江苏省宿迁市沭阳县2014-2015学年高二数学下学期期中调研测试试题苏教版
2014-2015年江苏省宿迁市宿豫中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年江苏省宿迁市宿豫中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）1．（5分）函数f（x）＝e x sin x的导数f′（x）＝．2．（5分）曲线y＝sin x在点（）处的切线方程为．3．（5分）已知向量与垂直，则实数k的值为．4．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，假设部分的内容应为．5．（5分）若函数f（x）＝x3+x2+mx+2是R上的单调函数，则实数m的取值范围为．6．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M 在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是．7．（5分）已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是．8．（5分）奇函数f（x）＝ax3+bx2+cx在x＝﹣1处有极值，则3a+b+c的值为．9．（5分）观察下列等式：，，，…，照此规律，计算1×2+2×3+…+n（n+1）＝（n∈N*）．10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3ax（a∈R），若直线x+y+m＝0对任意的m∈R 都不是曲线y＝f（x）的切线，则a的取值范围为．11．（5分）如图为函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x•f′（x）＜0的解集为．12．（5分）利用数学归纳法证明“”，从n＝k推导n＝k+1时原等式的左边应增加的项数是项．13．（5分）已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式ef（x）＞f（1）e x的解集是．14．（5分）已知函数，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，则整数k的最大值为．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）若函数f（x）＝x3﹣px2+（m﹣1）x+2m2﹣m+1在区间（﹣2，0）内单调递减，且在（﹣∞，﹣2）及（0，+∞）内单调递增，求实数p、m的值．16．（14分）如图，在五面体ABCDEF中，F A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB ⊥AD，M为EC的中点，（I）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（II）证明平面AMD⊥平面CDE．17．（14分）已知函数f（x）＝bx，g（x）＝lnx．（1）若f（x）的图象与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），求x0及b的值；（2）f（x）＝g（x）在[1，m]上有解，求b的范围．18．（16分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C、D在圆弧上，点A、B在两半径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC＝xcm圆柱的体积为Vcm3．（1）写出体积V关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，通项公式为．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx+，其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内不是单调函数，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[e，e2]上的最小值．2014-2015学年江苏省宿迁市宿豫中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）1．（5分）函数f（x）＝e x sin x的导数f′（x）＝e x sin x+e x cos x．【解答】解：f′（x）＝e x sin x+e x cos x．故答案为：e x sin x+e x cos x．2．（5分）曲线y＝sin x在点（）处的切线方程为．【解答】解：依题意得y′＝cos x，因此曲线y＝sin x在点（）处的切线的斜率等于，相应的切线方程是y﹣＝（x﹣），即，故答案为：．3．（5分）已知向量与垂直，则实数k的值为﹣5．【解答】解：因为与垂直，∴，所以﹣1+k+6＝0，∴k＝﹣5．故答案为﹣5．4．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，假设部分的内容应为三角形的三个内角都大于60°．【解答】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，故答案为三角形的三个内角都大于60°．5．（5分）若函数f（x）＝x3+x2+mx+2是R上的单调函数，则实数m的取值范围为[，+∞）．【解答】解：f′（x）＝3x2+2x+m；∵f（x）在R上是单调函数；∴f′（x）≥0对于x∈R恒成立；∴△＝4﹣12m≤0；∴．∴实数m的取值范围为[，+∞）．故答案为：．6．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M 在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是（0，﹣1，0）．【解答】解：设M（0，y，0）由12+y2+4＝1+（y+3）2+1可得y＝﹣1故M（0，﹣1，0）故答案为：（0，﹣1，0）．7．（5分）已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是自然数n是3的倍数．【解答】解：由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：“自然数n是3的倍数”．故答案为：自然数n是3的倍数．8．（5分）奇函数f（x）＝ax3+bx2+cx在x＝﹣1处有极值，则3a+b+c的值为0．【解答】解：∵f（x）＝ax3+bx2+cx，∴f′（x）＝3ax2+2bx+c，∵f（x）＝ax3+bx2+cx在x＝﹣1处有极值，∴f′（﹣1）＝0，∴3a﹣2b+c＝0，又f （x ）是奇函数，∴b ＝0，∴3a +b +c ＝0，故答案为：0．9．（5分）观察下列等式：，，，…，照此规律，计算1×2+2×3+…+n （n +1）＝ （n ∈N *）． 【解答】解：∵，，，…照此规律，1×2+2×3+…+n （n +1）＝故答案为： 10．（5分）已知函数f （x ）＝x 3﹣3ax （a ∈R ），若直线x +y +m ＝0对任意的m ∈R都不是曲线y ＝f （x ）的切线，则a 的取值范围为 ．【解答】解：f （x ）＝x 3﹣3ax （a ∈R ），则f ′（x ）＝3x 2﹣3a若直线x +y +m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f （x ）的切线，直线的斜率为﹣1，f ′（x ）＝3x 2﹣3a ＝﹣1没有实数解，则3a ﹣1＜0，则a 的取值范围为即答案为． 11．（5分）如图为函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d 的图象，f ′（x ）为函数f （x ）的导函数，则不等式x •f ′（x ）＜0的解集为 ．【解答】解：由图可知：±是函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的两个极值点，且a＞0即±是导函数f′（x）的两个零点，导函数的图象如图，由图得：不等式x•f′（x）＜0的解集为：．故答案为：．12．（5分）利用数学归纳法证明“”，从n＝k推导n＝k+1时原等式的左边应增加的项数是2k项．【解答】解：由题意，n＝k时，最后一项为，n＝k+1时，最后一项为∴由n＝k变到n＝k+1时，左边增加了，增加2k项．故答案为：2k．13．（5分）已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式ef（x）＞f（1）e x的解集是（1，+∞）．【解答】解：令g（x）＝，则＝，因为f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）＝为（﹣∞，+∞）上的增函数，由ef（x）＞f（1）e x，得：，即g（x）＞g（1），因为函数g（x）＝为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以，x＞1．所以，不等式ef（x）＞f（1）e x的解集是（1，+∞）．故答案为（1，+∞）．14．（5分）已知函数，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，则整数k的最大值为4．【解答】解：因为当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，亦即k＜＝对一切x∈（1，+∞）恒成立，所以不等式转化为k＜对任意x＞1恒成立．设p（x）＝，则p′（x）＝，令r（x）＝x﹣lnx﹣2（x＞1），则r′（x）＝1﹣＝＞0所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．因为r（3）＝3﹣ln3﹣2＝1﹣ln3＜0，r（4）＝4﹣ln4﹣2＝2﹣2ln2＞0，所以r（x）＝0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），当1＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函数p（x）＝在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又r（x0）＝x0﹣lnx0﹣2＝0，所以lnx0＝x0﹣2．所以[p（x）]min＝p（x0）＝＝＝x0﹣1+2∈（4，5），所以k＜[p（x）]min＝x0﹣1+2∈（4，5）故整数k的最大值是4．故答案为：4二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）若函数f（x）＝x3﹣px2+（m﹣1）x+2m2﹣m+1在区间（﹣2，0）内单调递减，且在（﹣∞，﹣2）及（0，+∞）内单调递增，求实数p、m的值．【解答】解：由f（x）＝x3﹣px2+（m﹣1）x+2m2﹣m+1，得f'（x）＝3x2﹣2px+m﹣1，因为f（x）在区间（﹣2，0）内单调递减，且在区间（﹣∞，﹣2）及（0，+∞）内单调递增，所以f'（x）＝3x2﹣2px+m﹣1＝0 的两个根是﹣2，0，所以，解得：．16．（14分）如图，在五面体ABCDEF中，F A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB ⊥AD，M为EC的中点，（I）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（II）证明平面AMD⊥平面CDE．【解答】解：分别以AB、AD、AF为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示设AB＝1，依题意得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0）E（0，1，1），F（0，0，1），M（，1，）（I）＝（﹣1，0，1），＝（0，﹣1，1）∴•＝﹣1×0+0×（﹣1）+1×1＝1||＝＝，||＝＝可得cos＜，＞＝＝＝∵＜，＞的范围是[0，π]，∴＜，＞＝所以异面直线BF与DE所成的角的大小为．（II）∵＝（，1，），＝（﹣1，0，1），∴•＝×（﹣1）+1×0+×1＝0，得⊥，同理可得：•＝0，得⊥∵AM、DM是平面AMD内的相交直线，∴CE⊥平面AMD又∵CE⊂平面CDE，∴平面AMD⊥平面CDE．17．（14分）已知函数f（x）＝bx，g（x）＝lnx．（1）若f（x）的图象与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），求x0及b的值；（2）f（x）＝g（x）在[1，m]上有解，求b的范围．【解答】解：（1）f（x）＝bx，g（x）＝lnx的导数为，∴，∴；（2）∵，即y＝b与在[1，m]上有交点，∵，∴m≤e时h（x）在[1，m]上递增，；m＞e时h（x）在[1，e]上递增，在[e，m]上递减且h（x）＞0，，综上可得，m≤e时，；m＞e时，．18．（16分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C、D在圆弧上，点A、B在两半径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC＝xcm圆柱的体积为Vcm3．（1）写出体积V关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？【解答】解：（1）连结OC，因为BC＝x，所以，设圆柱底面半径为r，则，即π2r2＝900﹣x2，所以，其中0＜x＜30．…（7分）（2）由，得，又在上V′＞0，在上V′＜0，所以，在上是增函数，在上是减函数，所以，当时，V有最大值..…（16分）19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，通项公式为．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）由已知，，；（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；当n≥3时，猜想：f（n）＜1．（4分）下面用数学归纳法证明：（1）由（Ⅰ）当n＝3时，f（n）＜1；（5分）（2）假设n＝k（k≥3）时，f（n）＜1，即，那么＝＝＝，所以当n＝k+1时，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）＜1．（9分）所以当n＝1，和n＝2时，f（n）＞1；当n≥3时，f（n）＜1．（10分）20．（16分）已知函数f（x）＝lnx+，其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内不是单调函数，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[e，e2]上的最小值．【解答】解：f′（x）＝（x＞0）…（2分）（1）由已知，得f′（x）在[1，+∞）上有解，即a＝在（1，+∞）上有解，又∵当x∈（1，+∞）时，＜1，所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范围是（0，1）…（6分）（2）①当a≥时，因为f′（x）＞0在（e，e2）上恒成立，这时f（x）在[e，e2]上为增函数，所以当x＝e时，f（x）min＝f（e）＝1+…（8分）②当0＜a≤时，因为f′（x）＜0在（e，e2）上恒成立，这时f（x）在[e，e2]上为减函数，所以，当x＝e2时，f（x）min＝f（e2）＝2+，…（10分）③当＜a＜时，令f′（x）＝0得，x＝∈（e，e2），又因为对于x∈（e，）有f′（x）＜0，对于x∈（，e2）有f′（x）＞0，所以当x＝时，f（x）min＝f（）＝ln+1﹣…（14分）综上，f（x）在[e，e2]上的最小值为f（x）min＝…（16分）。
2014-2015年江苏省宿迁市泗阳县高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
11． （5 分）已知函数 f（x）的导数 f′（x）＝a[x2+（1﹣a）x﹣a]（a≠0） ，若函 数 f（x）在 x＝a 处取到极大值，则实数 a 的取值范围是 12． （5 分）已知点 A（x1， ） ，B（x2， ．
）是函数 y＝ax（a＞1）的图象上
任意不同两点，依据图象可知，线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的
（2）设 BH 为点 B 到半径 OA 的距离，当 理想扇形” ．求“最理想扇形”的面积．
20． （16 分）设函数 f（x）＝ex﹣ax，其中 e 是自然对数的底数，a∈R． （1）若函数 y＝f（x）的图象在 x＝ln2 处的切线 l 的倾斜角为 0，求切线 l 的方 程； （2）记函数 y＝f（x）图象为曲线 C，设点 A（x1，f（x1） ） ，B（x2，f（x2） ） （x1 ＜x2）是曲线 C 上不同的两定点，点 M 为线段 AB 的中点，过点 M 作 x 轴的 垂线交曲线 C 于点 N，记直线 AB 的斜率为 k．若 x1＝﹣x2，试问：曲线 C 在 点 N 处的切线是否平行于直线 AB？请说明理由．
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上方，因此有结论
成立．运用类比思想方法可知，若点 A
（x1，sinx1） ，B（x2，sinx2）是函数 y＝sinx（x∈（0，π） ）的图象上任意不同 两点，则类似地有 成立．
13． （5 分） 设动直线 x＝m 与函数 f （x） ＝x2， g （x） ＝lnx 的图象分别交于点 M， N，则|MN|的最小值为 ．
3． （5 分） 按三段论式推理， 进行如下推理． 大前提： 所有的车子都有四个轮子． 小 前提：自行车是车子． 结论： 自行车有四个轮子 ．
【解答】解：大前提：所有的车子都有四个轮子． 小前提：自行车是车子． 结论：自行车有四个轮子 故答案为：自行车有四个轮子． 4． （5 分）已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A，B，C 分别对应复数 3+3i，﹣ 2+i，﹣5i，则第四个顶点 D 对应的复数为 5﹣3i ．
2014-2015年江苏省宿迁市高二(下)期中数学试卷和答案
2014-2015学年江苏省宿迁市高二（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）函数f（x）＝lg（2x﹣1）的定义域为．2．（5分）已知全集U＝{1，2，3}，集合A＝{1}，集合B＝{1，2}，则A∪∁U B ＝．3．（5分）已知函数y＝a x﹣2+1（a＞0，a≠1），不论常数a为何值，函数图象恒过定点．4．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点＝．5．（5分）已知函数则的值为．6．（5分）已知a，b∈R，若2a＝5b＝100，则＝．7．（5分）关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6＝0的两根为α，β，且满足0＜α＜1＜β，则a的取值范围是．8．（5分）已知f是有序数对集合M＝{（x，y）|x∈N*，y∈N*}上的一个映射，正整数数对（x，y）在映射f下对应的为实数z，记作f（x，y）＝z．对于任意的正整数m，n（m＞n），映射f由下表给出：则使不等式f（2，x）≤3的解集为．9．（5分）已知函数f（x）＝log2（x+2）+x﹣5存在唯一零点x0，则大于x0的最小整数为．10．（5分）函数的值域为．11．（5分）生活中常用的十二进位制，如一年有12个月，时针转一周为12个小时，等等，就是逢12进1的计算制，现采用数字0～9和字母A、B共12个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；例如用十二进位制表示A+B＝19，照此算法在十二进位制中运算A×B＝．12．（5分）已知函数f（x）＝（a≠±1）在区间（0，1]上是减函数，则a的取值范围是．13．（5分）已知大于1的任意一个自然数的三次幂都可写成连续奇数的和．如：若m是自然数，把m3按上述表示，等式右侧的奇数中含有2015，则m＝．14．（5分）已知定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，且周期为．当时，（a、b∈R），则f（1）+f（2）+…+f（100）的值为．二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知命题A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝．（1）若A∩B＝（2，4），求m的值；（2）若B⊆A，求m的取值范围．16．（14分）已知z为复数，z+2i为实数，且（1﹣2i）z为纯虚数，其中i是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数z满足，求|ω|的最小值．17．（14分）某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售A、B两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，A品牌的销售利润y1与投入资金x成正比，其关系如图1所示，B 品牌的销售利润y2与投入资金x的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与资金的单位：万元）．（1）分别将A、B两个品牌的销售利润y1、y2表示为投入资金x的函数关系式；（2）该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入A、B两个品牌，问：怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？18．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．19．（16分）已知定义在R上的函数f（x）＝ln（e2x+1）+ax（a∈R）是偶函数．