高考数学一轮复习课时检测第二章第四节函数的奇偶性与周期性理

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高考数学一轮总复习第二单元函数课时4 函数的奇偶性与周期性教案文(含解析)

函数的奇偶性与周期性1．了解奇偶性及周期性的定义．2．掌握判定一些简单函数的奇偶性的方法．3．会解决涉及奇偶性、周期性、单调性的简单综合问题．知识梳理1．函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．(1)函数的奇偶性的定义①如果对定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x) 成立，那么函数f(x)为奇函数．②如果对定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x) 成立，则函数f(x)为偶函数．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．周期函数(1)周期函数：对于函数f(x)的定义域内的每一个x，都存在一个非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x) 恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．函数奇偶性的常用结论(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇．2．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内的任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0)．热身练习1．下列函数为奇函数的是(D)A．y＝x B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－xy＝x的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝x 为非奇非偶函数，y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数．对于D ，f (x )＝e x －e －x的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是(B)A ．－13 B.13C.12 D ．－12因为f (x )＝ax 2＋bx 为偶函数，所以b ＝0，又偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＋2a ＝0，所以a ＝13，故a ＋b ＝13.3．下列命题中：①若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0； ②偶函数必不是单调函数；③奇函数f (x )与偶函数g (x )的定义域的交集为非空集合，则函数f (x )·g (x )一定是奇函数；④若函数f (x )的图象关于y 轴对称，则f (x )一定是偶函数．正确命题的个数有(D) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个①正确，由f (x )是奇函数，有f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0；②正确；③正确；④正确．4．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝ 12 .(方法一)令x >0，则－x <0.所以f (－x )＝－2x 3＋x 2.因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x 3－x 2(x >0)．所以f (2)＝2×23－22＝12.(方法二)f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 5．(2018·红河州二模改编)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝log 2x ，则f (－94)＋f (2)＝ 2 .因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (－94)＝f (－94＋2)＝f (－14)＝－f (14)＝－log 214＝2，f (2)＝f (2＋0)＝f (0)＝0，所以f (－94)＋f (2)＝2＋0＝2.授课提示：见听课手册P 16判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x －1)1＋x1－x； (2)f (x )＝lg 1－x1＋x.(1)由1＋x 1－x ≥0，可知定义域为[－1,1)．定义域不关于原点对称，故f (x )是非奇非偶函数． (2)由1－x 1＋x>0，得－1<x <1.定义域(－1,1)关于原点对称，且f (－x )＋f (x )＝lg 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(1)利用定义判断奇偶性的步骤：(2)在运用定义判断奇偶性时，①若表达式较复杂可适当进行化简后判断(不得改变定义域)；②判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．(3)判断函数的奇偶性除定义法外，还要注意如下方法：①图象法：f (x )的图象若关于原点对称，则f (x )为奇函数；若关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．②性质法：如“奇±奇”是奇；“偶±偶”是偶；“奇·奇”是偶，“偶·偶”是偶，“奇·偶”是奇等．1．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0的奇偶性是(A)A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数(2)(经典真题)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝ 1 .(1)(方法一：利用奇偶性的定义判断) 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－(x 2＋x )＝－f (x )；当x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝－f (x )．所以对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数． (方法二：用奇偶函数的图象特征判断) 画出y ＝f (x )的图象，如图：其图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数． (2)利用奇偶函数的运算性质转化．因为y ＝x 是奇函数，又f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，所以y ＝ln(x ＋a ＋x 2)是奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝ln a ＝0，解得a ＝1.奇偶性与单调性的综合应用(经典真题)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．(－∞，13)∪(1，＋∞)C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)∪(13，＋∞)本题主要是考查函数奇偶性、单调性的综合应用，求解的关键是发现函数的奇偶性和单调性．由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2可知f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (2x －1) ⇔f (|x |)>f (|2x －1|) ⇔|x |>|2x －1|⇔13<x <1.A(1)本题的求解过程中，既要利用函数的奇偶性，又要利用函数的单调性．求解此类问题要注意利用偶函数的性质f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．(2)掌握如下结论，会给解题带来方便： ①f (x )为偶函数f (x )＝f (|x |)．②若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2．(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a－1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是 [－1，12] .因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x－1e －x＝－x 3＋2x －e x＋1e x＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0，所以f (x )在R 上单调递增，所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，所以－1≤a ≤12.奇偶性与周期性的综合应用已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝__________.因为f (x ＋2)＝－1f x，所以f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1fx ＋2＝f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (105.5)＝f (4×26＋1.5)＝f (1.5)＝f (1.5－4) ＝f (－2.5)＝f (2.5)，因为2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. 所以f (105.5)＝2.5.2.5(1)本题考查了奇偶性与周期性的综合应用，考查了化归与转化的思想．求解的关键是利用周期性和奇偶性将所求函数值转化为已知区间上的函数值．(2)若对于函数f (x )的定义域内的任一自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是一个周期为2|a |的周期函数．3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝(C)A ．－50B ．0C ．2D ．50因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，所以－f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数及其定义域得f(0)＝0.又因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)＝0，所以f(－2)＝0.又f(1)＝2，所以f(－1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.1．函数的奇偶性是在整个定义域内讨论的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)具备奇偶性的必要不充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称．因此可以利用函数的图象的对称性去判断函数的奇偶性．3．判断函数的奇偶性的最基本的方法是利用定义法：首先判断定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，立即可以判定这个函数既不是奇函数也不是偶函数．若定义域关于原点对称，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数式进行化简，或应用定义的等价形式f(－x)＝±f(x)f(x)±f(－x)＝0f－xf x＝±1 (f(x)≠0)．4．奇偶性常常和单调性、周期性结合进行考查，具体求解时，要紧扣奇偶性、周期性的概念，充分利用化归与转化的思想方法．。

高考数学(文通用)一轮复习课件：第二章第4讲函数的奇偶性及周期性

第二章基本初等函数、导数及其应用函数的奇偶性及周期性教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源和课梳理1.函数的奇偶性2. 周期性(1)周期函数：对于函数j=/(x),如果存在一个非零常数T,那么就称函数y=/a )为周期函数，称F 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数/(兀)的所有周期中存在一个正周期.要点整會尸1. 辨明三个易误点（1）应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.使得当兀取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x)的正数，那么这个最小正数就叫做沧)的最小（2）判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. （3）判断函数/（兀）是奇函数，必须对定义域内的每一个x,均有/（一兀）=一/（兀），而不能说存在丸使/（一兀0）=—/（兀0），对于偶函数的判断以此类推.2.活用周期性三个常用结论对/(*)定义域内任一自变量的值(1)®f(x+a)= —f(x)9则T=2a；i⑵若Z(x+a)=y (乂),则T=2a； (1)(3)若f(x-\-a)=—屮(比)“,则T= 2a.3.奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)^ 定义域上的恒等式.(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法.(3)设心)，g(x)的定义域分别是Di，6,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇＞＜奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶 =偶,奇乂偶=奇.（2015•高考福建卷）下列函数为奇函数的是（D B. y=e D. j=e x -e"x 双基自测 C ・ j=cosx1.2.已知/(x)=«x 2+Z»x 是定义在［«-1,加］上的偶函数，那么"+方的值是(B )解析：因为f(x)=ax 2-\-bx 是定义在［«-1,加］上的偶函数, 所以a~l+2a=0,所以 a =-. 3X/(—x)=/(x),所以方=0,所以a+b=£ 3 A.D. 3 23.（2016•河北省五校联盟质量监测）设/（兀）是定义在R上的周期为3的函数，当xe[ - 2, 1)时，f(x)=4x2— 2, — 2WxW 0,X, 0<x<l,B. 1A. 0D. -1解析:因为心）是周期为3的周期函数，所以龙）=/（一扌+3）4.(必修1 P39习题1.3B组T3改编)若/(x)是偶函数且在(0,+ 8)上为增函数，则函数心)在(一8, °)上捋函数5.(必修1 P39习题X3A组T6改编)已知函数/(x)是定义在R 上的奇函数，当xMO时，gx) = x(1+x),则xVO时，/(x) = x(l—x)解析：当xVO时，则一x>0,所以/(—x) = (—x)(1—x)・又/(X)为奇函数，所以/(-x) = -/(x) = (-x)(1-x),所以/(X)=x(1—X)・國例1 (2014-高考安徽卷)若函ft/(x)(xe R)是周期为4的典例剖析护考点突破」考点一函数的周期性名师导悟以例说法奇函数，且在［0 , 2］上的解析式为/(x)=\x (1—x) , OWxWl, 、sin Ji x, 1<X W2, 5/?)+眉)=—^因为当 1 <xW2 时，/(x)=sin Tix,所以 XS =sinZ r =_2-所以 3因为当 OWxWl 时，/(x)=x(l-x), 所以简兮X 。

