
3、已知椭圆内一点m，在椭圆上求一点p，使点p到点m与到椭圆准线的距离的和最小的求法。
4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用：5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。
《椭圆的简单几何性质》知识点总结篇2在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。
按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。
《椭圆的简单几何性质》知识点总结
椭圆的简单几何性质知识点总结椭圆是一种重要的几何图形，具有一些特殊的性质。
在本篇文档中，我们将总结椭圆的一些简单几何性质。
1. 椭圆的定义椭圆可以通过以下定义来描述：对于给定的两个焦点F1和F2，及其到两个焦点的总距离的一半定为常量2a（长轴），椭圆上每一点到两个焦点的距离之和等于常量2a。
椭圆的另一个参数e（离心率）定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a，其中c是焦点之间的距离。
2. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点F1和F2对称分布在长轴上，并且与椭圆的中心O相等。
准线是通过焦点F1和F2垂直于长轴的直线，交于椭圆的中心O。
准线的长度定为2b（短轴）。
椭圆的离心率e= c/a = √(a^2 - b^2)/a。
3. 椭圆的主轴和副轴椭圆的主轴是长轴，长度为2a。
副轴是短轴，长度为2b。
长轴和短轴是椭圆上的两个对称轴。
4. 椭圆的焦准距椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于2a，即PF1+PF2=2a。
我们把这个距离之和称为焦准距。
对于同一条主轴上的两个点P1和P2，它们到焦点的距离之和相等。
5. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个反映椭圆形状的重要参数。
离心率e定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a。
当离心率小于1时，椭圆是真椭圆；当离心率等于1时，椭圆是半圆；当离心率大于1时，椭圆是伪椭圆。
离心率越接近于0，椭圆形状越扁。
6. 椭圆的方程椭圆的方程可以通过不同的形式来表示，其中最常用的是标准形式和一般形式。
标准形式的椭圆方程为：x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
一般形式的椭圆方程为：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D和E为常数。
7. 椭圆的焦距定理椭圆的焦距定理说明了椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的主轴长度。
即PF1+PF2=2a。
8. 椭圆的切线椭圆上任意一点P的切线是通过点P且与椭圆仅相交于点P的直线。
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质椭圆是一种重要的几何图形，它具有一些独特的性质和特征。
在本文档中，我们将介绍一些椭圆的简单几何性质，包括定义、方程、焦点与准线、长轴和短轴、离心率以及切线等内容。
1. 定义椭圆是平面上的一个闭合曲线，其定义如下：对于给定的两个点F₁ 和F₂ 以及一条固定长度的线段 2a（长轴），满足到椭圆上任意一点的两个焦点到该点的距离之和始终等于 2a（F₁P + F₂P = 2a，其中 P 为椭圆上任意一点）。
2. 方程一般来说，椭圆的方程可以表示为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中 (h, k) 为椭圆的中心坐标，a 和 b 分别为长轴和短轴的长度。
3. 焦点与准线椭圆的焦点是定义椭圆的两个特殊点，记作F₁ 和F₂。
它们位于椭圆的长轴上，且到椭圆中心的距离为 c（c² = a² - b²，对于椭圆来说，c < a）。
准线是垂直于长轴且通过中心的直线，可表示为 x = h ± a/e，其中 e 为离心率。
4. 长轴和短轴椭圆的长轴为横坐标轴的长度，并且它是离心率 e 的倒数（2a = 1/e）。
短轴则为纵坐标轴的长度，且它与长轴的关系为 b² = a² - c²。
5. 离心率离心率 e 描述了椭圆形状的独特特征。
在数值上，离心率是一个小于 1 的正实数，可以通过以下公式计算：e = c / a离心率越接近0，椭圆形状越接近于圆形；离心率越接近1，椭圆形状越扁平。
6. 切线椭圆上任意一点的切线是与该点相切且仅与椭圆相交于此点的直线。
切线的斜率可通过直线与椭圆方程联立解得。
一般来说，椭圆有两条切线与其相切。
结论椭圆作为一种重要的几何图形，具有许多简单而重要的性质。
从定义到方程，再到焦点与准线、长轴和短轴、离心率以及切线，椭圆的性质非常丰富。
通过研究这些性质，我们可以更好地理解椭圆的形状和特征，为后续的几何学习奠定基础。
《椭圆的几何性质》2
1.
