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全国名校高考数学优质模拟试题汇编(附详解)湖南省高考数学一模试卷(理科)1

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湖南省长沙一中2019届高三下学期高考模拟卷(一)理科数学试卷(含答案)

湖南省长沙一中2019届高三下学期高考模拟卷(一)理科数学试卷(含答案)

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2019年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷(理科)(一)(5月份)-教师用卷

2019年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷(理科)(一)(5月份)-教师用卷

2019年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（理科）（一）（5月份）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|(x+1)(x−2)≤0}，B={−1,0，1，2，3}，则A∩B=()A. {−1,0，1}B. {−1,0，1，2}C. {0,1，2}D. {0,1，2，3}【答案】B【解析】解：由题意可得A={x|−1≤x≤2}，B={−1,0，1，2，3}，所以A∩B={−1,0，1，2}．故选：B．求出A不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知i为虚数单位，复数z满足(1+2i)z=(1+i)(2−i)，则|z|=()A. √105B. √22C. √2D. √10【答案】C【解析】解：由(1+2i)z=(1+i)(2−i)，得z=(1+i)(2−i)1+2i =3+i1+2i=(3+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−i，∴|z|=√2．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.已知cos2(α+π4)=16，则sin2α=()A. 16B. −23C. 12D. 23【答案】D【解析】解：由cos2(α+π4)=16，得1+cos(2α+π2)2=16，∴cos(2α+π2)=−23，则−sin2α=−23，sin2α=23．故选：D．由二倍角的余弦结合诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及二倍角公式的应用，是基础题．4.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为()A. 1B. √2C. √3D. 2√33【答案】C【解析】解：正方体的对角线长为2√3， 故当正方体旋转的新位置的最大高度为2√3， 又水的体积是正方体体积的一半，∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为√3． 故选：C ．根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半． 本题考查了几何体的体积计算，属于基础题．5. 若非零向量a ⃗ 、b ⃗ 满足|a |=2|b ⃗ |=4,(a −2b ⃗ )⋅a =0，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为( )A. 4B. 8C. 14D. 18【答案】A【解析】解：非零向量a ⃗ 、b ⃗ 满足|a |=2|b ⃗ |=4,(a −2b ⃗ )⋅a =0，可得a2−2a ⋅b =0，所以a ⋅b ⃗ =|a ⃗ |22=8， 从而a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为：a ⃗ ⋅b ⃗|b ⃗ |=82=4．故选：A ．利用已知条件求出向量的数量积的值，然后求解a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影．本题考查向量的数量积的应用．a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影的求法，是基本知识的考查．6. 形状如图所示的2个游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆，O 为圆心；图②是正六边形，点P 为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是( )A. 116B. 18C. 16D. 14【答案】A【解析】解：“一局游戏后，这二个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件A 1、A 2， 由题意知，A 1、A 2互相独立，且P(A 1)=316，P(A 2)=13， ∴P(A 1A 2)=P(A 1)P(A 2)=316×13=116．故选：A ．先根据几何概型的概率公式得到在二个图形中，小球停在阴影部分的概率，因为二个小球是否停在阴影部分相互之间没有关系，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．本题考查几何概型的概率公式，考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．7.若函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)，且f(α)=2，f(β)=0，|α−β|的最小值是π2，则f(x)的单调递增区间是()A. [2kπ−5π6,2kπ+π6](k∈z) B. [2kπ−2π3,2kπ+π3](k∈z)C. [kπ−π3,kπ+π6](k∈z) D. [kπ−5π12,kπ+π12](k∈z)【答案】B【解析】解：∵f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0) =2sin(ωx+π6)，∵f(α)=2，f(β)=0，|α−β|的最小值是π2，∴T=2π，ω=1，则f(x)=2sin(x+π6)，令−12π+2kπ≤x+π6≤12π+2kπ可得，2kπ−2π3≤x≤2kπ+13π，k∈Z故选：B．先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数性质可求周期T，进而可求ω，从而可求本题主要考查了正弦函数的图象性质的简单应用，属于基础试题8.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为()A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺【答案】B【解析】解：设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+9×82d=85.5，解得：d=−1，a1=13.5．则a12=13.5−11=2.5．故选：B．设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+9×82d=85.5，解得：d，a1.利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.平面直径坐标系xOy中，动点P到圆(x−2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=−1的距离相等，则P点的轨迹方程是()A. y2=8xB. x2=8yC. y2=4xD. x2=4y【答案】A【解析】解：设动点P(x,y)，∵动点P到直线x=−1的距离等于它到圆：(x−2)2+y2=1的点的最小距离，∴|x +1|=√(x −1)2+(y −0)2−1， 化简得：6x −2+2|x +1|=y 2， 当x ≥−1时，y 2=8x ，当x <−1时，y 2=4x −4<−8，不合题意． ∴点P 的轨迹方程为：y 2=8x ． 故选：A ． 设动点P(x,y)，由已知得|x +1|=√(x −1)2+(y −0)2−1，由此能求出点P 的轨迹方程．本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．10. 已如定点P(1,9)，动点Q(x,y)在线性约東条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0y ≥0所表示的平面区域内，则直线PQ 的斜率k 的取值范围为( ) A. [−1,7] B. [−7.1] C. (−∞,−1]∪[7,+∞) D. [−9,−1]∪[7,+∞) 【答案】C 【解析】解：由约束条件作出可行域如图：定点P(1,9)，动点Q(x,y)在线性约東条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0y ≥0所表示的平面区域内，则直线PQ 的斜率k =y−9x−1， 由题意可得A(4,6)，B(0,2) 可得k PA =9−61−4=−1， k PB =9−21−0=7，直线PQ 的斜率k 的取值范围为：(−∞,−1]∪[7,+∞)．故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案；再由直线过定点P(1,9)，由两点求斜率公式求得PB ，PA 的斜率，可得k 的取值范围．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11. 已知三棱锥P −ABC 的棱AP 、AB 、AC 两两垂直，且长度都为√3，以顶点P 为球心2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( )A. 2π3B. 5π6C. πD. 3π2【答案】D【解析】解：如图，AP =√3，AN =1，∠APN =π6，∠NPM =π12， ∴MN⏜=π12×2=π6． 同理GH ⏜=π6，HN ⏜=π2×1=π2，GM ⏜=π3×2=2π3，球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于π6+π6+π2+2π3=3π2．故选：D ．画出图，根据弧长公式求解本小题主要考查球面距离及相关计算、正方体的几何特征等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力、化归与转化思想.属于中档题．12. 已知函数f(x)=−x 3+1+a(1e ≤x ≤e,e 是自然对数的底)与g(x)=3lnx 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A. [0,e 3−4]B. [0,1e 3+2]C. [1e 3+2,e 3−4] D. [e 3−4,+∞)【答案】A【解析】解：根据题意，若函数f(x)=−x 3+1+a(1e ≤x ≤e,e 是自然对数的底)与g(x)=3lnx 的图象上存在关于x 轴对称的点， 则方程−x 3+1+a =−3lnx 在区间[1e ,e]上有解，−x 3+1+a =−3lnx ⇔a +1=x 3−3lnx ，即方程a +1=x 3−3lnx 在区间[1e ,e]上有解，设函数g(x)=x 3−3lnx ，其导数g′(x)=3x 2−3x=3(x 3−1)x，又由x ∈[1e ,e]，g′(x)=0在x =1有唯一的极值点， 分析可得：当1e ≤x ≤1时，g′(x)<0，g(x)为减函数， 当1≤x ≤e 时，g′(x)>0，g(x)为增函数， 故函数g(x)=x 3−3lnx 有最小值g(1)=1，又由g(1e )=1e 3+3，g(e)=e 3−3；比较可得：g(1e )<g(e)， 故函数g(x)=x 3−3lnx 有最大值g(e)=e 3−3，故函数g(x)=x3−3lnx在区间[1e,e]上的值域为[1,e3−3]；若方程a+1=x3−3lnx在区间[1e,e]上有解，必有1≤a+1≤e3−3，则有0≤a≤e3−4，即a的取值范围是[0,e3−4]；故选：A．根据题意，可以将原问题转化为方程a+1=x3−3lnx在区间[1e,e]上有解，构造函数g(x)=x3−3lnx，利用导数分析g(x)的最大最小值，可得g(x)的值域，进而分析可得方程a+1=x3−3lnx在区间[1e,e]上有解，必有1≤a+1≤e3−3，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知存在关于x轴对称的点转化为方程a−x3=−3lnx⇔−a=3lnx−x3在上有解．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条新近线的斜率为√3，则此双曲线的离心率为______．【答案】2【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条新近线的斜率为√3，可得ba=√3，所以，c2−a2a2=3，所以c2a2=4，所以e=ca=2．故答案为：2．利用双曲线的渐近线的斜率，得到a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，前n项积为T n，若S3=a2+4a1，T5=243，则a1的值为______．【答案】1【解析】解：∵T5=a1a2a3a4a5=243，∴a35=243，∴a3=3，∵S3=a2+4a1，∴a1+a2+a3=a2+4a1，∴a1=1，故答案为：1．根据等比数列的性质求出a3=3，再根据S3=a2+4a1，求出首项．本题考查了等比数列的性质和等比数列的求和公式和通项公式，属于中档题．15.已知(2+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为______．【答案】64【解析】解：(2+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为15，即2C52+aC51=15，解得a=−1，令x=1时，展开式的所有项系数的和26=64．故答案为：64．由题意可得2C52+aC51=15，解得a=−1，再令x=1即可求出展开式中所有项的系数和．本题考查了二项式这部分的两个重要的题型：求展开式的特定项、求展开式的系数和问题．16.已知 14C的半衰期为5730年(是指经过5730年后， 14C的残余量占原始量的一半).设 14C的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系如下：b= ae−kx，其中x表示经过的时间，k为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时 14C的残余量约占原始量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今______年.(已知log20.767≈−0.4)【答案】2292【解析】解：由b=ae−kx，由题意可得：1=e−5730k，2两边取2为底的对数可得：−1=−5730klog2e，①又0.767=e−kx，两边取2为底的对数可得：log20.767=−kxlog2e，②②÷①可得0.4≈x，5730即x≈2292，故答案为：2292．=e−5730k，0.767=e−kx，两边取2为底的对数，相除即可得到所求值．由题意可得12本题考查指数函数类的应用题，考查运算能力和方程思想，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，AB=2√3，AC=2，∠ADC=∠CAB=90∘，设∠DAC=θ．(1)若θ=60∘，求BD的长度；(2)若∠ADB=30∘，求tanθ．【答案】解：(1)由AB=2√3,AC=2,∠ADC=∠CAB=900，设∠DAC=60∘，=1．可知，AD=ACcos60∘=2×12在△ABD 中，∠DAB =150∘，AB =2√3，AD =1， 由余弦定理可知，BD 2=(2√3)2+12−2×2√3×1×(−√32)=19，则BD =√19；(2)由题意可知，AD =2cosθ，∠ABD =60∘−θ， 在△ABD 中，∠ADB =30∘，AB =2√3， 由正弦定理可知， ADsin∠ABD=ABsin∠ADB ， 即2cosθsin(60∘−θ)=4√3，即有2cosθ=4√3(√32cosθ−12sinθ)，4cosθ=2√3sinθ， 整理得tanθ=sinθcosθ=2√33． 【解析】(1)在直角三角形ACD 中，求得AD ，在△ABD 中，运用余弦定理可得BD ； (2)求得AD =2cosθ，∠ABD =60∘−θ，在△ABD 中，∠ADB =30∘，AB =2√3，运用正弦定理和两角差的正弦公式、同角的商数关系，即可得到所求值．本题考查三角形的正弦定理、余弦定理，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18. 如图所示，圆O 的直径AB =6，C 为圆周上一点，BC =3，平面PAC 垂直圆O 所在平面，直线PC 与圆O 所在平面所成角为60∘，PA ⊥PC ． (1)证明：AP ⊥平面PBC ；(2)求二面角P −AB 一C 的余弦值． 【答案】(1)证明：∵AB 是圆O 的直径，C 为圆周上一点， ∴BC ⊥AC ，∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ， ∴BC ⊥平面PAC ，又AP ⊂平面PAC ， ∴BC ⊥AP ，又PC ∩BC =C ，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴AP ⊥平面PBC ．(2)过P 作PH ⊥AC 于H ，则PH ⊥平面ABC ，∴∠PCH 为PC 与平面ABC 所成角，即∠PCH =60∘， ∵AC =√AB 2−BC 2=3√3， ∴HA =9√34，HP =3√34，HP =94，过H 作BC 的平行线HF 交AB 于F ，则HFBC =AH AC=34，∴HF =94，以H 为原点，以HA ，HO ，HP 为坐标轴建立空间坐标系H −xyz ，则A(9√34,0，0)，F(0,94,0)，P(0,0，94)，∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−9√34,94,0)，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,94,−94)， 设平面PAB 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ⋅PF⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√3x +y =0y −z =0，令x =1可得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,√3)，又平面ABC 的一个法向量为n ⃗ =(0,0，1)， ∴cos <m ⃗⃗ ,n ⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=√3√7×1=√217． 由图形可知二面角P −AB −C 为锐二面角， ∴二面角P −AB 一C 的余弦值为√217．【解析】(1)证明BC ⊥平面PAC 得出BC ⊥PA ，再结合PA ⊥PC 即可得出AP ⊥平面PBC ；(2)建立空间坐标系，求出平面PAB 和平面ABC 的法向量，通过计算法向量的夹角即可得出二面角的大小．本题考查了线面垂直的判定，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题．19. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =12，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为3．(1)求椭圆的方程；(2)已知P 为直角坐称平面内一定点，动直线l ：y =12x +t 与椭圆交于A 、B 两点，当直线PA 与直线PB 的斜率均存在时，若直线PA 与PB 的斜率之和为与t 无关的常数，求出所有满足条件的定点P 的坐标． 【答案】解：(1)∵椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =12， 过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为3， ∴{ e =ca =122b 2a=3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =√3，∴椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,12x 1+t)，B(x 2,12x 2+t)，P(m,n)，将l ：y =12x +t 代入椭圆方程，得：x 2+tx +t 2−3=0， △=t 2−4(t 2−3)>0，t 2<4， 则有x 1+x 2=−t ，x 1x 2=t 2−3， 直线PA ，PB 的斜率之和为：k PA +k PB =n −12x 1−t m −x 1+n −12x 2−t m −x 2=(n −12x 1−t)(m −x 2)+(n −12x 2−t)(m −x 1)(m −x 1)(m −x 2)=(n−32m)t+2mn−3t 2+mt+m 2−3，当n =32m ，2mn =3时，斜率的和恒为0． 解得m =1，n =32或m =−1，n =−32．故所有满足条件的定点P 的坐标为(1,32)和(−1,−32).【解析】(1)由椭圆的离心率e =12，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为3，列方程组能求出a =2，b =√3，由此能求出椭圆方程．(2)设A(x 1,12x 1+t)，B(x 2,12x 2+t)，P(m,n)，将l ：y =12x +t 代入椭圆方程，得：x 2+tx +t 2−3=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率，结合已知条件能求出所有满足条件的定点P 的坐标．本题考查椭圆方程、点的坐标的求法，考查椭圆、直线方程、直线与椭圆的位置关系、根的判别式、韦达定理、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位：mm)组成一个样本，且将纤维长度超过315mm 的棉花定为一级棉花.设计了如图茎叶图：(1)根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论(不必计算)；(2)从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，求其中恰有3根一级棉花的概率； (3)用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取1根，求其中一级棉花根数X 的分布列及数学期望．【答案】解：(1)根据茎叶图知，①乙种棉花的纤维平均长度大于甲种棉花的纤维平均长度，(或：甲种棉花的纤维平均长度小于乙种棉花的纤维平均长度) ②甲种棉花的纤维长度较乙种棉花的纤维长度更分散， (乙种棉花的纤维长度较甲种棉花的纤维长度更集中些)；③甲种棉花的纤维长度的中位数是307mm ，乙种棉花的纤维长度的中位数为318mm ， ④乙种棉花的纤维长度基本上是对称的，且大多集中在中间(均值附近)，甲种棉花的纤维长度除1个特殊值(352)外，也大致对称，且分布均匀；(写出2个结论即可)(2)记事件A 为“从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，其中恰有3根一级棉花”， 则所求的概率为P(A)=C 101⋅C 151⋅C 152+C 102⋅C 151⋅C 101C 252⋅C 252=14；(3)由题意知，随机变量X 的可能取值是0、1、2，其相应的概率为：P(X=0)=35×25=625，P(X=1)=25×25+35×35=1325，P(X=2)=25×35=625；所以X的分布列为，数学期望为E(X)=0×625+1×1325+2×625=1．【解析】(1)根据茎叶图可从棉花的纤维平均长度、纤维长度的离散性，中位数以及数据的分布情况进行分析，写出2个结论即可；(2)利用相互独立事件的概率公式计算即可；(3)由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．本题考查了用频率估计概率、随机变量的分布列与数学期望的应用问题，也考查了推理与计算能力，属于中档题．21.已知函数f(x)=x2−8x+alnx(a∈R)(Ⅰ)当x=1时，f(x)取得极值，求a的值；(Ⅱ)当函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)且x1≠1时，总有alnx11−x1>(m−2)(4+ 3x1−x12)成立，求m的取值范围．【答案】解：(I)f′(x)=2x−8+ax，(x>0)，∵当x=1时，f(x)取得极值，∴f′(1)=2−8+a=0，解得a=6.经过验证满足题意．∴a=6．(II)当函数f(x)在(0,+∞)内有两个极值点x1，x2(x1<x2)且x1≠1时，则u(x)=2x2−8x+a=0在(0,+∞)上有两个不等正根．∴{△=64−8a>0u(0)=a>0x=2>0，∴0<a<8．∴x1+x2=4，x1x2=a2，0<x1<x2，∴x2=4−x1，a=2x1x2=2x1(4−x1)，可得0<x1<2．∴alnx11−x1>(m−2)(4+3x1−x12)成立，即2x1(4−x1)lnx11−x1>(m−2)(4−x1)(x1+1)，即2x1lnx11−x1>(m−2)(x1+1)，即2x1lnx11−x1−(m−2)(x1+1)>0，即x11−x1[2lnx1+(m−2)(x12−1)x1]>0，且0<x1<1时，x11−x1>0．1<x1<2时，x11−x1<0.即ℎ(x)=2lnx+(m−2)(x2−1)x(0<x<2)．ℎ′(x)=(m−2)x2+2x+(m−2)x2(0<x<2．①m=2时，ℎ′(x)=2x>0.∴ℎ(x)在(0,2)上为增函数，且ℎ(1)=0，∴x∈(1,2)时，ℎ(x)>0，不合题意舍去．②m>2时，ℎ′(x)>0.同①不合题意舍去．③m <2时，(i)△≤0时，解得m ≤1，ℎ′(x)≤0，在(0,2)内函数ℎ(x)为减函数，且ℎ(1)=0，可得：0<x <1时，ℎ(x)>0． 1<x <2时，ℎ(x)<0.∴x 1−x[2lnx +(m−2)(x 2−1)x]>0成立．(ii)△>0时，1<m <2，ℎ′(x)分子中的二次函数对称轴x =12−m >1，开口向下， 且函数值=2(m −1)>0，即a =min{12−m ,2}，则x ∈(1,a)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数，ℎ(1)=0，ℎ(x)>0，故舍去． 综上可得：m 的取值范围是m ≤1．【解析】(I)f′(x)=2x −8+ax ，(x >0)，由题意可得f′(1)=0，解得a.经过验证即可得出．(II)当函数f(x)在(0,+∞)内有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)且x 1≠1时，则u(x)=2x 2−8x +a =0在(0,+∞)上有两个不等正根.可得{△=64−8a >0u(0)=a >0x =2>0，利用根与系数的关系可得：x 2=4−x 1，a =2x 1x 2=2x 1(4−x 1)，可得0<x 1<2.∴alnx 11−x 1>(m −2)(4+3x 1−x 12)成立，即2x 1lnx 11−x 1−(m −2)(x 1+1)>0，即x 11−x 1[2lnx 1+(m−2)(x 12−1)x 1]>0，且0<x 1<1时，x11−x 1>0.1<x 1<2时，x11−x 1<0.即ℎ(x)=2lnx +(m−2)(x2−1)x(0<x <2).对m 分类讨论利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =sinϕx=2cosϕ(φ参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心的极坐标为(√7,π2)且经过极点的圆．(1)求曲线C 1的极坐标方程和C 2的普通方程；(2)已知射线θ=π6(ρ≥0)分別与曲线C 1，C 2交于点A ，B(点B 异于坐标原点O)，求线段AB 的长．【答案】解：(1)由曲线C 1的参数方程为{y =sinϕx=2cosϕ(φ参数)，消去参数可得x 24+y 2=1，又x =ρcosθ，y =ρsinθ，代入x 24+y 2=1，可得曲线C 1的极坐标方程为ρ2=4cos 2θ+4sin 2θ=41+3sin 2θ． 由曲线C 2是圆心的极坐标为(√7,π2)且经过极点的圆，可得其极坐标方程为ρ=2√7sin θ， 从而得C 2的普通方程为x 2+y 2−2√7y =0；(2)将θ=π6(ρ≥0)代入ρ=2√7sin θ，得ρB =2√7sin π6=√7，又将θ=π6(ρ≥0)代入ρ2=4cos2θ+4sin2θ，得ρA=√4cos2π6+4sin2π6=4√77．故|AB|=ρB−ρA=√7−4√77=3√77．【解析】(1)由曲线C1的参数方程直接消去参数可得普通方程，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ得曲线C1的极坐标方程.由曲线C2是圆心的极坐标为(√7,π2)且经过极点的圆，可得其极坐标方程为ρ=2√7sinθ，两边同乘ρ后得C2的普通方程；(2)将θ=π6(ρ≥0)分别代入代入ρ=2√7sinθ与ρ2=4cos2θ+4sin2θ，求得A，B的极径，作差可得线段AB的长．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查计算能力，是中档题．23.已知函数f(x)=k−|x−3|，k∈R，且f(x+3)≥0的解集为[−1,1]．(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)若a、b、c是正实数，且1ka +12kb+13kc=1，求证：19a+29b+39c≥1．【答案】(Ⅰ)解：f(x+3)≥0的解集为[−1,1]，即为|x|≤k的解集为[−1,1]，(k>0)，即有[−k,k]=[−1,1]，解得k=1；(Ⅱ)证明：将k=1代入可得，1 a +12b+13c=1(a,b，c>0)，则a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a +12b+13c)=3+(2ba+a2b)+(3ca+a3c)+(3c2b+2b3c)≥3+2√2ba ⋅a2b+2√3ca⋅a3c+2√3c2b⋅2b3c=3+2+2+2=9，当且仅当a=2b=3c，上式取得等号．则有19a+29b+39c≥1．【解析】(Ⅰ)由题意可得|x|≤k的解集为[−1,1]，(k>0)，由绝对值不等式的解法，即可求得k=1；(Ⅱ)将k=1代入，再由乘1法，可得a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a +12b+13c)，展开运用基本不等式即可得证．本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，注意运用不等式和方程的转化思想，运用添1法和基本不等式是解题的关键．。

湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)解析版

湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)解析版

22. 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M 的 直角坐标为（1，0），若直线 l 的极坐标方程为 ρcos（θ+ ）-1=0，曲线 C 的参
数方程是
（t 为参数）．
（1）求直线 l 和曲线 C 的普通方程；
（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 + ．
5.【答案】C
【解析】【分析】 通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可． 本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力． 【解答】 解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为 4 和 5 的三角 形， 一个侧面垂直底面，且此侧面为等腰三角形， 三棱锥的高为 4，底边长为 5，如图所示．
估计 π 的所似值为（ ）
D. 2-i
A.
B.
C.
D.
4. 已知 ai，bi∈R 且 ai，bi 都不为 0（i=1，2），则“ = ”是“关于 x 的不等式 a1x-b1
＞0 与 a2x-b2＞0 同解”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
赠送的随机话费（单位：元） 20
40
概率
现市民小王要参加此次问卷调查，记 X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的 话费，求 X 的分布列及数学期望． 附： ≈14.5，若 X～N（μ，σ2），则①P（μ-σ＜X≤μ≤σ）=0.6827； ②P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544；③P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9973．
23. 已知函数 f（x）=|x-a|+|2x-1|（a∈R）． （1）当 a=1 时，求 f（x）≤2 的解集；

湖南省示范名校2025届高考数学一模试卷含解析

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湖南省示范名校2025届高考数学一模试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．△ABC 中，AB ＝3，BC =AC ＝4，则△ABC 的面积是（ ）A ．B ．2C ．3D ．322．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数()1x g x e --=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．63．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是A ．)+∞B ．)+∞C ．⎤⎦D ．⎤⎦4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( )A ．409B ．40C ．16D ．1636．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ）A ．2493π+B ．4893π+C ．48183π+D ．144183π+8．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A ．－30B ．－40C ．40D ．5010．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．28011．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-12．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32-D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省高考数学一模试卷(理科)

湖南省高考数学一模试卷(理科)

湖南省高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·衡水模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高三上·北京月考) 正方形ABCD的边长为2，点E､F､G满足，则下列各式中值最大的为（）A .B .C .D .3. （2分）设，为不共线向量，=+2，=4-，=5-3，则下列关系式中正确的是（）A . =B . =2C . =-D . =-24. （2分） (2020高三上·贵州月考) 已知，，与的夹角为，则（）A . 28B . 14C .D .5. （2分） (2016高二上·大连期中) 若不等式mx2+2mx﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）B . （﹣2，2）C . （﹣2，2]D . （﹣∞，2]6. （2分） (2017高一上·威海期末) 将棱长为2的正方体（图1）切割后得一几何体，其三视图如图2所示，则该几何体的体积为（）A .B .C . 2D . 47. （2分） (2017高一下·汽开区期末) 在△ABC中，内角A,B,C对边的边长分别为为锐角，, 则为（）A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形8. （2分）(2019·昌平模拟) 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a的值是（）A .B .C . 1D . 29. （2分） (2019高二下·赤峰月考) 如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案（）A . 180种B . 240种C . 360种D . 420种10. （2分） (2016高一下·龙岩期末) 已知圆O：x2+y2=1及以下3个函数：①f（x）=xcosx；②f（x）=tanx；③f（x）=xsinx．其中图象能等分圆O面积的函数有（）A . 3个B . 2个C . 1个D . 0个11. （2分） (2020高二上·湖南期中) 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点(点A在第一象限)，抛物线的准线与轴交于点，当最大时，直线AK的斜率（）A . 1B .C .D .12. （2分）(2019高二下·凤城月考) 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·扬州期中) 复数z=i（1﹣i）的虚部为________．14. （1分）(2017·扬州模拟) 如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，若•=﹣7，则• 的值是________．15. （1分） (2017高二下·岳阳期中) 若0＜x＜2，则函数的最大值是________．16. （1分） (2018高二上·湖滨月考) 如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为, ，此时气球的高是，则河流的宽度等于________ .三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）(2017·南阳模拟) 观察下列三角形数表：假设第n行的第二个数为，（1）归纳出an+1与an的关系式，并求出an的通项公式；（2）设anbn=1（n≥2），求证：b2+b3+…+bn＜2．18. （10分）(2016·潮州模拟) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，f （x）=sin（2x﹣A）（x∈R），函数f（x）的图象关于点（，0）对称．（1）当x∈（0，）时，求f （x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC= ，求△ABC的面积．19. （5分）(2018·衡水模拟) 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10%上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型数量105520155以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：求一辆普通6座以下私家车（车险已满三年）在下一年续保时保费高于基本保费的频率；某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元.且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值.20. （10分） (2018高二下·台州期中) 如图，在四棱锥中，平面，，，，点是与的交点，点在线段上，且 .（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21. （10分） (2020高三上·吉林期中) 已知函数，（1）当时，求函数的单调区间与极值；（2）是否存在正实数，使得函数在区间上为减函数？若存在，请求的取值范围；若不存在，请说明理由.22. （10分） (2019高一上·永春月考) 己知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A、B两点，点．（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．23. （10分） (2018高一上·民乐期中) 已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式．（1）写出在上的解析式；（2）求在上的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2020届 湖南省长沙市 第一中学高考模拟数学(理)试题(解析版)

2020届 湖南省长沙市 第一中学高考模拟数学(理)试题(解析版)

