等比数列第一课时
等比数列(第一课时)
n
n 1
(3)an 2n 1 (1 n
例 1 培育水稻新品种，如果第一代得到 120 粒种 子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可 以得到下一代的 120 粒种子，到第 5 代大约可以得到 这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？
分析：由于每一代的种子数都是它的前一代种子数的 120 倍， . 所以，逐代的种子数构成等比数列，记为 an 已知 a1 = 120， q = 120，利用通项公式求出 a 即可. 5 解：由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍， 逐代的种子数组成等比数列，记为 {an } ，其中
a1 120, q 120, 因此 a5 120 12051 2.5 1010 10 答：到第5代大约可以得到种子 2.5 10 粒
一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18， 求它的第1项和第2项。 分析：利用题设条件和通项公式，先求出 a1 和公比 q，再 求 a2 , 解：设第一项为a1,公比为q,那么
(1)q 2 (2)q 5 1 (3)q 2 1 (4)q 3
1 1 1 (3)1, , , ,...... 2 4 8 1 1 1 1 (4) , , , ,...... 3 9 27 81
数学语言：
an 1 * q, n N an
特征：
an 0, 且q 0
讨论：1，下列数列是不是等比数列？
（1）４，－８，16，－32，……
是
（2）－３，－３，－３，…… 是 （3）２，０，０，０，…… 不是 2 3 (4)1, x, x , x ,.... 不一定 2，说出数列（１）－－（４）的公比q的值
(1)１,２，２２，２３，…，２６３,…
等比数列PPT优秀课件3(第一课时)
《数学》
必修5
2.4.1《等比数列》 （第一课时）
审校：王伟
教学目标
知识与技能目标 1.等比数列的定义； 2.等比数列的通项公式． 过程与能力目标 1.明确等比数列的定义； 2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，n中的
三个，求另一个的问题． 教学重点 1.等比数列概念的理解与掌握； 2.等比数列的通项公式的推导及应用． 教学难点 等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
2x
5
的图象上，如右图所示。
4
·
3
2
·
结论 ： 等比数 an列 的图象 1 ·是其对应
函数的图象上一 的些 点 0 孤 1 2 立 3 4 n
例题讲解
1.在等比数列 an 中,
(1 )a 4 2,q 7 3 ,求 a 7 ; (2 ) 若 a 2 1 ,a 4 8 8 ,求 a 1 与 q ;
的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
a n 是等比数列
a n 1 q (nN*)( q 为常数） an
如写成 a n a n1
q 行不行？
(n2,nN*)
能否改写为a n 是等比数列an1 anq(nN*)
( q为常数） ？ 为什么不能？
等比数列第一课时
2．4等比数列（第1课时）学习目标：1．理解等比数列的定义．2．掌握等比数列的通项公式推导3．会借助等比数列的通项公式解决实际问题学习重点：1． 等比数列的概念；2． 等比数列的通项公式及其应用。
学习过程一、 新课导入观察如下一些数列：(1)7，72，73，74，75，76;(2)1，2，4，8，16，32;(3)1，-1/2，1/4，-1/8，1/16，-1/32(4)2，2，2，2，2，2，2，2 。
分析上述每个数列特征：二、 讲授新课1．等比数列（1）定义： ；（2）用符号表示： ；练习一、判断下列数列是否为等比数列？若是，公比是多少？（1）-5，6，-5，6，-5，6；（2）1，1，1，1，1，1，…;(3)0，0，0，0，0。
2、按照数列前几项的规律，在括号内填上所缺项。
（1）1,2,2,22,(...);（2）1，0.1,0.01,(...).注：1、定义中要求：从第二项起，每一项与前一项的比为 ；2、判断一列数列是等比数列⇔ ；3、等比数列中任一项n a 有何要求？ 公比q 有何要求？对数列产生什么影响？2．等比数列的通项公式按定义有：21321,a a q a a q a === ，41a a = ，…,1n a a =所以：n a = 。
练习二、1． 一个等比数列的第9项是49，公比1,3-求它的第1项。
2． 一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项。
小结----通项公式中，共有 量，知道三个量可求第 个量。
3． 等比中项。
如等差数列一样，在实数,a b 之间插入一个数A ，使,,a A b 成等比数列，则称A 为,a b 的 ，三者关系是 。