（1）求实数a的值；（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并用定义法证明；（3）若f（x2+）＞f（mx+）恒成立，求实数m的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝|x﹣a|．（1）当a＝1时，求F（x）＝f（x）﹣g（x）的零点；（2）若方程|f（x）|＝g（x）有三个不同的实数解，求a的值；（3）求G（x）＝f（x）+g（x）在[﹣2，2]上的最小值h（a）．2014-2015学年江苏省宿迁市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）函数f（x）＝lg（2x﹣1）的定义域为．【解答】解：∵函数f（x）＝lg（2x﹣1），∴2x﹣1＞0，解得x＞；∴f（x）的定义域为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．2．（5分）已知全集U＝{1，2，3}，集合A＝{1}，集合B＝{1，2}，则A∪∁U B ＝{1，3}．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3}，集合A＝{1}，集合B＝{1，2}，∴∁U B＝{3}，则A∪∁U B＝{1，3}，故答案为：{1，3}3．（5分）已知函数y＝a x﹣2+1（a＞0，a≠1），不论常数a为何值，函数图象恒过定点（2，2）．【解答】解：∵y＝a x﹣2+1，∴当x﹣2＝0时，x＝2，此时y＝1+1＝2，即函数过定点（2，2）．故答案为：（2，2）4．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点＝．【解答】解：设f（x）＝x n，n是有理数，则∵幂函数的图象过点∴＝2n，即2﹣2＝2n，可得n＝﹣2∴幂函数表达式为f（x）＝x﹣2，可得f（3）＝3﹣2＝故答案为：5．（5分）已知函数则的值为．【解答】解：函数则＝f（log3）＝f（﹣3）＝2﹣3＝．故答案为：．6．（5分）已知a，b∈R，若2a＝5b＝100，则＝．【解答】解：a，b∈R，若2a＝5b＝100，∴a＝log2100＝＝，b＝log5100＝＝，∴＝（lg2+lg5）＝，故答案为：．7．（5分）关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6＝0的两根为α，β，且满足0＜α＜1＜β，则a的取值范围是．【解答】解：依题意，函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2a+6＝的两个零点α，β满足0＜α＜1＜β，且函数f（x）过点（0，4），则必有，即：，解得：﹣3．故答案为：（﹣3，﹣）8．（5分）已知f是有序数对集合M＝{（x，y）|x∈N*，y∈N*}上的一个映射，正整数数对（x，y）在映射f下对应的为实数z，记作f（x，y）＝z．对于任意的正整数m，n（m＞n），映射f由下表给出：则使不等式f（2，x）≤3的解集为{1，2}．【解答】解；根据题意得出：f（2，x）＝∴不等式f（2，x）≤3可以转化为：或即﹣1≤x≤2或x∈∅，x∈N*，∴解集为{1，2}故答案为：{1，2}9．（5分）已知函数f（x）＝log2（x+2）+x﹣5存在唯一零点x0，则大于x0的最小整数为3．【解答】解：∵函数f（x）＝log2（x+2）+x﹣5，∴函数f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，∵f（2）＝log24+2﹣5＝﹣1＜0，f（3）＝log25+3﹣5＝log25﹣2＝log2＞0，∴根据函数零点存在性定理得出；f（x）在（2，3）上有一个零点，且存在唯一零点，故大于x0的最小整数为3，故答案为：3．10．（5分）函数的值域为（﹣∞，﹣2]∪[10，+∞）．【解答】解：∵函数，∴y＝2+，x∈[0，3]且x≠2，∵﹣2≤x﹣2≤1，x﹣2≠0∴≤﹣4或≥8∴y≤﹣2或y≥10，故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[10，+∞）11．（5分）生活中常用的十二进位制，如一年有12个月，时针转一周为12个小时，等等，就是逢12进1的计算制，现采用数字0～9和字母A、B共12个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；例如用十二进位制表示A+B＝19，照此算法在十二进位制中运算A×B＝92．【解答】解：把十二进制数化为十进制数，则B（12）＝11，A（12）＝10，∴B（12）×A（12）＝11×10＝110＝9×121+2×120＝92；故答案为：92．12．（5分）已知函数f（x）＝（a≠±1）在区间（0，1]上是减函数，则a的取值范围是（﹣1，0）∪（1，3]．【解答】解：∵f（x）＝（a≠±1）在区间（0，1]上是减函数，∴或，解得﹣1＜a＜0或1＜a≤3，∴a的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，3]，故答案为：（﹣1，0）∪（1，3]．13．（5分）已知大于1的任意一个自然数的三次幂都可写成连续奇数的和．如：若m是自然数，把m3按上述表示，等式右侧的奇数中含有2015，则m＝45．【解答】解：由题意，从23到m3，从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m＝个，2015＝3+2（n﹣1），所以n＝1007，即2015是从3开始的第1007个奇数，当m＝44时，从23到443，从3开始的连续奇数共＝989个当m＝45时，从23到453，从3开始的连续奇数共＝1034个故m＝45，故答案为：45．14．（5分）已知定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，且周期为．当时，（a、b∈R），则f（1）+f（2）+…+f（100）的值为．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）是奇函数，∴f（0）＝0，∵当时，（a、b∈R），∴a＝0，即当时，f（x）＝﹣bx（a、b∈R），∵函数f（x）的周期为，f（1）＝f（）＝f（﹣），f（2）＝f（）＝f（），f（3）＝f（+）＝f（0）＝0f（4）＝f（3+1）＝f（1）＝f（﹣），…f（100）＝f（99+1）＝f（1）＝f（﹣）＝﹣f（），∴f（1）+f（2）+…+f（100）＝f（1）＝，∵定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，且周期为，∴f（﹣）＝﹣f（）＝﹣1+，f（﹣）＝f（﹣）＝f（）＝1﹣，∴﹣1＝1﹣，求解b＝∴f（1）+f（2）+…+f（100）＝f（1）＝﹣f（）＝＝，故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知命题A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝．（1）若A∩B＝（2，4），求m的值；（2）若B⊆A，求m的取值范围．【解答】解：化简得A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|m﹣3＜x＜m}．（1）∵A∩B＝（2，4），∴m﹣3＝2且m≥4，则m＝5．（2）∵B⊆A，即，解得1≤m≤4．∴m的取值范围是[1，4]．16．（14分）已知z为复数，z+2i为实数，且（1﹣2i）z为纯虚数，其中i是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数z满足，求|ω|的最小值．【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），则z+2i＝a+（b+2）i，因为z+2i为实数，所以有b+2＝0①…2分（1﹣2i）z（1﹣2i）（a+bi）＝a+2b+（b﹣2a）i，因为（1﹣2i）z为纯虚数，所以a+2b＝0，b﹣2a≠0，②…4分由①②解得a＝4，b＝﹣2．…6分故z＝4﹣2i．…7分（2）因为z＝4﹣2i，则＝4+2i，…8分设ω＝x+yi，（x，y∈R），因为，即（x﹣4）2+（y﹣2）2＝1…10分又|ω|＝，故|ω|最小值即为原点到圆（x﹣4）2+（y﹣2）2＝1上的点距离的最小值，因为原点到点（4，2）的距离为＝，又因为圆的半径r＝1，原点在圆外，所以|ω|的最小值即为2﹣1．…14分．17．（14分）某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售A、B两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，A品牌的销售利润y1与投入资金x成正比，其关系如图1所示，B 品牌的销售利润y2与投入资金x的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与资金的单位：万元）．（1）分别将A、B两个品牌的销售利润y1、y2表示为投入资金x的函数关系式；（2）该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入A、B两个品牌，问：怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？【解答】解：（1）因为A品牌的销售利润y1与投入资金x成正比，设y1＝k1x（x＞0），又过点（2，0.5），解得，所以；B品牌的销售利润y2与投入资金x的算术平方根成正比，设y2＝k2（x＞0），又过点（4，1.5），即有1.5＝2k2，解得k2＝，所以y2＝（x＞0）；（2）设总利润为y，投入B品牌为x万元，则投入A品牌为（5﹣x）万元，则，令，则＝，当时，即时，投入A品牌为：，．答：投入A品牌万元、B品牌万元时，经销该种商品获得最大利润，最大利润为万元．18．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令＝4，解得n＝5，所以a 1＝1，，a5＝4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2＝2k2，所以h为偶数，…7分设h＝2t，t为整数，则k2＝2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．19．（16分）已知定义在R上的函数f（x）＝ln（e2x+1）+ax（a∈R）是偶函数．（1）求实数a的值；（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并用定义法证明；（3）若f（x2+）＞f（mx+）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】19．解：（1）因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（1）＝f（﹣1），即ln（e2+1）+a＝ln（e﹣2+1）﹣a，即2a＝＝﹣2，得a＝﹣1，…2分当a＝﹣1时，f（x）＝ln（e2x+1）﹣x，对于∀x∈R，f（﹣x）＝ln（e﹣2x+1）+x＝ln（e2x+1）﹣x＝f（x），综上a＝﹣1 …4分（2）f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，…5分证明如下：设x1，x2为[0，+∞）内的任意两个值，且x1＜x2，则＝因为0≤x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x2+x1＞0，所以，所以，所以，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在[0，+∞）上是单调增函数．…10分（3）f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，且是偶函数，又，所以，…12分令，则t∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），所以|mt|＜t2﹣2，恒成立，…14分因为，关于|t|在[2，+∞）上单调递增，所以，所以|m|＜1恒成立，所以﹣1＜m＜1．…16分．20．（16分）已知函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝|x﹣a|．（1）当a＝1时，求F（x）＝f（x）﹣g（x）的零点；（2）若方程|f（x）|＝g（x）有三个不同的实数解，求a的值；（3）求G（x）＝f（x）+g（x）在[﹣2，2]上的最小值h（a）．【解答】解：（1）当a＝1时，，令F（x）＝0得，当x≥1时，x2﹣x＝0，x＝1（x＝0舍去）当x＜1时，x2+x﹣2＝0，x＝﹣2（x＝1舍去）所以当a＝1时，F（x）的零点为1，﹣2，（2）方程|f（x）|＝g（x），即|x2﹣1|＝|x﹣a|，变形得（x2+x﹣a﹣1）（x2﹣x+a﹣1）＝0，从而欲使原方程有三个不同的解，即要求方程x2+x﹣a﹣1＝0 (1)与x2﹣x+a﹣1＝0 (2)满足下列情形之一：（I）一个有等根，另一个有两不等根，且三根不等（II）方程（1）、（2）均有两不等根且由一根相同；对情形（I）：若方程（1）有等根，则△＝1+4（a+1）＝0解得代入方程（2）检验符合；若方程（2）有等根，则△＝1﹣4（a﹣1）＝0解得代入方程（1）检验符合；对情形（II）：设x0是公共根，则，解得x0＝a代入（1）得a＝±1，a＝1代入|f（x）|＝g（x）检验得三个解为﹣2、0、1符合a＝﹣1代入|f（x）|＝g（x）检验得三个解为2、0、﹣1符合故|f（x）|＝g（x）有三个不同的解的值为或a＝±1．（3）因为G（x）＝f（x）+g（x）＝x2﹣1+|x﹣a|＝，①当时，G（x）在上递减，在上递增，故G（x）在[﹣2，2]上最小值为②当时G（x）＝x2﹣x﹣1+a，在上递减，在上递增，故G（x）在[﹣2，2]上最小值为③当时，G（x）在[﹣2，a]上递减，当x∈[a，2]时递增，故此时G（x）在[﹣2，2]上的最小值为综上所述：。
4—15学年下学期高二期中考试数学试题(附答案)
2014-2015学年度第二学期马陵中学期中考试高二年级数学试卷（第一部分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 设函数12y x =,则导函数'y = ____▲___．2．已知函数()xf x e =，则'(0)f 的值为___▲ __． 3．函数3()2611f x x x =-+的单调递减区间为 ▲ .4．曲线2y a x =在点(1,)a 处的切线的斜率为2，则a = ▲ . 5.曲线2y x =在点P 处的切线的倾斜角为4π，则点P 的坐标为 ____▲____．6．若f (x )＝2x '(1)f ＋x 2，则'(1)f 等于___▲____．7．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数f ′(x )的图象如右图所示， 则函数f (x )取得极小值时x 的值是___▲___．8．已知函数32()f x x a x b x =++在x=1处有极值为2，则f (2)等于___▲____． 9．已知函数32y x b x =-在[)1,+∞上是增函数，则实数b 的取值范围是___▲____． 10．做一个容积为256cm 3的方底无盖水箱，若用料最省，则此时水箱的高度是___▲____． 11．已知直线y k x =是函数ln y x =的切线，则k 的值为___▲_____． 12. 若函数324253y x b x x =-+-+有三个单调区间，则实数b 的取值范围为 ▲ ．13.函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋x ·f ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为___▲____．14. 已知二次函数2()f x a x b x c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 ▲ ．（第二部分）二、解答题：本大题共6小题，共90分。
江苏省宿迁市沭阳县2014-2015学年高二下学期期中调研
2015～2016学年度第二学期期中调研测试高二数学参考答案本试卷包含填空题（第1题—第14题）和解答题（第15题—第20题）两部分，共4页．本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1.设集合{}54321，，，，=A ，{}8,7542，，，=B ，则=B A {}5,4,22.复数i 32-的实部是 23.函数)2ln(1)(x x x f -+-=的定义域为 [)2,1 4.设幂函数()为实数ααx x f =)(的图像经过点()8,4，则幂函数的解析式为)(x f 23x5. 已知函数⎩⎨⎧<≥+=-4 ,24,32)(1x x x x f x ，则[]=)3(f f 116. 计算()=+-32272lg 4lg 32lg 12 7. 用反证法证明命题“设,a b 是实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的反设是 （4） （填序号）（1）．方程30x ax b ++=恰好有两个实根 （2）．方程30x ax b ++=至多有一个实根（3）．方程30x ax b ++=至多有两个实根 （4）．方程30x ax b ++=没有实根8.已知函数52lg )(-+=x x x f 的零点在区间()1,+k k ()z k ∈，则=k 29.已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，72)(2-=x x f ， 则-)2(f 1-10.已知212+=a ，函数x x f a log )(=，若正实数n m ,满足)()(n f m f >， 则n m ,的大小关系是 n m >11.若复数z 满足i z z 423+=-，其中i 为虚数单位，则复数z12. 已知函数)(1)()1(x f x f x f +=+，且1)1(=f ，则=)10(f 101 13.将全体正整数排成一个三角形数阵：51 41 31 21 1101 9 8 765 4321按照以上的排列规律，第20行第2个数是 19214.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+-=1,21211,22)(x x x x f x ，若存在实数21x x <，使得()()21x f x f =， 则)(12x f x 的取值范围是 ()10,0二、解答题: 本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15设集合{}|13A x x =-<<，{}m x x B >=|．（1）若1-=m ，求集合A 在B 中的补集；（2）若B B A = ，求实数m 的取值范围．（1）{}31|<<-=x x A ………………2分1-=m∴{}1|->=x x B ………………4分∴集合A 在B 中的补集为{}3|≥x x ………………7分（2） B B A =∴B A ⊆………………10分又 {}31|<<-=x x A ，{}m x x B >=|∴实数m 的取值范围是1-≤m ………………14分16.已知复数i z +-=21，i z z 5521+-=（其中i 为虚数单位）（1）求复数2z ；（2）若复数])1()32)[(3(223i m m m z z -+---=所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围。
苏教版高二第二学期期中(有答案)
