山东省沂水县高考数学一轮复习 函数系列之函数概念与表示学案(无答案)
高三 一轮复习 函数的概念及其表示 教案
函数及其表示1．函数映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B 如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几种函数组成．[试一试]1．(2013·苏锡常镇一调)已知常数t是负实数，则函数f(x)＝12t2－tx－x2的定义域是________．2．(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f (f (0))＝________.求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)解方程组法：已知关于f (x )与f⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )． [练一练]1．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于________．2．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (x )＝________.考点一函数与映射的概念1.下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填写序号) ①y ＝x －1与y ＝(x －1)2 ②y ＝x －1与y ＝x －1x －1③y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2 ④y ＝lg x －2与y ＝lg x1002．以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？ (1)f 1：y ＝xx ；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2；f 2：x x ≤1 1<x <2 x ≥2 y123(3)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．[类题通法]两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如：f (x )＝2x －1，g (t )＝2t －1，h (m )＝2m －1均表示同一函数．考点二函数的定义域问题函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分.归纳起来常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域；(2)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域； (3)已知定义域确定参数问题.角度一 求给定函数解析式的定义域1．(1)(2013·山东高考改编)函数f (x )＝ 1－2x ＋1x ＋3的定义域为________．(2)(2013·安徽高考)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．角度二 已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域 2．已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域．角度三 已知定义域确定参数问题3．(2014·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．[类题通法]简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．考点三求函数的解析式[典例] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．(4)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．[类题通法]求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法；(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)； (3)配凑法； (4)解方程组法． [针对训练]1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．考点四分段函数[典例] (2011·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[类题通法]分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． [针对训练]设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[课堂练通考点]1．(2013·南京一模)函数y ＝2x －x 2的定义域是________．2．(2013·苏北四市二调)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x <0，－2－x ， x >0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是________．。
高三数学第一轮复习 函数的概念及表示教案 文
函数的概念与表示一、 知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页） 1、 函数 （1）、函数的定义：（2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A ，值域C ，对应法则f ，当定义域A ，对应法则f 相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式： 自然型；限制型；实际型；抽象型；（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法 2、 映射映射的定义： 函数与映射的关系：函数是特殊的映射 3、分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同，则可以用多个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。
4、函数解析式求法求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 二、题型探究探究一：求函数的定义域 例1：1. 【15年新课标2文科改编】如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B ，本题在解题时，突破点可以抓住定义域。
2、函数y=253x x --的值域是{y|y≤0或y≥4},则此函数的定义域为________.解析:∵y≤0或y≥4,∴253x x --≤0或253x x --≥4.∴52≤x<3或3<x≤72.答案: 52≤x<3或3<x≤72. 探究二：求函数的解析式 例2．（1）.（15年新课标2文科）已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式（2）.已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）.已知是定义在实数R 上的奇函数，当，,的解析式。
高三数学第一轮复习第02讲 函数概念与表示教案
《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座第二讲函数概念与表示一．课标要求1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
二．命题走向函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。
从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。
高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。
预测2020年高考对本节的考察是：1．题型是1个选择和一个填空；2．热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。
三．要点精讲1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。
【人教版】2020届高考数学一轮复习 第4讲 函数及其表示学案(无答案)文
C．4D．5
〖概括小结〗映射与函数的含义
(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．
(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数．
(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时游刃有余．
常用结论记心中，快速解题特轻松：
1．映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！
2．函数问题定义域优先！
3．抽象函数不要怕，赋值方法解决它！
4．分段函数分段算，然后并到一起保平安．
本课时主要涉及到三类题型：函数的三要素，分段函数，函数的解析式．通过例题的讲解(有些题目直接源于教材)，一方面使学生掌握各类题型的解法；另一方面，也要教给学生把握复习的尺度，教学大纲是高考命题的依据，而教材是贯彻大纲的载体，研习教材是学生获取知识、能力的重要途径．
(3)函数f(x)的图像与直线x＝1的交点最多有2个．
(4)y＝2x(x∈{1，2})的值域是2，4.
(5)y＝lnx2与y＝2lnx表示同一函数．
(6)f(x)＝ 则f(－x)＝
2．已知f(x＋1)＝x2－1，则f(x)＝________．
3.函数y＝f(x)的图像如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中 只与x的一个值对应的y值的范围是________．
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2.函数
(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
2023年高考数学一轮复习第二章函数1函数的概念及其表示练习含解析
函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理 1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．( × ) (3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．( × ) (4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，x 2，x ＜0的定义域为R .( √ )教材改编题1．下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是( )答案 C2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x 答案 AC3．(2022·长沙质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．－1B ．2C.3D.12答案 D解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 312<0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝31log 23＝12.题型一 函数的定义域例1 (1)(2022·武汉模拟)函数f (x )＝1ln x ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，解得－1<x ≤2且x ≠0， 所以x ∈(－1,0)∪(0,2]．所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．(2)若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数f (x －1)的定义域为________． 答案 [1,3]解析 ∵f (x )的定义域为[0,2]， ∴0≤x －1≤2，即1≤x ≤3， ∴函数f (x －1)的定义域为[1,3]．延伸探究 将本例(2)改成“若函数f (x ＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f (x －1)的定义域为________． 答案 [2,4]解析 ∵f (x ＋1)的定义域为[0,2]， ∴0≤x ≤2， ∴1≤x ＋1≤3， ∴1≤x －1≤3， ∴2≤x ≤4，∴f (x －1)的定义域为[2,4]． 教师备选1．(2022·西北师大附中月考)函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( ) A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案 B解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，解得x >2或x ≤－6.因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝x1－2x ，则函数f x －1x ＋1的定义域为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(－1,1) 答案 D解析 令1－2x>0， 即2x<1，即x <0.∴f (x )的定义域为(－∞，0)．∴函数f x －1x ＋1中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1.故函数f x －1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．