【选修2-1课件】2.12双曲线的简单几何性质(1)

2.12双曲线的简单几何性质 双曲线的简单几何性质(1) 双曲线的简单几何性质
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|） （ ）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
F1
x
方程 焦点
a.b.c 的关系
x y − 2 =1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x − 2 =1 2 a b
3 Q 双曲线的渐近线方程为 y = ± x 3 b 3 ∴ = ，而 c 2 = a 2 + b 2 ， ∴ a 2 + b 2 = 8 a 3 解出 a 2 = 6， b 2 = 2 x2 y2 ∴ 双曲线方程为 − =1 6 2Qຫໍສະໝຸດ 小结椭 圆
双曲线
方程
a b c关系
图象
2 x2 + y = 1 a＞ b ＞0） 2 （ ＞ ） 2 a b
法一:直接设标准方程, 法一:直接设标准方程,运用待定系数法 x2 y2 ⑵解:设双曲线方程为 2 − 2 = 1 (a>0,b>0) >0, a b a 2 + b 2 = 20 a 2 = 12 则 解之得 2 (3 2)2 22 或设 b = 8 − 2 =1 2
42 +32 = 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5) 焦点坐标是 离心率: 离心率
e =
4 渐近线方程: 渐近线方程 y = ± x 3
c 5 = a 4
例2
5 已 双 线 点 的 离 16 离 率 = ， 知 曲 顶 间 距 是 ， 心 e 4 焦 在轴 ， 心 原 ， 出 曲 的 点 x 上 中 在 点 写 双 线 方 程 并 求 它 渐 2 线2 焦 坐 . ， 且 出 的 近 和 点 标
顶点是 A1 ( − a ,0 )、 A2 ( a ,0 )
如图， （2） ） 如图，线段 A A 叫做双曲线 1 2 的实轴，它的长为2a,a叫做 的实轴，它的长为 叫做 实半轴长； 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 曲线的虚轴，它的长为 叫做双曲线的虚半轴长 （3） ） 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 − y2 = 1 ( a＞ 0 b＞0) ＞ ＞ 2 b2 a
c 2= a 2 − b 2 (a＞ b＞0) ＞ ＞
y
M
c 2= a 2 + b 2 (a＞ 0 b＞0) ＞ ＞
Y p F2 X
F1
0
F2
X
F1
0
范围
|x|≤a,|y|≤b ≤
对称性
|x| ≥ a，y∈R ， ∈
对称轴： 轴 对称轴：x轴，y轴 轴 对称中心： 对称中心：原点 (-a,0) (a,0) 实轴： 实轴：2a 虚轴： 虚轴：2b
（2）e的范围 ） 的范围： （3）e的含义： ） 的含义：
c2 − a2 c 2 = ( ) −1 = e2 −1 a a b b ∴当 e ∈ (1,+∞ )时， ∈ (0,+∞ ), 且 e增大 , 也增大 a a ⇒ e增大时，渐近线与实轴 的夹角增大 b = a
Q c>a>0 ∴
e >1
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
（4）等轴双曲线的离心率 ?2 等轴双曲线的离心率e= 等轴双曲线的离心率
离心率 e =
2的双曲线是等轴双曲线
c (5) e = a
c = a +b
2 2
2
在a、b、c、e四个参数中，知二可求二
y2 x2 二 导 双 线 2 − 2 =1(a > 0, b > 0) 、 出 曲 a b y 的 单 何 质 简 几 性
c (e>1) e= a
对称轴： 轴 对称轴：x轴，y轴 轴 对称中心： 对称中心：原点
顶点
（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴： 短轴： 长轴：2a 短轴：2b c e= a
( 0＜e ＜1 ) ＜
离心率
渐近线
无
a2 x=± c
y=±
b x a
准线
a2 x=± c
（1）范围 y ≥ a , y ≤ − a ）范围: （2）对称性 关于 轴、y轴、原点都对称 ）对称性: 关于x轴 轴 （3）顶点 (0,-a)、(0,a) ）顶点: 、 （4）渐近线 y = ± a x ）渐近线:
b
-b a o -a b x
c （5）离心率 e = ）离心率: a
小
结
双 曲 线
A1 -a
y b
B2
o a A2 x
x − y = m (m ≠ 0)
2 2
-b B 1
4、渐近线 、