苏教版2015-2016高二年级数学期中考试(有答案)一、填空题(每空5分，共70分)1 •命题“若ab = 0，则a=0”的逆否命题是▲•2 •复数z =(1 _i)(2 i)的虚部为▲•3•抛物线y2=8x的焦点坐标为▲•4•函数f(x)=2x3-6x27的单调减区间是▲.5•已知：ABC 中，a =2 , b=：$6, A =45，贝U B 等于▲ •6•在等比数列｛a n｝中，若a3 - -9 , a7 - -1,则a5的值等于▲.7•若双曲线C的渐近线方程为y= _2x，且经过点(2,2.2)，则C的标准方程为▲•&若“ x_a ”是“ x2 -x-2_0 ”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是▲•9•已知椭圆短轴两端点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率是▲.10.已知1 =12, 2 3 4 =32, 3 4 5 6 7 =52, 4 5 6 7 8 9 1^72,……, 则第n个等式为▲•3 ~ 211 •设曲线y =x3 -、.3x 上任一点处的切线的倾斜角为〉，则〉的取值范围是▲.312•若f(x) =x3-ax-2在区间(1「：)上是增函数，则实数a的取值范围是▲. 13•已知f (x) =sin 沁—_、3cos ——，贝U f ⑴ f (2)川f (2015) = ▲. 12 3丿12 3丿14•若实数a , b满足ab -4a -b • 1 =0 ( a 1)，则(a 1)(b - 2)的最小值为▲.二、解答题(共90分)15. (本小题满分14分)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c •已知A,B,C成等差数列，且b = 3 •，一n ,(1)若 A ，求 a .4(2)求ABC面积的最大值.16. (本小题满分14分)已知 f (x) =ax3 bx2 -3x+1, f (2) = -7, f '(2) = -3 .3(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数f(x)在［-4,4］的最大值和最小值；17. (本小题满分14分)已知数列 laj 满足：a i =1 , a 2 =a (a .0)，数列 b?满足 b^a na n 2 (n ・ N *).(1) 若fa n?是等差数列，且b 3 =45，求a 的值及〔aj 的通项公式；(2) 若 也?是等比数列，求:b n ?的前n 项和S n .右焦点，顶点B 的坐标为(0,b)，连结BF 2并延长交椭圆于点A ,过点A 作x 轴 的垂线交椭圆于另一点C,连结FQ .(1)求数列3n?的通项公式;(2)设b n1一，数列、b n 的前n 项和B n ，求证：B n ：：：-. an an 出 220.(本小题满分16分)已知函数 f (x) =(x -a)2e x ， g(x) =x 3 -x 2 -3，其中 a R .(1) 当a=0时，求曲线y = f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程；(2) 若存在为也，［0,2］，使得g(xj-gg) > M 成立，求实数M 的最大值;18.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中,2F 1 , F 2分别是椭圆笃a3b2=1(a b ■ 0)的左、已知正项数列 匕］的前n 项和S n 满足2 S n =a n 1.(142015-2016学期高二数学期中试卷答案1.若a= 0,则ab= 0;2.-1; 3X2,0); 4. 0,2 ; 5.60 或 120 ; 6.-3; 7今亡=1； 8._2,+ ： ; 9乎;210.n+ n 1 n 2 ||| 3n- 2 = 2n-1 ;11. , -3 JI12.八,31;13.0；15. ( 1)因为A,B,C 成等差数列,所以A ・C=2B ,分)JIB=—3根据正弦定理，得a _ bsin Bsin A即n:n sin sin43解之，得a = .2 分)(2)根据余弦定理, 2c 2accosB ，由("知，B=3，(1416. ( 1) f '(x) =3ax 2 2bx -3， 由题意，得8a ⑷一6 3=_7,I12a 4b -3 二-3,兀2丄，23 » 根据基本不等式， a 2，c 2_2ac ，得 3 = a 2 • c 2-ac _2ac —ac = ac ,所以ac 兰3，当且仅当a=c 时，取“=”. ................... 分)所以 S= - acsi nB = —^ac-3"3 ..........................................244分)于是,(10 分) (12解之，得a匚,Ib =「1,因此f(x) Jx3 -x^3x - . ( 2 ) f'(x) =X2—2x _3 , 令 f ' (x > 0得3 3x-二V, X?二 3 .列表如下：由上表知,f min (x^-25, f max(x)17.解：(1)因为尬1是等差数列，d =a-1 , a n =1 (n -1)(^1),……2分[1 2(a -1)][1 4(a -1)^45，解得 a =3或a =— (舍去)，......... 5 分47 分an ~ 2n-1. ...............(2)因为:a n f 是等比数列，q =a , a^a nJ, b n =a2n. .............. 9 分当 a =1 时，b n =1 , S n = n ；........................... 11分当a =1时，S n /匸). ........................... 14分1 -a18. 解：设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0) , F2(C,0).(1)因为B(0,b)，所以BF2「b2，c2二a.又BF2*2 , 故 a —2 .16 1因为点C(4,1)在椭圆上，所以耳*耳=1 .解得b2=1 .3 3 a2b22故所求椭圆的方程为—y2=1 .2(2)因为B(0,b),F2(C,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为「上=1 .c b解方程组笃u 2得廿計，2a2cx1 2 2，a +cb(c2-a2) y1 2 —a十cX2 = 0,y^b.2 2 2所以点A的坐标为（芈二¥：辽））•a c a c2 2 2又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为（二弟，竺C_J）.a + c a + c2 2b（a -c ）0 2 2因为直线F i C的斜率为a：y b（a2 _c3），直线AB的斜率为—b，a c ,x 3a c c c（-c）a c2 2且F i C _ AB，所以b（a 孚•（—b） = —1 •又b2=a2-c2，整理得a2= 5c2.3a c + c c故e2 =1 •因此.5 519. 解析：（1）首先求a i :依题意及2 S n =a n1,解得a^ 1 ;当n 1时，得2 二為」1，两式分别平方后相减得4 S n - S n4二a n • 1 2 - a n」，1 2，化简后得=2，所以，数列a［是以1为首项，2为公差的等差数列，.a n =1 • n-1 2 = 2n-1 ;1 1（2）因为5二翫，所以，由（1）得bn= 2n-1 2n 1n n 1-------------- -------------- ---- ---2n 12n 一220 .解:(1) 当 a =0 时，f (x) =x2e x， f (x) =e x(x2 2x)，f(1)=e, f(1)=3e,所以所求切线方程为y-e=3e(x-1)，即y=3sx2e . (2)分2 2(2) g (x) =3x(x )，x [0, 2].令g(X)=0，得为=0，x^3 3当x变化时，g (x)与g(x)的变化情况如下：x0(0自23(i2)21 ' 1 1 、— -------------- --- ----------- I2 <2 n—1 2n 十1 丿所以，其前n项和B n 1 .....2n -11毎1______ I ----- ----2n +1丿」一212n 1[g(x)]max=max{g(O), g(2)} =g(2) -1 , [g(x)]min =g(；)=3 27因为存在捲出• [0, 2]，使得g(xj - g(X2)一M成立，112 112所以M <[g(x)]max -[g(x)]min二——•所以实数M的最大值为——•...............827 278。
江苏省宿迁市泗阳县高二数学下学期期中试卷文(含解析)
江苏省宿迁市泗阳县2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知i是虚数单位，则i2015=．2．（5分）已知函数f（x）=，则f′（x）=．3．（5分）按三段论式推理，进行如下推理．大前提：所有的车子都有四个轮子．小前提：自行车是车子．结论：．4．（5分）已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C分别对应复数3+3i，﹣2+i，﹣5i，则第四个顶点D对应的复数为．5．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=5，则z的虚部为．6．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=5处的切线，则f（5）+f′（5）=．7．（5分）用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为．8．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于．9．（5分）f（n）=1+++…+（n∈N*），计算可得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，推测当n≥2时，有．10．（5分）若Z∈C，且|Z+2﹣2i|=1，则|Z﹣2﹣2i|的最小值是．11．（5分）已知函数f（x）的导数f′（x）=a（a≠0），若函数f（x）在x=a处取到极大值，则实数a的取值范围是．12．（5分）已知点A（x1，a x1），B（x2，a x2）是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，sinx1），B（x2，sinx2）是函数y=sinx（x∈（0，π））的图象上任意不同两点，则类似地有成立．13．（5分）设动直线x=m与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为．14．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，则f（x）＞2x+4的解集为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）已知复数z 1=1+2i，z2=﹣2+i，=+．（1）求z3；（2）若复数z满足z+z1为实数，且z（z2﹣z3）为纯虚数，求z．16．（14分）（1）证明：正三角形内任一点（不与顶点重合）到三边的距离和为定值．（2）通过对（1）的类比，提出正四面体的一个正确的结论，并予以证明．17．（14分）已知函数f（x）=ax3+3x2﹣12x+1（a∈R），且当△x→0时，→0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间的最大值与最小值．18．（16分）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）是否存在实数a使函数f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）在（1）的条件下，证明不等式f（x）＞+，x∈（0，e]恒成立．19．（16分）如图，在圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π）的扇形OAB内作一半径为r的内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，圆P与圆Q相切于C点，圆P和圆Q与半径OA分别切于E，D两点．（1）当圆Q的半径不低于时，求θ的最大值；（2）设BH为点B到半径OA的距离，当取得最大值时，扇形被称之为“最理想扇形”．求“最理想扇形”的面积．20．（16分）设函数f（x）=e x﹣ax，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）若函数y=f（x）的图象在x=ln2处的切线l的倾斜角为0，求切线l的方程；（2）记函数y=f（x）图象为曲线C，设点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2）是曲线C上不同的两定点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N，记直线AB的斜率为k．若x1=﹣x2，试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？请说明理由．江苏省宿迁市泗阳县2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知i是虚数单位，则i2015=﹣i．考点：虚数单位i及其性质．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的周期性、运算法则即可得出．解答：解：∵i4=1．∴i2015=（i4）503•i3=﹣i．故答案为：﹣i．点评：本题考查了复数的周期性、运算法则，属于基础题．2．（5分）已知函数f（x）=，则f′（x）=．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：将已知式子写成幂的形式，利用全等公式解答．解答：解：原式=，所以f'（x）===；故答案为：．点评：本题考查了求导公式的运用；对于根式型函数求导，一般化为幂的形式求导．3．（5分）按三段论式推理，进行如下推理．大前提：所有的车子都有四个轮子．小前提：自行车是车子．结论：自行车有四个轮子．考点：演绎推理的意义．专题：综合题；推理和证明．分析：三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“所有的车子都有四个轮子”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“自行车是车子”，另外一个是结论．解答：解：大前提：所有的车子都有四个轮子．小前提：自行车是车子．结论：自行车有四个轮子故答案为：自行车有四个轮子．点评：三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．4．（5分）已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C分别对应复数3+3i，﹣2+i，﹣5i，则第四个顶点D对应的复数为5﹣3i．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．解答：解：∵平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C分别对应复数3+3i，﹣2+i，﹣5i，∴=（3，3）﹣（﹣2，1）=（5，2），=（0，﹣5）﹣（﹣2，1）=（2，﹣6）．∴=（7，﹣4），∴+=（﹣2，1）+（7，﹣4）=（5，﹣3），∴第四个顶点D对应的复数为5﹣3i．故答案为：5﹣3i．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义、向量的平行四边形法则，属于基础题．5．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=5，则z的虚部为．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：∵（3﹣4i）z=5，∴（3+4i）（3﹣4i）z=5（3+4i），∴25z=5（3+4i），∴z=．则z的虚部为．故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．6．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=5处的切线，则f（5）+f′（5）=7．考点：导数的几何意义．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，f'（5）是曲线在（5，5）处的切线斜率为：=2，又f（5）=5，可得．解答：解：由题意，f'（5）==2，f（5）=5，所以f（5）+f′（5）=7；故答案为：7．点评：本题考查了导数的几何意义．属于基础题．7．（5分）用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为a，b都不能被5整除．考点：反证法．专题：阅读型．分析：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．解答：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故答案为：a，b都不能被5整除．点评：反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．8．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：对等式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，求导数，然后令x=2，即可求出f′（2）的值．解答：解：∵f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，∴f′（x）=2x+3f′（2）+，令x=2，则f′（2）=4+3f′（2）+即2f′（2）=﹣，∴f′（2）=﹣．故答案为：﹣点评：本题主要考查导数的计算，要注意f'（2）是个常数，通过求导构造关于f'（2）的方程是解决本题的关键．9．（5分）f（n）=1+++…+（n∈N*），计算可得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，推测当n≥2时，有f（2n）≥．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：已知的式子可化为f（2）=，f（22）＞，f（23）＞，f（24）＞，f（25）＞，由此规律可得f（2n）≥．解答：解：已知的式子f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，…可化为：f（2）=，f（22）＞，f（23）＞，f（24）＞，f（25）＞，…以此类推，可得f（2n）≥；故答案为：f（2n）≥点评：本题考查归纳推理，把已知的式子变形找规律是解决问题的关键，属基础题．10．（5分）若Z∈C，且|Z+2﹣2i|=1，则|Z﹣2﹣2i|的最小值是3．考点：复数的基本概念；复数求模．专题：计算题；转化思想．分析：考虑|Z+2﹣2i|=1的几何意义，表示以（﹣2，2）为圆心，以1为半径的圆，|Z﹣2﹣2i|的最小值，就是圆上的点到（2，2）距离的最小值，转化为圆心到（2，2）距离与半径的差．解答：解：|Z+2﹣2i|=1表示复平面上的点到（﹣2，2）的距离为1的圆，|Z﹣2﹣2i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2﹣（﹣2）|﹣1=3故答案为：3点评：本题考查复数的基本概念，复数求模，考查转化思想，是基础题．11．（5分）已知函数f（x）的导数f′（x）=a（a≠0），若函数f（x）在x=a处取到极大值，则实数a的取值范围是（﹣1，0）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先对f′（x）进行因式分解，再讨论a的正负，以及a与﹣1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，确定是否在x=a处取到极大值，即可求出实数a的取值范围．解答：解：由题意得，f′（x）=a=a（x+1）（x﹣a），∵f（x）在x=a处取到极大值，∴必有x＜a时，f′（x）＞0，且x＞a时，f′（x）＜0，（1）当a＞0时，当﹣1＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；（2）当a=0时，函数f（x）无极值，不符合题意；（3）当﹣1＜a＜0时，当﹣1＜x＜a时，f′（x）＞0，当x＞a时，f′（x）＜0，则f（x）在x=a处取到极大值，符合题意；（4）当a=﹣1时，f′（x）≤0，函数f（x）无极值，不符合题意；（5）当a＜﹣1时，当x＜a时，f′（x）＜0，当a＜x＜﹣1时，f′（x）＞0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；综上所述﹣1＜a＜0，故答案为：（﹣1，0）．点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件，以及导数与函数的单调性、极值的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题．12．（5分）已知点A（x1，a x1），B（x2，a x2）是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，sinx1），B（x2，sinx2）是函数y=sinx（x∈（0，π））的图象上任意不同两点，则类似地有成立．考点：类比推理．专题：探究型；推理和证明．分析：由类比推理的规则得出结论，本题中所用来类比的函数是一个变化率越来越大的函数，而要研究的函数是一个变化率越来越小的函数，其类比方式可知．解答：解：由题意知，点A、B是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结成立；而函数y=sinx（x∈（0，π））其变化率逐渐变小，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论．故答案为：．点评：本题考查类比推理，求解本题的关键是理解类比的定义，及本题类比的对象之间的联系与区别，从而得出类比结论．13．（5分）设动直线x=m与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值，即可得到结论．解答：解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），求导数得y′=2x﹣=（x ＞0），令y′＜0，∵x＞0，∴0＜x＜，∴函数在（0，）上为单调减函数，令y′＞0，∵x＞0，∴x＞，∴函数在（，+∞）上为单调增函数，∴x=时，函数取得最小值为=+ln2即|MN|的最小值为+ln2．故答案为；+ln2点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值14．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，则f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象．专题：导数的综合应用．分析：令g（x）=f（x）﹣2x﹣4，求出g（x）的导数，得到g（x）在R上单调递增，由g（﹣1）=0，从而求出f（x）＞2x+4的解集．解答：解：令g（x）=f（x）﹣2x﹣4，∴g′（x）=f′（x）﹣2，而f′（x）＞2，∴g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增，∵g（﹣1）=f（﹣1）﹣2×（﹣1）﹣4=0，∴f（x）＞2x+4的解集是（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）．点评：本题考察了函数的单调性，考察导数的应用，构造新函数g（x）是解题的关键，是一道基础题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）已知复数z 1=1+2i，z2=﹣2+i，=+．（1）求z3；（2）若复数z满足z+z1为实数，且z（z2﹣z3）为纯虚数，求z．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：（1）利用复数的运算法则、模的计算公式即可的；（2）利用复数为实数、纯虚数的定义即可得出．