北师大版数学八年级上册周末提升训练十-八上《第一至五章》提升训练(Word版,无答案)

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北师大版八年级上《第一章勾股定理》综合性提高训练含答案解析

北师大 8 上第一章勾股定理综合性提升训练（含答案）例题 1、直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线长为 d，则这个三角形周长为（）（A ）d 2S 2d（B ）d 2S d（C ） 2 d2S 2d（D ） 2 d2S dS1解:设两直角边分别为 a,b,斜边为 c,则cab由勾股定理 ,得 a 2b 2c 2 .2d , 2 .所以 ab 2a 22ab b 2 c 2 4S 4d 2 4S .所以ab 2 d 2S.所以ab c 2 d 2 S2d.应选（ C ）例题 2．在 ABC 中, AB AC 1, BC 边上有 2006 个不一样的点P 1, P 2 , P 2006,记 m iAP i 2BP i PC i i 1,2,2006,则 m 1m 2m 2006=_____.解如图作ADBC 于D ,因为 AB AC 1 ,则 BD CD. :,由勾股定理 ,得AB2AD 2 BD 2, AP 2 AD 2 PD 2 所以.AB 2 AP 2BD 2 PD 2BD PDBD PDBP PC所以AP 2BP PCAB 2 12 .所以m1m 2m200612 2006 2006 .例题 3．如下图，在RtABC 中, BAC90 , ACAB, DAE 45,且 BD 3 ,CE4,求 DE 的长 .解:如右图：因为ABC为等腰直角三角形 ,所以ABDC45.所以把AEC 绕点 A 旋转到 AFB ,则 AFBAEC .所以BFEC 4, AFAE, ABFC45 连结DF. 所以 DBF 为直角三角形 ..由勾股定理 ,得 DF2BF 2 BD 2 4232 52 .所以DF5 .因为 DAE 45 ,所以 DAF DABEAC 45 .所以 ADE ADF SAS .所以DEDF5 .例题 4、如图，在△ ABC 中，AB=AC=6 ，P 为 BC 上随意一点，请用学过的知识试求 PC ·PB+PA 2的值。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》解答题专题提升训练(附答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》解答题专题提升训练（附答案）1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10．（1）求线段AE的长；（2）求△ABC的面积．2．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC是近直角三角形，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝．（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，若CD是∠ACB的平分线．①求证：△BDC为近直角三角形．②求BD的长．3．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，AD＝13m，∠B＝∠ACD＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值．5．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝16，CD＝21，AD＝29，点E是AD的中点，求CE的长．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点P为CB边上一动点，当动点P沿CB从点C向点B运动时，△APC的面积发生了变化．设CP长为xcm，△APC 的面积为ycm2．（1）求y与x的关系式；（2）当点P运动到BC的中点时，△APC的面积是多少？（3）若△APC的面积为8cm2，则CP的长为多少？7．数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的Rt△ABE和Rt△DEC如图所示摆放，使点A，E，D在同一条直线上，∠A＝∠D＝90°中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2＝c2．请写出证明过程．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．（1）判断△BCF的形状，并说明理由；（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．9．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．10．如图，△ABC在正方形网格中，点A、B、C均在小方格的格点上，若小方格边长为1，请判断△ABC的形状，并说明理由．11．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB＝6.5千米，CD ＝6千米，BD＝2.5千米．（1）求证：CD⊥AB；（2）求原来的路线AC的长；12．已知，△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10．（1）如图1，若点D是AB的中点，且∠B＝40°，求∠DCA的度数；（2）如图2，若点E是AB边上的动点，求线段CE的最小值．13．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：n23456…a22﹣132﹣142﹣152﹣162﹣1…b4681012…C22+132+142+152+162+1…（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝，b ＝，c＝．（2）在（1）的条件下判断：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．14．一棵高12m的大树被折断，折断处A距地面的距离AC＝4.5m（点B为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部C的距离CD为6.5m，点D 在CB的延长线上，求大树顶端着地处B到小轿车的距离BD．15．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．16．如图是某设计师打造的一款项目的示意图，其BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF是一木质平台的侧面示意图，测得CD＝1m，AD＝15m，求出AB段的长度．17．如图，旗绳AC自由下垂时，比旗杆AB长2米，如果将旗绳斜拉直，下端在地面上，距旗杆底部的距离BC＝6米，求旗杆AB的高度．18．为了测量如图风筝的高度CE，测得如下数据：①BD的长度为8米（注：BD⊥CE）；②放出的风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的同学身高为1.60米．（1）求风筝的高度CE．（2）若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？19．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品．当人（或动物）移至LED灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便．如图，有一个由传感器A控制的LED灯安装在门的上方，离地面高4.5m的墙壁上，当人移至距离该灯5m及5m以内时，灯就会自动点亮．请问：如果一个身高1.5m的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？20．自2020年以来，安宁市建起了多个“口袋公园”，它们既美化了城市空间，又拓展了市民的公共活动场所，还体现着城市风貌和文化．如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，AD＝24m，CD＝7m．（1）如图，连接AC，试求AC的长；（2）安宁市委、市政府计划将其打造为“口袋公园”，经测算，每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成“口袋公园”需要多少钱．参考答案1．解：（1）∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，∴DE＝CD＝6，∴AE＝8；（2）设BC＝x，则BE＝x，AB＝8+x，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即162+x2＝（8+x）2，解得x＝12，即BC＝12，∴S＝96．2．解：（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，故答案为：20°；（2）①如图1，设∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②如图2，过点D作DM⊥BC于点M，∵CD平分∠ACB，DM⊥BC，DA⊥CA，∴AD＝DM．在Rt△ACD和Rt△MCD中，，∴Rt△ACD≌Rt△MCD（HL）．∴AC＝CM＝4．∵AB＝3，AC＝4，∴BC＝5．∴BM＝1．设AD＝DM＝x，∵DM2+BM2＝DB2，∴x2+12＝（3﹣x）2，∴x＝，∴BD＝AB﹣AD＝3﹣＝．3．解：∵∠ACD＝90°，∴AC2+DC2＝AD2，由勾股定理得AC＝5m，∴DC＝12m，这块草坪的面积＝S Rt△ABC+S Rt△ACD＝AB•BC+AC•DC＝（3×4+5×12）＝36m2．故需要的费用为36×100＝3600元．答：铺满这块空地共需花费3600元．4．解：（1）如图1，P A＝PB，在Rt△ACB中，AC=8设AP＝t，则PC＝8﹣t，在Rt△PCB中，依勾股定理得：（8﹣t）2+62＝t2，解得，即此时t的值为；（2）分两种情况：①点P在BC上时，如图2所示：过点P作PE⊥AB，则PC＝t﹣8，PB＝14﹣t，∵AP平分∠BAC且PC⊥AC∴PE＝PC在△ACP与△AEP中，，∴△ACP≌△AEP（AAS），∴AE＝AC＝8，∴BE＝2，在Rt△PEB中，依勾股定理得：PE2+EB2＝PB2即：（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2解得：；②点P又回到A点时，∵AC+BC+AB＝8+6+10＝24，∴t＝24；综上所述，点P在∠BAC的平分线上时，t的值为秒或24秒．5．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∵AB＝12，BC＝16，∴AC＝20，∵CD＝21，AD＝29，∵AC2+CD2＝202+212＝841，AD2＝841，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形，∵点E是AD的中点，∴CE＝＝×29＝．6．解：（1），所以y与x的关系式为y＝2x；（2）当时，y＝5，所以点P运动到BC的中点时，△APC的面积为5cm2；（3）当y＝8时，2x＝8，解得x＝4，所以当△APC的面积为8cm2时，CP的长为4cm．7．证明：如图，连接BC，∵Rt△ABE≌Rt△DEC，∴∠AEB＝∠DCE，BE＝EC＝c，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是等腰直角三角形，∵S梯形ABCD＝S Rt△ABE+S Rt△CDE+S Rt△BEC，∴，即∴，∴a2+b2＝c2．8．（1）解：△BCF为等腰直角三角形．理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠BCF＝∠CBF＝45°，∴∠CFB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCF为等腰直角三角形；（2）证明：在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，在△CHB和△AEF中，，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．9．（1）证明：∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，∴AC＝2CE＝12，BC＝2CD＝16，∵AB＝20，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°；（2）解：∵E是边AC的中点，AE＝6，∴AC＝2AE＝12．在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，AC＝12，AD＝13，∴CD＝5，∴BC＝2CD＝10，∴△ABC的面积＝AC•BC＝×12×10＝60．10．解：△ABC是直角三角形，理由：由图可得，∵AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．11．（1）证明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，62+2.52＝6.52，∴CD2+BD2＝CB2，∴△CDB为直角三角形，∴CD⊥AB；（2）解：设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，∴CD2+AD2＝AC2，即62+（x﹣2.5）2＝x2，解得：x＝8.45．答：原来的路线AC的长为8.45千米．12．解：（1）在△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10，∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝40°，∴∠A＝90°﹣∠B＝50°，∵点D是AB的中点，∴CD＝DA＝AB，∴∠A＝∠DCA＝50°，∴∠DCA的度数为50°；（2）如图：当CE⊥AB时，线段CE最小，∵△ABC的面积＝AB•CE＝AC•BC，∴AB•CE＝AC•BC，∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8，∴线段CE的最小值为4.8．13．解：（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，故答案为：n2﹣1，2n，n2+1；（2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形，证明：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴a2＝（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，b2＝（2n）2＝4n2，c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，∴a2+b2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，∴a2+b2＝c2，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．14．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝6（m），∴BD＝CD﹣BC＝0.5（m），∴大树顶端着地处B到小轿车的距离BD为0.5米．15．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠CFD＝90°，∠CEB＝90°（垂线的意义）CE＝CF（角平分线的性质）∵BC＝CD（已知）∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）（2）解：由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF∴DF＝EB，设DF＝EB＝X∵∠CFD＝90°，∠CEB＝90°，CE＝CF，AC＝AC∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）∴AF＝AE即：AD+DF＝AB﹣BE∵AB＝21，AD＝9，DF＝EB＝x∴9+x＝21﹣x解得，x＝6在Rt△DCF中，∵DF＝6，CD＝10∴CF＝8∴Rt△AFC中，AC2＝CF2+AF2＝82+（9+6）2＝289∴AC＝17答：AC的长为17．16．解：延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，∵BG2+CG2＝CB2，∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得x＝8，∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（米），答：AB的长度长为9米．17．解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：（x+2）2＝x2+62，解得：x＝8．答：旗杆的高度为8米．18．解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，所以，CD＝15（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6米，答：风筝的高度CE为16.6米；（2）由题意得，CM＝9，∴DM＝6，∴BM＝10，∴BC﹣BM＝7，∴他应该往回收线7米．9．解：AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3（m），AD＝5m．由勾股定理，得DE2＝AD2﹣AE2＝52﹣32＝16，所以DE＝4（m）．因此，当人走到离门4m的地方，该灯刚好点亮．20．解：（1）∵∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，∴AC＝25（m），答：AC的长为25m；（2）∵AC2＝625，CD2＝49，AD2＝576，∴AC2＝CD2+AD2，∴△ACD是直角三角形，∠D＝90°，∴“口袋公园”的面积＝S△ABC+S△ACD＝AB×BC+×AD×CD＝+ 24×7＝234（m2），234×2000＝468000（元），答：将这块地打造成“口袋公园”需要468000元钱．。