思维升华 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求复合函数的定义域①若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域．②若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域． 跟踪训练1 (1)函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)的定义域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，14 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 答案 B解析 要使函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－4x 2>0，3x －1>0⇒13<x <12. ∴函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. (2)已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x的定义域为__________． 答案 [－1,0]解析 由条件可知，函数的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ≤2，1－2x≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]． 题型二 函数的解析式例2 (1)(2022·哈尔滨三中月考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝lg2x －1(x >1) 解析 令2x＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1， 所以f (t )＝lg 2t －1(t >1)， 所以f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，∴2ax ＋b ＝2x ＋2， 则a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c ， 又f (x )＝0，即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根． ∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(3)已知函数对任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝2x ，则f (x )＝________. 答案 23x解析 ∵f (x )－2f (－x )＝2x ，① ∴f (－x )－2f (x )＝－2x ，② 由①②得f (x )＝23x .教师备选已知f (x )满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，则f (x )＝________.答案 －2x 3－43x解析 ∵f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，①以1x代替①中的x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝2x，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x，∴f (x )＝－2x 3－43x.思维升华 函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法． 跟踪训练2 (1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，则f (x )＝________. 答案 －x 2＋2x ，x ∈[0,2] 解析 令t ＝1－sin x ， ∴t ∈[0,2]，sin x ＝1－t ，∴f (t )＝1－sin 2x ＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t ，t ∈[0,2]， ∴f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]．(2)(2022·黄冈质检)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝x 4＋1x4，则f (x )＝__________.答案 x 2－2，x ∈[2，＋∞)解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x22－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)． 题型三 分段函数例3 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cosπx ，x ≤1，f x －1＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为( ) A.12B ．－12C ．－1D ．1 答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cosπ3＋1＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝cos2π3＝－12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝32－12＝1.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3，x >0，x 2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________． 答案 1或－3 [－5，－1]解析 ①当a >0时，2a＋3＝5，解得a ＝1； 当a ≤0时，a 2－4＝5， 解得a ＝－3或a ＝3(舍)． 综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1. 由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1. 教师备选1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <1，则f (f (2022))等于( )A ．－32B.22C.32D. 2 答案 B解析 f (2022)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2022π＋π6＝sin π6＝12，∴f (f (2022))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22. 2．(2022·百校联盟联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0，－x 2，x <0，若对于任意的x ∈R ，|f (x )|≥ax ，则a ＝________. 答案 0解析 当x ≥0时，|f (x )|＝x 3≥ax ，即x (x 2－a )≥0恒成立，则有a ≤0； 当x <0时，|f (x )|＝x 2≥ax ，即a ≥x 恒成立， 则有a ≥0，所以a ＝0.思维升华 分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3 (1)(2022·河北冀州一中模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋1，x <1.则f (f (－1))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3 解析 ∵f (－1)＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝2＋22－3＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，f (x )min ＝22－3， 当x <1时，f (x )＝x 2＋1≥1，x ＝0时取等号， ∴f (x )min ＝1，综上有f (x )的最小值为22－3.(2)(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析 当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)， 等价于x 2－1<(x ＋1)2－1， 解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1， 此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，f (x )<f (x ＋1)⇔log 2x <log 2(x ＋1)恒成立．综上知，不等式f (x )<f (x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.课时精练1．(2022·重庆模拟)函数f (x )＝3－xlg x的定义域是( ) A ．(0,3) B ．(0,1)∪(1,3) C ．(0,3] D ．(0,1)∪(1,3]答案 D解析 ∵f (x )＝3－xlg x，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，lg x ≠0，x >0，解得0<x <1或1<x ≤3，故函数的定义域为(0,1)∪(1,3]．2．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]． 3．(2022·安徽江淮十校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －12，x <1，a x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝8，则a 等于( ) A.12 B.34 C ．1 D ．2答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝4×78－12＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝f (3)＝a 3，得a 3＝8，解得a ＝2.4．设函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x1－x(x ≠－1) B.1＋xx －1(x ≠－1) C.1－x1＋x(x ≠－1) D.2xx ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t 1＋t ，即f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．5．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点，当P 沿A －B －C －M 运动时，设点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 A解析 由题意可得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x ＜1，34－x4，1≤x ＜2，54－12x ，2≤x ≤52.画出函数f (x )的大致图象，故选A.6．(多选)下列函数中，与y ＝x 是同一个函数的是( ) A ．y ＝3x 3B ．y ＝x 2C ．y ＝lg10xD ．y ＝10lg x答案 AC解析 y ＝x 的定义域为x ∈R ，值域为y ∈R ，对于A 选项，函数y ＝3x 3＝x 的定义域为x ∈R ，故是同一函数；对于B 选项，函数y ＝x 2＝||x ≥0，与y ＝x 的解析式、值域均不同，故不是同一函数；对于C 选项，函数y ＝lg10x＝x ，且定义域为R ，故是同一函数；对于D 选项，y ＝10lg x＝x 的定义域为(0，＋∞)，与函数y ＝x 的定义域不相同，故不是同一函数．7．(多选)(2022·张家界质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤a ，2x，x >a ，若f (1)＝2f (0)，则实数a可以为( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 AB 解析 若a <0，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立； 若0≤a <1，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立； 若a ≥1，则f (0)＝1，f (1)＝0，f (1)＝2f (0)不成立． 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．8．(多选)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是( ) A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝ln1－x1＋xC ．f (x )＝1ex x-D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1答案 AD解析 对于A ，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意； 对于B ，f (x )＝ln1－x1＋x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于C ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝111e xx -＝ex －1，－f (x )＝1ex x--≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，不满足；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )满足“倒负”变换，故选AD.9．已知f (x 5)＝lg x ，则f (100)＝________. 