2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测课件：函数的奇偶性与周期性

一轮总复习
题型3：函数的周期性
【例 3】(1)(2020·江西临川第一中学期末)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意的实数 x，f(x－2)＝f(x＋2)，
当 x∈(0，2)时，f(x)＝－x2，则 f123＝
()
A．－94
B．－14
C.14
2(1－x)，0≤x≤1，D．94
(2)(2020·开封模拟)已知函数 f(x)＝x－1，1<x≤2，如果对任意的 n∈N*，定义 fn(x)＝
[例 2] (1)(2019·全国卷Ⅱ)设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝ex－1，则当 x<0 时，
f(x)＝
()
A．e－x－1
B．e－x＋1
C．－e－x－1
D．－e－x＋1
(2)已知函数 f(x)＝a－ex＋2 1(a∈R)是奇函数，则 a＝________．
(3)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数，且 g(x)＝f(x－1)，
高三数学一轮总复习
【新高考·新课标】
第7讲
函数的奇偶性与周期性
一轮总复习
目录
题型1 函数奇偶性的判定题型2 函数奇偶性的应用题型3 函数的周期性题型4 函数性质的综合应用
一轮总复习
题型1：函数奇偶性的判定
【例 1】判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；
(2)f(x)＝(x＋1)
11＋－xx；
(3)f(x)＝－x2＋x2＋2x－2x＋1，1，x<x0>；0， (4)f(x)＝ 4x－2 x2．
一轮总复习
解：(1)由
1－x2≥0， x2－1≥0

高考数学一轮复习函数的奇偶性及周期性课时跟踪检测理湘教版

高考数学一轮复习函数的奇偶性及周期性课时跟踪检测理湘教版第Ⅰ组：全员必做题1．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数D ．周期函数2．(2013·湖南高考)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．13．(2014·长春调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A.23 B ．－23C.43D ．－434．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)5．(2013·淄博一模)设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于( )A ．－12B ．－13C ．－14D ．－156．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．7．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．8．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．9．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (3)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选D 如图，当x ∈[0,1)时，画出函数图像，再左右扩展知f (x )为周期函数．故选D.2．选B 由已知可得，－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，两式相加解得，g (1)＝3.3．选C 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43，故选C.4．选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．5．选C 由f (t )＝f (1－t )得f (1＋t )＝f (－t )＝－f (t )，所以f (2＋t )＝－f (1＋t )＝f (t )，所以f (x )的周期为2. 又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－14. 6．解析：∵y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)·(x －a )(－3≤x ≤3)， ∴f (x )＝x 2＋(1－a )x －a,1－a ＝0. ∴a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)．f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1.答案：－17．解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.于是解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)8．解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－109．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (3)＝f (3－4)＝－f (1)＝－1.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则－1≤x ≤0时，f (x )＝x ，则f (x )的图像如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.10．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．第Ⅱ组：重点选做题 1．选C f (x )的图像如图．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )<0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．2．解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图像如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确，③不正确．答案：①②④。

高考数学一轮复习检测《函数的奇偶性与周期性》.pdf

函数的奇偶性与周期性【选题明细表】知识点、方法题号函数奇偶性的判断1函数奇偶性的应用2、7、9函数周期性及应用2、6、11函数性质的综合应用3、4、5、8、10一、选择题 1.(2013北京西城区期末)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是(　B　) (A)y=- (B)y=e|x| (C)y=-x2+3(D)y=cos x 解析:y=-是奇函数,选项A错误;y=e|x|是偶函数且在(0,+∞)上单调递增,选项B正确;y=-x2+3是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,选项C错误;y=cos x是偶函数且在(0,+∞)上有时递增,有时递减,选项D错误.故选B. 2.(2013孝感统考)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f等于(　A　) (A)-(B)-(C)(D) 解析:由题意得f=-f=-f=-f=-2××=-.故选A. 3.(2013湘潭模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[0,1)上单调递增,记a=f(),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为(　A　) (A)a>b=c(B)b>a=c (C)b>c>a(D)a>c>b 解析:依题意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)是以2为周期的函数,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1);又f(3)=-f(2)=0,f(1)=-f(0)=0,又f(x)在[0,1)上是增函数,于是有f()>f(0)=f(2)=f(3),即a>b=c.故选A. 4.(2013长春调研)设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,那么m2+n2的取值范围是(　A　) (A)(9,49)(B)(13,49) (C)(9,25)(D)(3,7) 解析:依题意得f(-x)=-f(x),因此由f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0得f(m2-6m+21)<-f(n2-8n)=f(-n2+8n). 又f(x)是定义在R上的增函数,于是有m2-6m+21<-n2+8n,即(m-3)2+(n-4)2<4.在坐标平面mOn内该不等式表示的是以点(3,4)为圆心、2为半径的圆内的点,m2+n2可视为该平面区域内的点(m,n)与原点间的距离的平方,结合图形可知m2+n2的取值范围是(9,49),选A.5.(2013安徽省皖北高三大联考)已知周期为2的偶函数f(x)在区间[0,1]上是增函数,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是(　B　) (A)f(-6.5)<f(0)<f(-1) (B)f(0)<f(-6.5)<f(-1) (C)f(-1)<f(-6.5)<f(0) (D)f(-1)<f(0)<f(-6.5) 解析:由条件得f(-6.5)=f(6.5)=f(6+0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1),又f(x)在区间[0,1]上是增函数,所以f(0)<f(0.5)<f(1),故f(0)<f(-6.5)<f(-1).故选B.6.(2013山东济南二模)设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(107.5)等于(B　) (A)10(B)(C)-10(D)- 解析:由于f(x+3)=-, 所以f(x+6)=f(x),即函数f(x)的周期等于6, 又因为函数f(x)是偶函数, 于是f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=f(3+2.5)=-=-=-=, 故选B. 二、填空题 7.(2013宣城市一模)已知f(x)=asin x+bx+c(a,b,c∈R),若f(0)=-2,f=1,则f=.? 解析:由题设f(0)=c=-2, f=a+b-2=1 所以f=-a-b-2=-5. 答案:-5 8.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=.? 解析:由于函数f(x)的周期为5,所以f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1),又f(x)为R上的奇函数,所以f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1. 答案:-1 9.已知函数f(x)为奇函数,函数f(x+1)为偶函数,f(1)=1,则f(3)=.? 解析:法一　根据条件可得f(3)=f(2+1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1)=-1. 法二　使用特例法,寻求函数模型,令f(x)=sin x,则f(x+1)=sin(x+)=cos x,满足以上条件,所以f(3)=sin=-1. 答案:-1 三、解答题 10.(2013乐山市第一次调研考试)已知函数f(x)=-log2是奇函数. (1)求m的值; (2)请讨论它的单调性,并给予证明. 解:(1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-x) +f(x)=0, 即--log2 +-log2=0, 即log2=0, 则=1, 解得m=1,其中m=-1(舍), 经验证当m=1时,f(x)=-log2 (x∈(-1,0)∪(0,1))是奇函数. (2)任取x1,x2∈(0,1),且设x10, log2(-1)-log2(-1)>0, 得f(x1)-f(x2)>0,即f(x)在(0,1)内单调递减; 由于f(x)是奇函数,其图象关于原点对称, 所以函数f(x)在(-1,0)内单调递减. 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称. (1)求证:f(x)是周期为4的周期函数; (2)若f(x)=(0<x≤1),求x∈[-5,-4]时,函数f(x)的解析式. (1)证明:由函数f(x)的图象关于直线x=1对称,有f(x+1)=f(1-x). 即有f(-x)=f(x+2). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数, 故有f(-x)=-f(x). 故f(x+2)=-f(x). 从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即f(x)是周期为4的周期函数. (2)解:由函数f(x)是定义在R上的奇函数,有f(0)=0. x∈[-1,0)时,-x∈(0,1], f(x)=-f(-x)=-. 故x∈[-1,0]时,f(x)=-. x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=-. 从而,x∈[-5,-4]时, 函数f(x)=-.。