练习三1．若lg ,lg ,lg a b c 成等差数列，则（ ）A 2a c b +=B 1(lg lg )2b ac =+ C ,,a b c 成等差数列 D ,,a b c 成等比数列 2．设,αβ是方程257250x x ++=的两实数根，则,αβ的等比中项是（ ）A 5B 5-C 25 5或5-3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a =（ ）A 4-B 6-C 8-D 10-4．例题自学阅读P50-P51例1、2、3。
3.4等比数列（第一课时）
3.4 等比数列（第一课时）教学目的：1.掌握等比数列的定义. 2.理解等比数列的通项公式及推导; 理解等比中项概念. 教学重点：等比数列的定义及通项公式教学难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题教学过程：一、复习引入：1.等差数列的定义：－ =d ，（n≥2，n∈n*） 2.等差数列的通项公式： 3.几种计算公差d的方法：d= － = = 4.等差中项：成等差数列二、讲解新课：下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点? 1，2，4，8，16，…，263; ① 5，25，125，625，…；② 1，－，…；③ 对于数列①，= ; =2（n≥2）对于数列②， = ; =5（n≥2）对于数列③，= · ；（n≥2）共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数1.等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：｛｝成等比数列 =q（,q≠0）注意：等比数列的定义隐含了任一项2.等比数列的通项公式1: 由等比数列的定义，有：；；；… … … … … … …3.等比数列的通项公式2:4.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列.5.等比中项：如果在a与b中间插入一个数g，使a,g，b成等比数列，那么称这个数g为a与b的等比中项. 即g=± （a,b同号）a,g,b成等比数列 g =ab（a·b≠0）三、例题例1 课本 p123例1，请同学们认真阅读题目，并自己动手解题. 例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.（课本p123例2）例3 求下列各等比数列的通项公式： 1. =-2, =-8 （答案） 2. =5, 且2 = -3 例4. 求数列 =5, 且的通项公式解：以上各式相乘得：例5. 已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证是等比数列.（课本p123 例3）四、练习： 1.求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），……. 2. 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项. 五、作业：课本 p 125习题3.4 1（2）（4），2， 5， 6，7（2），8， 9.。
等比数列第一课时说课课件
题目2
已知等比数列 { a_n } 中，a_1 = 2，q = 3，求前5项的和 S_5。
题目3
已知等比数列 { a_n } 中，a_3 = 8，S_3 = -15，求 a_1 和 q。
进阶练习
题目4
已知等比数列 { a_n } 中，a_1 = 1，S_6 = 26，求公比 q。
题目5
已知等比数列 { a_n } 中，a_2 = -6，a_5 = -30，求前8项的和
03
等比数列的通项公式
推导等比数列的通项公式
定义等比数列
证明通项公式
一个数列，从第二项开始，后一项与 前一项的比值等于同一个常数，则称 该数列为等比数列。
通过数学归纳法或迭代法证明通项公 式的正确性。
推导通项公式
假设等比数列的首项为$a_1$，公比 为$q$，则第$n$项$a_n$可以表示为 $a_1 times q^{n-1}$。
等比数列的性质
总结词
全面、深入
详细描述
等比数列具有一些重要的性质。首先，等比数列中的任意一项都可以通过首项和公比计算出来。其次，等比数列 中的两项之积、三项之积等都构成新的等比数列。此外，等比数列的任意一项都可以表示为前一项和公比的乘积。 这些性质在解决等比数列问题时非常有用。来自等比数列与等差数列的比较
S_8。
题目6
已知等比数列 { a_n } 中，S_4 = 21，S_8 - S_4 = 40，求
S_{12} - S_8。
综合练习
题目7
已知等比数列 { a_n } 中，a_1 = 3，q = -2，求前 n 项的和 S_n 的公式。
题目8
已知等比数列 { a_n } 中，a_3 = 8，S_6 = 60，求 a_7 和 S_9。
4.3.1等比数列的概念第1课时(等比数列的概念、通项公式)课件(人教版)
,1 8
,1 16
,1 32
,
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就
通过分裂繁育一代，那么一个这种细菌从第1次
分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
复利是指把
2，4，8，16，32，64…
前一期的利息和
4.某人存入银行a元,存期为5年,年利率为r, 本金加在一起算.
