2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)坐标系与参数方程第2课时参数方程课时训练新人教A版选修4-4

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(新课标I版)2015届高考数学一轮复习坐标系与参数方程试题理

坐标系与参数方程1【2014新课标I 版（理）23】（本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A，PA 的最大值与最小值．【答案】2cos .().3sin .60.x y l x y θθθ=⎧⎨=⎩+-=（I ）曲线C 的参数方程为为参数直线的普通方程为2cos sin 3sin6.l d θθθθ=+-（II ）曲线C 上任意一点P(2.3)到的距离为4)6,tan .sin 303sin 5sin()15d PA PA PA θαααθαθα==+-=︒+=则其中为锐角，且当(+)=-1时，取得最大值，最大值为当时，取得最小值，最小值为2【2013新课标I 版（理）23】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【答案】（1）因为45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩，消去参数，得22(4)(5)25x y -+-=，即22810160x y x y +--+=，故1C 极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）2C 的普通方程为2220x y y +-=，由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，所以1C 、2C交点的极坐标为),(2,)42ππ.3【2012新课标I 版（理）23】选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ⎧⎨⎩＝，＝，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)． (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值X 围．【答案】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ 点,,,A B C D的直角坐标为1,1)-- （2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]ϕ=+∈41 ．（某某省某某市2014届高三摸底考试数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122,(3x tty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),曲线C的极坐标方程为2sin8cos.ρθθ=(I)求C的直角坐标方程;(II)设直线l与曲线C交于A、B两点,求弦长|AB|.【答案】52 ．（某某省井陉县第一中学2014届高三10月月考数学（理）试题）在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为2cos22sinxyαα=⎧⎨=+⎩(α为参数)M是C1上的动点,P点满足2=,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程(Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB.【答案】解:(I)设P(x,y),则由条件知M(2,2yx).由于M点在C1上,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ααsin222cos22yx即⎩⎨⎧+==ααsin44cos4yx从而2C的参数方程为4cos44sinxyαα=⎧⎨=+⎩(α为参数)(Ⅱ)曲线1C的极坐标方程为4sinρθ=,曲线2C的极坐标方程为8sinρθ=.射线3πθ=与1C的交点A的极径为14sin3πρ=,射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=.所以21||||AB ρρ-==3 ．（某某省某某中学2014届高三上学期三调考试数学（理）试题）已知函数()1f x x =-.(I)解不等式: 1()(1)2f x f x ≤+-≤; (II)若0＞a ,求证:()()f ax af x -≤()f a .【答案】解: (1)由题()(1)f x f x +-12x x =-+-121x x ≥-+-=. 因此只须解不等式122x x -+-≤. 2分当1x ≤时,原不式等价于232x -+≤,即112x ≤≤. 当12x <≤时,原不式等价于12≤,即12x <≤.当2x >时,原不式等价于232x -≤,即522x <≤.综上,原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭(2)由题()()f ax af x -11ax a x =---. 当a >0时,()()f ax af x -1ax ax a =---1ax a ax =---1ax a ax ≤-+-1a =-()f a =64．（某某省某某市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试题）【选修4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C a a =>ρθθ,已知过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为:2242x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点.(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若,,PM MN PN 成等比数列, 求a 的值.【答案】解:(Ⅰ)根据极坐标与直角坐标的转化可得,C:ρsin 2θ=2acosθ⇒ρ2sin 2θ=2aρcosθ,即 y 2=2ax,直线L 的参数方程为:,消去参数t 得:直线L 的方程为y+4=x+2即y=x ﹣2(Ⅱ)直线l 的参数方程为(t 为参数),代入y 2=2ax 得到, 则有因为|MN|2=|PM|•|PN|,所以即:[2(4+a)]2﹣4×8(4+a)=8(4+a)解得 a=1 75．（某某省高阳中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数),以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=. (1)求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程;(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ,求||AB .【答案】解:(1)曲线C 的普通方程为01=--y x ,曲线P 的直角坐标方程为03422=+-+x y x(2)曲线P 可化为1)2(22=+-y x ,表示圆心在)0,2(,半径=r 1的圆, 则圆心到直线C 的距离为2221==d , 所以2222=-=d r AB6 ．（某某省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word 版)）选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线1:221=+y x C ,以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线ρθθ8sin 2cos 3:-=-l .(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的2倍,3倍后得到曲线C 2,试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程; (2)求C 2上一点P 的l 的距离的最大值. 【答案】7 ．（某某省某某市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）选修4-4:极坐标与参数方程选讲已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=,直线l 的参数方程是:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 225225 (t 为参数).(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程,直线l 的普通方程; (Ⅱ)将曲线C 横坐标缩短为原来的21,再向左平移1个单位,得到曲线1C ,求曲线1C 上的点到直线l 距离的最小值.【答案】8 ．（某某省某某市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）选修4—4;坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>;过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t是参数),直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.(1) 写出曲线C 和直线l 的普通方程;(2) 若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值. 【答案】解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为2:2,C y ax = 直线l 的普通方程为20x y --=(Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得()2116402t t a -++=, 1212,328t t t t a ∴+==+因为|||||,||||,|||2121t t MN t PN t PM -===, 由题意知,21221212215)(||||t t t t t t t t =+⇒=-,代入得 1=a . 9 ．（某某省某某中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题）选修4—4:坐标系与参数方程已知圆1C 的参数方程为=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩(ϕ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆2C 的极坐标方程为2cos()3πρθ=+.(Ⅰ)将圆1C 的参数方程化为普通方程,将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆1C 、2C 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由. 【答案】解:(Ⅰ)由=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩得x 2+y 2=1,又∵ρ=2cos(θ+π3)=cos θ-3sin θ,∴ρ2=ρcos θ-3ρsin θ.∴x 2+y 2-x +3y =0,即221()(12x y -+=(Ⅱ)圆心距12d ==<,得两圆相交由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1x 2＋y 2－x ＋3y ＝0得,A (1,0),B 1(,2-,∴ 2213||(1+)+(0+)=322AB = 10 ．（某某省某某一中、某某一中、康杰中学、某某二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）(本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x (t 为参数,0<α<π),曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,当α变化时,求|AB |的最小值. 【答案】(本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程解:(I)由θθρcos 4sin 2=,得θρθρcos 4)sin (2= 所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42=(II)将直线l 的参数方程代入x y 42=,得t 2sin 2α-4t cos α-4=0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2,则t 1+t 2=αα2sin cos 4,t 1t 2=α2sin 4-, ∴|AB |=|t 1-t 2|=t 1＋t 22－4t 1t 2=αααα2242sin 4sin 16sin cos 16=+, 当α=π2时,|AB |的最小值为411．（某某省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为3ρθ=. (1)求圆C 的直角坐标方程;(2)设圆C 与直线l 交于点A,B,若点P 的坐标为3求|PA|+|PB|.【答案】(Ⅰ)由3ρθ=得22(3)3x y +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分(Ⅱ)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得2222(2)()322-+=, 即22210t t -+=由于0∆>,故可设12,t t 是上述方程的两实根,所以12121t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩故由上式及t 的几何意义得:|PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 12．（某某省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程选讲已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为122t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)(Ⅰ)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换3x xy y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C ',设曲线C '上任意一点为(,)M x y ,求x +的最小值.【答案】(Ⅰ) :21)l y x -=-;圆22:1C x y +=(Ⅱ)曲线22:19x C y '+= 令3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩∴3cos )x θθθϕ+=+=+∴x +的最小值为13．（某某省某某市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版））(本小题_分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,以原点0为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知的取值X 围.【答案】选修4-4:坐标系与参数方程解:(Ⅰ)法一:22=a 时,圆C 的直角坐标方程为8)2()2(22=++-y x , ∴圆心C(2,-2)又点O 的直角坐标为(0,0),且点A 与点O 关于点C 对称, 所以点A 的直角坐标为(4,-4)法二:22=a 时,圆C 的直角坐标方程为8)2()2(22=++-y x ① ∴圆心C(2,-2)又点O 的直角坐标为(0,0),所以直线OA 的直线方程为x y -=② 联立①②解得⎩⎨⎧==00y x (舍)或⎩⎨⎧-==44y x所以点A 的直角坐标为(4,-4) 法三:由)4cos(24πθρ+=得圆心C 极坐标)4,22(π-,所以射线OC 的方程为4πθ-= ,代入)4cos(24πθρ+=得24=ρ所以点A 的极坐标为)4,24(π-化为直角坐标得A(4,-4)(Ⅱ)法一:圆C 的直角坐标方程为222)22()22(a a y a x =++-, 直线l 的方程为y=2x.所以圆心C(a 22,a 22-)到直线l 的距离为5222a a --,∴d=210922a a -=a 510. 所以a 510≥2,解得5≥a 法二:圆C 的直角坐标方程为02222=+-+ay ax y x ,将⎩⎨⎧==ty tx 42化为标准参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==my m x 204202代入得05102=+am m ,解得==21,0m m a 510-, ∴d=||21m m -=a 510, ,所以a 510≥2,解得5≥a 法三:圆C 的直角坐标方程为02222=+-+ay ax y x ,直线l 的方程为y=2x.联立⎩⎨⎧==+-+xy ay ax y x 202222得0252=+ax x解得a x x 52,021-== ∴d=||12212x x -+=a 510, 所以a 510≥2,解得5≥a 14．（某某省某某市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐(I)写出直线l 与曲线C 的直角坐标系下的方程;(II)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='=',2,y y x x 得到曲线C '设曲线C '上任一点为M(x,y),求y x 213+的取值X 围. 【答案】解:(Ⅰ)直线l 的普通方程,01323=--+y x 曲线C 的直角坐标方程422=+y x ;(Ⅱ)曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 2//得到曲线/C 的方程为4422=+y x , 则点M 参数方程为)(,sin 4,cos 2参数θθθ⎩⎨⎧==y x ,代入y x 213+得,y x 213+==⋅+⋅θθsin 421cos 23)3sin(4cos 32sin 2πθθθ+=+ ∴y x 213+的取值X 围是[]4,4-15．（某某省某某市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）选修4--4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=ty t x 322(t 为参数),直线l 与曲线C:(y 一2)2一2x =1交于A,B 两点(I)求|AB|的长;(Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P 的极坐标为(43,22π)求点P 到线段AB 中点M 的距离.【答案】16．（某某省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）选修4—4,坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是2242x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 是参数),圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+.(1)求圆心C的直角坐标;(2)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.【答案】17．（某某省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知点)sin,cos1(αα+P,参数[]πα,0∈,点Q在曲线C:)4sin(210πθρ-=上.(1)求在直角坐标系中点P的轨迹方程和曲线C的方程;(2)求|PQ|的最小值.【答案】试题分析:设点P的坐标为(x,y),则有1cos,sinxyαα=+⎧⎨=⎩消去参数α,可得22(1) 1.x y-+=由于α∈[0,π],∴y≥0,故点P的轨迹是上半圆).0(1)1(22≥=+-yyx∵曲线C:)4sin(210πθρ-=,即22102cos)22ρθ-θ=,即ρsinθ-ρcosθ=10,故曲线C的直角坐标方程:x-y+10=0.(2)如图所示:由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上,点P在半圆上,半圆的圆心C(1,0)到直线x-y+10=0的距离等于101011222-+=.即|PQ|的最小值为112-1.18．（某某省三市（某某、某某、某某）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程平面直角坐标系中,将曲线2cos2(sinxyααα=+⎧⎨=⎩为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线2C 的方程为4sin ρθ= (Ⅰ)求1C 和2C 的普通方程:(Ⅱ)求1C 和2C 公共弦的垂直平分线的极坐标方程.【答案】(Ⅰ)横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到2cos 2(2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数） ()22124C x y ∴-+=为又2224C y yρθ+=为=4sin ,即x(Ⅱ)12C C 和公共弦的垂直平分线的极坐标方程是cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭。