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第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理知识点一认识勾股定理精练版P1我们可以通过求网格中大正方形的面积来探索勾股定理．在求正方形网格中大正方形的面积时，一般采用数格子和图形割补两种方法：数格子时，直接数出大正方形内部所包含的完整的小方格的个数，将不足一个方格的部分进行适当拼凑，拼出若干个完整的小方格，将它们相加即可；图形割补时，通常是将图形分割成几个格点三角形和几个网格正方形，再将所分割成的各三角形和网格正方形的面积求出来相加即可．勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.例1如图①，在直角三角形外部作出3个正方形．(1)正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________；(2)正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________；(3)正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________；(4)如果用S A，S B，S C分别表示正方形A，B，C的面积，那么它们之间的关系是：______________；(5)如图②中是否仍然存在着这样的关系？解析：通过观察、拼凑可以直接得出图中A，B，C三个正方形的面积及它们之间的关系，再按照同样的方法计算图②中几个正方形的面积，发现同样满足这个关系．解：(1)1616(2)99(3)2525(4)S A＋S B＝S C(5)图②中，S A′＝1，S B′＝9，S C′＝10，所以仍然有S A′＋S B′＝S C′.知识点二勾股定理的简单应用精练版P11．已知直角三角形的两边求第三边．2．已知直角三角形的一边，确定另两边的关系．3．证明线段的平方关系．例2如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________米的路，却踩伤了花草．解析：根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即(AC＋BC)－AB.在Rt△ABC中，AB2＝BC2＋AC2，AC＝3米，BC＝4米，则AB＝AC2＋BC2＝5米，所以他们仅仅少走了AC＋BC－AB＝4米．答案：4第2课时勾股定理的验证及其应用知识点一勾股定理的验证精练版P2勾股定理的证明方法较多，中外数学史上关于勾股定理的证明一般是用拼图法来验证的．一般步骤如下：拼出图形→找出图形面积的表达式→建立等量关系→恒等变形→推导出勾股定理．如图(1)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以(a＋b)2＝4×12ab＋c2，所以a2＋b2＝c2.如图(2)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以c2＝4×12ab＋(b－a)2，所以c2＝a2＋b2.如图(3)．因为S梯形＝2S小三角形＋S大三角形，所以12(a＋b)(a＋b)＝2×12ab＋12c2，整理，得a2＋b2＝c2.知识点二勾股定理的应用精练版P21．勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的关系．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，则斜边AB称为弦，较短直角边BC称为勾，较长直角边AC称为股，BC2＋AC2＝AB2.这就是勾股定理．2．应用勾股定理时要注意：(1)勾股定理成立的前提条件是“直角三角形”，在锐角三角形和钝角三角形中不存在这一结论．(2)应用勾股定理时应分清直角边与斜边．在一些Rt△ABC中，斜边未必是c.(3)应用勾股定理进行计算时，若没有明确直角边与斜边，应分类讨论．例1“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A．3B．4C．5D．6解析：观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积－4个直角三角形的面积，利用已知(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．因为(a＋b)2＝21，所以a2＋2ab＋b2＝21，因为大正方形的面积为13，2ab＝21－13＝8，所以小正方形的面积为13－8＝5.故选C.答案：C易错点没有明确直角边和斜边用勾股定理时，若题目没有指明谁是斜边，应按未知边是斜边或是直角边两种情况分类讨论．例2在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，求AB2.解：当AB 为斜边时，AB 2＝AC 2＋BC 2＝225；当AB 为直角边时，AB 2＝BC 2－AC 2＝63.所以AB 2为225或63.注意：此题易错误地认为AB 2＝225.原因是没有分清AB 边是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件．因此，对于此类问题我们应该分情况讨论．2 一定是直角三角形吗知识点一勾股定理的逆定理精练版P3如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．(此判别条件也称为勾股定理的逆定理) 利用三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是不是直角三角形，把数与形有效地统一起来，体现了数形结合的数学思想．温馨提示：(1)在判别一个三角形是不是直角三角形时，a 2＋b 2是否等于c 2需通过计算说明，不能直接写成a 2＋b 2＝c 2.(2)验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：当(较小边长)2＋(较大边长)2＝(最大边长)2时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形．例1 判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是否为直角三角形． (1)a ＝4，b ＝5，c ＝6； (2)a ∶b ∶c ＝3∶4∶5.解：(1)因为a 2＋b 2＝42＋52＝41，c 2＝36，a 2＋b 2≠c 2，所以由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形． (2)设a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k (k ≠0)．因为a 2＋b 2＝(3k )2＋(4k )2＝25k 2， c 2＝(5k )2＝25k 2，所以a 2＋b 2＝c 2，所以由线段a ，b ，c 组成的三角形是直角三角形．知识点二勾股数精练版P3满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数．常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15；⑦9，40，41.勾股数有无数组．一组勾股数中，各数的相同整数倍得到一组新的勾股数，如：3，4，5是勾股数，9，12，15也是勾股数．温馨提示：勾股数必须都是正整数，如：0.3，0.4，0.5，尽管有0.32＋0.42＝0.52成立，但它们都是小数，因而不是勾股数．例2 判断下列各组数是不是勾股数：(1)3，4，7；(2)5，12，13；(3)13，14，15；(4)3，－4，5.解析：判断的时候，要紧扣两个条件：(1)是否符合a 2＋b 2＝c 2，即两个较小数的平方和是否等于最大数的平方；(2)它们是不是正整数．解：(1)因为32＋42≠72，所以3，4，7不是勾股数．(2)因为52＋122＝132，所以5，12，13是勾股数．(3)中的各数都不是正整数，所以这组数不是勾股数．(4)虽然32＋(－4)2＝52，但－4不是正整数，所以这组数不是勾股数．注意：判断勾股数的方法步骤：(1)确定三个数是正整数；(2)确定出最大数；(3)计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方．易错点运用边的关系识别直角三角形时，忽视最大边，从而造成判断错误运用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形时，首先要确定最长边，不能盲目地计算或想当然地认为某一边为最长边．例3已知三角形的三边长分别是m2－1，2m，m2＋1(m为大于1的自然数)，试判断这个三角形的形状．解：因为(m2－1)2＋(2m)2＝m4－2m2＋1＋4m2＝m4＋2m2＋1，(m2＋1)2＝m4＋2m2＋1，所以(m2－1)2＋(2m)2＝(m2＋1)2，所以此三角形为直角三角形．注意：此题易认为2m为最大边，得到(m2－1)2＋(m2＋1)2≠(2m)2，从而得出三角形不是直角三角形的错误结论．在做此类题时，一定要找准最大边．3勾股定理的应用知识点一确定几何体上的最短路线精练版P5柱体和长方体的展开图是一个长方形．求柱体或长方体上两点之间最短距离，需要把柱体或长方体展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为边构造成直角三角形，再利用勾股定理求解．例1有一个圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需要多长？(已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m)解：将圆柱形油罐的侧面沿AB剪开展成一个平面图形，如图所示，沿AB′建梯子最节省材料(两点之间，线段最短)．由已知得AB＝5m，BB′＝12m.在Rt△ABB′中，AB′2＝AB2＋BB′2＝52＋122＝132(m2)，所以AB′＝13m.因此所建的梯子最短需要13m.注意：由于梯子要绕着曲面建，因此最短路线应将曲面展成平面后，再依据“两点之间，线段最短”来确定．知识点二利用勾股定理解决生活中的长度问题精练版P5由勾股定理的知识，可以解决与直角三角形相关的一些实际问题．在解决实际问题时，应具体问题具体分析，将生活中的问题转化为数学问题，利用勾股定理加以解决．勾股定理的逆定理主要用来说明一个三角形为直角三角形．在实际问题中，有些线段的求解、角的求解在很大程度上转化为在直角三角形内求解．因此，熟练地判断一个三角形是否为直角三角形是首先要解决的问题．例2小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．解析：根据题意寻找出绳子长度与旗杆高度之间的关系，设未知数，利用勾股定理构造方程．解方程求得结论．解：设旗杆高x米，则绳长(x＋1)米．依题意，得x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.即旗杆的高度为12米．易错点将长方体展开时，忽视展开方式不唯一对长方体来说，由于一般情况下，长、宽、高不相等，则展开得到的距离也不相同，故对此问题应把可能出现的情况考虑全，分别计算，经过比较求出最短距离．例3有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点的最短距离，若长方体的底面长为12，宽为9，高为5，请帮助该小组求出由A点到B点的最短距离．(参考数据：21.592≈466，19.242≈370，18.442≈340)解：将四边形ACDF与四边形DCEB展开在同一平面，如图(1)所示．在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2＝(12＋9)2＋52＝466；同理，由图(2)，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋(9＋5)2＝340；由图(3)，得AB2＝AD2＋BD2＝(12＋5)2＋92＝370.因为340＜370＜466，所以最短距离为图(2)所示线段AB的长度，AB≈18.44.注意：解决长方体相对顶点表面最短距离问题，要全面考虑，先将所有路线都找出来，避免出现漏解，再通过计算找到最短路线．章末知识汇总类型一勾股定理与面积的综合应用例1已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD，再以△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，第7个等腰直角三角形的面积是________，第n个等腰直角三角形的面积为________．解析：要求等腰直角三角形的面积，只需求腰长的平方即可．S1＝12·AB·BC＝12，由勾股定理得，AC2＝AB2＋BC2＝2，AD2＝AC2＋DC2＝2＋2＝4，AE2＝AD2＋DE2＝4＋4＝8，所以S2＝12·AC2＝1，S3＝12·AD2＝2，S4＝12·AE2＝4.由此可得S7＝25＝32，S n＝2n－2.答案：322n－2注意：等腰直角三角形的面积是腰长平方的一半，利用整体代换解决．整体代换是数学一种重要方法．类型二直角三角形判定方法的实际应用例2如图所示，点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C 两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通，经测量得AB＝600m，AC＝800m，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算说明．解：因为AC2＋AB2＝8002＋6002＝10002＝BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.过点A作AD⊥BC，垂足为D.如图所示．因为S△ABC＝12×AB×AC＝12×AD×BC，所以AD＝AB×ACBC＝600×8001000＝480(m)．因为480m＞400m，所以此公路不会穿过该森林公园．注意：(1)根据“垂线段最短”只需计算最短距离．(2)求直角三角形斜边上的高经常用“等面积法”．类型三利用勾股定理解决实际生活中的最值问题例3如图，A，B两个小镇在河流l的同侧，到河的距离分别为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流l上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？解：如图所示，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交CD于点M，点M即为所求．连接AM，则MA＋MB最小．作A′E⊥BD交BD的延长线于点E.在直角三角形A′BE中，A′E＝30千米，BE＝BD＋DE＝BD＋AC＝40千米，由勾股定理A′B2＝A′E2＋BE2＝302＋402，所以A′B＝50千米．所以MA＋MB＝A′M＋BM＝A′B＝50千米，修管道的费用为50×3＝150(万元)．注意：(1)解决实际问题时，应将实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型．(2)费用最少即要求管道最短，问题便转化为“在直线CD同侧有两点A，B，试在CD上找一点M，使MA＋MB最小”．探究中要把握问题的实质，注意问题的转化．第二章实数1认识无理数知识点一非有理数的存在精练版P9整数和分数统称为有理数．随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，比如面积为5的正方形的边长，设该正方形的边长为x，则x2＝5，这里x既不是整数，也不是分数，也就是说没有一个有理数的平方是5，现实生活中存在着大量的不是有理数的数．例1以下各正方形的边长不是有理数的是()A．面积为49的正方形B．面积为916的正方形C．面积为8的正方形D．面积为1.21的正方形解析：可设边长为a(a＞0)，由A项得a2＝49，49＝72，所以a＝7；由B项得a2＝916，而916＝⎝⎛⎭⎫342，所以a＝34；由D项得a2＝1.21，而1.21＝1.12，所以a＝1.1；由C项得a2＝8，8不能写成一个整数或分数的平方．答案：C知识点二估计数值的大小精练版P9用x表示正方形的边长，若x2＝2，则x既不是整数，也不是分数，我们可以用无限逼近的方法估计x的值，从而求出x的近似值．