用二次函数解决生活问题
二次函数在实际生活中的应用
二次函数在实际生活中的应用【经典母题】某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？解：设售价为每瓶x 元时，日均毛利润为y 元，由题意，得日均销售量为400－40[(x －12)÷0.5]＝1 360－80x ，y ＝(x －9)(1 360－80x )＝－80x 2＋2 080x －12 240(10≤x ≤14)． －b 2a ＝－ 2 0802×（－80）＝13， ∵10≤13≤14，∴当x ＝13时，y 取最大值，y 最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)．答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元．【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论．【中考变形】1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y (件)与销售单价x (元)的关系如图Z8－1所示．(1)图中点P 所表示的实际意义是__当售价定为35元/件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时，销售量相应减少__20__件；(2)请直接写出y 与x 之间的函数表达式：__y ＝20x＋1_000__；自变量x 的取值范围为__30≤x ≤50__；(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)图中点P 所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300件；第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元)，销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)．(2)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将点(30，400)，(35，300)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧400＝30k ＋b ，300＝35k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－20，b ＝1 000，∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－20x ＋1 000.当y ＝0时，x ＝50，∴自变量x 的取值范围为30≤x ≤50.(3)设第二个月的利润为W 元，由已知得W ＝(x －20)y ＝(x －20)(－20x ＋1 000)＝－20x 2＋1 400x －20 000 ＝－20(x －35)2＋4 500，∵－20＜0，∴当x ＝35时，W 取最大值4 500.答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4 500元．2．[2016·宁波一模]大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a 元，市场调查发现日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间存在图Z8－1一次函数关系，如下表所示：若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出＝商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)．(1)求日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的函数关系式；(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润＝销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？解：(1)由表可知，y 是关于x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ，将x ＝110，y ＝50；x ＝115，y ＝45分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧110k ＋b ＝50，115k ＋b ＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝160，∴y ＝－x ＋160(0＜x ≤160)；(2)由已知可得50×110＝50a ＋3×100＋200，解得a ＝100.设每天的毛利润为W 元，则W ＝(x －100)(－x ＋160)－2×100－200＝－x 2＋260x －16 400＝－(x －130)2＋500，∴当x ＝130时，W 取最大值500.答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛利润为500元；(3)设需t 天才能还清集资款，则500t ≥50 000＋0.000 2×50 000t ，解得t ≥102249.∵t 为整数，∴t 的最小值为103天．答：该店最少需要103天才能还清集资款．3．[2017·青岛]青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨1.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？(注：上涨价格需为25的倍数)解：(1)设淡季每间的价格为x 元，依题意得40 000x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝24 000x ＋10，解得x ＝600， ∴酒店豪华间有40 000x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝40 000600×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝50(间)， 旺季每间价格为x ＋13x ＝600＋13×600＝800(元)．答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；(2)设该酒店豪华间的价格上涨x 元，日总收入为y 元，y ＝(800＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫50－x 25＝－125(x －225)2＋42 025，∴当x ＝225时，y 取最大值42 025.答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42 025元．4．某公司经营杨梅业务，以3万元/t 的价格向农户收购杨梅后，分拣成A ，B 两类，A 类杨梅包装后直接销售，B 类杨梅深加工再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/t ，根据市场调查，它的平均销售价格y (万元/t)与销售数量x (x ≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8－2，B 类杨梅深加工总费用s (单位：万元)与加工数量t (单位：t)之间的函数关系是s ＝12＋3t ，平均销售价格为9万元/t.图Z8－2(1)直接写出A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式；(2)第一次该公司收购了20 t 杨梅，其中A 类杨梅x t ，经营这批杨梅所获得的毛利润为W 万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)．①求W 关于x 的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直接销售的A 类杨梅有多少吨？(3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋14（2≤x ＜8），6（x ≥8）；(2)∵销售A 类杨梅x t ，则销售B 类杨梅(20－x )t.