高考数学(理)一轮复习课件：坐标系与参数方程-2参数方程

π
当α＝ 4 时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝
2 2
，与
C2交点B1的横坐标为x′＝3
10 10 .
π
当α＝－ 4 时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别
与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为（2x′＋2x）2 （x′－x）＝25.
(2)由(1)知xy＝＝t12＋2t
① ②
由①得t＝x－2 1，代入②得y＝(x－2 1)2，∴(x－1)2－4y＝0.
[答案] (1)1 (2)(x－1)2－4y＝0
[规律总结] 化参数方程为普通方程，关键是消去参
数建立关于x，y的二元方程F(x，y)＝0，常用方法有代入
消元法，加减消元法，恒等式法，方法的选取是由方程
＝0.
由题意可得圆心C(－1，0)，则圆心到直线x＋y＋3＝
0的距离即为圆的半径，故r＝
2＝ 2
2 ，所以圆的方程为
(x＋1)2＋y2＝2.
高考测点典例研习
参数方程与普通方程的互化
例1 [教材改编]已知某曲线C的参数方程为
x＝1＋2t y＝at2
(其中t是参数，a∈R)，点M(5，4)在该曲线
点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝
π 2
时，这
两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝
π 4
时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1.当α
＝－
π 4
时，l与C1
，C2的交点分别为A2，B2求四边形
A1A2B2B1的面积．
[思路点拨] (1)将参数方程化成普通方程； (2)求出A1B1A2B2点的坐标结合图形求四边形的面积．

最高考系列高考数学总复习课时训练基础过关+能力训练选修4-4坐标系与参数方程第2课时参数方程含答案

选修4－4 坐标系与参数方程第2课时参数方程(理科专用)1. 曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 为参数，t ≠0)，求它的普通方程．解：1－x ＝1t ，t ＝11－x ，而y ＝1－t 2，则y ＝1－⎝⎛⎭⎫11－x 2＝x （x －2）（x －1）2(x ≠1)．2. 求曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点．解：当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为⎝⎛⎭⎫0，15；当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫12，0.3. 直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，求AB 的中点坐标．解：⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫－33＋32t 2＝16，得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4.中点为⎩⎨⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.即AB 中点坐标为(3，－3)． 4. 已知圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ(θ为参数)，求此圆的半径．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ，得x 2＋y 2＝25，则圆的半径为5. 5. 已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos θ，y ＝tsin θ与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，求直线的倾斜角．解：直线为y ＝xtan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为π6或5π6. 6. 求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t (t 为参数)被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)截得的弦长．解：把直线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t ，化为普通方程为x ＋y ＝2.将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α化为普通方程为x 2＋y 2＝9.圆心O 到直线的距离d ＝22＝2，故弦长L ＝2R 2－d 2＝29－2＝27.所以直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t 被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α截得的弦长为27. 7. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线C 1的方程为ρ2＝8ρsin θ－15，曲线C 2的方程为⎩⎨⎧x ＝22cos α，y ＝2sin α(α为参数)． (1) 将C 1的方程化为直角坐标方程；(2) 若C 2上的点Q 对应的参数为α＝3π4，P 为C 1上的动点，求PQ 的最小值．解：(1) x 2＋y 2－8y ＋15＝0.(2) 当α＝3π4时，得Q(－2，1)，点Q 到C 1的圆心的距离为13，所以PQ 的最小值为13－1.8. 已知点P 在椭圆x 216＋y 29＝1上，求点P 到直线3x －4y ＝24的最大距离和最小距离．解：设P(4cos θ，3sin θ)，则d ＝||12cos θ－12sin θ－245，即d ＝⎪⎪⎪⎪122cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－245，当cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1时，d max ＝125(2＋2)；当cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1时，d min ＝125(2－2)． 9. 已知直线l 经过点P(1，1)，倾斜角α＝π6. (1) 写出直线l 的参数方程；(2) 设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．解：(1) 直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋tcos π6，y ＝1＋tsin π6，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t.(2) 把直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t ，代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＝4，化简，得t 2＋(3＋1)t －2＝0，故t 1t 2＝－2，则点P 到A 、B 两点的距离之积为2.10. 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1) 将曲线C 的参数方程转化为普通方程；(2) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，试求线段AB 的长．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝16cos 2θ，y 2＝16sin 2θ.故曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2) (解法1)把⎩⎨⎧x ＝3＋12t y ＝7＋32t (t 为参数)代入方程x 2＋y 2＝16，得t 2＋83t ＋36＝0，∴ t 1＋t 2＝－83，t 1t 2＝36.∴ 线段AB 的长为|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4 3.(解法2)由⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t (t 为参数)，得l 的普通方程为3x －y ＋4＝0. 由(1)知圆心的坐标为(0，0)，圆的半径R ＝4，∴ 圆心到直线l 的距离d ＝|4|（3）2＋（－1）2＝2，∴ |AB|＝2R 2－d 2＝216－4＝4 3. 11. 已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos α，y ＝3＋sin α(α为参数), C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． (1) 将C 1、C 2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2) 若C 1上的点P 对应的参数为α＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．解：(1) C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1.C 1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆． C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2) 当α＝π2时，P(－4，4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ.C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|.从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取得最小值为855.。

