平面弯曲习题解答2
《材料力学》弯曲计算-习题
②无均布载荷段弯矩图均为直线。有均布载荷段，弯矩图为
抛物线，其开口与均布载荷方向相同。
(3)弯矩、剪力、载荷集度的关系
①
M '(x) F S (x) F S'(x) q(x)
② FS=0的点是M图的取极值的点，FS=0的段M图是平行
于轴线的直线。
注意: 内力图上要注明控制面值、特殊点纵坐标值。
利用微分关系绘内力图
y
B截面 30.3 +
z
C截面 15.1 z
-
+
69
34.5
(d) 单位:MPa
Engineering Mechanics
四、弯曲 弯曲强度计算
例3 之二
解：（1）求截面形心轴，即中性轴z轴。
yC
( yi Ai ) Ai
170 30 170 30 200 (170 30)
2
2
17030 30 200
解：（1）外力分析，判变形。
10kN
50kN
(a) A
CD
B
z
4m
2m
4m
求得支坐反力
FA 26kN ,FB 34kN
荷载与梁轴垂直，梁将发
26kN 26 16
34kN
生平面弯曲。中性轴z过形心
+ (b)
与载荷垂直，沿水平方向。
FQ(kN)
104 136
34
（2）内力分析，判危险面。剪力
+
(c)
⑤解题步骤：
1）外力分析，判变形、中性轴，求截面的几何性质、支反力。 2）内力分析，判危险面，画剪力图、弯矩图（可只画弯矩图）
3）应力分析，判危险点。 4）强度计算。
材料力学弯曲变形答案
第一章 绪论一、是非判断题1.1 材料力学的研究方法与理论力学的研究方法完全相同。
( ) 1.2 内力只作用在杆件截面的形心处。
( ) 1.3 杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和。
( ) 1.4 确定截面内力的截面法，适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况。
( ) 1.5 根据各向同性假设，可认为材料的弹性常数在各方向都相同。
( ) 1.6 根据均匀性假设，可认为构件的弹性常数在各点处都相同。
( ) 1.7 同一截面上正应力ζ与切应力η必相互垂直。
( ) 1.8 同一截面上各点的正应力ζ必定大小相等，方向相同。
( ) 1.9 同一截面上各点的切应力η必相互平行。
( ) 1.10 应变分为正应变ε和切应变γ。
( ) 1.11 应变为无量纲量。
( ) 1.12 若物体各部分均无变形，则物体内各点的应变均为零。
( ) 1.13 若物体内各点的应变均为零，则物体无位移。
( ) 1.14 平衡状态弹性体的任意部分的内力都与外力保持平衡。
( )1.15 题1.15图所示结构中，AD 杆发生的变形为弯曲与压缩的组合变形。
( )1.16 题1.16图所示结构中，AB 杆将发生弯曲与压缩的组合变形。
( )二、填空题1.1 材料力学主要研究 受力后发生的 ，以及由此产生的 。
1.2 拉伸或压缩的受力特征是 ，变形特征是 。
1.3 剪切的受力特征是 ，变形特征是 。
1.4 扭转的受力特征是 ，变形特征是 。
B题1.15图题1.16图1.5 弯曲的受力特征是 ，变形特征是 。
1.6 组合受力与变形是指 。
1.7 构件的承载能力包括 ， 和 三个方面。
1.8 所谓 ，是指材料或构件抵抗破坏的能力。
所谓 ，是指构件抵抗变形的能力。
所谓 ，是指材料或构件保持其原有平衡形式的能力。
1.9 根据固体材料的性能作如下三个基本假设 ， ， 。
工程力学第7章 弯曲强度答案
43第 7 章 弯曲强度7－1 直径为 d 的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为 M 的力偶作用，如图所示。
若已知变形后中性层的曲率半径为 ρ ；材料的弹性模量为 E 。
根据 d 、 ρ 、E 可以求得梁所承受 的力偶矩 M 。
现在有 4 种答案，请判断哪一种是正确的。
(A)M ＝E π d 习题 7－1 图(B) 64ρ M ＝64 ρ(C) E π d 4 M ＝E π d(D)32 ρ M ＝ 32ρ E π d 3正确答案是 A 。
7－2关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下 4 种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) 细长梁、弹性范围内加载； (B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内； (C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内； (D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。
正确答案是 C _。
7－3 长度相同、承受同样的均布载荷 q 作用的梁，有图中所示的 4 种支承方式，如果从 梁的强度考虑，请判断哪一种支承方式最合理。
l 5习题 7－3 图正确答案是 d 。
7－4 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。