2020届湖南省长沙市第一中学高考模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．∅ B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞【答案】D【解析】先化简{}{}|216|4xB x x x =<=<，再根据{}|,A x x a a R =≤∈，且A B求解. 【详解】因为{}{}|216|4xB x x x =<=<，又因为{}|,A x x a a R =≤∈，且A B ， 所以4a <. 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（ ）A ．x D ∀∈，()f x x >B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤C ．xD ∀∉，()f x x > D ．0x D ∃∈，()00f x x >【答案】D【解析】根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】因为p ：x D ∀∈，()f x x ≤是全称命题， 所以其否定是特称命题，即0x D ∃∈，()00f x x >. 故选：D 【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3．已知复数1cos23sin 23z i =+o o 和复数2cos37sin37z i =+o o ，则12z z ⋅为A ．122- B ．122i + C ．122i + D ．122i - 【答案】C【解析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出． 【详解】z 1z 2＝（cos23°+i sin23°）•（cos37°+i sin37°）＝cos60°+i sin60°＝12+．故答案为C ． 【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.4．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】A【解析】根据直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，得5c =，又和其中一条渐近线平行，得到2b a =，再求双曲线方程.【详解】因为直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，所以()5,0F -，所以5c =， 又和其中一条渐近线平行， 所以2b a =，所以25a =，220b =，所以双曲线方程为221520x y -=.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a=+$$$近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值【答案】B【解析】根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（）cm3A．243π+B．342π+C．263π+D．362π+【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为： V=V 三棱柱+V 半圆柱=×2×2×3+12•π•12×3=（6+1.5π）cm 3． 故答案为6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．7．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．-3 C ．2 D ．3【答案】C【解析】先研究511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，再分()2x a +中，取2x 和a 两种情况求解.【详解】因为511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()5151r r r r T C x -+=-，所以()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为：()32320551112(1)0x C C x a a -+--=--=-，解得2a =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ．118B ．54C ．14D ．18【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r，作为一个基底，表示向量()1122DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，()3324DF DE b a ==-u u u r u u u r r r ，()1324AF AD DF a b a =+=-+-u u u r u u u r u u u r r r r 5344a b =-+r r，然后再用数量积公式求解. 【详解】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r，所以()1122DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，()3324DF DE b a ==-u u u r u u u r r r，()1324AF AD DF a b a =+=-+-u u u r u u u r u u u r r r r 5344a b =-+r r ，所以531448AF BC a b b b ⋅=-⋅+⋅=u u u r u u u r r r r r .故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）A ．BC D 【答案】A【解析】根据平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解. 【详解】 如图所示：设()1,0A -，()10B ,，(),P x y ，则()()22221221x y x y ++=-+， 化简得()2238x y ++=，当点P 到AB （x 轴）距离最大时，PAB ∆的面积最大， ∴PAB ∆面积的最大值是1222222⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.10．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A 53B ．23C ．33D 73【答案】D【解析】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得sin sin120AB ACα=︒，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=， 则13AC =，从而133CD =， 由正弦定理得sin sin120AB AC α=︒，即3sin 213α=， 从而()3cos cos 90sin 213BCD αα-∠=︒+=-=， 在BCD ∆中，由余弦定理得：21313349923333213BD =++⨯⨯⨯=， 则73BD =. 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC B C ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形 【答案】D【解析】A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行； B 项利用线面垂直的判定定理；C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形. 【详解】A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；B 项，如图：当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂直于平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故正确； C 项,当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,△A 1DM 的面积不变,N 到平面A 1DM 的距离不变,所以棱锥N-A 1DM 的体积不变,即三棱锥A 1-DMN 的体积为定值,故正确； D 项,若△DMN 为直角三角形,则必是以∠MDN 为直角的直角三角形,但MN 的最大值为BC 1,而此时DM,DN 的长大于BB 1,所以△DMN 不可能为直角三角形,故错误. 故选D 【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.12．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234B ．1114C ．1054D ．1174【答案】C【解析】根据()f x 的零点和最值点列方程组，求得,ωϕ的表达式（用k 表示），根据()1f x 在ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，求得ω的取值范围，求得对应k 的取值范围，由k 为整数对k 的取值进行验证，由此求得ω的最大值. 【详解】由题意知1122ππ,3,πππ+,32k k k Z k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩，则()()321,421π,4k k ωϕ⎧+=⎪⎪⎨='+⎪⎪⎩其中12k k k =-，21k k k '=+．又()1f x 在ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，所以ππ2π251515T -=≤，得030ω<≤，即()321304k +≤，所以19.5k ≤，又k Z ∈，因此19k ≤． ①当19k =时，1174ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1173π 2.7π,6.6π44x +∈，所以当11173π 4.5π44x +=或6.5π时，()13f x =都成立，舍去；②当18k =时，1114ω=，此时取π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()111π 2.1π,5.8π44x +∈，所以当1111π2.5π44x +=或4.5π时，()13f x =都成立，舍去；③当17k =时，1054ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1053π 2.5π,6π44x +∈，所以当11053π 4.5π44x +=时，()13f x =成立；综上所得ω的最大值为1054． 故选:C 【点睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．设()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x <时，()2xf x m =+（m 为常数），若()312f =，则实数m 的值为______. 【答案】1【解析】根据()f x 为定义在R 上的偶函数，得()()11f f =-，再根据当0x <时，()2x f x m =+（m 为常数）求解.【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数， 所以()()11f f =-，又因为当0x <时，()2xf x m =+，所以()()131122f f m -=-=+=， 所以实数m 的值为1. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“A 作品获得一等奖”；乙说：“C 作品获得一等奖”；丙说：“B ，D 两项作品未获得一等奖”；丁说：“是A 或D 作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___．【答案】C【解析】假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.【详解】A B C D分别获奖的说对人数如下表：,,,获奖作品 A B C D甲对错错错乙错错对错丙对错对错丁对错错对说对人数 3 0 2 1故获得一等奖的作品是C.【点睛】本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件. 15．某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A B、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是__________元.【答案】2800元【解析】设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得2122120x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥∈⎩，且，目标函数300400z x y =+ ，作出可行域，如图所示作直线340L x y +=：， 然后把直线向可行域平移，由图象知当直线经过A 时，目标函数300400z x y =+ 的截距最大，此时z 最大， 由212212x y x y +⎧⎨+⎩＝＝ 可得44x y ⎧⎨⎩＝＝，即44A （，）此时z 最大300440042800z =⨯+⨯= ，即该公司每天生产的甲4桶，乙4桶，可获得最大利润，最大利润为2800． 【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，根据条件建立不等式关系，以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．16．设实数0a >，若函数()()()2aln 0120x x x f x x a x x ⎧->⎪=⎨+++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的最大值为______. 【答案】32e【解析】根据()1f a -=，则当0x >时，2ln a x x a -≤，即()2ln 1a x x -≤.当01x <≤时，()2ln 1a x x -≤显然成立；当1x >时，由()2ln 1a x x -≤，转化为21ln 1x a x -≥，令()()2ln 11x g x x x -=>，用导数法求其最大值即可. 【详解】因为()1f a -=，又当0x >时，2ln a x x a -≤，即()2ln 1a x x -≤.当01x <≤时，()2ln 1a x x -≤显然成立；当1x >时，由()2ln 1a x x -≤等价于21ln 1x a x -≥， 令()()2ln 11x g x x x -=>，()332ln 'xg x x -=， 当321,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()g x 单调递增，当32,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 单调递减，()32max312g g e ex ⎛⎫= ⎪⎝⎭=，则3112a e ≥，又0a >，得32a e ≤， 因此a 的最大值为32e . 故答案为：32e 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5=45，a 2+a 6=14． （I ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足：12222b b ++…1()2n n n b a n N *+=+∈，求{b n }的前n 项和． 【答案】（I ）21n a n =-；（Ⅱ）224n +- 【解析】【详解】 （Ⅰ）设等差数列的公差为4，则依题设2d =．由,可得2n c =． 由，得，可得．所以．可得． （Ⅱ）设，则.即，可得2n c =，且． 所以，可知．所以，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列．所以前n 项和．【考点】等差数列通项公式、用数列前n 项和求数列通项公式．18．如图1，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，60BCD ∠=︒，23AB =，3BC =，E 为线段CD 上一点，满足BC CE =，F 为BE 的中点，现将梯形沿BE 折叠（如图2），使平面BCE ⊥平面ABED .（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）能否在线段AB 上找到一点P （端点除外）使得直线AC 与平面PCF 所成角的3P 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在点P 是线段AB 的中点，使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34. 【解析】（1）在直角梯形ABCD 中，根据3BE BC ==，60BCD ∠=︒，得BCE ∆为等边三角形，再由余弦定理求得AE ，满足222AE BE AB +=，得到AE BE ⊥，再根据平面BCE ⊥平面ABED ，利用面面垂直的性质定理证明.（2）建立空间直角坐标系：假设在AB 上存在一点P 使直线AC 与平面PCF 所成角3且AP AB λ=uu u r uu u r ，()0,1λ∈，求得平面PCF 的一个法向量，再利用线面角公式()()2232332141cos ,CA n λλ=⋅-+-=u u u r r. 【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，3BE BC ==，60BCD ∠=︒， 因此BCE ∆为等边三角形，从而3BE =，又23AB = 由余弦定理得：21292233cos303AE =+-⨯︒=，∴222AE BE AB +=，即AE BE ⊥，且折叠后AE 与BE 位置关系不变，又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE I 平面ABED BE =. ∴AE ⊥平面BCE ，∵AE ⊂平面ACE ， ∴平面ACE ⊥平面BCE .（2）∵BCE ∆为等边三角形，F 为BE 的中点，∴CF BE ⊥，又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE I 平面ABED BE =， ∴CF ⊥平面ABED ，取AB 的中点G ，连结FG ，则//FG AE ，从而FG BE ⊥，以F 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：则33,,02A ⎫-⎪⎭，33C ⎛ ⎝⎭，则3333,,2CA =-⎭u u u r ， 假设在AB 上存在一点P 使直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34，且AP AB λ=uu u r uu u r，()0,1λ∈，∵30,,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()3,3,0AB =-u u u r ，故()3,3,0AP λλ=-u u u r ，∴)()33331,21,22CP CA AP λλ=+=---⎭u u u r u u u r u u u r ，又330,0,2FC ⎛= ⎝⎭u u u r ， 该平面PCF 的法向量为(),,n x y z =r，()()333312100220330x y z n CP n FC z λλ⎧-+--=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪=⎪u u u v v u u uv v ， 令()21y λ=-得()()()321,21,0n λλ=--r，∴()()2232332141cos ,CA n λλ=⋅-+-=u u u r r， 解得12λ=或76λ=（舍）， 综上可知，存在点P 是线段AB 的中点，使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为3. 【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次．．，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为X ，求X 的分布列及期望.【答案】（1）见解析；（2）（i ）该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；（ii ）若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元；（3）分布列见解析，()34E X =. 【解析】（1）估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.（2）对于两种方法，先计算出每亩平均产量，再算农场一年的利润.（3）估计频率分布直方图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，X 的可能取值有0，1，2，3，再算出相应的概率，写出分布列，再求期望. 【详解】（1）第一组数据平均数为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩， 第二组数据平均数为5442325.18 5.20 5.22 5.24 5.26 5.28 5.22202020202020⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩， 可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（ （2）（i ）对于采用延长光照时间的方法：每亩平均产量为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤. ∴该农场一年的利润为()5.242160.22100426⨯⨯--⨯=千元. （ii ）对于采用降低夜间温度的方法： 每亩平均产量为5.185 5.204 5.224 5.242 5.263 5.2825.2220⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤，∴该农场一年的利润为()5.222160.2100424⨯⨯--⨯=千元.因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，X 的可能取值有0，1，2，3，()315320910228C C P X ===；()2115532035176C C C P X ===；()121553205238C C C P X ===；()3532013114C P X C ===.所以X 的分布列为所以()3551312376381144E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.20．已知椭圆E ：22221x y a b+=的离心率为12，左、右顶点分别为A 、B ，过左焦点的直线l 交椭圆E 于C 、D 两点（异于A 、B 两点），当直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为6．（1）求椭圆的方程；（2）设直线AC 、BD 的交点为Q ；试问Q 的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）是为定值，Q 的横坐标为定值4-【解析】（1）根据“直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为6”列方程，由此求得b ，结合椭圆离心率以及222a b c =+，求得,a c ，由此求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程1x my =-，联立直线l 的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线,AC BD 的方程，并求得两直线交点Q 的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得Q 的横坐标为定值4-. 【详解】（1）依题意可知212262b a a⨯⋅=，解得23b =，即b =12e =，即2a c =，结合222a b c =+解得2a =，1c =，因此椭圆方程为22143x y +=（2）由题意得，左焦点()1,0F -，设直线l 的方程为：1x my =-，()11,C x y ，()22,D x y ．由221,3412,x my x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理得()2234690m y my +--=，∴122634m y y m +=+，122934y y m -=+． 直线AC 的方程为：()1122y y x x =++，直线BD 的方程为：()2222yy x x =--．联系方程，解得1221124263my y y y x y y +-=+，又因为()121223my y y y -=+．所以()1221121212626124433y y y y y y x y y y y -++---===-++．所以Q 的横坐标为定值4-．【点睛】本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知()()ln f x x m =+，()xg x e =.（1）当2m =时，证明：()()f x g x <；（2）设直线l 是函数()f x 在点()()()000,01A x f x x <<处的切线，若直线l 也与()g x 相切，求正整数m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2m =.【解析】（1）令()()()()ln 2xF x g x f x e x =-=-+，求导()1'2xF x e x =-+，可知()'F x 单调递增，且()1'02F =，()1'110F e-=-<，因而()'F x 在()1,0-上存在零点a ，()F x 在此取得最小值，再证最小值大于零即可.（2）根据题意得到()f x 在点()()()000,01A x f x x <<处的切线l 的方程()0000ln x x y x m x m x m=-++++①，再设直线l 与()g x 相切于点()11,x x e ， 有101x me x =+，即()10ln x x m =-+，再求得()g x 在点()11,xx e 处的切线直线l 的方程为()0000ln 1x m x y x m x m x m+=+++++ ②由①②可得()()000000ln 1ln x m x x m x m x m x m+-+=+++++，即()()0001ln 1x m x m x +-+=+，根据010x m +->，转化为()0001ln 1x x m x m ++=+-，001x <<，令()()()1ln 011h x x m x x m x +=+-<<+-，转化为要使得()h x 在()0,1上存在零点，则只需()10ln 01m h m =-<-，()()21ln 10h m m =+->求解. 【详解】（1）证明：设()()()()ln 2xF x g x f x e x =-=-+，则()1'2xF x e x =-+，()'F x 单调递增，且()1'02F =，()1'110F e-=-<， 因而()'F x 在()1,0-上存在零点a ，且()F x 在()2,a -上单调递减，在(),a +∞上单调递增，从而()F x 的最小值为()()()211ln 2022a a F a e a a a a +=-+=+=>++.所以()0F x >，即()()f x g x <.（2）()1'f x x m=+，故()001'f x x m =+， 故切线l 的方程为()0000ln x x y x m x m x m=-++++①设直线l 与()g x 相切于点()11,xx e ，注意到()'x g x e =，从而切线斜率为101x me x =+， 因此()10ln x x m =-+，而()1101x g x e x m ==+，从而直线l 的方程也为()0000ln 1x m x y x m x m x m+=+++++ ②由①②可知()()000000ln 1ln x m x x m x m x m x m+-+=+++++， 故()()0001ln 1x m x m x +-+=+，由m 为正整数可知，010x m +->，所以()0001ln 1x x m x m ++=+-，001x <<， 令()()()1ln 011h x x m x x m x +=+-<<+-， 则()()()()21'01x x m x m x m h x ++=>++-，当1m =时，()()1ln 1x x h x x ++-=为单调递增函数，且()1ln 220h =-<，从而()h x 在()0,1上无零点；当1m >时，要使得()h x 在()0,1上存在零点，则只需()10ln 01m h m =-<-，()()21ln 10h m m=+->， 因为()11ln 1h m m m =--为单调递增函数，()11ln 3230h =->， 所以3m <；因为()()22ln 1h m m m=+-为单调递增函数，且()21ln 220h =-<， 因此1m >；因为m 为整数，且13m <<，所以2m =.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：()2sin 2cos 0a a ρθθ=>.过点()2,4P --的直线l：2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 相交于M ，N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若MN PN PM MN=，求实数a 的值. 【答案】（1）()220y ax a =>，20x y --=；（2）1a =. 【解析】（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入2sin 2cos a ρθθ=求解，由2242x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）消去t 即可.（2）将2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与22y ax =联立得)()24840t a t a -+++=，设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t，则)124t t a +=+，()1284t t a =+，再根据MN PN PM MN=，即2MN PM PN =，利用韦达定理求解.【详解】（1）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 2cos a ρθθ=， 得()220y ax a =>，由24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 消去t 得20x y --=，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是()220y ax a =>，20x y --=. （2）将24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入22y ax =得)()24840t a t a -+++=， 设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t，则)124t t a +=+，()1284t t a =+， 由MN PN PM MN=得2MN PM PN =， 所以()21212t t t t -=，即()212125t t t t +=，所以()()284584a a +=⨯+，而0a >， 解得1a =.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知函数1()||()3f x x a a =-∈R . （1）当2a =时，解不等式1()13x f x -+≥； （2）设不等式1()3x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果.（2）利用等价转化的思想，可得不等式|31|||3x x a x -+-≤在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关系，可得结果.【详解】（1）当2a =时，原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥. ①当13x ≤时，则33012x x x -++-⇒≤≥，所以0x ≤； ②当123x <<时， 则32113x x x -+≥⇒≥-，所以12x ≤<；⑧当2x ≥时， 则332132x x x +≥⇒≥--，所以2x ≥. 综上所述：当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥.（2）由1||()3x f x x -+≤， 则|31|||3x x a x -+-≤，由题可知：|31|||3x x a x -+-≤在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤，即11a x a -≤≤+， 所以1114312312a a a ⎧-≤⎪⎪⇒-≤≤⎨⎪+≥⎪⎩故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想，属中档题.。

2020年湖南师大附中高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)

2020年湖南师大附中高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)

2020年湖南师大附中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F满足，那么A.B.C.D.4.函数其中e为自然对数的底的图象大致是A. B.C. D.5.在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为A. B. C. D.6.的展开式中的常数项为A. 14B.C. 16D.7.已知为锐角，且，则的值为A. B. C. D.8.设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点已知动点P在椭圆上，且P，E，不共线，若的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为A. B. C. D.9.设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是A. B. C. D.10.设是数列的前n项和，若，，则数列的前99项和为A. B. C. D.11.已知函数若，则ab的最小值为A. B. C. D.12.已知双曲线C：，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间．已知O为原点，且，则A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知函数为偶函数，则______．14.已知是等比数列的前n项和，且，，成等差数列，，则______．15.若的图象关于直线对称，且当取最小值时，，使得，则a的取值范围是______．16.在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．Ⅰ求角C的值；Ⅱ若，且的面积为，求的周长．18.如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为O，且，C.Ⅰ求证：平面：Ⅱ设，若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．19.已如椭圆：：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．Ⅰ求椭圆和抛物线的方程；Ⅱ过点的直线l与椭圆交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为当直线l 绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．20.某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．Ⅰ求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；Ⅱ在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过N，次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以表示，求的分布列和数学期望．21.已知函数，既存在极大值，又存在极小值．Ⅰ求实数的取值范围；Ⅱ当时，，分别为的极大值点和极小值点．且，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系x0y中，直线的参数方程为为参数，直线的参数方程为为参数设直线与的交点为当k变化时点P的轨迹为曲线．Ⅰ求出曲线的普通方程；Ⅱ以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点Q为曲线上的动点，求点Q到直线的距离的最大值．23.已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ若函数的最小值为m，正数a，b满足求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，，又，则，，故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：故选：D．复数分母实数化，再化简即可．本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，是基础题．3.答案：C解析：解：，故选：C．利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果．本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题．4.答案：A解析：解：当时，函数，，有且只有一个极大值点是，故选：A．利用函数的导数，求出函数的极大值，判断函数的图形即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的图象的判断，考查分析问题解决问题的能力．5.答案：C解析：解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4．图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和，其面积为．所求概率．故选：C．设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，是基础题．6.答案：A解析：解：，故它的展开式中的常数项为，故选：A．把按照二项式定里展开，可得的展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.答案：B解析：解：整理得：，转换为，即，则：．当时，两边相等．故选：B．直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：D解析：解：的周长为，当P，E，共线时，此时周长最小，，，，故选：D．当P，E，共线时，此时的周长的最小，即可得到，再根据离心率公式计算即可．本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，9.答案：C解析：解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC的中点，则外接圆的半径，而，，所以，所以，过BC的中点做垂直于底面的直线交中截面与O点，则O为外接球的球心，由题意得：，所以外接球的表面积，故选：C．直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积．考查直棱柱的外接球的求法及球的表面积公式，属于基础题．10.答案：C解析：解：，，两式作差得，，故，，所以，所以，故选：C．利用两式作差，代入求出，再利用裂项相消法求出和即可．考查数列的性质，裂项相消法求数列的和，注意式子的灵活变换，中档题．11.答案：B解析：解：画出函数的图象，如图所示；由，且，设，则；所以，；当时，；考虑，在同一坐标系中画出函数和的图象，其中，如图所示；则函数的图象总在的图象上方，所以，即ab的最小值为．故选：B．画出函数的图象，由题意得出，则；可求得a、b的表达式，计算时；再求恒成立即可．本题考查了分段函数的应用问题，正确画出函数图象和熟练掌握函数的性质是解题的关键．12.答案：B解析：解：双曲线C：的右焦点，渐近线OB的方程为，渐近线OA的方程为，可得，，，可得，解得或舍去，可得，由，可得，则，则．故选：B．设出右焦点F的坐标和渐近线OA，OB的方程，由点到直线的距离公式可得，结合直角三角形的勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得a，b的关系，结合直角三角形的射影定理，化简计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形的射影定理和锐角三角函数的定义、以及两直线的夹角公式，考查化简运算能力，属于中档题．13.答案：解析：解：根据题意，函数，其定义域为R，若为偶函数，则，则有，变形可得：，必有；故答案为：．根据题意，由函数奇偶性的定义可得，据此变形分析可得答案．本题考查函数的性质以及判断，关键是掌握偶函数的定义，属于基础题．14.答案：3解析：解：是等比数列的前n项和，且设公比为q，由，，成等差数列，可得，显然时，，即不成立；则，化为，即，解得，由，可得，则．故答案为：3．等比数列的公比设为q，运用等差数列的中项性质，对公比q判断不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得，再由等比数列的通项公式，计算可得所求值．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.答案：解析：解：的图象关于直线对称，所以，解得，当时，．所以由于，所以，所以，即a的范围为．故答案为：．直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.答案：解析：解：在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，，，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则，，，且，，，，，，平面PBC，四面体的体积为：．故答案为：．推导出，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则，，，推导出，从而平面PBC，进而四面体的体积为，由此能求出结果．本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：解：，，，，，，，由题意可得，，，，联立可得，或，若，，则由余弦定理可得，，此时，若，，则此时为等边三角形，此时周长6．解析：结合三角形内角和及诱导公式对已知进行化简可求cos C，进而可求C，由已知，结合三角形的面积公式可求，a，b然后结合C的值及余弦定理可求c，进而可求周长．本题主要考查了三角形的内角和及诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础试题．18.答案：解：Ⅰ证明：侧面是菱形，，又，，AB，均在平面内，平面，平面，，，O为的中点，，又，，均在平面内，平面；Ⅱ，直线与平面所成角等于直线AB与平面所成角，平面，直线AB与平面所成角为，即，设菱形的边长为2，则在等边中，，在直角中，，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，易知平面的一个法向量为，，又二面角为钝角，故其余弦值为．解析：Ⅰ利用平面可证得，利用三线合一可证得，进而得证；Ⅱ建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ设椭圆的半焦距为c，依题意，可得，则：，代入，得，即，所以，则有，，，，，，所以椭圆的方程为，抛物线的方程为；Ⅱ过点的直线l设为，联立椭圆方程，消去y得，设，，，可得，，直线EN的方程为，即为，即，代入韦达定理可得，则直线EN过定点．解析：Ⅰ利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程抛物线方程；Ⅱ把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设，，，求得直线EN的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点．本题考查椭圆以及抛物线的方程和简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量，抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率：．Ⅱ的可能取值为0，1，2，，n，，，，，，，0 1 2nP，，，得：．解析：Ⅰ任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．Ⅱ的可能取值为0，1，2，，n，，，，，，，由此能求出的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：，存在极大值点和极小值点，且，令，解得，或，时，，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，时，，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，故a的范围为，由可知，且的极大值点为，极小值点为，，，，令，对任意恒成立，由于此时，故，故，即，设，，令，，时，，故，在递增，故，即，符合题意，时，，设的两根为，，且，则，，故，则当时，，递减，故当时，，即，矛盾，不合题意，综上，，即，．解析：求出函数的导数，结合函数的单调性确定a的范围即可；求出函数的极值点，问题转化为，设，根据函数的单调性确定k的范围即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：Ⅰ直线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为直线的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为所以得到．Ⅱ直线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．设曲线的上的点到直线的距离，当时，．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.答案：解：Ⅰ，由，得．，由，有或或，或，不等式的解集为或Ⅱ证明：，，，，当且仅当时取等号，．解析：Ⅰ根据，可得或或，然后解不等式组即可得到解集；Ⅱ先利用绝对值三角不等式求出的最小值，再利用基本不等式求出的最小值即可．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．。