高考数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程夯基提能作业本文

第二节参数方程A组基础题组1.已知曲线C的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C'.(1)求曲线C'的普通方程;(2)已知点A在曲线C'上,点D(1,3),当点A在曲线C'上运动时,求AD的中点P的轨迹方程.2.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角α的值.3.(2017吉林长春质量检测(三))已知在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ2(3+sin2θ)=12,曲线C2的参数方程为(t为参数),α∈.(1)求曲线C1的直角坐标方程,并判断该曲线是什么曲线;(2)设曲线C2与曲线C1的交点为A、B,P(1,0),当|PA|+|PB|=时,求cos α的值.4.(2017湖南湘中名校联考)已知直线l:(t为参数),曲线C1:(θ为参数). (1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.B组提升题组1.在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.2.(2017陕西西安八校联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,θ∈[0,2π).(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)在曲线C上求一点D,使它到直线l:(t为参数)的距离最短,并求出点D的直角坐标.3.(2017四川成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρcos2θ-4sin θ=0.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)已知点P(1,0).若点M的极坐标为,直线l经过点M且与曲线C相交于A,B两点,设线段AB的中点为Q,求|PQ|的值.4.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),曲线C的参数方程为(1)写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程;(2)过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A,B两点,若|MA|·|MB|=,求点M的轨迹.答案精解精析A组基础题组1.解析(1)将代入得曲线C'的参数方程,即∴曲线C'的普通方程为+y2=1.(2)设点P(x,y),A(x0,y0),∵D(1,3),且AD的中点为P,∴∴又点A在曲线C'上,∴代入C'的普通方程+y2=1,得(2x-1)2+4(2y-3)2=4,∴动点P的轨迹方程为(2x-1)2+4(2y-3)2=4.2.解析(1)由ρ=4cos θ,得(x-2)2+y2=4.(2)将代入圆的方程得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,化简得t2-2tcos α-3=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则∴|AB|=|t1-t2|===,∴4cos2α=2,cos α=±,α=或.3.解析(1)由ρ2(3+sin2θ)=12及x=ρcos θ,y=ρsin θ可得+=1,该曲线为椭圆.(2)将(t为参数)代入+=1得t2(4-cos2α)+6tcos α-9=0,设A、B对应的参数分别为t1、t2,则t1+t2=,t1t2=,所以|PA|+|PB|=|t1-t2|===,从而cos2α=,由于α∈,所以cos α=.4.解析(1)l的普通方程为y=(x-1),C 1的普通方程为x2+y2=1.联立得方程组解得l与C1的交点为A(1,0),B,则|AB|=1.(2)C2的参数方程为(θ为参数),故点P的坐标是,从而点P到直线l的距离d==,当sin=-1时,d取得最小值,且最小值为(-1).B组提升题组1.解析(1)由曲线C的极坐标方程ρ=,得ρ2sin2θ=2ρcos θ,所以曲线C的直角坐标方程是y2=2x.由直线l的参数方程得其普通方程为x-y-4=0.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2x,得t2-8t+7=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=8,t1t2=7,所以|AB|=|t1-t2|=×=×=6,因为原点到直线x-y-4=0的距离d==2,所以△AOB的面积是|AB|·d=×6×2=12.2.解析(1)由ρ=2sin θ,θ∈[0,2π),可得ρ2=2ρsin θ.因为ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0或x2+(y-1)2=1.(2)因为直线l的参数方程为(t为参数),消去t得直线l的普通方程为y=-x+5.因为曲线C:x2+(y-1)2=1是以G(0,1)为圆心、1为半径的圆,(易知C,l相离) 设点D(x0,y0),且点D到直线l:y=-x+5的距离最短,所以曲线C在点D处的切线与直线l:y=-x+5平行.即直线GD与l的斜率的乘积等于-1,即×(-)=-1,又+(y0-1)2=1,可得x0=-(舍去)或x0=,所以y0=,即点D的坐标为.3.解析(1)∵直线l的参数方程为(t为参数),∴直线l的普通方程为y=tan α·(x-1).由ρcos2θ-4sin θ=0得ρ2cos2θ-4ρsin θ=0,即x2-4y=0,∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y.(2)∵点M的极坐标为,∴点M的直角坐标为(0,1).∴tan α=-1,直线l的倾斜角α=.∴直线l的参数方程为(t为参数).代入x2=4y,得t2-6t+2=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2.∵Q为线段AB的中点,∴点Q对应的参数值为==3.又点P(1,0),则|PQ|==3.4.解析(1)直线l的直角坐标方程为y=x,曲线C的普通方程为+y2=1.(2)设点M(x0,y0),过点M的直线为l1,则l1的参数方程为(t为参数), 将直线l1的参数方程代入曲线C的方程可得+tx0+2ty0++2-2=0,由|MA|·|MB|=,得=.即+2=6,x2+2y2=6表示一椭圆,设直线l1为y=x+m,将y=x+m代入+y2=1得,3x2+4mx+2m2-2=0,由Δ>0得-<m<,故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线y=x±之间的两段椭圆弧.。

2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件：专题7 第2讲坐标系与参数方程(选修4-4)

π 1 0≤θ≤ . 即所求线段的极坐标方程为 ρ＝ 2 sin θ＋cos θ
高考专题辅导与测试·数学
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x＝1＋cos α， (2)①由消去 α， y＝sin α，
得点 P 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，又由 ρ＝ 9 ，得 ρ ＝， π sin θ＋cos θ 2sinθ＋4 9
y tan θ＝ x
x≠0
.
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2．圆的极坐标方程若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ
2 －θ0)＋ρ2 0－r ＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：ρ＝2acos θ；
(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值．
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x＝2cos θ，解：(1)曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数)． y＝3sin θ
可得 a＝ 2. 所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线 l 的直角坐标方程为 x＋y－2＝0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆 C 的圆心为(1,0)，半径 r＝1， 1 2 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d＝＝ 2 <1， 2 所以直线 l 与圆 C 相交．
所以 ρsin θ＋ρcos θ＝9. 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x＋y＝9. ②因为半圆(x－1)2＋y2＝1(y≥0)的圆心(1,0)到直线 x＋y＝9 的距离为 4 2，所以|PQ|min＝4 2－1.

