2015届高考一轮复习课时提升作业(人教A版数学理)：5.5 数列的综合应用

课时提升作业(三十四)一、选择题1.等差数列{a n }的公差为3，若a 2,a 4,a 8成等比数列，则a 4=( )(A)8 (B)10 (C)12 (D)162.等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )(A)90 (B)100 (C)145 (D)1903.已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )(A)21 (B)20 (C)19 (D)184.(2013·石家庄模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为( ) (A)53 (B)103 (C)56(D)116 5.已知数列{a n }满足：a 1=1,a n >0,22n 1n a a +-=1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )(A)4 (B)5 (C)24 (D)256.已知数列{a n }为等差数列，公差为d,若1110a a ＜-1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使得S n ＜0的n 的最小值为( )(A)11 (B)19 (C)20 (D)217.(2013·南平模拟)在1到104之间所有形如2n 和3n (n ∈N *)的数，它们各自之和的差的绝对值为(lg 2≈0.301 0)( )(A)1 631 (B)6 542 (C)15 340 (D)17 4248.(能力挑战题)甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小，则有( )(A)甲的产值小于乙的产值 (B)甲的产值等于乙的产值(C)甲的产值大于乙的产值 (D)不能确定二、填空题9.(2013·温州模拟)设曲线y=x n (1-x)在x=2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ,则数列{n a n 1+}的前n 项和S n 等于___________. 10.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.11.设数列{a n }中，a 1=2,a n+1=a n +n+1，则通项a n =_________.12.(能力挑战题)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=t ，点(S n ,a n+1)在直线y=2x+1上，n ∈N *，若数列{a n }是等比数列，则实数t=__________.三、解答题13.(2013·龙岩模拟)已知数列{a n }满足:S n =1-a n (n ∈N *)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和.(1)试求{a n }的通项公式.(2)若数列{b n }满足:*n nn b (n N ),a =∈试求{b n }的前n 项和公式T n . 14.(2012·安徽高考)设函数f(x)=x 2+sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }. (1)求数列{x n }的通项公式.(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .15.(2013·厦门模拟)我们规定，对于任意实数A ，若存在数列{a n }和实数x(x ≠0)，使得A=a 1+a 2x+a 3x 2+…+a n x n-1，则称数A 可以表示成x 进制形式，简记为:()()()()()123n 1n A x a a a a a .-=⋯～如：A=()()()()21321,--～则表示A 是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+(-2)×22+1×23=5. (1)已知m=(1-2x)(1+3x 2)(其中x ≠0)，试将m 表示成x 进制的简记形式.(2)记b n =()()()()()123n 1n 2a a a a a -⋯～(n ∈N *)，若{a n }是等差数列，且满足a 1+a 2=3,a 3+a 4=7,求b n =9 217时n 的值.答案解析1.【解析】选C.令首项为a ，根据条件有(a+9)2=(a+3)·(a+21)⇒a=3，a 4=3+3〓3=12.故选C.2.【解析】选B.设公差为d ，则(1+d)2=1·(1+4d).∵d ≠0，解得d ＝2，∴S 10＝100.3.【解析】选B.由a 1+a 3+a 5=105得3a 3=105,即a 3=35，由a 2+a 4+a 6=99得3a 4=99即a 4=33， ∴d=-2，a n =a 4+(n-4)〓(-2)=41-2n ，由n n 1a 0,a 0,+≥⎧⎨<⎩得n=20.4.【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d ＞0)，则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20. 由17(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d)， ∴24d=11a,∴d=556， 所以，最小的一份为a-2d=20-110563=. 5.【解析】选C.由a 1=1,a n >0,22n 1n a a +-=1(n ∈N *)可得2n a n =,即n a ,要使a n <5，则n<25,故选C.6.【思路点拨】解答本题首先要搞清条件“1110a a ＜-1”及“S n 有最大值”如何使用，从而列出关于a 1,d 的不等式组，求出1a d的取值范围，进而求出使得S n ＜0的n 的最小值，或者根据等比数列的性质求解.【解析】选C.方法一：由题意知d ＜0,a 10＞0,a 11＜0,a 10+a 11＜0,由111a 9d 0,a 10d 0,2a 19d 0,d 0,+⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪⎩＞＜＜＜得1a 1992d --＜＜. ∵()2n 11n n 1d d S na d n (a )n 222-=+=+-, 由S n =0得n=0或n=1-12a d. ∵12a 19120d-＜＜, ∴S n ＜0的解集为{*12a n N |n 1d∈-＞}, 故使得S n ＜0的n 的最小值为20.