工程数学综合练习题

《概率论》部分一、设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 运算关系表示下列事件：1．A 发生，B 与C 不发生：_______________________ 2．A 、B 、C 中至少有一个发生：___________________ 3．A 、B 、C 中至少有两个发生：___________________ 4．A 、B 、C 中不多于一个发生。

_____________________ 二、填空1．设A 、B 为两个事件，且5.0)()(,7.0)(===B P A P B A P Y ，则 （1）=)(B A P ___________， （2）=)(B A P __________;2．若事件A 发生必导致事件B 发生，且==)(,4.0)(A B P A P 则____,=)(AB P ____; 3．若A 、B 为任意两随机事件，若)(),(),(AB P B P A P 已知，则=)(B A P Y ______________，=)(A P _______________;4．设有三事件A 1、A 2、A 3相互独立，发生的概率分别为1p 、2p 、3p ，则这三事件中至少有一个发生的概率为__________________,这三事件中至少有一个不发生的概率为_______;5．若随机变量X ～B （5，）,则P ｛X =3｝=___________________________,P ｛X ≥4｝=__________________________________________; 6．设随机变量X ～B ),(p n ，且EX =,DX =,则X 的分布列为{}==k X P __________________________________________, {}==3X P __________________________________________;7．已知随机变量X 的概率密度函数为),(221)(8)1(2∞-∞=--x e x f π则EX =______，DX =______，X 的分布函数=)(x F __________________;8．设X ～N （,4）,则P ｛︱X ︱＜3｝＝_________________;(已知)9878.)25.2(,7734.0)75.0(=Φ=Φ9．若X ～N （==-)(,22222Y E eY e x则），且，μμσμ___________;10．设随机变量X 的概率密度为=⎩⎨⎧≤>=-k x x ke x f x 则常数0,00,)(3_________。

11．设随机变量X ～U ［1，3］，则=⎪⎭⎫⎝⎛XE 1_________。

12．设随机变量X ～π==λλ则且,2)(),(2X E _________。

13．设舰艇横向摇摆的随机振幅X 服从瑞利分布，其概率分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(2222x e x x f x σσσ＞0，则E （X ）=___________。

14．已知（且知X 与Y 相互独立，则α和β分别为_____,_____。

15．已知（X ，Y ）的分布律为则：（ （2）E （Y ）=__________ 三、单项选择题1．一批产品共100件，其中有5件不合格，从中任取5件进行检查，如果发现有不合格产品就拒绝接受这批产品，则该批产品被拒绝接受的概率为 （ ）A ．5100595C C B ．1005 C ．51005951C C - D ．41151********⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C2．设A 、B 为两事件，===)(,4.0)()()(B P A P B A P B AP 则且 （ ） A ． B ． C ． D ．13若X x F 为)(的分布函数，则F （）= ( ) A ． B ． C ．0 D ．14．设随机变量X 的概率分布密度为=⎩⎨⎧<<=a a x x x f 则其他,0,3)(2( )A ．41B ．21C ．1D ．25．设随机变量X 与Y 独立，其方差分别为6和3，则D （2X －Y ）= （ ） A ．9 B ．15 C ．21 D ．27 6．设随机变量X 与Y 独立，X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧>=其他的概率密度为其他,010,2)(,02,8)(3y y y f Y x x x f Y X 则E （XY ）= （ ）A ．34B ．35C ．37D ．38四、某产品每批中都有三分之二合格品，检验时规定：先从中任取一件，若是合格品，放回，再从中任取一件，如果仍为合格则接受这批产品，否则拒收，求一批这种产品被拒收的概率，以及三批产品中至少有一批被接收的概率。

五、袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列两种取法在袋中取球：（1）从袋中有放回地取三次球，每次取一球，（2）从袋中无放回地取三次球，每次取一球（或称从袋中一次取三个球），在以上两种取法中均求A =｛恰好取得2个白球｝的概率。

六、将n 个球放入N 个盒子中去，试求恰有n 个盒子各有一球的概率（n ≤N ）。

七、为了防止意外，在矿内安装两个报警系统a 和b ，每个报警系统单独使用时，系统a 有效的概率为，系统b 有效的概率为，而在系统a 失灵情况下，系统b 有效的概率为，试求：（1）当发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）在系统b 失灵情况下，系统a 有效的概率。

八、设有一箱产品是由三家工厂（甲、乙、丙）生产的，已知其中21产品是由甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各占41，已知甲、乙两厂产品的2%是次品，丙厂产品的4%是次品。