解答：解：（1）由复数z1=1+2i，z2=﹣2+i，∴=12+22=5，=（﹣2）2+12=5．∴=+===﹣1+2i．故z3=﹣1﹣2i；（2）设z=x+yi（x，y∈R）．由z+z1为实数，得y+2=0，即y=﹣2．又z2﹣z3=（﹣2+i）﹣（﹣1﹣2i）=﹣1+3i，则z（z2﹣z3）=（x﹣2i）（﹣1+3i）=6﹣x+（3x+2）i为纯虚数，得，∴x=6，∴z=6﹣2i．点评：本题考查了复数的运算法则、复数为实数、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）（1）证明：正三角形内任一点（不与顶点重合）到三边的距离和为定值．（2）通过对（1）的类比，提出正四面体的一个正确的结论，并予以证明．考点：类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：证明题；推理和证明．分析：（1）利用等面积，即可证明结论；（2）根据平面中的某些性质类比推理出空间中的某些性质，一般遵循“点到线”，“线到面”，“面到体”等原则，由在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，是一个与线有关的性质，由此可以类比推出空间中一个与面有关的性质，再由割补法可证明结论．解答：（1）证明：图1所示，设P是正三角形ABC内任一点（不与顶点重合），点P到正三角形三边的距离分别为h1，h2，h3，三角形边长为a，高为h，则三角形的面积S=ah=ah1+ah2+ah3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）即h=h1+h2+h3．所以，正三角形内任一点（不与顶点重合）到三边的距离和为定值﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）类比的结论是：正四面体内任一点（不与顶点重合）到它的四个面的距离和为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）下面给出证明：如图2：设点P为正四面体ABCD内部任一点，且点P到四个面的距离分别为PM1，PM2，PM3，PM4，正四面体的高为h，则点P将四面体分成四个共顶点的三棱锥．因为ABCD为正四面体，所以四个面面积相同，由V P﹣BCD+V P﹣ACD+V P﹣ABD+V P﹣ABC=V ABCD得：PM1+PM2+PM3+PM4=h．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．17．（14分）已知函数f（x）=ax3+3x2﹣12x+1（a∈R），且当△x→0时，→0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间的最大值与最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意可得f′（1）=0，求出导数，解方程可得a=2，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（2）由（1）可得x=﹣2取得极大值，x=1处取得极小值，求得f（﹣3）和f（3），即可得到最值．解答：解：（1）当△x→0时，→0，即f′（1）=0，又f′（x）=3ax2+6x﹣12，则3a+6﹣12=0，故a=2；所以f′（x）=6x2+6x﹣12，令f′（x）＞0，解得x＜﹣2或x＞1，所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2）和（1，+∞）；令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜1，所以函数f（x）的单调减区间为（﹣2，1）；（2）f（x）=2x3+3x2﹣12x+1，由（1）列表如下：x ﹣3 （﹣3，﹣2）﹣2 （﹣2，1） 1 （1，3） 3f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）10 递增21 递减﹣6 递增46从上表可知，函数f（x）在x=﹣2处取得极大值，在x=1时取得极小值，又因为f（﹣3）=10＞﹣6，f（3）=46＞21，所以函数f（x）在区间上的最大值是46，最小值是﹣6．点评：本题考查导数与极限的关系，导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．18．（16分）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）是否存在实数a使函数f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）在（1）的条件下，证明不等式f（x）＞+，x∈（0，e]恒成立．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）将a=1代入函数的表达式，求出f（x）的导数，得到函数f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（2）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而求出a的值；（3）令g（x）=+，x∈（0，e]，通过求出g（x）的导数，得到g（x）的单调区间，从而求出故g（x）max，进而得到f（x）min＞g（x）max，问题得证．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，x∈（0，e]，令f′（x）＞0，解得：1＜x≤e，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，e]上单调递增，且当x∈（0，e]时，f（x）有极小值f（1）=1；（2）由f（x）=ax﹣lnx，得f′（x）=a﹣=，x∈（0，e]，当a≤时，有f′（x）≤0恒成立，此时函数在（0，e]上单调递减，∴f（x）min=f（e）=ae﹣lne=ae﹣1=3，∴a=（舍），当a＞时，令f′（x）＞0，解得：＜x＜e，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴函数f（x）在（0，）单调递减，在（，e）上单调递增，∴f（x）min=f（）=1﹣ln=3，∴a=e2，综上，a=e2时满足条件．（3）由（1）知，当x∈（0，e）时，f（x）有极小值f（1）=1，令g（x）=+，x∈（0，e]，则g′（x）=，当x∈（0，e]时，g（x）＞0，则g（x）在（0，e]上单调递增，故g（x）max=g（e）=+，∴f（x）min＞g（x）max，因此，不等式f（x）＞+，x∈（0，e]恒成立．点评：本题考察了函数的单调性，极值问题，考察导数的应用，是一道中档题．19．（16分）如图，在圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π）的扇形OAB内作一半径为r的内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，圆P与圆Q相切于C点，圆P和圆Q与半径OA分别切于E，D两点．（1）当圆Q的半径不低于时，求θ的最大值；（2）设BH为点B到半径OA的距离，当取得最大值时，扇形被称之为“最理想扇形”．求“最理想扇形”的面积．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意得OA=，QD=r，由QD≥可得sinθ的不等式，解不等式解正弦函数的单调性可得；（2）可得=2cosθ（1+sinθ），设f（θ）=cosθ（1+sinθ），θ∈（0，），由导数法可得函数的最值，可得结论．解答：解：（1）由题意得OP==，又OP+PE=OA，∴+r=OA，∴OA=r，又OQ=且OP=OQ+CQ+PC，∴=+QD+r，∴QD=r则当圆Q的半径不小于，即QD≥也即r≥r，整理得10sin2θ﹣7sinθ+1≤0，即≤sinθ≤，又θ∈（0，），y=sinθ在θ∈（0，）单调增，故θ的最大值为；（2）∵BH=OBsin2θ=sin2θ×r=2cosθ（1+sinθ）r，∴=2cosθ（1+sinθ），设f（θ）=cosθ（1+sinθ），θ∈（0，），则f′（θ）=﹣s inθ（1+sinθ）+cos2θ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1令f′（θ）＞0可解得﹣1＜sinθ＜，可得θ∈（0，），同理令f′（θ）＜0可得θ∈（，），则当θ∈（0，）时，f（θ）为增函数，当θ∈（，）时，f（θ）为减函数，∴当θ=时，取得最大值，此时OA=r=3r，故“最理想扇形”的面积为==点评：本题考查导数和三角函数的综合应用，涉及新定义和导数法判函数的单调性，属难题．20．（16分）设函数f（x）=e x﹣ax，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）若函数y=f（x）的图象在x=ln2处的切线l的倾斜角为0，求切线l的方程；（2）记函数y=f（x）图象为曲线C，设点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2）是曲线C上不同的两定点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N，记直线AB的斜率为k．若x1=﹣x2，试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用函数y=f（x）的图象在x=ln2处的切线l的倾斜角为0，求出a，即可求切线l的方程；（2）设出线段AB的中点M的坐标，得到N的坐标，由两点式求出AB的斜率，再由导数得到曲线C过N点的切线的斜率，由斜率相等得﹣a=1﹣a，构造函数，确定单调性，即可得出结论．解答：解：f′（x）=e x﹣a．﹣﹣﹣﹣（1分）（1）由函数y=f（x）的图象在x=ln2处的切线l的倾斜角为0，即f′（ln2）=tan0=0，则e ln2﹣a=0，即a=2，﹣﹣﹣（3分）又f（ln2）=2﹣2ln2，故切线l的方程为y=2﹣2ln2；﹣﹣﹣﹣（5分）（2）由题意知x1=﹣x2，k=﹣a=﹣a，﹣﹣﹣﹣（8分）点N的横坐标=0为，曲线C在点N处切线斜率k′=f′（0）=1﹣a，﹣﹣﹣﹣（10分）假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则﹣a=1﹣a，即﹣﹣2x2=0，其中x2＞0，﹣﹣﹣﹣（12分）设g（x）=e x﹣﹣2x（x＞0），g′（x）=）=e x+﹣2≥0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）＞g（0）=0，﹣﹣﹣﹣（14分）故﹣﹣2x2=0不成立，因此曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．﹣﹣﹣﹣（16分）点评：本题考查利用导数求函数的切线方程，训练了利用构造函数法证明问题，是压轴题．。
江苏省沭阳县2013-2014学年高二下学期期中调研测试数学(文)试题
江苏省沭阳县2013-2014学年高二下学期期中调研测试数学（文）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1.已知集合{}2,0,1,4A =，{}1,0,2B =- ，则B A ＝ ▲ . 2. 函数()ln(1)f x x =+的定义域为 ▲ . 3. 若复数z满足1z =-+，则z ＝ ▲ ． 4. 55log 10log 2.5+= ▲ ．5.用反证法证明结论“a ，b ，c 至少有一个是正数”时，应假设 ▲ ．6. 设复数z 满足11iz i+=-（其中i 为虚数单位），则z = ▲ ． 7.已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-上的奇函数，当0x >时，()f x 的图像如右图所示，那么()f x 的值域是 ▲ ．8.设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩ ,则((2))f f = ▲ ． 9. 设集合{}1,A x x a x =-<∈R ，{}|15B x x =<<．若∅=B A ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．10. 类比关于正三角形的结论“边长为a 的正三角形内部任一点到3条边的距离之和为定值”，可以得到空间中“棱长为a 的正四面体内部任一点到四个面的距离之和为定值 ▲ ．”11．已知函数()f x 是R 上的偶函数,若对于0≥x ,都有)()2(x f x f =+,且当)2,0[∈x 时,)1(log )(2+=x x f ,则)2014()2015(-+f f 的值为 ▲ ．12. 平面内的1条直线把平面分成两部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，则15条彼此相交而无3条直线共点的直线把平面分成 ▲ 部分．13．设复数z 满足|33|2||0z i z ---=（i 是虚数单位），则||z 的最小值为 ▲ ． 14．已知函数12)(2++-=x k x x f ，若存在实数]1,1[-∈m ，使得1)(=m f ，则实数k 的取值范围是 ▲ ．第7题二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.（本题满分14分）已知复数2(1)(1)z m m m i =++-，当实数m 取什么值时， （1）复数z 是实数；（2）复数z 是纯虚数；（ 3）复数z 对应的点位于第一、三象限的角平分线上.16．（本题满分14分）设,a b 为两个互不相等的正数，且1a b +=，求证：114a b+>17．（本题满分14分）已知：函数)93lg(4)(-+-=x x x f 的定义域为A ，集合{0,}.B x x a a R =-≥∈（1）求集合A ； （2）求A B .18.（本题满分16分）已知函数2()151x f x =-+. （1）判断函数)(x f 的奇偶性,并说明理由；（2）若()1af x ≥对[1,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.19．（本题满分16分）某小商品2013年的价格为8元/件,年销量为a 件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k ，该商品的成本价格为3元/件。
江苏省沭阳县高二数学下学期期中调研测试试题
解：（1）当 时， .…………………2分
由 …………………4分
所以 .…………………7分
（2）由 得 .…………………10分
所以 .…………………14分
16．（本小题满分14分）
已知复数 ，其中 是虚数单位，且 为纯虚数．
（1）求实数 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
15．（本小题满分14分）
设全集 ，集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
16．（本小题满分14分）
已知复数 ，其中 是虚数单位，且 为纯虚数．
（1）求实数 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
17．（本小题满分14分）
（1）已知 ，求证： ．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合 ，若 ，则实数a的值为▲．
2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的模为▲．
3．已知幂函数 的图象过点 ，则实数 的值为▲．
4．已知 ，若 ，则实数 的取值范围为▲．
5．已知函数 那么 ▲．
答案：5. 已Βιβλιοθήκη 函数 那么 ▲．答案：25
6． 为虚数单位， ▲．
答案：0
7．若函数 在区间 上是单调减函数，则实数 的取值范围为
▲．
答案：
8．已知 ，则 ▲．
答案：47
9.设 ，集合 ，则 的值为▲．
答案： 2
10. 有下面四个不等式：① ；② ；③ ；
④ ．其中恒成立的有▲个．
答案：2
江苏省沭阳县高二下学期期中考试数学试题Word版含答案
2017～2018学年度第二学期期中调研测试高二数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题），解答题（第15题～第20题）两部分．试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、 学校、 班级、 准考证号写在答题卡上并填涂准考证号．试题的答案写在答题卡相应题目的答题区域内．考试结束后，交回答题卡． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请 将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．设集合A={1，3}，集合B={1，2，4}，则集合A ∪B= ▲ ． 2．已知复数2(2)(4)z m m m i =++-是实数，则实数m = ▲ ．3．用反证法证明某命题时，对结论“自然数,a b 至少有1个奇数”的正确假设为“假设自然数,a b ▲ ”．4．若函数)(11)(A x x x f ∈-=的值域为1,3-∞-⎛⎤ ⎥⎝⎦ , 则其定义域A 为 ▲ ．5．已知32-=a ；231-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ；31log 2=c ．则,,a b c 的大小关系是（从大到小排列）▲ ．6．已知复数()1(3),z m m i m R =-+-∈对应的点在x 轴上方，则m 的取值范围是 ▲ ．7．若函数2()(1)2f x kx k x =+-+是偶函数，则()f x 的递增区间是 ▲ ．8．已知正三角形ABC ，它一边上的高为h ，内切圆的半径为r ，则31=h r ，类比这一结论可知:正四面体ABC S -的底面上的高为H ，内切球的半径为R ，则=HR▲ . 9．已知函数5()lg 54f x x x =+-在区间(,1)n n +（n Z ∈）上存在零点，则n = ▲ ．10．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则3log (9)f 的值为 ▲ .11．已知⎩⎨⎧<+≥-=0,0,4)(22x bx ax x x x x f 为偶函数，则ab = ▲ ．12．已知函数1)(2-+=x x x f ，若1212()(),()f x f x x x =≠，则12()f x x += ▲ . 13．已知{}()21,2,2A x x x a B =<-+=-且A B ⊆，则实数a 的取值范围是▲ ． 14．设已知函数()3log f x x =，正实数,a b 满足a b <，且()()f a f b =，若()f x 在区间2[,]a b 上的最大值为2，则b a = ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本题14分）已知集合{|26}A x x =<<，{|39}B x x =<<，{|}C x x a =>，全集为实数集R ． （1）求A R ð和()A B R ð；（2）如果A C φ≠，求a 的取值范围．16．（本题14分）已知复数z 满足1122,5z i z z i =-=（i 为虚数单位）． （1）求复数1z 和2z ； （2）求复数125z z +的模．17．（本题14分）计算：（1）5lg 2lg 8log 28141031+++-+⎪⎭⎫⎝⎛-π;（2）已知),10(,31<<=+-x x x 求221122x x x x--++.18．（本题16分）某乡镇为了进行美丽乡村建设，规划在长为10千米的河流OC 的一侧建一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB ，设曲线段OAB 为函数2(0)y ax bx c a =++≠，[0,6]x ∈（单位：千米）的图象，且曲线段的顶点为()4,4A ；观光带的后一部分为线段BC ，如图所示.（1）求曲线段OABC 对应的函数(),[0,10]y f x x =∈的解析式；（2）若计划在河流OC 和观光带OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ ，绿化带由线段MQ ，QP ， PN 构成，其中点P 在线段BC 上．当OM 长为多少时，绿化带的总长度最长？19．（本题16分）已知函数)1(23)(>+-+=a x x a x f x ． （1）证明：函数)(x f 在(－2，＋∞)上为增函数； （2）用反证法证明：方程0)(=x f 没有负数根．20．（本题16分）已知函数6)(2+=x x x f ，213()2.11g x x mx =++ （1）若k x f >)(的解集为{}23|->-<x x x 或，求k 的值； （2）求函数()g x 在[2,4]上的最小值()h m ；（3）对于12[2,4], [2,4]x x ∀∈∃∈，使12()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围．2017～2018学年度第二学期期中调研测试高二数学参考答案一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请 将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．设集合A={1，3}，集合B={1，2，4}，则集合A ∪B={}1,2,3,4．2．已知复数2(2)(4)zm m m i =++-是实数，则实数m = 2±．3．用反证法证明某命题时，对结论“自然数,a b 至少有1个奇数”的正确假设为“假设自然数,a b 都不是奇数”．4．若函数)(11)(A x x x f ∈-=的值域为1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ , 则其定义域A 为[)1,2-． 5．已知32-=a ；231-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ；31log 2=c ．