双曲线在第一象限内部分的方程为 x2 y2 （1） 双曲线 − = 1( a > 0, b > 0) b 2 a2 2 b2 y= x − a ( x > 0) a b 的渐近线为 y = ± x a b 它与y = x的位置关系 : a 等轴双曲线 x 2 − y 2 = m （2） A1 b 在y = x的下方 ( m ≠ 0 )的渐近线为 a
x y 5 5 设共 焦点 双曲 的 线为 2 − 2 2 =1, 然后 由 = a 5 −a a 4 x2 y2 求得 = 4, b2 = 25 −16 = 9,可 a 得 − =1. 16 9
x2 y2 x2 y2 注： 与 2 ± 2 =1共焦点的椭圆系方程是 2 + 2 2 =1, a b m m −c x2 y2 双曲线系方程是 2 − 2 =1 2 m c −m
法二：巧设方程 运用待定系数法 运用待定系数法. 法二：巧设方程,运用待定系数法 x2 y2 ⑴设双曲线方程为 − = λ (λ ≠ 0) ,
9 16
( −3)2 (2 3)2 ∴ − =λ 9 16
1 ∴λ = 4
x2 y2 ∴ 双曲线的方程为 − =1 9 4 4
根据下列条件，求双曲线方程 : 根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 有公共焦点， ⑵与双曲线 − = 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . 16 4
x2 y2 − =1 12 8
解之得k=4, , 解之得
∴ 双曲线方程为
1、“共渐近线”的双曲线的应 、 共渐近线” 2 2用 x y
与 2 − 2 =1 渐 线 双 线 共 近 的 曲 系 a b 2 2 x y 方 为 2 − 2 = λ(λ ≠ 0 λ为 数， 程 ， 参 ) a b
λ>0表示焦点在 轴上的双曲线； 表示焦点在x轴上的双曲线 表示焦点在 轴上的双曲线； λ<0表示焦点在 轴上的双曲线。 表示焦点在y轴上的双曲线 表示焦点在 轴上的双曲线。
F(0, ± c)
2 2
2
2
c =a +b
2
课堂新授
一、研究双曲线 1、范围 、
2
x2 y2 − 2 =1(a > 0, b > 0) 2 a b
(-x,y)
的简单几何性质
y (x,y) o a (x,-y)
x 2 2 Q 2 ≥ 1,即x ≥ a a ∴ x ≥ a, x ≤ −a 2、对称性 、
9y2 −16x2 = 144 的实半轴长 虚半轴长, 的实半轴长,虚半轴长 虚半轴长
y2 x2 − 2 =1 2 4 3
焦点坐标,离心率 渐近线方程 焦点坐标 离心率.渐近线方程。 离心率 渐近线方程。 解：把方程化为标准方程 可得:实半轴长 可得 实半轴长a=4 实半轴长 虚半轴长b=3 虚半轴长 半焦距c= 半焦距
性 质
性
x2 y2 − 2 =1 2 a b (a >0,b>0) y2 x2 − 2 =1 2 a b (a >0,b>0)
x≥ a
关于
x ≤−a
y≥ a
b (± a,0) y = ± x a
c e= a
(
2 2 2
y ≤ −a
a c =a +b) (0,± a ) y = ± x b
例题讲解
例1 :求双曲线
2
2
根据下列条件，求双曲线方程: 根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 有共同渐近线， ⑴与双曲线 − = 1 有共同渐近线，且过点 ( − 3, 2 3 ) ； 9 16 法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论 考虑.(一般要分类讨论) ⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 − =1的渐近线为 y = ± x ,令 x=-3, =±4,因 2 3 < 4 , = 3,y= 4,因 9 16 3 4 轴负半轴之间, 故点 (−3, 2 3) 在射线 y = − x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, ≤ 3 x2 y2 轴上, ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 − 2 = 1 (a>0,b>0), 0 0 a b b 4 2 9 = a 3 x2 y2 a = ∴ 解之得 4 ,∴ 双曲线方程为 − = 1 2 2 9 4 b2 = 4 (−3) − (2 3) = 1 4 a2 b2
x y − 2 =1 a2 b
解：依题意可设双曲线的方程为
∴ 2 a = 16，即 a = 8
c 5 又 Q e = = ,∴ c = 10 a 4
∴ b 2 = c 2 − a 2 = 10 2 − 82 = 36
x2 y2 ∴ 双曲线的方程为 − =1 64 36 3 ∴ 渐近线方程为 y = ± x 4
2 2
2
2
x2 y2 有共同焦点， 4. 求与椭圆 + = 1 有共同焦点，渐近线方程为 16 8