中考数学几何探究试题押题卷探秘欣赏.doc

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1、北师大版初三数学几何压轴题专项训练(探究题)

压轴题几何专项训练（一）——几何探究题渗透思想方法：特殊到一般、类比、化归解题策略：运用特殊情况解答中所积累的经验和知识，进一步完成一般情况。

1、课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD 中，AC平分∠DAB, ∠DAB＝60°, ∠B与∠D互补，求证：AB＋AD＝ 3 AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B＝∠D”, 如图2，可证AB＋AD＝ 3 AC．（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过Ｃ点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）2、如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．⑴求证：CE＝CF；⑵在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．图1A DEB C图23、（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB 的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．4、（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH 于点O，求证：AE=DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；综合运用：（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积。

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

2020年九年级中考数学压轴专题几何探究题(含答案)

2020中考数学压轴专题几何探究题（含答案）1. 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．第1题图(1)概念理解：请你根据定义举一个“等邻角四边形的”例子；(2)问题探究：如图①，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AD 、BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连接AC 、BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由．(3)应用拓展：如图②，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝BD ＝3，AB ＝5，将Rt △ABD 绕着点A 顺时针旋转角α(0°)得到Rt △AB ′D ′(如图③)，当凸四边形AD ′BC 为“等邻角四边形”时，求出它的面积．解：(1)矩形；(答案不唯一)(2)AC ＝BD ；如解图①所示，连接PD 、PC ， ∵PE 是AD 的垂直平分线，PF 是BC 的垂直平分线， ∴P A ＝PD ，PB ＝PC ，∴∠P AD ＝∠PDA ，∠PBC ＝∠PCB ，∴∠DPB ＝180°－∠DP A ＝∠P AD ＋∠PDA ＝2∠P AD ，同理可得∠APC ＝2∠PBC ， ∵∠DAB ＝∠ABC ，即∠P AD ＝∠PBC ，∴∠APC ＝∠DPB ，在△APC 和△DPB 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PD ∠APC ＝∠DPB PB ＝PC，△APC ≌△DPB (SAS)， ∴ AC ＝BD .第1题解图①(3)①当∠AD ′B ＝∠D ′BC 时，如解图②所示，延长AD ′交CB 的延长线于点E ，过点D ′作DF ⊥CE 于点F ， ∠ED ′B ＝∠EBD ′， ∴EB ＝ED ′，∵∠C ＝∠EFD ′，∠EAC ＝∠ED ′F ， ∴△ED ′F ∽△EAC ，则D ′F AC ＝ED ′AE，设EB ＝ED ′＝x ，由勾股定理可知，在Rt △ACB 中，AC ＝AB 2－BC 2＝52－32＝4，则AD ′＝4，CE ＝3＋x ，AE ＝4＋x ，在Rt △ACE 中，AC 2＋CE 2＝AE 2，即42＋(3＋x )2＝(4＋x )2，整理得：2x －9＝0，解得x ＝92，EB ＝ED ′＝92，∴AE ＝172，∴D ′F 4＝92112，∴D ′F ＝3617，S 四边形AD ′BC ＝S △ACE －S △D ′BE ＝12AC ·CE －12D ′F ·BE ＝12×4×(3＋92)－12×92×3617＝15－8117＝17417；第1题解图②②当∠D ′BC ＝90°时，如解图③所示，过点D ′作D ′E ⊥AC ，交AC 于点E ， ∴四边形ECBD ′是矩形，∴ED ′＝BC ＝3，在Rt △AED ′中，根据勾股定理得AE ＝AD′2－ED′2＝42－32＝7，∵S 四边形AD ′BC ＝S △AED ′＋S 矩形ECBD ′＝12AE ·ED ′＋EC ·BC ＝372＋12－37＝12－372.综上所述，当凸四边形AD 为等邻角四边形时，它的面积为17417或12－372.第1题解图③2. (1)发现如图①，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b .填空：当点A 位于________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为________(用含有a ，b 的式子表示)； (2)应用点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝3，AB ＝1.如图②所示，分别以AB ，AC 为边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值；(3)拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且P A＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．第2题图(1)解：CB的延长线上，a＋b；【解法提示】∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC＋AB＝a＋b.(2)解：①DC＝BE，理由如下：∵△ABD和△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB(SAS)，∴DC＝BE；②BE长的最大值是4；【解法提示】∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB 的延长线上，∴CD长的最大值为BD＋BC＝AB＋BC＝4.(3)解：AM长的最大值是3＋22，点P的坐标是(2－2，2)．【解法提示】如解图①，构造△BNP≌△MAP，则NB＝AM，P A＝PN，∴∠APN＝90°，由(1)得出当点N在BA的延长线上时，NB有最大值(如解图②)，可得AN＝22，∴AM＝NB＝3＋22，过点P作PE⊥x轴于点E，PE＝AE＝2，∴点P的坐标是(2－2，2)．第2题解图3.如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6 cm.点D从O点出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动．当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE.(1)求证：△CDE是等边三角形；(2)当6<t<10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．第3题图(1)证明：∵△BCE是由△ACD逆时针旋转60°得到的，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE是等边三角形；(2)解：存在．理由如下：∵△BCE是由△ACD逆时针旋转60°得到的，∴AD＝BE，又∵△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△BDE＝BD＋BE＋DE＝BD＋AD＋CD＝AB＋CD，∵AB＝4为定值，∴当CD最小，即CD⊥AB时，△BDE的周长最小，∵△ABC是等边三角形，∴当CD最小，即CD⊥AB时，易得CD＝23，∴△BDE的最小周长为23＋4；(3)解：存在．理由如下：如解图，过点C作CF⊥OM于点F，则CF＝23，∴BD＝||t－6，t－10，BE＝AD＝||DE＝CD＝CF2＋DF2＝12＋（t－8）2，①当∠DEB＝90°时，BD2＝BE2＋DE2，即(t－10)2＝(t－6)2＋12＋(t－8)2，第3题解图解得t1＝2，t2＝6(不合题意，舍去)；②当∠EBD＝90°时，DE2＝BD2＋BE2，即12＋(t－8)2＝(t－10)2＋(t－6)2，解得t3＝6，t4＝10(两者均不合题意，舍去)；③当∠BDE＝90°时，BE2＝BD2＋DE2，即(t－6)2＝(t－10)2＋12＋(t－8)2，解得t5＝14，t6＝10(舍去)．综上所述，存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形，此时t＝2或14.4.如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起(图①)，△ABD不动．(1)若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC(图②)，证明：MB＝MC；(2)若将图①中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC(图③)，判断并直接写出MB、MC的数量关系；(3)在(2)中，若∠CAE的大小改变(图④)，其他条件不变，则(2)中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．第4题图（1）证明：如解图①，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，第4题解图①∴ AD ＝AE ， AB ＝AC ， ∠BAD ＝∠CAE ，又∵MD ＝ME ，∴∠MAD ＝∠MAE (三线合一)， ∴∠MAD －∠BAD ＝∠MAE －∠CAE ，即∠BAM ＝∠CAM ，在△ABM 和△ACM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAM ＝∠CAM AM ＝AM， ∴△ABM ≌△ACM (SAS )， ∴MB ＝MC ；第4题解图②(2)解：MB ＝MC ；【解法提示】如解图②，延长DB 、AE 相交于点E ′，延长EC 交AD 于点F ， ∴BD ＝BE ′，CE ＝CF ，又∵M 是ED 的中点，B 是DE ′的中点， ∴MB ∥AE ′，∴∠MBC ＝∠CAE ，同理：MC ∥AD ， ∴∠BCM ＝∠BAD ，又∵∠BAD ＝∠CAE ， ∴∠MBC ＝∠BCM ， ∴MB ＝MC .(3)解：MB ＝MC 还成立．理由如下：如解图③，延长BM 交CE 于点F ，第4题解图③∵CE ∥BD ， ∴∠MDB ＝∠MEF ， ∠MBD ＝∠MFE ，又∵M 是DE 的中点， ∴MD ＝ME ，在△MDB 和△MEF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MBD ＝∠MFE ∠MDB ＝∠MEF MD ＝ME， ∴△MDB ≌△MEF (AAS)， ∴MB ＝MF ＝12BF ，又∵∠ACE ＝90°，∴∠BCF ＝90°， ∴MC ＝12BF ，∴MB＝MC.5.在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点(与点A，C不重合)，连接BE.(1)将射线BE绕点B顺时针方向旋转45°，交直线AC于点F.①依题意补全图①；②小研通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF存在以下数量关系：AE与FC的平方和等于EF的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，要证AE，FC，EF的数量关系，只需证AE，AM，EM的数量关系．想法2：将△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要证AE，FC，EF的关系，只需证EN，FN，EF的关系．…请你参考上面的想法，用等式表示线段AE，FC，EF的数量关系并证明；(一种方法即可)(2)如图②，若将直线．．AC于点F.小研完成作图后，发现直线AC上存在三．．BE绕点B顺时针旋转135°，交直线条线段(不添加辅助线)满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．第5题图解：(1)①补全图形，如解图①；图① 图②第5题解图②AE 2＋FC 2＝EF 2；证明：如解图②，过B 作MB ⊥BF 于点B ，使BM ＝BF ，连接AM 、EM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，∠1＝∠2＝45°，AB ＝BC ，∵∠3＝45°，∴∠MBE ＝∠3＝45°，在△MBE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BF ∠MBE ＝∠3BE ＝BE，∴△MBE ≌△FBE (SAS )，∴EM ＝EF ，∵∠4＝90°－∠ABF ，∠5＝90°－∠ABF ，∴∠4＝∠5，在△AMB 和△CFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BF ∠4＝∠5AB ＝CB，∴△AMB ≌△CFB (SAS)，∴AM ＝FC ，∠6＝∠2＝45°，∴∠MAE ＝∠6＋∠1＝90°，在Rt △MAE 中，AE 2＋AM 2＝EM 2，∴AE 2＋FC 2＝EF 2；(2)AF 2＋EC 2＝EF 2.【解法提示】如解图③，过B 作MB ⊥BE ，使BM ＝BE ，连接ME 、MF 、AM ，∵直线BE 绕点B 顺时针旋转135°，交直线AC 于点F ，∴∠FBE ＝45°，∴∠MBF ＝90°－45°＝45°，∴∠FBE ＝∠MBF ，在△MBF 和△EBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BE ∠MBF ＝∠FBE ，BF ＝BF∴△MBF ≌△EBF (SAS)，∴MF ＝EF ，∵∠MBA ＝90°－∠ABE ，∠EBC ＝90°－∠ABE ，∴∠MBA ＝∠EBC ，在△AMB 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BE ∠MBA ＝∠EBC AB ＝CB，∴△AMB ≌△CEB (SAS )，∴AM ＝EC ，∠BAM ＝∠BCE ＝45°，∴∠MAE ＝∠BAM ＋∠BAC ＝90°，∴∠MAF ＝90°，在Rt △MAF 中，AF 2＋AM 2＝MF 2，∴AF 2＋EC 2＝EF 2.第5题解图③6.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F.(1)依题意补全图形；(2)小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE＝DF.小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE＝DF；想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE＝DF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE＝DF；…请你参考上面的想法，帮助小华证明DE＝DF(选一种方法即可)；(3)在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．解：(1)补全图形，如解图①；第6题解图(2)想法1：证明：如解图②，过点D作DG∥AB，交AC于点G，∵点D是BC边的中点，∴DG＝12AB，∴△CDG是等边三角形，∴∠EDB＋∠EDG＝120°，∵∠FDG＋∠EDG＝120°，∴∠EDB＝∠FDG，∵BD＝DG，∠B＝∠FGD＝60°，∴△BDE≌△GDF，∴DE＝DF；想法2：证明：如解图③，连接AD，作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上，∵点D是BC边的中点，AB＝AC，∴直线AD是△ABC的对称轴，∴△ADE≌△ADP，∴DE＝DP，∠AED＝∠APD，∵∠BAC＋∠EDF＝180°，∴∠AED＋∠AFD＝180°，∵∠APD＋∠DPF＝180°，∴∠AFD＝∠DPF，∴DP＝DF，∴DE＝DF；第6题解图想法3：证明：如解图④，连接AD，过D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，∵点D是BC边的中点，∴AD平分∠BAC，∵DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，∴DM＝DN，∵∠A＝60°，∴∠MDE＋∠EDN＝120°，∵∠FDN＋∠EDN＝120°，∴∠MDE ＝∠FDN ，∴Rt △MDE ≌Rt △NDF ，∴DE ＝DF ；(3)当点F 在AC 边上时，BE ＋CF ＝12AB ；当点F 在AC 的延长线上时，BE －CF ＝12AB . 【解法提示】①当点F 在AC 边上时，如解图⑤，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ， ∵∠B ＝∠C ＝60°，BD ＝DC ，∠BDM ＝∠CDN ＝30°，∴△BDM ≌△CDN ，∴BM ＝CN ，DM ＝DN ，又∵∠EDF ＝120°＝∠MDN ，∴∠EDM ＝∠NDF ，又∵∠EMD ＝∠FND ＝90°，∴△EDM ≌△FDN ，∴ME ＝NF ，∴BE ＋CF ＝BM ＋EM ＋NC －FN ＝2BM ＝BD ＝12AB ；图⑤ 图⑥第6题解图②当点F 在AC 的延长线上时，如解图⑥，过D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ，∵∠B ＝∠DCN ＝60°，BD ＝DC ，∠BDM ＝∠CDN ＝30°，∴△BDM ≌△CDN ，∴BM ＝CN ，DM ＝DN ，又∵∠EDF ＝120°＝∠MDN ，∴∠EDM ＝∠NDF ，又∵∠EMD ＝∠FND ＝90°，∴△EDM ≌△FDN ，∴ME ＝NF ，∴BE －CF ＝BM ＋EM －(FN －CN )＝2BM ＝BD ＝12AB ，综上所述，当点F 在AC 边上时，BE ＋CF ＝12AB ；当点F 在AC 的延长线上时，BE －CF ＝12AB . 7. 我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图①，在△ABC 中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“极化值”就等于AO 2－BO 2的值，可记为ABAC ＝AO 2－BO 2.第7题图(1)在图①中，若∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，AO 是BC 边上的中线，则ABAC＝________，OCOA＝________；(2)如图②，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，求AB AC、BA BC的值；(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON＝13A A O，已知ABAC＝14，BN BA＝10，求△ABC的面积．解：(1)0 ，7；【解法提示】∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝AB2＋AC2＝10，在Rt△ABC中，AO是BC边上的中线，∴AO＝BO＝5，∴AB AC＝AO2－BO2＝0，如解图①，取AC的中点D ，连接OD ，则OD ∥AB ，OD ＝12AB ＝4，CD ＝12AC ＝3，∴OC OA ＝OD 2－CD 2＝16－9＝7.第7题解图(2)如解图②，作底边BC 上的中线AE ，由题意可知AE 是∠BAC 的平分线、BC 边上的高． ∵AB ＝ΑC ＝4，∠BAC ＝120°，∴在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AE ＝12×4＝2，BE ＝32×4＝23， ∴AB AC ＝AE 2－BE 2＝22－(23)2＝－8.过点B作AC边上中线BM，过点M作MN⊥BC于点N，∴AM＝CM＝1×4＝2.2在Rt△MNC中，∠MNC＝90°，∠C＝30°，×2＝1，CN＝22－12＝ 3.∴MN＝12∵BC＝2BE＝43，∴BN＝BC－CN＝43－3＝33，BM2＝12＋(33)2＝28.∴BA BC＝BM2－AM2＝28－22＝24；(3)如解图③，过点B作△ABN的AN边上中线BM，∵在△ABC中，AB＝AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON＝13AO，第7题解图③∴AM＝MN＝NO，AO⊥BC，即AO＝3NO.∵AB A AC ＝14，BNBA ＝10，∴ AO 2－BO 2＝14，即(3ON )2－BO 2＝9ON 2－BO 2＝14，①∵BM 2－MN 2＝OM 2＋BO 2－MN 2＝(2ON )2＋BO 2－ON 2＝3ON 2＋BO 2＝10，②由①、②得⎩⎪⎨⎪⎧9ON 2－BO 2＝143ON 2＋BO 2＝10， ∴ON 2＝2，即ON ＝2，BO ＝2，∴BC ＝4，AO ＝32，∴S △ABC ＝12BC ·AO ＝12×4×32＝6 2. 8. 问题发现：如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC 、BC 为边向外侧作正方形ACDE 和正方形BCFG .(1)△ABC和△DCF面积的关系是________；(请在横线上填写“相等”或“不相等”)(2)拓展探究：若∠C≠90°，(1)中的结论还成立吗？若成立，请结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；(3)解决问题：如图③，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CD JI、正方形DA LK；运用(2)中的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．第8题图解：(1)相等；【解法提示】∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，∴AC＝DC，BC＝FC，∠ACD＝∠BCF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF＝90°＝∠ACB.∴12AC·BC＝12DC·CF，∴S△ABC＝S△DFC.(2)成立．理由如下：如解图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P，过点D作DQ⊥FC于点Q，∴∠APC＝∠DQC＝90°.∵四边形ACDE，四边形BCFG均为正方形，∴AC＝CD，BC＝CF，∠ACP＋∠PCD＝90°，∠DCQ＋∠PCD＝90°，∴∠ACP＝∠DCQ.第8题解图在△APC 和△DQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APC ＝∠DQC ∠ACP ＝∠DCQ AC ＝DC，∴△APC ≌△DQC (AAS)，∴AP ＝DQ .又∵S △ABC ＝12BC ·AP ，S △DFC ＝12FC ·DQ ， ∴S △ABC ＝S △DFC ；(3)图中阴影部分的面积和有最大值．理由如下：由(2)中的结论可知：S △K D J ＝S △ADC ，S △FBG ＝S △ABC ，S △AE L ＝S △ABD ，S △CH I ＝S △BDC ，∴S 阴影＝S △K DJ ＋S △FBG ＋S △AEL ＋S △CHI ＝S △ADC ＋S △ABC ＋S △ABD ＋S △BDC ＝2S 四边形ABCD .设AC ＝m ，则BD ＝10－m ，∵AC ⊥BD ，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝12m ·(10－m )＝－12m 2＋5m ＝－12(m －5)2＋252. ∵－12<0，∴S四边形ABCD有最大值，最大值为252.＝25，∴S阴影＝2×252∴阴影部分的面积和有最大值，最大值为25.9.问题背景如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．类比探究如图②，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F 三点不重合)．(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．第9题图解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF.证明：如解图①，第9题解图①∵△ABC为正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC.∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，而∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠BCE.又∵∠1＝∠2，∴△ABD≌△BCE(ASA)；(2)△DEF是正三角形．理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CF A，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形；(3)如解图②，作AG⊥BD，交BD延长线于点G，第9题解图②由△DEF 是正三角形得到∠ADG ＝60°，(或者∠ADG ＝∠1＋∠ABD ＝∠2＋∠ABD ＝60°.)∴在Rt △ADG 中，DG ＝12b ，AG ＝32b . ∴在Rt △ABG 中，c 2＝(a ＋12b )2＋(32b )2， ∴c 2＝a 2＋ab ＋b 2.10. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A ′B ′C .(1)设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S 1和S 2.若θ＝40°，请求出S 1S 2的值； (2)如图①，设A ′B ′与CB 相交于点D ，且AB ∥CB ′：①求证：CD ＝B ′D ；②求BD 的长；(3)如图②，设AC 中点为点M ，A ′B ′中点为点N ，连接MN ，MN 是否存在最大值，若存在，求出MN 的值，判断出此时AA ′与BB ′的位置关系；若不存在，请说明理由．第10题图(1)解： ∵△ABC 绕顶点C 顺时针旋转40°，得到△A ′B ′C ， ∴CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∠ACA ′＝∠BCB ′＝θ，∴△ACA ′∽△BCB ′，∴S △ACA ′∶S △BCB ′＝AC 2∶BC 2＝32∶42＝9∶16；∴S 1S 2＝916； (2)①证明：∵AB ∥B ′C ，∴∠ABC ＝∠BCB ′；由旋转的性质得∠ABC ＝∠DB ′C ，即∠BCB ′ ＝∠DB ′C ；∴CD ＝B ′D ；②解：根据勾股定理可得A ′B ′＝AB ＝5，据题意可得∠BCB ′ ＋∠BCA ′ ＝∠DB ′C ＋∠CA ′B ′＝90°，∴∠BCA ′ ＝∠CA ′B ′，∴CD ＝A ′D ＝B ′D ＝12A ′B ′＝52， ∴ BD ＝BC －CD ＝32； (3)解：存在，∵∠A ′CB ′＝90°，点M 为AC 的中点，∴CM ＝12AC ＝32， ∵△A ′B ′C 是由△ABC 绕顶点C 顺时针旋转所得，∴A ′B ′＝AB ＝5，第10题解图如解图，连接CN ，可得MN ≤CM ＋CN ，∴只有当点N 在MC 的延长线上时，MN ＝CM ＋CN ，此时MN 最大，∵点N 为A ′B ′的中点，∴CN ＝12 A ′B ′＝52，MN ＝CM ＋CN ＝4，即MN 的最大值为4.此时AA ′⊥BB ′.。

