1.4晶体的定向及晶面符号资料
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晶体的定向和晶面符号
• 结晶轴的选择应当符合晶体固有的对称性
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
晶体定向晶面符号与晶带解析
c0 表示。由于晶体结构中的结点间距较小，（一般以nm 计），需要藉X射线才能测定，对晶体外形的宏观研究不能
定出其轴长，但利用几何结晶学方法可以求出它们的比率
a0∶b0∶c0（或表示为a∶b∶c ），这一比率称为轴率。
Z
c0
a0
b0
Y
X
不同物质晶体结构不同，结点间距不同，轴长各不相同。
等轴晶系 对称程度高，晶轴X、Y、Z 为彼此对称的行列， 它们通过对称要素的操作可以相互重合，因此它们的轴长是 相同的。即 a＝b＝c ，轴率 a：b：c ＝1：1：1
U
Y
三六方晶系
X－
Y－
Z
Y
Y－
Z
Y
X
X
U－
X－
Y－
Y
X
注意：只有等轴晶系晶体在倾斜的位置才能出现对称面， 因此，只有等轴晶系晶体投影时才能画该位置的辅助线， 目的是确定四个三次轴的位置（P41表I-4-5）。
（3）轴长与轴率： 晶轴系格子构造中的行列，该行列上的
结点间距称为轴长。 X、Y、Z 个轴上的轴长分别以 a0、b0、
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
斜方晶系a≠b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z U
Y X
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
确定了晶体的对称型，仍不一定获得有关形态的完 整概念。
四个晶体的对称型都是L44L25PC，其中中间两个都 是四方柱和四方双锥组成。
定出其轴长，但利用几何结晶学方法可以求出它们的比率
a0∶b0∶c0（或表示为a∶b∶c ），这一比率称为轴率。
Z
c0
a0
b0
Y
X
不同物质晶体结构不同，结点间距不同，轴长各不相同。
等轴晶系 对称程度高，晶轴X、Y、Z 为彼此对称的行列， 它们通过对称要素的操作可以相互重合，因此它们的轴长是 相同的。即 a＝b＝c ，轴率 a：b：c ＝1：1：1
U
Y
三六方晶系
X－
Y－
Z
Y
Y－
Z
Y
X
X
U－
X－
Y－
Y
X
注意：只有等轴晶系晶体在倾斜的位置才能出现对称面， 因此，只有等轴晶系晶体投影时才能画该位置的辅助线， 目的是确定四个三次轴的位置（P41表I-4-5）。
（3）轴长与轴率： 晶轴系格子构造中的行列，该行列上的
结点间距称为轴长。 X、Y、Z 个轴上的轴长分别以 a0、b0、
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
斜方晶系a≠b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z U
Y X
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
确定了晶体的对称型，仍不一定获得有关形态的完 整概念。
四个晶体的对称型都是L44L25PC，其中中间两个都 是四方柱和四方双锥组成。
3.晶体定向及晶面符号概述
面 -----单面 1、平行双面1、反映双面及轴双面1 。
柱 ----（单柱 4 、复柱3） 锥 ----（单锥7、双锥 7） 体 ------ 23
低级晶族的单形
平行双面
轴双面
斜方单锥
斜方四面体
斜方双锥
斜方柱
中级晶族的单形
三方单锥
六方单锥
四方单锥
复三方单锥复六方单锥复四方Fra bibliotek锥三方双锥
六方双锥
四方双锥
晶面符号举例！
1. 等轴晶系：立方体、八面体 2. 四方晶系：四方柱、四方双锥 3. 六方晶系：六方柱 4. 三方晶系：菱面体 5. 斜方晶系：斜方双锥 6. 单斜晶系：石膏单晶
3、简整指数定律： 晶面在晶轴上的截距系数之比，往往为简单的整数比。 （1）简单？见P.38 图4-8 网面密度：a1b1 ＞ a1b2 ＞ a1b3 ＞ a1b4 ＞ ……a1bx 晶面在x、y、轴上的截距系数之比： b1 b2 b3 b4 b5 b6 bx a1b1 = 1:1 Z Y a1b2 = 1:2 a1b3 = 1:3 a1 a1b4 = 1:4 …… a2 a1bx= 1: x 网面密度越大、晶面在 X 晶轴上的截距系数之比 网面密度与截距系数比的关系 越简单。布拉维法则： 实际晶体往往被网面密度较大的晶面所包围。
（2）整数？（见P.38 图4-7 ） 把平行于晶胞的三个行列 作为晶轴，用该行列上的结 点间距作为轴单位。晶轴相 应于行列，晶面相应于面网， 晶面截晶轴于结点（a1b2）， 或者晶面平移后截晶轴于结 点（kb5→a2b4），故晶面在 晶轴上的截距系数之比必为 一整数比。
（a1b2：x=1a ，y= 2b ：即1: 2） （a2b4：x=2a ，y= 4b ：即2: 4）
晶体定向和晶面符号
3L2为三轴，（3L2；3L23PC） L2为Z轴，2个P的法线为X、Y轴（L22P） L2为Y轴（L2；L2PC） P之法线为Y轴（P） 2个均垂直与b轴的适当晶棱方向为X、Z轴 三个适当的晶棱方向为Z、X、Y轴