2015届高考数学一轮总复习12-2坐标系与参数方程解析

2015届高考数学一轮总复习12-2坐标系与参数方程基础巩固强化一、选择题1.（文）极坐标方程（p—1）（0—n 0（p> 0）表示的图形是（）A .两个圆B .两条直线C .一个圆和一条射线D .一条直线和一条射线［答案］C［解析］原方程等价于尸1或0= n前者是半径为1的圆，后者是一条射线.n（理）（2013北京西城期末）在极坐标系中，已知点P（2, 6）,则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A . p sin 0= 1 B. psin 0= 3C. pcos 0= 1 D . p cos 0= . 3［答案］A［解析］点P（2, n的直角坐标为（3,1）,•••所求直线平行于极轴，.••所求直线的斜率k= 0.所求直线的普通方程为y= 1，化为极坐标方程为psin 0= 1,故选A.2 .（文）设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴为x轴正半轴，则直线x= 1 + 2t,y= 2 +1.（t为参数）被圆p= 3截得的弦长为（）12A飞B敖C."5［答案］B［解析］2 2圆的直角坐标方程为x + y = 9,直线的参数方程化为普通方程为x—2y+ 3 = 0,则圆心（0,0）到直线的距离d= ；•所以弦长为2；32—d2=十5（理）已知点2l x= 4t ,P（3, m）在以点F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|=（）A . 1B. 2C. 3 D . 4［答案］D［解析］将抛物线的参数方程化为普通方程为y2= 4x,则焦点F（1,0），准线方程为x=—1,又P(3, m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|= 3 —(-1) = 4.［x= 2+ t,3.(文)(2013北京海淀期末)已知直线I:l y=—2—t 数)，则直线I的倾斜角及圆心C的直角坐标分别为n nA. 7, (1,0)B.7, (—1,0)4 4c.35, (1,0) D^, (—1,0)［答案］c［解析］•••直线I的普通方程为x+ y= 0,3 n•••直线l的倾斜角为宁4又•••圆C的普通方程为(x—1)2+ y2= 4 ,•圆心坐标为(1,0),故选C.x= —1 + 2t ,x = 2cos 0+ 1 ,(t为参数)与圆C :彳(0为参|y = 2sin 0)l y=—1 —tx= 1 + 3cos 0,(t为参数)被曲线U1 + 3sin0 (0为参数，0€ R)所截,则截得的弦的长度是( )A ―^―5c 3/22B. 5D . 6迄［答案］Bx=—1+ 2t ,［解析］••x+ 2y+ 3= 0. [y= - 1 -1 ,x= 1 + 3cos 0 ,•叫••(x—1)2+ (y—1)2= 9 ,(理)(2013山西太原测评)若直线7= 1 + 3sin 0,•圆心(1,1)到直线x + 2y+ 3= 0的距离|1 + 2 + 3| ^5 d=.5 =亏，弦长为2- 32—6552=晋,故选B.x= 1 + 3t ,4 .若直线的参数方程为' 厂(t为参数),则直线的倾斜角为()■y = 2—3t.A .30 °B .60 °［答案］直线的倾斜角为150° n5.（文）在极坐标系中，过点（2, 3）且与极轴平行的直线的方程是（）A . p os 0= ■ _ 3B . p in 0= . 3C . p= _ 3cos 0D .尸：：：; 3sin 0［答案］B［解析］设P （p, 0是所求直线上任意一点，则p in 0= 2sin n ，/.psin 0=^/3，故选B.（2专）（理）（2013安徽理，7）在极坐标系中，圆 p= 2cos 0的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A . 0= 0（ p€ R ）和 p os 0= 2B . 0= 2（ p€ R ）和 p cos 0= 2n十C . 0= 2（ p€ R ）和 p cos 0= 1D . 0= 0（ p€ R ）和 p os 0= 1 ［答案］B［解析］由题意可知，圆 p= 2cos 0可化为普通方程为（x — 1）2+ y 2= 1. 所以圆的垂直于 x 轴的两条切线方程分别为x = 0和x = 2，再将两条切线方程化为极坐标方程分n别为 0= 2（p€R ）和 pcos 0= 2,故选 B.x = 2cos 0,x = t ,（0为参数）和直线I ： i （t 为参数，b 为y = 2sin 0. y = t + b.实数），若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b =（D . 1506. （2012淮南市二模）已知曲线 C : A. ,2 B .— 2D . ±. 2［解析］［答案］［解析］将曲线C和直线I的参数方程分别化为普通方程为X2+ y2= 4和y= x+ b，依题意，若要使圆上有3个点到直线I的距离为1,只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b|= 1,解得by［2=± 2.二、填空题x= 1 —2t, 7 •若直线11：1y= 2 + kt.x s,（t为参数）与直线b：U （s为参数）垂直，则k= .I y= 1 —2s.［答案］—1［x= 1 —2t,［解析］11： 5 (t为参数)y= 2+ kt.k化为普通方程为y—2= —2(x—1),|x= s,I2：S （s为参数）化为普通方程为y—1 = —2x,7= 1 —2 s.k■•I1 JL2,-—2 （—2）= —1, k=—1.x= t8.（文）（2013江西理，15）设曲线C的参数方程为（ 2 （t为参数），若以直角坐标系的原点为ly=t极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为______________ .2［答案］pcos 0—sin B= 0x=t，2［解析］由参数方程$ 2得曲线在直角坐标系下的方程为y= x2.、y=tfx= pcos 0,由公式< 得曲线C的极坐标方程为pcos20= sin 0y= psin 0（理）（2013陕西理，15）如图，以过原点的直线的倾斜角0为参数，则圆x2+ y2—x = 0的参数方程为________ .x= cos2 0,［答案］（0为参数）y= sin 0cos0［解析］y由三角函数定义知 -=tan0x M 0）, y= xtan0 ,x2 2 2 2 2 1 2 由x + y —x= 0 得，x + x tan 0— x = 0, x= — = cos 0,1 + tan 0则y= xtan 0= cos20an 0= sin Ocos 0,又0=中寸，x= 0, y= 0也适合题意,］'x= cos2 0,故参数方程为（0为参数）.y= sin 0cos0［解法探究］因为直线OP与圆的交点为P,所以点P与直径两端点构成直角三角形，故可通过解直角三角形求得参数方程.(理)在极坐标系中，圆尸4cos B 的圆心C 到直线psin ( B+才)=2^2的距离为 __________ .［答案］2［解析］注意到圆p= 4cos 0的直角坐标方程是 x 2 + y 2= 4x ,圆心C 的坐标是(2,0).直线p sin( 0n —|2+ 0— 4|-+ 4)= 2眾的直角坐标方程是 x + y — 4 = 0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于寸㊁=V 2.三、解答题10 .(文)(2012河南六市联考 )曲线 C i 的极坐标方程为 p= 4cos 0,直线 C 2的参数方程为x = 3 + 4t ,(t 为参数).y = 2 + 3t.(1) 将C i 化为直角坐标方程；(2) 曲线C i 与C 2是否相交？若相交，求出弦长，若不相交，请说明理由.2 2 2•••圆的直径为1.设 P （x , y ），则 OP|= cos 0, 2x = |OP|cos 0= cos 0, y = |OP|sin 0= sin 0os 0.广 2x = cos 0,•圆的参数方程为彳（0为参）9.（文）（2012深圳调研）在极坐标系中，点 P （1 ,寸）到直线I : pcos （0+ ；）=晋上的点的最短距离为 ________ .［答案］2 ,2［解析］注意到点P （1, n 的直角坐标是（0,1），直线I : pcos （0+ n =节的直角坐标方程是x — yn—3 = 0,因此点P （1, 2）到直线l 上的点的最短距离，即点P 到直线l 的距离，等于 |0— 1 —3|2 将圆x 2 + y 2— x = 0配方得,［解析］(1) '■'= 4cos 0 ••• p = 4 ［:c os 0 , -'x + y = 4x,所以C1的直角坐标方程为x2+ y2—4x= 0.(2)C2的直角坐标方程为3x—4y —1 = 0,C1表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.圆心C1(2,0)到直线C2的距离|3X 2 —4X 0—1|d = . ------------ = 1<2.小2+ 42所以C1与C2相交.相交弦长AB|= 2 22—12= 2,3.x= 1 + tCOS a,(理)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：尸1.(极坐标轴与x轴非负半轴重合) y= tsin a.(1) 当a= 3时，求直线C1被圆C2所截得的弦长；(2) 过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A.当a变化时，求A点的轨迹的普通方程.［解析］(1)当a= 3时，C1的普通方程为y= . 3(x—1),C2的普通方程为x2+ y2= 1.y=也区-1,法1:联立方程组［x2+ y2= 1.解得C 1与C 2的交点为（1,0）, （2，— g 3法2 :原点O 到直线C 1的距离为 --------------- _ , .；'32 + 1 2又圆C 2的半径为1，所以截得的弦长为 2\” 一（%3 （= 2 X 2= 1. (2) C 1 的普通方程为 xs in a- ycos a — sin a= 0. A 点坐标为 (sin 2 a, — cos a sin a ),所以A 点轨迹的普通方程为x 2+ y 2 — x = 0.能力拓展提升、填空题"x = V2cost厂（t 为参数）,C 在点（1,1）处的切线剧=7 2sint 为I ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则I 的极坐标方程为［答案］p in( 0+ n = 2X = V2cost ,［解析］•••曲线C 的参数方程为（t 为参数）,y= int ,•••其普通方程为X 2+ y 2= 2.又点（1,1）在曲线C 上，•曲线I 的斜率k =— 1. 故I 的方程为x + y — 2= 0,化为极坐标方程为 pcos 0+ psin 0= 2, 即 p>in （0+ 4 ）=.2.12 .（文）极坐标系中，点 A 在曲线尸2si n 0上，点B 在曲线 p os 0=— 2上，则|AB|的最小值为［答案］12［解析］p= 2sin 0? p = 2 p in 0 ••x 2+ y 2 — 2y = 0，即 x 2+ (y — 1)2= 1;),10— 0- ,'3|3故当a 变化时，A 点轨迹的参数方程为叫 x = sin 2 a(a 为参数).［y =— sin a cos a11. （2013广东理，14）已知曲线C 的参数方程为‘ 所以截得的弦长为'•'pcos 0= — 2 ,「x = — 2,易知圆心（0,1）到直线x = — 2的距离为2,圆半径为1,故|AB|min = 1.（理）在极坐标系中，设 P 是直线I : p cos 0+ sin 0） = 4上任一点，Q 是圆C ： p 2= 4 pcos 0- 3上任一点，贝U |PQ|的最小值是 _______ .［答案］ 2—1［解析］直线I 方程化为x + y — 4= 0,O C 方程化为 x 2+ y 2— 4x + 3= 0,即（x — 2）2 + y 2= 1.••|PQ|min = . 2 — 1.13 .（文）（2013广东深圳一模）在直角坐标系xOy 中，以原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴建立『x =x/t极坐标系.曲线 C 1的参数方程为，'（t 为参数），曲线C 2的极坐标方程为p in 0- pcos 0= 3,対=t + 1则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为 ___________ .［答案］（2,5）［解析］将曲线C 1的参数方程和曲线 C 2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程 C 1: y = x 2 + 1,C 2： y — x = 3,y = x 2 + 1, x = 2, 由解得y —x = 3,y = 5,故交点坐标为（2,5）.2 2（理）以椭圆2x5 + ^6 = 1的焦点为焦点，以直线x= sec 0,n［答案］；=2屈n o （片k n+刁［解析］•••椭圆的焦点（±,0），•双曲线中c = 3,x = 2t ,又直线化为y = 2 .2x ,它是双曲线的渐近线,圆心C （2,0）到直线l 的距离d = |2+ 0 — 4| =2, x=/2t、曲=4t为渐近线的双曲线的参数方程为y= 4t.