河北省邯郸四中高考数学复习《角的概念的推广》典型例题
2016高中数学人教A版必修四第一章 1周期现象 2角的概念的推广 练习题含答案
第一章三角函数§1周期现象§2角的概念的推广1、问题导航（1)连续抛一枚硬币,面值朝上我们记为0,面值朝下我们记为1，数字0与1就是否会周期性地重复出现？(2)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对不？（3)在坐标系中,将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转第一次到x轴的正半轴所形成的角为90°,这种说法就是否正确？2、例题导读P4例1，例2，例3、通过此三例学习，学会利用周期现象的定义判断一种现象就是否为周期现象、试一试:教材P5习题1－1 T1，T2,T3您会不?P7例1、通过本例学习,学会判断一个角就是第几象限角、试一试：教材P8习题1－2 T1,T2您会不？P7例2、通过本例学习，学会写出终边落在坐标轴上的角的集合、P8例3、通过本例学习，学会写出终边与已知角终边相同的角的集合，并能写出该集合中指定范围的元素、试一试：教材P8习题1－2 T3,T4您会不？1、周期现象我们把以相同间隔重复出现的现象叫做周期现象、2、任意角(1)角的概念角可以瞧成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形、(2）角的分类名称定义图形正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线从起始位置没有作任何旋转形成的角在平面直角坐标系中研究角时,如果角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么，角的终边（除端点外)在第几象限，我们就说这个角就是第几象限角、若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为轴线角或象限界角、(2)象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角｛α｜k·360°〈α<k·360°＋90°，k∈Z｝第二象限角｛α|k·360°＋90°〈α<k·360°＋180°，k∈Z｝第三象限角{α|k·360°＋180°<α〈k·360°＋270°,k∈Z}第四象限角｛α｜k·360°＋270°〈α<k·360°＋360°,k∈Z｝轴线角角的集合表示终边落在x轴的非负半轴上的角{α|α＝k·360°，k∈Z｝终边落在x轴的非正半轴上的角{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在x轴上的角｛α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上的角{α｜α＝k·360°＋90°,k∈Z｝终边落在y轴的非正半轴上的角{α｜α＝k·360°－90°，k∈Z｝终边落在y轴上的角｛α｜α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在坐标轴上的角{α|α＝k·90°,k∈Z}所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝｛β｜β＝α＋k×360°,k ∈Z｝，即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的与、1、判断正误、(正确的打“√”,错误的打“×”)（1）钟表的秒针的运动就是周期现象、()（2）某交通路口每次绿灯通过的车辆数就是周期现象、（）（3)钝角就是第二象限的角、（)(4)第二象限的角一定比第一象限的角大、(）（5）终边相同的角不一定相等、（）解析：（1）正确、秒针每分钟转一圈,它的运动就是周期现象、（2)错误、虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但每次绿灯经过的车辆数不一定相同,故不就是周期现象、（3)正确、大于90°而小于180°的角称为钝角,它就是第二象限角、（4)错误、100°就是第二象限角，361°就是第一象限角，但100°〈361°、（5)正确、终边相同的角可以相差360°的整数倍、答案:(1）√(2)×(3)√（4）×（5)√2、小明今年17岁了,与小明属相相同的老师的年龄可能就是（)A、26B、32C、36D、41解析：选D、由十二生肖知,属相就是12年循环一次，故选D、3、已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°;④495°，其中就是第二象限角的就是（）A、①②B、①③C、②③D、②④解析：选D、－120°就是第三象限角;－240°就是第二象限角；180°角不在任何一个象限内;495°＝360°＋135°,所以495°就是第二象限角、4、在0°到360°之间与－120°终边相同的角就是________、解析:与－120°终边相同的角α＝－120°＋k·360°（k∈Z）、由0°≤－120°＋k·360°〈360°,k∈Z，得错误!≤k<错误!、又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°、答案：240°1、对周期现象的理解现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性,例如：月亮圆缺变化的周期性，即朔—上弦-望-下弦—朔;潮汐变化的周期性，即海水在月球与太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性等、2、对角的概念的两点说明（1)角就是用运动的观点来定义的，由始边旋转一个角度到达终边，其中始边与终边要区分，不能混淆、（2）在描述角度(角的大小)时一定要抓住三点:①要明确旋转方向;②要明确旋转的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置、3、角的分类(1）按旋转方向划分时,先确定角的旋转方向，再确定旋转的绝对量、如射线OA绕端点O逆时针旋转290°到OB的位置,则∠AOB＝290°、(2)今后在学习角时，我们通常把角放在平面直角坐标系中讨论、当角的终边落在坐标轴上时,这个角可以称为象限界角或轴线角、4、任意角概念的四个关注点周期现象的判断判断下列现象就是否就是周期现象、(1)地球自转;(2)某地每年一月份的降雨量；(3)世界杯足球赛的举办时间、(链接教材P4例1，例2，例3)［解](1)就是周期现象、因为地球每24小时自转一周,所以地球自转就是周期现象、(2）不就是周期现象、某地每年一月份的降雨量就是随机的,不就是周期性重复出现的、(3)就是周期现象、世界杯足球赛每隔四年举办一届，就是周期性重复出现的、方法归纳判断某现象就是否为周期现象的依据就是周期现象的特征,即每次都以相同的间隔（比如时间间隔或长度间隔)出现，且现象就是无差别的重复出现、1、(1)试判断下列现象中就是否就是周期现象、①一年二十四节气的变化;②候鸟迁徙；③“随机数表”中数的排列、（2)我们的心跳都就是有节奏的、有规律的,心脏跳动时,血压在增大或减小、下表就是t/s51015202530p/mmHg93、35136、6511593、35136、65115t/s354045505560p/mmHg93、35136、6511593、35136、65115①根据上表数据在坐标系中作出血压p与时间t的关系的散点图;②说明血压变化的规律、解:（1)①一年二十四节气就是重复出现的，就是周期现象、②候鸟迁徙就是周期现象、③随机数表中的数0，1，2,…，9就是随机出现的，不就是周期现象、（2）①散点图如图、②从散点图可以瞧出,每经过相同的时间间隔T(15 s)，血压就重复出现相同的数值,因此，血压就是呈周期性变化的、象限角的判断（1)给出下列四个结论：①－15°就是第四象限角；②185°就是第三象限角；③475°就是第二象限角；④－350°就是第一象限角、其中正确的个数为()A、1B、2C、3D、4（2)若α就是第一象限角,则－α就是第________象限角、（3）已知α＝－1 910°,把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°）的形式,并指出它就是第几象限的角、(链接教材P7例1）［解](1）选D、①－15°就是第四象限角;②180°〈185°<270°就是第三象限角;③475°＝360°＋115°,而90°〈115°〈180°,所以475°就是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°就是第一象限角,所以四个结论都就是正确的、（2)因为α与－α的终边关于x轴对称如图所示、所以－α的终边在第四象限、故填四、（3)法一:作除法运算，注意余数必须非负,得：－1 910÷360＝－6……250,所以α＝250°－6×360°,它就是第三象限的角、法二:设α＝β＋k·360°(k∈Z），则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z),令0°≤－1 910°－k·360°〈360°，解得－6错误!〈k≤－错误!＝－5错误!，k∈Z、所以k的最大整数解为k＝－6,求出相应的β＝250°,于就是α＝250°－6×360°,它就是第三象限的角、在本例（3)中,写出与β的终边互为反向延长线的角γ,并指出它就是第几象限的角、解：当β＝250°时,γ＝250°＋180°＋k·360°＝70°＋（k＋1)·360°＝70°＋k′·360°（其中k′＝k＋1,k∈Z）、即γ＝70°＋n·360°，n∈Z,γ就是第一象限的角、方法归纳判断α就是第几象限角的三个步骤第一步，将α写成α＝k·360°＋β（k∈Z，0°≤β〈360°）的形式、第二步，判断β的终边所在的象限、第三步,根据β的终边所在的象限,即可确定α的终边所在的象限、2、若角α满足α＝45°＋k·180°,k∈Z，则角α的终边落在（）A、第一或第三象限B、第一或第二象限C、第二或第四象限D、第三或第四象限解析:选A、当k＝0时,α＝45°,此时α为第一象限角；当k＝1时,α＝225°,此时α就是第三象限角,故选A、终边落在过原点的直线上的角写出终边在直线y＝x上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°〈β〈720°的元素β写出来、(链接教材P7例2,P8例3)[解]如图，直线y＝x过原点，它向上的方向与x轴正方向的夹角为45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°,225°、因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝｛β｜β＝45°＋k·360°,k∈Z}∪{β｜β＝225°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β|β＝45°＋2k·180°,k∈Z}∪{β｜β＝45°＋(2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝45°＋n·180°，n∈Z｝、由于－360°〈β〈720°，即－360°〈45°＋n·180°〈720°,n∈Z,解得－错误!<n〈错误!，n∈Z、所以n＝－2，－1，0，1，2，3、所以S中适合不等式－360°〈β<720°的元素就是45°－2×180°＝－315°，45°－1×180°＝－135°，45°＋0×180°＝45°,45°＋1×180°＝225°，45°＋2×180°＝405°,45°＋3×180°＝585°、方法归纳（1）写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合,方法步骤就是:①在直角坐标系中画出该直线;②在0°~360°范围内找出满足条件的角;③写出满足条件的角的集合，并注意化简、（2)要写出所得集合中在某个范围内的元素时，先解不等式,确定出n的取值,再逐一代入计算、3、已知角β的终边在直线y＝－x上、（1）写出角β的集合S;（2）写出S中适合不等式－360°〈β<720°的元素、解：（1)如图,直线y＝－x过原点,它就是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：135°,315°、因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝｛β|β＝135°＋k·360°,k∈Z｝∪｛β｜β＝315°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋（2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β｜β＝135°＋n·180°,n∈Z｝、(2）由于－360°<β<720°,即－360°〈135°＋n·180°<720°,n∈Z、解得－错误!<n<错误!，n∈Z、所以n＝－2，－1，0,1,2，3、所以集合S中适合不等式－360°〈β〈720°的元素为：135°－2×180°＝－225°;135°－1×180°＝－45°;135°＋0×180°＝135°；135°＋1×180°＝315°；135°＋2×180°＝495°;135°＋3×180°＝675°、区域角的表示如图所示，写出终边落在阴影部分（实线包括边界,虚线不包括边界）的角的集合、[解］（1)由题图(1)可知,阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边相同的角有60°角,与l2终边相同的角有310°角、所以题图（1）阴影部分中角的集合为S＝{α｜60°＋k×360°≤α≤310°＋k×360°,k∈Z}、(2)由题图(2）知，第一象限内阴影部分中角的集合为S1＝{α｜45°＋k×360°≤α≤90°＋k×360°，k∈Z}、第三象限内阴影部分中角的集合为S2＝{α|225°＋k×360°≤α≤270°＋k×360°，k∈Z｝、所以所求阴影部分中角的集合为S＝S1∪S2＝{α|45°＋2k×180°≤α≤90°＋2k×180°,k∈Z}∪{α｜45°＋(2k＋1)×180°≤α≤90°＋(2k＋1)×180°，k∈Z}＝{α|45°＋n×180°≤α≤90°＋n×180°，n∈Z｝、(3)由题图(3）知，阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由l2旋转至l1,与l2终边相同的角有－30°角,与l1终边相同的角有30°角、所以题图(3)阴影部分中角的集合为S＝{α|－30°＋k×360°<α<30°＋k×360°,k∈Z｝、方法归纳区域角就是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角、其写法可分为三步(1）先按逆时针的方向找到这个区域的起始与终止边界、(2)按由小到大分别标出起始与终止边界对应的－360°到360°范围内的角α与β,写出最简区间｛x｜α〈x<β}、（3）根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α,β加上k·360°（k∈Z）、4、(1）如图所示,写出终边落在图中阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界）的角的集合、(2)已知集合A＝{α|30°＋k×180°〈α<90°＋k×180°，k∈Z},B＝｛β｜－45°＋k×360°<β<45°＋k×360°,k∈Z}、①试在平面直角坐标系内画出集合A与B中的角的终边所在的区域；②求A∩B、解：(1）终边落在第二象限内阴影部分中的角的集合可表示为{α|k ·360°＋135°〈α≤k ·360°＋180°，k ∈Z ｝，终边落在第四象限内阴影部分中的角的集合可表示为{α|k ·360°－15°≤α≤k ·360°，k ∈Z },所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α｜k ·360°＋135°〈α≤k ·360°＋180°或－15°＋k ·360°≤α≤k ·360°,k ∈Z }、（2）①如图所示：集合A 中的角的终边在阴影（Ⅰ)内，集合B 中的角的终边在阴影（Ⅱ)内、②集合A ∩B 中的角的终边在阴影（Ⅰ)与(Ⅱ)的公共部分内，所以A ∩B ＝｛γ|30°＋k ×360°<γ<45°＋k ×360°,k ∈Z }、易错警示 因未能正确理解象限角而出错 已知α就是第三象限角，则错误!