2012届广东省华南师大附中高三综合测试(理数)

合集下载

2012年高中数学综合测试(一) 理

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．9 10．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．3 12．[]1,213．35，10 14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-………………………………………………………………………4分（2）解：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………5分()tan α=+π……………………………………………………………………6分tan 2α==．……………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ②由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以cos α=，sin α=10分所以cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ ………………………………………………………11分525210⎛⎫=-+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分X 所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==.所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分 6817164==.…………………………………………………………………………………………12分 ……………………10分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC，所以BE ==3分因为PD ⊥AC ，所以△PCD为直角三角形．因为PD =，3CD =，所以PC ===4分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为BE =，1DE =，所以BD ===5分因为PD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ．在Rt △PBD 中，因为PD =，BD ，所以PB ===．…………………………………………………6分在PBC ∆中，因为BC =PB =PC =所以222BC PB PC +=．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为ABBC =，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC，所以BE ==3分连接BD ，在Rt△BDE 中，因为90BED ∠=，BE =，1DE =，所以BD ===4分在△BCD 中，因为3CD =，BC =，BD ，所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．……………………………………………………………5分因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC PD ⊥．…………………………………………………………………………………………6分因为BD PD D =，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分BPACDE（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=．…………………………………………9分因为PD =，所以13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯13=⨯=10分由（1）知PBC ∆为直角三角形，BC，PB =所以△PBC的面积11322PBC S BC PB ∆=⨯⨯==．……………………………………11分因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，即133AH ⨯⨯=所以AH =．……………………………………………………………12分在Rt △PAD中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………13分因为3sin 2AH APH AP ∠=== 所以直线AP 与平面PBC 14分解法2：过点D 作DM AP ∥，设DMPC M =，则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P =，所以BC ⊥平面PBD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ．过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分在Rt△PAD 中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………11分因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以32DM =．………………………………12分由（1）知BD=，PB=PD ，所以PD BD DN PB ⨯===13分 BP A CDM N因为2sin 32DN DMN DE ∠===所以直线AP 与平面PBC14分解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分在△PCG中，PB BG BC === 所以90CPG ∠=，即CP PG ⊥．在△PAC中，因为PC =2PA =，4AC =，所以222PA PC AC +=，所以CP PA ⊥．因为PA PG P =，所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分过点A 作AK PG ⊥于点K ，因为AK ⊂平面PAG ，所以CP AK ⊥．因为PG CP P =，所以AK ⊥平面PCG ．所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分由（1）知，BC PB ⊥，所以PG PC ==．在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，所以2AG BE ==12分在△PAG 中，2PA =，AG =PG =所以222PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分因为sin AG APK PG ∠===．所以直线AP 与平面PBC 14分解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分BPACDEGK则()0,2,0A -，)B，()0,2,0C，(0,P -．于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC 的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n．所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………1分则)B，()0,2,0C ，(0,P -．于是(BP =--，()2,0BC =-．因为()()2,1,32,2,00BP BC =---=，所以BP BC ⊥．所以BP BC ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）由（1）可得，()0,2,0A -．于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，AA则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC所成的角为θ，则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n．所以直线AP 与平面PBC 14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有45323224,22.a a a a a +⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a a a a =+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………2分所以234111222112,2.a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………………………………3分由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………………5分又10,0a q >>，所以111,22a q ==，…………………………………………………………………6分所以数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．…………………………………………………7分（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232n n n n +=⋅++．………………………………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭ 111(21)2(23)2n nn n -=-++．…………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()113232nn =-+．故数列{}n b 的前n 项和()113232n nSn =-+．………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=2b =．所以双曲线C 的方程为2214y x -=．……………………………………………………………………3分（2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k+=-．…………………………………………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=．即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =．所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==，所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =．设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--．设()45t t f t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<，所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减．因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x ()()2212max21S S f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）证明：设11()()()1xx f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1xx e ϕ'=-．………………………………………………………………………………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥．即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分（2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-，由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．…………………………………………………………6分即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>，因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>．从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->．即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分（3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ．令1x =，得()()11=e n g f <．所以()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分再证对任意正整数n ，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++．要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立．即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．……………………………………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………………………11分则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为111101111112211121C C C2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭，…12分所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． ……………………………………14分方法2（基本不等式法）：12n +≤，……………………………………………………………………………………11分 12n +≤， ……，12n +≤，将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………13分所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． ……………………………………14分。

广东省华南师大附中2012届高三综合测试(数学理).pdf

2012年广东华师附中高三第五次周末综合测试(三月,理数)

高三年级数学学科综合训练（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数)352lg(13)(22x x xxx f -++-=的定义域是( )A ．)2,31(- B.)1,31(-C.)31,2(- D.)31,(--∞2．函数52ln )(2++-=x x x x f 的零点个数是( )A.0B.1C.2D.33．已知等差数列{a n }与等比数列{b n }，满足a 3=b 3，2b 3-b 2b 4=0，则{a n }的前5项和S 5=( ) A.5 B.10 C.20 D.404．设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，若S 4=1，则S 8=( )A ．17B ．171 C ．5 D.515．已知直线l ：.3)1(--=x k y 与圆x 2+y 2=1相切，则直线l 的倾斜角为( )A ．6π B.2π C.32π D.65π6．设函数f(x)=cosx ，把f(x)的图象向右平移m 个单位后，图象恰好为函数y=-f'(x)的图象，则m 的值可以为( )A ．4π B.2π C.43π D ．π7．设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆)0(12222>>=+b a bya x 的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率为( ) A ．23 B.36 C.22 D.328．已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f ：M →N ，若点A(1，f(1))、B(2，f(2))、C(3,f(3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且)(R DB DC DA ∈=+λλ，则满足条件的函数f(x)有( )A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.0,2,1y x y x 则x+y 的最小值为_______.10.已知曲线y=x 3+bx+c 上一点A(1，2)的切线为y=x+1，则b 2+c 2=____．11.已知直线x+y=a 与圆x 2+y 2=4交于A ，B两点，且||-=+OB OA ，则a=____． 12．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则{a n }的公比为_________． 13.过点)2,1(的直线l 将圆(x-2)2+y 2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k=________. 14.已知31sin sin =+y x ，则siny-cos 2x 的最大值为_______三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分12分）已知函数)(sin )(2φω+=x A x f )20,0,0(πφω<<>>A ，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1，2). (I)求φ(II)计算f(1)+f(2)+...+f(2008).16.（本小题满分12分）已知函数f(x)=ax 3+3x 2-x+1(a ∈R)． (1)当a=-3时，求证：f(x)在R 上是减函数；(2)如果对任意x ∈R ，不等式x x f 4)('≤恒成立，求实数a 的取值范围．17.（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点),(nS n n在直线21121+=x y上，数列{b n }满足*)(0212N n b b b n n n ∈=+-++，b 3=11，且{b n }的前9项和为153. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设)12)(112(3--=n n n b a c ，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式57k T n >对一切n∈N*都成立的最大正整数k 的值．18.（本小题满分14分）已知平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥04200y x y x 恰好被面积最小的圆222)()(:r b y a x C =-+-及其内部所覆盖．(1)试求圆C 的方程．(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点A ，B ．满足CA⊥CB，求直线l 的方程．19.（本小题满分14分）设数列{a n }的前项和为S n ，已知a 1=1，a 2=6，a 3=11，且（5n-8）S n+1-(5n+2)S n =An+B ，n=1，2，3，…，其中A ，B 为常数． (I)求A 与B 的值；(II)证明数列｛a n ｝为等差数列；(III)证明不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数m 、n 都成立．20.（本小题满分14分）已知平面内一动点P 到点F(1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． (I)求动点P 的轨迹C 的方程；(II)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求EB AD ∙的最小值.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.2 10.13 11.2±=a 12．31 13．22 14．94 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：(I))(sin 2φω+=x A y )22cos(22φω+-=x A A ∵y=f （x ）的最大值为2，A>0，222=+∴A A ,A=2．又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0，2)22(21=∴ωπ，4πω=. )22cos(2222)(φπ+-=∴x x f )22cos(1ϕπ+-=x .∵y=f(x)过(1，2)点，1)22cos(-=+∴φπ.Zk k ∈+=+∴,222ππφπ，Zk k ∈+=∴,222ππφ，Zk k ∈+=∴,4ππφ，又20πϕ<< ，4πϕ=∴.(II)解法一：4πφ= ，)22cos(1ππ+-=∴x y x 2sin1π+=.∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4．又∵y=f(x)的周期为4，2008=4×502, ∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=4×502=2008. 解法二：)4(sin 2)(2φπ+=x x f ，=+∴)3()1(f f ++)4(sin22φπ2)43(sin22=+φπ，2sin2)4()2(=+f f 2)(sin 2)2(2=+++φπφπ，∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4．又y=f(x)的周期为4，2008=4×502,∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=4×502=2008. 16.解：(1)a=-3,169)('2-+-=∴x x x f 0)31(92≤--=x 恒成立∴f(x)在R 上是减函数(2)f'(x)=3ax 2+6x-1，由f'(x)≤4x 恒成立，∴3ax 2+2x-1≤0， ①当a=0时，不成立②由a≠0时，得⎩⎨⎧≤+=∆<01240a a 31-≤∴a综上，实数a 的取值范围是]31,(--∞17．解：(1)由题意21121+=n n Sn ，n n S n 211212+= 当n≥2时，a n =S n -S n-1=n+5，当n=1时，a 1=S 1=6也适合上式，∴a n =n+5（n∈N *）*)(0212N n b b b n n n ∈=+-++∴数列{b n }是等差数列，由{b n }的前9项和为153得1532)(991=+b b ，从而17)(21915=+=b b b ,又b 3=11,得d=3，b 1=5，∴b n =3n+2(2))36)(12(3+-=n n c n )121121(21+--=n n ，]1211[21+-=∴n T n ，数列{T n }是递增数列，∴只要57311k T >=，∴k<19∴k max =18 18．（本小题满分14分）已知平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥04200y x y x 恰好被面积最小的圆222)()(:r b y a x C =-+-及其内部所覆盖．(1)试求圆C 的方程．(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点A ，B.满足CA⊥CB，求直线l 的方程．解：(1)由题意知此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)构成的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2，1)，半径是5 ，所以圆C 的方程是(x-2)2+(y-1)2=5． (2)设直线l 的方程是：y=x+b ．因为CB CA ⊥，所以圆心C 到直线l 的距离是210，即21011|12|22=++-b解得：51±-=b ,所以直线l 的方程是：51±-=x y19.设数列{a n }的前项和为S n ，已知a 1=1，a 2=6，a 3=11，且(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B ，n=1，2，3，…，其中A ，B 为常数． (I)求A 与B 的值；(II)证明数列{a n }为等差数列； (III)证明不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数m 、n 都成立．解：(I)由a 1=1, a 2=6, a 3=11,得S 1=1，S 2=7，S 3=18．把n=1，2分别代入（5n-8）S n+1-（5n+2）S n =An+B ，得⎩⎨⎧-=+⋅-=+482,28B A B A解得，A=-20，B=-8．(II)由(I)知， 5n(S n+1-S n )-8S n+1-2S n =-20n-8，即 5na n+1-8S n+1-2S n =-20n-8， ①又5(n+1)a n+2-8S n+2-2S n+1=-20(n+1)-8． ② ②-①得，5(n+1)a n+2-5na n+1-8a n+2-2a n+1=-20, 即(5n-3)a n+2-(5n+2)a n+1=-20. ③ 又(5n+2)a n+3-(5n+7)a n+2=-20． ④ ④-③得，(5n+2)(a n+3-2a n+2+a n+1)=0， ∴a n+3-2a n+2+a n+1=0，∴a n+3-a n+2=a n+2-a n+1=…=a 3-a 2=5，又a 2-a 1=5，因此，数列{a n }是首项为1，公差为5的等差数列．(III)由(II)知，a n =5n-4，（n∈N *），考虑 5a mn =5(5mn-4)=25mn-20.12)1(2++=+n m n m n m a a a a a a ，=+++1πa a a a m n m 9)(1525++-n m mn .2)1(5+-∴n m mn a a a 厖29)(15-+n m 0129215>=-⨯.即2)1(5+>n m mn a a a ，15+>∴n m mn a a a .因此，15>-n m mn a a a20.已知平面内一动点P 到点F(1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． (I)求动点P 的轨迹C 的方程；(II)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D,E ，求EB AD ∙的最小值．解析：(I)设动点P 的坐标为(x ，y)，由题意为1||)1(.22=-+-x y x . 化简得||222x x y +=，当x≥0时，y 2=4x;当x<0时，y=0．所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2=4x(x≥0)和y=0(x<0)(II)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y=k(x-1)．由⎩⎨⎧=-=xy x k y 4)1(2，得0)42(2222=++-kx k x k .设),(),,(2211y x B y x A ，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是1,4221221=+=+x x kx x .因为21l l ⊥，所以l 2的斜率为k1-.设),(),,(4433y x B y x D ，则同理可得24342k x x +=+，x 3x 4=1 故)()(FB EF FD AF EB AD ++=∙口FB AF EF AF 口口+=FB FD EF FD 口口++AF ||=EF FD 口||++++=)1)(1(21x x )1)(1(43++x x 1)42(12+++=k1)42(12++++k 8)1(4822≥++=kk 1612422=⨯+kk 口当且仅当221kk=即1±=k 时，EB AD ∙取最小值16.另：可设直线参数方程或用极坐标求解.。