①当2≤x ＜8时，W ＝x (－x ＋14)＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x 2＋7x ＋48，当x ≥8时，W ＝6x ＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x ＋48，∴函数表达式为W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋7x ＋48（2≤x ＜8），－x ＋48（x ≥8）；②当2≤x ＜8时，－x 2＋7x ＋48＝30，解得x 1＝9，x 2＝－2，均不合题意， 当x ≥8时，－x ＋48＝30，解得x ＝18.答：当毛利润达到30万元时，直接销售的A 类杨梅有18 t ；(3)设该公司用132万元共购买m t 杨梅，其中A 类杨梅为x t ，B 类杨梅为(m －x )t ，购买费用为3m 万元．由题意，得3m ＋x ＋[12＋3(m －x )]＝132，化简，得3m ＝x ＋60.①当2≤x ＜8时，W ＝x (－x ＋14)＋9(m －x )－132，把3m ＝x ＋60代入，得 W ＝－(x －4)2＋64，当x ＝4时，有最大毛利润64万元．此时，m ＝643，m －x ＝523；②当x ≥8时，W ＝6x ＋9(m －x )－132，由3m ＝x ＋60，得W ＝48，当x ≥8时，毛利润总为48万元．答：综上所述，购买杨梅共643 t ，且其中直销A 类杨梅4 t ，B 类杨梅523 t ，公司能获得最大毛利润64万元．【中考预测】某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．(1)写出月销售利润y (元)与售价x (元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，。
生活中的二次函数例子5个
生活中的二次函数例子5个1.某种小商品的销量Y件与售价X元成一次函数关系。
某商场以每件4元的单价进了一批这种商品第一天以每件8元试销，结果售出60件，第二天以每件10元试销，结果售出50件。
（1）求销量Y与售价X的函数关系式。
（2）每件商品的售价定位多少元时，才能每天获得最大利润？每天的最大利润是多少元？2.某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？3.某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件调查表明：这种衬衣售价每上涨1元其销售量将减少10件．(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为45元时计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，销售价应定为多少？(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．4.一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20﹣10）=1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？（2）写出该专卖店当一次销售x（时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？5. 为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，设矩形的边长AB＝y米，BC＝x 米．（注：取π＝3.14）（1）试用含x的代数式表示y；（2）现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428 元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；（3）设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；（4）若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？。
二次函数在生活中的实际应用
二次函数在生活中的实际运用
在暑假，我参加了中考体育训练，其中有一个项目是投实心球，可是我发现不管我如何用力就是投不远，对此我感到十分头疼。
这时，我的体育老师走了过来，我赶忙上前去问到底如何投才是最远的。
他告诉我要往30度角投，我半信半疑不太相信按一定角度投会远一些，于是我朝30度角投了试试，发现好像真的比刚才要远一些。
回到家，我思索起了这个问题并动手验证，一个球在相同力度的情况下，球飞行的路线是一条抛物线，设顶点到地面的距离为1m。
当角度为30度时，根据直角三角
形中30度所对的角：60度所对的角：
90度所对的角=1：√3：2。
求得OB=√3m，
则OC=2OB=2√3m。
当角度为45度时，根据等腰三角形
中45度所对的角：45度角所对的角：90
度所对的角=1：1：√2。
求得OB=1m，
则OC=2OB=2m。
当角度为60度时，根据根据直角三角
形中30度所对的角：60度所对的角：90
度所对的角=1：√3：2。
求得OB=1̸3√3m，
则OC=2OB=2̸3√3m。
因为2√3m>2m>2̸3√3m，所以物体以30度角抛出去时最远。
通过自身的运算，让我牢记这个道理。
著名数学家华罗庚曾说:任何一个人，都必须养成自学的习惯，即使是今天在校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早要离开学校的！行路，还是要靠行路人自己。
天马学校九（四）班胡一帆
指导老师：宣淑嫒。
二次函数在生活中的运用
二次函数在生活中的运用
二次函数是一种常见的数学函数，在生活中有很多实际应用。
它的形式为 y = ax + bx + c，其中 a、b、c 是常数，而 x 和 y 分别表示自变量和因变量。
以下是二次函数在生活中的几个实际应用：
1. 物体的运动轨迹
当物体受到恒定的重力作用时，它的运动轨迹通常是一个二次函数。
这个函数的自变量可以是物体的时间或者位置，而因变量则是物体的高度或者速度。
通过分析这个函数，人们可以预测物体的落地时间和落点位置，为实际生活中的运动问题提供了重要的帮助。
2. 投资收益的计算
在投资领域，人们通常使用复利计算来估算投资收益。
而复利计算的公式可以转化为一个二次函数，其中自变量是投资时间，因变量是投资收益。
通过这个函数，人们可以预测不同投资方案的收益情况，为投资决策提供了参考依据。
3. 地址编码的设计
在物流配送领域，地址编码是非常重要的一环。
通过设计合适的地址编码，可以提高配送效率，减少误送和漏送的问题。
而地址编码通常采用的是二进制编码，其中每个位都是一个二次函数。
通过对这些二次函数的分析，人们可以设计出高效而准确的地址编码方案。
综上所述，二次函数在生活中有着广泛的应用。
人们可以通过学习和掌握二次函数的相关知识，更好地理解和应用这个数学概念，为
实际生活中的问题提供更加精准和科学的解决方案。
二次函数在生活中的应用
二次函数在生活中的应用
二次函数是一种常见的数学函数，它在我们的生活和工作中有许多应用。
以下是二次函数在生活中的几个应用：
1. 抛物线运动
当一个物体以一定的初速度开始运动，并且受到重力的影响而向下运动时，它的运动轨迹就是一条抛物线。
这个运动过程可以用二次函数来描述。
例如，当你抛出一颗球时，它的高度会随着时间的推移而不断降低，形成一条抛物线。
2. 建筑设计
在建筑设计中，二次函数可以用来描述建筑物的结构和形状。
例如，在建造一座拱形桥时，设计师需要使用二次函数来确定桥的最高点和曲线的形状。
3. 经济学
在经济学中，二次函数可以用来描述成本和收益之间的关系。
例如，当一家企业决定生产某种产品时，它需要考虑生产成本和销售收益之间的平衡点，这个平衡点可以用二次函数来计算。
4. 电子技术
在电子技术中，二次函数可以用来描述电路中的电压和电流之间的关系。
例如，在设计一条放大电路时，工程师需要使用二次函数来确定电路的增益和频率响应。
总之，二次函数在我们的生活和工作中有许多应用，这些应用涉及到不同的领域，包括物理学、工程学、经济学和电子技术等。
熟练
掌握二次函数的概念和应用可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二次函数在实际生活中的应用
第15课时┃二次函数的应用
解 析
(1)根据“若销售单价每个降低 2 元， 则每周可多卖出 20 个”列销售量 y(个)与降价 x(元)之间的函数关系式；(2)根据 “总利润＝单个产品利润×销售量”列二次函数，然后利用 配方法求最大利润；
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第15课时┃二次函数的应用
第15课时┃二次函数的应用
例3
某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园 ，其