16 9
2
讲
课
人
：
邢
启
强
2
x
y
4.
1.
45 36
x2 y 2
2.
1.
4
9
2
2
x
y
5.
1.
100 64
x2 y 2
3.
1.
34 25
x2 y 2
x2 y 2
6.
1或
1.
25 16
16 25
3
复习练习
2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y 轴都对称的是( D ）
y
就是椭圆的焦半径公式.
y
M
F1 O
2
椭圆 2
2
+ 2
M
F2
|MF1|＝a＋ex0 |MF2|＝a－ex0
讲
课
人
：
邢
启
强
O
F1
x
= 1 > > 0 的焦半径公式是
F2
2
椭圆 2
2
+ 2
x
= 1 > > 0 的焦半径公式是
|MF1|＝a+ey0
|MF2|＝a-ey0
17
5、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心
1
率为
。
1
2
6、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分,则其离心率为
3。
7、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同
的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，
椭圆几何性质
椭圆几何性质椭圆是数学上的一个重要曲线，具有许多独特的几何性质。
通过了解椭圆的定义和特征，我们可以深入了解椭圆的性质和应用。
本文将介绍椭圆的几何性质，包括焦点、直径、离心率和切线等内容。
1. 椭圆的定义椭圆可以通过以下的数学定义表示：对于给定的两个焦点F1和F2，椭圆是所有到这两个焦点的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
椭圆的数学表示可以用标准方程来表示：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，半长轴为椭圆离中心最远的点到椭圆中心的距离。
2. 椭圆的焦点椭圆有两个焦点F1和F2。
根据定义，任意点到这两个焦点的距离之和是一个常数。
对于椭圆，焦距的长度等于2a。
焦点在椭圆的长轴上，且与椭圆中心相距c 的位置，满足关系式c^2 = a^2 - b^2。
因此，我们可以通过椭圆的半长轴和半短轴的长度来计算焦点的位置。
3. 椭圆的直径椭圆的直径是通过椭圆中心的两个相对焦点的连线。
直径的长度等于椭圆的半长轴的两倍，即直径的长度为2a。
4. 椭圆的离心率椭圆的离心率是表示椭圆形状的一个重要参数。
离心率定义为焦距与半长轴之间的比值。
离心率的取值范围为0到1之间，且离心率为0时表示圆形，离心率为1时表示扁平的线段。
椭圆的离心率可以通过以下公式计算得到：e = c / a其中，e是离心率，c是焦距的长度，a是半长轴的长度。
5. 椭圆的切线切线是椭圆的另一个重要性质。
在椭圆上的任意一点P，通过该点的切线与半长轴和半短轴的连线构成的夹角相等。
这个夹角可以用以下公式计算：tan θ = |(b/a) * x|其中，θ为切线与半长轴的夹角，x为点P到椭圆中心的水平距离。
6. 椭圆的对称性椭圆具有两种类型的对称性：轴对称和中心对称。
轴对称是指椭圆关于长轴和短轴分别对称。
这意味着椭圆上的任意一点关于长轴或短轴的投影对称。
中心对称是指椭圆关于椭圆中心对称。
这意味着椭圆上的任意一点关于椭圆中心的对称点也在椭圆上。
高二数学人选修课件时椭圆的简单几何性质
椭圆面积和周长的关系：面积 和周长都与椭圆的长轴和短轴 有关，且满足一定的比例关系
椭圆面积和周长的计算方法： 根据公式，利用数学工具进行
计算，得到精确结果
椭圆的焦点三角形
定义：以椭圆的左、右焦 点为顶点，以椭圆上任意 一点为第三个顶点的三角
形
性质：焦点三角形的面积 与椭圆的面积之比为定值，
与椭圆的形状无关
利用导数：如果函数在某点的导数等于其斜率，那么该点的切线就是这条直线。
利用几何性质：如果直线与曲线在某点相切，那么直线的斜率等于曲线在该点 的导数。 利用解析几何：如果直线与曲线在某点相切，那么直线的斜率等于曲线在该点 的导数，且直线与曲线在该点的距离为0。
切线的应用
求椭圆的切线方程 求椭圆的切线斜率 求椭圆的切线长度 求椭圆的切线与坐标轴的交点
THANK YOU
汇报人：
值
计算公式：e = c/a，其中 c是椭圆的焦距，a是椭圆
的长轴长度
性质：离心率决定了椭圆 的形状，离心率越大，椭 圆越扁；离心率越小，椭
圆越接近圆形
应用：离心率在椭圆的绘 制、测量和计算等方面都
有重要的应用价值
