高中人教A版数学选修2-1课件第三章 空间向量与立体几何PPTppt版本
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高中数学(人教版选修2-1)配套课件：第3章 空间向量与立体几
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高中数学课件
第三章 § 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示
学习 目标
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.
2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些 相关问题.
a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b cos〈a，b〉＝ ＝ 2 2 2 2 2 2. |a||b| a1＋a2＋a3 b1＋b2＋b3
知识点三 空间两点间的距离
→ 已知点 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 A，B 两点间的距离 dAB＝|AB| ＝ a2－a12＋b2－b12＋c2－c12.
解析答
— → → → → (2)M 为 BC1 的中点，试用基向量AA1，AB，AC表示向量AM.
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔ a⊥b⇔a·b＝0⇔ (λ∈R)； a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 ； a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
2 2 |a|＝ a· a＝ a2 ＋ a ＋ a 1 2 3；
栏目 索引
知识梳理
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题型探究
重点突破
当堂检测
自查自纠
知识梳理 自主学习
知识点一
空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， a＋b＝ a－ b＝ λa＝
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
， ， .
(a1－b1，a2－b2，a3－b 3) ，a·b＝ (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3
高中数学课件
第三章 § 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示
学习 目标
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.
2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些 相关问题.
a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b cos〈a，b〉＝ ＝ 2 2 2 2 2 2. |a||b| a1＋a2＋a3 b1＋b2＋b3
知识点三 空间两点间的距离
→ 已知点 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 A，B 两点间的距离 dAB＝|AB| ＝ a2－a12＋b2－b12＋c2－c12.
解析答
— → → → → (2)M 为 BC1 的中点，试用基向量AA1，AB，AC表示向量AM.
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔ a⊥b⇔a·b＝0⇔ (λ∈R)； a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 ； a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
2 2 |a|＝ a· a＝ a2 ＋ a ＋ a 1 2 3；
栏目 索引
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题型探究
重点突破
当堂检测
自查自纠
知识梳理 自主学习
知识点一
空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， a＋b＝ a－ b＝ λa＝
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
， ， .
(a1－b1，a2－b2，a3－b 3) ，a·b＝ (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3
高二数学人教A选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.2
答案
梳理 (1)实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量， 称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝____. |λ||a| ②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 相反 当λ＝0时，λa＝0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝______； ②λ(a＋b)( ＝ ________ ； λμ )a ③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展). λa＋λb λ1a＋λ2a
― → ― → ― → ― → ＝k(OD－ OA )＋km( OB － OA ) ― →＋km― →＝k(― →＋m― →)＝kAC ― →， ＝kAD AB AD AB
答案 返回
题型探究
类型一 空间向量的数乘运算
→ 例 1 设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心.求证：AG＝ 1→ → → (AB＋AC＋AD). 3
反思与感
解析答案
跟踪训练 1 已知在空间四边形 OABC 中，M，N 分别是对边 OA，BC 的 → → → 中点，点 G 在 MN 上，且 MG＝2GN，如图所示，记OA＝a，OB＝b，OC → ＝c，试用向量 a，b，c 表示向量OG.
当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的数乘运算 思考 实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运 算满足哪些运算律？ 答案 λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的
长度是a的长度的|λ|倍.
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb， ②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
反思与感
解析答案
高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何07空间向量的综合应用(共52张PPT)
No.1 middle school ，my love ！
高中数学人教A版 选修2－1 第三章
四川省成都市新都一中 肖宏
No.1 middle school ，my love ！
第7课时 空间向量的综合应用
• 前面我们学习了空间向量在立体几何中的应 用，分析了空间向量的平行与垂直关系，解 决了求空间角、空间距离等问题，这说明空 间向量与立体几何之间有着不可分割的联系， 我们需要熟悉并掌握空间向量.这一讲我们 就来进一步探讨空间向量在立体几何中的综 合应用问题.
第7课时 空间向量的综合应用
• 想一想:设α，β，γ是三个平面，a，b是两条 不同直线，有下列三个条件:①a∥γ，b⊂β; ②a∥γ，b∥β;③b∥β，a⊂γ.若命题“α∩β＝a， b⊂γ，且 ，则a∥b”为真命题，则可 以在横线处填入的条件是 .(把所有 正确的序号填上) • 【解析】由线面平行的性质定理可知，①正 确;当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且 没有公共点，所以平行，③正确.故应填入 的条件为①或③.