图中的尺寸单位为 mm 。
求：梁的 1－1 截面上 A 、−⎜ ⎟ A I zB 两点的正应力。
习题 7－4 图解：1. 计算梁的 1－1 截面上的弯矩：M = ⎛1×103N ×1m+600N/m ×1m ×1m ⎞ =−1300 N ⋅ m ⎝2 ⎠ 2. 确定梁的 1－1 截面上 A 、B 两点的正应力：A 点：⎛150 ×10−3 m ⎞ 1300 N ⋅ m ×⎜− 20 ×10−3m ⎟ σ = M z y = ⎝ 2 ⎠＝2.54×106 Pa = 2.54 MPa (拉应力) I zB 点：100 ×10-3m ×(150 ×10-3m )3121300N ⋅ m ×⎜ 0.150m − 0.04m ⎟⎛ ⎞ σ = M z y ⎝ 2 ⎠ =1.62 ×106 Pa =1.62MPa(压应力) B ()127－5 简支梁如图所示。
平面弯曲
•
有
EIz
1 M = M及 = ρ ρ EIz
式中，1/ρ表示中性层的曲率。反映梁产生弯曲变 形的程度；EIz表示梁抵抗弯曲变形的能力，称为 抗弯刚度。由式(4-44)可知，在指定截面上M为一 定值时，梁的抗弯刚度越大，曲率越小，梁的弯 曲变形也越小。 将 σ = E ⋅ ε = E y 代入得
ρ
My σ = Iz
式(4-45)是计算梁在纯弯曲时横截面上任意一点的 正应力公式。 式中，M——横截面上的弯矩； y——所求点到中性轴的距离； Iz——整个截面对中性轴的惯性矩。 正应力σ的正负号可根据变形判断，以中性轴为界 ，变形后凸边的纤维受拉，应力为正(拉 应力) ，凹边的纤维受压，应力为负(压应力)。
(2) 求梁的最大正应力值，及最大正应力值发生的 位置。该梁为等截面梁，在全梁范围内惯性矩为 一常数，任意截面的上下边缘至截面中性轴的距 离均相等。所以最大正应力发生在最大弯矩截面 的上下边缘处。 则最大正应力为
M max
ql 2 2 × 52 = = kN ⋅ m = 6.25kN ⋅ m 8 8 M max ymax M max h 6.25 × 106 × 200 = = = = 6.25N/mm 2 = 6.25MPa 8 IZ 2I Z 2 × 10
距中性轴y处的纵向纤维 a1a2的原长为，变形后 的长度，所以纤维的 伸长量为，相应的纵 向线应变为： ydφ y ε= = ρ dφ ρ 上式表明：各纤维的纵 向线应变与它到中性 层的距离成正比
距中性层最远的上、下 边缘处的线应变最大 ，而中性层上线应变 为零。
2. 物理方面 假设梁在纯弯曲时纵向 纤维之间无挤压作用 ，梁内各点处于单向 受力状态，材料在线 弹性范围内。则
平面弯曲习题解答
..第8-9章 平面弯曲主要知识点：（1）平面弯曲的概念；（2）平面弯曲内力——剪力和弯矩； （3）剪力图和弯矩图； 平面弯曲内力——剪力和弯矩1. 计算下图所示各梁1、2、3、4截面上的剪力和弯矩。
解：a) （1）考虑整体平衡，可解A 、D 支座反力03251321,0)(21=⨯+⋅⨯-⋅⨯⨯-=∑=D ni i A F m kN m kN F M 得 kN F D 83.3=0513,01=+-⨯-=∑=D A ni iy F kN kN F F得 kN F A 17.4=（2）计算截面1处的剪力和弯矩假想截面在1处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。
013,011=-⨯-=∑=Q A ni iy F kN F F得 kN F Q 17.11=011321,0)(1121=+⨯-⋅⨯⨯-=∑=M F m kN F M Q ni i A 得 m kN M ⋅=67.21(3) 计算截面2处的剪力和弯矩假想截面2在处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。
013,021=-⨯-=∑=Q A ni iy F kN F F得 kN F Q 17.12=011321,0)(2221=+⨯-⋅⨯⨯-=∑=M F m kN F M Q ni i A 得 m kN M ⋅=67.22(4) 计算截面3处的剪力和弯矩假想截面在3处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。
05,031=+-=∑=D Q ni iy F kN F F得 kN F Q 17.13=01,0)(31=⨯+-=∑=D ni i C F M F M得 m kN M ⋅=83.33(5) 计算截面4处的剪力和弯矩假想截面在4处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。
0,041=+=∑=D Q ni iy F F F得 kN F Q 83.34-=01,0)(41=⨯+-=∑=D ni i C F M F M得 m kN M ⋅=83.34b) （1）考虑整体平衡，可解A 、C 支座反力05.41244,0)(1=⋅⨯⨯-⨯+⋅=∑=m kN F m kN F M C ni i A得 kN F C 25.1=012,01=⨯-+=∑=kN F F F C A ni iy得 kN F A 75.0=..（2）计算截面1处的剪力和弯矩假想截面在1处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。