三、晶面符号
晶体定向后，表示晶面在空间相对位置的符号，又 叫米氏符号。
即晶面在三个晶轴(X,Y,Z)上截距系数的倒数比h:k:l； 通常表示为（hkl）
3、同一米氏符号中，如有两个指数的绝对值相等，而且 与它们相对应的那两个结晶轴的轴单位也相等时，则晶面 与此二结晶轴以等角度相交；
4、在同一个晶体中，如有两个晶面的三组米氏指数的绝 对值全都相等，而且正、负号恰好全都相反，则此二晶面 平行。
四、单形符号
1、因为单形是一组由对称要素联系起来的相同晶面， 故可以用一个面来表示整个单形。
晶体定向和晶面符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位
二、建立坐标系统
1、晶体是多面体
三维坐标系统
三个方向即晶轴 量度单位轴单位
2、选择方法
微观上： 选择平行六面体中交于一点的三个行列的方向
宏观体现： 选择对称轴、对称面的法线、晶棱 的方向
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
a=b≠c α=β=γ＝90°
a≠b≠c α=γ=90° β＞90°
a≠b≠c
α≠β ≠ γ a≠b≠c
选轴原则（按晶体几何常数特征）
以三个相互垂直的L4(Li4,L2)为X、Y、Z三 轴
唯一的高次轴为Z轴; 两个相互垂直的L2(P 之法线,晶棱)为X、Y轴
唯一的高次轴为Z轴 三个互成60°交角的L2(P之法线，适当晶 棱）为X、Y、U轴
三、晶面符号
晶体定向后，表示晶面在空间相对位置的符号，又 叫米氏符号。
即晶面在三个晶轴(X,Y,Z)上截距系数的倒数比h:k:l； 通常表示为（hkl）
3、同一米氏符号中，如有两个指数的绝对值相等，而且 与它们相对应的那两个结晶轴的轴单位也相等时，则晶面 与此二结晶轴以等角度相交；
4、在同一个晶体中，如有两个晶面的三组米氏指数的绝 对值全都相等，而且正、负号恰好全都相反，则此二晶面 平行。
四、单形符号
1、因为单形是一组由对称要素联系起来的相同晶面， 故可以用一个面来表示整个单形。
晶体定向和晶面符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位
二、建立坐标系统
1、晶体是多面体
三维坐标系统
三个方向即晶轴 量度单位轴单位
2、选择方法
微观上： 选择平行六面体中交于一点的三个行列的方向
宏观体现： 选择对称轴、对称面的法线、晶棱 的方向
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
a=b≠c α=β=γ＝90°
a≠b≠c α=γ=90° β＞90°
a≠b≠c
α≠β ≠ γ a≠b≠c
选轴原则（按晶体几何常数特征）
以三个相互垂直的L4(Li4,L2)为X、Y、Z三 轴
唯一的高次轴为Z轴; 两个相互垂直的L2(P 之法线,晶棱)为X、Y轴
唯一的高次轴为Z轴 三个互成60°交角的L2(P之法线，适当晶 棱）为X、Y、U轴
晶体定向晶面符号与晶带
例如：47号模型复方偏十二面体：3L24L33PC
四方晶系：
以L4或Li4为 Z 轴，以垂直
Z 轴并相互垂直的L2或P的
法线为X、Y 轴，当无 L2或
P时，平行于晶棱选取。
晶体常数特点：
a＝b≠c
α=β=γ=90°
26号模型四方四面体：Li42L22P
六方及三方晶系：
以L3 、L6、 Li6为 Z 轴，以垂 直 Z 轴并相互以120°相交 （正端）的L2或P的法线为X、 Y 、U轴，当无 L2或P时， X、 Y 、U平行于晶棱选取。X轴 水平朝正前偏左30°。 晶体常数特点： a＝b≠c α=β=90 ° γ=120°
Z
c0
a0
b0 X
Y
不同物质晶体结构不同，结点间距不同，轴长各不相同。
等轴晶系 对称程度高，晶轴X、Y、Z 为彼此对称的行列， 它们通过对称要素的操作可以相互重合，因此它们的轴长是 相同的。即 a＝b＝c ，轴率 a：b：c ＝1：1：1 中级晶族 （四方、三方、六方晶系）具有一个高次轴，以 高次轴为Z轴，通过高次轴作用可以使X轴与Y轴重合，因此 轴长 a＝b，与 c 不等，其 a：c比例视晶体不同而不同。 低级晶族 （斜方、单斜、三斜晶系）对称程度低，X、Y、 Z 轴不能通过对称要素的操作相互重合，所以a≠b≠c，视 晶体不同a∶b∶c比值不同。
α=γ= 90°
β＞ 90°
三斜晶系：
以不在同一平面内的主要 晶棱方向为 X、Y、 Z 轴。
晶体常数特点：
a≠b≠c α≠γ≠ β≠ 90°
请注意: 在晶体的宏观形态上根据对称特点选出
的三根晶轴，与晶体内部结构的空间格子的三个不
共面的行列方向是一致的。
为什么? 因为空间格子中三个不共面的行列也是根据晶体的 对称性人为地画出来的，而晶轴也是根据晶体的对
第三章晶体的定向和晶面符号知识讲解
晶面指数－米氏符号中小括号内的三个数字称晶面指数。
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单 简单的
晶面截晶轴于结点 整数比
在确定晶体上晶面的米氏符号时，并不需要知道a， b，c的大小。可以首先选择一个晶面作单位面。单位面 应该是晶体上发育很好、与三个晶轴都相截，而且截距 尽可能相等或相近的晶面。将单位面的符号定为（111 ），即认为该晶面的截距系数p=q=r，截距之比为a：b ：c。确定了单位面之后，其它晶面的符号可通过与单 位面的比较而求得。