No.1 middle school ，my love ！
第7课时 空间向量的综合应用
• 预学2:空间中平行与垂直关系的判断 • 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、 β的法向量分别为m、n，则 • (1)平行关系的判断方法 • ①线线平行:通过证明a∥b 来判定l1∥l2; • ②线面平行:通过证明a⊥m来判定l1∥α; • ③面面平行:通过证明m∥n来判定α∥β;
No.1 middle school ，my love ！
第7课时 空间向量的综合应用
• 议一议:设x、y、z是空间不同的直线或平面， 对下列四种情形:①x、y、z均为直线;②x、y 是直线，z是平面;③z是直线，x、y是平面; ④x、y、z均为平面. • 其中使“若x⊥z且y⊥z，则x∥y”为真命题的 有哪些? • 【解析】由正方体模型可知①④为假命题; 由线面垂直的性质定理可知②③为真命题.
高中数学人教A版 选修2－1 第三章
四川省成都市新都一中 肖宏
No.1 middle school ，my love ！
第7课时 空间向量的综合应用
• 前面我们学习了空间向量在立体几何中的应 用，分析了空间向量的平行与垂直关系，解 决了求空间角、空间距离等问题，这说明空 间向量与立体几何之间有着不可分割的联系， 我们需要熟悉并掌握空间向量.这一讲我们 就来进一步探讨空间向量在立体几何中的综 合应用问题.
第7课时 空间向量的综合应用
• 想一想:设α，β，γ是三个平面，a，b是两条 不同直线，有下列三个条件:①a∥γ，b⊂β; ②a∥γ，b∥β;③b∥β，a⊂γ.若命题“α∩β＝a， b⊂γ，且 ，则a∥b”为真命题，则可 以在横线处填入的条件是 .(把所有 正确的序号填上) • 【解析】由线面平行的性质定理可知，①正 确;当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且 没有公共点，所以平行，③正确.故应填入 的条件为①或③.
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第7课时 空间向量的综合应用
• 预学2:空间中平行与垂直关系的判断 • 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、 β的法向量分别为m、n，则 • (1)平行关系的判断方法 • ①线线平行:通过证明a∥b 来判定l1∥l2; • ②线面平行:通过证明a⊥m来判定l1∥α; • ③面面平行:通过证明m∥n来判定α∥β;
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第7课时 空间向量的综合应用
• 议一议:设x、y、z是空间不同的直线或平面， 对下列四种情形:①x、y、z均为直线;②x、y 是直线，z是平面;③z是直线，x、y是平面; ④x、y、z均为平面. • 其中使“若x⊥z且y⊥z，则x∥y”为真命题的 有哪些? • 【解析】由正方体模型可知①④为假命题; 由线面垂直的性质定理可知②③为真命题.
2020秋新版高中数学人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何 3.1.4 .pptx
基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},
其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个
-14-
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
题型一
题型二
题型三
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
解析:∵x=a+b,y=b+c,z=c+a, ∴x,a,b共面,故①不能作为基底. x,y,z不共面可以作为一个基底,故②可作为基底.
-9-3.1.4 空间向量的交分解 及其坐标表示目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.空间向量的坐标表示 剖析:(1)单位正交基底.如果空间的一个基底的三个基向量互相 垂直,且长都为1个单位,那么这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k} 或{e1,e2,e3}表示. (2)空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底 {i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向画三条数轴:x轴、 y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系Oxyz, 点O叫原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.
-10-
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
(3)空间向量的坐标.给定一个空间直角坐标系和向量 a,且设 i,j,k 为坐标向量,则存在有序实数组{x,y,z},使 a=xi+yj+zk,把 x,y,z 叫 做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标,记为 a=(x,y,z).
题型一
题型二
题型三
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知识梳理
其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个
-14-
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
题型一
题型二
题型三
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典例透析
解析:∵x=a+b,y=b+c,z=c+a, ∴x,a,b共面,故①不能作为基底. x,y,z不共面可以作为一个基底,故②可作为基底.
-9-3.1.4 空间向量的交分解 及其坐标表示目标导航
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2.空间向量的坐标表示 剖析:(1)单位正交基底.如果空间的一个基底的三个基向量互相 垂直,且长都为1个单位,那么这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k} 或{e1,e2,e3}表示. (2)空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底 {i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向画三条数轴:x轴、 y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系Oxyz, 点O叫原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.
-10-
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
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(3)空间向量的坐标.给定一个空间直角坐标系和向量 a,且设 i,j,k 为坐标向量,则存在有序实数组{x,y,z},使 a=xi+yj+zk,把 x,y,z 叫 做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标,记为 a=(x,y,z).
