届大纲版数学高考名师一轮复习教案4.7 三角函数的综合应用microsoft word 文档doc
届数学一轮复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式教学案含解析
第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3。
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4。
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β）＝cos αcos β±sin αsin β。
tan(α±β)＝错误!。
2。
二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。
tan 2α＝错误!。
3.函数f（α）＝a sin α＋b cos α（a,b为常数），可以化为f（α）＝错误!sin（α＋φ)错误!或f(α)＝错误!·cos（α－φ)错误!.[常用结论与微点提醒]1。
tan α±tan β＝tan（α±β）(1∓tan αtan β)。
2。
cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝错误!。
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α）2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2，sin α±cos α＝错误!sin错误!。
诊断自测1。
判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(）(2）存在实数α,β,使等式sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立.（)（3）公式tan(α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β）(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立。
（)（4）存在实数α，使tan 2α＝2tan α。
三角函数的综合应用+课件-2025届高三数学一轮复习
(2)由题意，得 f(A)＝2sin 2A－π3－ 3＝0，即 sin 2A－π3＝ 23，
∵A∈0，π2， 则 2A－π3∈－π3，23π， ∴2A－π3＝π3，∴A＝π3.
在△ABC 中， 由 a2＝b2＋c2－2bc cos A＝42＋32－2×4×3×12＝13， 可得 a＝ 13， 又∵12bc sin A＝12AD×a，即12×4×3× 23＝21AD× 13， ∴AD＝61339，故 BC 边上的高 AD 的长为61339.
(2)根据正弦定理得sina A＝sinc C＝sinb
B＝
4 ＝8 3
3
3，
2
所以
a＝8
3
3 sin
A，c＝8
3
3 sin
C.
所以
a＋c＝8
3
3 (sin
A＋sin
C).
因为 A＋B＋C＝π，B＝π3，所以 A＋C＝23π，
所以 a＋c＝8
3
3 sin
A＋sin
23π－A＝8
3
33 2sin
A＋
23cos
A
＝8sin A＋π6.
因为 0＜A＜23π，
所以 A＋π6∈π6，56π，所以 sin A＋π6∈12，1，则 a＋c∈(4，8].
所以 a＋c 的取值范围是(4，8].
【反思感悟】已知三角形一边及其对角，求取值范围的问题 的解法
(1)(不妨设已知 a 与 sin A 的值)根据 2R＝sina A求出三角形外接
∴a2＋c2 b2＝sin2Asi＋n2Csin2B＝cos22sCin＋2Ccos2C ＝(1－2sin2Cs)in2＋2C(1－sin2C)＝2＋4sins4iCn2－C 5sin2C
届高考数学第一轮复习教案：第四章三角函数
2010届高三数学一轮复习精品教案一一三角函数、本章知识结构:ji•壬意垢的三垢函数诱导公式二I二、重点知识回顾1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边a 相同的角，都可以表示成 k • 360°+a 的形式，特例，终边在 X 轴上的角集合｛ a |a =k • 1800，k € Z ｝，终边在y 轴上的角集合｛ a |a =k • 1800+900, k € Z ｝，终边在坐标轴上的角的集合 ｛ a |a =k • 90°, k € Z ｝。
在已知三角函 数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。
理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；i180⑴角度制与弧度制的互化：二弧度工180 , 1弧度，1弧度工()'-57 18'180兀代1 21 ⑵弧长公式：I = vR ；扇形面积公式：SR 2 RI 。
2 22、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角 函数的关系式、诱导公式：(1)三角函数定义：角:中边上任意一点 P 为(x, y)，设|OP|=r 则：y x 丄y sin , cos , tan .：:r rx(2)三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；(3)特殊角的三角函数值a0 Jt6 3143JI2JI3兀 22兀sin a1 2也2厂<3210 -1COS a1v3 2住2120 -1 0 1同角三角隨数 的挂本关系式—哇再卑三週函竺町丐义层导公式五 *导公衣IESI卡导公武三旁导©武二（3）同角三角函数的基本关系：sin 2x • cos 2x =1;tanxcosx（4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限 ）sin （二-? ） = sin a ,cos （二cos a ta n （二tan asin （，亠黒）=—sin a ,cos （，亠很）=—cos a tan （，亠很）=tan a sin （ v ）=— sin a ,cos （ -: ） = cos «,tan （ ） = — tan asin （2二-:）=—sin a ,cos （2二）=cos a ta n （2二-:）=—tan asin （2k 兀 +o （ ）= sin a cos （2k 兀 ）= cos a ta n （2k 兀 ） = tan a, （k Z ）JIJIsin （ ） = cos a ,cos （） = sin a 22JI31sin （） = cosa,cos （） = -sin a223、两角和与差的三角函数（1 ）和（差）角公式① sin （卅二『■） = sin ： cosl-：,二cos ： sin :;（2）二倍角公式二倍角公式：① sin 2〉=2 sin 〉cos> ； （3 ）经常使用的公式21 cos2： 1 .小 cos 、sin ：cos sin 2：；2 2③正切公式的变形：tan 二■ ta n - - ta n （二】“）（1-ta n tan ：）.4、三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数 y 二si nx , y =cosx , y 二ta nx 的图象与性质，并挖掘：⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义•会求y =Asin （「x •「）的周期，或者经过简单的恒②辅助角公式：asint 亠 bcos 〉= a 2 ■ b 2 sin （黒亠"）（‘由 a,b 具体的值确定）；② cos （二 I ） =cos t cos L'sin 「sin:;③ tan （、丄二 l ：,）=② cos2 ：二 cos2-sin 2 ： = 2 cos 2「122ta n ot二 1「2sin :;③ tan2—1 - ta n 2ot①升（降）幕公式：sin2〉二 一cos22等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；y=si nx的对称轴是x=k二•一（k，Z），对称中心是（k二,0）（k • Z）；23Ty = cosx 的对称轴是x = k 二（k • Z ），对称中心是（k ；亠，0） （k • Z ）2, k 兀y = ta nx 的对称中心是（E~,O ）（k ・Z ）注意加了绝对值后的情况变化 • ⑷写单调区间注意 -0.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数y =Asin （「x •「）的简图，并能由图象写出解析式.⑴“五点法”作图的列表方式;⑵求解析式y =Asin （「X •「）时处相「的确定方法：代（最高、低）点法、公式x 1二--co（三）正弦型函数 y =Asin （「x • J 的图象变换方法如下: 先平移后伸缩向左（40）或向右（申史）y =sinx 的图象平移〔个单位长度 _横坐标伸长（0<防1）或缩短（国>1）得 y =sin （x 亠仃）的图象 --------------- 1 -------------------到原来的2（纵坐标不变）©纵坐标伸长（A?）或缩短（0< A<1）得y 二sin （ ）的图象为原来的A 倍（横坐标不变） 亠向上（k£）或向下（k <0）得y =Asin （・・x ■「）的图象 --- 平移凶个单位长度’一； 得 y =Asin （x • k 的图象.先伸缩后平移纵坐标伸长（AM ）或缩短（0y =sinx 的图象 -------- 为原来的A 咅（横坐标不变）一一横坐标伸长（0©£）或缩短（灼/）得y-Asinx 的图象到原来的和纵坐标不变）'o5、解三角形注：① a : b : c = sin A : sin B : sin C :② a = 2Rsn b =— 。
高三数学一轮复习学案：三角函数的最值与综合应用
高三数学一轮复习学案：三角函数的最值与综合应用一、考试要求： 1、理解正弦函数、余弦函数在[]π2,0上最大值、最小值，理解正切函数在上性质。
，⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题。
二、知识梳理：1、型三角函数式，可化为x b x a cos sin y += )sin(y 22ϕ++=x b a ，再求最值。
2、c x b x a y ++=sin sin 2型三角函数式，利用换元法转化成二次函数在闭区间上的最值问题进行求解。
三、基础检测： 1.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （ ）（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）232.已知函数R x x x x f ∈-=,cos sin 3)(，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（ ） A. |,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B. |22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C. 5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 3.已知函数()sin(2)f x x φ=+其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立， 且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 （ ） （A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭ （B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭4.函数sin cos 26y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为 5.函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f6.已知函数f （x ）=A tan （ωx+ϕ）（ω＞0，2π＜ω），y=f （x ）的部分图像如下图，则f （24π）=____________.7．函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)在[43,8ππ]上的最大值和最小值分别是 8.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________9.求f(x)=cos 2(x-12π)+sin2(x+12π)-1的最小正周期及单调区间，以及取最值时x 的集合。
三角函数(一轮复习教案)
第三章三角函数 (1)第一节角的概念与任意角的三角函数 (2)第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (9)第三节三角函数的图象与性质 (16)第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用 (24)第五节和角公式 (37)第六节倍角公式与半角公式 (45)第七节正弦定理和余弦定理 (53)第八节正弦定理、余弦定理的应用举例 (61)第三章三角函数知识网络：学习重点：三角函数是高考命题的重点，分值约占10%～15%，一般是一个小题和一个大题，以中低档题为主．1．主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新．2．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识．3．高考命题中，本章常与平面向量相结合，既可以考查平面向量的运算，又可以考查三角函数式的化简和三角函数的性质，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求.学法指导：1.立足基础，着眼于提高．立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背．2．突出数学思想方法．应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想．在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．3．抓住关键，三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理．4．注意三角函数与向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.第一节 角的概念与任意角的三角函数学习目标：1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 考点梳理：1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α(k ∈Z )． 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度数在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为αrad ，则α＝lr.(3)角度与弧度的换算①n °＝n π180rad ；②α rad ＝(180απ)°.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝rα，扇形的面积为S ＝12lr ＝12r 2α.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)三角函数在各象限的符号一全正，二正弦，三正切，四余弦． 4．单位圆与三角函数线(1)单位圆：半径为1的圆叫做单位圆． (2)三角函数线． (3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)． 思考：1．“角α为锐角”是“角α为第一象限角”的什么条件？ 【提示】 充分不必要条件．2．终边在直线y ＝x 上的角的正弦值相等吗？【提示】 当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等． 学情自测：1．已知锐角α终边上一点A 的坐标是(2sin π3，2cos π3)，则α弧度数是( )A ．2 B.π3 C.π6 D.2π3【解析】 点A 的坐标为(3，1)．∴sin α＝132＋1＝12，又α为锐角，∴α＝π6.【答案】 C2．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx【解析】 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中，x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.【答案】 D3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【解析】 由sin α＜0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α＞0，∴α在第三象限．【答案】 C4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．【解析】 ∵l ＝3π，α＝135°＝3π4，∴r ＝l α＝4，S ＝12lr ＝12×3π×4＝6π.【答案】 4 6π5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.【解析】 由三角函数的定义，sin θ＝y16＋y 2，又sin θ＝－255＜0，∴y ＜0且y 16＋y 2＝－255，解之得y ＝－8. 【答案】 －8 典例探究：例1（角的集合表示）(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)已知α是第三象限角，求α2所在的象限．【思路】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．(2)把α写成集合的形式，从而α2的集合形式也确定．【解答】 (1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z }，当角的终边在第三象限时，角的集合为{α|α＝2k π＋43π，k ∈Z }，故所求角的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z }∪{α|α＝2k π＋43π，k ∈Z }＝{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．(2)∵2k π＋π＜α＜2k π＋32π(k ∈Z )，∴k π＋π2＜α2＜k π＋34π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π2＜α2＜2n π＋34π，α2是第二象限角，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋3π2＜α2＜2n π＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角,变式训练1：若角θ的终边与π3角的终边相同，则在[0,2π)内终边与角θ3的终边相同的角为________．【解析】 ∵θ＝π3＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝π9＋23k π(k ∈Z )，当k ＝0,1,2时，θ3＝π9，7π9，13π9.【答案】 π9，7π9，13π9例2（弧度制的应用）已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．【思路】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α；(3)利用S 弓＝S 扇－S △，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积．【解答】 (1)l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得：l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2 rad. (3)设弓形面积为S 弓．由题知l ＝2π3cm ，S 弓＝S 扇－S △＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝(2π3－3)(cm 2)变式训练2：已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】(1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝103π，S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3.又S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50(π3－32).例3（三角函数的定义）(1)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114 B.114C ．－4D ．4(2)已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 【思路】(1)求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解．(2)在直线上设一点P (4t ，－3t )，求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P 可在不同的象限内，所以需分类讨论． 【解答】 (1)点P 到原点O 距离|OP |＝m 2＋9，∴cos α＝m m 2＋9＝－45，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16m ＜0，∴m ＝－4. 【答案】 C(2)在直线3x ＋4y ＝0上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ， ∴r ＝|PO |＝x 2＋y 2＝4t 2＋－3t 2＝5|t |， 当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，当t ＞0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.当t ＜0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.变式训练3：设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求4sin α－3tan α的值．【解】 ∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5，从而24x ＝x x 2＋5，解得x ＝0或x ＝± 3.∵90°＜α＜180°，∴x ＜0，因此x ＝－ 3.则r ＝22，∴sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.故4sin α－3tan α＝10＋15.小结：一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 两个技巧1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．2．利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧． 三点注意1.第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．课后作业(十六) 角的概念与任意角的三角函数一、选择题图3－1－21．(2013·宁波模拟)如图3－1－2，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)【解析】 设P (x ，y )，由三角函数定义知sin θ＝y ，cos θ＝x ，故点P 的坐标为(cos θ，sin θ)．【答案】 A2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1【解析】 由题设，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1.【答案】 C 3．(2013·海淀模拟)若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( )A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【解析】 由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x 轴对称，故选C.【答案】 C4．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，且sin α＞0，则cos α和tan α的值分别为( )A.55，－2 B ．－55，－12 C ．－255，－2 D ．－55，－2【解析】 由题意知，角α的终边在第二象限，在角α的终边上取点P (－1,2)，则r ＝5，从而cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2，故选D.【答案】 D5．(2013·昆明模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tanα＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43【解析】 由题意知x ＜0，r ＝x 2＋16，∴cos α＝x x 2＋16＝15x ，∴x 2＝9，∴x ＝－3，∴tan α＝－43.【答案】 D6．