方法：因为1＜2＜4，所以1＜x＜2，即x的整数位是1.又因为1.42＝1.96，1.52＝2.25.而2在1.42与1.52之间，所以x的十分位上的数是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数．例2已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是x cm.(1)估计x在哪两个整数之间．(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x的值．如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估计值．解析：此题首先根据勾股定理求出x2，再看x2的值介于哪两个完全平方数之间，其他数位依次类推．解：根据条件，得x2＝92＋52＝106.(1)因为100＜106＜121，所以100＜x2＜121，所以10＜x＜11，即x在整数10和11之间．(2)因为10.292＝105.8841，10.302＝106.09，所以10.292＜106＜10.302，所以精确到十分位时，x≈10.3.又因为10.2952＝105.987025，10.2962＝106.007616，所以10.2952＜106＜10.2962，所以10.2952＜x2＜10.2962，所以精确到百分位时，x≈10.30.注意：本题采用了无限逼近的方法，即将x的范围逐渐缩小，使得x2越来越接近某个数，渗透了用有理数近似地表示无理数的思想．知识点三无理数的概念精练版P9无限不循环小数称为无理数．例如，圆周率π＝3.14159265…是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数．再如，0.989889888988889…(相邻两个9之间8的个数逐次加1)也是无理数．温馨提示：(1)无理数是一种与有理数不同的数，要区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数．事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．(2)小数的分类：小数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫有限小数无限循环小数有理数无限不循环小数——无理数例3 227，0.2·03·，－π7，2.3131131113，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)中无理数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：－π7，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数，227，0.2·03·，2.3131131113是有理数．答案：A注意：π是无限不循环小数，是无理数，－π7不是分数，是一个无理数．易错点错把π当成有理数，把无限循环小数当成无理数 π是无理数，无理数除以非零有理数仍是无理数，无限循环小数为有理数，区别有理数与无理数时，应注意观察所给的数据．例4 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0．1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，－119180，345.202·，π2.解：有理数：－119180，345.202·；无理数：0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，π2.注意：学生很容易把π2看成有理数，以为它是分数，事实上，它是一个无理数．也很容易把345.202·看成无理数，错误原因是对无理数的概念认识不清，误以为无限小数都是无理数，事实上，只有无限小数中的无限不循环小数才是无理数．2 平方根知识点一算术平方根的概念与性质精练版P11定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为a ，读作“根号a ”．温馨提示：(1)特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0＝0.(2)负数没有算术平方根，也就是说，当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数．(3)a (a ≥0)是一个非负数．例1 求下列各数的算术平方根：(1)400；(2)2536；(3)13.解析：因为求一个非负数的算术平方根的运算与正数的平方运算是互逆的，所以我们可以借助平方运算来求这些数的算术平方根．解：(1)因为202＝400，所以400的算术平方根是20. (2)因为⎝⎛⎭⎫562＝2536，所以2536的算术平方根是56. (3)13的算术平方根是13.注意：(1)在求a 的算术平方根时，若a 是有理数的平方，a 的算术平方根就不带根号；若a 不是有理数的平方，a 的算术平方根就带有根号，如13.(2)由于求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，所以熟记常用完全平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果．知识点二平方根的概念与性质精练版P111．定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根)． 2．性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．温馨提示：一个正数a 必有两个平方根，一个是a 的算术平方根a ，另一个是－a ，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作±a ，读作“正、负根号a ”．例2 判断下列各数是否有平方根．若有，求出其平方根；若没有，请说明理由． (1)169；(2)(－1)2；(3)(－1)3.解析：根据平方根的性质判断一个数是否有平方根；根据平方根的定义可直接化简求值．解：(1)因为169＞0，所以169有平方根．因为(±13)2＝169，所以169的平方根是±13，即±169＝±13. (2)因为(－1)2＝1＞0，所以(－1)2有平方根．因为(±1)2＝1，所以1的平方根是±1，即±（－1）2＝±1. (3)因为(－1)3＝－1＜0，所以(－1)3没有平方根．注意：判断一个数有没有平方根，就是确定该数的性质符号(是正数、负数或零)．知识点三开平方精练版P11定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数．温馨提示：(1)开平方时，被开方数a 必须是非负数．(2)平方根是数，是开平方的结果；而开平方是一种运算，是求平方根的过程．(3)平方和开平方的关系是它们互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确．例3 (1)(16)2等于多少？(2)⎝⎛⎭⎫9252等于多少？ (3)5.52等于多少？ (4)（－2）2等于多少？解析：从算术平方根的定义出发，可直接推出结果．解：(1)(16)2＝42＝16.(2)⎝⎛⎭⎫9252＝⎝⎛⎭⎫352＝925. (3)5.52＝30.25＝5.5. (4)（－2）2＝4＝2.P111.a 2＝|a |，即当a ≥0时，a 2＝a ，当a ＜0时，a 2＝－a . 2．(a )2＝a (a ≥0)．温馨提示：(1)a 的取值范围不同，公式(1)中a 的取值可以是正数，可以是负数，也可以是0，而公式(2)中a 的取值是非负数．(2)运算顺序不同，公式(1)中a 先平方再开平方，而公式(2)中a 先开平方再平方．例4 求下列各式的值：(1)(7)2；(2)（－7）2；(3)（2－x ）2(x ＞2)．解析：对于a 2与(a )2(a ≥0)这两种形式要注意区分．解：(1)(7)2＝7.(2)（－7）2＝|－7|＝7.(3)因为x ＞2，所以 2－x ＜0，所以（2－x ）2＝|2－x |＝－(2－x )＝x －2. 注意：运用a 2＝|a |化简时，一定要先判断出a 的符号，然后才能化简．易错点不完全理解题意而出错若“算术平方根”和“平方根”两个概念出现在一个题中，或在同一题中两次出现同一概念，应注意进行两步运算．如：求16的平方根时，先要计算16＝4，再求4的平方根．例536的算术平方根是________．解析：36＝6，6的算术平方根是6，所以36的算术平方根是6. 答案：6注意：本题易将36的算术平方根误认为是36的算术平方根，而得到错误答案6.本题实际上是求6的算术平方根．3 立方根知识点一立方根的概念与性质精练版P131．立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根或三次方根，例如：53＝125，则5是125的立方根．2．表示方法：数a的立方根用符号3a表示，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3是根指数．注意根指数“3”不能省略．3．立方根的性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0.例1下列说法正确的是()A．64的立方根是2B．125216的立方根是±56C．(－1)2的立方根是－1D．－3是27的立方根解析：因为64＝8，所以64的立方根是2，故A选项正确．任何数只有一个立方根，排除B选项．正数的立方根为正数，故排除C，D选项．答案：A知识点二开立方精练版P131．定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．2．重要公式：①(3a)3＝3a3＝a；②3－a＝－3a.运用这两个公式求负数的立方根时，可先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可，即三次根号内的负号可以移到根号外面．例如：3－125＝－3125＝－5.例2求下列各数的立方根：(1)30.064；(2)3－27.解：(1)30.064＝30.43＝0.4.(2)3－27＝3（－3）3＝－3.知识点三立方根与平方根的区别与联系精练版P131．区别：(1)平方根的根指数是2，能省略，立方根的根指数是3，不能省略．(2)平方根只有对非负数才有意义，而立方根对任何数都有意义，且每个数都只有一个立方根．(3)正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个．2．联系：(1)都与相应的乘方运算互为逆运算．(2)都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即3－a＝－3a.例3一个数的平方等于64，则这个数的立方根是________．解析：因为(±8)2＝64，所以这个数为±8，3±8＝±2.答案：±2易错点错把3a的立方根当成a的立方根做开方运算时要认准被开方数，如求81的立方根，被开方数是81，而不是81.例4364的立方根是________．解析：因为364＝4，所以364的立方根是34.答案：34注意：本题容易把364的立方根误以为是64的立方根，从而得错解为4，解题时应先求出364＝4，再求4的立方根．4估算知识点一估算法确定无理数的大小精练版P171．估算是现实生活中一种常用的解决问题的方法．很多情况下需要去估算无理数的近似值，估算无理数经常用到“夹逼法”，即通过平方运算或立方运算，通过两边无限逼近，逐渐夹逼，确定其所在范围．2．“精确到”与“误差小于”的意义的区别：如精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m都符合题意，答案不唯一．一般情况下，误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位．例1870≈40正确吗？说明你的理由．解：因为402＝1600＞870，所以40＞870，且差别太大，所以870≈40不正确．知识点二比较两个无理数的大小的方法精练版P171．估算法：用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较．例2比较10－34与14的大小．解：因为3＜10＜4，所以0＜10－3＜1，所以0＜10－34＜14.2．求差法：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b.对于上例：因为10－34－14＝10－44＜0(因为3＜10＜4)，所以10－34＜14.3．平方法(或立方法)：当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：若a＞b≥0，则a＞b；若a＞b，则3a＞3b.例3比较26和33的大小．解：因为(26)2＝24，(33)2＝27，所以26＜33.易错点比较两个含根号的无理数的大小时，误认为只比较被开方数的大小比较两个含根号的无理数的大小，可以先确定它们的整数部分，进行比较，若无法比较，则再估计十分位后比较，直到得出结论为止．也可将两数同时平方，比较平方后的数的大小即可得出结果．例4 比较大小：27与72.解：因为2＜7＜3，所以4＜27＜6.因为72＞7，所以27＜72. [或(27)2＝28，(72)2＝98，28＜98，即27＜72]注意：解本题时易认为被开方数7大于2，而得到错误的答案27＞72，因为2＜7＜3，1＜2＜2，所以27＜6，72＞7，即27＜72.因此比较两个无理数的大小时要比较它们结果的大小，不能仅比较被开方数的大小．另外本题中2与7，7与2之间是乘积的关系．5 用计算器开方知识点一利用计算器开方精练版P18 利用计算器开方按键顺序：用计算器开方⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧开平方⎩⎪⎨⎪⎧先按“□”键再输入被开方数再按“＝”键最后按“S ⇔D ”键开立方⎩⎨⎧先按“SHIFT ”键再按“□”键再输入被开方数最后按“＝”键例1 用计算器求下列各式的值(结果精确到千分位)．(1)3.1；(2)35. 解：(1)按键顺序：□3·1＝S ⇔D ，显示1.760681…因为结果精确到千分位，所以答案为1.761. (2)按键顺序：SHIFT □5＝，显示1.709976…因为结果精确到千分位，所以答案为1.710. 知识点二利用计算器进行较复杂的计算精练版P18此类问题要注意根号下相乘除(或相加减)的按键顺序，切记“π”值的按键顺序．例2 求5×6－π的值．解：按照教材中型号的计算器的按键顺序为□5×6⊳－SHIFT ×10x ＝，则5×6－π的值显示的结果为2.335632921.注意：使用计算器进行混合运算时，在运算过程中，要按照算式的书写顺序从左到右按键输入算式，不同的计算器按键顺序有所不同，如有的计算器按照□（5×6）－SHIFT EXP ＝的按键顺序显示2.335632921，按此方法按键要注意该加括号时加括号．易错点在求和、差、积、商的算术平方根或立方根时易出错在用计算器求和、差、积、商的算术平方根或立方根时，要注意按键顺序，在不同型号的计算器中按键顺序有所不同，有的要注意括号的作用，按键时要加括号．例3 用计算器求7＋1的值．(精确到千分位) 解：按键：□（7＋1）＝S ⇔D ，显示2.828427125，精确到千分位是2.828.注意：在求“和、差、积、商”的算术平方根、立方根时，特别容易出现错误，不同型号的计算器使用时按键顺序不同，有的容易漏掉括号等导致答案错误．6 实数知识点一实数的概念及分类精练版P19 1．实数的概念：有理数和无理数统称为实数．2.实数的分类⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧按定义分⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数有限小数和无限循环小数无理数→无限不循环小数按大小分⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数零负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数负无理数例1 有一个数值转换器，原理如图，当输入的x 为64时，输出的y 是( )A ．8B ．8C ．64D ．3解析：输入64，则输出64＝8，8是有理数，第二次输入8.输出8，8是无理数．故选B .。