题型一
题型二
题型三
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高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2空间向量与垂直关系课件人教A版选修2_1.ppt
利用空间向量证明线面垂直的方法有两种：一是利用判定定 理，即通过证明向量数量积为 0 来验证直线的方向向量与平面内 两条相交直线的方向向量垂直；二是求平面的法向量，验证直线 的方向向量与平面的法向量平行.
类型一 利用空间向量证明线线垂直 【例 1】 如图，PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形， PA＝AB＝1，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动．求证： 无论点 E 在边 BC 上的何处，都有 PE⊥AF.
【分析】 只需证明直线 PE 与 AF 的方向向量互相垂直即 可．
方法二：因为点 E 在边 BC 上，可设B→E＝λB→C， 于是P→E·A→F＝(P→A＋A→B＋B→E)·12(A→P＋A→B) ＝12(P→A＋A→B＋λB→C)·(A→B＋A→P) ＝12(P→A·A→B＋P→A·A→P＋A→B·A→B＋A→B·A→P＋λB→C·A→B＋λB→C·A→P)＝12 (0－1＋1＋0＋0＋0)＝0， 因此P→E⊥A→F. 故无论点 E 在边 BC 上的何处，都有 PE⊥AF.
将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，可以选择基向量法 也可用坐标法，熟练掌握证明线线垂直的向量方法是关键.
已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 1，若侧棱 C1C 的 中点为 D，求证：AB1⊥A1D.
证明：设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1，以 O 为坐标原点， OB，OC，OO1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系，则
法二：同法一得A→B1＝(0,2,2)，A→C＝(－2,2,0)， E→F＝(－1，－1,1)． 设平面 B1AC 的法向量 n＝(x，y，z)， 则A→B1·n＝0，A→C·n＝0，
即2－y＋2x2＋z＝2y0＝，0， 取 x＝1，则 y＝1，z＝－1， ∴n＝(1,1，－1)，∵E→F＝－n， ∴E→F∥n，∴EF⊥平面 B1AC.
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3
解析答
― → ― → ― → (2)| OA ＋ OB ＋ OC |.
解 ＝ ＝
― → ― → ― → | OA ＋ OB ＋ OC | →＋― →＋― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA ＋ OB ＋ OC ＋2 OA · OB ＋ OB · OC ＋ OA · OC
＝ 12＋12＋12＋21×1×cos 60° ×3＝ 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，设 AB ＝a，AD ＝b， AA′ ― ― → ― ― ― → ＝c，则〈A′B， B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45° ，∠OAB＝60° ， ― → ― → 类比平面向量有关运算，如何求向量 OA 与 BC 的数量 积？并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(人教版)选修2-1数学：3-1《空间向量及其运算(1)》ppt课件
3.1.1 空间向量及其加减运算
问题导学 当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
解析:模相等的两个向量不一定相等,①错;|m|=|n|,|n|=|p|,所以 |m|=|p|,又 m 与 n 同向,n 与 p 同向,从而 m 与 p 同向,所以 m=p,②对;零 向量方向任意,但并不是没有方向,③错;④错.
3.1.1 空间向量及其加减运算
问题导学 当堂检测
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例 1 下列说法中正确的是( A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量不相等
).
C.若|a|=|b|,则 a 与 b 的长度相等,方向相同或相反 D.若 a 与 b 是相反向量,则|a|=|b| 思路分析:根据空间向量的相关概念进行分析判断. 答案:D 解析:单位向量的模都等于 1,但方向不一定相同,可以是任意方向, 故 A 错;0 的相反向量还是 0,它们是相等的,故 B 错;当|a|=|b|时,a 与 b 的方向是任意的,不一定相同或相反,故 C 错;当 a 与 b 互为相反向量 时,|b|=|-a|=|a|,故 D 正确.
3.1.1 空间向量及其加减运算
问题导学 当堂检测
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二、空间向量的加法与减法运算
活动与探究 问题 1:空间向量的加减运算方法是什么? 提示:(1)向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则 ,同平面向 量相同,封闭图形、首尾连接的向量的和为 0. (2)化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则 ,遇 到减法时既可转化成加法,也可按减法法则进行运算,加减法之间可以 相互转化.表达式中各向量的系数相等时,根据数乘分配律,可以把相同 的系数提到括号外面.