弯曲复习题及答案
第一章概述第二章冲裁第三章弯曲第四章拉深第五章其它成形工艺第六章冲压工艺规程第一章一 . 填空题1 . 冷冲模是利用安装在压力机上的模具对材料施加变形力，使其产生变形或分离，从种压力加工方法。
2 . 因为冷冲压主要是用板料加工成零件，所以又叫板料冲压。
3 . 冷冲压不仅可以加工金属材料材料，而且还可以加工非金属材料。
4 . 冲模是利用压力机对金属或非金属材料加压，使其产生分离或变形而得到所需要冲件的工5 . 冷冲压加工获得的零件一般无需进行机械加工加工，因而是一种节省原材料、节省能耗的的加工方法。
6 . 冷冲模按工序组合形式可分为单工序模具和组合工序模具，前一种模具在冲压过程中生量大时，一般采用后一种摸具，而这种模具又依组合方式分为复合模、级进模、复合 - 级进模等组7 . 冲模制造的主要特征是单件小批量生产，技术要求高，精度高，是技术密集型生产。
8 . 冲压生产过程的主要特征是，依靠冲模和压力机完成加工，便于实现自动化化，生产率很高9 冲压件的尺寸稳定，互换性好，是因为其尺寸公差由模具来保证。
二 . 判断题（正确的打√，错误的打×）1 . 冲模的制造一般是单件小批量生产，因此冲压件也是单件小批量生产。
（×）2 . 落料和弯曲都属于分离工序，而拉深、翻边则属于变形工序。
（×）3 . 复合工序、连续工序、复合—连续工序都属于组合工序。
（√）4 . 分离工序是指对工件的剪裁和冲裁工序。
（√）5 . 所有的冲裁工序都属于分离工序。
（√）6 . 成形工序是指对工件弯曲、拉深、成形等工序。
（√）7 . 成形工序是指坯料在超过弹性极限条件下而获得一定形状。
（√）8 . 把两个以上的单工序组合成一道工序，构成复合、级进、复合 - 级进模的组合工序。
（×9 . 冲压变形也可分为伸长类和压缩类变形。
（√）10. 冲压加工只能加工形状简单的零件。
（×）11 . 冲压生产的自动化就是冲模的自动化。
弯曲工艺及弯曲模具设计-习题题目练习(附答案)
第三章弯曲工艺及弯曲模具设计复习题答案一、填空题1 、将板料、型材、管材或棒料等弯成一定角度、一定曲率，形成一定形状的零件的冲压方法称为弯曲。
2 、弯曲变形区内应变等于零的金属层称为应变中性层。
3 、窄板弯曲后起横截面呈扇形状。
窄板弯曲时的应变状态是立体的，而应力状态是平面。
4 、弯曲终了时，变形区内圆弧部分所对的圆心角称为弯曲中心角。
5 、弯曲时，板料的最外层纤维濒于拉裂时的弯曲半径称为最小弯曲半径。
6 、弯曲时，用相对弯曲半径表示板料弯曲变形程度，不致使材料破坏的弯曲极限半径称最小弯曲半径。
7、最小弯曲半径的影响因素有材料的力学性能、弯曲线方向、材料的热处理状况、弯曲中心角。
8 、材料的塑性越好，塑性变形的稳定性越强，许可的最小弯曲半径就越小。
9 、板料表面和侧面的质量差时，容易造成应力集中并降低塑性变形的稳定性，使材料过早破坏。
对于冲裁或剪切坯料，若未经退火，由于切断面存在冷变形硬化层，就会使材料塑性降低，在上述情况下均应选用较大的弯曲半径。
轧制钢板具有纤维组织，顺纤维方向的塑性指标高于垂直于纤维方向的塑性指标。
10 、为了提高弯曲极限变形程度，对于经冷变形硬化的材料，可采用热处理以恢复塑性。
11 、为了提高弯曲极限变形程度，对于侧面毛刺大的工件，应先去毛刺；当毛刺较小时，也可以使有毛刺的一面处于弯曲受压的内缘（或朝向弯曲凸模），以免产生应力集中而开裂。
12 、为了提高弯曲极限变形程度，对于厚料，如果结构允许，可以采用先在弯角内侧开槽后，再弯曲的工艺，如果结构不允许，则采用加热弯曲或拉弯的工艺。
13 、在弯曲变形区内，内层纤维切向受压而缩短应变，外层纤维切向受受拉而伸长应变，而中性层则保持不变。
14 、板料塑性弯曲的变形特点是：（ 1 ）中性层内移（ 2 ）变形区板料的厚度变薄（ 3 ）变形区板料长度增加（ 4 ）对于细长的板料，纵向产生翘曲，对于窄板，剖面产生畸变。
15 、弯曲时，当外载荷去除后，塑性变形保留下来，而弹性变形会完全消失，使弯曲件的形状和尺寸发生变化而与模具尺才不一致，这种现象叫回弹。
平面弯曲概念及计算简图72梁内力弯矩图
C
A
B D
2m
4m
2m
QB左 RB 3.5KN QB右 0
二、剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程：用函数表达式表示沿梁轴线各
横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程
和弯矩方程 。
即：
Q = Q (x )
M = M（x）
剪力图和弯矩图 绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出 梁的 剪力方程 和 弯矩方程 ，然后根据它们作图。 剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧 弯矩图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧
RB
P1a l
P2b
记 E 截面处的剪力 为 QE 和弯矩 ME ， 且假设 QE 和弯矩 ME 的指向和转向 均为 正值。
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE
RA
ME
A
E
C
b
y 0, RA QE 0 RA
a
mE 0, M E RA c 0 A
E
c 解得
P1 P2
RB
P=50KN yC ' yC
mA
XA
AE
C
xc ' xc
xc ' xc
RA
mA 0, mA 311.5 501 96.5kN m
§7—2 梁的内力· 弯矩图
一、梁的剪力和弯矩
１、Q 和 M 的定义与计算
a
P
m
A
B
m x
a
P
m
用截面法假想地在
A
B
m
弯曲变形例题
・利用边界条件确定积分常数：
①在铰支座上，挠度v等于零
②在固定端，挠度v和转角θ均为零
③在弯曲变形的对称点上，转角θ等于零
④挠曲线是一条光滑和连续的曲线
第7页/共65页
求弯曲变形的二个方法： 1.用直接积分法求梁的弯曲变形（积分常数，分段）
挠曲线方程：
i
d 2 i
dxi 2
M (xi ) EI
C
qa3 6EI
16
第16页/共65页
例5-2：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。
解：
表7.1中没有
表7.1中序号4，
表7.1中序号7
挠度向上为正
5q (2a)4 vC 384EI
Pa(2a)2 0
16EI
P 5 qa
6
17第17页/共65页 Nhomakorabea 第七章
例6-1 试用叠加法求简支梁在图示载荷作用下跨度中 点C的挠度。
2) 分别求出简单载荷作用时外伸端B的变形：
表7.1-5
(b )
(d)
固定端虽有载荷，但对DB 段的转角和挠度均无影响
载荷P引起D 截面的转角
DP
BP
qa(2a)2 16EI
qa3 4EI
均布载荷q引起B 截面的挠度和转角
表7.1-3
f qa4 Bq 8EI
Bq
qa3 6EI
弯矩引起D 截面的转
刚化BC段，BC为自由端。???取而代之均布载荷的等效
载荷为作用在B截面上的弯矩和集中载荷；由表7.1查取。
平面系内力的迁移。。。
25
第25页/共65页
习题7.8c EI为常量，用叠加法求图示外伸梁B端的θ和ν。
解:1)把复合载荷分解成二个简单
建筑力学—弯曲变形及答案
第七章 组合变形本章主要讨论建筑工程中常见的组合变形的强度计算问题。
其中斜弯曲、拉（压）与弯曲、偏心拉（压）组合变形的强度计算问题是本章的重点。
第一节 组合变形的概念前面的章节分别研究了杆件在轴向拉（压）、剪切、扭转、平面弯曲基本变形下的强度和刚度计算。
但在工程实际中，结构中一些杆件的受力情况是复杂的，往往同时发生两种或者两种以上的基本变形，这种由两种或两种以上的基本变形组合而成的变形称为组合变形。
例如，图7-1a 所示的烟囱，除自重引起的轴向压缩外，还有水平方向的风力引起的弯曲变形，即同时产生两种基本变形。
又如，图7-1b 所示的备有吊车的厂房柱，作用在立柱上的荷载1F 和2F ,其合力的作用线一般不在立柱轴线上，此时，立柱即发生压缩变形又发生弯曲变形。
再如，图7-1c 所示的曲拐轴，在荷载F 作用下，曲拐AB 段同时发生扭转和弯曲变形。
上述这些杆件的变形，都是结构杆件发生组合变形的工程实例。
图7-1由上一章梁的弯曲可知：外力沿横向作用在梁的纵向对称平面内，梁将发生平面弯曲变形。
那么，外力虽然沿梁的横向（垂直于轴线），但不作用在纵向对称平面内时，梁会发生怎样的变形呢?实验及理论研究得知，此时梁轴线变形后弯成的曲线已不在荷载的作用平面内，即不属于平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲。
若外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力作用仍在纵向对称平面内，梁将发生拉（压）与弯曲组合变形。
若作用外力虽然沿杆件轴向方向，但不与轴线重合，杆件也将发生拉（压）与弯曲组合变形，称为偏心拉（压）。
对发生组合变形的杆件计算应力和变形时，可将荷载进行简化或分解，使简化或分解后得到的静力等效的荷载，每类荷载各自只引起一种基本变形，分别计算，再进行叠加，就得到由原来的荷载所引起的组合变形的应力和变形，这就是组合变形的分析方法和组合变形计算的叠加原理。
这里需要强调的是：叠加原理是在满足小变形和力与位移成线性关系的条件下才适用。
本章将主要讨论斜弯曲、拉压与弯曲、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算问题。
弹性力学：平板弯曲问题 (2) 薄板弯曲经典解法
16q0
6
Dmn
m2 a2
n2 b2
2
(m 1,3,5, ; n 1,3,5, )
代入式（10.22）,即得挠度的表达式 (受均布载荷)
m x n y
w 16q0
sin sin
a
b
D 6 m1,3,5,n1,3,5,
mn
m2 a2
n2 b2
2
（10.24）
由此可以用公式（10.11）求得内力的表达式。
y
2
w
t2 4
z 2
（10.5）