就是第几象限角?[解] 因为α就是第三象限角,所以180°＋k ·360°<α<270°＋k ·360°(k ∈Z ),所以60°＋k ·120°<错误!<90°＋k ·120°(k ∈Z )、当k ＝3n （n ∈Z )时，60°＋n ·360°〈α3〈90°＋n ·360°(n ∈Z ）， 所以错误!就是第一象限的角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z ）时，180°＋n ·360°〈α3〈210°＋n ·360°(n ∈Z ），所以错误!就是第三象限的角；当k ＝3n ＋2（n ∈Z )时,300°＋n ·360°<错误!<330°＋n ·360°(n ∈Z ），所以错误!就是第四象限的角、所以错误!就是第一、三、四象限的角、[错因与防范］ (1)仅以180°<α〈270°表示第三象限角就是出错的主要原因、(2)分类讨论：已知角α所在的象限，要求错误!(n ∈N ＋)所在的象限,应把角α写成k ·360°＋β〈α<k ·360°＋γ（k ∈Z ）的形式，再求出k ·360°n＋错误!<错误!<k ·错误!＋错误!(k ∈Z ,n ∈N ＋)，分别取k ＝0,1,2，…,n －1，即可确定错误!所在的象限、（3)几何法(八卦图法)几何法判定错误!,错误!，…，错误!角的终边所在象限的具体步骤如下:先将直角坐标系各象限平均分成n 份，再从x 轴上方起逆时针依次将各区域标1，2，3,4,1，2,3,4，…,直至填充所有区域,最后由α原来就是第几象限角对应的标号所在象限，即为错误!终边所在象限、5、（1）已知α为第三象限角,则错误!所在的象限就是（ ）A 、第一或第二象限B 、第二或第三象限C 、第一或第三象限D 、第二或第四象限（2)已知θ角的终边与168°角的终边相同，则在0°~360°范围内终边与错误!角的终边相同的角就是________、解析:（1）法一：因为α为第三象限角,所以k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ,所以k ·180°＋90°<错误!<k ·180°＋135°，k ∈Z 、当k ＝2n (n ∈Z )时，有n ·360°＋90°<错误!〈n ·360°＋135°,n ∈Z ,此时错误!就是第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z ）时,有n ·360°＋270°<错误!<n ·360°＋315°,n ∈Z ，此时错误!就是第四象限角、所以错误!就是第二或第四象限角、法二:（八卦图法)如图阴影部分(不包含边界）所示,α2所在的象限就是第二或第四象限、 (2)由已知,得θ＝k ·360°＋168°，k ∈Z ,所以错误!＝k ·120°＋56°，k ∈Z 、又因为0°≤k ·120°＋56°〈360°,满足上式的k 值为k ＝0,1,2，所以在0°～360°范围内，终边与θ3角的终边相同的角就是56°，176°,296° 答案:（1)D (2）56°,176°,296°1、下列现象不就是周期现象的就是( )A 、挂在弹簧下方做上下振动的小球B 、游乐场中摩天轮的运行C 、抛一枚骰子,向上的数字就是奇数D 、太阳的东升西落解析：选C 、A ，B ，D 所述都就是周期现象,而C 中“向上的数字就是奇数"不就是周期现象、2、下列各角中与330°角终边相同的角就是( )A 、510°B 、150°C 、－150°D 、－390°解析:选D 、所有与330°角终边相同的角可表示为α＝330°＋k ·360°,当k ＝－2时,得α＝－390°，故选D 、3、从13：00到14:00，时针转过的角度为________，分针转过的角度为________、 解析:经过1小时，时针顺时针转过了30°,分针顺时针转过了360°、答案：－30° －360°4、若α＝－510°,则α就是第________象限角、解析：由于α＝－510°＝－2×360°＋210°,所以α就是第三象限角、答案:三［A 、基础达标］1、下列说法正确的就是( )A 、终边相同的角都相等B 、钝角比第三象限角小C 、第一象限角都就是锐角D 、锐角都就是第一象限角解析：选D 、终边相同的角相差360°的整数倍，并不一定相等,故A 错误;钝角并不一定比第三象限角小，如－135°就是第三象限角,显然－135°比钝角小,故B 错；锐角一定就是第一象限角,但第一象限角未必都就是锐角，故D 正确,C 错误、2、某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉,其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放,那么第2 015盆花的颜色为（）A、红B、黄C、紫D、白解析:选C、因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白…的顺序摆放,所以以4为一个周期,则2 015÷4＝503……3，所以第2 015盆花为紫色、3、－495°角的终边所在的象限就是(）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限解析：选C、－495°＝－2×360°＋225°,因为225°就是第三象限角,所以－495°就是第三象限角、4、终边与坐标轴重合的角α的集合就是（)A、{α|α＝k·360°，k∈Z｝B、{α|α＝k·180°＋90°,k∈Z｝C、{α｜α＝k·180°，k∈Z}D、{α｜α＝k·90°，k∈Z}解析：选D、终边落在x轴上的角α的集合为S1＝{α｜α＝k·180°,k∈Z}，终边落在y轴上的角α的集合为S2＝{α|α＝90°＋k·180°,k∈Z},因此，终边落在坐标轴上的角α的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝k·90°，k∈Z｝、5、在直角坐标系中,若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，α与β的终边关于y轴对称，则α与β关系为()A、α＋β＝360°B、α＋β＝（2k－1）·180°（k∈Z）C、α＋β＝k·180°（k∈Z）D、α＋β＝k·360°(k∈Z)解析:选B、如图所示,因为α与β的终边关于y轴对称，所以α角的终边逆时针旋转（180°－2α）就与β角终边重合、所以β＝k·360°＋(180°－2α)＋α，所以α＋β＝k·360°＋180°＝（2k＋1）·180°(k∈Z)、因为当k为整数时,2k－1与2k＋1都表示奇数,所以α＋β＝（2k－1)·180°（k∈Z)、6、今天就是星期二,从今天算起，27天后的那一天就是星期________,第50天就是星期________、解析:每周有7天，27＝3×7＋6，故27天后的那一天就是星期一;50＝7×7＋1,故第50天就是星期二、答案：一二7、与2 015°角的终边相同的最小正角就是________、解析:因为2 015°＝5×360°＋215°,所以215°为最小正角、答案：215°8、设集合M＝｛α｜α＝－36°＋k·90°,k∈Z｝，N＝{α|－180°〈α〈180°｝,则M∩N ＝________、解析:对于M,当k＝－1时,α＝－126°；当k＝0时,α＝－36°；当k＝1时,α＝54°;当k＝2时，α＝144°,故M∩N＝{－126°，－36°，54°,144°}、答案：｛－126°，－36°,54°,144°}9、如图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合,并指出－950°12′就是否就是该集合中的角、解：阴影部分(包括边界)的角的范围就是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z,所求集合为{α｜k·360°≤α≤k·360°＋125°,k∈Z},因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不就是该集合中的角、10、已知角β的终边在直线错误!x－y＝0上，写出角β的集合S、解：如图,直线错误!x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角为60°，终边落在射线OB上的角就是240°,所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为：S1＝｛β|β＝60°＋k·360°,k∈Z｝，S2＝｛β｜β＝240°＋k·360°,k∈Z｝、所以β角的集合S＝S1∪S2＝{β｜β＝60°＋k·360°,k∈Z}∪｛β|β＝60°＋180°＋k·360°,k∈Z}＝｛β｜β＝60°＋2k·180°，k∈Z｝∪{β|β＝60°＋（2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β｜β＝60°＋n·180°，n∈Z}、[B、能力提升］1、若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°,k∈Z},N＝｛x|x＝90°＋k·45°,k∈Z}，则（)A、M＝NB、N MC、M ND、M∩N＝∅解析：选C、M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}＝｛x|x＝（2k＋1)·45°，k∈Z},N＝｛x|x＝90°＋k·45°,k∈Z｝＝{x|x＝（k＋2）·45°,k∈Z}、因为k∈Z,所以k＋2∈Z，且2k＋1为奇数，所以M N,故选C、2、如图所示,变量y随x的变化呈周期性变化、在区间［－1，11]上,直线y＝错误!与函数y＝f(x）的图像交点的个数为（)A、10B、12C、13D、15解析:选B、由图可知周期为2,区间［－1,11］的长度为6个周期，在每个周期内y＝错误!与y＝f（x）的交点有2个,故所求交点个数为2×6＝12、3、若角α满足180°〈α〈360°，角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边，那么角α＝________、解析:由于5α与α的始边与终边相同，所以这两角的差应就是360°的整数倍,即5α－α＝4α＝k·360°、又180°<α〈360°,令k＝3，得α＝270°、2016高中数学人教A版必修四第一章 1周期现象、 2角的概念的推广 Word练习题含答案答案：270°4、有白、黑两种颜色的圆片按以下规律排列、则第100个图片的颜色就是________、解析：由图可知,第5个,第10个,第15个,……第5n个均为黑色圆片、100＝5×20,因此第100个圆片为黑色、答案:黑色5、(1）已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合,指出下列各角就是第几象限角,以及0°～360°范围内与其终边相同的角、a、485°;b、－35°；c、770°;d、－500°、(2)若β就是第四象限角,试确定180°－β就是第几象限角、解析:(1）a、485°＝125°＋360°,所以在0°～360°范围内，与485°终边相同的角就是125°，所以485°就是第二象限角、b、－35°＝325°－360°，所以在0°～360°范围内,与－35°终边相同的角就是325°,所以－35°就是第四象限角、c、770°＝50°＋2×360°，所以在0°～360°范围内,与770°终边相同的角就是50°,所以770°就是第一象限角、d、－500°＝220°－2×360°，所以在0°～360°范围内，与－500°终边相同的角就是220°,所以－500°就是第三象限角、(2）因为β就是第四象限角，所以－90°＋k·360°〈β<k·360°（k∈Z）,所以－k·360°<－β<90°－k·360°（k∈Z）,所以180°－k·360°〈180°－β〈270°－k·360°(k∈Z),所以180°－β就是第三象限角、6、(选做题）如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx＝45°、点P从点A出发,按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转、已知点P在1 s内转过的角度为θ（0°〈θ〈180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A,求角θ并判定其终边所在的象限、解:由题意，得14θ＋45°＝45°＋k·360°，k∈Z，则θ＝错误!,k∈Z、又180°<2θ＋45°<270°,即67、5°〈θ<112、5°，则67、5°〈错误!<112、5°,k∈Z,所以k＝3或k＝4、故θ＝错误!或θ＝错误!、易知0°〈错误!〈90°，90°<错误!<180°，故角θ的终边在第一或第二象限、。
高中 必修四 角和弧度制 知识点+例题
任意角和弧度制及任意角的三角函数1、任意角 （1）角概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角； ②按终边位置不同分为象限角和轴线角。
（2）终边相同的角终边与角α相同的角可写成α+k ·360o(k ∈Z)。