已知点P (sin 3π4，cos 34π)在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4【解析】 由已知得P (22，－22)，∴tan θ＝－1且θ是第四象限角，∴θ＝7π4.【答案】 D 二、填空题 7．(2013·潍坊模拟)若角120°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________．【解析】 由题意知－a4＝tan 120°，∴－a4＝－3，∴a ＝4 3.【答案】 4 38．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝________.【解析】 因为角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上， 所以角α是第二象限角，因此sin α＞0，cos α＜0， 故|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝1＋1＝2. 【答案】 29．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．【解析】 由题意知点Q 是角2π3的终边与单位圆的交点，设Q (x ，y )，则y ＝sin 2π3＝32，x ＝cos 2π3＝－12，故Q (－12，32)．【答案】 (－12，32)三、解答题10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值． 【解】 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，因此sin θ＋cos θ＝－ 2.11．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求AB 的长；(2)求AB 所在弓形的面积．【解】 (1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6，∴AB 的长l ＝2π3×6＝4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，S △ABO ＝12r 2·sin 2π3＝12×62×32＝93，∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.12．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．【解】 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )．所以，sin α＝－2a a 2＋－2a2＝－25， cos α＝a a 2＋－2a 2＝15，tan α＝－2a a＝－2，sin β＝a 2a 2＋a 2＝15，cos β＝2a 2a 2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25·15＋15·25＋(－2)×12＝－1.第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式学习目标：1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x . 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.考点梳理：1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．．诱导公式组数 一 二 三 四 五角 α＋2k π(k ∈Z ) －α α＋(2k ＋1)π(k ∈Z ) α＋π2 －α＋π2正弦 sin α －sin_α －sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α cos_α －cos_α －sin_α sin_α 正切 tan α －tan_α tan_α 口诀 函数名不变符号看象限 思考：1．有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？【提示】 不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 2．sin(－π－α)如何使用诱导公式变形？ 【提示】 sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sin α. 学情自测：1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( )A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±1213【解析】 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－513，∴cos α＝513，又α是第四象限角，∴sin α＜0，则sin α＝－1－cos 2α＝－1213.【答案】 A2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3【解析】 由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)得 －sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝3，又|θ|＜π2，∴θ＝π3，故选D.【答案】 D 3．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32【解析】 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 【答案】 A4．若cos α＝－35且α∈(π，3π2)，则tan α＝( )A.34B.43 C ．－34 D ．－43【解析】 ∵cos α＝－35，且α∈(π，3π2)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－－352＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝43.【答案】 B 5．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( )A ．－1B ．－22 C.22D ．1【解析】 因为sin α－cos α＝2，所以1－2sin αcos α＝2， 即sin 2α＝－1. 【答案】 A 典例探究：例1（同角三角函数关系式的应用）(1)(2013·潍坊模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25C ．－2D ．2 (2)(2013·银川模拟)已知α∈(π，3π2)，tan α＝2，则cos α＝________.【思路】 (1)先根据已知条件求得tan α，再把所求式变为用tan α表示的式子求解；(2)切化弦，结合sin 2α＋cos 2α＝1求解．【解答】 (1)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15；又α∈(π，3π2)，因此cos α＝－55.【答案】 (1)A (2)－55,变式训练1：(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( )A ．－2425B ．－1225 C.1225 D.2425【解析】 ∵α为第二象限角且sin α＝35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴sin 2α＝2sin α·cos α＝2×35×(－45)＝－2425.【答案】 A例2（诱导公式的应用）(1)已知tan α＝2，sin α＋cos α＜0，则sin 2π－α·sin π＋α·cos π＋αsin 3π－α·cos π＋α＝________.(2)已知α为第三象限角，f (α)＝sin α－π2·cos 3π2＋α·tan π－αtan －α－π·sin －α－π，①化简f (α)；②若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．【思路】(1)先利用诱导公式对原式进行化简，再根据tan α＝2，结合α的范围和同角三角函数关系式求解；(2)①直接利用诱导公式化简约分．②利用α在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f (α)．【解答】 (1)原式＝－sin α·－sin α·－cos α－sin α·cos α＝sin α，∵tan α＝2＞0，∴α为第一象限角或第三象限角． 又sin α＋cos α＜0，∴α为第三象限角，由tan α＝sin αcos α＝2，得sin α＝2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝－255.【答案】 －255(2)①f (α)＝sinα－π2·cos 3π2＋α·tan π－αtan －α－π·sin －α－π＝－cos α·sin α·－tan α－tan α·sin α＝－cos α.②∵cos(α－3π2)＝15，∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.变式训练2： (1)(2013·烟台模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于( )A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12(2)(2013·台州模拟)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β为非零实数)， 若f (2 012)＝5，则f (2 013)＝( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定 【解析】 (1)sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin(180°＋60°)＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝－32＋3＝32.(2)∵f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4 ＝a sin α＋b cos β＋4＝5， ∴a sin α＋b cos β＝1，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝－1＋4＝3. 【答案】 (1)B (2)A 例3（sin α±cos α与sin α·cos α的关系）(2013·扬州模拟)已知－π＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x1－tan x的值．【思路】(1)利用平方关系，设法沟通sin x －cos x 与sin x ＋cos x 的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角x 的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来．【解答】(1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π＜x ＜0，∴sin x ＜0，又sin x ＋cos x ＞0， ∴cos x ＞0，sin x －cos x ＜0，故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x cos x ＋sin x 1－sin x cos x＝2sin x cos x cos x ＋sin x cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.变式训练3：已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求tan x 的值．【解】(1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π2＜x ＜0，∴sin x ＜0，cos x ＞0，sin x －cos x ＜0，故sin x －cos x ＝－75.(2)由(1)得sin x －cos x ＝－75，故由⎩⎨⎧sin x ＋cos x ＝15sin x －cos x ＝－75，得sin x ＝－35，cos x ＝45，∴tan x ＝sin x cos x ＝－3545＝－34.小结：一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 两个防范1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4等．课后作业(十七) 同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1．(2013·郑州模拟)记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( )A.1－k 2k B ．－1－k 2kC.k 1－k 2 D ．－k 1－k 2【解析】 由cos(－80°)＝k ，得cos 80°＝k ， ∴sin 80°＝1－k 2，∴tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－1－k 2k.【答案】 B2．(2013·温州模拟)若cos(π2＋θ)＝32，且|θ|＜π2，则tan θ＝( )A ．－ 3 B.33 C ．－33D. 3【解析】 ∵cos(π2＋θ)＝32，∴－sin θ＝32，即sin θ＝－32，∵|θ|＜π2，∴θ＝－π3，∴tan θ＝tan(－π3)＝－ 3.【答案】 A3．(2013·济南模拟)已知α∈(－π2，0)，sin(－α－3π2)＝55则sin(－π－α)＝( )A.55B.255 C ．－55 D ．－255【解析】 ∵sin(－α－3π2)＝－sin(3π2＋α)＝cos α＝55，且α∈(－π2，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－525＝－255，∴sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sin α＝－255.【答案】 D 4．(2013·保定模拟)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.45【解析】 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.【答案】 D5．(2013·普宁模拟)若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ的值为( )A ．－81727 B.81727 C.82027 D ．－82027【解析】 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，∴sin θ＝3cos θ，∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝3cos 2θ＋127cos 2θ＝8227cos 2θ由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝3cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1得cos 2θ＝110，∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝82027. 【答案】 C6．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin －α－3π2sin 3π2－αtan 22π－αcos π2－αcos π2＋αsin π＋α＝( )A.35B.53C.45D.54【解析】 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－1sin α＝53.【答案】 B 二、填空题7．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________．【解析】 sin(3π4－α)＝sin[π－(π4＋α)]＝sin(π4＋α)＝32.【答案】 328．(2013·青岛模拟)已知tan α＝2，则7sin 2α＋3cos 2α＝________.【解析】 7sin 2α＋3cos 2α＝7sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝7tan 2α＋3tan 2α＋1＝7×22＋322＋1＝315.【答案】 3159．已知sin(x ＋π6)＝14，则sin(7π6＋x )＋cos 2(5π6－x )＝________.【解析】 原式＝－sin(π6＋x )＋cos 2(π6＋x )＝－14＋(1－142)＝1116.【答案】 1116三、解答题10．已知函数f (x )＝1－sin x －3π2＋cos x ＋π2＋tan 34πcos x.(1)求函数y ＝f (x )的定义域；(2)设tan α＝－43，求f (α)的值．【解】 (1)由cos x ≠0，得x ≠π2＋k π，k ∈Z ，所以函数的定义域是{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }．(2)∵tan α＝－43，∴f (α)＝1－sin α－3π2＋cos α＋π2＋tan 34πcos α＝1－cos α－sin α－1cos α＝－cos α－sin αcos α＝－1－tan α＝13.11．已知tan(α＋87π)＝a .求证：sin 157π＋α＋3cos α－137πsin 207π－α－cos α＋227π＝a ＋3a ＋1.【证明】 由已知得左边＝sin[π＋α＋87π]＋3cos[α＋8π7－3π]sin[4π－α＋87π]－cos[2π＋α＋87π]＝－sin α＋87π－3cos α＋87π－sin α＋87π－cos α＋87π＝tan α＋87π＋3tan α＋87π＋1＝a ＋3a ＋1＝右边，所以原等式成立．12．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【解】 由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32.又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.第三节 三角函数的图象与性质学习目标：1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间(－π2，π2)内的单调性.考点梳理：1．周期函数和最小正周期对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．若在所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期．y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan xπ思考：1．是否每一个周期函数都有最小正周期？【提示】 不一定．如常数函数f (x )＝a ，每一个非零数都是它的周期．2．正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点是什么关系？ 【提示】 y ＝sin x 与y ＝cos x 的对称轴方程中的x 都是它们取得最大值或最小值时相应的x .对称中心的横坐标都是它们的零点． 学情自测：1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A ．{x |x ≠32π＋3k π，k ∈Z }B ．{x |x ≠π6＋k π，k ∈Z }C ．{x |x ≠－π6＋k π，k ∈Z }D ．{x |x ≠π6＋k π3，k ∈Z }【解析】 由3x ≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠π6＋k π3，k ∈Z ，故选D.【答案】 D2．函数f (x )＝2cos(x ＋5π2)是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的偶函数【解析】 f (x )＝2cos(x ＋52π)＝2cos(x ＋π2)＝－2sin x ，故f (x )是最小正周期为2π的奇函数．【答案】 A3．(2012·福建高考)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2【解析】 法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.法二 x ＝π4时，y ＝sin(π4－π4)＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin(π2－π4)＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin(－π4－π4)＝－1，符合题意，C 项正确；而x ＝－π2时，y＝sin(－π2－π4)＝－22，不合题意，故D 项也不正确．【答案】 C4．比较大小：sin(－π18)________sin(－π10)．【解析】 ∵－π2＜－π10＜－π18＜0，∴sin(－π18)＞sin(－π10)．【答案】 ＞5．函数y ＝2－3cos(x ＋π4)的最大值为________，此时x ＝________.【解析】 当cos(x ＋π4)＝－1时，函数有最大值5，此时，x ＋π4＝π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝34π＋2k π，k ∈Z .【答案】 5 34π＋2k π，k ∈Z典例探究：例1（三角函数的定义域和值域）(1)(2012·山东高考)函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．【思路】(1)先确定πx 6－π3的范围，再数形结合求最值；(2)由tan x －1≠0且x ≠k π＋π2，k ∈Z 求解．【解答】 (1)∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin(π6x －π3)∈[－32，1]．∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. (2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．【答案】 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z },变式训练1：(1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．(2)当x ∈[π6，7π6]时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．【解析】 (1)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，故函数的定义域为[2k π＋π6，2k π＋56π](k ∈Z )．(2)∵x ∈[π6，76π]∴－12≤sin x ≤1，又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1＝2(sin x －14)2＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.【答案】 (1)[2k π＋π6，2k π＋5π6](k ∈Z ) (2)782例2（三角函数的单调性）(2012·北京高考)已知函数f (x )＝sin x －cos x sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．【思路】(1)求定义域时考虑分母不为零，然后对f (x )解析式进行化简，转化成正弦型函数的形式，再求周期；(2)求单调递减区间时利用整体代换，把ωx ＋φ当作一个整体放入正弦的减区间内解出x 即为减区间，不要忽略对定义域的考虑． 【解答】(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．sin x－cos x sin 2x因为f(x)＝sin x＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )．变式训练2:(2013·武汉模拟)已知函数y ＝sin(π3－2x )，求：(1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．【解】由y ＝sin(π3－2x )可化为y ＝－sin(2x －π3)．(1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin(π3－2x )的减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .取k ＝－1,0可得函数在[－π，0]上的单调递减区间为[－π，－7π12]和[－π12，0].例3（三角函数的奇偶性、周期性和对称性）设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，给出以下四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；③它的图象关于点(π3，0)成中心对称图形；④在区间[－π6，0)上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．【思路】本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断．【解答】若①、②成立，则ω＝2ππ＝2；令2·π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，∴φ＝π3.