其中，D称为板的抗弯刚度，其表达式为
D Et3
12(1 2 )
（10.6）
最后，次要应力分量σZ,可根据z方向的平衡方程求得。
z xz yz
z
x y
将式（10.5）代入上式得
x
z
6D t3
4
w
t2 4
z 2
积分上式得
z
6D t3
4
w
t2 4
在边界上
w n 0
D 4 w q
将式(10.18)代入式(10.8)得
D
24 m a4
16 m a2b2
24m
b4
q
解得m并代入式(10.18)得
w
q
x a
2 2
y2 b2
2 1
8D
3 a4
2 a2b2
3 b4
这就是夹支边椭圆薄板在均布载荷作用下的挠度 表达式。
有了挠度表达式，就可以求的内力。
y2 b2
2
1
（10.18）
o
a
y 图10.6 椭圆板
弯曲模设计习题(附答案).docx
弯曲模设计习题1填空题(1)弯曲变形区________________ 的金属层称为应变中性层。
(2)窄板弯曲后的横截面呈______________ 形状。
窄板弯曲时的应变状态是的，而应力状态是o(3)弯曲终了时，称为弯曲中心角。
(4)弯曲时，板料的最外层纤维濒于拉裂时的弯面半径称为。
(5)弯曲时，用表示板料弯曲变形程度，不致使材料破坏的弯曲极限半径称。
(6)材料的塑性________ ,塑性变形的稳定性越强，许可的最小弯曲半径就。
⑺板料表面和侧面的质量差时，容易造成应力集中并降低塑性变形的，使材料过早破坏。
对于冲裁或剪切坯料，若未经退火，由于切断面存在冷变形硬化层，就会使材料,在上述情况下均应选用的弯曲半径。
轧制钢板具有纤维组织，纤维方向的塑性指标高于纤维方向的塑性指标。
(8)为了提高弯曲极限变形程度，对丁经冷变形硬化的材料，可采用以恢复塑性。
对于侧面毛刺大的工件，应_________ ；当毛刺较小时，也可以使有毛刺的一面处于,以免产生应力集中而开裂。
对于原料，如果结构允许，可以采用先,再的工艺，如果结构不允许，则采用的工艺。
(9)在弯曲变形区内，内层纤维切向____________ 应变，外层纤维切向受____________ 应变，而中性层。
(10)板料塑性弯曲的变形特点是：、、、对于细长的板料，纵向产生翘曲，对于窄板，剖面产生畸变。
(11)弯曲时，当外载荷去除后，塑性变形,而弹性变形, 使弯曲件,这种现象叫回弹。
其表现形式有、两个方面。
(12) ____________________________________ 相对弯曲半径r/t越大，则回弹量_______________________________________ 。
(13)弯曲变形程度用来表示。
弯曲变形程度越大，回弹,弯曲变形程度越小，回弹。
I(14)在实际生产中，要完全消除弯曲件的回弹是不可能的，常采取, , 等措施来减少或补偿回弹产生的误差,以提高弯曲件的精度。
第6章+平面弯曲变形分析
(3)固定端 力学符号如图6-3（c）所示。固定端对 梁有三个约束力，即水平约束力、垂直约束力和 约束力偶。
图6-3 梁常见支撑与约束力
§14-3 弯曲梁的内力
弯曲梁的概念及其简化
❖ 杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到 垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线 变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的 变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。
图6-5简支梁受力分析
从上面的分析可知：
梁的任一横截面上的剪力，在数值 上等于作用在该横截面左边或右边梁 上所有横向外力的代数和；梁的任一 横截面上的弯矩，在数值上等于作用 在该横截面左边或右边梁上的所有外 力(包括力偶)对该截面形心之矩的代数 和。
梁的内力
❖ 剪力FQ ❖ 弯矩MC
梁内力的正负规定
q(x)>0,抛物线，上凹 q(x)<0,抛物线，下凹 FQ =0,抛物线有极值
斜率由突变 图形成折线
有突变 突变量=M
❖ M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m
解：求A、B处支反力
FAY=3.5kN;FBY=14.5KN 剪力图：如图，将梁分为三段
AC：q=0,FQC= FAY CB：q<0,FQB=-8.5kN BD：q<0,FQB=6kN 弯矩图：
FBy
Ga l
2〉求x截面内力
a) 0<x<a
FQ1
FAy
Gb l
b) a<x<l
M1
FAy
x
Gb l
x
FQ2
FAy
G
10-2平面弯曲
例题 图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化 后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大 正应力σmax和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b) 的正应力σa。
解：（1）作弯矩图 ：（1
FA = FB = 75KN