（3）象限角及其集合表示注：终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k π, k ∈Z };终边在y 轴上的角的集合为{α|α=k π+2π, k ∈Z };终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=2k π, k ∈Z } 2、弧度制 （1）1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示。
（2）角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=l /r. （3）角度与弧度的换算①10=π/180rad;②1rad=（180/π）0. （4）弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r 。
又l =r α,则扇形的面积为S=12l r=12r 2α3、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαy/x叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ+ + + Ⅱ+ - - Ⅲ- - + Ⅳ- + - 口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦终边相同角三角函数值(k∈Z)（公式一）sin(α+k·2π)=sinαcos(α+k·2π)=cosαtan(α+k·2π)=tanα三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线注：根据三角函数的定义，y=sinx在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同；y=cosx在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同；y=tanx在各象限的符号与此象限点的纵坐标与横坐标商的符号相同。
4、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α=1;（2）商数关系：sintan cosααα=题型分析1、三角函数的定义※相关链接※（1）已知角α终边上上点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的α值。
高一数学-教材习题解析(角的概念的推广) 精品
［教材习题解析］方法点拨练习（第7页）1.锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角；直角是非象限角；钝角是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角.2. 三，三，五.3.（1）第一象限；（2）第四象限；（3）第二象限；（4）第三象限.如下图:4.（1角是305°42（2）35°8′，它是第一象限角.（3）－1190°30′=249°30′－4×360°，所以与角－1190°30′终边相同的角是249°30′，它是第三象限角.（4）1563°=123°+4×360°，所以与角1563°终边相同的角是123°，它是第二象限角.5.（1）｛β|β=45°+k·360°，k∈Z｝，－675°，－315°，45°;（2）｛β|β=－30°+k·360°，k∈Z｝，－390°，－30°，330°;（3）{β|β=1303°18′+k·360°，k∈Z}，－496°42′，－136°42′，223°18′;（4）｛β|β=－225°+k·360°，k∈Z｝，－585°，－225°，135°.习题4.1（第7页）1.（1）95°，第二象限；（2）105°14′，第二象限；（3）80°，第一象限；（4）236°50′，第三象限；（5）345°，第四象限；（6）300°，第四象限；（7）200°24′，第三象限；（8）23°15′，第一象限.2.S=｛α|α=k·180°，k∈Z｝.3.（1）｛β|β=60°+k·360°，k∈Z｝，－300°，60°;（2）｛β|β=－75°+k·360°，k∈Z｝，－75°，285°;（3）｛β|β=－824°30′+k·360°，k∈Z｝，－104°30′，255°30′;（4）｛β|β=475°+k·360°，k∈Z｝，－245°，115°;（5）｛β|β=90°+k·360°，k∈Z｝，－270°，90°;（6）｛β|β=270°+k·360°，k∈Z｝，－90°，270°;（7）｛β|β=180°+k·360°，k∈Z｝，－180°，180°;（8）｛β|β=k·360°，k∈Z｝，－360°，0°.锐角（钝角）是第一（第二）象限角的充分不必要条件.利用同余确定星期几.正角是按逆时针方向旋转形成的，负角是按顺时针方向旋转形成的.可先利用草式除法把所给的角化成k·360°+α，k∈Z，α∈［0°，360°）的形式，再决定它所在的象限.先写成与角α终边相同的角的集合的形式，再试着代入整数k的值，把符合要求的元素写出来.先用草式除法把所给的角表示成α+k·360°，k∈Z，α∈［0°，360°］的形式，再判断其所在的象限.先写成与角α终边相同的角的集合的形式，再解不等式，确定k的值，最后把k的值代入，找出符合条件的元素.4.第一象限角的集合S 1=｛α|k ·360°<α<90°+k ·360°，k ∈Z ｝，第二象限角的集合 S 2=｛α|90°+k ·360°<α<k ·360°+180°，k ∈Z ｝，第三象限角的集合S 3=｛α|180°+k ·360°<α<270°+k ·360°，k ∈Z ｝，第四象限角的集合S 4={α|270°+k ·360°<α<（k +1）·360°，k ∈Z }.5.（1）C ；（2）A.解：（1）∵α是锐角，∴0°<α<90°.∴0°<2α<180°.选C.（2）∵α是钝角，∴90°<α<180°.∴45°<2 <90°.选A.先利用终边相同的角的集合表示象限区域的边界角，再运用不等式把它们连接起来即可.也可采用特殊值代入法排除错误答案求解.。
角的概念的推广典型例题
典型例题
角的概念问题
例题1 判断下列命题是否正确？ 例题1：判断下列命题是否正确？ 终边与始边重合的角是零角； （1）终边与始边重合的角是零角； 终边与始边都相同的角一定相等； （2）终边与始边都相同的角一定相等； 锐角都在第一象限； （3）锐角都在第一象限； 小于90 的角都是锐角； （4）小于90。的角都是锐角； 的角的终边方向相反； （5）30。与-30。的角的终边方向相反； （6）第二象限的角为钝角
例题 已知角α 的终边相同，那么α 已知角α、β的终边相同，那么α-β的 终边在 上
终边为坐标轴的角的集合
（1）终边在x轴的非负半轴上： 终边在x轴的非负半轴上：
（2）终边在x轴的非正半轴上： 终边在x轴的非正半轴上： α | α =180 + k •360 , k ∈Z
{ | α = k •360 , k ∈Z} α
{α | α = 90 + k •180 , k ∈Z}
{α | α = k •90 , k ∈Z}
（7）终边在x轴或y轴上 终边在x轴或y
（6）终边在y轴上 终边在y
已知角α所在象限， 已知角α所在象限，求 限问题
α α所在象 2α、 、
2 3
例题：已知α 例题：已知α是第二象限 角，求
α
2
是第几象Байду номын сангаас角
与α终边相同的角问题
例题：已知α=1690。。 例题：已知α=1690 （1）把α改写成 β + k •360 k ∈Z.0 ≤ β < 360 的 形式。 形式。 的终边与α相同， （2）求θ，使θ的终边与α相同， 并判断θ 且 360 < θ < 360 ，并判断θ属于第几象限 −
(完整版)角的概念的推广练习题
角的概念的推广练习题班级________ 姓名________一、选择题：1、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360° 2．若α 是第四象限角，则2α是（ ）． A ．第二象限角 B ．第三象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四限角 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝4、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C5.下列各角中，与-1050°的角终边相同的角是 ( )︒︒︒︒30-D C30 60-B. 60.A6.若α是锐角，则180°－α是( )A.第一象限角B.第二角限角C.第三象限角D.第四象限角 7、如果x 是第一象内的角，那么（ ）（A ）x 一定是正（B ）x 一定是锐角（C ）-3600<x <-2700或00<x <900 （D ）x ∈{x ∣k ⋅3600<x <k ⋅3600+900 k ∈Z }8、设A={θ∣θ为正锐角}，B={θ∣θ为小于900的角}， C={θ∣θ为第一象限的角}，D={θ∣θ为小于900的正角}。
高中数学角的概念的推广习题有答案解析
角的概念的推广一、选择题1.下列命题中正确的是( )A.第一象限的角必是锐角B.终边相同的角必相等C.相等角的始边相同时,终边位置必相同D.不相等的角终边位置必不相同2.-1 122°角的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列各组角中,终边相同的角是( )A.390°与690°B.-330°与750°C.480°与-420°D.300°与-840°4.已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则下列关系中正确的是( )A.A=B=CB.A⫋CC.A∩C=BD.B∪C=C5.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B=()A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}6.已知α为第三象限角,则α所在的象限是( )2A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限二、填空题7.若将时钟拨慢5分钟,则分针转了度;时针转了度.8.设集合M={α|α=k·90°,k∈Z}∪{α|α=k·180°+45°,k∈Z},N={β|β=k·45°,k∈Z},则集合M 与集合N的关系是.三、解答题9.求终边在直线y=-x上的角的集合S.10.已知α=-1 910°.(1)将α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出α所在象限;(2)求θ,使θ与α终边相同,且-720°≤θ<0°.11.已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内,求α.一、选择题1.200°是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.若α是第四象限角,则180°-α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角二、解答题3.已知集合A={α|30°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°≤β≤45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.4.如图所示.(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.一、选择题1.C 可用排除法,如390°角在第一象限,不是锐角,故排除A;终边相同的角相差360°的整数倍,如390°角与30°角终边相同,但两角不相等,故排除B;390°角与30°角不相等但终边相同,故排除D.故选C.2.D 因为-1 122°=-4×360°+318°,所以-1 122°角的终边所在的象限是第四象限.3.B 若α与β终边相同,则α-β=k·360°,k∈Z,750°=-330°+3×360°.4.D 由题意得A={α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z},B={α|0°<α<90°},C={α|α<90°},∴B∪C=C.5.C 由-180°<k·90°-36°<180°(k∈Z)得-144°<k·90°<216°(k∈Z),∴-14490<k<21690(k∈Z),∴k=-1,0,1,2,∴A∩B={-126°,-36°,54°,144°},故选C.6.D 由k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,得k 2·360°+90°<α2<k 2·360°+135°,k∈Z. 当k 为偶数时,α2为第二象限角;当k 为奇数时,α2为第四象限角.二、填空题7.答案 30;2.5解析 将时钟拨慢5分钟,分针、时针都是按逆时针方向转动,转过的角度都是正角.这时,分针转过的角度是360°12=30°, 时针转过的角度是30°12=2.5°.8.答案 M ⫋N解析 集合M 中的各类角的终边用直线(包括坐标轴所在的直线)表示如图①.集合N 中的各类角的终边用直线(包括坐标轴所在的直线)表示如图②.比较图①和图②,不难得出M ⫋N.三、解答题9.解析 因为直线y=-x 是第二、四象限的角平分线,在0°~360°之间所对应的两个角分别是135°和315°,所以S={α|α=k·360°+135°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+315°,k∈Z}={α|α=2k·180°+135°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+135°,k∈Z}={α|α=n·180°+135°,n∈Z}.10.解析(1)-1 910°=-6×360°+250°,因为250°角为第三象限角,所以-1 910°角为第三象限角.(2)θ为-110°或-470°.11.解析在0°~360°范围内,终边落在阴影部分的角为30°<α<150°或210°<α<330°,所以满足题意的角α={α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}= {α|2k·180°+30°<α<2k·180°+150°,k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°+30°<α<(2k+1)·180°+150°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.一、选择题1.C 200°是第三象限角.2.C 若α是第四象限角,则-α是第一象限角,将-α的终边逆时针转180°到第三象限,故180°-α是第三象限角.二、解答题3.解析如图,集合A中的角的终边在阴影(Ⅰ)内,集合B中的角的终边在阴影(Ⅱ)内,因此集合A∩B={α|30°+k·360°≤α≤45°+k·360°,k∈Z}.4.解析(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.(2)由题图可知,在-180°~180°范围内,终边落在阴影部分的角β满足-30°≤β≤135°,因此所求角的集合是所有与之终边相同的角组成的集合,故该集合可表示为{γ|-30°+k·360°≤γ≤135°+k·360°,k∈Z}.。