华南师大附中高三综合测试(三)(理数参考答案)

数学（理科）参考答案一、ADCC ABBD3．由题意知，一元二次方程 x 2 + mx + 1 = 0有两不等实根，可得Δ > 0，即m 2－4 > 0，解得m > 2或m < －2.4．几何体为锥体，且底面积为 S = 12 ×2×2 = 2，高 h = 1 ⇒ V = 235．直线 x + y = 0与圆 x 2 + (y －a ) 2 = 1相切 ⇔ d =| a |2= 1 ⇔ a = ±2 6．由y = x 及y = x －2可得，x = 4，所以由y = x 及y = x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为 ⎠⎛ 0 4(x －x + 2) dx = (23 x 32 －12 x 2 + 2x ) |04 = 163. 7．由仓库的存量知，五号仓库向左边相邻仓库运输的费用为 40×10×0.5，而一号，二号仓库加起来向右边相邻仓库运输的费用为 30×10×0.5，故想运费最少，必定要把货物运到五号仓库，故得 (10×40 + 20×30)×0.5 = 500 元8．由面积的增长由慢到快，再由快到慢得，曲线的切线方向由平转向陡，再由陡转向平，故选 D 二、9.12510. －1 11. 3 12. －8 13. (－∞,0) 14. 1或 5 11．∵12 = 4x + 3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎨⎧4x = 3y4x + 3y = 12 即⎩⎨⎧x = 32 y = 2时xy 取得最大值312．作出可行域如图，在顶点 (－3,5) 达到最小值 13．∵ f’(x ) = 5ax 4 + 1x ，x ∈(0,+∞)，∴由题意知5ax 4 +1x= 0 在 (0,+∞) 上有解. 即 a = －15x5 在 (0,+∞) 上有解.∵ x ∈(0,+∞)，∴－15x 5 ∈(－∞,0).∴a ∈(－∞,0).14．a n = p 为奇常数 ⇒ a n +1 = 3p + 5 为偶数 ⇒ a n +2 = a n +12 k = 3p + 52 k 为奇数，故 3p + 52 k= p ⇒ p =52 k －3 ，由p 为正整数得 k = 2 或 k = 3 ⇒ p = 5 或 p = 1三、15．解：(1) 证明：由题设 a n +1 = 4a n －3n + 1，得 a n +1－(n + 1) = 4 (a n －n ) 又 a 1－1 = 1∴ 数列 {a n －n } 是首项为 1，且公比为 4的等比数列.(2) 由 (1) 可知 a n －n = 4 n －1∴ a n = 4 n －1 + n(∴ S n = 1－4 n 1－4 + n (n + 1)2 = 4 n －13 + n (n + 1)216．解：(1) 因为函数 f (x ) 的最小正周期为π，且 ω > 0 ∴2πω= π ⇒ ω = 2∴ f (x ) = 3 sin (2x + φ)∵ 函数 f (x ) 的图象经过点 (2π3 ,0)∴ 3 sin (2×2π3 + φ) = 0得4π3 + φ = k π，k ∈Z ，即φ = k π－ 4π3，k ∈Z . 由－π2 < φ < 0 ⇒ φ = －π3 ∴ f (x ) = 3 sin (2x －π3)(2) 依题意有g (x ) = 3sin [2×(x 2 + 5π12 )－π3 ] = 3sin (x + π2 ) =3 cos x由g (α) = 3cos α = 1，得cos α = 13由g (β) = 3 cos β = 324 ，得cos β = 24∵ α，β∈(0,π) ∴ sin α =223 ，sin β = 144∴ g (α－β) = 3cos (α－β) = 3 (cos α cos β + sin α sin β) = 3× (13 ×24 + 223 ×144 ) = 2 + 47417．解：(1) 取CE 中点M ，连结FM 、BM ， ∵ F 为CD 的中点 ∴ FM ∥ 12 DE又 AB ∥ 12DE∴ AB ∥ FM∴ ABMF 为平行四边形， ∴ AF ∥BM又 ∵ AF ⊄ 平面BCE ，BP ⊂ 平面BCE ， ∴ AF ∥平面BCE(2) AD = AC = 2，且 F 是 CD 的中点 ⇒ AF ⊥CD ∵ AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ∴ DE ⊥平面ACDABCD EFGM∴ DE ⊥AF又 AF ⊥CD ，CD ∩DE = D ∴ AF ⊥平面CDE 又BP ∥AF∴ BP ⊥平面CDE 又∵ BP ⊂平面BCE∴ 平面BCE ⊥平面CDE(3) ∵ AF = 3 ⇒ CD = 2 ∴ △ACD 为正三角形过C 作 CG ⊥AD 于G ，连结EG ，则G 为AD 中点. ∵ AB ⊥平面ACD ，CG ⊂ 平面ACD ∴ AB ⊥CG∵ CG ⊥AD ，CG ∩AD = G ∴ CG ⊥平面ADEB ∴ CG ⊥EG∴ ∠CEG 为直线CE 与面ADEB 所成的角.在 Rt △EDG 中，EG = DG 2 + EG 2 = 1 2 + 2 2 = 5 在 Rt △CDG 中，CG =CD 2－DG 2 = 2 2－1 2 = 3在 Rt △CEG 中，tan ∠CEG = CG GE = 35 = 155即直线CE 与面ADEB 所成的角的正切值为155. 解法二：AD = AC = 2，且 F 是 CD 的中点 ⇒ AF ⊥CD∵ AF = 3 ⇒ CD = 2 ∴ △ACD 为正三角形∵ AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ∴ DE ⊥平面ACD如图，以AF 延长线为 x 轴，FD 为 y 轴，过F 垂直于平面ACD 的垂线为 z 轴建立空间直角坐标系，则各顶点坐标为F (0,0,0)、C (0,－1,0)、D (0,1,0)、A (－ 3 ,0,0)、B (－ 3 ,0,1)、E (0,1,2) (1) CB → = (－ 3 ,1,1)，CE →= (0,2,2) 设平面BCE 的一个法向量为 m 1 = (x 1,y 1,z 1)则 m 1⊥CB → ，m 1⊥CE → ⇒ m 1·CB → = 0，m 1·CE →= 0 ⇒ － 3 x 1 + y 1 + z1 = 0，2y 1 + 2z 1 = 0 ⇒ x 1 = 0 ⇒ m 1 = (0,y 1,z 1) F A →= (－ 3 ,0,0) ∴F A → ·m 2 = 0又 AF ⊄ 平面BCEC(2) 显然，平面CDE 的一个法向量为 m 2 = (1,0,0) ⇒ m 1·m 2 = 0∴ 平面BCE ⊥平面CDE(3) AB → = (0,0,1)，AD → = ( 3 ,1,0)，CE →= (0,2,2) 设平面ABED 的法向量为 n = (x ,y ,z )则 n ⊥AB → ，n ⊥AD → ⇒ n ·AB → = 0，n ·AD →= 0 ⇒ z = 0， 3 x + y = 0取 x = 1 ⇒ y = － 3 ⇒ n = (1,－ 3 ,0) 设直线CE 与面ADEB 所成的角为 θ 则 sin θ = | n ·CE →|| n |·|CE →| = 232×22 = 64⇒ tan θ =155即直线CE 与面ADEB 所成的角的正切值为155.18．解：(1) 由题意：当0 < x ≤50时，v (x ) = 30当50 < x ≤200时，由于 v (x ) = 40－k250－x再由已知可知，当x = 200时，v (200) = 0 代入解得k = 2000∴ v (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 30，0 < x ≤5040－2000250－x ，50 < x ≤200 (2) 依题意并由(1)可得 f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 30x ，0 < x ≤5040x －2000x 250－x ，50 < x ≤200 当0≤x ≤50时，f (x ) = 30x ，当x = 50时取最大值1500当50 < x ≤200时，f (x ) = 40x －2000x250－x= 40 {300－[(250－x ) + 12500250－x]} ≤40 [300－2(250－x )·12500250－x]= 40×(300－100 5 )≈4000×(3－2.236) = 3056取等号当且仅当 250－x = 12500250－x即 x = 250－50 5 ≈138时，f (x ) 取最大值 3056 > 1500综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时.答：当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时.解二：(2) 依题意并由(1)可得 f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 30x ，0 < x ≤5040x －2000x 250－x ，50 < x ≤200 当0≤x ≤50时，f (x ) = 30x ，当x = 50时取最大值1500当50 < x ≤200时，f (x ) = 40x －2000x 250－x = 40 (x + 50 + 12500x －250)∴ f ' (x ) = 40 [1－12500(x －250) 2 ] = 0 ⇒ x = 250－50 5f (x )max = f (250－50 5 ) = 4000 (3－ 5 )≈4000×(3－2.236) = 3056 > 1500综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时. 答：当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时.19．解：(1) 设椭圆C 的方程为 x 2a 2 + y 2b 2 = 1(a > b > 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ e = c a =12 1a 2 + 94b 2 = 1 a 2 = b 2 + c 2解得 a 2 = 4，b 2 = 3 ∴ 椭圆 C ：x 24 + y 23 = 1(2) (i ) 易得 F (1,0)① 若直线 l 斜率不存在，则 l ：x = 1，此时 M (1, 32 )，N (1,－32 )，∴ FM → ·FN →= －94② 若直线 l 斜率存在，设 l ：y = k (x －1)，M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧ y =k (x －1) x 24 + y 23 = 1 消去 y 得：(4k 2 + 3) x 2－8k 2 x + 4k 2－12 = 0∴ x 1 + x 2 = 8k 24k 2 + 3 ，x 1 x 2 = 4k 2－124k 2 + 3又 y 1 = k (x 1－1)，y 2 = k (x 2－1)∴ FM → ·FN →= (x 1－1,y 1)·(x 2－1,y 2) = (x 1－1, k (x 1－1))·(x 2－1, k (x 2－1))= (1 + k 2) [x 1 x 2－(x 1 + x 2) + 1] = (1 + k 2) (4k 2－124k 2 + 3 －8k 24k 2 + 3 + 1) = －94－11 + k 2∵ k 2≥0 ∴ 0 <11 + k 2 ≤1 ∴ 3≤4－11 + k 2< 4 ∴ －3≤FM → ·FN →< －94综上，FM → ·FN →的取值范围为 [－3,－94](ii ) 线段MN 的中点为Q ，显然，MN 斜率存在，否则 T 在 x 轴上由 (i ) 可得，x Q = x 1 + x 22 = 4k 24k 2 + 3 ，y Q = k (x Q －1) = －3k4k 2 + 3∴ 直线OT 的斜率 k ' =y Q x Q = －34k， ∴ 直线OT 的方程为：y = －34k x从而 T (4,－3k)此时TF 的斜率 k TF = －3k －04－1 = －1k∴ k TF ·k MN = －1k·k = －1∴ TF ⊥MN20．解：(1) a > 0时，f’(x ) = e x －a ，令 f’(x ) = 0，解得 x = ln a ∵ x < ln a 时，f’(x ) < 0，f (x ) 单调递减； x > ln a 时，f’(x ) > 0，f (x ) 单调递增。