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.2 空间向量与垂直关系 (共91张PPT)
远不会有机会。
注意你的思想，它会变成你的言语；注意你的言语，它会变成你的行动；注意你的行动，它会变成你的习惯；注意你的习惯，它会变成你的 性格；注意你的性格，它会变成你的命运。 雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 不论你在什么时候结束，重要的是结束之后就不要悔恨。 多行不义，必自毙。——《左传》 失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我就一定能! 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 炫耀是需要观众的，而炫耀恰恰让我们失去观众。 只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活。 人只要不失去方向，就不会失去自己。 让珊瑚远离惊涛骇浪的侵蚀吗？那无异是将它们的美丽葬送。 骄傲是断了引线的风筝稍纵即逝。 在强者的眼中，没有最好，只有更好。 失败并不意味你浪费了时间和生命，失败表明你有理由重新开始。 诚无悔，恕无怨，和无仇，忍无辱。——宋《省心录》 世上所有美好的感情加在一起，也抵不上一桩高尚的行动。 遇到困难时不要抱怨，既然改变不了过去，那么就努力改变未来。 生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 善良的人永远是受苦的，那忧苦的重担似乎是与生俱来的，因此只有忍耐。 在强者的眼中，没有最好，只有更好。
注意你的思想，它会变成你的言语；注意你的言语，它会变成你的行动；注意你的行动，它会变成你的习惯；注意你的习惯，它会变成你的 性格；注意你的性格，它会变成你的命运。 雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 不论你在什么时候结束，重要的是结束之后就不要悔恨。 多行不义，必自毙。——《左传》 失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我就一定能! 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 炫耀是需要观众的，而炫耀恰恰让我们失去观众。 只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活。 人只要不失去方向，就不会失去自己。 让珊瑚远离惊涛骇浪的侵蚀吗？那无异是将它们的美丽葬送。 骄傲是断了引线的风筝稍纵即逝。 在强者的眼中，没有最好，只有更好。 失败并不意味你浪费了时间和生命，失败表明你有理由重新开始。 诚无悔，恕无怨，和无仇，忍无辱。——宋《省心录》 世上所有美好的感情加在一起，也抵不上一桩高尚的行动。 遇到困难时不要抱怨，既然改变不了过去，那么就努力改变未来。 生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 善良的人永远是受苦的，那忧苦的重担似乎是与生俱来的，因此只有忍耐。 在强者的眼中，没有最好，只有更好。
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.2(三)
D
)
15 15 D. 6 或－ 6 0，－1，3· 2，2，4 －2＋12 15 解析 由 ＝ ＝ ， 6 10× 24 1＋9× 4＋4＋16
15 15 知这个二面角的余弦值为 6 或－ 6 ，故选 D.
解析答
1
2 3 4 5
2.在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，已知 AB＝1，D 在棱 BB1 上，且 BD＝1， 则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为( 6 A. 4 10 C. 4 6 B.－ 4 10 D.－ 4 )
如图所示， 二面角 α－l－β 的大小为 θ， A， B∈l， AC⊂α， BD⊂β， → ，BD → 〉＝〈CA → ，DB → 〉. AC⊥l 于 A，BD⊥l 与 B，则 θ＝〈AC
②先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角.
如图所示，已知二面角α－l－β，在α内取一点P，过P作PO⊥β，PA⊥l，垂 足分别为O，A，连接AO，则AO⊥l成立，所以∠PAO就是二面角的平面角.
|cos φ|＝|a||b|
(2)线面角：设 n 为平面 α 的一个法向量，a 为直线 a 的方向向量，直线 a 与平面 α 所成的角为 θ，则
π－〈a，n〉，当〈a，n〉∈[0，π]， 2 2 θ＝ π π 〈a，n〉－2，当〈a，n〉∈2，π].
(3)二面角的求法： ①转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量 的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向).
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高中数学课件
第三章
空间向量与立体几何
§3.2
立体几何中的向量方法（三）
学习目标
1.理解直线与平面所成角的概念.
)
15 15 D. 6 或－ 6 0，－1，3· 2，2，4 －2＋12 15 解析 由 ＝ ＝ ， 6 10× 24 1＋9× 4＋4＋16
15 15 知这个二面角的余弦值为 6 或－ 6 ，故选 D.
解析答
1
2 3 4 5
2.在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，已知 AB＝1，D 在棱 BB1 上，且 BD＝1， 则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为( 6 A. 4 10 C. 4 6 B.－ 4 10 D.－ 4 )
如图所示， 二面角 α－l－β 的大小为 θ， A， B∈l， AC⊂α， BD⊂β， → ，BD → 〉＝〈CA → ，DB → 〉. AC⊥l 于 A，BD⊥l 与 B，则 θ＝〈AC
②先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角.