那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分 作本金，再计算
a1qn1
a1 q
qn
可知，当q>0且
f(x)
q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数函数 a5
f ( x )
a1 q
qx
(x∈R)当x=n时的函数值，即
a4
f(x)=
a1 q
qx
(5,a5)
(4,a4)
an=f(n)(如右图所示).
a3
反之，任给指数函数f(x)=kax(k,a为常 a2
数,k≠0,a>0,且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2, a1
…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{kan}，
其首项为ka,公比为a.
O
(3,a3) (2,a2) (1,a1)
1 2 3 4 5x
五、等比数列的单调性
公比q>0且q≠1的 等比数列{an}的图象有 什么特点?
类比指数函数的性质，说说 公比q>0的等比数列的单调性.
q>1
0<q<1
q=1
a1>0
如果G是a与b的等比中项，则a、b的符号有什么特点？你能用 a、b表示G吗？
a、b同号， G2=ab
Hale Waihona Puke 四、等比数列的通项公式你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 定义，可设得一个aan等n1 比 q数即列a{n+a1n=}a的nq首, 项为a1，公比为q.根据等比数列的 所以
等比数列第一课时
等比数列第一课时等比数列第一课时教学目标：（一）教学知识点1、等比数列的定义2、等比数列的通项公式（二）能力训练目标1、掌握等比数列的定义2、理解等比数列的通项公式及推导（三）德育渗透目标1、培养学生的发现意识2、提高学生的创新意识3、提高学生的逻辑推理能力4、增强学生的应用意识教学重点:等比数列的定义及通项公式教学难点:等比数列的通项公式的推导及解决一些相关问题教学过程:一、新课导入引例：请从逻辑的角度在空格处填上恰当的数字。
目的：由测智商的题目引入，激发学生的兴趣。
（1）1，2，（），8，16，…（2）8，，6，7，5，6，4（），…（3）65536，256，16，（），2，…（4）1,(),3L 二、概念建构问题1：哪两组数列的规律是相同的？规律是什么？答：第1组和第2组。
规律：从第2项起，每一项与它前一项的比为同一常数。
取名为等比数列。
（及时用实例高速学习对规律的完整概括）数学语言表述为：1 ,2n n a q n a -=≥ 以上我们学习了等比数列的定义，它是用来判断一个数列是否为等比数列的依据。
问题2：判断下列数列是否为等比数列？若是，请指出公比。
（1）1，-1，1，-1，…（2）1，0，1，0，…（3）10，8，6，4，…（4）a ,a ,a ,a , … (5) 1111,,,,248--L说明：通过该组题目的训练，启发学生对00n a q ≠≠和的限制问题3：最后一组数列1111,,,,248--L 的第2002项是什么？学生归纳：112n n a -??=- ，2001200212a ??=-三、性质探究问题4：已知数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，求其通项公式推导1：2121311,,,n n a a q a a q a a q -=?=?=?L说明：这个由特殊到一般的方法不能作为严谨的证明，联系等比数列求通项公式的方法，是否有另外的方法求等比数列的通项？3212111112:,,,,n n n n n n a a a q q q a a a a q a a q a ---====∴=?L 推导各式相乘得说明：叠乘的方法体现了极大的优越性。
4.3.1 第一课时 等比数列的概念及通项公式(课件(人教版))
[做一做]
1．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么
()
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
解析：因为 b2＝(－1)×(－9)＝9，且 b 与首项－1 同号，
所以 b＝－3，且 a，c 必同号．
所以 ac＝b2＝9. 答案：B
a2，a3，a4 成等比数列，a3，a4，a5 的倒数成等差数列， 证明：a1，a3，a5 成等比数列．
证明：由已知，有 2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋ 3·aa55，所以 a4＝a23a＋3·aa55.