河南省中考数学押题试卷含答案解析

河南省中考数学押题试卷一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的是1．﹣3的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣3 D．32．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．下列各式计算正确的是（）A．2a+3b=6ab B．a8÷a2=a4C．（﹣2a2）3=﹣8a6D．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b24．若一元二次方程x2+4x﹣2a=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．a≥﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜﹣45．某校九年级（1）班的8名男生的体重分别是（单位：千克）：65，70，58，60，55，58，50，54，这组数据的众数和中位数分别是（）A．55和58 B．55和60 C．58和58 D．58和606．一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图、左视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．87．在▱ABCD中，AB=6，AD=8，∠ABC=60°，点E是AB的中点，EF⊥AB交BC于F，连接DF，则DF的长为（）A．2B．8 C．5D．108．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（）A．若y1=y2，则x1=x2B．若x1=﹣x2，则y1=﹣y2C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2二、填空题（每小题3分，共21分）9．计算：（﹣2）3+=．10．将一副直角三角板ABC和ADE如图放置（其中∠B=60°，∠E=45°），已知DE与AC 交于点F，AE∥BC，则∠AFD的度数为．11．不等式组的所有非负整数解为．12．如图，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C，交AB的延长线于点E，点D是⊙O上的点，连接BD、CD，若∠CDB=25°，则∠E的度数是．13．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的3个白球和1个红球，先从袋子中随机摸出一个球记下颜色放回，再随机地摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为．14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC=6，将四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°至四边形AB′C′D′处，则旋转过程中，边BC所扫过的区域（图中阴影部分）的面积为．15．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E是DC上一点，将∠D沿折痕AE折叠，使点D落在点D′处，当△AD′B为等腰三角形时，则DE的长为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：（x+1﹣）÷，然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．17．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交BA、DC 的延长线于点E、F，且AE=CF，连接DE、BF．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠ABD=30°，AB⊥AC．①当AE与AB的数量关系为时，四边形BEDF是矩形；②当AE与AB的数量关系为时，四边形BEDF是菱形．18．近年来，各地“广场舞”噪音干扰的问题备受关注，相关人员对本地区15﹣65岁年龄段的500名市民进行了随机调查，在调查过程中对“广场舞”噪音干扰的态度有以下五种：A：没影响；B：影响不大；C：有影响，建议做无声运动，D：影响很大，建议取缔；E：不关心这个问题，将调查结果绘统计整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：（1）填空m=，态度为C所对应的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）若全区15﹣65岁年龄段有20万人，估计该地区对“广场舞”噪音干扰的态度为B的市民人数；（4）若在这次调查的市民中，从态度为A的市民中抽取一人的年龄恰好在年龄段15﹣35岁的概率是多少？19．如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知，斜屋面的倾角为25°，长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求铁架垂直管CE的长（结果精确到0.01米）．20．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=﹣x﹣1的图象的一个交点为A（﹣2，a）．（1）求反比例函数的表达式；（2）请直接写出不等式＞﹣x﹣1的解集；（3）若一次函数=﹣x﹣1与x轴交于点B，与y轴交于点C，点P是反比例函数y=图象上一点，且S△BOP=4S△OBC，求点P的坐标．21．植树造林不仅可以绿化和美化家园，同时还可以起到扩大山林资源，防止水土流失，保护农田，调节气候，促进经济发展等作用，是一项利国利民、造福子孙后代的宏伟工程，今年3月12日，某校某班计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵的单价比B 种树苗每棵的单价多20元．（1）若购进A种树苗花费了800元，购进B种树苗花费了420元，求A、B两种树苗每棵的单价各是多少元？（2）若购进A种树苗a棵，所需费用为w，求w与a的函数关系式；（3）若购进B中树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．22．已知Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作Rt△ADE，AD=AE，连接CE．（1）发现问题如图①，当点D在边BC上时，①请写出BD和CE之间的数量关系为，位置关系为；②线段CE+CD=AC；（2）尝试探究如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中AC、CE、CD之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC=4，CE=2，求线段CD的长．23．如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．河南省中考数学押题试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的是1．﹣3的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣3 D．3【考点】绝对值．【分析】根据绝对值的性质计算即可得解．【解答】解：﹣3的绝对值是3，即|﹣3|=3．故选D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确．故选D．3．下列各式计算正确的是（）A．2a+3b=6ab B．a8÷a2=a4C．（﹣2a2）3=﹣8a6D．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项，积的乘方运算法则，完全平方公式化简，即可做出判断．【解答】解：A、2a+3b=2a+3b，故错误；B、a8÷a2=a6，故错误；C、（﹣2a2）3=﹣8a6，故正确；D、（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2，故错误；故选C．4．若一元二次方程x2+4x﹣2a=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．a≥﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜﹣4【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根结合根的判别式可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵方程x2+4x﹣2a=0有实数根，∴△=42﹣4×1×（﹣2a）=16+8a≥0，解得：a≥﹣2．故选B．5．某校九年级（1）班的8名男生的体重分别是（单位：千克）：65，70，58，60，55，58，50，54，这组数据的众数和中位数分别是（）A．55和58 B．55和60 C．58和58 D．58和60【考点】众数；中位数．【分析】首先把所给数据按从小到大排序，然后利用中位数和众数定义定义即可确定结果．【解答】解：把已知数据按从小到大排序后为50，54，55，58，58，60，65，70，这组数据中58出现的次数最多，故众数是58，中位数是：（58+58）÷2=58．故选C．6．一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图、左视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】由三视图判断几何体．【分析】根据三视图可得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图和左视图可得第二层小正方体的个数，最后相加即可．【解答】解：由俯视图可得最底层有5个小正方体，根据主视图和左视图可得第二层有1个小正方体，则搭成这个几何体的小正方体有5+1=6（个）；故选B．7．在▱ABCD中，AB=6，AD=8，∠ABC=60°，点E是AB的中点，EF⊥AB交BC于F，连接DF，则DF的长为（）A．2B．8 C．5D．10【考点】平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】首先延长DC，EF相交于点H．由在▱ABCD中，AB=6，AD=8，可求得CD，BC 的长，又由EF⊥AB，∠ABC=60°，求得∠BFE=∠CFH=30°，然后由含30°的直角三角形的性质，求得BF，FC，CH，FH的长，然后由勾股定理求得DF的长．【解答】解：延长DC，EF相交于点H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD=6，AD=BC=8，∵EF⊥AB，∴∠B=∠FCH=60°，∠BEF=∠H=90°，∴∠BFE=∠CFH=30°，∵E是AB的中点，∴BE=AE=AB=3．∴BF=2BE=6，∴CF=BC﹣BF=2，∴CH=CF=1，∴FH==，DH=CD+CH=6+1=7，∴DF==2．故选A．8．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（）A．若y1=y2，则x1=x2B．若x1=﹣x2，则y1=﹣y2C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由于抛物线y=x2﹣1的图象关于y轴对称，开口向上，分别判断如下：若y1=y2，则x1=﹣x2；若x1=﹣x2，则y1=y2；若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2；若x1＜x2＜0，则y1＞y2．【解答】解：A、若y1=y2，则x1=﹣x2；B、若x1=﹣x2，则y1=y2；C、若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2；D、正确．故选D．二、填空题（每小题3分，共21分）9．计算：（﹣2）3+=﹣5．【考点】算术平方根；有理数的乘方．【分析】先依据有理数的乘法法则和算术平方根的性质计算，然后再依据有理数的加法法则计算即可．【解答】解；原式=﹣8+3=﹣5．故答案为：﹣5．10．将一副直角三角板ABC和ADE如图放置（其中∠B=60°，∠E=45°），已知DE与AC 交于点F，AE∥BC，则∠AFD的度数为75°．【考点】平行线的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠EDC=∠E，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵AE∥BC，∠E=45°，∴∠EDC=∠E=45°，∵∠B=60°，∴∠C=90°﹣60°=30°，∴∠AFD=∠C+∠EDC=30°+45°=75°．故答案为：75°．11．不等式组的所有非负整数解为0，1，2．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出x的所有非负整数解即可．【解答】解：，由①得，x≤2；由②得，x＞﹣3，故不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，其非负整数解为：0，1，2．故答案为：0，1，2．12．如图，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C，交AB的延长线于点E，点D是⊙O上的点，连接BD、CD，若∠CDB=25°，则∠E的度数是40°．【考点】切线的性质．【分析】连接OC，在RT△COE中，求出∠COE即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=25°，∵∠A=∠D=25°，∴∠A=∠ACO=25°，∴∠COE=∠A+∠ACO=50°，∵CE是切线，∴∠OCE=90°，∴∠E=90°﹣∠COE=40°．故答案为40°．13．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的3个白球和1个红球，先从袋子中随机摸出一个球记下颜色放回，再随机地摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸出白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次都摸出白球的有9种情况，∴两次都摸出白球的概率是：．故答案为：．14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC=6，将四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°至四边形AB′C′D′处，则旋转过程中，边BC所扫过的区域（图中阴影部分）的面积为3π．【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．【分析】先根据直角三角形的性质去除AN及AB的长，再由三角形的面积公式求出△ABC=S1+S2即可得出结的面积，由扇形的面积公式得出扇形BAB′及扇形CAC′的面积，由S阴影论．【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC=6，∠BAC=30°，∴AC=12，AB==6，S△ABC=×6×6=18，=π×6（）2=9π，∴S扇形BAB′∴S1=18﹣9π．=π×122=12π，∵S△AB′C′=S△ABC=18，S扇形CAC′∴S2=12π﹣18，=S1+S2=18﹣9π+12π﹣18=3π．∴S阴影故答案为：3π．15．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E是DC上一点，将∠D沿折痕AE折叠，使点D落在点D′处，当△AD′B为等腰三角形时，则DE的长为或16﹣．【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质；矩形的性质．【分析】①当AD′=D′B=5时，过点D′作MN⊥AB于点N，根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角△EMD′与△AND′中，利用勾股定理可得出关于DM长度的一元二次方程，解方程即可得出结论；②当AB=D′B=8时，过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，设DE=a，则D′E=a．根据折叠的性质得到AD′=AD=5，根据勾股定理得到AN=，D′N=，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：①当AD′=D′B=5时，过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，如图1所示．设DE=a，则D′E=a．∵将∠D沿折痕AE折叠，使点D落在点D′处，∴AN=DM=CD=AB=4，AD=AD′=5，由勾股定理可知：ND′==3，∴MD′=MN﹣ND′=AD﹣ND′=2，EM=DM﹣DE=4﹣a，∵ED′2=EM2+MD′2，即a2=（4﹣a）2+4，解得：a=；②当AB=D′B=8时，过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，如图2所示．设DE=a，则D′E=a．∵将∠D沿折痕AE折叠，使点D落在点D′处，∴AD′=AD=5，∴AD′2﹣AN2=BD′2﹣BN2，即52﹣AN2=82﹣（8﹣AN）2，∴AN=，∴BN=，∴D′N=，∵∠MED′+∠ED′M=∠ED′M+∠AD′N=90°，∴∠MED′=∠AD′N，∴△EMD′∽△AD′N，∴，即=，∴a=16﹣，∴当△AD′B为等腰三角形时，则DE的长为或16﹣．故答案为：或16﹣．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：（x+1﹣）÷，然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式的混合运算顺序化简原式，再从﹣＜x＜的范围内选取符合原式的x的值代入．【解答】解：原式=÷=•=x﹣1，在﹣＜x＜的范围内取x=0，得原式=﹣1．17．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交BA、DC 的延长线于点E、F，且AE=CF，连接DE、BF．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠ABD=30°，AB⊥AC．①当AE与AB的数量关系为AE=AB时，四边形BEDF是矩形；②当AE与AB的数量关系为3AE=AB时，四边形BEDF是菱形．【考点】四边形综合题．【分析】（1）直接利用平行四边形的性质，得出AO=CO，进而得出∠EAO=∠FCO，结合全等三角形的判定方法得出答案；（2）①利用矩形的判定方法，得出BD=EF，即可得出答案；②利用菱形的判定方法，结合勾股定理的逆定理，得出∠BOE=90°，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BA∥DC，BO=DO，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（SAS）；（2）解：①当AB=AE时，四边形BEDF是矩形；理由：∵△AOE≌△COF，∴EO=FO，又∵BO=DO，∴四边形BEDF是平行四边形，∵AB⊥AC，AB=AE，∴BO=EO，∴BD=EF，∴平行四边形BEDF是矩形；故答案为：AB=AE；②当AE与AB的数量关系为3AE=AB时，四边形BEDF是菱形，理由：∵∠ABD=30°，AB⊥AC，∴设AO=x，则AB=x，BO=2x，∵3AE=AB，∴AE=x，由AO=x，故EO=x，∵（x）2+（2x）2=（x+x）2，∴△BOE是直角三角形，即∠BOE=90°，∴平行四边形BEDF是菱形．故答案为：AB=3AE．18．近年来，各地“广场舞”噪音干扰的问题备受关注，相关人员对本地区15﹣65岁年龄段的500名市民进行了随机调查，在调查过程中对“广场舞”噪音干扰的态度有以下五种：A：没影响；B：影响不大；C：有影响，建议做无声运动，D：影响很大，建议取缔；E：不关心这个问题，将调查结果绘统计整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：（1）填空m=32，态度为C所对应的圆心角的度数为115.2°；（2）补全条形统计图；（3）若全区15﹣65岁年龄段有20万人，估计该地区对“广场舞”噪音干扰的态度为B的市民人数；（4）若在这次调查的市民中，从态度为A的市民中抽取一人的年龄恰好在年龄段15﹣35岁的概率是多少？【考点】概率公式；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【分析】（1）由扇形统计图可求得m的值；由态度为C的占32%，即可求得态度为C所对应的圆心角的度数；（2）首先求得25到35的人数，继而可补全条形统计图；（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；（4）由题意，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）m=100﹣10﹣5﹣20﹣33=32；态度为C所对应的圆心角的度数为：32%×360=115.2°；故答案为：32，115.2°；（2）500×20%﹣15﹣35﹣20﹣5=25，补全条形统计图；（3）估计该地区对“广场舞”噪音干扰的态度为B的市民人数为：20×33%=6.6（万人）；（4）从态度为A的市民中抽取一人的年龄恰好在年龄段15﹣35岁的概率是：=．19．如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知，斜屋面的倾角为25°，长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求铁架垂直管CE的长（结果精确到0.01米）．【考点】解直角三角形的应用．【分析】过B作BF⊥AD于F．构建Rt△ABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．然后根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD 与ED的长，再用CD的长减去ED的长即可解答．【解答】解：如图：过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵sin∠BAF=，∴BF=ABsin∠BAF=2.1sin40°≈1.350．∴真空管上端B到AD的距离约为1.35米．在Rt△ABF中，∵cos∠BAF=，∴AF=ABcos∠BAF=2.1cos40°≈1.609．∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF=CD，BC=FD．在Rt△EAD中，∵tan∠EAD=，∴ED=ADtan∠EAD=1.809tan25°≈0.844．∴CE=CD﹣ED=1.350﹣0.844=0.506≈0.51∴安装铁架上垂直管CE的长约为0.51米．20．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=﹣x﹣1的图象的一个交点为A（﹣2，a）．（1）求反比例函数的表达式；（2）请直接写出不等式＞﹣x﹣1的解集；（3）若一次函数=﹣x﹣1与x轴交于点B，与y轴交于点C，点P是反比例函数y=图象上一点，且S△BOP=4S△OBC，求点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将x=﹣2代入一次函数解析式中求出a的值，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出结论；（2）联立一次函数与反比例函数解析式成方程组，解方程组求出两函数图象除点A外的另一点坐标，结合函数图象的上下位置关系以及两交点的横坐标即可得出不等式的解集；（3）根据一次函数的解析式求出点B、C的坐标，设点P的坐标为（m，﹣），根据三角形的面积公式结合S△BOP=4S△OBC，即可得出关于m的方程，解方程即可得出m的值，再将其代入点P的坐标即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，a）在一次函数y=﹣x﹣1的图象上，∴a=﹣1×（﹣2）﹣1=1，∴点A（﹣2，1）．∵点A（﹣2，1）在反比例函数y=的图象上，∴k=﹣2×1=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣．（2）联立一次函数与反比例函数解析式得：，解得：或，∴反比例函数与一次函数图象的另一个交点为（1，﹣2）．观察函数图象可知：当﹣2＜x＜0或x＞1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，∴不等式＞﹣x﹣1的解集为﹣2＜x＜0或x＞1．（3）令y=﹣x﹣1中x=0，则y=﹣1，∴点C（0，﹣1）；令y=﹣x﹣1中x=0，则﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，∴点B（﹣1，0）．设点P的坐标为（m，﹣），∵S△BOP=4S△OBC，∴BO•|y P|=4×OB•OC，即|﹣|=4，解得：m=±，∴点P的坐标为（，﹣4）或（﹣，4）．21．植树造林不仅可以绿化和美化家园，同时还可以起到扩大山林资源，防止水土流失，保护农田，调节气候，促进经济发展等作用，是一项利国利民、造福子孙后代的宏伟工程，今年3月12日，某校某班计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵的单价比B 种树苗每棵的单价多20元．（1）若购进A种树苗花费了800元，购进B种树苗花费了420元，求A、B两种树苗每棵的单价各是多少元？（2）若购进A种树苗a棵，所需费用为w，求w与a的函数关系式；（3）若购进B中树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设B种树苗每棵x元，利用“购进A种树苗用去800元、B种树苗用去420元，购进A、B两种树苗共17棵”得出方程求出即可；（2）根据所需费用为W=A种树苗的费用+B种树苗的费用，即可解答；（3）根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，可找出方案．【解答】解：（1）设B种树苗每棵x元，根据题意，得+=17，解得x=60经检验：x=60是原方程的解．答：A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元；（2）购进a种树苗A棵，则购进B种树苗（17﹣a）棵根据题意得：W=80a+60（17﹣a）=20a+1020；（3）∵购买B种树苗的数量少于A中树苗的数量，∴17﹣a＜a，解得：a＞8．购进A、B两种树苗所需费用为W=20a+1020，因为A种树苗贵，则费用最省需x取最小整数9，此时17﹣a=8，这时所需费用为20×9+1020=1200（元）．答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵．这时所需费用为1200元．22．已知Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作Rt△ADE，AD=AE，连接CE．（1）发现问题如图①，当点D在边BC上时，①请写出BD和CE之间的数量关系为相等，位置关系为垂直；②线段CE+CD=AC；（2）尝试探究如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中AC、CE、CD之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC=4，CE=2，求线段CD的长．【考点】三角形综合题．【分析】（1）①根据AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，证△BAD≌△CAF，推出CE=BD，CE⊥BD即可；②结论：CE+CE=AC．由△ABC是等腰直角三角形，得到BC=AC，BC=BD+CD，由此即可得出结论；（2）结论：CE=AC+CD，如图2中，先证明△BAD≌△CAE，推出BD=CE即可，再根据等腰直角三角形性质即可解决问题．（3）根据SAS证△BAD≌△CAE，推出CE=BD即可，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，①∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵AD=AE，∠DAE=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC即∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABC=∠ACE=45°，∴∠ECB=90°，∴BD⊥CE；②结论：CE+CE=AC．理由：由①得BD=CE，∴BC=AC，∵BC=BD+CD=CE+CD，∴CE+CD=AC；（2）解：如图2中，存在数量关系为：CE=AC+CD；理由：由（1）同理可得在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，在等腰直角三角形ABC中，BC=AC，∴BD=BC+CD=AC+CD，∴CE=AC+CD；（3）解：由（1）同理在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∴CD=BC+BD=BC+CE．∵BC=4，CE=2，∴CD=6．23．如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）首先根据直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）；然后根据抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，求出a\c的值是多少，即可求出抛物线的解析式．（2）首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），求出EM的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出S△ABC，进而判断出当△BEC面积最大时，点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可．（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，∴解得∴y=﹣x2+x+3．（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，，∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3，∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．①如图2，，由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），则解得或，∵x＜0，∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．②如图3，，由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），则解得或，∵x＞0，∴点P的坐标是（5，﹣）．③如图4，，由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM==，∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），则解得，∴点P的坐标是（﹣1，）．综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．8月8日。

