3二次函数与几何变换(2013-2014)

2014年中考解决方案二次函数与几何变换
学生姓名：
上课时间：
内容
基本要求 略高要求
较高要求 二次函数
能结合实际问题情境了解二次函
数的意义；会用描点法画出二次函数的图象
能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表
达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
能用二次函数解决
简单的实际问题；
能解决二次函数与
其他知识综结合的有关问题
模块一 二次函数的平移
1.
几种二次函数解析式之间的平移关系：
① 函数2y ax k =+的图象可以看做是由函数2ax y =的图象向上或向下平移||k 个单位得到的；
0k >时，向上平移；0k <时，向下平移。

② 函数()2
y a x h =-的图象可以看做是由函数2ax y =的图象向左或向右平移||h 个单位得到的；
0h >时，向右平移；0h <时，向左平移。

③ 函数()2
y a x h k =-+的图象可以看做是由函数2ax y =的图象先向左或向右平移||h 个单位，再
向上或向下平移||k 个单位得到的；当0h >时，向右平移，当0h <时，向左平移；0k >时，向上平移，0k <时，向下平移。

2.
将二次函数2y ax bx c =++，向左平移m 个单位，函数解析式变为()()2
y a x m b x m c =++++；向右平移m 个单位，函数解析式变为()()2
y a x m b x m c =-+-+。

3. 将二次函数2y ax bx c =++，向上平移n 个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =+++；向下平移n
中考必做题
二次函数图象的几何变换
中考说明
个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =++-。

4.
通常，将平移前的函数2y ax bx c =++化成()2
y a x h k =-+的形式，在根据顶点的平移情况确定函数的平移情况，再将顶点式整理成一般式。

5. 平移前后的的函数的开口方向与开口大小不改变，即a 不变。

【例1】 已知二次函数的图象的顶点坐标为()1,4A -，且经过点()2,3-．
⑴求该二次函数解析式；
⑵将该二次函数的图象向左平移几个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点？并求平移后图象对应的二次函数的解析式。

【例2】 若二次函数212y x bx c =-++的图象与x 轴相交于()5,0A -，()1,0B -
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）如果要通过适当的平移，使得这个函数的图象与x 轴只有一个交点，那么应该怎样平移？向右还是向左？或者是向上还是向下？应该平移多少个单位？
【例3】 如图，已知经过原点的抛物线224y x x =-+与x 轴的另一交点为A ，现将它向右平移m （0m >）
个单位，所得抛物线与x 轴交于C 、D 两点，与原抛物线交于点P ． ⑴求点A 的坐标，并判断PCA ∆存在时它的形状（不要求说理）；
⑵在x 轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m 的式子表示）；若不存在，请说明理由；
⑶设PCD ∆的面积为S ，求S 关于m 的关系式．
【例4】 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为(24)，
，直线2x =与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2y x =从点O 沿OA 方向平移，与直线2x =交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动． ⑴求线段OA 所在直线的函数解析式； ⑵设抛物线顶点M 的横坐标为m ． ①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短；
⑶当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使QMA ∆的面积与PM A ∆的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
O A P
x
y
C D B A
P
x ＝2
O
x y
M
【例5】 如图，把抛物线2y x =-（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛
物线1l ，抛物线2l 与抛物线1l 关于y 轴对称．点A 、O 、B 分别是抛物线1l 、2l 与x 轴的交点，D 、C 分别是抛物线1l 、2l 的顶点，线段CD 交y 轴于点E ．
⑴分别写出抛物线1l 与2l 的解析式；
⑵设P 是抛物线1l 上与D 、O 两点不重合的任意一点，Q 点是P 点关于y 轴的对称点，试判断以
P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由．
⑶在抛物线1l 上是否存在点M ，使得ABM AOED S S ∆=四边形
，如果存在，求出M 点的坐标；如果不存
在，请说明理由．
模块二 二次函数的轴对称
1. 关于x 轴对称
2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称
2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
【例6】 如果二次函数的图象与已知二次函数22y x x =-的图象关于y 轴对称，那么这个二次函数的解析
式是（ ） A ．22y x x =-+
B ．22y x x =+
C ．22y x x =--
D ．21
2y x x
=
-
【巩固】二次函数()
2231y mx m m x m =--+-的图象关于y 轴对称，则m 的值（ ）．
A ．0
B ．3
C ．1
D ．0或3
B
x y
A O
C
D
E l 1
l 2
【巩固】已知一个二次函数23y x bx =-++的图象经过点()1,4A
（1）求b 的值；
（2）求抛物线关于x 轴对称的抛物线的解析式．
【例7】 二次函数()()13y x x =--与()()y x a x b =++的图象关于y 轴对称，则()()2
2
11a b +++的值为
（ ） A ．9
B ．10
C ．20
D ．25
模块三 二次函数的中心对称
1.
关于原点对称
2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 2.
关于顶点对称
2
y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是22
2b y ax bx c a
=--+-
； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+． 3.
关于点()m n ，对称
()2
y a x h k =-+关于点()m n ，
对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
【例8】 二次函数223y x x =--的图象关于原点(00)O ，
对称的图象的解析式是____________
【巩固】二次函数234y x x =--的图象关于原点()0,0O 对称的图象的解析式是__________________
【例9】 函数2
y x =与2
y x =-的图象关于______________对称，也可以认为2
y x =是函数2
y x =-的图
象绕__________旋转________°得到的。