④
a1＋a3
由①得 a2＝ 2 .
4．3 等比数列
4．3.1 等比数列的概念
新课程标准解读
核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列 的概念和通项公式的意义.
数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列 逻辑推理、数学运
的等比关系，并解决相应的问题.
算
3.体会等比数列与指数函数的关系.
数学抽象
第一课时 等比数列的概念及通项公式
[问题导入] 预习课本第 27～30 页，思考并完成以下问题 1．等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？
2．等比数列的通项公式是什么？
3．等比中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的公比，通常用字母_q__表示(q≠0)．
等比数列,第一课时
等比数列定义和通项公式（第1个课时）教学目标1.理解等比数列的定义，等比中项的概念， 2.掌握等比数列的通项公式，并学会推导方法； 3.掌握等比数列的几种等价形式； 4.理解并掌握等比数列的重要性质。
教学过程一、等比数列的定义复习回顾等差数列的定义，让学生类比着学习等比数列。
创设等比数列的问题情境如下：（1）利用游标卡尺测量一张纸的厚度.得数列a,2a,4a,8a,16a,32a.(a>0)（2）一辆汽车的售价约15万元,年折旧率约为10%,计算该车5年后的价值。
得到数列 15 ,15×0.9 ,15×0.92 ,15×0.93 ,…，15×0.95。
（3）复利存款问题，月利率5%，计算10000元存入银行1年后的本利和。
得到数列10000×1.05,10000×1.052,…,10000×1.0512.让学生们探究三个数列的共同点，由此慢慢引出等比数列的定义。
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用q 表示。
数学表达式：1()n n a q n N a *+=∈或1(2)n n a q n a -=≥ 注意：1. 等比数列的各项均不为零；2. 等比数列的公比一定不能为零；3. 从数列第二项起的任意一项都满足该表达式关系；4. 公比q=1时，等比数列{a n }为常数列。
5. 既是等差又是等比数列的数列：非零常数列。
在学生对等比数列的定义初步了解的基础上，讲解例题中给出具体的数列，让学生利用定义判断是否为等比数列，增强学生对定义的理解。
例1．判断下列数列是否为等比数列？若是，找出公比；若不是，请说明理由。
(1) 1, 4, 16, 32．(2) 0, 2, 4, 6, 8.(3) 1,－10,100,－1000,10000．(4)a, a, a, a, a.在巩固学生们对定义理解的同时，也要加强对定义的应用，如下例的证明；这个例子也是为了让学生发现等比数列隔项同号的规律。
等比数列(第一课时)
课题: §2.4等比数列(第一课时)授课题目：§2.4等比数列(第一课时) 授课地点：高二（7）班授课时间：2011年10月10日第四节授课人：吕巧霞内容分析等比数列是上一节等差数列之后的又一种特殊数列，在现实生活中也有广泛的应用，因此等比数列的教学可以选择很多有实际背景的例子（如教育贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），也可以让学生自己举一些实际生活中的例子，进一步培养学生从实际生活中抽象出数列模型的能力和用数学解决实际问题的能力.等差数列与等比数列有很多类似的地方，但本质不同，因此学生容易混淆，教学中既要将二者进行类比，更强调等比数列定义和体现等比数列本质的公比q，同时也是培养学生类比思想的良好素材.教学目标1.使学生理解和掌握等比数列的定义、有关概念及等比数列的通项公式.2.通过实例，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力、应用数学知识解决问题的能力，体会类比思想.3.充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学生学习数学的兴趣.教学重点、难点重点：等比数列的定义、通项公式及等比中项.难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题.教学方法：实例导入教学用具：彩色粉笔授课类型：新授教学思路实例导入——等比数列的定义——等比数列的通项公式——等比中项——例题讲解——课堂练习——课堂小结——课后作业教学过程Ⅰ.课题引入情境创设：等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列.教师引导学生阅读课本48p 中的四个实例，启发学生从实际问题中抽象出如下4个数列：① 1，2，4，8，16，…② 1，12，14，18，116，… ③ 1，20，220，320，420，…④ 10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，510000 1.0198⨯，……观察：请同学们仔细观察一下，以上①、②、③、④四个数列有什么共同特点？共同特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数.教师启发引导学生：类比等差数列，给具有以上数列特点的数列命名.（等比数列）教师板书课题.Ⅱ.讲授新课1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示)0(≠q ，即：q a a n n =-1)20(≥≠n q ， 注：1︒｛n a ｝成等比数列⇔q a a n n =-1)20(≥≠n q ， 2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且3︒ q= 1时，｛n a ｝为常数列。
等比数列的概念(第一课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
160
,80,136- ,132- 2 .