高考数学一轮复习讲义第二章 2.4 函数的奇偶性与周期性课件

2 定义在(－1,1)上的函数 f(x)． (ⅰ)对任意 x，y∈(－1,1)都有：f(x)＋f(y)＝f 1x＋＋xyy； (ⅱ)当 x∈(－∞，0)时，f(x)>0，回答下列问题． (1)判断 f(x)在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由； (3)若 f 15＝12，试求 f 12－f 111－f 119的值．
一轮复习讲义
函数的奇偶性与周期性
要点梳理
忆一忆知识要点
1．奇、偶函数的概念一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A.如果对于任意的 x∈A，都有 f(－x)＝f(x) ，那么称函数 y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的 x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数 y ＝f(x)是奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．
函数奇偶性的判断
例 1 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ 9－x2＋ x2－9；(2)f(x)＝(x＋1) (3)f(x)＝|x＋4－3|－x23.
11－＋xx；
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或其等价形式 f(－x)±f(x) ＝0 是否成立．
故原函数是奇函数．
(2)由22＋－xx≥0 且 2－x≠0⇒－2≤x<2，
定义域关于原点不对称，故原函数是非奇非偶函数．
(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当 x>0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x<0 时，－x>0，故 f(－x)＝x2－x＝f(x)；当 x<0 时，f(x)＝x2－x，则当 x>0 时，－x<0，故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数． (4)由1|x－2－x22>|－0，2≠0 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f(x)＝－l(gx(21－－2x)2－) 2＝－lg(1x－2 x2). ∵f(－x)＝－lg[1(－－(x－)2x)2]＝－lg(1x－2 x2)＝f(x)，

高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性

－1.又∵f（x）为奇函数，∴f（x）＝－f（－x）＝－e－x＋1.
答案（2）－e－x＋1
目录
｜解题技法｜
函数奇偶性的应用类型及解题奇偶性求
出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f
（x）的解析式；
（2）应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性
质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.
在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）
也是函数的周期.
目录
⁠
1.定义在R上的奇函数f（x），满足f（x＋4）＝－f（x），且当x∈[0，2]时，f
）
A.b＜a＜c
B.c＜b＜a
C.b＜c＜a
D.a＜b＜c
解析：A 由结论3知，函数f（x）关于直线x＝1对称，当1＜x1＜x2时，[f（x1）
－f（x2）]（x1－x2）＞0，则f（x2）＞f（x1），∴函数f（x）为（1，＋∞）上的
增函数，∴a＝f
1
−
2
＝f
3
1−
2
＝f 1 +
3
2
＝f
5
2
5
，∵3＞＞2＞1，因此，b＜a＜
x＋2·
－x，所以f（x）＝3x＋3－x.
ቊ
两式相加得，2f（x）＝2·
3
3
()−() = 2·3− ,
答案：3x＋3－x
目录
函数的周期性
【例3】（1）（2021·全国甲卷）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1＋
x）＝f（－x）.若f
1
−
3
1
5
＝，则f

高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性(有详细答案).docx

例2 (1)定在R上的函数f(x)足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1，f(x)＝－(x＋2)2；当－
1≤x<3，f(x)＝x. f(1)＋f(2)＋f(3)＋⋯＋f(2 015)等于
()
A．335
B．336 C．1 678 D．2 012
1，当2≤x≤3，f(x)＝x，f(105.5)
(2)已知f(x)是定在R上的偶函数，并且f( x＋2)＝－f x
答案(1)A(2)D
解析(1)偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
1
1
有f(2x－1)< f3? f(|2x－1|)<f3
，
1
进而转化为不等式
|2x－1|<3，
1
2
解这个不等式即得
x的取值范围是
3，3.
(2)由函数f( x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，
k＝________.
1＋k·2
x2＋1，x≥0，
(2)已知函数f(x)＝
则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
1，x<0，
易错分析
(1)解题中忽视函数
f(x)的定义域，直接通过计算
f(0)＝0
得k＝1.
(2)本题易出现以下错误
由f(1－x2)>f(2x)得1－x2>2x，忽视了1－x2>0导致解答失误．
－x
＝－
－x
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；

( 高三一轮新课标)第二章第四节函数的奇偶性及周期性

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7．(2011· 南昌第一次模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函
数，对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋2f(3)，且f(－1)
＝2，则(3)＝________，f(2 011)＝________.
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解析：依题意得f(－3＋6)＝f(－3)＋2f(3)，即有f(3)＝f(3) ＋2f(3)，所以f(3)＝0，f(x＋6)＝f(x)，即函数f(x)是以6 为周期的函数．注意到2 011＝6×335＋1，因此有f(2 011)＝f(1)＝f(－1)＝2. 答案：0 2
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5．(2012· 皖南八校联考)已知定义在R上的奇函数满
足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)>f(2a)，则实数a 的取值范围是________．
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解析：因为f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，
要使f(3－a2)>f(2a)，只需3－a2>2a，解得－3<a<1.
上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x) ＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数． [答案] D
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．(2011· 台州一模)下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 A．y＝2|x| B．y＝x2－x ( )
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法二：设x>0，则－x<0， ∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x， ∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，
∴f(1)＝－2×12－1＝－3.