答案 25解析 令x 5＝100， 则x ＝15100＝2510， ∴f (100)＝25lg 10＝25.10．函数f (x )＝ln(x －1)＋4＋3x －x 2的定义域为________． 答案 (1,4]解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，4＋3x －x 2≥0，解得1<x ≤4，∴f (x )的定义域为(1,4]．11．(2022·广州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 解析 ∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ≥ln1＝0， 又f (x )的值域为R ，故当x <1时，f (x )的值域包含(－∞，0)．故⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，1，x >0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．答案 [－2,0)∪(0,1] 解析 当x <0时，f (x )＝x ， 代入xf (x )＋x ≤2得x 2＋x －2≤0， 解得－2≤x <0； 当x >0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得0<x ≤1. 综上有－2≤x ＜0或0＜x ≤1.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0) D ．(－∞，0)答案 D解析 当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x <0.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1λ∈R，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是______． 答案 [2，＋∞) 解析 当a ≥1时，2a≥2. ∴f (f (a ))＝f (2a)＝22a＝2f (a )恒成立．当a <1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立， 由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2， 综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．15．(多选)若函数f (x )满足：对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则称函数f (x )具有H 性质．则下列函数中具有H 性质的是( )A ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝x 2(x ≥0) D ．f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2 答案 ACD解析 若对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的中点在点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的上方，如图⎝⎛⎭⎪⎫其中a ＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，b ＝f x 1＋f x 22.根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝ln x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2的图象可知，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2具有H 性质，函数f (x )＝ln x 不具有H 性质．16．设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝2f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，－1<x <0，b e 2x，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a b 的取值范围为________． 答案 (2e ，＋∞)解析 因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝(2)2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2e b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＝2(a －1)， 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以2(a －1)＝2e b ， 所以a ＝2e b ＋1， 因为b 为正实数， 所以a b＝2e b ＋1b＝2e ＋1b∈(2e ，＋∞)，故a b的取值范围为(2e ，＋∞)．。
山东省沂水县高考数学一轮复习函数系列之二次函数学案
二次函数一、教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．二、教学重点：1．二次函数的图象与性质、二次函数、二次方程与二次不等式的关系是重点，2．二次函数最值问题、一元二次方程根的分布及二次函数的图象性质灵活应用是难点。
三、教学过程： （一）主要知识：一）正比例函数，一次函数，反比例函数 1.正比例函数 )0(≠=k kx y2.一次函数 )0(≠+=k b kx y 其图象为一直线，0>k 时增函数，0<k 时减函数。
而0=k 时为常数函数。
3.反比例函数 )0(≠=k xky 定义域),0()0,(+∞⋃-∞，值域),0()0,(+∞⋃-∞，图象是双曲线，0>k 时在),0()0,(+∞-∞和上递减，0<k 时在),0()0,(+∞-∞和递增。
二）二次函数1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，其中a 是开口方向与大小，c 是Y 轴上的截距，而ab 2-是对称轴。
(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两根式（因式分解）：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标。
求一个二次函数的解析式需三个独立条件，如：已知抛物线过三点，已知对称轴和两点，已知顶点和对称轴。
又如，已知f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，方程f(x)-x=0的两根为21,x x ，则可设f(x)-x=()()(),21x x x x a x x f --=-或()()()x x x x x a x f +--=21。
2．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴abx 2-=，顶点坐标)44,2(2ab ac a b -- （1）a>0时，抛物线开口向上，函数在]2,(a b --∞上单调递减，在),2[+∞-ab上单调递增，a b x 2-=时，ab ac x f 44)(2min -=（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在]2,(a b --∞上单调递增，在),2[+∞-ab上单调递减，a b x 2-=时，ab ac x f 44)(2max -=3．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)当042>-=∆ac b 时图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0),M 2(x 2,0)ax x x x x x M M ∆=-+=-=2122121214)( 4．二次函数与一元二次方程关系方程)0(02≠=++a c bx ax 的根为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)0=y 的x 的取值。
【2022高考数学一轮复习(步步高)】第二章 §2.1 第1课时 函数的概念及其表示
§2.1函数的概念及其表示考试要求 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数的概念一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．微思考1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有多少个交点？提示0个或1个．2．函数定义中，非空数集A ，B 与函数的定义域、值域有什么关系？ 提示 函数的定义域即为集合A ，值域为集合B 的子集．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的函数．( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)y ＝x －3＋2－x 是一个函数．( × )(4)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭的曲线．( × )题组二 教材改编 2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为________． 答案 [0,2)∪(2，＋∞)解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0解得x ≥0且x ≠2，∴原函数的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (2)＝________.答案 2解析 f (2)＝f (1)＝21＝2.4．函数f (x )＝x －1x 在区间[2,4]上的值域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤32，154解析 f (x )＝x －1x 在区间[2,4]上单调递增，又f (2)＝32，f (4)＝154，故f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤32，154.题组三易错自纠5．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()答案 C解析A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确．6．已知f(x)＝x＋x－1，则f(x)＝________.答案x2＋x－1，x≥0解析令t＝x，则t≥0，x＝t2，∴f(t)＝t2＋t－1(t≥0)，∴f(x)＝x2＋x－1，x≥0.第1课时函数的概念及其表示题型一函数的概念1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()答案 C2．(多选)下列各组函数相等的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1 B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x 答案 AC3．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .答案 ③解析 ③中，f ：x →y ＝23x ，x ∈[0,4]时，y ＝23x ∈⎣⎡⎦⎤0，83⊈Q ，故不满足函数的定义． 思维升华 (1)函数的定义要求第一个非空数集A 中的任何一个元素在第二个非空数集B 中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．题型二 求函数的解析式例1 求下列函数的解析式：(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式； (4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式． 解 (1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]， 则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]． 即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， ∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17. 即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7.∴f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋7. (4)(方程组法)∵2f (x )＋f (－x )＝3x ，①∴将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 由①②解得f (x )＝3x . 思维升华 函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 跟踪训练1 (1)若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则f (x )＝________. 答案1x －1(x ≠0且x ≠1) 解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．(2)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，∴2ax ＋b ＝2x ＋2，则a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c ，又f (x )＝0，即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根． ∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1. (3)已知f (x )满足f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，则f (x )＝________. 