广东省华南师大附中2012届高三数学综合测试理

2012年华南师大附中高三综合测试数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a ＋2ii＝b －i , (a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝（）A .－1B ．1C ．2D ．32.若{n a }为等差数列，n S 是其前n 项的和，且π32211=S ，则6tan a =（）A B ．C ．D ．-3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有（）A .1()f x x=B .()||f x x =C .()2x f x =D .2()f x x = 4.设α、β、γ 为不同的三个平面，给出下列条件： ① a 、b 为异面直线，a ⊂ α，b ⊂ β，a ∥β，b ∥α； ② α 内不共线的三点到β 的距离相等； ③ α⊥γ ，β⊥γ ；则其中能使 α∥β 成立的条件是( ) A .① B .② C .③ D .② ③5.已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则A .c a b << .B .a b c <<C .a c b <<D .c b a <<6.设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142,080192y x y x y x ，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象经过区域M 的a 的取值范围是( )A .[1,3]B .[2,10]C .[2,9]D .[10,9]7．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（） A ．96 B ．84 C ．60 D ．488．如图，设点A 和B 为抛物线)0(42>=p px y 上除原点以外的两个动点，已知OB OA ⊥，AB OM ⊥，则点M 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＋4px ＝0B ．x 2＋y 2－4px ＝0C ．x 2＋y 2＋4py ＝0D ．x 2＋y 2－4py ＝0二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.1(2)0xe x dx +⎰=_______10.已知平面向量a ，b 满足3a =，2b =，a 与b 的夹角为60，若a b m a⊥-)(，则实数m 的值为________11.若框图所给的程序运行结果为S = 41，那么判断框中应填入的关于i 的条件是 __ .12.设{}{}0,|),(,1|||||),(222≥≤+=≥+=r r y x y x N y x y x M ,若Φ≠⋂N M ，则r的最小值是________.D BCA13.已知数组：,12,21,11⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛,13,22,31⎪⎭⎫ ⎝⎛,,14,23,32,41 ⎪⎭⎫⎝⎛,1,21,,23,12,1⎪⎭⎫ ⎝⎛---n n n n n 记该数组为： ),,,(),,(),(654321a a a a a a ,则=2012a ______（二）选做题（请考生在以下两个小题中任选一题做答）14.（几何证明选讲选做题）如右图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C 为圆上任意一点，过C 点做圆的切线分别与过,A B 两点的切线交于,P Q 点，则CP CQ ⋅=____________．15.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线上C 的点到直线3440x y -+=的距离的最大值为_____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足sin 3cos 2A A +=.(Ⅰ)求A 的大小；(Ⅱ)现给出三个条件：①2a =； ②4B π=；③3c b =.试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC ∆的面积.(只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) 17．（本小题满分12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM 2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM 2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM 2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别PM 2.5（微克/立方米）频数（天）频率第一组 (0,15] 4 0.1 第二组 (15,30] 12 0.3 第三组 (30,45] 8 0.2 第四组 (45,60] 8 0.2 第五组 (60,75] 4 0.1 第六组(75,90)40.1(Ⅰ) 写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM 2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM 2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．18．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2BAD π∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD，3,FC ED ==（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；（Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值．19．（本小题满分14分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．20．（本小题满分14分）设不等式⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 3,0,0所表示的平面区域记为n D ，并记n D 内的格点（x ，y ）（x 、y ∈Z ）的个数为)(n f （n ∈*N ）. （Ⅰ）求)1(f ，f (2)，f (3)的值及)(n f 的表达式；（Ⅱ）记nn n f n f T 2)1()(+=，若对于任意n ∈*N ，总有n T ≤m 成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设n S 为数列｛n b ｝的前n 项和，其中n b ＝)(2n f ，问是否存在正整数n 、t ，使11++--n n nn tb S tb S EFADCB＜161成立？若存在，求出正整数n ，t ；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）设函数),1,(11)(R x n N n n x f x∈>∈⎪⎭⎫⎝⎛+=且.(Ⅰ)当x =6时, 求xn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的展开式中二项式系数最大的项；(Ⅱ)对任意的实数x , 证明2)2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''(Ⅲ)是否存在N a ∈, 使得an ＜∑=⎪⎭⎫⎝⎛+nk kk 111＜n a )1(+恒成立? 若存在, 试证明你的结论并求出a 的值；若不存在, 请说明理由.2012年华南师大附中高三综合测试（三）理科数学参考答案一．选择题1．解: 因为21a i bi +=+,所以1,2a b ==,故a ＋b ＝3,选D . 2. 解：611111112)(11a a a S =+=⇒6a = 2π3 ，所以6tan a＝.选B .211212121212122112||111(),|()()|||12,12,11141|()()|||4x x f x f x f x x x x x x x x x x f x f x x x x x -=-=-=<<<<<<⇔<<-<-3.解：若则，因得，故4.解：由①可推出α∥β；由②推不出α∥β；由③推不出α∥β，选A .5.解：2(cos())(cos )(co 22s )777b f f f ππππ=-=-=， 2(tan())(tan )(ta 22n )777c f f f ππππ=-=-= 因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan 7772πππ<<<<，所以b a c <<，选A ． 6.解：通过画图知，平面区域M 是以三点A （1，9）、B （2，10）、C （3，8）为顶点的三角形边界及其内部，函数xa y =的图象分别过A （1，9）、C （3，8）时，求得a =9或a =2,依条件知，其他函数的图象夹在x y 2=与xy 9=之间，故2≤a ≤9,选C . 7．解：分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有342A 种种法；种四种花有44A 种种法.共有234444284A A A ++=.选B .另解：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯=，选B .8．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，AB 与x 轴交于N (m,0)，设直线AB 的方程为x ＝ky ＋m ，代入y 2＝4px 得y 2－4pky －4pm ＝0.∴y 1y 2＝－4pm ，∴k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 214p ·y 2y 224p＝16p 2y 1y 2＝－4pm＝－1，∴m ＝4p . 即直线AB 过定点N (4p ,0)．又OM ⊥AB ，∴OM →⊥NM →，又∵OM →＝(x ，y )，NM →＝(x －4p ，y )，∴x (x －4p )＋y 2＝0 故所求的轨迹方程为x 2＋y 2－4px ＝0.选B .二.填空题 9.解：1(2)0x e x dx +⎰＝01|)(2x e x +=(e +1)－1＝e . 10.解:因为()a mb a ⊥-，所以2()||96cos 600a mb a a ma b m ⋅=-⋅=-=-,解得3m =.11.解：?6≤i .即=S 4116117421=+++++ 12.解：集合M 是以四点A （1，0），B （0，1），C （－1，0），D （0，－1）为顶点的正方形外部的点组成的区域（包括正方形的边界），而集合N 是以原点为圆心，1为半径的圆内的点组成的区域（包括边界），若Φ≠⋂N M ，当圆222r y x =+与正方形ABCD 四边相切时r 最小，可求得最小值是 2 2 13.答案：460（也可表示成15）。

广东省2012届高三全真模拟卷数学理15.