高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性与周期性课时闯关

【优化方案】2014届高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性与周期性课时闯关理（含解析）人教版一、选择题1．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：选D.由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．2．(2011·高考广东卷)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数解析：选A.由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )，由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )，故|g (x )|为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．3．(2011·高考湖北卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154C.174D ．a 2 解析：选B.∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，①得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ，∴f (2)＝22－2－2＝154. 4．(2013·宁波模拟)已知y ＝f (x )是偶函数，而y ＝f (x ＋1)是奇函数，且对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，则a ＝f (9819)，b ＝f (10117)，c ＝f (10615)的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <aC ．a <c <bD ．a <b <c解析：选A.由已知得f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)．从而得f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝0.∴f (9819)＝－f (1619)，f (10117)＝－f (117)，f (10615)＝f (1415)． ∵0≤x ≤1时都有f ′(x )≥0，∴f (x )在[0,1]上递增，且在[0,1)上都有f (x )<0.∴f (1415)<0，f (117)<f (1619)<0.∴f (10615)<f (9819)<f (10117)，即c <a <b .5．已知定义域为R 的函数y ＝f (x )，则下列命题：①若f (x －1)＝f (1－x )恒成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称；②若f (x ＋1)＋f (1－x )＝0恒成立，则函数y ＝f (x )的图象关于(1,0)点对称； ③函数y ＝f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )的图象关于y 轴对称；④函数y ＝－f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )的图象关于原点对称；⑤若f (1＋x )＋f (x －1)＝0恒成立，则函数y ＝f (x )以4为周期．其中真命题有( )A ．①④B ．②③C ．②⑤D ．③⑤解析：选C.由f (x －1)＝f (1－x )知y ＝f (x )图象关于x ＝0对称，故①错；由f (1＋x )＋f (1－x )＝0知y ＝f (x )图象关于(1,0)点对称，②正确；函数y ＝f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )图象关于x ＝1对称，故③错；函数y ＝－f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )的图象关于(1,0)点对称，故④错；若f (1＋x )＋f (x －1)＝0，则f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，函数y ＝f (x )以4为周期，⑤正确．综上，②⑤正确，故选C.二、填空题6．(2011·高考浙江卷)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析：∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴a ＝0.答案：07．(2012·高考课标全国卷)设函数f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：f (x )＝x 2＋2x ＋1＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，考察函数g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，显然函数g (x )为奇函数，所以g (x )的最大值与最小值的和为0，所以函数f (x )的最大值与最小值的和为2.答案：28．若f (x )是R 上的奇函数，则函数y ＝f (x －12)＋1的图象必过点________．解析：y ＝f (x －12)＋1由y ＝f (x )向右平移12个单位再向上平移1个单位．(0,0)→(12，1)．答案：(12，1) 三、解答题9．设a >0，f (x )＝e x a ＋a ex 是R 上的偶函数，求实数a 的值并求f (x )的值域．解：∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )在R 上恒成立．即e －x a ＋a e －x ＝e x a ＋a e x ，即(a 2－1)e 2x ＋1－a 2＝0，对任意的x 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a >0，解得a ＝1. ∴f (x )＝e x ＋1e x . 当x ∈R 时，e x >0，∴f (x )＝e x ＋1e x ≥2e x ·1ex ＝2. 当且仅当x ＝0时，取“＝”．∴f (x )的值域为[2，＋∞)．10．已知奇函数f (x )在定义域[－2,2]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m的取值范围．解：∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3，①又f (x )为奇函数，在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，∴1－m >m 2－1，即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.11．(探究选做)是否存在实数a ，使得函数f (x )＝log 2(x ＋x 2＋2)－a 为奇函数，同时使函数g (x )＝x ·(1a x －1＋a )为偶函数？证明你的结论．解：假设存在a 满足题目要求，则⎩⎪⎨⎪⎧ f －x ＝－f x g －x ＝g x ，令x ＝0，由f (0)＝0得a ＝12，此时g (x )＝x ·(12－x －1＋12)， ∴g (－x )＝－x ·(12x －1＋12)＝x ·(11－2x －12) ＝x ·1＋2x 21－2x . 而g (x )＝x (12－x －1＋12)＝x ·1＋2x 21－2x ， ∴g (－x )＝g (x )，∴a ＝12时，g (x )为偶函数．因此，存在a ＝12满足题目条件．。

高考数学理一轮复习 2-4函数的奇偶性与周期性精品课件

[分析]
证明函数是周期函数，只需满足定义f(T＋x)＝
f(x)(T≠0)即可．本题有两个条件，一是函数为奇函数，则f(－ x)＝－f(x)，二是函数关于x＝1对称，则f(2－x)＝f(x)，结合这两个条件证明．
[解] (1)∵函数f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，令x＝0，则f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，∴f(0)＝0. (2)函数f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)① 又f(x)关于直线x＝1对称．
备选例题1判断函数f(x)＝性．
2 x ＋x 2 － x ＋x
(x＜0) (x＞0)
的奇偶
解：当x＜0时，－x＞0，则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0， f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x
＝－(－x2＋x)＝－f(x)．
综上可知，对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.
的最小正周期．
(2)若f(x)的周期为T，则f(ωx)(ω＞0)的周期为 (3)周期函数的图象特征是函数图象重复出现，因此若函数f(x)是周期函数，研究其值域、最值、单调性等问题时，通常在一个周期长的区间上考虑，再推广到整个定义域上．
重点辨析
判断函数的奇偶性： ①定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要不充分条件；
[分析]
先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判
断f(－x)与f(x)之间的关系．
[解] (1)此函数的定义域为R. ∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数． (2)此函数的定义域为{x|x＞0}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