北师大版高中数学必修4-第一章三角函数-2角的概念的推广-典题题库
北师大版高中数学必修4-第一章三角函数-2角的概念的推广一、选择题(共36小题,每小题5.0分,共180分)1.下列说法正确的是()A．小于90°的角是锐角B．钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角C．第三象限的角大于第二象限的角D．角α与角β的终边相同，角α与角β可能不相等【答案】D【解析】小于90°的角除了锐角还有零角与负角，故A错；钝角必是第二象限角，但第二象限角不一定为钝角，故B错；第三象限角不一定大于第二象限角，如224°，500°，故C错；D正确.2.与－457°角的终边相同的角的集合是()A． {α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B． {α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C． {α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D． {α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}【答案】C【解析】由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.3.下列角中终边与330°相同的角是()A． 30°B．－30°C． 630°D．－630°【答案】B【解析】由题意可知330°＝－30°＋1×360°.4.与405°角终边相同的角是()A．k·360°－45°，k∈ZB．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z【答案】C【解析】405°＝360°＋45°，故选C.5.与1 303°终边相同的角是()A． 763°B． 493°C．－137°D．－47°【答案】C【解析】终边与1 303°相同的角是k·360°＋1 303°，k∈Z.∴k＝－4时，k·360°＋1 303°＝－137°，故选C.6.若角α，β的终边互为反向延长线，则()A．α＋β＝0°B．α－β＝180°C．α－β＝2k·180°D．α－β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)【答案】D【解析】因为角α，β的终边互为反向延长线，所以两角相差180°的整数倍，所以α－β＝(2k＋1)·180°(k∈Z).7.下列命题正确的是()A．小于90°的角一定是锐角B．终边相同的角一定相等C．终边落在直线y＝x上的角可以表示为k·360°＋60°，k∈ZD．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角【答案】D【解析】小于90°的角可以是锐角、零角及负角，故A错；终边相同的角相差360°的整数倍，故B 错；终边落在直线y＝x上的角可以表示为k·180°＋60°，k∈Z，故C错；D中的三个角相差360°的整数倍.8.集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是()A．答案AB．答案BC．答案CD．答案D【答案】C【解析】当k＝2n时，{α|2n·180°＋45°≤α≤2n·180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和45°≤α≤90°的终边一样.当k＝2n＋1时，{α|2n·180°＋180°＋45°≤α≤2n·180°＋180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和225°≤α≤270°的终边一样.9.已知0°＜θ＜180°，且θ角的6倍角的终边和θ角终边重合，则满足条件的角θ为()A． 72°或144°B． 72°C． 144°D．不能确定【答案】A【解析】∵θ角的6倍角的终边和θ角终边重合，∴6θ＝θ＋k·360°，k∈Z，∴θ＝k·72°，∵0°＜θ＜180°，0°＜k·72°＜180°，∵k∈Z，∴k＝1,2，∴θ＝72°或144°.10.若角α，β终边相同，则α－β终边在()A．x轴非负半轴上B．y轴非负半轴上C．x轴上D．y轴上【答案】A【解析】角α，β终边相同可表示为α＝k·360°＋β，k∈Z.∴α－β＝k·360°，k∈Z，α－β终边在x轴非负半轴上.11.在(－360°，0°)内与角1 250°终边相同的角是()A． 170°B． 190°C．－190°D．－170°【答案】C【解析】与1 250°角的终边相同的角α＝1 250°＋k·360°，因为－360°＜α＜0°，所以－＜k＜－.因为k∈Z，令k＝－4，得α＝－190°.12.若角2α与240°角的终边相同，则α等于()A． 120°＋k·360°，k∈ZB． 120°＋k·180°，k∈ZC． 240°＋k·360°，k∈ZD． 240°＋k·180°，k∈Z【答案】B【解析】角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z，选B.13.下列角中，终边在y轴正半轴上的是()A．B．C．πD．【答案】B【解析】终边落在y轴正半轴上的角的集合为A＝{α|α＝＋2kπ，k∈Z}，取k＝0，得α＝.14.终边与x轴重合的角α的集合是()A． {α|α＝k·360°，k∈Z}B． {α|α＝k·180°，k∈Z}C． {α|α＝k·90°，k∈Z}D． {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}【答案】B【解析】设终边在x轴上的角为α，当α在x轴正半轴时，α＝k·360°＝2k·180°，其中k∈Z；当α在x轴负半轴时，α＝2k·180°＋180°＝(2k＋1)·180°，其中k∈Z，综上所述：α的集合是{α|α＝k·180°，k∈Z}.15.终边与y轴重合的角α的集合是()A． {α|α＝k·360°，k∈Z}B． {α|α＝k·180°，k∈Z}C． {α|α＝k·90°，k∈Z}D． {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}【答案】D【解析】设终边在y轴上的角为α，当α在y轴正半轴时，α＝n·360°＋90°，其中n∈Z；当α在y轴负半轴时，α＝n·360°＋270°，其中n∈Z，综上所述：α的集合是{α|α＝k·180°＋90°，n∈Z}.16.终边与坐标轴重合的角α的集合是()A． {α|α＝k·360°，k∈Z}B． {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C． {α|α＝k·180°，k∈Z}D． {α|α＝k·90°，k∈Z}【答案】D【解析】终边为x轴的角的集合M＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，终边为y轴的角的集合P＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}，设终边为坐标轴的角的集合为S，则S＝M∪P＝{α|α＝k·180°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝n·90°，n∈Z}.17.若角α满足α＝k·120°＋30°(k∈Z)，则α的终边一定在()A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x轴非负半轴上D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【答案】D【解析】当k＝3n，n∈Z时，α＝n·360°＋30°，为第一象限角；当k＝3n＋1，n∈Z时，α＝n·360°＋150°，为第二象限角；当k＝3n＋2，n∈Z时，α＝n·360°＋270°，为y轴非正半轴上的角.则α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.18.角θ终边上一点的坐标为(0,1)，则角θ不可能是()A． 90°B． 180°C． 450°D．－270°【答案】B【解析】显然90°，450°，－270°角的终边在y轴的正半轴上，而180°角的终边在x轴的负半轴上，故选B.19.A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限角}，则A∩B等于()A． {锐角}B． {小于90°的角}C． {第一象限角}D．以上都不对【答案】D【解析】小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限的角包含有锐角及其他终边在第一象限的角，所以A∩B是由锐角和终边在第一象限的负角组成的集合，故选D.20.400°角终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】400°＝360°＋40°，∵40°是第一象限，∴400°角终边所在象限是第一象限.21.－1 120°角所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限.22.若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α是第几象限角()A．一或三B．一或二C．二或四D．三或四【答案】A【解析】当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角.23.－361°的终边落在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】负角是顺时针旋转，由题意知顺时针旋转一圈之后是360°，然后再顺时针旋转1°，恰好落在第四象限.24.给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有()A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个【答案】D【解析】对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角.25.已知α为第三象限角，则所在的象限是()A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限【答案】D【解析】由于k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z，得·360°＋90°＜＜·360°＋135°，k∈Z.当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角.26.若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.27.在－390°，－885°，1 351°，2 012°这四个角中，其中第四象限角的个数为()A． 0B． 1C． 2D． 3【答案】C【解析】∵－390°＝－360°＋(－30°)，－30°是第四象限角，∴－390°是第四象限角；∵－885°＝－3×360°＋195°，195°是第三象限角，∴－885°是第三象限角；∵1 351°＝3×360°＋271°，271°是第四象限角，∴1 351°是第四象限角；∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角，∴2 012°是第三象限角.28.已知α是第一象限角，则角的终边不可能落在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】∵α是第一象限角，∴k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，∴·360°＜＜·360°＋30°.当k＝3m，m∈Z时，m·360°＜＜m·360°＋30°，∴角的终边落在第一象限.当k＝3m＋1，m∈Z时，m·360°＋120°＜＜m·360°＋150°，∴角的终边落在第二象限.当k＝3m＋2，m∈Z时，m·360°＋240°＜＜m·360°＋270°，∴角的终边落在第三象限，故选D.29.设α是第二象限角，则的终边不在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】360°·k＋90°＜α＜360°·k＋180°，k∈Z，则120°·k＋30°＜＜120°·k＋60°，k∈Z，角终边不在第三象限.k取0或1或－1等.30.以下各角中，是第三象限角的为()A． 580°B． 120°C． 700°D． 400°【答案】A【解析】若x是第三象限角，则360°·k＋180°＜x＜360°·k＋270°，k∈Z；当k＝1时，580°是第三象限角.31.下列四个命题中，正确的是()A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角【答案】B【解析】若x是锐角，则0°＜x＜90°；若x是第一象限角，则360°·k＋0°＜x＜360°·k＋90°，k∈Z；所以锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角.32.已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C关系是()A．B＝A∩CB．B∪C＝CC．A⊂CD．A＝B＝C【答案】B【解析】B={x|0°＜x＜90°}，C={x|x＜90°}，则集合B是集合C的子集，故B∪C=C.33.－215°在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】设x是第二象限角，则360°·k＋90°＜x＜360°·k＋180°，k∈Z；k＝－1时，－215°∈{x|－270°＜x＜－180°}.34.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是()A．－α为第二象限角B． 180°－α为第二象限角C． 180°+α为第一象限角D． 