则,,a b c 的大小关系是（从大到小排列）b a c >>． 6．已知复数()1(3),zm m i m R =-+-∈对应的点在x 轴上方，则m 的取值范围是3m <．7．若函数2()(1)2f x kx k x =+-+是偶函数，则()f x 的递增区间是[)0,+∞．8．已知正三角形ABC ，它一边上的高为h ，内切圆的半径为r ，则31=h r ，类比这一结论可知:正四面体ABC S -的底面上的高为H ，内切球的半径为R ，则=H R 41. 9．已知函数5()lg 54f x x x =+-在区间(,1)n n +（n Z ∈）上存在零点，则n = 3 ．10．已知幂函数()yf x =的图象过点(，则3log(9)f 的值为 1 .11．已知⎩⎨⎧<+≥-=0,0,4)(22x bx ax x x x x f 为偶函数，则ab = 4 ．12．已知函数1)(2-+=x x x f ，若1212()(),()f x f x x x =≠，则12()f x x +=1-.13．已知{}()21,2,2A x xx a B =<-+=-且A B ⊆，则实数a 的取值范围是(]1,∞-． 14．设已知函数()3log f x x=，正实数,a b 满足a b <，且()()f a f b =，若()f x 在区间2[,]a b 上的最大值为2，则ba =127．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本题14分）已知集合{|26}A x x =<<，{|39}B x x =<<，{|}C x x a =>，全集为实数集R ． （1）求A R ð和()B A R ð；（2）如果AC φ≠，求a 的取值范围．解:（1）因为{|26}A x x =<<，{|39}B x x =<<，所以{}26A x x x =≤≥R ð或；……………………………………………………4分 所以(){}69A B x x =≤<R ð． ……………………………………………8分（2）当6a <时满足A C φ≠． ……………………………………………14分16．（本题14分）已知复数z 满足1122,5z i z z i =-=（i 为虚数单位）． （1）求复数1z 和2z ； （2）求复数125z z +的模． 解：（1）12z i =+； ……………………………………………3分255(2)(2)122(2)(2)i i i z i i i i i i +===+=-+--+； ……………………8分 （2）125522(12)112z i i i i z i +=++=++--=--+， …………………12分所以125||z z +== …………………………………14分17．（本题14分）计算：（1）5lg 2lg 8log 28141031+++-+⎪⎭⎫⎝⎛-π;（2）已知),10(,31<<=+-x x x 求221122x x x x--++.解：（1）原式=1137112222+-++= . ……………………………………7分 （2）因为()222127x x x x --+=+-= …………………………9分又因为21112225x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，11220x x -+>，所以1122x x -+=所以221122x x x x--+=+ ………………………………………14分 18．（本题16分）某乡镇为了进行美丽乡村建设，规划在长为10千米的河流OC 的一侧建一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB ，设曲线段OAB 为函数2(0)y ax bx c a =++≠，[0,6]x ∈（单位：千米）的图象，且曲线段的顶点为()4,4A ；观光带的后一部分为线段BC ，如图所示.（1）求曲线段OABC 对应的函数(),[0,10]y f x x =∈的解析式；（2）若计划在河流OC 和观光带OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ ，绿化带由线段MQ ，QP ， PN 构成，其中点P 在线段BC 上．当OM 长为多少时，绿化带的总长度最长？解：因为曲线段OAB 过点O ，且最高点为()4,4A，得1041644,2042a c a b c b b c a ⎧⎧=-⎪⎪=⎪⎪++==⎨⎨⎪⎪=⎪⎪-=⎩⎩解得， 所以，当[)0,6x ∈时，21y 24x x =-+ ……………………………………4分 因为最后一部分是线段BC ，()()6,310,0B C ，，当[]6,10x ∈时，2315y 42x =-+综上，[](]212,0,64()315,6,1042x x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩. …………………………8分（2）设(02O M t t =<≤则22112,244MQ t t PN t t=-+=-+，由213152,442PN t t x =-+=-+ 得21810,33x t t =-+所以点218(10,0)33N t t -+ ……………………………10分 所以，绿化带的总长度PN QP MQ y ++=103161)1031131()241(2222++-=+-++-=t t t t t t ……14分 当1=t 时，661max =y .所以，当OM 长为1千米时，绿化带的总长度最长. ………16分 19．（本题16分）已知函数)1(23)(>+-+=a x x a x f x ． （1）证明：函数)(x f 在(－2，＋∞)上为增函数； （2）用反证法证明：方程0)(=x f 没有负数根．解：（1）证法1：任取),2(,21+∞-∈x x ，不妨设12x x <，则210x x ->，21110x x x a a ->>且，所以21121(1)0,x x x x x a a a a --=->又因为121010x x +>+>，，所以()()()2121211253302222x x x x x x x x ----=>++++，于是()2121212133()()022x x x x f x f x a a x x ⎛⎫---=-+-> ⎪++⎝⎭，， 故函数)(x f 在(－2，＋∞)上为增函数．……………………………………………8分 证法2：()'25()ln 2x f x a a x =++，()251,ln 0,ln 02x a a a a x >>∴+>+'()0f x >在()2,-+∞上恒成立，即)(x f 在()2,-+∞上为增函数．（2）假设存在()0002x x <≠-满足0()0,f x =则00032x x a x -=-+，因为()0002x x <≠-，1a >，所以001x a <<，所以003012x x -<-<+，解得0132x <<，与假设00x <矛盾．故方程0)(=x f 没有负数根． ………………………………………………16分20．（本题16分）已知6)(2+=x x x f ，213()2.11g x x mx =++（1）若k x f >)(的解集为{}23|->-<x x x 或，求k 的值； （2）求函数()g x 在[]2,4上的最小值()h m ；（3）对于12[2,4], [2,4]x x ∀∈∃∈，使12()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围．解：（1）由k x f >)(得26xk x >+；整理得260kx x k -+<， 因为不等式的解集为{}23|->-<x x x 或， 所以方程260kx x k -+=的两根是3-，2-；由根与系数的关系得()132k -+-=，即15k =-； ……………4分（2）213()211g x x mx =++的对称轴方程为x m =-， ①当2m -≤时，即2,m ≥-()g x 在[]2,4上是单调增函数，min 1357()(2)444,1111g x g m m ==++=+故57()411h m m =-； ②当24m <-<时，即42m -<<-，()g x 在[]2,m -上是单调减函数，在[],4m -上是单调增函数，2min13()()11g x g m m =-=-+故213()11h m m =-+； ③当4m -≥时，即4,m ≤-()g x 在[]2,4上是单调减函数，min13189()(4)1688,1111g x g m m ==++=+故189()811h m m =+； 所以[)()(]2574,2,1113(),4,2.111898,,411m m h m m m m m ⎧+∈-+∞⎪⎪⎪=-+∈--⎨⎪⎪+∈-∞-⎪⎩………………………………………10分 （3）因为函数()f x在区间⎡⎣上为增函数，在区间⎤⎦上为减函数其中1(2)5f =，21(4)115f =<，所以函数()f x 在[]2,4上的最小值为2(4).11f = 对于12[2,4], [2,4],x x ∀∈∃∈使12()()f x g x ≥成立⇔()g x 在[]2,4上的最小值不大于()f x 在[]2,4上的最小值211， 由（2）知 ①2,m ≥-min132()(2)44,1111g x g m ==++≤解得54m ≤-,所以524m -≤≤-； ②当42m -<<-时2min132()()1111g x g m m =-=-+≤,精品解得1m ≥≤或m -1，所以42m -<<-； ③当4m ≤-时， min 132()(4)168,1111g x g m ==++≤ 解得178m ≤-，所以 4.m ≤- 综上所述，m 的取值范围是5,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. …………………………………16分。
宿迁市2013—2014学年高二数学(苏教版)第二学期期中复习试题及答案(复数、排列组合、 数列)
高二数学教学期中复习班级： 姓名： 学号：一、填空题(每小题5分，共计70分)1、已知562=n A ，则n ＝__________.2、复数31i i--等于 3、设向量a ＝(2,2m －3,n ＋2)，b ＝(4,2m ＋1,3n －2)，若a ∥b ，则m n ⋅= _______.4、 从任意4点皆不共面的空间10个点中，任取4个点作为一个四面体的4个顶点，则一共可作__ __ _个四面体.5、若复数z 满足i z z 5)1|(|+-=，则复数z ＝_________.6、 对于非零实数b a ,，以下四个命题都是成立的：①01≠+aa ； ②2222)(b ab a b a ++=+；③若ab a =2，则b a = ④．若||||b a =，则b a ±=； 如果b a ,是非零复数，则这四个命题仍然成立的是 _ _ （写出所有符合要求的命题的序号）7、已知平行四边形OABC 的顶点A 、B 分别对应复数1342i i -+，.O 为复平面的原点，那么顶点C 对应的复数是____________8、下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数绝对值的性质22||x x =类比得到复数z 的性质22||z z =；③已知,a b ∈R ，若0a b ->，则a b >类比得已知12,z z ∈C ，若120z z ->，则12z z >;④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中推理结论正确．．的是 9、已知复数12z i =+（i 为虚数单位），2z 在复平面上对应的点在直线x=1上，且满足12z z ⋅是纯虚数，则|2z |=____ ___．10、房间里3盏电灯，分别由3个开关控制，至少开1盏灯用以照明，有 种不同的方法。
39(1)(1),R,A 1,_______m m x x nA x x x m x m A A -=--+∈=≤=11、规定：其中为正整数，且这是排列数 （n,m 是正整数，且m n)的一个推广，则13、已知正弦函数x y sin =具有如下性质:若),0(,...,21π∈n x x x , 则)...sin(sin ...sin sin 2121nx x x n x x x n n +++≤+++(其中当n x x x ===...21时等号成立). 根据上述结论可知,在ABC ∆中,C B A sin sin sin ++的最大值为__★.14、观察下面的数阵, 第20行第20个数是 。
2014宿迁市高二数学第二学期期终考试文科试卷带答案苏教版
2014宿迁市高二数学第二学期期终考试文科试卷（带答案苏教版）一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1.设集合{0,1,2}A =，{1,2,3}B =，则A B ⋂＝ ▲ ．2.函数()lg(1)f x x =+的定义域为 ▲ ．3.函数()3cos(2)3f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．4.把函数2sin y x =的图象向左平移3π个单位得到的函数解析式为 ▲ ． 5.等比数列{}n a 中，若33=a ，246=a ，则7a 的值为 ▲ ． 6.不等式21122x +≤的解为 ▲ ． 7.ABC ∆中，sin cos a bA B=，则B = ▲ ． 8.已知实数,x y 满足20,0,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最小值是 ▲ ． 9.ABC ∆中，3,5,7,AB AC BC ===则AB AC ⋅= ▲ ．10.若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则满足()0f x >的x 的取值范围是 ▲ ．12.设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前ｎ项和，若137920,,,a a a a =且成等比数列，则10S = ▲ ．13.若320sin 20tan =+m ，则m 的值为 ▲ ． 14.如图为函数()1)f x x <<的图象，其在点(())M t f t ， l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，计80分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知向量()()1,2,3,4-=a =b ． （1）若()()3//k -+a b a b ，求实数k 的值； （2）若()m ⊥-a a b ，求实数m 的值．16.已知c b a ,,分别是ABC ∆中角C B A ,,的对边，且222sin sin sin sin sin A C B A C +-=. （1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆b =a c +的值；17.若函数2()(2)2f x x a x b =-++++，2log (1)2f =，且()()2g x f x x =-为偶函数. （１） 求函数()f x 的解析式；（２） 若函数()f x 在区间[,)m +∞的最大值为33m -，求m 的值.18.已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-=)10(31000108)100(3018.10)(22x x xx x x R ．（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？ （注：年利润=年销售收入－年总成本）高二年级数学试题（文）参考答案一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1. {1,2} 2. (1,)-+∞ 3. π4. 2sin()3y x π=+5. 486. (,1]-∞-7. 4π8. 1-9. 152-10. 3 <1a or a >- 11. (1,0)(1,)-⋃+∞ 12. 110 13. 414. 18,427⎛⎫ ⎪⎝⎭二、解答题（本大题共6小题，计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.已知向量()()1,2,3,4-=a =b ． （1）若()()3//k -+a b a b ，求实数k 的值； （2）若()m ⊥-a a b ，求实数m 的值．解：（１）3(0,10)-=-a b ，(13,24)k k k +=+-+a b ，因为(3)-a b ∥()k ＋a b ， 所以10300k --=，所以13k =-.（２）(3,24)m m m -=---a b ，因为()m ⊥-a a b ，所以32(24)0m m ----=，所以1m =-.16.已知c b a ,,分别是ABC ∆中角C B A ,,的对边，且222sin sin sin sin sin A C B A C +-= （１） 求角B 的大小； （２） 若ABC ∆的面积为4，且b =a c +的值. 解：(1) π3B =.⑵ 因为△ABC，所以1sin 2ac B =，所以3ac =．因为b2222cos b a c ac B =+-，所以22a c ac +-＝3，即2()3a c ac +-＝3． 所以2()a c +＝12，所以a ＋c＝．17.若函数2()(2)2f x x a x b =-++++，2log (1)2f =，且()()2g x f x x =-为偶函数.（３） 求函数()f x 的解析式；（４） 求函数()f x 在区间[,)m +∞的最大值为33m -，求m 的值. 解：（1）2()23f x x x =-++；（2）当2max 1,()2333m f x m m m ≥=-++=-，可得5m = 当max 1,()433m f x m <==-，可得1.3m =- 综合得15 3m or =-18. 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-=)10(31000108)100(3018.10)(22x x x x x x R ．（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？ （注：年利润=年销售收入－年总成本）解：（1）当0<x≤10时，10301.8)7.210()(3--=+-=x x x x xR W 当x >10时，x xx x xR W 7.23100098)7.210()(--=+-= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤<--=∴107.2310009810010301.83x x x x x x W ……………5分 （2）①当0<x≤10时，由;0,)9,0(.90101.82>'∈==-='W x x x W 时且当得 当(9,10),0;x W '∈<时∴当x=9时，W 取最大值，且6.3810930191.83max =-⨯-⨯=W ……………10分 ②当x>10时，W=98387.2310002987.231000=⨯-≤⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x当且仅当max 10001002.7,,38.39x x W x ===即时 综合①、②知x=9时，W 取最大值．所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大． ……………15分 19.已知数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且满足254,25S S ==，数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）11,2a d ==21n a n ∴=-（2）①当n 为偶数时，要使不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8217n n n n nλ++<=++恒成立．828n n+≥，等号在2n =时取得． ∴此时λ需满足25λ<． ②当n 为奇数时，要使不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8215n n n n nλ-+<=--恒成立． 82n n -是随n 的增大而增大， 1n ∴=时82n n -取得最小值6-．∴此时λ需满足21λ<-．综合①、②可得λ的取值范围是21λ<-．（3）11,,32121m n m nT T T m n ===++，若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++，即2244163m n m m n =+++．…12分 （法一）由2244163m n m m n =+++， 可得2232410m m n m -++=>， 即22410m m -++>， ------------------------14分∴11m <<+． 又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =． 因此，当且仅当2m =， 12n =时，数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列．-------- 16分（法二）因为1136366n n n=<++，故2214416m m m <++，即22410m m --<，20.已知a 为实数，函数()(1)xf x ax e =+，函数1()1g x ax=-，令函数()()()F x f x g x =⋅. （１） 若1,a =求函数()f x 的极小值；（２） 当1,2a =-解不等式()1F x <； （３） 当0,a <求函数()F x 的单调减区间. （1）/()(2),xf x x e =+令/()02f x x =⇒=-当(2,),()x f x ∈-+∞递增；当(,2),()x f x ∈-∞-递减； 故()f x 的极小值为2(2)f e --=-（2）由2()2x x F x e x -=+ 可得2/2()0(2)x x e F x x =-<+ 故()F x 在(,2),(2,)-∞--+∞递减当2x <-时()0,F x < 故当2x <-时()1F x < 当2x >-时(0)1,F =，由()1(0)0F x F x <=⇒> 综合得：原不等式的解集为(,2)(0,)x ∈-∞-⋃+∞（3）22/221()(1)x a x a F x e ax -++=-，令/()0F x =得2221a x a += ①当12a <-时，/()0F x <，减区间为11(,),(,)a a-∞+∞②当102a -<<时，减区间为11(,),(,),()a a a a-∞-+∞ ③当12a =-时，减区间为(,2),(2,)-∞--+∞19.已知数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且满足254,25S S ==，数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．20.已知a 为实数，函数()(1)xf x ax e =+，函数1()1g x ax=-，令函数()()()F x f x g x =⋅. （４） 若1,a =求函数()f x 的极小值；（５） 当1,2a =-解不等式()1F x <； （６） 当0,a <求函数()F x 的单调减区间.。