高考数学导与练一轮复习(浙江版)课时跟踪检测第二章第四节函数的奇偶性与周期性

第四节函数的奇偶性与周期性[选题明细表]知识点、方法题号函数奇偶性的判定及应用1,3,14函数周期性的应用2,5,8,12利用奇偶性求函数值9,10,11函数性质的综合应用4,6,7,13,15一、选择题1.(2018·嘉兴一中高三测试)已知y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(2)等于( D )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:因为y=f(x)+x是偶函数,所以f(x)+x=f(x)x,当x=2时,f(2)+2=f(2)2,又f(2)=1,所以f(2)=5.故选D.2.(2018·温州高三5月模拟)已知定义在R上的函数f(x)的最小正周期等于T,则下列函数中最小正周期一定等于的是( A )(A)f(2x) (B)f() (C)2f(x) (D)f(x2)解析:A中函数f(2x)的最小正周期为,B中函数f()的最小正周期为2T,C中函数最小正周期为T,D中函数不一定是周期函数,故选A.3.(2019·杭二中高考仿真)现有四个函数:①y=x|sin x|;②y=xcos|x|;③y=;④y=xln|x|的部分图象如图,但顺序被打乱,则按照图象从左到右、从上到下的顺序,对应的函数序号正确的一组是( C ) (A)①④②③ (B)①④③②(C)③②④① (D)③④②①解析:结合图形及函数的解析式可知,y=x|sin x|,y=xcos|x|,y=xln|x|都是奇函数,而y=是非奇非偶函数,对比图象,第一个图象对应的解析式为③;对于函数 y=xcos|x|来说,当0<x<1时,y>0,当x=π时,y<0,可知第二个图象对应的解析式为②;对于函数y=xln|x|来说,当0<x<1时,y<0,且当x=1时,y=0,对比图象,可知第三个图象对应的解析式为④;对于函数y=x|sin x|来说,当x<0时,y≤0,当x>0时,y≥0,对比图象,可知第四个图象对应的解析式为①.由此可知,按照图象从左到右的顺序,对应的函数的序号正确的一组是③②④①,故选C.4.已知函数f(x)=x37x+sin x,若f(a2)+f(a2)>0,则实数a的取值范围是( D )(A)(∞,1) (B)(∞,3)(C)(1,2) (D)(2,1)解析:f(x)=f(x)且f′(x)=3x27+cos x<0,所以f(x)=x37x+sin x为奇函数且为单调减函数,f(a2)+f(a2)>0,则a2<2a,解得2<a<1,故选D.5.已知f(x)是定义域为R的奇函数,对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=e x1,则f(2 018)+f(2 019)等于( A )(A)1e (B)e1 (C)1e (D)e+1解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,对于x≥0,都有f(x+2)=f(x), 所以x≥0时,函数周期为T=2,f(2 018)=f(0)=0,f(2 019)=f(1)=e1, f( 2 019)=f(2 019),f(2 018)+f(2 019)=1e.故选A.6.已知f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=lg x,设a=f(), b=f(),c=f(),则( A )(A)c<a<b (B)a<b<c(C)b<a<c (D)c<b<a解析:a=f()=f()=f()=lg =lg ,b=f()=f()=f()=lg=lg 2,c=f()=f()=lg ,因为2>>,所以lg 2>lg>lg,所以b>a>c.7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x)=f(2x),当x∈[0,1]时,f(x)=4x1,则f()等于( C )(A)0 (B)1 (C)1 (D)解析:由题意知f(x)的图象关于原点对称,且对称轴为x=1,故f(x)是周期为4的周期函数,则f()=f(2.5+8)=f(2.5)=f(22.5)=f(0.5)=f(0.5)=(41)=1,故选C.8.(2018·暨阳联谊学校高三4月联考)f(x)是定义在R上的函数,若f(2)=504,对任意x∈R,满足:f(x+4)f(x)≤2(x+1)及f(x+12) f(x)≥6(x+5),则的值为( C )(A)2 017 (B)2 018 (C)2 019 (D)2 020解析:因为f(x+4)f(x)≤2(x+1),所以f(x+8)f(x+4)≤2(x+5),进而有f(x+12)f(x+8)≤2(x+9),上述三式子相加得到f(x+12) f(x)≤6(x+5),结合已知f(x+12)f(x)≥6(x+5)得到f(x+12)f(x)=6(x+5),故f(2 018)f(2 006)+f(2 006)f(1 994)+f(1 994) f(1 982)+…+f(14)f(2)=30×168+6×=5 040+504×2 008=f(2 018)f(2),所以=2 019,故选C.二、填空题9.(2018·温州模拟)已知函数f(x)=,则f(0)= ,f(log23)+f(log2)= .解析:将x=0代入得f(0)=0,因为f(x)===f(x),所以f(x)是奇函数,所以f(x)+f(x)=0,所以f(log23)+f(log2)=f(log23)+f(log23)=0.答案:0 0∈R,函数f(x)=为奇函数.则f(1)= ,a= .解析:f(1)=(1)2+(1)=0,又因f(x)是奇函数,所以f(1)=f(1)=0,即f(1)=0,因此12+a×1=0,a=1.答案:0 111.偶函数f(x)满足f(x1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则f()= ;若在区间[1,3]内,函数g(x)=f(x)kxk有4个零点,则实数k的取值范围是.解析:因为偶函数f(x)满足f(x1)=f(x+1),所以f(x)=f(x+2),即函数f(x)是周期为2的周期函数,则f()=f(2)=f()=f()=,若1≤x≤0,则0≤x≤1,则f(x)=x=f(x),即f(x)=x,1≤x≤0,由g(x)=f(x)kxk=0得f(x)=k(x+1),要使函数g(x)=f(x)kxk有4个零点,即函数f(x)与h(x)=k(x+1)的图象有四个不同的交点,作出两个函数的图象如图.h(x)的图象过定点A(1,0),f(3)=1,则0<h(3)≤1,即0<4k≤1,得0<k≤,即实数k的取值范围是(0,].答案:(0,]12.若偶函数y=f(x)为R上的周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(xa)(3≤x≤3),则f(6)等于.解析:因为y=f(x)为偶函数,且f(x)=(x+1)(xa)(3≤x≤3),所以f(x)=x2+(1a)xa,1a=0,所以a=1,f(x)=(x+1)(x1)(3≤x≤3).f(6)=f(6+6)=f(0)=1.答案:113.(2018·浙江诸暨高三5月适应性考试)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)=f(4x),当2≤x<0时,f(x)=log3|x|,则f()=.解析:由f(x)=f(4x)知,f()=f(4)=f(),又因为f(x)是奇函数,所以f()=f()=log3||=1.答案:1三、解答题14.函数f(x)=(+)x3.(1)判断并证明f(x)的奇偶性;(2)求证:在定义域内f(x)恒为正.(1)解:判断:f(x)是偶函数.证明:f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.对于任意x∈{x|x≠0},有f(x)=(+)(x)3=(+)x3=()x3=(+)x3=f(x),所以f(x)是偶函数.(2)证明:当x>0时,2x1>0且x3>0,所以f(x)=(+)x3>0,又因为f(x)是偶函数,所以当x<0时,f(x)>0也成立.综上,在定义域内f(x)恒为正.15.已知函数f(x)=x|2ax|+2x,a∈R.(1)若a=0,判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)若函数f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围. 解:(1)当a=0时,f(x)=x|x|+2x,所以f(x)=x|x|2x=f(x),所以函数y=f(x)为奇函数.(2)f(x)=当x≥2a时,y=f(x)的对称轴为x=a1;当x<2a时,y=f(x)的对称轴为x=a+1;所以当a1≤2a≤a+1时,f(x)在R上是增函数,即1≤a≤1时,函数f(x)在R上是增函数.。