90°+α为第四象限角【答案】B【解析】若α是第三象限角，则360°·k＋180°＜α＜360°·k＋270°；则360°·k＋90°＜－α＜360°·k＋180°，360°·k＋270°＜180°－α＜360°·k＋360°此时为第四象限角.35.角－2 015°所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】∵－2 015°=－360°×6＋145°，而90°＜145°＜180°，∴角－2 015°所在的象限为第二象限.36.下列说法正确的是()A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角【答案】A【解析】由于锐角范围是(0°，90°)，显然是第一象限角；－200°是第二象限角，但不是钝角；380°是第一象限角，但不是锐角；390°是第四象限角，但不是负角，故选A.二、填空题(共12小题,每小题5.0分,共60分)37.若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.【答案】270°【解析】由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°＜α＜360°，令k＝3，得α＝270°.38.若角β的终边与60°角的终边相同，在[0°，360°)内，终边与的终边相同的角为________.【答案】20°，140°，260°【解析】因为角β的终边与60°角的终边相同，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)，所以＝k·120°＋20°，分别取k＝0,1,2时即可.39.落在y＝x(x≥0)上的角α的集合是________.【答案】{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}【解析】由于x≥0，故在(0°，90°)内，终边落在y＝x上的角为45°，所以α的集合为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}.40.与角－2 138°的终边相同且绝对值最小的角是________.【答案】22°【解析】∵－2 138°＝－6×360°＋22°，∴22°与－2 138°的终边相同，且绝对值最小，故满足要求的角为22°.41.若角α的终边与－60°的终边相同，且α∈[0°，360°]，则角α＝________.【答案】300°【解析】角α的终边与－60°的终边相同，设α＝k·360°－60°，k∈Z，则只有当k＝1时，α＝300°∈[0°，360°].42.与2 013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________.【答案】213°－147°【解析】与2 013°终边相同的角为2 013°＋k·360°(k∈Z).当k＝－5时，213°为最小正角；当k＝－6时，－147°为绝对值最小的角.43.把－495°表示成k·360°＋θ(k∈Z)的形式，且使|θ|最小，则θ＝________.【答案】－135°【解析】－495°＝－135°－360°，它的终边与－135°的终边相同，且|θ|最小.44.在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角为________.【答案】－160°，200°【解析】∵2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，∴在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个.45.－1 040°角在第________象限.【答案】一【解析】与－1 040°角终边相同的角可表示为α＝k·360°＋(－1 040°)，当k＝3时，α＝40°，所以－1 040°角与40°角的终边相同，故－1 040°角的终边在第一象限.46.角1 539°在第________象限.【答案】二【解析】∵1 539°＝4×360°＋99°，且99°为第二象限角，∴1 539°是第二象限角.47.－710°在第________象限.【答案】一【解析】∵－710°＝－720°＋10°＝－2×360°＋10°，∴－710°与10°角的终边相同，为第一象限角.48.若θ为锐角，则β＝180°·k＋θ(k为整数)是第________象限的角.【答案】一、三【解析】∵θ为锐角，是第一象限的角，则当k为偶数时，β＝180°·k＋θ(k为整数)是第一象限角；当k为奇数时，β＝180°·k＋θ(k为整数)是第三象限角.∴若θ为锐角，则β＝180°·k＋θ(k为整数)是第一、三象限的角.三、解答题(共26小题,每小题12.0分,共312分)49.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界).【答案】(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.【解析】50.写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.【答案】由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为：{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}.∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴3≤k＜6(k∈Z).故取k＝4,5,6.k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.【解析】51.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合.【答案】(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}.(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}.【解析】52.已知角β的终边在直线x－y＝0上.(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素.【答案】(1)如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}. (2)由于－360°＜β＜720°，即－360°＜60°＋n·180°＜720°，n∈Z.解得－＜n＜，n∈Z，所以n＝－2，－1,0,1,2,3.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.【解析】53.已知α、β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求α、β的大小.【答案】因为α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，所以α＋β＝－280°＋360°·k，α－β＝670°＋360°·k；两式相加，2α＝390°＋720°·k＝360°＋30°＋720°·k＝30°＋720°·k；α＝15°＋360°·k；因为α，β是锐角，所以α＝15°，β＝65°.【解析】54.在0°～360°范围内，找出与－950°12′终边相同的角，并判定它是第几象限角.【答案】∵－950°12′＝－1 080°＋129°48′＝－3×360°＋129°48′.∴在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′.129°48′是第二象限角.∴－950°12′是第二象限角.【解析】55.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，α＝－510°.(1)在如图直角坐标系中画出角α的终边，并指出α是第几象限角；(2)在0°～360°内找出与α终边相同的角，并写出所有与α终边相同的角(包括α)构成的集合.【答案】(1)角α的终边如图，α是第三象限角；(2)在0°～360°内与α终边相同的角为210°，所有与α终边相同的角(包括α)构成的集合为：{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}.【解析】56.已知α＝－1 910°.(1)把角α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，指出它是第几象限的角；(2)求出θ的值，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.【答案】(1)∵－1 910°＝－6×360°＋250°，180°＜250°＜270°，∴把角α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式为：－1 910°＝－6×360°＋250°，∴它是第三象限的角.(2)∵θ与α的终边相同，∴令θ＝k·360°＋250°，k∈Z，k＝－1，k＝－2满足题意，得到θ＝－110°，－470°.【解析】57.写出终边在如图所示直线上的角的集合.【答案】(1)在0°～360°范围内，终边在x轴上的角有两个，即0°和180°，因此所有与0°角的终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°的终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}.于是，终边落在x轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}.(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°.因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}.(3)终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，于是所求角的集合S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·90°，n∈Z}.【解析】58.如图所示，阴影表示角α终边所在的位置，写出角α的集合.【答案】(1)终边落在x轴非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，终边落在60°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}，终边落在130°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋130°，k∈Z}，终边落在220°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋220°，k∈Z}，∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°≤α≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|k·360°＋130°≤α≤k·360°＋220°，k∈Z}，(2)终边落在75°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋75°，k∈Z}，终边落在－45°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}，故终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°－45°≤α＜k·360°＋75°，k∈Z}.【解析】59.在角α的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中：(1)有几种终边不相同的角？(2)有几个大于－360°且小于360°的角？(3)写出其中是第二象限的角的一般表示法.【答案】(1)当k＝4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3，n∈Z时，在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.(2)由－360°＜k·90°＋45°＜360°，得－＜k＜.又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.所以在给定的集合中大于－360°且小于360°的角共有8个.(3)其中是第二象限的角可表示成k·360°＋135°，k∈Z.【解析】60.写出如图所示阴影部分的角α的范围.【答案】(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°＜α≤45°＋k·360°，k∈Z}.(2)同理可表示图(2)中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.【解析】61.已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，指出下列各角是第几象限角，以及0°～360°范围内与其终边相同的角.①485°；②－35°；③770°；④－500°.【答案】①485°＝125°＋360°，所以在0°～360°范围内，与485°终边相同的角是125°，所以485°是第二象限角.②－35°＝325°－360°，所以在0°～360°范围内，与－35°终边相同的角是325°，所以－35°是第四象限角.③770°＝50°＋2×360°，所以在0°～360°范围内，与770°终边相同的角是50°，所以770°是第一象限角.④－500°＝220°－2×360°，所以在0°～360°范围内，与－500°终边相同的角是220°，所以－500°是第三象限角.【解析】62.在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角.【答案】(1)与角10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.【解析】63.判断下列各组角中，哪些是终边相同的角.(1)k·90°与k·180°＋90°(k∈Z)；(2)k·180°±60°与k·60°(k∈Z)；(3)(2k＋1)·180°与(4k±1)·180°(k∈Z)；(4)k·180°＋30°与k·180°±30°(k∈Z).【答案】(1)由于k·90°表示90°的整数倍，而k·180°＋90°＝(2k＋1)·90°表示90°的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角.