中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米 (如图15－5所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． (1)若苗圃园的面积为72平方米，求x； (2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最 大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请 说明理由．
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园
的面积最大？并求出这个最大值．
(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结
合函数图象y＝30－2x(6≤x＜15) (2)当矩形苗圃
园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃面积最大，
最大值为112.5平方米 (3)6≤x≤11
图15－5
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第15课时┃二次函数的应用
解：(1)根据题意得：(30－2x)x＝72， 解得：x＝3或x＝12， ∵30－2x≤18， ∴x≥6，∴x＝12；
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例 3 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园 ， 其中 一边靠墙， 另外三边由长为 30 米的篱笆围成． 已知墙长为 18 米(如 图 15－5 所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米． (2)若平行于墙的一边长不小于 8 米，这个苗圃园的面积有最 大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说 明理由．
二次函数在生活中的应用
二次函数在生活中的应用二次函数在生活中的应用二次函数是高中数学中的一大重点，是研究量与量之间的关系的一种数学工具。
在生活中，二次函数的应用非常广泛，与我们的日常生活息息相关。
本文将从多个方面介绍二次函数在生活中的应用。
1. 物理学中的应用在物理学中，二次函数是研究运动的重要工具。
当物体处于自由落体状态，其下落距离随时间的变化关系就可以用二次函数来表示，这个函数就是常见的自由落体公式：y = -1/2 g t² + v₀t + y₀其中，y 表示下落距离，g 表示重力加速度，t 表示时间，v₀表示物体的初速度，y₀表示物体的初始高度。
二次函数还可以用来描述物体的抛物线运动。
例如，一个抛出的物体的高度与水平距离之间的关系就是一个二次函数。
这个函数被称为抛物线，可以用以下形式表示：y = ax² + bx + c其中，a 表示抛物线的形状，b 表示抛物线的位置，c 表示抛物线的高度。
2. 经济学中的应用在经济学中，二次函数也被广泛应用。
例如，一家公司的成本与生产量之间的关系可以用一个二次函数来表示。
成本由固定成本和可变成本组成，其中固定成本不随生产量变化，可变成本与生产量成二次函数关系。
其函数关系式为：C = a + bx + cx²其中，C 表示总成本，x 表示生产量，a 表示固定成本，b 和 c 是常数。
二次函数还可以应用在市场调研中。
例如，研究一个新产品的销售量与价格之间的关系，就可以用一个二次函数来表示：y = -ax² + bx + c其中，y 表示销售量，x 表示价格，a、b、c 为常数。
这个函数就是常见的需求函数，有助于制定合理的价格策略。
3. 工程中的应用在工程中，二次函数也有很多应用。
例如，一个建筑物的荷载与塔高之间的关系就可以用二次函数来表示，这个函数被称为荷载曲线。
荷载曲线可以用以下形式表示：y = ax² + bx + c其中，y 表示荷载，x 表示塔高，a 表示荷载的变化率，b 和 c 是常数。
二次函数应用——实际生活问题讲义(含答案)
二次函数应用——实际生活问题一、知识点睛二次函数的应用：最大面积；最大利润；和一元二次方程的关系．二、精讲精练1. 已知：在△ABC 中，BC =20，高AD =16，内接矩形EFGH 的顶点E 、F 在BC 上，G 、H 分别在AC 、AB 上，求内接矩形EFGH 的最大面积．FD E GH CBA2. 星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．（1）若平行于墙的一边的长为y 米，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量x 的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x 的取值范围．苗圃园18米3. 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x之间的函数关系式；（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？4.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？5.有一座抛物线型拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m．（1）如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式．（2）在正常水位的基础上，当水位上升h m时，桥下水面的宽度为d m，求出将d 表示为h的函数关系式．（3）设正常水位时，桥下的水深为2m，为保证过往船只的顺利通过，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？x6.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？（0,3.5）yxO4m2.5m3.05m7. 如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB =4米，AC =3米，网球飞行最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？xx讲义答案：一、知识点睛 二、精讲精练1. 802.（1）=302y x -，6<15x ≤；（2）152m ，112.5m 2 ；（3）611x ≤≤，图略 3.（1）22=+24+320025y x x -（0400x ≤≤）；（2）每台冰箱应降价200元； （3）每台冰箱降价150元，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5000元. 4.（1）210110+2100y =x +x -，x 的范围是015x ≤≤且x 为整数；（2）每件商品的售价定为55或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元；（3）每件商品的售价定为51或60元时，每个月的利润恰为2200元；售价在51~60范围时，每个月的利润不低于2200元. 5.（1）2125y =x -；（2）4)d h ≤≤； （3）水深超过2.76m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行.6.（1）21+3.55y =x -；（2）球出手时，他跳离地面的高度是0.2m.7.（1）不能落入桶内；（2）当竖直摆放圆柱形桶为8，9，10，11，或12个时，网球可以落入桶内。
将所学知识应用到实际问题中让学生解决一些与生活相关的二次函数问题
将所学知识应用到实际问题中让学生解决一些与生活相关的二次函数问题二次函数在生活中具有广泛的应用，可用于解决各种与生活相关的问题。
本文将介绍如何将所学知识应用到实际问题中，让学生解决一些与生活相关的二次函数问题。
一、汽车油耗问题假设一辆汽车的行驶速度是 x（公里/小时），油耗是 y（升/百公里）。
已知该汽车在60公里/小时的速度下每百公里油耗为8升，在90公里/小时的速度下每百公里油耗为10升。
现在让学生通过建立二次函数来计算不同速度下的油耗。
为了解决这个问题，我们可以先设定一个变量，比如令 x 为汽车的行驶速度。
根据题目给出的信息，我们可以建立一个关于 x 的二次函数。
假设 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是待求的系数。
已知在60公里/小时的速度下每百公里油耗为8升，代入这一点的坐标（60, 8）得到方程：8=60a+60b+c。