几何难题中考压轴题带答案和详细解析精编WORD版

几何难题中考压轴题带答案和详细解析精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】几何难题精选解答题（共30小题）1．（2015?河南）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．2．（2015?济南）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．3．（2015?岳阳）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA?PB=k?AB．4．（2015?重庆）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．5．（2015?烟台）【问题提出】如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．6．（2015?莆田）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记=k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）7．（2015?襄城区模拟）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED 交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．8．（2015?重庆校级一模）已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，DF交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，若PC=1，计算出DG的长；（2）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，证明：四边形DFEP为菱形；（3）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，（2）的结论：四边形DFEP为菱形是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．9．（2015?房山区二模）在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△EFD，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F．BE与FC相交于点H．（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系：；（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点．求证：MN=；（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系：．10．（2015?衢州校级模拟）图1是边长分别为4和2的两个等边三角形纸片ABC和ODE叠放在一起（C与O重合）．（1）操作：固定△ABC，将△0DE绕点C顺时针旋转30°后得到△ODE，连结AD、BE，CE 的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．（2）在（1）的条件下将的△ODE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR，当点P与点F重合时停止运动（图3）探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．（3）将图1中△0DE固定，把△ABC沿着OE方向平移，使顶点C落在OE的中点G处，设为△ABG，然后将△ABG绕点G顺时针旋转，边BG交边DE于点M，边AG交边DO于点N，设∠BGE=α（30°＜α＜90°）；（图4）探究：在图4中，线段ON?EM的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出ON?EM的值，如果有变化，请你说明理由．11．（2015?武义县模拟）（1）将矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上，OA=8，OC=10，点E为OA边上一点，连结CE，将△EOC沿CE折叠．①如图1，当点O落在AB边上的点D处时，求点E的坐标；②如图2，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥x轴交CD于点H，交BC 于点G，设H（m，n），求m与n之间的关系式；（2）如图3，将矩形OABC变为边长为10的正方形，点E为y轴上一动点，将△EOC沿CE折叠．点O落在点D处，延长CD交直线AB于点T，若=，求AT的长．12．（2015?石家庄校级模拟）如图1，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，AC，BD相交于点O．（1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别于边BC，CD相交于E，F，连接EF与AC相交于点G．①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中是否存在线段EF最短，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．13．（2015春?泰安校级期中）如图，正方形OEFG绕着边长为30的正方形ABCD的对角线的交点O旋转，边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N．（1）求证：OM=ON；（2）设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P，连结PM．若PM=13，试求AM的长；（3）连接MN，求△AMN周长的最小值，并指出此时线段MN与线段BD的关系．14．（2014?天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．15．（2014春?青山区期末）已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B，连AF，H为AF的中点，连EH，正方形EBGF绕点B旋转．（1）如图1，当F点落在BC上时，求证：EH=FC；（2）如图2，当点E落在BC上时，连BH，若AB=5，BG=2，求BH的长；（3）当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时，求的值．16．（2013?盐城）阅读材料如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）17．（2013?梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．18．（2015?营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．19．（2015?永州）问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．（二）问题解决：已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角．时（如图二），求MN的长；①当点P运动到的中点P1②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．20．（2015?盘锦）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：；（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．21．（2015?朝阳）问题：如图（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系．[探究发现]小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接EH，由已知条件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边”，可证△CEH≌，得EH=ED．在Rt△HBE中，由定理，可得BH2+EB2=EH2，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是．[实践运用]（1）如图（2），在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=2，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．22．（2015?自贡）在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1 C．（1）如图①，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；（2）如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．23．（2015?吉林）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．（1）当点C落在边EF上时，x= cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．24．（2015?汕尾）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）25．（2015?赤峰）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？26．（2015?海南）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC 的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．（1）求证：△ADP≌△ECP；（2）若BP=n?PK，试求出n的值；（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．27．（2015?丹东）在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m?BP时，请直接写出PE 与PF的数量关系．28．（2015?成都）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDC的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（i）求证：△CAE∽△CBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且==k时，若BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）29．（2015?锦州）如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．30．（2014?绵阳）如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B 落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．几何难题精选(1) 旋转圆四边形参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015?河南）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．【解答】解：（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴，∴．②如图1，，当α=180°时，可得AB∥DE，∵，∴=．故答案为：．（2）如图2，，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如图3，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴．②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE==2，∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6，由（2），可得，∴BD==．综上所述，BD的长为4或．【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握．2．（2015?济南）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意证明△MAC≌△NBC即可；（2）与（1）的证明方法相似，证明△MAC≌△NBC即可；（3）作GK⊥BC于K，证明AM=AG，根据△MAC≌△NBC，得到∠BDA=90°，根据直角三角形的性质和已知条件求出AG的长，得到答案．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，∴∠ACM=∠BCN，在△MAC和△NBC中，，∴△MAC≌△NBC，∴∠NBC=∠MAC=90°，又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，∴∠NDE=90°；（2）不变，在△MAC≌△NBC中，，∴△MAC≌△NBC，∴∠N=∠AMC，又∵∠MFD=∠NFC，∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；（3）作GK⊥BC于K，∵∠EAC=15°，∴∠BAD=30°，∵∠ACM=60°，∴∠GCB=30°，∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，∠AMG=75°，∴AM=AG，∵△MAC≌△NBC，∴∠MAC=∠NBC，∴∠BDA=∠BCA=90°，∵BD=，∴AB=+，AC=BC=+1，设BK=a，则GK=a，CK=a，∴a+a=+1，∴a=1，∴KB=KG=1，BG=，AG=，∴AM=．【点评】本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的关键，注意旋转的性质的灵活运用．3．（2015?岳阳）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： PA=PB ．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA?PB=k?AB．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得PA=PB，据此解答即可．（2）首先过C作CE⊥n于点E，连接PE，然后分别判断出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△PAC∽△PBE，即可判断出PA=PB仍然成立．（3）首先延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出△AEF∽△BPF，即可判断出AF?BP=AE?BF，再个AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PA?PB=2k．AB，所以PA?PB=k?AB，据此解答即可．【解答】解：（1）∵l⊥n，∴BC⊥BD，∴三角形CBD是直角三角形，又∵点P为线段CD的中点，∴PA=PB．（2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，，∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，∴PD=PE，又∵点P为线段CD的中点，∴PC=PD，∴PC=PE；∵PD=PE，∴∠CDE=∠PEB，∵直线m∥n，∴∠CDE=∠PCA，∴∠PCA=∠PEB，又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，∴l∥CE，∴AC=BE，在△PAC和△PBE中，∴△PAC≌△PBE，∴PA=PB．（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，，∵直线m∥n，∴，∴AP=PF，∵∠APB=90°，∴BP⊥AF，又∵AP=PF，∴BF=AB；在△AEF和△BPF中，∴△AEF∽△BPF，∴，∴AF?BP=AE?BF，∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，∴2PA?PB=2k．AB，∴PA?PB=k?AB．【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．4．（2015?重庆）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．【考点】几何变换综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】（1）如图1，易求得∠B=60°，∠BED=90°，BD=2，然后运用三角函数的定义就可求出BE的值；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B=∠ACD=60°，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM．然后在Rt△BMD中，运用三角函数就可得到DM=BM，即BE+CF=（BE﹣CF）．【解答】解：（1）如图1，∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4．∵点D是线段BC的中点，∴BD=DC=BC=2．∵DF⊥AC，即∠AFD=90°，∴∠AED=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°，∴∠BED=90°，∴BE=BD×cos∠B=2×cos60°=2×=1；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD，∴BM=CN，DM=DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND，∴EM=FN，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B=∠ACD=60°．同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．∵DN=FN，∴DM=DN=FN=EM，∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM．在Rt△BMD中，DM=BM?tanB=BM，∴BE+CF=（BE﹣CF）．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键．5．（2015?烟台）【问题提出】如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【分析】首先判断出△CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EDB≌△FEA，即可判断出BD=AE，AB=AE+BF，所以AB=DB+AF．（1）首先判断出△CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∠FCG=∠FEA，再根据∠FCG=∠EAD，∠D=∠EAD，可得∠D=∠FEA；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EDB≌△FEA，即可判断出BD=AE，EB=AF，进而判断出AB=BD﹣AF即可．（2）首先根据点E在线段BA的延长线上，在图③的基础上将图形补充完整，然后判断出△CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，再判断出∠DBE=∠EAF，∠BDE=∠AEF；最后根据全等三角形判定的方法，判断出△EDB≌△FEA，即可判断出BD=AE，EB=AF，进而判断出AF=AB+BD即可．【解答】证明：ED=EC=CF，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，∠BCA=60°，BE=AF，EC=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=EC，∠CEF=60°，又∵ED=EC，∴ED=EF，∵△ABC是等腰三角形，∠BCA=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAF=∠CBA=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE，∵∠CAF=∠CEF=60°，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠AEF=∠ACF，又∵ED=EC，∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，∴∠D=∠AEF，在△EDB和△FEA中，（AAS）∴△EDB≌△FEA，∴DB=AE，BE=AF，∵AB=AE+BE，∴AB=DB+AF．（1）AB=BD+AF；延长EF、CA交于点G，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=EC，又∵ED=EC，∴ED=EF，∠EFC=∠BAC=60°，∵∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∴∠FCG=∠FEA，又∵∠FCG=∠ECD，∠D=∠ECD，∴∠D=∠FEA，由旋转的性质，可得∠CBE=∠CAF=120°，∴∠DBE=∠FAE=60°，在△EDB和△FEA中，（AAS）∴△EDB≌△FEA，∴BD=AE，EB=AF，∴BD=FA+AB，即AB=BD﹣AF．（2）如图③，，ED=EC=CF，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，∴△CEF是等边三角形，∴EF=EC，又∵ED=EC，∴ED=EF，∵AB=AC，BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠CAF=60°，∴∠EAF=180°﹣∠CAF﹣∠BAC=180°﹣60°﹣60°=60°∴∠DBE=∠EAF；∵ED=EC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，∴∠BDE=∠AEF，在△EDB和△FEA中，（AAS）∴△EDB≌△FEA，∵BE=AB+AE，∴AF=AB+BD，即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF=AB+BD．【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．6．（2015?莆田）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记=k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）首先过点P作PM⊥CE于点M，然后根据EF⊥AE，BC⊥AC，可得EF∥MP∥CB，推得，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此推得PC=PE即可．（2）首先过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DAF≌△EAF，即可判断出AD=AE；再判断出△DAP≌△EAP，即可判断出PD=PE；最后根据FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得FD∥BC∥PM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可推得PC=PE．（3）首先根据△CPE总是等边三角形，可得将△AEF绕着点A顺时针旋转180°，△CPE 仍是等边三角形；然后根据∠BCF=∠BEF=90°，点P是BF的中点，可得点C、E在以点P 为圆心，BF为直径的圆上；最后根据圆周角定理，求出∠CBE的度数，即可求出当△CPE 总是等边三角形时，k的值是多少．【解答】解：（1）如图2，过点P作PM⊥CE于点M，，。

最新九年级中考数学复习：几何探究压轴题(面积问题)

14．（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交BC于点N，则OM与ON的数量关系为；
（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠C＝120°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转60°交BC于点N，则OM与ON的数量关系是否改变，请说明理由；
9．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝a，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角a得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E．
(1)如图1，若A，D，E三点在同一直线上，则∠CDE=（用含a的代数式表示）；
(2)如图2，若A，D，E三点在同一直线上，a=60°，过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=3，AB=7，请直接写出△PMN面积的最大值．
18．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段NM、NP的数量关系是，∠MNP的大小为；
(2)在三角板旋转的过程中，边与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥ 交边于点E，连接BE．
①当时，设AD= ，BE= ，求与之间的函数解析式及自变量的取值范围；
②当时，求AD的长．
13．在中中．，，点E在射线CB上运动．连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF．
②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．
2．如图，矩形中，为等边三角形．点E，F分别为边上的动点，且，P为上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转至，连接．

2020年九年级中考数学几何压轴之几何探究题(含答案)

∴ △ABD≌△ CAF(AAS)；归纳证明 :∵∠ 1=∠ 2=∠ BAC,∠1=∠BAE＋ ∠ ABE, ∠ BAC=∠ BAE＋∠ CAF,∠2=∠FCA＋∠ CAF, ∴ ∠ABE=∠ CAF,∠BAE=∠FCA, 在 △ABE 和△CAF 中,
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2. 特例探究 :如图 ①,已知在△ABC 中,AB=BC,
∠ ABC=90°,D 为 AC 边的中点 ,连接 BD,判断△ABD 是什么三角形,并说明理由;
归纳证明 :如图 ②,已知在△ABC 中,AB=BC,∠ ABC=90°,把 Rt△DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的
中点上,DE 交 AB 于 M,DF 交 BC 于 N,连接 BD．证明:DM=DN；
拓展应用 :在图 ②中,AC=4,其他条件都不发生变化 ,请直接写出 Rt△DEF 与△ABC 的重叠部分
的面积．
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第 2 题图
特例探究 :解:△ABD 是等腰直角三角形．
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2020 中考数学几何压轴之几何探究题（含答案）
1. 两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起,其中∠A=60°,AC=1,固定△ABC 不动,将△DEF 进行如下操作:
(1)操作发现如图①,△DEF 沿线段 AB 向右平移(即 D 点在线段 AB 内移动),连接 DC、CF、FB,四边形 CDBF 的形状在不断变化,但它的面积不变化,请求出其面积； (2)猜想论证如图②,当 D 点移到 AB 的中点时,请你猜想四边形 CDBF 的形状,并说明理由； (3)拓展研究如图③,将△DEF 的 D 点固定在 AB 的中点,然后绕 D 点按顺时针方向旋转△DEF,使 DF 落在 AB 的边上,此时 F 点恰好与 B 点重合,连接 AE,求 sinα 的值.

2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题(附答案)

试卷第1页，共9页2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题1．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，172AB AC ==D 在边AB 上，连接DC ，7tan 17DCA ∠=，点P 为BC 边上一点，连接DP ，将DP 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DQ ，连接PQ ．(1)AD =__ ____，BD =___ ___，DQ 的最小值是____ __； (2)当15BPQ ∠=︒时，求BP 的长；(3)连接BQ ，若BDQ △的面积为25，求tan BDQ ∠的值．2．如图①，在Rt ABC △中，905125B AB BC CD DE AB ∠=︒===，，，，∥．将EDC △绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．(1)①当0α=︒时，AE BD = ；②当180α=︒时，AEBD= ． (2)试判断：当0360α≤≤︒时，AEBD的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明． (3)当EDC △旋转到A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．试卷第2页，共9页3．已知三角形ABC 绕点A 旋转得到ADE ．(1)如图，60CAE ∠=︒，ACF DCE ∠=∠，90CDE ∠=︒，若2BC =，3CD CF -=，求AF 的长．(2)如图，连接BD ，EC ，若BCE AEG ∠=∠且12GAD CAE ∠=∠，若点F 是线段CE 的中点，连接GF ，BF ，求证BF GF ⊥．(3)如图，三角形ABC 绕点A 旋转得到ADE ，若3AB =，1AC =，90CAE ∠=︒，ED 和BC 所在的直线交于点P ，直接写出BP 的最大值．4．已知ABC 和DBE 均为等腰直角三角形，其中90BAC ∠=︒，90BDE ∠=︒，AB AC =，DB DE =，连接CE ，点F 是CE 的中点，连接AF 、DF ．(1)如图，点E 在线段AB 上，且2BE =，5AF =，求线段AC 的长； (2)如图，连接ADAD =；(3)如图，1BD =，2AC =，将DBE 绕着点B 逆时针旋转，将线段AB 沿直线AF 翻折得到线段AB '，连接B E '，当CF 最大时，请直接写出B E '的长度．试卷第3页，共9页5．[操作]如图1．ABC 是等腰直角三角形，90ACB ︒∠=，D 是其内部的一点，连接CD ．将CD 绕点（顺时针旋转90°得到CE ，连接DE ，作直线AD 交BE 于点F ．(1)求证：ADC BEC ≌； (2)求AFE ∠的度数；(3)[探究]如图2，连接图1中的AE ，分别取AB DE AE 、、的中点M 、N 、P ，作MNP △．若8BE =，则MNP △的周长为6．如图，ABC 是等边三角形，点D 是BC 边的中点，以D 为顶点作一个120︒的角，角的两边分别交直线AB AC 、于M 、N 两点，以点D 为中心旋转MDN ∠（MDN ∠的度数不变）(1)如图①，若DM AB ⊥，求证：BM CN BD +=；(2)如图②，若DM 与AB 不垂直，且点M 在边AB 上，点N 在边AC 上时，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)如图③，若DM 与AB 不垂直，且点M 在边AB 上，点N 在边AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，写出BM CN BD 、、之间的数量关系，并说明理由．试卷第4页，共9页7．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；(2)探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2AD =，4AB =，直接写出PMN 面积的最大值．8．在△ABC 中，CA CB =，ACB α∠=，点P 在平面内不与点A ，C 重合，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接,,AD BD CP ．(1)如图①，当60α=︒，BDCP的值是，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是． (2)如图②，当90α=︒时，请写出BDCP的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并说明理由．(3)当90α=︒时，若点E ，F 分别是,CA CB 中点，点P 在直线EF 上，请直接写出当C ，P ，D 在同一直线上时，求ADCP的值．试卷第5页，共9页9．综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，且Rt △ABC 的较短直角边AB 为2，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()0<<90αα︒︒，如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．(1)初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角α=时，△AMC 是等腰三角形； (2)深入探究：敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP ，CE ，那么AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线，请帮他们证明； (3)再探究：在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC 与△AFE 重叠的面积； (4)拓展延伸：在旋转过程中，△CPN 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．10．正方形ABCD 和AEFG ，连接DG ，BE ．(1)发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，①DG 与BE 之间的数量关系是_____ _____；试卷第6页，共9页②DG 与BE 之间的位置关系是_______ ___； (2)探究：①当正方形AEFG 的边AE 在AB 上时，直接写出CFBE_______ ___； ②当正方形AEFG 绕点A 旋转时，CFBE是否为定值；如果是定值，请求出这个定值；如果不是，请简要说明理由．11．如图，等边△ABC 与等腰三角形△EDC 有公共顶点C ，其中∠EDC ＝120°，AB ＝CE ＝，连接BE ，P 为BE 的中点，连接PD 、AD(1)为了研究线段AD 与PD 的数量关系，将图1中的△EDC 绕点C 旋转一个适当的角度，使CE 与CA 重合，如图2，请直接写出AD 与PD 的数量关系；(2)如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，若∠ACD ＝45°，求△P AD 的面积．12．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是BC 边上的点，将△ABD 绕点A 旋转，得到△AC D ，连接D E ．(1)当∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°时，求证：DE ＝D E ；(2)当DE ＝D E 时，∠DAE 与∠BAC 有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．(3)在（2）的结论下，当∠BAC ＝90°，BD 与DE 满足怎样的数量关系时，△D EC是等腰直角三角形？（直试卷第7页，共9页接写出结论，不必证明）13．如图①，在等腰Rt ABC 和等腰Rt BDE 中，90BAC BDE ∠=∠=︒，AB AC =，BD DE =，E 为BC 的中点，F 为CE 的中点，连接AF ，DF ，AD ．(1)若4AB =，求AD 的长度；(2)若将BDE △绕点B 旋转到如图②所示的位置，请证明AF DF =，AF DF ⊥；(3)如图③，在BDE △绕点B 旋转的过程中，再将ACF △绕点A 逆时针旋转60︒到AC F ''，连接BF '，若4AB =，请直接写出BF '的最大值．14．【问题提出】在一节数学课上，王老师提出了一个数学问题：如图1-1，在等边三角形ABC 内部有一点P ，P A ＝5，PB ＝12，PC ＝13，求∠APB 的度数．(1)【问题探究】针对这个问题，某学习小组进行了如下尝试：如图1-2，将△APB 绕点A 逆时针旋转60°得到AP C '△，连接PP '，得到等边APP '．请根据该小组探究的思路求出∠APB 的度数；(2)【类比延伸】在等腰Rt △ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，其内部有一点P ．如图2，连接P A ，PB ，PC ，若∠APC ＝135°，试判断线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，连接P A ，PC ，以PC 为直角边作等腰Rt △PCQ ，∠CPQ ＝90°，连接BQ ，取BQ 的中点M，连试卷第8页，共9页接AM ，PM ，试判断PAPM是否为定值，若为定值，请求出相应的值；若不是定值，请说明理由．15．在Rt ABC 中，90,4,8B AB BC ∠=︒==，点D 、E 分别在AC 、BC 边上．(1)如图1，若D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，连接DE ，则ADBE=______； (2)如图2，若D 为AC 边上任意一点，DE AB ∥，则ADBE=______； (3)如图3，在图2的基础上将DEC 绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，猜想ADBE的值，并证明你的结论； (4)如图4，在（3）的条件下，当将DEC 旋转，使点E 在线段AD 上时，若6CE =，请直接写出BE 的长，不必写出求解过程．16．综合与实践：如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：DE BF EF +=．李伟同学是这样解决的：将ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到ABG ，此时AB 与AD 重合，再证明GAF EAF △△≌，可得结论． (1)如图2，在四边形ABCD 中，()AD BC AD BC >∥，90D ，10AD CD ==，且45BAE ∠=︒，4DE =，求BE 的长；(2)类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒，若ABC 固定不动，AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC的交点试卷第9页，共9页分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），在旋转过程中，等式222BD CE DE +=始终成立，请说明理由．17．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在边DG 和DE 上，连接AE ，BG ．(1)猜想线段BG 和AE 的数量关系是；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°）．判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图（2）证明你的结论；(3)在（2）的条件下，若BC ＝DE ＝8，当AE ＝AG 时，直接写出AF ＝．18．如图，已知Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BC =4，BA ＝8，点D 、E 分别为BC 、BA 的中点，作直线AE 、CD ，设它们的交点为点P ．(1)猜想：在旋转的过程中，线段AE 、CD 有怎样的数量和位置关系？答：、． (2)利用图2，证明你在（1）中的猜想．(3)当点D 恰好落在直线AE 上时，求线段PC 的长． (4)在旋转过程中，直接写出△PBC 面积的最大值．参考答案：1．(1)10(2)10+10(3)15或132．(1)1312；1312(2)无变化 (3)BD 的长为13或119133．(1)AF =(3)1 4．(1)85．(2)90︒；(3)8+6．(2)成立，(3)不成立，BM CN BD -=，7．(1)PM PN =，PM PN ⊥ (2)PMN 是等腰直角三角形， (3)928．(1)1，60︒，45︒，(3)2+2-9．(1)60°或15°3(4)能，∠α=30°或60°10．(1)①DG BE =；②DG BE ⊥(2)2②CF BE 211．(1)AD ＝2PD(2)成立， (3)4332=PAD S12．(2)∠DAE ＝12∠BAC ，(3)DE 213．(1)25(3)32214．(1)150°(2)BP 2=PC 2+2AP 2， (3)AP MP 215．5 5 (3)5AD BE = (4)65455BE +=16．(1)587BE =17．(1)BG =AE(2)结论成立，(3)4或4 18．(1)AE⊥CD，AE＝2CD。

