北京市2018届高三理科数学一轮复习试题选编11：平面向量的平行与垂直(学生版)
北京市2018届高三数学理一轮复习 4.2 平面向量基本定
高三一轮（理） 4.2平面向量基本定理及坐标运算【教学目标】1.了解平面向量基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【重点难点】1.教学重点：平面向量基本定理及向量的坐标运算和向量共线的条件；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】量，那么对于该平面内任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.向量e1，e2叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底．知识点2 平面向量的坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则 a ＋b ＝(x1＋x2，y1＋y2)，a －b ＝(x1－x2，y1－y2)，λa ＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21. 2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB →＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12y2－y12.知识点3 平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x1y2－x2y1＝0. 名师点睛： 1．必会结论(1)若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)平面向量的基底中一定不含零向量． 2．必清误区若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，而应该表示为x1y2－x2y1＝0. 考点分项突破考点一：平面向量基本定理及其应用C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.【解析】 由B ，H ，C 三点共线知，BH →＝kBC →(k ≠0,1)，则AH →＝AB →＋BH →＝AB →＋kBC →＝AB →＋k(AC →－AB →)＝(1－k)AB →＋kAC →，所以AM →＝12AH →＝12(1－k)AB →＋k 2AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝121－k μ＝k 2，从而λ＋μ＝12.【答案】 12归纳：应用平面向量基本定理的关键点 1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便． 考点二:平面向量的坐标运算(1)(2016·北京模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图422所示，若c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.，B(6,2)，C(5，－1)，∴OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1。
2018届高考数学一轮复习精品题集分类汇编之平面向量(18页)
第2章平面向量§2.1向量的概念及其表示重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．b5E2RGbCAP考纲要求：①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念及向量相等的含义．③理解向量的几何表示．经典例题：下列命题正确的是<）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习：1.下列各量中是向量的是( >p1EanqFDPwA.密度B.体积C.重力D.质量2下列说法中正确的是<）A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量B. 长度相等的向量叫相等向量C. 零向量的长度为零D.共线向量是在一条直线上的向量3．设O是正方形ABCD的中心，则向量、、、是<）A．平行向量 B．有相同终点的向量C．相等的向量 D．模都相同的向量4.下列结论中,正确的是( >DXDiTa9E3dA. 零向量只有大小没有方向B. 对任一向量,||>0总是成立的C. |=||D. |与线段BA的长度不相等5.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中不正确的是( >RTCrpUDGiTA. 与共线B. 与相等C. 与是相反向量D. 与模相等6．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，5PCzVD7HxA<1）与相等的向量有；<2）与长度相等的向量有；<3）与共线的向量有．7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是．并对你的判断举例说明．jLBHrnAILg8．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：<1）与相等的向量有；<2）写出与共线的向有；<3）写出与的模相等的有；<4）向量与是否相等？答．9．O是正六边形ABCDE的中心，且，，，在以A，B，C，D，E，O为端点的向量中：<1）与相等的向量有；<2）与相等的向量有；<3）与相等的向量有10．在如图所示的向量，，，，中<小正方形的边长为1），是否存在：<1）是共线向量的有；<2）是相反向量的为；<3）相等向量的的；<4）模相等的向量．11．如图，△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，xHAQX74J0X<1）与向量共线的有．<2）与向量的模相等的有．<3）与向量相等的有．12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．若它位于图中的P点，这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否从点A走到与它相邻的B？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？LDAYtRyKfE第2章平面向量§2.2向量的线性运算重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件．Zzz6ZB2Ltk考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其意义。
北京市2018届高三理科数学一轮复习试题选编11：平面向量的平行与垂直(教师版)
北京市2018届高三理科数学一轮复习试题选编11：平面向量的平行与垂直一、选择题1 ．(2012年广西北海市高中毕业班第一次质量检测数学(理)试题及答案)给定两个向量)4,3(=a ,)1,2(=b ,若)//()(b a b x a -+,则x 的值等于（ ）A ．23 B ．1- C ．1D ．23-【答案】A ．2 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）设向量=,1x （）a , (4,)x =b ,且，a b 方向相反,则x 的值是（ ）A ．2B ．-2C ．2±D ．0【答案】B ．3 ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知向量,.若,则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A4 ．（2009高考(北京理)）已知向量a 、b 不共线,c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ,那么 （ ） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.取a ()1,0=,b ()0,1=,若1k =,则c =a +b ()1,1=,d =a -b ()1,1=-,显然,a 与b 不平行,排除A ． B ． 若1k =-,则c =-a +b ()1,1=-,d =-a +b()1,1=--,即c //d 且c 与d 反向,排除C,故选D ．5 ．(江西省上高二中2012届高三第五次月考(数学理))已知A(2,-2)、B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且//p AB,则k 的值为（ ）A ．910-B ．910 C ．1910-D ．1910【答案】 D ．6 ．(广州市2012届高三年级调研测试数学(理科))已知向量()21=，a ,()2x =-，b ,若a ()()3,4,6,3OA OB =-=- ()2,1OC m m =+//AB OC m 3-17-35-35∥b ,则a +b 等于 （ ）A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-【答案】A ．7 ．(2012年4月上海市浦东高三数学二模(理数))已知非零向量a 、b,“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥ ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】C8 ．