线性规划的实际应用

线性规划的实际应用

摘 要：线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 关键词：研究性学习；线性规划，教学改革

随着当前基础教育的改革的深入，研究性学习成为当前基础教育的一个热点，引起了教育界和社会的广泛关注，也成为当前培养学生能力的一个崭新的课题。我们本着教学过程始于课内，终于课外的原则对线性规划的实际应用进行研究。主要是把实际问题抽象为数学模型，使其在约束条件下，找到最佳方案。也就是说求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题。

一． 线性规划问题

在实际社会活动中遇到这样的问题：一类是当一项任务确定后，如何统筹

安排，尽量做到最少的资源消耗去完成；另一类是在已有的一定数量的资源条件下，如何安排使用它们，才能使得完成的任务最多。

例如1-1：某工厂需要使用浓度为的硫酸10，而市场上只有浓度为，0080kg 00600

070和的硫酸出售，每千克价格分别为8元，10元，16元，问应购买各种浓度的硫酸各多0090少？才能满足生产需求，且所花费用最小？

设取浓度为，，的硫酸分别为千克，总费用为，则

006000700090321,,x x x Z

s.t

⎩⎨

⎧=++=++8

9.07.06.010

321321x x x x x x

)

3,2,1,0(16108321=≥++=j x x x x Z j 例如1-2：某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲产品需要种原料不超过3千克，但

A 每千克甲产品需要种原料为2千克；生产乙产品需要种原料不超过4.5千克，但每千克C

B 乙产品需要种原料为3千克。每千克甲产品的利润为3元，每千克乙产品的利润为4元，

C 工厂生产甲，乙两种产品的计划中要求所耗的种原料不超过15千克，甲，乙两种产品各应C 生产多少，能使的总利润最大？

设生产甲，乙两种产品分别为千克，利润总额为元，则

21,x x Z s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0

,15325.43212121x x x x x x

2143x x Z +=二． 线性规划问题的模型

1．概念

对于求取一组变量使之既满足线性约束条件，又使具有线

),,3,2,1(n j x j ⋅⋅⋅=性目标函数取得最值的一类最优问题称为线性规划问题。

2．模型

或

max()1(min)2211n

n x c x c x c Z +⋅⋅⋅++=s.t ⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧≥⋅⋅⋅≥=≤+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥=≤+⋅⋅⋅++≥=≤+⋅⋅⋅++0

,,),()2(),(),(2122112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 称之为线性规划问题的数学模型。其中（1）称为线性目标函数，（2）称为线性约束条件。 式中，称为目标函数，称为决策变量，称为价值系数Z ),,3,2,1(n j x j ⋅⋅⋅=),,2,1(n j c j ⋅⋅⋅=或目标函数系数，称为资源系数或约束右端常数，),,2,1(m i b i ⋅⋅⋅=),,2,1,,,2,1(n j m i a ij ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=称为技术系数或约束系数，，，均为常数。上述式子还可缩写为：

ij a j c i b

或

max(∑==n

j j j x c Z 1

min)

⎪⎩

⎪⎨⎧⋅⋅⋅=≥⋅⋅⋅=≥=≤∑=n j x m i b x a t s j n

j i

j ij ,2,10,2,1),(.1

三． 线性规划问题的求解

1．图解法

在平面直角坐标系中，直线可以用二元一次方程来表示，点l 0=++C By Ax ),(o o y x p 在直线上的充要条件是；若不在直线上，则或

l 0=++C By Ax o o p 000>++C By Ax ，二者必居其一。

000<++C By Ax 直线将平面分为两个半平面和，位于同:l 0=++C By Ax 0>++C By Ax 0<++C By Ax 一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式，要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如原点或坐标轴上的点来检验。另外有如下结论：

（1）若，则表示直线 右侧的半平面，

0>A 0>++C By Ax :l 0=++C By Ax 示直线 左侧的半平面。

0<++C By Ax :l 0=++C By Ax （2）若，则表示直线 上方的半平面，

0>B 0>++C By Ax :l 0=++C By Ax 示直线 下方的半平面。

0<++C By Ax :l 0=++C By Ax

例1-1中，设取浓度为，

00600070千克，总费用为，则

Z s.t ⎪⎩

⎪

⎨⎧=+-++≥+-≥8)](10

[9.07.06.00)(100,y x y x y x y x

6y -8x -160y)](x -16[1010y 8x Z =+++=即

令.

6y 8x Z -160+=6y 8x Z /+=要求的最小值，也就是求的最大值。

Z /Z ①式表示的公共区域为线段，如图（1AB 0经过点时，在轴上的截距最大，又的坐标为，所以的最大值为30。即B y B )5,0(/Z 5,0==y x 时，为最大，故。

/Z 13030160=-=Z 注：此题中原有三个未知量，在约束条件下，推出了第三个量的表达式，从而可用图解发法求解。

例1-2中，设生产甲，乙两种产品分别为x,y 利润总额为元，则

Z s.t ②

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0

,15325.43y x y x y x

y x Z 43+=求的最大值，如图（2）所示，

Z 当直线：向右上方移动，经过可行域上

0l 043=+y x 的点，此时直线距离原点最远，取得最大值。由 得点的坐标为

M Z ⎩⎨=+1532y x M ，代入得, .

)3,3(y x Z 43+=21Z max =从图解法来看,它只适用线性约束条件中决策变量为二元一次线性规划问题的求解.对于

含有三个或三个以上的求解,用图解法无法下手.如何求多元线性规划问题的解呢?下面我们以例1-2为例,介绍单纯形法的求解方法.

2.单纯形法

目标函数 max

2143x x Z +=线性约束条件