椭圆的对称性
椭圆的对称轴： 通过椭圆中心， 垂直于长轴的直
线
椭圆的对称点： 关于对称轴的对
称点
椭圆的对称性： 对于任意一点P， 其关于对称轴的 对称点P'也在椭圆
上
椭圆的对称性在 解决问题中的应 用：利用对称性 可以简化问题，
提高解题效率
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02
椭圆的几何性质
椭圆的长短轴
椭圆的长短轴是 椭圆的两个对称 轴，分别称为长
轴和短轴。
高二数学椭圆的简单几何性质2(新编教材)
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第43课 椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质---问题提出
1.解析几何要解决的两类基本问题是什么? 答:(1)已知曲线研究其方程; (2)已知曲线方程研究其曲线的性质. 2.在高一学习函数性质后,研究了一些具体函数,你能列举几种
吗?对于一个新函数,你认为应从哪些方面着手研究?
函数如y=ax(a>0,a≠1),y=logax(a>0,a≠1),y=sinx等;研究一
个新函数一般应从定义域、值域、奇偶性、单调性及某 些特殊点，如与x轴、y轴的交点，图象最高点、最低点 等方面入手。ຫໍສະໝຸດ 椭圆的简单几何性质—展示动画
要求： 1、观察椭圆的变化情况： (1)a不变b变; (2)B不变a变 (3)改变F1F2的长度和位置。 2、借鉴研究函数性质的方法，设计一个研究
椭圆几何性质的方案。
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宠树奸党 弘济大猷 因废帝立成都王 遂率国兵及帐下七百人直出 监淮北军事 帝下令曰 因收林 内难奚由窃发 王拜而受之 则荆州无东门矣 续先与曹嶷亟相侵掠 便发兵 抱罪枕席 弱冠有高名 初与富室儿于城西贩马 旗 太守宋胄欲以所亲吴畿代之 朕用应嘉茂绩 乃戎服入见 武邑太守 后为武康令 数言之于帝 率齐大举 复以为军谘祭酒 义全而后取 一无所受 遂害之 尽得贼所略妇女千馀人 使兖州刺史王彦 徐才人生城阳殇王宪 于是群官并谏 靖每曰 綝遂凶终 永熙元年 众必不可 于时事穷计屈 实厉群后 越石区区
高中数学_椭圆的简单几何性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
（六）教学设计椭圆的简单几何性质（2）教学设计一、基本情况1.面向对象：高二学生2.学科：数学3.课题：椭圆的几何性质4.课时：2课时5.课前准备：（1）学生回顾本节内容，熟悉椭圆的范围、对称性和顶点，离心率等性质（2）教师准备课件。
二、教材分析《椭圆的几何性质》是人教版2-1的内容。
本节课是在学生学习了椭圆的定义和标准方程的基础上，由椭圆方程出发研究椭圆的几何性质。
这是学生第一次利用方程研究曲线的几何性质，要注意对研究结果的掌握，更要重视对研究方法的学习。
本节课使学生感受“数”和“形”的对立统一，是研究双曲线和抛物线几何性质的基础，起着承上启下的作用。
三、教学目标知识目标1.通过对椭圆标准方程的讨论，让学生掌握椭圆的几何性质。
2.领会椭圆几何性质的内涵，并会运用它们解决一些简单问题。
3.通过对方程的讨论，让学生领悟解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。
能力目标1.培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。
2.渗透数形结合、类比等数学思想。
3.强化学生的参与意识，培养学生的合作精神。
情感目标1.通过自主探究、交流合作，使学生体验探究的过程，从中体会学习的愉悦，激发学生的学习积极性。
2.通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育。
3.通过感受椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生良好的思维品质，激发学生对美好事物的追求。
四、教学重点与难点重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点等简单几何性质。
难点：利用椭圆的标准方程探究椭圆的几何性质。
五、学法、教法与教学用具1.学法：(1)自主探究+合作学习：教师设置问题，鼓励学生从椭圆的标准方程出发，自主探究，合作交流，发现数学规律和问题解决的途径，使学生经历知识形成的过程。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出掌握不足的内容以及存在的差距。