江苏省宿迁市沭阳县2014-2015学年高二数学下学期期中调研测试试题苏教版
2014～2015学年度第二学期期中调研测试高二数学试题本试卷包含填空题（第1题—第14题）和解答题（第15题—第20题）两部分，共4页．本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数()lg(21)f x x =-的定义域为 ▲ . 2．已知全集{}1,2,3U =，集合{}1A =，集合{}1,2B =，则()UAB =▲ .3. 函数21(0,1)x y aa a -=+>≠不论a 为何值时，其图像恒过的定点为 ▲ .4．已知幂函数()f x 的图像过点1(2,)4，则(3)f = ▲ . 5．已知函数()⎩⎨⎧≤>=.0,2,0,log 3x x x x f x则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛271f f 的值为 ▲ .6．已知,a b ∈R ，若25100a b ==，则11a b += ▲ . 7．关于x 的方程22(1)260x a x a +-++=的两根为,αβ,且满足01αβ<<<，则实数a 的取值范围是 ▲ .8．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x y =∈∈N N 上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f(,)f x y z =,()m n m n >，映射f 由下表给出：则使不等式(2,)3f x ≤的解集为 ▲ . 9．已知函数2()log (2)5f x x x =++-存在唯一零点0x ,则大于0x 的最小整数为 ▲ .10．函数24[0,3]22x y x x x +=∈≠-，且的值域为 ▲ .11．生活中常用的十二进位制，如一年有12个月，时针转一周为12个小时，等等，就是逢12进1的计算制，现采用数字0～9和字母A 、B 共12个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表:例如用十二进位制表示A+B ＝19，照此算法在十二进位制中运算A×B ＝ ▲ .12．已知函数()1)f x a =≠±在区间(0,1)上是减函数，则a 的取值范围是 ▲ .13．已知大于1的任意一个自然数的三次幂都可表示成连续奇数的和．如：若m 是自然数，把3m 按上述表示，等式右侧的奇数中含有2015，则m = ▲ .14．已知定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，且周期为32.当3[0,]4x ∈时，()f x bx=-（a 、b R ∈）,则 (1)(2)(100)f f f +++的值为 ▲ .二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知命题{}2280A x x x =--<，30,x m B x m x m -+⎧⎫=<∈⎨⎬-⎩⎭R ． （1）若(2,4)A B =，求m 的值；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围．16．（本题满分14分）已知z 为复数，2z i +为实数，且(12)i z -为纯虚数，其中i 是虚数单位． 3235=+， 337911=++， 3413151719=+++，…（1）求复数z ； （2）若复数z 满足1z ω-=，求ω的最小值．17．（本题满分14分）某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售A 、B 两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，A 品牌的销售利润1y 与投入资金x 成正比，其关系如图1所示，B 品牌的销售利润2y 与投入资金x 的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与资金的单位：万元）．（1）分别将A 、B 两个品牌的销售利润1y 、2y 表示为投入资金x 的函数关系式；（2）该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入A 、B 两个品牌，问：怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？(第17题)(图1)(图2)18．（本题满分16分）（1）找出一个等比数列{}n a ，使得14为其中的三项，并指出分别是{}n a 的第几项；（2（3）证明：14不可能为同一等差数列中的三项． 19．（本题满分16分）已知定义在R 上的函数()2ln(e 1)()x f x ax a =++∈R 是偶函数．（1）求实数a 的值； （2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并用定义法证明；（3）若221()()m f x f mx x x +>+恒成立，求实数m 的取值范围．20．（本题满分16分）已知函数2()1,()||f x x g x x a =-=-． （1）当1a =时，求()()()F x f x g x =-的零点；（2）若方程|()|()f x g x =有三个不同的实数解，求a 的值； （3）求()()()G x f x g x =+在[2,2]-上的最小值()h a .2014～2015学年度第二学期期中调研测试 高二数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数()lg(21)f x x =-的定义域为 1(,)2+∞ .2．已知全集{}1,2,3U =，集合{}1A =，集合{}1,2B =，则UAB ={}1,3.3. 函数21(0,1)x y a a a -=+>≠不论a 为何值时，其图像恒过的定点为(2,2) . 4．已知幂函数()f x 的图像过点1(2,)4，则(3)f =19. 5．已知函数()⎩⎨⎧≤>=.0,2,0,log 3x x x x f x则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛271f f 的值为 18 .6．已知,a b ∈R ，若25100a b==，则11a b += 12 .7．关于x 的方程22(1)260x a x a +-++=的两根为,αβ,且满足01αβ<<<，则a 的取值范围是5(3,)4--. 8．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x y =∈∈N N 上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f 下对应的为实数z ，记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：则使不等式(2,)3f x ≤的解集为 {1,2}. 9．已知函数2()log (2)5f x x x =++-存在唯一零点0x ,则大于0x 的最小整数为3 .10．函数24[0,3]22x y x x x +=∈≠-，且的值域为(][),210,-∞-+∞.11．生活中常用的十二进位制，如一年有12个月，时针转一周为12个小时，等等，就是逢12进1的计算制，现采用数字0～9和字母A 、B 共12个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；例如用十二进位制表示A+B ＝19，照此算法在十二进位制中运算A×B ＝ 92 .12．已知函数()1)f xa =≠±在区间(]0,1上是减函数，则a 的取值范围是(1,0)(1,3]-.13．已知大于1的任意一个自然数的三次幂都可写成连续奇数的和．如：若m是自然数，把3m 按上述表示，等式右侧的奇数中含有2015，则m = 45 .14．已知定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，且周期为32.当3[0,]4x ∈时，()f x bx=-（a 、b R ∈）,则 (1)(2)(100)f f f +++的值为23+.二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知命题{}2280A x x x =--<，30,x m B x m x m -+⎧⎫=<∈⎨⎬-⎩⎭R ． （1）若(2,4)A B =，求m 的值；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围．15．【解答】：化简得 A={}24x x -<<， B={}3x m x m -<<. ………………6分（1）因为(2,4)AB =所以有324,5m m m -=≥=且则. ………………10分（2）因为B A ⊆，即324m m -≥-⎧⎨≤⎩解得14m ≤≤. …………………………14分16．（本题满分14分）已知z 为复数，2z i +为实数，且(12)i z -为纯虚数，其中i 是虚数单位．3235=+， 337911=++， 3413151719=+++，…（1）求复数z ； （2）若复数z 满足1z ω-=，求ω的最小值．16．【解答】：（1）=(,)z a bi a b R +∈设，则2(2)z i a b i +=++，因为2z i +为实数，所以有20b +=① ………………2分(12)(12)()2(2)i z i a bi a b b a i -=-+=++-，因为(12)i z -为纯虚数，所以20,20a b b a +=-≠，② ……………………………………4分 由①②解得4,2a b ==-. ………………………6分 故=42z i -. ………………………7分 （2）因为=42z i -，则42z i =+， ………………………8分 设(,)x yi x y R ω=+∈，因为1z ω-=，即22(4)(2)1x y -+-= ………10分又ωω的最小值即为原点到圆22(4)(2)1x y -+-=上的点距离的最小值，因为原点到点(4,2)=，又因为圆的半径r=1，原点在圆外，所以ω的最小值即为1. ……………………………………14分17．（本题满分14分）某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售A 、B 两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，A 品牌的销售利润1y 与投入资金x 成正比，其关系如图1所示，B 品牌的销售利润2y 与投入资金x 的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与资金的单位：万元）．（1）分别将A 、B 两个品牌的销售利润1y 、2y 表示为投入资金x 的函数关系式；（2）该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入A 、B 两个品牌，问：怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？(第17题)(图1)(图2)17．【解答】： (1) 因为A 品牌的销售利润1y 与投入资金x 成正比，设11(0)y k x x = > ，又过点(2,0.5)，所以114k =，所以11(0)4y x x = > ………………3分B 品牌的销售利润2y 与投入资金x的算术平方根成正比，设2(0)y k x => ，又过点(4,1.5)，所以234k =，所以设2(0)y x => ， ………………6分（2）设总利润为y ,投入B 品牌为x 万元，则投入A 品牌为(5)x -万元，则1(5)5)4y x x =-<< ………………8分令t t =<，则21(35)4y t t =-++ ………………10分21329()4216t =--+当32t =时，即94x =时，投入A 品牌为：911544-=，max 2916y =………………13分 答：投入A 品牌114万元、B 品牌94万元时，经销该种商品获得最大利润，最大利润为2916万元． ……………………14分 18．（本题满分16分） （1）找出一个等比数列{}n a ，使得14为其中的三项，并指出分别是{}n a 的第几项；（2（3）证明：14不可能为同一等差数列中的三项．18．【解答】：（1）取首项为11n n a -， ……………………2分则125=1,=4a a a ． ……………………4分（2,h khk =，………………5分则222h k =，所以h 为偶数， ……………………7分 设2h l =，l 为整数，则222k l =，所以k 也为偶数，则,h k 有公约数2，这与,h k 互质相矛盾， ……………………9分……………………10分 （3）证明：假设14是同一等差数列中的三项， 且分别为第,,n m p 项且,,n m p 互不相等， ……………………11分设公差为d ，显然0d ≠1()m n d =+-，41()p n d =+-，消去d得，3()1m n p n -=+-， ……………………13分由n ，m ，p 都为整数，所以3()1m n p n -+-为有理数，由（2……………………15分 所以假设不成立，即14不可能为同一等差数列中的三项． …………………16分 19．（本题满分16分）已知定义在R 上的函数()2ln(e 1)()x f x ax a =++∈R 是偶函数．（1）求实数a 的值； （2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并用定义法证明；（3）若221()()mf x f mx x x +>+恒成立，求实数m 的取值范围．19．【解答】：（1）因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()1(1)f f =-，即22ln(e 1)ln(e 1)a a -++=+-，即22e 12ln()2e 1a -+==-+，得1a =-， ……………2分当1a =-时，()2ln(e 1)x f x x =+-，对于()()22,ln(e 1)ln(e 1)x x x f x x x f x -∀∈-=++=+-=R ，综上1a =- ………4分 （2）()f x 在[0,)+∞上是单调增函数， ………………………………5分 证明如下：设12,x x 为[0,)+∞内的任意两个值，且12x x <，则()()12221212ln(e 1)ln(e 1)x x f x f x x x -=+--++ 112121212122222222e 1(e 1)e e e ln()ln(e )ln[]ln()e 1e 1e 1x x x x x x x x x x x x x -+--+++=+==+++因为120x x ≤<，所以21210,0x x x x ->+>，所以2121e 1,e 1x x x x -+>>， 所以2121221212e e (e 1)(1e )(e 1)0x x x x x x x x x +--++-+=--<，所以212122e e (e 1)x x x x x +-+<+， 所以212122e e 1e 1x x x x x +-+<+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[0,)+∞上是单调增函数． ………………………………10分（3）()f x 在[0,)+∞上是单调增函数，且是偶函数，又221()()m f x f mx x x +>+， 所以221m x mx x x +>+， ………………………………12分 令1t x x =+，则(][),22,t ∈-∞-+∞， 所以22mt t <-，2m t t <-恒成立， ………………………………14分 因为2t t -，关于t 在[)2,+∞上单调递增， 所以21t t -≥，所以1m <恒成立，所以11m -<<. ………………………16分20．（本题满分16分）已知函数2()1,()||f x x g x x a =-=-．（1）当1a =时，求()()()F x f x g x =-的零点；（2）若方程|()|()f x g x =有三个不同的实数解，求a 的值；（3）求()()()G x f x g x =+在[2,2]-上的最小值()h a .20．【解答】：（1）当1a =时，222,1,()1|1|2, 1.x x x F x x x x x x ⎧- ≥⎪=---=⎨+- <⎪⎩， ………2分 令()0F x =得，当1x ≥时，20x x -=，1x =（0x =舍去） 当1x <时，220x x +-=，2x =-（1x =舍去）所以当1a =时，()F x 的零点为1，2- ………………………………4分（2）方程|()|()f x g x =，即2|1|||x x a -=-， 变形得22(1)(1)0x x a x x a +---+-=， ………………………………6分 从而欲使原方程有三个不同的解，即要求方程210x x a +--= (1)与210x x a -+-= (2)满足下列情形之一：（I ）一个有等根，另一个有两不等根，且三根不等（II ）方程（1）、（2）均有两不等根且由一根相同；对情形（I ）：若方程(1)有等根，则 14(1)0a ∆=++= 解得 54a =-代入方程（2）检验符合；若方程(2)有等根，则14(1)0a ∆=--=解得54a =代入方程（1）检验符合；……8分 对情形（II ）：设0x 是公共根，则22000011x x a x x a +--=-+-， 解得0x a =代入（1）得1a =±，1a =代入|()|()f x g x =检验得三个解为-2、0、1符合1a =-代入|()|()f x g x =检验得三个解为2、0、-1符合故|()|()f x g x =有三个不同的解的值为54a =±或1a =±． ……………10分（3）因为2()()()1||G x f x g x x x a =+=-+-=221()1()x x a x a x x a x a ⎧+--≥⎨-+-<⎩, 当2a ≤-时2()1G x x x a =+--，在1[2,]2--上递减，在1[,2]2-上递增， 故()G x 在[2,2]-上最小值为min 15()()24G x G a =-=--………………11分当2a ≥时2()1G x x x a =--+，在1[2,]2-上递减，在1[,2]2上递增， 故()G x 在[2,2]-上最小值为min 15()()24G x G a ==-+………………12分当22a -<<时，221(2)()1(2)x x a a x G x x x a x a ⎧+--≤<⎪=⎨⎪-+--≤<⎩（i ）当122a -<≤-时，结合图形可知当1[2,]2x ∈--时递减，在1[,2]2-上递增故此时()G x 在[-2，2]上的最小值为min 15()()24G x G a =-=-- ………………13分（ii ）当1122a -<≤时，结合图形可知当[2,]x a ∈-时递减，当[,2]x a ∈时递增， 故此时()G x 在[-2，2]上的最小值为2min ()()1G x G a a ==- ……………………14分 （iii ）当122a <<时，结合图形可知当1[2,]2x ∈-时递减，当1[,2]2x ∈时递增，()G x 在[2,2]-上最小值为min 15()()24G x G a ==-+ ………………………15分综上所述：251,()4211()1,()2251,()42a a h a a a a a ⎧-+≥⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩………………………16分解法二：因为2()()()1||G x f x g x x x a=+=-+-=221()1()x x a x ax x a x a⎧+--≥⎨-+-<⎩,当12a≤-时，()G x在1[2,]2--上递减，在1[,2]2-上递增，故()G x在[2,2]-上最小值为min15()()24G x G a=-=--………………12分当12a≥时2()1G x x x a=--+，在1[2,]2-上递减，在1[,2]2上递增，故()G x在[2,2]-上最小值为min15()()24G x G a==-+………………14分当1122a-<<时，()G x在[2,]a-上递减，当[,2]x a∈时递增，故此时()G x在[-2，2]上的最小值为2min()()1 G x G a a==-综上所述：251,()4211()1,()2251,()42a ah a a aa a⎧-+≥⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩………………………16分。
江苏省沭阳县高二数学下学期期中调研测试试题