湖南省长沙市高考数学一模试卷理(含解析)

湖南省长沙市高考数学一模试卷理(含解析)

湖南省长沙市高考数学一模试卷理（含解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣32．记集合A={x|x﹣a＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，若0∈A∩B，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0] C．[0，+∞）D．（0，+∞）3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱4．二项式（x﹣2）5展开式中x的系数为（）A．5 B．16 C．80 D．﹣805．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．a n=（﹣1）n﹣1+1 B．a n=C．a n=2sin D．a n=cos（n﹣1）π+16．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（）A．10种B．60种C．125种D．243种7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18合计20 10 30附表：p（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8．函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间是（）A．[﹣，] B．[﹣2π，﹣]C．[，2π] D．[﹣2π，﹣]和[，2π]9．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣210．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.911．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）12．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13． =_______．14．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于_______．15．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为_______．16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，令F（x）=（x﹣b）f（x﹣b）+2014，若b是a、c的等差中项，则F（a）+F（c）=_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1++…+=2n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天）（Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE，CG=DE．（1）证明：面GEF⊥面AEF；（2）求二面角B﹣EG﹣C的余弦值．20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，1）是C1上一点．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣ax（a为常数）有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）设f（x）的两个极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。

(全优试卷)湖南省湘西州高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

(全优试卷)湖南省湘西州高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

2017年湖南省湘西州高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x |y=lg （x 2+4x ﹣12）}，B={x |﹣3＜x ＜4}，则A ∩B 等于（ ）A ．（﹣3，﹣2）B ．（﹣3，2）C ．（2，4）D ．（﹣2，4）2．复数z=的实部为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1、D ．03．假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表：对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为（ ） A ．a=45，c=15 B ．a=40，c=20 C ．a=35，c=25 D ．a=30，c=30 4．已知函数f （x ）=cos （ωx ﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f （x ）的图象（ ）A ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向左平移个单位而得B ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向右平移个单位而得C ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向左平移个单位而得D ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向右平移个单位而得5．执行如图的程序框图，若输入k 的值为3，则输出S 的值为（ ）A．10 B．15 C．18 D．216．在△ABC中，A=30°，AB=3，AC=2，且+2=0，则•等于（）A．18 B．9 C．﹣8 D．﹣67．若实数x，y满足不等式组且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．18．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．189．若tan cos=sin﹣msin，则实数m的值为（）A．2B．C．2 D．310．已知f（x）=在区间（0，4）内任取一个为x，则不等式log2x﹣（log4x﹣1）f（log3x+1）≤的概率为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0＞）是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，若=2，则|AF|等于（）A．B．1 C．2 D．312．已知函数f（x）=ae x﹣2x﹣2a，且a∈[1，2]，设函数f（x）在区间[0，ln2]上的最小值为m，则m的取值范围是（）A．[﹣2，﹣2ln2]B．[﹣2，﹣]C．[﹣2ln2，﹣1]D．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（1﹣）5的展开式中常数项为．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0，b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．15．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则CF与平面ABCD所成角的正切值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且6S n=3n+1+a（n∈N+）（1）求a的值及数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（1﹣an）log3（a n2•a n+1），求的前n项和为T n．18．（12分）某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）学生的人数，求X的分布列及数学期望．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1⊥平面ABC，A1B1∥AB，AB=2A1B1，E是AC的中点．（1）求证：A1E∥平面BB1C1C；（2）若AC=BC=2，AB=2BB1=2，求二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．20．（12分）已知右焦点为F2（c，0）的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点（，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，其中a∈R（1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）．（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＞1解集；（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．2017年湖南省湘西州高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2） C．（2，4）D．（﹣2，4）【考点】交集及其运算．【分析】求对数函数的定义域得出集合A，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}={x|x2+4x﹣12＞0}={x|x＜﹣6或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜4}=（2，4）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．复数z=的实部为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1、 D．0【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴复数z=的实部为0．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表：对同一样本，以下数据能说明X 与Y有关系的可能性最大的一组为（ ） A ．a=45，c=15 B．a=40，c=20 C ．a=35，c=25 D ．a=30，c=30【考点】独立性检验的应用． 【分析】根据题意，a 、c 相差越大，与相差就越大，由此得出X 与Y 有关系的可能性越大．【解答】解：根据2×2列联表与独立性检验的应用问题， 当与相差越大，X 与Y 有关系的可能性越大；即a 、c 相差越大，与相差越大；故选：A ．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题目．4．已知函数f （x ）=cos （ωx ﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f （x ）的图象（ ）A ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向左平移个单位而得B ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向右平移个单位而得C ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向左平移个单位而得D ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向右平移个单位而得【考点】余弦函数的图象．【分析】根据函数f （x ）的最小正周期为π，求出解析式，在利用三角函数的平移变换考查也选项即可．【解答】解：函数f （x ）=cos （ωx ﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，即T=，∴ω=2，则f（x）=cos（2x﹣）的图象可有函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的解析式的求法和三角函数的平移变换的运用．属于基础题．5．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．21【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=3，n=1，S=1满足条件S＜kn，执行循环体，n=2，S=3满足条件S＜kn，执行循环体，n=3，S=6满足条件S＜kn，执行循环体，n=4，S=10满足条件S＜kn，执行循环体，n=5，S=15此时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．6．在△ABC中，A=30°，AB=3，AC=2，且+2=0，则•等于（）A．18 B．9 C．﹣8 D．﹣6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知求出角B的大小，然后根据直角三角形的性质得到CD，再数量积公式计算可得．【解答】解：由题意，如图：因为2×sin30°=3=AB，所以∠C=90°，因为+2=0，则AD=2，BD=1，则BC=，所以tan∠BCD=，所以∠BCD=30°，所以∠DCA=30°，得到CD=2，所以•=2×2×cos150°=﹣6．故选：D．【点评】本题考查了平面图形中向量的数量积的计算；充分利用平面图形的性质是解答的前提．7．若实数x，y满足不等式组且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，在可行域中找出最优点，然后求解即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组，不是的可行域如图：3（x﹣a）+2（y+1）=3x+2y+2﹣3a的最大值为：5，由可行域可知z=3x+2y+2﹣3a，经过A时，z取得最大值，由，可得A（1，3）可得3+6+2﹣3a=5，解得a=2．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查目标函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是长方体和三棱柱的组合体，结合图中数据求出它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是上部为长方体，下部为三棱柱的组合体，画出几何体的直观图如图所示，根据图中数据，计算其体积为V组合体=V三棱柱+V长方体=．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力和体积公式的应用问题，是基础题．9．若tan cos=sin﹣msin，则实数m的值为（）A．2B．C．2 D．3【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用“切化弦”的思想，在结合二倍角即可求解．【解答】解：由tan cos=sin﹣msin，可得：sin cos=cos sin﹣msin cos，⇔sin cos（）=cos sin（）﹣msin cos，⇔sin2=cos2﹣sin，⇔，∴m=故选：A．【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和“切化弦”的思想，二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．10．已知f（x）=在区间（0，4）内任取一个为x，则不等式log2x﹣（log4x﹣1）f（log3x+1）≤的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先求出不等式log2x﹣（log4x﹣1）f（log3x+1）≤的解集，再以长度为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，log3x+1≥1且log2x﹣（log4x﹣1）≤，或0＜log3x+1＜1且log2x+2（log4x﹣1）≤，解得1≤x≤2或＜x＜1，∴原不等式的解集为（，2]．则所求概率为=．故选：B．【点评】本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，正确求出不等式的解集是关键．11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0＞）是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，若=2，则|AF|等于（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，|MF|=x0+．利用圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，可得|MA|=2（x0﹣），利用=2，求出x0，p，即可求出|AF|．【解答】解：由题意，|MF|=x0+．∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，∴|MA|=2（x0﹣），∵=2，∴|MF|=|MA|，∴x0=p，∴2p2=8，∴p=2，∴|AF|=1．故选B．【点评】本题考查抛物线的方程与定义，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）=ae x﹣2x﹣2a，且a∈[1，2]，设函数f（x）在区间[0，ln2]上的最小值为m，则m的取值范围是（）A．[﹣2，﹣2ln2]B．[﹣2，﹣]C．[﹣2ln2，﹣1]D．[﹣1，﹣]【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】构造函数g（a），根据a的范围，求出f（x）的最大值，设为M（x），求出M（x）的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：构造函数g（a）=（e x﹣2）a﹣2x是关于a的一次函数，∵x∈[0，ln2]，∴e x﹣2＜0，即y=g（a）是减函数，∵a∈[1，2]，∴f（x）max=2（e x﹣2）﹣2x，设M（x）=2（e x﹣2）﹣2x，则M′（x）=2e x﹣2，∵x∈[0，ln2]，∴M′（x）≥0，则M（x）在[0，ln2]上递增，∴M（x）min=M（0）=2，M（x）max=M（ln2）=﹣2ln2，m的取值范围是[﹣2，﹣2ln2]，故选：A．【点评】本题考查了一次函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了转化能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（x+3）（1﹣）5的展开式中常数项为43．【考点】二项式系数的性质．==（﹣2）k，【分析】（1﹣）5的展开式中通项公式T k+1令﹣=0，或﹣1，解得k即可得出．==（﹣2）k，【解答】解：（1﹣）5的展开式中通项公式T k+1令﹣=0，或﹣1，解得k=0，或2．∴（x+3）（1﹣）5的展开式中常数项=3+=43．故答案为：43．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0，b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用平面几何的性质可得△ABC为等边三角形，则b=•2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由线段AC的垂直平分线过点B，结合对称性可得△ABC为等边三角形，则b=•2a，即b=a，c===a，则e==，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用平面几何的性质，以及双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．15．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2﹣b2=4，代入“三斜求积”公式即可计算得解．【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=4sinA，可得：ac=4，由于（a+c）2=12+b2，可得：a2+c2﹣b2=4，可得：==．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则CF与平面ABCD所成角的正切值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连结AC、BD，交于点O，当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，从而F∈AA1，进而∠CAF是CF与平面ABCD所成角，由△C1A1F∽△EAO，求出AC，由此能求出CF与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，∵四边形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD，∴BD⊥平面ACC1A1，则当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1，∴∠CAF是CF与平面ABCD所成角，在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，则=，∵A1C1=2AO=AB=2，AE=，∴A1F=，∴AF=，∴tan==．∴CF与平面ABCD所成角的正切值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）（2017•邵阳二模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且6S n=3n+1+a （n∈N+）（1）求a的值及数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（1﹣an）log3（a n2•a n+1），求的前n项和为T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）等比数列{a n}满足6S n=3n+1+a（n∈N+），n=1时，6a1=9+a；n≥2），可得a n=3n﹣1，n=1时也成立，于是1×6=9+a，解得a．时，6a n=6（S n﹣S n﹣1（2）由（1）代入可得b n=（1+3n）=（3n+1）（3n﹣2），因此=．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}满足6S n=3n+1+a（n∈N+），n=1时，6a1=9+a；n≥2时，6a n=6（S n﹣S n）=3n+1+a﹣（3n+a）=2×3n．﹣1∴a n=3n﹣1，n=1时也成立，∴1×6=9+a，解得a=﹣3．∴a n=3n﹣1．（2）b n=（1﹣an）log3（a n2•a n+1）=（1+3n）=（3n+1）（3n﹣2），∴=．的前n 项和为T n=+…+==．【点评】本题考查了等比数列的定义通项公式、数列递推关系、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•邵阳二模）某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm ）频数分布表如表1、表2． 表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165，180）学生的人数，求X 的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设高一女学生人数为x ，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30，则=，解得x ．（2）由表1和2可得样本中男女生人数分别为：5+14+13+6+3+1=42．样本容量为70．可得样本中该校学生身高在[165，180）的概率=．即估计该校学生身高在[165，180）的概率．（3）由题意可得：X的可能取值为0，1，2．由表格可知：女生身高在[165，180）的概率为．男生身高在[165，180）的概率为．即可得出X的分布列与数学期望．【解答】解：（1）设高一女学生人数为x，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30，则=，解得x=300．因此高一女学生人数为300．（2）由表1和2可得样本中男女生人数分别为：5+14+13+6+3+1=42．样本容量为70．∴样本中该校学生身高在[165，180）的概率==．估计该校学生身高在[165，180）的概率=．（3）由题意可得：X的可能取值为0，1，2．由表格可知：女生身高在[165，180）的概率为．男生身高在[165，180）的概率为．∴P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）==．∴X的分布列为：∴E（X）=0++=．【点评】本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•湘西州一模）在如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1⊥平面ABC，A1B1∥AB，AB=2A1B1，E是AC的中点．（1）求证：A1E∥平面BB1C1C；（2）若AC=BC=2，AB=2BB1=2，求二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB的中点F，连结EF，A1F，推导出FA1∥BB1，EF∥CB，由此能证明平面A1EF∥平面BB1C1C．（2）连结CF，则CF⊥AB，以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．【解答】证明：（1）取AB的中点F，连结EF，A1F，∵AB=2A1B1，∴BF=A1B1，∵A1B1∥AB，∴FA1∥BB1，∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥CB，∵EF∩FA1=F，∴平面A1EF∥平面BB1C1C．解：（2）连结CF，则CF⊥AB，以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），A1（0，0，1），B（0，1，0），C（，0，0），∴E（，﹣，0），=（0，﹣1，1），=（，﹣，0），设平面A1BE的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，1），平面ABA1的法向量=（1，0，0），设二面角A﹣BA1﹣E的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣BA1﹣E的余弦值为．【点评】本题考查面面的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2017•邵阳二模）已知右焦点为F2（c，0）的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点（，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，求出a，b，c，椭圆方程可求；（2）线l过点（，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+，和椭圆方程联立，把MA的斜率用直线l的斜率表示，由基本不等式求得范围．【解答】解：（1）∵椭圆C过点（1，），∴+=1，①…（1分）∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，…（2分）∴，②…（3分）由①②得a=2，b=，…∴椭圆C的方程为…（2）依题意，直线l过点（，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+…（7分）联立方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0（6分）设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），则∴y1+y2=﹣，（7分）∴y0=﹣，x0=，∴k=，（9分）①当m=0时，k=0；（10分）②当m≠0时，k=，∵|4m+|=4|m|+≥8，∴0＜|k|≤，∴﹣≤k≤且k≠0．（11分）综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：﹣≤k≤．…（12分）【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线间的关系，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．21．（12分）（2017•邵阳二模）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，其中a∈R（1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求函数h（x）的定义域，求出函数h（x）的导数，从而讨论判断函数的单调性；（2）分类讨论函数的单调性，从而化存在性问题为最值问题，从而解得．【解答】解：（1）函数h（x）=x﹣alnx+的定义域为（0，+∞），h′（x）=1﹣﹣=，①当1+a≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）上是增函数；②当1+a＞0，即a＞﹣1时，x∈（0，1+a）时，h′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）时，h′（x）＞0；故h（x）在（0，1+a）上是减函数，在（1+a，+∞）上是增函数；（2）由（1）令h（x0）=f（x0）﹣g（x0），x0∈[1，e]，①当a≤﹣1时，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；②当﹣1＜a≤0时，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；③当0＜a≤e﹣1时，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为h（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，无解；④当e﹣1＜a时，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为h（e）=e﹣a+＜0，解得，a＞；综上所述，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用及存在性问题的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•湖北模拟）在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）．（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出圆C1的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）将圆C2化成普通方程，根据两圆外切列出方程解出a．【解答】解：（1）将O，A，B三点化成普通坐标为O（0，0），A（0，2），B（2，2）．∴圆C1的圆心为（1，1），半径为，∴圆C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，将代入普通方程得ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，∴ρ=2sin（）．（2）∵圆C2的参数方程为（θ是参数），∴圆C2的普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2．∴圆C2的圆心为（﹣1，﹣1），半径为|a|，∵圆C1与圆C2外切，∴2=+|a|，解得a=±．【点评】本题考查了圆的极坐标方程与普通方程的互化，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•邵阳二模）设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＞1解集；（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1解集．（2）根据题意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值，从而求得m的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离，而0对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离正好等于1，故不等式f（x）＞1解集为{x|x＞0}．（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，故|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|．利用绝对值的意义可得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值为3+4=7，∴|1﹣m|≤7，故﹣7≤m﹣1≤7，求得﹣6≤m≤8，m的范围为[﹣6，8]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，函数的能成立问题，属于中档题．。