危险截面在C处 危险截面在 处
FA FB
x y
（4）组合截面 ）
I x = ∑ I xi
I y = ∑ I yi
组合截面对任一轴的惯 性矩＝ 性矩＝各个组成部分对同 一轴的惯性矩的和 x
三、平行移轴公式
x1 , y1 ——任意一对坐标轴 任意一对坐标轴 y1 C —— 截面形心 （a , b ) _____ 形心 c 在 x1y1 坐标系 下的坐标。 下的坐标。 x, y ——过截面的形心 c 且与 x1 , y1 过截面的形心 标轴（形心轴） 轴平 行的坐 标轴（形心轴） b o
My σ= IZ
等直梁纯弯曲时横截面上任一点处 正应力的计算公式 M y 横截面上的弯矩 求应力的点到中性轴的距离 横截面对中性轴的惯性矩
σ dA
Z
y
Iz
说明： 说明：
My σ = IZ
1、公式的适用范围 、 材料服从胡克定律， 材料服从胡克定律，拉伸和压缩 胡克定律 时的弹性模量相等 弹性模量相等的条件下才能 时的弹性模量相等的条件下才能 应用。 应用。
l1 = ( ρ + y )dθ
( ρ + y )dθ ρdθ ε= ρdθ
=
y
ρ
(c)
物理方面 纯弯曲时， 纯弯曲时，横截面上各点均处于单轴应力状态
σ =Eε ε
ε=
y
ρ
σ=
Ey
工程力学习题库-弯曲变形
第8章 弯曲变形本章要点【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。
剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。
【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：yερ=物理关系：Ey σρ=静力关系：0N AF dA σ==⎰，0y AM z dA σ==⎰，2zz AAEI EM y dA y dA σρρ===⎰⎰中性层曲率：1MEIρ=弯曲正应力应力：，My Iσ=，max max z M W σ=弯曲变形的正应力强度条件：[]maxmax zM W σσ=≤ 2. 弯曲切应力矩形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F bh F S S 2323max ==τ工字形梁弯曲切应力：dI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F dh F S S ==max τ圆形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F S 34max =τ弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max3. 梁的弯曲变形梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x =-梁的转角方程：1()dwM x dx C dx EIθ==-+⎰ 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎰⎰ 练习题一. 单选题1、 建立平面弯曲正应力公式zI My /=σ,需要考虑的关系有（）。
查看答案A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系B 、变形几何关系，物理关系，静力关系；C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系D 、平衡关系, 物理关系，静力关系；2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（）来确定积分常数。
查看答案A 、平衡条件B 、边界条件C 、连续性条件D 、光滑性条件3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（）。
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第8-9章 平面弯曲主要知识点：（4）纯弯曲时梁的正应力；（5）常用截面惯性矩、平行移轴公式； （6）弯曲正应力强度计算； （7）梁的弯曲变形。
纯弯曲时梁的正应力；7. 简支梁的尺寸如图所示，作用有载荷集度为20kN/m 的均布载荷，梁截面是宽度为100mm ，高为120mm 的矩形，求： （1）1-1截面的a 、b 、c 点的正应力； （2）梁的最大正应力。
解：如图8-7所示，由结构受力的对称性，可知=A F kN kN F B 3032021=⨯⨯=。
AB 梁的弯矩方程为21030)(x x x M -=。