2,
q
q
q
q
80
160
由题意 ：2（136- ）=80+132- 2
q
q
化简得 3q2-8q+8=0
2
解得 q=2或q=
3
跟踪练习
已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比
数列,中间两个之积为16，前后两个数之积为-128.
求这四个数.
分析 设后三个数的公比为q,第二个数b,则这4个数
⑥
观察数列①~⑥：共同特点:
从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个
类比等差数列的概念,等比数列的定义:
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的
比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
常数叫做等比数列的公比公比,通常用字母q表示
(q≠0)
跟踪练习 1.观察并判断下列数列是否是等比数列，
是：2b-bq,b,bq,bq2
由题意
b2q=16
bq2(2b-bq)=-128
化简得 q2-2q-8=0
q=4,或q=-2
当q=4，b=±2,
即四个数为：-4,2,8,32；或 4，-2，-8，-32
当q=-2时，与已知矛盾。
综上 所求数个数为-4,2,8,32；或 4，-2，-8，-32
四 课堂小结
求 的第5项
• 分析 由4 = 48，6 = 12，
3
• 1 = 48
①
• 1 5 = 12
②
• ②的两边分别除以①的两边，得
• 即 =
1
或
2
=
1
−
2
等比数列第一课时优质课
等比数列的判定方法
介绍了如何判断一个数列是否 为等比数列，包括定义法、通 项公式法和性质法等。
等比数列的应用举例
通过具体例题，展示了等比数 列在解决实际问题中的应用， 如增长率、分期付款等问题。
课堂练习与解析
通过课堂练习，巩固学生对等 比数列的理解和应用能力，并 对练习进行详细解析，帮助学 生掌握解题思路和方法。
在日常生活中的应用
房屋按揭贷款
房屋按揭贷款的月供金额通常按 照等比数列的方式进行计算，通 过等比数列的公式可以快速计算 出未来某个时间点的月供金额。
健康管理
在健康管理中，定期检查身体指 标（如血压、血糖等）可以视为 等比数列问题，通过等比数列的 公式可以预测未来某个时间点的
身体状况。
音乐节奏
音乐中的节奏通常按照一定的比 例进行排列，这些比例可以视为 等比数列，通过等比数列的公式 可以计算出音乐的节奏和节拍。
下课时内容预告
等比数列的求和公式
下课时将讲解等比数列的求和公式，包括公式的 推导、应用和注意事项等内容。
等比数列在实际生活中的应用
通过具体实例，展示等比数列在金融、物理等领 域中的应用，培养学生的数学应用意识。
等比数列与等差数列的对比
通过对比等差数列和等比数列的定义、性质和判 定方法，加深学生对两者的理解。
求解未知数
在某些情况下，通过已知的等比数列项，利用通项公式可 以求解未知数，如首项、公比或项数等。
公式推导过程中涉及的数学思想
80%
归纳法
在推导等比数列通项公式的过程 中，使用了归纳法，通过对前几 项的观察和归纳，总结出通项公 式的规律。
100%
累乘法
利用累乘法将等比数列的通项公 式进行变形，得到$a_n = a_1 times q^{(n-1)}$的形式，便于 理解和记忆。
课件1： 5.3.1 第1课时 等比数列的定义
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跟踪训练 3．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列， 并求出通项公式．
[证明] ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，∴an＋1＝2an， 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
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【例 3】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N＋)． (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． [解] (1)由 S1＝13(a1－1)，得 a1＝31(a1－1)，∴a1＝－12. 又 S2＝13(a2－1)，即 a1＋a2＝13(a2－1)，得 a2＝41.