(2011届高考数学仿真押题卷——福建卷(文7))已知向量a=(1,2),b=(-3,2)若ka+b//a-3b,则实数k= （ ）A ．31-B ．31 C ．-3 D ．3【答案】A ．9 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知平面向量,, 且∥, 则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C10．(2013大纲卷高考数学(文))已知向量()()1,1,2,2,λλ=+=+m n 若()(),+⊥-m n m n 则=λ（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-【答案】B ．【解析】∵()(),+⊥-m n m n ∴()()0+⋅-=m n m n ∴220-=m n即()()2211[24]0λλ++-++=∴3λ=-,故选B ．11．已知向量,,若与共线,则等于 （ ）A ．;B ．C ．D ．【答案】C ．12．(2011年高考(重庆文))已知向量a =(1,k ) ,b =(2,2) ,且a b + 与a共线,那么a b ∙ 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4(2,3)=a (1,2)=-b m n +a b 2-a b nm2-221-21【答案】 【解析】a b + =(3,2k +), ∵a b + 与a, ∴32(2)20k ⨯-+⨯=,解得k =1,∴a b ∙=1212⨯+⨯=4,故选D ．13．(2013陕西高考数学(文))已知向量 , 若a //b , 则实数m 等于（ ）A ．B ．C ．或D ．0【答案】 C 解:,所以选C14．(惠州市2012届高三第一次调研考试)已知向量(12)a = ，,(4)b x = ，,若向量a b ⊥,则x =（ ）A ．2B ．2-C ．8D ．8-【解析】02121=+=⋅y y x x b a .8,08-=∴=+x x 即,故选D ．15．(2013辽宁高考数学(理))已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A 解:(3,4)AB =- ,所以||5AB = ,这样同方向的单位向量是134(,)555AB =-16．(2012年广西南宁市第三次适应性测试(理数))已知向量与的位置关系是（ ）A ．垂直B ．平行C ．相交不垂直D ．不确定【答案】A17．(2012年高考(福建文))已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b ⊥ 的充要条件是（ ）A ．12x =-B ．1x =-C ．5x =D ．0x =【解析】有向量垂直的充要条件得2(x-1)+2=0 所以x=0 .D 正确 【答案】D二、填空题18．(北京市昌平区2012届高三上学期期末考试试题(数学理))已知向量(1,2)=a ,(,1)k =b , 若向量//a b ,那么k =_______. 【答案】2119．(2013山东高考数学(文))在平面直角坐标系中,已知,,(1,),(,2)a m b m ==2-22-2.221,//),2,(),,1(±=⇒⋅=⋅∴==m m m b a m b m a 且 b a c b a +-===则),2,2(),0,2(),1,1(c b +若,则实数的值为______【答案】答案:5.解析:∵ ，(1)OA t =- ,，(22)OB =,∴(2,2)AB OB OA =-=(1,)(3,2)t t --=-,又∵ 90ABO ∠= ,∴AB OB ⊥,∴232(2)0AB OB t ⋅=⨯+⨯-= ,解得5t =.20．(山西省实验中学仿真演练试卷理)、是互相垂直的两个单位向量,且向量与也相互垂直,则_____________.【答案】21．(2013上海春季数学(理))已知向量(1 )a k =，,(9 6)b k =- ，.若//a b ,则实数 k =__________【答案】34-22．（2011年高考（北京理））已知向量(3,1),a = (0,1),b =- (,3)c k =,若2a b - 与c 共线,则k =________. 【答案】1【命题立意】本题考查了平面向量的加、减、数乘的坐标运算和共线向量的坐标运算.【解析】2(3,1)2(0,1)(3,3)a b -=--=,因为2a b - 与c 共线,所以3330k ⨯-=,所以1k =23．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知=(3,2),=(-1,0),向量+与-2垂直,则实数的值为_________【答案】1 【解析】,因为向量+与-2垂直,所以,即,解得.24．(2011年高考(北京理))已知向量(3,1),a = (0,1),b =- (,3)c k =,若2a b - 与c 共线,则k =________. 【答案】1【解析】2(3,1)2(0,1)(3,3)a b -=--=,因为2a b - 与c 共线,所以3330k ⨯-=,所以1k =25．(2012年石景山区高三数学一模理科)设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a,且b a //,则θ2cos =________.1e 2e 122e e +12e ke -k =2【答案】31-26．(高2012级高三(下)第一次月考理科)向量a (1,3)=,b (,9)m =-,若a ∥b ,则m =________. 【答案】-3 27．(2012年河北省普通高考模拟考试(文))已知向量a =(-3,4),b =(2,-1),λ为实数,若向量a +λb 与向量b 垂直,则λ=___ 【答案】228．(江苏省2012年5月高考数学最后一卷(解析版))已知平面向量,,且,则实数______.【答案】【解析】本题主要考查平面向量的垂直.【答案】329．（2013北京东城高三二模数学理科）已知向量(2,3)=-a ,(1,)λ=b ,若//a b ,则λ=___.【答案】32-; 30．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知向量.若为实数,()//a b c λ+,则的值为_____________. 【答案】53λ=12【解析】(1,2)(1,0)(1,2)a b λλλ+=+=+ ,因为()//a b c λ+ ,所以4(1)320λ+-⨯=,解得12λ=.三、解答题31．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）已知,,当为何值时,与平行?平行时它们是同向还是反向?【答案】解:因为; 又这时,所以当时,与平行,并且是反向的.(1,1)a =- (2,1)b x =-a b ⊥x =(1,2),(1,0),(3,4)===a b c λλ(1,2)a =)2,3(-=b k ka + b 3a -b 3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+()//(3)ka b a b +-4(3)10(22)k k ∴--=+13k ∴=-104(,)33ka b +=- 13k =-ka b + 3a b -。
最新2018年北京市高考数学试卷(理科)资料
2018年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A． f B． f C． f D．f5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5分）设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=．11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．14．（5分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．三、解答题共6小题，共80分。
2018年高三最新 高考第一轮复习数学：平面向量(附答案) 精品
素质能力检测（五）一、选择题（每小题5分，共60分）1.点M （4，－3）关于点N （5，－6）的对称点是 A.（4，3） B.（29，0） C.（－21，3）D.（6，－9）解析：设M 关于N 的对称点为M '（x ，y ），MN =M N ，把坐标代入即可. 答案：D2.有三个命题：①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=.其中正确的是A.②B.③C.①③D.②③解析：①与共线，AB 与CD 也可以平行.②中a 与b 也可能为0.选B. 答案：B3.已知A （1，2），B （4，2），则向量按向量a =（－1，3）平移后得到的向量坐标是 A.（3，0） B.（3，5） C.（－4，3）D.（2，3）解析：=（3，0），向量按任何方向平移后坐标不变. 答案：A4.已知|a |=4，|b |=8且a 与2b －a 互相垂直，则向量a 与b 的夹角是 A.arccos 41 B.π－arccos 41 C.3πD.6π 解析：由a ⊥（2b －a ）得a ·（2b －a ）=0，∴2|a ||b |cos θ－|a |2=0.∴cos θ=41. 又0≤θ≤π，∴θ=arccos41. 答案：A5.△ABC 中，已知b =10，c =15，C =30°，则此三角形的解的情况是 A.一解 B.两解 C.无解 D.无法确定 解析：由b ＜c 得B ＜C ，B 必为小于30°的锐角. 答案：A6.