•'b = 2 .2, ■ a = 1, b = 8,「.a= 1, b = 2話2,ax= sec B, n•••双曲线的参数方程为(片k n+ n).y= 2>/2ta n 0.x= cos 014 . (2013广东广州调研)已知圆C的参数方程为(0为参数)，以原点为极点，x轴|y= sin 0+ 2的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为p in 0+ pcos 0= 1，则直线I被圆C所截得的弦长是_________ .［答案］3［解析］圆C的参数方程化为普通方程为x2+ (y—2)2= 1,直线I的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x+ y= 1,|0+ 2—1|圆心到直线的距离 d =--------- =弋2,V2 2故圆C截直线I所得的弦长为2 ；12—d2= 2.二、解答题15 .(文)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标坐标系取相等的单位n 长度.已知直线I经过点P(1,1)，倾斜角a=n.6(1) 写出直线I的参数方程；(2) 设I与圆p= 2相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.,3x= 1 + R,［解析］(1)直线的参数方程是(t是参数)l y= 1 + ?t.(2)因为点A、B都在直线I上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,圆P= 2化为直角坐标系的方程x2+ y2= 4.将直线I的参数方程代入圆的方程x2+ y2= 4整理得到t2+ ( .3+ 1)t —2= 0①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2=—2,••|PA| |PB|=|t1t2|= 2.(理)(2013辽宁五校协作体联考)已知直线I是过点P(—1,2),方向向量为n= (—1 , - 3)的直线，n圆方程p= 2cos( 0+ 3).(1) 求直线I的参数方程；(2) 设直线I与圆相交于M , N两点，求|PM| |PN|的值.2 n［解析］ ⑴'-'n = (— 13) ,•••直线的倾斜角a= -3.2 n［x = — 1 + tcos 3 , < 22 nI y = 2 + tsin-■p 2= pcos 0+ , 3 psin 0. •x 2+ y 2 — x + 3y = 0，将直线的参数方程代入得 t 2+ （3 + 2 3）t + 6 + 2 3= 0.••|皿2|= 6 + 2 .3,即 |PM| |PN| = 6+ 2 ,3.rx = cos （））,16 .（文）（2013贵州六校联考）已知圆C 1的参数方程为〈（$为参数），以坐标原点O 为y = sin $ 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 2的极坐标方程为尸2cos （ 0+ .（1）将圆C 1的参数方程化为普通方程，将圆 C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）圆C 1、C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由. x= cos $,22［解析］⑴由S得x + y = 1,\y= sin $又■/ p= 2cos( 0+ 3)= cos 0— . 3sin 0,-■p 2= ［:cos 0— , 3 psin 0. •x 2+ y 2 — x + ,3y = 0,即(x —》2+(y+^)2= 1.⑵圆心距d =0 — j 2+ 0 + 232•••直线的参数方程为（t 为参数）,（t 为参数）.1 ⑵•••尸 2(2cos 0+J3gsin 0 = cos 0+ . 3sin 0 1x =—1 — 2t ，=1<2，得两圆相交.设交点为A , B ,由］22厂 x + y — x + 寸 3y = 02 2,x + y = 1,得 A （1,0）, B （ — 2，一玄）,••|ABI =1 2+ ； 3+ 0+ 24 5 2= 3.x = 1 + tCOS a, X = cos 0,（理）已知直线C l ： < （t 为参数），圆C 2： < （0为参数）.|y = tsin a, |y = sin 0, （1）当a= n 时求C i 与C 2的交点坐标；（2）过坐标原点O 作C i 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点•当a 变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.［解析］⑴当a= n 时C i 的普通方程为y = .3（x — 1）, C 2的普通方程为X 2 + y 2= 1.解得C 1与C 2的交点为（1,0）, （1,—三3） •（2） C 1 的普通方程为 xs in a — ycos a — sin a= 0. 一 2A 点坐标为（sin a, — cos a sin a ）,故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为（a 为参数）,、 1 2 2 1消去参数得P 点轨迹的普通方程为（x — 2 + y =—, 1 1故P 点轨迹是圆心为q , 0）,半径为4的圆.考纲要求2 •了解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3 •了解极坐标的基本概念•会在极坐标系中用极坐标来刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.4 .能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.联立方程组x = |si n 21y = — gsin 久cosa ,备课助手5•了解参数方程，了解参数的意义.6 •能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.补充说明1 •极坐标系的概念在平面内取一个定点0为极点，引一条射线Ox为极轴，再选定一个长度单位和角度单位（通常取弧度）及正方向（通常取逆时针方向），就建立了一个极坐标系•对于极坐标系内任意一点M，用p表示线段0M的长度，用B表示以极轴Ox为始边，射线0M为终边的角，p叫做点M的极径，0 叫做点M的极角，有序实数对（p, 0就叫做点M的极坐标•如无特别说明时，p> 0, 0€ R.2 .柱坐标系（1）如图，空间直角坐标系0 —xyz中，设P是空间任意一点，它在xoy平面上的射影为Q,用（p0）（p>0,0 W 0<2 n来表示点Q在平面xoy上的极坐标.则点P的位置可用有序数组（p 0 z）（z€ R）表示.把建立了空间的点与有序数组（p, 0 z）之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（p, 0 , z）叫做点P的柱坐标，记作p（p 0 z）,其中p>0,0W 0<2 n —m<z< + s.x= p cos 0, （2）空间点P的直角坐标（x , y , z）与柱坐标（p 0, z）之间的变换公式为t y= p in 0l.z=乙3 .球坐标系（1）如图空间直角坐标系0 —xyz中，设P是空间任意一点，记|0P|= r , OP与Oz轴正向所夹的角为0设P在xOy平面上的射影为Q , Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为0 ,则点P用有序数组（r , 0 0表示.把空间的点与有序数组（r , 0 0之间建立的这种对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系，有序数组（r, 0 , 0叫做点P的球坐标，记作P（r , 0 0）,其中r > 0,0W 0W n, 0W 0<2 n.x= rsin gos 0,(2)空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r, 0 0之间的变换关系为y= rsin^in 0z= rcos 0.备选习题X= 2COS a ,1 •在直角坐标系xOy中，曲线C i的参数方程为，. (a为参数)，在极坐标系(与直角3sin a坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为p cos 0 —sin 0 + 1 = 0,贝U C i与C2的交点个数为_______________ •［答案］22 2x y［解析］曲线C i的参数方程可化为—+ 3 = 1,曲线C2的极坐标方程P COS0—sin 0 + 1 = 0化为直角坐标方程为x—y+ 1 = 0•直线x—y+ 1 = 0过点(0,1)，位于椭圆C1内，故G与C?有2个交点.3x=—5t+ 2,2 .已知曲线C1：P= 2sin 0,曲线C2：(t为参数).l y= *(1) 化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程；(2) 若M为曲线C2与x轴的交点，N为曲线C1上一动点，求|MN|的最大值.［解析］(1)曲线C1的方程化为p2= 2 p i n02 2 2又x + y = p , x = pcos 0, y= psin 0所以曲线C1的直角坐标方程x2+ y2—2y= 0,3x= —5t+ 2,因为曲线C2的参数方程是消去参数t得曲线C2的普通方程4x+ 3y—8= 0.⑵在曲线C2的方程中，令y= 0得x= 2,即M点的坐标为(2,0),又曲线C1为圆，其圆心坐标为C1(0,1)，半径r = 1, 则|MC1|= ,'5,••|MN|W |MC1|+ r = ,5+ 1 , |MN|的最大值为.'5+ 1.轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 P= 2cos( 0+ n ，求直线I 被曲线C 所截的弦长.4 1 x = 1 +5t ,［解析］将方程｛ 3 (t 为参数)化为普通方程得，3x + 4y + 1= 0,3y =-1-5t .将方程p= 2cos 0+ 4化为普通方程得，x 2 + y 2—x + y = 0,它表示圆心为 £，— 2，半径为 1的圆，则圆心到直线的距离 d = 10,弦长为 2—d =2100= 5.4 .已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合.设一X = t , 2点O 为坐标原点，直线I :〈(参数t € R )与曲线C 的极坐标方程为 pcos 2 0= 2sin 0y = 2+ 2t.(1) 求直线I 与曲线C 的普通方程；(2) 设直线I 与曲线C 相交于A 、B 两点，证明：OA OB = 0. ［解析］(1)由直线的参数方程消去参数 t 得普通方程y = 2x + 2;由曲线C 的极坐标方程得曲线C 的普通方程为x 2= 2y ,y= 2x +2, 2(2)设 A(X 1, y 1), B(X 2, y 2),由 2消去 y 得 X — 4x — 4 = 0,l x = 2y.「OA OB = X 1X 2 + y i y 2= 0・5. (2012河北郑口中学模拟)在直角坐标系中，以原点 O 为极点，X 轴的正半轴为极轴，建立极…一 ,,,X = V3c°S a坐标系，设曲线 C ：( a 为参数)，直线I : p cos B+ si n B )= 4.$= sin a(1) 写出曲线C 的普通方程和直线I 的直角坐标方程； (2) 求曲线C 上的点到直线I 的最大距离.2［解析］(1 )将C 化为普通方程是二+ y 2= 1,3 .在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为: (t 为参数)，若以0为极点，xX i + X 2= 4, X i •=y=-1-5t .将I化为直角坐标方程是x+ y— 4 = 0.2(2)在3 + y2= 1上任取一点A(寸3cos a, sin ",则点A到直线I的距离为3| 3cos a+ sin a—4| |2sin a+ 60 °—4|d = " 2 = 2 ，它的最大值为3 2.6. (2013福建漳州一模)在直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，一n \［2x= —1 + cos ©曲线C i的极坐标方程为p in( B+；)=斗~a，曲线C2的参数方程为｛( $为参数,4 2ly=— 1 + sin()),O W n )(1) 求C i的直角坐标方程；(2) 当C1与C2有两个不同公共点时，求实数a的取值范围.［解析］(1)将曲线C1的极坐标方程变形，P》n 0+歩呻冷a,即pcos 0+ p in 0= a,•••曲线C1的直角坐标方程为x+ y—a= 0.⑵曲线C2的直角坐标方程为(x+ 1)2+ (y+ 1)2= 1( —1 W y< 0)，为半圆弧,如图所示，曲线C1为一组平行于直线x+ y= 0的直线，|—1 —1 —a|当直线C1与C2相切时，由2± 2,—— = 1得a=舍去 a = —2 —#2，得a=—2+、f2,当直线C1 过A(0，—1)、B( —1,0)两点时，a=—1.•••由图可知，当一1W a< —2+ .2时，曲线C1与曲线C2有两个公共点.21。