《第1章勾股定理》同步优生提升训练2021-2022学年北师大版八年级数学上册

2021年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步优生提升训练（附答案）一．勾股定理1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，点E在BC上，AE⊥DE．且AE＝DE，若EC＝1．则CD＝．2．如图是一个四边形ABCD，若已知AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，∠ABC ＝90°，则这个四边形的面积是cm2．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为直线AB上一动点，连PC．（1）线段PC的最小值是．（2）当PC＝5时，AP长是．4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm，则A、B、C、D四个正方形的面积之和为cm2．5．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC﹣∠DCE＝（）A．30°B．42°C．45°D．50°6．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．647．如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE ⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝，则PE+PF的长是（）A．B．6C．D．8．△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是（）A．54B．44C．36或48D．54或339．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC﹣AC＝2cm，AB＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm210．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．511．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴于点C，则点C的坐标为（）A．（6，0）B．（4，0）C．（6，0）或（﹣16，0）D．（4，0）或（﹣16，0）12．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm．（1）直接写出AB的长度．（2）设点P在AB上，若∠P AC＝∠PCA．求AP的长；（3）设点M在AC上．若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长．13．如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）图①中正方形ABCD的边长为；（2）在图②的4×4方格中画一个面积为8的正方形；（3）把图②中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数和﹣．14．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．（1）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，求证：△ABC是“美丽三角形”；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．15．如图所示网格是由边长为1的小正方形组成，点A，B，C位置如图所示，在网格中确定点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形的所有内角都相等．（1）确定点D的位置并画出以A，B，C，D为顶点的四边形；（2）直接写出（1）中所画出的四边形的周长和面积．二．勾股定理的证明16．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．三．勾股数17．已知：整式A＝n（n+6）+2（n+8）（n＞0），整式B＞0．尝试：化简整式A；发现：A＝B2，求整式B；应用：利用A＝B2，填写下列表格：n（n+6）2（n+8）B\40\四．勾股定理的逆定理18．如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，，BC ＝1，，则四边形ABCD的面积为．19．在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝．20．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，1，B．6，8，11C．3，4，5D．1，3，21．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，422．如图，四边形ABCD的三条边AB，BC，CD和BD都为5cm，动点P从点A出发沿A →B→D以2cm/s的速度运动到点D，动点Q从点D出发沿D→C→B→A以2.8cm/s的速度运动到点A．若两点同时开始运动运动5s时，P，Q相距3cm．试确定两点运动5s时，问△APQ的形状．23．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．24．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝，求AC的长；（2）已知△ABC中，BC＝1，AC＝，AB＝2，求证：△ABC是直角三角形．25．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．（1）求CD的长；（2）求AB的长；（3）判断△ABC的形状．五．勾股定理的应用26．小明从A处出发沿北偏东40°的方向走了30米到达B处；小军也从A处出发，沿南偏东α°（0＜α＜90）的方向走了40米到达C处，若B、C两处的距离为50米，则α＝．27．一个矩形的抽斗长为12cm，宽为5cm，在抽斗底部放一根铁条，那么铁条最长可以是cm．28．如图，在水塔O的东北方向15m处有一抽水站A，在水塔的东南方向8m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）A．7m B．12m C．17m D．22m29．如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为5，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．30．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm 31．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D 两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？32．如图，一棵高10m的大树倒在了高8m的墙上，大树的顶端正好落在墙的最高处，如果随着大树的顶端沿着墙面向下滑动，请回答下列各题．（1）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了2m，那么大树的另一端点是否也向左滑动了2m？说明理由，（2）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了am，那么大树的另一端点是否也向左滑动了am？说明理由．33．如图，学校有一块空地ABCD，准备种草皮绿化已知∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．34．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）35．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？六．平面展开-最短路径问题36．如图，长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着盒子的表面从点A到点B．（1）蚂蚁爬行的最短距离是cm；（2）若从C处想盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入盒子中，吸管应不少于cm．37．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（）A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm参考答案一．勾股定理1．解：过点D作DF⊥BC，交BC延长线于点F，由题意得，BE＝BC﹣EC＝5，∵∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠BAE＝∠DEC，∵AE＝DE，∠B＝∠DFE＝90°，∴△ABE≌△EFD（AAS），∴EF＝AB＝3，DF＝BE＝5，∴CF＝EF﹣CE＝2，∵∠DFC＝90°，∴DC＝．故答案为：．2．解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，∴AC＝5cm，∵CD＝12cm，DA＝13cm，AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABC＝AC×CD﹣AB×BC＝×5×12﹣×4×3＝30﹣6＝24（cm2）．故四边形ABCD的面积为24cm2．故答案为：24．3．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，由垂线段最短得：当PC⊥AB时，PC的值最小，此时，△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，∴AB•PC＝AC•BC，∴PC＝＝＝4.8，故答案为：4.8；（2）过C作CQ⊥BC于Q，如图所示：同（1）得：CQ＝4.8，由勾股定理得：AQ＝＝＝3.6，PQ＝＝＝1.4，当P在线段BQ上时，AP＝AQ+PQ＝3.6+1.4＝5；当P在线段AQ上时，AP＝AQ﹣PQ＝3.6﹣1.4＝2.2；综上所述，AP的长为5或2.2，故答案为：5或2.2．4．解：如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝S正方形2+S正方形3＝S正方形1＝62＝36．故答案是365．解：连接AC，AD，如图，根据勾股定理可得：AD＝AC＝BC＝，CD＝，∴∠ABC＝∠BAC，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣2∠ABC，在△ACD中，，，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°，∵AD＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∵AB∥EC，∴∠ABC+∠BCE＝180°，∴∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180°，∴∠ABC+（180°﹣2∠ABC）+45°+∠DCE＝180°，∴∠ABC﹣∠DCE＝45°，故选：C．6．解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．7．解：（1）作PM⊥AC于点M，可得矩形AEPM∴PE＝AM，利用DB＝DC得到∠B＝∠DCB∵PM∥AB．∴∠B＝∠MPC∴∠DCB＝∠MPC又∵PC＝PC．∠PFC＝∠PMC＝90°∴△PFC≌△CMP∴PF＝CM∴PE+PF＝AC∵AD：DB＝1：3∴可设AD＝x，DB＝3x，那么CD＝3x，AC＝2x，BC＝2x ∵BC＝∴x＝2∴PE+PF＝AC＝2×2＝4．（2）连接PD，PD把△BCD分成两个三角形△PBD，△PCD，S△PBD＝BD•PE，S△PCD＝DC•PF，S△BCD＝BD•AC，所以PE+PF＝AC＝2×2＝4．故选：C．8．解：分两种情况：①如图1所示：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴BD＝＝＝15，CD＝＝＝6，∴BC＝BD+CD＝15+6＝21；此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+21＝48．②如图2所示：同①得：BD＝15，CD＝6，∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9；此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+9＝36．综上所述：△ABC的周长为48或36．故选：C．9．解：∵∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2＝100，∵BC﹣AC＝2cm，∴（BC﹣AC）2＝4，即AC2+BC2﹣2AC•BC＝4，∴2AC•BC＝96，∴AC•BC＝24，即Rt△ABC的面积是24cm2，故选：A．10．解：S阴影＝AC2+BC2+AB2＝（AB2+AC2+BC2），∵AB2＝AC2+BC2＝5，∴AB2+AC2+BC2＝10，∴S阴影＝×10＝5．故选：D．11．解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∴AB＝＝＝10，∴AC＝10，∴C（﹣16，0）或（4，0）．故选：D．12．解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm，∴AB＝＝＝20（cm），故答案为：20cm；（2）∵∠P AC＝∠PCA，∴AP＝PC，设AP＝PC＝x，∴PB＝20﹣x，∵∠B＝90°，∴BP2+BC2＝CP2，即（20﹣x）2+152＝x2，解得：x＝，∴AP＝；（3）AM的长为10cm，7cm，12.5cm．如图（1），当CB＝CM＝15时，AM＝AC﹣CM＝25﹣15＝10（cm）；如图（2），当BM＝CM时，AM＝BM＝CM＝AC＝12.5（cm）；如图（3），当BC＝BM时，过B作BH⊥AC于点H，则BH＝＝12（cm），CH ＝＝9（cm），∴CM＝2CH＝18（cm），∴AM＝AC﹣CM＝7（cm）；综上所述，AM的长为10cm，7cm，12.5cm．13．解：（1）图①中正方形ABCD的边长为＝；故答案为：；（2）如图所示：（3）如图所示：14．（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝2，由勾股定理得，AD＝＝4，∴AD＝BC，即△ABC是“美丽三角形”；（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2，BC＝＝6，当BC边上的中线AE等于BC时，AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（BC）2＝（4）2，解得BC＝8．综上所述，BC的长是6或8．15．解：（1）如图所示：（2）AB＝＝，BC＝＝2，周长为（2+）×2＝6，面积为2×＝10．二．勾股定理的证明16．解：A、∵ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．三．勾股数17．解：A＝n（n+6）+2（n﹣8）＝n2+8n+16．∵A＝B2，B＞0，∴B2＝n2+8n+16＝（n+4）2．∴B＝n+4，当2（n+8）＝时，解得：n＝，∴n+4＝，当n（n+6）＝40时，解得：n1＝4，n2＝﹣10（舍去），∴n+4＝8，故答案为：；8．四．勾股定理的逆定理18．解：连接BD，∵点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，，∴EB＝AB＝3，∴，∵，即BD2+BC2＝CD2，∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，∴四边形ABCD的面积＝，故答案为：．19．解：如图所示，把△ADE移到△CFG处，连接AG，此时∠DAE＝∠FCG，∵CF∥BD，∴∠BAC＝∠FCA，∴∠BAC﹣∠DAE＝∠FCA﹣∠FCG＝∠ACG，设小正方形的边长是1，由勾股定理得：CG2＝12+32＝10，AC2＝AG2＝12+22＝5，∴AC2+AG2＝CG2，AC＝AG，∴∠CAG＝90°，即△ACG是等腰直角三角形，∴∠ACG＝45°，∴∠BAC﹣∠DAE＝45°，故答案为：45°．20．解：A、12+12≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、62+82≠（11）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、32+42＝52，能构成直角三角形，故符合题意；D、12+32≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．21．解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，∵，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．22．解：5s时，动点P运动的路程为2×5＝10（cm），即点P运动到D点（点P与点D重合），动点Q运动的路程为2.8×5＝14（cm），因为DC＝BC＝BA＝5cm，所以点Q在BA上，且BQ＝14﹣10＝4（cm）．在△BPQ中，因为BP＝5cm，BQ＝4cm，PQ＝3cm，所以BQ2+PQ2＝42+32＝25＝BP2，所以△BPQ是直角三角形，且∠BQP＝90°，所以∠AQP＝180°﹣90°＝90°，所以两点运动5s时，△APQ是直角三角形．23．解：连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝，在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD，＝×1×2+××2，＝1+．故四边形ABCD的面积为1+．24．（1）解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝，∴AC＝3．（2）证明：∵在△ABC中，BC＝1，AC＝，AB＝2，BC2+AC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形．25．解：（1）在△BCD中，因为CD⊥AB，所以BD2+CD2＝BC2．所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144．所以CD＝12．（2）在△ACD中，因为CD⊥AB，所以CD2+AD2＝AC2．所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256．所以AD＝16．所以AB＝AD+BD＝16+9＝25．（3）因为BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，所以AB2＝BC2+AC2．所以△ABC是直角三角形．五．勾股定理的应用26．解：∵AB＝30，AC＝40，BC＝50，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴α°＝90°﹣40°＝50°，∴α＝50，故答案为：50．27．解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AC＝13（cm）．即铁条最长可以是13cm．故答案是：13．28．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝15m，OB＝8m，∴AB＝17（m）．故选：C．29．解：由题意知AB＝CE＝3，BC＝AE＝8，∠BCE＝∠E＝90°，DC∥BG，过点C作CF⊥BG于F，如图所示：∴∠DCF＝90°，设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×5，解得：x＝6，∴DE＝6，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝3，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF＝90°﹣∠BCD，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴CF＝，故选：B．30．解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短，∴h＝BD＝8（cm）；当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长，在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，∴AB＝17（cm），所以h的取值范围是：8cm≤h≤17cm．故选：C．31．解：设AE＝xkm，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，解得，x＝10．故：E点应建在距A站10千米处．32．解：（1）是，理由如下：由题意可知，△ABC是直角三角形，∵AC＝8m，AB＝DE＝10m，由勾股定理得，BC＝6（m），∵AD＝2m，∴CD＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（m），∴CE＝8（m），∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（m），∴大树的另一端点也向左滑动了2m；（2）不一定，理由如下：∵AD＝am，∴CD＝AC﹣AD＝（8﹣a）m，解得：a＝2或a＝0（舍去），∴只有当a＝2时，大树的顶端沿着墙面向下滑动了am，那么大树的另一端点也向左滑动了am．33．解：连接AC．由勾股定理可知：AC＝5，又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×5×12﹣×3×4＝24（米2）．34．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：BC=40∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．35．解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，∴AO⊥BO，∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，∴OB＝20×2＝40（海里），∵AB＝50海里，在Rt△AOB中，AO=30∴乙轮船平均每小时航行30÷2＝15海里．六．平面展开-最短路径问题36．解：（1）只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15（cm），AD＝20（cm），在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝25（cm）；∴蚂蚁爬行的最短距离是25（cm）．故答案为：25；37．解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝12cm，∴则该圆柱底面周长为24cm．故选：D．。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》选择题专题提升训练(附答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》选择题专题提升训练（附答案）1．在Rt△ABC中，AB2＝10，AC2＝6．则BC2＝（）A．8B．16或64C．4D．4或162．已知在△ABC中，∠B＝38°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的度数为（）A．38°B．52°C．62°D．90°3．如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，P为CD上的一点，且∠DAP＝10°，∠CBP＝80°，P A＝3，PB＝4．则AB的长为（）A．5B．6C．7D．84．在△ABC中，AB＝30，AC＝25，高AD＝24，则BC的长是（）A．25B．18C．25或11D．25或185．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．6B．12C．24D．306．课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（）A．①行，②不行B．①不行，②行C．①，②都行D．①，②都不行7．如图，字母A所代表的正方形的面积是（）A．12B．13C．25D．1948．设△ABC的三边长分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．c2＝a2﹣b2B．∠A+∠B＝90°C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝5：12：139．如图，某海域有相距10海里的两个小岛A和C，甲船先由A岛沿北偏东70°方向走了8海里到达B岛，然后再从B岛走了6海里到达C岛，此时甲船位于B岛的（）A．北偏东20°方向上B．北偏西20°方向上C．北偏西30°方向上D．北偏西40°方向上10．五根小木棒，其长度（单位：cm）分别为8，9，12，15，17，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A．B．C．D．11．课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（）A．6B．8C．10D．1112．如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（）尺．A．7.5B．8C．D．913．如图，将一根长为16cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升6cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为（）A．20cm B．22cm C．28cm D．32cm14．一个杯子的底面半径为6cm，高为16cm，则杯内所能容下的最长木棒为（）A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm15．一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向北偏西30°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向北偏东60°方向航行，经过1.5小时后它位相距（）A．6海里B．25海里C．30海里D．42海里16．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（）米．A．0.9B．1.3C．1.5D．1.617．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（）A．4米B．8米C．9米D．7米18．如图，一棵树（树干与地面垂直）高3.6米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为（）A．2.4米B．2.6米C．0.6米D．1米19．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，则阴影部分的面积是（）A．169cm2B．25cm2C．49cm2D．64cm220．如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且BC＝10cm，DC＝2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（）cm．A．14B．12C．10D．8参考答案1．解：当∠C＝90°时，BC2＝AB2﹣AC2＝10﹣6＝4，当∠A＝90°时，BC2＝AB2+AC2＝10+6＝16，故答案为：D．2．解：∵BC2﹣AC2＝AB2，∴BC2＝AC2+AB2，∴∠A＝90°，∵∠B＝38°，∴∠C＝90°﹣∠B＝52°，故选：B．3．解：过点P作PQ∥AD交AB于点Q，则∠APQ＝∠DAP＝10°，∵AD∥BC，PQ∥AD，∴PQ∥BC，∴∠BPQ＝∠CBP＝80°，∴∠APB＝90°，∴AB＝5，故选：A．4．解：如图1，在Rt△ABD中，BD＝18，在Rt△ADC中，CD＝7，∴BC＝BD+CD＝18+7＝25，如图2，BC＝BD﹣CD＝18﹣7＝11，综上所述，BC的长为25或11，故选：C．5．解：∵AB＝AC＝5，BC＝8，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，BD＝CD＝4，∴AD＝3，S△BEF＝S△CEF，∴S阴影＝S△ABD＝，故选：A．6．解：由图①可得，（a+b）2＝ab×4+c2，化简，得：a2+b2＝c2，故图①可以证明勾股定理；根据图②中的条件，无法证明勾股定理；故选：A．7．解：由勾股定理得：字母A所代表的正方形的面积＝169﹣144＝25．故选：C．8．解：∵c2＝a2﹣b2，∴c2+b2＝a2，∴△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选项B不符合题意；∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5∴最大的∠C＝180°×＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故选项C符合题意；∵a：b：c＝5：12：13，52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，故选项D不符合题意；故选：C．9．解：如图：由题意得：∠DAB＝70°，AB＝8海里，BC＝6海里，AC＝10海里，∵AB2+BC2＝82+62＝100，AC2＝102＝100，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∵AD∥BE，∴∠ABE＝180°﹣∠DAB＝110°，∴∠CBE＝∠ABE﹣∠ABC＝20°，∴此时甲船位于B岛的北偏西20°方向上，故选：B．10．解：∵82+152＝172，92+122＝152，∴用长度为8，15，17和9，12，15的小木棒能分别摆成两个直角三角形，故选：C．11．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝15（米），∴AC+BC﹣AB＝15+8﹣17＝6（米），故选：A．12．解：设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，即：，解得：x＝7.5，即芦苇的长度为：7.5尺，故选：A．13．解：Rt△ACD中，AC＝AB＝8cm，CD＝6cm；根据勾股定理，得：AD＝10（cm）；∴AD+BD＝2AD＝20（cm）；故拉伸后橡皮筋的长为20cm．故选：A．14．解：杯子最长对角线长为＝20（cm），故选：D．15．解：如图：∵∠BOD＝30°，∠DOA＝60°，∴∠AOB＝90°，根据题意的，OB＝12×1.5＝18（海里），OA＝16×1.5＝24（海里），根据勾股定理得，AB＝30海里．故选：C．16．解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米＝米，在Rt△ADE中，AD＝1.5米＝米，由勾股定理得：AE＝0.9（米），∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），∴CD＝BE＝1.6米，故选：D．17．解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝4（米），∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是3+4＝7（米）．故选：D．18．解：∵△ABC是直角三角形，AB+BC＝3.6m，AC＝2.4m，∴BC2＝AB2+AC2，即（3.6﹣AB）2＝AB2+2.42，解得：AB＝1，故选：D．19．解：在Rt△ABE中，AE＝12，∵4个直角三角形是全等的，∴AH＝BE＝5，∴小正方形的边长＝AE﹣AH＝12﹣5＝7，∴阴影部分的面积＝72＝49（cm2），故选：C．20．解：圆柱侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面周长为12cm，∴AB＝6cm．∵BD＝8cm，在Rt△ABD中，AD2＝AB2+BD2，∴AD＝10（cm），即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是10cm．故选：C．。