2019届湖南省长沙市湖南师范大学附中高考模拟(一)数学(理)试题及答案

2019届湖南省长沙市湖南师范大学附中高考模拟(一)数学(理)试题及答案

绝密★启用前2019届湖南省长沙市湖南师范大学附中高考模拟（一）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．已知复数()()2019311i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．z =答案：D利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案. 解：因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故4504334i 24i 24i 242i i i iz ⨯++++====-+-，故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共轭复数为42z i =--，C 错误；z ==D 正确. 故选：D. 点评：本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：C利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决. 解：如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线m平行于平面α与平面β的交线时也有//m α，//m β，故②错误；若m α⊥，则m 垂直平面α内以及与平面α平行的所有直线，故③正确；若//m α，则存在直线l α⊂且//m l ，因为m β⊥，所以l β⊥，从而αβ⊥，故④正确. 故选：C. 点评：本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.3．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B ①利用p ∧q 真假表来判断，②考虑内角为90，③利用特称命题的否定是全称命题判断，④利用集合间的包含关系判断. 解：若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为90时，不是象限角，故②错误；由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为B A ⊆，所以x B ∈⇒x A ∈，所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件， 故④正确. 故选：B. 点评：本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题.4．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（）A ．58B ．57C ．56D ．55答案：B先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可. 解：本程序框图的功能是计算m ，n 中的最大公约数，所以199********=⨯+，228171157=⨯+，1713570=⨯+，故当输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是57. 故选：B. 点评：本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 5．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．7B ．7-C ．17D ．17-答案：A 由()4sin 5πα+=及sin 20α<得到sin α、cos α，进一步得到tan α，再利用两角差的正切公式计算即可. 解：因为()4sin 5πα+=，所以4sin 5α=-，又sin 22sin cos 0ααα=<，所以3cos 5α=，4tan 3α=-，所以41tan 13tan 7441tan 13πααα---⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭-. 故选：A. 点评：本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.6．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（） A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件答案：D由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 解：设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*4750,,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，显然当5599y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D. 点评：本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.7．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是2,2⎡-⎣；②函数4f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C化()f x )4x π-可判断①，求出4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式可判断②，由,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得353[,]444x πππ-∈，结合正弦函数得图象即可判断③，由()()()12f x f x f x ≤≤得12min 2Tx x -=可判断④.解：由题意，())4f x x π=-，所以()f x ∈⎡⎣，故①正确；4f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭)]44x ππ+-=)2x π+=x 为偶函数，故②错误；当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，353[,]444x πππ-∈，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ∈R ，都有 ()()()12f x f x f x ≤≤成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为23T π=，故④正确. 故选：C. 点评：本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.8．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -答案：D先将所求问题转化为()11e x k x -<对任意x ∈R 恒成立，即1xy e=得图象恒在函数 (1)y k x =-图象的上方，再利用数形结合即可解决.解： 由()1f x <得()11e x k x -<，由题意函数1xy e=得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方， 作出函数的图象如图所示过原点作函数1xy e=的切线，设切点为(,)a b ，则1e e aa b a a --==，解得1a =-，所以切 线斜率为e -，所以e 10k -<-≤，解得1e 1k -<≤. 故选：D. 点评：本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题.9．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+，则x y +的取值范围是（）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,4答案：C以A 为坐标原点，以,AB AD 分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决. 解：以A 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则(1,0)B ，(1,1)E -，设(,1)(01)P t t ≤≤，则(,1)(1,0)(1,1)t x y =+-，所以t x y =-，且1y =， 故2x y t +=+[]2,3∈. 故选：C. 点评：本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，是一道基础题.10．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（） A ．3.12 B ．3.13C ．3.14D ．3.15答案：B先利用几何概型的概率计算公式算出x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出π. 解：因为x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，所以有01x <<，01y <<，若x ，y 能与1构成锐角三角形三边长，则2211x y x y +>⎧⎨+>⎩，由几何概型的概率计算公式知11435411142000m P n ππ⨯-==-==⨯， 所以4354(1)2000π=⨯-=3.13. 故选：B. 点评：本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（）A ．()B ．()C ．()D ．()答案：A由已知先确定出双曲线方程为2213y x -=，再分别找到12F PF △为直角三角形的两种情况，最后再结合122PF PF -=即可解决. 解：由已知可得22a =，2ca=，所以1,2,a c b ==== 2213y x -=，不妨设点P 在双曲线C 右支上运动，则122PF PF -=，当12PF PF ⊥时，此时221216PF PF +==122()2PF PF -+12PF PF ，所以126PF PF =，122()PF PF +=22122PF PF ++1228PF PF =，所以12PF PF +=当2PF x ⊥轴时，221216PF PF =+，所以121682PF PF =+=，又12F PF △为锐角三角形，所以12PF PF +()∈. 故选：A. 点评：本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到12F PF △为锐角三角形的临界情况，即12F PF △为直角三角形，是一道中档题.12．已知定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（） A ．168 B ．249C ．411D ．561答案：C先确定解析式求出(2019)f 的函数值，然后判断出方程()()2019f x f =的最小实根的范围结合此时的5()3f x x =-，通过计算即可得到答案. 解：当1x ≥时，()()33f x f x =，所以22()3()3()33x x f x f f ===3()3n n xf =，故当 +133n n x ≤≤时，[1,3]3n x ∈，所以()13,233(12)33,23n n nn n nx x x f x x x +⎧-≥⋅=--=⎨-<⋅⎩，而 672019[3,3]∈，所以662019(2019)3(12)3f =--=732109168-=，又当13x ≤≤时， ()f x 的极大值为1，所以当+133n n x ≤≤时，()f x 的极大值为3n ，设方程()168f x =的最小实根为t ，45168[3,3]∈，则56533(3,)2t +∈，即(243,468)t ∈，此时5()3f x x =-令5()3168f x x =-=，得243168411t =+=，所以最小实根为411. 故选：C. 点评：本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题. 二、填空题13．设()1223310101010101010190909019090kk k n C C C C C =-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+，则n 除以88的余数是______. 答案：1利用二项式定理得到1089n =，将89写成1+88，然后再利用二项式定理展开即可. 解：101010(190)89(188)n =-==+12233101010101010188888888C C C C =⋅++++⋅⋅+，因展开式中后面10项均有88这个因式，所以n 除以88的余数为1. 故答案为：1 点评：本题考查二项式定理的综合应用，涉及余数的问题，解决此类问题的关键是灵活构造二项式，并将它展开分析，本题是一道基础题.14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是______.答案：6π先由三视图在长方体中将其还原成直观图，再利用球的直径是长方体体对角线即可解决. 解：由三视图知该几何体是一个三棱锥，如图所示长方体对角线长为2222116++=，所以三棱锥外接球半径r 为6，故所求外接球的 表面积246S r ππ==. 故答案为：6π. 点评：本题考查几何体三视图以及几何体外接球的表面积，考查学生空间想象能力以及基本计算能力，是一道基础题.15．如图，ABC 的外接圆半径为23，D 为BC 边上一点，且24BD DC ==，90BAD ∠=︒，则ABC 的面积为______.答案：33先由正弦定理得到120BAC ∠=，再在三角形ABD 、ADC 中分别由正弦定理进一步得到B=C ，最后利用面积公式计算即可. 解：依题意可得6BC =，由正弦定理得2sin BC R BAC =∠，即3sin 43BAC ∠==，由图可 知BAC ∠是钝角，所以120BAC ∠=，30DAC ∠=，在三角形ABD 中，sin AD BD B =，4sin B =，在三角形ADC 中，由正弦定理得sin sin AD CDC DAC=∠即4sin AD C =， 所以，sin sin B C =，故30B C ==，23AB =，2AD =，故ABC 的面积为1sin 332AB BC B ⋅⋅=. 故答案为：33.点评：本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式，本题属于中档题.16．如图，在平面四边形ABCD 中，点A ，C 是椭圆22143x y +=短轴的两个端点，点B 在椭圆上，90BAD BCD ∠=∠=︒，记ABC 和ADC 的面积分别为1S ，2S ，则12S S =______.答案：43依题意易得A 、B 、C 、D 四点共圆且圆心在x 轴上，然后设出圆心，由圆的方程与椭圆方程联立得到B 的横坐标，进一步得到D 横坐标，再由12||||B D S x S x =计算比值即可. 解：因为90BAD BCD ∠=∠=︒，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，直径为BD ，又A 、C 关于x 轴对称， 所以圆心E 在x 轴上，设圆心E 为(,0)t ，则圆的方程为222()3x t y t -+=+，联立椭圆方程22143x y +=消y 得280x tx -=，解得8x t =，故B 的横坐标为8t ，又B 、D 中点是E ，所以D 的横坐标为6t -，故12||||B D S x S x =43=. 故答案为：43. 点评：本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题，考查学生基本计算能力及转化与化归思想，本题关键是求出B 、D 横坐标，是一道有区分度的压轴填空题. 三、解答题17．在数列{}n a 中，已知11a =，且()()1131n n na n a n n +=+++，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()11n n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1143n T ≤<.答案：（1）232n a n n =-；（2）见解析.（1）由已知变形得到131n na a n n +-=+，从而{}n a n是等差数列，然后利用等差数列的通项公式计算即可；（2）先求出数列{}n b 的通项，再利用裂项相消法求出n T 即可. 解：（1）由已知，131n n a a n n +=++，即131n n a an n +-=+，又111a =，则数列{}n a n是以1为首项3为公差的等差数列，所以1(1)332n a n n n=+-⨯=-，即232n a n n =-.（2）因为(32)n a n n =-，则()111(32)(31)n n n n n b a a n n ++==-+111()33231n n =--+，所以111111[(1)()()]34473231n T n n =-+-++-=-+111(1)3313n T n =-<+，又1{1}31n -+是递增数列，所以114n T T ≥=，综上，1143n T ≤<.点评：本题考查由递推公式求数列通项公式、裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道基础题.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形//AB DC ，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，2CD =，PC ⊥底面ABCD ，且2PC =，E 为CD 的中点.（1）证明：BE AP ⊥；（2）设点M 是线段BP 上的动点，当直线AM 与直线DP 所成的角最小时，求三棱锥P CDM -的体积.答案：（1）见解析；（2）229. （1）要证明BE AP ⊥，只需证明BE ⊥平面PAC 即可；（2）以C 为原点，分别以,,CD CB CP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求cos ,AM DP <>，并求其最大值从而确定出13BM BP =使问题得到解决. 解：（1）连结AC 、AE ，由已知，四边形ABCE 为正方形，则AC BE ⊥①，因为PC ⊥底面ABCD ，则PC BE ⊥②，由①②知BE ⊥平面PAC ，所以BE AP ⊥.（2）以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,1,0)A ，(0,1,0)B ，(2,0,0)D ，2)P ，所以(1,0,0)AB =-，(0,2)BP =-，(2)DP =-，设BM BP λ=，(01)λ≤≤，则(1,2)AM AB BM λλ=+=--，所以cos ,AM DP <>=||||AM DPAM DP ⋅=226313613λλ=⋅+⋅+，设1[1,2]t λ+=∈，则2213364t t λ==+-+ 2211462333()24t t t =-+-+，所以当232t =，即43t =时，cos ,AM DP <>取最大值， 从而,AM DP <>取最小值，即直线AM 与直线DP 所成的角最小，此时113t λ=-=， 则13BM BP =，因为BC CD ⊥，BC CP ⊥，则BC ⊥平面PDC ，从而M 到平面PDC 的 距离2233h BC ==，所以11222323P CDM M PCD V V --==⨯⨯⨯⨯=229. 点评：本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积，考查的内容较多，计算量较大，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.19．购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示.（1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取4人，记对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的人数为X ，求X 的分布列和数学期望； （3）统计最近5个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下： 月份 2018.11 2018.12 2019.01 2019.02 2019.03 销售量（万辆）0.5 0.6 1.0 1.41.7试预计该品牌汽车在2019年4月份的销售量约为多少万辆？附：对于一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 答案：（1）1.7；（2） 2.4EX =，见解析；（2）2.（1）平均数的估计值为每个小矩形组中值乘以小矩形面积的和； （2）易得(4,0.6)XB ，由二项分布列的期望公式计算；（3）利用所给公式计算出回归直线ˆˆˆybx a =+即可解决. 解：（1）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数的估计值为1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以方差的估计值为22(1.5 3.5)0.1s =-⨯2(2.5 3.5)0.3+-⨯2(3.5 3.5)0.3+-⨯2(4.5 3.5)0.15+-⨯2(5.5 3.5)0.1+-⨯2(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯=；（2）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的 频率为0.30.150.10.050.6P =+++=，则(4,0.6)XB ，所以X 的分布列为44()0.60.4,0,1,2,3,4k k k P X k C k -===，数学期望40.6 2.4EX =⨯=；（3）将2018年11月至2019年3月的月份数依次编号为1，2，3，4，5，记(1,2,3,4,5)i x i i ==，10.5y =，20.6y =，3 1.0y =，4 1.4y =，5 1.7y =，由散点图可知， 5组样本数据呈线性相关关系，因为3x =， 1.04y =，10.5 1.23nii i x y==++∑ 5.68.518.8++=，21149162555nii x==++++=∑，则18.853 1.040.325559b -⨯⨯==-⨯， 1.040.3230.08a =-⨯=，所以回归直线方程为0.320.08y x =+，当6x =时，0.3260.082y =⨯+=，预计该品 牌汽车在2019年4月份的销售量约为2万辆. 点评：本题考查平均数、方差的估计值、二项分布列及其期望、线性回归直线方程及其应用，是一个概率与统计的综合题，本题是一道中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是直线:1l x =-上的动点，()1,0F 为定点，点Q 为PF 的中点，动点M 满足0MQ PF ⋅=，且()MP OF R λλ=∈，设点M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 的直线交曲线C 于A ，B 两点，T 为曲线C 上异于A ，B 的任意一点，直线TA ，TB 分别交直线l 于D ，E 两点.问DFE ∠是否为定值？若是，求DFE ∠的值；若不是，请说明理由.答案：（1）24y x =；（2）是定值，2DFE π∠=.（1）设出M 的坐标为(,)x y ，采用直接法求曲线C 的方程；（2）设AB 的方程为1x ty =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ,200(,)4yT y ，求出AT 方程，联立直线l 方程得D 点的坐标，同理可得E 点的坐标，最后利用向量数量积算FD ⋅FE 即可. 解：（1）设动点M 的坐标为(,)x y ，由()MP OF R λλ=∈知MP ∥OF ，又P 在直线:1l x =-上， 所以P 点坐标为(1,)y -，又()1,0F ，点Q 为PF 的中点，所以(0,)2yQ ，(2,)PF y =-，(,)2yMQ x =--，由0MQ PF ⋅=得2202y x -+=，即24y x =；（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，代入24y x =得2440y ty --=，设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则124y y t +=，124y y =-，设200(,)4y T y ，则10221010444AT y y k y y y y -==+-，所以AT 的直线方程为20104()4y y y x y y -=-+即1010104y y y x y y y y =+++，令1x =-，则10104y y y y y -=+，所以D 点的坐标为10104(1,)y y y y --+，同理E 点的坐标为20204(1,)y y y y --+，于是FD =10104(2,)y y y y --+， FE =20204(2,)y y y y --+，所以FD ⋅4FE =+10104y y y y -⨯+20204y y y y -+212001221212004()164()y y y y y y y y y y y y ⋅-++=++++ 20020041616444y ty ty y --+=+-++2200002001616441616044ty y y ty ty y -++--+==-++，从而FD ⊥FE ， 所以2DFE π∠=是定值.点评：本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题. 21．已知函数()()ln 12af x x x =+++，其中a 为实常数. （1）若存在1n m >≥-，使得()f x 在区间(),m n 内单调递减，求a 的取值范围；（2）当0a =时，设直线1y kx =-与函数()y f x =的图象相交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，证明：1222x x k++>. 答案：（1）(4,)+∞；（2）见解析.（1）将所求问题转化为'()0f x <在(1,)-+∞上有解，进一步转化为函数最值问题；（2）将所证不等式转化为12122x x x x ++>-122ln(1)ln(1)x x +-+，进一步转化为1212111111x x x x +++>+-+1221ln 1x x ++，然后再通过构造()ln m t t =-2(1)1t t -+加以证明即可. 解：（1）'21()(1)1(2)a f x x x x =->-++，根据题意，()f x 在(1,)-+∞内存在单调减区间， 则不等式'()0f x <在(1,)-+∞上有解，由2101(2)a x x -<++得2(2)1x a x +>+，设2(2)()1x g x x +=+， 则2(1)2(1)11()(1)2411x x g x x x x ++++==+++≥++，当且仅当0x =时，等号成立，所以当1x >-时，min ()4g x =，所以存在1x >-，使得()a g x >成立， 所以a 的取值范围为(4,)+∞。

湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)

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湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高三上·清远期末) 已知集合，，则A .B .C .D .2. （2分）(2017·运城模拟) 变量x，y满足约束条件，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（）A . {﹣3，0}B . {3，﹣1}C . {0，1}D . {﹣3，0，1}3. （2分）(2017·丰台模拟) 在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）A .B .C .D . 24. （2分） (2016高三上·清城期中) 下列说法正确的是（）A . 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“x2=1，则x≠1”B . 若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则命题￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C . 命题“若x=y，则si nx=siny”的逆否命题为真命题D . “x2﹣5x﹣6=0”必要不充分条件是“x=﹣1”5. （2分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A . -3B . -C .D . 26. （2分）(2017·深圳模拟) 祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A . 4πB . πh2C . π（2﹣h）2D . π（4﹣h）27. （2分） (2017高三下·武邑期中) 已知向量 =（1，2）， =（﹣2，m），若∥ ，则|2 +3 |等于（）A .B .C .D .8. （2分）在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=60°，∠C=105°，BC=1，则AB的取值范围（）A . （1，2）B . （2﹣，1）C . （2﹣，2+ ）D . （1，2+ ）二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2017高二下·徐州期末) 已知复数z= ，其中i是虚数单位，则z的模是________．10. （1分）设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=8an﹣1，则=________11. （1分） (2017高三上·汕头开学考) 在直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|，则直线AB的斜率大小是________．12. （1分） (2016高二上·南通开学考) 若将函数y=sin2x的图象向左平移θ，个单位后所得图象关于y轴对称，则θ=________．13. （1分）(2017·嘉兴模拟) 动点P从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发，沿着棱运动到顶点C1后再到A，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为________（用数字作答）．14. （1分） (2019高一上·嘉兴期中) 已知函数，当时，，则的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)15. （5分）(2017·江门模拟) △ABC的内角A、B、C所对的边分别是，a、b、c，△ABC的面积S=• ．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若b+c=5，a= ，求△ABC的面积的大小．16. （10分） (2017高三上·山东开学考) 自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）1415161718有生育意愿家庭数48162026（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．17. （10分）(2019·乌鲁木齐模拟) 如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）点在上，若，求二面角的余弦值.18. （10分） (2018高二下·张家口期末) 已知，函数（是自然对数的底数）.（1）若有最小值，求的取值范围，并求出的最小值；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.19. （10分） (2017高二下·高青开学考) 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．20. （15分） (2018高二上·嘉兴月考) 已知，函数 .（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共60分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。

湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)

湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设a∈R，i为虚数单位．若复数z=a-2+（a+1）i是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.2.已知集合，若B⊆A，则实数m的取值范围为（）A. （4，+∞）B. [4，+∞）C. （2，+∞）D. [2，+∞）3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知a=3，b=4，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B. C. D.4.已知为锐角，则sin（α+β）的值为（）A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，若输入x=0，y=0，n=1，则输出的x，y的值满足（）A. B. C. D. xy=26.已知命题p：数列{a n}的通项公式为（a，b，c为实数，n∈N*），且a2017+k，a2018+k，a2019+k（k＞0）恒为等差数列；命题q：数列{b n}的通项公式为bn=aq n-1（q＞1，n∈N*）时，数列{b n}为递增数列．若p∨q为真，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，0）B. [0，+∞）C. （0，+∞）D. （-∞，0]7.已知函数，则定积分的值为（）A. B. C. D.8.函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于点，则方程所有解的和为（）A. B. C. D.9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面M，N上取三点A，B，P，其中P为侧面M的对角线上一点（与对角线端点小重合），A，B为侧面N的一条对角线的两个端点．若以线段AB为直径的圆过点P，则m的最小值为（）A.B.C. 4D. 210.已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线与双曲线C交于纵坐标为1的点M，直线与抛物线的准线交于N，若，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.11.某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ=∠AOP，练车时间为t，则函数θ=f（t）的图象大致为（）A.B.C.D.12.定义，已知α，β为函数f（x）=x2+px+q的两个零点，若存在整数n满足n＜α＜β＜n+1，则min{f（n），f（n+1）}的值（）A. 一定大于B. 一定小于C. 一定等于D. 一定小于二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，点F是CD的中点，记=，=，用，表示，则=______．14.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组来表示，设（x，y）是阴影中任意一点，则z=2x+y的最大值为______．15.已知，⊙C1与⊙C2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r1r2为______．16.在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3-a1=8，当a4取最小值时，则数列的前n项和为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a=3c．（Ⅰ）若tan B=2tan C，求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求△ABC的周长．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD=λBC，AD∥BC，∠BCD=90°，M为线段PB上一点．（Ⅰ）若，则在线段PB上是否存在点M，使得AM∥平面PCD？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）己知PA=2，AD=1，若异面直线PA与CD成90°角，二而角B-PC-D的余弦值为，求CD的长．19.随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：收入，y表示应纳的税，试写出调整前后y关于x的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：①先从收入在，）及，）的人群中按分层抽样抽取人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a表示抽到作为宣讲员的收人在[3000，5000）元的人数，b表示抽到作为宣讲员的收入在[5000，7000）元的人数，随机变量Z=|a-b|，求Z的分布列与数学期望；②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收人比调整前增加了多少？20.已知椭圆的左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0）且椭圆上存在一点M，满足．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知A，B分别是椭圆C的左、右顶点，过F2的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，是否存在一条定直线l，使点T恒在直线l上？21.设函数．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点个数；（Ⅱ）若．22.曲线C1的参数方程为，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）关于C1对称．（Ⅰ）求C1极坐标方程，C2直角坐标方程；（Ⅱ）将C2向左平移4个单位长度，按照变换得到C3；C3与两坐标轴交于A、B两点，P为C3上任一点，求△ABP的面积的最大值．23.已知f（x）=|x|+|2x-1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞4；（Ⅱ）对任意正数a、b，求使得不等式恒成立的x的取值集合M．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵复数z=a-2+（a+1）i是纯虚数，∴，则a=2．∴=，∴复数在复面上对应的点的坐标为（）．故选：D．由已知求得a，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【解析】解：解一元二次不等式x2-3x-4＞0得：x＜-1或x＞4，即A=（-∞，-1）∪（4，+∞），解一元二次不等式x2-3mx+2m2＜0（m＞0）得m＜x＜2m，即B=（m，2m），又B⊆A，所以或，解得m≥4，故选：B．由二次不等式的解法得：A=（-∞，-1）∪（4，+∞），B=（m，2m），由集合的包含关系得：或，计算可得解本题考查了集合的包含关系及二次不等式的解法，属简单题3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了梯形的面积分式，直角三角形内切圆的面积及几何概型中的面积型，属中档题．由梯形的面积分式得：S梯形==，由直角三角形内切圆的面积得：S圆=π（）2=，由几何概型中的面积型求概率可得：P（A）==，得解．【解答】解：由图可知：S梯形==，直角三角形CDE的内切圆半径为=，S圆=π（）2=，设“该点也在△CDE的内切圆内部”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）==，故选：C．4.【答案】D【解析】解：∵cosβ=，β是锐角，∴sinβ==，又cosβ=＜，∴＜β＜，则＜2β＜π∵α是锐角，∴0＜α＜，＜α+2β＜，∵sin（α+2β）=，∴＜α+2β＜π，∴cos（α+2β）＜0，且cos（α+2β）=-=-=-，则sin（α+β）=sin（α+2β-β）=sin（α+2β）cosβ-cos（α+2β）sinβ=×--（-）×=，故选：D．根据同角的三角函数关系结合两角和差的正弦公式进行求解即可．本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用同角的三角函数关系以及两角和差的正弦公式，结合拆角技巧是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：由题意，模拟程序的运行，可得x=0，y=0，n=1执行循环体，x=，y=，不满足条件x+y≥，执行循环体，n=2，x=+=，y=+=1-=，不满足条件x+y≥，执行循环体，n=3，x=++=，y=++=，不满足条件x+y≥，执行循环体，n=4，x=-1，y=，不满足条件x+y≥，执行循环体，n=5，x=-1，y=，…不满足条件x+y≥，执行循环体，n=8，x=-1=2，y=，此时，满足条件x+y≥，退出循环，输出x的值为2，y的值为，可得此时x，y的值满足xy=．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】B【解析】解：若a2017+k，a2018+k，a2019+k（k＞0）恒为等差数列，2a2018+k=a2018+k+a2019+k（k＞0），即2[a（2018+k）2+b（2018+k）+c]=a（2017+k）2+b（2017+k）+c+a（2019+k）2+b（2019+k）+c，整理得-2a=0，即a=0．即p：a=0，若数列{b n}的通项公式为bn=aq n-1（q＞1，n∈N*）时，则a＞0，即q：a＞0，若p∨q为真，则p，q至少有一个为真命题，即{0}∪（0，+∞）=[0，+∞），故选：B．分别求出命题p，q为真命题的等价条件，结合p∨q为真，则p，q至少有一个为真命题进行求解即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：=（-x+2）dx+dx，其中（-x+2）dx=（-x2+2x）|=（-×4+4）-（×+1）=，其中dx表示以（3，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，故dx=，故=（-x+2）dx+dx=，故选：A．根据定积分的计算法则和用定积分的几何意义计算定积分，本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵相邻两支图象与坐标轴分别交于点，∴函数的周期T=-==，则ω=2，此时f（x）=tan（2x+φ），又f（）=tan（2×+φ）=tan（+φ）=0，得+φ=kπ，即φ=kπ-，∵0＜|φ|＜，∴当k=0时，φ=-，则f（x）=tan（2x-），∵f（x）与y=cos（2x-）的对称中心相同，∴f（x）与y=cos（2x-）的交点关于同一个对称中心对称，由2x-=+kπ，k∈Z，得x=+，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴当k=0时，x=，即两个好的对称中心为（，0），由图象知两个函数只有两个交点，则=，∴x1+x2=，故选：A．根据条件求出ω 和φ的值，结合同角的正切函数和余弦函数有相同的对称中心，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出正切函数的解析式，以及利用同角的正切函数和余弦函数有相同的对称中心是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9.【答案】B【解析】解：根据长方体的三视图知，该长方体的底面是边长为2的正方形，且高为m，如图所示；由题意知，AB为圆O的直径，则AB的最小值为2OP=4，此时△ABC为直角三角形，m的最小值为=2．故选：B．根据长方体的三视图知该长方体的底面是正方形，高为m，画出图形结合图形求出AB的最小值为4，利用直角三角形求出m的最小值．本题考查了几何体的三视图与长方体的结构特征应用问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：抛物线与双曲线C交于纵坐标为1的点M，可得M（，1），抛物线的准线方程为x=-，N的横坐标为-，设F1（-c，0），由，可得-+c=（+c），解得c=3.可得焦点为（-3，0），（3，0），由双曲线的定义可得2a=|MF1|-|MF2|=-=2，可得a=，b==2.则双曲线的方程为-=1．故选：C．求得M的坐标和抛物线的准线方程，可得N的横坐标，由向量的共线坐标表示解方程可得c，再由双曲线的定义可得a，进而得到b，可得双曲线的方程．本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查准线方程和向量共线的坐标表示、双曲线的定义，考查化简运算能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】【分析】根据视角θ=∠AOP的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项．本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题．【解答】解：根据小车从点A出发的运动轨迹可得，视角θ=∠AOP的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选：D．12.【答案】B【解析】解：由题意可知，f（n）＞0，f（n+1）＞0，由根与系数的关系可得：-p=α+β，q=αβ，当f（n）=f（n+1）时，有n2+pn+q=（n+1）2+p（n+1）+q，即-p=2n+1，所以α+β=-p=2n+1，所以n=，因为f（n）=n2+pn+q=n2-（2n+1）n+q=-n2-n+q=-n（n+1）+q=-（α+β-1）（α+β+1）+αβ=，则min{f（n），f（n+1）}的值一定小于，故选：B．由根与系数的关系可得：-p=α+β，q=αβ，由“取小函数”的特征得：当f（n）=f（n+1）时，有n2+pn+q=（n+1）2+p（n+1）+q，即-p=2n+1，所以α+β=-p=2n+1，所以n=，因为f（n）=n2+pn+q=n2-（2n+1）n+q=-n2-n+q=-n（n+1）+q=-（α+β-1）（α+β+1）+αβ=，所以min{f（n），f（n+1）}的值一定小于，得解本题考查了方程根与系数的关系及对取小函数的理解，属中档题13.【答案】-+【解析】解：由图可知：==，①=，②联立①②解得：=-=-，故答案为：-．由平面向量的线性运算得：==，①=，②联立①②解得：=-=-，得解．本题考查了平面向量的线性运算，属简单题．14.【答案】1+【解析】解：由题意可知：z=2x+y与x2+（y-1）2=1相切时，切点在上方时取得最大值，如图：可得：≤1，解得1-≤z≤1+，z=2x+y的最大值为：1+．故答案为：1+．平移直线z=2x+y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．15.【答案】【解析】解：设两圆的公切线为y=7x+t，即7x-y+t=0，已知圆心C1（2，2），C2（-1，-1），设C1，C2到公切线的距离为d1，d2，可得d1=r1=，d2=r2=，由于公切线在两圆的同侧，r1+r2=-==|C1C2|=3，即|t+3|=15，可得t=12或-18，当t=12时，r1r2==；当t=-18时，r1r2=．综上可得r1r2=．故答案为：．设两圆的公切线为y=7x+t，求得两圆的圆心，由直线和圆相切的条件：d=r，两圆相切的条件，可得t=12或-18，计算可得所求值．本题考查直线和圆的位置关系，主要是相切的条件：d=r，考查化简运算能力，属于中档题．16.【答案】S n=（8n-4）•3n+4【解析】解：各项均为正数的等比数列{a n}中，首项为a1，公比设为q（q＞0），由a3-a1=8，即，（q＞0且q≠1），整理得，所以，令，可得f′（q）=，当0＜q＜时，f′（q）＞0，f（q）递增；当q＞时，f′（q）＜0，f（q）递减，可得q=时，f（q）取得极大值，且为最大值，则na n2=n•（-4•（）n-1）2=16n•3n-1，数列的前n项和为S n=16（1•30+2•31+…+n•3n-1），3S n=16（1•3+2•32+…+n•3n），两式相减可得-2S n=16（1+3+…+3n-1-n•3n）=16（-n•3n），化简可得S n=（8n-4）•3n+4．故答案为：S n=（8n-4）•3n+4．设等比数列的公比为q（q＞0且q≠1），运用等比数列的通项公式和导数，判断单调性和极值、最值，可得公比q，再由数列的错位相减法求和，即可得到所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，化简整理的运算能力，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵2a=3c，由正弦定理可得：2sin A=3sin C，可得：sin A=sin C，…1分由tan B=2tan C，可得：sin B cos C=2sin C cos B，两边同时加sin C cos B，可得：sin（B+C）=3sin C cos B，可得：sin（B+C）=sin A=sin C=3sin C cos B，…3分由C∈（0，π），可得：sin C≠0，可求cos B=，…4分由B∈（0，π），可得：B=…5分（Ⅱ）由tan A=3，可得：cos A=，sin A=，可得S△ABC=3=bc•，解得：bc=4，…9分又由2a=3c，a2=b2+c2-2bc cos A，可得：c2=b2+c2-4，联立bc=4，解得：c2=+c2-4，…10分化简整理可得：5c4+16c2-488=0，解得：c=2，b=，a=3，…11分可得△ABC的周长为a+b+c=5+．…12分【解析】（Ⅰ）由正弦定理可得sin A=sin C，利用三角函数恒等变换的应用可求sin C=3sin C cos B，由sin C≠0，可求cos B=，结合范围B∈（0，π），可得B．（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式可求cos A，sin A的值，根据三角形面积公式可求bc=4，进而根据余弦定理可求c的值，求得a，b即可得解三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）时，则在线段PB上是存在点M，且PM=，使得AM∥平面PCD．理由如下：如图取CN=，连接AN，MN．可得AD∥CN，AD=CN，∴四边形ADCN为平行四边形，∴AN∥CD，∵M，N分别为PB，CN的三等分点，∴MN∥PC．∴面AMN∥面PCD，∴AM∥平面PCD．（Ⅱ）如图，过A作AN∥DC交BC与N，设CD=a．则A（0，0，0），N（a，0，0），P（0，0，2），D（0，1，0）．C（a，1，0），，设面PDC的法向量为．∴⇒．，．设面PNC的法向量为．⇒．|cos|=⇒a=2．∴CD的长为2．【解析】（Ⅰ）时，则在线段PB上是存在点M，且PM=，使得AM∥平面PCD．（Ⅱ）如图，过A作AN∥DC交BC与N，以A为原点，AN所在直线为x轴建立空间直角坐标系，设CD=a．求得面PDC的法向量为．面PNC的法向量为．|cos|=⇒a=2．本题主要考查空间二面角求解和线面平行判定，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）调整前y关于x的解析式为y=；调整后y关于x的解析式为y=；（2）①由频率分布表可知，从收入在[3000，5000）及[5000，7000）的人群中抽取7人，其中在[3000，5000）元的人数为3人，在[5000，7000）元的人数为4人，再从这7人中选4人，所以Z的取值可能为0，2，4；则P（Z=0）=P（a=2，b=2）==，P（Z=2）=P（a=1，b=3）+P（a=3，b=1）=+=，P（Z=4）=P（a=0，b=4）==，所以Z的分布列为，数学期望为E（Z）=0×+2×+4×=；②由于小李的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为1500×3%+2500×10%=295（元）；按调整后起征点应纳个税为2500×3%=75（元），比较两个纳税方案可知，按照调整后起征点应纳个税少交295-75=220（元），即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收人比调整前增加了220元．【解析】（1）用分段函数分别写出调整前和调整后y关于x的关系式即可；（2）①根据分层抽样原理求出的7人知以及随机变了Z的取值可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；②计算小李按调整前起征点和调整后起征点应纳个税数，比较即可得出结论．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，也考查了分段函数的应用问题，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）设|F1M|=x，则△MF1F2中，由余弦定理得，化简得，解得．故2a=|MF1|+|MF2|=4，∴a=2，得b2=a2-c2=3，因此，椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）如下图所示，已知A（-2，0）、B（2，0），设T（x，y）、P（x1，y1）、Q（x2，y2），由k TA=k PA，可得，①由k TB=k QB，可得，②上述两式相除得，又，所以，，故，③设直线PQ的方程为x=my+1，代入椭圆C的方程并整理得（3m2+4）y2+6my-9=0，△＞0恒成立，由韦达定理得，，代入③得==，得x=4，故点T在定直线x=4上．【解析】（Ⅰ）先利用余弦定理求出|MF1|，利用定义求出a的值，再由c的值，从而可得出b的值，进而求出椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点T（x，y）、P（x1，y1）、Q（x2，y2），分别由P、A、T三点共线和点Q、B、T三点共线并结合斜率相等得出两个等式，并将两个等式相除，设直线PQ的方程为x=my+1，将该直线方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，代入等式通过化简计算得出x=4，从而得出点T恒在直线x=4上．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的定义、点差法以及韦达定理法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，故只需考虑x∈（0，+∞）上的极值点的个数，f′（x）=，令h（x）=（x2-1），h′（x）=，故x∈（0，）时，h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，故h（）＜h（0）=0，取x=，h（）=+1＞0，故在（，+∞）上存在唯一的x0使得h（x0）=0，故f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，又f（x）是奇函数，故f（x）在（-∞，-x0）递增，在（-x0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，故f（x）的极值点共2个；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）在区间（0，）递减，且f（x）＜0恒成立，故x∈（0，）时，x2-x+ln（x+）＜0，即得x2+ln（x+）＜x，又令x=∈（0，），得a n=+ln[+＜，∴a1+a2+…+a n＜++…+==[1-]＜．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点的个数即可；（Ⅱ）根据函数的单调性得到x2+ln（x+）＜x，令x=∈（0，），取n=1，2，…，累加即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（Ⅰ）C1的参数方程为，消去参数t得，x-y=4，又由公式，代入x-y=4，ρcosθ-ρsinθ=4，即ρsinθ-ρcosθ+4=0∴所以C1极坐标方程是∵曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）所以ρ2=2aρcosθ，即x2+y2=2ax，即（x-a）2+y2=a2（a＞0）∴圆心坐标是（a，0），半径是a，又曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）关于C1对称所以圆心在曲线C1上，所以a=4，故C2：（x-4）2+y2=162（Ⅱ）将C2向左平移4个单位长度，得到新曲线的方程是x2+y2=a2，再按照变换得到C3；，整理得，即C3：，又C3与两坐标轴交于A、B两点，不妨令A（4，0），B（0，2），|AB|=2，P为C3上任一点，设P（4cosθ，2sinθ），可得l AB：，则P到直线AB的距离d=，即时，d取到最大值．∴△ABP的面积的最大值为==．【解析】（Ⅰ）C1的参数方程消去参数即可得到普通方程，再由公式转化为极坐标方程即可得到答案，同理由公式得到C2直角坐标方程；（Ⅱ）由题意，根据所给的变换方式得到C3的方程，将其化为标准方程，根据题意得出A、B的坐标，计算出直线AB的方程，然后设出点P的坐标，表示出点P到直线AB 的距离，即可求出△ABP的面积的最大值．本题考查了参数方程，普通方程、极坐标方程的互化，以及利用参数方程解决圆锥曲线中的综合问题，难度较大，本题极好的体现了参数方程在求圆锥曲线的最值问题的妙用，将最值问题转化为三角函数的最值，极大的降低了此类综合题的解答难度．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）＞4即为|x|+|2x-1|＞4，当x≥时，x+2x-1＞4，解得x＞；当0＜x＜时，x+1-2x＞4，解得x∈∅；当x≤0时，-x+1-2x＞4，解得x＜-1，综上可得，f（x）＞4的解集为{x|x＜-1或x＞}；（Ⅱ）对任意正数a、b，不等式恒成立，可得f（x）小于++ab的最小值，由++ab≥2+ab≥2=3，当a=b=2时取得等号，即有f（x）＜3，即为|x|+|2x-1|＜3，当x≥时，x+2x-1＜3，解得≤x＜；当0＜x＜时，x+1-2x＜3，解得0＜x＜；当x≤0时，-x+1-2x＜3，解得-＜x≤0．综上可得，M={x|-＜x＜}．【解析】（Ⅰ）运用绝对值的意义，对x讨论，解不等式求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得f（x）小于++ab的最小值，运用基本不等式可得最小值，解绝对值不等式可得集合M．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