(2)由于k·180°±60°＝(3k±1)·60°表示60°的非3的整数倍.而k·60°表示60°的整数倍，故这两个角不是终边相同的角.(3)由于(2k＋1)·180°表示180°的奇数倍，(4k±1)·180°也表示180°的奇数倍，故(2k＋1)·180°与(4k±1)·180°(k∈Z)是终边相同的角.(4)由于k·180°＋30°＝(6k＋1)·30°表示30°的(6k＋1)倍，而k·180°±30°＝(6k±1)·30°表示30°的(6k±1)倍，故这两个角不是终边相同的角.【解析】64.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.【答案】(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.【解析】65.在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角.【答案】(1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同.由－720°≤k·360°＋147°＜720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.【解析】66.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β≤360°的元素β写出来：(1)60°；(2)－75°；(3)－824°30′；(4)475°；(5)90°；(6)270°；(7)180°；(8)0°.【答案】(1)根据题意得：A＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，k取－1,0时，∴β＝－300°，60°；(2)B＝{β|β＝k·360°－75°，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，k取0,1时，∴β＝－75°，285°；(3)C＝{β|β＝k·360°－824°30′，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，k取2,3时，∴β＝－104°30′，255°30′；(4)D＝{β|β＝k·360°＋475°，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，取－2，－1时，∴β＝－245°，115°；(5)E＝{β|β＝k·360°＋90°，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，k取－1,0时，∴β＝－270°，90°；(6)F＝{β|β＝k·360°＋270°，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，取－1,0时，∴β＝－90°，270°；(7)G＝{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，取－1,0时，∴β＝－180°，180°；(8)H＝{β|β＝k·360°，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，取－1,0,1时，∴β＝－360°，0°，360°.【解析】67.若角θ的终边与168°角的终边相同，求在0°～360°内终边与角θ的终边相同的角.【答案】∵角θ的终边与168°角的终边相同，∴θ＝168°＋k·360°，k∈Z，当k＝0时，θ＝168°；当k＝1时，θ＝528°，当k＝2时，θ＝888°；当k＝3时，θ＝1 248°，∴在0°～360°内终边与角θ的终边相同的角是：168°.【解析】68.写出与30°角终边相同的角的集合A，并把A中适合不等式－360°≤α≤720°的元素α写出.【答案】根据题意得：A＝{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}，又∵－360°≤α≤720°，k取－1,0,1时，∴α＝－330°，30°，390°.【解析】69.写出与370°23′终边相同角的集合S，并把S中在－720°～360°间的角写出来.【答案】根据题意得：S＝{α|α＝k·360°＋370°23′，k∈Z}，又∵S是在－720°～360°间的角，取－3，－2，－1时，∴所求的角为－709°37′，－349°37′，10°23′.【解析】70.已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角.(1)－75°；(2)855°；(3)－510°；(4)－450°.【答案】以原点为顶点，x轴的非负半轴为始边作出－75°，855°，－510°，－450°，如图所示.观察终边所在位置，知－75°为第四象限角，855°为第二象限角，－510°为第三象限角，－450°角的终边在y轴的非正半轴上，不属于任何象限.【解析】71.已知α是第三象限角，则是第几象限角？【答案】∵α是第三象限角，∴180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Z)，∴60°＋k·120°＜＜90°＋k·120°(k∈Z).当k＝3n(n∈Z)时，60°＋n·360°＜＜90°＋n·360°(n∈Z)，∴是第一象限的角；当k ＝3n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°＜＜210°＋n·360°(n∈Z)，∴是第三象限的角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，300°＋n·360°＜＜330°＋n·360°(n∈Z)，∴是第四象限的角.∴是第一、三、四象限的角.【解析】72.判断下列角的终边落在第几象限内：(1)1 400°；(2)－2 010°.【答案】(1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1 400°也是第四象限角.(2)－2 010°＝－6×360°＋150°，∴－2 010°与150°终边相同.∴－2 010°是第二象限角.【解析】73.已知α是第二象限角，试确定2α，的终边所在的位置.【答案】因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z.所以2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z，所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上.因为k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，所以k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°，k∈Z，所以当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋ 45°＜＜n·360°＋90°，即的终边在第一象限；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°，即的终边在第三象限.所以的终边在第一或第三象限.【解析】74.若α是第二象限角，试分别确定的终边所在位置.【答案】因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°(k∈Z).方法一因为k·120°＋30°＜＜k·120°＋60°(k∈Z)，当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＋30°＜＜n·360°＋60°；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋150°＜＜n·360°＋180°；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋270°＜＜n·360°＋300°.所以是第一或第二或第四象限角.方法二如图所示，作出三等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成12个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这12个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号是几的区域就是θ为第几象限角时的终边落在的区域，所以是第一或第二或第四象限角.【解析】。
角的概念的推广习题
目录
• 角的基本概念与性质 • 推广至任意角 • 推广至平面内任意角 • 推广至空间任意角 • 习题解析与讨论
01
角的基本概念与性质
角的定义与表示方法
角是由两条射线共享一个端点而形成的几何图形，这个共享的端点称为 角的顶点，两条射线称为角的边。
角可以用三个大写字母表示，其中中间的字母表示角的顶点，两边的字 母分别表示角的两条边。例如，角ABC可以表示为∠ABC。
解答过程
由题意可知，角α的终边经过点P(3,4)，则 OP=√(3^2+4^2)=5。根据三角函数的定义，我们有 sinα=y/r=4/5，cosα=x/r=3/5。
例题2
已知sinθ=3/5，θ为第二象限角，求cosθ和tanθ的值。
分析
本题考查同角三角函数的基本关系式。根据同角三角函 数的基本关系式，我们可以求出cosθ和tanθ的值。
02
推广至任意角
任意角的定义及表示方法
任意角定义
角是由两条射线共享一个端点而形成的几何图形，这两条射线被称为角的边， 共享的端点被称为角的顶点。
表示方法
在平面直角坐标系中，通常用希腊字母（如α、β等）表示角，顶点位于坐标原 点，一条边与x轴正半轴重合，另一条边绕顶点逆时针旋转到终边所形成的角。
任意角的三角函数关系
还有一种表示角的方法是在角的顶点处画一个小弧线，并标上数字或字 母。例如，角A可以表示为∠1或∠A。
角的大小比较和运算
角的大小可以用度数、弧度或其 他度量单位来衡量。在几何学中， 通常使用度数作为角的度量单位。
两个角如果它们的大小相等，则 称它们为等角。等角具有相同的
度数或弧度。
角的运算包括角的加法、减法、 乘法和除法。这些运算遵循与数
高中数学新人教B版必修4课堂测试角的概念的推广
课时跟踪检测(一) 角的概念的推广层级一学业水平达标1.—215°是( )A.第象限角B．第二象限角C.第三象限角D．第四象限角解析：选B 由于—215°=—360°+145°,而145°是第二象限角则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中,终边相同的是()A．390°, 690°B．—330°, 750°C．480°,—420°D．3 000 °,—840°解析：选 B •••—330°= —360°+ 30° 750°= 720°+ 30°•••—330°与750°终边相同.3.如果角a的终边上有一点P(0, —3)，那么角a )A •是第三象限角B.是第四象限角C .是第三或第四象限角D .不属于任何象限角解析：选D 因为点P在y轴的负半轴上，即角a的终边落在y轴的非正半轴上,因此角a不属于任何象限角.4. 终边在第二象限的角的集合可以表示为( )A. {a|90 °< a<180 °}B. {o|90 + k 180 °a<180 °+ k 180 °k € Z}C. {"—270 + k 180 °a<—180 °+ k 180 °k€ Z}D. {"—270 + k 360 °a<—180 °+ k 360 °k€ Z}解析：选D 终边在第二象限的角的集合可表示为{ "90 °+ k 360° a<180o+ k 360°, k€ Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确.5. 将—885 °化为a+ k 360 °(0 ° aV 360 ° k € Z)的形式是()A. —165 °+ (—2) X 360 °B. 195 °+ (—3)X 360 °C. 195 °+ (—2) X 360 °D. 165 °+ (—3) X 360 °解析：选 B —885°= 195°+ (—3)X 360° 0°< 195°<360°,故选B.6. 在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°②钝角一定大于锐角；③射线OA 绕端点O 按逆时针旋转一周所成的角是0°；④2018 °是第三象限角.其中错误说法的序号为_______ (错误说法的序号都写上).解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°因而转过的角为一60°所以①不正确.②钝角a的取值范围为90°< o<1800，锐角B的取值范围为0°< 0<90°,因此钝角一定大于锐角，所以②正确.③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°所以③不正确.④ 2 018° = 5X 360° + 218°与218°终边相同，是第三象限角，所以④正确.答案：①③7. a满足180 ° a<360 ° 5a与a有相同的始边，且又有相同的终边，那么a= __________ .解析：5 a= a+ k 360°, k€ Z a= k 90° k€ Z.又•/ 180°< «<360O, ••• a= 270°答案：270°8.若角a的终边与75°角的终边关于直线y= 0对称且—360 ° < aV 360 °,则角a 的值为______________ .解析：如图，设75°角的终边为射线OA,射线OA关于直线y= 0对严称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为一75°，所以以射线OB ——證:辭區为终边的角的集合为{a| a= k 360° —75° , k € Z}.又一360° < a< 360° ,乜令k= 0 或1,得a=—75°或285°.答案：—75°或285°解：(1){ a k 360°+ 135° < a< k 360° + 300° , k€ Z}.(2){ a|k 180°—60°<a<k180° + 45° , k€ Z}.10.已知角的集合M = { «| a= 30 ° + k90°, k € Z}，回答下列问题：(1) 集合M中大于—360°且小于360 °的角是哪几个？(2) 写出集合M中的第二象限角B的一般表达式.13 11解：(1)令—360° <30 ° + k90 ° <360°，则—fvkv；，又：k € Z ,3 3•- k=—4,—3,—2,—1,0,1,2,3,•集合M中大于—360°且小于360 °的角共有8个，分别是—330° , —240° ,—150° , —60° , 30° , 120° , 210° , 300° .(2) •••集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，••• 3= 120 ° + k360 ° , k€ Z.层级二应试能力达标1. 给出下列四个结论：①- 15。