【巩固】已知二次函数221y x x =--，求：
⑴关于x 轴对称的二次函数解析式； ⑵关于y 轴对称的二次函数解析式； ⑶关于原点对称的二次函数解析式．
【例10】二次函数232y x x =++的图象关于其顶点对称的图象的解析式是__________________ 【巩固】二次函数222y x x =--+的图象关于其顶点对称的图象的解析式是__________________ 【例11】二次函数21y x x =++的图象关于点()2,0A 对称的图象的解析式是__________________ 【巩固】二次函数248y x x =---的图象关于点()2,2A 对称的图象的解析式是__________________ 【例12】如图，已知抛物线1F ：25y x =-+，抛物线2F 与1F 关于点(10)，
中心对称，1F 与2F 相交于A ，B 两点，点M 在抛物线1F 上，且位于点A 和点B 之间；点N 在抛物线2
F 上，也位于点A 和点B 之
间，且MN x ⊥轴．
⑴求抛物线
2
F 的表达式；
⑵求线段MN 长度的最大值．
模块四 二次函数的旋转
【例13】已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过()2,0A -，()1,0B ，()0,3C 三点，求这个二次函数的解
析式，点P 为抛物线222y x mx m =-+ (m 为常数，0m >)上任一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90︒后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），点Q 为点P 旋转后的对应点.
⑴当2m =，点P 横坐标为4时，求Q 点的坐标； ⑵设点(),Q a b ，用含m 、b 的代数式表示a ； ⑶如图，点Q 在第一象限内, 点D 在x 轴的正半轴上， 点C 为OD 的中点，QO 平分AQC ∠，2AQ QC =， 当QD m =时，求m 的值
x
O
F 2
F 1
M
N
A B
y
1. 函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）
A ．右移两个单位，下移一个单位
B ．右移两个单位，上移一个单位
C ．左移两个单位，下移一个单位
D ．左移两个单位，上移一个单位
2. 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式
为________________________
3. 把二次函数()2132y x =-
+的图象经过翻折、平移得到二次函数()2
132
y x =-的图象，下列对此过程描述正确的是（ ）
A ．先沿y 轴翻折，再向下平移6个单位
B ．先沿y 轴翻折，再向左平移6个单位
C ．先沿x 轴翻折，再向左平移6个单位
D ．先沿x 轴翻折，再向右平移6个单位
4. 在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作
轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．22y x x =++ 5. 已知抛物线265y x x =-+，求
（1） 关于y 轴对称的抛物线的表达式； （2） 关于x 轴对称的抛物线的表达式； （3） 关于原点对称的抛物线的表达式．
6. 设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C 关于x 轴对称的曲线为
2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．
课后作业
7. 如图，平行四边形ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经
过x 轴上的点A ，B ． ⑴ 求点A ，B ，C 的坐标．
⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．
8. 阅读材料：我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数22y x =的图象沿x 轴向左平移3个单位长
度得到函数()2
23y x =+的图象，再沿y 轴向下平移1个单位长度，得到函数()2
231y x =+-的图象． 类似的，将一次函数2y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位长度可得到函数()21y x =-的图象，再沿y 轴向上平移1个单位长度，得到函数()211y x =-+的图象． 解决问题：
（1）将一次函数y x =-的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，再沿y 轴向上平移3个单位长度，可以得到函数__________________的图象；
（2）将2y x =的图象沿y 轴向上平移3个单位长度，得到函数_______________的图象，再沿x 轴向右平移1个单位长度，得到函数_______________ 的图象； （3）函数1
2
x y x +=+的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？
D
C
B
A
O
9.如图，已知抛物线C1：()225
=+-的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），
y a x
点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．。