广东省2012届高三全真模拟卷数学理科15一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．假设将复数i i-+11表示为a + bi 〔a ，b ∈R ，i 是虚数单位〕的形式，则a + b=A ．0B ．1C ．－1D ．22．已知p ：14x +≤，q ：256x x <-，则p 是q 成立的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率A ．4B ．41C ．－4D ．－144．已知()x f x a b=+的图象如下图，则()3f =A ．222-B ．339-C ．333-D ．333-或333--5．已知直线、m ,平面βα、，则以下命题中假命题是A ．假设βα//，α⊂l ,则β//lB ．假设βα//，α⊥l ,则β⊥lC ．假设α//l ，α⊂m ,则m l //D ．假设βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m6．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，假设其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种 B ．12种 C ．18种 D ．48种7．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，假设()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=AB ．2C ．D ．48．已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为A ． 14B ． 58C ．38D ．12二、填空题：本大题共7小题，其中9～13题是必做题，14～15题是选做题，每题5分，总分值30分．9．52)1)(1(x x -+展开式中x3的系数为_________．10．两曲线x x y y x 2,02-==-所围成的图形的面积是_________． 11．以点)5,0(A 为圆心、双曲线191622=-y x 的渐近线为切线的圆的标准方程是_________．12．已知函数)8(,)0)(3()0(2)(-⎩⎨⎧≤+>=f x x f x x f x 则=_________．13====，〔,a t均为正实数〕，则类比以上等式，可推测,a t 的值，a t += ． ▲选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选的只计算前两题的得分．14．〔坐标系与参数方程选做题〕假设直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩〔s 为参数〕垂直，则k = ．15．(几何证明选讲选做题〕点,,A B C 是圆O 上的点，且04,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于_____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 16．〔本小题总分值12分〕已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数()f x a b =⋅，2)(→-=b x g ．〔Ⅰ〕求函数)(x g 的最小正周期；〔Ⅱ〕在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．17．〔本小题总分值12分〕某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的重量〔单位：克〕，重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510，由此得到样本的频率分布直方图，如右图所示．〔1〕根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．〔2〕在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．〔3〕从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率． 18．〔本小题总分值14分〕如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ======(1) 求证：AO ⊥平面BCD ；(2) 求异面直线AB 与CD 所成角余弦的大小； (3) 求点E 到平面ACD 的距离． 19．〔本小题总分值14分〕已知椭圆2221(01)y x b b +=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C三点作P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1) 假设椭圆的离心率32e =，求P 的方程；〔2〕假设P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．20．〔本小题总分值14分〕已知向量2(3,1),(,)a x b x y =-=-，〔其中实数y 和x 不同时为零〕，当||2x <时，有a b ⊥，当||2x ≥时，//a b ．(1) 求函数式()y f x =；〔2〕求函数()f x 的单调递减区间；〔3〕假设对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．21．〔本小题总分值14分〕设数列{n a }的前n 项和为n S ，并且满足n a S n n +=22，0>n a 〔n ∈N*〕. 〔Ⅰ〕求1a ，2a ，3a ；〔Ⅱ〕猜想{n a }的通项公式，并加以证明；〔Ⅲ〕设0>x ，0>y ，且1=+y x ，证明：11+++y a x a n n ≤)2(2+n .参考答案一.选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每题5分，总分值50分．1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D1.选B.提示：1,0,11==∴=-+b a i i i.2.选A.提示：[]()3,2:,3,5:q p -.3.选A.提示：4111534,11,55534335=-=--==∴==a a k a a S .4.选C.提示：3,3,2)0(,0)2(-==-==b a f f 得根据.5.选C.提示：l 与m 可能异面.6.选A.提示：362323=⨯A A .7.选B.21sin ,23432cos ,2=-=-=θθ..提示：21444421=⨯⨯⨯=P . 二.填空题：本大题考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，其中9～13题是必做题，14～15题是选做题．每题5分，总分值30分．其中第11题中的第一个空为2分，第二个空为3分．9．15- 10．2911．16)5(22=-+y x 12．2 13．41 14．1- 15．8π9.15-.提示：31535)(x C C --.10.29.提示：29)2(S 302⎰=--=dx x x x 面积. 11.16)5(22=-+y x . 提示：根据圆心到直线的距离等于半径求出r=4 12.2提示：2)1()2()5()8(==-=-=-f f f f . 13.41 .提示：351,62=-==a t a . 14.1-.提示：化为普通方程求解.15.8π.提示：22,90,OA 0===∴=∠OB OA r BOA OB ，连接. ．16．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕221cos 413()1sin 21cos 4222x g x b x x -==+=+=-+ …………2分∴函数)(x g 的最小周期242ππ==T ……………4分〔Ⅱ〕()f x a b =⋅2(2cos (1,sin 2)x x =⋅22cos 2x x =cos 212x x =+2sin(2)16x π=++ ……………6分 31)62sin(2)(=++=πC C f ∴1)62sin(=+πC ………………7分C 是三角形内角， ∴)613,6(62πππ∈+C ， ∴262ππ=+C即：6π=C …………8分∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a …………………10分将32=ab 可得：71222=+a a 解之得：432或=a ，∴23或=a所以当a =2b =；当2a =，b =，b a > ∴2=a ，3=b ． …………12分17．〔本小题总分值12分〕解：〔1〕根据频率分步直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.010.05)5]4012+⨯⨯=〔件〕．………… 4分〔2〕Y 的可能取值为0，1，2． ………… 5分22824063(0)130C P Y C ===．11281224056(1)130C C P Y C ===． 21224011(2)130C P Y C ===．………… 8分Y的分布列为 ………… 9分〔3〕利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0．3．令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，则(5,0.3)B ξ，故所求概率为：2235(2)(0.3)(0.7)0.3087P C ξ===．………… 12分18．〔本小题总分值14分〕解：(1) 证明：连结OC ，,,BO DO AB AD ==AO BD ∴⊥ ………… 1分,BO DO BC CD ==，CO BD ⊥． ……… 2分在AOC ∆中，由已知可得1, 3.AO CO == …………3分而2AC =， ∴222,AO CO AC += ……… 4分 ∴90,oAOC ∠=即.AO OC ⊥ ………………… 5分 ,BD OC O = ∴AO ⊥平面BCD ． …………… 6分(2) 解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -13(0,3,0),(0,0,1),(,,0),22C A EP63130 56130 11130(1,0,1),(1,BA CD =-=-∴2cos ,4BA CD BA CD BA CD⋅<>==⋅，…………… 9分∴ 异面直线AB 与CD ．…… 10分(3) 解：设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =则(,,)(1,0,1)0(,,)1)0n AD x y z n AC x y z ⎧⋅=⋅--=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩，∴0x z z +=⎧⎪-=，令1,y =得(3,1,n =-是平面ACD 的一个法向量．又1(2EC =-∴点E 到平面ACD 的距离37EC n h n⋅===．……… 14分(3) 〔法二〕解：设点E 到平面ACD 的距离为h ．E ACD A CDE V V --=，∴1133ACD CDEh S AO S ∆∆⋅=⋅⋅…………………………12分在ACD ∆中，2,CA CD AD ===,∴12ACD S ∆==, 而1AO =，2122CDE S ∆==．∴CDEACDAO S h S ∆∆⋅===，∴点E 到平面ACD…………… 14分19．