2015年高考数学试题——坐标系与参数方程

2015年高考数学试题——坐标系与参数方程1.（15北京理科）在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ+=的距离为．【答案】1 【解析】试题分析：先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ+=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d ==.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.2.（15年广东理科）已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为【答案】2．【解析】依题已知直线l：2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫⎪⎝⎭可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为d ==，故应填入．【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题．3.（15年广东文科）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为．【答案】()2,4- 【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．4.（15年福建理科）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()m,(m R).4pq -= (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【答案】(Ⅰ) ()()22129x y -++=，0x y m --=；(Ⅱ) m=-3±【解析】试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()()22129x y -++= ，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．试题解析：(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()m 4pq -=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=. (Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|12m |2，--+=解得m=-3±考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．5.（15年新课标2理科）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。

2015届高考数学(人教,理科)大一轮复习配套讲义：选修4-4 坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ＞0)，y ′＝μ·y ，(μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：4.1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标． [试一试]1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3.答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________．解析：由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x －y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －y ＝01．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤 (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)(2)在[0,2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．[练一练]1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________．解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρsin (θ－90°)，化简得ρ＝－22cos θ. 答案：ρ＝－22cos θ2．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝22，则极点到该直线的距离是________．解析：极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin(θ＋π4)＝ρ22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22，即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：22平面直角坐标系中的伸缩变换1.(2014·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′2．函数y ＝sin(2x ＋π4)经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y 后的解析式为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′.① 将①代入y ＝sin(2x ＋π4)，得2y ′＝sin(2·12x ′＋π4)，即y ′＝12sin(x ′＋π4)．答案：y ′＝12sin(x ′＋π4)3．双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标为________．解析：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．答案：(－5,0)或(5,0) [类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)y ′＝μ·y ，(μ>0)下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．极坐标与直角坐标的互化[典例] 中，以坐标原点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的方程为x 216＋y 24＝1，设P ，Q 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|PQ |的最小值．[解] (1)曲线C 1的方程可化为3(x 2＋y 2)＝12x －10，即(x －2)2＋y 2＝23.(2)依题意可设Q (4cos θ，2sin θ)，由(1)知圆C 1的圆心坐标为C 1(2,0)．故|QC 1|＝(4cos θ－2)2＋4sin 2θ ＝12cos 2θ－16cos θ＋8＝23⎝⎛⎭⎫cos θ－232＋23， |QC 1|min ＝263，所以|PQ |min ＝63. [类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](2013·安徽模拟)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．解析：直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．答案：相交极坐标方程及应用[典例]xOy 中，曲线C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] (1)由已知得，曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ. (2)由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋y ＝4，得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为2 2.解：由曲线C ，C 1极坐标方程联立 ∴cos 2θ＝34，cos θ＝±32，又ρ≥0，θ∈[0，π2)．∴cos θ＝32，θ＝π6，ρ＝23，故交点极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. [类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． [针对训练](2013·荆州模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．解析：ρ＝6cos θ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于x 轴的直线方程为x ＝3，其在极坐标系下的方程为ρcos θ＝3.答案：ρcos θ＝3第二节参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)注意：t 是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． [练一练]1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．A.23 B ．－23C.32D ．－32解析：∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32.答案：－322．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为__________(填“线段”、“双曲线”、“圆弧”或“射线”)．解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2，即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．答案：线段1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. [练一练]1．已知P 1，P 2是直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是________．解析：由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为t 1＋t 22，P 对应的参数为t ＝0，∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为|t 1＋t 2|2.答案：|t 1＋t 2|22．已知直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4相交于B ，C 两点，则|BC |的值为________．解析：∵⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′，⎝⎛⎭⎫t ′＝22t 代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫2－22t ′2＋⎝⎛⎭⎫－1＋22t ′2＝4，t ′2－32t ′＋1＝0，∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝(32)2－4×1＝14. 答案：14参数方程与普通方程的互化1.曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是________．解析：曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.答案：2 62．(2014·西安质检)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m的值是________．解析：圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消去参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即|3＋4×(－2)＋m |5＝1，解得m ＝0或m＝10.答案：0或103．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________.解析：由题意可得，直线y ＝－3x ，曲线C 1：x 2＋(y －2)2＝4，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1，画图可得，|AB |＝4cos 30°×12＝ 3.答案： 3 [类题通法]参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．参数方程的应用[典例] (2013·郑州模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解] (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcosα)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴点P 轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故点P 的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．a ×3＝－1，故a ＝33. [类题通法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [针对训练](2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P ，Q 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α为(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α), 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．极坐标、参数方程的综合应用[以坐标原点为极点，x 轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系． [解] (1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．[类题通法]涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．[针对训练](2013·石家庄质检)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与半圆C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且|OM |＝π3，故点M 的极坐标为(π3，π3)． (2)由(1)可得点M 的直角坐标为(π6，3π6)，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋(π6－1)t ，y ＝3π6t (t 为参数)．。

【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习坐标系与参数方程

坐标系与参数方程1．(2014·北京高考)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上【解析】因为(1，－2)为圆的对称中点，所以在直线y ＝－2x 上，故选B . 【答案】 B2．(2014·广东高考)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．【解析】 ∵2ρcos 2θ＝sin θ，∴2ρ2cos 2 θ＝ρsin θ即2x 2＝y ， ∵ρcos θ＝1，∴x＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒x ＝1，y ＝2，∴交点坐标为(1,2)．【答案】 (1,2)3．(2014·陕西高考)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离等于________．【解析】将点的极坐标、直线的极坐标方程化为直角坐标、普通方程，利用点到直线的距离公式求解．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12sin θ＝1，32y －12x ＝1，12x －32y ＋1＝0，点(3，1)到直线12x －32y ＋1＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12×3－32×1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1.【答案】 14．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以|AB|＝|t 1－t 2|＝8 2.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为： 1．极坐标方程①该考向主要考查极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，以及会写出简单图形的极坐标方程．②根据新课标省份的出题特点，既可以命制选择、填空题，难度为容易题；又可以命制解答题，难度中等．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 2．参数方程及应用①此考向主要考查参数方程与普通方程之间的互化能力，考查学生对基础公式及方法的理解和应用．②各地都有自己的命题特点，总的趋势为以填空题形式出现时，综合力度较小；以解答题形式出现时，常常把极坐标方程与参数方程融合在一起考查，难度一般不大，填空题5分左右，解答题10分左右．3．极坐标方程与参数方程的综合应用①此考向主要考查极坐标与参数方程的综合应用(互化、位置关系、最值等)，突出考查转化和化归的思想及能力．②主要以解答题的形式体现，难度中等.极坐标方程【例1】 (1)(2014·安徽江南十校眹考)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋1，圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，半径为2，则直线l 被圆C 所截得的弦长是________．(2)(2013·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【解析】 (1)直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋1，可化为直角坐标方程x ＋y ＝2＋2，由圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，得圆C 的圆心的直角坐标系(1,1)，所以圆心C (1，1)到直线l 的距离d ＝|1＋1－2－2|2＝1，又因为圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2.(2)在直角坐标系中，圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.从而垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0，x ＝2，即θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.【答案】 (1)2 (2)B【规律方法】 1.研究极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及角度和到定点距离时，引入极坐标系会对问题的解决带来很大的方便．2．在极坐标方程化为直角坐标方程时，只要整体上用x 代换其中的ρcos θ、y 代替其中的ρsin θ即可，其中所含的ρ2也可以写成ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝x 2＋y 2.[创新预测] 1．(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．(2)(2013·北京高考)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】 (1)利用公式法转化求解．直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.(2)将极坐标转化为直角坐标求解．极坐标系中点(2，π6)对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 (1)ρ＝2cos θ (2)1参数方程及应用【例2】 (2014·全国新课标Ⅰ高考)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．【解】 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.【规律方法】将曲线的参数方程化为普通方程时，要把其中的参数消去，还要注意其中的x 、y 的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1cos 2θ.[创新预测]2．(1)(2013·陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．(2)(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】 (1)利用直角坐标方程和参数方程的转化关系求解参数方程．将x 2＋y 2－x ＝0配方，得(x －12)2＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)将参数方程化为普通方程后求解．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数) (2)3极坐标方程与参数方程的综合应用【例3】 (2014·全国新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈[0，π2]．(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．【解】 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2y ，(0≤y ≤1)．C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为(1＋cos π3，sin π3)，即(32，32)．【规律方法】 1.要判断参数方程或极坐标方程所描述的方程类型，常常是将其转化为直角坐标系下的普遍方程．但是，对于一些常见的参数方程或极坐标方程，如果能够快速识别方程的形式，理解对应参数的几何意义，则可使问题得到快速的突破．2．在坐标系与参数方程的考查中，最能够体现坐标方法的解题优势，灵活地利用坐标方法可以使问题得到简捷的解答．[创新预测]3．(2014·福建厦门质检)在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)．(1)写出圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 为圆C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2ρcos θ＝x 得，x 2＋y 2－8x ＋12＝0，所以圆C 的直角坐标方程为(x －4)2＋y 2＝4. (2)直线l 的普通方程为x －y －2＝0.设与直线l 平行的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0，则当直线l ′与圆C 相切时：|4＋m |2＝2，解得m ＝－22－4或m ＝22－4(舍去)，所以直线l 与直线l ′的距离d ＝|－22－4－－2＝2＋2，即点P 到直线l 距离的最大值2＋ 2.。

2015年高考数学4—4坐标系与参数方程(解答+答案)

2015年高考数学4—4坐标系与参数方程1.（2015广东文数14. （坐标系与参数方程选做题））在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为．2.（2015广东理数14．(坐标系与参数方程选做题)）已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为 A(22,47π)，则点A 到直线l 的距离为。

3.（2015湖北理数16．（选修4-4：坐标系与参数方程））在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l与C 相交于A ,B 两点，则||AB = .4.（2015新课标Ⅰ文数（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中。

直线1C :2x =-，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（I ）求1C ，2C 的极坐标方程；（II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN V 的面积5.（2015新课标II 文数23．（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。