此时f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π3时，sin(2x ＋π3)＝sin π＝0，∴f (x )的图象关于(π3，0)成中心对称；又f (x )在[－5π12，π12]上是增函数，∴在[－π6，0)上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④. 【答案】 ①②⇒③④或①③⇒②④, 变式训练3：已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列说法正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数【解析】周期T ＝2ππ＝2，f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cos πx －1，因此函数f (x )是偶函数，故选B.【答案】 B 小结：两条性质1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．2．对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．课后作业(十八) 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2013·银川模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin(2x ＋π3)B ．y ＝2sin(2x －π6)C ．y ＝2sin(x 2＋π3)D ．y ＝2sin(2x －π3)【解析】根据函数的最小正周期为π，排除C ，又图象关于直线x ＝π3对称，则f (π3)＝2或f (π3)＝－2，代入检验知选B. 【答案】 B2．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是( )A ．{x |x ≠π4}B ．{x |x ≠－π4}C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z }【解析】y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠n π＋3π4，k ∈Z ，故选D.【答案】 D3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]【解析】 f (x )＝(sin x ＋12)2－54，∵sin x ∈[－1,1]，∴－54≤f (x )≤1，∴f (x )的值域为[－54，1]．【答案】 C 4．(2013·日照质检)函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值为( )A.5π12B.11π6C.11π12D ．以上都不对 【解析】 函数y ＝sin 2x 的图象平移后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)，其图象关于x ＝π6对称，所以2·π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝－k 2π－π12(k ∈Z )，故当k ＝－1时，φ的最小值为5π12.【答案】 A5．(2013·北京模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f (π7)，b ＝f (π6)，c ＝f (π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【解析】 ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，从而f (π3)＝f (0)，又f (x )在[0，π6]上是增函数，∴f (0)＜f (π7)＜f (π6)，即c ＜a ＜b .【答案】 B 6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数【解析】 ∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13，∴13×π2＋φ＝2k π＋π2， ∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵－π＜φ≤π，∴令k ＝0得φ＝π3.∴f (x )＝2sin(x 3＋π3)．令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z .易知f (x )在区间[－2π，0]上是增函数． 【答案】 A 二、填空题7．(2013·延吉模拟)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________.【解析】 由|α－β|的最小值为π3知函数f (x )的周期T ＝43π，∴ω＝2πT ＝32.【答案】 328．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．【解析】 依题意得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)．因为x ∈[0，π2]，所以2x －π6∈[－π6，56π]，所以sin(2x －π6)∈[－12，1]，所以f (x )∈[－32，3]．【答案】 [－32，3]9．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________．【解析】 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．【答案】 ③④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，(1)求f (π4)的值；(2)若x ∈[0，π2]，求f (x )的最大值及相应的x 值．【解】 (1)∵f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，∴f (π4)＝sin π4cos π4＋sin 2π4＝(22)2＋(22)2＝1.(2)f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12， 由x ∈[0，π2]得2x －π4∈[－π4，3π4]，所以，当2x －π4＝π2，即x ＝38π时，f (x )取到最大值为2＋12.11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8，(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．【解】 (1)∵直线x ＝π8是函数f (x )图象的一条对称轴，∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，∴φ＝－34π.(2)由(1)知f (x )＝sin(2x －34π)，令－π2＋2k π≤2x －34π≤π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z . 因此y ＝f (x )的单调增区间为[π8＋k π，58π＋k π]，k ∈Z .12．(2013·潍坊模拟)已知向量a ＝(A sin ωx ，A cos ωx )，b ＝(cos θ，sin θ)，f (x )＝a ·b ＋1，其中A ＞0，ω＞0，θ为锐角．f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且当x ＝π12时，f (x )取得最大值3.(1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ＞0)个单位得g (x )的图象，若g (x )为奇函数，求φ的最小值．【解】 (1)f (x )＝a ·b ＋1＝A sin ωx ·cos θ＋A cos ωx ·sin θ＋1＝A sin(ωx ＋θ)＋1，∵f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.∵当x ＝π12时，f (x )的最大值为3，∴A ＝3－1＝2，且有2·π12＋θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π3，∵θ为锐角，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)＋1.(2)由题意可得g (x )的解析式为g (x )＝2sin[2(x ＋φ)＋π3]，∵g (x )为奇函数，∴2φ＋π3＝k π，φ＝k π2－π6(k ∈Z )，∵φ＞0，∴当k ＝1时，φ取最小值π3.第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的应用学习目标：1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 考点梳理：1．2.3.由(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移思考：1．五点作法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，首先确定哪些数据？【提示】 先确定ωx ＋φ，即先使ωx ＋φ等于0，π2，π，3π2，2π，然后求出x 的值．2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？【提示】 可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移|φω|个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误． 学情自测：1．已知简谐运动f (x )＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3【解析】 由题意知f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝12，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，又T ＝6，故选A.【答案】 A2．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为( )A ．1B ．4 C.14D ．2【解析】 横坐标变为原来的2倍，则x 变为12x ，故得到的函数解析式为y ＝sin 14x ，故选C.【答案】 C3．将函数y ＝sin x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象上所有的点向右平行移动π10个单位，得到图象的函数解析式为( )A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π20)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)【解析】 将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到的图象解析式为y ＝sin 12x ，再把所得图象上所有点向右平移π10个单位，得到的图象解析式为y＝sin 12(x －π10)＝sin(12x －π20)．【答案】 D4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图3－4－1所示，则( )图3－4－1A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由图象知A ＝1，T ＝4(712π－π3)＝π，∴2πω＝π，ω＝2，排除A ，B ，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6. 【答案】 D 5．(2012·安徽高考)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位【解析】 ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos 2(x ＋12)，∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可，故选C.【答案】 C 典例探究：例1（函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换） (1)(2012·浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )。
高三数学三角函数复习教案
高三数学三角函数复习教案函数的知识是高中里面比较重要的知识，教师需要好的教案来教导学生，今天小编在这里整理了一些高三数学三角函数复习教案，我们一起来看看吧!高三数学三角函数复习教案1“函数的单调性”教案【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力.【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程.【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明. 函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识(如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等)所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下(1)函数的单调性起着承前启后的作用。
一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系;函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。
(2)函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。
(word完整版)高三一轮复习、三角函数教案
富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:1审核人签字:3年级：高三(文) 科目：数学授课人:富县高级中学集体备课教案5审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:7审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:9审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:COS a ；(4)sin a± e os 2sin a±n .4.函数f( a=) acos oF bsin a (a b 为常数),可化为 f( a 寸 a2+ b2 sin( a f( e) a2+ b2 cos(方$)其中$可由a , b 的值唯一确定.二：题型归类 深度剖析 题型一：三角函数式的化简与求值1 t a【例1】(1)化简：+ atan 2tanz9, sin a 3 = I ，求 cos( a B 的值.题型三：三角函数的给值求角1 II【例I 】 已知cos %=-，cos(尸3 e —,且O v 37 14v aV n ，求 3.题型四：三角变换的综合应用1【例4】 已知f(x) =1 + sin2x —tanxn n2sin x + 4 sin x — 4 .(1) 若 tan = 2，求 f( 0的值； (2) 若 x €，n ，求f(x)的取值范围.归纳小结：(1) 拆角、拼角技巧：2 a= ( aF 3F ( — 3，a= ( a、a+ 3 a — 3 a — 3 3 a+ 3— 3 3= 2 - 2 ， 2 = a+ 2 - 2F 3 .(2) 化简技巧：切化弦， “1的代换等.a-• 1 + tan (2)求值：［2si n50 ° +sinlO (°tanlO ° \2sin280题型二：三角函数的给值求值 n【例2】已知0V 3V 2< aVn,且 cos a —㊁审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:过程1(3) S = 尹 + b+ c)(r为内切圆半径).1(4) 设p = 2(a+ b + c),则S=寸p p—a p —b p—c .4•解二角形问题一般可用以下几步解答：第一步：利用正弦定理或余弦定理实现边角互化(本题为边化角)第二步：三角变换、化简、消兀，从而向已知角(或边)转化第三步：代入求值第四步：反思回顾，查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确二：题型归类深度剖析题型一：利用正弦定理解三角形【例1 】在厶ABC 中，a=^/3, b=^, B = 45° 求A, C 和边c.题型二：利用余弦定理解三角形【例2】在厶ABC中，a、b、c分别是角A、B、cosB bC的对边，且cosC=—2a+ c.(1) 求角B的大小；(2) 若b =浙3, a+ c= 4,求厶ABC的面积. 题型三：正弦定理、余弦定理的综合应用【例3】已知a, b, c分别为△ ABC三个内角A, B , C 的对边，acosC+Q3asinC—b—c = 0.(1) 求A;(2) 若a= 2,A ABC的面积为寸3,求b, c.归纳小结：(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其他边或角•可能有一解、两解、无解.(2)判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.审核人签字:富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:审核人签字：年月日。
高三数学一轮复习 第九节 三角函数的应用教案 新人教版
例1第9课 解三角形的应用【考点导读】1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力．【基础练习】1．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________m ．2．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x的值为_______________km ． 3．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 60 ，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东154．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离2d 之间的大小关系为_______________．5．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于B ，D ，已知ABD ∆为边长等于a 的正三角形，当目标出现于C 时，测得45BDC ∠=，75CBD ∠=，求炮击目标的距离AC 解：在BCD ∆中，由正弦定理得：sin 60sin 45a BC=︒︒∴BC =在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠∴AC =答：线段AC ． 【范例解析】例 1.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．分析：构造三角形，根据正弦定理或余弦定理解决问题． 解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．A BCD第5题23或3 340021d d <1A2A例2（1）在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．答：塔高AB 为tan sin sin()s θβαβ+·．点评：有关测量问题，构造三角形结合正弦定理或余弦定理求解． 例2.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行， 乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船 位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里， 当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的2B处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解． 解法一：如图(2)，连结12A B，由已知22A B =122060A A ==1222A A AB ∴=， 又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212A B A A ∴==由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠， 在121A B B △中，由余弦定理，22212111211122cos45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯200=．12B B ∴=60=（海里/小时）答：乙船每小时航行海里． 解法二：如图（3），连结21A B ， 由已知1120A B =，122060AA ==112105B A A = ∠， cos105cos(4560)=+ cos 45cos60sin 45sin 60=- 4=，1A2A例2（2）1A2A例2（3）sin105sin(4560)=+ sin 45cos60cos 45sin 60=+4=．在211A A B △中，由余弦定理，22221111211122cos105A B A B A A A B A A =+-2220220=+-⨯100(4=+．2110(1A B ∴=．由正弦定理1112111221sin sin A B A A B B A A A B ===∠∠ 12145A A B ∴= ∠，即121604515B A B =-= ∠，cos15sin1054==．在122B A B △中，由已知22A B =22212212221222cos15B B A B A B A B A B =+-22210(1210(1=+-⨯⨯200=．12B B ∴=6020⨯=（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程． 例3.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南θ（cos 10θ=）方向300km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始 受到台风的侵袭？分析：解决本题的关键是读懂题目，弄清题目条件， 解法一：如图(1)，设经过t 小时后台风中心为Q ，此时台风 侵袭的圆形区域半径为1060t +()km ．若在t 时刻城市O东O 例3(1)受到台风的侵袭，则1060OQ t ≤+．在OPQ △中，由余弦定理得：2222cos OQ PQ PO PQ PO OPQ =+-⋅⋅∠． 又300PO =，20PQ t =，cos cos(45)OPQ θ∠=-︒， 故22400960090000OQ t t =-+．因此，22400960090000(1060)t t t -+≤+，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤．答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.解法二：如图（2）建立坐标系以O 为原点，正东方向为在时刻t 时台风中心Q （y x,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.点评：本题的设计抓住“台风中心的运动”以及“运动过程中台风半径的匀速扩张”两个主要特点.解法二是建立坐标系，转化为点和圆的位置关系求解. 【反馈演练】1．江岸边有一炮台高30m 45︒和30︒，而且两条船与炮台底部连线成30︒角，则两条船相距m ． 2．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20︒，现要将倾斜角改为10︒，则坡底要伸长____1___km ． 3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是海里． 4．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒，则第三条边AC 的最小值是cm ．5．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一东O例3（2）经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=6．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础 设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）． 如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于 ．7．发电机发出的三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数，sin A I t ω=，sin(120)B I t ω=+︒，sin(240)C I t ω=+︒，则A B C I I I ++= 0 ．8．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = ，其中[0,60]t ∈．9．如图，某人在高出海面600m 的山上P 处，测得海面上的航标A 在正东，俯角为30︒，航标B 在南偏东60︒，俯角为45︒，则这两个航标间的距离为___600___m ．10．如图，隔河看两目标A ，B ，但不能到达，在岸边选相距3km 的C 、D 两点，并测得75ACB ∠=︒， 45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒，30ADB ∠=︒（A ，B，C ，D 在同一平面内），求两目标A ，B 之间的距 离． 解：在ACD中，CD =，120ACD ∠=︒，30ADC∠=︒得AC =，则3AD =．在BCD 中，45BCD ∠=︒，CD =，60BDC ∠=︒，由正弦定理sin 75sin 45BD=︒︒得：3BD =在ABC 中，由余弦定理229(323(3cos30AB =+-⨯⨯⨯︒，CDBA第10题PCA45︒30︒第9题72510sin60tπ第6题解得2AB =．答：两目标A ，Bkm ．11．在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距离A处1)海里的B 处有一走私船，在A 处北偏西75︒方向，距离A 处2海里C处的缉私艇奉命以/小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30︒方向逃窜，问缉私艇沿什么方向能最快追上走私船？ 解：设缉私艇用t 小时在D 处追上走私船，则有CD =，10BD t =，在ABC中，1AB =，2AC =，120BAC ∠=︒，由余弦定理得：BC在ABC中，由正弦定理：sin sin AC ABC BAC BC ∠=∠=45ABC ∴∠=︒，即BC 与正北方向垂直，在BCD 中，由正弦定理：1sin sin 2BD BCD CBD CD ∠=∠=， 30BCD ∴∠=︒答：缉私艇沿东偏北30︒方向能最快追上走私船．12．某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB 至少长2.8m ，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5m ，060BCD ∠=，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计,AB CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？解：设( 1.4)BC am a =≥，CD bm =，连结BD ．则在CDB ∆中，2221()2cos60.2b b a ab -=+- 214.1a b a -∴=- 21422.1a b a a a -∴+=+- 设 2.81,10.4,2t a t =-≥-=则21(1)3422(1)347,4t b a t t t t+-+=++=++≥ 等号成立时0.50.4, 1.5, 4.t a b =>==答：当3,4AB m CD m ==时，建造这个支架的成本最低．BACD 地面 第12题C A B D第11题。