已知在90公里/小时的速度下每百公里油耗为10升，代入这一点的坐标（90, 10）得到方程：10=90a+90b+c。
解这个二元一次方程组可得到 a、b、c 的值，进而得到二次函数的具体表达式。
接下来，我们可以利用得到的二次函数，根据给定的速度来计算油耗。
例如，如果需要计算汽车在70公里/小时的速度下每百公里的油耗，只需要将70代入刚才得到的二次函数中，即可得出结果。
二、抛物线运动问题考虑一个抛物线运动的实际问题，比如一个抛物线形状的溜滑梯。
假设溜滑梯的高度为 h（米），距离起点的水平距离为 x（米），求解从起点滑到地面所需的时间。
为了解决这个问题，我们可以利用二次函数的性质。
已知溜滑梯的形状为抛物线，我们可以通过测量的数据得到至少三个点的坐标，然后根据这些坐标建立二次函数的表达式。
假设溜滑梯的方程为 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是待求系数。
根据题目给出的信息，我们可以得到至少三个点的坐标（例如起点、中点、终点的坐标），然后代入这些点的坐标得到对应的方程。
日常生活中的二次函数应用
日常生活中的二次函数应用日常生活中，我们处处都能看到二次函数的应用。
无论是建筑、经济、物理，还是人们的日常活动，都离不开二次函数。
本文将从不同的角度介绍二次函数在日常生活中的应用，展示二次函数的重要性和广泛性。
一、建筑中的二次函数应用建筑领域是二次函数应用最为广泛的领域之一。
首先，建筑中的拱门常常采用二次函数的形状。
通过调整二次函数的参数，可以得到不同形状的拱门，满足不同建筑需求。
其次，建筑结构中的抛物线也是二次函数的典型应用。
比如，大型体育馆的屋顶通常采用抛物线形状，以便更好地分散荷载。
此外，二次函数还被广泛应用于建筑的设计过程中，比如地基的折线设计以及楼梯的设计等。
二、经济中的二次函数应用经济学中，二次函数被广泛用于描述成本、收益、销量等与价格、产量相关的指标。
例如，企业的成本函数通常是一个二次函数，可以帮助企业预测生产成本与产量之间的关系，从而作出合理的经营决策。
此外，二次函数还可以描述市场需求和供给的关系，帮助经济学家和企业家预测市场的变化趋势，制定相应的市场策略。
三、物理中的二次函数应用在物理学中，二次函数被广泛用于描述各种运动过程。
例如，自由落体运动的位移与时间之间的关系可以用二次函数表示。
当物体受到重力加速度的作用时，其高度与时间的关系可以用二次函数方程描述。
此外，抛体运动中的轨迹也是二次函数的典型应用。
通过分析二次函数的参数，可以预测抛体的飞行轨迹和最高点等相关信息。
四、日常生活中的其他二次函数应用除了建筑、经济和物理以外，日常生活中还有许多其他领域也离不开二次函数的应用。
比如，音乐中的音高与音量之间的关系可以用二次函数描述，帮助音乐家调整音乐的表现力。
此外，二次函数还可以被应用于旅行路径的优化，比如飞机、汽车等交通工具的飞行/行驶路径规划，帮助人们更快、更省时地到达目的地。
结语总之，二次函数在日常生活中具有广泛的应用。
不论是建筑、经济、物理还是日常活动，都离不开二次函数的帮助。
二次函数在生活中的应用二次函数
问题：喷水池的半径至少要多少米，才能使 喷出的水流不至于落在池外？
问：喷水池的半径至少要多少米？
如图所示，某校要在校园内建造 一个圆形的喷水池，在水池中央垂直 于 水 面 处 安 装 一 柱 子 OA ， 点 O 恰 好 在 水 面 中 心 ， OA 为 1.25 米 ． 由 柱 子 顶端A处的喷头向外喷水，水流在各 个方向沿形状相同的抛物线路线落下， 为使水流形状较为漂亮，要求设计成 水流在水平方向距离喷水柱为1米处 达到最大高度2.25米．如果不考虑其 它因素，那么水池的半径至少要多少 米，才能使喷出的水流不至于落在池 外？( 精确到1米 )
∴ V甲=30千米/小时＜40千米/小时 ∵ S乙= 14V乙，乙车的刹车距离10＜S乙＜12
∴40＜V乙＜48，说明乙车超过限速40千米/小时的规定.
答：相碰的原因在乙车超速行使.
∴水流落到水池B处时，点B的坐标为（2.5，0） 答：水池的半径至少要3米，才能使水流不至于落在池外.
问题：在发生交通事故时，事故责任方 是哪方？
问题：事故责任方是哪方？
汽车在行使中，由于惯性作用，刹 车后还要向前滑行一段距离才能停止， 我们称这段距离为“刹车距离”.刹车 距离是分析事故的一个重要因素，在一 个限速40千米/小时以内的弯道上，甲、 乙两车相向而行，发现情况不对，同时 刹车，但还是相碰了，事故发生后，现 场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的 刹车距离超过10米，但小于12米.查有 关资料知，甲种车的刹车距离S甲（米）
∴可列方程组为 0.75=25a+5b+c
2=100a+10b+c
解之得: a=0.01 b=0.1
S甲
（米）
B(10,2)
用二次函数解决生活问题
用二次函数解决生活问题二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的常见的数学模型．将实际问题中的变量关系转化成二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．一、以现实的生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等“抛物线”的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数确定二次函数的表达式例1 如图1，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．求抛物线的关系式．分析：由函数图象的对称轴为y轴，故可设篮球运行的路线所对应的函数关系式为y=ax2+k（a≠0，k≠0）．解：设函数关系式为y=ax2＋k（a≠0），由题意可知，A、B两点坐标为（1.5，3.05），（0，3.5）．则21.5 3.053.5.a kk⎧+=⎨=⎩，解得a=－0.2，∴抛物线对应的函数关系式为y=-0.2x2＋3.5．例2 如图2，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔顶点N距水面4.5米（NC＝4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图3中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．图2图3分析：观察图3的图象可知抛物线的对称轴为y轴，顶点为（0，6），故可设函数关系式为y=ax2＋6．又因为AB＝20，所以OB＝10，故B（10，0）又在抛物线上，可代入求值．解：设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2＋6．依题意，得B（10，0）．∴a×102＋6＝0．解得a=－0.06．即y=－0.06x2＋6．当y=4.5时，－0.06x2＋6=4.5，解得x=±5．∴DF＝5，EF＝10．即水面宽度为10米．二、在几何图形中，利用图形的面积、相似三角形等有关知识获得y与x的关系式例3 如图4，用长为l2 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．设CD=DE=xm，五边形ABCDE的面积为Sm2．问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值．分析：本题可通过对图形的适当分割，转化为比较熟悉的三角形、特殊四边形的面积问题来解决．解：连结EC，作DF⊥EC，垂足为F．∵∠DCB=∠CDE=∠DEA，∠EAB=∠CBA=90°，∴∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°．∵DE=CD，∴∠DEC=∠DCE=30°，∴∠CEA=∠ECB=90°．∴四边形EABC为矩形，∴∴AE=6－DE =6－x，DF=12x，EC=x3．∴S =)60(364332<<+-x x x ． 故当4)433(236=-⨯=x 时，312=最大S m 2． 关于二次函数的实际应用，体现在生活中的方方面面。
二次函数在实际生活中的应用与实际问题分类整理