中考数学几何压轴题及答案及答案

中考数学几何压轴题及答案一、解答题（共30小题）1.观察猜想（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝；（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长3．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系．（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论.6.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．7.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．探索发现：图1中，的值为；的值为．（2）拓展探完若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）解决问题是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．9.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD 的中点，连接MN、NF．问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为，线段MN 和线段NF的数量关系为；深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为．10．四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则AC与BD的位置关系是，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．11．问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．12．如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，（1）问题发现的值为；（2）探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，＝，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．14．如图，已知点E是射线BC上的一点，以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF，取AF的中点M，连接DM、MG（1）如图1，判断线段DM和GM的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC＝10，CE＝2，正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出△DMG的面积．15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．16.如图（1），在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN．（1）观察猜想，图（1）中△PMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2），△ADE绕点A按逆时针方向旋转，则△PMN的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸，若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD＝2，AB＝6，请直接写出△PMN 的周长的最大值．17.已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°.（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由.18.问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系.拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝.19.已知△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M、N分别在边CA，CB上（不与端点重合），BN＝AM，射线AG∥BC交BM延长线于点D，点E在直线AN上，EA＝ED．（1）【观察猜想】如图1，点E在射线NA上，当∠ACB＝45°时，①线段BM与AN的数量关系是；②∠BDE的度数是；（2）【探究证明】如图2点E在射线AN上，当∠ACB＝30°时，判断并证明线段BM与AN的数量关系，求∠BDE的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E在直线AN上，当∠ACB＝60°时，AB＝3，点N是BC 边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．20.如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’（1）问题发现：．（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．21.如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．（1）观察猜想将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是，直线AC与DE的位置关系是．（2）类比探究将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）拓展延伸将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．22.如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．23．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．25.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究如图（1），当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸如图（2），当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3），当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．26.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE ⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．27．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．28.【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．29．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．30．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：（1）如图①中，∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为：BF⊥BE，BC．（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H．∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD＝DH＝2，∴BH＝2，∴BF+BE＝BH＝2；（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M．∵AC∥DH，∴∠ACB＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠DBH＝∠H，∴DB＝DH，∵∠EDF＝∠BDH＝α，∴∠BDF＝∠HDE，∵DF＝DE，DB＝DH，∴△BDF≌△HDE，∴BF＝EH，∴BF+BE＝EH+BE＝BH，∵DB＝DH，DM⊥BH，∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，∴BM＝MH＝BD•sin．∴BF+BE＝BH＝2n•sin．2．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，故答案为BC2．（2）不成立．理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC•B′C′．图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′＝BC．AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC•B′C′．（3）当AB＝5，AC＝6，BC＝9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，由图3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC•B′C′，∴52+62＝92﹣9B′C′，∴B′C′＝．3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，＝1，故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，∵△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣4．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，∵四边形DFGE是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF故答案为：BE＝AF；（2）成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；综上所述，（1）中的结论BE＝AF成立；（3）在△ADE中，∵AE＜AD+DE，∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：则AD＝BC＝1，DE＝DF＝2，∴AE＝AD+DE＝3，即AE的最大值为3．5．【解答】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是正方形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（2）（1）的结论成立；理由：如图2，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是菱形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（3）如图3，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴∠OGE＝∠OHF＝90°，∴∠BAD+∠GOH＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠GOH＝∠EOF，∴△EOG∽△FOH，∴，∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴S△AOB＝S△AOD，∵S△AOB＝AB•OG，S△AOD＝AD•OH，∴AB•OG＝AD•OH，∴＝，∴．6．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．7．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BEC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∴＝＝，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴＝＝，故答案为：，；（2）无变化，理由：由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，∴＝，，∴＝，由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，（3）当点D在线段AE上时，如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝60°，∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝，∴CF＝DF＝，在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，∴AD＝AF+DF＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝当点D在线段AE的延长线上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵∠CDG＝60°，∴∠DCG＝30°，∴DG＝CD＝，∴CG＝DG＝，在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD＝AG﹣DG＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝即：线段BE的长为或．8．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴m＝2；③当6＜m＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．9．【解答】解：（1）如图1中，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，∴∠ADH+∠DCH＝90°，∴∠CHD＝90°，∴EC⊥BH，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．故答案为：45°（2）：如图2中，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠OBH+∠BOH＝90°，∴∠BHO＝90°，∴EC⊥BD，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．（3）：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．当直线PB与⊙A相切时，此时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP的面积最小，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，∴∠CPB＝90°，∵PB是⊙A的切线，∴∠ADP＝90°，∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AE＝AD，∴四边形ADPE是正方形，∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2，∴PC＝2﹣2，PB＝2+2，∴S△BCP的最小值＝×PC×PB＝（2﹣2）（2+2）＝4．10．【解答】（1）解：AC⊥BD，理由如下：连接AC、BD，如图2所示：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，故答案为：AC⊥BD；（2）解：AD2+BC2＝AB2+CD2；理由如下：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，设BD、AC相交于E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：如图3，连接CG、BE，∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，∴GE＝．11．【解答】解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．问题证明：如图2中，（1）中结论成立．理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．12．【解答】解：（1）如图1中，作EH⊥CG于H．∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，∵EH⊥CG，∴GH＝CG，∴＝cos30°＝，∴＝2•＝，∵EG∥CD，AB∥CD，∴GE∥AB，∴＝＝．故答案为．（2）结论：AG＝BE．理由：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，∴△ECG∽△BCE，∴＝，∵∠ECB＝∠GCA，∴△ECB∽△GCA，∴＝＝，∴AG＝BE．（3）如图3中，∵∠AGH＝∠CGF＝30°．∠AGH＝∠GAC+∠GCA，又∵∠DAC＝∠HAG+∠GAC＝30°，∴∠HAG＝∠ACH，∵∠AHG＝∠AHC，∴△HAG∽△HCA，∴HA：HC＝GH：HA，∴AH2＝HG•HC，∴FC＝2，CG＝CF，∴GC＝2，∵HG＝，∴AH2＝HG•HC＝•3＝9，∵AH＞0，∴AH＝3．故答案为3．13．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝1，∴＝1（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴②成立．如图，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝，∴＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），③如图1，当点E在CA延长线上时，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）即：CE＝2或CE＝．14．【解答】解：（1）如图1，延长GM交AD于H，∵AD∥GF，∴∠GFM＝∠HAM，在△FMG和△AMH中，，∴△FMG≌△AMH（ASA），∴HM＝GM，AH＝FG，∵AD＝CD，AH＝FG＝CG，∴DH＝DG，∵∠HDG＝90°，HM＝GM，∴DM＝MG，DM⊥MG，故答案为DM＝MG，DM⊥MG．（2）结论成立：DM＝MG，DM⊥MG，理由：如图2中，延长GM使得MH＝GM，连接AH、DH、DG，延长AD交GF的延长线于N，交CD于O．∵AM＝MF，∠AMH＝∠FMG，MH＝MG，∴△AMH≌△FMG（SAS），∴AH＝GF＝CG，∠AHM＝∠FGM，∴AH∥GN，∴∠HAD＝∠N，∵∠ODN＝∠OGC＝90°，∠DON＝∠GOC，∴∠N＝∠OCG，∴∠HAD＝∠DCG，∵AH＝CG，AD＝CD，∴△HAD≌△GCD（SAS），∴DH＝DG，∠HDA＝∠CDG，∴∠HDG＝∠ADC＝90°，∴△HDG是等腰直角三角形，∵MH＝MG，∴DM⊥GH，DM＝MH＝MG，（3）①如图3﹣1中，连接AC．在Rt△ABC中，AC＝＝10，在Rt△ACE中，AE＝＝14，∴AF＝AE＝EF＝14﹣2＝12，∴FM＝AM＝AF＝6，在Rt△MGF中，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝20，②如图3﹣2中，连接AC．同法可得AE＝14，AF＝16，FM＝8，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝34，综上所述，满足条件的△DMG的面积为20或34．15．【解答】解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝，∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A'BC＝90°，∴cos∠A'CB＝＝，∴∠A'CB＝30°，∴∠ACA'＝60°；（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM＝∠MA'C，由旋转可得，∠MA'C＝∠A，∴∠A＝∠A'CM，∴tan∠PCB＝tan∠A＝，∴PB＝BC＝，∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，∴tan∠BQC＝tan∠A＝，∴BQ＝BC×＝2，∴PQ＝PB+BQ＝；（3）∵S四边形P A'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，∴S四边形P A'B′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，∵∠PCQ＝90°，∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CG min＝，PQ min＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣；法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，由射影定理得：xy＝3，∴当PQ最小时，x+y最小，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，当x＝y＝时，“＝”成立，∴PQ＝+＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣．16．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边三角形．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．（3）∵PM＝EC，∴当EC最大时，等边△PMN的周长最大，∵EC≤AE+AC，∴EC≤8，∴PM≤4，∴PM的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．18．【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠CAE＝90°，AC＝AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝AC，故答案为：等腰直角；BC+CD＝AC；（2）延长CO交⊙O于E，连接AE、BE、DE，则∠CDE＝90°，∵点C为的中点，∴点E为的中点，∴EA＝EB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由（1）得，DE＝（AD+BD），由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝AD2+BD2﹣（AD+BD）2＝（AD﹣BD）2，∴CD＝（BD﹣AD）；（3）如图3，当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、PC，∵CA＝CB，点P为AB的中点，∴CP⊥AB，∵CA＝CE，点Q为AE中点，∴CQ⊥AE，AQ＝QE＝AE＝5，∴由勾股定理得，CQ＝＝12，由（1）得，AQ+CQ＝PQ，。

2024年中考数学考前押题密卷(浙江卷)(全解全析)

2024年中考考前押题密卷（浙江卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列手机中的图标是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．【解析】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．是轴对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．2．已知，则的值为（）A．B．C．12D．18【答案】B【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，由非负数的性质列式求出x的值；然后将x的值代入求出y的值，最后代入待求式，进行计算即可．【解析】解：由题意得：，解得x＝3，把x＝3代入，可得y＝3，所以＝＝．故选：B．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式有意义的条件以及求代数式的值的方法．3．下列运算结果正确的是（）A．m2+m2＝2m4B．a2•a3＝a5C．（mn2）3＝mn6D．m6÷m2＝m3【答案】B【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算分别计算，进而判断得出答案．【解析】解：A．m2+m2＝2m2，故此选项不合题意；B．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；C．（mn2）3＝m3n6，故此选项不合题意；D．m6÷m2＝m4，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝120°，∠B＝130°，∠C＝70°，则∠D＝（）A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】A【分析】根据多边形内角和公式解题即可．【解析】解：多边形的内角和为180°×（n﹣2），∴五边形ABCDE的内角和为180°×（5﹣2）＝540°，∴∠D＝540°﹣∠A﹣∠B﹣∠C﹣∠E＝540°﹣120°﹣130°﹣70°﹣120°＝100°．故选：A．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和求法，关键是多边形内角和公式的应用．5．下列调查适合做普查的是（）A．调查游客对我市景点的满意程度B．调查我省中小学生的身高情况C．调查九年级（3）班全班学生本周末参加社区活动的时间D．调查我市中小学生保护水资源的意识【答案】C【分析】全面调查是对需要调查的对象逐个调查，这种调查能够收集全面、广泛、可靠的资料，但调查费用较高，时间延续较长，适合于较小的调查范围，抽样调查适合于较广的调查范围，据此可得到结．【解析】解：A、调查游客对我市景点的满意程度，范围较广，适合于抽样调查，该选项不符合题意；B、调查我省中小学生的身高情况，人数多，范围广，适合于抽样调查，该选项不符合题意；C、调查九年级（3）班全班学生本周末参加社区活动的时间，人数少，范围小，适合于全面调查，即普查，该选项符合题意；D、调查我市中小学生保护水资源的意识，人数多，范围广，适合于抽样调查，该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了判断全面调查与抽样调查，了解全面调查与抽样调查的区别是解题的关键．6．一个正棱柱的正（主）视图和俯视图如图所示，则该三棱柱的侧（左）视图的面积为（）A．8B．16C．8D．8【答案】A【分析】求出正三棱锥底面边长的高，然后求解侧视图的面积．【解析】解：由题意可知，底面三角形是正三角形，边长为4，高为2，所以侧视图的面积为：4×＝8．故选：A．【点睛】本题考查三视图求解几何体的侧视图，求解底面三角形的高是解题的关键，是基础题．7．如图，为做好疫情防控，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，请根据图中信息，如果把这50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度为（）A．56cm B．57cm C．58cm D．59cm【答案】B【分析】根据题中所给图形，求出一个杯子高度及叠放后每个杯子漏出部分的高度即可得到答案．【解析】解：由图可知，右边8个杯子叠放高度比左边3个杯子高15﹣10＝5（cm），∴杯子叠放后每个杯子漏出来部分的高度为5÷5＝1cm，则一个杯子高度为10﹣2＝8（cm），∴把这50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度为8+49＝57（cm），故选：B．【点睛】本题考查数学知识解决实际问题，读懂题意，数形结合，分析出叠放后每个杯子漏出来部分的高度是解决问题的关键．8．将一副三角板如图放置，则下列结论中正确的是（）①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝45°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④【答案】D【分析】根据平行线的性质与判定，余角的性质，等逐项分析并选择正确的选项即可．【解析】解：①∵∠2＝30°，∴∠1＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正确；②∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝∠2+∠1+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故②正确；③∵BC∥AD，∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°，又∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°，∴∠3＝45°，∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故③正确；④∵∠CAD＝150°，∠DAE＝90°，∴∠1＝∠CAD﹣∠DAE＝150°﹣90°＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，∴∠4＝∠C，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质与判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．9．在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c）构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b，宽为a的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（）A．甲B．乙C．甲，乙都可以D．甲，乙都不可以【答案】A【分析】由图形中的面积关系，应用完全平方公式即可解决问题．【解析】解：甲同学的方案：∵大正方形的面积＝小正方形的面积+直角三角形的面积×4，∴（a+b）2＝c2+ab×4，∴a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，因此甲同学的方案可以证明勾股定理；乙同学的方案：∵大正方形的面积＝矩形的面积×2+两个小正方形的面积，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴得不到a2+b2＝c2，因此乙同学的方案不可以证明勾股定理．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的证明，关键是应用面积法，完全平方公式．10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连结DH，IJ．图中两块阴影部分面积分别记为S1，S2．若S1：S2＝1：4，S四边形边BAHE＝18，则四边形MBNJ的面积为（）A．5B．6C．8D．9【答案】B【分析】先证△CAB≌△DAH（SAS），得∠ADH＝90°，则H、D、E三点共线，再证＝，则BC ＝FC＝FG＝BG＝2GJ，AC＝AD＝DE＝CE＝BC+GJ＝3GJ，然后由S四边形BAHE＝S△ADH+S梯形ADEB＝18，求出GJ＝，证△FAN≌△EBM（ASA），则S△FAN＝S△EBM，最后由S四边形MBNJ ＝S矩形CFJE﹣S四边形BCFN﹣S△EBM＝S矩形CFJE﹣S△ABC，即可得出结果．【解析】解：∵四边形BAHI和四边形CADE都是正方形，∴AC＝AD，AB＝AH，∠CAD＝∠ABI＝∠BAH＝∠ADE＝90°，∴∠CAB+∠BAD＝∠DAH+∠BAD，∴∠CAB＝∠DAH，在△CAB和△DAH中，，∴△CAB≌△DAH（SAS），∴∠ADH＝∠ACB＝90°，∵∠ADE＝90°，∴H、D、E三点共线，∵四边形BCFG和四边形CADE都是正方形，延长BG、FG分别交AD、DE于点K、J，∴四边形ADJF和四边形BEDK都是矩形，且AF＝BE，∠AFN＝∠BEM＝90°，四边形DKGJ是正方形，四边形CFJE是矩形，∵S1：S2＝1：4，∴＝，∴BC＝FC＝FG＝BG＝2GJ，∵四边形CADE是正方形，∴∠ADE＝90°，AC＝AD＝DE＝CE＝BC+GJ＝3GJ，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝GJ，在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH＝＝＝2GJ，∵S四边形BAHE＝S△ADH+S梯形ADEB＝18，∴AD•DH+（AD+BE）•DE＝×3GJ×2GJ+（3GJ+GJ）×3GJ＝18，解得：GJ＝（负值已舍去），∵∠ABC+∠EBM＝180°﹣∠ABI＝180°﹣90°＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠EBM，即∠FAN＝∠EBM，在△FAN和△EBM中，，∴△FAN≌△EBM（ASA），∴S△FAN＝S△EBM，∴S△ABC＝S四边形BCFN+S△FAN＝S四边形BCFN+S△EBM，∴S四边形MBNJ＝S矩形CFJE﹣S四边形BCFN﹣S△EBM＝S矩形CFJE﹣S△ABC＝FC•CE﹣AC•BC＝2GJ×3GJ﹣×3GJ×2GJ＝3GJ2＝3×（）2＝6，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形面积、梯形面积与三角形面积的计算等知识，证明△FAN≌△EBM是解题的关键．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．分解因式6xy2﹣3x2y＝．【答案】3xy（2y﹣x）【分析】原式提取公因式3xy即可．【解析】解：原式＝3xy（2y﹣x）．故答案为：3xy（2y﹣x）．【点睛】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．12．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC+BD＝22，AB＝9．则△OCD的周长为．【答案】20【分析】由平行四边形的性质得OC＝AC，OD＝BD，CD＝AB＝9，则OC+OD＝（AC+BD）＝11，即可求出OC+OD+CD的值．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴OC＝OA＝AC，OD＝OB＝BD，CD＝AB＝9，∵AC+BD＝18，∴OC+OD＝（AC+BD）＝×22＝11，∴OC+OD+CD＝11+9＝20，∴△OCD的周长为20，故答案为：20．【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，证明OC＝AC，OD＝BD，并且求得OC+OD＝11是解题的关键．13．如图，将等腰△ABC（∠A是锐角）沿BD对折，使得点A落在射线BC上的E点处，再将△DCE沿CD 对折得到△DCF，若DF刚好垂直于BC，则∠A的大小为°．【答案】45【分析】由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，由折叠的性质可得∠A＝∠E＝∠F，∠DCE＝∠DCF，由外角性质可求∠BCF＝∠A＝∠E＝∠F，由直角三角形的性质可求解．【解析】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵将等腰△ABC（∠A是锐角）沿BD对折，使得点A落在射线BC上的E点处，∴∠A＝∠E，∵将△DCE沿CD对折得到△DCF，∴∠E＝∠F，∠DCE＝∠DCF，∵∠DCE＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠ACB+∠BCF，∴∠BCF＝∠A，∴∠BCF＝∠A＝∠E＝∠F，∵DF⊥BC，∴∠BCF＝∠F＝45°，∴∠A＝45°，故答案为：45．【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，外角的性质，灵活运用折叠的性质是本题的关键．14．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么x1﹣5，x2﹣5，x3﹣5，x4﹣5，x5﹣5的方差是．【答案】【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都减去5所以波动不会变，方差不变．【解析】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都减去了5，则平均数变为﹣5，则原来的方差＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x5﹣）2]＝，现在的方差＝[（x1﹣5﹣+5）2+（x2﹣5﹣+5）2+…+（x5﹣5﹣+5）2]＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x5﹣）2]＝，所以方差不变．故答案为：．【点睛】本题考查了方差，本题说明了当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．15．直线y＝kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径的⊙O与l相交，则k的取值范围为．【答案】﹣＜k＜【分析】根据题意得到A（﹣6，0），B（0，6k），设⊙O于AB相切于C，连接OC，求得∠OAC＝30°，于是得到结论．【解析】解：∵直线y＝kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（﹣6，0），B（0，6k），设⊙O与AB相切于C，连接OC，∴OA＝6，OC＝3，∠ACO＝90°，∴OC＝OA，∴∠OAC＝30°，当⊙O与l相交时，OB＝|6k|＜2，∴﹣＜k＜，故答案为﹣＜k＜．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数图象与系数的关系，正确的作出图形是解题的关键．16．在二次函数y＝x2﹣2tx+3中，t为大于0的常数．（1）若此二次函数的图象过点（2，1），则t等于；（2）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在此二次函数的图象上，且a＜b＜3，则m的取值范围是．【答案】（1）；（2）3＜m＜4或m＞6【分析】（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3计算得出t值即可；（2）先根据点AC的纵坐标相等，可得对称轴x＝t＝m﹣1，再分两种情况讨论得出结果即可．【解析】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：1＝4﹣4t+3，解得：t＝，故答案为：．（2）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在二次函数图象上，∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴为直线x＝t＝＝m﹣1，∵t＞0，∴m﹣1＞0，解得m＞1，∵m﹣2＜m，∴A点在对称轴左侧，C点对称轴右侧，在二次函数y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0，y＝3，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∴点（0，3）关于对称轴对称点的坐标为（2m﹣2，3），∵b＜3，∴4＜2m﹣2，解得m＞3，①当点A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，∵y随x的增大而减小，且a＜b，∴4＜m﹣2，解得m＞6，此时m满足的条件为：m＞6；②当点A（m﹣2，a）在对称轴左侧，点B（4，b）在对称轴右侧时，∵a＜b，∴点B（4，b）到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），解得：m＜4，此时，m满足的条件是：3＜m＜4，综上分析，3＜m＜4或m＞6．故答案为：3＜m＜4或m＞6．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是分类讨论．三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．以下是某同学化简分式的部分运算过程：解：原式＝……第一步＝第二步＝．……第三步……（1）上面第二步计算中，中括号里的变形的依据是通分；（2）上面的运算过程中第三步出现了错误；（3）请你写出完整的正确解答过程，并从﹣2，2，0中选一个作为x的值代入求值．【分析】（1）根据分式的性质，即可求解；（2）根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可；（3）取x＝0，代入计算即可．【解析】解：（1）上面第二步计算中，中括号里的变形是通分，通分的依据是分式的基本性质，故答案为：通分；（2）第三步出现错误，原因是分子相减时未变号，原式＝[﹣]×，＝[﹣]×，＝×，＝×，＝．故答案为：三．（3）当x＝0时，上式＝＝．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣1，5），B（﹣4，3），C（﹣2，2）．（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）求（2）的旋转过程中点C经过的路径长．【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，再顺次连接，写出点A1，B1，C1的坐标即可．（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2，再顺次连接即可．（3）利用弧长公式求得点C经过的路径长．【解析】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求．A1（1，﹣5），B1（4，﹣3），C1（2，﹣2）；（2）如图2，△A2B2C2即为所求；（3），点C经过的路径长为．【点睛】本题考查作图﹣平移变换，旋转变换，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：∠BED＝∠CFE；（2）当∠BAC＝44°时，求∠DEF的度数．【分析】利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△CEF中，，∴△DBE≌△CEF（SAS），∴∠BED＝∠CFE；（2）解：由（1）知：△DBE≌△CEF，∴∠1＝∠3，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝∠C，∴∠B＝（180°﹣44°）＝68°，∴∠1+∠2＝180°﹣68°＝112°，∴∠3+∠2＝112°，∴∠DEF＝180°﹣112°＝68°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．20．跳绳是驿城区某校体育活动的特色项目．体育组为了了解八年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名八年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：100110114114120122122131144148152155156165165165165174188190对这组数据进行整理和分析，结果如下：平均数众数中位数145a b请根据以上信息解答下列问题：（1）填空：a＝165，b＝150．（2）学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级500名学生中，约有多少名学生能达到优秀．（3）某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由．【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可；（2）用总人数乘样本中1分钟跳绳165次及以上所占比例即可；（3）根据中位数的意义解答即可．【解析】解：（1）在被抽取20名八年级学生进行1分钟跳绳测试成绩中，165出现的次数最多，故众数a＝165；把被抽取20名八年级学生进行1分钟跳绳测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是148，152，故中位数b＝＝150．故答案为：165；150；（2）500×＝175（名），答：估计八年级500名学生中，约有175名学生能达到优秀；（3）超过年级一半的学生，理由如下：∵152＞150，∴推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．【点睛】本题考查众数、中位数以及用样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．21．A、B两地相距120km，甲车从A地驶往B地，乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，乙车比甲车晚出发m h．设甲车行驶的时间为x（h），甲、乙两车离A地的距离分别为y1（km）、y2（km），图中线段OP表示y1与x的函数关系．（1）甲车的速度为60km/h；（2）若两车同时到达目的地，在图中画出y2与x的函数图象，并求甲车行驶几小时后与乙车相遇；（3）若甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，直接写出m的范围．【分析】（1）甲车的速度为120÷2＝60（km/h）；（2）求出乙车比甲车晚出发0.5h，即可画出图象，再求出y1＝60x，y2＝﹣80x+160，联立解析式解方程组即可得到答案；（3）求得y1＝60x，y2＝120﹣80（x﹣m）＝﹣80x+120+80m，联立解方程组可得y1＝y2＝60（+m），根据甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，可列60＜60（+m）＜72，即可解得答案．【解析】解：（1）由图可得，甲车的速度为120÷2＝60（km/h），故答案为：60；（2）∵乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，两车同时到达目的地，∴乙车行驶时间为120÷80＝1.5（h），∵2﹣1.5＝0.5（h），∴乙车比甲车晚出发0.5h，画出y2与x的函数图象如下：图象CD即为y2与x的函数图象，由题意得y1＝60x，设CD的函数表达式为y2＝﹣80x+b，将（2，0）代入y2＝﹣80x+b，得b＝160，∴y2＝﹣80x+160，由﹣80x+160＝60x，解得x＝，∴甲车出发后h与乙车相遇，答：甲车出发后h与乙车相遇；（3）根据题意得y1＝60x，y2＝120﹣80（x﹣m）＝﹣80x+120+80m，由60x＝﹣80x+120+80m得：x＝+m，当x＝+m时，y1＝y2＝60（+m），∵甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，∴60＜60（+m）＜72，解得＜m＜，∴m的范围是＜m＜．【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，解题的关键是数形结合数形的应用．22．某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：【提出驱动性问题】机场监控问题．【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题．机场监控问题的思考素材1如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行．素材22号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方从原点O处沿45°角爬升，到高4km 的A 处便立刻转为水平飞行，再过1min 到达B 处开始沿直线BC 降落，要求1min 后到达C（10，3）处．问题解决任务1求解析式和速度求出OA 段h 关于s 的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度；任务2求解析式和坐标求出BC 段h 关于s 的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；任务3计算时长通过计算说明两机距离PQ 不超过3km 的时长是多少．【分析】（1）设OA 段h 关于s 的函数解析式为正比例函数的一般形式，根据OA 与水平方向的夹角求出k 值，从而求出对应函数解析式；根据勾股定理，求出点O 与A 的距离，1号机与2号机在水平方向的速度相同，由速度＝路程÷时间求出2号机的爬升速度即可；（2）先求出点B 的坐标，再利用待定系数法求出BC 段h 关于s 的函数解析式；当h ＝0时对应s 的值，从而求得2号机着陆点的坐标；（3）分别求出2号机在OA 段和BC 段PQ ＝3时对应的s 的值，根据图象，当s 处于这两者之间时PQ 不超过3km ，根据时间＝路程÷速度求解即可．【解析】解：任务1：设OA 段h 关于s 的函数解析式为h ＝ks ，∴k ＝＝tan45°＝1，∴h ＝s ，∴当h ＝4时，s ＝4，∴OA 段h 关于s 的函数解析式为h ＝s （0≤s ≤4）；2号机从O 点到达A 点飞行的路程为OA ＝＝4（km ），所用时间为min ，∴2号机的爬升速度为4÷＝3（km /min ）．任务2：B 点的横坐标为4+1×3＝7，∴B点的坐标为（7，4）．设BC段h关于s的函数解析式为h＝k1s+b（k1、b为常数，且k1≠0）．将坐标B（7，4）和C（10，3）分别代入h＝k1s+b，得，解得，∴BC段h关于s的函数解析式为h＝﹣s+．当h＝0时，0＝﹣s+，解得s＝19，∴预计2号机着陆点的坐标为（19，0）．任务3：当2号机在OA段，且PQ＝3时，5﹣s＝3，解得s＝2；当2号机在BC段，且PQ＝3时，5﹣（﹣s+）＝3，解得s＝13，根据图象可知，当2≤s≤13时，两机距离PQ不超过3km，∴两机距离PQ不超过3km的时长是（13﹣2）÷3＝（min）．【点睛】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键．23．【操作与发现】如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD 绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．（1）【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是12．（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN＝，求证：M是CD的中点．（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是8．【分析】（1）先证△AMN≌△EAN（SAS），得MN＝EN．则MN＝BN+DM．再由勾股定理得MN＝10，则BN+DM＝10，设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，得x﹣3+x ﹣4＝5，求解即可；（2）设BN＝m，DM＝n，由（1）得MN＝BN+DM＝m+n，再由锐角三角函数定义得AB＝3BN＝3m，则CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，然后在Rt△CMN中，由勾股定理得出方程，得3m＝2n，即可解决问题；（3）延长AB至P，使BP＝BN＝4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，则四边形APQD是正方形，得PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝16，设DM＝a，则MQ＝16﹣a，证△ABN∽△APE，得PE＝BN＝，则EQ＝，然后在Rt△QEM中，由勾股定理得出方程，求解即可．【解析】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，由旋转的性质得：△ABE≌△ADM，∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，即∠EAM＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAN＝∠EAN，在△AMN和△AEN中，，∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN＝EN，∵EN＝BE+BN＝DM+BN，∴MN＝BN+DM，在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN＝＝＝10，则BN+DM＝10，设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，∴x﹣6+x﹣8＝10，解得：x＝12，即正方形ABCD的边长是12；故答案为：12；（2）证明：设BN＝m，DM＝n，由（1）可知，MN＝BN+DM＝m+n，∵∠B＝90°，tan∠BAN＝，∴tan∠BAN＝＝，∴AB＝3BN＝3m，∴CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，在Rt△CMN中，由勾股定理得：（2m）2+（3m﹣n）2＝（m+n）2，整理得：3m＝2n，∴CM＝2n﹣n＝n，∴DM＝CM，即M是CD的中点；（3）解：延长AB至P，使BP＝BN＝4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，如图③所示：则四边形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝12+4＝16，设DM＝a，则MQ＝16﹣a，∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，∴＝＝＝，∴PE＝BN＝，∴EQ＝PQ﹣PE＝16﹣＝，由（1）得：EM＝PE+DM＝+a，在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（16﹣a）2＝（+a）2，解得：a＝8，即DM的长是8；故答案为：8．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、锐角三角函数定义、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．24．如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（﹣1，0）、E（1，0）．（1）的度数为120°；（2）如图2，连结PC，取PC中点G，连结OG，则OG的最大值为；（3）如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长；（4）如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．【分析】（1）由已知条件可以得到CD垂直平分AE，所以CA＝CE，由于CE＝AE，所以可以证得三角形ACE为等边三角形，得到∠CEB＝120°；（2）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到O是CD的中点，又G是CP的中点，连接PD，则OG∥PD，OG＝，要求OG最大值，只需要求PD最大值，由于P是劣弧上的一动点，故当P，E，D三点共线，即PD为直径时，PD最大，此时OG最大；（3）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到，所以∠ACD＝∠CPA，又CQ平分∠DCP，所以∠PCQ＝∠DCQ，可以证明∠ACQ＝∠AQC，所以AC＝AQ，由（1）可得，AC＝AE＝2，所以AQ ＝2；（4）由直径AB⊥CD，可以得到AB垂直平分CD，所以AC＝AD，∠CAD＝2∠CAE＝120°，将△ACP 绕A点顺时针旋转120°至△ADM，可以证明M，D，P三点共线，所以PC+PD＝PM，可以证明△PAM 是顶角为120°的等腰三角形，过A做AG⊥PM于G，由于∠APM＝30°，可以通过勾股定理或者三角函数证明PM＝PA，所以＝．【解析】解：（1）连接AC，CE，∵A（﹣1，0）、E（1，0），∴OA＝OE＝1，∵OC⊥AE，∴AC＝CE，∵AE＝CE，∴AC＝CE＝AE，∴∠CAE＝60°，∴∠BEC＝2∠CAB＝120°，∴的度数为120°，故答案为：120；（2）由题可得，AB为⊙E直径，且AB⊥CD，由垂径定理可得，CO＝OD，连接PD，如图2，又∵G为PC的中点，∴OG∥PD，且OG＝，当D，E，P三点共线时，此时DP取得最大值，且DP＝AB＝2AE＝4，∴OG的最大值为2，故答案为：2；（3）连接AC，BC，∵直径AB⊥CD，∴，∴∠ACD＝∠CPA，∵CQ平分∠DCP，∴∠DCQ＝∠PCQ，∴∠ACD+∠DCQ＝∠CPA+∠PCQ，∴∠ACQ＝∠AQC，∴AQ＝AC，∵∠CAO＝60°，AO＝1，∴AC＝2，∴AQ＝2；（4）由题可得，直径AB⊥CD，∴AB垂直平分CD，如图4，连接AC，AD，则AC＝AD，由（1）得，∠DAC＝120°，将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，∴△ACP≌△ADM，∴∠ACP＝∠ADM，PC＝DM，∵四边形ACPD为圆内接四边形，∴∠ACP+∠ADP＝180°，∴∠ADM+∠ADP＝180°，∴M、D、P三点共线，∴PD+PC＝PD+DM＝PM，过A作AG⊥PM于G，则PM＝2PG，⋅∠APM＝∠ACD＝30°，在Rt△APG中，∠APM＝30°，设AG＝x，则AP＝2x，∴，∴∴，∴∴为定值．【点睛】本题是一道圆的综合题，重点考查了垂径定理在圆中的应用，最后一问由“共顶点，等线段”联想到旋转，是此题的突破口，同时，要注意顶角为120度的等腰三角形腰和底边比是固定值．。