〔本小题总分值14分〕解：〔1〕当e =时，∵1a =，∴c =∴22231144b a c =-=-=，b =12，点1(0,)2B,(F ，(1,0)C …………………… 2分设P 的方程为222()()x m y n r -+-=，由P 过点F,B,C 得∴2221()2m n r +-= ①222(m n r ++= ②222(1)m n r -+= ③ …………………… 5分由①②③联立解得：m =n =，254r = (7)∴所求的P 的方程为225((4x y +=………………… 8分〔2〕∵P 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为12cx -=④ ………… 9分∵BC 的中点为1(,)22b，BC k b=-∴BC 的垂直平分线方程为11()22b y x b -=- ⑤ ……… 10分由④⑤得21,22c b cx y b --==，即21,22c b cm n b --==…………………… 11分 ∵ P (,)m n 在直线0x y +=上，∴21022c b c b --+=⇒(1)()0b b c +-= ∵ 10b +> ∴b c =，由221b c =-得212b =…………………… 13分∴ 椭圆的方程为2221x y += …………………… 14分20．〔本小题总分值14分〕解：〔1〕当||2x <时，由a b ⊥得2(3)0a b x x y ⋅=--=， 33y x x =-；〔||2x <且0x ≠〕------------------------------------2分当||2x ≥时，由//a b . 得23x y x =-- --------------------------------------4分∴ 323,(220)().(22)3x x x x y f x x x x x ⎧--<<≠⎪==⎨≥≤-⎪-⎩且或---------------------5分〔2〕当||2x <且0x ≠时，由2'33y x =-<0, 解得(1,0)(0,1)x ∈-，----------------6分当||2x ≥时， 222222(3)(2)3'0(3)(3)x x x x y x x ---+==>-- ------------------------------8分 ∴函数()f x 的单调减区间为〔－1，０〕和〔０，1〕 -------------9分〔3〕对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞，都有230mx x m +-≥即2(3)m x x -≥-，也就是23x m x ≥-对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞恒成立，----------------------------------11分由〔2〕知当||2x ≥时，222222(3)(2)3'()0(3)(3)x x x x f x x x ---+==>--∴ 函数()f x 在(,2]-∞-和[2,+)∞都单调递增----------------------12分又2(2)234f --==-，2(2)234f ==--当2x ≤-时2()03x f x x =>-，∴当(,2]x ∈-∞-时，0()2f x <≤同理可得，当2x ≥时，有2()0f x -≤<，综上所述得，对(,2]x ∈-∞-[2,)+∞，()f x 取得最大值2；∴ 实数m 的取值范围为2m ≥.----------------------14分21．〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕分别令1=n ，2，3，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=3)(22)(212233212221211a a a a a a a a a ∵0>n a ，∴11=a ，22=a ，33=a …………………3分〔Ⅱ〕证法一：猜想：n a n =， ……………………4分由n a S n n +=22 ① 可知，当n ≥2时，)1(2211-+=--n a S n n ②①－②，得12212+-=-n n n a a a ，即12212-+=-n n n a a a . ………………6分 1〕当2=n 时，1122222-+=a a ，∵02>a ，∴22=a ； ……………7分2〕假设当k n =〔k ≥2〕时，k a k=. 那么当1+=k n 时，122121-+=++k k k a a a 1221-+=+k a k0)]1()][1([11=-++-⇒++k a k a k k ， ∵01>+k a ，k ≥2， ∴0)1(1>-++k a k ，∴11+=+k a k . 这就是说，当1+=k n 时也成立，∴n a n =〔n ≥2〕.显然1=n 时，也适合.故对于n ∈N*，均有n a n =. ……………………9分证法二：猜想：n a n =， ……………………………4分 1〕当1=n 时，11=a 成立； ……………………………5分2〕假设当k n =时，k a k=. …………………………6分那么当1+=k n 时，12211++=++k a S k k . ∴1)(2211++=+++k a S a k k k ， ∴)1(22121+-+=++k S a a k k k )1()(221+-++=+k k k a k)1(221-+=+k a k〔以下同证法一〕 ………………9分〔Ⅲ〕证法一：要证11+++ny nx ≤)2(2+n ，只要证1)1)(1(21++++++ny ny nx nx ≤)2(2+n ，…………10分即+++2)(y x n 1)(22+++y x n xy n ≤)2(2+n ，…………11分将1=+y x 代入，得122++n xy n ≤2+n ，即要证)1(42++n xy n ≤2)2(+n ，即xy 4≤1. …………………………12分∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴xy ≤212=+y x , 即xy ≤41，故xy 4≤1成立，所以原不等式成立. ………………………14分证法二：∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴121+⋅+n nx ≤2121+++n nx ①当且仅当21=x 时取“=”号. ………………………11分 ∴121+⋅+n ny ≤2121+++n ny ②当且仅当21=y 时取“=”号. ……………………12分①+②，得〔++1nx 1+ny 〕12+n ≤24)(n y x n +++2+=n ，当且仅当21==y x 时取“=”号. ………………………13分 ∴11+++ny nx ≤)2(2+n . ……………………14分证法三：可先证b a +≤)(2b a +. ……………………10分 ∵ab b a b a 2)(2++=+，b a b a 22))(2(2+=+， b a +≥ab 2，……………………………11分∴b a 22+≥ab b a 2++， ∴)(2b a +≥b a +，当且仅当b a =时取等号. ………………12分令1+=nx a ，1+=ny b ，即得：11+++ny nx ≤)11(2+++ny nx )2(2+=n ，当且仅当1+nx 1+=ny 即21==y x 时取等号. ………………………14分。

广东省华南师大附中高三综合测试(三)(数学理).doc

广东华南师大附中-高三综合测试（三）（数学理）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时1。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分选择题(40分)一、选择题（每小题5分，共40分） 1．若1sin ,:≤∈∀x R x p ，则（）A ．1sin ,:>∈∃⌝x R x p B. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p C. 1sin ,:≥∈∃⌝x R x p D. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p 2．“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，在半径为R 的圆内随机撤一粒芝麻，它落在阴影部分（圆内接正三角形）上的概率是（） A ．43 B. 433 C. π43 D. π4334．甲校有3600名学生。

乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在这三校分别抽取学生（）A ．30人，30人，30人B ．30人，45人，15人C ．30人，10人 D. 30人，50人，10人5．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若80,15321321==++a a a a a a ，则=++131211a a a （）A. 1 B ．105 C ．90 D ．756. 已知两个不重合的平面α和β，下面给出四个条件： ①α内有无穷多条直线均与平面β平行； ②平面α，β均与平面γ平行；③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行； ④平面α，β与直线l 所成的角相等．其中能推出α∥β的是（）A ．①B ，②C ．①和③D ．③和④7．设P 是双曲线19.222=⋅-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=O ，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则||2⋅PF =（） A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 98. 如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦 AP 的长为d ，则函数d=f(l)的图像大致是（）第二部分非选择题（110分）二、填空题（每小题5分，共30分）9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为． 10．dx x ⎰--2|)1|2(=1l. 若(ax-1)5的展开式中x 3的系数是80，则实数a 的值是．3. 已知数列{}n a 中，a 1=1，a n+l =a n +n ，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是．13．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天旦每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（用数字作答）21. 选做题(14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分)14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线 ⎩⎨⎧-=+=t y at x C 22:1（t 为参数），曲线⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2:2y x C（a 为参数）．若曲线C l 、C 2有公共点，则实数a 的取值范围．15．（几何证明选讲）如图，已知△ABC 内接于圆O ，点D 在OC的延长线上，AD 是⊙0的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD 的长为．三、解答题（共6大题，共80分） 16．（本题满分12分）已知)cos ,(sin x x a -=，()x x cos 3,cos =，函数()23+⋅=x f(1)求f(x)的最小正周期； (2)当20π≤≤x 时，求函数f(x)的值域．17.（本题满分12分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为32，甲胜丙的概率为41，乙胜丙的概率为51 (1)求甲获第一名且丙获第二名的概率：(2)设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