第三章晶体的定向和晶面符号
三、如何为晶体定向
1、选择晶轴的原则
（1）晶轴平行行列方向。
优先
其次
晶轴平行 对称轴
对称面的法线
Z +_
_ +Y
+
X_ 再次
平行晶棱
（2）晶轴要尽可能的互相垂直或近于
垂直，即尽可能使 ===90,
具a体=步b=骤c
高次轴 L2 P 法线 显著晶棱
三、如何为晶体定向
（3）等轴、四方、斜方、单斜及 三斜等五个晶系选三个晶轴（X、 Y、Z），其中
同一单形的各个晶面的指 数的绝对值不变，而只有 正负号的区别
知道了单形的一个晶面 的符号，则该单形的其 它晶面的符号即可导出
用单形一个代表晶 面的符号来代表整 个单形
定义：单形符号简称形号，它是指在单形中选择一 个代 表面，把该晶面的晶面指数用“{ }”括 起来，用以表征组成该单形的一组晶面的 结晶学取向的符号
矿物的规则连生体的形态
1、平行连生
同种晶体彼此平行的连生在一起，连生 着的每一个晶体的相对应的晶面和晶棱 都是相互平行的
平行连生从外形来看是多晶体的连生，但它们 的内部格子构造是平行、连续的
第四章晶体定向和晶面符号
§4.5
对称型的国际符号
对称面：m
一、国际符号中对称要素的表示法
对称轴：以轴次的数字表示， 如 1、2、3、4 和 6 旋转反伸轴：轴次数字上面加“-”号， 如 1 、 、 和 。 、 2 3 4 6 注意:由于1 L1i C ，习惯用 1 代表对称中心。
6、三方、六方晶系
对称特点：有且只有一个L3或L6或Li6。 选轴原则：以L6、Li6、L3为z轴，以垂直z轴并彼此相 交为1200的3个L2或P的法线或晶棱方向为x、y、u轴
z
u
y x
晶体常数特点 a＝b≠c，α＝β＝９０°γ＝１２０°
总结－晶体定向方法
1、根据晶体对称型，确定晶体属于何种晶系
整数比, 此时的h, k, l就称为晶面指数;
晶面符号写作（ h k l ）
注意：若晶面交于晶轴负端，则在相应指数上方加“－”号
Z
C
已知晶面ABC在X、Y、 Z轴上的截距为： OA=2a， OB=3b， OC=6c； 求晶面的米氏符号。
Oc a b A X
B
Y
截距系数的倒数比： 1/2∶1/3∶1/6 化整→ 3∶2∶1 去比例号，加小括号→(321)。
2、对应各晶系定向原则，确定相应的x轴、y轴、z轴
注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y轴，其它 晶系均先确定z轴
§4.3晶面符号
一、 晶面符号
–所谓晶面符号就是根据晶面(或晶体中平行于 晶面的其他平面)与晶轴的空间关系，用简单 的数字符号形式来表达它们在晶体上方位的的 一种晶体学符号; –目前国际上通用的都是米氏符号(Miller’s symbol)，亦称米勒符号。
等轴晶系
2 3 1
四方晶系
2 3 1 2 3 1 2 3
第四章 晶体定向和晶面符号
晶
体
的
定
向
方
法
10
四方晶系
1L4 c轴 2L2 /2P法线/2晶棱 a b轴
c 直立，b 左右， a 前后
a=bc ===90
11
斜方晶系
3L2 a b c 轴 1L2 c轴 2P法线 a b 轴
c 直立，b 左右， a 前后
abc == =90
12
单斜晶系
1L2/1P法线 b轴, 2晶棱 a c轴
交可决定一可能晶带(晶棱).
33
3、晶带方程应用
即：任一属于[u v w]晶带的晶面(h k l)，必定有： h u + k v + l w = 0 晶带方程
简单的证明： 三维空间的一般平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0 系数A、B、C决定该平面的方向，常数项D决定距原点 的距离。 那么过坐标原点且平行于(h k l)的平面方程则可以表达 为
23
考察晶体模型晶面的晶面符号：
Cube
(001) (100) (010)
Octahedron
(111) (111)
Dodecahedron
(111)
(111)
101
011
_
110
110
_
_
101
011
24
All three combined:
001
_
101
111
011 111
_ 110
100
010 110
c 直立，b 左右 a 前后但向前下方倾斜 使>90
abc ==90 >90
13
三斜晶系
第四章 晶体定向和晶面符号
几何结晶学基础
第四章 晶体定向和晶面符号
五、各晶系晶体定向及常见单形符号
5.单斜晶系
（4） 常 见 聚 形
几何结晶学基础
第四章 晶体定向和晶面符号
五、各晶系晶体定向及常见单形符号
6.三斜晶系
⑴ 对称特点
无对称轴和对称面，共有2个对称型， 常见晶体多为C对称型。
⑵ 晶体定向
选三个近于相互垂直的晶棱方向为XYZ 轴。晶体常数特点为a≠b≠c， α≠β≠γ≠90°。
几何结晶学基础
第四章
一、晶体定向
4.晶体常数
晶体定向和晶面符号
各晶系的对称特点不同，因而选择晶轴 的方法及晶体常数的特点也不同。由于确定 晶轴和轴单位的方法和在晶体构造中划晶胞 的原则或确定平行六面体的原则一致，所以 各晶系晶体常数和格子参数完全吻合。
几何结晶学基础
第四章 晶体定向和晶面符号
二、晶面符号
晶带定律（zone law）