答案 －2x 3－43x解析 ∵f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，①以1x 代替①中的x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x －2f (x )＝2x ，② ①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x ，∴f (x )＝－2x 3－43x .题型三 分段函数命题点1 求分段函数的函数值例2 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值为( ) A.12 B ．－12 C ．－1 D ．1 答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫43＝f ⎝⎛⎭⎫43－1＋1＝f ⎝⎛⎭⎫13＋1＝cos π3＋1＝32， f ⎝⎛⎭⎫－43＝cos ⎝⎛⎭⎫－4π3＝cos 2π3＝－12， ∴f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝32－12＝1.命题点2 分段函数与方程、不等式问题例3 (1)(2021·长春模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 A解析 ∵f (1)＝21＝2，∴f (a )＋2＝0，∴f (a )＝－2， 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－2，∴a ＝－3， 当a >0时，f (a )＝2a ＝－2，方程无解， 综上有a ＝－3.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，11－x ，x <1，则不等式f (x )≤1的解集为( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，0]∪(1,2]C ．[0,2]D ．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析 ∵当x ≥1时，log 2x ≤1，∴1≤x ≤2. 当x <1时，11－x ≤1，解得x ≤0，∴f (x )≤1的解集为(－∞，0]∪[1,2]． 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练2 (1)(2021·河北冀州一中模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，x 2＋1，x <1.则f (f (－1))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3 解析 ∵f (－1)＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝2＋22－3＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，f (x )min ＝22－3， 当x <1时，f (x )＝x 2＋1≥1，x ＝0时取等号， ∴f (x )min ＝1，综上有f (x )的最小值为22－3.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析 当x >12时，2x ＋122x ->1恒成立，∴x >12，当0<x ≤12时，2x ＋x －12＋1>1，即2x ＋x >12恒成立，∴0<x ≤12，当x ≤0时，x ＋1＋x －12＋1>1，解得－14<x ≤0，综上有x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 课时精练1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 图象①关于x 轴对称，x >0时，每一个x 对应2个y ，图象②中x 0对应2个y ，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x >0，则f (f (8))等于( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．2答案 C解析 ∵f (8)＝1－log 28＝1－3＝－2， ∴f (f (8))＝f (－2)＝2－2＋1＝12. 3．设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x 1－x(x ≠－1) B.1＋x x －1(x ≠－1) C.1－x 1＋x (x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t1＋t，即f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．4.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个选项中的图象，只有选项A 符合条件．5．(多选)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (a )＝12的a 的值为( )A ．－1B ．1 C.22D. 2 答案 ACD解析 由题意知，若a ≤0，则2a ＝12，解得a ＝－1；若a >0，则|log 2a |＝12，解得a ＝122或a ＝122-.即a ＝2或a ＝22.故选ACD. 6．(多选)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是( ) A ．y ＝x －1xB ．y ＝ln 1－x1＋xC ．1ex xy -=D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1答案 AD解析 对于A ，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意； 对于B ，f (x )＝ln 1－x 1＋x ，则f ⎝⎛⎭⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于C ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝111ex x-＝ex －1，－f (x )＝1exx--≠f ⎝⎛⎭⎫1x ，不满足；对于D ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )满足“倒负”变换，故选AD. 7．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝________. 答案 15lg 2解析 令x 5＝2，则x ＝152，∴f (2)＝15lg 2＝15lg 2.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x <1，2x －1，x ≥1，若f (f (－1))＝3，则b ＝______.答案 3解析 ∵f (－1)＝b －1， ∴f (b －1)＝3，当b －1≥1即b ≥2时， 2b －1－1＝3，解得b ＝3，当b －1<1即b <2时，b －1＋b ＝3，解得b ＝2(舍)，综上有b ＝3.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋1，x <0，2x ，x ≥0，则满足f (a )>1的实数a 的取值范围是________． 答案 (－2,0)∪(0，＋∞)解析 因为f (a )>1，①⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥0，2a >1，解得a >0， ②⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－a 2－2a ＋1>1，解得－2<a <0. 由①②知－2<a <0或a >0.10．已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1x f (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝________，f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 答案 72 94解析 令x ＝2，可得f ⎝⎛⎭⎫12＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f ⎝⎛⎭⎫12＝－1，② 联立①②解得f (－2)＝72，f ⎝⎛⎭⎫12＝94. 11．已知函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5，x ≤0，x ＋5，0<x ≤1，－2x ＋8，x >1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫1π，f (－1)的值； (2)画出这个函数的图象；(3)求f (x )的最大值．解 (1)∵32>1， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝－2×32＋8＝5. ∵0<1π<1， ∴f ⎝⎛⎭⎫1π＝1π＋5＝5π＋1π. ∵－1<0，∴f (－1)＝－3＋5＝2.(2)这个函数的图象如图．在函数f (x )＝3x ＋5的图象上截取x ≤0的部分，在函数f (x )＝x ＋5的图象上截取0<x ≤1的部分，在函数f (x )＝－2x ＋8的图象上截取x >1的部分．图中实线组成的图形就是函数f (x )的图象．(3)由函数图象可知，当x ＝1时，f (x )取最大值6.12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m ，求行驶的最大速度．解 (1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧ 402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0， 所以y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x 100≤25.2， 得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70 km/h.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 画出f (x )的图象如图所示，由图知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>2x ，2x <0， 解得x <0，故x 的取值范围是(－∞，0)．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 当a ＝0时，显然不成立．当a >0时，不等式a [ f (a )－f (－a )]>0等价于a 2－2a >0，解得a >2. 当a <0时，不等式a [ f (a )－f (－a )]>0等价于－a 2－2a <0，解得a <－2. 综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．15．设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝2f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，－1<x <0，b e 2x ，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a b的取值范围为________． 答案 (2e ，＋∞)解析 因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＋4＝(2)2f ⎝⎛⎭⎫12＝2e b ，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋2＝2f ⎝⎛⎭⎫－12＝2⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－12＋a ＝2(a －1)，因为f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫32， 所以2(a －1)＝2e b ，所以a ＝2e b ＋1，因为b 为正实数，所以a b ＝2e b ＋1b ＝2e ＋1b∈(2e ，＋∞)， 故a b的取值范围为(2e ，＋∞)． 16．已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)求f (2)与f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)与f ⎝⎛⎭⎫13； (2)由(1)中求得的结果，你能发现f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 有什么关系？证明你的发现；(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 021)＋f ⎝⎛⎭⎫12 021的值． 解 (1)由f (x )＝x 21＋x 2＝1－1x 2＋1， 所以f (2)＝1－122＋1＝45，f ⎝⎛⎭⎫12＝1－114＋1＝15. f (3)＝1－132＋1＝910，f ⎝⎛⎭⎫13＝1－119＋1＝110. (2)由(1)中求得的结果发现f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明如下：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋1x 21＋1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 021)＋f ⎝⎛⎭⎫12 021＝1. ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 021)＋f ⎝⎛⎭⎫12 021＝2 020.。