下列命题：①k ∈R ，且k b =0，则k =0或b =0； ②若a ·b =0，则a =0或b =0；③若不平行的两个非零向量a 、b ，满足|a |=|b |，则（a +b ）·（a －b ）=0； ④若a 与b 平行，则|a ·b |=|a ||b |； ⑤a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：①正确；②错误，若a ⊥b ，则a ·b =0；③正确，因为（a +b ）·（a －b ）=|a |2－|b |2=0；④正确，可设a =λb ，则a ·b =λb ·b =λ|b |2；⑤错误，若b =0，则对任意a 与c ，均有a ∥b ，b ∥c 成立.答案：C7.已知点P （cos α，sin α），Q （cos β，sin β），则|PQ |的最大值是 A.2B.2C.4D.不存在解析：|PQ |2=（cos β－cos α）2+（sin β－sin α）2=2－2（cos αcos β+sin αsin β）= 2－2cos （α－β），故当cos （α－β）=－1时，|PQ |取最大值2.答案：B8.在△ABC 中，a 2+b 2－c 2=ab ，则角C 为 A.60° B.45°或135° C.120° D.30°解析：cos C =ab c b a 2222-+=21，C =60°.答案：A9.点P 1，P 2，…，P n 是线段AB 的n 个n +1等分点，P ∈{P 1，P 2，…，P n }，则P 分有向线段AB 的比λ的最大值和最小值分别是A.n +1，21+n B.n +1，11+n C.n ，n1D.n －1，11-n 解析：由=λ知λ取得最大值时P 为距点B 最近的点P n ，取最小值时为P 1. 答案：C10.若a 与b 的夹角为60°，|b |=2，（a +b ）·（a －2b ）=－2，则向量a 的模是 A.2 B.5 C.3 D.6 解析：由题意知a 2－a ·b －2b 2=－2，|b |=2，cos60°=21，代入得|a |2－|a |－6=0. ∴|a |=3或|a |=－2（舍去）. 答案：C11.命题p ：|a |=|b |且a ∥b ；命题q ：a =b ，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分要件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件解析：当a ∥b 且a 与b 方向相反时，即使|a |=|b |，也不能得到a =b ，故|a |=|b |且a ∥b 不是a =b 的充分条件，而是必要不充分条件.答案：B12.在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =a ，OB =b ，对任意一点M ，它关于A 的对称点为S ，S 关于点B 的对称点为N ，则用a 、b 表示为A.2（b －a ）B.21（a －b ） C.a +bD.21（a +b ） 解析：MN =MS +SN =2AS +2SB =2OB －2OA .（四边形OASB 是平行四边形） 答案：A二、填空题（每小题4分，共16分） 13. =3e 1，=3e 2，且=21，则=____________. 解析：=3e 2－3e 1，=31=e 2－e 1，=+=2e 1+e 2. 答案：2e 1+e 214.已知向量a =（1，2），b =（－2，1），若正数k 和t 满足x =a +（t 2+1）b 与y =－k a +t1b 垂直，则k 的最小值是____________.解析：x =（1－2－2t 2，1+2+t 2），y =（－k －t 2，－2k +t1），由x ⊥y 得x ·y =0.又t ＞0，∴k =t +t1≥2.∴当t =1时，k 的最小值为2.答案：215.在△ABC 中，记BC =a ，AC =b ，AB =c ，若9a 2+9b 2－19c 2=0，则B A C c o tc o t c o t+=____________.解析：B A C cot cot cot +=B BA A C Csin cos sin cos sin cos +=C CB A 2sin cos sin sin =ab c b a c ab 22222-+⋅=22222cc b a -+ =222218999c c b a -+=22218919c c c -=95.答案：9516.已知直线l 1过点（0，t ），方向向量为（1，1），直线l 2过点（t ，1），方向向量为（1，－2），P 为l 1、l 2的交点，当t 变化时，P 的轨迹方程为____________.解析：l 1方程为x －y +t =0，l 2方程为2x +y －1－2t =0，两式消去t 即得P 的轨迹方程. 答案：4x －y －1=0三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17.（12分）已知向量a =（3，－4），求： （1）与a 平行的单位向量b ； （2）与a 垂直的单位向量c ；（3）将a 绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量e 的坐标.解：（1）设b =λa ，则|b |=1，b =（53，－54）或b =（－53，54）. （2）由a ⊥c ，a =（3，－4），可设c =λ（4，3），求得c =（54，53）或c =（－54，－53）.（3）设e =（x ，y ），则x 2+y 2=25. 又a ·e =3x －4y =|a ||e |cos45°，即3x －4y =2225，由上面关系求得e =（227，－22），或e =（－22，－227）， 而向量e 由a 绕原点逆时针方向旋转45°得到，故e =（227，－22）.18.（12分）向量a =（1，cos2θ），b =（2，1），c =（4sin θ，1），d =（21sin θ，1），其中θ∈（0，4π）. （1）求a ·b －c ·d 的取值范围；（2）若函数f （x ）=|x －1|，判断f （a ·b ）与f （c ·d ）的大小，并说明理由. 解：（1）a ·b =2+cos2θ，c ·d =2sin 2θ+1=2－cos2θ. ∵a ·b －c ·d =2cos2θ，∴0＜θ＜4π.∴0＜2θ＜2π. ∴0＜cos2θ＜1.∴0＜2cos2θ＜2. ∴a ·b －c ·d 的取值范围是（0，2）.（2）f （a ·b ）=|2+cos2θ－1|=|1+cos2θ|=2cos 2θ， f （c ·d ）=|2－cos2θ－1|=|1－cos2θ|=2sin 2θ.于是有f （a ·b ）－f （c ·d ）=2（cos 2θ－sin 2θ）=2cos2θ. ∵0＜θ＜4π，∴0＜2θ＜2π. ∴2cos2θ＞0.∴f （a ·b ）＞f （c ·d ）.19.（12分）△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足下列条件： ①A ＜B ＜C ；②A 、B 、C 成等差数列；③tan A ·tan C =2+3. （1）求A 、B 、C 的大小；（2）若AB 边上的高为43，求a 、b 、c 的大小.解：（1）由题意知B =60°，A +C =120°，tan （A +C ）=CA CA tan tan 1tan tan -+=－tanB =－3，∴tan A +tan C =3+3.故⎪⎩⎪⎨⎧+==32tan 1tan C A ，或⎪⎩⎪⎨⎧=+=1tan 32tan C A ，（舍），故A =45°，B =60°，C =75°.（2）过C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝43，在Rt △ACD 和Rt △ABC 中，由正弦定理得a =B CD sin =8，b =ACDsin =46，c =AD +DB =43+4. 20.（12分）已知a =（cos θ，sin θ），b =（cos β，sin β），a 与b 之间有关系式|k a +b |=3|a －k b |（k ＞0）.（1）用k 表示a ·b ；（2）求a ·b 的最小值，并求此时a 与b 夹角的大小.解：（1）将|k a +b |=3|a －k b |两边平方得a ·b =k k k 81332222b a ）（）（-+-=kk 412+.（2）∵（k －1）2≥0， 又k ＞0，∴k k 412+≥k k 42=21，即a ·b ≥21，cos α=21.又0°≤α≤180°，故a 与b 的夹角为60°.21.（12分）已知矩形ABCD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：对角线AC ⊥BE ，AC ⊥DF 的充要条件是AB ∶BC =1∶2.证明：设BA =a ，BC =b ，则a ⊥b . AE =21b ，AC =b －a ，BE =BA +AE =a +21b . （1）必要性：∵⊥，∴（b －a ）·（a +21b ）=0， 即a ·b +21b 2－a 2－21a ·b =0. ∵a ⊥b ，∴a ·b =0. ∴21b 2－a 2=0，即21b 2=a 2，得b 2=2a 2，|b |=2|a |. ∴AB ∶BC =1∶2.（2）充分性：∵AC ·BE =（b －a ）·（a －21b ）=a ·b +21b 2－a 2－21a ·b ， 又∵a ⊥b ，∴a ·b =0. ∴·=21b 2－a 2=21|b |2－|a |2. ∵AB ∶BC =1∶2，∴|a |∶|b |=1∶2.∴|a |2=21|b |2.∴AC ·BE =0. 故AC ⊥BE .同理可证·=0，则⊥.综合（1）（2）知AC ⊥BE ，AC ⊥DF 的充要条件是AB ∶BC =1∶2.22.