高三一轮复习三角函数及其相关内容复习教案
l ，其中，l 是圆心角所对的弧长， r 是半径。 r
角度制与弧度制的换算主要抓住 180 rad 。 弧度与角度互换公式：1rad＝ 180 °≈57.30°=57°18ˊ、1°＝ ≈0.01745（rad） 。
180
弧长公式： l | | r （ 是圆心角的弧度数） ， 扇形面积公式： S 4.α 、 若α 若α 若α 若α
新疆 源头学子小屋
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诱导公式四： sin(180 ) sin ； cos(180 ) cos 诱导公式五： sin(360 ) sin ； cos(360 ) cos
特级教师 王新敞
） C. 第二或第四象限角 D．第一或第三象限角
B. 第二
C． 3
D． 3
3.若 sinα <0 且 tanα >0，则α 是( ) A．第一象限角 4.已知 B．第二象限角 C．第三象限角 ） D．第四象限角
sin 2 cos 3sin 5 cos
tan AT
我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 、AT ,分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线， 统称为三角函数线。 例：若 为锐角，则 ,sin , tan 的大小关系为_______。
2 既然选择了远方，便只顾风雨兼程。
y x
7.特殊角的三角函数值 30° 45° 60°
x k
2
k Z ；余弦函数 y cos x( x R) 是偶函数，对称中心是 k
, 0 k Z ，对称轴是直 2
线 x k k Z （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，对称中心为图象与 。 x 轴的交点） （5）单调性： y sin x在 2k
高三数学一轮教案三角函数的综合应用
芯衣州星海市涌泉学校§三角函数的综合应用【复习目的】理解三角函数中自变量的两面性——角与实数，将三角函数问题与几何、代数联络起来；三角恒等变型与三角函数的图象与性质是综合应用的两个方面。
【课前预习】⊿ABC的内角满足t an si n0A A-<，cos si n0A A+>，那么A的范围是。
假设111c o s s i nθθ-=，那么sin2θ=。
由函数52s i n3()66y x xππ=≤≤与函数2y=的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是。
()f x是定义在〔0，3〕上的函数，图象如下列图，那么不等式()c o s0f x x<的解集是〔〕A．()()0,12,3⋃B．(1,)(,3)22ππ⋃C．()0,1,32π⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭D．()()0,11,3⋃函数|si n|,[,]y x x xππ=+∈-的大致图象是〔〕【典型例题】例1函数2()s i n s i nfx x x a =-++.〔1〕当()0f x=有实数解时，〔2〕求a的取值范围；〔3〕假设x R∈，〔4〕有171()4f x≤≤，〔5〕求a的取值范围。
例2〔2021卷·22〕集合M是满足以下性质的函数()f x的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有()f x T+=T·()f x成立.〔1〕函数()f x=x是否属于集合M？说明理由；〔2〕设函数()f x =ax 〔a>0,且a≠1〕的图象与y=x 的图象有公一一共点，证明：()f x =ax∈M； 〔3〕假设函数()f x =sinkx∈M,务实数k 的取值范围. 【本课小结】【课后作业】〔2021春·16〕在∆A B C 中，a ，b ，c 分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，a ，b ，c 成等比数列，且a c a cbc 22-=-，求∠A 的大小及b Bc sin 的值。
求函数111s i n c o s s i n c o s y x x x x =++，(0,)2x π∈的最小值。
高三数学高考一轮复习系列教案第四章 三角函数 大纲版
第四章 三角函数知识结构高考能力要求1．了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ϕω+=x A y 的简图，理解ϕω、A 、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x ，arccos x ，arctan x 表示角．6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．高考热点分析三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．高考复习建议本章内容由于公式多，习题变换灵活且思想方法丰富，建议复习本章时应注意以下几点：1．首先对现有的公式自己推导一遍，弄清公式间的相互联系和推导体系．2．对公式要抓住其特点进行记忆．应用时，既要考虑公式成立的条件，也要考虑符号的取舍，还要熟练掌握公式的正用、逆用、变形用或在特定条件下用．3．三角函数是中学阶段研究的一类初等函数，故对三角函数的性质研究应结合一般函数的研究方法进行对比学习．如定义域、值域、奇偶性、单调性、图象变换等．通过对比，加深对函数性质的理解．4．“变”为主线，抓好训练：角的变换，三角函数名称的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律．5．由于三角函数是我们研究数学的一门基础工具，近几年高考往往考察知识网络交汇处的知识，故学习本章时应注意本章知识与其它章节知识的联系．如平面向量、参数方程、换元法、解三角形等．4．1 任意角的三角函数知识要点 一、角的概念的推广1．与角α终边相同的角的集合为 ． 2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角） 终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．4．象限角是指： ． 5．区间角是指： ． 6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．8．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ . 二、任意角的三角函数9．定义：设P (x , y )是角α终边上任意一点，且 |PO | ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ； cot α＝ ； sec α＝ ；csc α＝ .10．三角函数的符号与角所在象限的关系：12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：12．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线．例题讲练【例1】 （1）下列各对角中，终边相同的是（ ）A ．23π和232ππ-k B ．5π-和522π C ．97π-和π911D ．320π和9122π（2）如果角2α的终边在x 轴的上方，那么角α的范围是（ ）A ．第一象限角的集合B ．第一或第二象限角的集合C ．第一或第三象限角的集合D ．第一或第四象限角的集合【例2】 已知角α的终边与角－690°的终边关于y 轴对称，求α．【例3】 （I ）已知角α的终边上一点为P （4t , －3t ）(t >0)，求2sin α＋cos α的值；（II ）已知角β的终边在直线x y 3=上，用三角函数的定义求sin β和cot β的值．【例4】 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ．(1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．－ ＋ －+cos x , sec x ＋ ＋ － －sin x x－ ＋ ＋－tan x , cot xxy O xy O xy O小结归纳 1．本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系．2．在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：①角的范围是什么？②对应的三角函数值是正还是负？③与此相关的定义、性质或公式有哪些?基础训练题 一、选择题1． 已知A ＝{第一象限的角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于2π 的角}则下列关系正确的是 （ ） A ．A ＝B ＝C B ．C ⊆A C ．B ⊆A D ．A C ＝B 2． 角α的终边上有一点P （a , a ）(a ≠0)，则cos α＝（ ）A ．22B ．－22 C ．22或－22 D ．1 3． 若角α、β的终边在同一条直线上，则 （ ）A ．α＋β＝2k π(k ∈Z)B ．α＋β＝2k π＋π(k ∈Z)C ．α－β＝2k π＋π(k ∈Z)D ．α－β＝k π(k ∈Z)4． 点P 从（1，0）出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动32π弧长到达Q 点，则Q 点坐标为 （ ）A ．(－21，23) B ．(－23，－21)C ．(－21，－23) D ．(－23，21) 5． sin1，cos1，tan1的大小关系是（ ）A ．tan1>sin1>cos1B ．tan1>cos1>sin1C ．cos1>sin1>tan1D ．sin1>cos1>tan 6． 函数f (x )＝ ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--)0()01()s i n (12x ex x x π若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为（ ）A ．1B ．1，－22 C ．－22D ．1，22 二、填空题7． 终边落在直线x y 33-=上的角的集合是 ． 8．函数x x y cos 21sin lg -+=的定义域为 ．9． 已知锐角α终边上一点A 的坐标为（2sin3, －2cos3）,则角α的弧度数为 ．10．已知θ是第二象的角且sin θ＝54，则2θ是第 象限的角，2θ是第 象限的角．三、解答题11．如果tan(cos θ) tan(sin θ)＞0，试指出θ所在象限，并用图形表示出2θ取值的范围．12．已知点P(cos α－sin α,tan α)在第一象限，在[0, 2π]内，求α的取值范围．13．扇形OAB 的面积是1cm 2，它的周长是4cm ，求中心角的弧度数和弦长AB ． 提高训练题14．已知f (x )＝2sin 2 x ＋sin 2x ，x ∈[0，2π]，求使f (x )为正值的x 的集合．15．若角α的终边上一点),3(m p ，且m 422s i n =，求tan2，cos2的值．4．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式知识要点 1．同角公式： (1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，1＋tan 2α＝ ，1＋cot 2α＝(2) 商数关系：tan α＝ ，cot α＝(3) 倒数关系：tan α ＝1，sin α ＝1，cot α ＝12．诱导公式：3．同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．4．诱导公式的作用：诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90º角的三角函数值．例题讲练 【例1】化简： αααααααcos 1sin )tan (sin )sin (cos tan +⋅++-【例2】 求值：(1) 已知53)7cos(,2-=-<<παπαπ， 求)2cos(απ+的值．(2) 已知11tan tan -=-αα，求下列各式的值．①ααααcos sin cos 3sin +-；②2cos sin sin 2++ααα【例3】 已知tan α是方程x 2＋2x sec α＋1＝0的两个根中较小的根，求α的值．【例4】 已知－02<<x π，sin x ＋cos x ＝51．（I ）求sin x －cos x 的值．（II ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值．小结归纳 1．同角三角函数的基本关系式反映了同角的不同函数间的必然联系，诱导公式揭示了不同象限的三角函数间的内在规律．它们对三角函数式的求值、化简、证明等方面具有重要的作用，需要熟练掌握，灵活运用．2．已知一个角的三角函数值求其它三角函数值时，要注意题设中的角的范围．3．利用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简时，要看“是否同角”，注意准确选用公式，尽量减少开方运算，慎重确定符号．4．在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，确定角的象限及函数式的符号是关键．5．解题过程中通常还要使用弦切互化，公式变形用，三角代换、消元等三角变换的重要方法，如：将 “1” 用“sin 2α＋cos 2α”代换等．基础训练题 一、选择题 1． 已知,2524cos ),0,2(=-∈x x π则tan x 等于 ( )A ．247 B ．724C ．－724D ．－2472． 化简︒-1180sin 12的结果是( )A ．cos100°ºB ．cos80°ºC ．sin80°ºD ．cos10°º 3． tan 600°的值是( )A ．－33B ．33 C ．－3D ．34． 若△ABC 的内角A 满足32sin =A ，则sinA ＋cosA ＝ ( )A ．315 B ．－错误！链接无效。
2025届高考数学一轮复习教案：三角函数-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用
第五节函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用【课程标准】1.结合具体实例,了解y=A sin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A 的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查y=A sin(ωx+φ)的图象、图象变换以及与它有关的实际应用问题;三角函数图象、图象变换以及与其他知识交汇是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.用“五点法”画y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特征点ωx+φ02π322πx0-φω2-φω-φω32-φω2-φωy=A sin(ωx+φ)0A0-A0【微点拨】用“五点法”作图时,相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的14.2.函数y=sin x的图象经变换得到y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径由y=sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换为向左平移个单位长度而非φ个单位长度.3.简谐运动的有关概念y=A sin(ωx+φ) (A>0,ω>0)振幅周期频率相位初相A T=2ωf=1T=ω2ωx+φφ【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号13421.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的有()A.函数y=A sin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-AB.函数y=sin2x向右平移π6个单位长度后对应的函数g(x)=sin(2x-π6)C.把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得函数解析式为y=sin12xD.如果y=A cos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为2【解析】选ABC.因为只有当A>0时,y=A sin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A,所以选项A错误;因为函数y=sin2x向右平移π6个单位长度后对应的函数g(x)=sin(2x-π3),所以选项B错误;因为把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得函数解析式为y=sin2x,所以选项C错误;因为函数y=A cos(ωx+φ)相邻两个对称中心之间的距离为半个周期,所以选项D正确.2.(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sin(x-π4)的图象,则f(x)等于()A.sin(2-7π12)B.sin(2+π12)C.sin(2x-7π12)D.sin(2x+π12)【解析】选B.依题意,将y=sin(x-π4)的图象向左平移π3个单位长度,得到y=sin(x+π3-π4)=sin(x+π12)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,得到f(x)的图象,即f(x)=sin(12x+π12).3.(必修第一册P241T4改条件)函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,0<|φ|<π)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为__________.【解析】从题图可知:14T=7π12-π3=π4,所以T=π,ω=2,又因为2×7π12+φ=π2+2kπ(k∈Z),所以φ=-2π3+2kπ(k∈Z),又因为0<|φ|<π,所以φ=-2π3,显然A=2,因此y=2sin(2x-2π3).答案:y=2sin(2x-2π3)4.(混淆ω值的影响)函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cosωx,则ω的值为()A.3B.13C.9D.19【解析】选B.函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cos13x,所以ω=13.【巧记结论·速算】1.函数y=A sin(ωx+φ)+k图象平移的规律:“左加右减,上加下减.”2.函数y=A sin(ωx+φ)图象的对称轴由ωx+φ=kπ+π2,k∈Z确定;对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标.【即时练】为了得到函数y=2sin3x的图象,只要把函数y=2sin3+()A.向左平移π5个单位长度B.向右平移π5个单位长度C.向左平移π15个单位长度D.向右平移π15个单位长度【解析】选D.因为y=2sin3x=2sin[3(x-π15)+π5],所以把函数y=2sin3+所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y=2sin3x的图象.【核心考点·分类突破】考点一函数y=A sin(ωx+φ)的图象及变换[例1](1)(2023·郑州模拟)将函数f(x)的图象上所有点向右平移6个单位长度,然后横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=sin x的图象,则f(x)在区间[0,4]上的值域为()A.[-32,1]B.[-12,1]C.[12,1]D.[32,1]【解析】选C.将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变得到y=sin2x的图象,再将y=sin2x的图象上所有点向左平移6个单位长度得到f(x)=sin(2x+3)的图象.当x∈[0,4]时,(2x+3)∈[π3,56],所以sin(2x+3)∈[12,1].(2)函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0,0<φ<2)的图象如图所示,为了得到y=sin x的图象,则需将y=f(x)的图象()A.横坐标缩短到原来的12,再向右平移12个单位长度B.横坐标缩短到原来的12,再向右平移6个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移3个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移6个单位长度【解析】选C.由题图可知,12T=56-3=2,所以T=π,故ω=2=2,故函数f(x)=sin(2x+φ),又函数图象经过点(3,0),故有sin(2×3+φ)=0,即2×3+φ=kπ,所以φ=kπ-23(k∈Z),又0<φ<π2,所以φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3),故将函数f(x)=sin(2x+π3)图象的横坐标伸长到原来的2倍得到y=sin(x+π3)的图象,然后再向右平移π3个单位长度即可得到y=sin x的图象.【解题技法】三角函数图象平移变换问题的关键及解题策略(1)确定函数y=sin x经过平移变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,即按“左加右减”的原则进行;(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和单位长度.【对点训练】1.(2024·长春模拟)要得到y=cos2的图象,只要将y=sin2的图象()A.向左平移π2个单位长度B.向右平移π2个单位长度C.向左平移π个单位长度D.向右平移π个单位长度【解析】选C.函数y=sin2的图象向左平移π个单位长度后得到y=sin(2+π2)=cos2的图象.2.(2024·长沙模拟)将函数f(x)=sin(2x-π3)的图象向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度.得到函数g(x)的图象,若g(x)是奇函数,则φ=__________.【解析】函数f(x)向左平移φ个单位长度,得到函数g(x)=sin[2(x+φ)-π3],函数g(x)是奇函数,所以g(0)=sin(2φ-π3)=0,则2φ-π3=kπ,k∈Z,则φ=π6+χ2,k∈Z,因为φ∈(0,π2),所以φ=π6.答案:π6考点二由函数图象确定函数y=A sin(ωx+φ)的解析式[例2](1)函数y=A sin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,则此函数的解析式为()A.y=2sin(2x+23)B.y=2sin(x+3)C.y=2sin(2-3) D.y=2sin(2x-3)【解析】选A.由已知可得函数y=A sin(ωx+φ)的图象经过点(-12,2)和点(512,-2),则A=2,T=π,所以ω=2,则函数的解析式为y=2sin(2x+φ),将(-12,2)代入得-6+φ=2+2kπ,k∈Z,所以φ=2π3+2kπ,k∈Z,当k=0时,φ=2π3,此时y=2sin(2x+2π3).