(完整版)中考针对性训练——几何探究压轴题(有答案详解)

针对性训练-----几何探究题1.如图1,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连结AC、PD.（1）求证:△APB≌△DPC；（2）求证:∠PAC=∠BAP；（3）若将原题中的正方形ABCD21变为等腰梯形ABCD(如图2),AD∥BC,且BA=AD=DC,形内一点P仍满足AP=AB，PB=PC,试问(2)中结论还成立吗?若成立请给予证明;若不成立,请说明理由.A BDCP图PCDAB图2．如图1，在ABC△中，ACB∠为锐角，点D为射线BC上一点，联结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB AC=，90BAC=∠，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF BD、所在直线的位置关系为__________ ，线段CF BD、的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB AC≠，BAC∠是锐角，点D在线段BC上，当ACB∠满足什么条件时，CF BC⊥（点C F、不重合），并说明理由．(3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相2交于点P，求线段CP长的最大值。

图1图2C图3E图2BAEBD图13.如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．（1）求证：CE ＝CF ；（2）在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．4．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90º，AB ＝6，AC ＝8，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ ＝x ，QR ＝y ．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使△PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．A BCDERP H QHABCDE R PHQABCDEM N图18ABCDEM N 图19图17N MEDCBA 5．如图17，点A 是△ABC 和△ADE 的公共顶点，∠BAC ＋∠DAE ＝180°，AB ＝k ·AE ，AC ＝k ·AD ，点M 是DE 的中点，直线AM 交直线BC 于点N ．⑴探究∠ANB 与∠BAE 的关系，并加以证明．说明：如果你经过反复探索没解决问题，可以从下面①②中选取一个作为已知条件，再完成你的证明，选取①比选原题少得2分，选取②比选原题少得5分．①如图18，k ＝1；②如图19，AB ＝AC ．⑵若△ADE 绕点A 旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中⑴的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后∠ANB 与∠BAE 的关系．6.已知，是经过顶点的一条直线，．分别是直线上两点，CD BCA ∠C CA CB =E F ，CD 且．BEC CFA α∠=∠=∠（1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题：CD BCA ∠E F ，CD ①如图9-1，若，，90BCA ∠=90α∠=则；（填“”，“”或“”）；BE CF EF BE AF -><=②如图9-2，若，请添加一个关于与关系的条件0180BCA <∠<α∠BCA ∠，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图9-3，若直线经过的外部，，请提出CD BCA ∠BCA α∠=∠三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．EF BE AF ，，ABCE FD DABCE FADFCEB 图9-1图9-2图9-3n t7．在等边的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为外一点，且ABC ∆ABC A ,,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，︒=∠60MDN ︒=∠120BDC BM 、NC 、MN 之间的数量关系及的周长Q 与等边的周长L 的关系．AMN ∆ABC ∆图1图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；此时；=LQ（II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM DN 时，猜想（I ）问的两个结论≠还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=，则Q=x （用、L 表示）．xGBDCEFA参考答案1. (1)略（2）略（3）设， ︒=∠︒=∠y BAP x PAC ,︒-=∠=∠)60(x DCA CAD 则︒=∠y PDC 得即x y x X -+=+6060型得，由x y 2=BAP PAC ∠=∠212．（1）①垂直，相等；……………1分②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．………………2分由正方形ADEF 得 AD ＝AF ，∠DAF ＝90º．∵∠BAC ＝90º，∴∠DAF ＝∠BAC ， ∴∠DAB ＝∠FAC ，又AB ＝AC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴CF ＝BD ， ∠ACF ＝∠ABD ．∵∠BAC ＝90º， AB ＝AC ，∴∠ABC ＝45º，∴∠ACF ＝45º，∴∠BCF ＝∠ACB +∠ACF ＝90º．即 CF ⊥BD .…………5分（2）当∠ACB ＝45º时，CF ⊥BD （如图）． …………6分理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 或CB 的延长线于点G ，则∠GAC ＝90º， ∵∠ACB ＝45°,∠AGC ＝90°—∠ACB ＝45°，∴∠ACB ＝∠AGC ，∴AC ＝AG ，∵点D 在线段BC 上，∴点D 在线段GC 上，由（1）①可知CF ⊥BD . …7分（3）如图：作AQBC 于Q ∵∠ACB=45°AC=4∴CQ=AQ=42∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°∴△ADQ ∽△DPC∴=DQ PC AQCD设CD 为x （0＜x ＜3）则DQ=CQ －CD=4－x则= x PC -44x∴PC=(－x 2+4x)=－(x －2)2+1≥1 当x=2时，PC 最长，此时PC=14141s o BD图13.（1）证明：如图1，在正方形ABCD 中，∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ， ∴△CBE ≌△CDF ． ∴CE ＝CF ．…….3分（2）GE ＝BE ＋GD 成立．理由是：∵△CBE ≌△CDF ， ∴∠BCE ＝∠DCF ．∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD即∠ECF ＝∠BCD ＝90°，又∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°．∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG ． ……..4分∴GE ＝GF ∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD ．…..5分（3）解：过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ．在直角梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ∴∠A ＝∠B ＝90°．又∠CGA ＝90°，AB ＝BC ， ∴四边形ABCG 为正方形． ………6分∴AG ＝BC ＝12．已知∠DCE ＝45°，根据（1）（2）可知，ED ＝BE ＋DG ．..7分设DE ＝x ，则DG ＝x －4， ∴AD ＝A G －DG=12－（x －4）=16－x ．在Rt △AED 中， ∵，即．222AE AD DE +=()222816+-=x x 解这个方程，得：x ＝10． ∴DE ＝10．4.（1） Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．点D 为AB 中点，132BD AB ∴==．90DHB A ∠=∠= ，B B ∠=∠． BHD BAC ∴△∽△，DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=A ．---------------2分（2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=． C C ∠=∠ ，RQCABC ∴△∽△，RQ QC AB BC ∴=，10610y x -∴=，即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． -------5分（3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．B AE GAD ER Po df or s 1290∠+∠= ，290C ∠+∠= ，1C ∴∠=∠．84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=，1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． --------8分②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=． -------10分③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QR BA C CR CA == ，366528x -+∴=，152x ∴=． -----13分综上所述，当x 为或6或152时，PQR △为等腰三角形． -----14分5．（1）∠ANB +∠BAE =180º．……1分证明：（法一）如图1，延长AN 到F ，使MF =AM ，连接DF 、EF . ………………2分∵点M 是DE 的中点，∴DM =ME ， ∴四边形ADFE 是平行四边形，……………3分∴AD ∥EF ，AD =EF ， ∴∠DAE +∠AEF =180º， ∵∠BAC +∠DAE =180º，∴∠BAC =∠AEF ，………4分 ∵AB =kAE ，AC =kAD ，∴， ∴……6分AD AC AE AB =EFACAE AB =∴△ABC ∽△EAF ∴∠B =∠EAF …………8分∵∠ANB +∠B +∠BAF =180º ∴∠ANB +∠EAF +∠BAF =180º即∠ANB +∠BAE =180º，…………10分（法二）如图2，延长DA 到F ，使AF =AD ，连接EF .………2分∵∠BAC +∠DAE =180º，∠DAE +∠EAF =180º，∴∠BAC =∠EAF ，………………3分∵AB =kAE ，AC =kAD ，∴， ∴，………4分ADAC AE AB =AF ACAE AB =∴△ABC ∽△AEF ，………5分ABCD E R PH QM ADN EBCF图1M A DNEBCFKH图2r eg ∴∠B =∠AEF ，………6分 ∵点M 是DE 的中点，∴DM =ME ，又∵AF =AD ， ∴AM 是△DEF 的中位线，∴AM ∥EF ，……7分 ∴∠NAE =∠AEF ，∴∠B =∠NAE ，……8分 ∵∠ANB +∠B +∠BAN =180º，∴∠ANB +∠NAE +∠BAN =180º，即∠ANB +∠BAE =180º．………10分(2)变化．如图3（仅供参考），∠ANB =∠BAE ．……12分选取（ⅰ），如图4.证明：延长AM 到F ，使MF =AM ，连接DF 、EF . ∵点M 是DE 的中点，∴DM =ME∴四边形ADFE 是平行四边形，…………4分∴AD ∥FE ，AD =EF ， ∴∠DAE +∠AEF =180º，∵∠BAC +∠DAE =180º， ∴∠BAC =∠DAE ， ………6分∵AB =kAE ，AC =kAD ，， ∴AB =AE ，AC =AD ，1 k ∴AC =EF ，……7分 ∴△ABC ≌△EAF ， ∴∠B =∠EAF ， …8分∵∠ANB +∠B +∠BAF =180º， ∴∠ANB +∠EAF +∠BAF =180º，即∠ANB +∠BAE =180º．……10分选取（ⅱ），如图5.证明：∵AB =AC ，∴∠B =（180º-∠BAC ），…………3分21∵∠BAC +∠DAE =180º， ∴∠DAE =180º-∠BAC ，∴∠B =∠DAE ， ∵AB =kAE ，AC =kAD ，21∴AE =AD ， ∵AM 是△ADE 的中线，AB =AC ，∴∠EAM =∠DAE ， ∴∠B =∠EAM ，………4分21∵∠ANB +∠B +∠BAM =180º， ∴∠ANB +∠EAM +∠BAM =180º，即∠ANB +∠BAE =180º．…5分图4ABCDMN 图5E 图3ABCD E M N6.（1）①；； 2分 ②所填的条件是：． 4分==180BCA α∠+∠=证明：在中，．BCE △180180CBE BCE BEC α∠+∠=-∠=-∠，．180BCA α∠=-∠ CBE BCE BCA ∴∠+∠=∠又，．ACF BCE BCA ∠+∠=∠ CBE ACF ∴∠=∠又，，．BC CA = BEC CFA ∠=∠()BCECAF AAS ∴△≌△，．又，．7分BE CF ∴=CE AF =EF CF CE =- EF BE AF ∴=-（2）．EF BE AF =+7.（I ）如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ．此时． 32=L Q （II ）猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．,且．．CD BD = 120=∠BDC ∴ 30=∠=∠DCB DBC 又是等边三角形，ABC ∆．∴90MBD NCD ∠=∠= 在与中：MBD ∆ECD ∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BD ECD MBD CE BM (SAS) ．∴≅∆MBD ECD ∆DM=DE, ∴CDE BDM ∠=∠在与中：∴ 60=∠-∠=∠MDN BDC EDN MDN ∆EDN ∆ (SAS) MN=NE=NC+BM⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴≅∆MDN EDN ∆∴的周长Q=AM+AN+MN=AB+AC =2ABAMN ∆而等边的周长L=3AB . ABC ∆∴3232==AB AB L Q（III ）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN=，x 则Q=2+（用、L 表示）．x L 32x 8.如图24－1，正方形ABCD 和正方形QMNP ， M 是正方形ABCD 的对称中心，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ．（1）猜想：ME 与MF 的数量关系（2）如图24－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M =∠B，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并加以证明．（3）如图24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并说明理由．（4）如图24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M =∠B ，AB:BC = m ，其它条件不变，求出ME ：MF 的值。

2024年中考数学考前押题密卷(河北卷)(全解全析)