如图所示，已知二面角α－l－β，在α内取一点P，过P作PO⊥β，PA⊥l，垂 足分别为O，A，连接AO，则AO⊥l成立，所以∠PAO就是二面角的平面角.
|cos φ|＝|a||b|
(2)线面角：设 n 为平面 α 的一个法向量，a 为直线 a 的方向向量，直线 a 与平面 α 所成的角为 θ，则
π－〈a，n〉，当〈a，n〉∈[0，π]， 2 2 θ＝ π π 〈a，n〉－2，当〈a，n〉∈2，π].
(3)二面角的求法： ①转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量 的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向).
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第三章
空间向量与立体几何
§3.2
立体几何中的向量方法（三）
学习目标
1.理解直线与平面所成角的概念.
2019-2020学年人教A版高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.1、3.1.2
• 思维导引：类比平面向量的结论，并根据空间向量的有关概 念及性质逐一判断．
• 答案 C
• 解析 当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量 必相等；但两个向量相等不一定起点相同、终点相同，故① 不正确．向量相等需模相等且方向相同，故②不正确．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量 A→C 与 A→1C1 方向相同，模也 相等，必有A→C＝A→1C1，故③正确．由向量相等可知④正确．空 间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不 一定相等，故⑤不正确．故不正确的命题有3个．
考点三 共线向量定理的应用
• 解决与共线向量有关的问题时，要把握向量共线的充要条件， 即对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a与b共线的充要条件是 存在实数λ，使a＝λb.
【例题3】 如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四 边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断 C→E 与 M→N 是 否共线．
cc
cc
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算
课前 教材预案 课堂 深度拓展 课末 随堂演练 课后 限时作业
课前教材预案
要点一 空间向量的有关概念
• 1．定义 • 在空间，把具有______大_小_和______方_向_的量叫做空间向量，
向量的大小叫做向量的__________. 长度或模
•
思考：(1)向量平行与直线平行相同吗？
• (2)共线向量定理中，为什么要求b≠0?
• 提示 (1)不完全相同，直线平行时，直线上的有向线段表示 的向量一定平行；向量平行时，表示向量的有向线段所在的 直线可能平行，也可能重合．
• (2)若b＝0，a≠0，仍有a∥b，但不存在任何实数λ，使a＝λb 成立．
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.5
＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4).
解析答
1 2.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为( A.4 解析 B.15 C.3 D.7 )
2 3 4 5 C
6
∵b＋c＝(2,2,5)，
∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.
解析答
1 3.已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是( A.(1,1,1) B.(－4,6，－2) ) B
2 3 4 5
6
C.(2，－3,5)
解析 若b＝(－4,6，－2)，
D.(－2，－3,5)
则b＝－2(2，－3,1)＝－2a， 所以a∥b.
解析答
1
2 3 4 5
6
4.已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k 的值是( A.1
解析答
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
解析答
当堂训练 1.已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于( A.(16,0,4) C.(8,16,4) B.(8，－16,4) D.(8,0,4) )
1
2 3 4 5
6
D
解析
4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)
(1)空间向量a，b，其坐标形式为：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
2 2 (2)a· a＝|a|2＝a2 ＋ a ＋ a 1 2 3.
【高中课件】高中数学人教a版选修21第三章空间向量与立体几何章末小结课件ppt.ppt
图4
(1)求 cos〈A→1D，A→M〉； (2)求直线 AD 与平面 ANM 所成角的大小； (3)求平面 ANM 与平面 ABCD 所成角的大小．
【解】 (1)建立空间直角坐标系(如图5)．
图5
∵A→M ＝ (5,2,4)， A→1D＝ (0,8，－ 4)． ∴A→M ·A→1D＝ 0＋ 16－ 16＝ 0， ∴A→M⊥A→1D. ∴ cos〈A→1D，A→M 〉＝ 0.