河北省邯郸四中2013届高考数学复习《概念》典型例题
河北省邯郸四中2013届高考数学复习《概念》典型例题判断正误练习判断下面说法是否正确，如果并说明原因。
（1）R)ai(a ∈是纯虚数；（2）在复平面内，原点也在虚轴上；分析：先判断正误，若错误考虑如何纠错？或直接改正或举反例试之。
（1）错误。
因为当0a =时，不是纯虚数。
（2）错误。
因为原点不在虚轴上。
探究性问题已知关于x 的方程()03122=-+--i m x i x 有实根，求实数m 的取值。
分析：注意不能用判别式△来解。
如：∵ 方程有实根∴ ()()044122≥---=∆i m i 错误的原因是虚数不能比较大小，因此涉及到大小问题的概念和理论如与不等式有关的判别解：设方程的实根为x 0，则()0312020=-+--i m x i x 整理得：()11240020=+-++i x m x x 由复数相等的条件知：21012030020=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=++m x m x x复数的分类例题例 实数a 分别取什么值时，复数i a a a a a Z )152(3622--++--=是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数。
解：实部3)3)(2(362+-+=+--a a a a a a ，虚部)5)(3(1522-+=--a a a a （1）当5=a 时，Z 是实数；（2）当5≠a ，且3-≠a 时，Z 是虚数；（3）当2-=a 或3=a 时是纯虚数．复数的相等例题例 设i m m m m z )34()32(221+-+--=（R m ∈），i z 352+=，当m 取何值时，（1）21z z =；（2）.01≠z 分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数m 的方程，求出m 的值．解：（1）由可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--33453222m m m m 解之得4=m ， 即：当4=m 时.21z z =（2）当01≠z 可得：0322≠--m m 或0342≠+-m m ，即3≠m 时01≠z复数与复平面上的点的对应关系的例题例 设复数bi a z +=和复平面的点Z （b a ,）对应，a 、b 必须满足什么条件，才能使点Z 位于：（1）实轴上？（2）虚轴上？（3）上半平面（含实轴）？（4）左半平面（不含虚轴及原点）？分析：本题主要考查复数bi a Z +=与复平面的点Z （b a ,）建立一一对应的关系． 解：（1）0=b（2）0=a 且0≠b（3）0≥b（4）0<a求点的轨迹的例题例 已知关于t 的一元二次方程)R ,(,0)(2)2(2∈=-++++y x i y x xy t i t（1）当方程有实根时，求点),(y x 的轨迹方程．（2）求方程的实根的取值范围．思路分析（1）本题方程中有y x t 、、三个未知数由复数相等的充要条件能得到两个等式，而结论是要求动点),(y x 的轨迹方程，联想到解析几何知识，求),(y x 的轨迹方程就是求关于y x 、的方程，于是上面的两个等式正是轨迹方程的参数形式，消去参数t ，问题得解（2）由上面解答过程中的②知0=+-t y x 可看作一条直线，由③知2)1()1(22=++-y x 是一个圆，因此求实根t 的范围可转化为直线与圆有公共点的问题．解答（1）设实根为t ，则0)(2)2(2=-++++i y x xy t i t即0)()22(2=-++++i y x t xy t t根据复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=-+=++)2(0)1(0222 y x t xy t t由（2）得x y t -=代入（1）得02)(2)(2=+-+-xy x y x y即2)1()1(22=++-y x (3)∴所求点的轨迹方程为2)1()1(22=++-y x ，轨迹是以（1，－1）为圆心，2为半径的圆． （2）由（3）得圆心为（1，－1），半径2=r ， 直线与圆有公共点，则22)1(1≤+--t，即22≤+t ∴04≤≤-t ，故方程的实根的取值范围为[]0,4-．思维诊断此题涉及到复数与解析几何的知识，综合性较强，学生往往不易入手，审题不到位，且有畏惧心理，是思维受阻的主要因素，在第（2）题求实根的取值范围时还可由（1）（2）消去y 建立关于实数x 的二次方程，用判别式∆求出t 的范围．同时通过本题，同学们要进一步认识，把复数问题转化为实数问题求解的必要性，这是解决有关复数与方程问题惯用的手法，要切实掌握好．复数相等的例题2例 已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足i y y i x )3()12(--=+-，求x 与y ． 思路分析因为y 是纯虚数，所以可设)0,R (≠∈=b b bi y ，代入等式，把等式的左、右两边都整理成bi a +形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x 与b 的方程组，求解后得x 与b 值．解答设)0R (≠∈=b b bi y 且代入条件并整理得i b b i x )3()12(-+-=+-由复数相等的条件得⎩⎨⎧-=-=-3112b b x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==234x b ∴.4,23i y x =-= 思维诊断一般根据复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一重要思想，化复数问题为实数问题得以解决．在解此题时，学生易忽视y 是纯虚数这一条件，而直接得出等式⎩⎨⎧--==-)3(112y y x 进行求解，这是审题不细所致．复数相等的例题3例 已知关于x 的方程02)2(2=++++ki x i k x 有实根，求这个实根以及实数k 的值． 思路分析方程的实根必然适合方程，设0x x =为方程的实根，代入整理后得0=+bi a 的形式)R (∈b a 、．由复数相等的充要条件，可得关于0x 与k 的方程组，通过解方程组便可求得0x 与k ．解答设0x x =是方程的实根，代入方程并整理得0)2()2(0020=++++i k x kx x由复数相等的条件得⎩⎨⎧=+=++02020020k x kx x解得⎪⎩⎪⎨⎧-==22,20k x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=,22,20k x ∴方程的实根为2=x 或2-=x ，相应的k 值为22-=k 或22=k ．思维诊断学生易给出如下错解：∵方程有实根，∴0)2(4)2(2≥+-+=∆ki i k ．解得32≥k 或32-≤k ．这是由于错把实系数一元二次方程根的判别式运用到了复系数一元二次方程中，事实上，在复数集内解复系数一元二次方程，判别式∆不能够判断方程有无实根，这一点后面还会提到．因此，解关于方程有实根的问题，一般都是把实根代入方程，用复数相等条件求解．复数的分类例题例 m 取何实数时，复数i m m m m m z )152(3622--++--=（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？思路分析本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数．由于所给复数z 已写成标准形式，即)R (∈+=b a bi a z 、，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题．解答（1）当⎩⎨⎧≠+=--0301522m m m 时，即⎩⎨⎧-≠=-==35 35m m m m 即时或 ∴5=m 时，z 是实数．（2）当⎩⎨⎧≠+≠--0301522m m m 时，即⎩⎨⎧-≠-≠≠335m m m 且∴当5≠m 且3-≠m 时，z 是虚数．（3）当⎪⎩⎪⎨⎧≠--≠+=--0152030622m m m m m 时即⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠-≠-==35323m m m m m 且或∴当3=m 或2-=m 时，z 是纯虚数．思维诊断研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点．如本题易忽略分母不能为0的条件，丢掉03≠+m ，导致解答出错．。
高中数学人教B版必修4 1.1 同步练习 《角的概念的推广》(人教)
《角的概念的推广》同步练习1．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是() A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D2．与405°角终边相同的角是() A．k·360°－45°，k∈ZB．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z3．若α＝45°＋k·180° (k∈Z)，则α的终边在() A．第一或第三象限B．第二或第三象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角5．在－390°，－885°，1351°，2012°这四个角中，其中第四象限角的个数为() A．0 B．1 C．2 D．36．下列说法中，正确的是________。
(填序号)①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称。
7．在－180°～360°范围内，与2000°角终边相同的角为______。
8．在与角－2013°终边相同的角中，求满足下列条件的角。
(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角。
9．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合。
10．已知角β的终边在直线3x－y＝0上。
(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素。
“角的概念的推广”典型例题分析
“角的概念的推广”典型例题分析例1在～间，找出与下列各角终边相同的角，并指出它是哪个象限的角。
（1）（2）（3）解：（1）∵∴的角与的角的终边相同，它是第一象限的角。
（2）∵∴的角与的角的终边相同，它是第四象限的角。
（3）∵，∴的角与的角终边相同，它是第二象限的角。
例2 写出与下列各角终边相同的角的集合T，并把T中在～间的角写出来：（1）；（2）－；（3）解：（1）T中在～间的角是：，（2）T在～间的角是：（3）T在～间的角是：，，例3写出终边落在直线上的角的集合。
分析指导从～间满足条件的角入手。
解:在～间，满足条件的角是和，所以，终边落在上的角的集合为说明本题易错解为这是思维不周密的具体表现。
例4如果角与角具有同一条终边，角与角具有同一条终边，那么与间的关系是（）A．B．C．D．分析指导利用终边相同角的表示，分别建立与，与的关系式，由此寻找与间的关系，对照选择。
解:依题意，（），（），那么∵、是整数，也是整数，用表示，∴故选D。
说明此题易错选B。
误认为，，故例5（1）设是第二象限角，那么是第几象限角？（2）设是第一象限角，那么是第几象限角？解：（1）∵是第二象限角，∴，∴当是偶数（例如）时，是第一象限角；当是奇数（例如，1，－1）时，是第三象限角。
见图1中的阴影部分。
（2）∵是第一象限角，∴，∴当时，，当时，，当时，。
上述三种情况见图2中的阴影部分，分别在第一、第二、第三象限。
不难得知，对于任何整数，也在上述三个象限中。
点拨：请同学们思考：图1与图2中，与所在象限有何特点？你是否可以找出某种规律来。
“弧度制”典型例题分析例1若是第四象限角，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角分析指导从象限角的表示入手。
解:若是第四象限角，则，于是，从而有，所以，在第三象限，故选C。
说明考虑到选择题的特点，可赋特值检验，如取，则在第三象限。
例2若集合，，求分析指导从集合交集的定义出发，可得关于的不等式，由，确定的整数解，从而确定交集的元素即可．解:由交集定义，知，即，∴由，知当时，故说明要逐步习惯在弧度制下进行运算。
{高中试卷}角的概念的推广[仅供参考]
![{高中试卷}角的概念的推广[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/e24c0a0dad51f01dc281f1fa.png)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：4.1 角的概念的推广【知识归纳】一、轴线角（终边落在坐标轴上的角）：x 轴正半轴：{}0|360,k k Z αα=⋅∈；x 轴负半轴：{}00|360180,k k Z αα=⋅+∈ ； y 轴正半轴：{}00|36090,k k Z αα=⋅+∈；y 轴负半轴：{}00|36090,k k Z αα=⋅-∈或{}00|360270,k k Z αα=⋅+∈；x 轴：{}0|180,k k Z αα=⋅∈； y 轴：{}00|18090,k k Z αα=⋅+∈（注意区别）所有坐标轴：{}0|90,k k Z αα=⋅∈。
二、象限角：第一象限角：{}000|36036090,k k k Z αα⋅<<⋅+∈；第二象限角：{}0000|36090360180,k k k Z αα⋅+<<⋅+∈；第三象限角：{}0000|360180360270,k k k Z αα⋅+<<⋅+∈；第四象限角：{}0000|360270360360,k k k Z αα⋅+<<⋅+∈或{}000|36090360,k k k Z αα⋅-<<⋅∈三、α、β关系：β终边与α终边相同：0360k βα=+⋅（k Z ∈）；β终边与α终边互为反向延长线：00(180360)k βα=++⋅（k Z ∈）β终边与α终边在同一直线上：0180k βα=+⋅（k Z ∈）；β终边与α终边互相垂直：()0090180k βα=++⋅（k Z ∈）。