方法二：由题意知d ＜0,a 10＞0,a 11＜0,a 10+a 11＜0,由a 10＞0知S 19＞0,由a 11＜0知S 21＜0,由a 10+a 11＜0知S 20＜0,故选C.7.【解析】选B.由2n <104，得44n lg20.301 0<≈≈13.29，故数列{2n }在1到104之间的项共有13项，它们的和1312(21)S 16 38221-==-；同理数列{3n }在1到104之间的项共有8项，它们的和823(31)S 9 84031-==-，∴|S 1-S 2|=6 542.8.【解析】选C .设甲各个月份的产值构成数列{a n }，乙各个月份的产值构成数列{b n }，则数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，且a 1=b 1,a 11=b 11，故a 6=1116a a b 2+≥===，由于在等差数列{a n }中的公差不等于0，故a 1≠a 11，上面的等号不能成立，故a 6>b 6，即6月份甲的产值大于乙的产值.9.【解析】∵y ′=nx n-1-(n+1)x n ,∴y ′|x=2=n ·2n-1-(n+1)·2n =-n ·2n-1-2n ,∴切线方程为y+2n =(-n ·2n-1-2n )(x-2),令x=0得y=(n+1)·2n ，即a n =(n+1)·2n , ∴n n a 2n 1=+,∴S n =2n+1-2. 答案:2n+1-210.【解析】设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比11a 2=，设操作n 次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为a n ,则a n+1=a n ·12, ∴n 1n n n 1111a a q (),()2210-==∴<，得n ≥4. 答案:4【方法技巧】建模解数列问题对于数列在日常经济生活中的应用问题，首先分析题意，将文字语言转化为数学语言，找出相关量之间的关系，然后构建数学模型，将实际问题抽象成数学问题，明确是等差数列问题、等比数列问题，是求和还是求项，还是其他数学问题，最后通过建立的关系求出相关量.11.【解析】∵a 1=2,a n+1=a n +n+1,∴a n =a n-1+(n-1)+1,a n-1=a n-2+(n-2)+1,a n-2=a n-3+(n-3)+1,…, a 3=a 2+2+1,a 2=a 1+1+1,a 1=2=1+1,将以上各式相加得：a n =[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1]+n+1 =(n 1)[(n 1)1]n 12--+++ =(n 1)n n(n 1)n 1122-+++=+. 答案:n(n 1)12++ 12.【思路点拨】得出关于a n+1,S n 的式子，降低一个角标再得一个关于a n ,S n-1的式子，两个式子相减后得出a n+1,a n 的关系，可得数列{a n }中，a 2,a 3,a 4,…为等比数列，只要21a a 等于上面数列的公比即可.【解析】由题意得a n+1=2S n +1,a n =2S n-1+1(n ≥2),两式相减得a n+1-a n =2a n ，即a n+1=3a n (n ≥2),所以当n ≥2时，{a n }是等比数列，要使n ≥1时，{a n }是等比数列，则只需21a 2t 1a t +==3，从而t=1. 答案:113.【解析】(1)∵S n =1-a n ①,∴S n+1=1-a n+1②,②-①得a n+1=-a n+1+a n ,∴a n+1=12a n (n ∈N *), 又n=1时,a 1=1-a 1,∴a 1=1,2 ∴a n =n 1n *111()()(n N ).222-=∈ (2)∵b n =nn a =n ·2n (n ∈N *), ∴T n =1〓2+2〓22+3〓23+…+n 〓2n ③,∴2T n =1〓22+2〓23+3〓24+…+n 〓2n+1④,③-④得-T n =2+22+23+…+2n -n 〓2n+1 =n 2(12)12---n 〓2n+1, 整理得:T n =(n-1)2n+1+2,n ∈N *.14.【思路点拨】(1)根据导数，x n 的左侧导函数小于0，x n 的右侧导函数大于0，求出极小值点.(2)由(1)求出{x n }的前n 项和为S n ，再代入sin S n 求解. 【解析】(1)f(x)=x 2+sin x,令f'(x)=12+cos x=0,得x=2k π〒23π(k ∈Z), f'(x)>0⇒2k π-23π<x<2k π+23π(k ∈Z), f'(x)<0⇒2k π+23π<x<2k π+43π(k ∈Z), 当x=2k π-23π(k ∈Z)时，f(x)取极小值, x n =2n π-23π(n ∈N *). (2)由(1)得：x n =2n π-23π, S n =x 1+x 2+x 3+…+x n=2π(1+2+3+…+n)-2n 3π=n(n+1)π-2n 3π. 当n=3k(k ∈N *)时，sin S n =sin(-2k π)=0,当n=3k-1(k ∈N *)时，sin S n =sin 23π=2, 当n=3k-2(k ∈N *)时，sin S n=sin 432π=-.所以**n *0,n 3k,k N ,sin S n 3k 1,k N ,n 3k 2,k N .⎧⎪=∈==-∈⎪⎪=-∈⎪⎩15.【解析】(1)m=(1-2x)(1+3x 2)=1-2x+3x 2-6x 3=x ～(1)(-2)(3)(-6).(2)1234a a 3,a a 7+=⎧⎨+=⎩ ⇒112a d 3,2a 5d 7+=⎧⎨+=⎩⇒1a 1,d 1=⎧⎨=⎩⇒a n =n,b n =1+2〓21+3〓22+4〓23+…+n 〓2n-1①,2b n =1〓2+2〓22+3〓23+…+(n-1)〓2n-1+n 〓2n②,①-②得-b n =1+2+22+23+…+2n-1-n 〓2n ,化简得:b n =(n-1)2n +1,又b n =9 217,解得n=10.。