(2)(2023·潍坊模拟)函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,现将f(x)的图象向左平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)的表达式可以为()A.g(x)=2sin2xB.g(x)=2cos(2x-π3)C.g(x)=2sin(x-π6)D.g(x)=2cos(x+π3)【解析】选B.由题图可知f(x)max=2,所以A=2;又f(0)=2sinφ=-1,所以sinφ=-12,又|φ|<π2,所以φ=-π6,所以f(7π12)=2sin(7π12ω-π6)=0,由五点作图法可知7π12ω-π6=π,解得ω=2,所以f(x)=2sin(2x-π6);所以g(x)=f(x+π6)=2sin[2(x+π6)-π6]=2sin(2x+π6)=2cos[π2-(2x+π6)]=2cos(π3-2x)=2cos(2x-π3).【解题技法】根据三角函数图象求解析式的三个关键(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)求φ的常用方法如下:①代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入.②五点法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【对点训练】1.(2021·全国甲卷)已知函数f (x )=2cos(ωx +φ)的部分图象如图所示,则f (π2)=__________.【命题意图】本题考查函数f (x )=2cos(ωx +φ)的图象与其参数(ω,φ)之间的关系,考查考生分析问题解决问题的能力.【解析】观察图象可知:f (x )的最小正周期T =43×=π,所以ω=2,又因为2×13πφ=-π6+2k π,k ∈Z ,所以f (x )=2cos 2-所以2×π2-=2cos 5π6=-3.答案:-32.已知函数y =A sin(ωx +φ)+n 的最大值为4,最小值是0,最小正周期是π2,直线x =π3是其图象的一条对称轴,若A >0,ω>0,0<φ<π2,则函数解析式为__________.【解析】依题意,得A =4-02=2,n =4+02=2,ω=2ππ2=4,所以y =2sin (4x +φ)+2,所以4×π3+φ=k π+π2,k ∈Z ,即φ=k π-5π6,k ∈Z .因为0<φ<π2,所以k =1,φ=π6.所以函数解析式为y =2sin(4x +π6)+2.答案:y =2sin(4x +π6)+2【加练备选】函数y =A sin(ωx +φ)(ω>0,<π2)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为()A.y=-2sin(2x-π4)B.y=2sin(2x+π4)C.y=2sin(x+3π8)D.y=2sin(2+7π16)【解析】选B.由题图知A=2,2=5π8-π8=π2,T=π,所以ω=2,把最值点(π8,2)代入y=2sin(2x+φ),得2sin(2π8+φ)=2,所以π4+φ=2kπ+π2(k∈Z),所以φ=2kπ+π4(k∈Z),又因为<π2,所以φ=π4,因此函数的解析式是y=2sin(2x+π4).考点三三角函数图象、性质的综合应用角度1三角函数图象与性质的综合应用[例3]已知函数f(x)=sin2B+(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是()A.f(x)的图象关于点-π3,0对称B.f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到y=sin2x的图象C.f(x)在区间0,-32D.f+【解析】选D.因为f(x)的图象过点0所以sinφ=12,因为0<φ<π2,所以φ=π6.因为f(x),-1,所以由五点作图法可知ω·4π3+π6=3π2,得ω=1,所以f(x)=sin2+因为f(-π3)=sin(-2π3+π6)=sin(-π2)=-1,所以x=-π3为f(x)图象的一条对称轴,所以A错误;f(x)的图象向右平移π6个单位长度后,得y=sin2-+2-所以B错误;当x∈0,2x+π6∈,所以-12≤sin(2x+π)≤1,所以f(x)在区间0,为-12,所以C错误;f+2++2+2x,令g(x)=f+2x,因为g(-x)=cos(-2x)=cos2x=g(x),所以g(x)=f+2x为偶函数,所以D正确.【解题技法】解决三角函数图象与性质综合问题的步骤(1)将f(x)化为a sin x+b cos x的形式;(2)构造f(x)=2+2·2+2sin x+2+2·cos x;(3)和角公式逆用,得f(x)=2+2sin(x+φ)(其中φ为辅助角);(4)利用f(x)=2+2sin(x+φ)研究三角函数的性质.角度2函数零点(方程根)问题[例4](2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cosωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是__________.【解析】因为0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ.令f(x)=cosωx-1=0,则cosωx=1有3个根,令t=ωx,则cos t=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ],结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3.答案:[2,3)【误区警示】本题在求解的过程中,易忽略端点的取值是否能取得,如本题在建立不等式4π≤2ωπ<6π时,右边也取到等号,进而得出错误的结论2≤ω≤3.【解题技法】解决三角函数图象与性质的综合问题的关键求解与三角函数有关的零点(或三角函数有关的方程)个数或零点的和的问题,常结合三角函数图象利用数形结合思想直观求解.【对点训练】1.(多选题)已知函数f(x)=2sin2+0<<π的图象关于直线x=π对称,则()A.f(x)是奇函数B.f(x)的最小正周期是πC.f(x)的一个对称中心是-2π,0D.f(x)的一个单调递增区间是2,3【解析】选BD.由函数解析式可知函数f(x)的最小正周期是T=2π2=π,则B正确;由f(x)的图象关于直线x=π对称,且最小正周期是π,因此f(x)的图象也关于直线x=0对称,故f(x)是偶函数(或由f(0)=2sinφ=0结合0<φ<π知不可能),因此A错误;由函数f(x)=2sin2+0<<π是偶函数可知φ=π2,则f(x)=2cos2x,故f(x)的对称中心为(χ2-π4,0)(k∈Z),C错误;由于(2,3)⊆(π2,π),f(x)在(π2,π)上单调递增,D正确.2.已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的相邻两个对称中心的距离为32,且f(1)=-3,则函数y=f(x)的图象与函数y=1-2的图象在(-5,9)上所有交点横坐标之和为()A.16B.4C.8D.12【解析】选D.由已知得f(x)=tan(ωx+φ)最小正周期为3,即π=3,所以ω=π3,则f(x)=tan(π3x+φ).又f(1)=-3,即tan(π3+φ)=-3,所以π3+φ=2π3+kπ,k∈Z,因为0<φ<π2,所以φ=π3,所以f(x)=tan(π3x+π3).又因为f(2)=tan(2π3+π3)=0,所以y=f(x)关于(2,0)中心对称,点(2,0)也是y=1-2的对称中心,两个函数的图象共有6个交点,且都关于(2,0)成中心对称,则所有交点横坐标之和为12.考点四三角函数模型及其应用[例5]如图,一个大风车的半径为8m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是()A.h=-8sinπ6t+10B.h=-cosπ6t+10C.h=-8sinπ6t+8D.h=-8cosπ6t+10【解析】选D.由题意设h=A cosωt+B,因为12min旋转一周,所以2π=12,所以ω=π6,由于最大值与最小值分别为18,2.所以-+=18,+=2,解得A=-8,B=10.所以h=-8cosπ6t+10.【解题技法】三角函数模型的两种类型及其解题策略(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系;(2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.【对点训练】1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos[π6(x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为__________℃.【解析】由题意得+=28,-=18,解得=23,=5,所以y=23+5cos[π6(x-6)],令x=10,得y=20.5.答案:20.52.如图所示,某窑洞窗口形状上部是圆弧C ,下部是一个矩形ABCD,C 所在圆的圆心为O.经测量AB=4米,BC=33米,∠COD=2π3,现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH,其中E,F在边AB上,G,H在C 上.设∠OGF=θ,矩形EFGH的面积为S.(1)求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式;(2)当cosθ为何值时,矩形EFGH的面积S最大?【解析】(1)如图,作OP⊥CD分别交AB,CD,GH于M,P,N,由四边形ABCD,EFGH是矩形,O为圆心,∠COD=2π3,可得OM⊥AB,ON⊥GH,P,M,N分别为CD,AB,GH的中点,∠CON=π3,在Rt△COP中,CP=2,∠COP=π3,所以OC=433米,OP=233米,所以OM=OP-PM=OP-BC=33米,在Rt△ONG中,∠GON=∠OGF=θ,OG=OC=433米,所以GN=433sinθ米,ON=433cosθ米,所以GH=2GN=833sinθ米,GF=MN=ON-OM=(433cosθ-33)米,所以S=GF·GH=(433cosθ-33)·833sinθ=83(4cosθ-1)sinθ,θ∈(0,π3),所以S关于θ的函数关系式为S =83(4cos θ-1)sin θ,θ∈(0,π3).(2)由(1)得S'=83(4cos 2θ-4sin 2θ-cos θ)=83(8cos 2θ-cos θ-4),因为θ∈(0,π3),所以cos θ∈(12,1),令S'=0,得cos θ=1+12916∈(12,1),设θ0∈(0,π3),且cos θ0=1+12916,所以由S'>0,得0<θ<θ0,即S 在(0,θ0)上单调递增,由S'<0,得θ0<θ<π3,即S 在(θ0,π3)上单调递减,所以当θ=θ0时,S 取得最大值,所以当cos θ=1+12916时,矩形EFGH 的面积S 最大.【重难突破】三角函数解析式中ω的求法三角函数中“ω”的范围问题是近几年的考查热点,涉及三角函数的图象,单调性,对称性,极值等多个知识点,重点考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,解题思路通常有两种:一是利用复合函数的性质,借助于整体思想得到“ω”满足的关系式;二是利用图象或图象变换,借助于数形结合思想得到“ω”满足的关系式.类型一ω的取值范围与单调性相结合[例1]已知ω>0,函数f (x )=sin(ωx +π4)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是()A .[12,54]B .[12,34]C .(0,12]D .(0,2]【解析】选A .由π2+2k π<ωx +π4<3π2+2k π(k ∈Z ),得π4+2χ<x <5π4+2χ(k ∈Z ,ω>0).因为函数f (x )在(π2,π)上单调递减,所以(π2,π)⊆(π+2χ,5π4+2χ),+2χ≤π2,+2χ≥π,解得12+4k ≤ω≤54+2k ,k ∈Z .>0,≥π2,所以0<ω≤2,当k =0时,12≤ω≤54.【解题技法】已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0),在[x 1,x 2]上单调递增(或单调递减),求ω的取值范围的方法第一步:根据题意可知区间[x 1,x 2]的长度不大于该函数最小正周期的一半,即x 2-x 1≤12T =π,求得0<ω≤π2-1;第二步:以单调递增为例,利用[ωx 1+φ,ωx 2+φ]⊆[-π2+2k π,π2+2k π],解得ω的范围;第三步:结合第一步求出的ω的范围对k 进行赋值,从而求出ω(不含参数)的取值范围.【对点训练】已知ω>0,函数f (x )=cos(ωx -π6)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是()A .[12,54]B .[13,76]C .(0,16]D .[16,136]【解析】选B .令2k π≤ωx -π6≤2k π+π(k ∈Z ),得2χ+π6≤x ≤2χ+7π6(k ∈Z ).因为函数f (x )在(π2,π)上单调递减,π2,≥π,其中k ∈Z ,解得4k +13≤ω≤2k +76(k ∈Z ).又因为函数f (x )在(π2,π)上单调递减,所以T ≥π⇒ω≤2.又ω>0,所以当k =0时,有13≤ω≤76.类型二ω的取值范围与对称性相结合[例2]已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2),x =-π8是函数f (x )的一个零点,x =π8是函数f (x )的一条对称轴,若f (x )在区间(π5,π4)上单调,则ω的最大值是()A.14B.16C.18D .20【解析】选A .设函数f (x )的最小正周期为T ,因为x =-π8是函数f (x )的一个零点,x =π8是函数f (x )的一条对称轴,则2r14T =π8-(-π8)=π4,其中n ∈N ,所以T =π2r1=2π,所以ω=4n +2.因为函数f(x)在区间(π5,π4)上单调,则π4-π5≤2=π,所以ω≤20,所以ω的可能取值有:2,6,10,14,18.(ⅰ)当ω=18时,f(x)=sin(18x+φ),f(-π8)=sin(-9π4+φ)=0,所以φ-9π4=kπ(k∈Z),则φ=kπ+9π4(k∈Z),因为-π2≤φ≤π2,所以φ=π4,所以f(x)=sin(18x+π4),当π5<x<π4时,77π20<18x+π4<19π4,所以函数f(x)在(π5,π4)上不单调,不符合题意;(ⅱ)当ω=14时,f(x)=sin(14x+φ),f(-π8)=sin(-7π4+φ)=0,所以φ-7π4=kπ(k∈Z),则φ=kπ+7π4(k∈Z),因为-π2≤φ≤π2,所以φ=-π4,所以f(x)=sin(14x-π4),当π5<x<π4时,51π20<14x-π4<13π4,所以函数f(x)在(π5,π4)上单调递减,符合题意.因此,ω的最大值为14.【解题技法】三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为2,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为4,也就是说,我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性,进而可以研究ω的取值范围.【对点训练】(多选题)(2023·衡水模拟)将函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的图象向右平移3π2个单位长度后得到函数g(x)的图象,若F(x)=f(x)g(x)的图象关于点(π3,0)对称,则ω可取的值为()A.13B.12C.1D.4【解析】选CD.将函数f(x)的图象向右平移3π2个单位长度,得到函数g(x)=sin[ω(x-3π2)+π6]=sin(ωx+π6-3π2)=cos(ωx+π6),又因为F(x)=f(x)g(x)的图象关于点(π3,0)对称,所以F(x)=sin(ωx+π6)cos(ωx+π6)=12sin(2ωx+π3)的图象关于点(π3,0)对称,则2ω·π3+π3=kπ,k∈Z,所以ω=3-12,k∈Z,又因为ω>0,所以ω的最小值为1,故ω可取的值为1,4.类型三ω的取值范围与三角函数的最值相结合[例3](2023·成都模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)在区间(-π4,π3)上恰有一个最大值点和一个最小值点,则实数ω的取值范围为()A.[83,7)B.(83,4)C.[4,203)D.(203,7)【解析】选B.因为f(x)在区间(-π4,π3)上恰有一个最大值点和一个最小值点,所以π3-(-π4)>2=π,所以ω>127.令t=ωx+π6,当x∈(-π4,π3)时,t∈(-π4ω+π6,π3ω+π6),于是f(x)=2sin(ωx+π6)在区间(-π4,π3)上的最值点个数等价于g(t)=2sin t在(-π4ω+π6,π3ω+π6)上的最值点个数.由ω>127知,-π4ω+π6<0,π3ω+π6>0,因为g(t)在(-π4ω+π6,π3ω+π6)上恰有一个最大值点和一个最小值点,<-π4+π6<-π2,π3+π6<3π2,解得83<ω<4.【解题技法】三角函数的对称轴必经过图象的最高点或最低点,三角函数的对称中心就是其图象与x轴的交点,也就是说我们可以利用函数的最值点、零点之间的“差距”来确定其周期,进而可以确定ω的取值范围.【对点训练】已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象在y轴上的截距为12,且在区间(π,2π)上没有最值,则ω的取值范围为________.【解析】由题意可知,f(0)=12,且0<φ<π,则φ=π3.又f(x)在区间(π,2π)上没有最值,所以2=π≥π,即0<ω≤1;f (x )=cos (ωx +π3),令ωx +π3=k π,k ∈Z ,即x =χ-π3,k ∈Z ,所以当x =χ-π3,k ∈Z 时,函数f (x )=cos (ωx +π)取到最值,因为f (x )在区间(π,2π)内没有最值,≤π,π3≥2π,k ∈Z ,解得k -13≤ω≤2+13,k ∈Z ,当k =0时,-13≤ω≤13,又0<ω≤1,所以0<ω≤13,当k =1时,23≤ω≤56,可得ω∈(0,13]∪[23,56].答案:(0,13]∪[23,56]类型四ω的取值范围与三角函数的零点、极值点相结合[例4](2022·全国甲卷)设函数f (x )=sin(ωx +π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是()A BC D ,【解析】选C .当ω<0时,不能满足在区间(0,π)内极值点比零点多,所以ω>0;函数f (x )=sin B +(0,π)内恰有三个极值点、两个零点,则有ωx +π3∈χ+所以5π2<ωπ+π3≤3π,求得136<ω≤83.【解题技法】三角函数两个零点之间最小的“水平间隔”为2,根据三角函数的零点个数,可以研究“ω”的取值范围.【对点训练】(2022·全国乙卷)记函数f (x )=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f (T )=32,x =π9为f (x )的零点,则ω的最小值为________.【解析】因为f (x )=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π),所以最小正周期T =2π,因为f(T)=cos(ω·2π+φ)=cos(2π+φ)=cosφ=32,又因为0<φ<π,所以φ=π6,即f(x)=cos(ωx+π6),又因为x=π9为f(x)的零点,所以π9ω+π6=π2+kπ,k∈Z,解得ω=3+9k,k∈Z,因为ω>0,所以当k=0时,ωmin=3.答案:3。
书稿：高考数学一轮复习教案word文档(文),第四章三角函数及解三角形
§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数高考会这样考 1.考查三角函数的定义及应用；2.考查三角函数的符号；3.考查弧长公式、扇形面积公式．复习备考要这样做 1.理解任意角的概念，会在坐标系中表示及识别角；2.掌握三角函数的定义，这是三角函数的基石．1． 角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． 2． 弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad,1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3． 任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .三个三角函数的初步性质如下表：如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段[1．对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．有意义的条件是角α终边上任一点P(x，y)的横坐标不等于零，也就是角α如tan α＝yx的终边不能与y 轴重合，故正切函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠k π＋π2，k ∈Z .3． 三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负． (2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．(3)当角α的终边在x 轴上时，点T 与点A 重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y 轴上时，点T 不存在，即正切线不存在．(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．1． 若点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是________．答案 (－1，3) 解析 ∵x ＝|OP |cos 2π3＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1， y ＝|OP |sin2π3＝ 3.∴点P 的坐标为(－1，3)． 2． (·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8 解析 因为sin θ＝y42＋y 2＝－255，所以y <0，且y 2＝64，所以y ＝－8.3． 下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45° (k ∈Z )B ．k ·360°＋94π (k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C 解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋94π (k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确． 4． 已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角答案 C解析 若cos θ>0，tan θ<0，则θ在第四象限； 若cos θ<0，tan θ>0，则θ在第三象限，∴选C.5． 已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 答案 C解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.题型一 角的有关问题例1 (1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与67π角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第一象限角，试确定2α、α2所在的象限．思维启迪：利用终边相同的角进行表示或判断；根据角的定义可以把角放在坐标系中确定所在象限．解 (1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．(2)所有与67π角终边相同的角的集合是{θ|θ＝67π＋2k π，k ∈Z }，∴所有与θ3角终边相同的角可表示为θ3＝27π＋23k π，k ∈Z .∴在[0,2π)内终边与θ3角终边相同的角有27π，2021π，3421π.(3)∵2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π<2α<4k π＋π，k π<α2<k π＋π4，k ∈Z .∴2α在第一或第二象限或终边在y 轴非负半轴上，α2角终边在第一或第三象限．探究提高 所有与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示为β＝k ·360°＋α，k ∈Z ；在确定α角所在象限时，有时需要对整数k 的奇、偶情况进行讨论．已知角α＝45°，(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β； (2)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ，那么两集合的关系是什么？ 解 (1)所有与角α有相同终边的角可表示为 β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°≤0°， 得－765°≤k ×360°≤－45°，解得－765360≤k ≤－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N . 题型二 三角函数的定义例2 已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α＋1tan α的值． 思维启迪：先根据任意角的三角函数的定义求x ，再求sin α＋1tan α的值． 