试求：（1）任取一件是次品又是甲厂生产的概率；（2）任取一件是次品的概率；（3）任取一件已知是次品，问它是甲厂生产的概率。

九、设某工厂实际上有96%的产品为正品，使用某种简易方法验收，以98%的概率把本来为正品的产品判为正品，而以5%的概率把本来是次品的产品判为正品。

试求经简易验收法被认为是正品的确是正品的概率。

十、对以往数据进行分析表明，当机器开动调整良好时，产品的合格率为90%，而当机器不良好时，其产品的合格率为30%；机器开动时，机器调整良好的概率为75%。

试求某日首件产品是合格品时，机器调整良好的概率。

十一、两批产品一样多，一批全部合格，另一批混有41的次品，从任一批中取一产品检测后知为合格品，又将其放回，求仍在这一批产品中任取一件为次品的概率。

十二、由统计资料可知，甲、乙两城市，一年中雨天的比例分别为20%和18%，且已知甲下雨时，乙也下雨的概率为60%。

试求甲、乙至少有一地出现雨天的概率。

十三、一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件，取出零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率。

十四、三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、41。

问能将此密码译出的概率是多少十五、已知某工厂生产某种产品的次品率为，如果该厂以每10个产品为一包出售，并承诺若发现包内多于一个次品便可退货，问卖出的产品被退回的概率若以20个产品为一包出售，并承诺多于2个次品便可退货，问卖出的产品被退回的概率。

十六、设有20台同类设备由一人负责维修，并假定各台设备发生故障的概率为，且各台设备是否发生故障彼此相互独立，试求设备发生故障而不能及时维修的概率，若由3人共同维修80台设备情况又如何十七、用近似计算公式n k ek p p k n k kn k ,,2,1,0!)1(Λ=≈-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--λλ计算上面第十六题。

十八、某保险公司发现索赔要求中有15%是因被盗而提出的，现在知道1998年中该公司共收到20个索赔要求，试求其中包含5个或5个以上被盗索赔的概率。

十九、设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,022,cos )(ππx x A x f求（1）系数A ；（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<40πX P ；（3）求X 的分布函数。

二十、一种电子管的使用寿命为X 小时，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=100,0100,100)(2x x x x f设其仪器内装有三个上述电子管（每个电子管损坏与否相互独立的），试求（1）使用150小时内没有一个电子管损坏的概率； （2）使用150小时内只有一个电子管损坏的概率。

二十一、设随机变量X 的密度函数为k x x e x k x f kx(0,00,2)(23⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-＞0）求X 的概率分布函数)(x F 。

二十二、设连续型随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=-0,0,)(22x x be a x F x求：（1）常数;,b a （2）P ｛－1≤X ≤1｝；（3）X 的分布密度)(x f二十三、设k 在［0，5］上服从均匀分布，求方程 02442=+++k xk x有实根的概率。

二十四、设X 服从参数015.0=λ的指数分布（1）求P ｛X ＞100｝；（2）如果要使 P ｛X ＞x ｝＜，问x 应在哪个范围二十五、设测量某地到某一目标的距离时带有随机误差X ，已知X ～N （20，600），（1）求测量误差的绝对值不超过30的概率；（2）如果接连三次测量，各次测量相互独立，求至少有一次误差绝对值不超过30的概率。

求（1）Y =－2X 二十七、若随机变量X ～N （0，1），求Y =X 2的分布密度。

二十八、若随机变量X 的密度为,21)(xe xf -=（－∞，+∞），求Y =︱X ︱的概率密度。

（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布列；（2）判断X 与Y 是否独立； （3）求P ｛X +Y ＜3}； （4）求E (XY ）。

且Y =X 2－1 求（1）Y 的分布列；（2）（X ，Y ）的联合分布列；（3）判断X 与Y 是否独立。

三十一、设随机变量X 与Y 独立，且X 在［0，］上服从均匀分布，Y 的分布密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,5)(5y y e y f y Y求（X ，Y ）的分布密度及P ｛Y ≥X ｝。

三十二、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<<<+=其他,010,10,),(y x y x y x f（1）求P ｛X+Y ≤1｝；（2）问X 与Y 是否相互独立（3）求E （X+Y ）和D （X+Y ）。

三十三、设二维连续随机变量（X ，Y ）的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,),(2y x Axy y x f求（1）常数A ；（2）关于X 的边缘分布密度);(x f X （3）关于Y 的边缘分布密度);(y f Y （4）EX 。

三十四、设X求：EX ，EX 2，DX 三十五、设（X ，Y ）的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他,020,20),(81),(y x y x y x f求),(Y X ρ。