2.教法：本节课采用自主探究、合作交流相结合的教学方法，运用多媒体教学手段，通过设置问题，让学生在独立思考的基础上合作交流，加强知识发生过程的教学。
椭圆的简单几何性质
我们的新课讲到这里，前面提出的问题就可以
解决了！
x 2 y2 1 25 16
y 4 3 2 1
O
-5
-4 -3 -2 -1 0
1 2 3 4 -1 -2 -3
-4
5
x 8cm
10cm
4 6 3
5 5
3.求下列各椭圆的长轴长和短轴长，离心率，焦点 坐标，顶点坐标．
x 4y 16. （１） （２） 9x 2 y 2 81. x2 y2 【解析】 （1）已知方程化为标准方程为 + = 1，
2.2 椭圆的简单几何性质
选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
复习回顾 椭圆及其标准方程
17:38:37
复习回顾 椭圆及其标准方程
椭圆定义：平面内与两定点F1，F2的距离的
和等于常数(大于|F1F2 |)的点的
轨迹叫做 椭圆。 两 这两个定点叫做椭圆的焦点， M 焦点的距离叫做
椭圆的焦距。
F1
2.椭圆的对称性： x 2
x -x y 换成 -y -x， 在方程中，把 x
方程不变，说明： 椭圆关于 y 轴对称； 椭圆关于 x 轴对称； 椭圆关于 (0,0)点对称； 坐标轴是椭圆的对称轴，
y2 2 1( a b 0) 2 a b
y
Q(-x,y) o N(-x,-y) P(x,y) x
B2 y
A2 F2 B2 y
图 形
A1
F1 O B1
F2
A2 x
B1
O
F1
A1
x
方 程 范 围
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
y2 x2 2 1( a b 0 ) 2 a b
椭圆的简单几何性质
(a,0)(0,b)
(0,a)(b,0)
(c,0)
(0,c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c a2Leabharlann b2+c2e c a
例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程。
（1）在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互
相垂直，且焦距为6。
（2）椭圆过点（3,0），离心率
e
6 3
解：（1） x2 y2 1
今天这节课你有怎样的收获？
这节课让同学们深刻的体会到椭圆在高 考中的地位，它的重要性
学无止境，功夫下在平时，打 好基础从现在开始
作业：讲学稿： 达标检测4,5,6,7
足∠MF1F2=2∠MF2F1，求该椭圆的离心率。
答：e = 3 -1
（2）（2012·新课标卷）椭圆C：
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
的左、右焦点分别为F1，F2，P为直线
x
3a 2
上的一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角
形，求椭圆C的离心率。
解析：画图分析
答：e = 3 4
小结
2.1.2 椭圆的简单几何性质 （第二课时）
一、复习巩固：
标准方程
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
图象
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
-a≤x≤ a,-b≤ y≤b
-b≤x≤ b,-a≤y≤ a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
（2）焦点在18x轴9上：x2 + y2 = 1
93
焦点在 y轴上：x2 y 2 1 27 9
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2
a ≤ x ≤ a , b ≤ y ≤ b
、关于 x 轴对称 、关于原点对称 A1 (a, 0)、A2 (a, 0) B1 (0, b)、B2 (0, b) c e (0 e 1) a
关于 y 轴对称
下一页
x2 y2 思考 1. 椭圆 2 2 1 ( a b 0 ) 上的点到右焦点 a b a c 最小值为a c ______. F右 (c, 0) 的距离的最大值为_________, y P( x , y ) 0 0 分析:设 P( x0 , y0 ) 为椭圆上任一点,
这是椭圆的又一几何本质特征.