2024八年级数学上册期末复习1勾股定理1考点梳理与达标训练习题课件新版北师大版

三角形.在△ ABC 中，∠ A ，
∠ B ，∠ C 所对的边分别为 a ， b ， c .设最大边为 c ，若 a2
＋ b2＝ c2，则△ ABC 是以
a2＋ b2＞ c2，则△ ABC 是
c2，则△ ABC 是
钝角
c
为斜边的直角三角形；若
锐角
三角形.
三角形；若 a2＋ b2＜
3. 勾股数：满足 x2＋ y2＝ z2的三个
正整
数，称为勾股
数，显然，以 x ， y ， z 为三边长的三角形一定是
角
三角形.
直
⁠
一、选择题(每题4分，共32分)
1. 直角三角形两直角边分别为5 cm和12 cm，则其斜边上的
高为(
D
)
A. 6 cm
B. 8 cm
C. 13 cm
D.
1
2
3
4
5
6
7

cm

8
9
10
11
12
13
14
15
16
期末提分练案
复习1
1
勾股定理
考点梳理与达标训练
CONTENTS
目
录
01
考点梳理
02
达标训练
1. 勾股定理：直角三角形两直角边 a ， b 的平方和等于
边 c 的平方
.(即 a2＋ b2＝ c2)
斜
⁠
2. 如果一个三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a2＋ b2＝ c2，那
么这个三角形是
直角
始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达 B 点.
(1)请问彩带的长度最短是多少？
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第一章勾股定理分类提升训练(含答案) 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

第一章勾股定理分类提升训练 2024--2025学年北师大版八年级数学上册一、单选题1．学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下：甲：如果是直角三角形，那么一定成立；乙：在中，如果，那么不是直角三角形．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A ．甲对，乙错B ．甲错，乙对C ．两人都错D ．两人都对2．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（）A ．4B ．2CD ．33．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离等于（）A ．米B ．米C ．米D ．米4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ABO ＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD 的长是（）ABC V 222a b c +=ABC V 222a b c +≠ABC V ABC V 90ACB ∠=︒AC AB 1S 2S 13S =27S =BC A 3AB = 1.8CD 1.6 1.6BC =AD 2.0 2.2 2.25 2.5A ．3B ．4C ．2D ．35．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，已知矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，且，则的长为（）A．B ．C ．D ．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（）A ．B ．C ．D ．28．如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面6cm 16cm 25cm 6cm 5cm 9cm (25cm -ABCD 4AB =3BC =P BC CDP V DP C E PE DE AB O F OP OF =DF 3911451317557173276256101尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，过矩形对角线的交点，作对角线的垂线，交于点，交于点，若，，则的长等于（）A ．B ．CD ．10．在Rt 中，.以为圆心，AM 的长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N.再分别以M ，N 为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点.连接AP ，并延长AP 交BC 于点.过点作于点，垂足为，则DE 的长度为（）A ．B ．C ．2D ．1二、填空题11．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米．12．下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径 ”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路 ”.已知米，米，只为少走米的路. x 222510x +=()2221015x -+=()22215x x -+=()22251x x +=-ABCD O BD AD E BC F 3AE =5BF =EF 48ABC V B ∠=90,8,10AB AC ︒==A P D D DE AC ⊥E E 8345ABC ∠AC AC 40AB =30BC =13．若的三边，，满足，则的面积是．14．如图，矩形ABCD 中，，，CB 在数轴上，点C 表示的数是，若以点C 为圆心，对角线CA 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点P ，则点P 表示的数是 .15．有一根长7cm 的木棒，要放进长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱， (填“能”或“不能”)放进去。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第2章实数》选择题专题提升训练(附答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第2章实数》选择题专题提升训练（附答案）1．在中，无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（）A．±B．a+1C．a2+1D．±4．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（）A．B．C．2D．35．已知≈6.882，若≈68.82，则x的值约为（）A．326000B．32600C．3.26D．0.3266．下列各式中最简二次根式为（）A．B．C．D．7．若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0B．x≥2C．x≥﹣2D．x≤28．若＝2﹣x成立，则x的取值范围是（）A．x≤2B．x≥2C．0≤x≤2D．任意实数9．若，则（x+y）2022等于（）A．1B．5C．﹣5D．﹣110．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（）A．43B．44C．45D．4611．实数a、b在数轴上的位置如图，则的值为（）A．﹣2b B．2a C．﹣2a D．2b12．下列变形正确的是（）A．B．C．D．13．当1＜x＜4时，化简结果是（）A．﹣3B．3C．2x﹣5D．514．已知：＝2，＝3，＝4，＝5，若＝10符合上面规律，则a+b的值为（）A．179B．109C．210D．10415．估计的值应在（）A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间16．一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，则这个正数为（）A．7B．10C．﹣10D．10017．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（）A．B．C．D．18．已知x满足|2021﹣x|+＝x，那么x﹣20212的值为（）A．2019B．2020C．2021D．202219．计算（2+）2022（2﹣）2021的结果是（）A．2+B．﹣2C．2﹣D．120．已知，，c＝2021×2020﹣2019×2021，则（a ﹣b）（b﹣c）的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．无法确定21．下列说法：①立方根等于它本身的实数只有0或1；②a2的算术平方根是a；③﹣8的立方根是±2；④的平方根是±4．其中错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个22．若一个数的平方根和立方根都是它的本身，则这个数是（）A．0B．1C．0或1D．0或±123．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简﹣|a+b|+的结果是（）A．2a B．2b C．2a+2b D．024．计算的值是（）A．1B．±1C．2D．725．﹣﹣++的值为（）A．﹣B．±C．D．参考答案1．解：﹣0.101101110111是有限小数，属于有理数；＝2，0是整数，属于有理数；故在中，无理数有，，共2个．故选：B．2．解：A、无意义，故错误，不符合题意；B、﹣＝﹣5，故错误，不符合题意；C、＝9，故错误，不符合题意；D、＝3，故正确，符合题意．故选：D．3．解：由题意可知：该自然数为a2，∴该自然数相邻的下一个自然数为a2+1，∴a2+1的平方根为±．故选：D．4．解：由所给的程序可知，当输入64时，＝8，∵8是有理数，∴取其立方根可得到，＝2，∵2是有理数，∴取其算术平方根可得到，∵是无理数，∴y＝．故选：A．5．解：∵68.82＝6.882×10，∴x＝326×103＝326000，故选：A．6．解：A、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B．7．解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：B．8．解：∵＝|x﹣2|＝2﹣x，∴x﹣2≤0，∴x≤2，故选：A．9．解：∵，∴x﹣2≥0，4﹣2x≥0．∴x≥2，x≤2．∴x＝2．∴＝0+0﹣3＝﹣3．∴（x+y）2022＝（2﹣3）2022＝（﹣1）2022＝1．故选：A．10．解：∵442＝1936，452＝2025，1936＜2022＜2025，∴44＜＜45，∵n为整数且n＜＜n+1，∴n的值为：44，故选：B．11．解：由数轴可知b＜﹣a＜0＜a＜﹣b，∴b﹣a＜0，a+b＜0，∴原式＝﹣（b﹣a）﹣（a+b）＝﹣b+a﹣a﹣b＝﹣2b，故选：A．12．解：A：原式＝＝4×5＝20，∴不符合题意；B：原式＝＝，∴不符合题意；C：原式＝，∴符合题意；D：原式＝＝7，∴不符合题意；故选：C．13．解：当1＜x＜4时，1﹣x＜0，x﹣4＜0，∴＝|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1+x﹣4＝2x﹣5，故选：C．14．解：∵2+＝22×，有3＝22﹣1；3+＝32×，有8＝32﹣1；…∴10+＝102×，必有a＝b2﹣1，b＝10，则a＝99，∴a+b＝109．故选：B．15．解：÷+＝+＝2+＝3，∵3＝，＜＜，∴6＜＜7，故选：B．16．解：∵一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，∴a+3+4﹣2a＝0，解得：a＝7，则a+3＝10，4﹣2a＝﹣10，故这个正数是100．故选：D．17．解：原式＝（﹣2）2×﹣（﹣2）×﹣3＝4+2﹣3＝3，故选：A．18．解：∵x﹣2022≥0，∴x≥2022，∴2021﹣x＜0，∴原式变形为x﹣2021+＝x，∴＝2021，两边平方得：x﹣2022＝20212，∴x﹣20212＝2022．故选：D．19．解：（2+）2022（2﹣）2021＝（2+）×（2+）2021（2﹣）2021＝（2+）×[（2+）×（2﹣）]2021＝（2+）×（4﹣3）2021＝（2+）×12021＝2+，故选：A．20．解：∵＝＝＜2022，＝＝＝2022，c＝2021×2020﹣2019×2021＝2021×（2020﹣2019）＝2021，∴a﹣b＜0，b﹣c＝1，∴（a﹣b）（b﹣c）＜0，故选：B．21．解：①立方根等于它本身的实数有0或±1，所以①错误；②a2的算术平方根是|a|，故②错误；③﹣8的立方根是﹣2，故③错误；④＝4，所以的平方根是±2，故④错误；所以错误的有4个．故选：D．22．解：∵02＝0，∴一个数的平方根是它的本身的数是0，∵03＝0，（﹣1）3＝﹣1，13＝1，∴一个数的立方根是它本身的数是﹣1或0或1，∴一个数的平方根和立方根都是它本身的数为0，故选：A．23．解：由数轴可得：a＜0，a+b＜0，﹣b＜0，故原式＝﹣a+a+b﹣b＝0．故选：D．24．解：原式＝3+4+2﹣2＝7．故选：D．25．解：﹣﹣++＝﹣3﹣0﹣++＝﹣．故选：A．。