2024年中考考前押题密卷（河北卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．在平面直角坐标系中，点(),P x y 在第二象限，且Р到x 轴和y 轴的距离分别是3和4，则点Р的坐标为（）A ．()4,3-B ．()3,4-C ．()3,4-D ．()4,3-【答案】D【分析】本题主要考查了在第二象限内点的坐标的符号，解答本题的关键要掌握：横坐标的绝对值就是到y 轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x 轴的距离．根据点的坐标的几何意义及点在第二象限内的坐标符号的特点解答即可．【详解】解：∵点(),P x y 在第二象限，Р到x 轴和y 轴的距离分别是3和4，∴点P 的横坐标是4-，纵坐标是3，即点P 的坐标为()4,3-．故选：D ．2．化简111x x x ---的结果是（）A ．1x +B ．1x -C ．x D ．x -【答案】A 【分析】本题考查分式化简．根据题意直接两式相加，再将分子因式分解后约分即可．【详解】解：2111x x x ---，211x x -=-，(1)(1)1x x x -+=-，1x =+，故选：A ．3．对于正整数a ，b 定义新运算“◎”，规定3a b a b =◎，则153◎的运算结果为（）A ．315B ．3C ．35D 15【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义计算，二次根式乘法运算，根据题意列出算式，利用二次根式乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：∵3a b a b =⋅◎，∴15331533153315=⨯⨯=⨯⨯=◎．故选：A ．4．已知()()2515x x a x bx ++=+-，则a b +=（）A ．1-B ．1C ．2D ．0【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的运算法则化简得出()255x a x a +++，对应相等求出a b 、的值，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：()()()2225555515x x a x ax x a x a x a x bx ++=+++=+++=+- ，5a b ∴+=，515a =-，解得：3a =-，2b =，321a b ∴+=-+=-，故选：A ．5．若m 是关于x 的方程22240x ax a ---+=的某个根，且32m -≤≤，则a 的取值范围是（）A ．41a -≤≤B ．05a ≤≤C ．01a ≤≤D ．45-≤≤a 【答案】D【分析】本题考查了解一元二次方程及解一元一次不等式；先求得方程的两个根，根据某个根的范围可确定a 的取值范围．注意：这里分别求得两个不等式的解集，不是求其公共部分，而是把这两个解集合并起来．【详解】解：原方程变形得：2()4x a +=，解得：1222x a x a =-+=-+，，∵方程的某个根在32m -≤≤，∴322a -≤-+≤或322a -≤--≤，解得：05a ≤≤或41a -≤≤，∴45-≤≤a ；故选：D ．6．中国的探月、登月计划受到世人的关注，中国人何时在月球上留下第一行脚印，在这里插上鲜艳的五星红旗？月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，38.4万用科学记数法表示为（）A ．438.410⨯B ．53.8410⨯C ．60.38410⨯D ．63.8410⨯【答案】B【分析】本题考查科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．据此作答即可．【详解】38.4万53.8410=⨯，故选：B ．7．在1273⨯W 中的“□”内填入实数，使其结果为有理数．对于小英、小明的说法判断正确的是（）小英说：“3”小明说：“13．”A ．小英的说法对，小明的说法不对B ．小英的说法不对，小明的说法对C ．小英和小明的说法都对D ．小英和小明的说法都不对【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先把小括号内的二次根式化简，再合并同类二次根式得到833⨯W ，再分别代入3和13计算求解即可得到答案．【详解】解：1273⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭W 3333⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭W 833=⨯W ，当填入3时，原式83383=⨯=，是有理数，符合题意；当填入1333=时，原式8338333=⨯=，是有理数，符合题意；∴小英和小明的说法都正确，故选：C ．8．马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似地看作扇环ABCD （AD 和BC 的圆心为点O ），A 为OB 的中点，8dm BC OB ==，则该马面裙裙面（阴影部分）的面积为（）A ．24πdm B ．28πdm C ．212πdm D ．216πdm 【答案】B 【分析】此题主要考查阴影部分面积求解，解题的关键是熟知扇形的面积公式．【详解】解：∵8dm BC OB ==，OB OC =，A 为OB 的中点，∴BOC 为等边三角形，4dm OA =，∴60BOC ∠=︒，∴()22260π860π48πdm 360360S ⨯⨯=-=阴影；故选B9．淇淇用图1的六个全等ABC 纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个ABC 纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正n 边形图案，那么n 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，正多边形，解决本题的关键是掌握正多边形内角和与外角和公式．先根据正六边形计算一个内角为120度，可知ABC ∆各角的度数，从而得出图3中正多边形的内角的度数，可【详解】解：正六边形每一个内角为120︒，1208040ACB ∴∠=︒-︒=︒，18012060CAB ∴∠=︒-︒=︒，∴图3中正多边形的每一个内角为6080140︒+︒=︒，3609180140n ︒∴==︒-︒．故选C10．某超市开展抽红包抵现金活动，准备了50元、20元、10元、5元面值的红包，进入超市的顾客随机抽取一个红包．为了解顾客抽取红包金额的情况，随机调查了20位顾客抽取结果，统计如下：红包金额/元5102050红包个数/个6833顾客抽到红包金额的中位数和众数分别为（）A ．5.53，B ．510，C ．1010，D ．810，【答案】C【分析】本题主要考查众数和中位数，根据中位数和众数的定义求解即可，熟记中位数和众数的定义是解题的关键．【详解】解：由题意知，顾客抽到红包的第10个和第11个数分别是10和10，∴中位数是：1010102+=，众数是：10，故选：C ．11．四边形ABCD 的部分边长如图所示，边BC 的长度随四边形形状的改变而变化．当90D Ð=°时，四边形ABCD 的边BC 的长可以是（）A ．1B ．2C ．4D ．7【分析】本题考查了勾股定理，三角形的三边关系．利用勾股定理求得2AC =，再根据三角形的三边关系列不等式求解即可．【详解】解：∵90D Ð=°，2AD DC ==，∴2AC =，∵5AB =，∴5252BC -<<+，即37BC <<，观察四个选项边BC 的长可以是4，故选：C ．12．某一时刻，与地面垂直的长2m 的木杆在地面上的影长为1m ．同一时刻，树AB 的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角为45︒的斜坡上，如图所示．已知落在地面上的影长AC 为2m ．落在斜坡上的影长CD 为2m ．根据以上条件，可求出树高AB 为（）．（结果精确到0.1m ）A ．4.0mB ．4.2mC ．8.0mD ．8.2m 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，平行投影，正确作出辅助线，构造直角三角形，掌握同一时刻太阳光下，物长和影长成比例，是解题的关键．过点D 作DE AC ⊥于点E ，连接BD 并延长，交AC 延长线于点F ，易得2m CD CE ==，根据长2m 的木杆在地面上的影长为1m ，得出2DE AB EF AF ==，则12m 22EF DE ==，求出322m 2AF AC CE EF ⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即可求解．【详解】解：过点D 作DE AC ⊥于点E ，连接BD 并延长，交AC 延长线于点F ，∵DE AC ⊥，45,2m DCE CD ∠=︒=，∴2cos 4522m 2DE CE CD ==⋅︒=⨯=，∵长2m 的木杆在地面上的影长为1m ，∴221DE EF ==，则12m 22EF DE ==，∴322m 2AF AC CE EF ⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭，∵长2m 的木杆在地面上的影长为1m ，∴221AB AF ==，则()()2432m 8.2m AB AF ==+≈，故选：D ．13．如图1，已知Rt ABC △、画一个Rt A B C ''' ，使得Rt Rt A B C ABC '''△≌△．在已有90MB N '∠=︒的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（）A ．嘉嘉第一步作图时，是以B '为圆心，线段BC 的长为半径画弧B ．嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是HLC ．琪琪第二步作图时，是以C '为圆心、线段AC 的长为半径画弧D ．琪琪作图判定两个三角形全等的依据是SAS【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂两人作图的步骤及作图原理是解题的关键．根据两人作图的过程即可对选项作出判断．【详解】解：嘉嘉同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段BC 的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC 的长，则判定Rt Rt A B C ABC '''△≌△的依据是HL ，故选项A 、B 符合题意；琪琪同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AB 的长，第二步作图时，截取的长度是线段BC 的长度，则判定Rt Rt A B C ABC '''△≌△的依据是SAS ，故选项C 不符合题意，选项D 符合题意．故选：C ．14．如图1，在长方形ABCD 中，10cm AB =，8cm BC =，点P 从点A 出发，沿A B C D ---的方向运动，到点D 时，运动停止．若点P 的速度为1cm/s ，a 秒时，点P 改变速度，点P 的速度变为cm/s b ，之后速度保持不变，图2是点P 出发t 秒时，APD △的面积21(cm )S 与时间(s)t 之间的函数关系图象，则a ，b ，c 的取值范围是（）A ．3a =； 3.5b =；=17c B ．6a =；2b =；24c =C ．6a =；2b =；=17c D ．6a =；4b =；8.5c =【答案】C 【分析】本题考查动点函数函数，三角形的面积．从函数图象获取有用的信息是解题的关键．先由函数图象判定当t a =时，点P 在AB 上运动，根据1118422APD S S AD AP t t ==⋅=⨯⨯= ，把t a =，124=S 代入，即可求得a ；再根据路程等于速度乘以时间得()864b -=，求得b ；然后根据()2481022c a PB BC CD -=++=++=，求得c ；即可求解．【详解】解：由图象可得08a <<，∴点P 在AB 上运动，∴1118422APD S S AD AP t t ==⋅=⨯⨯= ，把t a =，124=S 代入，得244a =，解得：6a =；当6t a ==时，()616cm AP =⨯=，∴()1064cm PB AB AP =-=-=∴()864b -=解得：2b =，∴()26481022c PB BC CD -=++=++=解得：=17c ，故选：C ．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，1,2AC BC ==．将ACB △绕点C 顺时针旋转()0360αα︒≤≤︒得到DCE △，连接,DA BE ．直线,DA BE 交于点F ，点G 是AC 边的中点，连接FG ．设FG d =，在旋转过程中，d 的整数值有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线性质及圆的有关性质、三角形三边关系，先证明F 点在以AB 为直径的H 上，连接,HF HG ，证明GH 是ABC 中位线，根据三角形三边关系确定d 的范围进而解决问题．【详解】解：由旋转知：,,CA CD CE CB ACD BCE a ==Ð=Ð=，180180,22CAF CDA CEF CBE a a °-°-\Ð=Ð=Ð=Ð=，90ACE ACB BCE a Ð=Ð+Ð=°+ ，在四边形ACEF 中，()180360290902AFE αα︒-∠=︒-⨯-︒+=︒，F ∴点在以AB 为直径的H 上，如图所示，连接,HF HG ，在Rt ABC △中，22125AB =+=，1522FH AB \==，G 是AC 中点，GH ∴是ABC 中位线，112GH BC \==，FH GH FGFH GH -＃+ ，551122d \-＃+，d ∴的整数值有1和2，故选：C ．16．如图，抛物线2y x mx =-+的对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20x mx t -+-=（t 为实数）在13x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（）A ．54t -<<B ．34t <≤C ．53t -<<D ．5t >-【答案】B 【分析】已知抛物线的对称轴，可求出m =4，进而求出抛物线的解析式；把关于x 的一元二次方程有解的问题，转化为抛物线24y x x =-+与直线y =t 的交点问题，可求出t 的取值范围；最后将所给的四个选项逐一与t 的范围加以对照，即可得出正确答案．【详解】∵抛物线的对称轴为直线2x =,∴()221m -=⨯-，解得，4m =．∴抛物线的解析式为24y x x =-+，当2x =时，2242=4y =-+⨯，∴抛物线的顶点坐标为24（，）．当1x =时，2141=3y =-+⨯，当3x =时，2343=3y =-+⨯，∵关于x 的一元二次方程是240x x t -+-=，∴24x x t -+=．∵方程24x x t -+=在13x <<的范围内有解，∴抛物线24y x x =-+与直线y t =在13x <<范围内有公共点，如图所示．∴34t <≤，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴、顶点坐标、与一元二次方程的关系等知识点，熟知二次函数的对称轴、顶点坐标的计算方法是解题的基础，解题的关键是熟知二次函数与一元二次方程的互相转化．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上）17．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若(2)(4)0x mx -+=是倍根方程，则m =．【答案】1-或4-【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键；通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可．【详解】解：(2)(4)0x mx -+= 12x ∴=，24x m=-，又(2)(4)0x mx -+= 是倍根方程，∴当1x 是2x 的2倍时，则422m-⨯=，解得：4m =-，当2x 是1x 的2倍时，则422m⨯=-，解得：1m =-，故答案为：1-或4-．18．如图，点A ，B 分别在反比例函数(0)y k x=≠和y x =位于第一象限的图象上．（1）若点11()P x y ，，22()Q x y ，在反比例函数，6y x=的图象上，且122x x =，则12y y =；（2）分别过点A ，B 向x 轴，y 轴作垂线，若阴影部分的面积为12，则k =．【答案】12/0.518【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义，掌握反比例函数中k 的几何意义是解题的关键，即过反比例函数图象上任意一点引x 轴、y 轴的垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形面积为||k ．（1）根据反比例函数系数=k xy 得出1122x y x y ⋅=⋅，由122x x =即可求得122112y x y x ==；（2）根据反比例函数系数k 的几何意义得出AMON S k =四边形，6BPOQ S =四边形，由阴影部分的面积为12，得出612k -=，即可求得18k =．【详解】解：（1）点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 在反比例函数6y x=的图象上，11226x y x y ∴⋅=⋅=，∴122112y x y x ==；故答案为：12；（2）分别过点A ，B 向x 轴，y 轴作垂线，则AMON S k =四边形，6BPOQ S =四边形，阴影部分的面积为12，612k ∴-=，18k ∴=．故答案为：18．19．如图①是小明制作的一副弓箭，A ，D 分别是弓臂 BAC与弓弦BC 的中点，弓弦0.6m BC =，沿AD 方向拉弓的过程中，假设弓臂 BAC始终保持圆弧形，弓弦长度不变．如图②，当弓箭从自然状态的点D 拉到点1D 时，有10.3m AD =，111120B D C ∠=︒．（1）图②中，弓臂两端1B ，1C 之间的距离是m ；（2）如图③，将弓箭继续拉到点2D ，使弓臂 22B AC 为半圆，则12D D 的值为【答案】33105110-【分析】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、弧长公式等知识，（1）连接11B C ，交1AD 于点Q ，根据垂径定理可得，11111111602B D ACD A B D C ∠=∠=∠=︒，111B C AD ⊥，再根据111sin 60B Q B D =⋅︒，即可进行解答；（2）连接22B C 交2AD 于点P ，先求出 BAC 的长度，再求出¼22C AB 所在圆的半径，根据勾股定理求出2PD 的长度，最后根据线段之间的和差关系．【详解】解：连接11B C ，交1AD 于点Q ，10.3m AD =，∵点A 是弓臂BAC 的中点，点1D 是 BAC所在圆的圆心，∴11111111602B D ACD A B D C ∠=∠=∠=︒，111B C AD ⊥，1110.3m AD B D ==，在11Rt B D Q V 中，()1113333sin 60cm 10220B Q B D =⋅︒=⨯=，∴11133m 120B BC Q ==．（2）连接22B C 交2AD 于点P ，由（1）可得： ()111200.30.2πm 180C AB π⨯==，设¼22C AB 所在圆的半径为r ，∴¼220.2C AB r ππ==，解得：0.2r =，∴20.2m AP B P r ===，∵0.6m BC =，∴2210.3m 2B D BC ==，在22Rt B PD V 中，根据勾股定理可得：()()2222225m 10PD B D B P =-=，∴()12212115351m 5101010D D AD AD AP PD AD ⎛⎫-=-=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭，三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（9分）有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．例223A x x =+-，A 经过处理器得到()12333B x x =+-=-．若关于x 的二次多项式A 经过处理器得到B ，根据以上方法，解决下列问题：(1)若2325A x x =-+，求B 关于x 的表达式；(2)若()24523A x x =--，求关于x 的方程9B =的解．【解析】（1）依题意，()3255B x x =-+=+；（2）∵()22452341015A x x x x =--=-+，∴615B x =-+，∵关于x 的方程9B =，∴6159x -+=，∴1x =；21．（9分）【阅读】要想比较a 和b 的大小关系，可以进行作差法，若0a b ->，则a b >；若0a b -<，则a b <；若0a b -=，则a b =．【应用】（1）若1a ≠，在实数范围内比较大小：2a ______21a -（填“>”、“<”或“=”）；【拓展】（2）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图11所示()2m >，面积分别为S 甲和S 乙，用含m 的式子表示S 甲和S 乙，并用作差法比较S 甲与S 乙的大小．【解析】（1）∵()()22221211a a a a a --=-+=-，∵1a ≠，∴()210a ->，∴221a a >-；（2）()()2241264S m m m m =--=-+甲，()222S m m m m =-=-乙，()()()22222642442S S m m m m m m m -=-+--=-+=-甲乙．∵m>2，∴()220m ->，∴S S >甲乙．22．（9分）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：摸球的次数200300400100016002000摸到白球的频数7293130334532667摸到白球的频率0.36000.31000.32500.33400.33250.3335(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到0.01），由此估出红球有______个．(2)在这次摸球实验中，从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．【解析】（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33，∴摸到白球的概率为0.33，设红球由x 个，由题意得：10.331x =+，解得：2x ≈，经检验：2x =是分式方程的解，故答案为：0.33，2；（2）画树状图得：∴共有9种等可能得结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，∴摸到一个白球一个红球的概率为：49.23．（10分）如图，已知函数1y x =+和3y ax =+的图象交于点P ，点P 的纵坐标为2．(1)求a 的值；(2)横坐标、纵坐标为整数的点称为整点，直接写出．．．．函数1y x =+和3y ax =+的图象与x 轴围成的几何图形中（含边界）整点的个数．【解析】（1）令2y =，则12x +=，解得1x =，∴点P 的坐标为()12，，把()12，代入3y ax =+得：32a +=，解得：1a =-，∴y 3x =-+，（2）令0y =则10x +=，解得：1x =-，令0y =则30x -+=，解得：3x =，当1x =-是，有1个整点，整点为()10-，；当0x =是，有2个整点，整点为()00，，()01，；当1x =是，有3个整点，整点为()10，，()11，，()12，；当2x =是，有2个整点，整点为()20，，()21，；当3x =是，有1个整点，整点为()30，；∴共有9个整点．24．（10分）如图1，一汤碗的截面是以AB 为直径的半圆O （碗体厚度忽略不计），放置于水平桌面MN 上，碗中装有一些液体（图中阴影部分），其中液面截线∥CD MN ．已知液面截线CD 宽8cm ，液体的最大深度为2cm ．(1)求汤碗直径AB 的长；(2)如图2，在同一截面内，将汤碗（半圆O ）沿桌面MN 向右作无滑动的滚动，使液体流出一部分后停止，再次测得液面截线CD 减少了2cm ．①上述操作后，水面高度下降了多少？②通过计算比较半径12AB 和流出部分液体后劣弧 CD 的长度哪个更长．（参考数据：3tan 374︒=）【解析】（1）连接OC ，过点O 作OQ CD ⊥，与CD 交于点P ，与半圆O 交于点Q ，如图1．OQ CD ⊥ 于P ，14cm 2CP DP CD ∴===，设半圆O 的半径为cm r ，在Rt COP 中，(2)cm,OP r =-cm OC r =，4cm CP =222(2)4r r ∴-+=，解得=5r ，210cmAB r ∴==（2）①作OF CD ⊥与CD 交于点E ，与半圆O 交于点F ，操作后()826cm CD =-=，同（1）可得，3cm,5cm CE OC ==，∴在Rt COE △中，2222534(cm)OE OC CE =-=-=，541(cm)EF OF OE ∴=-=-=，211∴-=，水面下降了1cm ．②在Rt COE △中，3tan 4CE COE OE ∠==，37COE ∴∠=︒，274COD COE ∴∠=∠=︒，»7453718018CD l ππ⨯∴==，∵1905,218AB == 12CD l AB ∴>．25．（12分）如图，抛物线L ：()()15y a x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB OC =，(),P m n 为抛物线L 的对称轴右侧上的点（不含顶点）．(1)求a 的值和抛物线的顶点坐标；(2)设抛物线L 在点C 和点P 之间部分（含点C 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标之差为h ，求h 与m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；(3)当点(),P m n 的坐标满足19m n +=时，连接CP ．将直线CP 与抛物线L 围成的封闭图形记为G ．①求点P 的坐标；②直接写出封闭图形G 的边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的个数．【解析】（1）当()()150y a x x =--=时，11x =，25x =，即点A 的坐标为()1,0，点B 的坐标为()5,0，∴5OB =，∴5OC =，即点C 的坐标为()0,5．将()0,5代入()()15y a x x =--中，解得1a =，∴()226534y x x x =-+=--，∴抛物线的顶点坐标为()3,4-；（2）由（1）可知：抛物线L 的解析式为265y x x =-+，∴当5y =时，2655x x -+=，∴10x =，26x =，∴抛物线L 的对称轴为直线3x =，当2655y x x =-+=时，10x =，26x =．∵点(),P m n 为抛物线L ：265y x x =-+的对称轴右侧上的点（不含顶点），∴265n m m =-+．当36m <≤时，()549h =--=．当6m >时，()2265469h m m m m =-+--=-+；（3）①联立方程组219,65,m n n m m +=⎧⎨=-+⎩整理得25140m m --=，解得12m =-（舍），7m =．当7m =时，12n =，即点P 的坐标为()7,12；②设直线CP 的解析式为5y kx =+，∴7512k +=，解得1k =，∴直线CP 的解析式为5y x =+，∴封闭图形G 的边界上的整点为()0,5，()1,6，()2,7，()3,8，()4,9，()5,10，()6,11，()7,12，()1,0，()2,1-，()3,4-，()4,3-，()5,0，()6,5共有14个．26．（13分）如图，在ABC 中，5AB =，9AC =，272ABC S =△，动点P 从A 出发，沿射线AB 方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q 从C 点出发，以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动，当Q 点运动到A 点时，P 、Q 两点同时停止运动．以PQ 为边作正方形PQEF （P 、Q 、E 、F 按逆时针排序），以CQ 为边在AC 上方作正方形QCGH ．设点P 运动时间为t ．(1)求tan A 的值．(2)当APQ △为等腰三角形时，求t 的值；(3)当t 为何值时，正方形PQEF 的一个顶点F 落在正方形QCGH 的边上，请直接写出t 的值．【解析】（1）如图所示：过点B 作BM AC ⊥于点M ，9= AC ，272ABC S = ，∴12722AC BM ⋅⋅=，3BM ∴=，BM AC ⊥ ，90BMA ∴∠=︒，2222534AM AB BM ∴=-=-=，3tan 4BM A AM ∴==；（2）解：动点P 从A 出发，沿射线AB 方向以每秒5个单位的速度运动，5AP t ∴=，动点Q 从C 点出发，以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动，5CQ t ∴=，则95AQ AC CQ t =-=-，当Q 点运动到A 点时，P 、Q 两点同时停止运动，905t ∴≤≤，当APQ 为等腰三角形时，有以下三种情况：①当AP AQ =时，则5105t t =-，解得：1t =；②当AP PQ =时，如图所示，过点P 作PN AQ ⊥于点N ，AP PQ = ，PN AQ ⊥，19522t AN NQ AQ -∴===，90ANP ∠=︒，由（1）可得，4cos 5AM A AB ==，∴45AN AP =，即54AN AP =，则955202t t -⨯=，解得：913t =；③当AQ PQ =时，如图所示，过点Q 作QO AP ⊥于点O ，AQ PQ = ，QO AP ⊥，1522AO PO AP t ∴===，90AOQ ∠=︒，由②得，4cos 5A =，∴45AO AQ =，即54AO AQ =，则254(95)2t t =-，解得：7265t =；综上所述：当APQ 为等腰三角形时，t 的值为1或913或7265；（3）解：①当点F 落到边HG 上时，过点P 作PT AC ⊥于点T ，过点E 作JK QC ⊥交QC 于点K ，由（2）知，5AP t =，5QC t =，95AQ t =-，4cos 5A =，PT AC ⊥ ，90ATP PTQ ∴∠=∠=︒，4cos 5AT A AP ∴==，4AT t ∴=，则223PT AP AT t =-=，99TQ AQ AT t ∴=-=-，四边形PQEF 为正方形，PQ QE EF ∴==，90PQE ∠=︒，90PQT EQK ∴∠+∠=︒，90PQT TPQ ∠+∠=︒ ，EQK TPQ ∴∠=∠，JK QC ⊥ ，90QKE FJE ∴∠=∠=︒，在QKE 和PTQ 中，QKE PTQ EQK TPQ QE PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()QKE PTQ AAS ∴≅ ，3QK PT t ∴==，99KE TQ t ==-，同理可证：QKE EJF ≅ ，3EJ QK t ∴==，96KJ KE EJ t ∴=+=-，四边形QCGH 为正方形，5QH QC t ∴==，90HQK ∠=︒，90HQK QKE FJE ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形HQKJ 为矩形，5KJ QH t ∴==，965t t ∴-=，解得：911t =；②当点F 落到边CG 上时，如图所示，过点P 作PI AC ⊥于点I ，RZ CG ⊥于点Z ，由①中可知：4AI t =，3PI t =，则99QI AI AQ t =-=-，同理可证：PIQ PZF≅ 3PI PZ t∴==PI AC ⊥ ，RZ CG ⊥，90PIC PZC ICZ ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形PICZ 为矩形，3IC PZ t ∴==，129QC QI IC t ∴=+=-，1295t t ∴-=，解得：97t =；综上所述：911t =或97．【点睛】本题主要考查的是几何动点综合题型，解题关键：一是根据确定动点位置，二是根据条件画出相应的图形．。