（14分）设坐标平面上全部向量的集合为V ，a =（a 1，a 2）为V 的一个单位向量.已知从V 到V 的映射f 由f （x ）=－x +2（x ·a ）a （x ∈V ）确定.（1）若x 、y ∈V ，求证：f （x ）·f （y ）=x ·y ； （2）对于x ∈V ，计算f ［f （x ）］－x ； （3）设u =（1，0），v =（0，1），若f （u ）=v ，求a . （1）证明：f （x ）·f （y ）=［－x +2（x ·a ）a ］·［－y +2（y ·a ）a ］ =x ·y －4（x ·a ）（y ·a ）+4（x ·a ）（y ·a ）a 2=x ·y . （2）解：∵f ［f （x ）］=f ［－x +2（x ·a ）a ］ =－［－x +2（x ·a ）a ］+2{［－x +2（x ·a ）a ］·a }a =x －2（x ·a ）a +2［－x ·a +2（x ·a ）a 2］a =x －2（x ·a ）a +2（x ·a ）a =x ， ∴f ［f （x ）］－x =0.（3）解：由f （u ）=v ，得⎪⎩⎪⎨⎧==-.120122121a a a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==222221a a ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.222221a a ， ∴a =（22，22）或a =（－22，－22）.。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第五章平面向量5.4平面向量的综合应用含解析
1．向量在平面几何中的应用（1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0,其中a＝（x1，y1），b＝(x2，y2),且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝错误!（θ为向量a，b的夹角），其中a,b为非零向量（2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题错误!向量问题错误!解决向量问题错误!解决几何问题．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2）物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W＝F·s ＝｜F｜|s|cos θ(θ为F与s的夹角)．3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积,向量的共线与垂直求解相关问题．【知识拓展】1．若G是△ABC的重心,则错误!＋错误!＋错误!＝0.2．若直线l的方程为:Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量（－B，A）与直线l平行．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）若错误!∥错误!，则A,B,C三点共线．（√)(2)向量b在向量a方向上的投影是向量．（×)(3）若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角;若a·b＜0,则a和b的夹角为钝角．( ×)(4）在△ABC中，若错误!·错误!〈0，则△ABC为钝角三角形．( ×) (5）已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1),B(0，10)，C（8，0），若动点P满足：错误!＝错误!＋t(错误!＋错误!)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0。
2018年北京市高考期末理科数学试题分类汇编之平面向量、线性规划
六、平面向量（一）试题细目表1.（2018•西城期末·6）设是非零向量，且不共线．则“”是“”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C2. （2018·丰台期末·9）已知单位向量,a b r r的夹角为120°，则()a b a +⋅=r r r ．【答案】123.（2018·石景山期末·13）在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若 AM AB AC λμ=+uuu r uu u r uu u r，则λμ+=_________．【答案】124. （2018·昌平区期末·12）已知Rt ABC ∆，1AB AC ==,点E 是AB 边上的动点，则CE AC⋅uur uuu r的值为；CE CB ⋅uur uu r的最大值为 . 【答案】1- ; 25.（2018·房山区期末·9）已知平面向量()2,1=a ，()y b ,2-=，且//，则=y ．【答案】4-6.(2018·朝阳区期末·11)YABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若AF x AB y AE =+u u u r u u u r u u u r（,x y ∈R ），则+=x y _________.,a b ,a b ||||=a b |2||2|+=+a b a b【答案】12七、线性规划（一）试题细目表1.（2018·西城区期末·5）实数满足 则的取值范围是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】D2.（2018·丰台期末·4）若,x y 满足1,1,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】D3.（2018·石景山期末·11）若实数,x y 满足3,,23,x y x y x y +⎧⎪⎨⎪+⎩≤≤≥则3z x y =+的取值范围为_____【答案】[]3,6,x y 2x y -[0,2](,0]-∞[1,2]-[0,)+∞4.（2018通州区期末·7）已知点()2,1A -，点满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，O为坐标原点，那么的最小值是A. 11B. 0C. 1-D. 5-【答案】C5.（2018·昌平区期末·4）设,x y 满足1,1,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩ 则22x y z +=的最大值为A ．14B. 2C. 4D. 16【答案】C6.（2018·房山区期末·3）若变量y x ,满足约束条件0240y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩，则y x z +=的最大值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9【答案】C7.（2018·朝阳区期末·3）在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是A.(00)，B.(20)-，C.(01)-，D. (02)， 【答案】D8. （2018·东城区期末·4）若,x y 满足233y xx y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则x y -的最小值为A.－5B.－3C. －2D. －1【答案】B),(y x P ⋅。
北京市2018届高三数学理一轮复习 4.1 平面向量的概念与线性运算课件 精品
跟踪训练
2．设 D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，AD＝12AB，BE＝23BC. 若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1、λ2 为实数)，则λ1＋λ2 的值为________．
【解析】 D→E＝D→B＋B→E＝12A→B＋23B→C＝12A→B＋23(B→A＋A→C)＝－16A→B＋23A→C， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即 λ1＋λ2＝12.
第四章 平面向量与复数 第一节 平面向量的概念与线性运算
考纲解读
考试内容
平面向量的相关概念 向量加法与减法与向量的数乘
两个向量共线
要求层次
A
B
C
√
√
√
北 京 近 五 年 主 要 考 查．
1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理
解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意
才能得出三点共线)． (3)向量的加、减、数乘运算的结果仍是向量，如 a－a＝0,0·a＝0.Βιβλιοθήκη 考点分类突破考点一
平面向量的概念
1．①若|a|＝|b|，则 a＝b；
②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C是四边形 ABCD 为平行
四边形的充要条件；
③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；
④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b；
解析 M→N＝M→C＋C→N＝13A→C＋12C→B
＝13A→C＋12(A→B－A→C)＝12A→B－16A→C，
∴x＝12，y＝－16.