高考数学一轮复习10函数及其表示学案理
第十课时函数及其表示课前预习案1.了解构成函数的要素；了解映射的概念；2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用；4.会求一些简单函数的定义域．1.函数与映射的概念．2.函数的相关概念（1）函数的三要素是、和．（2）相等函数：如果两个函数的和完全一致，则这两个函数相等．3.函数的表示方法表示函数的常用方法有：、、．4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数；分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数．1.已知集合{}1,1,2,4M =-，{}0,1,2N =，给出下列四个对应法则：①2y x =；②1y x =+；③2x y =；④2l o g ||y x =，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ） A ．① B ．② C ．③D ．④2.下列各组函数中表示相等函数的是（ ） A ．()f x x =与2()g x =B ．()||f x x =与()g x =C ．()||f x x x =与22 (0)() (0)x x g x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩D ．21()1x f x x -=-与()1(1)g t t t =+≠3.已知函数23 (0),()log (0),x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩那么1()4f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（ ） A ．9B ．9-C ．19D ．19-课堂探究案考点1 函数的概念【典例1】下列四组函数中，表示相等函数的是（ ） A．()f x()g x =．()f x =2()g x =C ．21()1x f x x -=-与()1g x x =+D ．()||f x x =与()g t =【变式1】有以下判断：（1）||()x f x x =与 1 0,() 1 0.x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数； （2）函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个； （3）2()21f x x x =-+与2()21g t t t =-+是同一函数； （4）若()|1|||f x x x =--，则1()02f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 其中正确判断的序号是 ．考点2 函数的表示方法【典例2】已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[](1)f g = ；满足[][]()()f g x g f x >的x 的值是 ．考点3 求函数的定义域【典例3】（1）函数的y =的定义域为（ ）A ． []4,1-B ．[)4,0-C ．(]0,1D ．[)4,0- (]0,1（2）已知函数(21)f x +的定义域为(0,1)，则()f x 的定义域是 ．【变式2】（1）（2011江西）若()f x =，则()f x 的定义域为（ ）A ．1(,0)2- B ．1(,0]2-C ．1(,)2-+∞D ．(0,)+∞（2）若函数(2)x f 的定义域是[]1,1-，则2(log )f x 的定义域为 ．考点4 分段函数【典例4】设函数122 (1),()1log (1),x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞【变式3】（1）设函数2 (0),() 2 (0).x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x的方程()f x x =的解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（2）已知函数2 1 (0),() 1 (0),x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x -<的x 的取值范围是 ．1.设集合A 和集合B 都是实数集R ，映射”“B A f →:把集合A 中元素x 映射到集合B 中的元素13+-x x ，则在映射f 下，象1的原象所成的集合是（ ）{}1 B 、{}11-0，， C 、{}0 D 、{}2-1-0，，2.给定映射f ：（x ，y ）→（x ，x ＋y ），在映射f 下象（2，3）的原象是（a ，b ），则函数f （x ）＝ax 2＋bx 的顶点坐标是________。
高三数学一轮复习第3讲函数概念与表示教案
函数概念与表示函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分 段 函 数典题导入(2012·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ∈－∞，，x 2，x ∈[1，＋，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．当x <1时，由f (x )>4，得2－x>4，即x <－2； 当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2.若本例条件不变，试求f(f(－2))的值．解析：选D ∵x 2＋2≥2，∴0<1x 2＋2≤12.∴0<y ≤12. 3．(2012·山东高考)函数f (x )＝1x ＋＋ 4－x 2的定义域为( )A ．B ．(－1,0)∪(0,2]C ．D ．(－1,2]解析：选B x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2.4．(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0，得x ≥4且x ≠5.答案：{x |x ≥4，且x ≠5}5．(教材习题改编)若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________． 解析：∵x 有意义，∴x ≥0.又y ＝x 2＋3x －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－94－5，∴当x ＝0时，y min ＝－5.答案： 求函数的值域，不但要重视对应关系的作用， 而且还要特别注意函数定义域．典题导入(1)(2012·大连模拟)求函数f (x )＝x 2－2x9－x2的定义域； (2)已知函数f (2x)的定义域是，求f (x )的定义域．(1)要使该函数有意义，需要⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0，9－x 2>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >2，－3<x <3，解得－3<x <0或2<x <3，所以所求函数的定义域为(－3,0)∪(2,3)． (2)∵f (2x)的定义域为， 即－1≤x ≤1，∴12≤2x≤2，⎣⎢⎡12，若本例(2)条件变为：函数f (x )的定义域是，求f (log ≤1，∴12≤⎣⎢⎡12，1．(1)函数y ＝2x －x 2x －的定义域是________．解析：(1)由⎨⎪x －，得⎨⎪x ≠1，⎦⎥⎤－∞，2＝x ＋1的值域为＝x ＋1＝x ＋1＝－x ＋1，因为≠0，所以－≠1，(2)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨x 3－2，x ∈，2]，精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
山东省沂水县第一中学高考数学一轮复习 三角函数模型的简单应用学案 新人教A版必修5
山东省沂水县第一中学高考数学一轮复习学案：三角函数模型的简单应用教学目的：1、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；2、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；3、体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
教学重点、难点重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质。
难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题。
教学过程：一、复习引入：简单介绍大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等，说明这些现象都蕴含着三角函数知识二、讲授新课：例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14（2）写出这段曲线的函数解析式． 解：（1（2）从图可以看出：从6～14是b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期的图象，∴86142=-=T ∴16=T ∵ωπ2=T ，∴8πω=又∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==-=20210301021030b A ∴⎩⎨⎧==2010b A ∴20)8sin(10++=ϕπx y将点)10,6(代入得：1)43sin(-=+ϕπ， ∴Z k k ∈+=+,23243ππϕπ， ∴Z k k ∈+=,432ππϕ，取43πϕ=， ∴)146(,20)438sin(10≤≤++=x x y ππ。
例2．画出函数x y sin =的图象并观察其周期．分析与简解：如何画图？法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；从图中可以看出，函数x y sin =是以π为周期的波浪形曲线．例3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是δϕθ--=90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？分析与简解：与学生一起学习并理解教材解法（地理课中已学习过），指出该实际问题用到了三角函数的有关知识．例4. 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++．（１） 求这一天的最大温差；（２） 写出这段曲线的函数解析式．答案：解：（１）由图可知，这段时间的最大温差是20℃．（２）从图中可以看出，从6~14时的图象是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期的图象，所以 ()13010102A =-=， 1(3010)202b =+=， θφφ-δδ太阳光∵121462ω=-π， ∴8ω=π． 将6x =，10y =代入上式，解得34ϕ=π． 综上，所求解析式为310sin 2084y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ，[]6,14x ∈． 四、课堂练习：课本第73页练习第1、2、3题五、课堂小结六、作业：课本第73页习题A 组第1、2、3、4题。
山东省沂水县高考数学一轮复习 函数系列之函数与方程学案(无答案)
函数与方程知识梳理1 _____________________________________叫做函数的零点。
2. 函数的零点存在定理_________________________________________________________ 重点难点聚焦重点：通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数的观点处理问题的能力。
难点：函数零点存在性的判定，用二分法求函数的零点。
再现型题组：1. 若函数()f x 唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内， 那么下列命题中正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间(0,1)内有零点B ．函数()f x 在区间(0,1)或(1,2)内有零点C ．函数()f x 在区间[)2,16内无零点D ．函数()f x 在区间(1,16)内无零点2. 若函数()(0a 1)x f x a x a a =--≠＞），且有两个零点,则实数a 的取值范围是 .3.设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定巩固型题组：4.若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f5.如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()6,2-B ．[]6,2-C ．{}6,2-D ．()(),26,-∞-+∞6.已知函数2()1f x x =-，则函数(1)f x -的零点是__________提高型题组：7.已知函数22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围。
山东省沂水县高考数学一轮复习 函数系列之函数的奇偶