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(2)证明：当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，得aan－n 1＝－12. 又 a1＝－21，所以数列{an}是首项为－21，公比为－12的等比数列．
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规律方法 1．已知数列的前 n 项和，或前 n 项和与通项的关系求通项，常用 an 与 Sn 的 关系求解． 2．判断一个数列是否是等比数列的常用方法有： ①定义法：aan＋n 1＝q(q 为常数且不为零)⇔{an}为等比数列． ②通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0 且 q≠0)⇔{an}为等比数列． ③构造法：在条件中出现 an＋1＝kan＋b 关系时，往往构造数列， 方法是把 an＋1＋x＝k(an＋x)与 an＋1＝kan＋b 对照，求出 x 即可．
[提示] 只需证明aan＋n＋1＋11＝q，(q≠0)即可．
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【例 2】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解] (1)证明：∵an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)， 又 a1＝1，故 an＋1≠0，∴aan＋n＋1＋11＝2.∴数列{an＋1}是等比数列． (2)由(1)可知{an＋1}是以 a1＋1＝2 为首项，2 为公比的等比数列． ∴an＋1＝2×2n－1＝2n，即 an＝2n－1.
等比数列 第一课时
a, b同号时才有等比中项，且有两个。
例3：已知等比数列｛an｝中，a5=20，a15=5，
求a20.
解：得
a15 a5q
10
a15 5 1 ，q a5 20 4
10
1 q 2
5
1 5 5 a20 a15 q 5 或a20 2 2 2
5
观察如下的两个数之间，插入一个什么数 后者三个数就会成为一个等比数列：
an q ×） an 1
an q n 1 a1
an=a1qn-1
例1：已知等比数列｛an｝的首项是2公比q=-2，
求数列的第五项。 解：根据等比数列的通项公式 an=a1.qn-1 , 得
a5 a1 q
51
2 2 32
4
例2：已知等比数列｛an｝的中，a1=-2，a5=-32，
1，3，9，27，81，243，… 公比 q=3 递增数列
(3) (4)
(5) (6 )
5，5，5，5，5，5，…
1，-1，1，-1，1，…
2 3 4
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列 公比 d= x
1, x, x , x , x ,( x 0)
因为x的正负性不确定， 所以该数列的增减性 等尚不能确定。
求公比q。 解：根据等比数列的通项公式an=a1.qn-1, 得
5 a 32 4 q 16 a 2 q 2
3、拓展： 等差数列 等比数列
an a1 (n 1)d
am a1 (m 1)d
类比
an a1q
n 1
m1
am a1q
an am (n m)d
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方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一
期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的
自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.
计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)n，这里n为存期.
例如：先存入10 000元，年利率是1.98%.那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是？
回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的实例1,2中的数列①②③，说说它们有什么共同特点？
数列①从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；
数列②从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；
数列③从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；
也就是说这个数列有一个共同的特点：从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数。
我们把这样的数列称为等比数列。
这就是我们今天要研究的课题，等比数列。
第（2）页在科学上进步而道义上落后的人，不是前进，而是后退。
第（4）页人生最终的价值在于觉醒和思考的能力，而不只在于生存。