2019届湖南省长沙市高考模拟一理科数学试卷【含答案及解析】

2019届湖南省长沙市高考模拟一理科数学试卷【含答案及解析】

2019届湖南省长沙市高考模拟一理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、选择题1. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A． -4 ____________________ B． -1 ______________ C． 1______________ D． 42. 以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量一定增加0.2单位；④对于两分类变量与，求出其统计量，越小，我们认为“　与有关系”的把握程度越小.A．①④ _________ B．②③ ______________ C．①③ ___________ D．②④3. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的实数的取值范围是（）A． ______________ B． ______________ C．______________ D．4. 某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形如图（2），其中，则该几何体的侧面积为（）A．64 ______________ B．80 ______________ C．96 ______________ D．1285. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（） A． ________________________ B． ______________ C．____________________ D．6. 长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A． ______________ B．________________________ C．________________________ D．7. 已知函数，函数，若存在实数使得关于的方程有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）A． ____________________________ B． 6 ______________________________ C． 12 D．8. 在菱形中，，，将折起到的位置，若三棱锥的外接球的体积为，则二面角的正弦值为（）A． ____________________________ B． ________________________C． ____________________________ D．9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点，且，则双曲线的离心率为（）A． ______________ B． ______________ C．______________ D．10. 已知点，平面区域由所有满足的点组成的区域，若区域的面积为8，则的最小值为（）A． ______________ B． 2 ___________ C． 4 ______________D． 811. 已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（）A． ____________________ B． 3____________________________C． ____________________________ D．12. 设函数，是方程的根，且，当时，关于函数在区间内的零点个数的说法中，正确的是（）A．至少有一个零点 ____________________ B．至多有一个零点C．可能存在2个零点 ______________ D．可能存在3个零点二、填空题13. 已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______________________________ .14. 在等差数列中，为数列的前项和，为数列的公差，若对任意，都有，且，则的取值范围为______________________________ .15. 设椭圆与函数的图象相交于两点，若点在椭圆上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是______________________________ .16. 已知（，且）可以得到几种重要的变式，如：，将赋给，就得到，…，进一步能得到：.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：______________________________ .三、解答题17. 已知函数 .（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角的对边为，已知，，求的面积.18. 《环境空气质量指标（）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标分组表表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，指数与当天的空气水平可见度的情况.表2：表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日指数频数统计表. 表3：（1）设，根据表2的数据，求出关于的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元.（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望.（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.（用最小二乘法求线性回归方程系数公式， . ）19. 如图所示，异面直线互相垂直，，，，，，截面分别与相交于点，且平面，平面 .（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.20. 如图，抛物线的焦点为，取垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，过作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且 .（1）求抛物线和圆的方程；（2）过点作倾斜角为的直线，且直线与抛物线和圆依次交于，求的最小值.21. 已知函数，，当时，（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的取值范围.22. 如图，是圆的直径，弦交于，，， .（1）求圆的半径；（2）求线段的长.23. 已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.24. 关于的不等式 .（1）当时，解此不等式；（2）设函数，当为何值时，恒成立？参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

湖南省名校2023届高考高三年级一模考数学试卷(附答案)

湖南省名校2023届高考高三年级一模考数学试卷(附答案)

湖南省名校2023届高考高三年级一模考试卷数 学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A ={x y x =,x ∈R } ,{}2,B y y x x ==∈R ∣,则 A B ⋂等于 A.{(0,0),(1,1)} B. {0}y y ∣…C.{}x x ∈R ∣D .∅2.某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠,已知在正常工作状态下生产线上生产的零件内径尺寸Z （单位:μm ）服从正态分布N （60,4）.甲、乙两名同学正进行尺寸测量练习,甲、乙对各自抽取的5个零件测量内径尺寸（单位:μm ）如下,甲同学测量数据：59,60,62,63,65;乙同学测量数据:52,53,55,57,62,则可以判断A.甲、乙两个同学测量都正确B.甲、乙两个同学测量都错误C.甲同学测量正确,乙同学测量错误D.甲同学测量错误,乙同学测量正确3.函数3sin ()xf x x x =-在[?,0)(0,]ππ-⋃上的大致图象为 A. B.C. D.4.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”,收录了有关降水量计算的四个例子,分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪” .其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时,平地的降雨量是A.9寸B.6寸C.4寸D.3寸5.为调查某地区中学生每天睡眠时间,釆用样本量比例分配的分层随机抽样,现抽取初中生800 人,其每天睡眠时间均值为9小时,方差为1,抽取高中生1200人,其每天睡眠时间均值为8小时,方差为0.5,则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为 A. 0.94 B. 0.96 C. 0.75 D. 0.786.已知236m n ==,则m ,n 不可能．．．满足的关系是 A.4m n +>B.4mn >C.228m n +<D.22(1)(1)2m n -+->7.已知,0,,sin(2)2sin ?2παβαββ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭,则tan β的最大值为A.12B.3 C.2 D.28.已知O 为坐标原点,双曲线C :22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是F 1,F 2,离心率为2,点()11,P x y 是C 的右支上异于顶点的一点,过F 2作12F PF ∠的平分线的垂线,垂足是M ,||MO =若双曲线C 上一点T 满足125FT F T ⋅=,则点T 到双曲线C 的两条渐近线距离之和为A. B. C.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知复数z=a+bi （a,b ∈R ）,其共轴复数为z ,则下列结果为实数的是 A.2zB.2zC.(1)(1)z z ++D.2023()i z z -⋅10.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线,它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy 中,M （-2,0）,N （2,0）,动点P 满足||||5PM PN ⋅=,则下列结论正确的是A.点P 的横坐标的取值范围是]B.|OP |的取值范围是[1,3]C.△PMN 面积的最大值为52D.||||PM PN +的取值范围是,5] 11.已知函数()sin f x x x =,则下列说法正确的有 A.()f x 是偶函数 B.()f x 是周期函数C.在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上,()f x 有且只有一个极值点D.（0,0）作y=()f x 的切线,有无数条12.在直平行六面体1111ABCD A B C D -中,160,2BAD AB AD AA ∠=︒===,P 为1CC 的中点, 点Q 满足1([0,1],[0,1])DQ DC DD λμλμ=+∈∈.下列结论正确的是 A.若1λμ+=,则四面体1A BPQ 的体积为定值 B.若AQ ∥平面1A BP ,则AQC.若1A BQ △的外心为E ,则11A B A E ⋅为定值2 D.若1A Q =,则点Q 的轨迹长度为23π三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知(1,2),(2,)a b t == ,若 ||||a b a b +=-,则 t 的值为.14.已知 a >0,若9290129()(1)(1)(1)x a a a x a x a x +=+++++++ ,且a 5 = 126,则a = .15.已知函数sin()(0,(0,2))y x ωϕωϕπ=+>∈的一条对称轴为6x π=-,且 ()f x 在4,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调,则ω的最大值为.16.如图,椭圆()2211221110x y a b a b +=>>与双曲线()222222221,0x y a b a b -=>有公共焦点1(,0)F c -,2(,0)(0)F c c >,椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,点P 为两曲线的一个公共点,且123F PF π∠=,则221213e e += ;若I 为12F PF △的内心,1,,F I G 三点共线,GP IP ⋅= 0,x 轴上点A ,B 满足,AI IP BG GP λμ==,则22λμ+的最小值为 .四、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知c =2,C =3π.(1)当 2sin 2A +sin(2B +C ) = sin C 时,求△ABC 的面积; (2)求△ABC 周长的取值范围.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,O 为AB 的中点,平面POC ⊥平面ABCD.AD//BC, AB ⊥BC,P A=PB=BC=AB=2,AD=3.(1)求证:平面P AB ⊥平面ABCD; (2)求二面角O-PD-C 的余弦值.19.(12分)市教育局计划举办某知识竞赛,先在A ,B ,C ,D 四个赛区举办预赛,每位参赛选手先参加“赛区预赛”,预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛,每个赛区预赛中,成功晋级并且得分最高的选手获得一次决赛中的“错题重答”特权.赛区预赛的具体规则如下:每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题. 方式一:每轮必答2个问题,共回答6轮,每轮答题只要不是2题都错,则该轮次中参赛选手得20分,否则得0分,各轮答题的得分之和即为预赛得分;公众号：网课来了方式二:每轮必答3个问题,共回答4轮,在每一轮答题中,若答对不少于2题,则该轮次中参赛选手得30分,如果仅答对1题,则得20分,否则得0分.各轮答题的得分之和即为预赛得分.记某选手每个问题答对的概率均为p (0<p<1).(1)若12p =,该选手选择方式二答题,求他晋级的概率; (2)证明:该选手选择两种方式答题的得分期望相等.20.(12分)已知数列{}n a 满足14a =,当2n …时,144(1)nn n a a n n --=--. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)已知数列1n n b na =-,证明：1211149n b b b +++< . 21.(12分)已知抛物线2:2(0)E y px p =>过点C (l,2),在E 上任取不同于C 的点A ,直线AC 与直线,y =x +3交于点P ,过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点B .(1)求证:直线AB 过定点;(2)求△ABC 面积的最小值.22.(12 分)已知函数11()ln ,()ln (1)f x x ax g x x x a x x x =+-=+-+.(1) 讨论函数()f x 的单调性;(2) 记()f x 的零点为x 0,()g x 的极小值点为x 1,当a ∈(1,4)时,判断x 0与x 1的大小关系,并说明理由.参考答案一、二、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBDACBABCDBCACABD1.B 【答案解析】集合A ,B 都是数集,,{0}A B y y ==R ∣…,则 {0}A B y y ⋂=∣…,故选B.2.C 【答案解析】根据正态分布的3σ原则,μ=60,σ=2,合格的内径尺寸范围是(54,66),则甲同学测量正确,乙同学测量错误,故选C.3.B 【答案解析】[,0)(0,]x ππ∈-⋃,而33sin()sin ()()()x xf x x x f x x x --=--=--≠-,且()()f x f x -≠-,即函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数,其图象关于原点、y 轴不对称,排除C 、D;而()f ππ=,排除A,故选B.4.D 【答案解析】由已知天池盆上底面半径是14寸,下底面半径是6寸,高为18寸,由积水深9寸知水面半径为12⨯ (14+6) = 10寸,则盆中水体积为()22196106105883ππ⨯⨯++⨯=(立方寸),所以平地降雨量为258814ππ=⨯3(寸),故选D.5.A 【答案解析】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为:8001200988.412008001200800⨯+⨯=++(小时),该地区中学 生每天睡眠时间的方差为：2280012001(98.4)0.5(88.4)0.9412008001200800⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦++.故选A. 6.C 【答案解析】23236,log 6,log 6m nm n ==∴== ,即6611log 2log 31m n+=+=,即()m n mn m n +=≠.对于 A, 2,42m n m n mn m n +⎛⎫+=<∴+> ⎪⎝⎭成立.对于 B, 4mn m n mn =+>∴> ,成立.对于 C, ()222224,16()22m n m n m n mn m n +>∴<+=++<+ ,即228mn +>.对于 D, 222(1)(1)()22m n m n -+-=-+> 成立.故选 C.7.B 【答案解析】,0,,sin(2)2sin 2παβαββ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭, sin[()]2sin[()],tan 0,tan 0αβααβααβ∴++=+->>,sin()cos cos()sin 2[sin()cos cos()sin ]αβααβααβααβα∴+++=+-+,即 3cos()sin sin()cos ,tan()3tan αβααβααβα+=+∴+=, 即tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++,所以22tan 2tan 113tan 33tan tan αβααα===++…, 当且仅当13tan tan αα=,即 tan 3α=时,等号成立,tan β取得最大值 3.故选B. 8.A 【答案解析】设半焦距为c ,延长2F M 交1PF 于点N,由于PM 是∠F 1PF 2的平分线,F 2M ⊥PM, 所以△NPF 2是等腰三角形,所以Q|PN | = |PF 2|,且M 是NF 2的中点.根据双曲线的定义可知122PF PF a -=,即1 2NF a =,由于O 是12F F 的中点, 所以MO 是△NF 1F 2的中位线,所以11||2MO NF a ===,又双曲线的离心率为2,所以1c b ==,所以双曲线C 的方程为2212x y -=.所以12(F F ,双曲线C的渐近线方程为0x =, 设(,),T u v T 到两渐近线的距离之和为S ,则S =,由22212(35FT F T u u v u v ⋅=+=+-= ,即 u 2+v 2=8,又T 在22:12x C y -=上,则2212u v -=,即2222u v -=,解得226,2u v ==,由||||u v >,故S ==,即距离之和为.故选A. 9.BCD 【答案解析】对于A ,z 2=a 2-b 2+2ab i ,不一定为实数;对于 B, 222z a b =+∈R ;对于 C,22(1)(1)121z z z z z z a b a ++=⋅+++=+++∈R ; 对于 D,()506202320244(i2i2i2z z b b b -⋅===∈R .故选 BCD.10.BC 【答案解析】设点(,)P x y ,依题意得2222(2)(2)25x y x y ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦, 对于A,()2222222225(2)(2)(2)(2)4x y x y x x x ⎡⎤⎡⎤=++-++-=-⎣⎦⎣⎦…,当且仅当0y =时取等号,解不等式()22425x -…,得33x -剟,即点P 的横坐标的取值范围是[3,3]-,则A 错误; 对于B,()()2222444425x y x x y x ⎡⎤⎡⎤+++++-=⎣⎦⎣⎦,则224x y ++=,显然209x 剟,因此||[1,3]OP ==,B 正确;对于 C,. PMN △的面积115||||sin ||||222S PM PN MPN PM PN ∠==…,当且仅当90MPN ∠=︒时取等号,当90MPN ∠=︒时,点P 在以线段MN 为直径的圆224x y +=上,由22224,4x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得,45,4x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩所以PMN △面积的最大值为52,C 正确;对于D,点(3,0)在动点P 的轨迹上,当点P 为此点时,|PM | + |PN | =5+1 = 6,D 错误.故选BC. 11. AC 【答案解析】显然()()f x f x -=,A 正确;B 错误;对于 C,()sin cos ,()2cos sin f x x x x f x x x x '=-'=+',当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x ''<,则 ()f x '单调递减,又10,()02f f πππ⎛⎫=>'=-<⎪⎝⎭',故()f x '在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有一个解,C 正确; 对于 D,设切点为 (,())P t f t ,则切线方程为sin (sin cos )()y t t t t t x t -=+-,代入(0,0),有2cos 0t t =,得t = 0或,2t k k ππ=+∈Z .若 0t =,则切线方程为0y =;若,2t k k ππ=+∈Z ,则切线方程为y x =±,故有且仅有3 条切线,D 错误.故选AC.12.ABD 【答案解析】对于 A,因为1([0,1],[0,1]),1DQ DC D λμλμλμ=+∈∈+=,所以1,,Q C D 三点共线,即 点Q 在CD 1上,因为CD 1//A 1B,CD 1∈平面A 1BP ,A 1B ⊂平面A 1BP ,所以CD 1//平面A 1BP ,所以点Q 到平面A 1BP 的距离为定值,因为△A 1BP 的面积为定值,所以四面体A 1BPQ 的体积为定值,A 正确;对于B,取DD 1,D C 的中点分别为M,N ,连接AM,MN,AN ,则AM//BP ,因为AM ⊄平面A 1BP ,BP ⊂平面A 1BP,所以 AM ∥平面A 1BP,因为 MN ∥CD 1 ,A 1B ∥CD 1 ,所以MN ∥A 1B ,因为 MN ⊄平面A 1BP ,1A B ⊂平面A 1BP ,所以MN ∥平面A 1BP,因为MN ⋂AM=M,MN,AM ⊂平面AMN ,所以平面AMN ∥平面A 1BP ,因为AQ ∥平面A 1BP ,所以AQ ⊂平面AMN ,又Q 在平面CDD 1C 1 上,故点Q 在线段MN 上,所以当 AQ ⊥MN 时,AQ 最小,因为160,2BAD AB AD AA ∠=︒===,所以AM=, MN=,AN===,所以222AM MN AN +=,所以Q,M 重合,所以AQ,B 正确;对于C,若1A BQ △的外心为E ,过E 作EH 1A B ⊥于H ,因为1A B == ,所以11A B A E ⋅=21142A B = ,C 错误;对于D,过A 1 作111AO C D ⊥于点O ,因为DD 1⊥平面1111A B C D ,1A O ⊂平面1111A B C D ,所以DD 1⊥1A O ,因为 1111111,,C D DD D C D DD ⋂=⊂平面11,DD C C 所以1A O ⊥平面11DD C C ,111cos13OD A D π== 在DD 1,D 1C 1 上取点 A 3 ,A 2,使得13121D A D A ==,则1312322A A A A OA OA =====,所以若A 1Q =,则Q 在以O 为圆心,2为半径的圆弧23A A 上运动,因为1131,D O D A ==,所以323A OA π∠=,则圆弧 23A A 等于23π,D 正确.故选ABD.三、填空题13. -1 【答案解析】(1,2),(2,)a b t == ,故可得(3,2),||a b t a b +=++=, (1,2),||a b t a b -=---=||||a b a b +=-,=,整理得88t =-,解得1t =-.14.2 【答案解析】因为9290129()(1)(1)(1)x a a a x a x a x +=+++++++ ,将原式变形为9[(1)1]x a ++-,通项为919C (1)(1)rrr r T x a -+=+-,5126a =对应5(1)x +的系数,故得到95,4r r -==,系数为449C (1)1260a a -=⇒=或2.故正实数a 的值为2. 15.83 【答案解析】函数sin()(0,(0,2))y x ωϕωϕπ=+>∈的对称轴可以表示为(),()6k x k f x ππω=-∈Z 在4,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调,则 k ∃∈Z ,使得,6 (1)4,63k k πππωπππω⎧-⎪⎪⎨+⎪-⎪⎩……,解得62(1)73k k ω+剟,由62(1)73k k +…,得3k …,当3k =时,的最大值为83.16.4 1+2(第一空2分,第二空3分) 【答案解析】不妨设P在第一象限,12,PF m PF n==,则1212122,2,,m n a m n a m a a n a a +=-=∴=+=-,在12F PF △ 中,()()()()22222121212124c m n mn a a a a a a a a =+-=++--+-,即2222212122221231343,4a a c a a e e c +=+∴+==. 由12121121212 ,2F A F A F A F A AI cAI IP e IP F P F P F P F P a λλ+=∴======+ , 由0GP IP ⋅=,知PA PB ⊥,又PA 平分12F PF ∠,可得出PB 是12F PF ∠的外角平分线,又BG GP μ= ,121221212222BF BF BF BF BG c e GP PF PF PF PF a μ-∴======-, ()222222222112122222121231131113(414442e e e e e e e e e e λμ⎛⎫⎛⎫∴+=+=++=++++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…,当且仅当2221e =取得最小值.故最小值为12+. 四、解答题17.【答案解析】（1）由A B Cπ++=,得 4sin cos sin()sin()A A B A A B ππ++-=--,即4sin cos sin()sin()A A A B A B +-=+, 即2sin cos cos sin A A A B =, 当 cos 0A =时,,26A B ππ==,得,33a b ==; 当cos 0A ≠时,sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a =,联立224, 2,a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩.解得,33a b ==,故三角形的面积为1sin 23ABCS ab C ==△. （2）法一：由余弦定理可得:224a b ab +-=,由22()()43434a b a b ab ++=++…得4a b +…,当且仅当a=b 取等号.又a b c +>,即2,46a b a b c +>∴<++….即ABC △周长的取值范围是（4,6］. 法二:222,,,0,3333C A B B A A ππππ⎛⎫=∴+=∴=-∈ ⎪⎝⎭,ABC △中,由正弦定理有2sin sin sin 3a b A B π===,公众号：网课来了22sin )2sin sin 3a b c A B A A π⎤⎛⎫∴++=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦1524sin cos 24sin ,,226666A A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=++=++<+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 1,4626A a b c π⎛⎫∴<+∴<++ ⎪⎝⎭剟. 即ABC △周长的取值范围是（4,6]. 说明:未分cos A=0,扣1分.18.q 【答案解析】（1）//,,2,3AD BC AB BC BC AB AD ⊥===,222OC OD CD OD OC DC ∴====+,由勾股定理逆定理,OC CD ∴⊥,又平面POC ⊥平面ABCD,又平面POC ⋂平面ABCD=OC ,∴CD ⊥平面POC ,又PO ⊂平面POC,,,CD PO PA PB AB O ∴⊥== 为 AB 的中点,PO AB ∴⊥,又 AB,CD 相交,:.PO ⊥平面 ABCD,∵PO ⊂平面P AB ,∴平面P AB ⊥平面ABCD .（2）如图建立空间直角坐标系O -xyz ,则P （）,D （-1,3,0）,C (l,2,0),(1,3,0),(1,(2,1,0)OP OD CP CD ∴==-=--=-.设平面OPD 的一个法向量为()111,,m x y z = ,平面PCD 的一个法向量为()222,,n x y z =,则由0,0,OP m OD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1110,30,x y =-+=⎪⎩取11y =得113,0x z ==,即(3,1,0)m = ,由0,0,CP n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得2222220,20,x y x y ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩取2x =,得225y z ==,即cos ,4||||m n n m n m n ⋅=∴===, 显然二面角O- PD- C 为锐角,故二面角O- PD- C的余弦值为4.19.【答案解析】(1)该选手选择方式二答题,记每轮得分为X ,则X 可取值为0,20,30, 且3213311113(0),(20)28228P X C P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅===⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 2323331111(30).2222P X C C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 记预赛得分为Y ,432243244411313(100)(120)(110)(100)22828P Y P Y P Y P Y C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+==+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (59)128=. 所以该选手选择方式二答题晋级的概率为59128.(2)①该选手选择方式一答题：设每轮得分为ξ,则ξ可取值为0,20,且22(0)(1),(20)1(0)2P p P P p p ξξξ==-==-==-,()20(2)E p p ξ∴=-.设预赛得分为Y 1,则()116,(6)6()120(2)Y E Y E E p p ξξξ====-.②该选手选择方式二答题：设每轮得分为ζ,则ζ可取值为0,20,30,且3223(0)(1),(20)3(1),(30)3(1)P p P p p P p p p ζζζ==-==-==-+, 223()60(1)303(1)30(2)E p p p p p p p ζ⎡⎤∴=-+-+=-⎣⎦.设预赛得分为Y 2,则()224,(4)4()120(2)Y E Y E E p p ζζζ====-.因为()()12E Y E Y =,所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等.20.【答案解析】(1)当2n …时,144(1)n n n a a n n --=--,两边同除4n后得1111441n n n n a a n n ---=--,公众号：网课来了1212114412n n n n a a n n -----=---, …21211442a a -=-, 上式累加得14,4nn n n a a n n =∴=,又1n =时,14a =满足该式,故4nn a n=. （2）由1111141,441344134n n n n n n n n b na b ----=-=-∴=⋅-=⋅+-⋅…, 11134n n b -∴⋅…, 当1n =时,111439b =<, 当2n …时,2112111111113444n n b b b -⎛⎫+++<++++ ⎪⎝⎭ 1111414411394914n n ⎛⎫⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-< ⎪⎝⎭-. 21.【答案解析】(1)法一：由抛物线E ：y 2=2px (p >0)过点C (l,2),得p =2,.∴抛物线E ：y 2=4x , 设()2000020024,2,,4214AC y y A y y k y y ⎛⎫-≠== ⎪+⎝⎭- ∴直线04:2(1)2AC y x y -=-+,即0002422y y x y y =+++, 与3y x =+联立解得交点00006212,22y y P y y ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭,∴()()2002006212,22y y B y y ⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭,公众号：网课来了 当2012y ≠时,()()220020642y y y -≠-,直线AB 的方程为2000202434y y y y x y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-, 即()2000202412y y y x y y --=--,即()2000202412y y y y x y --=--过定点Q (3,2); 当2012y =时,()0002123,,3,2y A y B y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭,直线AB 过定点Q (3,2). 即直线AB 过定点Q (3,2). 法二：由抛物线2:2(0)E y px p =>过点C (1,2),得p =2,∴抛物线2:4E y x =,设直线:AB x my t =+,与抛物线方程联立得:2440,Δ0y my t --=>, 设()()1122,,,A x y B x y ,则12124,4y y m y y t +==-,又()223,P y y -, ∵直线AP 过定点C (l,2) , 212122311y y y x --∴=---, 111212,(1)(24)(1)260x my t m y y m y t y t =+∴---++--= ,1(23)(246)0m t y t m ∴-+-++-=, 即()1(23)20m t y -+--=对任意12y ≠都成立, 230m t ∴-+-=,即23t m =-+,∴直线:32(2)3AB x my m m y =+-=-+, 即直线AB 过定点Q (3,2).(2)由(l):(2)3AB x m y =-+,联立24y x =,消去x , 得244(23)0,Δ0y my m -+-=>,则12124,4(23)y y m y y m +==-,∴当m =1时,ABC △面积的最小值为 22.【答案解析】(1)由222111 0,()ax x x f x a x x x +++'+>==, ①若a …0,则()0,()f x f x >∴'在(0,)+∞上单调递增; ②若 a<0,令()0f x '>,则102x a -<<, 令()0f x '<,则12x a->, ()f x ∴在10,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,2a ⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. (2)有01x x >， 证明：由21()ln (0)g x x a x x '=-+>,设21()ln h x x a x =-+ 则312()0,()h x h x x x=+>∴'在(0,+∞)上单调递增,即()g x '在(0,+∞)上单调递增. 又1(1)10,ln 2402g a g a ⎛''⎫=->=--+< ⎪⎝⎭,公众号：网课来了 ∴存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使()20,()g x g x =∴'在()20,x 单调递减,在()2,x +∞上单调递增, 2x ∴为()g x 的极小值点,故21x x =.由()212112211110,,ln 0,ln g x x x x a a x x x '==∴-+=∴=-, ()()111111112111111ln ln ln 1ln f x x ax x x x x x x x x ⎛⎫∴=+-=+--=- ⎪⎝⎭, 又()()()1211101,1,1ln 02x x f x x x f x ⎛⎫=∈∴=-<= ⎪⎝⎭, 由（1）知a >0时,()f x 在(0,+∞)上单调递增,01x x ∴>.。