【解】 如图 1，连结 AN，则M→N＝M→A＋A→N， 由已知 ABCD 是平行四边形， 故A→C＝A→B＋A→D＝a＋b， 又M→A＝－13A→C＝－13(a＋b)．
由已知，N 分A→1D成的比为 2， 故A→N＝A→D＋D→N＝A→D－N→D＝ A→D－13A→1 D＝13(c＋ 2b)． 于是M→N＝M→A＋A→N＝ －13(a＋b)＋13(c＋2b)＝13 (－a＋b＋c)．
中小学精编教育课件
第三章 空间向量与立体几何
本章小结
知识网络建构
热点专题剖析
一、空间向量的线性运算
选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它 们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问 题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图 形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所 需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量 作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目 标要求．
三、空间向量与空间角
1．纵观近几年高考发现，对于空间角的考查， 每年都有．不论在选择，还是填空中均有考查， 而解答题中更是考查重点，因此空间角必是高考 的一个生长点．
2.对于空间角中线线角、线面角及二面角，一 是利用传统解法，如平移法，利用定义求解等， 但向量法求解更能体现解题的优越性．
【例3】 如图4所示，在长方体ABCD－ A上1B一1C点1D且1中B1，M＝AB2＝，5点，NA在D线＝段8，AA1DA上1＝，4，A1MD⊥为ABN1C. 1
(1)求 cos〈A→1D，A→M〉； (2)求直线 AD 与平面 ANM 所成角的大小； (3)求平面 ANM 与平面 ABCD 所成角的大小．
【解】 (1)建立空间直角坐标系(如图5)．
图5
∵A→M ＝ (5,2,4)， A→1D＝ (0,8，－ 4)． ∴A→M ·A→1D＝ 0＋ 16－ 16＝ 0， ∴A→M⊥A→1D. ∴ cos〈A→1D，A→M 〉＝ 0.
【解】 如图 1，连结 AN，则M→N＝M→A＋A→N， 由已知 ABCD 是平行四边形， 故A→C＝A→B＋A→D＝a＋b， 又M→A＝－13A→C＝－13(a＋b)．
由已知，N 分A→1D成的比为 2， 故A→N＝A→D＋D→N＝A→D－N→D＝ A→D－13A→1 D＝13(c＋ 2b)． 于是M→N＝M→A＋A→N＝ －13(a＋b)＋13(c＋2b)＝13 (－a＋b＋c)．
中小学精编教育课件
第三章 空间向量与立体几何
本章小结
知识网络建构
热点专题剖析
一、空间向量的线性运算
选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它 们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问 题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图 形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所 需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量 作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目 标要求．
三、空间向量与空间角
1．纵观近几年高考发现，对于空间角的考查， 每年都有．不论在选择，还是填空中均有考查， 而解答题中更是考查重点，因此空间角必是高考 的一个生长点．
2.对于空间角中线线角、线面角及二面角，一 是利用传统解法，如平移法，利用定义求解等， 但向量法求解更能体现解题的优越性．
【例3】 如图4所示，在长方体ABCD－ A上1B一1C点1D且1中B1，M＝AB2＝，5点，NA在D线＝段8，AA1DA上1＝，4，A1MD⊥为ABN1C. 1
2020秋新版高中数学人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何 本章整合3 .pptx
∴ 平面DEG 与平面 AEFD 所成钝二面角的正弦值为 36.
-14-
Байду номын сангаас
本章整合
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
方法二:(1)∵EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,BE⊂平面AEB, ∴EF⊥AE,EF⊥BE.
又AE⊥EB,
∴EB,EF,EA两两垂直.
以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知,得A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),
-17-
本章整合
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
应用2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱BB1和DD1的中点.
(1)求证:平面B1FC1∥平面ADE; (2)试在棱DC上求一点M,使D1M⊥平面ADE; (3)求二面角A1-DE-A的余弦值.
-18-
本章整合
专题一 专题二 专题三
-7-
本章整合
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 专题二 专题三
(1)证明:连接 BD,设 AC 交 BD 于点 O,由题意知 SO⊥平面 ABCD.
以 O 为坐标原点, ������������, ������������, ������������分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立 空间直角坐标系 Oxyz,如图.
由 BE∥平面 PAC,SD⊥平面 PAC,得������������ ·������������ = 0,
故
t=
1 3
,
即当SE∶EC=2∶1
时,BE∥平面
PAC.
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专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
方法二:(1)∵EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,BE⊂平面AEB, ∴EF⊥AE,EF⊥BE.
又AE⊥EB,
∴EB,EF,EA两两垂直.
以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知,得A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),
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专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
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应用2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱BB1和DD1的中点.
(1)求证:平面B1FC1∥平面ADE; (2)试在棱DC上求一点M,使D1M⊥平面ADE; (3)求二面角A1-DE-A的余弦值.