二次函数在实际生活中的应用【经典母题】某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]＝1 360－80x，y＝(x－9)(1 360－80x)＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)．－b2a＝－2 0802×（－80）＝13，∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值，y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)．答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元．【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论．【中考变形】1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示．(1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元/件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时，销售量相应减少__20__件；(2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x图Z8－1＋1_000__；自变量x 的取值范围为__30≤x ≤50__；(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)图中点P 所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300件；第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元)，销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)．(2)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将点(30，400)，(35，300)代入，得⎩⎨⎧400＝30k ＋b ，300＝35k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－20，b ＝1 000，∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－20x ＋1 000. 当y ＝0时，x ＝50，∴自变量x 的取值范围为30≤x ≤50. (3)设第二个月的利润为W 元，由已知得W ＝(x －20)y ＝(x －20)(－20x ＋1 000)＝－20x 2＋1 400x －20 000 ＝－20(x －35)2＋4 500，∵－20＜0，∴当x ＝35时，W 取最大值4 500.答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4 500元．2．[2016·宁波一模]大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a 元，市场调查发现日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出＝商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)． (1)求日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的函数关系式；(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润＝销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？解：(1)由表可知，y 是关于x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ， 将x ＝110，y ＝50；x ＝115，y ＝45分别代入， 得⎩⎨⎧110k ＋b ＝50，115k ＋b ＝45，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝160， ∴y ＝－x ＋160(0＜x ≤160)；(2)由已知可得50×110＝50a ＋3×100＋200， 解得a ＝100.设每天的毛利润为W 元， 则W ＝(x －100)(－x ＋160)－2×100－200 ＝－x 2＋260x －16 400 ＝－(x －130)2＋500，∴当x ＝130时，W 取最大值500.答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛利润为500元；(3)设需t 天才能还清集资款， 则500t ≥50 000＋0.000 2×50 000t ， 解得t ≥102249.∵t 为整数，∴t 的最小值为103天． 答：该店最少需要103天才能还清集资款．3．[2017·青岛]青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨1.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？(注：上涨价格需为25的倍数)解：(1)设淡季每间的价格为x 元，依题意得 40 000x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝24 000x ＋10，解得x ＝600， ∴酒店豪华间有40 000x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝40 000600×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝50(间)， 旺季每间价格为x ＋13x ＝600＋13×600＝800(元)． 答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元； (2)设该酒店豪华间的价格上涨x 元，日总收入为y 元， y ＝(800＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫50－x 25＝－125(x －225)2＋42 025， ∴当x ＝225时，y 取最大值42 025.答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42 025元．4．某公司经营杨梅业务，以3万元/t 的价格向农户收购杨梅后，分拣成A ，B 两类，A 类杨梅包装后直接销售，B 类杨梅深加工再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/t ，根据市场调查，它的平均销售价格y (万元/t)与销售数量x (x ≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8－2，B 类杨梅深加工总费用s (单位：万元)与加工数量t (单位：t)之间的函数关系是s ＝12＋3t ，平均销售价格为9万元/t.图Z8－2(1)直接写出A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式； (2)第一次该公司收购了20 t 杨梅，其中A 类杨梅x t ，经营这批杨梅所获得的毛利润为W 万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)． ①求W 关于x 的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直接销售的A 类杨梅有多少吨？ (3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润． 解：(1)y ＝⎩⎨⎧－x ＋14（2≤x ＜8），6（x ≥8）；(2)∵销售A 类杨梅x t ，则销售B 类杨梅(20－x )t. ①当2≤x ＜8时，W ＝x (－x ＋14)＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x 2＋7x ＋48， 当x ≥8时，W ＝6x ＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x ＋48，∴函数表达式为W ＝⎩⎨⎧－x 2＋7x ＋48（2≤x ＜8），－x ＋48（x ≥8）；②当2≤x ＜8时，－x 2＋7x ＋48＝30，解得x 1＝9，x 2＝－2，均不合题意， 当x ≥8时，－x ＋48＝30，解得x ＝18.答：当毛利润达到30万元时，直接销售的A 类杨梅有18 t ； (3)设该公司用132万元共购买m t 杨梅，其中A 类 杨梅为x t ，B 类杨梅为(m －x )t ，购买费用为3m 万元． 由题意，得3m ＋x ＋[12＋3(m －x )]＝132， 化简，得3m ＝x ＋60.①当2≤x ＜8时，W ＝x (－x ＋14)＋9(m －x )－132，把3m ＝x ＋60代入，得 W ＝－(x －4)2＋64，当x ＝4时，有最大毛利润64万元． 