函数的奇偶性知识梳理1.什么是奇函数_____________________________________________________________ 2什么是偶函数3.奇函数偶函数的图像特征________________________________ 4奇函数偶函数的性质. _______________________________ 重点难点聚焦：1使学生了解奇偶性的概念,会利用定义判断简单函数的奇偶性2在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法. 再现型题组：1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是（ ）A ．奇函数非偶函数B ．偶函数非奇函数C ．奇函数且偶函数D ．非奇非偶函数2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ）A .奇函数B .偶函数C .既奇又偶函数D .非奇非偶函数 3.函数cos622x xxy -=-的图像大致为巩固型题组：4. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg (12+x -x ); (2)f (x )＝2-x +x -2(3) f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x.5.定义在（-1，1）上的奇函数f（x）是减函数，且f(1-a)+f(1-a2)<0,求a的取值范围提高型题组6.已知函数21()(,,)axf x a b c Nbx c+=∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f=<且()[1,)f x+∞在上是增函数,(1)求a,b,c的值;(2)当x∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.7.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．反馈型题组 8下列四个命题：（1）f （x ）=1是偶函数；（2）g （x ）=x 3，x ∈（－1，1]是奇函数；（3）若f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则H （x ）=f （x ）·g （x ）一定是奇函数； （4）函数y =f （|x |）的图象关于y 轴对称，其中正确的命题个数是 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．49.下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是( )A.()sin f x x =B.()1f x x =-+C.()1()2x x f x a a -=+ D.2()2xf x lnx-=+ 10若y =f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y =f （x ）上的是（ ） A ．（a ，f （－a ）） B ．（－sin a ，－f （－sin a ））C ．（－lg a ，－f （lga1）） D ．（－a ，－f （a ）） 11. 已知f （x ）=x 4+ax 3+bx －8，且f （－2）=10，则f （2）=_____________。
2021-2022年高考数学一轮复习函数的定义与表示教案(无答案)
2021年高考数学一轮复习函数的定义与表示教案（无答案）一、考纲要求：函数的概念(B 级要求)二、复习目标：理解函数的概念，会判断同一函数；会选择恰当的方法表示函数且能求常见函数的函数值；能写出简单情境中的分段函数；会画函数的图象．三、重点难点：会判断同一函数、选择恰当的方法表示函数、求常见函数的函数值．四、要点梳理：(1)函数的定义域、值域：在函数中，所有的输入值组成的集合叫做函数的；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的 ，函数的值域是集合B 的 ．（2）函数的三要素：___________,__________,___________.(3) 相等函数：________________________________________________________．3．函数的表示方法：___________,__________,___________.4．分段函数：________________________________________________________．五、基础自测：1．设集合{}{}|12,|14A x x B x x =≤≤=≤≤，有以下四个对应法则：①；②；③；④，其中不能构成从到的函数的是2．以下给出的对应法则是从集合到B 的映射的有 (填序号)．①集合{}A P P =是数轴上的点，集合，对应法则数轴上的点与它所代表的实数对应；②集合{}A P P =是平面直角坐标系中的点，集合，对应法则平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合{},A x x =是三角形集合，对应法则每一个三角形都对应它的内切圆；④集合，集合{}B x x =是致远中学的学生，对应法则每一个班级都对应班里的学生.则((1))__________;(())(())f g f g x g f x =>的．4．下列函数中：22lg (1);(2);(3)10;(4)lg10,x x x y y y y x====与函数表示同一函数的是 5．若()()()()11f a b f a f b f +==且，()()()()()()232014122013f f f f f f +++= ． 六、典例精讲:例1:求函数的解析式及函数值（1）已知求；（2）已知是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求；（3）定义在上的函数满足2(2000)(),((6))(2000)n n f n f f n n +≤⎧=⎨->⎩求的值．变式：（1）设则；(2) 已知2211()1(0),f x x x x x +=++>则 ； （3）设，则 ． 例2： 已知函数()21, 01 , 0, <0x x f x x x x -⎧>⎪==⎨⎪-⎩．（1）画出函数的图象；（2）求的值．例3:如图，在边长为4的正方形上有一点，沿着折线由点（起点）向点（终点）移动，设点移动的路程为，的面积为．（1）求的面积与点移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并由图象求的最大值．例4：已知定义域为的函数满足22(())()f f x x x f x x x -+=-+（1）若，求； （2）若，求；（3）设有且仅有一个实数，使得，求的解析式．A D七、千思百练1．若，则(23)________________f x -=．2．有以下判断：①()()()()1010x xf xg x x x ≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩与表示同一个函数；②函数的图象与直线的交点最多有1个；③()()2221,21f x x x g t t t =-+=-+与是同一个函数；④若()11,02f x x x f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则．其中正确的是 (填序号). 3．已知若，则．4．已知，则()________________f x =5．函数对于任意实数满足条件，若，则．6．设函数，若，则实数的取值范围是 ．7．设集合()()()()(){}11M f x t f x f t f t f =+=+存在实数使得函数满足，则下列函数(都是常数)：①； ②；③； ④．其中属于集合的函数是 (填序号)．8．已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3,,,,,A k B a a a a k x A y B *==+∈∈∈N 是从定义域到值域的一个函数，求的值．9.已知二次函数满足条件：①对任意，均有；②函数的图象与直线相切．(1)求的解析式；(2)当且仅当时，恒成立，试求的值．10．函数对一切实数均有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且．(1)求的值；(2)试确定函数的解析式八、学后反思。
山东省沂水县高考数学一轮复习 函数系列之对数与对数函数学案
对数与对数函数一．要点精讲1、对数的概念：如果N a b =)1,0(≠>a a a 且，那么b N a =log 。
⑴基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）； ②01log =a ；③1log =a a ； ④对数恒等式：N a N a =log 。
⑵运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 ①N M MN a a a log log )(log +=；②N M NMa a a log log log -=；③∈=n M n M a n a (log log R ）。
⑶换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a常用结论：①1log log =⋅a b b a ； ②b mnb a n a m log log =。
3.两种重要对数⑴常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，N 的常用对数N 10log 简记作N lg . ⑵自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数叫自然对数，N 的自然对数N e log 简记作N ln . 2、对数函数：⑴对数函数的定义: 函数）1≠a ，0＞a （log y x a =叫做对数函数，其中x 是自变量. ⑵对数函数图象和性质函数 ()1,0log ≠>=a a x y a底数1>a 10<<a二、课前热身1、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解：1)12(log )2(23=-=f ，22))2((11==-ef f 。
2.设2lg ,(lg ),lg ,a e b e c e ===则（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >> 解：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=21lge, 作商比较知c>b,选B 。
山东省沂水县高考数学一轮复习 函数系列之函数综合之定义域和值域学案
函数综合之定义域与值域【知识网络】1．函数的定义域；2．函数的值域．【典型例题】例1．（1）函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是________ 提示：由10310x x ->⎧⎨+>⎩解得113x -<<． （2）已知()f x =11+x ，则函数(())f f x 的定义域是_________ 提示：11(())1()111f f x f x x =+++＝，∴ 11101x x ≠-⎧⎪⎨+≠⎪+⎩，解得12x x ≠-≠-且 （3）函数＝y R ，则k 的取值范围是________ 提示：∵2680kx x k -++≥恒成立， 0k ≤显然不符，∴ 0364(8)0k k k >⎧⎨∆+≤⎩＝－， 解得：1k ≥ （4）下列函数中,最小值是2的是__③_(正确的序号都填上). ①(12)y x x x =+>；②2y1y =+-；④x x y cot tan +=． （5）若的最大值是则y x y x 43,122-=+_____5____ 提示：设cos ,sin x y θθ==，则343cos 4sin 5sin x y θθθϕ-=-=（＋），其最大值为5．例2．（1）求下列函数的定义域：x x x x x x f +-++-=02)1(65)(的定义域．（2）已知函数()f x 的定义域是(,)a b ，求函数()(31)(31)F x f x f x =-++的定义域． 解：由函数解析式有意义，得 ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+≠-≥+-0010652x x x x x 321011230x x x x x x x ≥≥⎧⎪≠⇒<<<≤≥⎨⎪>⎩或或或 故函数的定义域是),3[]2,1()1,0(+∞ ．(2）由113133311133a b x a x b a x b a b x ++⎧<<⎪<-<⎧⎪⇔⎨⎨<+<--⎩⎪<<⎪⎩ ． ∵ 函数的定义域不可能为空集，∴ 必有1133a b +-<，即2b a -> 此时，1133a b x +-<<，函数的定义域为（3131-+b a ，）；例3．求下列函数的值域：（1）4y =； （2）y x =+（3）221223x x y x x -+=-+； （4）y ； 解：（1）4y =∵ 20(1)44x ≤--+≤， ∴02≤∴244≤- ∴所给函数的值域为[2，4]（2t (0t ≥)，则x=212t -． ∴ 212t y t -=+21(1)12t =--+，当1t =时，max 1y = ∴所给函数的值域为(－∞,1].（3）由已知得：2(21)(21)(31)0y x y x y ---+-=…………（*）①当210y -=时，12y =，代入（*）式，不成立，∴12y ≠． ②当210y -≠时，则：211312231102(21)4(21)(31)0102y y y y y y y ⎧⎧≠⎪≠⎪⎪⇒⇒≤<⎨⎨⎪⎪≤≤∆=----≥⎩⎪⎩ ∴ 所给函数的值域为31[,)102． （4）530503≤≤⎩⎨⎧≥-≥-x x x 得由 ∴函数定义域为[3,5]222y =++又当4x =时，2max 4y=，当35x =或时，2min 2y = ∴ 224y ≤≤ 0y >2y ≤∴所给2]函数的值域为例4．已知函数2()3y f x x ax ==++在区间[-1，1]上的最小值为-3，求实数a 的值． 解：43)2()(22a a x x f y -++== （1）min 12(1)432a a y f a -<->=-=-=-当，即时，，解得：7a = （2）当112a -≤-≤，即22a -≤≤时，2min ()3324a a y f =-=-=-，解得a =± （3）当12a ->，即2a <-时，min (1)43y f a ==+=-，解得：7a =-． 综合（1）（2）（3）可得：a=±7．【课内练习】1．函数23)(x x x f -=的定义域为_________提示：由230x x -≥得：03x ≤≤2．函数251x y x =+的值域为_________ 提示：y ＝)15(5252+-x , ∵)15(52+x ≠0, ∴ y ≠52 3．若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是___________提示：由(0)a x b b a a x b <<⎧>->⎨<-<⎩得：(0)a x b b a b x a <<⎧>->⎨-<<-⎩即a x a -<< 4．