任意两晶棱（晶带）相交必可决定一可能 晶面，而任意两晶面相交必可决定一可 能晶棱（晶带）
几何结晶学基础
第四章 晶体定向和晶面符号
四、晶带及晶带符号
2.晶带的表示方法—晶带符号 表示晶带的空间方位的符号称为晶带符号。 晶带符号是以晶带轴的符号来代表的，而 晶带轴的符号又与该晶带中晶棱的符号相 同，故晶带符号可以用晶棱符号代替。
几何结晶学基础
第四章
一、晶体定向
3.晶轴的摆法
晶体定向和晶面符号
x轴：前后放置，前端为正；
y轴：左右放置，右端为正；
z轴：上下放置，上端为正；
三方、六方晶系还要层增加u轴， u轴的前端为负，后端为正，x、y、 u的正端之间的交角为120定向
4.晶体常数
四 晶体定向与晶面符号
二 、晶 面 符 号
1． 晶面符号的概念
晶体定向后，晶面在空间的相对位置即可根 据它与晶轴的关系予以确定。这种相对位置可 以用一定的符号来表征。表征晶面空间方位的 号称为晶面符号(参看图1一5一1)
米氏符号
米氏符号：用晶面在三个晶轴上的截距系数 的倒数比来表示。现举例说明如下。 如图I一5—3所示，设有一个晶面HKL在X、Y、 Z轴上的截距分别为2a、3b、6c 。 2、3、6称为 截距系数，其倒数比为1／2：1／3：1／6＝3：2： 1，去其比例符号，以小括号括之，写作(321)， 即为该晶面的米氏符号。小括号内的数字称为晶 面指数。晶面指数是按照X、Y、Z轴顺序排列的， 一般式写作(hkl)；对于三方、六方晶系晶面指数 按X、Y、U、Z轴顺序排列，一般式写作(hkil)。 若晶面平行于某晶轴，则晶面在晶轴上的截距系 数为∞，截距系数的倒数应为0。
(3)轴长与轴率 晶轴系格子构造中的行列， 该行列上的结点间距称为轴长。 X、Y、Z 轴上的轴长分别以“a。、b。、c。表示。 由于结点间距极小(以nm计)，需藉X射线分 析方能测定。根据晶体外形的宏观研究不 能定出轴长，但应用几何结晶学的方法可 以求出它们的比率a：b：c，这一比率称为 轴率。
不同物质的晶体结构不同，结点间距不同，轴长各异。 如图I一5—1a闪锌矿的“a。＝0．540nm，方铅矿的a。 ＝0．594nm。 等轴晶系晶体对称程度高，品轴X、Y、Z为彼此对称 的行列，它们通过对称要素的作用可以相互重合，因此 它们的轴长是相同的，即a＝b＝c，轴率a：b：c＝1：1： 1(图I一5—1a)。 中级晶族(四方、三方和六方晶系)晶体中只有一个高 次铀，以高次轴为Z轴，通过高次轴的作用可以使X轴与 Y轴重合，因此轴长a＝b,但与c不等，轴率a：c因晶体的 种别而异(图I一5—1b、c、d)。 低级晶族(斜方、单斜和三斜晶系)晶体对称程度低， X、Y、Z轴不能通过对称要素的作用而重合，所以α≠β≠γ， 晶体的种别不同．轴率a：b：c数值不同(图I一5一1e、f)
1.4 晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
1.4 晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。
说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。
结晶学 第四章 晶体定向、晶面符号和晶带定律
举例: 立方体、八面体垂直晶面的直线符号分别:[100],[111] 举例: 立方体、八面体垂直晶面的直线符号分别:[100],[111]
四、 整数定律与晶带定律
1. 整数定律
晶面指数为简单整数. 晶面指数为简单整数 为什么? 为什么 因为指数越简单的 晶面对应到内部结构 是面网密度大的面网, 是面网密度大的面网 而面网密度大的面网 容易形成晶面,所以实 容易形成晶面 所以实 际晶体上的晶面就是 晶面指数简单的晶面. 晶面指数简单的晶面
2. 晶棱符号 晶棱符号:
为直线符号, 表示这一直线的方向即可. 方法为:将 为直线符号 表示这一直线的方向即可 方法为 将 晶棱(或其他直线 移至经过晶体中心(即坐标原点 或其他直线)移至经过晶体中心 即坐标原点), 晶棱 或其他直线 移至经过晶体中心 即坐标原点 然 后在直线上任取一点,该点在三根晶轴上的坐标系数比 后在直线上任取一点 该点在三根晶轴上的坐标系数比 值写进方括号即可:[rst] 值写进方括号即可
本章重点总结： 本章重点总结：
1）晶体定向：晶轴的选择，坐标系的建立。 ）晶体定向：晶轴的选择，坐标系的建立。 2）在晶体定向的基础上，了解对称型的国 ）在晶体定向的基础上， 际符号。 际符号。 3）在晶体定向的基础上，确定晶面符号， ）在晶体定向的基础上，确定晶面符号， 一定要学会在宏观形态上确定各晶面的晶面 符号。 符号。
具体的写法为:设置三个序号位( 具体的写法为:设置三个序号位(最多只 有三个), ),每个序号位中规定了写什么方向 有三个),每个序号位中规定了写什么方向 上的对称要素, 上的对称要素,对称意义完全相同的方向上 的对称要素,不管有多少,只写一个就行了. 的对称要素,不管有多少,只写一个就行了. 不同晶系中, 不同晶系中,这三个序号位所代表的方向 完全不同,所以, 完全不同,所以,不同晶系的国际符号的写 法也就完全不同,一定不要弄混淆. 法也就完全不同,一定不要弄混淆. 每个晶系的国际符号写法见表4 每个晶系的国际符号写法见表4－2(此 表熟记！ 表熟记！).