（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。

2015届高考数学一轮总复习12-2坐标系与参数方程

2015届高考数学一轮总复习12-2坐标系与参数方程基础巩固强化一、选择题1.（文）极坐标方程S—1）（&一町=0（Q20）表示的图形是（）A.两个圆B.两条直线C. 一个圆和一条射线D. —条直线和一条射线【答案］C［解析］原方程等价于Q二1或"兀，前者是半径为1的圆，后者是一条射线.（理）（2013-北京西城期末）在极坐标系中，已知点P（2, |）,则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A. psin0=lB. psin&=GC. QCOS&=1D. pcos0=y［3【答案I A［解析|点P（2 ,自的直角坐标为（百,1）,•.•所求直线平行于极轴，.••所求直线的斜率k二0.所求直线的普通方程为y= 1，化为极坐标方程为psin&二1 ,故选A.2.（文）设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴为x轴正半轴，则直线x=l+2/,,, （t为参数）被圆p=3截得的弦长为（））=2+/・c.辭【答案I B［解析|圆的直角坐标方程为^ + v2 = 9 ,直线的参数方程化为普通方程为x-2y + 3二0 ,则圆心（0.0）到直线的距离〃二金•所以弦长为2命_护二呼（理）已知点P（3,加）在以点F为焦点的抛物线《（/为参数）上，则IPFI=（）b=4/・A. 1 B・ 2C・3 D・4【答案I D［解析］将抛物线的参数方程化为普通方程为护二4x ,则焦点HL0）,准线方程为- 1，又P （3，加）在拋物线上，由抛物线的定义知IPFI = 3-（- 1） = 4.3.（文）（2013・北京海淀期末）已知直线/：（F 为参数）与圆C ：x=2cos&+ly=2sin&（&为参数），则直线/的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别为（）A.? (1,0)B.歩(―L0)C.竽,(1,0)D.竽,(—1,0)［答案］C［解析］••直线/的普通方程为x + y 二0,•値线/的倾斜角为壬又・・•圆C 的普通方程为（x ・1尸+尸二4 ,・・・圆心坐标为（1,0）,故选C.（理）（2013•山西太原测评）若直线、x= —1+2 人 y= — 1 —f（t 为参数）被曲线＜.Y =1+3COS &.)=l+3sin&（&为参数，ee R ）所截，则截得的弦的长度是（）A普B 竽C 普 D. 6^2【答案I Bx= - 1 + 2/ ,［解析］•・・［・n + 2y + 3 =0・x= 1 + 3cos& , ・・・< ・・g 1)2 + ©- 1)2 =9 ,,= 1+ 3sin& ,1・1)x + 2y + 3弦长为2寸3—（芈）2二芈,故选B.〉=1+3『，4. 若直线的参数方程为[ 厂（t 为参数），则直线的倾斜角为（[y=2-yj3t.A ・ 30° B. 60°x=2+hC・ 120。

届高考数学一轮总复习第12章坐标系与参数方程第2节参数方程课件理新人教版

即x＝－1－ 22t，
y＝2＋
2 2t
(t 为参数)，
把它代入抛物线的方程，得 t2＋ 2t－2＝0，
由根与系数的关系得 t1＋t2＝－ 2，t1·t2＝－2，由参数 t 的几何意义可知|AB|＝|t1－t2|＝ 10， |MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.
考点三极坐标、参数方程的综合应用
[即时应用] (2016·大庆模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 经过
点 P12，1，倾斜角 α＝π6.在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，
圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2
2cosθ－π4
.
(1)写出直线 l 的参数方程，并把圆 C 的极坐标方程化为直角
Байду номын сангаас解析
[由题悟法] 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程． (2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 ρ 和 θ 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
2．曲线xy＝＝ssiinn2θθ， (θ 为参数)与直线 y＝x＋2 的交点坐标为 ________．
解析：曲线的直角坐标方程为 y＝x2.将其与直线方程联立得
y＝x2， y＝x＋2，
∴x2－x－2＝0，∴x＝－1 或 x＝2.由 x＝sin θ
知，x＝2 不合题意．∴x＝－1，y＝1，∴交点坐标为(－1,1)．
考点一参数方程和普通方程的互化基础送分型考点——自主练透
[题组练透]

2015年高考数学专项训练——极坐标与参数方程

2015年高考数学专项复习——极坐标与参数方程一．解答题（共30小题）1．（2014•漳州一模）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．的参数方程为，知曲线的普通方程是，由点4sin）：，知=，，，，4sin：∴∴2．（2013•临汾模拟）已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．）∵，∴的直角坐标方程为，距离是引的切线长的最小值是3．（2014•郑州一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线L：ρsin2θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且）作平行于的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|BC|的长．可得4．（2014•吉林二模）已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．（，故x+y=4+（+））4x+y=4+（+5．（2014•河南一模）已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．=，由，可化为．，即=•6．（2014•许昌一模）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．（+，射线．可得普通方程：直线，射线OM（，射线=，射线，解得，即Q，解得或|PQ|==27．（2014•泰州模拟）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．的普通方程是．的坐标是8．（2014•齐齐哈尔一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程直线（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同）．（1）求圆心C到直线l的距离；（2）若直线l被圆C截的弦长为的值．（（）由弦心距、半径、半弦长之间的关系得：9．（2014•郑州二模）在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：．（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．，即，直线公共点的一个极坐标为10．（选做题）直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为为参数）．（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求△AOB的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标．消去参数得它的普通方程为：，分别代入得，AOB=S=|OA||OB|=．t=2，代入x=2y=，11．选修4﹣4：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线，（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．，即）由…公共点的一个极坐标为12．（附加题﹣选做题）（坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．）先由，）由）由，）由13．已知⊙O1与⊙O2的极坐标方程分别是ρ=2cosθ和ρ=2asinθ（a是非零常数），（1）将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若两圆的圆心距为，求a的值．OOO与14．（2014•赤峰模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．+﹣|OA|，），﹣）+））（cos时，，，﹣），﹣，故直线的斜率为﹣=15．（2014•锦州二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求+的值．，可得===∴+===16．（2014•贵州模拟）在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．的参数方程为的参数方程为，可得，即可得出．的参数方程为的参数方程为∴∵，∴∴的取值范围是17．（2014•商丘三模）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．，）的直角坐标为（代入圆=2），2[2）18．（2014•长葛市三模）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．现以点O为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P（﹣2，﹣3），求|PA|•|PB|的值．的参数方程为化为普通方程为：，∴，∴19．（2014•河南模拟）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．Q=的直角坐标方程为Q当且仅当距离的最小值为20．（2014•商丘二模）已知极坐标系的极点为直角坐标系xoy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（Ⅰ）求C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l=（t为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求+的值．l=（l=（∴==21．（2014•鄂尔多斯模拟）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣2cosθ．（Ⅰ）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M1、M2的极坐标分别是（1，π）、（2，），直线M1M2与曲线C2相交于P、Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求+的值．+，分别代入椭圆方程中，求出的值，求和即得的值．的参数方程是++），∴=1++）=1=cos++∴=cos++==．22．（2013•辽宁）在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．x+1得，），）y=﹣∴23．（2013•许昌二模）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为（α为参数），点Q的极坐标为（2，π）．（Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程；（Ⅱ）若直线l过点Q且与圆C交于M，N两点，求当|MN|最小时，直线l的直角坐标方程．，π=24．（2013•保定一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）若在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．）化为直角坐标为（2（y=的参数方程为d=+r=，最大值为+，25．（2012•辽宁）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．，，），）解法一：由的公共弦的参数方程为）代入于的公共弦的参数方程为26．（2012•商丘二模）已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值．的距离为，则联立方程，或，舍去．为27．（2012•海口模拟）选修4﹣4坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，取原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ=2cosθ，直线C2的参数方程为：（t为参数）（I ）求曲线C1的直角坐标方程，曲线C2的普通方程．（II）先将曲线C1上所有的点向左平移1个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线C3，P为曲线C3上一动点，求点P到直线C2的距离的最小值，并求出相应的P点的坐标．，的参数方程为：（（==，此时，点的坐标为（28．（2011•三亚模拟）（选做题）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．+=得：圆心（﹣，﹣）的圆心到直线∴﹣时，圆29．（2010•辽宁）已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．点的极角为，的极坐标为（，点的直角坐标为（）的参数方程为30．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线C：（θ为参数）和定点，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点．（1）以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程；（2）经过点F1，且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．的方程中，得：，轨迹为椭圆，其焦点的斜率为，倾斜角为（，得的方程中，得：的异侧21。

(北京专用)高考数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程课件理

化简得p2+4p-12=0,∵p>0,∴p=2.
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方法技巧在求解与参数方程(fāngchéng)有关的问题时,一般是将参数方程(fāngchéng) 转化为我们所熟悉的形式,即转化为普通方程(fāngchéng),从而利用普通方程(fāngchéng)求解.
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(0,1)到直线C1的距离d= ,半径r=1,故所求弦长=2 = .
2
r2 d2 2
2
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方法技巧求解涉及参数方程和极坐标方程的综合题的一般方法是分别化为普通(pǔtōng) 方程和直角坐标方程.转化后可使问题变得更加直观,这体现了化归思想的具体运用.
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2.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θx为 2参 2 cosθ,
数),则曲线C是 ( )
y 2 sin θ
A.关于x轴对称的图A形(túxíng) B.关于y轴对称的图形(túxíng)
C.关于原点对称的图形(túxíng) D.关于直线y=x对称的图形(túxíng)
1.(2014北京,3,5分)曲线 (xθ为参1 数co(scθā,nshù))的对称中心 (
)
A.在直线y=2x上
B.在 y直线2 ys=i-n2θx上
B
C.在直线y=x-1上 D.在直线y=x+1上
答案 B 曲线 x(θ为1参数cos(cθā,nshù))的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=1,该曲线为圆,圆心(-1,y2)为2曲 s线in θ的对称中心,其在直线y=-2x上,故选B.
4 t
为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是