第1章勾股定理同步训练(附答案) 2021-2022学年北师大版八年级数学上册

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步培优提升训练（附答案）1．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5B．4，5，6C．5，12，13D．9，12，152．下列各组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5B．10，15，18C．，，D．6，8，103．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（）A．16B．25C．144D．1694．在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．不能确定5．如图，在△ABC中，AB⊥BC，其中AC＝2.5，AB＝1，P是BC上任意一点，那么线段AP的长度可能为（）A．0.5B．0.7C．2.3D．2.86．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c27．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25B．7C．5和7D．25或78．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的面积分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．47B．13C．11D．89．一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3，另一直角边长为9，则斜边长为（）A．15B．12C．10D．910．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是（）A．1.5B．2C．2.25D．2.511．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC ＝3，AB＝5，则DE等于（）A．2B．C．D．12．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．13．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝．14．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝．16．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为．17．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要m．18．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm．19．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是．20．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2＝2π，则S3是．21．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．22．如图每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝，∠ABC＝°．23．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．24．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．25．如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）26．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？27．八年级（2）班的小明和小亮同学学了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.6米．（1）求风筝的高度CE．（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH、DH．28．某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的A、B两站之间E点修建一个土特产加工基地，使E点到C、D两村的距离相等，如图，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝15km，CB＝10km，求土特产加工基地E应建在距离A站多少km的地方？29．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？30．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．31．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一动点（不与点A、C重合），过D作DE⊥AB于E．（1）当BD平分∠ABC时①若AC＝8，BC＝6，求线段AE的长度；②在①的条件下，求△ADB的面积；（2）延长BC、ED相交于点F，若CD＝CB，∠CDF＝60°，求∠DBE的度数．32．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．（1）求BE的长；（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．参考答案1．解：A.32+42＝52，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；B.42+52≠62，则不能构成直角三角形，故此选项符合题意；C.52+122＝132，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；D.92+122＝152，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；故选：B．2．解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；B、102+152≠182，不是勾股数，故此选项不合题意；C、，，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；D、62+82＝102，且都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；故选：D．3．解：根据勾股定理得出：AB＝5，∴EF＝AB＝5，∴阴影部分面积是EP2+PF2＝25，故选：B．4．解：∵AC2﹣BC2＝AB2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠B＝90°．故选：B．5．解：∵P是BC上任意一点，∴AB≤AP≤AC，即1≤AP≤2.5，故选：C．6．解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、∠C＝90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、∠B＝90°，所以斜边为b，所以a2+c2＝b2，故本命题错误，即D选项错误；故选：C．7．解：分两种情况：①当3和4为直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方＝32+42＝25；②4为斜边长时，由勾股定理得：第三边长的平方＝42﹣32＝7；综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D．8．解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：x2＝3+5＝8；y2＝2+3＝5；z2＝x2+y2＝13．故最大正方形E的面积是z2＝13．故选：B．9．解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣3，根据勾股定理得92+（x﹣3）2＝x2，解得x＝15．故选：A．10．解：设AM＝x，连接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2，在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2+DB′2，∵MB＝MB′，∴AB2+AM2＝BM2＝B′M2＝MD2+DB′2，即92+x2＝（9﹣x）2+（9﹣3）2，解得x＝2，即AM＝2，故选：B．11．解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝4，连接AE，从作法可知：DE是AB的垂直平分线，根据性质得出AE＝BE，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC2+CE2＝AE2，即32+（4﹣AE）2＝AE2，解得：AE＝，在Rt△ADE中，AD＝AB＝，由勾股定理得：DE2+（）2＝（）2，解得：DE＝．故选：C．12．解：在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，∴，整理可得a2+b2＝c2，∴A选项可以证明勾股定理，在B选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，∴，整理得a2+b2＝c2，∴B选项可以证明勾股定理，在C选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，∴，整理得a2+b2＝c2，∴C选项可以说明勾股定理，在D选项中，大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，以上公式为完全平方公式，∴D选项不能说明勾股定理，故选：D．13．解：在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，∴c=13故答案为：13．14．解：∵62+82＝102，∴此三角形为直角三角形，∴此三角形的面积为：×6×8＝24．故答案为：24．15．解：设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，∴9x2+16x2＝152，解得：x＝3或﹣3（舍去），∴BC＝3x＝9．故答案为：9．16．解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝9，在Rt△ACD中，CD＝5∴BC＝5+9＝14∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝9，在Rt△ACD中，CD＝5，∴BC＝9﹣5＝4．∴△ABC的周长为：15+13+4＝32故答案是：42或32．17．解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝＝12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5＝17（米）．故答案为：17．18．解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，在直角△A′DB中，由勾股定理得A′B＝20（cm）．故答案为：20．19．解：如图所示，∵它的每一级的长宽高为20cm，宽40cm，长50cm，∴AB＝130（cm）．答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．故答案为：130cm．20．解：在直角三角形中，利用勾股定理得：a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2，变形为：（）2π+（）2π＝（）2π，即S2+S3＝S1，又S1＝，S2＝2π，则S3＝S1﹣S2＝﹣2π＝．故答案为：21．解：∵AC＝150﹣60＝90mm，BC＝180﹣60＝120mm，∴AB＝150mm．22．解：连接AC．根据勾股定理可以得到：AB2＝12+32＝10，AC2＝BC2＝12+22＝5，∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．故答案为：10，45．23．解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝•AF•BC＝10．故答案为：10．24．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝5；（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形．25．证明：∵，∴（a+b）（a+b）＝2ab+c2，∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．26．解：（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2解得：OB＝20，答：这个云梯的底端离墙20米远；（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得:OD=2∴BD＝24﹣20＝4米，答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．27．解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=20（米）．所以CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）；（2）由得，在Rt△BHD中，BH=928．解：设AE＝x千米，则BE＝（25﹣x）千米，在Rt△DAE中，DA2+AE2＝DE2，在Rt△EBC中，BE2+BC2＝CE2，∵CE＝DE，∴DA2+AE2＝BE2+BC2，∴152+x2＝102+（25﹣x）2，解得，x＝10千米．答：基地应建在离A站10千米的地方．29．解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，∵ED＝70（km），∴EF＝140km，∵台风的速度为20千米/小时，∴140÷20＝7（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为7小时．30．解：（1）设存在点P，使得P A＝PB，此时P A＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，P A＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，AP＝2t，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，P在△ABC的角平分线上，当点P运动到点A时，也符合题意，此时t＝6，综上所述，满足条件的t的值为或6．31．解：（1）①在Rt△ABC中，AB＝10，∵BD平分∠ABC，∴BE＝BC＝6，CD＝ED，∴AE＝10﹣6＝4；②在Rt△ADE中，（8﹣DE）2＝DE2+AE2，即（8﹣DE）2＝DE2+42，解得DE＝3，则△ADB的面积为10×3÷2＝15；（2）∵∠CDF＝60°，∴∠F＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵CD＝CB，∠ACB＝90°，∴∠DBC＝45°，∴∠DBE＝60°﹣45°＝15°．32．解：（1）∵CD＝10，DE＝7，∴CE＝10﹣7＝3，在Rt△CBE中，BE＝5；（2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7，则t＝7÷1＝7（秒），当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2，解得，t＝，∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理解答题训练(一)解析版