华附、省实、广雅、深中四校2012年高三上学期期末联考理科数

侧（左）视图正（主）视图俯视图 2 4华附、省实、广雅、深中2012届高三上学期期末四校联考数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的）1． i 为虚数单位，则复数(2＋i )i 的虚部是（）A ．1B ．－1C ．2D ．2i2．若函数()f x 的定义域为R , 则“函数()f x 为奇函数”是“函数()f x -为奇函数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3．若413sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ23cos 等于（）0,1s n ==A ．87-B ．41- C ．41 D ．87 4．阅读如右图的程序框图，输出结果S 的值为（） A ．0 B ．32C ．3D ．32-5．一个几何体的三视图如下，则这个几何体的体积等于（） A ． 12 B ．833C ．563D ． 42 26．如图所示，在A 、B 间有四个焊接点,若某焊接点脱落，则导致该处电路不通.今发现A 、B 之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况种数为（） A.9 B. 11 C. 13 D. 15 7．若）（（R x x a x a a x ∈+++=-20122012102012)21 ，则201220122212......22aa a +++=（） A ．－2 B ．－1 C ． 0 D ．28．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表。

()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示。

下列关于函数()f x 的命题：① 函数()f x 在]1,0[是减函数；x -10 2 4 5 f(x) 1 2 0 2 1开始结束2011n ≤ 是否输出s sin 3n s s π=+ 1n n =+x-1 14 yO5② 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ③ 函数()y f x a =-有4个零点，则21<≤a ； ④ 已知（a ，b ）是)(2012x f y =的一个单调递减区间，则b a -的最大值为2. 其中真命题的个数是 ( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题:（本大题共6小题,每小题5分,共30分）（一）必做题（9～13题）：9．某次高三数学联考中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为90，那么90～100分数段的人数为______. 10．在等差数列}{n a 中，若=-=+)32sin(,236102ππa a a 则________. 11．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是 .12．对数列{}n a ，规定{}n a ∆为{}n a 的一阶差分数列，其中(1N n a a a n n n ∈-=∆+)(*∈N n . 对正整数k ，规定{}nka ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中n k n k n k n k a a a a 1111)(-+--∆-∆=∆∆=∆. 若{}n a 的通项公式),(2*∈+=N n n n a n则=∆n a 2______.13．如图，过抛物线y x 42=焦点的直线依次交抛物线与圆1)1(22=-+y x 于点A 、B 、C 、D,则CD AB ⋅的值是________（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都选的只计算14题的得分） 14．《坐标系与参数方程》选做题：在极坐标系中，直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为． 15．《几何证明选讲》选做题：（如图示）已知PA 是圆O （O 为圆心）的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B 、C 两点，02,30AC PAB =∠=，则圆O 的面积为．三．解答题:（本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本题满分12分）已知△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，且bc c b a -+=222，函数()4cos sin()2A f x x x =-.（1）求函数()4cos sin()2Af x x x =-在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域；（2）若直线x=m 是函数)(x f 的图像的对称轴（其中m 是正实数）,求m 的最小值．频率分数0.450.250.15 0.10O 90 100 110 120 130 140某户外用品专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种不同品牌的冲锋衣，2种不同品牌的登山鞋和3种不同品牌的羽绒服中，随机选出4种不同的商品进行促销（注：同种类但不同品牌的商品也视为不同的商品），该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次．．中奖都获得m 元奖金．假设顾客每次．．抽奖时获奖与否的概率都是21，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额（单位：元）为随机变量X .（1）求随机选出的4种不同的商品中，冲锋衣、登山鞋、羽绒服都至少有一种的概率；（2）请写出X 的分布列，并求X 的数学期望；（3）该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？18.（本题满分13分）某设计部门承接一圆柱与四棱锥的组合多用型容器的设计（如图所示），客户对该容器除了11BB 、AA 为圆柱1OO 的母线且长度为30cm ，BC 是底面圆O 的直径且长度为20cm 的基本要求．．．．外，为了实用，还特别要求．．．．容器必需满足：①11B CA 面060ABC 所成的二面角不小于与面; ②内接.11的容积尽可能大四棱锥A ABB C -现设计部门设计的样品在满足了客户的基本要求．．．．外，为了使产品更加美观，分别11CB D 、的中点取AA 的中点E ，并设计了满足1CBB DE 平面⊥的样品.请判断该样品是否同时符合客户的①②两个要求？并分别说明理由.19.（本题满分14分）已知函数）（其中R a aax x x h ∈++--=2)1ln()( （1）.2)(的值时取极值，求在函数a x x h =（2）将的图像，平移得函数的图像按向量函数)()2,1()(x f x h -- （ⅰ）在（1）的条件下，求,)(的单调递减区间函数x f并证明)2,......321!()1()!ln(2≥∈⨯⨯⨯⨯=-<n N n n n nn n 且其中（ⅱ）.0)(的取值范围数有两个不同的解，求实的方程若关于a x f x =如图，曲线1C 是以原点O 为中心,21,F F 为焦点的椭圆的一部分.曲线2C 是以原点O 为顶点，2F 为焦点的抛物线的一部分,A 、B 是曲线1C 和2C 的交点且12F AF ∠为钝角，若27||1=AF ， 25||2=AF . （1）求曲线1C 和2C 的方程；（2）设点C 、 D 是曲线2C 所在抛物线．．．．．上的两点（如图）。

广东华南师大附中2012届高三综合测试--理综

广东华南师大附中2012年高三综合测试理科综合能力试题本试卷共12页，36小题，满分300分。

考试用时150分钟。

可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 O—16 Na—23一、单项选择题：本大题共16小题，每小题4分，共64分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。

1．蛋白质与DNA是细胞内重要的化合物，以下描述正确的是A．合成的场所均含有磷脂分子B．均参与叶绿体、线粒体、核糖体等细胞器的活动C．DNA通过复制、转录、翻译来控制蛋白质的合成D．只有蛋白质和DNA也可构成生物2．下列有关细胞生命历程的叙述，正确的是A．细胞凋亡对于维持人体内部环境的稳定有重要作用B．胡萝卜叶肉细胞脱分化形成愈伤组织后不具全能性C．有丝分裂过程中，细胞不会发生染色体数目的改变D．减数分裂过程中，细胞中的遗传物质平均分配至子细胞3．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，富含大量的有毒、有害物质，很容易入人肺进入血液。

PM2.5今年成为广东空气污染指数重要标准。

下列推测不．合理的是A．颗粒物如有硅尘入肺可能会破坏吞噬细胞的溶酶体膜，释放水解酶破坏细胞结构B．过敏病人在PM2.5超标的空气中会发病，是因为该颗粒中有相关的过敏原C．PM2.5含量升高主要是人类活动的影响D．PM2.5的颗粒中的一些酸性物质进入人体血液会导致其pH成酸性4．小宁和小静为同卵双胞胎，下列说法不．正确的是A．自然条件下同卵双胞胎和人工胚胎分割技术产生的结果类似B．小宁患某种常染色体显性遗传病，小静正常，则可能是小宁胚胎发生了基因突变C．小宁和小静在表现型上的差异主要是由基因重组导致的D．若二人母亲为伴X显性遗传病患者，在其怀孕期间最好对胎儿进行基因检测5．小李在野外被蛇咬伤，下列说法正确的是A．见到蛇时身体紧张发热，主要是甲状腺激素起作用B．见到蛇后躲避属于条件反射C．小李整个反应过程涉及的神经中枢为大脑皮层D．倘若是毒蛇，则需要立刻注射相应蛇毒疫苗6．下列生物技术或方法中，不．正确的是A．果酒、腐乳制作过程中利用的都是分泌到细胞外的胞外酶B．制备固定化酶的方法主要有包埋法、交联法和吸附法C．研究光合作用过程中碳元素的传递，可采用14C标记示踪D．荧光染料标记小鼠细胞表面的蛋白质研究细胞膜的流动性7．下列说法正确的是A．1 mol葡萄糖水解能生成2 mol CH3CH2OH和2 mol CO2B．在鸡蛋清溶液中分别加入饱和Na2SO4、CuSO4溶液，都会因盐析产生沉淀C．油脂不是高分子化合物，1 mol油脂完全水解生成1 mol甘油和3 mol高级脂肪酸D．欲检验蔗糖水解产物是否具有还原性，可向水解后的溶液中直接加入新制的Cu(OH)2并加热8．设N A表示阿伏加德罗常数的值，下列叙述中正确的是A．pH=2的盐酸溶液中含有的阳离子数为0.02N AB．100g 98%的浓硫酸中含氧原子个数为4N AC．标准状况下，22.4LCHCl3所含有的分子数目为N AD．常温常压下，14g乙烯和环丙烷的混合物中，含有碳原子的数目为N A9．短周期元素Q、R、T、W在元素周期表中的位置如右图所示，其中T所处的周期序数与主族序数相等，下列推断正确的是A．T的氧化物是光导纤维的主要成分B．Q与氢形成的化合物均含极性共价键C．R的最高正价氧化物的水化物是弱电解质D．W的氢化物的化学式为HCl10．研究人员研制出一种锂水电池，可作为鱼雷和潜艇的储备电源。

