7-格式粘性

§7. 格式粘性本节从精度的角度，分析对流方程的几个基本格式，即 （1）中心差分格式11102n n n nj jj j u u u u atx++---+=D D（2）Lax 格式11111202n nj j n n njj j u u u u u atx-+++-+--+=D D或写成12111122122n nn nn n nj jj j j j j u u u u u u u x atxt x++-+----+D +=D D D D （3）迎风格式11111222n nn nn n nj jj j j j j u u u u u u u aatxx++-+----++=D D D或写成1111122122n n n nn n nj jj j j j j u u u u u u u aa x txx++-+----++=D D D D以及（4）Lax-Wendroff 格式11111222122n n n nn n nj jj j j j j u u u u u u u aa t txx++-+----++=D D D D经过改写，这些格式的差别仅在于右端项的系数，因此可以将它们统一写成1111122122n nn nn n nj jj j j j j u u u u u u u atxx++-+----++=D D D β其中220x ta x a t ìïïïïïïïïïD ïïïïD ï=íïïïïD ïïïïïïïïD ïïïîβ 中心差分格式Lax 格式迎风格式Lax-Wendroff 格式7.1 格式粘性取对流方程的光滑解 (),u x t ，则由泰勒展开，有()()231232311,,26nnnn n j jj j ju u uu x tu x t t t t t t t +抖 =+D +D +D +¶抖L()()232312344411,,26124nnnnn j jjjjnju u uu x tu x t xx xxx x u x x±抖 =盌+D 盌¶抖¶+D ¶L代入统一格式中的三个差分，分别得到()()123223,,1126nnnn nj j j j j u x t u x t u u ut t tt t t +-抖 =+D +D +D 抖L ()()31123,,126nnn nj j j ju x t u x t u ux xx x +--抖=+D +D ¶L ()()()24112224,2,,112nnn n nj j j j ju x t u x t u x t u u x x x x ++-+抖=+D +D 抖L 于是有迎风格式得到（省略求值的位置 (),n j x t ）()()()22222221122u u u u t t a x x t xt x禳禳禳镲镲镲抖抖镲镲镲+D +D ++D =+D 睚睚睚镲镲镲抖抖镲铪镲镲铪铪βO O O 即()22222211,22u u u u a t t x t x x t抖抖+=-D +D D 抖抖βO 另一方面，由原方程222222 , u u u u u u a a a t x t t t x x t tu u u a a a a x t x x x 骣骣抖抖抖抖鼢珑鼢=-==-=-珑鼢鼢珑抖抖抖抖¶桫桫骣骣抖抖 鼢珑鼢=-=--=珑鼢珑鼢抖抖¶桫桫所以，最终得到()()222221,2u u u a a t t x t x x抖 +=-D +D D 抖¶βO 这一结果表明，对流方程的这些差分格式，都可以看成是另一个方程()22212u u u a a t t x x抖 +=-D 抖¶β 的差分近似，并具有二阶时间精度和二阶空间精度。

上面导出的新方程，称为这些差分格式的第一修正方程。

由于它的形式与对流扩散方程ν22u u ua t x x抖 +=抖¶ 相同，于是可以有下面的类比：在对流扩散方程中，右端项 ν22ux¶¶ 是粘性流动控制方程组中粘性项的模型，代表了物理上的耗散机制。

所以在第一修正方程中，()22212u a t x¶-D ¶β 这一项被称为格式粘性项，因为这一项是格式本身产生的“粘性”项。

• 在对流扩散方程中，粘性项的系数 ν 代表了物理粘性。

所以，在第一修正方程中，格式粘性项的系数 ()212a t -D β 称为格式粘性。

• 在对流扩散方程中，物理粘性 ν 总是大于零的。

即使作为无粘流的模型方程，也是取 ν0= 。

所以在修正方程中，格式粘性也应该满足 ()2102a t -D β 。

只有这样，差分格式才能正确反映物理事实，具有物理意义。

经过计算，()22222212112121120a t x t a t x a t t a x a x ìïï-D ïïïïïïï骣ïD D ÷çï÷-çï÷çï÷çD D 桫ïï-D =íï骣ïD ÷ïç÷D -ïç÷çï÷D 桫ïïïïïïïïïïîβ 中心差分格式Lax 格式迎风格式Lax-Wendroff 格式可有以下的讨论：• 中心差分格式的格式粘性是负的，物理意义上是不合理的。