图8-7（1）1-1截面的a 、b 、c 点的正应力1截面的弯矩为m kN m kN M ⋅=⋅⨯-⨯=20)110130(21，计算截面对中性轴 z 的惯性矩45433331044.112)10120(1010012m m bh I Z ---⨯=⨯⨯⨯==代入公式（7-8）得到aa Z a a MP P I y M 3.831044.1101202110205331-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯==--σ（压应力）a a Zb b MP P I y M 6.551044.110201202110205331-=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-⨯⨯==--σ（压应力） a a Z c c MP P I y M 3.831044.1101202110205331=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯==--σ（拉应力）（2）梁的最大正应力由弯矩图可知，梁中点C 弯矩最大，5.22max =M m kN ⋅。
在C 截面上下边缘受到梁的最大正应力a a ZMP P I h M 8.931044.11012021105.222533max max =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯=⨯=--σ8. 如图所示外伸梁，截面为圆环，外径为100mm,内径为60mm ，求B 截面处a 、b 点的正应力。
解：B 截面弯矩110⨯-=B M m kN ⋅，计算截面对中性轴 z 的惯性矩46444441027.464)060.0100.0(64)(m m d D I Z -⨯=-=-=ππB 截面处a 、b 点的正应力aa Z a B a MP P I y M 1171027.410100211010633=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯-==--σ（拉应力）aa Zb B b MP P I y M 3.701027.41060211010633=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯-==--σ（拉应力）常用截面惯性矩、平行移轴公式9. 求图示二图形对z 轴的惯性矩，尺寸单位为mm 。
z 2030804040z（1） （2）解：（1）求各组成部分对z 轴的惯性矩 （2）求各组成部分对z 轴的惯性矩4624321105.138080406440128080mm A a I I I II z z z I II ⨯=⨯⨯+⋅-⨯=+==I π()443442321107.10124020107.311050530121050mm I mm A a I I II I z II z z ⨯=⨯=⨯=⨯⨯-+⨯=+=I截面对z 轴的惯性矩截面对z 轴的惯性矩46m m 100.27⨯=+=I I I z z z I I I44444mm 104.42mm 107.10107.31⨯=⨯+⨯=+=I II z z z I I I弯曲正应力强度计算；10. 吊车梁跨度为8m ，选用No32b 工字钢，单位长度自重为566N/m ，起重量为32kN ，工字钢的许用应力][σ=120MP a ，试校核该梁的强度。
图8-10解：如图7-27所示，由结构受力的对称性，可知=A F =B F kN kN 26.18328566.0(21=+⨯⨯） 梁AC 段的弯矩方程为 )40(,283.026.18)(2≤≤-=x x x x M 梁CB 段的弯矩方程为 )84(,)8(283.0)8(26.18)(2≤≤-⨯--⨯=x x x x M 梁的弯矩图如图7-27所示，跨中截面C 处为危险截面，有最大弯矩m kN m kN M ⋅=⋅⨯-⨯=5.68)4283.0426.18(2max查工字钢表，No32b 工字钢的3726cm W z =，由公式（7-9）得到危险点的弯曲正应力a a z MP P W M 3.9410726105.6863max max =⨯⨯==-σ工字钢的许用应力][σ=a MP 120，满足][max σσ≤的强度条件。
故梁的强度足够。
11. 如图所示外伸梁，C 截面作用有集中力20kN ，梁采用工字钢，材料的许用应力][σ=160MP a ，试选择工字钢的型号。
解：由整体平衡方程，求得支座反力kN F A 67.6=，kN F B 7.26=，梁的弯矩图如图8-11所示，B 截面处弯矩m kN M M B ⋅-==20max 。
由弯曲正应力强度条件][W M zmaxmax σ≤=σ得： 33463max 1251025.1101601020][cm m P M W az =⨯=⨯⨯=≥-σ查工字钢表，16工字钢的3141cm W z =，略大于所需的z W ，故选用16工字钢。
图8-11图8-1212. 如图所示简支梁。
采用22a 工字钢，材料许用应力][σ=160MP a ，试确定许可载荷F 。
解：设许可载荷F 单位为牛顿，由整体平衡方程，求得支座反力F F A =，0=D F 。
梁的弯矩图如图8-12所示，B 截面处弯矩F M M B 2max ==，单位为m N ⋅。
查工字钢表，22a 工字钢的3309cm W z =。
由弯曲正应力强度条件][maxmax σσ≤=zW M 得： m N m N W F M z ⋅=⋅⨯⨯⨯=≤=-494401016010309][266max σ即许可载荷N F 3107.24⨯≤。