函数2211x y x-=+的值域为_______ 提示：由2211x y x-=+得：2101y x y -=≥+，解得：11y -<≤． 5．函数31--+=x x y 的值域是[4,4]-提示：作出函数的图象，得值域为[4,4]-．6．函数248136(1)x x y x ++=+ (1x >-)的值域是[2,)+∞ 提示：24(1)923(1)26(1)32(1)x y x x x ++==++≥++， 当且仅当123(1)32(1)x x x >-⎧⎪⎨+=⎪+⎩即12x =时取等号．又函数无最大值，故函数值域为[2,)+∞． 7．若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为2y x =、值域为{1,4}的“同族函数”共有 9 个.提示：设函数2y x =的定义域为D ，其值域为{1,4}，D 的所有情形的个数，即是同族函数的个数，D 的所有情形为：{1,2},{1,2},{1,2},{1,2},{1,1,2},{1,1,2},-------{1,2,2},{1,2,1}---， {1,1,2,2}--共9个，答案为9．8．求下列函数的定义域： （1）y = （2）y =． 解：（1）由 ⎩⎨⎧≠--≥-01|1|032x x x , 得⎩⎨⎧≠≠≤≤2030x x x 且, 即：0223x x <<<≤或 ∴ 函数的定义域是(0, 2)∪(2, 3] ．（2）由12log (2)0x ->，得：021x <-< ，即：12x <<，∴ 函数的定义域为(1,2)．9．求下列函数的值域：（1）242(14)y x x x =-+-≤≤；（2）x x y sin 2sin 2+-=；（3）22436x x y x x ++=+-． 解：（1）2(2)2y x =--+∵ 14x ≤≤，∴ 当2x =时，max 2y =，当4x =时，min 2y =-∴ 所给函数的值域为[2,2]-．（2）由xx y sin 2sin 2+-=解得：22sin 1y x y -=+，由|sin |1x ≤得22||11y y -≤+ 两边平方后整理，得：231030y y -+≤，解得：133x ≤≤， 故所给函数的值域为1[,3]3．（3）由已知得2(1)(4)(63)0y x y x y -+--+= (*)① 若1y =，代入（*）式390x --=，∴3x =-， 此时原函数分母26x x +-的值为0，∴y ≠1；② 若y ≠1，则2(4)4(1)(63)01y y y y ⎧∆=-+-+≥⎨≠⎩2(52)01y y ⎧-≥⇒⎨≠⎩1y ⇒≠ 但当25y =时，代入(*)得：3x =-，∴25y ≠ ∴函数的值域为：2{|,1}5y y R y y ∈≠≠且． 评注：本题中需要检验的原因是：函数22436x x y x x ++=+-可化简为1(3)2x y x x +=≠--． 10．已知函数12)(2++=ax x x f 在区间[1,2]-上的最大值为4，求a 的值．解：22()()1y f x x a a ==++-（1）当12a -≤，即12a ≥-时，在2x =时函数有最大值， (2)544f a =+=，解得14a =-，适合； （2）当12a ->，即12a <-时，在1x =-时函数有最大值， (1)224f a -=-=，解得1a =-，适合． 综上所述：14a =-或1a =-．作业11．设I ＝R ，已知2()lg(32)f x x x =-+的定义域为F ，函数()lg(1)lg(2)g x x x =-+-的定义域为G ，那么GU I C F 等于__________提示：由2320x x -+>得：21x x ><或，∴ F =(－∞，1)(2，＋∞)，I C F ＝[1，2]，又由 1020x x ->⎧⎨->⎩得2x >，∴ G ＝(2，＋∞) ∴ GU I C F ＝[1，＋∞] 2．已知函数)(x f 的定义域为[0，4]，求函数)()3(2x f x f y ++=的定义域为__________ 提示：由题意有⎩⎨⎧≤≤≤+≤404302x x 解得 12≤≤-x ，故此函数的定义域为[－2，1] 3．若a ＞1, 则 11-+a a 的最小值是_________提示：11111311a a a a +=-++≥=--． 当且仅当1111a a a ⎧-=⎪-⎨⎪>⎩，即2a =时取等号，∴ 2a =时，11-+a a 的最小值是为3． 4．函数y 的值域为[0,2]提示：y =2)1(4+-x , ∴ 02y ≤≤5．函数|1||2|y x x =++-的值域为[3,)+∞提示：作出函数的图象，可以看出函数值域为[3,)+∞6．求函数222231x x y x x -+=-+的值域 解：222231x x y x x -+=-+, 得 (y ―2)x 2―(y ―2)x ＋y －3＝0 当y ≠2时, △＝(y ―2)2―4(y ―2)(y ―3)≥0, 解得2<y ≤310； 当y ＝2时, （*）不成立．综上所述：2<y ≤310． . ∴ 函数的值域为10(2,]3 7．求函数x x y cos lg 252--=的定义域．解：由⎩⎨⎧>≥-0cos 0252x x 得：⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-)(222255Z k k x k x ππππ函数的定义域为33[5,)(,)(,5]2222ππππ--⋃-⋃． 8．已知函数2()23f x x x =-+在[0,]a (0)a >上的最大值为3，最小值为2，求实数a 的取值范围．解：2()(1)2f x x =-+，（1）当12a ≥，即2a ≥时，2(1)2()233f f a a a =⎧⎨=-+=⎩，解得：20(a a ==或舍）； （2）当12a a <≤，即12a ≤<时，(1)2(0)3f f =⎧⎨=⎩，适合题意； （3）当1a <时，2(0)3()232f f a a a =⎧⎨=-+=⎩，解得：1a =（舍）．综上所述：12a ≤≤作业21．若函数()f x 的定义域为[－2，2]，则函数f 的定义域是________提示：f()f x 中的x，则22-，∴ 04x ≤≤2．已知函数1()lg1x f x x +=-的定义域为A ，函数()lg(1)lg(1)g x x x =+--的定义域为B ，则下述关于A 、B 的关系中，正确的个数为______ ①A B ②A ∪B=B ③A ∩B=B ④B ≠A 提示：由101x x +>-得：11x -<<， ∴{|11}A x x =-<<，由1010x x +>⎧⎨->⎩得：11x -<<， ∴{|11}A x x =-<<, ∴A B = 故3个3．下列结论中正确的个数是______个。
山东省沂水县高考数学一轮复习 函数系列之幂函数复习学案
幂函数复习重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小．考纲要求：①了解幂函数的概念；②结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x=====的图像，了解他们的变化情况．知识梳理：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数.要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常 用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数.（2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α . 诊断练习：1． 如果幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域是3．函数y ＝52x 的单调递减区间为 4．函数y ＝221m mx －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _．范例分析：例1比较下列各组数的大小：（1）1.531，1.731，1； （2）（－2）32-，（－107）32，1.134-；（3）3.832-，3.952，（－1.8）53； （4）31.4，51.5.例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．例3幂函数273235()(1)t tf x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.反馈练习：1．幂函数()y f x=的图象过点1(4,)2，则(8)f的值为 .2．比较下列各组数的大小：32(2)a+32a；223(5)a-+235-；0.50.40.40.5.3．幂函数的图象过点(2,14), 则它的单调递增区间是．4．设x∈(0, 1)，幂函数y＝a x的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是．5．函数y＝34x-在区间上是减函数．6．一个幂函数y＝f(x)的图象过点(3, 427),另一个幂函数y＝g(x)的图象过点(－8, －2),(1)求这两个幂函数的解析式；（2）判断这两个函数的奇偶性；（3）作出这两个函数的图象，观察得f (x)< g(x)的解集.巩固练习1．用“<”或”>”连结下列各式：0.60.32 0.50.32 0.50.34， 0.40.8- 0.40.6-． 2．函数1322(1)(4)y x x --=-+-的定义域是3．942--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 . 4．已知3532x x >，x 的取值范围为5．若幂函数a y x =的图象在0<x <1时位于直线y=x 的下方，则实数a 的取值范围是6．若幂函数()f x 与函数g(x)的图像关于直线y=x 对称，且函数g(x)的图象经过,则()f x 的表达式为 7. 函数2()3x f x x +=+的对称中心是 ，在区间 是 函数（填“增、减”）8．比较下列各组中两个值的大小33221.3 1.30.30.35533(1)1.5 1.6(2)0.60.7(3)3.5 5.3(4)0.18.15----与与与与09．若3131)23()2(---<+a a ，求a 的取值范围。
山东省沂水县高考数学一轮复习 函数系列之导数的应用——单调性与极值学案
单调性与极值1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。
3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
【重点难点】①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。
【高考要求】B 级【基础过关】1． 函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ；② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的 ；③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .3．函数的最大值与最小值： ⑴ 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行：① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值；② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 . 【典型例题】例1. 已知f(x)=e x-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解：)(x f '=e x-a.（1）若a≤0，)(x f '=e x-a≥0恒成立，即f(x)在R 上递增.若a>0,e x-a≥0,∴e x≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). （2）∵f（x ）在R 内单调递增，∴)(x f '≥0在R 上恒成立.∴e x-a≥0，即a≤e x在R 上恒成立.∴a≤（e x ）min ，又∵e x>0，∴a≤0.（3）方法一 由题意知e x-a≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a≥e x 在（-∞，0］上恒成立.∵e x在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，e x 最大为1.∴a≥1.同理可知e x-a≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a≤e x在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0('f =0,即e 0-a=0,∴a=1.变式训练1. 已知函数f(x)=x 3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x 3-ax-1的图象不可能总在直线y=a 的上方.（1）解 由已知)(x f '=3x 2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴)(x f '=3x 2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x 2对x∈R 恒成立.∵3x 2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，)(x f '=3x 2≥0,故f(x)=x 3-1在R 上是增函数，则a≤0.（2）解 由)(x f '=3x 2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x 2,x∈(-1,1)恒成立.∵-1<x<1,∴3x 2<3,∴只需a≥3.当a=3时，)(x f '=3(x 2-1),在x∈(-1,1)上，)(x f '<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减（3）证明 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a 的上方.例2. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x ）有极值.