高考数学一轮复习选修部分坐标系与参数方程第2讲参数方程知能训练轻松闯关文北师大版选修4_4

【2019最新】精选高考数学一轮复习选修部分坐标系与参数方程第2讲参数方程知能训练轻松闯关文北师大版选修4_41．(2015·高考湖北卷改编)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，求|AB|.解：由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得ρsin θ＝3ρcos θ，则y ＝3x.由得y2－x2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y2－x2＝4，可得或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322，不妨设A ，则B ，故|AB|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－3222 ＝2.2．(2016·唐山模拟)已知椭圆C ：＋＝1，直线l ：(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A(1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．解：(1)椭圆C ：(θ为参数)，直线l ：x －y ＋9＝0.(2)设P(2cos θ，sin θ)，则|AP|＝＝2－cos θ，点P 到直线l 的距离d ＝＝.由|AP|＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＝，cos θ＝－.故P.3．(2016·沈阳质量监测)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(θ为参数)，直线l 经过点P(1，2)，倾斜角α＝.(1)写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求|PA|·|PB|的值．解：(1)圆C 的标准方程为x2＋y2＝16.直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，得＋＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，所以t1t2＝－11，即|PA|·|PB|＝11. 4．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t 为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)写出⊙C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，从而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3.(2)设P，又C(0，)，则|PC|＝＝，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，点P的直角坐标为(3，0)．1．(2016·唐山统考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)，斜率为的直线l交y轴于点E(0，1)．(1)求C的直角坐标方程，l的参数方程；(2)直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|＋|EB|.解：(1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ)，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，即x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.l的参数方程为(t为参数，t∈R)．(2)将代入(x－1)2＋(y－1)2＝2得t2－t－1＝0.解得t1＝，t2＝，则|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝. 2．(2016·长春调研)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围．解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，所以ρ2＝4ρsin＝4ρ.又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以x2＋y2＝2y－2x，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.(2)设z ＝x ＋y ，由圆C 的方程x2＋y2＋2x －2y ＝0，得(x ＋1)2＋(y －)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，)，半径是2. 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t 代入z ＝x ＋y ，得z ＝－t ，又直线l 过C(－1，)，圆C 的半径是2，所以－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，即x ＋y 的取值范围是 [－2，2]．3．(2016·太原联考)已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ＝1.(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：(t 为参数)距离的最小值．解：(1)点P 的直角坐标为(3，)．由ρ2＋2ρsin θ＝1，得x2＋y2＋2y ＝1，即x2＋(y ＋)2＝4，所以曲线C 的直角坐标方程为x2＋(y ＋)2＝4.(2)曲线C 的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －2y －7＝0. 设Q(2cos θ，－＋2sin θ)，则M ，那么点M 到直线l 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋cos θ－2sin θ－712＋22 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ－2sin θ－1125＝≥＝－1，所以点M 到直线l 的最小距离为－1.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为(t 为参数)，曲线C2的参数方程为(a>b>0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与曲线C1、C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．(1)分别说明C1、C2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝时，l 与C1、C2的交点分别为A1、B1，当α＝－时，l与C1、C2的交点分别为A2、B2，求四边形A1A2B2B1的面积．解：(1)由题意可知，曲线C1为圆，曲线C2为椭圆，当α＝0时，射线l 与曲线C1、C2交点的直角坐标分别是(1，0)、(a ，0)，因为这两个交点间的距离为2，所以a ＝3，当α＝时，射线l 与曲线C1、C2交点的直角坐标分别是(0，1)、(0，b)，因为这两个交点重合，所以b ＝1.(2)由(1)可得，曲线C1、C2的普通方程分别为x2＋y2＝1，＋y2＝1，当α＝时，射线l 与曲线C1的交点A1，与曲线C2的交点B1；当α＝－时，射线l 与曲线C1、C2的两个交点A2、B2分别与A1、B1关于x 轴对称，则四边形A1A2B2B1为梯形，所以四边形A1A2B2B1的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫2×31010＋2×22⎝ ⎛⎭⎪⎫31010－222＝.。

2015届高考数学专项精析精炼考点52坐标系与参数方程

考点52 坐标系与参数方程（2014年）一、选择题1.（2014·安徽高考理科·Ｔ4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t ì=+ïí=-ïî，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（） A.14 B.142 C.2 D.22【解题提示】将参数方程和极坐标方程转化为平面直角坐标系方程，由几何法求得弦长。

【解析】选D 。

由题意可得直线和圆的方程分别为x-y-4=0，224x y x +=，所以圆心C （2,0），半径r=2，圆心到直线l 的距离d=2，由半径、圆心距，半弦长构成直接三角形，解得弦长为22。

二、填空题2. （2014·湖南高考文科·Ｔ12）在平面直角坐标系中，曲线2:1x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为【解题提示】消去参数化为普通方程。

【解析】由曲线2:1x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得01,12=---=-y x y x 。

【答案】01=--y x3. （2014·湖南高考理科·Ｔ11）在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :,(1sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数）交于A B ，两点，且AB ｜｜＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是【解题提示】先确定直线l 与曲线C 的位置关系，再求直线l 的极坐标方程。

【解析】曲线C 是圆心为(2,1),半径为1的圆，而AB ｜｜＝2，所以直线经过圆心,所以直线l 的方程为1-=x y ，所以直线l 的极坐标方程是1cos sin -=θρθρ。

答案：1cos sin -=θρθρ，或写成θθρsin cos 1-=，224sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ。

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选修4－4 坐标系与参数方程第2课时参数方程(理科专
用)
1. 曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2
(t 为参数，t ≠0)，求它的普通方程．解：1－x ＝1t ，t ＝11－x
，而y ＝1－t 2，则y ＝1－⎝⎛⎭⎫11－x 2＝x （x －2）（x －1）2(x ≠1)． 2. 求曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点．解：当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15
，得与y 轴的交点为⎝⎛⎭⎫0，15；当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫12，0. 3. 直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32
t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，求AB 的中点坐标．解：⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫－33＋32t 2＝16，得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4.中点为⎩
⎨⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32
×4 ⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.即AB 中点坐标为(3，－3)． 4. 已知圆的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ(θ为参数)，求此圆的半径．解：由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ，得x 2＋y 2＝25，则圆的半径为5. 5. 已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos θ，y ＝tsin θ与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，求直线的倾斜角．解：直线为y ＝xtan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为π6或5π6
. 6. 求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t (t 为参数)被圆⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)截得的弦长．解：把直线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t ，化为普通方程为x ＋y ＝2.将圆⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α化为普通方程为x 2＋y 2＝9.圆心O 到直线的距离d ＝22＝2，故弦长L ＝2R 2－d 2＝29－2＝27.所以直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t 被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α截得的弦长为27.
7. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线
C 1的方程为ρ2＝8ρsin θ－15，曲线C 2的方程为⎩⎨⎧x ＝22cos α，y ＝2sin α
(α为参数)． (1) 将C 1的方程化为直角坐标方程；
(2) 若C 2上的点Q 对应的参数为α＝3π4
，P 为C 1上的动点，求PQ 的最小值．解：(1) x 2＋y 2－8y ＋15＝0.
(2) 当α＝3π4
时，得Q(－2，1)，点Q 到C 1的圆心的距离为13，所以PQ 的最小值为13－1.
8. 已知点P 在椭圆x 216＋y 29
＝1上，求点P 到直线3x －4y ＝24的最大距离和最小距离．解：设P(4cos θ，3sin θ)，
则d ＝||12cos θ－12sin θ－245
，即d ＝⎪⎪⎪⎪122cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－245
，当cos ⎝
⎛⎭⎫θ＋π4＝－1时，d max ＝125(2＋2)；当cos ⎝
⎛⎭⎫θ＋π4＝1时，d min ＝125(2－2)． 9. 已知直线l 经过点P(1，1)，倾斜角α＝π6
. (1) 写出直线l 的参数方程；
(2) 设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．解：(1) 直线的参数方程为
⎩⎨⎧x ＝1＋tcos π6，y ＝1＋tsin π6
，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t. (2) 把直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12
t ，代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＝4，化简，得t 2＋(3＋1)t －2＝0，故t 1t 2＝－2，则点P 到A 、B 两点的距离之积为2.
10. 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32
t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1) 将曲线C 的参数方程转化为普通方程；
(2) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，试求线段AB 的长．
解：(1) 由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝16cos 2θ，y 2＝16sin 2θ.故曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.
(2) (解法1)把⎩⎨⎧x ＝3＋12t y ＝7＋32
t (t 为参数)代入方程x 2＋y 2＝16，得t 2＋83t ＋36＝0，∴ t 1＋t 2＝－83，t 1t 2＝36.∴ 线段AB 的长为|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4 3.
(解法2)由⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，
y ＝7＋32t (t 为参数)，得l 的普通方程为3x －y ＋4＝0.
由(1)知圆心的坐标为(0，0)，圆的半径R ＝4，∴ 圆心到直线l 的距离d ＝|4|（3）2＋（－1）
2＝2，∴ |AB|＝2R 2－d 2＝216－4＝4 3. 11. 已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos α，y ＝3＋sin α(α为参数), C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ
(θ为参数)． (1) 将C 1、C 2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2) 若C 1上的点P 对应的参数为α＝π2
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．解：(1) C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29
＝1.C 1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆． C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2) 当α＝π2
时，P(－4，4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ.C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|.从而当cos θ＝45
，sin θ＝－35时，d 取得最小值为855
.。