北师大版八年级数学第一章勾股定理解答题训练（一）1．如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．2．如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝520m，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上（取1.732，结果取整数）？3．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km 至C港．（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）；（2）确定C港在A港的什么方向．4．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：直角三角形三边n2﹣12n B勾股数组Ⅰ/8勾股数组Ⅱ35/5．嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R1，R2，R3，其行经位置如图与表所示：路径编号图例行径位置第一条路径R1_A→C→D→B第二条路径R2…A→E→D→F→B第三条路径R3▂A→G→B 已知A、B、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断R1、R2、R3这三条路径中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由．6．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．7．在6×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上（1）在图中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点，连接DE，并直接写出∠BED的度数．8．知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大的方便了人们的出行．中国北斗导航已经全球组网，它已经走进了人们的日常生活．如图，某校组织学生到某地（用A表示）开展社会实践活动，车到达B地后，发现A地恰好在B地的正北方向，且距离B地10千米．导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至C地，再沿北偏西45°方向行驶一段距离才能到达A地．求A、C 两地间的距离．9．如图，E为AB中点，CE⊥AB于点E，AD＝5，CD＝4，BC＝3，求证：∠ACD＝90°．10．若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．11．如图2，已知等腰三角形ADC，AD＝AC，B是线段DC上的一点，连结AB，且有AB＝DB．（1）若∠BAC＝90°，AC＝，求CD的长；（2）若＝，求证：∠BAC＝90°．12．在综合实践课上王老师带领大家利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝3m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH＝30°，∠DBH＝60°，AB＝10m．请你根据以上数据计算广告牌的高度GH．13．如图，A、B、D三地在同一直线上，C在A的北偏东45°方向，在B的北偏西30°方向，A 在B的北偏西75°方向，且DA＝DC＝100km，求B与C之间的距离．14．问题探究：（1）如图①，已知等边△ABC，边长为4，则△ABC的外接圆的半径长为．（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线BD与边BC的夹角为30°，点E在为边BC上且BE＝BC，点P是对角线BD上的一个动点，连接PE，PC，求△PEC周长的最小值．问题解决：（3）为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演．其中一个镭射灯距城墙30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图③，若将两根光线（AB，AC）和光线与城墙的两交点的连接的线段（BC）看作一个三角形，记为△ABC，那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值，若没有，说明理由．15．将一副直角三角尺如图放置，A，E，C在一条直线上，边AB与DE交于点F，已知∠B＝60°，∠D＝45°，AD＝AC＝，求DF的长．16．如图，小巷左石两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，求小巷有多宽．17．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG 经过点A，问FH多少里？18．如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？19．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．（1）若△ABC的腰不变，将底变为12cm，得到△A′B′C′，甲同学说，这两个等腰三角形面积相等；乙同学说，这两个等腰三角形面积一定不相等．甲、乙同学的说法对吗？请做出判断，并说明理由；（2）若△ABC的底边BC上的高增加xcm，底边减小xcm，面积比原来增加12cm2，用列方程的方法确定x的值．北师大版八年级数学第一章勾股定理解答题训练（一）参考答案与试题解析1．【分析】（1）根据三角形中大角对大边，即可得到结论；（2）画出图形，写出已知，求证；过点A作直线MN∥BC，根据平行线性质得出∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°即可求出答案；（3）化简等式即可得到a2+c2＝b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，∴∠A+∠B＜∠C；（2）如图，过点A作MN∥BC，∵MN∥BC，∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C（两直线平行，同位角相等），∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°（平角的定义），∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（等量代换），即：三角形三个内角的和等于180°；（3）∵＝，∴ac＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝[（a2+2ac+c2）﹣b2]，∴2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，根据证明过程运用转化思想是解题的关键．2．【分析】根据三角形内角与外角的关系可求出∠AED的度数，再根据勾股定理即可求出DE的长．【解答】解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，在Rt△BDE中，BD＝520m，∠D＝30°，∴BE＝BD＝260m，∴DE＝＝260≈450（m）．答：另一边开挖点E离D450m，正好使A，C，E三点在一直线上．【点评】本题考查三角形的外角性质与勾股定理的应用．关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．3．【分析】（1）由题意得∠ABC＝90°，由勾股定理，从而得出AC的长；（2）由∠CAM＝60°﹣45°＝15°，则C点在A点北偏东15°的方向上．【解答】解：（1）由题意可得，∠PBC＝30°，∠MAB＝60°，∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°，∴∠ABQ＝30°，∴∠ABC＝90°．∵AB＝BC＝10，∴AC＝＝10≈14.1．答：A、C两地之间的距离为14.1km．（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴∠CAM＝60°﹣45°＝15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，是基础知识，比较简单．4．【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．故答案为：17；37【点评】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．5．【分析】利用勾股定理分别计算出三条路径的长，比较大小即可得．【解答】解：第一条路径的长度为++＝2+，第二条路径的长度为++1+＝+++1，第三条路径的长度为+＝2+，∵2+＜2+＜+++1，∴最长路径为A→E→D→F→B；最短路径为A→G→B．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理求得每条线段的长度．6．【分析】由n＝1，得到a＝（m2﹣1）①，b＝m②，c＝（m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论．【解答】解：当n＝1，a＝（m2﹣1）①，b＝m②，c＝（m2+1）③，∵直角三角形有一边长为5，∴Ⅰ、当a＝5时，（m2﹣1）＝5，解得：m＝（舍去），Ⅱ、当b＝5时，即m＝5，代入①③得，a＝12，c＝13，Ⅲ、当c＝5时，（m2+1）＝5，解得：m＝±3，∵m＞0，∴m＝3，代入①②得，a＝4，b＝3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，分类讨论是解题的关键．7．【分析】（1）将线段AC沿着CB方向平移3个单位，即可得到线段BD；（2）利用1×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求，∵△BDE是等腰直角三角形，∴∠BED＝45°．【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．8．【分析】先过点C向AB作垂线，构造直角三角形，利用60°和45°特殊角，表示出相关线段，利用已知AB长度为10千米，建立方程，解出这些相关线段，从而求得A、C两地的距离．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CBD＝60°，∠DCA＝45°，∠ADC＝∠BDC ＝90°，∴AD＝DC＝BD，AC＝DC，设BD＝x，则AD＝DC＝x，∵AB＝10千米，∴BD+AD＝x+x＝10，∴x＝5（﹣1），∴AC＝DC＝××5（）＝15﹣5，∴A、C两地间的距离为15﹣5．【点评】本题属于勾股定理的应用题，首先构造直角三角形，然后利用特殊角表示相关线段，从而求解．本题中等难度．9．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AC＝BC，求得AC＝3，根据勾股定理的逆定理即可得到结论．【解答】证明：∵E为AB中点，CE⊥AB于点E，∴AC＝BC，∵BC＝3，∴AC＝3，又∵AD＝5，CD＝4，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．10．【分析】（1）根据勾股数的定义即可得到结论；（2）当a为奇数时，当a为偶数时，根据勾股数的定义即可得到结论．【解答】解：（1）第一组（a是奇数）：9，40，41（答案不唯一）；第二组（a是偶数）：12，35，37（答案不唯一）；（2）当a为奇数时，，；当a为偶数时，，；证明：当a为奇数时，a2+b2＝，∴（a，b，c）是“勾股数”．当a为偶数时，a2+b2＝∴（a，b，c）是“勾股数“．”【点评】本题考查了勾股数，数字的变化类﹣规律型，读懂表格，从表格中获取有用信息进而发现规律是解题的关键．11．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠D＝∠C，∠D＝∠DAB，根据三角形的外角的性质得到∠ABC＝2∠D＝2∠C，求得∠C＝30°，解直角三角形即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定定理得到△DAB∽△DCA，由已知条件得到DC＝3AB，根据相似三角形的性质得到＝．求得AC2＝3AB2，推出△ABC是直角三角形，于是得到结论．【解答】解：（1）∵AD＝AC，∴∠D＝∠C，∵AB＝DB，∴∠D＝∠DAB，∴∠DAB＝∠D＝∠C．∵∠ABC＝∠D+∠DAB，∴∠ABC＝2∠D＝2∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠C＝30°，∵AC＝，∴AB＝AC＝1，∴BC＝2AB＝2，∴CD＝BD+BC＝1+2＝3；（2）∵AD＝AC，∴∠D＝∠C，又∵AB＝DB，∴∠D＝∠DAB，∴∠DAB＝∠D＝∠C，又∵∠D＝∠D，∴△DAB∽△DCA，∵＝，AB＝DB，即有BC＝2AB，且DC＝3AB，∵△DAB∽△DCA，∴＝．∴AC2＝3AB2，由BC＝2AB，得BC2＝4AB2，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠BAC＝90°．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质的运用，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．12．【分析】首先构造直角三角形，得出AE＝x+10，BE＝x，进而求出x的长，进而得出GH 的长．【解答】解：延长CD交AH于点E，设DE＝x，则BE＝x，∵∠A＝30°，∴＝＝，∴x＝5﹣4.5，∴GH＝EC＝5﹣1.5（m）答：GH的长为＝（5﹣1.5）m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得出DE的长是解题关键．13．【分析】过C作CE⊥AB于E，根据已知条件得到∠ABC＝75°﹣30°＝45°，∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，推出△ACD是等边三角形，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，∵∠ABC＝75°﹣30°＝45°，∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵DA＝DC＝100，∴△ACD是等边三角形，∴CE＝AC＝50，∴BC＝CE＝50，∴B与C之间的距离为50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、勾股定理的应用以及等边三角形的判定与性质，根据方向角结合DA＝CD找出△ACD为等边三角形是解题的关键．14．【分析】（1）作△ABC外接圆，作直径AD，连接BD，根据等边三角形性质求出∠C＝60°，根据圆周角定理求出∠D＝∠C＝60°，解直角三角形求出AD即可．（2）△PEC周长的最小实质是PE+PC，转化为将军饮马模型求出P点，然后利用勾股定理即可求出E′C即可解答，（3）先由定角定高可知BC的最小值为三角形是等腰三角形AB＝AC时，BC最小，而求AB+AC，可以先将A点沿BC方向平移BC，构造平行四边形将AB转化为长，则AB+AC最小转化为AC+CD 最小，作A点对称点A′，连接A′D，与BC交点与C重合，此时BC、AB+AC同时取最小值，即可知三角形周长有没有最小值．【解答】解：（1）如图，作三角形外接圆⊙O，作直径AD，连接BD，∵等边△ABC内接于⊙O，AD为直径，∴∠C＝60°＝∠D，∠ABD＝90°，∵sin∠D＝＝，∴AD＝＝4×＝∴⊙0的半径是．故答案为：；（2）如图2，作点E关于BD的对称点E′，连接E′C交BD于P，连接PE，此时△PEC周长周长最小．连接BE′，过E′作E′H⊥BC，∵∠DBC＝30°，AB＝CD＝4，∴BC＝4，又∵BE＝BC．∴BE＝∵点E′是关于BD的对称点E∴∠EBH＝60°，BE′＝BE＝，∴BH＝，E′H＝，∴HC＝，∴E′C＝＝＝∵△PEC周长＝PC+PE+EC＝PE′+EC＝（3）如图3，∵∠BAC＝60°，AH＝30米，∴当AB＝AC时，边BC取最小值，∴此时BC＝AC＝20，作▱ABCD，作A点关于直线BC的对称点A′，连接A′D，AB+AC＝CD+A′C，当A′，C，D在一条直线上时，AB+AC最小，此时，△ABC应为等边三角形，AB+AC＝40∵AB+AC和BC的最小值能够同时取到，故△ABC的周长最小值为60．【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质、轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．15．【分析】在Rt△AED中，求出DE，在Rt△AEF中，求出EF即可解决问题．【解答】解：在Rt△ADE中，∵AD＝，AE＝DE，∠AED＝90°，∴AE＝DE＝，在Rt△AEF中，∵∠EAF＝30°，∴EF＝AE•tan30°＝1，∴DF＝DE﹣EF＝﹣1．【点评】本题考查勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B′2，∴BD2+1.52＝6.25，∴BD2＝4．∵BD＞0，∴BD＝2米．∴CD＝BC+BD＝0.7+2＝2.7米．答：小巷的宽度CD为2.7米．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．17．【分析】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．【解答】解：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过点A，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，∴△GEA∽△AFH，∴＝．∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，∴＝，∴FH＝1.05里．【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大．18．【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中利用斜边相等两次利用勾股定理得到AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为x，则BE＝10﹣x，将DA＝8，CB＝2代入关系式即可求得．【解答】解：设基地E应建在离A站x千米的地方．则BE＝（50﹣x）千米在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2+AE2＝DE2∴302+x2＝DE2…（3分）在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2＝CE2∴202+（50﹣x）2＝CE2又∵C、D两村到E点的距离相等．∴DE＝CE∴DE2＝CE2∴302+x2＝202+（50﹣x）2解得x＝20∴基地E应建在离A站多少20千米的地方．【点评】考查了勾股定理的应用，本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．19．【分析】（1）作BD⊥AE于D，构造两个直角三角形并用解直角三角形用BD表示出CD和AD，利用DA和DC之间的关系列出方程求解．（2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可．【解答】解：（1）过点B作BD⊥AE于D在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD＝，BC＝2x在Rt△ABD中，∠BAD＝45°则AD＝BD＝，AB＝BD＝由AC+CD＝AD得20+x＝x解得：x＝10+10故AB＝30+10答：港口A到海岛B的距离为海里．（2）甲船看见灯塔所用时间：小时乙船看见灯塔所用时间：小时所以乙船先看见灯塔．【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答．20．【分析】（1）由勾股定理求出△ABC和△A'B'C'的底边上的高，再求出面积，即可得出结论；（2）由题意列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）甲的说法对，乙的说法不对；理由：如图1所示：过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，∴BD＝CD＝8cm，∴AD＝6cm，＝×BC×AD＝48cm2；∴S△ABC如图2所示：过点A′作A′D′⊥B′C′于点D′，∵A′B′＝A′C′＝10cm，B′C′＝12cm，∴B′D′＝C′D′＝6cm，∴A′D′＝8cm，∴S＝×B′C′×A′D′＝48cm2，△A′B′C′＝S△A′B′C′；∴S△ABC（2）由题意可得：（6+x）（16﹣x）＝48+12，解得：x1＝4，x2＝6；即x的值为4或6．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及列方程解应用题；熟练掌握勾股定理是解题的关键．。