2023年中考数学终极押题密卷(一)(全解全析)

2022年中考数学终极押题密卷（一）全解全析1．C【详解】4，227为有理数，π23 1.010010001−…（相连两个1之间依次多一个0）为无理数，故选：C．2．C【详解】379.2万4623.7921010 3.79210=⨯⨯=⨯，故选：C．3．D【详解】解：A、∵C∠和1∠不是同位角，∴C1∠=∠不能判定任何直线平行，故此选项不符合题意；B、∵A∠和2∠不是内错角，∴2A∠=∠不能判定任何直线平行，故此选项不符合题意；C、∵C∠和3∠不是同位角，∴3C∠=∠不能判定任何直线平行，故此选项不符合题意；D、∵A∠和1∠是内错角，∴当1A∠=∠时能判定EB AC∥，故此选项符合题意．故选：D．4．B【解析】【详解】试题分析：根据立方体的组成，结合三视图的观察角度，可得出：A、是几何体的左视图，故此选项错误；B、不是几何体的三视图，故此选项正确；C、是几何体的主视图，故此选项错误；D、是几何体的俯视图，故此选项错误．故选B．考点：简单组合体的三视图．5．C 【详解】∵AB 是O e 的直径，BC 平分ABD ∠， ∴90ADB ∠=︒，OBC DBC ∠=∠， ∴AD BD ⊥， ∵OB OC =， ∴OCB OBC ∠=∠， ∴DBC OCB ∠=∠， ∴OC BD P ，选项A 成立； ∴AD OC ⊥，选项B 成立； ∴AF FD =，选项D 成立；∵CEF ∆和BED ∆中，没有相等的边， ∴CEF ∆与BED ∆不全等，选项C 不成立，故选C ． 6．C 【详解】原计划的所用时间为：150x，出发1小时后，所走距离为x ，则剩余的距离为150-x ，提速1.5倍，此时的速度为1.5x ，则剩余距离所花时间：1501.5xx−，则总时间为：15011.5xx−+，则根据题意有等式：1501502011.560x x x −+=−，故选：C ． 7．A 【解析】【分析】如图，连接FE ，设AE 交BF 于点O ．首先证明四边形ABEF 是菱形，利用勾股定理求出AB 即可．【详解】如图，连接FE ，设AE 交BF 于点O ．由作图可知：AB =AF ，AE 平分∠BAD ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠F AE =∠AEB =∠BAE ， ∴AB =BE ， ∴AF =BE ， ∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形， ∵AB =AF ，∴四边形ABEF 是菱形， ∴AE ⊥BF ，∴AO =OE =4，BO =OF =3，在Rt △AOB 中，22345AB =+=，故选：A ．8．C 【解析】【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y 轴的交点可依次确定a 、b 、c 的符号，进而可判断①；根据对称轴的位置可得a 、b 的关系，再根据当2x =时，420y a b c =++=，把得出的a 、b 的关系式代入整理即可判断②；24a b c ++除以4可得1142a b c ++，即为当12x =时y 的值，再结合图象判断12和x 1的关系即可判断③；易判断()220a b +>，展开整理再结合0ab <即可判断④．【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴0a >，∵抛物线对称轴在y 轴的右侧， ∴0b <，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴0c >，∴0abc <，所以①正确；②∵图象与x 轴交于两点()1,0x ，()20,，其中101x <<， ∴2021222b a ++<−<， ∴3122b a <−<，当322b a −<时，3b a >−， ∵当2x =时，420y a b c =++=， ∴122b ac =−−，∴1232a c a −−>−，∴20a c −>，故②正确； ③当12x =时，y 值为1142a b c ++， 1142a b c ++乘以4，可得24a b c ++， ∵当112x <时，由图象可知在12和x 1之间y 为正值，当112x >时，在12和x 1之间y 为负值，∴24a b c ++与0的关系不能确定，故③错误； ④∵12ba−>， ∴20a b +<， ∴()220a b +>，即22440a b ab ++>， ∴2244a b ab +>−， ∵0a >，0b <， ∴0ab <，∴2244a b ab +<−，即44a bb a+<−，所以④正确．综上，正确的是①②④，共3个，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 9．B 【解析】【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．【详解】解：∵∠BOC =60°，△B ′OC ′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的， ∴∠B ′OC ′=60°，△BCO =△B ′C ′O ， ∴∠B ′OC =60°，∠C ′B ′O =30°， ∴∠B ′OB =120°， ∵AB =2cm ，∴OB =1cm ，OC ′=12cm ， ∴B ′C 3， ∴S 扇形B ′OB =212013603ππ⨯= cm 2，S 扇形C ′OC =1120436012ππ⨯= cm 2， ∴阴影部分面积=S 扇形B ′OB +S △B ′C ′O -S △BCO -S 扇形C ′OC =S 扇形B ′OB -S 扇形C ′OC =3124πππ−=cm 2；故选：B ．【点睛】此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键． 10．D 【解析】【分析】作辅助线，构建直角三角形，先根据三角形的中位线定理得HN ＝1，从而得HM 的长，根据矩形得GM ＝PN ＝1，最后由勾股定理计算可得结论．【详解】解：延长GF 交AB 于P ，过H 作MN ⊥CD 于M ，交AB 于N ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ∥CD ，BC ⊥CD ， ∴MN ⊥AB ，∵四边形DEFG 是正方形， ∴FG ⊥CD ， ∴FG ∥HM ∥BC ， ∵H 是BF 的中点，∴PN ＝BN ＝CM ＝GM ＝12CG ＝1(53)2⨯−＝1，∴HN 是△BFP 的中位线， ∴HN ＝12FP ＝1， ∴MH ＝5﹣1＝4，Rt △GHM 中，由勾股定理得：GH 22GM HM +221417+= 故选：D 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，矩形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握矩形的判定方法与正方形的性质是解题的关键． 11．x ＞1 【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件，结合一元一次不等式的解法得出答案．【详解】 11x xx x =−− ∴x ≥0且x ﹣1＞0，解得：x ＞1．故答案为：x ＞1．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 12．12π 【解析】【分析】直接根据圆锥的侧面积=底面周长⨯母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【详解】∵圆锥的底面圆半径为2，母线长为6 ∴圆锥的侧面积226212ππ=⨯⨯⨯÷= 故答案为：12π．【点睛】本题考查了圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握圆锥的性质，从而完成求解．13．24x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征确定两直线的交点坐标，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，即可解答．【详解】解：∵y x b =−+， ∴x y b +=，∵两直线2y x =和y x b =−+的交点坐标就是方程20x y x y b −=⎧⎨+=⎩的解，∴方程20x y x y b −=⎧⎨+=⎩的解是24x y =⎧⎨=⎩．故答案为：24x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解题的关键是掌握函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 14．3782481632x x x x x x +++++= 【解析】【分析】设此人第一天走的路程为x 里，则第二天走了2x里，第三天走了4x 里，第四天走了8x 里，第五天走了16x里，第六天走了32x 里，根据总路程为378里列出方程即可得.【详解】设此人第一天走的路程为x 里，则第二天走了2x里，第三天走了4x 里，第四天走了8x 里，第五天走了16x里，第六天走了32x 里，依题意得：3782481632x x x x xx +++++=，故答案为：3782481632x x x x x x +++++=. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 15．2 【解析】【分析】由于点A 在反比例函数1y x=的图像上，点C 在反比例函数ky x−=的图像上，可设A （a ，1a ），C （c ，k c−），表示AC 的长，以及△ABC 边AC 上的高BN ，根据△ABC 的面积为3，可以列出方程，进而求出k 的值即可．【详解】解：过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，交x 轴于点M ，如图所示：由于点A 与点B 关于原点对称，则OA ＝OB ，又∵AC ∥x 轴， ∴BM ＝MN ＝12BN ，∵点A 在反比例函数1y x=的图像上，点C 在反比例函数ky x−=的图像上，设A （a ，1a ），C （c ，k c−），∴AC ＝c −a ，MN ＝1a −＝k c，即：k ＝ca −，∵△ABC 的面积为3，∴12AC •BN ＝3，即12（c −a ）×（2a−）＝3，∴2c a =−， ∴22c a k a a−=−=−=．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，设出点的坐标，利用三角形的面积列方程，是解决问题的关键． 16．4 【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：∵抛物线()212y x =−−的顶点坐标为（1, -2），先向左平移2个单位长度，再向上平移h 个单位长度则平移后抛物线的顶点坐标为()1,2h −−+∴平移后的抛物线解析式为()212y x h =+−+，Q 平移后的抛物线经过点()2,3−，()23212h ∴=−+−+解得4h =．故答案为：4．【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 17．2PB 2【解析】【分析】利用三角形三边关系得到2＜BC ＜6，由等腰直角三角形的性质得到BD 22BD ＜2AD 的取值范围为2AD 2△ABP 中，得到PB 的取值范围为2PB 2 【详解】解：由三角形的性质：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知，若三角形的三边分别为a ，b ，c ，则有：a +b ＞c ，a -b ＜c ，因此在△ABC 中由AB =4，AC =2，则2＜BC ＜6，∵△BCD 是以BC 为底边向上构造的等腰直角三角形， ∴BD =22BC ， 2BD ＜2 又已知AB =4，在△ABD 中，根据三角形的性质：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知，AD 的取值范围为2AD 2 又AD =PD ，∴AP 的取值范围为2AP 2 又已知AB =4，在△ABP 中，PB 的取值范围为2PB 2 故选：2PB 2 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 18．32−【解析】【分析】根据)113|2|=22022sin 6031=3π−⎛⎫−︒ ⎪⎝=⎭，，，【详解】)11|2|20223sin 603π−⎛⎫−+−︒ ⎪⎝⎭=32133+−=32−．【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、特殊角的函数值和绝对值的化简，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算，熟记特殊角的函数值是解题的关键． 19．2a a +，13【解析】【分析】先将分子与分母因式分解后再约分，化简后再代入求值．【详解】解：222111422a a a a a a −+−÷+−−+ 2(1)21(2)(2)12a a a a a a −−=⋅++−−+ 1122a a a −=+++ 2aa +，当11|13tan 60313212a −︒⎛⎫=−+= ⎪⎝⎭时，原式11123==+．【点睛】本题考查分式化简，熟练掌握约运算法则是解题关键. 20．(1)120︒ (2)16【解析】【分析】（1）先求解总人数，再利用电话家访所占的百分比乘以360︒即可；（2）先列表得到所有的等可能的结果数与符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可． (1)解：调查的总人数为：4+15+16+10=45（人），所以扇形统计图中，“电话家访”所占圆心角的度数是15360=120,45窗? 故答案为：120︒ (2)解：列表如下：A B C D A A ，B A ，C A ，D B B ，A B ，C B ，D C C ，A C ，B C ，D D D ，AD ，BD ，C由上表信息可得：所有的等可能的结果数有12种，恰好抽到A ，B 的有2种，所以恰好选中A ，B 两人的概率为21=126．【点睛】本题考查的是频数分布表与扇形统计图，利用列表法求解简单随机事件的概率，掌握“列表法求概率”是解本题的关键． 21．(1)703 (2)3BC = 【解析】【分析】（1）作DE ⊥AB 于E ，由题意得，30,140ADE AD ∠=︒=，利用cos DEADE AD∠=进行求解即可；（2）作DF ⊥BC 于F ，由题意得tan 3DFDCF CF∠==BFDE 是矩形，再分别求出,BF CF 的长度即可． (1)解：如图，作DE ⊥AB 于E ，90AED ∴∠=︒，由题意得，30,140ADE AD ∠=︒=， cos DEADE AD∠=Q ，即3cos30140DE︒==，解得703DE =所以，点D 到AB 的距离为703 (2)解：作DF ⊥BC 于F ，由题意得tan 33DF DCF CF ∠=== 90DEB EBF DFB ∠=∠=∠=︒Q ，∴四边形BFDE 是矩形，,703DF BE AB AE BF DE ∴==−==在Rt ADE △中，2270AE AD DE −=，100AB =Q ， 30DF BE ∴==，333CF ∴=== 803BC BF CF ∴=+=所以，她滑行的水平距离BC 为3 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点并能够用数形结合的思想是解题的关键． 22．(1)25° (2)见解析 (3)10 【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得出结论；（2）证出∠OCF =90°，由切线的判定可得出结论；（3）设BC =4x ，CF =5x ，由勾股定理得出（4x ）2+（5x -6）2=（5x ）2，求出x =3，证明△FBC ∽△FCA ，由相似三角形的性质得出FB BCFC CA=，求出AF ，AE 的长，证明△AED ∽△CEB ，得出比例线段，则可得出答案． (1)∵AC 是直径， ∴90ABC ∠=︒， ∵40A ∠=︒， ∴50,ACB ∠=︒ ∵点D 是»AB 的中点，∴»»AD BD= ∴11502522DCB ACD ACB ∠=∠=∠=⨯︒=︒；(2)∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC =90°， ∴∠BEC +∠BCE =90°， ∵FC =FE ， ∴∠FCE =∠FEC ，由（1）可知∠BCE =∠ACE ， ∴∠FCE +∠ACE =90°， ∴∠OCF =90°， ∵OC 是⊙O 的半径， ∴CF 是⊙O 的切线； (3)在Rt △FBC 中，BE =6，4sin 5F ∠=， ∴45BC CF =，设BC =4x ，CF =5x ， ∵BC 2+BF 2=CF 2，∴（4x ）2+（5x -6）2=（5x ）2， ∴x =3或34x =（舍去）， ∴BC =12，CF =15，BF =9， ∵∠CBF =∠ACF =90°，∠F =∠F ，∴△FBC∽△FCA，∴FB BC FC CA=，∴3125AC =，∴CA=20，∴1102OA AC==【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键．23．(1)反比例函数的解析式为y1x=−(2)点P15(2【解析】(1)∵点N的坐标为（1，0），MN⊥x轴，∴设M点坐标为（1，a），∵点M在直线y＝﹣x上，∴a＝﹣1，∴M（1，﹣1），∵点M在反比例函数ykx=（x＞0）图象上，∴k＝1×（﹣1）＝﹣1，∴反比例函数的解析式为y1x=−；(2)设点P坐标为（t，0）．如图，作点N关于直线l的对称点E，连接PE，则NE⊥l，PN＝PE．∵OM⊥直线l，∴．NE∥OM，∴．∠PNE＝∠POM，∵M（1，﹣1），∴ON＝MN＝1，∴∠NOM＝45，∴∠PNE＝∠PEN＝45°，PE＝PN＝t﹣1，∴EP⊥x轴，∴E（t，1﹣t），代入y1x=−，得1﹣t1t=−，即t2﹣t﹣1＝0，解得t152 =，∵t＞0，∴t15+=∴点P 15+0）．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的综合应用，利用待定系数法求函数解析式是解决问题的关键，注意双曲线和直线的交点坐标的应用是解决第二问的关键．24．（1）2；-3；（2）长为8，宽为4；最短篱笆为16；（3）7【解析】【分析】（1）直接套公式计算，取相反数后，套用公式计算即可；（2）设篱笆的长为x，则宽为32x，则篱笆的周长为64xx+，套用公式计算即可；（3）设点B到AC的距离BE=1h，点D到OC的距离DF=2h，用AC，1h，2h表示四边形的面积，后套用公式计算即可．【详解】（1）∵0x>，∴1122x xx x+≥⋅=，∴式子1xx+的最小值为为2，故答案为：2；∵0x<，∴x−＞0,(-)(-)x x 当且仅当，36(-4)=(-)x x 时，等号成立，解得3x =不符合题意，舍去，取3x =−， ∴36-(4)24xx +≥， ∴36424xx +≤−， ∴当3x =−时，式子364+x x取到最大值，故答案为：-3；（2）设篱笆的长为x ，则宽为32x ，∴篱笆的周长为32642x x x x+⨯=+, ∵0x >， ∴6464216x x x x+≥⋅=，当且仅当，64=x x时，等号成立，解得8x =或8x =−（舍去）， ∴32x=4， ∴长方形的长为8米、宽为4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；（3）设点B 到AC 的距离BE =1h ，点D 到OC 的距离DF =2h ， ∵AOB V 、COD △的面积分别是8和14， ∴OA =116h ，OC =228h ，∴AC =OA +OC =116h +228h ， ∴=ABC ADC ABCD S S S +△△四边形 121122AC h AC h =+g g 121(h h )2AC =+g 121()2h h =+(116h +228h )=22+218h h +2114h h ， ∵120,0h h >>，1h 2h 12h h ∴22+218h h +211422+87h h ≥ ∴四边形ABCD 面积的最小值22+87．【点睛】本题考查了新定义运算，矩形的性质，三角形的面积，四边形的面积，准确理解新定义运算的意义，构造条件使用公式是解题的关键． 25．(1)45°； (2)见解析(3)0＜S 1＋S 2≤22 【解析】【分析】（1）由圆周角定理即可得出结果；（2）过点O 作OC ⊥P A 于C ，在CA 上截取CD ＝OC ，求出AD ＝AC −CD 2OC ，再由等腰直角三角形的性质得出OD 2，∠CDO ＝45°，得出AD ＝OD ，∠A ＝∠DOA ，求出∠A ＝22.5°，可得∠APO ＝22.5°，即可得出结论；（3）连接AB ，连接PO 并延长交AB 于E ，则PE ⊥AB ，把△PBQ 沿着PQ 翻折得△PB ′Q ，则PB ′＝PB ＝P A ，∠PQB ＝∠PQB ′，S 2＝S △QPB ＝S △QB 'P ，证出点A 、Q 、B ′三点共线，由S 1＋S 2＝S △QP A ＋S △QB 'P ＝S △P AB '，得出S 1＋S 2＞0当且仅当P A ⊥PB ′时，S 1＋S 2有最大值22PA ，在Rt △P AE 中，求出AE ，PE ，由勾股定理得出P A 2，即可得出结论．(1)解：∵∠AOB ＝90°， ∴∠APB ＝12∠AOB ＝45°； (2)证明：过点O 作OC ⊥P A 于C ，在CA 上截取CD ＝OC ，如图①所示， ∵tan ∠OAP 21， ∴21OCAC=，即AC ＝)21OC ，∵CD ＝OC ， ∴AD ＝AC −CD ＝()212OC OC OC −=，∵∠OCD ＝90°，OC ＝CD ， ∴OD 2，∠CDO ＝45°， ∴AD ＝OD ， ∴∠A ＝∠DOA ，∵∠A ＋∠DOA ＝∠CDO ＝45°， ∴∠A ＝22.5°， ∵OP ＝OA ，∴∠APO ＝∠A ＝22.5°， ∵∠APB ＝45°，∴∠BPO ＝∠APB −∠APO ＝22.5°， ∴∠APO ＝∠BPO ；(3)解：连接AB ，连接PO 并延长交AB 于E ，则PE ⊥AB ，把△PBQ 沿着PQ 翻折得△PB ′Q ，如图②所示：则PB ′＝PB ＝P A ，∠PQB ＝∠PQB ′，S 2＝S △QPB ＝S △QB 'P ， ∵∠AQP ＝∠ABP ，∠ABP ＝∠P AB ，∴∠AQP＝∠P AB，∵四边形P ABQ内接于⊙O，∴∠P AB＋∠PQB＝180°，∴∠AQP＋∠PQB′＝180°，∴点A、Q、B′三点共线，∵S1＋S2＝S△QP A＋S△QB'P＝S△P AB'，∴S1＋S2＞0当且仅当P A⊥PB′时，S1＋S2有最大值22PA，∵∠AOB＝90°，OA2∴∠AOE＝45°，∴AE＝1，∴PE21，∴P A2＝AE2＋PE2＝422+，∴2222PA=，∴0＜S1＋S2≤22．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三点共线以及最大值问题；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．。