四、 整数定律与晶带定律
1. 整数定律
晶面指数为简单整数. 晶面指数为简单整数 为什么? 为什么 因为指数越简单的 晶面对应到内部结构 是面网密度大的面网, 是面网密度大的面网 而面网密度大的面网 容易形成晶面,所以实 容易形成晶面 所以实 际晶体上的晶面就是 晶面指数简单的晶面. 晶面指数简单的晶面
2. 晶棱符号 晶棱符号:
为直线符号, 表示这一直线的方向即可. 方法为:将 为直线符号 表示这一直线的方向即可 方法为 将 晶棱(或其他直线 移至经过晶体中心(即坐标原点 或其他直线)移至经过晶体中心 即坐标原点), 晶棱 或其他直线 移至经过晶体中心 即坐标原点 然 后在直线上任取一点,该点在三根晶轴上的坐标系数比 后在直线上任取一点 该点在三根晶轴上的坐标系数比 值写进方括号即可:[rst] 值写进方括号即可
本章重点总结： 本章重点总结：
1）晶体定向：晶轴的选择，坐标系的建立。 ）晶体定向：晶轴的选择，坐标系的建立。 2）在晶体定向的基础上，了解对称型的国 ）在晶体定向的基础上， 际符号。 际符号。 3）在晶体定向的基础上，确定晶面符号， ）在晶体定向的基础上，确定晶面符号， 一定要学会在宏观形态上确定各晶面的晶面 符号。 符号。
具体的写法为:设置三个序号位( 具体的写法为:设置三个序号位(最多只 有三个), ),每个序号位中规定了写什么方向 有三个),每个序号位中规定了写什么方向 上的对称要素, 上的对称要素,对称意义完全相同的方向上 的对称要素,不管有多少,只写一个就行了. 的对称要素,不管有多少,只写一个就行了. 不同晶系中, 不同晶系中,这三个序号位所代表的方向 完全不同,所以, 完全不同,所以,不同晶系的国际符号的写 法也就完全不同,一定不要弄混淆. 法也就完全不同,一定不要弄混淆. 每个晶系的国际符号写法见表4 每个晶系的国际符号写法见表4－2(此 表熟记！ 表熟记！).
第四章晶体的定向和晶面符号详解
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平
斜方晶系的定向:
晶体几何常数: a = b = g = 90°, a < > b < > c
三个相互垂直的 L2为 z, x, y 轴; 或L2 为z轴, 相互垂直的 对称面法线为 x, y 轴。 z 轴直立， y 轴左 右水平，x 轴前后 水平。
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
• 请注意: 在晶体的宏观形态上根据对称特点
选出的三根晶轴,与晶体内部结构的空间格子的 三个不共面的行列方向是一致的.
• 为什么?因为空间格子中三个不共面的行列 也是根据晶体的对称性,人为地画出来的.而晶 轴也是根据晶体的对称性,人为地选出来的.晶 体的内部对称与晶体的宏观对称是一致的,所以 晶轴与三个行列就是一致的.
3L23PC L22P
3L2 3L23PC
单斜晶系的定向:
晶体几何常数:
a = g = 90°, b > 90°
a<>b<>c L2为 y 轴; 或对称面法线为 y 轴，z 轴起立， y 轴左右 水平， x 轴前后向前下倾斜。
三斜晶系的定向:
晶体几何常数:
a < > b < > g < > 90 °
在三个行列上有晶胞参数(a,b,c; α,β,γ),这 些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和晶轴之间的 夹角.
晶系
选轴原则
等轴晶系 四方晶系
三方晶系 及六方晶系
斜方晶系 单斜晶系
以互相垂直的L4或Li4或相互垂直的L2 分别作为为X、Y、Z轴
L4或Li4为Z轴,以垂直Z轴，并互相垂直的 L2或P的法线为X、Y轴，在Li42L22P对称 型中，以两个L2为X、Y轴。
斜方晶系的定向:
晶体几何常数: a = b = g = 90°, a < > b < > c
三个相互垂直的 L2为 z, x, y 轴; 或L2 为z轴, 相互垂直的 对称面法线为 x, y 轴。 z 轴直立， y 轴左 右水平，x 轴前后 水平。
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
• 请注意: 在晶体的宏观形态上根据对称特点
选出的三根晶轴,与晶体内部结构的空间格子的 三个不共面的行列方向是一致的.
• 为什么?因为空间格子中三个不共面的行列 也是根据晶体的对称性,人为地画出来的.而晶 轴也是根据晶体的对称性,人为地选出来的.晶 体的内部对称与晶体的宏观对称是一致的,所以 晶轴与三个行列就是一致的.
3L23PC L22P
3L2 3L23PC
单斜晶系的定向:
晶体几何常数:
a = g = 90°, b > 90°
a<>b<>c L2为 y 轴; 或对称面法线为 y 轴，z 轴起立， y 轴左右 水平， x 轴前后向前下倾斜。
三斜晶系的定向:
晶体几何常数:
a < > b < > g < > 90 °
在三个行列上有晶胞参数(a,b,c; α,β,γ),这 些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和晶轴之间的 夹角.