此时，m ＝643，m －x ＝523；②当x ≥8时，W ＝6x ＋9(m －x )－132，由3m ＝x ＋60，得W ＝48，当x ≥8时，毛利润总为48万元．答：综上所述，购买杨梅共643 t ，且其中直销A 类杨梅4 t ，B 类杨梅523 t ，公司能获得最大毛利润64万元．【中考预测】某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，销售价应定为多少？(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．解：(1)由题意可得月销售利润y与售价之间的函数关系式为y＝(x－30)[600－10(x－40)]＝－10x2＋1 300x－30 000；(2)当x＝45时，600－10(x－40)＝550(件)，y＝－10×452＋1 300×45－30 000＝8 250(元)；(3)令y＝10 000，代入(1)中函数关系式，得10 000＝－10x2＋1 300x－30 000，解得x1＝50，x2＝80.当x＝80时，600－10(80－40)＝200＜300(不合题意，舍去)，故销售价应定为50元；(4)y＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250，∴x＝65时，y取最大值12 250.答：当销售价定为65元时会获得最大利润，最大利润为12 250元．二次函数与实际问题分类整理1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）2、实际应用（拱桥问题，求最值、最大利润、最大面积等）类型一：最大面积问题例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？类型二：利润问题例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?设销售单价为x元，(0＜x≤13.5)元，那么（1）销售量可以表示为____________________；（2）销售额可以表示为____________________；（3）所获利润可以表示为__________________；（4）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________变式训练2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？变式训练3：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润之和y与x之间的关系）．（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？变式训练4.某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．y (件)（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额 总成本）为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？类型三:实际抛物线问题例三：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图10所示。
二次函数在生活中的运用
二次函数在生活中的运用二次函数是一个具有形式为y=ax^2+bx+c的二次多项式函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
它是数学中一个重要的函数类型，其在现实生活中有许多广泛的应用。
下面将介绍一些二次函数在生活中的运用。
1.物体的自由落体运动：当物体从静止的位置开始自由下落时，其高度与时间的关系可以用二次函数来描述。
根据物体下落的加速度和初速度，我们可以建立二次函数模型来预测物体的高度随时间的变化。
2.弹性力的计算：弹性力是恢复力的一种，其大小与物体偏离平衡位置的距离成正比。
当物体被施加一个力使其偏离平衡位置时，恢复力的大小可以用二次函数描述。
3.抛物线的建模：抛物线是二次函数的图像，它在很多领域中都有应用。
例如，在建筑设计中，抛物线形状的屋顶可以提供更好的排水系统。
在桥梁设计中，抛物线形状的拱桥可以提供更好的结构稳定性。
4.投射物体的路径预测：当一个物体以一定的初速度和角度被抛出时，它的轨迹可以用二次函数模型来预测。
例如，在棒球运动中，球员可以通过分析投球的初速度和角度来预测球的落点。
5.音乐乐器的调音：乐器的音高可以通过改变乐器弦的张力来调节。
根据弦的拉紧程度，可以建立一个二次函数模型来描述音高与弦长的关系。
这使得乐器演奏者能够根据需要调整乐器的音高。
6.经济中的成本与产出关系：在经济学中，成本与产出的关系经常可以用二次函数来描述。
例如，生产一定数量的商品所需的成本与产出之间可能存在一个最优点，通过求二次函数的极值，可以确定最大化利润的产量。
7.变量与值的关系：二次函数可以用来描述两个变量之间的关系。
例如，员工的工资与工作经验之间可能存在一个二次函数模型，随着工作经验的增加，工资可能会呈现先上升后下降的趋势。
8.交通流量的模拟：交通流量的变化可以用二次函数来建模。
例如，小时交通流量随时间的变化可能呈现一个钟形曲线，交通高峰期的交通流量较大，而其他时间段的交通流量相对较小。
以上仅列举了二次函数在生活中的一些应用，其中还有许多其他的应用。
二次函数在实际生活中的应用.(最新整理)
二次函数在实际生活中的应用【经典母题】某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？解：设售价为每瓶x 元时，日均毛利润为y 元，由题意，得日均销售量为400－40[(x －12)÷0.5]＝1 360－80x ，y ＝(x －9)(1 360－80x )＝－80x 2＋2 080x －12 240(10≤x ≤14)．－＝－＝13，b 2a 2 0802×（－80）∵10≤13≤14，∴当x ＝13时，y 取最大值，y 最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)．答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元．【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论．【中考变形】1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y (件)与销售单价x (元)的关系如图Z8－1所示．(1)图中点P 所表示的实际意义是__当售价定为35元/件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时，销售量相应减少__20__件；(2)请直接写出y 与x 之间的函数表达式：__y ＝20x ＋图Z8－11_000__；自变量x 的取值范围为__30≤x ≤50__；(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)图中点P 所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300件；第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元)，销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)．(2)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将点(30，400)，(35，300)代入，得解得{400＝30k ＋b ，300＝35k ＋b ，){k ＝－20，b ＝1 000，)∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－20x ＋1 000.当y ＝0时，x ＝50，∴自变量x 的取值范围为30≤x ≤50.(3)设第二个月的利润为W 元，由已知得W ＝(x －20)y ＝(x －20)(－20x ＋1 000)＝－20x 2＋1 400x －20 000＝－20(x －35)2＋4 500，∵－20＜0，∴当x ＝35时，W 取最大值4 500.答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4 500元．2．