名师点睛
1．必会结论
(1)三角形内角和定理：在△ABC 中，A＋B＋C＝π，其变式有
最新-北京市2018年高考数学最新联考试题分类大汇编(7)
北京市2018年高考数学最新联考试题分类大汇编一、选择题：3．(北京市西城区2018年1月高三期末考试理科)已知向量=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足，则c 可以是（ ）8. (北京市东城区2018年1月高三考试文科）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA 与OB 关于y 轴对称，向量(1,0)a =，则满足不等式20OA a AB +⋅≤的点(,)A x y 的集合用阴影表示为【答案】C【解析】因为向量OA 与OB 关于y 轴对称，且点(,)A x y ，所以(,)OA x y =，(,)OB x y =-，所以2222211()024OA a AB x y x x y +⋅=+-=-+-≤，所以点(,)A x y 的集合为以1(,0)2为圆心，12为半径的圆的内部。
（4）（2018年4月北京市海淀区高三一模理科）已知向量=(1)=(1)x x ，a b ，，-，若2-a b与b 垂直，则=a（A （B （C ）2 （D ）4【答案】C3. (2018年3月北京市朝阳区高三一模文科)已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为 A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 【答案】C4．(北京市西城区2018年4月高三第一次模拟文)如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是 OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于（ B ） （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】D2. (2018年4月北京市房山区高三一模理科如果(1,)a k =，(,4),b k =那么“a ∥b ”是“2k =-”的 （ B ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. (2018年4月北京市房山区高三一模理科如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则⋅的最大值是 （ A ）（A ）2（B）1（C ）π（D ）4二、填空题：（9）(北京市东城区2018年1月高三考试文科）已知向量(3,2)=--，a m ma=-, (31,4)若a b⊥，则m的值为．。
平面向量 高三 一轮复习(完整版)
题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．一、平面向量的概念及其线性运算 【例1】判断下列命题的真假：1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；3、向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；9、向量与的长度相等；10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量与是两平行向量；14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形；16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍；17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等；19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ或=λ；20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+21、下列命题中：其中正确的是_____________① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+； ④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ⋅=⋅ 则a c =⑥22a a = ；⑦2a b ba a⋅=； ⑧222()a b a b ⋅=⋅ ； ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+二、平面向量平行定理（共线定理）（1）若//(0)a b b ≠⇒（2）若a b λ=共线定理作用（1） （2）【例2】设两个非零向量a 与b不共线,（1）若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证：A..B.D 三点共线;（2） 试确定实数k,使ka b + 和a kb +共线。
北京市2018届高三数学理一轮复习 4.3 平面向量的数量
高三一轮复习 4.3平面向量的数量积及其应用（检测教师版）时间:50分钟 总分：70分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1.已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角等于( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°【答案】 D【解析】 设向量a 与向量a ＋2b 的夹角为θ.∵|a ＋2b |2＝4＋4＋4a ·b ＝8＋8cos 60°＝12，∴|a ＋2b |＝23， a ·(a ＋2b )＝|a |·|a ＋2b |·cos θ＝2×23cos θ＝43cos θ， 又a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝4＋4cos 60°＝6， ∴43cos θ＝6，cos θ＝32， ∵θ∈0°，180°]，∴θ＝30°，故选D.2. 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 【答案】 D【解析】 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.3.【石景山区2016二模理】设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( )A.32B.22C.52D.72 【答案】 A【解析】 设e 1，e 2的夹角为θ，则由以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，得12×1×1×sin θ＝12，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e 1·e 2＝0.从而对e 3＝12e 1＋k e 2两边同时平方得1＝14＋k 2，解得k ＝32或－32(舍去)．4.【西城区2016一模理】已知向量OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →的模的最大值是( )A ．3B ．3 2 C. 2 D ．18 【答案】 B【解析】 由已知易得：OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，故|O A →|2＝(2＋2cos α)2＋(2＋2sin α)2＝10＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤18，即|O A →|≤32，故选B.5.若a 与b －c 都是非零向量，则“a ·b ＝a ·c ”是“a ⊥(b －c)”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 C【解析】 由a·b ＝a·c 得a·(b －c)＝0，又a 与b －c 都是非零向量，∴a ⊥(b －c)． 又由a ⊥(b －c)得a·(b －c)＝0，即a·b ＝a·c ，故a·b ＝a·c 是a ⊥(b －c)的充分必要条件．6．【北京市海淀区2016届高三第一学期期末数学理3】如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+u u u r u u u r u u u r， 则λμ-的值为EA BCDA. 3B.2C. 1D.3- 【答案】 D【解析】 因为E 是DC 的中点，所以1()2AE AC AD =+u u u r u u u r u u u r，∴2AD AC AE =-+u u u r u u u r u u u r ，∴1,2λμ=-=，123λμ-=--=-．. 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7.关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a·b ＝a·c ，则b ＝c .②若a ＝(1，k)，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3.③非零向量a 和b 满足|a|＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)． 【答案】 ②【解析】 命题 ① 明显错误．由两向量平行的充要条件得1×6＋2k ＝0，k ＝－3，故命题②正确．由|a|＝|b|＝|a －b |，再结合平行四边形法则可得a 与a ＋b 的夹角为30°，命题③错误．8.已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________． 【答案】 －2【解析】 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.9.【北京市朝阳区2016届高三第一学期期中数学理10】已知平面向量2113()(-)，，，a =b =．若向量()λ⊥a a +b ，则实数λ的值是 ． 【答案】 5-【解析】 因为平面向量21()，a =r ，13(-)，r b =，所以(2,13)a b λλλ+=-+r r ，由()a a b λ⊥+r r r ，所以()0a a b λ⋅+=r r r，即(2,1)(2,13)02(2)1(13)0λλλλ⋅-+=⇒⨯-+⨯+=，解得5λ=-.10.(北京市朝阳区2016届高三第一学期期中数学理11)如图，在ABCD Y 中，E 是CD 中点，BE xAB yAD =+u u u r u u u r u u u r，则x y += ．【答案】12【解析】 连接BD ，又E 为CD 的中点，所以1122BE BD BC =+u u u r u u u r u u u r又BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ,BC AD =u u ur u u u r ，所以111()222BE AD AB AD AD AB =-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又BE xAB yAD =+u u u r u u u r u u u r ，所以1x =，12y =-，所以12x y +=三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.【解析】 (1)∵a ∥b ，∴θ＝0或π， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝1×2×cos θ＝±2. (2)∵(a －b )⊥a ，∴a ·(a －b )＝0，即a 2－a·b ＝0，∴1－1×2cos θ＝0，∴cos θ＝22. ∵θ∈0，π]，∴θ＝π4.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA→在BC →方向上的投影． 【解析】 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1， 故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.。
北京市2018届高三数学理一轮复习 4.3 平面向量的数量
真题再现
真题再现
知识梳理
1．平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量 |a||b|cos θ , a· b＝|a||b|cos θ . 叫作a和b的数量积(或内积)，记作 规定：零向量与任一向量的数量积为____. 0 b＝0 ，两个非零向量a与 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a· b＝± |a||b| . b平行的充要条件是 a· 2．平面向量数量积的几何意义 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ 的乘 积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e· a＝a· e＝|a|cos θ ；;. b＝0 ； (2)非零向量a，b，a⊥b⇔a· (3)当a与b同向时，a· b＝|a||b| ； 当a与b反向时，a· b＝ －|a||b| ，a· a＝ a2 ，|a|＝ a· a；
标形式，则可根据公式 cos θ＝
3.在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角 等公式，尤其对|a|＝ a·a要引起足够重视，是求距离常用的公式．
跟踪训练2
(1)若 a， b， c 均为单位向量， 且 a·b＝0， (a－c)·(b－c)≤0， 则|a＋b－c|的最大值为 A. 2－1 C. 2 B．1 D．2 ( )
a· b (4)cos θ＝ ； |a||b|