高考数学一轮复习专题训练—函数的奇偶性与周期性

第3节函数的奇偶性与周期性考纲要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那偶函数关于y轴对称么函数f(x)是偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，奇函数关于原点对称那么函数f(x)是奇函数2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0). (2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0). (3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称.(3)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )或f (a ＋x )＝f (a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)上是偶函数.( ) (2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.( )(3)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期.( ) (4)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0对称.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y ＝x 2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误. (2)由奇函数定义可知，若f (x )为奇函数，且在x ＝0处有意义时才满足f (0)＝0，(2)错误.2.下列函数中为偶函数的是( )A.y ＝x 2sin xB.y ＝x 2cos xC.y ＝|ln x | D .y ＝2－x 答案 B解析根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )，且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项的定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数.3.设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎡⎭⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫112＝________. 答案 18解析由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫123＝18.4.(2020·江苏卷改编)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23，则f (－8)的值是( )A.8B.－8C.4D.－4答案 D解析 f (8)＝823＝4，因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－4.5.(2021·日照一中月考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (3－x )＝f (x )，则f (2 022)＝( ) A.－3 B.0 C.1 D.3答案 B解析由于f (x )为奇函数，且f (x )＝f (3－x )， ∴f (3＋x )＝f (－x )＝－f (x )，从而知周期T ＝6， ∴f (2 022)＝f (0)＝0.6.(2020·全国大联考)已知f (x )＝e x ＋e ax 是偶函数，则f (x )的最小值为________. 答案 2解析 ∵f (x )＝e x ＋e ax 是偶函数，∴f (1)＝f (－1)，得e ＋e a ＝e －1＋e －a ，则a ＝－1. 所以f (x )＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2. 当且仅当x ＝0时取等号，故函数f (x )的最小值为2.考点一函数的奇偶性及其应用角度1 函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0；(3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1).解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2(－x＋（－x）2＋1)＝log2(x2＋1－x)＝log2(x2＋1＋x)－1＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.感悟升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.角度2函数奇偶性的应用【例2】(1)(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax，若f(ln 2)＝8，则a＝________.(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________.答案 (1)－3 (2)(－2，0)∪(2，5]解析 (1)由题意得，当x >0，－x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－e －ax)＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln 2＝eln 2－a ＝2－a ＝8＝23，即2－a ＝23，所以a ＝－3.(2)由图象知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0. 综上，f (x )<0的解集为(－2，0)∪(2，5].感悟升华 1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【训练1】 (1)(2021·百校联盟质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x sin x B.y ＝x ln xC.y ＝e x －1e x ＋1D.y ＝x ln(x 2＋1－x )(2)已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－3)＝________. 答案 (1)B (2)－7解析 (1)A 中，y ＝x sin x 为偶函数，D 中，y ＝x ln(x 2＋1－x )是偶函数. B 中，函数y ＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数. C 中，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－f (x )，则y ＝e x －1e x ＋1为奇函数.(2)因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，故f (x )＝2x －1(x ≥0)，则f (－3)＝－f (3)＝－(23－1)＝－7.考点二函数的周期性及其应用1.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 答案 1解析由题意得，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 2.(2021·成都质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0，2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫132＝( ) A.－94B.－14C.14D.94答案 A解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，知y ＝f (x )的周期T ＝4，又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫132＝f ⎝⎛⎭⎫8－32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫32＝－94. 3.已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A.－50 B.0 C.2 D.50答案 C解析法一 ∵f (x )在R 上是奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x ). ∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x ).因此f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为4的函数，由于f (1－x )＝f (1＋x )，f (1)＝2，故令x ＝1，得f (0)＝f (2)＝0，令x ＝2，得f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，令x ＝3，得f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2. 法二由题意可设f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.4.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________. 答案 7解析因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个.感悟升华 1.求解与函数的周期有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 考点三函数性质的综合运用角度1 函数的单调性与奇偶性【例3】(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c ＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a(2)(2020·新高考山东、海南卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3]答案(1)C(2)D解析(1)易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.(2)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.感悟升华 1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f (x 1)>f (x 2)的形式，再结合单调性，脱去“f ”变成常规不等式，转化为x 1<x 2(或x 1>x 2)求解. 角度2 函数的奇偶性与周期性【例4】 (1)(2021·贵阳调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当－1≤x <0时，f (x )＝2x －1，则f (log 220)＝( ) A.14 B.15 C.－15D.－14(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A.(－1，4) B.(－2，0) C.(－1，0) D.(－1，2)答案 (1)B (2)A解析 (1)依题意，知f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，则f (4＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且周期为4.又2<log 25<3，则－1<2－log 25<0，所以f (log 220)＝f (2＋log 25)＝f (log 25－2)＝－f (2－log 25)＝－(22－log 25－1)＝－⎝⎛⎭⎫45－1＝15. (2)因为f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数. ∴f (5)＝f (－1)＝f (1)<1. 从而2a －3a ＋1<1，解得－1<a <4.感悟升华周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 角度3 函数的奇偶性与对称性相结合【例5】已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－5)＝2，则f (2 021)＝________. 答案 2解析由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数.由f (x ＋4)＝－f (x )，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是周期T ＝8的偶函数，所以 f (2 021)＝f (5＋252×8)＝f (5)＝f (－5)＝2.感悟升华函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 【训练2】 (1)(2020·银川调研)已知函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1|x |＋1＋1x 2＋3，则不等式f (lg x )>3的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫110，10 B.⎝⎛⎭⎫－∞，110∪(10，＋∞) C.(1，10)D.⎝⎛⎭⎫110，1∪(1，10) (2)已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，当x ∈[0，3]时，f (x )＝－x ，则f (－16)＝________. 答案 (1)D (2)2解析 (1)∵f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，且f (－x )＝f (x )，则y ＝f (x )是偶函数，易知f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，f (1)＝log 22＋4＝3，所以不等式f (lg x )>3可化为0<|lg x |<1，即－1<lg x <1，且lg x ≠0，解得110<x <10，且x ≠1，所以所求不等式的解集为⎝⎛⎭⎫110，1∪(1，10). (2)根据题意，函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，则有f (x )＝f (6－x )，又由函数为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，则f (x )＝－f (－x )＝－f (6＋x )，则f (x )的最小正周期是12，故f (－16)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (2)＝－(－2)＝2.活用函数性质中三类“二级结论”通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质.一、抽象函数的周期性问题(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝±1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .【例1】已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 023)＋f (2 024)＝( ) A.3 B.2 C.1 D.0答案 C解析因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (－2 023)＝－f (2 023)，因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即当x ≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次，又当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1，∴f (2 023)＝f (337×6＋1)＝f (1)＝2， f (2 024)＝f (337×6＋2)＝f (2)＝3.故f (－2 023)＋f (2 024)＝－f (2 023)＋3＝1. 二、函数的对称性问题(1)若函数y ＝f (x )为奇函数(或偶函数)，则函数y ＝f (x ＋a )的图象关于点(－a ，0)对称(或关于直线x ＝－a 对称).(2)若函数y ＝f (x ＋a )为奇函数(或偶函数)，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称(或关于直线x ＝a 对称).(3)函数y ＝f (x )的图象关于点A (a ，b )对称的充要条件是f (x )＋f (2a －x )＝2b .【例2】 (1)(2020·鹰潭二模)已知偶函数f (x )的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 2＋1，则f (2 021)＝( ) A.2 B.0 C.－1D.1(2)(2021·长沙质检)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在区间[1，2]上单调递减，令a ＝ln 2，b ＝⎝⎛⎭⎫14－12，c ＝log 122，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是( ) A.f (b )<f (c )<f (a ) B.f (a )<f (c )<f (b ) C.f (c )<f (b )<f (a ) D.f (c )<f (a )<f (b )答案 (1)B (2)C解析 (1)因为偶函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称，所以f (－x )＝f (x )，f (2＋x )＋f (－x )＝0，所以f (x ＋2)＝－f (－x )＝－f (x )，则f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是以4为周期的函数，所以f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝f (－1). 又当－1≤x ≤0时，f (x )＝1－x 2，故f (2 021)＝f (－1)＝1－(－1)2＝0.(2)依题意，定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x ＋2)＝f (－x )，即函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且f (0)＝0.又f (x )在区间[1，2]上单调递减，则f (x )在区间[0，1]上单调递增，则f (1)>0. 由0<a ＝ln 2<1，得f (a )>f (0)＝0，b ＝⎝⎛⎭⎫14－12＝4＝2，则f (b )＝f (2)＝f (0)＝0， c ＝log 122＝－1，则f (c )＝f (－1)＝－f (1)<0，所以f (c )<f (b )<f (a ). 三、奇函数的最值问题已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例3】设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.答案 2解析显然函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.A 级基础巩固一、选择题1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( ) A.y ＝|log 3x | B.y ＝x 3 C.y ＝e |x | D.y ＝cos |x |答案 C解析对于A ，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B 中，y ＝x 3是奇函数. 对于C ，函数的定义域是R ，是偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，对于D ，y ＝cos |x |在(0，1)上单调递减.2.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (2 021)＝( ) A.2 0212 B.1 C.0 D.－1答案 B解析根据题意，函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即函数是周期为4的周期函数，则f (2 021)＝f (1＋2 020)＝f (1)＝12＝1.3.(2021·衡水中学检测)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (32a －1)≥f (－3)，则a 的最大值是( ) A.1 B.12 C.14D.34答案 D解析 ∵f (x )在R 上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (32a －1)≥f (－3)＝f (3)，得32a －1≤3，解之得a ≤34，故实数a 的最大值为34.4.若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( ) A.f (2)>f (3) B.f (2)>f (5) C.f (3)>f (5) D.f (3)>f (6)答案 D解析 ∵y ＝f (x ＋4)为偶函数， ∴f (－x ＋4)＝f (x ＋4)，因此y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称， ∴f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5).又y ＝f (x )在(4，＋∞)上为减函数， ∴f (5)>f (6)，所以f (3)>f (6).5.(2021·昆明诊断)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋x x 2＋1－1，若f (a )＝－13，则f (－a )＝( ) A.13 B.23 C.－13D.－53答案 D解析 f (x )＝－sin 2x ＋xx 2＋1－1，设g (x )＝f (x )＋1＝－sin 2x ＋xx 2＋1，易知g (x )为奇函数，∴g (a )＝f (a )＋1＝23，则g (－a )＝－g (a )＝－23，因此f (－a )＋1＝－23，故f (－a )＝－53.6.若定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32内是( ) A.减函数且f (x )>0 B.减函数且f (x )<0 C.增函数且f (x )>0 D.增函数且f (x )<0答案 D解析当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，由f (x )＝log 12(1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0. 又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎡⎭⎫－12，0上函数也单调递增，且f (x )<0. 由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32，所以在区间⎝⎛⎭⎫1，32上，函数单调递增且f (x )<0. 二、填空题7.已知奇函数f (x )在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________. 答案 9解析由于f (x )在[3，6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.8.定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝________. 答案 2.5解析由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f [(x ＋1)－1]＝f (x )，所以f (x )是周期为2的周期函数.又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)，即－1＋a ＝1.5，解得a ＝2.5.9.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的.如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤1e ，e解析由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ，由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1). 又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e ≤t ≤e.三、解答题10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ). 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].11.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x ).当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式. (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x ). ∴f (x )是周期为4的周期函数.(2)解 ∵x ∈[2，4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0，2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即当x ∈[2，4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.B 级能力提升12.(2021·日照模拟)设函数f (x )＝12(e x －e －x )＋3x 3(－2<x <2)，则使得f (2x )＋f (x －1)>0成立的x的取值范围是( ) A.(－2，1) B.(－1，2) C.⎝⎛⎭⎫13，1 D.⎝⎛⎭⎫13，2答案 C解析根据题意，有f (－x )＝12(e －x －e x )－3x 3＝－⎣⎡⎦⎤12（e x －e －x ）＋3x 3＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，又f ′(x )＝12(e x ＋e －x )＋9x 2>0，所以f (x )在(－2，2)上为增函数，则f (2x )＋f (x －1)>0⇔f (2x )>f (1－x )，因此⎩⎪⎨⎪⎧－2<2x <2，－2<x －1<2，2x >1－x ，解得13<x <1，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.13.若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f （x ）对任意x ∈R 恒成立，则f (2 021)＝________. 答案 1解析因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f （x ），所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f （x ＋2）＝11f （x ）＝f (x )，则函数f (x )的周期是4，所以f (2 021)＝f (505×4＋1)＝f (1). 因为函数f (x )为偶函数，所以f (2 021)＝f (－1)＝f (1).当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f （－1），得f (1)＝1f （1）.由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2 021)＝f (1)＝1.14.设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积. 解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x ).故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示.当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4× ⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.。