[2016·宁波一模]大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a 元，市场调查发现日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：销售价x (元/件)…110115120125 130…销售量y (件)…50454035 30…若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出＝商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)．(1)求日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的函数关系式；(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润＝销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？解：(1)由表可知，y 是关于x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ，将x ＝110，y ＝50；x ＝115，y ＝45分别代入，得解得{110k ＋b ＝50，115k ＋b ＝45，){k ＝－1，b ＝160，)∴y ＝－x ＋160(0＜x ≤160)；(2)由已知可得50×110＝50a ＋3×100＋200，解得a ＝100.设每天的毛利润为W 元，则W ＝(x －100)(－x ＋160)－2×100－200＝－x 2＋260x －16 400＝－(x －130)2＋500，∴当x ＝130时，W 取最大值500.答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛利润为500元；(3)设需t 天才能还清集资款，则500t ≥50 000＋0.000 2×50 000t ，解得t ≥102.249∵t 为整数，∴t 的最小值为103天．答：该店最少需要103天才能还清集资款．3．[2017·青岛]青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：13淡季旺季未入住房间数100日总收入(元)24 00040 000(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？(注：上涨价格需为25的倍数)解：(1)设淡季每间的价格为x 元，依题意得＝＋10，解得x ＝600，40 000x (1＋13)24 000x ∴酒店豪华间有＝＝50(间)，40 000x (1＋13)40 000600×(1＋13)旺季每间价格为x ＋x ＝600＋×600＝800(元)．1313答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；(2)设该酒店豪华间的价格上涨x 元，日总收入为y 元，y ＝(800＋x )＝－(x －225)2＋42 025，(50－x 25)125∴当x ＝225时，y 取最大值42 025.答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42 025元．4．某公司经营杨梅业务，以3万元/t 的价格向农户收购杨梅后，分拣成A ，B 两类，A 类杨梅包装后直接销售，B 类杨梅深加工再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/t ，根据市场调查，它的平均销售价格y (万元/t)与销售数量x (x ≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8－2，B 类杨梅深加工总费用s (单位：万元)与加工数量t (单位：t)之间的函数关系是s ＝12＋3t ，平均销售价格为9万元/t.图Z8－2(1)直接写出A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式；(2)第一次该公司收购了20 t 杨梅，其中A 类杨梅x t ，经营这批杨梅所获得的毛利润为W 万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)．①求W 关于x 的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直接销售的A 类杨梅有多少吨？(3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．解：(1)y ＝{－x ＋14（2≤x ＜8），6（x ≥8）；)(2)∵销售A 类杨梅x t ，则销售B 类杨梅(20－x )t.①当2≤x ＜8时，W ＝x (－x ＋14)＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x 2＋7x ＋48，当x ≥8时，W ＝6x ＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x ＋48，∴函数表达式为W ＝{－x 2＋7x ＋48（2≤x ＜8），－x ＋48（x ≥8）；)②当2≤x ＜8时，－x 2＋7x ＋48＝30，解得x 1＝9，x 2＝－2，均不合题意，当x ≥8时，－x ＋48＝30，解得x ＝18.答：当毛利润达到30万元时，直接销售的A 类杨梅有18 t ；(3)设该公司用132万元共购买m t 杨梅，其中A 类杨梅为x t ，B 类杨梅为(m －x )t ，购买费用为3m 万元．由题意，得3m ＋x ＋[12＋3(m －x )]＝132，化简，得3m ＝x ＋60.①当2≤x ＜8时，W ＝x (－x ＋14)＋9(m －x )－132，把3m ＝x ＋60代入，得W ＝－(x －4)2＋64，当x ＝4时，有最大毛利润64万元．此时，m ＝，m －x ＝；643523②当x ≥8时，W ＝6x ＋9(m －x )－132，由3m ＝x ＋60，得W ＝48，当x ≥8时，毛利润总为48万元．答：综上所述，购买杨梅共 t ，且其中直销A 类杨梅4 t ，B 类杨梅 t ，643523公司能获得最大毛利润64万元．【中考预测】某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，销售价应定为多少？(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．解：(1)由题意可得月销售利润y与售价之间的函数关系式为y＝(x－30)[600－10(x－40)]＝－10x2＋1 300x－30 000；(2)当x＝45时，600－10(x－40)＝550(件)，y＝－10×452＋1 300×45－30 000＝8 250(元)；(3)令y＝10 000，代入(1)中函数关系式，得10 000＝－10x2＋1 300x－30 000，解得x1＝50，x2＝80.当x＝80时，600－10(80－40)＝200＜300(不合题意，舍去)，故销售价应定为50元；(4)y＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250，∴x＝65时，y取最大值12 250.答：当销售价定为65元时会获得最大利润，最大利润为12 250元．。
如何用二次函数解决生活中的实际问题
与 速度 （ 千米 ／ 时） 满 足 函数 ｙ ＝ ， 请 就 两 米 ？ （ 取４ 丁＝ ７ ） 车 的速度 方 面分析 相撞 的原 因 ．
（ ｔ）
＿
－
Ｍ
４
＿
５ ｌ Ｏ １ ５ ２ ０ ２ ５ ｘ（ 千米 时）
（ １ ） 请 用上表 中的各对数据（ ， ｖ ） 作为点 的坐标 ，在 图 ２ 所示的坐标系 中画出甲车刹 车距离 ｙ （ 米） 与 （ 千米 ／ 时） 的 函数 图 象 ， 并 求 函数 的解 析式 ． （ ２ ）在 一 个 限 速 为 ４ ０千 米 ／ 时 的弯 路 上， 甲、 乙两 车相 向而 行 ， 同时刹 车 ， 但 还 是 相 撞 了． 事后 测 得 甲 、 乙 两 车 的刹 车距 离 分别 为 ｌ ２米 和 ｌ ０ ． ５米 ， 又 知 乙车 的刹 车距 离 （ 米）
（ ｘ － ６ ） ＝ ４ ８ ，
解得 Ｘ １ ＝ ３ 、 ／ ／ － ３ ， Ｘ ２ ＝ － ３ 、 ／ － ３ （ 舍去 ） ，
所以ｙ ＝ 一 ｌ Ｏ ０ ０ ｘ ＋ ６ ０ ０ ０ ｘ ＝ 一 １ ０ ０ ０ （ ３ 一 ３ ）
１ ＝ ４ 、 ／ 丁＋ ６ —１ ３ ， ２ ＝ － ４ 、 ／ 丁＋ ６ ＜０ （ 舍去 ） ， 足球第一 次落地距 守门员约 １ ３米． （ ３ ） 如图， 第二 次足球 弹 出后 的距 离为 Ｃ Ｄ，
’
米高 ， 球落地后 又一次弹起．据实验测算 ， 足 球 在 草坪 上 弹起后 的抛 物 线 与原来 的抛 物线 形状 相 同 ，最 大 高度 减少 到 原来 最 大高 度 的