解 ∵P (x ，－2) (x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝xx 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10.∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义，有sin α＝－223＝－66，1tan α＝10－2＝－5，∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；当x ＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66.探究提高 任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P 点所在的象限，确定r ，最后根据定义求解．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解 ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t ) (t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.题型三 三角函数线、三角函数值的符号例3 (1)若θ是第二象限角，试判断sin (cos θ)cos (sin 2θ)的符号；(2)已知cos α≤－12，求角α的集合．思维启迪：由θ所在象限，可以确定sin θ、cos θ的符号；解三角不等式，可以利用三角函数线．解 (1)∵2k π＋π2<θ<2k π＋π (k ∈Z )，∴－1<cos θ<0,4k π＋π<2θ<4k π＋2π (k ∈Z )， －1≤sin 2θ<0，∴sin(cos θ)<0，cos(sin 2θ)>0. ∴sin (cos θ)cos (sin 2θ)<0.∴sin (cos θ)cos (sin 2θ)的符号是负号．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }．探究提高 (1)熟练掌握三角函数在各象限的符号． (2)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤： ①用边界值定出角的终边位置； ②根据不等式(组)定出角的范围； ③求交集，找单位圆中公共的部分； ④写出角的表达式．(1)y ＝sin x －32的定义域为________． (2)已知sin 2θ<0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，cos θ)在第几象限？ (1)答案 {x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z }解析 ∵sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、 OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围， 故满足条件的角α的集合为 {x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z }．(2)解 方法一 由sin 2θ<0，得2k π＋π<2θ<2k π＋2π (k ∈Z )，k π＋π2<θ<k π＋π (k ∈Z )．当k 为奇数时，θ的终边在第四象限； 当k 为偶数时，θ的终边在第二象限．又因cos θ≤0，所以θ的终边在左半坐标平面(包括y 轴)，所以θ的终边在第二象限． 所以tan θ<0，cos θ<0，点P 在第三象限． 方法二 由|cos θ|＝－cos θ知cos θ≤0，① 又sin 2θ<0，即2sin θcos θ<0②由①②可推出⎩⎨⎧sin θ>0cos θ<0因此θ在第二象限，P (tan θ，cos θ)在第三象限． 题型四 扇形的弧长、面积公式的应用例4 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 思维启迪：(1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于α的函数． 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则 α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3 (cm)，S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin π3＝503π－5032＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C 2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.探究提高 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． (2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．(3)记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20 cm ；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 (1)设扇形的圆心角为θ rad ，则扇形的周长是2r ＋rθ. 依题意：2r ＋rθ＝πr ，∴θ＝(π－2)rad. ∴扇形的面积S ＝12r 2θ＝12(π－2)r 2.(2)设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r (0<r <10)． ∴扇形的面积S ＝12lr ＝12(20－2r )r＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25. ∴当r ＝5时，S 有最大值25， 此时l ＝10，α＝lr＝2 rad.因此，当α＝2 rad 时，扇形的面积取最大值．数形结合思想在三角函数线中的应用典例：(12分)(1)求函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域；(2)设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．审题视角 (1)求定义域，就是求使3－4sin 2x >0的x 的范围．用三角函数线求解． (2)比较大小，可以从以下几个角度观察：①θ是第二象限角，θ2是第几象限角？首先应予以确定．②sin θ2，cos θ2，tan θ2不能求出确定值，但可以画出三角函数线．③借助三角函数线比较大小． 规范解答解 (1)∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.[2分] 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．[4分] (2)∵θ是第二象限角，∴π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ， ∴θ2是第一或第三象限的角．[6分] (如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得： ①当θ2是第一象限角时，sin θ2＝AB ，cos θ2＝OA ，tan θ2＝CT ， 从而得，cos θ2<sin θ2<tan θ2；[8分]②当θ2是第三象限角时，sin θ2＝EF ，cos θ2＝OE ，tan θ2＝CT ， 得sin θ2<cos θ2<tan θ2.[10分]综上可得，当θ2在第一象限时，cos θ2<sin θ2<tan θ2；当θ2在第三象限时，sin θ2<cos θ2<tan θ2.[12分] 温馨提醒 1.第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式，可以用三角函数图象，也可以用三角函数线．用三角函数线更方便.2.第(2)小题比较大小，由于没有给出具体的角度，所以用图形可以更直观的表示.3.本题易错点：①不能确定θ2所在的象限；②想不到应用三角函数线．原因在于概念理解不透，方法不够灵活．方法与技巧1．在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP |＝r 一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 失误与防范1．注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 角α的终边过点P (－1,2)，则sin α等于( )A.55B.255C ．－55D ．－255答案 B解析 由三角函数的定义， 得sin α＝2(－1)2＋22＝255.2． 若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α<0B ．tan α－sin α<0C ．cos α－tan α<0D ．tan αsin α<0答案 B解析 在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A 、C 、D ，故选B. 3． 已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6，故选C. 4． 有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确的命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 ①正确，②不正确，∵sin π3＝sin 2π3，而π3与2π3角的终边不相同．③不正确．sin α>0，α的终边也可能在y 轴的非负半轴上． ④不正确．在三角函数的定义中，cos α＝x r ＝x x 2＋y2，不论角α在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立． 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．答案 二解析 点P 在第三象限，∴tan α<0，cos α<0. ∴α在第二象限．6． 设α为第二象限角，其终边上一点为P (m ，5)，且cos α＝24m ，则sin α的值为________．答案104解析 设P (m ，5)到原点O 的距离为r ， 则m r ＝cos α＝24m ， ∴r ＝22，sin α＝5r ＝522＝104. 7． 函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是____________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z ) 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤12.∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .三、解答题(共22分)8． (10分)已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．解 由题意，得r ＝3＋m 2， 所以sin θ＝m 3＋m 2＝24m . 因为m ≠0，所以m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， 所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角， 所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.9． (12分)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .解 设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1弧度． ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12C ．－32D.32答案 B 解析 ∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.2． 已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4答案 D解析 由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.3． 给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m ，3m ) (m >0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________. 答案 25解析 由条件可求得r ＝5m ，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以2sin α＋cos α＝25.5． 函数y ＝2cos x －1的定义域为________．答案⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． 6． 一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为__________．答案 (7＋43)∶9解析 设扇形半径为R ，内切圆半径为r . 则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎫1＋233r .又S 扇＝12αR 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，∴S 扇πr 2＝7＋439. 三、解答题7． (13分)已知sin α<0，tan α>0.(1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为 {α|(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．(2)由(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式高考会这样考 1.考查同角三角函数基本关系式和诱导公式；2.利用公式进行三角函数的化简与求值．复习备考要这样做 1.理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式，特别要对诱导公式的口诀理解透彻；2.通过训练加强公式运用能力的培养，寻找化简求值中的规律．1． 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2． 下列各角的终边与角α的终边的关系3.[1． 同角三角函数关系式(1)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．(2)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法． 2． 诱导公式诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．1． (·大纲全国)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 答案 －55解析 ∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(2cos α)2＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 2． 若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．答案 34解析 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34.3． 已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案 －255解析 ∵α是第二象限的角，∴cos α<0. 又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12， ∴cos α＝－255.4． sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π的值是________． 答案 －334解析 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.5． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 答案 －23解析 sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23.题型一 同角三角函数基本关系式的应用 例1 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．思维启迪：由sin A ＋cos A ＝15及sin 2A ＋cos 2A ＝1，可求sin A ，cos A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0， ∴sin A －cos A ＝75.②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.探究提高 (1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．(1)已知tan α＝2，求sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α；(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解 (1)sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－2tan 2α＋1＝45.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.题型二 三角函数的诱导公式的应用例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． 思维启迪：(1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值． 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.探究提高 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．(1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)；(2)已知f (x )＝sin (π－x )cos (2π－x )tan (－x ＋π)cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋x ，求f ⎝⎛⎭⎫－31π3的值． 解 (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)∵f (x )＝sin x ·cos x ·(－tan x )sin x＝－cos x ·tan x ＝－sin x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫－31π3＝sin 31π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫10π＋π3＝sin π3＝32. 题型三 三角函数式的化简与求值例3 (1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α).思维启迪：三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式． 解 (1)因为tan α＝13，所以12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝23.(2)原式＝－tan α·cos (－α)·sin ⎝⎛⎭⎫－α－π2cos (π－α)·sin (π－α)＝tan α·cos α·sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.探究提高 在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－55，α∈(0，π)， 求cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值．解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－55， ∴cos α＝－55，又α∈(0，π)，∴sin α＝255. cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2sin (π－α)＋cos (3π＋α)＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2sin α－cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin α－cos α＝－sin αsin α－cos α＝－23.分类讨论思想在三角函数化简中的应用典例：(12分)化简：sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α (n ∈Z )． 审题视角 (1)角中含有变量n ，因而需对n 的奇偶分类讨论．(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看． 规范解答解 当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则[1分] 原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫8k －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k ＋14π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0.[5分] 当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1 (k ∈Z )，则[6分] 原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫8k ＋34π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k ＋54π－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0.[10分] 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫4n －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π－α＝0.[12分]温馨提醒 (1)本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n 分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想． (2)在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1． 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍． 2． 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…. 失误与防范1． 利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．2． 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3． 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.2． cos(－2 013π)的值为( )A.12B ．－1C ．－32D ．0 答案 B解析 cos(－2 013π)＝cos(－2 014π＋π)＝cos π＝－1. 3． 已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 4． 当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x 的最小值是( ) A.14B.12C ．2D ．4答案 D解析 当0<x <π4时，0<tan x <1，f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x ，设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥4.当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立．二、填空题(每小题5分，共15分)5． 如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________. 答案265解析 ∵sin α＝15，且α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－125＝－265， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α＝265. 6． 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． 答案 －13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 7. sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.答案 －1解析 原式＝－cos α·tan αsin α＝－sin αsin α＝－1.