2016～2017学年第二学期期中调研测试高二数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题），解答题（第15题~第20题）两部分．试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、 学校、 班级、 准考证号写在答题卡上并填涂准考证号．试题的答案写在答题卡相应题目的答题区域内．考试结束后，交回答题卡．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上． 1．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}1,3B =，则A B ⋂= ▲ ．2．幂函数()f x x α=过点1(3,)9P ，则f = ▲ ．3．已知复数43z i =-，则||z = ▲ ．4．函数()ln(1)f x x =-+的定义域为 ▲ ． 5．计算31ii+-= ▲ ． 6．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于060”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是 ▲ （填序号）．①假设三个角都不大于060； ②假设三个角都大于060；③假设三个角至多有一个大于060； ④假设三个角至多有两个大于060． 7．已知结论“圆222(0)x y r r +=>上一点00(,)P x y 处切线方程为00221x x y yr r+=”． 类比圆的这个结论得到关于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>在点00(,)P x y 的切线方程为 ▲ ．8．已知函数()27xf x x =+-的零点在区间(,1)()k k k Z +∈内，则=k ▲ ．9．观察下列式子：2222221311511171,1,1,222332344+<++<+++<据其中规律，可以猜想出：22221111123410+++++< ▲ ． 10．已知数列{}n a 满足1122,2nn na a a a +==+*()n N ∈，则n a = ▲ ．11．计算2lg 25lg 2lg 50(lg 2)++= ▲ ．12． 二次函数2()7(13)2f x x m x m =-+--（m R ∈）的两个零点分别分布在区间(0,1)和(1,2)内，则实数m 的取值范围为 ▲ ．13．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，满足(2)(2)(2)f x f x f +=-+，且当[0,2]x ∈时，()24x f x =-，令函数()()g x f x m =-，若()g x 在区间[10,2]-上有6个零点，分别记为123456,,,,,x x x x x x ，则123456x x x x x x +++++= ▲ ．14．已知()2|1|2f x x =+-，当(())f f x mx =有四个解时，实数m 的取值范围 是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知集合{}{}|12,|3A x x B x m x m =≤≤=≤≤+． （1）当2m =时，求A B ⋃；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围．16．（本题满分14分）已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值．17．（本题满分14分）沭阳县某水果店销售某种水果，经市场调查，该水果每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x 近似满足关系式10(7)3ay x x =---，其中37,x a <<为常数，已知销售价格定为4元/千克时，每日可销售出该水果32千克． （1）求实数a 的值；（2）若该水果的成本价格为3元/千克，要使得该水果店每日销售该水果获得最大利润，请你确定销售价格x 的值，并求出最大利润．18．（本题满分16分）（1）已知椭圆方程为22143x y +=，点P ．i ．若关于原点对称的两点11(2,0),(2,0),A B -记直线11,PA PB 的斜率分别为11,PA PB k k ，试计算11PA PB k k 的值；ii ．若关于原点对称的两点22(A B 记直线22,PA PB 的斜率分别为22,PA PB k k ，试计算22PA PB k k 的值；（2）根据上题结论探究：若,M N 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线,QM QN 的斜率都存在，并分别记为,QM QN k k ，试猜想QM QN k k 的值，并加以证明．19．（本题满分16分）已知函数31()log xf x a x+=-为其定义域内的奇函数． （1）求实数a 的值；（2）求不等式()1f x >的解集； （3）证明：1()3f 为无理数．20．（本题满分16分）已知a R ∈，函数1()2a x f x +=． （1）当1a =时，解不等式()4f x >；（2）若()2xf x ->在[2,3]x ∈恒成立，求a 的取值范围；（3）若关于x 的方程(4)25()20a x a f x -+--=在区间(2,0)-内的解恰有一个，求a 的取值范围．2016～2017学年第二学期期中调研测试高二数学试题参考答案一、填空题：1、{1,3}2、123、54、(1,2]5、12i +6、②7、00221(0)x x y y a b a b +=>>8、2 9、1910 10、2n11、2 12、(4,2)-- 13、24- 14、4(0,)3二、解答题：15、解（1）当2m =时，{}|25B x x =≤≤，………………………………3分{}{}{}|12|25|15A B x x x x x x ∴⋃=≤≤⋃≤≤=≤≤……7分（2）A B ⊆，132m m ≤⎧∴⎨+≥⎩………………………………………………..………12分解得 11m -≤≤．…………………………………….…...……14分16、解（1）复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，∴2234224m m m m +-=--，…………………………….….4分 解得 4m =-………………………………………………..…….6分 （2）复数z 为纯虚数，∴223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩ ……………………………………….….…10分4146m m m m =-=⎧⎨≠-≠⎩或且…………………………………………..…….12分解得 1m =……………………………………………………...….14分17、解 （1）由题意知当4x =时，32y =，所以得3210343a=⨯--……………………………………...….4分 解得 2a =- ………………………………………………….…...6分 （2）由(1)知销售量为210(7)3y x x =-+- (37)x <<， 设利润为()L x ，则2()(3)[10(7)](3)3L x y x x x x =-=-+-- 得 2()10100208(37)L x x x x =-+-<< .………………....10分 即2()10(5)42L x x =--+所以当5x =时，利润()L x 最大，最大值为42．………………....12分 答：当销售价格定为5元/千克时，日获得利润最大为42元．…………...14分 18、解（1）i.因为1100022022PA PB k k ====-+-,所以1133(4PA PB k k=⨯=-…………………….3分ii.因为2213,22PA PB k k ==-==， 所以22133224PA PB k k =-⨯=-……………………………..6分 （2）猜想22QM QNb k k a=-………………………………………..…8分证明: 设点(,)M m n ,则点(,)N m n --,从而22221m n a b+=,设点(,)Q x y ,由,QM QN y n y nk k x m x m-+==-+,……………………………....10分 得2222,QM QNy n y n y n k k x m x m x m -+-==-+-（*） 由22222b x y b a =-，22222b m n b a=-，………………..……12分 代入（*）式得222222222222222222()()QM QNb x b m b b b m x b a a k k x m a x m a--+-===---所以22QM QNb k k a=-…………………………………………16分19、解（1）因为()f x 为其定义域内奇函数，所以 ()()0f x f x +-=， 即 3311()()log log 0x xf x f x a x a x+-+-=+=-+….….………..….2分 即 223222211log 01x x a x a x--=⇒=--……………………………..….4分 所以 22211x a x a -=-⇒=±………………………………….… 5分 当1a =-时，对数无意义，故舍去，所以1a =………………………………………………………....……6.分（2）31()log 1xf x x+=-的定义域为(1,1)-…………………………......…7分 由()1f x >, 得331log 1log 31xx+>=- 11312x x x +∴>⇒>-………………………………...…….….9分 又因为()f x 的定义域为(1,1)-所以()1f x >得解集为1(,1)2………………………………………10分（3）31()log 23f =（3log 20>）…………………………………..….11分假设3log 2为有理数，则其可以写成最简分数形式，而且唯一的， 设3log 2nm=（其中,m n 为两个互质的正整数）…………….…13分 得 32nm =，即 32n m = （*）， 因为,m n 为两个互质的正整数，所以3m 为奇数，2n 为偶数，显然奇数不等于偶数，所以（*）式不成立……………………………………………...….... 15分 所以假设不成立，所以31()log 23f =为无理数………………………………………....16分20、解（1）当1a =时，11()2x f x +=， 由()4f x >得112242x+>=，………………………………...…..1分所以 1112101x x x+>⇒>⇒<<………………………..….…3分（2）因为()2x f x ->在[2,3]恒成立，即122a x x+->在[2,3]恒成立，即1a x x +>-在[2,3]恒成立，即 1x a x+>-在[2,3]恒成立…..5分 令1()g x x x =+，由'21()10g x x=->在[2,3]恒成立，所以()g x 在区间[2,3]单调递增，……………………………...…7分 所以()g x 的最小值为5(2)2g =， 所以52a -<， 即52a >- ……………………..…………….…....9分 （3）由题意得1(4)25220a a x a x +-+--= 所以1(4)25a a x a x+=-+- 即2(4)(25)10a x a x -+--=，即(1)[(4)1]0x a x ---=….11分 ①当4a =时，1(2,0)x =-∈-，满足题意；………………….12分 ②当4a ≠时，i ．114x a ==--，即3a =，满足题意；……………...…13分 ii ．124x a =≤--或104x a =≥-解742a ≤<或4a >..15分 从而 7{3}[,)2a ∈⋃+∞ ………………………….……………..16分。
苏教版高中数学选修2-3下学期高二期中调研测试
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）宿豫中学2014-2015学年度下学期高二期中调研测试数 学（文科）1.考试时间：120分钟；2.请用0.5毫米黑色签字水笔将答案填写在答卷纸上. 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．．） 1. 命题“052,2≠++∈∀x x R x ”的否定是____▲________.2. 已知全集{12345U =，，，，，集合{134}{23}A B ==，，，，，则()U A B =ð ▲ .3. 复数112z i=+的共轭复数是____▲____ 4. 函数()sin x f x e x =的导数()f x '= ▲ ．5. “2x <”是“220x x --<”的 ▲ 条件．（ 在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”选择并进行填空）6. 曲线sin y x =在点3π(,)32处的切线方程为 ▲ ．7. 若4πα=，则tan 1α=”.在它的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题个数是 ▲ 个.8. 已知集合{}3(,)1,,,(,)2,,4y A x y x R y R B x y y ax x R y R x ⎧-⎫==∈∈==+∈∈⎨⎬-⎩⎭，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为 ▲ ．9. 奇函数32()f x ax bx cx =++在1x =-处有极值，则3a b c ++的值为 ▲ ．10. 观察下列等式：1121233⨯=⨯⨯⨯, 112232343⨯+⨯=⨯⨯⨯,11223343453⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯ ,…,照此规律，计算1223(1)n n ⨯+⨯+++= ▲ （n ∈Ｎ*）.11. 已知函数3()3()f x x ax a =-∈R ，若直线0=++m y x 对任意的m ∈R 都不是曲线)(x f y =的切线，则a 的取值范围是 ▲ ．12. 已知复数()0,,≠∈+=x R y x yi x z 且32=-z ，则xy的范围为______▲______.13.如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，()f x '为 函数()f x 的导函数，则不等式()0x f x '⋅<的解集为 ▲ ．14. 已知可导函数)(x f )(R x ∈的导函数)(x f '满足)(x f '＞)(x f ，则不等式()(1)x ef x f e >的解集是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. （本小题满分14分）设全集是实数集R,2={2730},A x x x -+≤2{x 0}B x a =+<（1） 当4a =-时,求A B ；（2） 若()R A B B =r ð,求负数a 的取值范围.xO y3-3（第13题）16.（本小题满分14分）若函数12)1()(223+-+-+-=m m x m px x x f 在区间)0,2(-内单调递减，且在)2,(--∞及),0(+∞内单调递增，求实数p 、m 的值。
江苏省沭阳县2014-2015学年高二下学期期中调研测试化学试卷 Word版含答案.pdf
A．升高温度 B．增大压强
C．增大NH3的浓度 D．使用催化剂
15．下图所示装置中观察到电流计指针偏转，M棒变粗，N棒变细，指针指向M，由此判断下表中所列M、N、P物质
，其中可以成立的组合是
第Ⅱ卷（非选择题，共0分）
16（12分）2SO2（g）+ O2 （g） 2SO3（g）反应过程的能量变化如图所示。已知1mol SO2（g）氧化为
．（12分）把在空气中久置
的铝片5.0 g投入盛有 500mL0.5 mol·L1硫酸溶液的烧杯中，该铝片与硫酸反应产生氢气的速率与反应时间可用下图坐
标曲线来表示，回答下列问题：
（1）曲线由0→a段不产生氢气的原因_____________________,
有关反应的离子方程式为_________________________；
2014～2015学年度第二学期期中调研测试
高二化学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，本试卷满分120分，考试时间100分钟。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 S 32 Cl 35.5 Ca 40 Fe 56 Cu
曲线由a→b段产生氢气的速率较慢的原因___________
有关的化学方程式__________________________；
（3）曲线由b→c段，产生氢气的速率增加较快的主要原因_________________________；
（4）曲线由c以后，产生氢气的速率逐渐下降的主要原因_________________________。
D乙醇和二甲醚（CH3-O-CH3）互为同分异构体
3．下列有机化合物的分类不正确的是
江苏省沭阳县高二数学下学期期中试题 理(扫描版)苏教版
江苏省沭阳县2013-2014学年高二数学下学期期中试题理（扫描版）苏教版2013－2014学年度第二学期期中调研测试高二数学试题参考答案（理）一、填空题（本题包括14小题，每小题5分，共70分）1. {}2,02. {}|1x x >- 3. 2 4. 12 5. 2 6. 2 7. [)(]3,22,3--8. 216 9. 129 10. 3a13. 51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14. 1,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭二、解答题（本题包括6小题，共90分）15．(本题满分14分)解：(1) 由210m -=，得m=±1 ………………………… 4分 (2) 由 2(1)010m m m -=⎧⎨-≠⎩ 得m=0 ………………………… 9分 (3) 由 21(1)m m m -=- 得m=-1 …………………………14分16. (本题满分14分)解：（1）42334093042≤<⇒⎩⎨⎧>≤⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x ，定义域A ＝(]4,2； ……… 4分 （2）B ＝{}0,x x a a R -≥∈＝[a ，+∞） ……… 6分①当a ≤2时，A ∩B=(]4,2 ……………8分②当2＜a < 4时，A ∩B=[a ，4） ………………… 10分③当a =4时，A ∩B={}4 ………………… 12分当a >4时，A ∩B=φ。
…………………14分17. (本题满分14分)解：(1)由题意知42143n nC C =，即(1)(2)(3)144321321n n n n ---⨯⨯⨯=⨯， 得25500n n --=，解得10,5()n =-舍 ………………………… 4分设二项展开式中得常数项为1021021101022()(2)r r rr r r r r T C C x x ---+=-=- 令10202r r --=解得2r =，故常数项为第三项为2210(2)180C -=………………………… 9分 (2) 3410(1)(1)(1)x x x -+-++-展开式中2x 项的系数为2223410C C C +++ = 322233223333410344103111164C C C C C C C C C C ++++-=++-=-=…………………14分18. (本题满分16分)解：（1）设前两次摸出得围棋子中同为白色的概率为P 1,同为黑色的概率为P 2， 则124332376767P P P =+=⨯+⨯= ………………………… 5分设摸出一粒白色围棋子记为事件A,摸出两粒白色围棋子记为事件B ，摸出三粒白色围棋子记为事件C ，摸出四粒白色围棋子记为事件D,则()134347435C C P A C ==, ()2243471835C C P B C ==, ()3143471235C C P C C ==, ()4447135C P D C ==…………………………13分 418121161234353535357E η=⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………… 16分 19. (本题满分16分)解：（1）由21n n n a a a +≤-得21n n na a a +≤- 10,0n n a a +>>20n n a a ∴->解得01n a <<故{}n a 中的任一项都小于1 ………………………5分（2）由（1）知01n a <<得2221111111()2442a a a a ≤-=--+≤< 猜想：1(2)n a n n<≥ ， ……………………… 8分 下面用数学归纳法证明：当2n =时成立 ……………………… 10分 假设n k =（2k ≥）时成立，即112k a k <≤ 那么当1n k =+时， 有22212221111111111()()242411k k k k k k a a a a k k k k k k +--≤-=--+<--+=-=<=-+ 1n k ∴=+成立，故猜想成立， ……………………… 15分 综上所述*1,n a n N n<∈ ……………………… 16分 20. (本题满分16分)解(1) 若若方程()f x x =有两相等的实数根1 可得1-b 1+1=c11=a a ⎧⎪⎪⎨⎪⨯⎪⎩┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 故b 12ac a =-⎧⎨=⎩又(0)2f = 故c 2=2,3a b ∴==-2()232f x x x ∴=-+ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分（2）由（1）知2()(12)f x ax a x a ∴=+-+对称轴方程为112x a=- 当0a <时,二次函数的开口向下(2)f -4(12)(2)92a a a a =+--+=- (2)=2f a + (2)(2)840f f a --=-<min ()(2)92f x f a ∴=-=- ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分当0a >时, 1122a-< 又二次函数的开口向上 故当1122a -<-时,即106a <<时, f x （）在[]2,2-为减函数 min ()(2)92f x f a ∴=-=- ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分 当1122a-≥-时,即16a ≥时, f x （）在[]2,2-为先减后增函数 min 11()(1)124f x f a a ∴=-=- ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分 综上所述min 19206()111,46a a a f x a a⎧-<≠⎪⎪∴=⎨⎪-≥⎪⎩，且 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉11分 (3) ()()(21)g x f x x a a x =+-+-2ax x a a =+-+=22,2,ax x x a ax x a x a⎧+≥⎪⎨-+<⎪⎩ 当1a ≤时，2()g x ax x =+在[]1,2为增函数，故min ()(1)1x g x g a ==+ 当2a ≥时，2()2g x ax x a =-+在[]1,2为增函数，min ()(1)31x g x g a ==-当12a <<时，22,2()2,1ax x x a g x ax x a x a⎧+≥≥⎪=⎨-+≤<⎪⎩ 当1x a ≤<时，2()g x ax x =+在[]1,a 为增函数，故min ()(1)1x g x g a ==+当2a x <≤时，2()2g x ax x a =-+在[],2a 为增函数，3min ()()x g x g a a a ==+又33(1)10a a a a +-+=-> min ()1x g x a ∴=+综上所述min 1,02()31,2x a a g x a a +<≤⎧∴=⎨->⎩ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉16分。