一
半．
（ １ ） 求足球 开始飞出到第一次落地时 ， 该 抛物 线 的表达 式． （ ２ ）足球 第 一次 落地 点 ｃ距守 门员多 少 （ ３ ） 运动员乙要抢到第二个落点 Ｄ ， 他应
二次函数的日常应用实例
二次函数的日常应用实例二次函数作为高中数学中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
本文将介绍二次函数在现实生活中的几个常见应用实例，以帮助读者更好地理解和应用这一数学知识。
1. 物体运动的轨迹分析二次函数可以描述物体在空间中的运动轨迹。
例如，当一个投掷物体从地面上抛出时，它的运动轨迹可以用二次函数来描述。
假设一个物体从地面上以初始速度v向上抛出，重力加速度为g。
物体的高度h 可以用二次函数h(t) = -0.5gt^2 + vt + h_0来表示，其中t表示时间，h_0表示初始高度。
通过解析二次函数，可以分析物体的运动轨迹、最大高度、飞行时间等参数。
2. 抛物线形状的建筑设计在建筑设计中，抛物线形状经常被应用于拱门、扶手、悬臂等结构中。
这些结构的形状可以用二次函数来描述。
通过对二次函数进行合适的平移、缩放和旋转，可以根据设计要求来创建出各种形态的抛物线结构。
抛物线结构不仅具有美观的外观，还具有稳定性和均衡负荷的优势。
3. 经济学中的消费模型在经济学中，二次函数常常被用来建立消费模型，帮助研究者了解人们的消费行为。
例如，假设一个人的收入为x，他的消费支出为y。
那么，他的消费行为可以用二次函数y = ax^2 + bx + c来模拟。
通过研究二次函数的系数a、b、c，可以分析消费者的倾向、边际消费率以及其对价格变化的敏感度等信息，为企业和政府制定经济政策提供指导。
4. 高精度测量中的误差修正在科学实验和测量中，我们经常需要对测量误差进行修正。
二次函数被广泛应用于误差修正的算法中。
假设我们进行一次测量，得到的结果为y，而真实值为x。
我们可以构建一个二次函数y = ax^2 + bx + c 来表示测量值与真实值之间的关系。
通过测量多组数据并利用最小二乘法求解系数a、b、c，我们可以对测量结果进行校正，提高测量精度。
5. 经典力学中的力学模型二次函数在经典力学中也有重要的应用。
例如，胡克定律描述了弹簧的弹性变形与施加力之间的关系。
二次函数在生活中的应用案例
二次函数在生活中的应用案例1. 游艺项目中的过山车设计过山车是一个经典的游艺项目，其设计中应用了二次函数的概念。
在过山车的设计中，设计师需要考虑到乘客的体验和安全。
二次函数可以描述过山车的轨道曲线，使乘客在高速行驶和兴奋的同时，保持相对平稳和安全的感觉。
通过调整二次函数的参数，如抛物线的开口方向、高度、曲率等，设计师可以创造出令人惊险刺激又相对安全的过山车体验。
2. 投掷运动中的球的抛物线轨迹在投掷运动中，例如投掷物体或运动员抛投物体，物体在空中的轨迹可以被二次函数描述。
球类运动如篮球、足球、棒球等的投掷和弹射过程，都可以用二次函数模型来描述球的运动轨迹。
运动员和教练可以利用二次函数模型来预测球的飞行轨迹和最佳投掷角度，从而提高命中率和战术效果。
3. 桥梁和建筑物设计在桥梁和建筑物的设计过程中，对于拱形和弧形结构的设计，也是利用了二次函数的概念。
二次函数可以描述建筑物和桥梁的曲线形状，使得结构既具有美观性，又具备一定的坚固和稳定性。
例如，拱桥和拱门的设计中，二次函数模型可以帮助工程师确定合适的拱形曲线，以及正确的弧度和支撑结构，从而确保桥梁的结构稳定和承载能力。
4. 金融领域的货币供给和通货膨胀模型二次函数在金融领域中也有广泛的应用。
例如，货币供给和通货膨胀模型可以使用二次函数来描述。
在经济学中，通过调整二次函数的参数，如货币供应量和通货膨胀率之间的关系，可以预测未来经济的走势和市场表现。
政府和央行可以据此采取相应的货币政策，以维持经济的稳定和平衡。
5. 自然界中的抛物线曲线在自然界中，许多自然现象的运动轨迹也可以用二次函数来描述。
例如，抛物线轨迹可以在大多数情况下模拟自然界中物体的运动。
比如，自由落体下的物体、喷泉中水的喷射、炮弹的轨迹等都可以使用二次函数模型来描述其运动状态。
通过利用二次函数，我们可以更好地理解和解释自然界中的规律和现象。
总结：二次函数在生活中的应用案例非常广泛。
从游艺项目的过山车设计到金融领域的经济模型，从投掷运动的球的抛物线轨迹到桥梁和建筑物的设计，二次函数都发挥着重要的作用。
二次函数现实生活题目
二次函数现实生活题目
以下是一些与二次函数相关的现实生活问题：
1. 抛物线型拱桥问题：当一个抛物线形状的拱桥满载时，如何计算通过它的车辆的最大数量？这涉及到二次函数在特定条件下的最大值或最小值的计算。
2. 篮球运动轨迹分析：篮球运动员投篮时，篮球的运动轨迹可以近似为二次函数。
通过分析这个二次函数，可以预测篮球的落点，从而帮助运动员提高投篮的准确率。
3. 房屋贷款和利息：房屋贷款通常涉及到一个二次函数，用于计算每个月需要还款的金额。
这是一个典型的利用二次函数解决实际问题的情况。
4. 药物剂量和疗效：在医学中，药物的剂量和疗效之间的关系可以用二次函数来描述。
通过调整剂量，可以找到最佳的治疗效果。
5. 火箭发射和重力：火箭发射时，重力是影响火箭高度的关键因素之一。
火箭的高度和时间的关系可以用二次函数来描述。
6. 音乐和声学：音乐中的和声学涉及到频率和音量的关系，这也可以用二次函数来描述。
例如，一个乐器的音高可以通过调整其振动频率来改变，而频率和振幅之间的关系可以用二次函数来描述。
7. 经济学和供需关系：在经济学中，供需关系可以用二次函数来描述。
例如，供应量和价格之间的关系可能是一个二次函数，通过分析这个函数，可以预测市场的价格变动。
希望这些问题能够给你一些启示，也鼓励你发现和提出更多与二次函数相关的现实生活问题。
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用二次函数解决生活问题
用二次函数解决生活问题
二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的常见的数学模型．将实际问题中的变量关系转化成二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．
一、以现实的生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等“抛物线”的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数确定二次函数的表达式
例1 如图1，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起
投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，
达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面
的距离为3.05米．求抛物线的关系式．
分析：由函数图象的对称轴为y 轴，故可设篮球运行的路线
所对应的函数关系式为y =ax 2+k （a ≠0，k ≠0）．
例 2 如图2，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB ＝20米，顶点M 距水面6米（即MO ＝6米），小孔顶点N 距水面
4.5米（NC ＝4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图3中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF ．
分析：观察图3的图象可知抛物线的对称轴为y 轴，顶点为（0，6），故可设函数关系式为y =ax 2＋6．又因为AB ＝20，所以OB ＝10，故B （10，0）又在抛物线上，可代入求值．
二、在几何图形中，利用图形的面积、相似三角形等有关知
识获得y 与x 的关系式
例3 如图4，用长为l2 m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出
一块苗圃．围出的苗圃是五边形ABCDE ，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，
∠C =∠D =∠E ．设CD =DE =xm ，五边形ABCDE 的面积为Sm 2．问
当x 取什么值时，S 最大?并求出S 的最大值．
分析：本题可通过对图形的适当分割，转化为比较熟悉的三
角形、特殊四边形的面积问题来解决．
关于二次函数的实际应用，体现在生活中的方方面面。
关键是同学们掌握这种处理实际问题的思路，达到举一反三的效果，不管题目背景如何变化，但它万变不离其宗，只要我们有了这种方法，任何问题都可以迎刃而解．
图2
图3
图1
图
4。