四、半角2α与α的关系： 第一象限角的半角：000|18045180,22k k k Z αα⎧⎫⋅<<+⋅∈⎨⎬⎩⎭； 第二象限角的半角0000|4518090180,22k k k Z αα⎧⎫+⋅<<+⋅∈⎨⎬⎩⎭； 第三象限角的半角0000|90180135180,22k k k Z αα⎧⎫+⋅<<+⋅∈⎨⎬⎩⎭；第四象限角的半角0000|135180180180,22k k k Z αα⎧⎫+⋅<<+⋅∈⎨⎬⎩⎭。
角的概念和推广示例解析试题
卜人入州八九几市潮王学校角的概念和推广例如解析一.本周教学内容角的概念和推广二.重点、难点本节重点是终边一样的角的概念、象限角的概念【典型例题】[例1]︒-<<︒-630990α，且α与︒120角的终边一样，求α？解：由角α与︒120角终边一样，那么︒+︒⋅=120360K α，Z K ∈令︒-<︒+︒⋅<︒-630120360990K 12121213-<<-K 又由Z K ∈，故3-=K 那么︒-=︒+︒⨯-=9601203603α即所求角α为︒-960[例2]角α是第三象限角，求2α是第几象限角？ 解：由α是第三象限角，那么︒+︒⋅<<︒+︒⋅270360180360K K α，Z K ∈ 当n K2=，Z n ∈时︒+︒⋅<<︒+︒⋅135360290360n n α 当12+=n K ，Z n ∈时︒+︒⋅+<<︒+︒⋅+135180)12(290180)12(n n α︒+︒⋅<<︒+︒⋅3153602270360n n α故2α为第二象限角或者第四象限角 [例3]角α的终边与120°的终边一样，求在︒-360到︒180范围内与3α角终边一样的角的集合。
解：由角α的终边与120°终边一样，那么α︒+︒⋅=120360K ，Z K ∈︒+︒⋅=401203K α令︒<︒+︒⋅≤︒-180********K又由Z K ∈，那么1,0,1,2,3---=K 代入︒+︒⋅=401203K α 得︒︒︒-︒-︒-=160,40,80,200,320α[例4]时针指到3点后，当分针在1小时内走55分钟时，时针到分针的夹角是多少度？解：时针每走1分钟相当于转过︒-=︒-660360的角，故分针一共走过的角度为 时针每走1小时相当于转过︒-=︒-3012360的角，故时针一共走过 因此时针到分针的夹角为︒-=︒--︒-5.212)5.117(330 [例5]在一般的时钟上，自零时刻到分针与时针第一次重合，分针所转过角是多少度？解：自零时到分针与时针第一次重合，设时针转过︒x ，那么分针转过︒+)360(x ，由时针转过1°相当于经过30136012=小时，故时针转过1°相当于经过2分钟，又分针转过 1°相当于经过61分，故61)360(2⋅+=⋅x x 36011=x 11360=x 因此，当分针与时针第一次重合时，分针转过的角为[例6]{}锐角=A ，{}的角到︒︒=900B ，{}第一象限的角=C ，{}的角小于︒=90D ，求B A ，C A ，D C ，D C解：依题意，有{}︒<<︒=900ααA ，{}︒<≤︒=900ααB由︒≤︒+︒⋅9090360K 得0≤K故{}Z K K K K D C ∈≤︒+︒⋅<<︒⋅=且0,90360360αα [例7]集合{}Z K K K A ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅=,12036030360αα，{}Z K K K B ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅=,135********αα，求集合B A 解：{}Z K K K B ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅=,135********αα利用图象，B A 即图中阴影局部的交 故{}Z K K K B A ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅=,12036060360αα [例8]{}Z K K A ∈︒±︒⋅==,30120αα，{}Z K K B ∈︒+︒⋅==,9060ββ，那么集合A 和B 有何关系？解：设A ∈θ，那么︒+︒⋅=30120K θ或者︒-︒⋅=30120K θ，Z K ∈ 即︒+︒⋅-=9060)12(K θ或者︒+︒⋅-=9060)22(K θ，故B ∈θ，因此B A ⊆设B ∈θ那么Z K K ∈︒+︒⋅=,9060θ当Z n n K ∈=,2时，︒+︒⋅=90120n θ即θ)1(+=n ︒-︒⋅30120那么A ∈θ；当12-=n K ，Z n ∈时， 即︒+︒⋅=30120n θ，那么A ∈θ因此，A ∈θ，A B ⊆综上，B A =一.选择题1.〕 ①第一象限角是锐角②第二象限角比第一象限角大③三角形的内角是第一或者第二象限角④{}{}的正角小于锐角︒=90 A.0个B.1个C.2个D.3个2.以下表示中不正确的选项是〔〕A.终边在坐标轴上的角的集合是{}Z K K ∈︒⋅=,90ααB.与︒-50的终边一样的角的集合是{}Z K K ∈︒+︒⋅=,310360ααC.终边在第二、四象限的角平分线上的角的集合是{}Z K K ∈︒-︒⋅=,45360αα D.终边在直线x y =上的角的集合是{}Z K K ∈︒+︒⋅=,45180αα 3.集合{}Z K K M∈︒⋅==,45αα，{}Z K K N ∈︒±︒⋅==,4590ββ，那么集合M 和N 的关系是〔〕A.≠⊂M N B.N M = C.≠⊃M N D.不确定 二.填空题1.假设α和β的终边满足以下位置关系时，α和β满足怎样的数量关系： 〔1〕重合时，=-βα；〔2〕关于x 轴对称时，=+βα； 〔3〕关于y 轴对称时，=+βα；〔4〕关于原点对称时，=-βα。
高一数学典型例题分析 角的概念的推广 试题
卜人入州八九几市潮王学校角的概念的推广·典型例题分析例1在-720°～720°之间，写出与60°的角终边一样的角的集合S．解与60°终边一样的角的集合为｛α|α=k·360°+60°，k∈Z｝．令-720°＜k·360°+60°＜720°，得k=-2，-1，0，1相应的α为-660°，-300°，60°，420°，从而S=｛-660°，-300°，60°，420°｝．例2把1230°，-3290°写成k·360°+α(其中0°≤α＜360°，k∈Z)的形式．分析用所给角除以360°，将余数作α．解∵1230÷360=3余150，∴1230°=3×360°+150°．∵-3290÷360=-10余310，∴-3290°=-10×360°+310°．注意：负角除以360°，为保证余数为正角，试商时应使得到的负角的绝对值大于负角的绝对值．例3写出终边在y轴上的角的集合．解终边在y轴的正半轴上角的集合为｛α|α=k·360°+90°，k∈Z｝．终边在y轴的负半轴上角的集合为｛α|α=k·360°+270°，k∈Z｝．故终边在y轴上角的集合为｛α|α=k·360°+90°，k∈Z｝∪｛α|α=k·360°+270°，k∈Z｝．=｛α|α=2k·180°+90°，k∈Z｝∪｛α|α=(2k+1)·180°+90°，k∈Z｝=｛α|α=n·180°+90°，n∈Z｝．同样方法可写出终边在x轴上角的集合为｛x|x=n·180°+90°，k∈Z｝。
高中数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广练习 北师大版必修4
§2 角的概念的推广1.角α=45°+k×180°(k∈Z)的终边落在()A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限解析:当k=2n(n∈Z)时,α=45°+n×360°,其终边落在第一象限;当k=2n+1(n∈Z)时,α=45°+n×360°+180°=225°+n×360°,其终边落在第三象限.答案:A2.以下命题正确的是()A.若α是第一象限角,则2α是第二象限角B.A={α|α=k·180°,k∈Z},B={β|β=k·90°,k∈Z},则A⊆BC.若k·360°<α<k·360°+180°(k∈Z),则α为第一或第二象限角D.终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)答案:B3.已知角α是第四象限角,则角是()A.第一或第三象限角B.第二或第三象限角C.第一或第四象限角D.第二或第四象限角解析:∵角α是第四象限角,∴k×360°-90°<α<k×360°(k∈Z),∴k×180°-45°<<k×180°(k∈Z).∴角是第二或第四象限角.答案:D4.已知集合A={x|x=k×180°+(-1)k×90°,k∈Z},B={x|x=k×360°+90°,k∈Z},则A,B的关系为()A.B⫋AB.A⫋BC.A=BD.A⊆B解析:集合A中,当k为奇数时,x=k×180°-90°,终边落在y轴的非负半轴上;当k为偶数时,x=k×180°+90°,终边落在y轴的非负半轴上;集合B表示的角的终边落在y轴的非负半轴上.故A=B.答案:C5.如图,终边落在空白部分(含边界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z}答案:D6.已知点P(0,-1)在角α的终边上,则所有角α组成的集合S=. 解析:易知点P在y轴的负半轴上.又270°角的终边在y轴的非正半轴上,则S={α|α=270°+k×360°,k∈Z}.答案:{α|α=270°+k×360°,k∈Z}7.已知k×360°+120°<α<k×360°+150°(k∈Z),则为第象限角.解析:∵k×360°+120°<α<k×360°+150°(k∈Z),∴k×180°+60°<<k×180°+75°(k∈Z),∴为第一象限角或第三象限角.答案:一或三8.导学号03070008已知角α,β的终边关于x+y=0对称,且α=-60°,则β=.解析:-60°角的终边关于y=-x对称的射线对应角为-45°+15°=-30°,∴β=-30°+k·360°,k∈Z.答案:{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}9.已知α=-1 910°.(1)将α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出α所在象限;(2)求θ,使θ与α终边相同,且-720°≤θ<0°.解:(1)-1 910°=-6×360°+250°,因为250°角为第三象限角,所以-1 910°角为第三象限角.(2)θ为-110°或-470°.10.导学号03070009已知集合A={α|30°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°≤β≤45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.解:如图,集合A中的角的终边在阴影(Ⅰ)内,集合B中的角的终边在阴影(Ⅱ)内,因此集合A∩B={α|30°+k·360°≤α≤45°+k·360°,k∈Z}.11.如图所示.(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解:(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.(2)由题图可知,在-180°~180°范围内,终边落在阴影部分的角β满足-30°≤β≤135°,因此所求角的集合是所有与之终边相同的角组成的集合,故该集合可表示为{γ|-30°+k·360°≤γ≤135°+k·360°,k∈Z}.。
必修4第一章三角函数2.角的概念的推广
必修4第一章三角函数2.角的概念的推广测试题2019.91,1弧度的圆心角所对的弦长为2，求圆心角所夹的扇形面积的周长和面积。
2,用弧度表示阴影部分（含边界）3,下列说法中正确的是 ( )A．第一象限的角是锐角 B．锐角是第一象限的角C．小于的角是锐角 D．[]的角是第一象限角4,有下面四个命题：①小于90°的角一定是锐角；②第二象限的角一定是钝角；③第二象限的角一定大于第一象限的角；④20°角与740°角是终边相同的角其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．35,设A=｛锐角｝，B=｛小于90°的角｝，C=｛第一象限角｝，D=｛小于90°的正角｝，则下列等式中成立的是( )A．A=B B．B = C C．A= C D．D =A6,已知，那么M中各角的终边在( )A．x轴非负半轴上 B．y轴非负半轴上C．x轴或y轴上 D．x轴非负半轴或y轴非负半轴上7,在-146°，156°，214°，934°角中，终边相同的角是( ) A．-146°，156°，214°．B．934°，214°，156°．C．-146°，214°，934°．D．156°，-146°，934°．8,与-10000°角的终边相同的最大负角是( )A．-8°B．-80°C．-180°D．-280°9,集合M={x|x=，k ∈Z}，N={x|x=+，k ∈Z}，则( )A ．M=NB ．M NC ．MN D ．10,若α是和二象限角,则所在象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第一或第三象限测试题答案1, 解：取弦AB 中点N ，则AN=BN=1，连ON 则。
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河北省邯郸四中2013届高考数学复习《角的概念的推广》典
型例题
例1在-720°～720°之间，写出与60°的角终边相同的角的集合S．
解与60°终边相同的角的集合为｛α|α=k·360°+60°，k∈Z｝．
令-720°＜k·360°+60°＜720°，得k=-2，-1，0，1
相应的α为-660°，-300°，60°，420°，从而S=｛-660°，-300°，60°，420°｝．例2把1230°，-3290°写成k·360°+α(其中0°≤α＜360°，k∈Z)的形式．分析用所给角除以360°，将余数作α．
解∵1230÷360=3余150，
∴1230°=3×360°+150°．
∵-3290÷360=-10余310，
∴-3290°=-10×360°+310°．
注意：负角除以360°，为保证余数为正角，试商时应使得到的负角的绝对值大于已知负角的绝对值．
例3写出终边在y轴上的角的集合．
解终边在y轴的正半轴上角的集合为｛α|α=k·360°+90°，k∈Z｝．终边在y轴的负半轴上角的集合为｛α|α=k·360°+270°，k∈Z｝．故终边在y轴上角的集合为｛α|α=k·360°+90°，k∈Z｝∪｛α|α=k·360°+270°，k∈Z｝．
=｛α|α=2k·180°+90°，k∈Z｝∪｛α|α=(2k+1)·180°+90°，k∈Z｝
=｛α|α=n·180°+90°，n∈Z｝．
同样方法可写出终边在x轴上角的集合为｛x|x=n·180°+90°，k∈Z｝
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