≤ a||b|. (5)|a· b|____| 4．平面向量数量积满足的运算律 a (交换律)； (1)a· b＝b· b＝ ) a· (λb(λ ) 为实数)； (2)(λa)· b＝ λ(a· (3)(a＋b)· c＝ a· c＋b· c. 平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a· b＝x1x2＋y1y2，由此得到 2 2 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝ x ＋y 或|a|＝ x2＋y2 . (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离 |AB|＝ x1－x22＋y1－y22 (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
2018版高考数学理北师大版大一轮复习讲义教师版文档
1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.【知识拓展】1．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么( ) A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对 答案 A2．(教材改编)已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( ) A ．(4,3) B ．(－4，－3) C ．(－3，－4) D ．(－3,4)答案 C解析 a 1＋a 2＋…＋a n －1＝－a n ＝(－3，－4)．3．(2015·课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →等于( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4) 答案 A解析 AB →＝(3,1)，AC →＝(－4，－3)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn＝________.答案 －12解析 由已知条件可得m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．∵m a ＋n b 与a －2b 共线，∴2m －n 4＝3m ＋2n －1，即n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－12.5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． 答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.题型一 平面向量基本定理的应用例1 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.12a ＋14b C.23a ＋13b D.13a ＋23b 答案 C解析 ∵AC →＝a ，BD →＝b ，∴AD →＝AO →＋OD → ＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b . ∵E 是OD 的中点，∴DE EB ＝13，∴DF ＝13AB .∴DF →＝13AB →＝13(OB →－OA →)＝13×[－12BD →－(－12AC →)] ＝16AC →－16BD →＝16a －16b ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋16a －16b＝23a ＋13b ， 故选C.思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案311解析 设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN → ＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫1，83B.⎝⎛⎭⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎫133，43D.⎝⎛⎭⎫－133，－43 (2)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ，则2a －b 等于( ) A ．(4,0) B ．(0,4) C ．(4，－8) D ．(－4,8)答案 (1)D (2)C解析 (1)由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)． 所以c ＝⎝⎛⎭⎫－133，－43. (2)因为向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ， 所以1×4＋2m ＝0，即m ＝－2，所以2a －b ＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)．思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)(2016·北京东城区模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.(2)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A ．(2，72)B ．(2，－12)C ．(3,2)D ．(1,3)答案 (1)4 (2)A解析 (1)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.(2)设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，故选A.题型三 向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 答案 (3,3)解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)． 又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)． 命题点2 利用向量共线求参数例4 (2016·郑州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(12，1＋sin θ)，若a ∥b ，则锐角θ＝________.答案 45°解析 由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，所以cos 2θ＝12，∴cos θ＝22或cos θ＝－22，又θ为锐角，∴θ＝45°.思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(1)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．(2)设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________．答案 (1)(2,4) (2)3＋222解析 (1)∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． (2)由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2， 所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·ba) ＝3＋ 222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．11．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (12分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O为圆心的 AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思想方法指导 建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征． 规范解答解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．[4分]设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[8分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，[10分]又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[12分]1．(2016·江西玉山一中期考)如图，在平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μAB →，则μ的值为( ) A.14 B.13 C.12D ．1答案 C解析 ∵在平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点， ∴AM →＝AD →＋DM → ＝AD →＋12AB →，∵AC →＝λAM →＋μAB →， ∴AC →＝λ(AD →＋12AB →)＋μAB →＝λAD →＋(12λ＋μ)AB →，∵AC →＝AD →＋AB →，∴λ＝1，12λ＋μ＝1，∴μ＝12.2．已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A ．(7,4) B ．(7,14) C ．(5,4) D ．(5,14)答案 D解析 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)．由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 答案 B解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.4．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b答案 B解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .5．(2016·淮南一模)已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →的坐标为( ) A ．(－12，5)B ．(12，5)C ．(12，－5)D ．(－12，－5)答案 D解析 ∵AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴OC →＝12AC →＝(12，5)，∴CO →＝(－12，－5)． 6．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n的值为( ) A ．2 B.52C ．3D ．4 答案 C解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系(图略)，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33， ∴m ＝3n ，即m n＝3，故选C. 7．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．8．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________. 答案 12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2θ＝0，∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12. 9．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________. 答案 43解析 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →， 又AC →＝λAE →＋μAF →＝(12λ＋μ)AB →＋(λ＋12μ)AD →， 于是得⎩⎨⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎨⎧ λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43. 10.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．11．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3. ∴点C 的坐标为(5，－3)．12．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解 (1)由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．13.如图所示，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示；(2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y是定值． (1)解 OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ →.(2)证明 一方面，由(1)，得OG →＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λy OB →；① 另一方面，∵G 是△OAB 的重心，∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →.② 由①②得⎩⎨⎧ (1－λ)x ＝13，λy ＝13.∴1x ＋1y＝3(1－λ)＋3λ＝3(定值)．。
2018届高三一轮测试(理)5平面向量(1)(通用版)