晶系
选轴原则
等轴晶系 四方晶系
三方晶系 及六方晶系
斜方晶系 单斜晶系
以互相垂直的L4或Li4或相互垂直的L2 分别作为为X、Y、Z轴
L4或Li4为Z轴,以垂直Z轴，并互相垂直的 L2或P的法线为X、Y轴，在Li42L22P对称 型中，以两个L2为X、Y轴。
晶体定向和晶面符号
各晶系的定向法则
晶体的三轴定向: – 选择三个坐标轴: X, Y, Z 或者a, b, c
晶体的四轴定向: – 适用于六方晶系和三方晶系的晶体。它与三轴定向的 不同是, 除选择一个直立结晶轴外，还选择三个水平结 晶轴。
等轴晶系的定向 四方晶系的定向 斜方晶系的定向 单斜晶系的定向 三斜晶系的定向 三方和六方晶系的四轴定向
三斜晶系的定向: – 晶格常数为: α ≠ β ≠ γ ≠ 90 °, a ≠ b ≠ c – 适当的晶棱为X, Y, Z轴 – 大致上Z轴直立，Y轴左右，X轴前后
三方和六方晶系的四轴定向:
选择唯一的高次轴作为直立结晶轴c轴，在垂直c轴的平面 内选择三个相同的、即互成60°的L2或P的法线，或适当的 显著晶棱方向作为水平结晶轴，即X轴、Y轴以及d轴(U轴) – 晶格常数为: α =β = 90°, γ =120°, a=b≠c – Z直立，Y轴左右水平，X轴前后水平偏左30°
三斜 以不在同一平面内的三个主要晶棱方向为X、Y、Z轴
a ≠ b ≠ c,
α≠β≠γ ≠ 90°
二、晶面符号
表示晶面在空间相对位置的符号 米氏符号——晶面在三晶轴上截距系数的倒数比（hkl）
晶面指数——h、k、l h:k:l ＝ a/OX:b/OY:c/OZ
四轴定向时的晶面符号: –定义同三轴定向 –用(h k ī l)的形式表达 –指数依次与a、b、d和c轴相对应 –存在 h + k + ī = 0
z
x 宏观形态
y 微观结构
晶轴选择的原则
1、优选选对称轴做晶轴 2、当对称轴的数量不能满足需要时，选对称面的法线 3、前两者不足，则选平行于晶棱的方向 4、在上述前提下，应尽可能使所选晶轴彼此垂直或趋于 垂直，并使轴单位彼此相等或趋于相等(L2PC) 5、在遵循上述原则的前提下，尽量使晶轴的夹角为90度
第四章晶体的定向和晶面符号
第四章 晶体的定向和晶面符号
• • • • • 晶体定向的概念 晶体定向的原则 各晶系的定向法则 晶面符号与单形符号 晶带及晶带符号
一、晶体的定向（三轴定向）
在晶体上确定坐标系统，即选坐标轴和确 定各轴上的轴单位长度之比。 (1) 晶轴：是交于晶体中心的三条直线。为x、y、 z（或a、b、c）。 (2) 轴角:α、β、γ (3) 轴长和轴率：晶轴 是晶体中格子构造中 的行列，轴长（轴单位） 是该行列上的结点间距。 分别以 a、b、c表示， a:b:c为轴率。 （4）晶体常数： 轴率a：b：c和轴角α、β、γ
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴Z轴，在垂直Z 轴的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2 或P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶 轴，即x 轴、 y 轴以及 d 轴(U轴) – 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b ≠ c – z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
斜方晶系 单斜晶系
a = b = g = 90
a≠b≠c a = g = 90 b > 90 a≠b≠c a≠b≠g
以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴 的主要晶棱方向为X、Z轴 以不在同一平面的三个主要的晶棱方 向为X、Y、Z轴
三斜晶系
四、晶面符号与单形符号
1.整数定律
• 任何晶面截距系数之比，都是简单的整数比。
a=b≠c a = b = 90 g = 120
a≠b≠c
三方晶系 及六方晶系
以L3或 L6 或Li6 为Z轴，以垂直Z轴并彼 此交角120°（正端）的3个L2或P法线或 晶棱方向为 X 、 Y 、 U ， 在 L i 6 3L 2 3P 对称
晶体定向晶面符号和晶带定律课件
演示如何利用晶带定律判断晶体 的对称性和物理性质。
06
总结与展望
晶体定向、晶面符号与晶带定律的重要性和意义
1 2 3
晶体定向 对于材料科学和物理学的研究具有重要意义，能 够确定晶体在空间中的方位，为深入研究晶体结 构和性质提供了基础数据。
晶面符号 是晶体的一个重要特征，可以用来识别和区分不 同的晶体，同时对于晶体定向和晶带定律的研究 具有关键作用。
晶面符号
如前所述，晶面符号是用来表示晶面在晶体中的相对位置和方向的 符号。
关系
晶面符号与晶带定律之间存在密切关系，通过晶带定律可以确定晶 面符号在晶带上的相对位置和方向。
晶体定向、晶面符号与晶带定律的综合应用
综合应用
在晶体学中，晶体定向、晶面符号和晶带定律是相互关联的基本概念，它们共同构成了晶体学的基础知识。
晶带定律 揭示了晶体中晶面的排列规律，对于理解晶体结 构和性质、以及材料性能的优化具有重要意义。
三者在材料科学和物理学中的应用前景
材料科学