2012年广东华师附中高三第四次周末综合测试(三月,理数)

高三年级数学学科综合训练（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数x y 2log =的定义域是A. (0,1]B. (0,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞) 2．已知向量)2,1(),,2(==b t a ，若t=t 1时，b a //；t=t 2时，b a ⊥，则 A.t 1=-4,t 2=-1 B.t 1=-4,t 2=1 C.t 1=4,t 2=-1 D.t 1=4,t 2=1 3．已知在等比数列{a n }中，a 1+a 3=10，4564=+a a ，则等比数列{a n }的公比q 的值为 A ．41 B.21C.2D.8 4．设函数f(x)=g(x)+x 2，曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为A ．41-B ．4C ．2D ．21- 5．命题:;21|21:|q k p >-函数y=log 2(x 2-2kx+k)的值域为R ，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 6．若54cos -=α，α是第三象限的角，则2tan12tan 1αα-+=A ．21-B ．21 C.2 D.-27．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y=f(x)，一种是平均价格曲线y=g(x)(如f(2)=3表示开始交易后2小时的即时价格为3元，g(2)=4表示开始交易后两小时内所有成交股票的平均价格为4元）．下面所给出的四个图像中，实线表示y=f(x)，虚线表示y=g(x),其中可能正确的是8.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有1|)()(|≤-x g x f ，则称f(x)和g(x)在[a ，b]上是“密切函数”，[a ，b]称为“密切区间”，设f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x-3在[a ，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是A.[1,4]B.[2,4]C.[3,4]D.[2,3] 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知O 是坐标原点，A(3，1)，B （-1，3）．若点C 满足OB OA OC βα+=，其中α，β∈R ，且α+β=1，则点C 得轨迹方程是________________. 10.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧≤-≤≤+≤96923y x y x ，则z=x+2y 的最小值为_______________．11.设331)(+=xx f ，则f(-12)+f(-11)+f(-10)+...+f(0)+…+f(11)+f(12)+f(13)的值为__________．12.若x ，y ，z 都是正数，且xyz(x+y+z)=1，则(x+y)(y+z)的最小值为__________.13.函数f(x)=Asin(ωx)的图象如图所示，若23)(=θf ，)2,4(ππθ∈，则cos θ-sin θ=_______.14.下列说法：①“x x R x 32,>∈∃”的否定是“x x R x 32,≤∈∀， ②函数)26sin()32sin(x x y -+=ππ的最小正周期是π；③命题“函数f(x)在x=x 0处有极值，则f'(x 0)=0”的否命题是真命题；④f(x)是(-∞，0)∪(0,+∞)上的奇函数x>0时的解析式是f(x)=2x，则x<0时的解析式为f(x)=-2-x其中正确的说法是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满12分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量)1,4(-=，)2cos ,2(cos 2A A =，且27=⋅n . (1)求角A 的大小： (2)若3=a ，试判断b ·c 取得最大值时△ABC 形状．16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知四边形OABC 是平行四边形，A(4,0)，)3,1(C ，点M 是OA 的中点，点P 在线段BC 上运动（包括端点），如图 (1)求∠ABC 的大小；(2)是否存在实数λ，使OA ⊥-)(λ？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由。

广东省华南师大附中2012届高三综合测试(二)(二模)数学理(附答案) (2)

2013年华南师范大学附属中学高三综合测试数学（理）2013.5.23第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1. 已知i 是虚数单位，则复数3232i i i z ++=所对应的点落在A. 第一象限；B. 第二象限；C. 第三象限；D. 第四象限 2. 已知全集R U =，}21|{<<-=x x A ，}0|{≥=x x B ，则=)(B A C UA. }20|{<≤x x ；B. }0|{≥x x ；C. 1|{->x x ；D. }1|{-≤x x 3. 公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数，且16122=a a ，则=92log a A. 4； B. 5； C. 6； D. 74. 若y x 、满足约束条件⎩⎨⎧≤+≥+1022y x y x ，则y x +2的取值范围是 A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,22； B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22； C. []5,5-； D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5,225. N M 、分别是正方体1AC 的棱1111D A B A 、的中点，如图是过A N M 、、和1C N D 、、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为6. 若将函数52)(x x f =表示为552210)1()1()1()(x a x a x a a x f +++++++= ，其中0a ，1a ，2a ，，5a 为实数，则=3aA. 10；B. 20；C. 20-；D. 10-7. 在ABC ∆中，已知向量)72cos ,18(cos ︒︒=AB ，)27cos 2,63cos 2(︒︒=BC ，则ABC ∆的面积为 A.22； B. 42； C. 23； D. 28. 对应定义域和值域均为[]1,0的函数)(x f ，定义：)()(1x f x f =，[])()(12x f f x f =，，ACBDAC DBNM 1B 1C[])()(1x f f x f n n -=， ,4,3,2=n ，方程[]1,0,)(∈=x x x f n 的零点称为f 的n 阶不动点。

广东省华南师大附中2012届高三高考数学中上难度题选做四.pdf

高考数学中上难度题选做参考答案 1.函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( ) (A)是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D)是奇函数解:与都是奇函数，，函数f(x)的图像关于点及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。

故选D 2.对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有．下列结论中正确的是( ) A．若，，则 B．若，，且，则 C．若，，则 D．若，，且，则解对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．，则f（2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2 解:由已知得,,, ,, ,,, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）=f（5）=1,故选C. 4.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是( ) （A）（B）（C）（D）解：由得，即，∴∴，∴切线方程为，即选A 5.函数的图像大致为( ). 解:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. 6.如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为( ) 解在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选. 7.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 A． B． C． D．解的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选. 8.设球的半径为时间t的函数。

若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）A.成正比，比例系数为C；B.成正比，比例系数为2C；C.成反比，比例系数为C；D.成反比，比例系数为2C 解：由题意可知球的体积为，则，由此可得，而球的表面积为，所以，即，故选D 9.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（）A. 0B.C. 1D. 解：若≠0，则有，取，则有： ( 于是， 10.设函数在R上有定义，对于给定的正数K，定义函数取函数。

广东省华师附中2012届高三下学期第三次周末综合测试(数学理)

高三年级数学学科综合训练（理科）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

请将唯一正确答案的序号填在答题卷的答案表中。

1．已知全集U=R ，集合},2|{||R x y y M ∈==⨯，}04|{2≥-∈=x R x N ，则图中阴影部分所表示的集合是( )A. (-∞,2)B. [2,+∞)C. [1,2)D.(1,2) 2．给出下列四个命题，其中正确的命题的个数为 ( )①命题“存在x 0∈R，2x0≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x>0”； ②已知2|:|≤x p ，20:≤≤x q ，则p 是q 的充分不必要条件； ③22log 12sinlog +π212cos-=π④)32sin(2)]23[cos(-=-x xA. 1B. 2C. 3D. 43．)0,2(πα-∈，53sin -=α，则cos(π-α)的值为( ) A ．54- B.54 C.53 D.53-4．已知函数f(x)=3x+x-9的的零点为x 0，则x 0所在区间为( ) A ．]21,23[--B.]21,21[-C.]23,21[D.]25,23[ 5．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( ) A ．若l⊥α，α⊥β，则β⊂l B ．若l⊥α，α//β，则l⊥β C ．若l//α，α//β，则β⊂l D ．若l//α，α⊥β，则l⊥β6．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f'(x)的图象可能为( )7．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，对任意的x∈R 都有f(x+2)=-f(x)+f(1)成立，则f(2011)+f(2012)等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 8．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误．．的为( )A. AC⊥BD B ．AC=BDC. AC∥截面PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为450二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分.9．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8=32，则S 10 等于______10．函数3sin 2)(-=x x f 的图像在3π=x 处的切线方程为__________11．函数12n m )(+--=xx x l x f 在[2，4]上是增函数的充要条件是____（用m 来表示） 12.在三棱锥S-ABC 中，G 为△ABC 的重心，若SC z SB y SA x SG ++=，则x+y+z=_____ 13.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： ①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。

华南师大附中2012届高三综合月考

华南师大附中2012届高三综合月考（一）文科综合历史部分试题第一部分选择题（共140分）一、选择题：（本大题共35小题，每小题4分，满分140分。

在每小题列出的四个选项中只有一项符合题目要求）12．一位西方学者评论秦始皇：“建立了绝对的专制制度，这一制度以个人亲信为基础，而不考虑世系和教育。

”从人类政治文明发展的角度看，这一政治转向的积极意义主要在于A．从贵族政治向官僚政治转变B．从井田制向小农经济转变C．从分权政治向专制政治转变D．从军功政治向文治政治转变13．黄宗羲在《明夷待访录》中说：“用一人焉则疑其自私，而又用一人以制其私；行一事焉则虑其可欺，而又设一事以防其欺。

”能体现这一特点的中国古代政治制度有①三省六部制②宋朝在中央设置中书门下，在地方设置通判③明朝的内阁④清朝的军机处A．①②B．①③C．②④D．②③14．“任何人在缺席时不得被判罪；同样，不得基于怀疑而惩罚任何人……与其判处无罪之人，不如容许罪犯逃脱惩罚。