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2014～2015学年度第二学期期中调研测试高二数学试题本试卷包含填空题（第1题—第14题）和解答题（第15题—第20题）两部分，共4页．本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数()lg(21)f x x =-的定义域为 ▲ . 2．已知全集{}1,2,3U =，集合{}1A =，集合{}1,2B =，则()U A B =ð ▲ .3. 函数21(0,1)x y a a a -=+>≠不论a 为何值时，其图像恒过的定点为 ▲ . 4．已知幂函数()f x 的图像过点1(2,)4，则(3)f = ▲ . 5．已知函数()⎩⎨⎧≤>=.0,2,0,log 3x x x x f x则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛271f f 的值为 ▲ .6．已知,a b ∈R ，若25100a b ==，则11a b += ▲ . 7．关于x 的方程22(1)260x a x a +-++=的两根为,αβ,且满足01αβ<<<，则实数a 的取值范围是 ▲ .8．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x y =∈∈N N 上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f(,)f x y z =,()m n m n >，映射f 由下表给出：则使不等式(2,)3f x ≤的解集为 ▲ . 9．已知函数2()log (2)5f x x x =++-存在唯一零点0x ,则大于0x 的最小整数为 ▲ .10．函数24[0,3]22x y x x x +=∈≠-，且的值域为 ▲ .11．生活中常用的十二进位制，如一年有12个月，时针转一周为12个小时，等等，就是逢12进1的计算制，现采用数字0～9和字母A 、B 共12个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表:例如用十二进位制表示A+B ＝19，照此算法在十二进位制中运算A×B ＝ ▲ .12．已知函数2()1)1f x a a =≠±-在区间(0,1)上是减函数，则a 的取值范围是 ▲ .13．已知大于1的任意一个自然数的三次幂都可表示成连续奇数的和．如：若m 是自然数，把3m 按上述表示，等式右侧的奇数中含有2015，则m = ▲ .14．已知定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，且周期为32.当3[0,]4x ∈时，()f x bx=-（a 、b R ∈）,则 (1)(2)(100)f f f +++ 的值为 ▲ .二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知命题{}2280A x x x =--<，30,x m B x m x m -+⎧⎫=<∈⎨⎬-⎩⎭R ． （1）若(2,4)A B = ，求m 的值； （2）若B A ⊆，求m 的取值范围．16．（本题满分14分）已知z 为复数，2z i +为实数，且(12)i z -为纯虚数，其中i 是虚数单位．3235=+， 337911=++， 3413151719=+++，…（1）求复数z ； （2）若复数z 满足1z ω-=，求ω的最小值．17．（本题满分14分）某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售A 、B 两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，A 品牌的销售利润1y 与投入资金x 成正比，其关系如图1所示，B 品牌的销售利润2y 与投入资金x 的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与资金的单位：万元）．（1）分别将A 、B 两个品牌的销售利润1y 、2y 表示为投入资金x 的函数关系式；（2）该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入A 、B 两个品牌，问：怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？(第17题)(图1)18．（本题满分16分）（1）找出一个等比数列{}n a ，使得14为其中的三项，并指出分别是{}n a 的第几项；（2（3）证明：14不可能为同一等差数列中的三项． 19．（本题满分16分）已知定义在R 上的函数()2ln(e 1)()x f x ax a =++∈R 是偶函数．（1）求实数a 的值； （2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并用定义法证明；（3）若221()()m f x f mx x x +>+恒成立，求实数m 的取值范围．20．（本题满分16分）已知函数2()1,()||f x x g x x a =-=-． （1）当1a =时，求()()()F x f x g x =-的零点；（2）若方程|()|()f x g x =有三个不同的实数解，求a 的值； （3）求()()()G x f x g x =+在[2,2]-上的最小值()h a .2014～2015学年度第二学期期中调研测试 高二数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数()lg(21)f x x =-的定义域为 1(,)2+∞ .2．已知全集{}1,2,3U =，集合{}1A =，集合{}1,2B =，则U A B = ð{}1,3.3. 函数21(0,1)x y a a a -=+>≠不论a 为何值时，其图像恒过的定点为(2,2) . 4．已知幂函数()f x 的图像过点1(2,)4，则(3)f =19. 5．已知函数()⎩⎨⎧≤>=.0,2,0,log 3x x x x f x则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛271f f 的值为 18 .6．已知,a b ∈R ，若25100a b==，则11a b += 12 .7．关于x 的方程22(1)260x a x a +-++=的两根为,αβ,且满足01αβ<<<，则a 的取值范围是5(3,)4--.8．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x y =∈∈N N 上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f 下对应的为实数z ，记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：则使不等式(2,)3f x ≤的解集为 {1,2}. 9．已知函数2()log (2)5f x x x =++-存在唯一零点0x ,则大于0x 的最小整数为3 .10．函数24[0,3]22x y x x x +=∈≠-，且的值域为(][),210,-∞-+∞ . 11．生活中常用的十二进位制，如一年有12个月，时针转一周为12个小时，等等，就是逢12进1的计算制，现采用数字0～9和字母A 、B 共12个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；例如用十二进位制表示A+B ＝19，照此算法在十二进位制中运算A×B ＝ 92 .12．已知函数2()1)1f x a a=≠±-在区间(]0,1上是减函数，则a 的取值范围是(1,0)(1,3]- .13．已知大于1的任意一个自然数的三次幂都可写成连续奇数的和．如：若m 是自然数，把3m 按上述表示，等式右侧的奇数中含有2015，则m = 45 .14．已知定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，且周期为32.当3[0,]4x ∈时，()f x bx =-（a 、b R ∈）,则 (1)(2)(100)f f f +++ 的值为23+. 二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知命题{}2280A x x x =--<，30,x m B x m x m -+⎧⎫=<∈⎨⎬-⎩⎭R ． （1）若(2,4)A B = ，求m 的值； （2）若B A ⊆，求m 的取值范围．15．【解答】：化简得 A={}24x x -<<， B={}3x m x m -<<. ………………6分（1）因为(2,4)A B = 所以有324,5m m m -=≥=且则. ………………10分（2）因为B A ⊆，即324m m -≥-⎧⎨≤⎩解得14m ≤≤. …………………………14分16．（本题满分14分）已知z 为复数，2z i +为实数，且(12)i z -为纯虚数，其中i 是虚数单位．3235=+， 337911=++， 3413151719=+++，…（1）求复数z ； （2）若复数z 满足1z ω-=，求ω的最小值．16．【解答】：（1）=(,)z a bi a b R +∈设，则2(2)z i a b i +=++，因为2z i +为实数，所以有20b +=① ………………2分(12)(12)()2(2)i z i a bi a b b a i -=-+=++-，因为(12)i z -为纯虚数，所以20,20a b b a +=-≠，② ……………………………………4分 由①②解得4,2a b ==-. ………………………6分 故=42z i -. ………………………7分 （2）因为=42z i -，则42z i =+， ………………………8分 设(,)x yi x y R ω=+∈，因为1z ω-=，即22(4)(2)1x y -+-= ………10分又ωω的最小值即为原点到圆22(4)(2)1x y -+-=上的点距离的最小值，因为原点到点(4,2)=，又因为圆的半径r=1，原点在圆外，所以ω的最小值即为1. ……………………………………14分17．（本题满分14分）某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售A 、B 两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，A 品牌的销售利润1y 与投入资金x 成正比，其关系如图1所示，B 品牌的销售利润2y 与投入资金x 的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与资金的单位：万元）．（1）分别将A 、B 两个品牌的销售利润1y 、2y 表示为投入资金x 的函数关系式；（2）该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入A 、B 两个品牌，问：怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？(第17题)(图1)(图2)17．【解答】： (1) 因为A 品牌的销售利润1y 与投入资金x 成正比，设11(0)y k x x = > ，又过点(2,0.5)，所以114k =，所以11(0)4y x x = > ………………3分B 品牌的销售利润2y 与投入资金x的算术平方根成正比，设2(0)y k x => ，又过点(4,1.5)，所以234k =，所以设2(0)y x => ， ………………6分（2）设总利润为y ,投入B 品牌为x 万元，则投入A 品牌为(5)x -万元，则1(5)5)4y x x =-<< ………………8分令t t =<，则21(35)4y t t =-++ ………………10分21329()4216t =--+当32t =时，即94x =时，投入A 品牌为：911544-=，max 2916y =………………13分 答：投入A 品牌114万元、B 品牌94万元时，经销该种商品获得最大利润，最大利润为2916万元． ……………………14分 18．（本题满分16分） （1）找出一个等比数列{}n a ，使得14为其中的三项，并指出分别是{}n a 的第几项；（2（3）证明：14不可能为同一等差数列中的三项．18．【解答】：（1）取首项为11n n a -， ……………………2分则125=1,=4a a a ． ……………………4分（2,h khk =，………………5分则222h k =，所以h 为偶数， ……………………7分 设2h l =，l 为整数，则222k l =，所以k 也为偶数，则,h k 有公约数2，这与,h k 互质相矛盾， ……………………9分……………………10分 （3）证明：假设14是同一等差数列中的三项， 且分别为第,,n m p 项且,,n m p 互不相等， ……………………11分设公差为d ，显然0d ≠1()m n d =+-，41()p n d =+-，消去d得，3()1m n p n -=+-， ……………………13分由n ，m ，p 都为整数，所以3()1m n p n -+-为有理数，由（2……………………15分 所以假设不成立，即14不可能为同一等差数列中的三项． …………………16分 19．（本题满分16分）已知定义在R 上的函数()2ln(e 1)()x f x ax a =++∈R 是偶函数．（1）求实数a 的值； （2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并用定义法证明；（3）若221()()mf x f mx x x +>+恒成立，求实数m 的取值范围．19．【解答】：（1）因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()1(1)f f =-，即22ln(e 1)ln(e 1)a a -++=+-，即22e 12ln()2e 1a -+==-+，得1a =-， ……………2分当1a =-时，()2ln(e 1)x f x x =+-，对于()()22,ln(e 1)ln(e 1)x x x f x x x f x -∀∈-=++=+-=R ，综上1a =- ………4分（2）()f x 在[0,)+∞上是单调增函数， ………………………………5分证明如下： 设12,x x 为[0,)+∞内的任意两个值，且12x x <，则()()12221212ln(e 1)ln(e 1)x x f x f x x x -=+--++112121212122222222e 1(e 1)e e e ln()ln(e )ln[]ln()e 1e 1e 1x x x x x x x x x x x x x -+--+++=+==+++因为120x x ≤<，所以21210,0x x x x ->+>，所以2121e 1,e 1x x x x -+>>， 所以2121221212e e (e 1)(1e )(e 1)0x x x x x x x x x +--++-+=--<，所以212122e e (e 1)x x x x x +-+<+， 所以212122e e 1e 1x x x x x +-+<+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[0,)+∞上是单调增函数． ………………………………10分（3）()f x 在[0,)+∞上是单调增函数，且是偶函数，又221()()mf x f mx x x +>+，所以221mx mx x x +>+， ………………………………12分令1t x x =+，则(][),22,t ∈-∞-+∞ ，所以22mt t <-，2m t t<-恒成立， ………………………………14分因为2t t-，关于t在[)2,+∞上单调递增，所以21t t-≥，所以1m <恒成立，所以11m -<<. ………………………16分20．（本题满分16分）已知函数2()1,()||f x x g x x a =-=-．（1）当1a =时，求()()()F x f x g x =-的零点；（2）若方程|()|()f x g x =有三个不同的实数解，求a 的值； （3）求()()()G x f x g x =+在[2,2]-上的最小值()h a .20．【解答】：（1）当1a =时，222,1,()1|1|2, 1.x x x F x x x x x x ⎧- ≥⎪=---=⎨+- <⎪⎩， ………2分 令()0F x =得，当1x ≥时，20x x -=，1x =（0x =舍去）当1x <时，220x x +-=，2x =-（1x =舍去）所以当1a =时，()F x 的零点为1，2- ………………………………4分（2）方程|()|()f x g x =，即2|1|||x x a -=-， 变形得22(1)(1)0x x a x x a +---+-=， ………………………………6分 从而欲使原方程有三个不同的解，即要求方程210x x a +--=…(1) 与210x x a -+-= (2)满足下列情形之一：（I ）一个有等根，另一个有两不等根，且三根不等 （II ）方程（1）、（2）均有两不等根且由一根相同； 对情形（I ）：若方程(1)有等根，则14(1)0a ∆=++= 解得54a =-代入方程（2）检验符合；若方程(2)有等根，则14(1)0a ∆=--=解得54a =代入方程（1）检验符合；……8分对情形（II ）：设0x 是公共根，则22000011x x a x x a +--=-+-， 解得0x a =代入（1）得1a =±，1a =代入|()|()f x g x =检验得三个解为-2、0、1符合 1a =-代入|()|()f x g x =检验得三个解为2、0、-1符合故|()|()f x g x =有三个不同的解的值为54a =±或1a =±． ……………10分（3）因为2()()()1||G x f x g x x x a =+=-+-=221()1()x x a x a x x a x a ⎧+--≥⎨-+-<⎩, 当2a ≤-时2()1G x x x a =+--，在1[2,]2--上递减，在1[,2]2-上递增， 故()G x 在[2,2]-上最小值为min 15()()24G x G a=-=--………………11分 当2a ≥时2()1G x x x a =--+，在1[2,]2-上递减，在1[,2]2上递增，故()G x 在[2,2]-上最小值为min 15()()24G x G a==-+………………12分当22a -<<时，221(2)()1(2)x x a a x G x x x a x a ⎧+--≤<⎪=⎨⎪-+--≤<⎩（i ）当122a -<≤-时，结合图形可知当1[2,]2x ∈--时递减，在1[,2]2-上递增故此时()G x 在[-2，2]上的最小值为min 15()()24G x G a=-=-- ………………13分 （ii ）当1122a -<≤时，结合图形可知当[2,]x a ∈-时递减，当[,2]x a ∈时递增， 故此时()G x 在[-2，2]上的最小值为2min ()()1G x G a a ==- ……………………14分 （iii ）当122a <<时，结合图形可知当1[2,]2x ∈-时递减，当1[,2]2x ∈时递增，()G x 在[2,2]-上最小值为min 15()()24G x G a==-+ ………………………15分综上所述：251,()4211()1,()2251,()42a a h a a a a a ⎧-+≥⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩………………………16分解法二：因为2()()()1||G x f x g x x x a=+=-+-=221()1()x x a x ax x a x a⎧+--≥⎨-+-<⎩,当12a≤-时，()G x在1[2,]2--上递减，在1[,2]2-上递增，故()G x在[2,2]-上最小值为min15()()24G x G a=-=--………………12分当12a≥时2()1G x x x a=--+，在1[2,]2-上递减，在1[,2]2上递增，故()G x在[2,2]-上最小值为min15()()24G x G a==-+………………14分当1122a-<<时，()G x在[2,]a-上递减，当[,2]x a∈时递增，故此时()G x在[-2，2]上的最小值为2min()()1 G x G a a==-综上所述：251,()4211()1,()2251,()42a ah a a aa a⎧-+≥⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩………………………16分。