GL4-习题课

第 4 章随机变量的数字特征
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（4）设 Z g( X ,Y )，其中 g() 连续，则
若P X xi ,Y y j pij EZ E[ g( X ,Y )] g( xi , y j ) pij
j i
若( X ,Y )的概率密度为f ( x，y )
EZ E[ g( X ,Y )] g( x , y ) f ( x , y )dxdy,
第 4 章随机变量的数字特征
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一、内容提要
1、数学期望 EX（简称为期望，也称为均值）
（1） 设 X 为离散型随机变量，其分布律为
PX xi pi , i 1,2,
则 EX xi pi
（2）设 X 为连续型随机变量，其概率密度为 f(x)， 则 EX xf ( x )dx
（ⅰ）Cov(X,Y)=0 （ⅱ）EXY=EXEY （ⅲ）D(X+Y)=DX+DY
注意：X 与 Y 不相关仅仅说明 X 与 Y 没有线 性关系，不是说明 X 与 Y 没有关系。
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6、矩的概念 （1）称 （2）称
E( X k )
( k 1,2,)
为 X 的 k 阶原点矩，简称 k 阶矩 。
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（2）称为 DX 随机变量 X 的均方差或标准差。
（3）计算 DX 的公式： DX EX 2 ( EX )2 由此可得： EX 2 DX ( EX )2
第 4 章随机变量的数字特征 （4）DX 的性质
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2 （ⅰ）设C为常数，则 DX 0, D(CX ) C DX
（ⅱ）若 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立 ，则
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1 1 （2）由题设，1＝ , 2 3 3
1 ( x , y )

1 2 1 2 1 1
3 4 2 e

2
e
( x 1 ) 2 2 1 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 1 [ ] 2 2 2 2 ( 1 1 ) 1 2 1 2

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（3）设Y g ( X )，其中 g() 连续，X 为随机变量,则
g ( xi ) pi , 若P X xi pi , i 1,2, EY E[ g ( X )] i g ( x ) f ( x )dx , 若X的概率密度为f ( x )
Cov ( X , X ) Cov ( X , X ) Cov ( X , X ) 2 1 2 2 2 n Cov ( X , X ) Cov ( X , X ) Cov ( X , X ) n 1 n 2 n n
1 1 1 2 1 n
11 12 22 21 n1 n 2
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解：用 Ai (i 1,2,3,4)表示第 i 号盒子有球，则 X=1,2,3,4
1 3 37 P{ X 1} P ( A1 ) 1 P ( A1 ) 1 (1 ) 4 64 P{ X 2} P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) 1 3 1 3 19 (1 ) [1 (1 ) ] 4 3 64

1 1 [ e 2 2
x2 2
1 e 2
y2 2
x2 2
1 ] e 2
x2 2
1 同理 fY ( y ) e 2
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由于 X ~ N (0,1),Y ~ N (0,1)
故 EX EY 0, DX DY 1
于是， XY Cov( X ,Y ) E ( XY ) EXEY EXEY DX DY
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典型例题
例1 有 3 个球和 4 只盒子，盒子的编号为 1，2，3， 4，将球随机的放入盒子中，设 X 为有球的盒子 的最小号码，求 EX.
分析：是离散型的，所以要列出 X 的所有取值，再 计算出相应取值的概率， 然后用 EX xi pi 求出数 学期望。
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A4 A1 A2 A3 ) 1 3 1 3 1 3 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 4 3 2 64
于是，得 X 得分布律为：
X
1
2
3
4
P
37/64 19/64
7/64
1/64
1 25 EX [1 37 2 19 3 7 4 1] 64 16
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3、协方差与协方差矩阵
（1）协方差：Cov( X ,Y )= E{ [ X-E(X)] [ Y-E(Y) ] } 计算公式：Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY
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（2）协方差矩阵：设( X 1 , X 2 ,, X n )为 n 维随机向量， 则称矩阵 Cov ( X , X ) Cov ( X , X ) Cov ( X , X )
D( X 1 X 2 X n ) DX 1 DX 2 DX n
（ⅲ）对任意常数 C，有
DX E ( X C )2 .(等号成立 C EX )
（ⅳ） DX 0 以概率 1 为常数，即 P{ X C } 1
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[e

9 2 2 ( x xy y 2 ) 16 3
e

9 2 2 ( x xy y 2 ) 16 3
]
1 而，f X ( x ) e 2
x2 2
1 , fY ( y ) e 2
y2 2
故，f ( x , y ) f X ( x )Fra bibliotekfY ( y )
所以 X 与 Y 不独立.
3 Cov( X 1 X 2 ,Y ) Cov( X 1 ,Y ) Cov( X 2 ,Y ) 4

D( X Y ) DX DY 2Cov( X ,Y )
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4、相关系数
XY （1）定义：
Cov ( X ,Y ) D( X ) D(Y )
1 f ( x , y ) [1 ( x , y ) 2 ( x , y )] 2
其中1 ( x , y ), 2 ( x , y ) 都是二维正态密度函数，且它们对应
1 1 的二维随机变量的相关系数分别为 和 ，它们的边缘 3 3
密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差是 1. （1） 求随机变量 X 和 Y 的密度函数 f X ( x ) 和 fY ( y )及相关系 数 XY （可以直接利用二维正态密度函数的性质） （2）问 X 与 Y 是否相互独立？

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特别，当（X,Y）为二维连续型随机变量，且其概 率密度为 f(x,y)时，
EX xf ( x , y )dxdy

EY yf ( x , y )dxdy
当（ X,Y ）为二维离散型随机变量，且其分布律为
D(X) = Var(X)= E [ X E ( X )]2
( xi EX )2 pi , 若P{ X xi } pi ; i ( x EX )2 f ( x )dx , 若X概率密度为f ( x ).
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P{ X 3} P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) 1 3 1 3 1 3 7 (1 ) (1 ) [1 (1 ) ] 4 3 2 64
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P{ X 4} P ( A1 A2 A3 A4 )
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例2 设随机变量X的概率密度为 ax 2 bx c ,0 x 1 f ( x) 0 , 其它 并且已知EX=0.5,DX=0.15，求常数a,b,c
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1
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解： 因 f ( x )dx 1, 故（ax 2 bx c）dx 1, 于是 0 1 b a c1 (1) 3 2 又EX 0.5, 有 xf ( x )dx 0.5,即

P{ X xi ,Y y j } pij 时，
EX x j pij
j i
EY y j pij
i j
第 4 章随机变量的数字特征 （5）数学期望的性质
(ⅰ)设C为常数，则EC=C (ⅱ)E(CX)=CEX (ⅲ) E ( X i ) EX i
i 1 i 1 n n
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解： （1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度函 数都是正态密度函数，因此，1 ( x , y ),1 ( x , y ) 的两 个边缘密度均为标准正态密度函数，故
f X ( x )

1 f ( x , y )dy [1 ( x , y ) 2 ( x , y )]dy 2
( DX 0, DY 0)
（2）性质：
（ⅰ） XY 1 （ⅱ） XY 1 存在常数a , b使P{Y aX b} 1
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5、不相关的概念
（1）定义：若 XY 0 ，则称随机变量X与Y不相关