2
这个性质使我们对离心率的意义有更进一步的 了解
课堂练习
5
课堂练习: x2 y2 1 的焦点为 F1、F2 ，点 P 为其上的动点,当 1. 椭圆 9 4 F1 PF2 为钝角时，则点 P 的横坐标的取值范围是_______.
25 2.点 P 与定点 F (3,0) 的距离和它到定直线 : x 的距离之 3
法二:(数形结合)以 F1 F2 为直径的 xP2，而P1、P2 的坐标可由 x y2 1 4 9 3 5 3 5 解得x P1 ，x P2 5 5
8
= ( x0 c)2 b2
2
2
2
2
F 左
o
F 右
x
例 6.点 M ( x , y ) 与定点 F (4,0) 的距离和它到定直 25 4 线l : x 的距离的比是常数 ,求点 M 的轨迹. 4 5 25 解:设 d 是点 M 到直线 l : x 的距离 4 MF 4 依题意有 d 5 x2 y2 ( x 4)2 y 2 4 1 化简得 ∴ 25 9 25 5 x 4 ∴点 M 的轨迹是焦点为 (4,0)、 (4,0) ,长轴长为 10 的椭圆.
a x P( x , y ) c
0 0
2
d
o
F 右
x
a2 a2 点 P( x0 , y0 ) 到直线 x 的距离为 d x0 c c PF右 ∴ e 即点 P( x0 , y0 ) 到右焦点 F右 (c,0) 的距离 d a2 与它到直线 x 的距离之比为常数 e c
椭圆的第二定义:
点 M ( x , y ) 与定点 F (c,0) (c 0) 的距离和它到定直线
a c c : x 的距离的比是常数 (0 1) , 则点 M 的 c a a 轨迹是一个椭圆.其中定点 F (c,0) 是椭圆的一个焦点, a2 定直线 : x 是对应于焦点 F (c,0) 的一条准线, c c 常数 是椭圆的离心率 e . a
比为 3:5,则点 P 的轨迹方程是_________.
3 5 3 5 1. x 5 5
x y 2. 1 25 16
2
2
作业: P48 7、P49 7、P50 3
1答案
x y 1 的焦点为 F1、F2 ，点 P 为其上的动点， 椭圆 9 4 当 F1 PF2 为钝角时，则点 P 的横坐标的取值范围是 ____________.
则 PF右 ( x0 c ) 2 y0 2
a ex0 (∵ a ≤ x0 ≤ a , 0 e 1 )
同理可得 PF左 a ex0 (左加右减)
b x0 c x0 2 = 2 x c a 0 a2 a2 2 c 2 x02 2ca 2 x0 a 4 cx0 a = = = ex0 a 2 a a
2
2
5 5 设 P(x,y)， 则 | PF1 | a ex 3 x， | PF2 | a ex 3 x 3 3 5 2 x 1 | PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 由余弦定理,有 cos F1 PF2 9 5 2 2 | PF1 | | PF2 | 2(9 x ) 9 5 2 x 1 0 F1PF2为钝角1 cos F1 PF2 0，即 1 9 2 5x 2(9 ) 9 35 35 解之得 x . 7 法二 5 5
椭圆的简单几何性质
椭圆的标准方程
x y 2 1(a b 0) 2 a y b
A1
2
2
图形
焦点 范围 对称性 顶点 离心率
F
1
o
B1 F1 ( c , 0)、F (c , 0) (其中 c a 2 b 2 )
B2
M
线段 A1 A2 叫做长轴 线段 B1 B2 叫做短轴 F2 Ax
x2 y2 已知点 P ( x0 , y0 ) 是椭圆 2 2 1 ( a b 0 ) a b
上一点, F左 (c, 0) , F右 (c, 0) ,则 PF左 = a ex0 ,
PF右 a ex0 ( e 是离心率)
y
2
F 左
a ∵ PF右 = a ex0 = e x0 c