（1）求a,b,c 的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x 3+ax 2+bx+c,得)(x f '=3x 2+2ax +b,当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0 ①当x=32时，y=f(x)有极值，则⎪⎭⎫ ⎝⎛'32f =0,可得4a+3b+4=0 ②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x 3+2x 2-4x+5,∴)(x f '=3x 2+4x-4,令)(x f '=0,得x=-2,x=32.当x∴y=f（x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.2795变式训练2. 函数y=x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.解 先求导数,得y′=4x 3-4x,令y′=0,即4x 3-4x=0.解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1. 导数y′的正负以及f (-2),f(2)如下表(-例3. 已知函数f(x)=x 2e -ax(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.解 ∵f（x ）=x 2e -ax （a ＞0）,∴)(x f '=2xe -ax +x 2·（-a)e -ax =e -ax (-ax 2+2x). 令)(x f '>0,即e -ax(-ax 2+2x)>0,得0<x<a2. ∴f(x)在（-∞,0),⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0上是增函数.①当0<a2<1,即a>2时,f(x ）在（1，2）上是减函数, ∴f（x ）max =f （1）=e -a. ②当1≤a2≤2,即1≤a≤2时， f(x)在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,1上是增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2a上是减函数，∴f(x)max =f ⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2=4a -2e -2.③当a2>2时，即0<a<1时，f(x)在（1，2）上是增函数， ∴f（x ）max =f （2）=4e -2a.综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e -2a,当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a -2e -2,当a>2时，f(x)的最大值为e -a.变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R ),其中a∈R .（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程； （2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x 3+2x 2-x,f(2)=-2,)(x f '=-3x 2+4x-1, =')2(f -12+8-1=-5,∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为 5x+y-8=0.（2）f(x)=-x(x-a)2=-x 3+2ax 2-a 2x,)(x f '=-3x 2+4ax-a 2=-(3x-a)(x-a), 令)(x f '=0,解得x=3a或x=a. 由于a≠0，以下分两种情况讨论.①若a>0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表：因此，函数f(x)在x=3a 处取得极小值f （3a）， 且f （3a ）=-;2743a函数f(x)在x=a 处取得极大值f(a),且f(a)=0.②若a<0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表：因此，函数f(x)在x=a 处取得极小值f(a),且f(a)=0； 函数f(x)在x=3a 处取得极大值f （3a）, 且f （3a ）=-3274a .例4. 某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率定为多少时，银行可获取最大收益？［剖析］银行收益=贷款收益－存款利息，故可设出存款利率，将银行收益表示为利率的函数，利用导数求出函数的最值即可.［解］ 设存款利息为x ，则应用(0,0.048)x ∈，依题意：存款量是2kx ，银行应支付的利息是3kx ，贷款的收益是20.048kx ，所以银行的收益是230.048y kx kx =-。
高考数学一轮复习函数系列之函数与方程学案(无答案)(2021年整理)
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函数与方程知识梳理1 _____________________________________叫做函数的零点。
2. 函数的零点存在定理_________________________________________________________ 重点难点聚焦重点:通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数的观点处理问题的能力。
难点：函数零点存在性的判定,用二分法求函数的零点。
再现型题组：1。
若函数()f x 唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内， 那么下列命题中正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间(0,1)内有零点B ．函数()f x 在区间(0,1)或(1,2)内有零点C ．函数()f x 在区间[)2,16内无零点D ．函数()f x 在区间(1,16)内无零点2。
若函数()(0a 1)x f x a x a a =--≠＞），且有两个零点，则实数a 的取值范围是 .3。
设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定巩固型题组：4。
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函数概念与表示一．课标要求1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
二．命题走向函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。
从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。
高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。
三．要点精讲1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示。
5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f：A→B”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。
注意：（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的射与B 到A 的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。
（2）“都有唯一”什么意思？ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
6．常用的函数表示法1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
7．分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；8．复合函数若y =f (u)，u=g(x ),x (a ，b )，u (m,n)，那么y =f [g(x )]称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是g(x )的值域。
四．典例解析题型1：函数概念例1．（1）设函数).89(,)100()]5([)100(3)(f x x f f x x x f 求⎩⎨⎧<+≥-= 点评：讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧（赋值、变量代换、换元等等），这都是函数学习的常用基本功。
变式题：设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3例2．（1）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__ ________； （2）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。
点评：通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思维能力。
题型二：判断两个函数是否相同例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x （3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）；（4）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2； （5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。
点评：对于两个函数y =f （x ）和y =g （x ），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y =f （x ）和y =g （x ）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。
（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，f （t ）=t 2+1，f （u +1）=（u +1）2+1都可视为同一函数。
（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数。
题型三：函数定义域问题例4．求下述函数的定义域：（1）02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=；点评：在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，但第（2）小题的解析式中含有参数，要对参数的取值进行讨论，考察学生分类讨论的能力。
例5．已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1) 2()23f x +；(2)212log (2)y x =-。
点评：本例不给出f (x )的解析式，即由f (x )的定义域求函数f [g (x )]的定义域关键在于理解复合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到。
变式题：已知函数f （x ）=31323-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞31 B ．－12＜a ≤0 C ．－12＜a ＜0 D ．a ≤31 题型四：函数值域问题例6．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+；（2）265y x x =---；（3）312x y x +=-； （4）41y x x =+-；（5）21y x x =+-；（6）|1||4|y x x =-++；（7）22221x x y x x -+=++；（8）2211()212x x y x x -+=>-；（9）1sin 2cos x y x-=-。
点评：上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的复习中要作详尽的讨论。
题型五：函数解析式例7．（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x +=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 。
点评：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法。
例8.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2+x )=f (x )－x 2+x 。
（Ⅰ）若f (2)=3,求f (1)；又若f (0)=a ,求f (a )；点评：该题的题设条件是一个抽象函数，通过应用条件进一步缩小函数的范围得到函数的解析式。
这需要考生有很深的函数理论功底。
题型6：课标创新题例10．（1）设d cx bx ax x x f ++++=234)(，其中a 、b 、c 、d 是常数。
如果,30)3(,20)2(,10)1(===f f f 求的值)6()10(-+f f ；点评：上面两个题目通过重新构造函数解决了实际问题，体现了函数的工具作用。
五．思维总结“函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法。
由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x 的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。
1．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
2．求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出。