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专题一 专题二 专题三
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知识建构
综合应用
真题放送
专题一 专题二 专题三
(1)证明:连接 BD,设 AC 交 BD 于点 O,由题意知 SO⊥平面 ABCD.
以 O 为坐标原点, ������������, ������������, ������������分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立 空间直角坐标系 Oxyz,如图.
由 BE∥平面 PAC,SD⊥平面 PAC,得������������ ·������������ = 0,
故
t=
1 3
,
即当SE∶EC=2∶1
时,BE∥平面
PAC.
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.2 空间向量与空间距离 (共76张PPT)
读过一本好书，像交了一个益友。 勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 每一件事都要用多方面的角度来看它。 每个人心里都有一段伤痕，时间才是最好的疗剂。 世间最容易的事是坚持，最难的事也是坚持。要记住，坚持到底就是胜利。 失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。 应当在朋友正是困难的时候给予帮助，不可在事情无望之后再说闲话。伊索 鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书。 让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的。 别着急要结果，先问自己够不够格，付出要配得上结果，工夫到位了，结果自然就出来了。 天气影响身体，身体决定思想，思想左右心情。 汗水是成功的润滑剂。 孤单寂寞与被遗弃感是最可怕的贫穷。 目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。 就算你的朋友再多，人脉再广，其实真正对你好的人，你一辈子也遇不到几个。 缺乏明确的目标，一生将庸庸碌碌中做出不平凡的坚持。 站在巨人的肩上是为了超过巨人。 每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。
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若 a ( x 1 , y 1 , z 1 ) b ( x 2 , y 2 , z 2 ) 那 么
a b ( x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,z 1 z 2 )
a (x 1 ,y 1 ,z 1 )
a b x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
x
x1 x2 2
y1 y2 2
z1 z2 2
x
x1
x2 3
x3
y
y1
y2 3
y3
z
z1
z2 3
z3
8、直线与直线所成角公式
cos | ABCD|
| AB||CD|
9、直线与平面所成角公式
sin |PMn|
C1
A1
A
x
D B1 EC G
B
y
再见
| PM|| n|
( PM l M n 为 的法向量)
10、平面与平面所成角公式
cos n1n2
| n1 || n2 | ( n 1 n 2 为二面角两个半平面的法向量）
11、点到平面的距离公式
d | PM n | |n|
（PM为平面 的斜线, n 为平面 的法向量）
4、两个向量平行的条件
a || b x1 x2, y1 y2, z1 z2( R)
或 a || b x1 y1 z1 x2 y2 z2
5、两个向量垂直的条件
a b x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 0
6、中点坐标公式 7、重心坐标公式
选修2-1 空间向量与立体几何
空间向量与立体几何
空间 向量
空间 向量 的运 算
知识结构
加减 和数 乘运 算
共线 向量 共面 向量
空间 向量 基本 定理
空间 向量 的坐 标运
算
空间 向量 的数 量积
夹角和距离 平行和垂直
基本概念 1、直线的方向向量
直线上的非零向量以及与它共线的向量 叫做直线的方向向量
面面平行 ∥ u ∥ v u v.
２、垂直问题
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面
, 的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a u ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
uv
４、距离问题
（１）点到点的距离、点到平面的距离、直线 到直线的距离直接用公式求解。
（２）点到直线的距离、直线到平面的距离、平 面到平面的距离转化为点到平面的距离求 解。
练习
如图所示，已知PA正方形ABCD所在平面，点M、N分别
在AB、PC上，AM2AB，PC3NC 3
（ 1）求证：面PAD面PCD；
３、角度问题
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
①两直线 l , m 所成的角为 (0≤ ≤ ),cos a b ；
2
ab
②直线 l 与平面 所成的角为 (0≤ ≤ ),sin a u ；
2
au
③平面 与平面 所成的角为 (0≤ ≤ ), cos u v .
（2）若PAAB，求二面角NDMC的大小。
z P
N
D
C
O
A MB y
练习
在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，
ACB900，侧棱AA1 2，D、E分别是CC1与A1B的中点，
点E在平面ABD上的射影是ABC的重心G，
(1)求A1B与平面ABD所成角的大小；
z
(2)求点A1到平面AED的距离。
用
直线与直线平行
向
量
直线与平面平行
证
平
平面与平面平行
行
利
用
直线与直线垂直
向
量
直线与平面垂直
证
垂
平面与平面垂直
直
基本方法
1、平行问题
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面
, 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a b ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
12、异面直线的距离公式
d | AB n | |n|
（A,B为异面直线上两点, n 为公垂线的方向向量）
基本应用
利 用
直线与直线所成的角
向 量
直线与平面所成的角
求 角
平面与平面所成的角（二面角）
利
点到直线的距离
用
点到平面的距离
向 量
直线到直线的距离
求 距
直线到平面的距离
离
平面到平面的距离
利
n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为
求两个平面法向量的夹角.