在材料科学中，晶体定向、晶面符号和晶带定律的应用广泛，例如在材料合成、晶体工程、复合材料 等领域，可以用来指导材料的设计和制备，提高材料的性能。
物理学
在物理学中，这些理论可以用来研究晶体的物理性质，如光学、电学、热学等，预测新材料的性质， 以及为开发新的物理现象提供理论基础。
晶体定向晶面符号 和晶带定律课件
• 晶体定向 • 晶面符号 • 晶带定律 • 晶体定向、晶面符号与晶带定律的关系 • 实验操作与演示 • 总结与展望
01
晶体定向
定义与概念
晶体定向的定义
晶体定向是确定晶体中各晶面的方位和晶向的几何过程。
晶体定向的概念
晶体定向是研究晶体结构和性质的重要手段，通过对晶体的 定向研究，可以获得晶体中各晶面的方位和晶向的信息，从 而了解晶体的对称性、结构特征和物理性质等。
1-4晶面,向结构特征-2010
§1-4 晶体定向和结晶符号
晶面指数标定步骤
• 1)在点阵中设定参考坐标系， 设置方法与确定晶向指数时相 同；
• 2)求得待定晶面在三个晶轴上 的截距，若该晶面与某轴平行， 则在此轴上截距为无穷大；若 该晶面与某轴负方向相截，则 在此轴上截距为一负值；
• 3)取各截距的倒数； • 4)将三倒数化为互质的整数比，
并加上圆括号，即表示该晶面 的指数，记为( h k l )。
第一章 结晶学基础
k j
i
O
(100) (110) (111)
§1-4 晶体定向和结晶符号
晶面指数的例子
第一章 结晶学基础
• 立方晶系中一些晶面的面指数
（3）三方晶系
a1 a2 a3
900 1200
第一章 结晶学基础
§1-4 晶体定向和结晶符号
（4）正交晶系
a1 a2 a3 a1 a2 a3
4) 简单正交 5) 底心正交 6) 体心正交 7) 面心正交
第一章 结晶学基础
4
5
6
7
§1-4 晶体定向和结晶符号
c轴 +
β(a∧c) a轴
α(b∧c)
γ(a∧b)
b轴
+
三个坐标轴的交点 应位于晶体中心 轴率 a:b:c 轴角α, β, γ 称为晶 胞常数， 晶胞参数也即 晶体几何常数。 书 P8
+
§1-4 晶体定向和结晶符号
第一章 结晶学基础
二 各晶系定向法则
• 书P9
• 书P10 表1-4
§1-4 晶体定向和结晶符号
为确定晶体晶面,晶棱在空间具体取向
•可以在晶体中引入一个坐标系统，用数字具体 表示晶体中点、线、面的相对位置关系，这一 过程称为晶体定向
1.4晶体的定向及晶面符号
晶体定向
5. 六方晶系：具有一个六次轴（包括六次反轴）的点群。首先 选择六次轴或六次反轴作为C轴，然后将垂直于六次轴的两个 二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足六次轴的对称，a、 b轴必须满足：①单位轴长必须相等，即a0=b0；②交角为120º
晶体定向
6. 三方晶系：具有一个三次轴的点群。有2种取向方式：①六方晶
①由晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求晶带符号 根据晶带定律建立方程组：
h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0 解出：
u:v:wk1l1:l1h1:h1k1 k2l2 l2h2 h2k2
解法：①将每一个晶面的面指数在一 列上连续写2次，其指数按次序一一对 应； ②将最右及最左的纵行删去，如 右式； ③用交叉相乘方法，并依次取 出乘积差数即可。
晶面间距好像晶体的指纹，是进行物相鉴别 的重要依据。
1 晶体的定向和晶体的分类 2 晶面指数和晶棱指数 3 晶带定律 4 晶面间距
晶体定向
晶体的定向就是以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴 组成,也可由X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
c 大拇指
Z
β
α
O
食指
γ
a
=bc
β= a c
γ=ab
中指
b
U
Y
X
120º
坐标轴符合右手定则
晶带定律
②由晶向[u1 v1 w1]和[u2 v2 w2]求晶面符号 建立方程组：
得：
hu1＋kv1＋lw1 = 0 hu2＋kv2＋lw2 = 0
h:k:lv1w1:w1u1:u1v1 v2w2 w2u2 u2v2
晶带定律
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晶带定律
晶带：所有相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成
一个“晶带”，此直线称为晶带轴，所有的这些晶面都称为 晶带面。 晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下关系 hu ＋ kv ＋ lw＝0 ——— 晶带定律 凡满足此关系的晶面都属于以[u v m]为晶带轴的晶带
晶带定律
坐标轴符合右手定则
γ=ab
那么,怎么选出这些晶轴?
晶体定向
选晶轴的原则 1）依赖于晶体内部的点阵特征，与晶体的对称特点 相符合(既一般都以对称要素作晶轴，要么对称轴， 要么对称面法线); 2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为90度 .