高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专项检测(带解析)

高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专项检测（带解析）验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。

以下是函数的奇偶性与周期性专题检测，请大伙儿认真进行检测。

一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.则b=-1，f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.答案D2.已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为().A.-1B.0C.1D.2(构造法)构造函数f(x)=sin x，则有f(x+2)=sin=-sin x=-f(x)，因此f(x)= sin x是一个满足条件的函数，因此f(6)=sin 3=0，故选B.答案B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是().A.ffB.f(sin 1)f(sin 2)解析当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，明显当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =，又f=ff，因此ff.答案A4.已知函数f(x)=则该函数是().A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析当x0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+)上为增函数，f(x) =2x-1在(-，0)上为增函数，又x0时1-2-x0，x0时2x-10，故f(x)为R上的增函数.答案 C.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f (x)=4x-1，则f(-5.5)的值为()A.2B.-1C.-D.1解析f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案.设函数D(x)=则下列结论错误的是().A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析明显D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.若x是无理数，-x，x+1是无理数;若x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案C二、填空题.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=________.解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-| -1+a|，a=0.答案0.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=_______ _.解析因为y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，因此当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，因此g(-1)=f(-1)+2=-1.答案-1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数，因此y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y0的x 的取值集合为(-2,0)(2,5).答案(-2,0)(2,5)10. 设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)=f的所有x 之和为________.解析f(x)是偶函数，f(2x)=f，f(|2x|)=f，又f(x)在(0，+)上为单调函数，|2x|=，即2x=或2x=-，整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8三、解答题.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判定函数f(x)的奇偶性.解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，因此令x =y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，因此f(x)是(-，+)上的奇函数..已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f (1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)=0，因此f(x)为奇函数.(2)解任取x10，因此f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)0，因此f(x)为减函数.而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6，f(-3)=-f(3)=6.因此f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.已知函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0, 1]时，f(x)=2x-1，(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;(3)运算f(0)+f(1)+f(2)++f(2021)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，因此f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，因此f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，又f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.f(0)+f(1)+f(2)++f(2021)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1..已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的个数.(1)证明f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当01时，f(x)=x，设-10，则01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即f(x)=x.语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。