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湖南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞0}D．{x|x＜2}2．（5分）已知，其中i为虚数单位，a∈R，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣23．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1+a3=5，a1a3=4，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．644．（5分）如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）．设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．134 B．866 C．300 D．5005．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x）＞0的解集用区间表示为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）6．（5分）（1+x﹣x2）10展开式中x3的系数为（）A．10 B．30 C．45 D．2107．（5分）某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π8．（5分）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]=0，[1]=1，[2.4]=2．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．450 B．460 C．495 D．5509．（5分）已知函数（m，n为整数）的图象如图所示，则m，n的值可能为（）A．m=2，n=﹣1 B．m=2，n=1 C．m=1，n=1 D．m=1，n=﹣110．（5分）已知f（x）=cosωx，（ω＞0）的图象关于点对称，且f（x）在区间上单调，则ω的值为（）A．1 B．2 C．D．11．（5分）已知抛物线和圆，直线y=k（x﹣1）与C1，C2依次相交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点（其中x1＜x2＜x3＜x4），则|AB|•|CD|的值为（）A．1 B．2 C．D．k212．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1，分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）A．B．3 C．D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，E为边BC的中点，则=．14．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为．15．（5分）已知双曲线E经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线E的离心率为．16．（5分）如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij表示位于第i行第j列的数．则112在这“等差数阵”中出现的次数为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD=2，△BCD的面积为4．（1）求cos∠BCD的值；（2）求边AC的长．18．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ADEF为矩形，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，平面CBE与平面BDE垂直，且CB⊥BE．（1）求证：ED⊥平面ABCD；（2）若AB⊥AD，AB=AD=1，且平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为，求AF的长．19．（12分）某协会对A，B两家服务机构进行满意度调查，在A，B两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10 为组距分成6 组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A服务机构分数的频数分布表，B服务机构分数的频率分布直方图：A服务机构分数的频数分布表定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：（1）在抽样的1000人中，求对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数；（2）从在A，B两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从A，B服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由．20．（12分）已知椭圆与直线l：bx﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：△MEF为等腰三角形．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．[选修4-5：不等式选讲.]23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|+a，（1）若a=﹣1，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=2x有三个不同的解，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞0}D．{x|x＜2}【解答】解：∵B={x|2x＞1}={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜2}，故选：A．2．（5分）已知，其中i为虚数单位，a∈R，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【解答】解：由，得2=（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i，∴，即a=1．故选：B．3．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1+a3=5，a1a3=4，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．64【解答】解：设公比为q，因为{a n}是递增的等比数列，所以q＞0．a n＞a n﹣1因为a1+a3=a1+a1q2=5，且a1＞0，a3＞0，又a1a3=a22=4，所以得a1=1，a2=2，a3=4，q=2，则S6=（1﹣q6）=q6﹣1=64﹣1=63．故选C•4．（5分）如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）．设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．134 B．866 C．300 D．500【解答】解：设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为﹣x，向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计），设落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为a，则，解得a=1000（）≈134．故选：A．5．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x）＞0的解集用区间表示为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，若f（x）＞0，则有x2﹣x＞0，解可得x＞1，即在（1，+∞）上，f（x）＞0，反之在（0，1）上，f（x）＜0，又由函数为奇函数，则在（0，﹣1，）上，f（x）＞0，在（﹣∞，﹣1）上，f（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；故选：D．6．（5分）（1+x﹣x2）10展开式中x3的系数为（）A．10 B．30 C．45 D．210【解答】解：（1+x﹣x2）10=[1+（x﹣x2）]10的展开式的通项公式为T r+1=（x ﹣x2）r．=•x r﹣m．（﹣x2）m，对于（x﹣x2）r，通项公式为T m+1令r+m=3，根据0≤m≤r，r、m为自然数，求得，或．∴（1+x﹣x2）10展开式中x3项的系数为=﹣90+120=30．故选：B．7．（5分）某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【解答】解：由三棱柱的三视图得该三棱柱是一个倒放的直三棱柱ABC﹣A1B1C1，其中△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=2，AB⊥AC，AA1⊥平面ABC，AA1=2，如图，∴该三棱柱外接球的半径R===，∴该三棱柱外接球的表面积：S=4πr2=4=12π．故选：C．8．（5分）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]=0，[1]=1，[2.4]=2．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．450 B．460 C．495 D．550【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=[]+[]+[]+…+[]+[]的值，S=[]+[]+[]+...+[]+[]=10×0+10×1+10×2+ (10)9+10=10+20+30+…+90+10=460．故选：B．9．（5分）已知函数（m，n为整数）的图象如图所示，则m，n的值可能为（）A．m=2，n=﹣1 B．m=2，n=1 C．m=1，n=1 D．m=1，n=﹣1【解答】解：根据图象可得f（1）=∈（1，2），当n=﹣1时，不满足，故排除A，D；当m=n=1时，f（x）=，恒成立，故函数f（x）无极值点，故不符合题意，故选：B．10．（5分）已知f（x）=cosωx，（ω＞0）的图象关于点对称，且f（x）在区间上单调，则ω的值为（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：f（x）的图象关于（，0）对称，∴cosω=0，∴ω=+kπ，k∈Z，解得ω=+，k∈Z；令kπ≤ωx≤π+kπ，解得≤x≤+，k∈Z；∴f（x）在[0，]上是单调减函数，∵f（x）在（0，）上单调，∴≤，解得ω≤；又∵ω＞0，∴ω=．故选：D．11．（5分）已知抛物线和圆，直线y=k（x﹣1）与C1，C2依次相交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点（其中x1＜x2＜x3＜x4），则|AB|•|CD|的值为（）A．1 B．2 C．D．k2【解答】解：∵y2=4x，焦点F（1，0），准线l0：x=﹣1．由定义得：|AF|=x A+1，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x A，同理：|CD|=x D，由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为：y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x A x D=1，则|AB|•|CD|=1．综上所述，|AB|•|CD|=1，故选：A．12．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1，分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）A．B．3 C．D．4【解答】解：如图，不妨设N在B处，AM=h，CQ=m，则有MB2=h2+4，BQ2=m2+4，MQ2=（h﹣m）2+4由MB2=，=BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2=0．△=h2﹣8≥0⇒h2≥8该直角三角形斜边MB=．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，E为边BC的中点，则= 3．【解答】解：∵E为等边三角形ABCBC的中点，∴∠BAE=30°，AE=，∴=||||cos30°=2××cos30°=3，故答案为：3．14．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为4．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得C（2，0）将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．15．（5分）已知双曲线E经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线E的离心率为．【解答】解：根据题意，如图：设双曲线E经过的正方形的四个顶点为A、B、C、D，其A在第一象限，双曲线的两个焦点为F1、F2，连接AF1，若双曲线的焦距等于该正方形的边长，则有|F1F2|=2c，|AF2|=c，则有|AF1|=c，则2a=|AF1|﹣|AF2|=（﹣1）c，则双曲线的离心率e==；故答案为：16．（5分）如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij表示位于第i行第j列的数．则112在这“等差数阵”中出现的次数为7．【解答】解：根据图象和每行、每列都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j﹣1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j﹣1）第i行是首项为4+3（i﹣1），公差为2i+1的等差数列，因此a ij=4+3（i﹣1）+（2i+1）（j﹣1）=2ij+i+j，要找112在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i，j，使得2ij+i+j=112，所以j=，当i=1时，j=37，当i=2时，j=22，当i=4时，j=12，当i=7时，j=7，当i=12时，j=4，当i=22时，j=2，当i=37时，j=1．∴112在这“等差数阵”中出现的次数为7．故答案为：7．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD=2，△BCD的面积为4．（1）求cos∠BCD的值；（2）求边AC的长．【解答】解：（1）∵，则：，∴．∴；（2）在△BCD中，，由余弦定理得：DB2=CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD=16，即DB=4，∵DB2+CD2=BC2，∴∠BCD=90°，即△ACD为直角三角形，∵A=30°，∴AC=2CD=4．18．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ADEF为矩形，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，平面CBE与平面BDE垂直，且CB⊥BE．（1）求证：ED⊥平面ABCD；。

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