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值． 解 将已知等式两边平方，得sin θcos θ＝－718，∴π2<θ<π， ∴sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝43.解方程组⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝23，sin θ－cos θ＝43，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝2＋46，cos θ＝2－46，∴tan θ＝sin θcos θ＝－9－427.9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos (2π－θ)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θcos (π－θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79B ．－13C.13D.79答案 A解析 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13. 则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1＝－79. 2． 已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( ) A.12B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析 由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0且1－sin α≠0， ∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12， 即cos αsin α－1＝12.3． 若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( ) A.12B ．2C ．－12D ．－2答案 B解析 由cos α＋2sin α＝－5可知，cos α≠0，两边同时除以cos α得1＋2tan α＝－5cos α， 平方得(1＋2tan α)2＝5cos 2α＝5(1＋tan 2α)，∴tan 2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 若sin(π＋α)＝－12，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝________.答案 －32解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－32. 5． 已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.答案 45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ1＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.6． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 答案 0解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 三、解答题7． (13分)已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．(1)求角A . (2)若1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，求tan B .解 (1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1① 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1， 即4sin 2A －23sin A ＝0， 得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32，∴A ＝π3或2π3， 将A ＝π3或2π3代入①知A ＝23π时不成立，∴A ＝π3.(2)由1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B ＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0， ∵cos B ≠0，∴tan 2B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去， 故tan B ＝2.§4.3 三角函数的图象与性质高考会这样考 1.考查三角函数的图象：五点法作简图、图象变换、图象的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想．复习备考要这样做 1.会作三角函数的图象，通过图象研究三角函数性质；2.对三角函数进行恒等变形，然后讨论图象、性质；3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用．1． “五点法”作图原理在确定正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、⎝⎛⎭⎫π2，1、(π，0)、⎝⎛⎭⎫32π，－1、(2π，0)．余弦函数呢？2． 三角函数的图象和性质[1． 函数的周期性若f (ωx ＋φ＋T )＝f (ωx ＋φ) (ω>0)，常数T 不能说是函数f (ωx ＋φ)的周期．因为f (ωx ＋φ＋T )＝f ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋T ω＋φ，即自变量由x 增加到x ＋T ω，T ω是函数的周期． 2． 求三角函数值域(最值)的方法(1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数的单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．1． 设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f (x )的最小正周期是________．答案 π解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的14，故f (x )的最小正周期为T ＝4×π4＝π.2． 函数y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝______________. 答案 5 34π＋2k π，k ∈Z解析 当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1时，函数y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4取得最大值5，此时x ＋π4＝π＋2k π (k ∈Z )，从而x ＝34π＋2k π，k ∈Z .3． (·福建)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 方法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.方法二 用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ； x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确； x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )A ．{x |x ≠k π－π4，k ∈Z }B ．{x |x ≠2k π－π4，k ∈Z }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{x |x ≠2k π＋π4，k ∈Z }答案 A解析 令π4－x ≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π－π4，k ∈Z .5． 给出下列四个命题，其中不正确的命题为( )①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ； ②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12对称； ③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数； ④函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. A ．①② B ．①④ C ．①②③D ．①②④答案 D解析 命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x ＝π12，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos π2＝0，故x ＝π12不是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称轴；命题④：函数y ＝sin|x |不是周期函数．题型一 三角函数的定义域、值域问题例1 (1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域；(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 思维启迪：求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二次函数．解 (1)由⎩⎨⎧sin 2x >09－x 2≥0， 得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为{x |－3≤x <－π2或0<x <π2}．(2)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最大值为54，最小值为1－22.探究提高 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域；(2)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的最大值与最小值．解 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标 系中画出[0,2π]内y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x |2k π ＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．(2)由题意得：f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.。
高三数学一轮复习 第九节 三角函数的应用教案 新
芯衣州星海市涌泉学校第9课解三角形的应用【考点导读】1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和根底知识的理解，进一步进步三角变换的才能． 【根底练习】1．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，那么塔高为_________m ．2．某人朝正向走xkm 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值是_______________km ． 3．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个B 在北偏东60，行驶后，船到达C 处，看到这个在北偏东15，这时船与的间隔为km ．4．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，那么第一辆车与第二辆车的间隔1d 与第二辆车与第三辆车的间隔2d 之间的大小关系为_______________． 5．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于B ，D ，ABD ∆为边长等于a 的正三角形，当目的出现于C 时，测得45BDC ∠=，75CBD ∠=，求炮击目的的间隔AC解：在BCD ∆中，由正弦定理得：sin 60sin 45a BC=︒︒∴63BC =在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠∴5233AC a +=答：线段AC 5233a +． 【范例解析】例 1.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一程度面内的两个测点C与D．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．分析：构造三角形，根据正弦定理或者者余弦定理解决问题．A BCD第5题23或者者3340030221d d <1A2A120 105 乙例2〔1〕解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠． 所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·． 在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．答：塔高AB 为tan sin sin()s θβαβ+·．点评：有关测量问题，构造三角形结合正弦定理或者者余弦定理求解． 例2.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里， 当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或者者余弦定理求解． 解法一：如图(2)，连结12A B ，由22A B =122060A A ==1222A A AB ∴=， 又12218012060A AB =-=∠，122A AB ∴△是等边三角形， 1212A B A A ∴==，由，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111211122cos 45B B A B A B A BA B =+-2220220=+-⨯⨯200=． 12B B ∴=60=〔海里/小时〕． 答：乙船每小时航行海里．1A2A120 105乙例2〔2〕1A2A120 5解法二：如图〔3〕，连结21A B ，由1120A B =，122060A A ==，112105B A A =∠，cos105cos(4560)=+cos 45cos 60sin 45sin 60=-=sin105sin(4560)=+sin 45cos 60cos 45sin 60=+=．在211A A B △中，由余弦定理，2220220=+-⨯100(4=+．2110(1A B ∴=．由正弦定理1112111221202(13)2sin sin 4210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， 12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠，2(1cos15sin1054+==在122B A B △中，由22A B =，由余弦定理，22212212221222cos15B B A B A B A B A B=+-22210(1210(1=+-⨯+⨯200=．12B B ∴=60=〔海里/小时〕． 答：乙船每小时航行海里．例3.在某海滨城附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城O 〔如图〕的东偏南θ〔cos θ=〕方向 300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45 方向挪动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，东并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城开始 受到台风的侵袭？分析：解决此题的关键是读懂题目，弄清题目条件，设出时间是是，找出三角形，恰中选取正弦定理或者者余弦定理求解． 解法一：如图(1)，设经过t 小时后台风中心为Q ，此时台风 侵袭的圆形区域半径为1060t +()km ．假设在t 时刻城O受到台风的侵袭，那么1060OQt ≤+．在OPQ △中，由余弦定理得：2222cos OQ PQ PO PQ PO OPQ =+-⋅⋅∠．又300PO =，20PQ t =，cos cos(45)OPQ θ∠=-︒，故22400960090000OQt t =-+．因此，22400960090000(1060)tt t -+≤+，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤．答：12小时后该城开始受到台风的侵袭.解法二：如图〔2〕建立坐标系以O 为原点，正向为x 轴正向.在时刻t 时台风中心Q 〔y x ,〕的坐标为此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 假设在t 时刻城O 受到台风的侵袭，那么有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯答：12小时后该城开始受到台风的侵袭.转化为点和圆的位置关系求解. 【反响演练】东例3〔2〕1．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，45︒和30︒，而且两条船与炮台底部连线成30︒角，那么两条船相距____________m ．2．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20︒，现要将倾斜角改为10︒，那么坡底要伸长____1___km ．3．某船上的人开始看见在南偏30︒60︒向航行45海里后，看见在正西方向，那么此时船与的间隔是__________海里．4．把一根长为30cm ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒，那么第三条边AC 的最小值是____________cm ． 5．设)(t f y =是某港口水的深度y 〔米〕关于时间是是t 〔时〕的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间是是t 与水深y 的关系：经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 〔A 〕A ．]24,0[,6sin312∈+=t t y π B ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=6．2021年在召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为根底 设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形〔如图〕． 假设小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ， 那么cos 2θ的值等于．7．发电机发出的三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间是是t 的函数，sin A I t ω=，sin(120)B I t ω=+︒，sin(240)C I t ω=+︒，那么A B C I I I ++=0．8．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的间隔为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间是是0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的间隔()d cm 表示成()t s 的函数，那么d =，其中[0,60]t ∈． 9．如图，某人在高出海面600m 的山上P 处，测得海面上的航标A 在正东，俯角为30︒，航标B 在南偏东60︒，俯角为45︒，P45︒30︒72510sin 60t π第6题那么这两个航标间的间隔为___600___m ．10．如图，隔河看两目的A ，B ，但不能到达，在岸边选相距3km 的C 、D 两点，并测得75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒，30ADB ∠=︒〔A ，B ，C ，D 在同一平面内〕，求两目的A ，B 之间的距 离．解：在ACD中，CD =，120ACD ∠=︒，30ADC ∠=︒得AC =，那么3AD =．在BCD 中，45BCD ∠=︒，CD =，60BDC ∠=︒，sin 45BD=︒得：3BD =- 在ABC中，由余弦定理229(323(3cos30AB =+-⨯⨯⨯︒，解得AB =答：两目的A ，Bkm ．11．在海岸A 处，发现北偏45︒向，间隔A处1)海里的B 处有一走私船，在A 处北偏西75︒方向，间隔A 处2海里C处的缉私艇奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏30︒向逃窜，问缉私艇沿什么方向能最快追上走私船？ 解：设缉私艇用t 小时在D 处追上走私船，那么有CD =，10BD t =，在ABC中，1AB =-，2AC =，120BAC ∠=︒，由余弦定理得：BC =，在ABC中，由正弦定理：sin sin AC ABC BAC BC ∠=∠=45ABC ∴∠=︒，即BC 与正北方向垂直，在BCD 中，由正弦定理：1sin sin 2BD BCD CBD CD ∠=∠=， CDBA第10题CA BD第11题答：缉私艇沿东偏北30︒方向能最快追上走私船． 12．某建筑的金属支架如下列图，根据要求AB 至少长 2.8m ，C 为AB 的中点，B 到D 的间隔比CD 的长小0.5m ，060BCD ∠=，建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计,AB CD 的长，可使建造这个支架的本钱最低？解：设( 1.4)BCam a =≥，CD bm =，连结BD ．那么在CDB ∆中， 2221()2cos60.2b b a ab -=+-214.1a b a -∴=- 21422.1a b a a a -∴+=+- 设 2.81,10.4,2t a t =-≥-= 那么21(1)3422(1)347,4t b a t t tt+-+=++=++≥等号成立时0.50.4, 1.5, 4.t a b =>==答：当3,4AB m CD m ==时，建造这个支架的本钱最低．BACD 地面 第12题。
高三数学第一轮复习教案(三角函数的概念2)
3.2 任意角的三角函数教学内容：任意角的三角函数（1课时）教学目标：理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义及其符号. 了解单位圆中的三角函数线．教学重点：任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的求法及其符号规律．教学难点：对任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）定义的理解与运用．教学用具：三角板与圆规教学设计：一、知识要点1. 三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点),(y x P ，P 与原点O 的距离为r ，则ry =αsin ；r x =αcos ；)0(tan ≠=x x y α2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）3. 特殊角的三角函数值.4. 三角函数线正弦线：MP ；余弦线：OM ；正切线：AT .二、典型例示例1 计算：6tan 23sin cos 2sin 32cos 4sin 2ππππππ+-. 注：例2 （1）判断3tan 2cos 1sin ⋅⋅的符号.（2）已知0cos sin >⋅αα，则角α在第 象限.注：要求熟记三角函数的符号规律.既能由角的终边位置确定三角函数的符号，又能由三 角函数的符号确定角的终边所在位置.例3 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，（1）已知角α的终边经过点)4,3(P ，求αsin ，αcos ，αtan 的值； （2）已知角α的终边经过点)4,3(--P ，求αsin ，αcos ，αtan 的值；（3）已知角α的终边经过点)0)(2,(≠a a a P ，求αsin ，αcos ，αtan 的值；（4）若角α的终边为射线)0(034≥=+x y x ，求αααα2cos )cot (sin sin ++的值；（5）若角α的终边在直线043=+y x 上，求αααα2cos )cot (sin sin ++的值.注：利用定义求三角函数值是基本技能，要切实掌握好. 当已知角终边上点的坐标中含有参数时，会影响到r 的值，因此要对参数进行讨论；若指定了角的终边所在位置，可在角的终边上任取一点（坐标）来计算相应的三角函数值.三、课堂练习1. 已知角α的终边经过点)12,5(-P ，则ααcos sin +的值为＿ ＿.2. 已知角α的终边经过点)0)(3,(≠a a a P ，求αsin ，αcos ，αtan 的值.3. 若角α的终边在直线0=-y x 上，求αααα2cos )cot (sin sin ++的值.四、课堂小结五、课外作业1. 计算：0sin 3tan 2cos 4sin 2πππ+的值是（ ）A. 21 B. 0 C. 3 D. 2321+ 2. 如果θ是第一象限角，那么恒有（ ）A.2sinθ＞0 B.2tan θ＜1 C.2sin θ＞2cos θ D.2sin θ＜2cos θ 3. 若0tan sin <⋅αα且1cos sin 0<+<αα，则角α的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 若点)sin ,sin (tan ααα-P 在第三象限，则角α的终边必在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 若0cos <θ且0sin >θ，则角θ的终边在第 象限.6. 函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x x x x x x y ++=的值域是 . 7. α是第二象限角，)5,(x P 为其终边上一点且x 42cos =α，则的值是 . 8. 已知角α的终边经过点)12,5(--P ，求αsin ，αcos ，αtan 的值. 9. 已知角α的终边经过点)0)(4,3(≠-r r r P ，求αsin ，αcos ，αtan 的值.10. 已知角α的终边经过点P(－y ,3)（0≠y ），且y 42sin =α，求ααtan cos 和的值. 11. 若0|cos |cos sin |sin |=+αααα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号.。