基本公式
1、两点间的距离公式（线段的长度）
AB AB x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、向量的长度公式（向量的模）
a
2
a
x2 y2 z2
3、向量的坐标运算公式
2、平面的法向量
如果表示向量n的有向线段所在的直线垂 直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作 n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量. n
α
3、两法向量所成的角与二面角的关系
n1 n2
n1 n2
l
l
设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，
由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1 、
a b ( x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,z 1 z 2 )
a (x 1 ,y 1 ,z 1 )
a b x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
x
x1 x2 2
y1 y2 2
z1 z2 2
x
x1
x2 3
x3
y
y1
y2 3
y3
z
z1
z2 3
z3
8、直线与直线所成角公式
cos | ABCD|
| AB||CD|
9、直线与平面所成角公式
sin |PMn|
C1
A1
A
x
D B1 EC G
B
y
再见
| PM|| n|
( PM l M n 为 的法向量)
10、平面与平面所成角公式
cos n1n2
| n1 || n2 | ( n 1 n 2 为二面角两个半平面的法向量）
11、点到平面的距离公式
d | PM n | |n|
（PM为平面 的斜线, n 为平面 的法向量）
4、两个向量平行的条件
a || b x1 x2, y1 y2, z1 z2( R)
或 a || b x1 y1 z1 x2 y2 z2
5、两个向量垂直的条件
a b x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 0
6、中点坐标公式 7、重心坐标公式
选修2-1 空间向量与立体几何
空间向量与立体几何
空间 向量
空间 向量 的运 算
知识结构
加减 和数 乘运 算
共线 向量 共面 向量
空间 向量 基本 定理
空间 向量 的坐 标运
算
空间 向量 的数 量积
夹角和距离 平行和垂直
基本概念 1、直线的方向向量
直线上的非零向量以及与它共线的向量 叫做直线的方向向量
面面平行 ∥ u ∥ v u v.
２、垂直问题
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面
, 的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a u ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
uv
４、距离问题
（１）点到点的距离、点到平面的距离、直线 到直线的距离直接用公式求解。
（２）点到直线的距离、直线到平面的距离、平 面到平面的距离转化为点到平面的距离求 解。
练习
如图所示，已知PA正方形ABCD所在平面，点M、N分别
在AB、PC上，AM2AB，PC3NC 3
（ 1）求证：面PAD面PCD；
３、角度问题
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
①两直线 l , m 所成的角为 (0≤ ≤ ),cos a b ；
2
ab
②直线 l 与平面 所成的角为 (0≤ ≤ ),sin a u ；
2
au
③平面 与平面 所成的角为 (0≤ ≤ ), cos u v .
（2）若PAAB，求二面角NDMC的大小。
z P
N
D
C
O
A MB y
练习
在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，
ACB900，侧棱AA1 2，D、E分别是CC1与A1B的中点，
点E在平面ABD上的射影是ABC的重心G，
(1)求A1B与平面ABD所成角的大小；
z
(2)求点A1到平面AED的距离。
用
直线与直线平行
向
量
直线与平面平行
证
平
平面与平面平行
行
利
用
直线与直线垂直
向
量
直线与平面垂直
证
垂
平面与平面垂直
直
基本方法
1、平行问题
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面
, 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a b ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
12、异面直线的距离公式
d | AB n | |n|
（A,B为异面直线上两点, n 为公垂线的方向向量）
基本应用
利 用
直线与直线所成的角
向 量
直线与平面所成的角
求 角
平面与平面所成的角（二面角）
利
点到直线的距离
用
点到平面的距离
向 量
直线到直线的距离
求 距
直线到平面的距离
离
平面到平面的距离
利
n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为
求两个平面法向量的夹角.
基本公式
1、两点间的距离公式（线段的长度）
AB AB x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、向量的长度公式（向量的模）
a
2
a
x2 y2 z2
3、向量的坐标运算公式
2、平面的法向量
如果表示向量n的有向线段所在的直线垂 直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作 n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量. n
α
3、两法向量所成的角与二面角的关系
n1 n2
n1 n2
l
l
设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，
由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1 、