山东高考数学一轮总复习学案设计-第二章第四讲函数的奇偶性与周期性含答案解析

第四讲函数的奇偶性与周期性知识梳理·双基自测知识梳理知识点一函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数图象特征关于y 轴对称关于原点对称 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．重要结论1．奇(偶)函数定义的等价形式(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1(f (x )≠0)⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1(f (x )≠0)⇔f (x )为奇函数．2．对f (x )的定义域内任一自变量的值x ，最小正周期为T (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则T ＝|a －b |. 3．函数图象的对称关系(1)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称；(2)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图象关于点(a ＋b2，0)对称．4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f (x )＝a x －a －x 为奇函数； (2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＋a 2x －1a 2x ＋1为奇函数； (3)函数f (x )＝log ab －xb ＋x为奇函数； (4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列结论正确的为( BCD ) A ．若函数f (x )是奇函数，则必有f (0)＝0B ．若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称C ．若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称D ．2π是函数f (x )＝sin x ，x ∈(－∞，0)的一个周期题组二走进教材2．(必修1P 35例5改编)函数f (x )＝x 2－1，f (x )＝x 3，f (x )＝x 2＋cos x ，f (x )＝1x ＋|x |中，偶函数的个数是2.3．(必修1P 45T6改编)若奇函数f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则它在[－b ，－a ]上是减函数；若偶函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则它在[－b ，－a ]上是减函数．4．(必修4P 46T10改编)已知函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 3(x 2＋3)，则f (2019)＝1.题组三考题再现5．(2019·全国卷Ⅱ，5分)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝( D )A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1[解析] 解法一：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．解法二：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．6．(2018·全国卷Ⅱ，5分)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( C )A ．－50B ．0C ．2D ．50[解析] 解法一：∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0.∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )＝f (2－x )，f (－x )＝f (2＋x )，∴f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，∴f (4)＝f (0)＝0，f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝－f (1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C ．解法二：由题意可设f (x )＝2sin(π2x )，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2，故选C ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一函数的奇偶性考向1 判断函数的奇偶性——自主练透例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝(1＋x )1－x1＋x； (2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0；(5)f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2；(6)已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，且f (0)≠0.[分析] 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f (－x )，再判断f (－x )与f (x )之间的关系．抽象函数常用赋值法判断．[解析] (1)由题意得1－x 1＋x ≥0且x ≠－1，∴－1<x ≤1，∴f (x )的定义域不关于原点对称， ∴f (x )不存在奇偶性，为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0得x ＝±1，定义域关于坐标原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．(3)函数的定义域x ∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )， ∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数． (5)去掉绝对值符号，根据定义判断．由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠0.故f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x ＋2>0.从而有f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，这时有f (－x )＝1－(－x )2－x＝－1－x 2x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数． (6)已知对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，不妨取x ＝0，y ＝0，则有2f (0)＝2[f (0)]2，因为f (0)≠0，所以f (0)＝1.取x ＝0，得f (y )＋f (－y )＝2f (0)f (y )＝2f (y )，所以f (y )＝f (－y )．又y ∈R ，所以函数f (x )是偶函数．名师点拨 ☞判断函数的奇偶性的方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f (－x )是否等于f (x )或－f (x )，据此得出结论．(2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y 轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)考向2 函数的性质的综合应用——多维探究角度1 利用奇偶性求参数的值或取值范围例2 (1)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( B )A ．－13B ．13C ．12D ．－12(2)已知f (x )＝a 2－32x ＋1是R 上的奇函数，则f (a )的值为( A )A ．76B ．13C ．25D ．23[解析] (1)依题意b ＝0，且2a ＋(a －1)＝0， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13.(2)因为f (x )＝a 2－32x ＋1是R 上的奇函数，所以f (0)＝a 2－32＝0，得a ＝3，所以f (x )＝32－32x ＋1.所以f (a )＝f (3)＝32－39＝76.故选A ．角度2 函数奇偶性与单调性结合例3 (1)若f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且x ∈[0,1)时f (x )为减函数，则不等式f (x )＋f (x －12)<0的解集为( C )A ．(14，＋∞)B ．(－1，14)C ．(14，1)D ．(12，1)(2)(2020·新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( A )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)[解析] (1)由已知得f (x )在(－1,1)上为递减， ∵f (x )＋f (x －12)<0，∴f (x －12)<f (－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －12>－x ，－1<x －12<1－1<－x <1解得14<x <1，故选C ．(2)由y ＝f (x )图象知，x 离y 轴越近，函数值越小，因此，|2x －1|<13，解得13<x <23，故选A ．角度3 函数奇偶性与周期性结合例4 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋3)＝－1f (x )，当1<x ≤3时，f (x )＝cosπx 3，则f (2 020)＝－12. [分析] 先由已知条件求出函数的周期，再结合函数的性质，把f (2 020)转化为f (4)，进而转化为f (2)，把x ＝2代入即可．[解析] 由已知可得f (x ＋6)＝f ((x ＋3)＋3)＝－1f (x ＋3)＝－1－1f (x )＝f (x )，故函数f (x )的周期为6，∴f (2 020)＝f (6×336＋4)＝f (4)． ∵f (x )为偶函数，∴f (1)＝f (－1)，则f (4)＝f (1＋3)＝－1f (1)＝－1f (－1)＝f (2)＝cos 2π3＝－12，∴f (2 020)＝－12.角度4 单调性、奇偶性和周期性结合例5 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )且在区间[0,2]上是增函数，则( D )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)[分析]由f (x )在定义域R 上满足f (x －4)＝－f (x )→得f (x －8)＝f (x )，可知f (x )是以8为周期的周期函数→结合f (x )的奇偶性和单调性，即可得出选项[解析] 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．名师点拨 ☞函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略1．函数单调性与奇偶性结合．注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．2．周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3．周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2019·北京，13,5分)设函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝－1.(2)(角度2)(2019·广东省广州市高三测试，9)若f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝0，且在(0，＋∞)上是增函数，则x ·[f (x )－f (－x )]<0的解集为( D )A ．{x |－3<x <0或x >3}B ．{x |x <－3或0<x <3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3}(3)(角度3)(2020·广东六校第一次联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )及f (x )＝－f (－x )，且在[0,1]上有f (x )＝x 2，则f (4 0392)＝( D )A ．94B ．14C ．－94D ．－14(4)(角度4)(2020·湖北、山东部分重点中学第一次联考，8)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，且y ＝f (x ＋3)为偶函数，若f (x )在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是( B )A ．f (－4.5)<f (3.5)<f (12.5)B ．f (3.5)<f (－4.5)<f (12.5)C ．f (12.5)<f (3.5)<f (－4.5)D ．f (3.5)<f (12.5)<f (－4.5)[解析] (1)∵f (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝0，即e －x ＋a e x ＋e x ＋a e －x ＝0， ∴(a ＋1)(e x ＋e －x )＝0，∴a ＝－1.(2)因为函数为奇函数，所以x ·[f (x )－f (－x )]<0等价于2x ·f (x )<0，由题设知f (x )在R 上是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，所以f (3)＝0，且f (x )在(－∞，0)上是增函数，即f (x )在(－∞，－3)上小于零，在(－3，0)上大于零，在(0,3)上小于零，在(3，＋∞)上大于零．又x ·[f (x )－f (－x )]<0，所以x 与f (x )的符号相反，由x >0可得x ∈(0,3)；由x <0可得x ∈(－3,0)，所以x ·[f (x )－f (－x )]<0的解集是{x |－3<x <0或0<x <3}，故选D ．(3)因为函数f (x )的定义域是R ，f (x )＝－f (－x )，所以函数f (x )是奇函数．又f (x )＝f (2－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝－f (2＋x )－f (x )，故函数f (x )是以4为周期的奇函数，所以f (4 0392)＝f (2 020－12)＝f (－12)＝－f (12)．因为在[0,1]上有f (x )＝x 2，所以f (12)＝(12)2＝14，故f (2 019 12)＝－14，故选D ．(4)易知函数f (x )的最小正周期T ＝6，f (x )的图象关于直线x ＝3对称，∴f (3.5)＝f (2.5)，f (－4.5)＝f (1.5)，f (12.5)＝f (0.5)．又f (x )在(0,3)内单调递减，∴f (3,5)<f (－4.5)<f (12.5)，故选B ．考点二函数的周期性——自主练透例6 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 022)＝2－ 3. (2)已知定义在R 上周期为3的奇函数f (x )，则f (1.5)＝0.(3)设f (x )是周期为2的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，当－4≤x ≤－3时，f (x )＝－2(x ＋4)(x ＋3)，当2 019<x <2 020时，f (x )＝2×(2_020－x )(x －2_019).[解析] (1)f (x )＝－1f (x ＋2)＝f (x ＋4)，∴y ＝f (x )的周期T ＝4，f (2 022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝2－ 3.(2)f (1.5)＝－f (－1.5)＝－f (－1.5＋3)＝－f (1.5)， ∴f (1.5)＝0. (3)设－4≤x ≤－2，f (x )＝f (x ＋4)＝2(x ＋4)[1－(x ＋4)]＝－2(x ＋4)(x ＋3)，设2019<x <2 020，f (x )＝f (x －2 020)＝f (2 020－x )＝2×(2 020－x )(x －2 019)．名师点拨 ☞利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升函数三大性质的综合应用例7 已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，给出下列命题：①直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ②函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ③函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为①③.[解析] ①对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，令x ＝－3，则f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (3)＝0.所以f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )的周期为6，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (x ＋6)＝f (－x )，而f (x )的周期为6，所以f (x ＋6)＝f (－6＋x )，f (－x )＝f (－x －6)，所以f (－6－x )＝f (－6＋x )，所以直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，故①正确．②当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数，因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数，故②错误，③f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点，故③正确．名师点拨 ☞函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．〔变式训练2〕定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋32)＋f (x )＝0，且函数y ＝f (x －34)为奇函数，给出下列命题：①函数f (x )的最小正周期是32；②函数y ＝f (x )的图象关于点(－34，0)对称；③函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．其中真命题的个数是( C )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 由f (x ＋32)＋f (x )＝0知f (x )为周期函数，且周期为3，故①不正确；由函数y ＝f (x －34)为奇函数，知f (x )关于(－34，0)对称，故②正确；由f (x )关于(－34，0)对称，可知f (x )＋f (－32－x )＝0，又f (x ＋32)＋f (x )＝0，∴f (－32－x )＝f (x＋32)，∴f(－x)＝f(x)，[或∵f(x－34)是奇函数，∴f(x－34)＝－f(－x－34)，又f(x＋32)＋f(x)＝0，即f(x＋32)＝－f(x)]∴f(x－34)＝f[(－x－34)＋32]＝f(－x＋34)＝f[－(x－34)]即f(x)＝f(－x)．∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故③正确．。