中考原创押题数学试卷含答案解析

中考原创押题数学试卷（三）一、选择题1．（﹣2）×3的结果是（）A．﹣5 B．1 C．﹣6 D．62．下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．2x=m B．x2=m C． =m D． =m3．如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x（单位：mm）的数据分布如下表所示，则棉花纤维长度的数据在8≤x＜32这个范围的频率为（）棉花纤维长度x 频数0≤x＜8 18≤x＜16 216≤x＜24 824≤x＜32 632≤x＜40 3A．0.8 B．0.7 C．0.4 D．0.25．在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为（）A．B．C．D．6．如图，直线a、b、c、d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是（）A．∠1+∠5+∠4=180°B．∠4+∠5=∠2C．∠1+∠3+∠6=180°D．∠1+∠6=∠27．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C．4 D．58．如图，已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②E点的坐标是（5，8）；③sin∠COA=；④AC+OB=12．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．计算：（ +1）（3﹣）= ．10．据报载，我国发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为．11．分解因式：（x﹣1）2﹣4= ．12．若点P（x，y）在函数y=+的图象上，那么点P在平面直角坐标系中第象限．13．受国际金融危机的影响，中国房地产有所波动，某商品房经过两次降价，由5000元/平方米降为3200元/平方米．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为．14．如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为．15．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC =2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=tan60°﹣1．17．已知：如图，在▱ABCD中，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，EF⊥AC，AO=CO．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）在本题的已知条件中，有一个条件如果去掉，并不影响（1）的证明，你认为这个多余的条件是（直接写出这个条件）．18．学校准备在各班设立图书角以丰富同学们的课余文化生活，为了更合理的搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？（2）请把折线统计图（图1）补充完整；（3）求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；（4）如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．19．清明小长假，所有高速公路对七座以下的机动车辆免收高速费，很多人都走出家门，投入大自然的环抱，进行自驾游．如图所示，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD 段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）20．某日，小敏、小君两人约好去奥体中心打球．小敏13：00从家出发，匀速骑自行车前往奥体中心，小君13：05从离奥体中心6000m的家中匀速骑自行车出发．已知小君骑车的速度是小敏骑车速度的1.5倍．设小敏出发x min后，到达离奥体中心y m的地方，图中线段AB表示y与x之间的函数关系．（1）小敏家离奥体中心的距离为m；她骑自行车的速度为m/min；（2）求线段AB所在直线的函数表达式；（3）小敏与小君谁先到奥体中心，要等另一人多久？21．“佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件．（1）为了实现每天1600元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？（2）物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？22．如图1所示，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处才能使从A到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）【问题解决】如图2，过点B作BB′⊥l2，且BB′等于河宽，连接AB′交l1于点M，作MN⊥l1交l2于点N，则MN就为桥所在的位置．【类比联想】（1）如图3，正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求证：AF=EG．（2）如图4，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD上，且EG⊥HF，设y=，试求y与x的函数关系式．【拓展延伸】如图5，一架长5米的梯子斜靠在竖直的墙面OE上，初始位置时OA=4米，由于地面OF较光滑，梯子的顶端A下滑至点C时，梯子的底端B左滑至点D，设此时AC=a米，BD=b米．（3）当a= 米时，a=b．（4）当a在什么范围内时，a＜b？请说明理由．23．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．河南省中考原创押题数学试卷（三）参考答案与试题解析一、选择题1．（﹣2）×3的结果是（）A．﹣5 B．1 C．﹣6 D．6【考点】有理数的乘法．【专题】计算题．【分析】根据两数相乘同号得正，异号得负，再把绝对值相乘，可得答案．【解答】解：原式=﹣2×3=﹣6．故选：C．【点评】本题考查了有理数的乘法，先确定积的符号，再进行绝对值的运算．2．下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．2x=m B．x2=m C． =m D． =m【考点】无理方程；一元一次方程的解；根的判别式；分式方程的解．【分析】根据一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程的解的特点分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A.2x=m，一定有实数解；B．x2=m，当m＜0时，无解；C. =m，当m=0或﹣时无解；D. =m，当m＜0时，无解；故选A．【点评】本题考查了一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程，关键是灵活运用有关知识点进行判断．3．如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形．【解答】解：从几何体的上面看俯视图是，故选：D．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x（单位：mm）的数据分布如下表所示，则棉花纤维长度的数据在8≤x＜32这个范围的频率为（）棉花纤维长度x 频数0≤x＜8 18≤x＜16 216≤x＜24 824≤x＜32 632≤x＜40 3A．0.8 B．0.7 C．0.4 D．0.2【考点】频数（率）分布表．【专题】图表型．【分析】求得在8≤x＜32这个范围的频数，根据频率的计算公式即可求解．【解答】解：在8≤x＜32这个范围的频数是：2+8+6=16，则在8≤x＜32这个范围的频率是： =0.8．故选；A．【点评】本题考查了频数分布表，用到的知识点是：频率=频数÷总数．5．在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概率．【分析】分别求出圆和正方形的面积，它们的面积比即为针头扎在阴影区域内的概率．【解答】解：正方形的面积=4×4=16cm2，圆的面积=πcm2，针头扎在阴影区域内的概率为．故选C．【点评】本题是一个随机实验，考查了几何概率，针头扎在阴影部分的概率为圆与正方形的面积比．6．如图，直线a、b、c、d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是（）A．∠1+∠5+∠4=180°B．∠4+∠5=∠2C．∠1+∠3+∠6=180°D．∠1+∠6=∠2【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】根据三角形内角和定理和三角形外角性质进行判断．【解答】解：A、如图，∠7+∠4+∠5=180°，∠1=∠7，则∠1+∠5+∠4=180°．故本选项正确；B、如图，由三角形外角性质知：∠4+∠5=∠2．故本选项正确；C、如图，根据对顶角相等，三角形内角和是180度得到：∠1+∠3+∠6=180°．故本选项正确；D、如图，根据对顶角相等，三角形外角性质得到：∠3+∠6=∠2．故本选项错误；故选：D．【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角性质．解题时，充分利用了“对顶角相等”这一性质．7．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C．4 D．5【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】几何图形问题．【分析】设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BDN中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△BDN中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．【点评】考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．8．如图，已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②E点的坐标是（5，8）；③sin∠COA=；④AC+OB=12．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】反比例函数综合题．【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，由OB•AC=160可求出菱形的面积，由A点的坐标为（10，0）可求出CF的长，由勾股定理可求出OF的长，故可得出C点坐标，对角线OB、AC相交于D点可求出D 点坐标，用待定系数法可求出双曲线y=（x＞0）的解析式，由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标；由sin∠COA=可求出∠COA的正弦值；根据A、C两点的坐标可求出AC的长，由OB•AC=160即可求出OB的长．【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，∵OB•AC=160，A点的坐标为（10，0），∴OA•CF=OB•AC=×160=80，菱形OABC的边长为10，∴CF===8，在Rt△OCF中，∵OC=10，CF=8，∴OF===6，∴C（6，8），∵点D时线段AC的中点，∴D点坐标为（，），即（8，4），∵双曲线y=（x＞0）经过D点，∴4=，即k=32，∴双曲线的解析式为：y=（x＞0），故①错误；∵CF=8，∴直线CB的解析式为y=8，∴，解得x=4，y=8，∴E点坐标为（4，8），故②错误；∵CF=8，OC=10，∴sin∠COA===，故③正确；∵A（10，0），C（6，8），∴AC==4，∵OB•AC=160，∴OB===8，∴AC+OB=4+8=12，故④正确．故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到菱形的性质及反比例函数的性质、锐角三角函数的定义等相关知识，难度适中．二、填空题9．计算：（ +1）（3﹣）= 2．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】先把后面括号内提，然后利用平方差公式计算．【解答】解：原式=（+1）（﹣1）=×（3﹣1）=2．故答案为2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．据报载，2014年我国发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为 2.5×107．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将25000000用科学记数法表示为2.5×107．故答案为：2.5×107．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．分解因式：（x﹣1）2﹣4= （x+1）（x﹣3）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）进行分解即可．【解答】解：（x﹣1）2﹣4，=（x﹣1）2﹣22，=（x﹣1﹣2）（x﹣1+2），=（x﹣3）（x+1），故答案为：（x﹣3）（x+1）．【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，关键是掌握平方差公式的特点：①多项式必须是二项式，②两项都能写成平方的形式，③符号相反．12．若点P（x，y）在函数y=+的图象上，那么点P在平面直角坐标系中第二象限．【考点】函数关系式．【分析】因为分式有意义的条件是分母不等于0；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0．从而可以得到x ＜0，由x 2＞0，≥0可以得＞0，∴y=＞0，即求出点P 所在的象限．【解答】解：∵，∴x ＜0，又∵x ＜0，∴＞0，即y ＞0，∴P 应在平面直角坐标系中的第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，难点是判断出所求的点的横、纵坐标的符号．13．受国际金融危机的影响，2016中国房地产有所波动，某商品房经过两次降价，由5000元/平方米降为3200元/平方米．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为 20% ．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】此题可设降价的百分率为x ，则第一次降价后的单价是原来的（1﹣x ），第二次降价后的单价是原来的（1﹣x ）2，根据题意列方程解答即可．【解答】解：降价的百分率为x ，根据题意列方程得5000×（1﹣x ）2=3200，解得x 1=0.2，x 2=1.8（不符合题意，舍去）．所以降价的百分率为0.2，即20%．故答案是：20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．14．如图，钝角三角形ABC 的面积为15，最长边AB=10，BD 平分∠ABC ，点M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值为 3 ．【考点】轴对称-最短路线问题．【专题】压轴题．【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，∴MN=ME，∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为15，AB=10，∴×10•CE=15，∴CE=3．即CM+MN的最小值为3．故答案为3．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．15．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是①②④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC =2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF ，∴FC=FM ，故②正确；③∵EF=FM ，∴S △EFC =S △CFM ，∵MC ＞BE ，∴S △BEC ＜2S △EFC故S △BEC =2S △CEF 错误；④设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x ，∴∠EFC=180°﹣2x ，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x ，∵∠AEF=90°﹣x ，∴∠DFE=3∠AEF ，故此选项正确．故答案为：①②④．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF ≌△DMF 是解题关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=tan60°﹣1．【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=，当x=﹣1时，原式==2+2．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．已知：如图，在▱ABCD中，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，EF⊥AC，AO=CO．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）在本题的已知条件中，有一个条件如果去掉，并不影响（1）的证明，你认为这个多余的条件是EF⊥AC （直接写出这个条件）．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AB=CD，∠B=∠D，AD=BC，AD∥BC，然后证明△AOE ≌△COF，可得CF=AE，再证明DE=BF，进而可证明△ABF≌△CDE；（2）在证明△AOE≌△COF的过程中，只需要∠AOE=∠FOC，对顶角相等即可，无需垂直，因此EF ⊥AC是多余条件．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，AD=BC，AD∥BC．∵AD∥BC．∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴CF=AE，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF．在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS）．（2）解：EF⊥AC．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．18．学校准备在各班设立图书角以丰富同学们的课余文化生活，为了更合理的搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？（2）请把折线统计图（图1）补充完整；（3）求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；（4）如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．【考点】折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解；（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可；（3）用体育所占的百分比乘以360°，计算即可得解；（4）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．【解答】解：（1）90÷30%=300（名），故一共调查了300名学生；（2）艺术的人数：300×20%=60名，其它的人数：300×10%=30名；补全折线图如图；（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：×360°=48°；（4）1800×=480（名）．答：1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为480．【点评】本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，扇形统计图中每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．19．2016年清明小长假，所有高速公路对七座以下的机动车辆免收高速费，很多人都走出家门，投入大自然的环抱，进行自驾游．如图所示，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB 段与高速公路l 1成30°角，长为20km ；BC 段与AB 、CD 段都垂直，长为10km ，CD 段长为30km ，求两高速公路间的距离（结果保留根号）【考点】勾股定理的应用．【分析】过B 点作BE ⊥l 1，交l 1于E ，CD 于F ，l 2于G ．在Rt △ABE 中，根据三角函数求得BE ，在Rt △BCF 中，根据三角函数求得BF ，在Rt △DFG 中，根据三角函数求得FG ，再根据EG=BE+BF+FG 即可求解．【解答】解：过B 点作BE ⊥l 1，交l 1于E ，CD 于F ，l 2于G ．在Rt △ABE 中，BE=AB •sin30°=20×=10km ，在Rt △BCF 中，BF=BC ÷cos30°=10÷=km ， CF=BF •sin30°=×=km ， DF=CD ﹣CF=（30﹣）km ，在Rt △DFG 中，FG=DF •sin30°=（30﹣）×=（15﹣）km ， ∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km ．故两高速公路间的距离为（25+5）km ．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．20．某日，小敏、小君两人约好去奥体中心打球．小敏13：00从家出发，匀速骑自行车前往奥体中心，小君13：05从离奥体中心6000m 的家中匀速骑自行车出发．已知小君骑车的速度是小敏骑车速度的1.5倍．设小敏出发x min 后，到达离奥体中心y m 的地方，图中线段AB 表示y 与x 之间的函数关系．（1）小敏家离奥体中心的距离为6000 m；她骑自行车的速度为200 m/min；（2）求线段AB所在直线的函数表达式；（3）小敏与小君谁先到奥体中心，要等另一人多久？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象可得，小敏家离奥体中心的距离为6000米，她所用时间为30分钟，根据速度=路程÷时间，即可解答；（2）利用待定系数法，即可求函数解析式；（3）小君骑车的速度是200×1.5=300（米/分钟），设小君骑自行车时与奥体中心的距离为y1m，则y1=﹣300（x﹣5）+6000，当y1=0时，x=25.30﹣25=5．即小君先到达奥体中心，小君要等小敏5分钟．【解答】解：（1）小敏家离奥体中心的距离为6000米，她骑自行车的速度为：6000÷30=200（米/分钟）．故答案为：6000，200；（2）设AB所在直线的函数表达式为y=kx+b，将点A（0，6000），B（30，0）代入y=kx+b得：，解得．∴AB所在直线的函数表达式为y=﹣200x+6000．（3）∵小君骑车的速度是小敏骑车速度的1.5倍．∴小君骑车的速度是200×1.5=300（米/分钟），设小君骑自行车时与奥体中心的距离为y1m，则y1=﹣300（x﹣5）+6000，当y=0时，x=25．130﹣25=5．∴小君先到达奥体中心，小君要等小敏5分钟．【点评】本题考查了一次函数的应用，利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．21．“佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件．（1）为了实现每天1600元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？（2）物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【专题】计算题．【分析】（1）设商品的定价为x元，由这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少2件，列出等式求得x的值即可；（2）设利润为y元，列出二次函数关系式，在售价不超过40元/件的范围内求得利润的最大值．【解答】解：（1）设商品的定价为x元，由题意，得（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]=1600，解得：x=40或x=60；答：售价应定为40元或60元．（2）设利润为y元，得：y=（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]（x≤40），即：y=﹣2x2+200x﹣3200；∵a=﹣2＜0，∴当x=﹣=﹣=50时，y取得最大值；又x≤40，则在x=40时可取得最大值，=1600．即y最大答：售价为40元/件时，此时利润最大，最大为1600元．【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是对题意的正确理解．22．如图1所示，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处才能使从A到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）【问题解决】如图2，过点B作BB′⊥l2，且BB′等于河宽，连接AB′交l1于点M，作MN⊥l1交l2于点N，则MN就为桥所在的位置．【类比联想】（1）如图3，正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求证：AF=EG．（2）如图4，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD上，且EG⊥HF，设y=，试求y与x的函数关系式．【拓展延伸】如图5，一架长5米的梯子斜靠在竖直的墙面OE上，初始位置时OA=4米，由于地面OF较光滑，梯子的顶端A下滑至点C时，梯子的底端B左滑至点D，设此时AC=a米，BD=b米．（3）当a= 1 米时，a=b．（4）当a在什么范围内时，a＜b？请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）过点作DH⊥AF交AB于点H，则有∠1+∠2=90°，故四边形DGEH是平行四边形，再由ASA定理得出△ABF≌△DAH，由此可得出结论；（2）作DM∥GE交AB于点M，作AN∥HF交BC于点N，根据直角三角形的性质得出∠1+∠2=90°，再根据四边形ABCD是矩形可知∠3+∠2=90°，由相似三角形的性质得出△ABN∽△DAM，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（3）过点B作DC的平行线，过点C作OF的平行线，两线交于点P，连接AP，由题意可得DBPC为平行四边形，可得出∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．（4）若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，由等边对等角可知∠3＜∠5，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】（1）证明：如图3，过点作DH⊥AF交AB于点H，则有∠1+∠2=90°．∵GE⊥AF，∴DH∥GE．∵四边形ABCD是正方形，∴∠3+∠2=90°，BA=AE，DG∥HE，∴∠3=∠1，四边形DGEH是平行四边形．∴DH=GE，在△ABF与△DAH中，，∴△ABF≌△DAH，∴DH=AF，∴AF=GE；（2）解：作DM∥GE交AB于点M，作AN∥HF交BC于点N（如图4）．∵EG⊥HF，易得DM⊥AN，∴∠1+∠2=90°．又∵四边形ABCD是矩形，∴∠3+∠2=90°，∴∠3=∠1，且四边形ANFH及四边形MEGD均为平行四边形，∴AN=HF，DM=EG．∵∠3=∠1，∠B=∠MAD=90°，∴△ABN∽△DAM，∴===，∴y=；（3）解：∵CO=4﹣a，DO=3+b．∴Rt△DOC中，DC2=（4﹣a）2+（3+b）2，即（4﹣a）2+（3+b）2=52．当a=b时，有（4﹣a）2+（3+a）2=25，解得a=1或a=0（不合题意）．故答案为：1；（4）当0＜a＜1时，a＜b．理由如下：如图5，过点B作DC的平行线，过点C作OF的平行线，两线交于点P，连接AP．∵CD∥BP，PC∥OF，∴DBPC为平行四边形，∴BP=DC，CP=BD．又AB=DC，∴BP=AB．∴∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，∵∠1＞∠2，∴∠3＜∠4．又∵∠5=∠4，∴∠3＜∠5．∵Rt△ABO中，sin∠3==，同理sin∠5==，由题意得，＞，解得，即0＜a＜1．【点评】本题考查的是四边形综合题，涉及到平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解答时，要灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定定理和性质定理．23．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）直接把A 点和C 点坐标代入y=﹣x 2+mx+n 得m 、n 的方程组，然后解方程组求出m 、n 即可得到抛物线解析式；（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x=﹣，则D （，0），则利用勾股定理计算出CD=，然后分类讨论：如图1，当CP=CD 时，利用等腰三角形的性质易得P 1（，4）；当DP=DC 时，易得P 2（，），P 3（，﹣）；（3）先根据抛物线与x 轴的交点问题求出B （4，0），再利用待定系数法求出直线BC 的解析式为y=﹣x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E （x ，﹣ x+2）（0≤x ≤4），则F （x ，﹣ x 2+x+2），则FE=﹣x 2+2x ，由于△BEF 和△CEF 共底边，高的和为4，则S △BCF =S △BEF +S △CEF =•4•EF=﹣x 2+4x ，加上S △BCD =，所以S 四边形CDBF =S △BCF +S △BCD =﹣x 2+4x+（0≤x ≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF 的面积最大，并得到此时E 点坐标．【解答】解：（1）把A （﹣1，0），C （0，2）代入y=﹣x 2+mx+n 得，解得， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+x+2；（2）存在．抛物线的对称轴为直线x=﹣=，。

中考压轴题专项训练2——几何探究型问题专题(带答案解析)

中考压轴题专项训练2——几何探究型问题专题几何探究题型是中考数学常见的题型，常以压轴题的形式出现，是数学学习中的重点也是难点。

那么遇到这种题型应该怎么去思考呢？先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。

求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。

一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。

找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。

求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。

最后探索的问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。

在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。

1.(2019北京)在△ABC 中，DE 分别是△ABC 两边的中点，如果DE 上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE 为△ABC 的中内弧。

例如，图1中DE 是△ABC 的一条中内弧。

(1)如图2，在Rt △ABC 中，AB-AC=22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(0,0)，C(4t,0)(t ＞0)，在△ABC 中， D,E 分别是AB,AC 的中点。

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2019-2020 年中考数学几何探究试题押题卷探秘欣赏
如图 1，点 A 、B 分别是两条平行线 m 、 n 上任意两点，在直线 n 上找一点 C ，使 BC = kAB （ k 为常数），连结 AC ，在直
线 AC 上任取一点 E ，作∠ BEF =∠ABC ， EF 交直线 m 于点 F ．（ 1）请说明∠ AFE=∠ ABE 的理由；（ 2）当 k 1 时，探究线段 EF 的值，请说明理由； EB
（ 3）当 k 1 时，探究线段
EF
的值，请说明理由．
EB
2008 年中考几何探究真题
25．点、 B 分别是两条平行线
、
上任意两点，在直线 n 上找一点，使
=
，连结
，在直线
上任取一点
A
m n
C
BC kAB
AC
AC
E ，作∠ BE
F = ∠ A BC ， EF 交直线 m 于点 F ． ⑴如图 15，当 k = 1 时，探究线段 EF 与 EB 的关系，并中以说明；
说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程 ( 要求至少写三步 ) ；
②在完成①之后，可以自己添加条件 ( 添加的条件限定为∠ ABC 为特殊角 ) ，在图 16 中补全图形，完成证明 ( 选择添加条件比原题少得 3 分 ) ．
⑵如图 17，若∠ ABC = 90 °， k ≠1，探究线段 EF 与 EB 的关系，并说明理由．
2009 年中考几何探究押题
（ 1）等边△ ABC 与等边△ MDE,点 M,N,F 分别是 AB,AC,BC 的中点，点 D 在直线 BC 上，试探究
DF
的值。

EN
（ 2）等腰△ ABC 与等腰△ MDE,∠DME=∠ ACB,点 M,N,F 分别是 AB,AC,BC 的中点，点 D 在直线 BC 上，试探究
DF
的值。

EN
（ 3）等腰直角△ ABC 与等腰直角△ MDE,∠ DME=∠ ACB,点 M,N,F 分别是 AB,AC,BC 的中点，点 D 在直线 BC 上，试探究
DF
EN
的值。

（ 4）任意△ ABC 与△ MDE,∠ DME=∠ ACB,ME=mDM,BC=mAC 点M,N,F 分别是 AB,AC,BC 的中点，点 D 在直线 BC 上，试探究
DF
EN
的值。

2009 年中考几何探究真题
25．如图 15，在△ ABC 和△ PQD 中， AC = k BC ， DP = k DQ ，∠ C =∠ PDQ ， D 、E 分别是 AB 、 AC 的中点，点 P 在直线 BC 上，连结 EQ 交 PC 于点 H ．
猜想线段 EH 与 AC 的数量关系，并证明你的猜想．
2010 年中考几何探究押题
在 Rt ABC 和 Rt AMN 中，
ABC AMN 90°， BC k AB ， MN
kAM ，点 M 是 BC 边中点，
BD ⊥ AC 于点 D ，
AM 交 BD 于 E ， MN 交 AC 于 F ．
（ 1） k 1 ，如图 1，探究
ME
的值； MF
（ 2） k n ，如图 2，探究
ME
的值；
MF
2010 年中考几何探究真题
90 ，CD AB，垂足为 D，点 E 在 AC上，BE 交 CD于点 G，EF BE 交 AB 于点 F，若 AC=mBC，23. 如图 12， ACB=
CE=kEA，探索线段 EF 与 EG的数量关系，并证明你的结论
说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（ 2）中的条件，选（ 1）中的条件完成解答满分为7 分；选（ 2）中的条件完成解答满分为 5 分
（1） m=1（如图 13）
（2） m=1， k=1（如图 14）。