平面向量———————————————————————【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷题目要求的)1．下列命题中不正确的是( )A ．a ∥b ⇔|a ·b |＝|a |·|b |B ．|a |＝a 2C ．a ·b ＝a ·c ⇔b ＝cD ．a ·b ≤|a |·|b |2．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形3. 若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知正三角形ABC 的边长为1，且＝a ，＝b ，则|a －b |＝( )A. 3 B ．3 C. 2 D ．15．已知圆O 的半径为a ，A ，B 是其圆周上的两个三等分点，则·＝( )A.32a 2 B ．－32a 2 C.32a 2 D ．－32a 2 6．在△ABC 中，cos 2B ＞cos 2A 是A ＞B 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数y ＝f (2x －1)＋1的图象按向量a 平移后的函数解析式为y ＝f (2x ＋1)－1，则向量a 等于( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．(－1，－2)D (1，－2) 8．在△ABC 中，已知向量＝(cos 18°，cos 72°)，＝(2cos 63°，2cos 27°)，则△ABC 的面积等于( )A.22B.24C.32D. 2 9．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)．给出下面的结论：①∥；②⊥；③＋＝；④＝－2.其中正确结论的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．AC 边所在的直线上B ．BC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．△ABC 的内部11．已知A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外一点，设＝a ，＝b ，＝c ，且存在实数m ，使m a －3b －c ＝0成立，则点A 分的比为( )A ．－13B ．－12C.13D.1212．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，b 1)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝⎛⎭⎫2，12，n ＝⎝⎛⎭⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足＝m ⊗＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值A 及最小正周期T 分别为( )A ．2，πB ．2,4π C.12，4π D.12，π 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知点P 分有向线段的比为3，则P 1分的比为______．14．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝(4,2)，若a ⊥(b ＋λa )，其中λ∈R ，则λ＝________.15．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且cos B ＝34，若·＝32，则a ＋c ＝________. 16．设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f ，满足对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．若|a |＝|b |且a 、b 不共线，则(f (a )－f (b ))·(a ＋b )＝________；若A (1,2)，B (3,6)，C (4,8)，且f ()＝，则λ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知A (－1,0)，B (0,2)，C (－3,1)，且·＝5，2＝10. (1)求D 点的坐标；(2)若D 的横坐标小于零，试用，表示18．(本小题满分12分)设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2) (1)求证：a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值； (2)求c 在a 方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .19.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且cos2C ＋2cos(A ＋B )＝－32.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积S .20．(本小题满分12分)在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4的值．21.(本小题满分12分)如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2. (1)用θ表示点B 的坐标及|OA |；(2)若tan θ＝－43，求O ·O 的值．答案：卷(五)一、选择题1．C 对于选项C ，当b 、c 不相等且都与a 垂直时，a·b ＝a·c 也成立，故C 不正确，选C.2．A ∵2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－14＜0.则△ABC 是钝角三角形． 故选A.3．C ①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋，＝成立，故选C.4．A 由题意知a 与b 的夹角为180°－60°＝120°，∴a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－12，∴|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3， ∴|a －b |＝ 3.5．B 结合图形易知两向量夹角为5π6，且||＝a ，||＝3a ，故·＝||×||×cos 5π6＝－3a22.6．C cos 2B ＞cos 2A ⇔1－2sin 2B ＞1－2sin 2A ⇔sin 2B ＜sin 2A ⇔sin A ＞sin B ⇔A ＞B . 7．C 设向量a ＝(h ，k )， y ＝f (2x －1)＋1y ＝f [2(x －h )－1]＋1＋k ＝f (2x ＋1)－1，所以h ＝－1，k ＝－2. 8．A 由已知得 ＝(cos 18°，cos 72°) ＝(cos 18°，sin 18°)， B ＝(2cos 63°，2cos 27°) ＝(2sin 27°，2cos 27°)， 故cos ， ＝＝2(cos 18°sin 27°＋sin 18°cos 27°)1×2＝cos45°， 故 ， ＝45°，因此S △＝12||×||×sin 135°＝22.9．D ①由于＝(－2,1)， ＝(2，－1)⇒＝－⇒∥，由共线向量基本定理易知命题正确； ②·＝(2,1)·(－2,1)＝－3≠0，故命题错误； ③＋＝(2,1)＋(－2,1)＝(0,2)＝，命题正确；④＝(－4,0)，－2＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，故命题正确，因此正确结论的个数共有3个，故选D. 10．A 由于＝λ＋ ⇒＋＝λ⇒＝λ，根据共线向量的基本条件， 则C 、P 、A 三点共线，故选A 11．C 由已知得：＝a －b ， ＝c －a ，设a －b ＝λ(c －a )， 即(λ＋1)a －b －λc ＝0， ∴3b ＝(3λ＋3)a －3λc ， 又∵3b ＝m a －c ，∴根据平面向量基本定理得3λ＝1，即λ＝13.故选C.12．C 设P (x 0，y 0)，Q (x ，f (x ))， 则由已知得(x ，f (x ))＝⎝⎛⎭⎫2x 0＋π3，12y 0， 即x ＝2x 0＋π3，∴x 0＝12x －π6.f (x )＝12y 0，∴y 0＝2f (x )．又y 0＝sin x 0，∴2f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6. ∴(f (x ))max ＝12，T ＝2π12＝4π.二、填空题 13．【解析】 ∵P 分有向线段的比为3，∴＝3， 如图，∴＝－43【答案】 －4314．【解析】 ∵a ⊥(b ＋λa )， ∴a ·(b ＋λa )＝0.∴(1，－3)(4＋λ，2－3λ) ＝0，即(4＋λ)－3(2－3λ)＝0.解得λ＝15.【答案】 1515．【解析】 ∵·＝32，∴ac ·cos B ＝32.又∵cos B ＝34，且a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ＝2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得 a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5.∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，即a ＋c ＝3. 【答案】 3 16．【解析】 ∵|a |＝|b |且a 、b 不共线， ∴(f (a )－f (b ))·(a ＋b ) ＝(λa －λb )·(a ＋b )＝λ(|a |2－|b |2)＝0. ∵＝(1,2)，∴f ()＝λ(1,2)，＝(2,4)， ∴λ＝2.【答案】 0,2 三、解答题 17．【解析】 (1)设D (x ，y )，则＝(1,2)，＝(x ＋1，y )． ∴·＝x ＋1＋2y ＝5，① 2＝(x ＋1)2＋y 2＝10.②联立①②，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴D 点的坐标为 (－2,3)或(2,1)．(2)因D 点的坐标为(－2,3)时，＝(1,2)， ＝(－1,3)，＝(－2,1)， 设＝m ＋n ， 则(－2,1)＝m (1,2)＋n (－1,3)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝m －n ，1＝2m ＋3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1. ∴＝－＋.18．(1)【解析】 证明： ∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)， －1×3≠1×4， ∴a 与b 不共线，cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝－4＋32·5＝－210.(2)cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－5－22·29＝－75858，∴c 在a 方向上的投影为|c |cos 〈a ，c 〉＝－722.(3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝－λ1＋4λ2－2＝λ1＋3λ2， 解得λ1＝－237，λ2＝37.19．【解析】 (1)∵cos 2C＋2cos(A ＋B )＝－32，∴2cos 2C －1－2cos C＝－32，∴cos C ＝12.∵0＜C ＜180°，∴C ＝60°.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴7＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，∵a ＋b ＝5，∴7＝25－3ab ， ∴ab ＝6，∴S ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.20．【解析】 (1)在△ABC 中，根据正弦定理，AB sin C ＝BC sin A.于是AB ＝sin Csin ABC ＝2BC＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4 ＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210. 21．【解析】 (1)在Rt △P AB 中，∠APB ＝60°，P A ＝1， ∴AB ＝ 3.在Rt △P AC 中，∠APC ＝30°，∴AC ＝33.在△ACB 中，∠CAB ＝30°＋60°＝90°， ∴BC ＝AC 2＋AB 2＝(33)2＋(3)2＝303. 则船的航行速度为303÷16＝230(千米/时)．(2)在△ACD 中，∠DAC ＝90°－60°＝30°，sin ∠DCA ＝sin(180°－∠ACB )＝sin ∠ACB ＝AB BC ＝3303＝31010，sin ∠CDA ＝sin(∠ACB －30°) ＝sin ∠ACB ·cos30° －cos ∠ACB ·sin30° ＝31010·32 －12·1－(31010)2 ＝(33－1)1020.由正弦定理得ADsin ∠DCA＝AC sin ∠CDA. ∴AD ＝AC ·sin ∠DCAsin ∠CDA＝33·31010(33－1)1020＝9＋313.22．【解析】 (1)由三角函数的定义得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，在△AOB 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ由正弦定理，得|OB |sin π4＝|OA |sin ∠B ，即222＝|OA |sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ所以|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ. (2)由(1)得O ·O ＝|O |·|O |·cos θ＝42sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ·cos θ 因为tan θ＝－43，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以sin θ＝45，cos θ＝－35又sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4·sin θ＝22⎝⎛⎭⎫－35－⎝⎛⎭⎫－22×45＝210.∴·＝42×210×(－35)＝－1225.。