每个晶系的对称特点不同 ,因此每个晶系的选择晶 轴的具体方法也不同。 下面分别对32点群进行讨论：
2
立方晶系 d hkl
a h2 k 2 l 2
六方晶系
d hkl
1 4 h 2 hk k 2 l 2 3 a c
2
上述公式仅适用于简单晶胞，对于复杂晶胞，要考虑附加原 子面的影响。
晶面间距好像晶体的指纹，是进行物相鉴别 的重要依据。
c
b a
晶体定向
晶胞参数：晶体内部结构的特征是以a0、b0、c0，α、β、γ在晶体内部 割取的平行六面体来表征，这就是晶胞。 a0、b0、c0，α、β、γ称为 晶胞参数。不难看出，32个点群共有7个晶胞参数的选择，即7个晶系。 7个晶系按照轴的高低分为三类： 不具有高次轴（三斜、单斜、正交）称为低级晶系；具有一个高次轴 （六方、三方、四方）称为中级晶系；具有一个以上高次轴（立方） 称为高级晶系。
求法： 1. 在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点o，三棱边为三坐标 轴x，y，z 2. 以棱边长为单位，量出待定晶面在三个坐标轴上的截距。若 某一截距为负，则在其上加一负号。 3. 取截距之倒数，并化为最小整数h，k，l并加以圆括号（h k l） 即是。 代表一组互相平行的晶面；指数相同符号相反晶面互相平行
晶带定律的应用：
①由晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求晶带符号 根据晶带定律建立方程组： h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0 解出： k1 l1 l1 h1 h1 k1 u :v:w : : k2 l2 l2 h2 h2 k2
解法：①将每一个晶面的面指数在一 列上连续写2次，其指数按次序一一对 应； ②将最右及最左的纵行删去，如 右式； ③用交叉相乘方法，并依次取 出乘积差数即可。
下表列出了7种晶系及其所属点群。表中每个晶系所列的最后一个点群 是该晶系最高对称类型，称为该晶系的全对称型。
晶体定向
晶面指数与晶棱指数
晶面指数：为了表示晶体中每个实际的或者可能的晶面与3个晶体学轴的
取向关系，我们给每一个晶面以3个整数并加以括号（hkl）来表示。其中hkl 为互质的整数，被称为晶面指数。
晶体定向
1. 三斜晶系：对称性对6个参数的选择无任何约束。原则上 任何3条不平行的阵点列方向都可以选作晶轴。如点群1和 1
晶体定向
2. 单斜晶系：只有一个二次轴2或一个对称面m的点群以及它 们两者的组合点群2/m。选择二次轴或对称面的法线为一个晶 体学轴（b轴），垂直与二次轴的任何两条互不平行的阵点列 都可以选择为a，c轴，二者的夹角β最好是大于并接近与90º 。
晶体定向
3. 正交晶系：不具有高次轴，但具有一个以上的二次轴或一个 以上对称面的点群。它们的2次轴或对称面都是互相垂直的， 因此选择二次轴及对称面的法线作为3个晶轴，这样的坐标系 必然是正交晶系。
晶体定向
4. 四方晶系：具有一个四次轴（包括四次反轴）的点群。首先 选择四次轴或四次反轴作为C轴，然后将垂直于四次轴的两个 相互垂直的二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足四次轴 的对称，a、b轴的单位轴长必须相等，即a0=b0
求法： 1. 确定坐标系 2. 过坐标原点，作直线与待求晶向平行； 3. 在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（xyz），若某一坐 标值为负，则在其上加一负号。 4. 将此值化成最小整数uvw并加以方括号[uvw]即是。 （代表一组互相平行，方向一致的晶向）
晶面指数与晶棱指数
练习题：请确定各晶面指数
晶带定律
②由晶向[u1 v1 w1]和[u2 v2 w2]求晶面符号 建立方程组： hu1＋kv1＋lw1 = 0 hu2＋kv2＋lw2 = 0 得：
h:k :l
v1 w1
v2 w2 w2 u2 u2 v2
:
w1 u1
:
u1 v1
晶带定律
③由同一晶带的两个晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求此晶带上 另一晶面指数，由：
h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0
有： （h1＋h2）u＋（k1＋k2）v＋（l1＋l2）w = 0 即：（h1＋h2）、（k1＋k2）、（l1＋l2）为此晶带上一晶面的 晶面指数。
晶面间距
晶面间距:两相邻平行晶面间的垂直距离，用dhkl表示 从原点作（h k l）晶面的法线，则法线被最近的（h k l）面所 交截的距离即是晶面间距。
系，即H（Hexagonal）取向；②R（Rhombohedral）取向。即选取三 次轴为对称的相交的3个主要晶面带轴为a、b、c轴，如图所示。三次 轴对称对这种取向有如下要求：a0=b0=c0，α=β=γ≠90º
晶体定向
7. 立方晶系：具有四个三次轴的点群。将4个三次轴分别与
立方体中4个对角线重合，那么立方体中3个通过体心并相互垂直的三 对面的法线将被选择为晶轴a、b、c。3个晶轴分别与3个二次轴或3个 四次轴或3个四次反轴重合。这种对称性对要求： a0=b0=c0，α=β=γ = 90º
第四章 晶体的定向及晶面符号
1 晶体的定向和晶体的分类
2 晶面指数和晶棱指数
3 晶带定律 4 晶面间距
晶体定向
晶体的定向就是以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴 组成,也可由X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
c
β
食指
大拇指
Z
中指
O
α
U X
γ
c
晶体定向
5. 六方晶系：具有一个六次轴（包括六次反轴）的点群。首先 选择六次轴或六次反轴作为C轴，然后将垂直于六次轴的两个 二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足六次轴的对称，a、 b轴必须满足：①单位轴长必须相等，即a0=b0；②交角为120º
晶体定向
6. 三方晶系：具有一个三次轴的点群。有2种取向方式：①六方晶
晶面指数与晶棱指数
晶面指数与晶棱指数
晶棱指数：表示晶棱在已经确定的晶轴中的方向。与晶面指数相似，用3
个互质的整数并以方括号[uvw]表示晶棱的方向。晶体中每个实际的或者可能 的晶面与3个晶体学轴的取向关系，我们给每一个晶面以3个整数并加以括号 （hkl）来表示。其中hkl为互质的整数，被称为晶面指数。
欧拉定理：对于相互垂 直的3个坐标轴，有
晶面间距
一组平行晶面的晶面间距d hkl与晶面指数和晶格常数a、b、c 有下列关系： 正交晶系
dhkl 1 h k l a b c
2 2 2
四方晶系
d hkl
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