任何人不能仅因思想而受惩罚”。

材料所体现的罗马法原则不包括A．不得缺席定罪B．无证据不定罪C．不得因言获罪D．财产神圣不可侵犯15．一学者这样评价某国政治制度演进：“较少的腥风血雨，较少的声色俱厉，较少的深思高论，只有一路随和，一路感觉，顺着经验走，绕着障碍走，怎么消耗少，怎么发展快就怎么走，……温和中包含着刚健，渐进中累积着大步。

”他评价的是A．英国君主立宪制B．德国君主立宪制C．美国总统共和制D．法国共和制16．观察下面反映中西政治体制的图示，对其异同分析最为准确的是A．相同的是都属于三权分立的民主政体，不同的是首脑称号B．相同的是都体现了分权，不同的是主权的归属C．相同的是都体现了专制集权，不同的是权力的分配D．相同的是都体现了制衡，不同的是元首的权力17．1912年1月1日，中华民国临时政府成立。

同月，临时参议院也成立。

这说明华民国A．实行议会共和制B．权力过于分散C．注重权力的制衡D．实现了全国普选18．最符合1938年中国共产党领导的八路军所戴军帽的帽徽的是A B C D19．某西方学者评论说：“他们虽然有社会变革的方案，但并不期望和打算通过无产者的起义来实现社会变革。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2012届华南师大附中高三综合测试数学（理）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分选择题（共40分）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知全集U=R ，则正确表示集合M={-1，0，1}和}0|{2=+=x x x N 关系的韦恩（Venn ）图是：2．已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 取值范围是：A ．)32,31( B.)32,31[ C.)32,(-∞ D.)32,21[ 3.设a=lge ，b=(lge)2，e g c 1=,则：A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a 4．若函数y=f(x)的导函数．．．在区间[a ，b]上是增函数，则函数y=f(x)在区间[a ，b]上的图象可能是：5．曲线y=sinx ，y=cosx 与直线x=0，2π=x 所围成的平面区域的面积为： A ．dx x x ⎰-2)cos (sin πB.dx x x x ⎰-40)cos (sin2 C.dxx x ⎰-40)sin (cos 2π D.dx x x ⎰-2)sin (cosπ6．函数f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A>0，2||πφ<)的图象如图所示，为了得到g(x)=cos2x 的图像，则只要将f(x)的图像:A.向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度7．定义在R 上的函数f(x)满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),1(log )(2x x f x f x x x f ，则f(2011)的值为：A.-1B.0C.1D.28．若定义在R 上的减函数y=f(x)，对任意的a ，b ∈R ，不等式)2()2(22b b f a a f -≤- 成立，则当1≤a ≤4时，ab的取值范围是： A ．)1,41[- B.]1,41[- C.]1,21[- D.]1,21(-第二部分非选择题(110分)二、填空题（每小题5分，共30分）9．)32011sin(π-=____. 10.已知=-)3tan(πα53-则tan α=____．11．在△ABC 中，用a 、b 、c 和A 、B 、C 分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a=2，2=b ，4π=A ，则角B=____． 12.对a ，b ∈R ，记⎩⎨⎧<≥=b a b b a a b a ,,),max(，函数)1|,1max(|)(2+-+=x x x f 的最小值是___．13.已知函数f(x)=x+2x，g(x)=x+lnx 的零点分别为x 1，x 2，则x 1,x 2的大小关系是_____.14.已知函数f(x)在R 上满足f(x)=2f(2-x)-x 2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是_________.三、解答题（共6大题，共80分）15. （本小题满分12分）已知函数2)(2--=x x x f 的定义域集合是A ，函数 g(x)=lg[(x-a)(x-a-1)]的定义域集合是B ． (1)求集合A 、B;(2)若A ∩B=A ，求实数a 的取值范围．16.（本小题满分12分）已知函数)4sin(32sin )(2π++=x x x f 3cos )4cos(.2---x x π. (1)求函数f(x)的最小正周期和最值； (2)求函数f(x)的单调递减区间．17.（本小题满分14分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P （亿元）和Q （亿元），它们与投资额t （亿元）的关系有经验公式t P 241=，t Q 81=,今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x （亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y（亿元）．求:(1)y 关于x 的函数表达式： (2)总利润的最大值．18.（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且bcc b a )32()(22-=--， 2cos sin sin 2C B A =，BC 边上中线AM 的长为7.(I)求角A 和角B 的大小； (II)求△ABC 的面积．19.（本小题满分14分）已知函数⎩⎨⎧≥<+-=1,ln 1,)(23x x ax x x x f ，其中a ∈R.(1)求f(x)在[-1，e](e 为自然对数的底数）上的最大值；(II)对任意给定的正实数a ，曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q ，使得△POQ 是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？ 20．（本小题满分14分）设函数f(x)=xsinx(x ∈R)．(I)证明：x k x f k x f sin 2)()2(ππ=-+，其中为k 为整数；(II)设x 0为f(x)的一个极值点，证明：204201)]([x x x f +=. (III)设f(x)在(0，+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a 1，a 2，…，a n ，…，证明：),2,1(21=<-<+n a an ππ.参考答案一、选择题：BABA CDAC 二、填空题：9．23- 10．23 11．6π12.0 13.x 1<x 2 14.y=2x-1 三、解答题15．（本小题满分12分）已知函数2)(2--=x x x f 的定义域集合是A ，函数 g （x ）=lg[(x-a)(x-a-1)]的定义域集合是B ． (1)求集合A 、B;(2)若A ∩B=A,求实数a 的取值范围．解:(1)由1022-≤⇔≥--x x x 或x ≥2,所以}21|{≥-≤=x x x A 或. 由(x-a)(x-a-1)>0得x<a 或>a+1，所以}1|{+><=a x a x x B 或 (2)由A ∩B=A ，得⎩⎨⎧<+->21,1a a所以-1<a<1，所以实数a 的取值范围是(-1，1)．16．（本小题满分12分）已知函数)4sin(32sin )(2π++=x x x f 3cos )4cos(2---x x π. (1)求函数f(x)的最小正周期和最值； (2)求函数f(x)的单调递减区间．解：(1))4sin(32sin )(2π++=x x x f 3cos )4cos(2---x x π32cos )4(sin 322--+=x x πx x 2cos 2sin 3-=)62sin(2π-=xππ==∴22T当2262πππ+=-k x 即)(3Z k k x ∈+=ππ时，f(x)取最大值2；当2262πππ-=-k x 即)(6Z k k x ∈-=ππ时，f(x)取最小值-2.(2)由≤-≤+6222πππx k )(232z k k ∈+ππ，得)(653z k k x k ∈+≤≤+ππππ ∴单调递减区间为)](65,3[z k k k ∈++ππππ.17.（本小题满分14分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P （亿元）和Q （亿元），它们与投资额t （亿元）的关系有经验公式t P 241=，t Q 81=.今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x （亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y(亿元）.求：(1)y 关于x 的函数表达式： (2)总利润的最大值．解：(1)根据题意，得)5(81241x x y -+=， x ∈[0，5]． (2)令x t 2=，]10,0[∈t ，则22t x =. 85411612++-=t t y 87)2(1612+--=t因为]10,0[2∈，所以当22=x 时，即x=2时，y 最大值=0.875．答：总利润的最大值是0.875亿元．18.（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,且a 2-(b-c)2bc )32(-=，2cos sin sin2C B A =，BC 边上中线AM 的长为7. (I)求角A 和角B 的大小； (Ⅱ)求△ABC 的面积.解:(I)由bcc b a )32()(22-=--得 bc c b a 3222-=--， 232cos 222=-+=∴bc a c b A ，而A ∈(0，π),6π=∴A .由2cos sin sin 2CB A =，得2cos 1sin 21CB +=即 sinB=1+cosC 则cosC<0，即C 为钝角，故B 为锐角，且π65=+C B则1)65sin(=-C π)3cos(cos π+⇒+C C π321=⇒-=C 故6π=B . (II)设AC=x ，由余弦定理得2222)7()21(2.24=-⋅⋅-+=x x x x AM 解得x=2故3232221=⋅⋅⋅=∆ABC S .19．（本小题满分14分）已知函数⎩⎨⎧≥<+=1,ln 1,)(23x x a x x x x f ，其中a ∈R ．(I)求f(x)在[-1，e]（e 为自然对数的底数）上的最大值；(II)对任意给定的正实数a ，曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q ，使得△POQ 是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？解：(I)因为⎩⎨⎧≥<+-=.1,ln ,1,)(23x x a x x x x f①-1≤x ≤1时，f'(x)=-x(3x-2)，解f'(x)>0得到320≤<x ;解f'(x)<0得到-1<x<0或132<<x . 所以f(x)在(-1，0)和)1,32(上单调递减，在)32,0(上单调递增，从而f(x)在32=x 处取得极大值274)32(=f .又f(-1)=2,f(1)=0,所以f(x)在[-1,1)的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f(x)=alnx ，当a ≤0时，f(x)≤0；当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最大值为a.综上得：当a ≥2时，f(x)在[-1，e]上的最大值为a ；当a<2时，f(x)在[-1，e]上的最大值为2．(II)假设曲线y=f(x)上存在两点P,Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，因为三角形斜边中点在y 轴上，则P ，Q 只能在y 轴的两侧。