2018版高考数学(理)一轮复习题库：第八章第5讲直线、平面垂直的判定及其性质含解析
第5讲直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．设l,m是两条不同的直线,α是一个平面，则下列命题正确的是（）．A．若l⊥m，m⊂α,则l⊥αB．若l⊥α,l∥m,则m⊥αC．若l∥α,m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β"的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由面面垂直的判定定理，知m⊥β⇒α⊥β。
答案 B3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是()．A．P A＝PB＝PCB．P A⊥BC,PB⊥ACC．点P到△ABC三边所在直线的距离相等D．平面P AB、平面PBC、平面P AC与△ABC所在的平面所成的角相等解析条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件,故选B.答案 B4.如图,在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在（)．A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC,则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．答案 A5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是(）．A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β,m⊥n，则α⊥β解析与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m,可与α平行或相交，故A错；对B,存在n∥α情况，故B错；对D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β,所以m⊥α，故C正确，选C.答案 C6．如图(a），在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF 及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图（b）所示,那么,在四面体A－EFH中必有（)．A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面解析折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH,∴AH⊥面HEF。
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北京市2018届高三理科数学一轮复习试题选编11：平面向量的平行与垂直一、选择题1 ．(2012年广西北海市高中毕业班第一次质量检测数学(理)试题及答案)给定两个向量)4,3(=a ,)1,2(=b ,若)//()(b a b x a -+,则x 的值等于（ ）A ．23 B ．1- C ．1 D ．23-2 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）设向量=,1x （）a , (4,)x =b ,且，a b 方向相反,则x 的值是（ ）A ．2B ．-2C ．2±D ．03 ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知向量,.若,则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．4 ．（2009高考(北京理)）已知向量a 、b 不共线,c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ,那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向5 ．(江西省上高二中2012届高三第五次月考(数学理))已知A(2,-2)、B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且//p AB ,则k 的值为 （ ）A ．910-B ．910C ．1910-D ．19106 ．(广州市2012届高三年级调研测试数学(理科))已知向量()21=，a ,()2x =-，b ,若a∥b ,则a +b 等于 （ ）A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-7 ．(2012年4月上海市浦东高三数学二模(理数))已知非零向量a 、b ,“函数2()()f x a x b =+为偶函数”是“a b⊥”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件8 ．(2011届高考数学仿真押题卷——福建卷(文7))已知向量a=(1,2),b=(-3,2)若ka+b//a-3b,则实数k= （ ）()()3,4,6,3O A O B =-=-()2,1O C m m =+//A B O C m 3-17-35-35A ．31-B ．31 C ．-3 D ．39 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知平面向量,, 且∥, 则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．(2013大纲卷高考数学(文))已知向量()()1,1,2,2,λλ=+=+m n 若()(),+⊥-mn m n 则=λ（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-11．已知向量,,若与共线,则等于 （ ）A ．;B ．C ．D ．12．(2011年高考(重庆文))已知向量a =(1,k ) ,b =(2,2) ,且a b +与a 共线,那么a b ∙的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．413．(2013陕西高考数学(文))已知向量 , 若a //b , 则实数m 等于（ ）A ． B．C ．或D ．014．(惠州市2012届高三第一次调研考试)已知向量(12)a =，,(4)b x =，,若向量a b ⊥,则x = （ ）A ．2B ．2-C ．8D ．8-15．(2013辽宁高考数学(理))已知点()()1,3,4,1,A B A B -则与向量同方向的单位向量为（ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．4355⎛⎫-⎪⎝⎭， 16．(2012年广西南宁市第三次适应性测试(理数))已知向量与的位置关系是（ ）A ．垂直B ．平行C ．相交不垂直D ．不确定17．(2012年高考(福建文))已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b ⊥的充要条件是（ ）A ．12x =-B ．1x =-C ．5x =D ．0x =(2,3)=a (1,2)=-b m n +a b 2-a b nm 2-221-21(1,),(,2)am b m ==2-22-2b ac b a +-===则),2,2(),0,2(),1,1(c b +18．(北京市昌平区2012届高三上学期期末考试试题(数学理))已知向量(1,2)=a ,(,1)k =b , 若向量//a b ,那么k =_______.19．(2013山东高考数学(文))在平面直角坐标系中,已知,,若,则实数的值为______20．(山西省实验中学仿真演练试卷理)、是互相垂直的两个单位向量,且向量与也相互垂直,则_____________.21．(2013上海春季数学(理))已知向量(1 )a k =，,(9 6)b k =-，.若//ab ,则实数 k = __________22．（2011年高考（北京理））已知向量(3,1),a =(0,1),b =-(,3)c k =,若2a b -与c 共线,则k=________.23．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知=(3,2),=(-1,0),向量+与-2垂直,则实数的值为_________24．(2011年高考(北京理))已知向量(3,1),a =(0,1),b =-(,3)c k =,若2a b -与c 共线,则k=________.25．(2012年石景山区高三数学一模理科)设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a,且b a//,则θ2cos =________.26．(高2012级高三(下)第一次月考理科)向量a (1,3)=,b (,9)m =-,若a ∥b ,则m =________. 27．(2012年河北省普通高考模拟考试(文))已知向量a =(-3,4),b =(2,-1),λ为实数,若向量a + λb 与向量b 垂直,则λ=___28．(江苏省2012年5月高考数学最后一卷(解析版))已知平面向量,,且,则实数______.29．（2013北京东城高三二模数学理科）已知向量(2,3)=-a ,(1,)λ=b ,若//a b ,则λ=___.30．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知向量.若为实数,()//a b c λ+,则的值为_____________.1e 2e122e e+12e k e -k=(1,1)a =-(2,1)bx =-ab⊥x=(1,2),(1,0),(3,4)===a b c λλ31．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）已知,,当为何值时,与平行?平行时它们是同向还是反向?(1,2)a=)2,3(-=b k k a+b 3a-b北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编11：平面向量的平行与垂直参考答案一、选择题 1. A 2. B 3. A 4. 【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.取a ()1,0=,b ()0,1=,若1k =,则c =a +b ()1,1=,d =a -b ()1,1=-, 显然,a 与b 不平行,排除A 、B.若1k =-,则c =-a +b ()1,1=-,d =-a +b ()1,1=--, 即c //d 且c 与d 反向,排除C,故选D. 5. D 6. A 7. C 8. A 9. C10. B 【解析】∵()(),+⊥-m n m n ∴()()0+⋅-=m n m n ∴220-=mn即()()2211[24]0λλ++-++=∴3λ=-,故选B.11. C12. 【解析】a b +=(3,2k +), ∵a b +与a , ∴32(2)20k ⨯-+⨯=,解得k =1,∴a b ∙=1212⨯+⨯=4,故选D.13. C 解:,所以选C 14. 【解析】02121=+=⋅y y x x b a .8,08-=∴=+x x 即,故选D. 15. A 解:(3,4)A B =-,所以||5A B=,这样同方向的单位向量是134(,)555A B =-16. A17. 【解析】有向量垂直的充要条件得2(x-1)+2=0 所以x=0 .D 正确【答案】D二、填空题18. 2119.答案:5.解析:∵ ，(1)O A t =-,，(22)O B=,∴(2,2)A B O B O A =-=(1,)(3,2)t t --=-,又∵90A B O ∠=,∴A B O B⊥,∴.221,//),2,(),,1(±=⇒⋅=⋅∴==m m m b a m b m a 且232(2)0A B O B t ⋅=⨯+⨯-=,解得5t =.20. 21. 34-22. 【答案】1【命题立意】本题考查了平面向量的加、减、数乘的坐标运算和共线向量的坐标运算. 【解析】2(3,1)2(0,1)(3,3)a b -=--=,因为2ab-与c 共线,所以3330k ⨯-=,所以1k =23. 1【解析】,因为向量+与-2垂直,所以,即,解得.24. 【答案】1【解析】2(3,1)2(0,1)(3,3)a b -=--=,因为2ab-与c 共线,所以3330k ⨯-=,所以1k=25. 31-26. -3 27. 228. 【解析】本题主要考查平面向量的垂直.【答案】329. 32- ;30. 53λ=12【解析】(1,2)(1,0)(1,2)a b λλλ+=+=+,因为()//a b c λ+,所以4(1)320λ+-⨯=,解得12λ=.三、解答题31.解:因为;又这时,所以当时,与平行,并且是反向的.23(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-(1,2)(3,2)(3,22)k a b k k k +=+-=-+()//(3)k a b a b +-4(3)10(22)k k ∴--=+13k ∴=-104(,)33k ab +=-13k =-k a b +3a b -。