2025届高考数学一轮复习教案：三角函数-任意角和弧度制及三角函数的概念
第一节任意角和弧度制及三角函数的概念【课程标准】1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查扇形的弧长、面积、三角函数的定义;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向正角、负角、零角按终边位置象限角和轴线角(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为__-α__.(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式角α的弧度数公式|α|=l r(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°=180rad;1rad=(180)°弧长公式弧长l=|α|r扇形面积公式S=12lr=12|α|r23.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义(推广):设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sinα=, cosα=,tanα=(x≠0).(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)三角函数的定义域三角函数sinαcosαtanα定义域R R{α|α≠kπ+π2,k∈Z}【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.-π3是第三象限角B.若角α的终边过点P(-3,4),则cosα=-35C.若sinα>0,则α是第一或第二象限角D.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形面积为3π2【解析】选BD.因为-π3是第四象限角,所以选项A错误;由三角函数的定义可知,选项B正确;由sinα>0可知,α是第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上,所以选项C错误;由扇形的面积公式可知,选项D正确.2.(必修第一册P175练习T1改题型)-660°等于()A.-133πB.-256πC.-113πD.-236π【解析】选C.-660°=-660×π180=-113π.3.(必修第一册P176习题T2改条件)下列与角11π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+11π4(k∈Z)C.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z)【解析】选C.与11π4的终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,则x=()A.-3B.-4C.-6D.-10【解析】选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,所以sinα=45,解得x=±6,因为α是第二象限角,所以x=-6.【巧记结论·速算】α所在象限与2所在象限的关系α所在象限一二三四α2所在象限一、三一、三二、四二、四【即时练】设θ是第三象限角,且|cos2|=-cos2,则2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.因为θ是第三象限角,所以2的终边落在第二、四象限,又|cos2|= -cos2,所以cos2<0,所以2是第二象限角.【核心考点·分类突破】考点一象限角及终边相同的角[例1](1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角,则()A.-α是第一象限角B.2是第三象限角C.3π2+α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上【解析】选D.因为α是第二象限角,可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,对于A,可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ,k∈Z,此时-α位于第三象限,所以A错误;对于B,可得π4+kπ<2<π2+kπ,k∈Z,当k为偶数时,2位于第一象限;当k为奇数时,2位于第三象限,所以B错误;对于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以3π2+α位于第一象限,所以C错误;对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上,所以D正确.(2)在-720°~0°内所有与45°终边相同的角为-675°和-315°.【解析】所有与45°终边相同的角可表示为β=45°+k×360°(k∈Z),当k=-1时,β=45°-360°=-315°,当k=-2时,β=45°-2×360°=-675°.【解题技法】1.知α确定kα,(k∈N*)的终边位置的步骤(1)写出kα或的范围;(2)根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.2.求适合某些条件的角的方法(1)写出与这个角的终边相同的角的集合;(2)依据题设条件,确定参数k的值,得出结论.【对点训练】已知角θ在第二象限,且|sin2|=-sin2,则角2在()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为角θ是第二象限角,所以θ∈(π2+2kπ,π+2kπ),k∈Z,所以2∈(π4+kπ,π2+kπ),k∈Z,所以角2在第一或第三象限.又|sin2|=-sin2,所以sin2<0,所以角2在第三象限.考点二弧度制及其应用[例2]已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.(1)若α=π3,R=10cm,求扇形的弧长l.(2)(一题多法)若扇形的周长是16cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?(3)若α=π3,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.【解析】(1)因为α=π3,R=10cm,所以l=|α|R=π3×10=10π3(cm).(2)方法一:由题意知2R+l=16,所以l=16-2R(0<R<8),则S=12lR=12(16-2R)R=-R2+8R=-(R-4)2+16,当R=4cm时,S max=16cm2,l=16-2×4=8(cm),α==2,所以S的最大值是16cm2,此时扇形的半径是4cm,圆心角α=2rad.方法二:S=12lR=14l·2R≤14·(r22)2=16,当且仅当l=2R,即R=4cm时,S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α=2rad.(3)设弓形面积为S弓形,由题意知l=2π3cm,所以S弓形=12×2π3×2-12×22×sinπ3=(2π3-3)cm2.【解题技法】应用弧度制解决问题时的注意事项(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.(3)在解决弧长和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】若扇形的周长是16cm,圆心角是360π度,则扇形的面积(单位cm2)是16.【解析】设扇形的半径为r cm,圆心角弧度数为α=360π·π180=2,所以αr+2r=16即4r=16,所以r=4,所以S=12αr2=12×2×16=16.答案:【加练备选】已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2,求:(1)扇形的半径;(2)扇形圆心角的弧度数.【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,圆心角为α.(1)由题意得S=12lr=12×60r=240,解得r=8(cm),即扇形的半径为8cm.(2)α==608=152,所以扇形圆心角的弧度数为152rad.考点三三角函数的定义及应用【考情提示】三角函数的定义主要考查利用定义求三角函数值及三角函数值符号的应用,常与三角函数求值相结合命题,题目多以选择题、填空题形式出现.角度1利用定义求三角函数值[例3](1)已知角α的终边经过点P(2,-3),则sinα=-31313,tanα=-32.【解析】因为x=2,y=-3,所以点P到原点的距离r=22+(-3)2=13.则sinα===-31313,tanα==-32.(2)若角60°的终边上有一点A(4,a),则a=43.【解析】由题设知:tan60°=4=3,即a=43.角度2三角函数值的符号[例4](1)若sinαtanα<0,且cos tan>0,则角α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.由sinαtanα<0,知α是第二象限或第三象限角,由cos tan>0,知α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.(2)sin2cos3tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】选A.因为π2<2<3<π<4<3π2,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0.所以sin2cos3tan4<0.【解题技法】与三角函数定义有关的解题策略(1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出点P的坐标.(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.【对点训练】1.(多选题)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是()A.tan A与cos BB.cos B与sin CC.tan2与cos2D.tan2与sin C【解析】选CD.因为A,B的范围不确定,所以A选项不满足条件;cos B与sin C都有意义,但cos B不一定为正值,故B选项不满足条件;因为B,C∈(0,π),所以2,2∈(0,π2),所以C选项满足条件;因为0<A<π,所以0<2<π2,所以tan2>0,又因为0<C<π,所以sin C>0,故D选项满足条件.2.已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cosθ=35,则实数a的值是()A.-2B.211C.-2或211D.1【解析】选B.由题设可知=35且2a+1>0,即a>-12,所以42+4r152+5=925,则11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=211,又a>-12,所以a=211.【加练备选】已知角α的终边上一点P的坐标为(sin5π6,cos5π6),则角α的最小正值为5π3.【解析】因为sin5π6>0,cos5π6<0,所以角α的终边在第四象限,根据三角函数的定义,可知sinα=cos5π6=-32,故角α的最小正值为α=2π-π3=5π3.。
2019—2020年兴义地区重点中学高考一轮复习教学案——三角函数的综合应用
2019—2020年兴义地区重点中学高考一轮复习教学案——三角函数的综合应用一、明确复习目标1. 把握三角函数的图象、性质和恒等变形，会用反三角函数表示角； 2．把握正、余弦定明白得斜三角形的方法；3．能解决三角函数与几何、向量综合的题目,能用三角知识解决简单的实际咨询题。
二．建构知识网络1. 三角函数的性质和图象变换;2. 三角函数的化简,求值,证明——恒等变形的策略与技巧.3. 正、余弦定理,斜三角形的可解类型;在应用题中要能抽象或构造出三角形; 4．在应用与综合性题目中,当角不是专门角,要〝用反三角函数表示角〞: (1) arcsin [,],;22a a a ππ-∈表示上正弦值等于的角,[-1,1] (2)arccosa 表示[0，π]上余弦值等于a 的角,a ∈[－1,1];(3) arctan (,),;22a a a R ππ-∈表示上正切值等于的角, (4) 关于不是上述范畴内的角,可借助诱导公式和三角函数线,找出与上述反三角的关系进而求出. 例如:sin α=0.3, α是钝角,那么α=π－arcsin0.3.三、双基题目练练手1. tan 3x =-，那么x 等于 〔 〕33A.arctan B.arctan π-- 323C.k arctan D.k arctan ππ--2.假设A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，那么点P 〔cos B －sin A ，sin B －cos A 〕在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．111A B C ∆的三个内角的余弦值分不等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，那么( 〕 A ．111A B C ∆和222A B C ∆差不多上锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆差不多上钝角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形 D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形4. 如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为A.75°B.60°C.50°D.45°5．〔2003上海〕假设x =3π是方程2cos 〔x +α〕=1的解，其中α∈〔0，2π〕，那么α=_________.6．〔2004北京西城二模〕函数y =sin x (sin x +3cos x 〕〔x ∈R 〕的最大值是_______.◆答案:1-4.CBDC; 2.A +B ＞2π.∴A ＞2π－B ，B ＞2π－A. ∴sin A ＞cos B ，sin B ＞cosA.,P 在第二象限.3.sinA 2=cosA 1,……A 1、B 1、C 1是锐角。
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4.7 三角函数的综合应用一、明确复习目标1. 掌握三角函数的图象、性质和恒等变形，会用反三角函数表示角； 2．掌握正、余弦定理解斜三角形的方法；3．能解决三角函数与几何、向量综合的题目,能用三角知识解决简单的实际问题。
二．建构知识网络1. 三角函数的性质和图象变换;2. 三角函数的化简,求值,证明——恒等变形的策略与技巧.3. 正、余弦定理,斜三角形的可解类型;在应用题中要能抽象或构造出三角形; 4．在应用与综合性题目中,当角不是特殊角,要“用反三角函数表示角”: (1) arcsin [,],;22a a a ππ-∈表示上正弦值等于的角,[-1,1] (2)arccosa 表示[0，π]上余弦值等于a 的角,a ∈[－1,1]; (3) arctan (,),;22a a a R ππ-∈表示上正切值等于的角, (4) 对于不是上述范围内的角,可借助诱导公式和三角函数线,找出与上述反三角的关系进而求出. 例如:sin α=0.3, α是钝角,则α=π－arcsin0.3.三、双基题目练练手1. 已知tan 3x =-，则x 等于 （ ）33A.arctan B.arctan π-- 323C .k a r c t a n D.k a r c t a nππ-- 2.若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则( ） A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形B ．111A BC ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形4. 如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为A.75°B.60°C.50°D.45°5．（2006上海）若x =3π是方程2cos （x +α）=1的解，其中α∈（0，2π），则α=_________. 6．（2007北京西城二模）函数y =sin x (sin x +3cos x ）（x ∈R ）的最大值是_______.◆答案:1-4.CBDC; 2.A +B ＞2π.∴A ＞2π－B ，B ＞2π－A. ∴sin A ＞cos B ，sin B ＞cosA.,P 在第二象限.3.sinA 2=cosA 1,……A 1、B 1、C 1是锐角。
如果A 2、B 2、C 2也是锐角，则212121,,222A AB BC C πππ=-=-=-，2221113()22A B C A B C ππ++=-++=矛盾，故选D 。
4.作CE ⊥平面ABD 于E ，则∠CDE =40°,延长DE 交直线AB 于F ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，在△CFD 中，︒40sin CF =）（α-︒140sin DF .∴DF =︒-︒⋅40sin 140sin ）（αCF .当α=50°时，DF 最大.答案：C; 5.3π4; 6. 最大值为1+21=23.四、经典例题做一做【例1】求角(用反三角函数表示): (1)已知tanx=3,x ∈[0.2π]求x 的值; (2)已知cos2α=257,α∈(0,2π),sinβ=-135,β∈(π, 23π ) 求α+β.解：(1)在(,)22ππ-上,arctan3x =时,tanx=3; 在3(,)22ππ上,arctan3,tan(arctan3)3x ππ=++=时,∴x=arctan 3或π+arctan 3.(2)由;27cos212sin 25αα=-=得 sinα=53,从而cosα=54,且cosβ=-1312又α+β∈(π,2π)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-6533. ∴α+βπ=33arccos 65π+ 即α+β=2π-arccos6533 ◆提炼方法：求角先求三角函数值,求什么三角函数值要先看角的范围,如本题(2)应求余弦而不能求正弦.角不在主值区间时,要借助图象、三角函数线或诱导公式写出符合条件的角。
【例2】（2007启东质检）已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(m =-，(cos ,sin )n A A =且1m n =，（1）求角A ； （2）若221sin 23cos sin BB B+=--，求C tan解:（1）∵1m n ⋅= ∴(()cos ,sin 1A A -⋅=cos 1A A -=12(sin cos )12A A -⋅=, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<，∴66A ππ-=，∴3A π=（2）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=∴cos 0B ≠，∴2tan tan 20B B --=，∴tan 2B =或tan 1B =- 而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去，∴tan 2B = ∴()()tan tan tan tan tan 1tan tan A BC A B A B A Bπ+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦-811+==【例3】在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台 风中心位于城市O(如图)的东偏南)102arccos(=θθ方向 300 km 的海面P 处，并以20 km / h 的速度向西偏北45的 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km， 并以10 km / h 的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到 台风的侵袭。
解法一:设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭,则6010+≤t OQ 由余弦定理知OPQ PO PQ PO PQ OQ ∠⋅-+=cos 2222由于PO=300,PQ=20t()5445cos cos =-=∠ θOPQ 故2222222209600300OQ PQ PO PQ POcos OPQ t t =+-⋅∠=-+ 因此()22222096003001060t t t -+≤+2362880t t -+=解得2412≤≤t解法二:如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向. 在时刻：t （h ）台风中心),(y x P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是222)]([)()(t r y y x x ≤-+-，其中10)(=t r t+60，若在t 时，该城市O 受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222+≤-+-t y x即,)6010()22201027300()2220102300(222+≤⨯+⨯-+⨯-⨯t t t 即0288362≤+-t t ， 解得2412≤≤t . 答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭◆提炼方法：实际应用问题，要从中找出题中的三角形和已知的边角等条件，再设计出合理的解题方案。
【例4】已知函数()sin()cos()788f x x x ππ=-⋅+的图象向右平移8π个单位得到函数()g x 的图象. ⑴求函数()g x 的表达式; ⑵证明当()3544x ππ∈，时，经过函数()g x 图象上任意两点的直线的斜率恒大于零. 解：（I ）7()()88x x πππ-++=1()sin()cos()sin(2)8824f x x x x πππ∴=++=+11()sin[2()]sin22842g x x x ππ∴=-+=（II ）证明一：依题意，只需证明函数g(x)当35()44x ππ∈，时是增函数sin 2x 在22222k x k ππππ-<<+即()44k x k k Z ππππ-<<+∈的每一个区间上是增函数当1k =时，()sin 2g x x =在35()44，ππ是增函数,则当35()44，x ππ∈时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零【研讨.欣赏】某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB |最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）解：在△AOB 中，设OA =a ，OB =b .因为AO 为正西方向，OB 为东北方向，所以∠AOB =135°. 又O 到AB 的距离为10.∴011sin135||10||2220S ab AB AB ab ==⋅=得 设∠OAB =α，则∠OBA =45°－α. 所以a =αsin 10，b =）（α-︒45sin 10，ab =αsin 10·）（α-︒45sin 10=）（αααsin 22cos 22sin 100-=）（αα2cos 1422sin 42100--=2452sin 2400-︒+）（α≥22400-，当且仅当α=22°30′ 时，“=”成立. 所以|AB |2≥2222400-+）（=400（2+1）2，当且仅当a =b ，α=22°30′时，“=”成立. 所以当a =b =0322sin 10'︒=10）（222+时，即当AB 分别在OA 、OB 上离O 点10）（222+ km 处，能使|AB |最短，最短距离为20（2－1）. 法二;0||10cot 10cot(45)AB αα=+-10sin cos sin ααα==-… 法三:|AB |2=a 2+b 2－2ab cos135°=a 2+b 2+2ab ≥2ab +2ab =（2+2）ab ，…◆温馨提示:1.若直接建立|AB|2与角α的函数关系,求最值值困难;2.先视|AB|2为a,b 的函数放缩,再把ab 看成α的函数求出最小值;3.要使|AB|2取到最小值,必须保证两处等号同时成立.五．提炼总结以为师1. 三角函数的图象、性质和恒等变形，反三角函数表示角； 2．正、余弦定理解斜三角形的方法；3．三角函数综合性题目中常用到换元思想、整体代换及数形结合等； 实际应用问题主要是找出三角形及其边角关系。