13. T 字形铸铁梁的载荷、截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力][+σ=40MP a ，许用压应力][-σ=100MPa ，截面惯性矩47100125.6mm I z ⨯=。
试校核该梁的正应力强度。
图8-13解：（1）求支座反力由整体平衡方程（见图8-13a ）：0)(1=∑=ni i B F M , 04320210=⨯+⋅⨯-⋅⨯D F m kN m kN 01=∑=ni iy F ， 02010=+-+-D B F kN F kN得到： kN F D 10=，kN F B 20= （2）作梁的弯矩图，如图8-13b 所示，B 截面处产生最大负弯矩，C 截面处产生最大正弯矩，B 截面处下侧纤维受压，上侧纤维受拉；C 截面处下侧纤维受拉，上侧纤维受压。
如图8-13c 所示。
B 、C 截面都应进行强度校核。
计算B 截面的最大拉、压正应力a a z B BMP P I y M 1.24100125.6105.7210205331=⨯⨯⨯⨯==--+σ a a z B B MP P I y M 4.52100125.6105.15710205332=⨯⨯⨯⨯==---σ计算C 截面的最大拉、压正应力a a z C CMP P I y M 2.26100125.6105.15710105332=⨯⨯⨯⨯==--+σa a z C C MP P I y M 1.12100125.6105.7210105331=⨯⨯⨯⨯==---σ 因此，最大的拉、压正应力分别为MPa MP a C 40][2.26max =<==+++σσσ a a B MP MP 100][4.52max =<==---σσσ所以梁满足弯曲正应力强度条件。
梁的弯曲变形14. 用积分法计算图示各梁指定截面的变形，梁的抗弯刚度EI 为已知。
（a ）（b ）解：a ）建立Axy 坐标系，梁任一截面的弯矩方程为221)(qx x M -=将上式积分两次，可得转角及挠度C qx EI +-=361θ （a ）D Cx qx EIy ++-=4241 （b ）边界条件：x=l 时，y=0，0=θ（c ）将式(c)代入式(a)、（b ），可求得积分常数EI ql C 63=， EIql D 84-= 因此可得转角方程和挠度方程)(633x l EI q -=θ （d ）)43(24434x x l l EIq y +--= （e ）把x =0代入式（d ）、（e ），得截面A 的转角和挠度EI ql A 63=θ (逆时针转动)， EIql y A 84-=（向下）b ）建立Axy 坐标系，梁任一截面的弯矩方程为x lMM x M +-=)(将上式积分两次，可得转角及挠度C Mx EIl Mx EI ++-=2211θ （a ）D Cx Mx EIlMx EI y +++-=326121 （b ）将边界条件x=0时，y=0；x=l 时，y=0代入式(a)、（b ），可求得积分常数EIMlC 3=， 0=D 因此可得转角方程和挠度方程EIMl Mx EIlMx EI32112++-=θ （c ）把x =0、x=l 代入式（c ），得截面A 、截面B 的转角EIMl A 3=θ (逆时针转动)， EIMl B 6-=θ(顺时针转动)15. 用叠加法计算图示各梁指定截面的变形，各梁的抗弯刚度EI 为已知。
（a ） （b ）解：a ) 梁上载荷可分解成作用在C 点的集中力F 和作用在B 点的集中力F （见图8-15a ）的叠加，截面C 的挠度和转角应是以上两个力引起的挠度和转角的叠加。
查表9-1可得这两种情况下截面C 的挠度和转角EI Fl EI Fl y C C 2,32131-=-=θEIFl EI l F EI Fl l l EI l F y C C 82)5.0(,485)5.03(6)5.0(222322-=-=-=-⨯-=θ图8-15a叠加：EI Fl EI Fl EI Fl y y y C C C 167485333321-=--=+=(↓) EIFl EI Fl EI Fl C C C 858222221-=--=+=θθθ (顺时针转动)b ) 梁上载荷可分解成作用在C 点的集中力ql 和作用在AB 梁的均布载荷q （见图8-15b ）图8-7 题8-7c的叠加，截面C 的挠度应是以上两种载荷引起的挠度的叠加，端部A 的转角应是以上两种载荷引起的转角的叠加。
查表9-1可得这两种情况下截面C 的挠度和端部A 的转角EI ql EI ql y A C 16,483141-=-=θ EIql EI ql y A C 24,38453242-=-=θ 叠加：EI ql EI ql EI ql y y y C C C 3841338454844421-=--=+=(↓)EIql EI ql EI ql A A A 485241633321-=--=+=θθθ (顺时针转动)16. 如图所示悬臂梁，作用有均布载荷q ，集中力F ，已知q =4kN/m ，F =10kN ，材料的弹性模量E =200GP a ，梁截面为矩形，宽b =100mm ，高h =120mm ，梁的跨度l =0.864m,梁的许的许用挠度400][lf =，试校核该梁的刚度。