北师大版2021年八年级上册第1章《勾股定理》单元提升训练卷含答案

北师大版2021年八年级上册第1章《勾股定理》单元提升训练卷一．选择题1．下列各组数中，是勾股数的是（）A．6，9，12B．﹣9，40，41C．52，122，132D．7，24，252．一个直角三角形两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（）A．B．13C．D．253．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为（）A．45°B．40°C．30°D．25°4．同学们都学习过“赵爽弦图”，如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边的乘积为（）A．1B．2C．D．5．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a＝32，b＝42，c＝52；②（c+b）（c﹣b）＝a；③∠A+∠B＝∠C；④a＝1，b＝，c＝．A．1个B．2个C．3个D．46．如图，一块三角形木板，测得AB＝13，BC＝5，AC＝12，则三角形木板ABC的面积为（）A．60B．30C．65D．不能确定7．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（）A．26尺B．24尺C．17尺D．15尺8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝8cm，AC＝6cm，则BD的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm9．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．20km B．14km C．11km D．10km10．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（）A．0≤h≤12B．12≤h≤13C．11≤h≤12D．12≤h≤24二．填空题11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2＝10，S3＝12，则S1＝．12．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时，水平距离CD＝6m，踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则AC的长是m．13．如图，一株荷叶高出水面1m，一阵风吹过来，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有3m远，则荷叶原来的高度是．14．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮部分忽略不计）为m．15．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时16nmile 的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时12nmile的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为nmile．16．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是．三．解答题17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝3，BC＝10，CD＝8，求四边形ABCD的面积．18．如图，某学校在美丽化校园施工过程中留下了一块空地，欲在空地上铺草坪，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？19．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．（思考题）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）作线段AD，使其长度为；（2）通过计算说明△ABC是直角三角形．21．为迎接十四运，西安某区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．某小区将对广场一块三角形空地进行绿化，如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，点D是AC上的一点，BD＝8，CD＝6．（1）求证：BD⊥AC；（2）求线段AB的长．22．如图，A，B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：（1）E站应建在距A站多少千米处？（2）DE和EC垂直吗？说明理由．23．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）点P出发2秒后，求CP和BP的长．（2）问满足什么条件时（t的值或取值范围），△BCP为直角三角形？参考答案一．选择题1．解：A、∵62+92≠122，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵（﹣9）2+402＝412，能组成直角三角形，但﹣9不是正整数，故本选项不符合题意；C、∵252+1442≠1692，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵72+242＝252，能组成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．2．解：设h为斜边上的高，∵直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，∴斜边为＝10，∵三角形的面积＝×6×8＝×10h，∴h＝．故选：C．3．解：如图，连接CG、AG，由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10，∴AC2+AG2＝CG2，∴∠CAG＝90°，∴△CAG是等腰直角三角形，∴∠ACG＝45°，∵CF∥AB，∴∠ACF＝∠BAC，在△CFG和△ADE中，，∴△CFG≌△ADE（SAS），∴∠FCG＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°，故选：A．4．解：如图，设两直角边为a，b，∵大正方形的面积为5，∴a2+b2＝5，由题意4×ab+1＝5，∴2ab＝4，∴ab＝2，故选：B．5．解：①a＝32，b＝42，c＝52，∴a2+b2≠c2，故不能形成直角三角形；②（c+b）（c﹣b）＝c2﹣b2＝a，故不能形成直角三角形；③∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝∠C＝90°，能形成直角三角形；④∵a＝1，b＝，c＝，∴a2+c2＝b2，故能形成直角三角形，故直角三角形的个数为2个，故选：B．6．解：∵AB2＝132＝169，BC2+AC2＝52+122＝169，∴AB2＝BC2+AC2，即△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝BC×AC＝×5×12＝30，故选：B．7．解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+82＝（x+2）2，解得：x＝15，所以x+2＝17．即：这个芦苇的高度是17尺．故选：C．8．解：过D作DE⊥AB于E，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，∴AB＝（cm），∵，∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DE＝CD，∴，∴CD＝3（cm），∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5（cm），故选：C．9．解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察图形可知AC＝AF﹣MF+MC＝8﹣3+1＝6，BC＝2+5＝7，在Rt△ACB中，AB＝＝＝10（km）．答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是10km，故选：D．10．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝＝＝13（cm），故h＝24﹣13＝11（cm）．故h的取值范围是：11cm≤h≤12cm．故选：C．二．填空题11．解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2，∴BC2＝AC2﹣AB2，∵BC2＝S1、AB2＝S2＝10，AC2＝S3＝12，∴S1＝S3﹣S2＝12﹣10＝2．故答案为：2．12．解：设秋千绳索AB的长度为xm，由题意可得AC＝AB＝xm，四边形DCFE为矩形，BE＝1m，DC＝6m，CF＝4m，DE＝CF＝4m，∴DB＝DE﹣BE＝3m，AD＝AB﹣BD＝（x﹣3）m，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，即（x﹣3）2+62＝x2，解得x＝7.5，即AC的长度为7.5m，故答案为：7.5．13．解：设水面以下荷叶的高度为OH＝hm，则荷叶的高度为AO＝BO＝（h+1）m，如图所示：在Rt△OHB中，BH＝3m，由勾股定理得：OH2+BH2＝BO2，即h2+32＝（h+1）2，解得：h＝4（m），∴h+1＝5（m），∴荷叶的高度为5m，故答案为：5m．14．解：设旗杆高度为xm，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，即旗杆的高度为17米．故答案为：17．15．解：由题意可得，∠RPQ＝60°+30°＝90°，PQ＝16×1＝16，PR＝12×1＝12，∴RQ＝＝20nmile，故答案为：20．16．解：如图所示，∵它的每一级的长宽高为20cm，宽40cm，长50cm，∴AB＝＝130（cm）．答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点B的最短路程是130cm．故答案为：130cm．三．解答题17．解：连接BD，∵∠A＝90°，AB＝AD＝3，∴BD＝＝＝6，∵BC＝10，CD＝8，∴BD2+CD2＝BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，∴四边形ABCD的面积S＝△ABD+S△BDC＝＝+＝9+24＝33．18．解：连接AC，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，由勾股定理得：AC＝＝5（米），∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，该区域面积S＝S△ACB﹣S△ADC＝5×123×4＝24（平方米），即铺满这块空地共需花费＝24×100＝2400元．19．解：在Rt△ABC中，∵AB＝2.5，BC＝0.7，∴AC＝＝2.4米，又∵AA1＝0.4，∴A1C＝2.4﹣0.4＝2，在Rt△A1B1C中，B1C＝＝1.5米，则BB1＝CB1﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8米．故：梯子底部B外移0.8米．20．解：（1）如右图所示（点D的位置不唯一）；（2）∵AB2＝12+22＝1+4＝5，AC2＝22+42＝4+16＝20，BC2＝32+42＝9+16＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．21．（1）证明：∵BC＝10，BD＝8，CD＝6，∴BD2+CD2＝82+62＝102＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥AC；（2）解：设AB＝x，则AB＝AC＝x，∵CD＝6，∴AD＝x﹣6，∵AB2＝BD2+AD2，∴x2＝82+（x﹣6）2，解得：x＝，∴AB＝．22．解：（1）设AE＝xkm，∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，由勾股定理，得82+x2＝62+（14﹣x）2，解得：x＝6．故E点应建在距A站6千米处；（2）DE⊥CD，理由如下：在Rt△DAE和Rt△CBE中，，∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），∴∠D＝∠BEC，∵∠D+∠AED＝90°，∴∠BEC+∠AED＝90°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥CD．23．（1）∵∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4cm，∵动点P从点C开始以每秒1cm的速度运动，∴出发2秒后CP＝1×2＝2（cm），∵∠C＝90°，∴BP＝＝（cm），（2）设运动时间为t秒，∵AC＝4cm，动点P从点C开始按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴当P在AC上运动时，△BCP为直角三角形，∴0＜t≤4，如图，当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，∵AB•CP＝AC•BC，∴×5CP＝×3×4，∴CP＝cm，∴AP＝＝（cm），∴AC+AP＝4+＝（cm），∴t＝÷1＝（s），综上所述，当0＜t≤4或t＝时，△BCP为直角三角形．。

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八上《第一至五章》提升训练
1．下列几组数不能作为直角三角形的三边长的是（）
A ．3，4，5
B ．7，12，13
C ．1，1，错误！未找到引用源。

D ．9，12，15
2．下列式子正确的是（）
A ．30900±=错误！未找到引用源。

B ．3
21941= C ．21-3>21 D ．错误！未找到引用源。

3.估算错误！未找到引用源。

(误差小于0.1)的大小是( )
A.6
B. 6.3
C. 6.8
D.6.0或 6.1
4.（2014•孝感，第5题3分）已知是二元一次方程组的解，则m ﹣n 的值是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
5.（2014年广东汕尾，第8题4分）汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s （千米）与行驶的时间t （时）的函数关系的大致图象是（） A ．B ．C ．D ．
6.（2014•济宁，第4题3分）函数y =中的自变量x 的取值范围是（）
A.x ≥0
B.x ≠﹣1
C.x ＞0
D.x ≥0且x ≠﹣1
7.在实数错误！未找到引用源。

，0，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，0.1010010001……（两个1之间依次多一个0），错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

中，共有无理数个.
8．（2014•舟山，第15题4分）过点（﹣1，7）的一条直线与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ，且与直线平行．则在线段AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是 .
9.（2014•四川自贡，第15题4分）一次函数y =kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，则k 的值是．
10.（2006年“信利杯”全国初中数学竞赛（广西赛区））已知直线l 经过(2，0)和(0，4)，把直线l 沿x 轴的负方向向左平移2个单位，得到直线'l ，则直线'l 的解析式为 . 11.（2014•滨州，第16题4分）某公园“6•1”期间举行特优读书游园活动，成人
票和儿童票均有较大折扣．张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动．王斌也想
去，就去打听张凯、李利买门票花了多少钱．张凯说他家去了3个大人和4个小孩，共花了38元钱；李利说他家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱，王斌家计
划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需准备元钱买门票．
12.（2013四川凉山州，26，5分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、
C 的坐标分别为（10，0），（0，4），点
D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当ODP
△是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 .
13.把一张矩形ABCD 纸片按如图方式折叠，使点A 与点E 重合，点C 与点F 重合（E 、F 两
点均在BD 上），折痕分别为BH 、DG ．若AB=6cm ，BC=8cm ，则线段FG 的长为 .
A B
P O
D C x
y
（第12题图）
B
E D
A C O
14.（2012年深圳市中考数学第16题）如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC ＝5，OC ＝62，则另一直角边BC 的长为_______.
15.（2006年全国初中竞赛（浙教赛区）复赛试题）设0＜k ＜1，关于x 的一次函数 )1(1x k kx y -+=，当1≤x ≤2时的最大值是（） A.k （B ）k k 12-
（C ）k 1 （D ）k k 1+ 16.求出下列各式中x 的值：（1）错误！未找到引用源。

（2）错误！未找到引用源。

17.计算下列各题：
（1）错误！未找到引用源。