事实上，稳定性分析也表明，中心差分格式是不稳定的。

因此后面将不再考虑它。

• Lax 格式和迎风格式，只有当 1taxD £D 时，格式粘性才是非负的。

这个不等式就是CFL 条件。

稳定性分析的结果也指出，若满足CFL 条件，这两个格式都是稳定的。

• 在实际的粘性流（流体总是有粘性的）中，激波是有厚度的（尽管这个厚度很薄，与气体分子的平均自由程同量级）。

而在无粘流这种数学物理模型中，激波是一个间断，没有厚度。

按照这样的推理，使用带有格式粘性的差分格式，计算出的激波也应该是有厚度的。

而且，由于格式粘性()212a t -D β 比物理粘性 ν 大的多，所以，计算出的激波也会很厚，达到了与网格尺度 x D 同量级的程度。

这种现象称为格式的抹光效应。

• Lax-Wendroff 格式的格式粘性为零，或者说Lax-Wendroff 格式不带有格式粘性。

更准确地说，Lax-Wendroff 格式不带有二阶格式粘性，它的格式粘性是更高阶（四阶）误差项的系数。

但此时，其第一修正方程的右端，误差的主项应该是三阶空间导数项。

而在物理上，三阶导数项代表的是色散机制。

所以，用Lax-Wendroff 格式（或其他二阶格式）进行计算，在激波附近会产生振荡，称为虚假振荡（伪振荡）。

为了抑制这种非物理的现象，需要在二阶格式（也包括Lax-Wendroff 格式）中人为地加入某种与格式粘性相当的项。

无粘激波物理激波抹光虚假振荡由此可见，如果流场中包含激波（或其他类型的间断），必须认真地处理数值格式中已有的格式粘性，或者需要仔细地添加人工粘性。

没有这种粘性，计算结果在激波附近就会失真。

但由于这种粘性是非物理的，所以又必须严格控制其大小，尽可能减少抹光效应的影响。

7.3 若干理论结果一维气体力学方程组Riemann 问题的解析解（压力、速度、密度）都是空间自变量 x 的单调函数。

所以对数值模拟这类问题的格式，理论上的研究很多都是考虑数值解能否也保持单调性。

因为数值解一旦出现虚假振荡，其单调性也就被破坏了。

作为理论上的讨论，这里只考虑单个方程（标量方程）的初值问题()()()0,0f u u t x u x x ìﶶïï+=ïï抖ïíïïïï=ïïîϕ () 0 , t x >-?<+将时间 t 看作参数，定义解的全变差为()uT V dx xu +-¶=¶ò如果将 ()T V u 看成是时间 t 的函数，理论上有以下结论：• 若初值函数 ()x ϕ 没有间断，则 ()T V u =常数。

• 若初值函数 ()x ϕ 有间断，则 ()()()0t T V T V u T u V =?ϕ 。

• 若初值函数 ()x ϕ 是单调函数，则 u 作为 x 的函数也是单调的。

• 设 210t t 吵 ，则 ()()21t t T u T V u V £ 。

上面最后一条意味着，解的全变差是随时间递减的。

所以 ()2,u x t 与 ()1,u x t 相比，既不会产生新的极值，原有极值之间相差的幅度也不会进一步扩大。

对于标量方程的初值问题，考虑一般形式的显式格式()111,,,,,,n n n n n nj j k j j j j ku H u u u u u +--++=L L 及其线性化的特例（线性格式）1kn n js j ss kuc u ++=-=å单调格式：如果函数 H 是其每一个自变量的单调函数，即：0j sHu +¶>¶ () ,,1,0,1,, s k k =--L L则称为单调格式。

正型格式：对于线性格式，如果所有系数 s c 都是正的，则称为正型格式。

对于线性格式，因为s j sHc u +¶=¶ ，所以正型格式显然是单调的。

保单调格式：将 n t 和 1n t + 时刻的数值解分别记作 n u 和 1n u + ，假设 n u 是单调的，如果格式计算出来的 1n u + 也是单调的，即：从“对所有的 j ，都有 1n n j j u u +£（或 1n nj j u u +³ ）” 这一前提，可以推论出“对所有的 j ，都有 111n n j j u u +++£（或 111n n j j u u +++³ ）” 这样的结论，则称为保单调格式。